Teor├¡a Electromagn├®tica_UCACUE

Cátedra:

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Profesor: Carlos Morocho Cabrera 1

Teoría Electromagnética

Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb

Ley de Gauss

Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga

Conductores en el Campo Electrostático

Dieléctricos en el Campo Electrostático




Ley de Gauss





Electrostática y Ley de Coulomb


Ley de Coulomb

Charles Augustin de Colulomb (1736-1806), en 1875 midió por primera vez

cuantitativamente las atracciones y repulsiones eléctricas y dedujo la ley que las rige.

Balanza de Torsión

𝐹 ∝𝑞1𝑞2𝑟2

𝐹 =1

4𝜋𝜀

𝑞1𝑞2𝑟2

Existe una fuerza entre dos cargas, directamente

proporcional a las magnitudes de las cargas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que las separa.

𝐅, Fuerza Newtons (N)

𝑞1, 𝑞2 Carga eléctrica Coulomb (C)

𝜀, Permitividad del medio

𝑟, Distancia metros (m)



Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática

El estudio de la interacción entre cargas en reposo se llama electrostática, y se

fundamenta en la Ley de Coulomb.

Para ello, considérese dos cargas puntuales, 𝑞1 y 𝑞2, separadas por una distancia 𝑟12 y

situadas en el vacío. Ambas cargas están en posiciones fijas 𝑟1 y 𝑟2 con respecto a una

referencia de un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas.

La fuerza electrostática 𝐹𝑒,12 se refiere a la

fuerza que ejerce la carga 𝑞1 sobre la carga

𝑞2. Esta fuerza viene dada en términos del

vector de posición relativo de 𝑞2 respecto de

𝑞1.

𝐫12=𝐫2 − 𝐫1




El vector 𝐫12 tiene por módulo la distancia 𝑟12

entre las dos cargas (𝑟12 = 𝐫12 ), su dirección

es a lo largo de la recta que une las dos cargas y

su sentido va desde la carga 𝑞1 a la carga que

experimenta la fuerza 𝑞2. El vector unitario 𝐮12

determina la dirección y sentido de 𝐫12.

𝐮12 =𝐫12𝑟12

=𝐫2 − 𝐫1𝐫2 − 𝐫1

La Ley de Coulomb se escribe entonces:

𝐅𝑒,12 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟12

2 𝐮12




𝐮12 =𝐫12𝑟12

=𝐫2 − 𝐫1𝐫2 − 𝐫1

𝐅𝑒,12 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟12

2 𝐮12

Siendo 𝑘 la constante de Coulomb. Su valor en el

vacío es 𝑘 = 9 × 109 N.m2. C−2, aunque es más

común escribir

𝑘 =1

4𝜋𝜀0

Donde 𝜀0 = 8,85 × 10−12 C2. N−1. m−2 es la permitividad del vacío.

El sentido de la fuerza electrostática depende del valor del producto de las cargas 𝑞1𝑞2,

de manera si 𝑞1𝑞2 > 0 (las cargas tienen el mismo signo), la fuerza es repulsiva, y si

𝑞1𝑞2 < 0 (las cargas tienen signos opuestos), la fuerza es atractiva.




La ley de Coulomb se generaliza para el caso de una distribución discreta de cargas

puntuales (es decir, número entero de cargas puntuales individuales separadas una de

otra) según el llamado principio de superposición: las fuerzas aplicadas sobre la misma

partícula se suman como vectores. Por tanto la fuerza que ejerce una distribución

discreta de cargas puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 con vectores de posición 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 ,

sobre una carga puntual 𝑞0 con vector de posición 𝐫0, es:

𝐅𝑒, 1,2,…,𝑁 0 = 𝐅𝑒,10 + 𝐅𝑒,20 +⋯+ 𝐅𝑒,𝑁0




Ejemplo 1.- Consideremos que las cargas totales positiva y negativa en una moneda

de cobre se pueden separar una distancia tal que su fuerza de atracción sea de 4,5 N.

