TEMEL MATLAB KULLANIMIKomut Satrnda Yazlm rneklerle
eref calFizik Mhendisi 2007
NDEKLER
GR. MATLAB Nedir, MATLAB ile almak, fadeler, MATLAB Temel Yazm
Notasyonu, MATLAB de Kullanlan Belli Bal Komut aretleri, Komut
Satrnda Klavye Ksayollar (36) BLM I. Aritmetik lemler, Radyan
Derece Dnm, Logaritma, Karmak Saylar, Yuvarlatma lemleri, Kalan
Bulma, Temel statiksel lemler, Asal arpanlara Ayrma, Kesirli
Gsterim, OBEB-OKEK, Faktriyel (718) BLM II. ntegral Hesaplar, Trev,
Limit (1927) BLM III. Vektrler, Matrisler, Polinomlar, Ara Deer
Hesaplar (2861) BLM IV. Grafik lemleri (ki Boyutlu Grafikler,
Boyutlu Grafikler) (6296) BLM V. Denklemler-Denklem Sistemlerinin
zm (Cebirsel Denklemler, Diferansiyel Denklemler) (97115) BLM VI.
MATLAB de Programlama (Bir MATLAB Programnn Anatomisi, Veri
Giri-klar Ve Hata Bildirimleri in Kullanlan nemli Fonksiyonlar,
Program Yazmnda Ska Kullanlan Koul Deyimleri, Programlamada
Zamanlama, MATLAB Derleyicisi) (116135) KAYNAKLAR (136 138)
2
GRMATLAB Nedir? MATLAB ad, MATrix LABoratory (Matrix Laboratuar)
kelimelerinden gelir. MATLAB, ilk olarak Fortran Linpack ve Eispack
projeleriyle gelitirilmi ve bu programlara daha etkin ve kolay
eriim salamak amacyla 1970lerin sonlarnda yazlmtr. MATLAB,
matematik ve zellikle de matris esasl matematik ortamnda kullanlmak
zere hazrlanm etkileimli bir paket programlama dilidir. MATLAB n
ilk srmleri FORTRAN dilinde, son srmleri ise C dilinde yazlmtr.
FORTRAN ve C dili gibi yksek seviyeden programlama dilleri ile
yaplabilen hesaplamalarn pekounu MATLAB ile yapmak mmkndr. Buna
karlk MATLAB n fonksiyon ktphanesi sayesinde, FORTRAN ve dier
programlama dillerine gre MATLAB de daha az sayda komutla zm retmek
mmkndr. Gerekte MATLAB, M-dosyalar (M-files) olarak bilinen pekok
sayda fonksiyon dosyalarndan (alt-programlardan) ibarettir.
M-dosyalar ASCII formatnda olup okunabilirlii olan MATLAB
programlama dili kodlarndan olumutur. Dolaysyla M-dosyalar
ktphanesine, kullanc tarafndan mdahale edilebilir. Ancak bu kodlara
zorunlu kalmadka mdahale edilmemesi, kodlarn deitirilmemesi
gerekir. MATLAB temel bilimler ve mhendislik alanlarnda saysal
hesaplama, veri zmleri ve grafik ilemlerinde kullanlabilecek genel
amal bir program olmakla beraber, zel amal modler paketlere de
sahiptir. CONTROL TOOLBOX, SIGNAL TOOLBOX gibi paket programlar
CACSD (Bilgisayar destekli denetim sistemi tasarm) paketler olup,
bunlar denetim sistemlerinin tasarmnda ok etkili aralardr. Ayrca
WINDOWS ortamnda alan SIMULINK, etkileimli benzetim programlarnn
hazrlanmas ve altrlmasnda byk kolaylklar salamaktadr. MATLAB ile
almak * MATLAB, komut temelli bir programdr. Komut penceresinde
(Command Window) >> eklindeki prompt iaretinin bulunduu satr,
komut satr olarak adlandrlr. Bu iaretin hemen yannda yanp snen I
eklindeki iaret, komut ve metin yazma cursoru, yani imlecidir. Bu
iaretin olduu yerde klavyeden giri yaplabilir ve enter tuuna
baslarak ilemler yrtlr. * MATLAB byk ve kk harf karakterlerini ayrt
eden bir dildir. Buna gre, bir deiken TIME ad ile atanabilirken,
dier bir deiken time ad ile ve dier baka bir deiken de Time ad ile
atanabilir. Bu durumda bir karaktere birden fazla deer atamak
mmkndr. * MATLAB de help < komut ad > ile istenilen yardma
ulalabilir. * Bir alma srasnda komut penceresi silinmek istenirse
clc komutu kullanlr. clear komutu ise bellekte yer alan kullanc
