Teoría de colassded8e775b5b1b6c6.jimcontent.com/download/version...Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson QEs una distribución discreta empleada con mucha frecuencia

TeorTeoríía de Colasa de Colaso Filas de Esperao Filas de Espera

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

Investigación de Operaciones

M. En C. Eduardo Bustos Farías 2

Introducción

Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema.

Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema



TEORIA DE COLASTEORIA DE COLASCOLAS MAS COMUNESCOLAS MAS COMUNES

SITIOSITIO ARRIBOS EN COLAARRIBOS EN COLA SERVICIOSERVICIO

SupermercadoSupermercado CompradoresCompradores Pago en cajas Pago en cajas

PeajePeaje VehVehíículosculos Pago de peajePago de peaje

ConsultorioConsultorio PacientesPacientes ConsultaConsulta

Sistema de CSistema de Cóómputomputo Programas a ser Programas a ser corridoscorridos

Proceso de datosProceso de datos

CompaCompañíñía de tela de telééfonosfonos LlamadasLlamadas Efectuar comunicaciEfectuar comunicacióónn

BancoBanco ClientesClientes DepDepóósitos y Cobrossitos y Cobros

MantenimientoMantenimiento MMááquinas daquinas daññadasadas ReparaciReparacióónn

MuelleMuelle BarcosBarcos Carga y descargaCarga y descarga



Introducción

Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces:

a) los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y

b) las llegadas de las transacciones al sistema.

Debido a que las variables están fuera del control del

tomador de decisiones, será necesario realizar el

modelado utilizando procesos estocásticos.



Esquema Líneas de Espera

Población o Fuente deEntrada deClientesAl Sistema

Instalacionesde Servicio

SISTEMA

Clientes Servidossalen del Sistema

de Servicio y vuelven a laPoblación

Algunos Clientespueden no entrar

al sistema deServicio

Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos



Definición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un

proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se

define como el número de transacciones en el

sistema en un momento dado.

El conjunto de valores que puede tomar dicha variable

es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene

asociada una Probabilidad de ocurrencia {P0, P1,

P2........, PN }



Objetivo del EstudioDeterminar el nivel de desempeño del sistema:

• Cantidad de entidades presente

• Velocidad del Servicio en el sistema

Interesa minimizar el costo total del sistema

Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por

tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del

sistema.

Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los

salarios, energía, mantención, etc.



Sistemas de colas: modelo bSistemas de colas: modelo báásicosico

Las llegadas van a la instalaciLas llegadas van a la instalacióón del n del servicio de acuerdo con la disciplina servicio de acuerdo con la disciplina de la colade la colaGeneralmente Generalmente éésta es sta es primero en primero en llegar, primero en ser servidollegar, primero en ser servidoPero pueden haber otras reglas o Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridadescolas con prioridades



Sistemas de colas: modelo bSistemas de colas: modelo báásicosico

Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalación

del servicio

Disciplinade la cola

Salidas



Estructuras tEstructuras tíípicas de sistemas de picas de sistemas de colas: una lcolas: una líínea, un servidornea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas



Estructuras tEstructuras tíípicas de sistemas de picas de sistemas de colas: una lcolas: una líínea, mnea, múúltiples servidoresltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas



Estructuras tEstructuras tíípicas de colas: varias picas de colas: varias llííneas, mneas, múúltiples servidoresltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola



Estructuras tEstructuras tíípicas de colas: una picas de colas: una llíínea, servidores secuencialesnea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor



Costos de un sistema de colasCostos de un sistema de colas

1.1. Costo de espera: Es el costo para Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperarel cliente al esperarRepresenta el costo de Representa el costo de oportunidad del tiempo perdidooportunidad del tiempo perdidoUn sistema con un bajo costo de Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante espera es una fuente importante de competitividadde competitividad



Costos de un sistema de colasCostos de un sistema de colas

2.2. Costo de servicio: Es el costo de Costo de servicio: Es el costo de operacioperacióón del servicio brindadon del servicio brindadoEs mEs máás fs fáácil de estimarcil de estimar

–– El objetivo de un sistema de El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del colas es encontrar el sistema del costo total mcosto total míínimonimo



Objetivo del estudioMatemáticamente :

Min {Ct} = Ce S + C q Lq

dondeS = 1,2,3,4.........Lq= f {S,E(t),.......}

Donde:S: Número de entidades que proporcionan servicio

(servidores).E(t): tiempo promedio de Servicio.Lq: : Número de transacciones en espera.Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.Ct : Costo total por unidad de tiempo



Optimización de Costos

No. de Servidores

Costo de servicio

Ce.S

Costo de servicio

Ct

Costo de espera

Cq.Lq

$/tiempo

Ct mínimo

S*



Sistemas de colas: Las Sistemas de colas: Las llegadasllegadas

El tiempo que transcurre entre dos El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadascolas se llama tiempo entre llegadasEl tiempo entre llegadas tiende a ser El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variablemuy variableEl nEl núúmero esperado de llegadas por mero esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (de llegadas (λλ))




El tiempo esperado entre llegadas es El tiempo esperado entre llegadas es 1/1/λλPor ejemplo, si la tasa media de Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es llegadas es λλ = 20 clientes por hora= 20 clientes por horaEntonces el tiempo esperado entre Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/llegadas es 1/λλ = 1/20 = 0.05 horas o 3 = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutosminutos




AdemAdemáás es necesario estimar la s es necesario estimar la distribucidistribucióón de probabilidad de los n de probabilidad de los tiempos entre llegadastiempos entre llegadasGeneralmente se supone una Generalmente se supone una distribucidistribucióón exponencialn exponencialEsto depende del comportamiento Esto depende del comportamiento de las llegadasde las llegadas



Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas ––DistribuciDistribucióón exponencialn exponencial

Media Tiempo0

P(t)



Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas ––DistribuciDistribucióón exponencialn exponencial

La distribuciLa distribucióón exponencial supone n exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeentre llegadas pequeññososEn general, se considera que las En general, se considera que las llegadas son aleatoriasllegadas son aleatoriasLa La úúltima llegada no influye en la ltima llegada no influye en la probabilidad de llegada de la probabilidad de llegada de la siguientesiguiente

Proceso de llegada a la cola.Proceso de llegada a la cola.

