VIVIANA CARRILLO FUENTESTeorema del coseno

Elteorema del cosenoes una generalizacin delteorema de Pitgorasen los tringulos rectngulos que se utiliza, normalmente, entrigonometra.El teorema relaciona un lado de un tringulo cualquiera con los otros dos y con elcosenodelnguloformado por estos dos lados:Teorema del cosenoDado un tringulo ABC, siendo , , , los ngulos, ya,b,c, los lados respectivamente opuestos a estos ngulos entonces:

En la mayora de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre deteorema del coseno, denominacin no obstante relativamente tarda. Enfrancs, sin embargo, lleva el nombre delmatemticopersaGhiyath al-Kashique unific los resultados de sus predecesores.1

Fig. 1 - Notacin ms habitual de un tringulo.HistoriaLos ElementosdeEuclides, que datan delsiglo IIIa.C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin delteorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 dellibro II, tratan separadamente el caso de untringulo obtusnguloy el de untringulo acutngulo. La formulacin de la poca es arcaica ya que la ausencia defunciones trigonomtricasy dellgebraoblig a razonar en trminos de diferencias de reas.2Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos:

En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtuso en dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso.Euclides,Elementos.3SiendoABCel tringulo, cuyo ngulo obtuso est enC, yBHla altura respecto del vrticeB(cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - TringuloABCcon alturaBH.

Faltaba esperar la trigonometra rabe-musulmana de laEdad Mediapara ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: elastrnomoy matemticoal-Battani4generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios delsiglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre elSoly laTierra.56Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funcionessenoycoseno. Eso permiti aGhiyath al-Kashi,7matemtico de la escuela deSamarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para latriangulacindurante elsiglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente porFranois Vitequien, al parecer, lo redescubri independientemente.8Fue a finales delsiglo XVIIcuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida porEuleren su libroIntroductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9El teorema y sus aplicacionesEl teorema del coseno es tambin conocido por el nombre deteorema de Pitgoras generalizado, ya que elteorema de Pitgorases un caso particular: cuando el nguloes recto o, dicho de otro modo, cuando, el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulacin del teorema de Pitgoras.

Fig. 3 - Utilizacin del teorema del coseno: ngulo o lado desconocido.El teorema se utiliza entriangulacin(ver Fig. 3) para resolver un tringulo, y saber determinar: el tercer lado de un tringulo cuando conocemos un ngulo y los lados adyacentes:. los ngulos de un tringulo cuando conocemos los tres lados:.Estas frmulas son difciles de aplicar en el caso de mediciones de tringulos muy agudos utilizando mtodos simples, es decir, cuando el ladoces muy pequeo respecto los ladosaybo su equivalente, cuando el nguloes muy pequeo.Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos tringulos semejantes ABC y A'B'C'.DemostracionesPor desglose de reas

Fig. 4a - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando el ngulo es agudo.Un cierto nmero de las demostraciones del teorema hacen intervenir un clculo dereas. Conviene en efecto remarcar que a2,b2,c2son las reas de loscuadradosde lados respectivosa,b,c. abcos() es el rea de un paralelogramo de ladosaybque forman un ngulo de 90- (para una prueba, ver elapndice).Dado que cos() cambia de signo dependiendo de si es mayor o menor a 90, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.La figura 4a (contigua) divide un heptgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo agudo. La divisin es la siguiente: En verde, las reasa2,b2la izquierda, y el rea ,c2a la derecha. En rojo, el tringuloABCen ambos diagramas y en amarillo tringulos congruentes alABC. En azul, paralelogramos de ladosaybcon ngulo90-.Igualando las reas y cancelando las figuras iguales se obtiene que, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostracin del teorema del coseno por desglose de reas, cuando el ngulo es obtuso.La figura 4b (contigua) desglosa un hexgono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ngulo obtuso. La figura muestra En verdea2,b2la izquierda yc2a la derecha. En azul -2abcos(), recordando que al ser cos() negativo, la expresin completa es positiva. En rojo, dos veces el tringuloABCpara ambos lados de la figura.Igualando reas y cancelando las zonas rojas da, como queramos demostrar.

Por el teorema de PitgorasNotemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitgoras cuando el nguloes recto. Por tanto slo es necesario considerar los casos cuandoces adyacente a dos ngulos agudos y cuandoces adyacente a un ngulo agudo y un obtuso.Primer caso:ces adyacente a dos ngulos agudos.

Caso 1:ces adyacente a dos ngulos agudosConsideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitgoras, la longitudces calculada as:(left)Pero, la longitudhtambin se calcula as:(left)Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definicin de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuacin parac2, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso.Segundo caso:ces adyacente a un ngulo obtuso.

Caso 2:ces adyacente a un ngulo obtusoConsideremos la figura adjunta. El teorema de Pitgoras establece nuevamentepero en este caso. Combinando ambas ecuaciones obtenemosy de este modo:.De la definicin de coseno, se tieney por tanto:.Sustituimos en la expresin para, concluyendo nuevamente.Esto concluye la demostracin.c2=a2-b2- 2b(acos() -b) Es importante notar, que si se considera aucomo unsegmento dirigido, entonces slo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

Por la potencia de un punto con respecto a un crculo[editar]

Fig. 6 - Demostracin del teorema del coseno utilizando lapotencia de un puntocon respecto a un crculo.Consideremos un crculo con centro enBy radioBC, como en la figura 6. SiACes tangente al crculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitgoras. CuandoACno es tangente, existe otro puntoKde corte con el crculo. LApotenciadel punto A con respecto a dicho crculo es.Por otro lado,AL = c+ayAP = c-ade modo que.Adems,CK= -2a cos()(ver elapndice) por lo que.Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:

Contrariamente a las precedentes, para esta demostracin, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ngulo agudo.

Por el clculo vectorial[editar]Utilizando el clculovectorial, ms precisamente elproducto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas lneas:

Generalizacin en geometras no eucldeas

Fig. 7 - Tringulo esfrico: dimensiones reducidasz,byc; ngulos , y .Para unasuperficie no eucldeade curvaturaK, sealamos conRel radio de curvatura. Este verifica.Definimos entonces las dimensiones reducidas del tringulo:,,.En el caso de un tringulo esfrico,a,byccorresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal10[BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

Geometra esfrica

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del tringulo, es decir cuandoesta expresin se simplifica para dar la versin eucldea del teorema del coseno. Para hacerlo,.Existe una identidad similar que relaciona los tres ngulos:

Geometra hiperblica[editar]Artculo principal:Geometra hiperblicaEn un tringulo hiperblico ABC, el teorema del coseno se escribeCuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del tringulo, encontramos el teorema del coseno eucldeo a partir de los desarrollos limitados