I

TEMPUS PROJEKT: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-JPCR:

ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA PROZESS

IM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN

Vorlesungsskript: Prozessanalyse und Systemidentifikation

Für Studiengang: Bachelor-Automatisierunmgstechnik und

El.Energiertechnik

Mühazirələr konspekti: Proseslərin analizi və identifikasiyası

“Proseslərin avtomatlaşdırılması mühəndisliyi"

və “ Elektroenergetika mühəndisliyi” ixtisaslarının bakalavr səviyyəsi tələbələri üçün

Prof. Dr. Ing. Yusifov Salahaddin (ASEIU)

Prof. Dr. Ing. Rzayev Tofig (AzTU)

Dr. Ing. Mammadov Valeh (SUS)

Baku 2015

2

Prozessanalyse und Systemidentifikation

1. Automatisierungsprozesse und System-Identifikation 6

1.1 Aufgaben der Prozess Analys für

Automatisirungstechnik

6

1.2. Arten des Steuerungsprozesse 7

1.3. Modellierung des zu automatisierenden Prozesse 16

2. Entwurf der Experimentelle Prozess-Analyse 22

2.1. Durchführung der Versuche und Analyse durch

Versergebnisse

22

2.2. Identificatik aufgrund des ganze Grwndshick Fanforen 26

2.3. Identificatik aufgrund des ganze Nebenhaunling Fanforen 30

3. Identifikation der linearen statischen Modellen 33

3.1. Identifikation aufgrund des linearen Regressionsmodelles 33

3.2. Identifikation aufgrund des linearen Regressionsmodelles

mit der Mehrheit der Variablen

39

3.3. Vorausbestimmungsmodelle 43

3.4. Identifikation Lineare Prozzesse durch Filtern 48

4. Identifikation der nicht linearen Prozesse 52

4.1. Identifikation durch differenziale Approximation 52

4.2. Identifikation durch stochastische Approximation 56

4.3. Korrelationsabhängigkeit und statische

Identifikationsmethoden

58

4.4. Parabolisches Regressionsmodell 60

4.5. Logarithmisches Regressionsmodell 67

4.6. Exponenziales Regressionsmodell 71

4.7. Identifikation durch die mindeste quadratische Methode

(verallgemeinerte Methode)

74

5. Identifikation der Systeme aufgrund der analytischen

Modeliierung

84

5.1. Analytische Modeliierung und ihre Ausbauprinzipien 84

5.2. Modeliierung und Identifikation aufgrund des

Massenerhaltungssatzes

87

5.3. Modeliierung und Identifikation des Systems aufgrund des 90

3

Erhaltungsgesetz der Bewegungsgröße

5.4. Modeliierung und Identifikation aufgrund der Einordnung

des Stoffes im Zweiphasensystem

91

5.5. Modeliierung und Identifikation der Systeme aufgrund der

Masse- und Energiebeförderung

94

6. Modeliierung und Identifikation der Systeme aufgrund

der Differential- Gleichungen

100

6.1. Analyse und Identifikation der einfachen Prozessen 100

6.2. Analyse und Identifikation der Erdölförderung 107

LITERATUR 118

4

Proseslərin analizi və identifikasiyası

1. İdarəetmə prosesləri və identifikasiya 6

1.1. İdarəetmə proseslərinin növləri 6

1.2. Proseslərin modelləşdirilməsi 7

1.3. İdentifikasiya anlayışı və üsulları 16

2. Eksperimentlərin planlaşdırılması 22

2.1. Təcrübələrin təşkili və sınaq siqnalları vasitəsilə

identifikasiya

22

2.2. Tam faktorlu eksperimentlər əsasında identifikasiya 26

2.3. Kəsr faktorlu eksperimentlər əsasında identifikasiya 30

3. Xətti statik modellərin identifikasiyası 33

3.1. Xətti reqressiya modelləri əsasında identifikasiya 33

3.2. Çoxdəyişənli xətti reqresiya modelləri əsasında

identifikasiya

39

3.3. Proqnozlaşdırma modelləri 43

3.4. Xətti obyektin süzgəclər vasitəsilə identifikasiyası 48

4. Qeyri-xətti statik modellərin identifikasiyası 52

4.1. Parabolik reqresiya əsasında identifikasiya 52

4.2. Loqarifmik reqresiya əsasında identifikasiya 56

4.3. Eksponensial reqresiya əsasında identifikasiya 58

4.4. Ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu ilə identifikasiya 60

4.5. Diferensial approksimasiya üsulu ilə identifikasiya 67

4.6. Stoxastik approksimasiya üsulu ilə identifikasiya 71

4.7. Statistik identifikasiya üsulları 74

5. Proseslərin analitik modelləşdirmə əsasında

identifikasiyası

84

5.1. Analitik modellər və onların qurulma prinsipləri 84

5.2. Kütlənin saxlanması qanunu əsasında modelləşdirmə və

identifikasiya

87

5.3. Hərəkət miqdarının saxlanması qanunu əsasında sistemin

modelləşdirilməsi və identifikasiyası

90

5.4. Kütlə və enerjinin daşınması əsasında sistemlərin

modelləşdirilməsi və identifikasiyası

91

5

5.5. İkifazlı sistemdə maddənin yerdəyişməsi əsasında

modelləşdirilmə və identifikasiya

94

6. Proseslərin diferensial tənliklər əsasında

modelləşdirilməsi və identifikasiyası

100

6.1. Sadə proseslərin analizi və identifikasiyası 100

6.2. Neftin quyu üsulu ilə çıxarılması analizi və

identifikasiyası

107

ƏDƏBİYYAT 118

6

1. İDARƏETMƏ PROSESLƏRİ VƏ İDENTİFİKASİYA

1.1. İdarəetmə proseslərinin növləri

Obyektlərin identifıkasiyasının və uyğun olaraq, idarə

olunmasının səmərəliliyi bu obyektlərin və onların məruz qaldıqları

xarici təsirlərin xüsusiyyətlərindən, xarakteristikalarından, giriş və

çıxış dəyişənləri arasında olan əlaqələrin və bu dəyişənlər haqqında

olan məlumatların xarakterindən və sairə bu kimi göstəricilərdən

çox asılıdır. Bununla əlaqədar olaraq, proseslər sadə və mürəkkəb

ola bilər. Bu bölünmə həm də idarəetmə obyektlərinin strukturunu

müəyyən edir.

Giriş və sıxış dəyişənləri ilə bir blok kimi təqdim olunan

obyekt sadə obyekt, sonlu sayda sadə obyektlər çoxluğundan ibarət

olan və ya göstərilə bilən obyekt isə mürəkkəb obyekt, kompleks və

yaxud sistem adlandırılır. Texniki vasitələr əsasında qurulmuş

sistem texniki sistem adlanır. Texniki sistemləri öz təyinatlarına

görə istehsal və qeyri-istehsal yönlü sistemlərə ayırmaq olar.

Sistemlər strukturuna görə birsəviyyəli, çoxsəviyyəli olur.

Birsəviyyəli sistemlər öz növbəsində ardıcıl, paralel və qarışıq və

ümumi (düz və əks qarşılıqlı əlaqəli) strukturlu sistemlərə ayrılır.

1) Çoxsəviyyəli sistemlər, adətən, şəbəkəli (iyerarxiyalı) struktura malik olur. Tabeçi elementlər arasında əlaqələr mərkəzi

element vasitəsi ilə yerinə yetirilir.

Sadə obyektlər statik xarakteristikalarının formasına görə xətti,

qeyri-xətti obyektlərə bölünür.

Determinik obyekt dedikdə, nəzərdə tutulur ki, onun çıxış

dəyişənlərinin qiymətləri giriş dəyişənlərinin qiymətləri ilə

birmənalı olaraq təyin olunur, yəni çıxış dəyişənləri vektorunun hər

bir qiymətinə çıxış dəyişənləri vektorunun müəyyən bir qiyməti

uyğun gəlir. Stoxastik obyekt dedikdə isə nəzərdə tutulur ki, çıxış

dəyişənləri ilə giriş dəyişənləri arasında statistik əlaqə mövcuddur,

yəni giriş dəyişənləri vektorunun hər bir qiymətinə çıxış dəyişənləri

7

vektorunun paylanması uyğun gəlir.

Xarakteristikalarının zamandan asılılıq əlamətinə görə

obyektlər stasionar, kvazistasionar, qeyri-stasionar ola bilər.

Proseslərinin xrakteristikası zamana görə dəyişməyən stasionar

obyektlər adlandırılır. Bu sinif obyektlər sabit əmsallı modellərlə

təsvir olunur.

Xarakteristikaları keçid prosesləri ilə müqayisədə zamana görə

cüzi sürətlə dəyişən obyektlər kvazistasionar obyektlər adlandırılır.

Qeyri-stasionar obyektlərin xarakteristikaları zamana görə

sürətlə dəyişir.

“Texnologiya” yunan sözü olub (techne (bacarıq) + logos

(öyrənmə)) məhsulun hazırlanması bacarığı, istehsal proseslərinin

yerinə yetirilməsi üçün üsul və vasitələr haqqında biliklər toplusunu

və həmin proseslərin özlərini ifadə edir. Bu zaman emal olunan

obyektdə keyfiyyət dəyişiklikləri baş verir. Texnoloji proseslərdə

qeyri-mütəşəkkil (kor-təbii) proseslərdən fərqli olaraq, nizamlılıq və

mütəşəkkillik movcuddur. “Texnologiya” termini tarixən maddi

istehsal sahəsi üçün tətbiq olunur. Məsələn, texnoloji proseslər,

neft-kimyası texnologiyası və s. Bu baxımdan kompüter texno-

logiyası baxılan sahədə kompüter texnikasının aparat və proqram

vasitələrindən istifadə texnologiyası deməkdir.

İnformasiya texnologiyası – informasiya ehtiyatlarından

istifadə olunması proseslərinin çətinliyini azaltmaq, onların

etibarlılığını və operativliyini çoxaltmaq məqsədilə informasiyanın

toplanması, ötürülməsi, saxlanması, emalı və istifadəçilərə

çatdırılmasını təmin edən və texnoloji zəncirdə birləşdirilən

metodlar, istehsal prosesləri və texniki-proqram vasitələri

toplusudur.

1.2. Proseslərin modelləşdirilməsi

İnsan özünün gündəlik praktiki fəaliyyətində müxtəlif sistem

və obyektlərdə baş verən prosesləri öyrənməyə və ya onların işi

haqqında qabaqcadan məlumat almağa imkan verən müxtəlif növ

8

modellərdən istifadə edir. Belə ki, idarəetmə nəzəriyyəsində

idarəetmə obyektlərinin riyazi modeli geniş tətbiq tapmışdır və bu

modellər tənzimləmə sistemlərinin həm analiz, həm də sintezi üçün

istifadə olunur.

“İdarəetmə obyekti” anlayışını nəzərdən keçirək. Adətən

idarəetmə obyekti dedikdə bizi əhatə edən mühitin bir hissəsi başa

düşülür və biz bu obyektə məqsədyönlü şəkildə təsir edə, yəni onu

idarə edə bilərik.

Müxtəlif idarəetmə obyektləri ilə işləməyi asanlaşdırmaq

üçün onları aşağıdakı qruplara ayırırlar.