-- Existen 2 tipos de procesos de llegada:Existen 2 tipos de procesos de llegada:* Proceso de llegada * Proceso de llegada deterministicodeterministico..* Proceso de llegada aleatoria.* Proceso de llegada aleatoria.

-- El proceso aleatorio es mEl proceso aleatorio es máás coms comúún en la empresa.n en la empresa.

-- Bajo tres condiciones, una distribuciBajo tres condiciones, una distribucióón n PoissonPoisson puede puede describir el proceso aleatorio.describir el proceso aleatorio.

Las tres condiciones necesarias para la existencia del Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada proceso de llegada PoissonPoisson ::

* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola duranteun intervalo de tiempo.un intervalo de tiempo.

* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la * Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.

* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia * Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.sobre la llegada de otro.

-- Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.en muchas situaciones.

DistribuciDistribucióón de llegada n de llegada PoissonPoisson

P X k ek !

= =λ λt) k t

( ) ( −

Donde:λ = esperanza de llegada de un cliente por

unidad de tiempo

t = intervalo de tiempo.

e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).



Sistemas de colas: Las llegadas Sistemas de colas: Las llegadas --DistribuciDistribucióón de n de PoissonPoisson

Es una distribuciEs una distribucióón discreta empleada n discreta empleada con mucha frecuencia para describir con mucha frecuencia para describir el patrel patróón de las llegadas a un sistema n de las llegadas a un sistema de colasde colasPara tasas medias de llegadas Para tasas medias de llegadas pequepequeññas es asimas es asiméétrica y se hace trica y se hace mmáás sims siméétrica y se aproxima a la trica y se aproxima a la binomialbinomial para tasas de llegadas altaspara tasas de llegadas altas




Su forma algebraica es:Su forma algebraica es:

Donde:Donde:–– P(kP(k)) : probabilidad de k llegadas : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempopor unidad de tiempo

––λλ : tasa media de llegadas: tasa media de llegadas–– ee = = 2,71828182,7182818……

!)(

kekP

k λλ −

=




Llegadas por unidad de tiempo0

P



Sistemas de colas: La colaSistemas de colas: La cola

El nEl núúmero de clientes en la cola es el mero de clientes en la cola es el nnúúmero de clientes que esperan el mero de clientes que esperan el servicioservicioEl nEl núúmero de clientes en el sistema es mero de clientes en el sistema es el nel núúmero de clientes que esperan en la mero de clientes que esperan en la cola mcola máás el ns el núúmero de clientes que mero de clientes que actualmente reciben el servicioactualmente reciben el servicio



Sistemas de colas: La colaSistemas de colas: La cola

La capacidad de la cola es el La capacidad de la cola es el nnúúmero mmero mááximo de clientes que ximo de clientes que pueden estar en la colapueden estar en la colaGeneralmente se supone que la Generalmente se supone que la cola es infinitacola es infinitaAunque tambiAunque tambiéén la cola puede ser n la cola puede ser finitafinita



Sistemas de colas: La colaSistemas de colas: La colaLa disciplina de la cola se refiere al La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el miembros de la cola para comenzar el servicioservicioLa mLa máás coms comúún es PEPS: primero en n es PEPS: primero en llegar, primero en serviciollegar, primero en servicioPuede darse: selecciPuede darse: seleccióón aleatoria, n aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras.prioridades, UEPS, entre otras.



Sistemas de colas: El servicioSistemas de colas: El servicio

El servicio puede ser brindado por un El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores mservidor o por servidores múúltiplesltiplesEl tiempo de servicio varEl tiempo de servicio varíía de cliente a a de cliente a clienteclienteEl tiempo esperado de servicio depende El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (de la tasa media de servicio (μμ))




El tiempo esperado de servicio El tiempo esperado de servicio equivale a 1/equivale a 1/μμPor ejemplo, si la tasa media de Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por horaservicio es de 25 clientes por horaEntonces el tiempo esperado de Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/servicio es 1/μμ = 1/25 = 0.04 = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutoshoras, o 2.4 minutos



Sistemas de colas: El servicioSistemas de colas: El servicioEs necesario seleccionar una Es necesario seleccionar una distribucidistribucióón de probabilidad para los n de probabilidad para los tiempos de serviciotiempos de servicioHay dos distribuciones que Hay dos distribuciones que representarrepresentaríían puntos extremos:an puntos extremos:––La distribuciLa distribucióón exponencial n exponencial ((σσ=media)=media)

––Tiempos de servicio constantes Tiempos de servicio constantes ((σσ=0)=0)




