Temperaturprognose 5 dage juli 2010 - Systime | … og sinus kan altså defineres på to måder: Når man ser på buelængden, arbejdes med radiantal, og punkterne på cirkelbuen benævnes

MatematikB 2011 Supplerende stof

Trigonometri og trekanter

MatematikB2011 Side 1

Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige

funktionsudtryk med sin, cos og tan

I har nok i jeres tidligere skoleforløb set på vinkelsummen i en trekant, forskellige former for

trekanter (retvinklet, spids- og stumpvinklet, ligebenet) samt ligedannede trekanter. De fleste af jer

kender også den pythagoræiske læresætning, der gælder for retvinklede trekanter, og som siger, at

summen af kateternes kvadrat er lig med hypotenusens kvadrat. Sætningen skrives ofte således:

a2 + b

2 = c

2

Hvis man vil bestemme vinklerne i en given trekant, hvor man kender siderne, kan man naturligvis

måle disse med en vinkelmåler; men da sådanne målinger er meget upræcise indføres nogle

funktioner, der kan bruges til beregning af sider og vinkler i en trekant. Det er funktionerne sin og

cos. Disse funktioner har I måske også mødt tidligere?

Trekantsberegninger er relevante, hvis man er tømrer og skal konstruere et møbel, lægge et gulv

eller lave spær til et loft. Arkitekter, der konstruerer bygninger m.v., har ligeledes stor glæde af at

have kendskab til sådanne beregninger. På havet har man også brug for at kunne orientere sig med

vinkler og kunne bedømme afstande, men det foregår med nogle redskaber, der af sig selv

fastlægger sejlrutens kurs. Den teknik, der ligger bag værktøjet, er også trekantsberegninger (og

måske også inddragelse af strøm og vindhastighed). Der findes således rigtig mange erhverv, der på

en eller anden vis inddrager viden om trekanter – dvs. trigonometri.

På hhx har vi ikke det store behov for at arbejde med trekantsberegninger, da hhx-profilen ikke

angår praktisk og teoretisk arbejde hermed; men på trods af dette, har vi brug for at kende de

trigonometriske funktioner, idet disse også kan anvendes til at sige noget om forskellige svingninger

– ligesom der forventes et vist kendskab hertil indenfor nogle af de uddannelser, som I kan vælge

efterfølgende - såsom fx læreruddannelsen. I forhold til hhx er det primært periodiske svingninger,

der kan være relevante at se på, idet vi fx kan analysere, hvordan salget af bestemte varegrupper

ændrer sig indenfor årets gang. Salget af fx kærnemælk og is er markant størst i sommerperioden,

ligesom salget af fx ris og appelsiner er størst om vinteren. I det hele taget er der en række

fænomener og udviklinger, der har tendens til med visse mellemrum at gentage sig selv. Man siger,

at udviklingen eller fænomenet udviser en harmonisk svingning. Et eksempel kan fx være dagenes

gennemsnittemperaturer gennem et døgn eller gennem et helt år.

Serie 1

f(x)=4.5sin((1/12)pi*x-pi/2)+17

tid

temperatur

Temperaturprognose 5 dage juli 2010

http://www.dr.dk/nyheder/vejret hentet 25 juli 2010

Det fremgår af grafen, der er tegnet ud fra temperaturoversigten, ikke rammer de afsatte punkter

Ikke kernestof på B

Funktionerne vil kun

forekomme i forbindelse med

CAS-værktøj

http://www.dr.dk/nyheder/vejret%20hentet%2025%20juli%202010




100 % præcist; men tendens er dog tydelig.

Ø1

Hvilke enheder skal der være på akserne, der illustrer vejrudsigten ultimo juli 2010? Hvordan er

punkterne fremkommet?

Et andet eksempel på et svingningsforløb kan fx være en oversigt over oliepriserne gennem en

periode

.

http://www.unox.dk/privat/bolig/oliepriser/prisgraf Lokaliseret d. 25. juli 2010

På hhx er det hensigtsmæssigt at have kendskab til sådanne svingninger, da vi fx i regnskab,

afsætning og international økonomi ofte støder på talmateriale, der varierer på lignende vis. Det

gælder typisk i forbindelse med månedlige (eller daglige) tidsrækker, dvs. opgørelser over fx

arbejdsløshed, salget af biler og lignende. Der er en tendens til, at arbejdsløsheden er relativ stor i

vintermånederne pga. problemer med vejret i byggebranchen, og arbejdsløsheden er ligeledes

relativ stor i sommermånederne på grund af sommerferielukning i virksomhederne. Dermed opstår

der en svingende tendens, der også har afsmittende betydning på fx skatteindtægter mv.

Det er som bekendt umuligt at spå om fremtiden; men mange forsøger sig dog ved at foretage

analyser af forskellige forhold i samfundet. På samme måde ønsker politikere også nogle troværdige

forklaringer på, hvorfor statsbudgetterne måske alligevel ikke holdt – eller hvorfor befolkningen

skifter holdning mht. hvilket parti, de ville stemme på, hvis der kommer valg.

En vigtig – om ikke den vigtigste – matematiske kompetence, vi arbejder med, er

modelleringskompetencen. Med de trigonometriske funktioner får vi altså et nyt og meget brugbart

værktøj til matematisk modellering.