Statik obyektlər;

Dinamik obyektlər;

Xətti obyektlər;

Qeyri-xətti obyektlər;

Kəsilməz obyektlər;

Diskret obyektlər;

Stasionar obyektlər;

Qeyri-stasionar obyektlər;

Toplanmış parametrli obyektlər;

Paylanmış parametrli obyektlər və s. Model dedikdə isə adətən obyektin mühüm xarakteristikaları

haqqında bu və ya digər formada təsvir edilmiş informasiya başa

düşülür. Verilmiş informasiyanın təsvir edilmə üsulundan asılı

olaraq modellər aşağıdakı tiplərə bölünür:

Şifahi və ya verbal modellər;

Fiziki modellər (Tətbiq olunan obyektdəki prosesləri təkrar etməyə imkan verən, bəzən hallarda başqa

təbiətə malik real sistemin kiçildilmiş surəti);

Riyazi modellər (tədqiq olunan obyekt və ya sistem haqqındakı informasiyalar riyazi terminlərlə ifadə

edilir ).

Eyni zamanda riyazi modelər də aşağıdakı qruplara bölünür:

Qrafik;

Cədvəli;

9

Alqoritmik;

Analitik. Məsələn, analitik model obyektin dəyişənləri arasındakı qarşılıqlı

əlaqəni riyazi düstur və ya belə düsturlar qrupu şəklində əks etdirir.

Modelləşdirmə iki başlıca əlamətə əsaslanır:

Fundamental təbiət qanunlarının sayının praktiki məhdudluğu prinsipi;

Oxşarlıq prinsipi, yəni müxtəlif fiziki təbiətli hadisələr eyni riyazi asılılıqlarla ifadə edilə bilər.

Modelin qurulması proseduru identifikasiya adlanır. Qeyd

edək ki, bu termin adətən dinamik obyektlərin analitik riyazi

modelinin qurulmasına aid edilir.

Dinamik obyekt – bu elə obyektdir ki, onun çıxış siqnalı giriş

siqnalının nəinki verilmiş qiymətindən, həm də bu siqnalların

zamanın sonrakı anlarındakı qiymətindən asılı olur. İdentifikasiya

olunan obyekt adətən şəkil 1.1-dəki formada təsvir edilir. Burada t -

zaman; )(tu - nəzarət olunan (bəzən idarə olunan) giriş siqnalı;

)(~

ty - obyektin nəzəri çıxış siqnalı; )(ty - obyektin izlənən çıxış

siqnalı; )(te - nəzərə alınmayan faktorların təsirini əks etdirən

additiv təsadüfi əngəl siqnalıdır.

Şəkil 1.1. İdentifikasiya olunan obyektin ümumi görünüşü.

Adətən fərz edilir ki, giriş və “nəzəri” giriş siqnalları arasın-

dakı əlaqə hər hansı (hər hansı funksiyanın digər funksiyaya

çevrilmə üsulu operatoru) operatoru formasında verilir.

)]([)(~

tuty

10

Bu halda obyektin çıxış siqnalı aşağıdakı kimi təyin edilə

bilər.

)()]([)( tetuty

İdentifikasiyanın əsas məqsədi giriş )(tu və çıxış )(ty

siqnallarının hər hansı zaman intervalında müşahidəsinə əsasən,

giriş və nəzəri çıxış siqnallarını əlaqələndirən operatoru müəyyən

etməkdir. Bəzi hallarda riyazi asılılığın tapılması məsələsini yalnız

analitik yolla həll etmək olar.

Bundan əlavə, digər nümunələrin müşahidəsindən belə

nəticəyə gəlmək olar ki, fiziki qanunlar və obyektdə baş verən

proseslərin istifadəsi ilə aparılan nəzəri analiz dəqiqliklə naməlum

parametrlərə qədər yalnız modelin strukturunu təyin imkan verir.

Əgər belə struktur məlumdursa (dəqiqliklə əmsalları vektoruna

qədər), bu halda məlum giriş )(tu siqnalı əsasında obyektin təsviri

aşağıdakı kimi verilə bilər.

)(),()( tetFty

harada ki, F - və zamandan t asılı olan forması məlum olan

funksiyadır.

Sonuncu tənlik müəyyən zaman intervalında giriş və çıxış

siqnallarının müəyyən edilməsindən sonra, hər hansı metod ilə

(məsələn, ən kiçik kvadratlar metodu) təcrübi verilənləri emal

edərək parametrlər vektorunun qiymətini tapmağa imkan verir.

Qeyd edək ki, modelin parametrlərinin təcrübi təyin edilməsində

aşağıdakılar təmin edilməlidir:

Modelin adekvat strukturunun seçilməsi;

Elə giriş siqnalının seçilməsi ki, təcrübələrin nəticələrinə əsasən modelin bütün parametrlərinin

qiymətlərini tapmaq mümkün olsun.

11

Xətti obyektlərin parametrlərinin təyin edilməsi məsələsi

daha asandır. Bu cür obyektlərdə superpozosiya prinsipi tətbiq

edilir. Burada 2 hal seçilə bilər.

1) Obyekt giriş təsirinə görə xəttidir: ~

2

~

12121

~

)](,[)](,[)]()(,[)( yytututututy

2) Obyekt parametrlərə görə xəttidir: ~

2

~

12121

~

)](,[)](,[)](,[)( yytutututy

İdentifikasiya məsələsində xətti obyekt dedikdə əsasən giriş

təsirinə görə xətti olan obyektlər nəzərdə tutulur.

Qeyd edilənləri nəzərə alaraq identifikasiya anlayışını

aydınlaşdırmaq olar.

Xətti kəzilməz stasionar dinamik obyektlərin modellərinin

əsas formaları və onların qarşılıqlı əlaqəsinə baxaq ( )(te küyünün

təsiri hələ nəzərə alınmır).

1. Diferensial tənlik.

na

i

nb

j

j

j

i

i tybtya0 0

)()( )()( formasına

malik daha universal modeldir. Burada na - modelin tərtibi

( nbna ), ia və jb - sabit əmsallar (modelin parametrləri), )()( tu j

və )()( ty i - müvafiq olaraq giriş və çıxış siqnallarının törəmələridir.

2. Ötürmə funksiyası. Verilən xarakteristika çıxış və giriş

siqnallarının Laplas çevirməsinə əsasən müəyyən edilir. Bu

çevirmənin xüsusiyyətləri və yuxarıda yazılmış düsturu nəzərə alsaq

alarıq:

na

i

i

i

nb

j

j

j

pa

pb

PU

PY

tuL

tyLpW

0

0

)(

)(

)}({

)}({)(

burada }{L - Laplas çevirməsinin simvolu, p – kompleks

dəyişəndir.

12

3. İmpuls xarakteristikası (İX) )(tw . İX dedikdə

qabaqcadan həyəcanlanmamış (daha doğrusu 0 başlanğıc şərtlərə

malik) obyektin )(t giriş siqnalına olan reaksiyası nəzərdə tutulur.

4. Keçid funksiyası )(th . Bu qabaqcadan həyəcanlanmamış

obyektin vahid pilləli giriş siqnalına qarşı olan reaksiyasıdır.

İdarəetmə nəzəriyyəsindən məlumdur ki, bu

xarakteristikalar arasında aşağıdakı əlaqələr mövcuddur.

)()}({ pWtwL , )()( thtw , p

pWthL

)()}({

0 başlanğıc şərtlər daxilində çıxış və giriş siqnalları

arasındakı əlaqə

dutwty )()()( inteqralı vasitəsilə, və ya

operator formada )()()( PUpWpY şəklində təsvir edilə bilər.

5. Tezlik xarakteristikaları. Obyektin tezlik

xarakteristikaları onun kompleks ötürmə əmsalı

jppWjW )()( ilə müəyyən edilir. Qeyd edək ki, bu ötürmə

əmsalı İX-nın Furye çevirməsidir. Məlumdur ki, kompleks ötürmə

əmsalının modulu )()( AjW ötürmə funksiyası )( pW olan

obyektin amplitud-tezlik xarakteristikasını (ATX), arqumenti isə

)())(arg( jW - faz-tezlik xarakteristikasını (FTX) müəyyən

edir.

Tezliyin 0-dan -a qədər dəyişdiyi halda )( jW -nın

kompleks müstəvidə qrafiki təsviri yəni, amplitud-faz-tezlik

xarakteristikasının polyar koordinatlarla təsvir edilmiş qrafiki bir

çox ədəbiyyatlarda holoqram, ingilisdilli ədəbiyyatlarda isə

Nayqvist diaqramı adlandırılır.

İdarəetmə nəzəriyyəsində əksər hallarda )(lg20 jW -a

bərabər olan loqarifmik amplitud-tezlik xarakteristikası (LATX)

istifadə olunur.

6. Vəziyyət dəyişənləri üçün model. Sistemin vəziyyət

dəyişənləri rolunda n koordinatının (məsələn, belə koordinatlar

13

olaraq çıxış siqnalı )(ty və onun n-1 törəmələri seçilə bilər)

seçilməsi zamanı, verilən sistemi vəziyyət dəyişənləri üçün

aşağıdakı tənliklərlə ifadə etmək olar.

)()()( tButAXtX ,

)()()( tDutCXty ,

burada Tn txtxtxtX )](),...,(),([)( 21 - vəziyyət dəyişənlərinin sütun

vektoru, A,B,C və D isə skalyar )(tu və )(ty şəraitində - uyğun

olaraq nn ölçülü matris, 1n və n1 ölçülü vektor və

skalyardır.

Sonuncu bərabərliklərə 0 başlanğıc şərtlər daxilində Laplas

çevirməsinin tətbiqi ötürmə funksiyasının aşağıdakı ifadəsini

almağa imkan verir.

DBApICpW 1)()( , burada I - vahid matrisdir.

Qeyd edək ki, göstərilən bütün modellər ekvivalentdirlər,

yəni, onlardan istənilən birini bilməklə digər qalanlarını almaq olar.

İşi bu və ya digər səbəbdən hər hansı diskret kTtk

(verilən halda T - diskretləşmə intervalıdır) zamanında ifadə edilən

obyektlər, yəni diskret obyektlər üçün fərq tənlikləri daha ümumi

təsvir forması hesab edilir.

12312111 ... nbknbkkknaknakk ububububyayay

burada ])[( Tikyy ik , ])[( Tjkuu jk .

Siqnallar arasındakı əlaqə həm də diskret açılış vasitəsilə

k

i

ikik uwy0

(burada iw obyektin həlledici çəki funksiyasının

ordinatıdır) və ya diskret ötürmə funksiyasına )(

)(

)(

)()(

zA

zB

zu

zYzW

Z-çevirmənin

0

)(k

k

k zyzY (burada pTez ) tətbiqi ilə əks

edilər bilər. Diskret ötürmə funksiyası isə fərq tənliyinin hər iki

tərəfinə Z – çevirməsi tətbiq etməklə müəyyən edilir.

)()...()()...1( 1231

21

2

2

1

1 zUzbzbzbbzYzazazanb

nb

na

na

14

Qeyd edək ki, həlledici impuls keçid xarakteristikasının Z

çevirməsi )(zW , yəni )(}{ zWwZ i -dir.

Onu da qeyd edək ki, praktikada bir çox hallarda kəsilməz

siqnalların ölçülməsində onlar zamanın diskret anlarına çevrilir ki,

bu da verilənlərin EHM-də sonrakı emalını asanlaşdırır. Belə bir

sual meydana çıxır: kəsilməz obyektləri təxmini də olsa diskret

modellərlə təsvir etmək mümkündürmü? Qeyd edək ki, belə hal

mümkündür və kəsilməz modeldən diskret modelə keçmək üçün

aşağıdakı üsullardan istifadə edilir.