tarafndan tanmlanm tm deikenleri ve fonksiyonlar siler. * save <
dosya ad > komutuyla deiken kalc olarak saklanr; load < dosya
ad > komutuyla deiken yrtlr; whos komutuyla deikenler
listelenir; clear < dosya ad > komutuyla saklanan deiken
silinir. * Bilgisayarn sonsuz bir dngye girdii veya sonu gelmez
grnen veri grntleme ve yazdrma ilemleri gibi durumlarda komut
icrasnn kesilmesi gerekebilir. MATLAB ortamnda bir komutun icrasn
sona erdirmek iin Ctrl+C tularna ayn anda basmak gerekir. Bu
durumda ^C iletisi karmza kar ve komut icras kullanc tarafndan sona
erdirilmi olur. 3
fadeler (expressons) MATLAB dier programlama dillerinde olduu
gibi bir giri (input) olarak eitli matematiksel ve metinsel
ifadeler salar. fadeleri 4 ana grup altnda inceleyebiliriz: *
Saylar (Numbers) * Deikenler (Variables) * leler (Operators) *
Fonksiyonlar (Functions) MATLAB Temel Yazm Notasyonu (syntax)
MATLAB de herey bir dizi (array) olarak ileme konur. Bir dizi,
skaler, vektr, matris veya metinsel dizge (karakter dizisi)
olabilir. * 1x1 dizisi skaler (scaler) veya metin dizgesi (string)
gsterir. a=3 b=-20.56 c=3e-4 e=' Bir tamsay giriniz: ' gibi. Metin
dizgeleri (text string), tek trnaklar '' arasnda verilir.
d=2+5*i
* nx1 veya 1xn dizisi bir vektr (vector) gsterir. x=[0, 2, 4, 6]
ifadesinde x, 1x4 boyutunda bir vektrdr. Keli parantezler [
]iindeki saylarn arasnda virgl (,) veya en az bir ya da daha fazla
boluk olmaldr. * nxm veya mxn dizisi bir matris (matrix) gsterir.
Keli parantezler [ ] iindeki say gruplar arasnda noktal virgl (;)
olmaldr. Noktal virgl (;) iareti matrisin stunlarn ayrr. Say
gruplarn ayrmakta virgl (,) veya en az bir ya da daha fazla boluk
kullanlabilir. MATLAB TA Kullanlan Belli Bal Komut aretleri .
Ondalk Nokta: 325/100, 3.25 veya .325e1 hepsi ayn sayy ifade eder.
. Dizi (array) ilemleri: .* .^ ./A veya .'. ilemlerinde
eleman-eleman ilem yaplr. rnein C=A./B matris ileminde C matris
elemanlar C(i,j) = A(i,j)/B(i,j) eklinde bulunur. . Yapsal Alan
(field) eriimi: A.alan ve A(i).alan, A bir yapsal veri ise 'alan'
adl alann iindekilere eriim gsterimidir. Eer A yapsal veri deil ise
virglle ayrlm bir liste retir. rnek olarak, C= {1 2 3 4}; A =
[C{:}]; B = cat(2,C{:}); .. Ebeveyn dizine gei gsterimi: Dizinler
arasnda ilk ana dizine gei yapmak iin cd .. eklinde kullanlr.
Sreklilik (Continuation): Satr sonundaki nokta ... satrn bir alt
satrdan devam etmesini salar. Bir satra smayan ifade veya verileri
ekranda birebir izlemek iin kullanlr. , Virgl (comma) veya Ayrc
(separator): Virgl, dizilerde elemanlar satr vektr yapar;
matrisleri altindislerine ve fonksiyonlarda da argmanlar ayrmak iin
kullanlr. Ayrca ok ifadeli satrlarda ifadeleri ve/veya komutlar
birbirinden ayrmak iin de kullanlabilir.
4
; Noktal virgl (semicolon): Matris satrlarnn sonlarn gstermek
iin keli parantez iinde kullanlr. Ayrca bir ifade ve deyimin kn
yazdrmamak, yani ekranda grntlenmesini nlemek iin de kullanlr. :
stste iki nokta veya Colon (Stun) operatr: Ardl say gsterimlerinde
ve matris indekslemesinde kullanlr. rnein 1:2:100 ifadesi 1'den
100'e kadar 2 artml say dizisi gsterir. ( ) Parantez ve
altindeksleme: Matematikten bildiimiz gibi bir ilem topluluu
gsterir. [ ] Keli parantez (bracket): ster bir vektr ister bir
matris olsun dizi oluturmada kullanlr. { } Ssl parantez ve
altindeksleme: zellikle yap ve hcre veri tiplerinde kullanm vardr.