En harmonisk svingning er en sammensat funktion, der bygger på de trigonometriske funktioner

sin(x) og/eller cos(x). Bemærk at dette læses som sinus til x og cosinus til x. Man skal have en

grundlæggende viden om disse funktioner, for at kunne arbejde med svingninger. Graferne for

svingningerne fremkommer ved simple sammensætninger med grafen for y = sin(x) og y = cos(x)

I næste afsnit vil vi se på, hvordan man definerer de trigonometriske funktioner sin, cos og tan.

http://www.unox.dk/privat/bolig/oliepriser/prisgraf




Dette billede viser en

matematiker, der er ansat

på Foulum; i fuld gang

med at analysere nogle

data omkring køers

drægtighed.

De indsamlede data

udviser en periodisk

tendens, hvilket betyder

de trigonometriske

funktioner på en eller

anden vis indgår i den

matematiske forskrift, der

kan beskrive forløbet.

TIP

Pas på. Lommeregnere kan indstilles, så der måles i forhold til vinkler (degrees)

og i forhold til længder (radian).

Lommeregneren skal ALTID stå på RAD, når vi ser på harmoniske svingninger,

og på DEG når der ses på vinkler og sidelængder i polygoner




DEFINITION AF FUNKTIONERNE SIN(X)/SIN(V) OG COS(X)/COS(V) I dette afsnit vil vi definere de trigonometriske funktioner samt se på graferne for disse

funktioner

Vi betragter i et koordinatsystem en cirkel, der har

centrum i (0, 0) og radius 1. Cirklen kaldes for

koordinatsystemets enhedscirkel.

Endvidere betragter vi et punkt, P, på cirkelbuen, der

findes ved at måle længden af buen fra punktet (1,0)

og op til punktet P i positiv omløbsretning. Denne

længde kaldes x. Vi siger, radiantallet er x.

Vi definerer cos og sin ud fra dette punkt. Til ethvert

radiantal, med værdien x, findes et punkt P, som har

førstekoordinaten cos(x) (cosinus til x) og

andenkoordinaten sin(x (sinus til x). Koordinaterne

varierer selvfølgelig med radiantallet x.

Cirkelbuens punkter kan også fastlægges på anden

vis.

Som før, tegnes en enhedscirkel; men nu betragter vi

en vinkel v mellem 0° og 360° i positiv

omløbsretning. Vinklen v indlægges i

koordinatsystemet, således at vinklens toppunkt er

sammenfaldende med koordinatsystemets

begyndelsespunkt (0, 0), og således at vinklens højre

ben er sammenfaldende med x-aksen. Vinklens

venstre ben skærer da enhedscirklen i et punkt, som

betegnes Rv.

Punktet Rv kaldes retningspunktet for vinklen v, og

punktets førstekoordinat defineres som ‘cosinus til

vinklen v’ og punktets andenkoordinat defineres som

‘sinus til vinklen v’.

Ofte forkortes disse størrelser, så retningspunktets koordinater skrives: Rv = (cos v, sin v)

Cosinus og sinus kan altså defineres på to måder:

Når man ser på buelængden, arbejdes med radiantal, og punkterne på cirkelbuen benævnes (cosx,

sinx). Når punkterne på cirkelbuen fastlægges ud fra en vinkel, benævnes punkterne (cosv, sinv), og

der arbejdes med grader

P

Cirkelbuens koordinater:

Radiantal – længde: (cosx, sinx) (Buelængde)

Grader – vinkler: (cosv, sinv) (Vinkel)




Der er principielt ikke den store forskel på, om vi regner med grader eller radianer. Valget afhænger

af, hvad det er, vi skal beregne og arbejde med. Når vi ser på trekantsberegninger, er det vinkler, vi

regner på og dermed grader. Når vi ser på svingninger, er det derimod radianer, vi arbejder med, da

x-aksen angiver længder, som ofte i praksis er tiden (dag, uge, år) For skellen svarer til at se på

økonomiske forhold og anvende euro i stedet for kroner. Med kendskab til kursen kan man hurtigt

omregne fra kroner til euro og modsat.

På samme måde, er det meget enkelt at ændre beregninger fra grader til radianer – og modsat – idet

der er en enentydig sammenhæng mellem de to målinger.

.

Vi kan regne ud, at enhedscirklens omkreds er 2 . En almen kendt formel for omkredsen af en

cirkel er givet som diameteren ganget med pi, eller som ” to pi’r” (2 pi*radius – 2pir). Da radius i

en enhedscirkel netop er 1, bliver omkredsen 2 .

Omregning fra radian til vinkel og fra vinkel til radian

En cirkel er kendetegnet ved, at vinklen hele vejen rundt er på 360°. Dette kan vi sammenholde

med cirklens omkreds, idet vi da har at 360° = 2 . Dermed får vi, at og dermed

har en kvart cirkelbue længden

hvilet svarer til 90°

Ved at betragte enhedscirklen ser man, at

førstekoordinaten cos kan ændre sig fra at være 1 (når x

= 0 eller v = 0°) til 0 (når x =

eller v = 90°) til – 1 (når

x = eller v = 180°) hvorefter cos vokser over 0 (når x =

1½ eller v = 270°) til 1 (når x = 2 eller v = 360°).

Ser vi på andenkoordinaten sin til punktet P, vil den

fra at være 0 (når x = 0 eller v = 0°) vokse til 1 når x =

eller v = 90°). Herefter aftager sin(x) over

0 (når x = eller v = 180°) til –1 (når x = 1½ ), og derefter vokser sin(x) igen til 0 (når x =

2 eller v = 360°).