1. Z-çevirməsinin tətbiqi ilə. Bu aşağıdakı kimi təsvir edilir:

)()()()()}({)( 1 kk wZzWwkTwtwpWLpW

2. Kəsilməz obyekti təsvir edən diferensial tənlikdə

törəmələrin fərqlə əvəz edilməsi ilə (verilən üsul yalnız T -nin kiçik

qiymətlərində lazımi dəqiqliyi təmin edə bilir ):

T

yy

dt

tdy kk 1)( ; 2

21

2

2 2)(

T

yyy

dt

tyd kkk və s.

3. )1()1(2 zzTp əvəzləməsi ilə (A.Tastin

tərəfindən təklif edilmiş bixətti çevirmə adlanan təqribi üsul) yəni,

)()(1

12 zWpWz

z

Tp

Kəsilməz sistemlərdə olduğu kimi diskret obyektlər üçün də

vəziyyət dəyişənləri ilə

11 kkk BuAXX ,

kkk DuCXy

ifadə olunmuş keçid funksiyası və tezlik xaraktersitikaları istifadə

edilə bilər.

Qeyd edək ki, pTez 1 gecikmə operatorudur yəni,

1

1

kk uuz , 22

kk uuz və s. Mövcud vəziyyəti nəzərə alaraq və

kəsilməz zaman kimi diskret zaman anlarını da t ilə işarə edib,

küyün də təsirini nəzərə almaq şərtilə zaman oblastında diskret

obyektlərin geniş yayılmış bir neçə modelinə baxaq.

15

1. Avtoreqresiya modeli AR (AutoRegressive) - ən sadə

yazılış hesab edilir:

)()()( tetyzA ,

burada nanazazazazA ...1)( 22

1

1

2. ARX modeli (AutoRegressive with External input) - daha

mürrəkəb formaya malikdir.

)()()()()( tetuzBtyzA ,

və ya çevrilmiş formada

)()(...)1()()(...)1()( 211 temtubtubtubntyatyaty nbna

burada və aşağıda )(te - diskret ağ küydür. 11

21 ...)( nbnbzbzbbzB

3. ARMAX model (AutoRegressive-Moving Average with

External input):

)()()()()()( tezCnktuzBtyzA

burada nk - gecikmənin ölçüsüdür. nc

nczczczczC ...1)( 22

1

1

4. “ Giriş-çıxış” modeli (ingilisdilli mənbələrdə belə model

“Output-Error” (“çıxış-səhv”) adlandırılır, qısaca olaraq OE).

)()()(

)()( tenktu

zF

zBty

burada nfnf zfzfzfzF ...1)( 22

1

1

5. Boks-Cenkins modeli.

)()(

)()(

)(

)()( te

zD

zCnktu

zF

zBzy

)(),(),( zCzFzB polinomları əvvəlcədən müəyyən edilib. nd

nd zdzdzdzD ...1)( 22

1

1

Verilən modellərə ümumiləşmiş parametrik xətti strukturun

)()(

)()(

)(

)()()( te

zD

zCnktu

zF

zBtyzA

xüsusi halı kimi baxmaq olar.

16

6. Vəziyyət dəyişənləri üçün model (State space):

)()()1( tButAxtx

)()()()( tvtDutCxty

harada ki, A, B, C, D – uyğun ölçülü matrislər, )(tv - isə

müşahidələrin korrelyasiya olunmuş küyüdür.

Verilən modelin başqa təsvir forması da (kanonik)

mövcuddur.

)()()()1( tKetButAxtx

)()()()( tetDutCxty

harada ki, K - müəyyən bir matris (sütun - vektor), )(te -

diskret ağ küydür (skalyar).

1.3. İdentifikasiya anlayışı və üsulları

İdentifikasiya – obyekt ilə onun axtarılan modelinin əsas

əlamətlərinin eyniliyi məsələsini öyrənən elmi istiqamətdir.

Avtomatik idarəetmə obyektlərinin müəyyən mənada

əlverişli modelini qurmağa imkan verən identifikasiya üsulları

obyektin təcrübi verilmiş koordinatları əsasında onun dinamik

modelini tapmaq məsələsini həll edir. Obyektin dəyişənləri

haqqında informasiya verildikdə onun struktur və parametrlərinin

seçilməsi identifikasiyanın keyfiyyətini xarakterizə edən müəyyən

meyara əsaslanır.

Obyektin strukturu, habelə onun modelinin hansı şəkildə

seçilməsi aprior məlumatdan, identifikasiyanın məqsədindən,

təcrübələrin təşkili və emalı imkanından asılı olub, əsasən evristik

xarakter daşıyır. Ona görə də həmin prosesi alqoritmləşdirmək

çətindir. Obyektin parametrlərinin seçilməsi isə ciddi riyazi

qaydalara əsaslanır.

İdentifikasiyanın məqsədindən asılı olaraq, obyekt haqqında

informasiyanın toplanması və emalı müxtəlif rejimdə, müxtəlif

17

vasitələrlə yerinə yetirilir. Əgər identifikasiyanın məqsədi obyekti

öyrənmək, yaxud müəyyən sistemi layihələndirməkdirsə, keçmiş

informasiyadan istifadə etmək və onu əldə olan hər hansı hesablama

vasitəsilə emal etmək olar. Əgər obyektin xarakteristikası qeyri –

stasionardırsa, real zamanda identifikasiya məsələsi həll edilməli,

bu məqsədlə cari informasiyadan və xüsusi emal vasitələrindən

istifadə olunmalıdır.

Sonuncu halda əksər vaxt obyektin normal iş rejiminə dair

cari informasiyanın sərbəst dəyişməsi müşahidə edilir. Bəzən

məqsədəuyğun şəkildə təşkil edilmiş aktiv təcrübələr nəticəsində

alınan informasiyadan istifadə etmək daha sərfəlidir.

İdarəetmə obyektinin növündən, verilən informasiyadan və

identifikasiya məqsədindən asılı olaraq müxtəlif keyfiyyət meyarı,

identifikasiya modeli və alqoritmi tətbiq etmək olar. Burada

sadalanan məsələlərin araşdırılması və səmərəli identifikasiya

üsullarının yaradılması identifikasiya nəzəriyyəsinin əsas

məzmununu təşkil edir.

Məlumdur ki, idarəetmə obyektinə u(t) giriş informasiyasını

müəyyən qayda ilə y(t) çıxış siqnalına çevirən operator kimi

baxmaq olar. y(t)Y kəmiyyətini almaq üçün u(t) funksiyası üzərində aparılan əməliyyatları simvolik olaraq y(t)=A(u(t)) kimi

ifadə etmək olar.

Məlum u(t), y(t) siqnallarına görə sistemin A operatorunun

tapılması kibernetik diaqnostikanın, yəni identifikasiya məsələsinin

əməli istiqamətidir.

Axtarılan A operatorunun şəklindən asılı olaraq parametrik və qeyri

- parametrik identifikasiya məsələləri həll edilir. Operatorun

strukturu əvvəlcədən verildikdə onun naməlum parametrlərini

tapmaq lazımdırsa, buna parametrik identifikasiya məsələsi deyilir.

Məsələn, tərtibi verilmiş xətti diferensial tənliyin, sıfır və qütbləri

sayı verilən ötürmə funksiyasının, aşkar şəkildə verilmiş çəki

funksiyasının naməlum əmsallarının tapılması parametrik identifi-

kasiya məsələsidir.

Giriş siqnalını çıxış siqnalına çevirən operator strukturu

aşkar olmayan bu və ya digər funksiya (yaxud onun qiymətləri)

18

kimi tapılırsa, bu, qeyri – parametrik identifikasiya məsələsi adlanır.

Məsələn, strukturu aşkar verilməyən keçid funksiyalarının

qiymətlər çoxluğunun, həqiqi və ya xəyali tezlik xarakteristika-

sının, ötürmə funksiyasının amplituda və fazasının tapılması qeyri-

parametrik identifikasiya məsələsi hesab edilir.

Qeyd edildiyi kimi, obyekt haqqında aprior informasiyadan,

təcrübənin aparılma imkanından, identifikasiyanın son məqsədindən

və bəzi digər amillərdən asılı olaraq hər hansı operatorun tapılması

parametrik, yaxud qeyri-parametrik identifikasiya məsələsinə

gətirilir.

Bu və ya digər identifikasiya məsələsinin həlli bir neçə əsas

mərhələyə ayrılır:

- obyektin mövcud iş şəraiti, habelə xassələri haqqında aprior məlumata əsasən identifikasiya üsulunun seçilməsi;

- obyektin iş şəraitinə uyğun sınaq təsirlərinin və sınaq rejiminin seçilməsi;

- təcrübi verilənlərin emal alqoritminin seçilməsi və ya tərtib edilməsi;

- verilənlərin emalı və nəticənin araşdırılması; - modelin obyektə oxşarlığının (adekvatlığının) yoxlanması; Ümumi şəkildə identifikasiya məsələsi aşağıdakı kimi qoyula bilər:

y=f(y,u,c,t), u(t 0 )=u 0 (1.1)

tənliyi ilə təsvir olunduğu güman edilən obyektin u(t) giriş

idarəetmə vektoru y * (t) çıxış vektoru təcrübi verildikdə elə c

parametrlər vektoru tapmaq lazımdır ki,

J= 1

0

)](),,([ *t

t

dttytcyF (1.2)

meyarı minimum olsun. Burada y * (t) – obyektin ölçülən çıxış

vektoru; y(t) – modelin çıxış vektoru; F(0) – xəta (itki) funksiyası; J

– identifikasiyanın keyfiyyət göstəricisidir.

19

Qeyd edək ki, ən ümumi halda (1.1) tənliyi qeyri-xətti

şəkildə olur. Habelə, y(t) vektorunun komponentləri sayı, yəni

modelin tərtibi verilmir. Bu halda naməlum parametrlər vektoruna

sistemin tərtibini göstərən ədəd də daxil edilir. Lakin sadəlik üçün

lazım gələrsə, tərtibi ardıcıl yaxınlaşma qaydası ilə seçmək

mümkün olduğundan, onu əvvəlcədən məlum parametr kimi qəbul

etmək məsləhətdir.

Xəta və ya itki funksiyası çox vaxt real obyektlə axtarılan

modelin çıxışları fərqinin kvadratik qiyməti kimi götürülür. Lakin

prinsipcə digər F() xəta funksiyalarından da istifadə etmək olar:

F()= 2 (t); F()=(t); F()= -ln p()

Burada (t)=y(t)-y * (t); p() – xətanın paylanma sıxlığıdır. Bu funksiyalardan asılı olaraq identifikasiyanın müxtəlif keyfiyyət

meyarı qəbul edilir.

Ümumiyyətlə, keyfiyyət meyarı itki funksiyasının riyazi gözləməsi

(yaxud orta qiyməti) kimi təyin edilir:

J(c)=M{F()}

Gələcəkdə hər bir identifikasiya üsuluna baxılarkən konkret J(c)

meyarından istifadə ediləcək. Odur ki, burada onları ətraflı şərh

etməyə ehtiyac yoxdur.

Dinamik obyektlərin identifikasiyası dedikdə onların riyazi

modelinin struktur və parametrlərinin təyin edilməsi başa düşülür.

Bu halda obyekt və modelin giriş siqnallarının bərabərliyi şərtində,

mövcud müəyyən keyfiyyət kriyeriyasına əsasən model və obyektin

çıxışının yaxınlığı təmin edilir.

Adətən identifikasiya çoxmərhələli prosedurdur. Onun əsas

mərhələləri aşağıdakılardır:

1) Struktur identifikasiya - nəzəri mülahizələrə əsasən riyazi

modelin strukturunun müəyyən edilməsindən ibarətdir.

20

2) Parametrik identifikasiya – identifikasiya təcrübəsinin

aparılması və təcrübi verilənlərə əsasən modelin parametrlərinin

qiymətinin tapılmasını özündə birləşdirir.