% Yzde (percent) Aklama (comment): Yzde sembol, komut ve program
ileyiini etkilemeyen aklamalara balamak iin kullanlr. Yardm (Help)
sistemi iin ok gereklidir. ! nlem iareti: ! iaretini izleyen
herhangi bir yaz, DOS iletim sisteminde yazlan bir komut gibi i
grr. rnein >> ! dir komutu varsaylan klasr iindekileri DOS
iletim istemi formatnda listeler. >>!dir& komutu ise
listeleme ilemini ayr bir DOS penceresinde yapar. ' Transpoze
(transpose): X', X matrisinin karmak elenik devriidir (kompleks
konjuge transpose). X.' ise elenik olmayan (non-conjugate)
transpozesidir. Transpoze ilemi vektrlerde satr vektrn stun vektrne
veya stun vekrn satr vektrne dndrr. ' ' Tek trnak (quote): Tek
trnaklar arasndaki herhangi bir metin (text), ASCII koduna sahip
karakterli bileenleri olan bir vektrdr. Metin iinde kesme iaretini
kullanmak istendiinde ise, ift trnak tercih edilmelidir. rnein, '
Ali"nin Masas.' gibi. = Atama (assignment): Bildirimleri atamak iin
kullanlr. rnein B = A, A'nn elemanlarn B'de saklar. < ...den kk
bant ilemcisi. ...den byk bant ilemcisi. >= ...den byk veya
eittir bant ilemcisi. = = Mantksal eittir bant (relational)
ilemcisi. & Mantksal AND (ve) ilemcisi. | Mantksal OR (veya)
ilemcisi. ~ Mantksal tamamlayc (complemet) NOT (deil) ilemcisi.
Boluk (blank) : Metin ilemlerinde veya ifadelerin arasnda boluk
vermek iin kullanlr.
5
Komut Satrnda Klavye Ksayollar ctrl- ctrl- home end esc del
Ctrl-P Bir nceki satr arr (Recall previous line) Ctrl-N Bir sonraki
satr arr (Recall next line) Ctrl-B mle bir karakter sola hareket
eder (Move back one character) Ctrl-F mle bir karakter saa hareket
eder (Move forward one character) Ctrl-R Bir kelime saa hareket
eder (Move right one word) Ctrl-L Bir kelime sola hareket eder
(Move left one word) Ctrl-A Satrn basna gider (Move to beginning of
line) Ctrl-E Satrn sonuna gider (Move to end of line) Ctrl-U Geerli
satr iptal eder yani tamamen siler (Clear line) Ctrl-D Bir karakter
sola doru siler (Delete character at cursor)
backspace Ctrl-H Imlecten satrn bana kadar olan ksm siler
(Delete character before cursor) Ctrl-K Imlecten satrn sonuna kadar
olan ksm siler (Delete to end of line) imdi, dorudan komut satrnda
yazacamz rneklerle MATLAB kullanmna balayalm
6
BLM I>> % ARTMETK LEMLER >> % RNEK 1 >> x=1;
y=2; a=x+y, b=x-y, c=x*y, d=x/y, f=x^y a= 3 b= -1 c= 2 d= 0.5000 f=
1 >> % RNEK 2 >> % lem srasna dikkat edilmelidir.
>> a=2^1/2, b=2^(1/2), c=2^3^4, d=2^(3^4) a= 1 b= 1.4142 c=
4096 d= 2.4179e+024 >> % Bilimsel notasyonda e harfi 10 un
kuvvetini temsil eder. 2.4179e+024 = 2.4179 x 1024 demektir.
7
>> % RADYAN - DERECE DNM >> % RNEK 3 >>
a=sin(30), % Radyan cinsinden a deeri. a= -0.9880 >>
b=sin(30*pi/180), % Derece cinsinden a deeri. b= 0.5000 >> %
Deeri 0.5 olan sins fonksiyonun asn bulalm. >> x=asin(0.5) %
Radyan cinsinden. x= 0.5236 >> x=asin(0.5)*180/pi % A
cinsinden. x= 30.0000 >> % A deerlerini derece cinsinden
kullanmak iin trigonometrik fonksiyonlarn sonuna d ekleyebiliriz.
>> % sind, asind, cosd, acosd, tand, atand, cotd, acotd gibi.
>> a=sind(30), x=asind(0.5) a= 0.5000 x= 30.0000 >> %
LOGARTMA >> % 10 tabannda logaritma: log10(x) >> % 2
tabannda logaritma: log2(x) >> % e tabannda doal logaritma
(lnx): log(x) >> % MATLAB de taban ilemleri 10, 2 ve e
tabannda tanmlanmtr. Dier tabanlar iin 10 tabanna dntrlerek blme
ilemi yaplr. >> % RNEK 4 >> % ln1, ln10, ln2, ln5,
ln3/5 deerlerini bulalm. >> a=log(1), b=log(10), c=log(2),
d=log(5), e=log(3/5) 8
a= 0 b= 2.3026 c= 0.6931 d= 1.6094 e= -0.5108 >> % RNEK 5
>> % log1, log10, log2, log5, log3/5 deerlerini bulalm.