Cosinus og sinus til ovenstående ”pæne” radiantal og vinkler indsætter vi i skemaet herunder.

Cirkels omkreds: diameter gange 𝝅

Radius i en enhedscirkel er 1

Diameteren = 2

Enhedscirkels omkreds: 2· 𝝅

v 0 90° 180° 270° 360°

cos v 1 0 -1 0 1

v 0 90° 180° 270° 360°

sin v 0 1 0 -1 0




Ud fra disse tabeller er det nu muligt at få et overblik over, hvordan graferne for cos og sin forløber.

Det fremgår, at begge funktioner gentager sig selv efter et vist forløb. Funktionerne siges at være

periodiske med perioden 2 eller 360°

Ø1

Bestem sin og cos til følgende radiantal og tegn herefter graferne for de to funktioner.

Vink: Inddel x-aksens enheder i forhold til 4. dele af

Radiantal: -

, -

, 0,

,

, ,

,1½ ,

, 2 ,

, 2½,

Ø2

Bestem sin og cos til følgende vinkler og tegn herefter graferne for de to funktioner.

Vink: Inddel x-aksens enheder i forhold til 30°

Vinkler: -60°, -30°, 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 240°, 270°, , 330°, 360°, 390°




TRIGONOMETRISKE REALTIONER OG

TREKANTSBEREGNIGNER I dette afsnit indføres nogle formler til trekantsberegninger samt endnu en funktion, tan, da

denne kan benyttes i forbindelse med trekantsberegninger ved retvinklede trekanter

Som nævnt er trekantsberegninger ikke noget, vi beskæftiger os (særlig meget) med på hhx; men

helt springe emnet over, vil vi dog ikke. I dette afsnit vil vi derfor blot vise de formler, der er

aktuelle, når man beregner sider og vinkler i såvel retvinklede som vilkårlige trekanter samt give et

par eksempler på nogle beregninger.

Vi har defineret de trigonometriske funktioner cos og sin ud fra en enhedscirkel. Der findes endnu

en funktion, der defineres ud fra enhedscirklen. Denne kaldes tan (tangens) og er netop defineret ud

fra en tangent. Hvis man i punktet (1, 0) tegner en line vinkelret på x-aksen (og dermed parallel med

y-aksen) vil en linje gennem origo (0, 0) og et punkt på cirkelbuen ramme denne linje.

Røringspunktet defineres som (1, tanx) eller (1, tanv)

Illustrationen viser, hvordan man definerer tan.




Tan defineres ofte også som forholdet mellem sin og cos, hvilket betyder tan(x) =

.

Dette ses let ud fra enhedscirklen, idet der kan tegnes en ligedannet trekant, hvorved man kan

udlede sammenhængen.

Vi betragter de to ligedannede trekanter

tan

sin

cos 1

Det fremgår at forholdet kan skrives som




Hvis punktet på cirkelbuen ligger i 2. kvadrant tegnes der blot en linje fra punktet og gennem origo.

Denne linje vil da ramme tangenten i 4. kvadrant, og 2. koordinaten (der er negativ) angiver da

værdien af tan.

Ø1

Bestem tan til følgende vinkler og tegn en skitse heraf

-60°, -30°, 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 240°, 270°,

330°, 360°, 390°

Hvorfor er tan ikke defineret for vinklerne 90° og 270° og

for og 1½ ?

Hvilke andre vinkler og radiantal er tan heller ikke

defineret for?

Grafen for tan skulle gerne se således ud:




Som nævnt kan de trigonometriske funktioner anvendes til bestemmelse af sider og vinkler i

retvinklede og vilkårlige trekanter.

Formlerne, der anvendes, ser således ud:




Når man skal bestemme sider og vinkler i en trekant skal man altid starte med at undersøge, om der

er tale om en retvinklet eller en vilkårlig trekant – og herefter se på de formler, der angår den

aktuelle trekant.

Herefter noteres, hvilke størrelser der er kendte – hvorefter man går formlerne igennem og vælger

en af de formler, hvori de kendte størrelser indgår, og hvor der ”kun” er en størrelse, der er ukendt.

Ved at isolere den ukendte værdi i formlerne kan denne beregnes.

Udover dette skal man være klar over, at de modsatte (omvendte) funktioner til de trigonometriske

funktioner hedder hhv. sin-1

, cos-1

og tan-1

. Disse skal benyttes, hvis en vinkel skal beregnes.

ex.

sinA = 0,3 => A = sin-1

(0.3) = 17,46°

cosB = 0,8 => B = cos-1

(0.8) = 36,87°

tan(A) = 1,1 => A = tan-1

(1.1) = 47,73°

Ex 1

Vi konstaterer først, at der er tale om en retvinklet trekant –

og dermed formlerne for retvinklede trekanter, der kan

anvendes.

Vi ser herefter, at det er B og b, der er kendte størrelser.

Umiddelbart er det således formlerne med B, der skal i

spil; hvis vi da ikke vælger at beregne A straks. Vi ved, at

summen af vinkel A og B skal give 90°.

Vi får da:

A = 90 – 30,4° = 59,6°

Vi kan nu anvende en hvilken som helst af formlerne hvori

siden b indgår – og isolere den værdi, vi ikke kender.

Vi kan fx vælge

.

Vi får da:

Hermed har vi beregnet

de ukendte størrelser, idet

a = 5,29, c = 6,13

og A = 59,6°




ex. 2

ex. 3

I en trekant ABC er a = 4, b = 5 og c = 6. Vi skal bestemme vinklerne i trekanten.