Una distribuciUna distribucióón intermedia es la n intermedia es la distribucidistribucióón n ErlangErlangEsta distribuciEsta distribucióón posee un n posee un parparáámetro de forma metro de forma kk que que determina su desviacidetermina su desviacióón estn estáándar:ndar:

mediak

1=σ




Si Si kk = 1, entonces la distribuci= 1, entonces la distribucióón n ErlangErlang es igual a la exponenciales igual a la exponencial

Si Si kk = = ∞∞, entonces la distribuci, entonces la distribucióón n Erlang es igual a la distribuciErlang es igual a la distribucióón n degenerada con tiempos degenerada con tiempos constantesconstantesLa forma de la distribuciLa forma de la distribucióón n ErlangErlangvarvaríía de acuerdo con a de acuerdo con kk




Media Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1 k = 2

k = 8



Sistemas de colas:Sistemas de colas:DistribuciDistribucióón n ErlangErlang

DistribuciDistribucióónn DesviaciDesviacióón estn estáándarndar

ConstanteConstante 00

ErlangErlang, , kk = 1= 1 mediamedia

ErlangErlang, , kk = 2= 2

ErlangErlang, , kk = 4= 4 1/2 1/2 mediamedia

ErlangErlang, , kk = 8= 8

ErlangErlang, , kk = 16= 16 1/4 1/4 mediamedia

ErlangErlang, cualquier , cualquier kk

media2/1

media8/1

mediak/1

HARDWARE HANKHARDWARE HANK’’SS

Un problema que ilustra la distribuciUn problema que ilustra la distribucióón n PoissonPoisson..

-- Los clientes llegan a Los clientes llegan a HankHank’’ss de acuerdo a una distribucide acuerdo a una distribucióón n Poisson.Poisson.

-- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes alEntre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes allocal comercial.local comercial.

-- ¿¿CuCuáál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre l es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la malas 8:00 y las 8:30 de la maññana?ana?

SOLUCIONSOLUCION

P X k ek

( ) (!

= =−λ λt) k t

0

00

0

0

0

0

0

00 =

0

0!0.049787

0

11!

1

0.14936122

2!0.2240423

3

3!0.224042

Valores de entrada para la Dist. Valores de entrada para la Dist. PoissonPoissonλλ= 6 clientes por hora.= 6 clientes por hora.t = 0.5 horas.t = 0.5 horas.λλ t = (6)(0.5) = 3.t = (6)(0.5) = 3.

1 2 3 4 5 6 7 8

La fila de espera.La fila de espera.

-- Factores que influyen en el modelo de colas:Factores que influyen en el modelo de colas:

* Configuraci* Configuracióón de la filan de la fila* Tramposos* Tramposos* Contrariedades* Contrariedades* Prioridades* Prioridades* Colas * Colas TTáándemndem (simult(simultááneas)neas)* Homogeneidad.* Homogeneidad.

-- ConfiguraciConfiguracióón de la filan de la fila* Una sola cola de servicio* Una sola cola de servicio* M* Múúltiples colas de servicio con una sola fila de esperaltiples colas de servicio con una sola fila de espera* M* Múúltiples colas de servicio con mltiples colas de servicio con múúltiples filas de espera.ltiples filas de espera.* Colas * Colas TTáándemndem (sistema de servicios m(sistema de servicios múúltiples)ltiples)

-- TrampososTramposos* Corresponden a clientes que se mueven a trav* Corresponden a clientes que se mueven a travéés de la cola sin s de la cola sin seguir los criterios de avance.seguir los criterios de avance.

-- ContrariedadesContrariedades* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque * Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.perciben que esta es demasiada larga.

-- Reglas de prioridadReglas de prioridad* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Estas reglas seleccionan el pr* Estas reglas seleccionan el próóximo cliente en ser atendidoximo cliente en ser atendido* Criterios de selecci* Criterios de seleccióón comn comúúnmente usados:nmente usados:

-- Primero en entrar primero en salir (FIFO).Primero en entrar primero en salir (FIFO).-- Ultimo en entrar primero en salir (LIFO).Ultimo en entrar primero en salir (LIFO).-- Tiempo estimado de atenciTiempo estimado de atencióónn-- AtenciAtencióón de clientes aleatoria.n de clientes aleatoria.

-- HomogeneidadHomogeneidad* Una poblaci* Una poblacióón homogn homogéénea de clientes es aquella en la cual nea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.* Una poblaci* Una poblacióón no homogn no homogéénea es aquella en la cual los nea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo :clientes pueden ser ordenados de acuerdo :

+ A los patrones de llegada+ A los patrones de llegada+ Al tipo de servicio requerido.+ Al tipo de servicio requerido.

El proceso de servicioEl proceso de servicio

-- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atenciatencióón fijo.n fijo.

-- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atenciSin embargo, en muchos casos, el tiempo de atencióón varn varíía de a de acuerdo a la cantidad de clientes.acuerdo a la cantidad de clientes.

-- Cuando el tiempo de atenciCuando el tiempo de atencióón varn varíía, este se trata como una a, este se trata como una variable aleatoria.variable aleatoria.

-- La distribuciLa distribucióón exponencial es usada, en algunos casos, para n exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atencimodelar el tiempo de atencióón del cliente.n del cliente.

DistribuciDistribucióón exponencial del tiempo de atencin exponencial del tiempo de atencióónn

f(X) = μe-μX

donde μ = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo.

Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”

P(X t) = 1 - e-μt≤

Ilustración esquemática de la distribución exponencial

Probabilidad de que la atención sea completadadentro de “ t “ unidades de tiempo

X = t

f(X)

Probabilidad de que la atención sea completadadentro de “ t “ unidades de tiempo

Medida del desempeMedida del desempeñño de los o de los sistemas de colassistemas de colas

El desempeEl desempeñño puede ser medido o puede ser medido concentrandoseconcentrandose en:en:

-- Los clientes en la colaLos clientes en la cola-- Los clientes en el sistemaLos clientes en el sistema

Los perLos perííodos transitorios y estodos transitorios y estááticos complican el ticos complican el ananáálisis del tiempo de atencilisis del tiempo de atencióón.n.

Un perUn perííodo transitorio ocurre al inicio de la operaciodo transitorio ocurre al inicio de la operacióón.n.-- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un laUn comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo rgo perperííodo de ejecuciodo de ejecucióón.n.

Un perUn perííodo estacionario sigue al perodo estacionario sigue al perííodo transitorio.odo transitorio.-- En un perEn un perííodo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el odo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.

-- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor quDe acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que e suma de las tasas de atencisuma de las tasas de atencióón efectiva.n efectiva.

λ< μ λ< μλ< μ λ< μ1 1 +μ+μ22++……+μ+μκκ λ< λ< kkμμPara un servidorPara un servidor Para k servidoresPara k servidores Para k servidores Para k servidores

con tasa se serv. con tasa se serv. μμcada unocada uno

Medida del desempeMedida del desempeñño en pero en perííodos estacionarios.odos estacionarios.

PP0 0 = Probabilidad de que no existan clientes en el = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.sist.PPnn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.L = nL = núúmero de clientes promedio en el sistema.mero de clientes promedio en el sistema.LLqq = n= núúmero de clientes promedio en la cola.mero de clientes promedio en la cola.W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en

el sistema.el sistema.WWqq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en

la cola.la cola.PPww = Probabilidad de que un cliente que llega deba = Probabilidad de que un cliente que llega deba

esperar para ser atendido.esperar para ser atendido.ρ ρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo

que cada servidor es ocupado).que cada servidor es ocupado).

FFóórmulasrmulas

-- Las fLas fóórmulas representan las relaciones entre L, rmulas representan las relaciones entre L, LLqq, W, y , W, y WWqq..

-- Estas fEstas fóórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las rmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:siguientes condiciones:* Sistemas de colas simples* Sistemas de colas simples* Los clientes llegan seg* Los clientes llegan segúún una tasa finita de llegadan una tasa finita de llegada* El sistema opera bajo las condiciones de per* El sistema opera bajo las condiciones de perííodos odos

estacionarios. estacionarios.

L =L = λ λ W W LLqq = = λλ WWqq L = L = LLqq + + λ λ // μμ

Para el caso de una poblaciPara el caso de una poblacióón infinita.n infinita.

ClasificaciClasificacióón de las colas.n de las colas.

-- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de atenci+ Proceso de atencióónn+ N+ Núúmero de servidoresmero de servidores+ Tama+ Tamañño (o (lineaslineas de espera finitas/infinitas)de espera finitas/infinitas)+ Tama+ Tamañño de la poblacio de la poblacióónn

-- NotaciNotacióónn+ M (+ M (MarkovianMarkovian)= Proceso de llegada )= Proceso de llegada PoissonPoisson o tiempo de o tiempo de

atenciatencióón exponencial.n exponencial.+D (+D (DeterminDeterminíísticostico) = Tasa constante de llegada o de atenci) = Tasa constante de llegada o de atencióónn+G (General) = Probabilidad general de llegada o de +G (General) = Probabilidad general de llegada o de

atenciatencióónn

Ejempo:

M / M / 6 / 10

Ejempo:

M / M / 6 / 10

Sistema de colas M/M/1Sistema de colas M/M/1

CaracterCaracteríísticassticas

-- Proceso de llegada Proceso de llegada PoissonPoisson..-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmenten se distribuye exponencialmente-- Existe un solo servidorExiste un solo servidor-- Cola de capacidad infinitaCola de capacidad infinita-- PoblaciPoblacióón infinita.n infinita.

Medidas de desempeMedidas de desempeñño para la cola o para la cola M / M /1 M / M /1

PP00 = 1= 1-- ((λλ // μμ))PPnn = [1 = [1 -- ((λλ // μμ)] ()] (λλ// μμ))nn

L = L = λλ // ((μμ -- λλ))LLqq = = λλ 22 // [[μμ((μμ -- λλ)])]W = 1 W = 1 // ((μμ -- λλ))WWqq = = λλ // [[μμ((μμ -- λλ)])]PPww = = λλ // μμρ ρ = = λλ // μμ

La probabilidad de queun cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-(μ - λ)t

ZapaterZapateríía a MaryMary’’ss

Los clientes que llegan a la zapaterLos clientes que llegan a la zapateríía a MaryMary’’ss son en son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucipromedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucióón n Poisson.Poisson.

El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmente n se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las La gerencia esta interesada en determinar las medidas de medidas de performanceperformance para este servicio.para este servicio.

SOLUCIONSOLUCION

–– Datos de entradaDatos de entradaλλ = 1= 1// 12 clientes por minuto = 6012 clientes por minuto = 60// 12 = 5 por 12 = 5 por hora.hora.μ μ = 1= 1/ / 8 clientes por minuto = 608 clientes por minuto = 60// 8 = 7.5 8 = 7.5

por hora.por hora.