>> a=log10(1), b=log10(10), c=log10(2), d=log10(5),
e=log10(3/5) a= 0 b= 1 c= 0.3010 d= 0.6990 e= -0.2218 >> %
RNEK 6 >> % logaritma 2 tabannda 0', 1'i, 2'yi, 10'u ve 3/5'i
bulalm.
9
>> a=log2(0), b=log2(1), c=log2(2), d=log2(10),
e=log2(3/5) Warning: Log of zero. a= -Inf b= 0 c= 1 d= 3.3219 e=
-0.7370 >> % RNEK 7 >> % logaritma 3 tabannda 12'yi
bulalm. 3 taban tanml olmad iin 10 taban ile ilem yapacaz. >>
% log312 = log1012 / log103 dr. >> a=log10(12)/log10(3) a=
2.2619 >> % >> % >> % >> % x ss n e (e=
2.71828) ss x karekk x x in mutlak deeri x^n, exp(x), sqrt(x),
abs(x) eklindedir.
>> % RNEK 8 >> exp(-1), exp(0), exp(1), exp(3/5) ans
= 0.3679 ans = 1 ans = 2.7183 ans = 1.8221 10
>> % RNEK 9 >> sqrt(-1), sqrt(0), sqrt(1), sqrt
(3/5) ans = 0 + 1.0000i ans = 0 ans = 1 ans = 0.7746 >> %
RNEK 10 >> abs(-5), abs(sqrt(3)-1) ans = 5 ans = 0.7321
>> % RNEK 11 >> % e= 2.71828 says MATLAB de tanml
deildir. e ile ilem yapabilmek iin, >> % e= exp(1) deiken
atamas yaplabilir. >> >> e=exp(1), e^10, e^pi, pi^e e=
2.7183 ans = 2.2026e+004 ans = 23.1407 ans = 22.4592
11
>> % KARMAIK SAYILAR >> % RNEK 12 >> % y= 2 +
3i iin >> y=2+3i y= 2.0000 + 3.0000i >> abs(y), %
karmak saynn modl (mutlak deeri veya genlii), yani sqrt(a^2+b^2)
ans = 3.6056 >> angle(y), % Karmak saynn radyan cinsinden faz
as. ans = 0.9828 >> angle(y)*180/pi, % Karmak saynn derece
cinsinden faz as. ans = 56.3099 >> conj(y), % Karmak saynn
elenii. ans = 2.0000 - 3.0000i >> real(y), % Karmak saynn
reel ksm. ans = 2 >> imag(y), % Karmak saynn sanal ksm. ans =
3 >> % RNEK 13 >> % >> % >> % >> %
>> % Karmak saylarn kutupsal gsterimini bulabilmek iin
verilen saynn mutlak deerini ve faz asn (derece cinsinden) bulmamz
gerekir. y=a+bi = r(cos + isin) dr. Burada mutlak deer
r=IyI=sqrt(a2+b2), faz as =arctan(b/a) dr. y=1+i saysn kutupsal
edeerini bulalm. 12
>> y=1+i y= 1.0000 + 1.0000i >> abs(y), % Mutlak
deeri. ans = 1.4142 >> angle(y)*180/pi, % Derece cinsinden
faz as. ans = 45 >> % Sonu, y= 1+i= 1.4142(cos45 + isin45)
olur. >> % YUVARLATMA LEMLER >> % Yuvarlatma ilemleri:
fix, floor, ceil, round fonksiyonlar ile yaplr. >> % RNEK 14
>> fix(-6.1) % fix: sfra doru en yakn tamsayya yuvarlatma
yapar. ans = -6 >> floor(-6.1) % floor: eksi sonsuza doru en
yakn tam sayya yuvarlatma yapar. ans = -7 >> ceil(-6.1) %
ceil: art sonsuza doru en yakn tam sayya yuvarlatma yapar. ans = -6
>> round(-6.1) % round: en yakn tam sayya yuvarlatma yapar.