Da der ikke står noget yderligere om trekanten, ved vi, den er vilkårlig. så det er formlerne for

vilkårlige trekanter, vi skal anvende.

Da det er de tre sider, vi kender, er det cosinusrelationerne, der er aktuelle. Vi vælger

c2 = a

2 + b

2 – 2abcosC




ex. 4

Givet en trekant ABC, hvor a = 8, b = 12 og C = 50°. Vi skal bestemme trekantens areal.

Da trekanten ikke er retvinklet er det en af arealformlerne for vilkårlige trekanter, der skal

anvendes.

Vi vælger følgende: T = ½ ·a b·sinC og får da:




HARMONISKE SVINGNINGER – PARAMETRENES

BETYDNING

I dette afsnit vil vi sætte nogle yderligere parametre på de trigonometriske funktioner – og se

på hvilken betydning disse får for graferne

I sidste afsnit så vi på graferne for sin(x) og cos(x), og vi konstaterede, at der var tale om nogle

svingninger, der gentog sig selv med en periode på 2 . Det fremgik også, at graferne for de to

funktioner er meget ens; men hvor cos(x) starter på y-aksen i punktet (0,1), så starter sin(x i punktet

(0,0). Det fremgik ligeledes, at begge grafer svingede mellem værdierne -1 og 1, dvs.

værdimængderne for begge funktioner er [-1; 1]

Vi har tidligere set på nogle ”grund”-funktioner, som vi efterfølgende har ”pillet ved”. Fx har vi set

på funktionen f(x) = x2, for derefter at tilføje en parameter a, så forskriften blev f(x) = ax

2, ligesom

vi har tilføjet en parameter c, så forskriften blev f(x) = x2 + c. I forbindelse med disse funktioner

(som jo er parabler) har vi konkluderet, hvilket betydning værdien af de forskellige parametre har

for grafen.

På tilsvarende vis kan vi tilføje forskellige parametre til vore funktioner sin(x) og cos(x) – og

dermed får vi de såkaldte harmoniske svingninger

Harmonisk svingning:

En funktion, som fremstilles ved forskriften

f(x) = a·sin(bx + c) + d eller

f(x) = a·cos(bx + c) + d, hvor a, b, c og d er talværdier (hvor b skal være positiv)




Det fremgår, at der kan indgå fire parametre i forskriften for en harmonisk svingning – og hver af

disse har forskellig betydning for grafens udseende. Parametrene a, b og d er det meget let at få

forståelse af, idet betydningen fremgår, når man – med et grafprogram – har tegnet nogle få

eksempler på grafer. De følgende opgaver lægger op til, at I selv kan konkludere, hvilken betydning

disse tal isoleret set har for grafen. Øvelserne bør udføres med enten et it-program eller en

grafregner!

Første øvelse angår parameteren a i forskriften for en harmonisk svingning

Ø1

Tegn i samme koordinatsystem (gerne i et it-program) graferne for følgende funktioner, og redegør

med dine egne ord for, hvilken betydning tallet a har for grafen for en harmonisk svingning.

f(x) = sin(x), g(x) = 2sin(x), h(x) = 4 sin(x), i(x) = -3 sin(x), j(x) = -5sin(x)

Hvilken betydning har det, om a er positiv eller negativ?

Herefter ser vi på parameteren d

Ø2

Tegn i samme koordinatsystem graferne for følgende funktioner, og redegør med dine egne ord for,

hvilken betydning tallet d har for grafen for en harmonisk svingning.

f(x) = sin(x), g(x) = sin(x) + 2, h(x) = sin(x) + 5, i(x) = sin(x) -2

Hvilken betydning har det om d er positiv eller negativ

I øvelse 1 og 2 så vi på sin(x).

Der er INGEN forskel på om det er cos(x) eller sin(x) vi betragter, når vi vil redegøre for

parametrenes betydning. Hvis dine redegørelser kun passer til graferne for sin(x), så prøv at skrive

forklaringerne om, så de kan anvendes til begge funktionstyper.

Vi ser nu på parameteren b’s betydning for graferne for de harmoniske svingninger.

Ø3

Tegn i samme koordinatsystem graferne for følgende funktioner, og redegør med dine egne ord for,

hvilken betydning tallet b har for grafen for en harmonisk svingning. Undersøg samtidig om din

forklaring også passer til svingninger med cos(x)

f(x) = sin(x), g(x) = sin(2x), h(x) = sin(½x), i(x) = sin(4x)

Nu skulle vi gerne have lidt styr på betydningen af a, b og d for grafen for en harmonisk svingning.

Der vil komme flere opgaver hvor disse parametre kobles sammen; men inden da ser vi på

parameteren c, som nok er lidt vanskeligere lige at gennemskue. Vi lægger derfor ud med et par

eksempler.




E1

Vi ser på den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = sin(x +

), idet vi (som altid) også

viser grafen for sin(x).

Ved hjælp af enten et grafprogram eller en tabel (hvor værdierne findes ved at taste ind på en

lommeregner) får vi følgende graf:

Det fremgår umiddelbart, at grafen stadig har en periode på 2 . Den svinger også om x-aksen

ligesom den svinger mellem -1 og 1. Parameteren c ser ud til at have betydning for, hvordan grafen

starter på y-aksen. Ved den almindelige sinuskurve begynder den i punktet (0,0) og er på vej op.

Denne starter derimod på y-aksen i sit maksimum!