A qué distancia tendrán que estar si la magnitud de la carga q es 1,3 𝑥 10−5 C?

Ejemplo 2.- Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q1, 20 𝜇C, debida a la carga Q2

− 300 𝜇C, sabiendo que Q1 se sitúa en (0, 1, 2) m y Q2 en (2, 0, 0) m.



Ley de Coulomb

Ejemplo 3.- La siguiente figura muestra tres cargas, q1, q2 y q3. ¿Qué fuerza obra

sobre q1?. Supóngase que 𝑞1 = −1,2 𝑥 10−6 C, 𝑞2 = +3,7 𝑥 10−6 C, 𝑞3 =− 2,3 𝑥 10−6 C, 𝑟12 = 15 cm, 𝑟13 = 10 cm, y 𝜃 = 32°.



Ley de Coulomb

Ejemplo 4.- Cuál es la fuerza resultante sobre la carga colocada en el vértice inferior

izquierdo del cuadrado?. Tome como valores 𝑞 = 1,0 × 10−7C y 𝑎 = 5,0 cm.

Ejemplo 5.- Un cubo de arista 𝑎 tiene una carga punto 𝑞 en cada vértice. Demuestre

que la magnitud de la fuerza resultante en cualquiera de esas cargas es:

𝐹 =0,213𝑞2

𝜀0𝑎2



Ley de Coulomb

Ejemplo 6.- Dos bolas similares de masa 𝑚 se cuelgan de hilos de seda de longitud 𝑙 y llevan cargas similares 𝑞 . Supóngase que 𝜃 es tan pequeña que tan 𝜃 puede

remplazarse por sin 𝜃 por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación

demuestre que:

𝑥 =𝑞2𝑙

2𝜋𝜀0𝑚𝑔

13



Campo Eléctrico creado por cargas puntuales

Al analizar la expresión de la ley de Coulomb para la interacción entre dos cargas

puntuales en reposo, nos encontramos con el problema de la acción de la distancia.

Según la ley de Coulomb, la fuerza electrostática actúa instantáneamente entre cargas

que se encuentran separadas una de la otra, y sin embargo ninguna interacción puede

propagarse a velocidad infinita. La noción de campo eléctrico resuelve este problema.

El campo eléctrico juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las

cargas. Para ello se requiere:

• El cálculo de campos establecidos a partir de distribuciones de cargas dadas.

• El cálculo de las fuerzas que campos dados ejerzan sobre cargas colocadas en

ellos.

Pensamos en función de carga ⇌ campo y no desde el punto de vista de acción a

distancia, en función de carga ⇌ carga.



Definición de Campo Eléctrico

Consideremos una carga puntual 𝑞, con vector de posición 𝐫, que experimenta una

fuerza electrostática 𝐅𝐞 debida a la acción de otra carga puntual 𝑞0 que está en 𝐫0.

Las cargas están arbitrariamente lejos una de la otra. Podemos pensar que la carga

fuente 𝑞0 ha modificado el espacio que la rodea de tal manera que, en cada punto de

este espacio, ha creado un campo eléctrico. Así, la interacción entre la carga fuente

𝑞0 y la carga 𝑞 ya no es una acción a la distancia, sino una interacción de contacto

entre el campo eléctrico que crea 𝑞0 en el punto 𝐫 y la carga 𝑞 que se encuentra

también en ese punto.

1. La carga 𝑞1 produce un campo eléctrico en el

espacio que le rodea.

2. El campo obra sobre la carga 𝑞2, esto se pone de

manifiesto por la fuerza F que experimenta 𝑞2.



Definición de Campo Eléctrico

Para obtener el campo eléctrico creado por 𝑞0 en 𝐫, suponemos que 𝑞 es pequeña

en comparación con 𝑞0, de tal manera que no afecta considerablemente al proceso

de medición de campo eléctrico. Se dice entonces que 𝑞 es una carga de prueba.

Se define el campo eléctrico como la fuerza electrostática 𝐅𝒆 que ejerce 𝑞0 sobre 𝑞,

𝐄 =𝐅𝑒𝑞

es decir, es la fuerza electrostática ejercida sobre una carga de prueba 𝑞 dividida por

la propia carga de prueba.