–– Calculo del Calculo del performanceperformanceP0 = 1- (λ / μ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333Pn = [1 - (λ / μ)] (λ/ μ) = (0.3333)(0.6667)n

L = λ / (μ - λ) = 2Lq = λ2/ [μ(μ - λ)] = 1.3333W = 1 / (μ - λ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = λ / [μ(μ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos

P0 = 1- (λ / μ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333Pn = [1 - (λ / μ)] (λ/ μ) = (0.3333)(0.6667)n

L = λ / (μ - λ) = 2Lq = λ2/ [μ(μ - λ)] = 1.3333W = 1 / (μ - λ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = λ / [μ(μ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos

Pw = λ / μ = 0.6667

ρ = λ / μ = 0.6667



USANDO WINQSBUSANDO WINQSB



Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB

μ

λ

Medidas de desempeñoMedidas de desempeñoMedidas de desempeñoMedidas de desempeño

Medidas de desempeñoMedidas de desempeñoMedidas de desempeñoMedidas de desempeño

Medidas de desempeñoMedidas de desempeño

Sistema de cola M/M/kSistema de cola M/M/k

CaracterCaracteríísticassticas

-- Clientes llegan de acuerdo a una distribuciClientes llegan de acuerdo a una distribucióón n PoissonPoisson con una con una

esperanza esperanza λ.λ.-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmente.n se distribuye exponencialmente.

-- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de μ μ clientes.clientes.-- Existe una poblaciExiste una poblacióón infinita y la posibilidad de n infinita y la posibilidad de infinitas filas.infinitas filas.

Medidas de Medidas de performanceperformance

P

n kk

k

n k

n

k0

0

1

11 1

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑

=

−

! !λ

μλ

μμ

μ λ

Pn

P

k kP

n

n

n

n k

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

λμ

λμ

!

!

0

0

for n k.

P for n > k.n

Para n<= k

Para n > k

( ) ( )W

k kP

k

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −+

λμ μ

μ λ μ11

2 0!

Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas por las formulas.

Pk

kk

Pw

k

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10!

λμ

μμ λ

ρλμ

=k

OFICINA POSTAL TOWNOFICINA POSTAL TOWN

La oficina postal La oficina postal TownTown atiende patiende púúblico los Sblico los Sáábados bados entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.

DatosDatos-- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este perdurante este perííodo. La oficina tiene tres dependientes.odo. La oficina tiene tres dependientes.

-- Cada atenciCada atencióón dura 1.5 minutos en promedio.n dura 1.5 minutos en promedio.

-- La distribuciLa distribucióón n PoissonPoisson y exponencial describen la llegada de y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atencilos clientes y el proceso de atencióón de estos respectivamente.n de estos respectivamente.

La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:

– La evaluación del nivel de servicio prestado.

– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:

– La evaluación del nivel de servicio prestado.

– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Datos de entradaDatos de entrada

λ = λ = 100 clientes por hora.100 clientes por hora.μ = μ = 40 clientes por hora (60 40 clientes por hora (60 / / 1.5).1.5).

¿¿Existe un perExiste un perííodo estacionario (odo estacionario (λ λ < < kkμμ )?)?

λ = λ = 100 < 100 < kkμμ = 3= 3(40) = 120.(40) = 120.



USANDO EL WINQSBUSANDO EL WINQSB



Sistemas de colas M/G/1Sistemas de colas M/G/1

SupuestosSupuestos-- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Los clientes llegan de acuerdo a un proceso PoissonPoisson con con esperanza esperanza λ. λ.

−− El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón tiene una distribucin tiene una distribucióón general con n general con

esperanza esperanza μ.μ.

−− Existe un solo servidor.Existe un solo servidor.

-- Se cuenta con una poblaciSe cuenta con una poblacióón infinita y la posibilidad de n infinita y la posibilidad de infinitas filas.infinitas filas.

Formula para L de Formula para L de PollaczekPollaczek -- KhintchineKhintchine..

-- Nota : No es necesario conocer la distribuciNota : No es necesario conocer la distribucióón particular del n particular del tiempo de atencitiempo de atencióón. Solo la esperanza y la desviacin. Solo la esperanza y la desviacióón estn estáándarndarson necesarias.son necesarias.

( )L =

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

22

2 1

λ σ λμ

λμ

λμ

TALLER DE REPARACIONES TEDTALLER DE REPARACIONES TED

TedTed repara televisores y videograbadoras.repara televisores y videograbadoras.DatosDatos-- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas.2.25 horas.-- La desviaciLa desviacióón estn estáándar del tiempo de reparacindar del tiempo de reparacióón es de 45 n es de 45 minutos.minutos.-- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribuciacuerdo a una distribucióón n PoissonPoisson..-- TedTed trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.-- El compra todos los repuestos necesarios.El compra todos los repuestos necesarios.

+ En promedio, el tiempo de reparaci+ En promedio, el tiempo de reparacióón esperado debern esperado deberíía a ser de 2 horas.ser de 2 horas.+ La desviaci+ La desviacióón estn estáándar esperada deberndar esperada deberíía ser de 40 a ser de 40 minutos.minutos.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para:1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos;2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para:1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos;2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atenciSe trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atencióón n no es exponencial pues no es exponencial pues σσ == 11//μμ).).DatosDatos–– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)

λ λ = 1= 1// 2.5 = 0.4 clientes por hora.2.5 = 0.4 clientes por hora.μμ = 1= 1// 2.25 = 0.4444 clientes por hora.2.25 = 0.4444 clientes por hora.σ σ = 45= 45// 60 = 0.75 horas.60 = 0.75 horas.

–– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)μ μ = 1= 1//2 = 0.5 clientes por hora.2 = 0.5 clientes por hora.σ σ = 40= 40/ / 60 = 0.6667 horas.60 = 0.6667 horas.