Vi ser lige på et andet eksempel

E2

Vi ser på forskriften f(x) = sin(x + ). Vi får nu følgende graf:

Denne starter ligesom den almindelige sinuskurve i punktet (0,0); men i stedet for at være voksende

efterfølgende er funktionen aftagende!

Hvis vi sammenholder de to eksempler, kan vi da nå frem til en konklusion vedrørende c’s

betydning for grafens forløb?

Ja, naturligvis! Der kan gives flere forklaringer; men vi foreslår følgende!




Parameteren c angiver, hvor funktionen starter i forhold til y-aksen, idet man først konstaterer,

hvilken værdi c har og derefter betragter grafen for funktionen, idet vi ser på c-værdien på x-aksen

for den almindelige sinuskurve. Grafen viser, hvordan svingningen starter. Hvis c-værdien er

,

fremgår at den almindelige graf for sin(x) er i sit maksimum, hvilket betyder, at en harmonisk

svingning (med positiv a-værdi) vil starte i sit maksimum på y-aksen. Hvis c-værdien er , fremgår

af grafen for sin(x), at grafen er på svingningsaksen og på vej ned. Det betyder, at en harmonisk

svingning – stadig med positiv a-værdi – med c-værdien

- vil starte på svingningsaksen og være

på vej ned.

Vi har nu set på alle parametrene a, b, c og d for en harmonisk svingning og kan konkludere:

Vi kan alt i alt konkludere:

a: amplitude Tallet a angiver størrelsen af udsvinget på kurven a værdierne kan være såvel positive som negative. Hvis a f.eks.

er 3, betyder det, at svingningen svinger 3 op fra svingningsaksen og 3 ned. Hele udsvinget vil altså være på 6.

Hvis a er negativ, betyder det, kurven går modsat normalt. (den spejles i x-aksen.). cos(x) starter normalt i (0,1)

og aftager herefter. Hvis a er – 1, vil kurven starte i (0,-1) og herefter være voksende.

a har betydning for værdimængden.

Værdimængden beregnes således: Vm(f) = [d+a; d-a]

ex.

Beregn Vm(f) når f(x) =2½sin(2x)-3. Vm(f) = [-3+2½;-3-2½] =[-½;-5½]=[-5½;-½]

Parametrenes betydning for en harmonisk svingning

f(x) = a·sin(bx+c)+d og f(x) = a·cos(bx+c)+d

b: frekvens Tallet b viser frekvensen/hastigheden. b angiver antal perioder indenfor 2 . sin(x) kører netop 1 omgang

indenfor 2. (1 periode). Hvis b bliver større, kører grafen hurtigere, hvilket betyder en svingning ikke fylder så

meget. Hvis b er 2 (altså dobbelt fart) kører grafen to omgange indenfor 2 𝜋og perioden bliver𝜋.

b har betydning for perioden, idet perioden p= 𝜋

𝑏

ex. 1. f(x) = 3sin(½x) – 2, dvs. b=½. p= 𝜋

½ = 4𝜋

ex. 2. Perioden = 6. 6 𝜋

𝑏 6b =2 𝜋 b =

𝜋

6 =

𝜋




Hermed har vi styr på, hvilken betydning de enkelte parametre har for grafen for en harmonisk

svingning. Nu skal parametrene kobles sammen.

Vi lægger ud med nogle øvelser, hvor parametrene først kobles sammen parvist og derefter med tre

parametre.

c: start på y-akse c-værdien fortæller om grafen starter forskudt i forhold til y-aksen. Normalt starter sin(x i (0,0); men hvis der

er tilføjet en c-værdi forskydes startstedet.

Man ser på den normale kurve og aflæser, hvilken funktionsværdi sin(x) har, når x antager værdien c. Det

afgør

hvor den harmoniske svingning starter på y-aksen – og hvordan den fortsætter.

Der skal dog tages forbehold for en negativ a-værdi, idet den harmoniske svingning spejles, når a er negativ.

ex. f(x) = sin(x+𝜋

)

Vi ved: sin(

𝜋

) = 1. Det betyder kurven starter i (0,1), altså funktionens maksimum.

Hvis a er positiv, starter kurven i sit maksimum. Hvis a er negativ, bliver starten i minimum.

d: svingningsakse d- værdien fortæller om grafens forskydning i forhold til y-aksen, idet d er svingningsaksen. Sin(x) svinger

omkring x-aksen, y = 0, men hvis der er tale om en d-værdi, bliver y = d svingningsakse.

d kan bestemmes som ymax min a.

ex. f(x) = sin(x)+2

Vi ser, at når d antager værdien 2, så svinger grafen om linjen y = 2.




Ø4

Bestem værdien af parametrene a og b og d for følgende sinussvingninger. Det oplyses at alle

parametrene er positive.