3) Adekvatlığın yoxlanması – seçilmiş kriteriyaya görə

model və obyektin çıxışının yaxınlığına əsasən modelin

keyfiyyətinin yoxlanması.

Qeyd edək ki, obyekt və onların modelləşdirilməsi üsulunun

müxtəlifliyi ilə əlaqədar parametrik identifikasiyanın həllinin şəkil

1.2- də göstərilmiş çoxlu sayda variantları mövcuddur.

21

Şəkil 1.2. İdentifikasiya məsələsinin növləri.

Obyektin

tipinə görə

Qeyri-xətti

Stasionar

Qeyri-stasionar

Diskret

Modelin görü-

nüşünə görə

İmpuls

xarakteristikası

Keçid

funksiyası

Tezlik xarak-

teristikaları

Diferensial

tənliklər

Fərq tənlikləri

İnformasiyanın

emalı üsuluna

gorə

Statik

Qeyri-statik

Təcrübənin

tipinə görə

Aktiv

Passiv

İdentifikasiya məsələləri

Xətti

Kəsilməz

22

2. EKSPERİMENTLƏRİN PLANLAŞDIRILMASI

2.1. Təcrübələrin təşkili və sınaq siqnalları vasitəsilə

identifikasiya

İdarəetmə obyektinin öyrənilməsi üçün xüsusi təcrübələr

aparmaqla keçid proseslərinə uyğun müəyyən xarakteristiaları

almaq lazımdır. Təcrübənin nəticələrini araşdırmaqla obyektin

xəttiliyi, qeyri-xəttiliyi, stasionarlığı, qeyri- stasionarlığı, sistemin

koordinatları arasında əlaqə dərəcəsi, kəmiyyətlərin dəyişmə

xarakteri və s. müəyyən edilir. Bu zaman təcrübənin planlaşdırması,

təsadüfi kəmiyyət və proseslərin statistik təhlil üsullarından istifadə

edilir. Aprior məlumat, habelə təcrübələr əsasında öyrənilən

obyektin idarəedici və həyəcanlandırıcı giriş təsirləri ilə çıxış

dəyişənləri arasında əlaqə kanalları müəyyən edilir.

Göstərilən ilkin araşdırmalar nəticəsində obyektin riyazi

modelinin tipi və ümumi quruluşu təyin edilir və sonrakı

təcrübələrin aprılması planlaşdırılır. Mövcud imkanlardan asılı

olaraq aktiv, yaxud passiv təcrübələr planlaşdırıla bilər. Aktiv

təcrübələrdə obyektin girişinə bu və ya digər şəkildə (məlum, yaxud

təsadüfi) həyəcanlandırıcı siqnal verilərək obyektin çıxış siqnalları

qeyd edilir.

Aktiv təcrübələr qısa vaxtda, daha az məlumat əsasında

obyektdə gedən səciyyəvi prosesləri üzə çıxarmağa, idarəetmə

məqsədini təmin edən informatik riyazi model almağa imkan verir.

Lakin aktiv təcrübələrdən sənaye qurğularında istifadə etmək

həmişə mümkün olmur. Çünki bu, texnoloji prosesin normal

gedişinin pozulmasına və digər xoşagəlməz hadisələrə səbəb ola

bilər. Ona görə də bəzən aktiv təcrübələrdən istifadə etmək sərfəli

deyildir.

Passiv təcrübələr zamanı obyektdə gedən prosesə müdaxilə

edilmədən onun əsas giriş və çıxış dəyişənləri qeyd edilir. Bu üsul

real sənaye qurğusunda bilavasitə müşahidələr aparmaqla alınan

informasiyadan, həm də arxiv maddilarından istifadə etməyə imkan

verir. Bunlar passiv təcrübələrin müsbət cəhətləridir.

23

Passiv təcrübələr obyekt üzərində uzunmüddətli müşahidələr

aparmağı, böyük həcmli məlumatın mürəkkəb alqoritmlərlə emalını

tələb edir. Obyektin parametrləri kiçik oblastda dəyişdiyi üçün bir

çox hallarda prosesi xarakterizə edən dəqiq model almaq olmur.

Aktiv təcrübələrin aparılması üçün həyəcanlandırıcı təsirin

tipi və parametrləri (amplitudası, tezliyi) seçildikdən sonra bu və ya

digər siqnala obyektin reaksiyası müşahidə edilir. Belə təcrübə

zamanı giriş və çıxış siqnalları məlum və ya təsadüfi xarakter

daşıya bilər. Şəkil 2.1 və 2.2-də uyğun olaraq ikilik və təsadüfi giriş

siqnallarına obyektin reaksiyası göstərilmişdir.

Bir sıra hallarda obyektin reaksiyasını öyrənmək məqsədilə

optimal təcrübə planlarından istifadə edilir. Bu zaman təcrübə planı

müəyyən optimallıq meyarına görə seçilir. Optimallıq meyarı kimi

giriş təsirlərinin qiymətlərindən düzəlmiş matrisin müəyyən

xarakteristikalarının minimallığı götürülür. Məsələn, D-optimal

adlanan planın qurulması aşağıdakı meyarla müəyyən edilir:

D( * )=min D( N ),

burada N - giriş siqnalının müxtəlif N ədədinə uyğun mümkün

qiymətləri çoxluğu; D() – dispersiya matrisidir. Əgər ortoqonal

plan qurmaq mümkündürsə, onda dispersiya matrisinin izini mini-

mumlaşdırmaq lazımdır. Bu məsələlər mümkün planlar çoxlu-

ğundan ən yaxşısını seçməyə və nisbətən az informasiya əsasında

praktiki tələb olunan dəqiqliyə malik model qurmağa imkan verir.

Diskret siqnallar ardıcıllığı üçün normallaşmış təcrübə planı

aşağıdakı kimi verilir:

=

N

n

PPP

tututu

,....,

)(),....(),(

21

21

24

Şəkil 2.1. Obyektin ikilik giriş siqnalına reaksiyası

Şəkil 2.2. Obyektin təsadüfi giriş siqnalına reaksiyası

25

burada pi - diskret u(ti) siqnalının tezliyidir.

Bu planlara uyğun alınan periodik ikili siqnallar aşağıdakı şərtləri

ödəməlidir:

M ,0)( jtu M 1)(2 jtu , M 0)( jjtu

burada u(t j ) – idarəedici giriş siqnalı; (t j ) – təsiri nəzərə

alınmayan və ölçülə bilməyən əngəl siqnallarıdır.

Bu halda identifikasiya məsələsi obyektin reaksiyasına y(t j )

diskret siqnallarına əsasən:

y(t j )=

1

1i

if (u(t j ))a i , j= N,1

şəkilli ifadədən a i parametrlərinin tapılmasına gətirilir. Burada

f i (u(t j )) verilmiş funksiyalardır. Bu zaman ən kiçik kvadratlar

üsulundan istifadə edilir.

Analoji olaraq başqa növ sınaq siqnallarında müəyyən

parametrlərin, yaxud müəyyən keçid xarakteristikalarının tapılması

məsələsinə baxıla bilər. Xüsusi hallarda təcrübi nöqtələri

aproksimasiya edən funksiyaların parametrləri axtarılır. Bu

baxımdan

k(t)=

r

i

ia1

t i , k(t)=

r

i 1

i ei t, ...

şəkilli impuls keçid funksiyalarının,

W(s)=

m

i

ib0

s i /

n

i

ia0

s i , m n

26

kimi ötürmə funksiyalarının naməlum parametrlərinin tapılması

qarşıya çıxa bilər.

Təcrübi tapılmış keçid xarakteristikalarını ortoqonal funksiya-

larla aproksimasiya etmək daha məqsədəuyğundur.

2.2. Tam faktorlu eksperimentlər əsasında identifikasiya

Çox faktorlu proseslər üçün, faktorlar arasında qarşılıqlı

statistik əlaqənin riyazi ifadəsini təyin etmək üçün eksperimentlərin

riyazi planlaşdırılması metodlarından istifadə edilir.

Müxtəlif faktorların dəyişməsi nəticəsində alınan effekti

klassik metodla təyin etdikdə yalnız bir faktordan başqa hamısı

sabit saxlanılır və baxılan intervalda yalnız bir faktor ardıcıl olaraq

dəyişdirilir. Bu metodun bir çox çatışmayan cəhətləri vardır, hətta

bəzi hallarda səhv nəticələrə gətirib çıxarır. Ən başlıça çatışmayan

cəhəti ondan ibarətdir ki, bu metodla faktorların qarşılıqlı əlaqəsini

tam aşkara çıxarmaq olmur.

Baxılan faktorlara uyğun gələn kxxx ,...,, 21 dəyişənlər

yığımını vektor-sütün

kx

x

x

x

2

1

şəklində göstərək. x vektorun təyin olunduğu k ölçülü fəza faktor fəzası adlanır.

Eksperimentlərin riyazi planlaşdırılması metodu klassik

metoddan fərqli olaraq, ondan ibarətdir ki, eksperiment apardıqda

yalnız bir parametr deyil, eyni zamanda baxılan prosesin bütün

faktorları dəyişdirilir. Bunun nəticəsində təcrübələrin sayı azalır,

əmək məhsuldarlığı artır və səhv nəticələrin alınması ehtimalı aşağı

27

düşür. Riyazi modelinin qurulması tələb olunan prosesin dəyişənləri

arasında qarşılıqlı əlaqənin xarakteri haqqında heç bir nəzəri

mülahizə yoxdursa, onda asılılığın növü aprior olaraq seçilir.

Reqressiya və korrelyasiya təhlilində olduğu kimi, burada da 1-ci və

2-ci tərtibli polinomlardan istifadə olunur. İki dəyişənli faktorlar

üçün bu polinomlar aşağıdakı kimi olur:

22110 хахаау (2.1)

Aktiv eksperimentin riyazi planlaşdırılmasında faktorların

əsas səviyyələrini və onların qiymətinin dəyişmə intervalını seçmək

lazımdır. Eksperimentin birinci addımında başlanqıc səviyyə olaraq

faktorlar üçün texnoloji prosesin normal rejiminə uyğun qiymətləri

seçilir.

Aktiv eksperiment apardıqda yazılışı və nəticələrin işlənməsi

prosesini sadələşdirmək üçün dəyişənlərin miqyasları elə seçilir ki,

faktorun yuxarı səviyyəsi +1-ə, aşağı səviyyəsi –1-ə, əsas səviyyəsi

«0»-a uyğun gəlsin. Arasıkəsilməz dəyişənlər üçün bu

normalaşdırmatələbi faktorlarının iх~ mütləq qiymətlərinin nisbi xi-

lərə çevrilməsi yolu ilə yerinə yetirilir, yəni:

i0iii I/x~x~х , (2.2)

harada ki, 0iх~ - dəyişənin əsas səviyyəsinin qiyməti, hansına görə

ki, dəyişmə aparılır, Ii - dəyişmə intervalı.

Eksperimentlərin riyazi planlaşdırılmasında iki növ aktiv

eksperiment tam faktorlu və kəsr faktoru eksperimentlər bir-

birindən seçilir.

Tam faktorlu eksperimentdə səviyyələrin bütün mümkün

birləşmələri kombinasiyaları reallaşdırılır. Baxılan prossesin

vəziyyətini qiymətləndirmək üçün sınaqların təcrübələrin sayı N bu

halda N = 2k olur ki, k – qiymətləri dəyişdirilən dəyişənlərin -

faktorların sayıdır. Belə ki, üç dəyişən üçün aşağıdakı planlaşdırma

matrisi üzrə 8 sınaq aparmaq lazımdır.