La unidad SI de campo eléctrico es N

C. Se usa a menudo otra unidad, llamada voltio (V),

tal que 1V = 1N.m. C−1. Con ello, la unidad de campo eléctrico resulta V/m.



Intensidad de campo eléctrico

Cuando la fuente del campo eléctrico es una carga puntual 𝑞0 situada en el punto 𝑃0,

con vector de posición 𝐫0, de la ley de Coulomb se obtiene que el campo eléctrico

𝐄(𝐫) creado por 𝑞0 en el punto P, con vector de posición 𝐫, es:

𝐄 =𝐅𝑒𝑞=

𝑞04𝜋𝜀0𝑟

2𝑃0𝑃

𝐮𝑃0𝑃

𝐄 𝐫 = 𝑘𝑞0𝐮𝑃0𝑃

𝐫 − 𝐫02= 𝑘𝑞0

𝐫 − 𝐫0𝐫 − 𝐫0

3

𝐮𝑃0𝑃 =𝐫 − 𝐫0𝐫 − 𝐫0



Intensidad de campo gravitacional

La definición de campo gravitacional 𝐠 es muy semejante a la de intensidad de campo

eléctrico, salvo que es la masa del cuerpo de prueba y no su carga la propiedad que

interesa. Tanto 𝐠 como 𝐄 se expresan como una fuerza dividida entre una propiedad

(masa o carga) del cuerpo de prueba.

𝐠 =𝐅

𝑚 →

→

m/s2 N/kg ,

N/C

Partícula Símbolo Carga Masa

Protón 𝑝 +𝑒 1,67239 x 10−27 kg

Neutrón 𝑛 0 1,67470 x 10−27 kg

Electrón 𝑒− −𝑒 9,1083 x 10−31 kg

1𝑒 = 1,60206 × 10−19 C 𝐄 =

𝐅𝑒𝑞



Campo Eléctrico

Ejemplo 7.- (a) Cuál es la magnitud de la intensidad de campo eléctrico 𝐄 tal que un

electrón, colocado en el campo, experimenta una fuerza eléctrica igual a su peso?.

(b) Hacia dónde tendría que apuntar 𝐄 para contrarrestar la fuerza gravitacional?



Campo Eléctrico – Distribuciones discretas de cargas puntuales

Para una distribución discreta de cargas puntuales, el campo eléctrico satisface

también, como lo hacía la fuerza electrostática, el principio de superposición,

indicando que los campos eléctricos que actúan en el mismo punto se suman como

vectores. El campo eléctrico creado por una distribución discreta de cargas

puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 , situadas en los puntos 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 , sobre un punto 𝐫 es: :

𝐄 1,2,…,𝑁 𝐫 = 𝐄1 𝐫 + 𝐄2 𝐫 + ⋯+ 𝐄𝑁(𝐫)



Líneas de campo eléctrico

Para representar gráficamente un campo, éste se lo hace a través de las líneas de

campo, que son líneas tangentes al campo en cada punto del espacio. En el caso

eléctrico, estas líneas son también tangentes a la fuerza que experimenta una carga

de prueba en ese punto. Sin embargo, las líneas de campo eléctrico no tiene por qué

coincidir con la trayectoria que seguiría la carga de prueba, ya que la trayectoria no

depende sólo de la aceleración sino también de la velocidad.

La figura muestra varias líneas de campo, donde se

muestran las componentes 𝐸𝑥 y 𝐸𝑦 (esto para el caso de un

campo de dos dimensiones, donde 𝐸𝑧 = 0). Con base a la

geometría, es evidente que:

𝐸𝑦

𝐸𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑥



Líneas de campo eléctrico

La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo es

el siguiente:

1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de 𝐄 en

ese punto.

2. Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de

área de sección transversal sea proporcional a la magnitud 𝐄 . Líneas muy

cercanas, 𝐄 es grande, y líneas muy alejadas, 𝐄 es pequeña.