Noter også værdimængden for funktionerne

f(x)=1.5sin(x)+2.5

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

f(x)

f(x)=3sin(.5x)+1

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

g(x)

f(x)=2sin(4x)+3

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

h(x)

f(x)=2sin(5x)+3

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

i(x)

Ø5

Tegn graferne for følgende harmoniske svingninger og bestem periodernes samt værdimængderne.

f(x) = 3sin(2x ) g(x) = 4sin(x)+3 h(x) = -2sin(½x)

i(x) = -3sin(8x) – 1 j(x) = -sin(

x) – 5 k(x) = 2sin(4x)-1

l(x) = 2½sin(3x)+2 m(x) = -2sin(

x) +4 n(x) = ½sin(4x)-5

Ø6 CAS

Funktionen f(x) er givet ved forskriften f(x) = sin(x) + x2, for x [-

;

]

Bestem differentialkvotienten for funktionen og tangentligningen i punktet (

, f(

))

Ø7 Bestem linjens ligning gennem endepunkterne for funktionen f(x) = sin(x) + x

2, for x [-

;

]

Vink: Se øvelse 6




GRAFEN FOR EN HARMONISK SVINGNING Dette afsnit indeholder eksempler og øvelser i at tegne harmoniske svingninger

Ø1

Ud fra graferne for de harmoniske svingninger, bestem da parametrene a, b og d, idet det oplyses, at

parameteren b er positiv, og der er tale om cosinussvingninger

f(x)=-2cos(4x)+1

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

f(x)

f(x)=-3cos(.5x)+1

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

g(x)

f(x)=2cos(2x)-1.5

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

h(x)

f(x)=2sin(5x)+3

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

i(x)

p: periode

a: amplitude

d: svingningsakse




Hvis man skal tegne en harmonisk svingning med alle fire parametre er det hensigtsmæssigt at

anvende en form for systematik. Følgende ”opskrift” kan fx anvendes:

Metode til tegning af harmonisk svingning med flere parametre:

1. Tegn en hjælpetegning af den ”grundkurve”, der er tale om. (Altså en

skitse af enten sin(x) eller cos(x). Markér på skitsen, hvor c-værdien

ligger på x-aksen, så du ved, hvordan grafen starter på y-aksen.

Notér på skitsen: Grafen starter i maksimum/minimum, på

svingningsaksen og på vej ned. Dette fremgår af funktionsværdien

(sin(c) eller cos(c).

2. I et nyt koordinatsystem tegnes svingningsaksen y = d ind som en

stiplet linje.

3. Herefter ses på a-værdien, og til venstre i koordinatsystemet noteres,

hvor langt op/ned svingningen går (a aftegnes såvel op som ned)

4. Nu ses på perioden, der angives i koordinatsystemet.

5. Med ovennævnte i baghovedet placeres startstedet nu på y-aksen, og

kurven tegnes let!

Vær opmærksom på, hvis der spørges efter værdimængde, periode eller

lignende, så disse svar fremgår af besvarelsen.




Ex 1

Tegn den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = 2sin(½x+

) – 3

1. Det fremgår, at der er tale om en

sinuskurve, og at parameteren c =

.

Ved at betragte sin(x) kan ses,

at grafen skal starte i sit maksimum.

2., 3 og 4.Svingningsaksen d = -3

tegnes ind

Amplituden a = 2 afsættes – maksimum

og minimum beregnes.

Startsted, der er i maksimum, markeres.

Perioden beregnes. p=

. b = ½ så vi får: p=

½ = 4 .

Dette markeres

5. Grafen kan nu tegnes




Ex 2

Tegn den harmoniske svingning givet ved forskriften f(x) = -3sin(2x-

) +1

1. Det fremgår, at der er tale om en sinuskurve, og at

parameteren c = -

.

Ved at betragte sin(x) kan ses, at grafen skulle starte i sit

minimum; hvis ikke a var negativ. Da a er negativ skal

grafen spejles, så minimum bliver maksimum.

2., 3 og 4. Svingningsaksen d = 1 afsættes.

Amplituden a = -3 afsættes – maksimum og minimum beregnes. Startsted (minimum markeres

Perioden beregnes. p=

. b = 2 så vi får: p=

= . Dette markeres

5. Grafen kan nu tegnes




Ø2

Tegn graferne for nedenstående funktioner og fastlæg periode samt værdimængde for hver af

funktionerne.

a. f(x) = 4sin(2x - 2

) – 1

b. g (x) = 3sin(4x + ) – 2

c. h(x) = -2sin(4x +2

) + 3

d. i(x) = 5sin(2x - 3

) +3

e. j(x) = -sin(½x + ) - ½

Ø3 CAS

Det fremgår at en harmonisk svingning er en funktion, der er kontinuert – dvs. differentiabel.

Bestem med brug af CAS-værktøj differentialkvotienterne for funktionerne i øvelse 2.




Funktionsanalyse af trigonometriske funktioner samt differentiation heraf I dette afsnit vil vi se ganske lidt på funktionsanalyse af trigonometriske funktioner.

En fuldstændig analyse af trigonometriske funktionsudtryk indeholder de samme elementer, som vi tidligere har anvendt i forbindelse med funktionsundersøgelser af polynomier, potensfunktioner, irrationelle funktioner mv. Analysen af de trigonometriske funktionsudtryk er dog lidt specielle, da de jo som regel er periodiske funktioner, hvilket betyder, at når har man bestemt funktionens grafiske billede for en enkelt periode, så kan hele funktionens graf tegnes indenfor definitionsmængden. Hvis funktionen ikke er begrænset, vil det være umuligt at skrive alle ekstremaerne op ligesom monotoniintervallerne ville udgøre en uendelig mængde. Det betyder, at

man ofte lader funktionerne ligge indenfor et givet interval, fx [-2 ] eller [0 ]. Hvis funktionen anvendes til matematisk modellering over fx aktiekurser i en given periode vil

definitionsmængden naturligvis være denne periode og ikke være med enheder med En analyse af en trigonometrisk funktion f indeholder de velkendte punkter: (1) Definitionsmængden, Dm(f), og evt. perioden for f

(2) Nulpunkter for f (eller skæringspunkter med x-aksen)

(3) Fortegnsvariation for f

(4) Monotoniforhold for f

(5) Ekstrema for f

(6) Vendetangpunkter for f

(7) Værdimængden for f, Vm(f)

En sådan funktionsundersøgelse kan umiddelbart virke lidt omsomt, når der er tale om en harmonisk svingning, idet vi reelt kan foretage en meget stor del af analysen alene ud fra vort kendskab til parametrenes betydning for grafen. Beregning af nulpunkter for en harmonisk svingning har vi dog slet ikke været inde på, ligesom vi heller ikke har set på Differentialkvotienten til sin(x) og cos(x). Der er dog intet til hinder for, at man kan analysere funktioner med sinus og cosinus på traditionel vis –

hvis man ellers kender teknikken hertil.