ans = -6
13
>> % KALAN BULMA >> % RNEK 15 >> % Kalan bulma
ilemleri iin mod(x,y) fonksiyonu kullanlr. >> % 79 un 15 e
blmnden kalan bulalm. >> >> mod(79,15) ans = 4 >>
% TEMEL STATKSEL LEMLER >> % Temel istatiksel ilemler: max,
min, length, sum, prod, median, std, mean, geomean, harmmean, sort
>> % RNEK 16 >> % Bir deneyin sonularn d deikenine
vektr olarak girip inceleyelim. >> d=[0.5 1 0.34 2.5 1.14 3.0
3.04 5 6.5 4.31 5.5] d= Columns 1 through 5 0.5000 1.0000 0.3400
2.5000 1.1400 Columns 6 through 10 3.0000 3.0400 5.0000 6.5000
4.3100 Column 11 5.5000 >> max(d) % En byk deeri bulur. ans =
6.5000 >> min(d) % En kk deeri bulur. ans = 0.3400 >>
length(d) % Veri saysn bulur. ans = 11
14
>> sum(d) % Verileri toplar. ans = 32.8300 >>
prod(d) % Verileri arpar. ans = 3.4042e+003 >> std(d) %
Formlne gre standart sapmay bulur. ans = 2.1272 >> mean(d) %
Aritmetik ortalamay alr. ans = 2.9845 >> geomean(d) %
Geometrik ortalamay alr. ans = 2.0946 >> harmmean(d) %
Harmonik ortalamay alr. ans = 1.2719 >> sort(d) % Verileri
kkten bye doru sralar. ans = Columns 1 through 9 0.3400 0.5000
1.0000 1.1400 2.5000 3.0000 3.0400 4.3100 5.0000 Columns 10 through
11 5.5000 6.5000 >> % ASAL ARPANLARA AYIRMA >> % RNEK
17 >> % 187 nin asal arpanlarn bulalm. Bunun iin factor
fonksiyonunu kullanabiliriz.
15
>> factor(187) % 187 nin asal arpanlarn bulur. ans = 11 17
>> % KESRL GSTERM >> % RNEK 18 >>% 12/96 deerini
hem ondalkl hem de kesirli olarak ifade edelim. >> >>
12/96 ans = 0.1250 >> format rat >> a a= 1/8 >> %
OBEB-OKEK >> % RNEK 19 >> % Ortak blenlerin en by obeb
iin gcd fonksiyonu, ortak katlarn en k okek iin lcm fonksiyonu
>> % kullanlr. rnein 30 ve 24 n obeb ini ve okek ini bulalm.
>> obeb30_24=gcd(30,24), okek30_24=lcm(30,24) obeb30_24 = 6
okek30_24 = 120 >> % FAKTRYEL >> % RNEK 20 >> %
Faktriyel hesaplar iin prod fonksiyonu kullanlabilir. >> %
n!=prod(1:n) eklindedir. % Sonular kesirli gsterir. Varsaylana
tekrar dnmek iin >>format komutu yazlmaldr.
16
>> % 15!/(9!-5!) ifadesinin sonucunu bulalm. >>
prod(1:15)/(prod(1:9)-prod(1:5)) ans = 3.6048e+006
>> % NOT: MATLAB de temel (elemanter) matematiksel
fonksiyonlarn listesi iin >> % >>help elfun komutu
kullanlr. >> help elfun Elementary math functions.
Trigonometric. sin - Sine. sind - Sine of argument in degrees. sinh
- Hyperbolic sine. asin - Inverse sine. asind - Inverse sine,
result in degrees. asinh - Inverse hyperbolic sine. cos - Cosine.
cosd - Cosine of argument in degrees. cosh - Hyperbolic cosine.
acos - Inverse cosine. acosd - Inverse cosine, result in degrees.
acosh - Inverse hyperbolic cosine. tan - Tangent. tand - Tangent of
argument in degrees. tanh - Hyperbolic tangent. atan - Inverse
tangent. atand - Inverse tangent, result in degrees. atan2 - Four
quadrant inverse tangent. atanh - Inverse hyperbolic tangent. sec -
Secant. secd - Secant of argument in degrees. sech - Hyperbolic
secant. asec - Inverse secant. asecd - Inverse secant, result in
degrees. asech - Inverse hyperbolic secant. csc - Cosecant. cscd -
Cosecant of argument in degrees. csch - Hyperbolic cosecant. acsc -
Inverse cosecant. acscd - Inverse cosecant, result in degrees.
acsch - Inverse hyperbolic cosecant. 17
cot - Cotangent. cotd - Cotangent of argument in degrees. coth -
Hyperbolic cotangent. acot - Inverse cotangent. acotd - Inverse
cotangent, result in degrees. acoth - Inverse hyperbolic cotangent.
hypot - Square root of sum of squares. Exponential. exp -
Exponential. expm1 - Compute exp(x)-1 accurately. log - Natural
logarithm. log1p - Compute log(1+x) accurately. log10 - Common
(base 10) logarithm. log2 - Base 2 logarithm and dissect floating
point number. pow2 - Base 2 power and scale floating point number.
realpow - Power that will error out on complex result. reallog -
Natural logarithm of real number. realsqrt - Square root of number
greater than or equal to zero. sqrt - Square root. nthroot - Real
n-th root of real numbers. nextpow2 - Next higher power of 2.
