Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: [email protected] hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/
SG1140-200109
Tentamen i SG1140 Mekanik II, 200109
Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare, osv (skrivdon) Lycka till!
Problem (TEN B)
1)
R
r
O A
ee
e
xz
y
Betrakta två kugghjul med radierna R respektive r . Hjulen roterar med vinkelhastigheterna 1 re-
spektive 2 med de i figuren angivna riktningarna
relativt det fixa rummet. Stora hjulets centrum O är fix. Hjulen hålls i kontakt med hjälp av armen OA . Bestäm accelerationen Aa av lilla kugghjulets
centrum A.
2)
xe
e
e
y
z
l
l
A
B
En stel kvadratisk ram består av fyra lika stänger med massan m och längden l vardera. Ramen som befinner sig i vertikalplanet hålls från början i jämvikt med hjälp av en vertikal vajer fäst i B och ett litet hjul i A som vilar på en glatt horisontell yta. Jämvikten rubbas då vajern brister i ett visst ögonblick. I detta ögonblick bestäm normalkraften från stödytan på lilla hjulet i A. Antag att hjulet kan röra fritt längs ytan och bortse från dess massa.
3)
l
B
e
e
e x
y
z
A
G
Betrakta en homogen stång AB med längden l och massan m. Stången befinner sig i vertikalplanet och är fäst i änden A genom en glatt led i en lätt hylsa som kan glida längs en glatt horisontell skena. Stången släpps från vila då den är vertikal med
0 och börjar röra sig under inverkan tyngden. Bestäm hastigheten Bv hos änden B på stången då
den passerar horisontella skenan då / 2 . 4)
O
A
MO
A
M
R
r
Betrakta en planetbärare med tre planethjul vardera med massan m och radien r . Planetbäraren med planethjulen och den yttre fixa ringen med inre radien R befinner sig i ett vertikalplan och hela anordningen är från början i vila. Man startar en elektrisk motor som alstrar ett konstant vridmo-ment M som verkar på planetbäraren. Bestäm pla-netbärarens vinkelhastighet efter ett varv. För-summa planetbärarens massa i jämförelse med pla-nethjulens massor och bortse från eventuella frikt-ionsförluster.
Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: [email protected] hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/
Tentamen i SG1140 Mekanik II, 200109
Inga hjälpmedel förutom: Papper, penna, linjal, passare (skrivdon). Lycka till! Teori (TEN A)
Läs noga igenom texten och välj det rätta svarsalternativet genom att sätta in kryss i rätt ruta. Uppgift 1
Betrakta enhetsvektorn 'xe vid dess rotation kring
axeln 'O C . Ange det korrekta alternativet för
'xe
A) ' cos / 2x e
B) ' sinx e
C) ' sinx e
D) ' sin / 2x e
E) ' sinx e F) ' cosx e (1p)
Uppgift 2
Armen OA med längden l roterar med en konstant vinkelhastighet 0 kring en vertikal axel genom
O, samtidigt som cirkelskivan med radien b rote-rar med en konstant vinkelhastighet 1 relativt
stången kring en vertikal axel genom skivans centrum A. Det rörliga koordinatsystemets 'x axel ligger längs armen OA och roterar med den. Betrakta en liten puck B som ligger på skivans rand och ange det rätta uttrycket för tröghetskraf-terna på den i ögonblicket som visas i figuren. (AB vinkelrät mot OA)
A) 2
0 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e B) 20 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e
C) 20 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e D) 2
0 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym l b mb F e e F e
E) 20 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym b l mb F e e F e F) 2
0 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym b l mb F e e F e
(1p)
Uppgift 3
Betrakta en godtycklig stel kropp som utför plan rörelse och välj det rätta alternativet för hastighets och accelerationssambanden mellan två godtyck-liga punkter i kroppen. A) B A x BA v v e r och
2B A x BA BA a a e r r ;
B) B A z BA v v e r och
2B A z BA BA a a e r r ;
C) B A z AB v v e r och 2B A z AB AB a a e r r ;
D) B A z AB v v e r och 2
B A z AB AB a a e r r ;
E) A B z AB v v e r och 2
A B z AB AB a a e r r ;
F) B A z AB v v e r och 2
B A z AB AB a a e r r ; (1p)
Uppgift 4 Betrakta tre koordinatsystem 0S , 1S och 2S Vid härledning av additionsformeln för vinkelacce-
lerationer utgår man från additionsformeln för vinkelhastigheter 2,0 2,1 1,0 ω ω ω och tidsderi-
verar den med avseende på ett av koordinatsystemen och sedan omvandlar en av termerna i summan med hjälp av sambandet mellan tidsderivatorna med avseende på olika system. Ange det rätta alternativet nedan
A) Man deriverar med avseende på 2S och omvandlar 1,0 1,01,2 1,0
2 1
d d
dt dt
ω ωω ω
B) Man deriverar med avseende på 2S och omvandlar 2,1 2,11,2 2,1
2 1
d d
dt dt
ω ωω ω
C) Man deriverar med avseende på 1S och omvandlar 2,1 2,12,1 2,1
1 2
d d
dt dt
ω ωω ω
D) Man deriverar med avseende på 0S och omvandlar 2,1 2,11,0 2,1
0 1
d d
dt dt
ω ωω ω
E) Man deriverar med avseende på 0S och omvandlar 1,0 1,01,0 2,1
0 1
d d
dt dt
ω ωω ω
F) Man deriverar med avseende på 1S och omvandlar 2,1 2,11,0 2,1
1 0
d d
dt dt
ω ωω ω (1p)
Uppgift 5
Ett cirkulärt kugghjul med radien r rullar på ett fixt kugghjul med radien R så att kontaktpunktenB mellan hjulen förflyttas med en konstant fart v . Välj det rätta alternativet för lilla kugghjulets vinkelhastighet ω nedan.