Fra vore tidligere funktionsundersøgelser ved vi, at bestemmelse af nulpunkter indebærer, at man

skal løse ligningen f(x) = 0, ligesom bestemmelse af monotoniforhold bygger på bestemmelse af

punkter med vandrette tangenter – altså løsning af ligningen f’(x) = 0.

I kapitel 1 var vi inde på begrebet omvendt funktion, f-1

(x), hvor vi påpegede at omvendte

funktioner bl.a. anvendes til ligning løsning. For at løse en ligning med sin(x) og cos(x), har vi

derfor behov for at kende, de omvendte funktioner hertil. Det er meget let, da de omvendte

funktioner hedder hhv. sin-1

(x) og cos-1

(x). Så vidt så godt!

I forbindelse med løsningen af andengradsligninger, blev understreget, at funktionen x2 ikke er

invertibel, idet der til en y-værdi kan være to x-værdier. En parabel kan have to nulpunkter, da den

kan skære x-aksen to steder. De harmoniske svingninger er jo endnu vanskeligere, da disse jo er

periodiske, hvilket betyder, at er der først beregnet et nulpunkt så er der principielt uendelig mange

nulpunkter. Det er derfor en stor hjælp, hvis funktionen har en begrænset definitionsmængde.




Der hersker ingen tvivl om, at de trigonometriske funktioner er kontinuerte (sammenhængende), så

dermed ved vi også, de er differentiable.

Der gælder

følgende:

Det er meget let at vise, at disse differentialkvotienter er korrekte, idet det umiddelbart følger ud fra

det grafiske billede af funktionerne.

Når man arbejder med funktionsanalyse af de

trigonometriske funktioner giver det forholdsvis meget

regnearbejde – det kan derfor anbefales at anvende CAS-

værktøj til analyse af disse. Under alle omstændigheder er

det altid en god idé at tegne grafen for funktionen med et

computerprogram for at sikre sig, at de beregninger, der

foretages, er korrekte.

.

Ex CAS

Vi vil lave en grafisk funktionsanalyse af funktionen

f(x) = 2sin(x)+1, x [0 ]

Vi tegner først grafen for funktionen og aflæser herefter de relevante resultater.

Omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner:

f(x) = sin(x) f-1

(x) = sin-1

(x)

f(x) = cos(x) f-1

(x) = cos-1

(x)

Differentialkvotient for trigonometriske funktioner:

(sin(x))’ = cos(x)

(cos(x))’ = -sin(x)

TIP:

Tegn altid først grafen for den

funktion, der skal analyseres,

vha. et computerprogram og

skriv evt. analyseresultaterne op

ud fra det, grafen viser.

Hvis beregningerne efterfølgende

resulterer i de samme resultater

er analysen (nok) korrekt.




f(x)=2sin(x)+1

Serie 1

-π/4 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 9π/4 5π/2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

y

f(x) = 2sin(x)+1

Np: 3.67Np: 5.76

lok max: (2 ,0)

lok min: (0,2)

Max: ( ,3)

Min: ( ,-1)

VT pkt (( ,1)

(1) Definitionsmængden, Dm(f), og evt. perioden for f. Dm(f = [0 ] Perioden p = 2

(2) Nulpunkter for f (eller skæringspunkter med x-aksen) Np = {3.67, 5.76}

(3) Fortegnsvariation for f

+ +

0 - 3.67 - 5.76 2

(4) Monotoniforhold for f

x

f’(x) + 0 - 0 +

f(x)

f(x) er voksende i intervallet [0;

]

f(x) er aftagende i intervallet [

]

f(x) er voksende i intervallet [

]

(5) Ekstrema for f

Der er to globale ekstremaer og to lokale ekstremaer. Det er:

lok min: (0, 2) og lok max: ( , 0)




globalt maksimum: (

, 3)

globalt minimum: (

(6) Vendetangentpunkter for f

Der er et punkt med vendetangent i ( (7) Værdimængden for f, Vm(f)

Vm(f) = [-1;3]

Vi mangler nu at argumentere herfor!