Complex. abs - Absolute value. angle - Phase angle. complex -
Construct complex data from real and imaginary parts. conj -
Complex conjugate. imag - Complex imaginary part. real - Complex
real part. unwrap - Unwrap phase angle. isreal - True for real
array. cplxpair - Sort numbers into complex conjugate pairs.
Rounding and remainder. fix - Round towards zero. floor - Round
towards minus infinity. ceil - Round towards plus infinity. round -
Round towards nearest integer. mod - Modulus (signed remainder
after division). rem - Remainder after division. sign - Signum.
18
BLM II>>% NTEGRAL HESAPLARI >>% ntegral, bir
fonksiyon grafiinin altndaki alan bulmak iin kullanlan saysal bir
yntemdir. >>% MATLAB de integral ilemleri, sonu belirli ise,
saysal (nmerik) olarak quad fonksiyonu ile sonu >>% belirsiz
ise, simgesel olarak int fonksiyonu ile hesaplanabilir. >>%
RNEK 1
>>% q=
f (x)dx integrali iin nmerik sonucu quad fonksiyonu ile
bulabiliriz.a
b
>>% quad fonksiyonunun genel format q= quad(f(x),a,b)
eklindedir. >>% quad fonksiyonu 10-6 hata ile f(x)
fonksiyonunun a ile b arasndaki integraline yaklar. >>% q= x
2 dx belirli integralinin sonucunu saysal olarak quad fonksiyonu
ile bulalm.1
2
>> quad('x.^2',1,2) ans = 2.3333 >>% RNEK 2ln5
% Fonksiyonda deikenler . (nokta) eklinde kullanlr.
>>%
e1
2x
dx integralini hesaplayalm.
>> quad('exp(2*x)',1,log(5)) ans = 8.8055 >>% RNEK
3p /2
>>%
sin x cos xdx integralini hesaplayalm.0
>> quad('sin(x).*cos(x)',0,pi/2) ans = 0.5000
19
>>% RNEK 4 >>%
( x + 1)1
2
1
2
dx integralini hesaplayalm.
>> quad('1./(x+1).^2',1,2) ans = 0.1667 >>% RNEK 5
>>%
2 x( x 2 + 3) ( x 2 + 3)2 + 1 dx integralini hesaplayalm. 0
1
>> quad('(2*x.*(x.^2+3))/((x.^2+3).^2+1)',0,1) ??? Index
exceeds matrix dimensions. Error in ==> quad at 79 if
~isfinite(y(7)) >>% Grld gibi hata verdi. nk quad adaptif
tekrarl Simpson kuraln >>% (erisel alan toplam yaklam)
kullanan dk dereceli bir yntemdir. >>% Burada daha yksek
dereceli bir yntem olan quadv yi kullanmamz gerekir. >>
quadv('(2*x.*(x.^2+3))/((x.^2+3).^2+1)',0,1) ans = 0.2653 >>%
RNEK 6 >>% ki katl integral hesabnda ise, dblquad fonksiyonu
kullanlr.y max
>>% dblquad fonksiyonunun genel format q=
y min
x max
x min
f ( x, y )dxdy ise,
>>% q=dblquad(f ,xmin, xmax, ymin, ymax) eklindedir.
20
p
>>%
0
2p
p
( y sin x + x cos y ) dxdy integralini hesaplayalm.
>> dblquad('y*sin(x)+x*cos(y)',pi,2*pi,0,pi) ans = -9.8696
>>% NOT: katl integral hesabnda ise, benzer olarak triplequad
fonksiyonu kullanlabilir. >>% RNEK 7 >>% Simgesel
integral hesaplamalarnda saysal (nmerik) sonu yerine deikene gre
sonu elde edilir. >>% MATLAB simgesel ilemlerde Symbolic Math
Toolbox kullanr. >>% Kullanlacak fonksiyonlar >>help
symbolic ile grlebilir. >>syms deiken1 deiken2
>>% Simgesel ilemlerde kullanlacak deikenlerin >>%
eklinde nceden bildirilmesi gerekmektedir.
>>% Aksi takdirde fonksiyonlar ve deikenler tek trnaklarn
' ' arasnda girilmelidir >>% MATLAB de simgesel integral alma
fonksiyonu int dir.
>>% int fonksiyonunun genel format q= >>%
q=int(f,x,a,b)
f (x)dx ise, q=int(f,x,a,b) eklindedir.a
b
f(x) fonksiyonunun x e gre adan b ye belirli integralini
alr.