Campo eléctrico – Distribuciones continuas de carga

En situaciones macroscópicas, la distribución de carga de un cuerpo no se puede

describir adecuadamente como un conjunto discreto de cargas puntuales en su

interior. En lugar de esto, se considera la carga en un cuerpo macroscópico como

una distribución continua en su interior.

Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, el campo eléctrico tiene la

expresión:

𝐄 = 𝑘𝑞𝑛𝐫 − 𝐫𝑛𝐫 − 𝐫𝑛

3

𝑁

𝑛=1

Por extensión, cuando se tiene una distribución continua de carga tenemos →

y 𝑞 → 𝑑𝑞 (𝑑𝑞 ubicada en 𝐫′). Con ello la expresión para el campo queda:

𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′

𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝐫′𝑑𝑞



Distribuciones de Carga – Carga Lineal

En este caso se tiene una densidad lineal 𝜆(𝐫′) [C/m] de modo que el elemento

diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜆 𝐫′ 𝑑𝑙.

𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ 𝜆(𝐫′)

𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝑑𝑙′



Distribuciones de Carga – Carga Superficial

En este caso se tiene una densidad superficial de carga 𝜎(𝐫′) [C/m2] de modo que el

elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜎 𝐫′ 𝑑𝑠.

𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ σ(𝐫′)

𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝑑𝑠

𝑆



Distribuciones de Carga – Carga Volumétrica

Consideremos una distribución de carga en volumen representada por el campo

escalar 𝜌(𝐫′) [ C/m3 ] de modo que el elemento diferencial de carga es

𝑑𝑞 = 𝜌 𝐫′ 𝑑𝑣′.

𝐄 𝐫 = 𝑘 𝐫− 𝐫′ 𝜌

𝐫 − 𝐫′ 3𝑑𝑣′



Cálculo de Campo Eléctrico

Ejemplo 8.- Dipolo Eléctrico.- La siguiente figura muestra una carga positiva y una

carga negativa de igual magnitud 𝑞, separados una distancia 2𝑎, el grupo así formado

se llama dipolo eléctrico. Cuál es el campo E debido a esas cargas en el punto P, a

una distancia 𝑟 según la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas?.

Supóngase que 𝑟 ≫ 𝑎.




Ejemplo 9.- La siguiente figura muestra una carga 𝑞1 = +1,0 × 10−6C a 10 cm de

una carga 𝑞2 = +2,0 × 10−6C. En qué punto de la línea que une las dos cargas es

nula la intensidad de campo eléctrico?




Ejemplo 10.- La siguiente figura muestra un anillo de carga 𝑞 y de radio 𝑎. Calcúlese

E para puntos situados en el eje del anillo a una distancia 𝑥 de su cetro. Considérese

un elemento diferencial del anillo de longitud 𝑑𝑠, localizado en la parte superior del

anillo. Contiene un elemento cuya carga se expresa así:

𝑑𝑞 = 𝑞𝑑𝑠

2𝜋𝑎

Siendo 2𝜋𝑎 la circunferencia del anillo. Este elemento produce un

campo eléctrico diferencial 𝑑𝑬 en el punto P.




Ejemplo 11.- Línea de carga.- La siguiente figura muestra una porción de una línea

infinita de carga cuya densidad lineal de carga (esto es, la carga por unidad de

longitud, medida en C/m) tiene el valor constante 𝜆. Calcúlese el campo E a una

distancia 𝑦 de la línea.



Campo eléctrico - Movimiento de una carga prueba

Conocido el 𝐄 creado por cierta distribución de carga estática, consideraremos el

comportamiento de una carga prueba 𝑞 inmersa en un campo eléctrico.

La segunda ley de Newton establece que una partícula de masa 𝑚 sometida a una

fuerza externa 𝐅 sufre una aceleración 𝐚 = 𝐅/𝑚 . De la definición de campo

eléctrico, la carga de prueba está sometida a una fuerza electrostática 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄. Por

tanto, la aceleración que adquiere debida al campo eléctrico externo es:

𝐚 =𝑞

𝑚𝐄

Siendo 𝑚 la masa de la partícula cargada. Si se conoce el 𝐄 externo y se mide la

aceleración de una carga prueba inmersa en él, la ecuación anterior nos informaría

la relación carga-masa de la partícula.