Ad 1 Dm(f): Denne er givet i opgaven

Ad 2 Nulpunkter:

f(x) = 2sin(x)+1 = 0 2sin(x) = -1 sin(x) = -½ x = sin-1

(½) x = 3,67 V x = 5,76

Det kræver nogle overvejelser, at nå frem til dette resultat, da vor beregning viser at

sin-1

(-½ )= - 0,52. Da denne løsning ikke ligger indenfor definitionsmængden, skal der findes nogle

alternative løsninger. Vi tegner en enhedscirkel, og ud fra denne kan vi ræsonnere os frem til de to

løsninger, der er anvendelige i intervallet fra [0; 2 ]

x^2+y^2=1

f(x)=-.52

Serie 1

Serie 2

x

y

1

1

-1

-1

-x

-0.52

Vi kan se, alternative værdier må være +0.52 og 2 0,52

Ad 3: Fortegnsvariation:

Vi bestemmer fortegn ved at beregne funktionsværdi uden for og mellem nulpunkterne:

f(0) = 2sin(0)+1 =2·1 + 1 = 3 (positiv)

f(1½ ) = 2sin(1½ )+1 = 2·-1 + 1 = -2 + 1 = -1 (negativ)

f(2 = 2sin(2 )+1 =2·1 + 1 = 3 (positiv)

Dermed er fortegnsvariationen dokumenteret

Ad 4. Monotoniforhold




For at bestemme monotoniforhold skal vi først beregne f’(x). Herefter beregnes, hvor der er vandret

tangent (f’(x) = 0) og der udnersøges hvorvidt funktionen vokser eller aftager omkring disse

værdier. Dette gøres ved at beregne tangenthældningerne i punkter på grafen.

Vi får følgende:

f(x)) = 2sin(x) + 1

f´(x) = 2cos(x) Vi benytter os af følgende regneregner:

f(x = kf(x): f’(x = kf’(x) Vi har konstanten 2

f(x) = sin(x): f’(x) = cos(x)

f(x) = k: f’(x) = 0 Vi har konstanten 1

Vi løser ligningen f’(x) = 0

2cos(x) = 0 cos(x) = 0 x = cos-1

(0)

Her behøver vi ikke tegne enhedscirkel for at fastlægge løsningen, idet vi ved, nulpunkterne for

cos(x) har vi i ½ og 1½

Vi fastlægger fortegn for f’(x) omkring ekstremaerne og får:

f’(0) = 2cos(0) = 2·1 = 2 (positiv)

f’( = 2cos( ) 2·-1 = -2 (negiv)

Vi kan derfor konkludere, monotoniforholdene er givet som:

Ad 5. Ekstrema I beregningen af monotoniforhold konstaterede vi, der var to punkter med vandret tangent i det givne

interval for funktionen. Disse punkter var (

, f(

) = (

, 3) og (

= (

, 0)

Da funktionen har en begrænset definitionsmængde, er begyndelses og endepunkt samtidig også

ekstrema. Det fremgår det er to lokale ekstremaer i (0, 2) og ( , 0). De ter således belæg for at

konkludere, at der er to globale ekstremaer og to lokale ekstremaer. Det er:

lok min: (0, 2) og lok max: ( , 0), globalt maksimum: (

, 3) og globalt minimum: (

Ad. 6. Punkt med vendetangent

Vi beregner f’’(x) og beregner nulpunkter herfor!

f(x) =2sin(x) + 1

f’(x) = 2cos(x)

f’’(x) = -2sin(x)

Vi løser ligningen: -2sin(x) = 0 sin(x) = 0 x = sin-1

(0) x = 0 eller x = eller x = 2

Da to af værdierne er funktionens endepunkter, må disse fravælges, da funktionen formelt set ikke

er differentiabel her. Vi kan derfor konkludere, at funktionen vendetangent i punktet

( , f( )) = (

Af grafen fremgår, at det passer med, at grafen netop skifter krumning fra konkav til konveks i dette

punkt.




Ad. 7. Værdimængde

Vi har tidligere beregnet ekstremaer for funktionen, hvoraf det fremgik, at funktionen har såvel et

globalt maksimum som minimum i hhv. (

, 3) og (

.

Dermed kan vi konkludere, at værdimængden for f, Vm(f) = [-1; 3]




Ø1 CAS

Foretag en funktionsanalyse med CAS-værktøj af funktionen

f(x) = 3sin(2x) -2, x [0 ]

Ø2

Differentier følgende funktioner ved hjælp af reglen for differentiation af en sammensat funktion.

Vink: (f(g(x)’ = f’(g(x)·g’(x)

Differentier den ydre funktion, og lad den ”virke” på den indre. Gang herefter med den indre

funktion differentieret.

Ø4 CAS

Gennemfør en fuldstændig funktionsanalyse af funktionen med forskriften

f(x) =3 cos(½x) – 1, x [0 ]




BEVISER I dette afsnit ses på differentialkvotienten for sin(x) og cos(x)

Vi ved ud fra definitionen af begrebet f’(x, at differentialkvotienten for en given funktion f, er det

samme som hældningskoefficienten for tangenten i punktet (x, f(x)). Dette benytter vi, idet vi

indtegner grafen for sin(x) i et koordinatsystem og efterfølgende tegner vi tangenter i nogle af

punkterne på grafen. Hældningen for disse tangenter aflæser vi – og vi noterer herefter de aflæste

værdier i en tabel med (x, f’(x)) . Disse punkter plottes ind i et koordinatsystem og forbindes.

Vi kan da bestemme ved aflæsning hvilken funktion, der fremkommer.

Det ses umiddelbart, at differentialkvotienten til sin(x) giver cos(x)

På helt tilsvarende vis kan argumenteres for at differentialkvotienten for cos(x) giver sin(x)

Ø1

Argumenter på samme måde som ovenfor for, at det er korrekt differentialkvotienten til

cos(x) = -sin(x)

Documents

Temperaturprognose 5 dage juli 2010 - Systime | … og sinus kan altså defineres på to måder: Når man ser på buelængden, arbejdes med radiantal, og punkterne på cirkelbuen benævnes