>>% NOT: Yukarda verilen quad fonksiyonu yerine int
fonksiyonu kullanlarak hem belirli >>% hem de belirsiz
integral ilemleri yapmak mmkndr. >>%
( -2 x
5
- 4 x + 20) dx integralini hesaplayalm.>>% ya da ayn sonu
aadaki gsterimle de bulunabilir; >> int('-2*x^5-4*x+20','x')
ans = -1/3*x^6-2*x^2+20*x
>> syms x >> int(-2*x^5-4*x+20,x) ans =
-1/3*x^6-2*x^2+20*x
21
>>% RNEK 8
>>%
sin3tx.cos xdx integralini hesaplayalm.
>> syms x t >> int(sin(3*t*x)*cos(x),x) ans =
-1/2/(3*t+1)*cos((3*t+1)*x)-1/2/(3*t-1)*cos((3*t-1)*x) >>
pretty(ans) % pretty(ans) fonksiyonu, sonucu daha anlalr
gsterir.
cos((3 t + 1) x) - 1/2 ---------------------3t+1 >>% RNEK
9
cos((3 t - 1) x) - 1/2 --------------------3t-1
>>%
x2e3tx dx
integralini hesaplayalm.
>> syms x t >> int(x^2*exp(3*t*x),x) ans =
1/27/t^3*(9*t^2*x^2*exp(3*t*x)-6*t*x*exp(3*t*x)+2*exp(3*t*x))
>> simple(ans) ans = 1/27*exp(3*t*x)*(9*t^2*x^2-6*t*x+2)/t^3
>> pretty(ans) % simple(ans) fonksiyonu, sonucu
sadeletirir.
exp(3 t x) (9 t 2 x 2 - 6 t x + 2) 1/27
------------------------------------------t3
22
>>% RNEK 10 - ax e dx2
>>%
-
integralini hesaplayalm. >>% ya da ayn sonu aadaki
gsterimle de bulunabilir; >> int('exp(-a*x^2)','x',-inf,inf)
ans = PIECEWISE([1/a^(1/2)*pi^(1/2), csgn(a) = 1],[Inf,
otherwise])
>> syms x a >> int(exp(-a*x^2),x,-inf,inf) ans =
1/a^(1/2)*pi^(1/2)
>>% RNEK 11 >>% ok katl integrallerde i ie int
fonksiyonu kullanlabilir. >>% nce ierideki sonra dardaki
integral ilemi uygulanr.y max
>>% q =p
y min
x max
x min
f ( x, y )dxdy ise, q=int(int(f,x,xmin, xmax),y,ymin, ymax)
eklindedir.
>>%
0
2p
p
( y sin x + x cos y )dxdy integralini hesaplayalm.
>> syms x y >>
int(int(y*sin(x)+x*cos(y),x,pi,2*pi),y,0,pi) ans = -pi^2 >>%
RNEK 12
2 x( x 2 + 3) >>% 2 dx integralini quad v ve int
fonksiyonlar ile hesaplayalm. 2 0 ( x + 3) + 1>>% Sonular
karlatralm. int fonksiyonunun kullanm daha kullanl gzkmektedir.
1
23
>> quadv('(2*x.*(x.^2+3))/((x.^2+3).^2+1)',0,1) ans =
0.2653 >> syms x >>
int((2*x*(x^2+3))/((x^2+3)^2+1),x,0,1) ans =
1/2*log(17)-1/2*log(2)-1/2*log(5) >>
sonuc=1/2*log(17)-1/2*log(2)-1/2*log(5) sonuc = 0.2653 >>%
TREV >>% Bir f(x) fonksiyonunun trevi, x bamsz deikenine gre
f(x) fonksiyonunun deiim oran >>% olarak tanmlanr. Pek ok
fiziksel sre (hz, ivme gibi) bir deikenin deiim orannn lsdr.
>>% MATLAB de trev ilemleri simgesel mantk erevesinde alan
diff fonksiyonu ile yaplr. >>% diff(f,x) f nin x e gre
trevini, daha genel olarak diff(f,x,n) f nin x e gre n. dereceden
>>% trevini alr. >>% RNEK 13 >>% f(x)=
5x3+ax2+bx-14 (a,b sbt) fonksiyonunun trevini alalm. >> syms
x a b >> diff(5*x^3+a*x^2+b*x-14,x) ans = 15*x^2+2*a*x+b
>>% RNEK 14 >>% f(t)=et cos(3t) fonksiyonunun 3.
dereceden trevini alp, t=-2 deki deerini bulalm. >> syms t
>> fturev3=diff(exp(t)*cos(3*t),t,3) fturev3 =
-26*exp(t)*cos(3*t)+18*exp(t)*sin(3*t) >>% ya da ayn sonu
aadaki gsterimle de bulunabilir; >>
diff('5*x^3+a*x^2+b*x-14','x') ans = 15*x^2+2*a*x+b % Saysal sonu
iin
24
>> tdegeri=subs(fturev3,t,-2) tdegeri = -2.6979 >>%
RNEK 15
% Trev deerini subs fonksiyonu hasaplar: trevde t yerine -2
yazarak.