28

Sınaq nömrəsi x1 x2 x3 y

1 -1 -1 -1 y1

2 +1 -1 -1 y2

3 -1 +1 -1 y3

4 +1 +1 -1 y4

5 -1 -1 +1 y5

6 +1 -1 +1 y6

7 -1 +1 +1 y7

8 +1 +1 +1 y8

Tam faktorlu eksperimentin nəticələrinə əsasən (2.1) polino-

munun əmsalları təyin edilir:

k0,i

,N

xy

a

N

1j

ijj

i (2.3)

Burada i – faktorun nömrəsidir, xi faktoru i = 0 olduqda (x0) fiktiv

faktor adlanır və a0 əmsalının hesablanması üçün daxil edilir. Fiktiv

faktora bütün sınaqlarda sabit qiymət (məs. +1) verilir.

Tam faktorlu eksperimentin mənfi cəhəti ondan ibarətdir ki,

faktorların sayı artdıqca eksperimentlərin sayı çox böyük sürətlə

artır.

İkinci və yüksək tərtibli qarşılıqlı təsirlər olmadıqda və ya çox

kiçik olduqda tam faktorlu eksperimentin yalnız bir hissəsinə malik

planlaşdırma matrisinin reallaşdırılması məqsədəuyğundur ki, bu da

kəsr faktorlu eksperiment adlanır. Bu eksperimentin tətbiq olunma-

sının məzmunu ondan ibarətdir ki, polinomun hədlərinin sayı,

baxılan öyrənilən prosesə zəif təsir edən faktorların əsas faktorlarla

qarışdırılması hesabına azaldılır. Düzgün seçilmiş kəsr faktorlu

eksperiment planlaşdırılan müşahidələrin sayını kəskin azaldır.

Məsələn, tutaq ki, üç faktor üçün aşağıdakı reqressiya

tənliyinə baxılır:

29

311321123322110 xxxxxxxy

3211233223 xxxxx (2.4)

Bu halda tam faktorlu eksperiment qurulduqda səkkiz təcrübə

aparılmalıdır. Əgər x1x2 = x3 qəbul etsək, onda təcrübələrin sayını

dördə gədər endirmək olar ki, bu halda xətti reqressiya tənliyi

3322110 xbxbxbby (2.5)

planlaşdırma matrisi isə aşağıdakı kimi olacaqdır.

Təcrübə x0 x1 x2 x3 y

1 +1 -1 -1 +1 y1

2 +1 +1 -1 -1 y2

3 +1 -1 +1 -1 Y3

4 +1 +1 -1 +1 Y4

Həqiqətən, (2.4) ifadəsində x3 = x1x2 yazıb, 1х2

i

olduğunu nəzərə alsaq, (2.5) ifadəsini alarıq. Bu halda təyin

olunmuş hər bir əmsal iki nəzəri əmsalın cəmindən ibarət olacaqdır:

12331322231112300 b;b;b;b

yəni i əmsallarını ayrılıqda qiymətləndirmək mümkün olmur.

Faktorlar arasındakı əlaqəni ifadə edən reqressiya tənliyi

ikitərtibli polinom olduqda, yəni

k

1i,j

k

1i

2

iiiijij

k

1i

ii0 xbxbxbby

faktorların yalnız 2 səviyyəsi kifayət etmir. Bu halda 3 səviyyəli

plan - 3k tipli plan təklif olunur.

30

2.3.Kəsr faktorlu eksperimentlər əsasında identifikasiya

Faktorların sayı 3-dən çox olduqda, tam faktorlu eksperi-

ment (TFE) tədqiq olunan obyektin riyazi modelinin alınmasında

səmərəli hesab olunur. Bu halda faktorların sayının (n) artması

eksperimentlərin sayını kəskin artırır. Əlbəttə ki, bu da riyazi

modelin dəqiqliyini artırsa da eyni zamanda tələb olunan xərcləri və

vaxtı artırır.

Təcrübə göstərir ki reqressiya əmsallarının

qiymətləndirmələrini lazımi dəqiqliklə almaq üçün az saylı

təcrübələrlə kifayətlənmək olar. Bu məqsədlə kəsr faktorlu

eksperiment ( KFE) anlayışı daxil edilir ki, bu da TFE-nin müəyyən

(8

1,

4

1,

2

1 və s.) hissəsini təşkil edir və bəzi hallarda kəsr replikalar

adlandırılır.

Təcrübələrin sayının ixtisara salınması öz növbəsində

planlaşdırma matrisinin sütunları arasında korrelyasiya yaradır. Bu

isə faktorların ayılıqda və qarşılıqlı təsirlərini qiymətləndirməyə

imkan vermir.

Tutaq ki, obyektin çıxış kəmiyyəti (replikası) üç dəyişənli

xətti reqressiya ilə təyin edilir və bu halda TFE əsasında 8

eksperimentin aparılması tələb olunur. Bu məsələni KFE əsasında

planın 2

1 dəfə ixtisarla yerinə yetirilməsi üçün, TFE-nin üçüncü

faktoru( 3x ) olaraq, faktorların 21 xx hasili götürülür.( cədvəl 2.1)

Cədvəl 2.1

Eksperimentlərin planlaşdırma matrisi

Sınaq

x0

Plan Vəziyyət

dəyişəni yu x1 x2 x3=x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1

y 2 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

2y

3 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 3

y 4 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1

4y

31

Bu plana əsasən b0, b1 b2 b3 reqressiya əmsallarını

qiymətləndirmək olar və bu halda reqressiya əmsallarının

qiymətləndirilmələri cütlüklərin qarşılıqlı təsirləri ilə qarışacaqdır,

yəni

1230

/

0

123

/

3

132

/

2

231

/

1

b

b

b

b

harada ki, i

-ümumi verilənlərin reqressiya əmsallardır; i

b -

onların qiymətləndirmələridir.

Bu eksperiment planında 1

x sütunu, 32

xx sütunu ilə, 2

x

sütunu isə 321

xxx sütuna 0

x sütunu ilə üst-üstə düşür.

KFE üçün 212

xxx qəbul etməklə başqa bir yarımreplika

reallaşdırmaq olar (cədvəl 2). Bu planlaşdırma matrisindən istifadə

edərək reqressiya əmsallarının qarışıq qiymətləndirilməsini almaq

olar:

2311 b

1322 b

1213 b

12300 b

32

Cədvəl 2.2

Eksperimentlərin planlaşdırılma matrisi

Sına

q 0

x

Plan Vəziyyə

t

dəyişəni

uy

1x

2

x

213

xxx

31

xx

32

xx

321

xxx

1

2

3

4

+1

+1

+1

+1

+

1

-1

+

1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

1y

2y

3y

4y

Göstərilən matrisləri birləşdirib, xətti effektləri ayrılıqda

təyin olunan 23 tipli planı alırıq. Birinci və ikinci sistemlər üçün

qarışıq qiymətlərini cəmləməklə və çıxmaqla, aşağıdakı sürüşməmiş

qiymətləndirmələri ala bilərik:

,2

,2

2

22

21

11

1

bbb

bbb və s.

Göstərilən misaldan aydın olur ki, TFE hissələrə elə bölünür

ki, KFE üçün olan ortoqonallıq və rototabellik kimi əsas

xüsusiyyətlər yerində qalır.

33

3. XƏTTİ STATİK MODELLƏRİN İDENTİFİKASİYASI

Bu hissədə bir və ya bir neçə dəyişənli xətti reqresiya

modellərinin xüsusiyyətlərinə və parametrlərinin hesablanmasına

baxılır. Bununla yanaşı, qeyri-xətti reqresiya modellərindən geniş

istifadə olunan parabolik reqresiya modelinin parametrlərinin

tapılması və bir çox başqa qeyri-xətti reqresiya modellərinin

xüsusiyyətləri açıqlanır. Proqnoz modellərində isə reqresiya üsulu

ilə yanaşı sürüşən orta və eksponensial formalama metodları izah

olunur. Göstərilən modellər və metodlar əsasən real misalların həlli

əsasında göstərilir və MS Excel proqram paketi vasitəsi ilə

kompüter reallaşdırılması verilir.

3.1. Xətti reqresiya modelinin parametrlərinin təyini

Fərz edək ki, x və y kəmiyətləri arasındakı əlaqəni təyin

etmək tələb olunur və bu məqsədlə n sayda müşahidələr və ya

eksperimentlərin nəticələri ( , ), i= ədədlər cütlüyü şəklində

təsvir olunmuşdur. Bu nəticələrə görə nöqtələrin paylanması qrafiki

olaraq qurulur (şəkil 3.1) və korrelyasiya əmsalının qiyməti (3.1)

ifadəsinə əsasən hesablanır.

Əgər olarsa, onda reqresiya

asılılığı şəklidə xətti funksiya ilə ifadə edilə bilər, yəni

(3.1)

harada ki, x – qeyriasılı, y isə asılı dəyişəndir; a və b isə reqresiya

tənliyinin əmsalları olub, b – düz xəttin dikliyini, a -isə y oxu ilə

kəsişmə nöqtəsini göstərir.

34

Şəkil 3.1. Müşahidə nöqtələrinin paylanması.

Burada əsas məsələ verilmiş statistik və ya eksperimental

verilənlər çoxluğunun müəyyən meyar əsasında məqsədə uyğun düz

xətlə aproksimasiya edilməsidir. Bu məqsədlə bütün nöqtələrin düz

xəttdən meyl etmələrinin kvadratları cəminin minimum olması

meyarından istifadə olunur ki, bu da ən kiçik kvadratlar metodu

(ƏKM) adlandırılır. ƏKM-in əsasını təşkil edən meyar

(3.2)

kimi ifadə edilir. Bu ifadənin minimum qiymətini təmin etmək üçün

a və b əmsallarına nəzərən (3.2) ifadəsindən xüsusi törəmələr alıb

sıfra bərabər etmək lazımdır, yəni

şərtlərindən

(3.3)

Y

X

35

tənliklər sistemi alınır ki, bu sistemin həlli əsasında (3.2) xətti

reqresiya modelinin a və b əmsallarının, (3.3) meyarının

minimumunu ödəyən qiymətləri aşağıdakı ifadələr əsasında

hesablanır

(3.4)

(3.5)

Beləliklə,a və b əmsalları tapıldıqdan sonra (3.1) modelinin

verilənlərə adekvatlığını orta kvadratik meyletmə əsasında

aşagıdakı kimi tapmaq olar:

(3.6)

–nin kiçik olması, tapılmış reqresiya modelinin adekvatlığının

yüksək olmasını göstərir.

Misal. Aşağıdakı nöqtələr çoxluğunun xətti reqresiya

modelini tapmalı.

Cədvəl 3.1.

2.0 5.5 4.0 11.0 5.54 -0.06 0.0036

4.0 6.3 16.0 25.2 6.33 0.03 0.0009

6.0 7.2 36.0 43.2 7.12 -0.08 0.0064

8.0 8.0 64.0 64.0 7.91 -0.09 0.0081

10.0 8.6 100.0 86.0 8.7 0.1 0.01

Cədvəldən aşağıdakı verilənləri tapırıq

36

Bu alınan qiymətləri (3.4) və (3.5) ifadələrində yerinə

qoymaqla aşağıdakıları alırıq

Beləliklə,axtarılan funksiya aşağıdakı kimi olacaq

Statik verilənlərin sayı çox olduqda belə məsələlərin həlli

çox vaxt tələb edir və hesablamalarda səhv etmək ehtimalı çoxalır.

Odur ki, MS Excel proqram paketinin köməyi ilə bu tip məsələləri

çox asanlıqla həll etmək və qrafiki təsvirini vermək mümkündür.