Sistemas de colas M/M/k/FSistemas de colas M/M/k/F

Se deben asignar muchas colas, cada una de un Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamacierto tamañño lo líímite.mite.

Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunque de cola infinito entrega un resultado exacto, aunque de todas formas la cola debe ser limitada.todas formas la cola debe ser limitada.

Cuando una cola es demasiado pequeCuando una cola es demasiado pequeñña, se debe a, se debe estimar un lestimar un líímite para la fila en el modelo.mite para la fila en el modelo.

CaracterCaracteríísticas del sistema M/M/k/Fsticas del sistema M/M/k/F

-- La llegada de los clientes obedece a una distribuciLa llegada de los clientes obedece a una distribucióón n PoissonPoissoncon una esperanza con una esperanza λ.λ.

-- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atenciExisten k servidores, para cada uno el tiempo de atencióón se n se distribuye exponencialmente, con esperanza distribuye exponencialmente, con esperanza μ.μ.

−− El nEl núúmero mmero mááximo de clientes que puede estar presente en el ximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es sistema en un tiempo dado es ““FF””..

-- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.completo.

Tasa de llegada efectiva.Tasa de llegada efectiva.

-- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.

-- La probabilidad de que el sistema se complete es La probabilidad de que el sistema se complete es PPFF..

-- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema en el sistema ((λλee).).

λe = λ(1 - PF)

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE TECHADOS RYANA DE TECHADOS RYAN

RyanRyan atiende a sus clientes, los cuales llaman y atiende a sus clientes, los cuales llaman y ordenan su servicio.ordenan su servicio.

DatosDatos

-- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 lUna secretaria recibe las llamadas desde 3 lííneas telefneas telefóónicas.nicas.

-- Cada llamada telefCada llamada telefóónica toma tres minutos en promedionica toma tres minutos en promedio

-- En promedio, diez clientes llaman a la compaEn promedio, diez clientes llaman a la compañíñía cada hora.a cada hora.

Cuando una lCuando una líínea telefnea telefóónica esta disponible, pero la nica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada, el secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada, el cliente debe esperar en lcliente debe esperar en líínea hasta que la secretaria nea hasta que la secretaria este disponible. este disponible.

Cuando todas las lCuando todas las lííneas estneas estáán ocupadas los clientes n ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia.optan por llamar a la competencia.

El proceso de llegada de clientes tiene una El proceso de llegada de clientes tiene una distribucidistribucióón n PoissonPoisson, y el proceso de atenci, y el proceso de atencióón se n se distribuye exponencialmente.distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseLa gerencia desea diseññar el siguiente sistema con:ar el siguiente sistema con:

-- La menor cantidad de lLa menor cantidad de lííneas necesarias.neas necesarias.

-- A lo mA lo máás el 2% de las llamadas encuentren las ls el 2% de las llamadas encuentren las lííneas ocupadas.neas ocupadas.

La gerencia esta interesada en la siguiente informaciLa gerencia esta interesada en la siguiente informacióón:n:

El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.

EL nEL núúmero promedio de clientes que estmero promedio de clientes que estáán es espera.n es espera.

El tiempo promedio que los clientes permanecen en lEl tiempo promedio que los clientes permanecen en líínea esperando ser nea esperando ser

atendidos.atendidos.

El porcentaje actual de llamadas que encuentran las lEl porcentaje actual de llamadas que encuentran las lííneas ocupadas.neas ocupadas.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 Datos de entradaDatos de entrada

λλ = 10 por hora.= 10 por hora.μμ = 20 por hora (1= 20 por hora (1// 3 por minuto).3 por minuto).

–– WINQSB entrega: WINQSB entrega: PP0 0 = 0.533, P= 0.533, P11 = 0.133, P= 0.133, P33 = 0.06= 0.06

6.7% de los clientes encuentran las l6.7% de los clientes encuentran las lííneas neas ocupadas.ocupadas.

Esto es alrededor de la meta del 2%.Esto es alrededor de la meta del 2%.

sistema M / M / 1 / 4

P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032

3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadasAún se puede alcanzar la meta del 2%

sistema M / M / 1 / 5

P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032P5 = 0.016

1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadasLa meta del 2% puede ser alcanzada.

Datos de entrada para WINQSB Datos de entrada para WINQSB

Otros resultados de WINQSBOtros resultados de WINQSB

Con 5 líneas telefónicas 4 clientes pueden esperar en línea

Sistemas de colas M/M/1//mSistemas de colas M/M/1//mEn este sistema el nEn este sistema el núúmero de clientes potenciales es mero de clientes potenciales es finito y relativamente pequefinito y relativamente pequeñño.o.

Como resultado, el nComo resultado, el núúmero de clientes que se mero de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes.llegada de clientes.

CaracterCaracteríísticassticas-- Un solo servidorUn solo servidor-- Tiempo de atenciTiempo de atencióón exponencial y proceso de llegada n exponencial y proceso de llegada PoissonPoisson..-- El tamaEl tamañño de la poblacio de la poblacióón es de m clientes (m finito).n es de m clientes (m finito).

