Teorema De Existencia Y UnicidadTeorema de Existencia y Unicidad

El teorema de existencia y unicidad es una extensión del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solución para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única.

Imagina una función valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rectángulo definido por la ecuación,

Ahora supongamos que el diferencial parcial de la función real dada con respecto a la variable q también tiene un valor continuo de este rectángulo. Entonces puede concluirse que para la función dada tenemos algún intervalo I donde la función dada tiene una solución cuyo valor es único dentro de ese intervalo. Aquí el pre-requisito inicial definido para la función es,

q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0

Y la ecuacióndefiniendo el intervalo de la funciónes,

Aquí el valor de h debería ser menor o igual que a.

Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el método de demostración por contradicción. Esto significa que vamos a suponer que las afirmaciones anteriores son verdaderas. También significa que existe una solución para la función dada; asume que la solución es una función q(p). Estosignificaquetenemos,

q(p) = q0 + f(t, q(t) dt

Esto es porque si q(p) es una ecuación funcional para la ecuación diferencial dada, entonces podemos concluir que esta es una solución a esa ecuación diferencial. Por lo tanto, también podemos escribir,

q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0

Las aproximaciones sucesivas, también famosas por el nombre de su inventor, este es, el método de iteración dePicard, esta es una técnica utilizada para determinar esta ecuación de la función para una ecuación diferencial. Los pasosparadeterminarlason los siguientes:

1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuación diferencial dada. Supongamos que esta es cierta para cada valor de p.

2. Ahora usa la fórmula intermitente para determinar el valor de qn como,

3. Utilizando el método de inducción, una secuencia completa de las funciones puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos obtener la solución al problema dado.

Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto.

Resuelve la ecuación diferencial q’ = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0.

La ecuación asociada de la integración para la ecuación diferencial dada sería,

g(p) = 2 s (1 + q(s)) ds

Asumequeq0(p) = 0. Entonces lafórmulapara la recurrencia de cada p mayor que uno es,

qn+1(p) = 2 s (1 + qn(s)) ds

Por lo tanto, obtenemos

q1(p) = 2 s ds y,

q2(p) = 2 s (1 + s2) ds

q2(p) = p2 + p4/ 2.

Esto nos da la secuencia de las funciones como,

qn(p) = p2 + p4/ 2 + p6/ 3! +… + p2n/ n!

Esta es la serie de Taylor, y por tanto, la ecuación funcional de la ecuación diferencial,

q(p) = - 1

Teorema de Picard-LindelöfEl teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard,

otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un

resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de

solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Teorema

El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al topólogo finés Ernst

Leonard Lindelöf.

[editar]Enunciado general

"Sea  , donde   es abierto, una

función continua y localmente Lipschitz respecto de   (interprétese   como la forma

estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado  , podemos

encontrar un intervalo cerrado   

donde existesolución única del siguiente problema de Cauchy:

que cumple que los pares  "

De hecho, este   puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles

de ello.

[editar]Un enunciado más restrictivo

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos

aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más

sencillo: "Sea   una función Lipschitz. Entonces,

dados  " existe una única solución   del problema de valor inicial

definida  ".

[editar]Observación

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y

unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el

teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del

comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema

señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede

garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no

puede aplicarse.

[editar]Demostración

Sea   el cilindro compacto donde   está definida, esto

es   y  .

Sea  , és decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente sea   la

constante de Lipschtitz de   respecto la segunda variable.

Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue:

 dinifido

como:  .

Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que tome

valores en  , es decir, que la norma de   sea menor que  .

El último paso es imposición, por lo que deberá ser que  .

Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre   que más

adelante podrán ser omitidas.

Dadas dos funciones   queremos:

. Pero como   es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que:

.

Esto es contractivo si   o equivalentemente para tener igualdad si  .

Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular

espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach,

existe una única función   tal que   es decir, solución del

problema de valor inicial definida en   donde   debe satisfacer las condiciones dadas, es

decir,  .

[editar]Optimización del intervalo de la solución

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un

operador   es contractivo para alguna potencia   entonces   tiene un único punto fijo.

Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema

que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Lema: 

Lo demostraremos por inducción:

Para   ya lo hemos visto, suponemos cierto para   y probemos para  :

.

Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para   suficientemente

grande, la cantidad   y por lo tanto   será contractivo y por el corolario anterior   

tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a

tomar  .

Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de

Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de definición del campo y la máxima

pendiente del mismo.