Bunun üçün isə yalnız verilənləri daxil edib və bir neçə MS Excel

funksiyalarından istifadə etmək lazım gəlir.

İndi isə yuxarıda göstərilən misalın MS Excel vasitəsilə

həllinə baxaq.

37

Başqa sözlə cədvəl 3.1-də göstərilən nöqtələr çoxluğundan

istifadə edərək (3.1) funksiyası ilə təyin olunan reqresiya asılılığını

tapmaq lazımdır. Bunun üçün aşağıdakı ardıcıllıqdan istifadə etmək

lazımdır.

1. x və y –in qiymətləri MS Excel cədvəlində A və B sütunlarinda yerləşdirilir və onlari qeyd edib Chart

Wizard düyməsini sıxmaq lazımdır.

2. Yeni açılmış pəncərədə qrafikin növünü seçmək lazımdır. Bu halda biz Scatter qrafikini seçib Next

düyməsini sıxmaq lazımdır.

3. Sonra qrafikin tipini və xüsusiyyətlərini daxil edib yenə də Next düyməsini sıxırıq.

4. Sonda qrafikin harada yerləşməsini təyin edib Finish düyməsini sıxırıq.

Şəkil 3.2. MS Excel-də alınmış xətti reqresiya modeli və onun

qrafiki təsviri.

Yuxarıda göstərilən əməliyyatlar ardıcıllığını yerinə yetir-

dikdən sonra şəkil 3.2-də göstərilən Excel vərəqini alırıq. Burada X-

verilən qiymət, Y-təcrübədən alınan nəticələr, y - hesablamadan

38

alınan qiymətlər, və isə (3.1) funksiyasının əmsallarıdır. y-i

tapmaq üçün biz və -in qiymətlərini bilməliyik. MS Excel-in

köməyi ilə bu əmsalları və R2-i qrafik üzərində təsvir edə bilərik.

Bunun üçün Chart menyusundan Add Trendline əmri seçilir.

Açılan pəncərədə reqresiyanın növü seçılır. Baxılan halda bu xətti

reqresiyadır. Sonra həmin pəncərədə Options menyusunda

funksiyanın və R2-in təsvir olunması üçün müvafiq xanalar seçilir.

və -in qiymətləri məlum olandan sonra C2 xanası seçilir və ora

aşağıdakı kimi funksiya daxil edilir və Enter düyməsi sıxılır:

=0,395*A2+4,75

Sonra C2 xanası seçılır və xananın konturunun aşağı sağ

küncündən kursor ilə seçilib C6-a qədər dartılır. Bu zaman X-in

bütün qiymətlərinə uyğun y-in qiymətləri hesablanıb təsvir

olunacaq.

Yuxarıda göstərilən əməliyyatlar MS Office 2003 proqram

paketi vasitəsilə həyata keçirilib. MS Office 2007 proqram

paketində isə yuxarıda göstərilən əməliyyatlar bir neçə düymənin

sıxılması vasitəsilə həyata keçirilir.

Burada da X və Y-in qiymətləri seçilir, sonra Вставка alətlər

panelindəki Точечная menyusundan Точечная с маркерами qrafik

növü seçilir (şəkil 3.3).

Şəkil 3.3. “Insert” alətlər paneli.

39

Sonra Работа с диаграммами alətlər panelinin Конструк-

тор alt alətlər panelində Макеты диаграмм menyusundan 9-cu

maket seçilir (Şəkil 3.4).

Şəkil 3.4. “Работа с диаграммами” alətlər paneli.

Bundan əlavə Работа с диаграммами alətlər panelindəki

Конструктор, Макет və Формат alətlər panelləri vasitəsilə

qrafikdə istənilən dəyişiklikləri etmək olar.

3.2. Çoxdəyişənli xətti reqresiya modelləri əsasında

identifikasiya

Sadə reqresiya modelindən fərqli olaraq, çoxdəyişənli

reqresiya modelində asılı olmayan dəyişənlərin sayı ikidən çox olur

və ümumi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilir

(3.7)

Burada , - qeyri asılı dəyişənlərdir, ,

- isə uyğun dəyişənlərinin əmsallarıdır. Bu modelin

əsas üstün cəhəti onun böyük miqdarda mövcud informasiyadan

istifadə etməsi və bunun nəticəsində real şəraiti daha dolğun əks

etdirməsidir. (3.7) modelinin a və , əmsallarının

tapılması, sadə reqresiya modelində olduğu kimi ən kiçik kvadratlar

40

metodu əsasında tapılır. Məsələ, ikiölçülü halda n sayda verilənlərə

görə kvadratik xətanın

minnimum şərtindən aşağıdakı tənliklər sistemi alınır:

(3.8)

Bu tənliklər sistemindən axtarılan a, b, və b2 - əmsallarının

qiymətləri tapılır və ikiölçülü reqresiya modelinin orta kvadratik

meyletməsi isə

(3.9)

ifadəsi əsasında tapılır.

Ümumi halda m qeyri asılı dəyişənli reqresiya modeli

həndəsi olaraq (m+1) ölçülü fəzada hipermüstəvini təşkil edir.

Ikidəyişənli reqresiya modelinin həndəsi təsviri üçölçülü fəzada

şəkil 3.5.-də göstərilib.

41

Şəkil 3.5. İkiölçülü reqresiya modelinin həndəsi təsviri.

Misal. Aşağıdakı verilənlərin çoxdəyişənli reqresiya

modelini qurmalı:

Cədvəl 3.2.

20 305 35 6100 700 10675 93025 1225

15 130 98 1950 1470 12740 16900 9604

17 189 83 3213 1411 15687 35721 6889

9 175 76 1575 684 13300 30625 5776

16 101 93 1616 1488 9393 10201 8649

27 269 77 7263 2079 20713 72361 5929

35 421 44 14735 1540 18524 177241 1936

7 195 57 1365 399 11115 38025 3249

22 282 31 6204 682 8742 79524 961

23 203 92 4669 2116 18676 41209 8464

Y

X

2

X

1

42

Cədvəldən aşağıdakı verilənləri tapırıq

Bu qiymətləri (3.8) tənliklər sistemində yerinə yazsaq aşağıdakılar

alınacaq

Bu tənliklər sistemini həll etsək aşağıdakıları alacağıq

Alınanları (3.7) ifadəsində yerinə yazsaq çoxdəyişənli reqresiya

modelini almış oluruq

Sonda alınan bu ifadə ikidəyişənli reqresiya modelinin növlərindən

biridir.

43

3.3. Proqnozlaşdırma modelləri

Verilmiş iki kəmiyyət arasında mövcud olan əlaqəni tədqiq

etdikdə, əgər qeyri-asılı dəyişən kimi zaman (t) istifadə edilirsə,

onda bu statistik verilənlər zaman sırası adlanır. Bele sıraya misal

olaraq, Azenerji sistemində elektrik enerjisinə olan aylıq və ya illik

tələbatları, neft və qazçıxarmada ümumi hasilatın aylar və ya illər

üzrə dəyişməsi və s. göstərmək olar.

Zaman sıralarının təhlilində əsas məqsəd, verilən statistik

qiymətlərə əsasən, yazılan kəmiyyətin bir və ya bir neçə gələcək

anlardakı qiymətlərinin tapılmasından ibarətdir ki, bu proses

proqnozlaşdırma məsələsi adlandırılır. Bu məsələnin həlli, yəni

zaman sıralarının təhlili üçün əsasən üç növ modeldən istifadə

edilir:

1. Sürüşən ortalar metodu. 2. Eksponensial hamarlama modeli. 3. Reqresiya modeli. Sürüşən ortalar. Bu üsul proqnozlaşdırma məsələsinin həlli

üçün sadə yol olub, əvvəlki n sayda faktiki qiymətlərinin

ortalaşdırılması əsasında, növbəti anlardakı proqnoz qiymətlərinin

tapılmasına əsaslanır. Burada n ortalaşdırılan verilənlərin sayı olub,

3-7 intervalında qiymət alır və onun seçılməsi aparılmış

eksperimentlərin və ya statistik verilənlərin xüsusiyyətlərinə

əsaslanır.

Sürüşən ortalar əsasında proqnozlaşdırma məsələsinin

həllinin riyazi modeli aşağıdakı kimidir:

harada ki: t – cari dövr (an) üçün onun nömrəsi;

– növbəti dövr üçün proqnoz qiyməti;

– i-ci dövr (an) üçün faktiki müşahidə qiyməti;

44

n – ortalaşdırma ədədidir.

Aşağıda üç periodlu sürüşən ortaya (cədvəl 3.3. şəkil 3.6.)

və dörd periodlu sürüşən ortaya (cədvəl 3.4. şəkil 3.7.) aid misallar

verilib.

Cədvəl 3.3.

Saat P, QVat 3 Period

Sürüşən Orta

Saat

P,

QVat

3 Period

Sürüşən Orta

1 2,65

14 3,21 3,223333

2 2,55 15 3,18 3,226667

3 2,35 16 3,19 3,213333

4 2,30 2,516667 17 3,30 3,193333

5 2,35 2,4 18 3,55 3,223333

6 2,40 2,333333 19 3,60 3,346667

7 2,70 2,35 20 3,65 3,483333

8 2,90 2,483333 21 3,60 3,6

9 3,15 2,666667 22 3,45 3,616667

10 3,19 2,916667 23 3,30 3,566667

11 3,20 3,08 24 3,10 3,45

12 3,22 3,18 Proqnoz 3,283333

13 3,25 3,203333

45

Şəkil 3.6. Üç periodlu sürüşən orta.

Cədvəl 3.4

Saat P, QVat 4 Period

Sürüşən Orta

Saat P,

QVat

4 Period

Sürüşən

Orta

1 2,65 14 3,21 3,215

2 2,55 15 3,18 3,22

3 2,35 16 3,19 3,215

4 2,30 17 3,30 3,2075

5 2,35 2,4625 18 3,55 3,22

6 2,40 2,3875 19 3,60 3,305

7 2,70 2,35 20 3,65 3,41

8 2,90 2,4375 21 3,60 3,525

9 3,15 2,5875 22 3,45 3,6

10 3,19 2,7875 23 3,30 3,575

11 3,20 2,985 24 3,10 3,5

12 3,22 3,11 Proqnoz 3,3625

13 3,25 3,19

46

Şəkil 3.7. Dörd periodlu sürüşən orta.

Eksponensial hamarlama. Proqnoz məsələsinin həllindən

biz bir tərəfdən cari verilənlərdən istifadə etmək, digər tərəfdən

təsadüfi flaktasiyaları hamarlamaq üçün lazımi miqdarda

müşahidədə verilənləri istifadə etmək istəyirik. Başqa sözlə bir

tərəfdən kiçik n, digər tərəfdən isə böyük n götürmək istəyirik.

Əkslik təşkil edən bu iki məqsədə uyğun gələn metod eksponensial

hamarlama metodudur. Bu metodun riyazi ifadəsi aşağıdakı kimidir:

(3.10)

harada ki, - hamarlama sabiti olub intervalında

qiymət alır, - t periodunda eksponensial proqnozdur, - t

periodundakı faktiki qiymətdir. Hamarlama əmsalı , son (cari)

verilənə ( ) təyin edilmiş çəki əmsalı kimi interpretasiya oluna

bilər. Yerdə qalan çəkisi sonuncu proqnoz qiymətinə ( )

tətbiq edilir. Digər tərəfdən axrıncı proqnoz, ondan əvvəlki

47

verilənin ( ) və proqnozun ( ) çəkiləşmiş funksiyasıdır,

yəni

(3.11)

(3.11) ifadəsini (3.10)-də nəzərə alsaq, yaza bilərik

(3.12)

Axrıncı ifadədən görünür ki, faktiki qiyməti

çəkisi əmsalı -nin çəki əmsalından kiçikdir, əvvəlki

proqnoz qiymətinin ( ) çəkisi isə cari proqnoz

qiymətinin ( ) çəkisindən kiçikdir.