Movimiento de una carga prueba

Ejemplo 12.- Una partícula de masa 𝑚 y carga 𝑞 se coloca en reposo en un campo

eléctrico uniforme y se suelta. Describa su movimiento.



Energía potencial electrostática

El trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento de una partícula sobre la que

actúa es una medida de lo eficaz que es esa fuerza para que la partícula realice ese

desplazamiento. Cuando la fuerza es conservativa, el trabajo que realiza se relaciona

con la variación de una energía potencia.

Consideremos una carga de prueba 𝑞 que se mueve bajo la influencia del campo

eléctrico 𝐄 creado por cierta distribución de carga. El trabajo que realiza la fuerza

eléctrica 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄 en una trayectoria de la carga de prueba 𝑞 desde el punto A al

punto B es:

𝑊 = 𝐅𝑒 . 𝑑𝐫𝐵

𝐴



Energía potencial electrostática

La fuerza electrostática es conservativa, debido a que el campo electrostático no

depende explícitamente ni de la velocidad de la carga de prueba ni del tiempo. El

trabajo realizado por la fuerza electrostática sobre una carga prueba se escribe

entonces:

𝑊 = − 𝑈𝑒 𝐵 − 𝑈𝑒 𝐴 = −∆𝑈𝑒

Donde 𝑈𝑒 es la energía potencial electrostática. Dado que el campo eléctrico es la

fuerza por unidad de carga, podemos definir la energía potencial por unidad de carga

como:

𝑊 = −𝑞 𝑉 𝐵 − 𝑉(𝐴)

𝑉 =𝑈𝑒𝑞

∆𝑉 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 =−𝑊

𝑞

Potencial electrostático →



Dipolo en un campo eléctrico

El momento de un dipolo eléctrico se puede considerar como un vector 𝐩 cuya

magnitud 𝑝 es el producto 𝑑𝑞 de la magnitud de cualquiera de las cargas 𝑞 por la

distancia 𝑑 entre las cargas. La dirección de 𝐩 para el dipolo es de la carga negativa a

la positiva.

El dipolo se coloca en un campo eléctrico uniforme externo E, su momento de

dipolo 𝐩 forma un ángulo 𝜃 con 𝐄.




Un dipolo eléctrico colocado en un campo eléctrico externo 𝐄 experimenta un

momento que tiende a alinearlo con el campo.

Existe un trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la

orientación de un dipolo eléctrico en un campo externo. Este trabajo queda

almacenado como energía potencial 𝐔 en el sistema formado por el dipolo y el

dispositivo usado para establecer el campo externo.

𝑝 = 𝑑𝑞

𝛕 = 𝐩 × 𝐄

𝑈 = 𝑝𝐸 sin 𝜃 𝑑𝜃𝜃

𝜃0




Ejemplo 13.- Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud

𝑞 = 1,0 × 10−6 C separadas una distancia 𝑑 = 2,0 cm. El dipolo está colocado en un

campo externo de 1,0 × 105 N/C.

a) Cuál es el máximo momento que ejerce el campo en el dipolo?

b) Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta, a

partir de una posición colineal al campo (𝜃 = 0°)?



Ley de Gauss





Flujo Eléctrico y Ley de Gauss


Concepto general de flujo

Flujo de Fluido.- Volumen que cruza una superficie en unidad de tiempo. El

elemento de tiempo no es fundamental al concepto de flujo mientras que la

superficie sí. El concepto general de flujo es algo que cruza una superficie.

Consideremos un campo vectorial 𝐴 definido en todo el espacio y una superficie

cualquiera 𝑆. Se define el flujo Ψ de 𝐴 a través de la superficie 𝑆 como la Integral de

superficie del producto de dos vectores.

Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑠 𝑆

El flujo Ψ es un campo escalar que depende del sentido en

que se escoja el vector unitario 𝑎 𝑛.

𝑑𝑠 = 𝑑𝑠. 𝑎 𝑛

𝑎 𝑛 vector unitario normal a S.



Concepto general de flujo

Para superficies cerradas, se define el flujo Ψ de 𝐴 , como:

Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑆

El símbolo (.) se usará para designar el

producto punto de dos vectores.

Definición producto punto.- Dado dos vectores A y B, el producto punto o

producto escalar se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de

B y el coseno del ángulo menor entre ellos, 𝐀. 𝐁 = 𝐀 𝐁 cos 𝜃𝐴𝐵

Flujo en esfera cerrada



Flujo eléctrico y densidad de flujo

Por definición, el flujo eléctrico Ψ se origina en cargas positivas y termina en cargas

negativas. En ausencia de cargas negativas, el flujo Ψ termina en el infinito. También

por definición, un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo

eléctrico.

Ψ=Q

Mientras el flujo eléctrico Ψ es una cantidad escalar, la densidad de flujo eléctrico D

es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo.

(C)




La densidad de flujo eléctrico 𝐃 es un campo vectorial que pertenece a la clase de

los campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta del tipo de “campos de

fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico 𝐄. La dirección de 𝐃 en

un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto y su magnitud es igual al

número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida

entre el área de la superficie.

𝐃 =𝑑Ψ

𝑑𝑆𝒂 𝑛

A la densidad de flujo se la mide en

C/m2 (unidad algunas veces descrita

como “líneas por metro cuadrado”,

porque cada línea se debe a un

coulomb).




Dado que cada coulomb de carga Q tiene por definición un coulomb de flujo Ψ, el

flujo neto que cruza una superficie cerrada 𝑆 (de una distribución de carga

volumétrica de carga de densidad 𝜌) representa una medida exacta de la carga neta

encerrada.

Sin embargo, la densidad de flujo eléctrico 𝐃 puede variar en magnitud y dirección en

cada punto de 𝑆. En general 𝐃 no estará a lo largo de la normal a 𝑆.

Si en el elemento de superficie 𝑑𝑆, 𝐃 hace un

ángulo 𝜃 con la normal 𝑎 𝑛, entonces el flujo

diferencial que cruza 𝑑𝑆 está dado por:

𝑑Ψ = 𝐷𝑑𝑆 cos 𝜃

= 𝑫. 𝑑𝑆𝑎 𝑛

= 𝑫. 𝑑𝑺



Ley de Gauss

La integración de la expresión 𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒 sobre la superficie cerrada 𝑆 (puesto que

Ψ = 𝑄) da la ley de Gauss, que establece que el flujo total que sale de una superficie

cerrada es igual a la carga neta contenida dentro de la superficie.

𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑐

𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒



Flujo de campo eléctrico Para un campo de flujo, el flujo (Ψ) se

mide por el número de líneas de

corriente que atraviesan la superficie.

Para un campo eléctrico, el flujo (Ψ𝐸) se

mide por el número de líneas de fuerza

que atraviesan la superficie.

Para superficies cerradas, el Ψ𝐸 es

positivo si las líneas de fuerza apuntan

hacia afuera en todos lados y negativo si

apuntan hacia dentro.

Ψ𝐸 es positiva para la superficie 𝑆1.

Ψ𝐸 es negativa para la superficie 𝑆2.



Flujo de campo eléctrico

Para entender el significado de flujo, consideremos una superficie hipotética donde se

han dibujado algunas líneas eléctricas correspondientes a un campo uniforme y que

atraviesan una superficie plana de área S.

1. El número N de líneas de campo que atraviesan una superficie es proporcional al

campo, pues la intensidad de campo viene determinada por la densidad numérica

de las líneas.

2. El número de líneas ha de ser proporcional al área S de la superficie, pues a

mayor área, más líneas atraviesan la superficie.