A) z
R rv
rR
ω e B) z
R rv
rR
ω e C) z
R rv
rR
ω e
D) z
R rv
R
ω e E) z
R rv
r
ω e F) z
R rv
r
ω e
(1p) Uppgift 6
Sambandet (1) visar att:
Betrakta ett partikelsystem samt ett fixt koordi-natsystem och ett masscentrumsystem enligt fi-guren. Betrakta vidare uttrycket för GH enligt
' ' 'G k k k k k G kk k
m m H r v r v v
' ' 'k k G k k kk k
m m r v r v (1)
Ange det korrekta alternativen nedan
A) 'G GH H ; B) 'G GH H eftersom 'k k Gk
m r r 0 ; C) 'G G OG Gm H H r v ;
D) 'G GH H eftersom G v 0 ; E) 'G GH H eftersom 'k k
k
m r och Gv är parallella
F) 'G GH H eftersom ' 'k k G
k
m r r 0 (1p)
A
B
v
O
er
e �
R
r
x´
y´
z´
x
y
z
O
G
r
x
r´
r
k
k
OG
mk
Uppgift 7
Betrakta ett partikelsystem som rör sig i rummet. Ett fixt koordinatsystem Oxyz ett masscentrumsystem
' ' 'Gx y z samt en rörlig punkt A. Vid härledning av momentekvationen med avseende på en rörlig punkt utgår man från momentekvationen med avseende på den fixa punkten O
O OH M
och omvandlar sedan tidsderivatan OH i tidsderiva-
tan AH . Välj det rätta alternativet för detta samband
A) O A OA Gm H H r a ; B) O A OA Gm H H r v ;
C) O A A G OA Gm m H H v a r v ; D) O A A G OA Gm m H H v v r a ;
E) O A A G OA Gm m H H a v r a ; F) O A A G G Gm m H H v v v a ;
(1p)
Uppgift 8
Betrakta en cylinder med massan m och radien r som rullar utan glidning på ytan av en fix cy-linder med radien R . Man uppmäter hastig-heten för cylinders masscentrum till v . Ange det korrekta alternativet för cylinderns rörelse-mängdsmoment OH med avseende på O.
A) O zm R r v H e ; B) O zm R r v H e
C) 1
2O zmrvH e ; D) O zmRvH e
E) 1
2O zm R r v
H e ; F) 3
2O zm R r v
H e
(1p)
x´
y´
z´
G
x´
y´
z´
x
y
z
O
x
G
A
A
Uppgift 9
Betrakta en stång med massan m och längden l . Stången är upphängd i ett litet lätt hjul i A. Hjulet kan rulla fritt längs en horisontell räls. Stången är från början i vila då den påverkas av en horison-tell kraft P enligt figuren. Ange det rätta alterna-tivet för accelerationen Aa av punkten A i be-
gynnelseögonblicket.