Hesablama zamanı başlanğıc period üçün proqnoz qiyməti

( ) həmin period üçün faktiki qiymətə bərabər götürülür, yəni

. Sonrakı proqnoz qiymətləri (3.10) ifadəsi əsasında

hesablanır. Aşağıda eksponensial hamarlamaya aid misal gostərilib

(cədvəl 3.5. şəkil 3.8.).

Cədvəl 3.5.

Saat P, QVat Esponensial

hamarlama

Saat P,

QVat

Eksponensial

hamarlama

1 2,65 2,65 14 3,21 3,24

2 2,55 2,65 15 3,18 3,22

3 2,35 2,58 16 3,19 3,19

4 2,30 2,42 17 3,30 3,19

5 2,35 2,34 18 3,55 3,27

6 2,40 2,35 19 3,60 3,47

7 2,70 2,38 20 3,65 3,56

48

8 2,90 2,61 21 3,60 3,62

9 3,15 2,81 22 3,45 3,61

10 3,19 3,05 23 3,30 3,50

11 3,20 3,15 24 3,10 3,36

12 3,22 3,18 Proqnoz 3,18

13 3,25 3,21

Şəkil 3.8. Eksponensial hamarlama

3.4. Xətti obyektin süzgəclər vasitəsilə identifikasiyası

Xətti obyektləri istismar şəraitində operativ identifikasiya

etmək üçün səmərəli üsullardan biri xüsusi süzgəclərə uyğun

alqoritmdən istifadə etməkdir.

Tutaq ki, tədqiq olunan obyektin hərəkəti aşağıdakı diferensial

tənliklə ifadə olunur:

rn

j

m

i

i

i

j

j

n nmbtubtxatx0 0

0 ,0, (3.13)

49

burada u(t) və x(t) uyğun olaraq obyektin giriş və çıxış

koordinatları; x(j)

– zamana görə j tərtibli törəmə; bj – naməlum

əmsallar; τ – sabit gecikmə müddətidir.

Fərz edək ki, aj əmsalları Hurvis şərtlərini ödəyir, obyektin çıxış

siqnalı dövri deyil və ctt ,0 zaman intervalında mövcuddur. (3.13) tənliyindəki naməlum əmsalları və τ parametrini tapmaq

tələb olunur.

Bundan əlavə, xüsusi süzgəclərin bütün koordinatlarının (uj(t),

xj(j)

(t) funksiyalarının) müşahidə olunduğu fərz edilir. Süzgəcin çəki

funksiyası ilə uj və xij siqnalları arasındakı əlaqə aşağıdakı kimidir:

ct

j

i

j

j njidxtktx0

1

11

11,1,, (3.14)

ct

ii dutktu0

11 (3.15)

burada 1 nrrtki tərtibli dayanıqlı xətti süzgəcin impuls keçid funksiyasıdır. Həmin funksiyalar xətti asılı deyil. 1-

qiymətləndirilən, yəni sazlana bilən parametrdir. Bundan əlavə,

süzgəcə müşahidə olunan u(t)=ui(t-1) siqnalı da daxildir. Süzgəc

kimi, girişinə parametri sazlanan gecikmə bəndi qoşulmuş, r sayda

paralel birləşən ətalətli bəndlərdən istifadə edilir. Ətalətli bəndin

ötürmə funksiyası 1 (Ts+1) şəklindədir.

Yuxarıda qeyd edilən şərtlərə uyğun olaraq (3.15) obyektinin

identifikasiyası iki mərhələdə aparılır. Birinci mərhələdə u(t)

siqnalını yol verilən intervalda dəyişməklə parametrinin (sabit

gecikmənin) qiyməti tapılır. Bu zaman obyektin gecikmə müddətini

kifayət qədər dəqiqliklə aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:

tkt 1 ; (3.16)

50

n

i

n

j

c

j

i

n

i

n

j

j

i

ttttx

tttxtsignu

t

0 0

0 0

,,1,0

,00,)(

t==const

burada 0() - verilmiş ədədinin sıfır tərtibli qiymətləndirilməsi (

nə qədər kiçik olarsa, qiymətləndirmə o qədər dəqiq olar); k - sabit

miqyas əmsalı; xi(j)

(t) – (3.14) ifadəsi ilə təyin olunan məlum

funksiyalar; t - gecikmə müddətinin axtarılan qiyməti; tc –

müşahidə, (yəni identifikasiya) müddətidir.

Qeyd edək ki, xi(j)

(t) və ui(t), 1,ttt süzgəcin müşahidə oluna bilən aralıq koordinatlarıdır.

İkinci mərhələdə obyektin parametrlərini qiymətləndirmək

üçün aşağıdakı şərt ödənməlidir:

ctttсtX ,,0det 0 (3.17)

Burada X(t)-(n-1)x(n+1) ölçülü kvadrat matrisdir.

kijkj

ik txtxtx ,1,1 ni nj ,0

1 – in qiyməti məlum olduqda xi(j)

(tk) və uj(tk),

)1,1,( nji koordinatlarının, ck ttt , müddətində diskret qiymətlərindən istifadə etməklə (3.14) obyektinin naməlum

parametrlərini ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapmaq olar:

yC TT 1 (3.18) burada C=(an-1,...,a1,a0,b0,...,bm) – obyektin axtarılan parametrlər

vektorudur; φ - elementləri φi olan

51

qiqiq

n

iq

n

i

ii

n

i

n

i

i

tutxtxtx

tutxtxtx

...

...

21

111

2

1

1

rni ,1

(3.19)

q·n ölçülü matrisdir (q n); y - elementləri yi olan ,,...,1

T

q

n

i

n

ii txtxy rni ,1 (3.20)

q ölçülü sütun vektorudur.

Strukturu r tərtibli süzgəcdən istifadə edildikdə (3.19) və (3.20)

ifadələri aşağıdakı kimi olar:

1

0

111

1

0

111111

......

..........................................................

......

n

j

qiqiqnjinjn

n

j

iinjinjn

tutxtxcT

tutxtxcT

(3.21)

52

4. QEYRİ-XƏTTİ STATİK MODELLƏRİN

İDENTİFİKASİYASI

4.1. Parabolik reqresiya əsasında identifikasiya

Mövcud çoxsaylı qeyri-xəttiliklərin içərisində

modelləşdirmə praktikasında daha çox istifadə olunanlarından

polinomial, loqarifmik və eksponensial reqresiya modellərini

göstərmək olar.

Polinomial modellər geniş qeyri-xəttilik sinfini xarakterizə

edir və biri-birindən polinomun tərtibi ilə fərqlənir. Bunlardan

proseslərin modelləşdirmə daha çox istifadə olunanı 2-ci tərtibli

polinom olub, parabolik reqresiya modeli adlandırılır və aşağıdakı

asılılıqla ifadə olunur:

(4.1)

harada ki, , və parabolik asılılığıb parametrləri olub, an

kiçik kvadratlar metodu əsasında aşağıdakı sistem tənliklərin

həllindən tapılır:

(4.2)

53

Şəkil 4.1. Azərenerjinin 2008-ci ildə elektrik şəbəkəsinə verdiyi

elektrik enerjisinin aylıq sərfiyyat diaqramı.

Misal. Parabolik reqresiya modelindən istifadə edərək Azər-

enerjinin 2008-ci ildə elektrik şəbəkəsinə verdiyi elektrik enerjisinin

aylıq sərfiyyatının riyazi modelini təyin etməli (şəkil 4.1).

Şəkil 4.1-də təsvir olunmuş diaqramdakı nöqtələr çoxluğu-

nun parabolik reqresiya modelini təyin edək.

Cədvəl 4.1

Ay

( )

E.E.

( )

1 1 1 1 22.8 22.8 22.8

2 4 8 16 20.5 41 82

3 9 27 81 18 54 162

54

4 16 64 256 15.5 62 248

5 25 125 625 14.9 74.5 372.5

6 36 216 1296 13.9 83.4 500.4

7 49 343 2401 14.8 103.6 725.2

8 64 512 4096 15.1 120.8 966.4

9 81 729 6561 13.7 123.3 1109.7

10 100 1000 10000 15.2 152 1520

11 121 1331 14641 16.7 183.7 2020.7

12 144 1728 20736 20 240 2880

Cədvəldən aşağıdakı verilənləri tapırıq.

Bu qiymətləri (4.2) tənliklər sistemində yerinə yazsaq aşağıdakılar

alınacaq:

(4.2)

(4.2) tənliklər sistemini həll edərək alırıq,

55

Yuxarıda alınanları (4.1) ifadəsində nəzərə alsaq

Azərenerjinin 2008-ci ildə elektrik şəbəkəsinə verdiyi elektrik

enerjisinin aylıq sərfiyyatının riyazi modelini aşağıdakı kimi yaza

bilərik:

Parabolik reqresiya modelini MS Excel proqram paketi

vasitəsilə çox asanlıqla həll etmək mümkündür.

Yuxarıda qeyd olunan məsələnin riyazi modelini təyin edək

və qrafiki təsvirini alaq. Bunun üçün MS Excel 2007 proqram

paketində pir neçə əməliyyatlar ardıcıllığından istifadə etmək

lazımdır (şəkil 4.2):

Şəkil 4.2. MS Excel 2007 vasitəsilə Parabolik reqresiya modelinin

təyini və qrafiki təsvirinin alınması.

56

1. Aylar və Elektrik enerjisi sərfiyyatı şəkil 4.2 göstərildiyi kimi qeyd edilir.

2. Вставка alətlər panelindəki Точечная menyusundan Точечная с маркерами qrafik növü seçilir.

3. Работа с диаграммами alətlər panelinin Макет alt alətlər panelindəki Линия Тренда menyusundan

Дополнительные параметры линии тренда əmri

seçilir.

4. Açılan yeni pəncərədə polinomial aproksimasiya qeyd olunur və dərəcəsi 2 qeyd edilir. Sonda riyazi modelin

polinomunun və R2-nın qrafikdə təsvir olunması üçün

uyğun xanalar seçilir və pəncərə bağlanır.

5. Sonda şəkil 4.2-da göstərildiyi kimi qrafik alınacaq. Bundan əlavə Работа с диаграммами alətlər panelindəki

Конструктор, Макет və Формат alətlər panelləri vasitəsilə

qrafikdə istənilən dəyişiklikləri etmək olar.

4.2. Loqarifmik reqresiya əsasında identifikasiya

və dəyişənləri arasında aşağıda göstərildiyi kimi

əlaqəni tapaq:

(4.3)

harada ki, və loqarifmik asılılığı xarakterizə edən sabit

əmsallardır. Bu əmsallar aşağıdakı ifadələr vasitəsilə tapılır:

(4.4)

57

(4.5)

Misal. Aşağıdakı nöqtələr çoxluğunun loqarifmik reqresiya

modelini tapmalı.

Cədvəl 4.2

1 3 0 0.4771 0 0

2 12 0.301 1.0791 0.0906 0.3248

3 27 0.4771 1.4313 0.2276 0.6829

4 48 0.602 1.6812 0.3624 1.0122

5 75 0.6989 1.875 0.4885 1.3106

6 108 0.7781 2.0334 0.6055 1.5823

Cədvəldən aşağıdakı verilənləri tapırıq.