CASAS PACESETTERCASAS PACESETTER

Casas Casas PacesetterPacesetter se encuentra desarrollando cuatro se encuentra desarrollando cuatro proyectos.proyectos.DatosDatos-- Una obstrucciUna obstruccióón en las obras ocurre en promedio cada 20 n en las obras ocurre en promedio cada 20 ddíías de trabajo en cada sitio.as de trabajo en cada sitio.-- Esto toma 2 dEsto toma 2 díías en promedio para resolver el problema.as en promedio para resolver el problema.-- Cada problema es resuelto por el Cada problema es resuelto por el V.PV.P. para construcci. para construccióónn

¿¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo?operativo?--Con 2 dCon 2 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón actual)n actual)--Con 1.875 dCon 1.875 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón nueva).n nueva).

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M/M/1//4Se trata de un sistema M/M/1//4Los cuatro sitios son los cuatro clientesLos cuatro sitios son los cuatro clientesEl El V.PV.P. para construcci. para construccióón puede ser considerado n puede ser considerado como el servidor.como el servidor.Datos de entradaDatos de entrada

λλ = 0.05 (1= 0.05 (1// 20)20)μ μ = 0.5 (1= 0.5 (1// 2 usando el actual 2 usando el actual V.PV.P).).μ μ = 0.533 (1= 0.533 (1//1.875 usando el nuevo 1.875 usando el nuevo V.PV.P).).

Medidas del V.P V.PPerformance Actual Nuevo

Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334

Medidas del V.P V.PPerformance Actual Nuevo

Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334

Resultados obtenidos por WINQSBResultados obtenidos por WINQSB

AnAnáálisis econlisis econóómico de los sistemas mico de los sistemas de colasde colas

Las medidas de desempeLas medidas de desempeñño anteriores son usadas o anteriores son usadas para determinar los costos mpara determinar los costos míínimos del sistema de nimos del sistema de colas.colas.

El procedimiento requiere estimar los costos tales El procedimiento requiere estimar los costos tales como:como:-- Costo de horas de trabajo por servidorCosto de horas de trabajo por servidor-- Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón del cliente que espera en la n del cliente que espera en la cola.cola.--Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendido.n de un cliente que es atendido.

SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODSSERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS

Wilson Wilson FoodsFoods tiene un ltiene un líínea 800 para responder las nea 800 para responder las consultas de sus clientesconsultas de sus clientesDatosDatos-- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.En promedio se reciben 225 llamadas por hora.-- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.-- Un cliente debe esperar en lUn cliente debe esperar en líínea a lo mnea a lo máás 3 minutos.s 3 minutos.--A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 por hora.por hora.--Wilson paga a la compaWilson paga a la compañíñía telefa telefóónica $0.18 por minuto cuando nica $0.18 por minuto cuando el cliente espera en lel cliente espera en líínea o esta siendo atendido.nea o esta siendo atendido.-- El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que espera en n de un cliente que espera en llíínea es de $20 por minuto.nea es de $20 por minuto.--El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendido n de un cliente que es atendido es de $0.05.es de $0.05.

¿Qué cantidad de representantes para la atención de los clientesdeben ser usados para minimizarel costo de las horas de operación?

¿Qué cantidad de representantes para la atención de los clientesdeben ser usados para minimizarel costo de las horas de operación?

SOLUCIONSOLUCION

Costo total del modeloCosto total del modelo

Costo total por horas detrabajo de “k”

representantes para la atención de clientes

CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)

Total horas para sueldo

Costo total de lasllamadas telefónicas

Costo total del grado de satisfacciónde los clientes que permanecen en línea

Costo total del grado de satisfacción de los clientes que son atendidos

CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq

Datos de entradaDatos de entradaCCww= $16= $16CCtt = $10.80 por hora [0.18(60)]= $10.80 por hora [0.18(60)]ggww= $12 por hora [0.20(60)]= $12 por hora [0.20(60)]ggss = $0.05 por hora= $0.05 por hora [0.05(60)][0.05(60)]

Costo total del promedio de horasCosto total del promedio de horasTC(KTC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 ) = 16K + (10.8+3)L + (12 -- 3)3)LLqq

= 16K + 13.8L + 9L= 16K + 13.8L + 9Lqq

Asumiendo una distribuciAsumiendo una distribucióón de llegada de los clientes n de llegada de los clientes PoissonPoisson y una distribuciy una distribucióón exponencial del tiempo de n exponencial del tiempo de atenciatencióón, se tiene un sistema M/M/Kn, se tiene un sistema M/M/Kλλ = 225 llamadas por hora.= 225 llamadas por hora.μμ = 40 por hora (60= 40 por hora (60// 1.5).1.5).

El valor mEl valor míínimo posible para k es 6 de forma de nimo posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un perasegurar que exista un perííodo estacionario (odo estacionario (λλ<K<Kμμ).).

WINQSB puede ser usado para generar los resultados WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, de L, LLqq, y , y WWqq..

En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.

K L Lq Wq CT(K)6 18,1249 12,5 0,05556 458,627 7,6437 2,0187 0,00897 235,628 6,2777 0,6527 0,0029 220,509 5,8661 0,2411 0,00107 227,1210 5,7166 0,916 0,00041 239,70

K L Lq Wq CT(K)6 18,1249 12,5 0,05556 458,627 7,6437 2,0187 0,00897 235,628 6,2777 0,6527 0,0029 220,509 5,8661 0,2411 0,00107 227,1210 5,7166 0,916 0,00041 239,70

Conclusión: se deben emplear 8 representantes para la atención de clientesConclusión: se deben emplear 8 representantes para la atención de clientes

Sistemas de colas Sistemas de colas TTáándemndem

En un sistema de colas En un sistema de colas TTáándemndem un cliente debe un cliente debe visitar diversos servidores antes de completar el visitar diversos servidores antes de completar el servicio requeridoservicio requerido

Se utiliza para casos en los cuales el cliente llega de Se utiliza para casos en los cuales el cliente llega de acuerdo al proceso acuerdo al proceso PoissonPoisson y el tiempo de atenciy el tiempo de atencióón n se distribuye exponencialmente en cada estacise distribuye exponencialmente en cada estacióón.n.