A) A x
P
ma e ; B)
2A x
P
ma e ; C)
2A x
P
ma e ;
D) 3
A x
P
ma e ; E)
4A x
P
ma e ; F)
12A x
P
ma e ;
(1p) Uppgift 10
Betrakta en stel kropp med masscentrum i G re-spektive och ange det korrekta alternativet för pa-rallellförflyttningssatserna:
A) 2
' 'zz z zI I m a b , 2' 'xx x xI I ma
B) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab
C) 2
' 'zz z zI I mb , ' 'xy x yI I mab
D) ' 'zz z zI I mab , 2
' 'xy x yI I ma
E) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab
F) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab
(1p)
P A
B
l
e
e
z x
y
e
e
Uppgift 11
Betrakta en tunn kropp som rör sig i xy pla-net. Vid härledning av uttrycket för elementärt arbete dU betraktar man först effekten P T som är tidsderivatan av kroppens kinetiska energi. Välj det korrekta alternativet för ut-trycket för P
A) G GP F M v ω ; B) G GP F v M ω ; C) G GP F v H ω ;
D) G GP F a M α ; E) G GP F v M ω ; F) G GP a v α ω ;
(1p)
Uppgift 12 Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix z axel. Betrakta olika uttryck för sambandet mellan arbete och ändringen av kinetiska energin (lagen om kinetiska energin) och välj det rätta alternativet
A) 1
0
1 0
1
2 z zI M d
; B) 1
0
2 21 0
1
2 z G G zI v v M d
; C) 1
0
2 21 0z zI M d
D) 1
0
2 21 0
1
2 zI d r
r
F r ; E ) 1
0
2 21 0
1
2 z xI M d
F) 1
0
2 21 0
1
2 z zI M d
;
(1p)
e
ee
x
zy
G
w
vG
aG
a
Uppgift 13
Vid härledning av parallellförflyttningssatsen för trög-hetsprodukten xyI får man följande samband
' ' ' 'xy G G G GI x y dm x y dm y x dm x y dm
De två mittentermerna utgår sedan från slutliga formeln. Ange den rätta orsaken för det
A) 0G Gx y ; B) G Gx y ; C) ' 'G Gx y dm y x dm ;
D) ' ' 0G Gx y ; E) ' 0x och ' 0y ; F) ' ' 0x y dm (1p)
Uppgift 14
Betrakta figuren som visar en stel kropp som roterar kring en fix punkt. Man härleder uttrycket för denna kropps rörelsemängdsmoment genom att betrakta masspartiklar i kroppen. Betrakta olika uttryck för
,x y och z komponenterna av OH och ange det
korrekta alternativet:
A) 2 2Ox k k k x k k k y k k k z
k k k
H m x z m x y m x z ;
B) 2 2Oz k k k x k k k y k k k z
k k k
H m x y m z y m y z ;
C) 2 2Oz k k k x k k k y k k k z
k k k
H m z x m z y m x z ;
D) 2 2Ox k k k x k k k y k k k z
k k k
H m x y m x y m y z ;
E) 2 2Oy k k k x k k k y k k k z
k k k
H m y x m x z m y z ;
F) 2 2Oy k k k x k k k y k k k z
k k k
H m y x m x z m y z . (1p)
y
xO
G
( )x',y'
y´
x´
rk
O
z
k
m kr
Q
eQ
y
x
�
ω
�
�
�
Uppgift 15 Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt och välj det korrekta alternativet för Eu-lers dynamiska ekvationer i det kroppsfixa huvudaxelsystemet
A)
:
:
:
x xx x zz yy y z x
y yy y xx zz z x y
z zz z yy xx x y z
I I I M
I I I M
I I I M
e
e
e
B)
:
:
:
x xx x zz yy x x
y yy y xx zz y y
z zz z yy xx z z
I I I M
I I I M
I I I M
e
e
e
C)
:
:
:
x xx x x
x yy y y
y zz z z
I M
I M
I M
e
e
e
D)
:
:
:
x xx x x
x yy y y
y zz z z
I M
I M
I M
e
e
e
E)
:
:
:
x xx x yy x zz z x
y xx x yy x zz z y
z xx x yy x zz z z
I I I M
I I I M
I I I M
e
e
e
F)
:
:
:
x xx x xx x x
y yy y yy y y
z zz z zz z z
I I M
I I M
I I M
e
e
e
(1p) Uppgift 16
Betrakta en axisymmetrisk kropp som ro-terar kring en fix punkt O. Inför ett rums-fixt koordinatsystem OXYZ och ett halv-bundet resalsystem Oxyz med z axeln längs kroppens symmetriaxel. Kroppens snabba rotation med vinkelhastigheten 0ω
kring z axeln är frikopplad från resalsy-stemet som i sin tur har vinkelhastigheten
Sω relativt de rumsfixa axlarna. Välj det
rätta alternativet nedan.
A) 0O O O
H ω H M och 0O OH I ω
B) O S O O
H ω H M och 0O O S H I ω ω
C) O S O O
H ω H M och 0O OH I ω
D) 0O S O O
H ω ω H M och 0O O S H I ω ω
E) 0O O O
H ω H M och 0O O S H I ω ω
F) O S O O
H ω H M och O O SH I ω (1p)