Bu qiymətləri (4.4) və (4.5) ifadələrində yerinə yazsaq aşağıdakılar

alınacaq

58

Beləliklə, verilmiş nöqtələr çoxluğuna uyğun olan bərabərlik belə

olacaq

harada ki, 3 – 0.477-nin antiloqarifmasıdır.

Bu məsələnin MS Excel vasitəsilə parabolik reqresiyanın

həlli üsulu ilə həll etmək mümkündür.

4.3. Eksponensial reqresiya əsasında identifikasiya

İki dəyişənin ən sadə eksponensial asılılığı bu şəkildə

yazılır.

(4.6)

harada ki, və - eksponensial asılı olan kəmiyyətlərdir. Bu

kəmiyyətlər aşağıdakı ifadələrlə tapılır

(4.7)

(4.8)

harada ki, .

59

Misal. Aşağıdakı verilənlər arasındakı (4.6) asılılığını

tapmalı:

Cədvəl 4.3

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 3.5 5 6.2 9 13 16 23 40 40

Şəkil 4.3. Eksponensial asılılığın qrafiki təsviri.

Nöqtələri şəkil 4.3.-də göstərildiyi kimi qrafikdə qeyd edək

və həmin nöqtələrin üzərindən maksimum aöroksimasiya olunmuş

düz xətt çəkək. Düz xəttin y oxunu kəsdiyi nöqtə 2-dir. Deməli

və alırıq. Indi isə qrafiki düz xətdən istənilən

nöqtə seçilir, məsələn x=5 və y=9. Sonra bu qiymətləri (4.6)

ifadəsində yerinə qoyub alırıq.

60

Bu ifadəni -ə nəzərən həll etsək

Sonda axtarılan ifadə bu şəkildə olacaqdır.

4.4. Ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu ilə

identifikasiya

Burada ən kiçik kvadratlı metodu xətti birölçülü obyektlərin

identifikasiyası üçün izah edilir. Tutaq ki, stasionar obyektlərin

koordinatlarının təcrübi qiymətlərinə əsasən onun diskret ötürmə

funksiyasını təyin etmək lazımdır.

Cədvəl 4.4

F Giriş Çıxış

u y*

1

2

3

.

.

.

N

u (1)

u (2)

u (3)

.

.

.

u (N)

y*

(1)

y*

(2)

y*

(3)

.

.

.

y*

(N)

Obyektin diskret ötürmə funksiyası ümumi şəkildə

61

k

m

m

m

m zzbzb

zazaazw

...1

...)(

1

1

1

10 (4.9)

kimi götürülür və m, k, ao, a1, . . . , am, b1, . . ., bm kəmiyyətlərini

qiymətləndirmək tələb edilir. Burada m – obyektin tərtibi, k-

gecikməni nəzərə alan kəmiyyət, ,,0 miai mibi ,1 əmsallardır. (4.9) funksiyasına uyğun gələn fərq tənliyi

TiknuaTinybnTyi i

mm

i

i)()()(

01

(4.10)

kimi, onun həlli isə

TinybTiknuanTym

i

i

m

i

i)()()(

10

kimidir. ,,0 miai mibi ,1 əmsallarını təyin etmək üçün

m

mkn

nTynTyF1

2* min)()(

şərtindən istifadə edilir. Bunun üçün F-dən ,,0 miai mibi ,1 əmsallarına görə xüsusi törəmələr alıb, sıfıra bərabər etsək:

;,1,0;,0,0 midb

dFmi

da

dF

ii

(4.11)

(4.12) xətti tənliklər sisteminin ai (i =0, m) və bi (i = 1, m) naməlum

parametrlərinə nəzərən həlli onların axtarılan qiymətlərini verir.

Sadəlik üçün bundan sonra matris yazılışından istifadə edəcəyik. Bu

halda (4.12) tənliklər sisteminin həlli

C = [UTU]

-1U

Ty

* (4.12)

kimi olar.

Burada

62

CT= (ao, a1, a2, …, am, -b1, -b2, …, -bm)

diskret ötürmə funksiyasının axtarılan parametrlər vektoru;

mNymymymkNumkNukNu

mykmykmyukuku

mykmykmyukuku

U

21

1221

1111

təcrübəli qiymətlər cədvəlindən yaradılmış matris;

yT= [y (k+m+1), y (k+m+2) ... y (N)]

təcrübi qiymətlərə uyğun sütun vektoru; k- obyektin gecikməsini

nəzərə alan kəmiyyət (təcrübi və ya iterasiya üsulu ilə təyin edilə

bilər); m- ötürmə funksiyasının tərtibidir; m və k ədədləri iterasiya

qaydası ilə aşağıdakı kimi seçilir; əvvəlcə m=1, sonra m=2 və s.

qiymətləri üçün c vektoru təyin edilir. Elə m qiyməti və ona uyğun

olan c vektoru seçilir ki, qalıq dispersiyası minimum olsun və ya m-

in qiymətinin artırılması qalıq dispersiyasının qiymətinə

əhəmiyyətli dərəcədə təsir etməsin. k və m-in elə qiymətləri

götürülür ki, həmin qiymətlərdə qalıq dispersiyası minimum olsun

və ya m-in daha yüksək qiymətində qalıq dispersiyası əhəmiyyətli

dərəcədə azalmasın.

Obyektin bir neçə girişi olduqda U matrisi və Y* vektoru

dəyişəcək, hesablama alqoritmində isə prinsipial dəyişiklik

olmayacaq. Əgər obyektin çıxışı çox olarsa onlar arasında

korrelyasiya olmazsa, belə obyektə birçıxışlı bir neçə obyekt kimi

baxmaq olar. Obyekin çıxışının r sayda girişlərdən asılılığı

63

r

k

mr

m

r

mr

m

rr

o

k

m

m

m

mok

m

m

m

mo

uzzbzb

zazaa

uzzbzb

zazaauz

zbzb

zazaay

r

...1

......

...1

...

...1

...

1

1

1

1

2212

1

212

1

2

11

1

111

1

1

21

ifadəsi ilə göstərilə bilər. Matris formasından istifadə etsək, həll

yenə də (4.5) kimi olacaq. C, Y* vektorları və U matrisini uyğun

olaraq belə yazmaq olar:

;............211

22

1

211

1

1 T

m

r

m

rr

omomobbbaaaaaaaaaC

)()...1()( NmymymyY

mNynymkNukNukNumkNukNu

kykmyumumuumu

kykmyumumuumu

U

rr

rr

rr

1

2222222

1111111

211

211

211

Rekurrent ən kiçik kvadratlar üsulu. Bu üsul qeyri-stasionar

obyektlərin real zamanda identifikasiyasına tətbiq edilir. Üsulun

əsas mahiyyəti sistemin işinin hər bir mərhələsində ötürmə

funksiyasının əmsallarını təshih etməkdir:

c(n+1) = c(n)+ (n) [Y*(n+1)-YT (n+1) c (n)],

burada c (n+1) və c (n)-ötürmə funksiyasının əmsallarından ibarət

vektorun uyğun olaraq (n+1) və n-ci mərhələdəki qiymətləri: (n)

təshihedici vektorun n-ci mərhələdəki qiyməti; Y* (n+1)-çıxış

64

dəyişəninin (n+1)-ci mərhələdəki ölçülən qiymətidir. Təshih

vektoru

)1()(1)1()()1(

1)1()1()(

nnP

nnPnnnPn

T

kimi təyin edilir.

P(n+1)=[1- (n)φT(n+1)] P (n)

φ (n+1)-giriş və çıxış kəmiyyətlərindən tərtib edilmiş vektorudur:

φT (n+1)= [u(n-k), u(n-k-1), ...., u (n-k-m), y(m+1), y (n), ...., y (n-

m+1)]

c vektoru və P matrisinin başlanğıc qiyməti c(0)=0 P(0)= I kimi təyin edilir. Burada I-vahid matris; -yığılma əmsalıdır. Onun qiymətini düzgün seçməklə, yüksək yığılma surətinə malik

hesablama prosesi almaq olar.

Ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu ilə identifikasiya. Stoxastik obyektlərin adi ən kiçik kvadratlar üsulu ilə identifikasiya

zamanı ötürmə funksiyasının əmsalları öz qiymətlərindən fərqli

alınır. Stoxastik obyektlərin identifikasiya etmək üçün ümumi-

ləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu, maksimum oxşarlıq, stoxastik

aproksimasiya üsulları və s.-dən istifadə etmək olar.

Ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulunu nəzərdən keçirək.

Stoxastix obyektin çıxış siqnalı

)(....1

....)(

.....1

.....)(

1

1

1

10

1

1

1

10 zVzbzb

zgzggzUz

zbzb

zazaazY

m

m

m

mk

m

m

m

m

ifadəsi ilə təyin edilir. Burada U-obyektin girişi, Y-çıxışı, V-

obyektə təsir edən korrelyasiya olunmamış təsadüfi siqnaldır.

İdentifikasiya meyarı kimi

65

n

n

ntF1

min)( götürülür. Ε (nt)-ümumiləşmiş xətadır və

c(z)=

)(......

....1)(

......

.....1

10

1

0

1

10

1

1 zVzzgzgg

zazazy

gzzgg

zbzbb km

m

m

m

m

m

m

mo

kimi təyin edilir.

Bu üsul əslində bir neçə dəfə icra olunan ən kiçik kvadratlar

üsulunda ibarətdir və alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Ən kiçik kvadratlar üsulu vasitəsilə

C=[UiTUi]

-1 Ui

TYi

vektoru təyin edilir. i=1 olduqda, yəni başlanğıcda Ui matrisi və Yi

vektoru təcrübi cədvəldən ən kiçik kvadratlar üsulunda olduğu kimi

tərtib edilir. i>1 olduqda isə yenə həmin qayda ilə, lakin sonrakı

verilənləri hamarlamaqla alınan cədvəldən istifadə edilir.

2. Xətalar vektoru təyin edilir:

E i (nt) = Y*

i (nt) – Yi (nt), n = N,1

Y*i (nt) – çıxışın təcrübi qiyməti, Yi (nt) isə çıxışın C vektoru

vasitəsilə hesablanmış nəzəri qiymətləridir.

3. Xətalar vektoruna əsasən avtoreqressiya modeli yenə də

ən kiçik kvadratlar üsulu ilə qurulur:

di = [ET

i R]-1

ET

i Ei

di – i-ci interasiyada alınan avtoreqressiya əmsalları vektorudur.

Ei vektoru və Ri matrisi aşağıdakı kimi tərtib edilir.

;)(),...,2(),1( NmmEiiii

T

66

mNNN

mm

mm

R

iii

iii

iii

21

21

11

4.Giriş və çıxış siqnalları avtoreqressiya modeli vasitəsilə

hamarlanır.

TmnudTnudnTuntumii

)(...)1()()(

TmnydTnydnTynTymii

)(...)1()()(

5. Alınmış ui , yi kəmiyyətlərindən istifadə etməklə

əməliyyat birinci bənddən başlayaraq təkrar olunur. Əməliyyatın

sonu iki ardıcıl iterasiyanın nəticəsi ilə təyin olunur. Əgər

)()(1

1

1

ntntN

n

i

N

n

i

olarsa, əməliyyat dayandırılır, əks təqdirdə növbəti iterasiya yerinə

yetirilir. - verilmiş kiçik kəmiyyətdir. İndi də ümumiləşmiş ən kiçik ən kiçik kvadratlar üsulunun

rekurrent variantına baxaq.

Bu üsula uyğun identifikasiya alqoritmi

c(k+1)=c(k)+ (k) [y(k+1)-φT (k+1) c (k)]

şəklindədir. Göründüyü kimi, b