Tiempo promedio total en el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones

individuales

Tiempo promedio total en el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones

individuales

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE SONIDO BIG BOYSA DE SONIDO BIG BOYS

BigBig BoysBoys vende productos de audio.vende productos de audio.

El proceso de venta es el siguiente:El proceso de venta es el siguiente:

-- Un cliente realiza su orden con el vendedor.Un cliente realiza su orden con el vendedor.

-- El cliente se dirige a la caja para pagar su pedido.El cliente se dirige a la caja para pagar su pedido.

-- DespuDespuéés de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para s de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.obtener su producto.

Datos de la venta de un SDatos de la venta de un Sáábado normalbado normal-- PersonalPersonal

+ 8 vendedores contando el jefe+ 8 vendedores contando el jefe+ 3 cajeras+ 3 cajeras+ 2 trabajadores de empaque.+ 2 trabajadores de empaque.

-- Tiempo promedio de atenciTiempo promedio de atencióónn

+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un + El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es de 10 minutos.cliente es de 10 minutos.

+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de + El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos.3 minutos.

+ El tiempo promedio en el + El tiempo promedio en el áárea de empaque es de 2 rea de empaque es de 2 minutos.minutos.--DistribuciDistribucióónn

+ El tiempo de atenci+ El tiempo de atencióón en cada estacin en cada estacióón se distribuye n se distribuye exponencialmente.exponencialmente.

+ La tasa de llegada tiene una distribuci+ La tasa de llegada tiene una distribucióón n PoissonPoisson de 40 de 40 clientes por hora.clientes por hora.

Solamente 75% de los clientes que lleganhacen una compra

¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,que un cliente que viene a comprardemora en el local?

¿¿CuCuáál es la cantidad promedio de tiempo ,l es la cantidad promedio de tiempo ,que un cliente que viene a comprarque un cliente que viene a comprardemora en el local?demora en el local?

SOLUCIONSOLUCION

Estas son las tres estaciones del sistema de Estas son las tres estaciones del sistema de colas colas TTáándemndem

M / M / 8 M / M / 3

λ = 40

λ = 30

λ = 30

W1 = 14 minutosW2 = 3.47 minutos

W3=2.67 minutos

M / M / 2

Total = 20.14 minutos.

Balance de lBalance de lííneas de ensambleneas de ensamble

Una lUna líínea de ensamble puede ser vista como una cola nea de ensamble puede ser vista como una cola TTáándemndem, porque los productos deben visitar diversas , porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada.estaciones de trabajo de una secuencia dada.

En una lEn una líínea de ensamble balanceada el tiempo nea de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo.trabajo es el mismo.

El objetivo es maximizar la producciEl objetivo es maximizar la produccióónn



RESUMEN DE LOS MODELOS RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOSDE COLAS DESCRITOS

MODELOMODELO NOMBRENOMBRE NN°° DE DE CANACANALESLES

NN°° DE DE FASESFASES

PATRPATRÓÓN N DE DE

ARRIBOARRIBO

PATRPATRÓÓN N DE DE

SERVICISERVICIOO

TAMATAMAÑÑO DE O DE LA LA

POBLACIPOBLACIÓÓNN

DISCIPLIDISCIPLINA DE NA DE COLACOLA

AA SIMPLESIMPLEM/M/1M/M/1

UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONENCIALCIAL

INFINITAINFINITA PEPSPEPS

BB MULTIMULTI--CANALCANALM/M/SM/M/S

MULTIMULTICANALCANAL

UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONENCIALCIAL


CC SERVICIOSERVICIOCONSTANTE CONSTANTE (M/D/1)(M/D/1)

UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON CONSTANCONSTANTETE


DD POBLACIONPOBLACIONLIMITADALIMITADA

UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONENCIALCIAL

FINITAFINITA PEPSPEPS



ProblemasProblemas



















10. Medidas del desempe10. Medidas del desempeñño del o del sistema de colassistema de colas

Suponga una estaciSuponga una estacióón de gasolina a la cual llegan en n de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por horapromedio 45 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en promedio a 60 Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por horaclientes por horaSe sabe que los clientes esperan en promedio 3 Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la colaminutos en la colaLa tasa media de llegadas La tasa media de llegadas λλ es 45 clientes por hora o es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto45/60 = 0.75 clientes por minutoLa tasa media de servicio La tasa media de servicio μμ es 60 clientes por hora o es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto60/60 = 1 cliente por minutoCalcule las medidas de desempeCalcule las medidas de desempeñño del sistemao del sistema



11. Medidas del desempe11. Medidas del desempeñño del o del sistema de colas: ejerciciosistema de colas: ejercicio

Suponga un restaurante de comidas Suponga un restaurante de comidas rráápidas al cual llegan en promedio pidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora100 clientes por horaSe tiene capacidad para atender en Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por horapromedio a 150 clientes por horaSe sabe que los clientes esperan en Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la colapromedio 2 minutos en la colaCalcule las medidas de desempeCalcule las medidas de desempeñño o del sistemadel sistema

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Teoría de colassded8e775b5b1b6c6.jimcontent.com/download/version...Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson QEs una distribución discreta empleada con mucha frecuencia