3. El número de líneas depende de la orientación de la superficie, para ello se

considera un vector unitario normal 𝐚 𝑛 perpendicular a la superficie y hacia

afuera en cada punto.




Se considera una superficie dividida en

cuadrados infinitesimales, siendo 𝐄 constante

en todos los puntos de un cuadrado dado.

Los vectores 𝐄 y Δ𝐒 que caracterizan a cada

cuadrado forman un ángulo 𝜃 entre sí.

En forma semicuantitativa se define el flujo:

Ψ𝐸 ≅ 𝐄. ∆𝐒

Ψ𝐸 = 𝐄. 𝑑𝐒




Ejemplo 14.- La siguiente figura muestra un cilindro hipotético de radio R colocado

dentro de un campo eléctrico uniforme E, estando el eje del cilindro paralelo al

campo. ¿Cuál es el Ψ𝐸 para esta superficie cerrada?



Relación entre la densidad de flujo y la intensidad de campo eléctrico

Considérese una carga puntual 𝑄 (positiva para simplificar) localizada en el origen. Si

está encerrada por una superficie esférica de radio 𝑟, entonces por simetría, 𝐃

debida a 𝑄 es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a

ella. La ley de Gauss establece:

𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄 𝑄 = 𝐷 𝑑𝑆 = 𝐷(4𝜋𝑟2)

𝐷 =𝑄

4𝜋𝑟2

Se conoce que la intensidad de campo eléctrico

debido a Q es:

→

𝐄 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑟2 𝐚𝑟

Se concluye: 𝐃 = 𝜀0𝐄



Ley de Gauss

La Ley de Gauss resume todo esto: el flujo eléctrico a través de una superficie

cerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella (𝑄𝑖𝑛𝑡) dividida por 𝜖0.

𝐄. 𝑑𝐒 =𝑄𝑖𝑛𝑡𝜀0𝑆

Ψ𝐸 a través de la superficie S es 𝑄1

𝜀0 ,

siendo 𝑄1 la carga encerrada por la

superficie.

El resto de la carga, que es 𝑄 − 𝑄1, es

una fuente de líneas de campo que no

atraviesan la superficie, o que la

atraviesan un número par de veces, de

modo que esta carga no contribuye al

flujo.



Aplicaciones de la ley de Gauss

Ejemplo 15.- Tres cargas puntuales, 𝑄1 = 30nC, 𝑄2 = 150nC y 𝑄3 = −70nC, están

encerradas por una superficie S, ¿Qué flujo neto cruza por S?.

Ejemplo 16.- Hallar la carga en el volumen definido por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1m, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1m y

0 ≤ 𝑧 ≤ 1m, si 𝜌 = 30𝑥2𝑦 (μC/m3). ¿Qué ocurre para los límites −1 ≤ 𝑦 ≤ 0m?

Ejemplo 17.- Una carga puntual 𝑄 = 30nC está localizada en el origen de las

coordenadas cartesianas. Hallar la densidad de flujo eléctrico 𝐃 en (1, 3, -4) m.

Ejemplo 18.- Dos cargas lineales uniformes idénticas yacen a lo largo de los ejes 𝑥 y

𝑦 con densidades de carga 𝜌𝑙 = 20μC/m. Obtenga 𝐃 en (3, 3, 3) m.



Aplicaciones de la ley de Gauss

Ejemplo 19.- Campo creado por una esfera homogénea.- La siguiente figura muestra

una distribución de carga esférica de radio R. La densidad de carga 𝑝 (carga por

unidad de volumen, C/m3) en cualquier punto depende sólo de la distancia del punto

al centro y no de la dirección, condición que se llama simetría esférica. Encuéntrese

una expresión para 𝐄 para puntos (a) fuera y (b) dentro de la distribución de carga.



Ley de Gauss

Ejemplo 20.- Una lámina de carga.- La siguiente figura muestra una porción una

lámina no conductora delgada infinita de carga; la densidad superficial de carga 𝜎

(carga por unidad de área, C m2 ) es constante. Cuál es E a una distancia 𝑟 enfrente

del plano?

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