>>% f(x)=1/1+5cosx fonksiyonunun 3. dereceden trevini
bulup, grafiini izdirelim. >> syms x >>
fturev=diff(1/(1+5*cos(x)),x,3) fturev =
750/(1+5*cos(x))^4*sin(x)^3+150/(1+5*cos(x))^3*sin(x)*cos(x)-5/(1+5*cos(x))^2*sin(x)
>> ezplot(fturev) % ezplot iki deikenli bir fonksiyonun
grafiini izer. (Bkz: Blm IV, rnek 6)
>>% LMT >>% MATLAB de limit alma ilemleri simgesel
mantk erevesinde limit fonksiyonu ile yaplr. >>%
lim f ( x)xa x a -
iin sonu limit(f,x,a)
>> %
lim f ( x)
iin sonu limit(f,x,a,'left')
>> %
xa +
lim f ( x)
iin sonu limit(f,x,a,'right') eklinde hesaplanabilir. 25
>>% RNEK 16 >>% a= lim
1 1 1 , b= lim , c= lim limitlerini hesaplayalm. x 0 x x 0 - x x
0 + x
>>% Belirsiz limit durumunda sonu, NaN (Not a Number)a
dnderilecektir. >> a=limit(1/x,x,0), b=limit(1/x,x,0,'left'),
c=limit(1/x,x,0,'right') >> syms x a= NaN b= -Inf c= Inf
>>% RNEK 17 >>%
lim( x 2e - x )x
ifadesini hesaplayalm. >>% ya da ayn sonu aadaki gsterimle
de bulunabilir; >> limit('x^2*exp(-x)',x,inf) ans = 0
>> syms x >> limit(x^2*exp(-x),x,inf) ans = 0
>>% RNEK 18 >>%
limx2
x-2 ifadesini hesaplayalm. 4x + 1 - 3
>> syms x >> limit((x-2)/(sqrt(4*x+1)-3),x,2) ans =
3/2
26
>>% RNEK 19
>>%
sin 3 3x lim x p + cos 2 3 x
ifadesini hesaplayalm.
>> limit(sin(3*x)^3/cos(3*x)^2,x,pi,'right') >> syms
x ans = 0 >>% RNEK 20
>>%
x3 - a 3 lim x a sin(3 x - 3a )
ifadesini hesaplayalm.
>> syms x a >> limit((x^3-a^3)/sin(3*x-3*a),x,a) ans
= a^2
27
BLM III>>% VEKTRLER >>% VEKTR GSTERMLER >>%
Vektr, ksaca tek boyutlu dizidir. 1xn uzunluktaki diziye satr
vektr, mx1 uzunluktaki diziye ise stun >>% vektr denir.
MATLAB de vektrler temel yoldan oluturulabilir: a. Dorudan keli
parantez [] >>% kullanarak; b. Eit aralkl elemanlar
kullanarak, stun notasyonu : kullanarak ya da linspace veya
>>% logspace komutlaryla; c. rand, randn, ones, zeros
fonksiyonlaryla. >>% RNEK 1 >>% x=[ 1 2 3 4 5 ] vektr
1x5 uzunluunda, 5 elemanl bir satr vektrdr. x vektrnn gsterim
>>% ekilleri aadaki gibidir:
>> x=[ 1 2 3 4 5 ] x= 1 2 3 4 5
% Keli parentez iinde, elemanlar aras boluk brakarak.
>> x=[ 1, 2, 3, 4, 5 ] % Keli parentez iinde, elemanlar
aras virgl kullanarak. x= 1 2 3 4 5 % Stun notasyonu ilkdeer : n :
son deer %
>> x=1:5
% kullanarak. (n art miktar yazlmadnda varsaylan deer 1 dir.) %
% x=1:5 =[1:5]= (1:5) gsterimleri edeerdir. Ancak transpoze alnaca
zaman % % parantezle veya keli parantezle gsterim kullanlmaldr. x=
1 2 3 4 5 % linspace(ilk deer, son deer, n) fonksiyonu kullanarak.
% % Burada n ilk deer ile son deer arasndaki nokta saysdr. % % Eer
n deeri belirtilmezse, iki nokta aras dorusal olarak 100 eit paraya
blnr. x= 1 2 3 4 5 28
>> x=linspace(1,5,5)
>> % NOT: logspace(ilk deer, son deer, n) fonksiyonu ise,
iki nokta arasnda logaritmik aralkl bir vektr >> % retir. Eer
n deeri belirtilmezse, 10ilk deer ile 10son deer aras logaritmik
olarak eit aralkl 50 satr >> % vektr oluturulur. Grld gibi
logspace, logaritmik lekte linspace fonksiyonunun roln >> %
oynamaktadr. linspace ve logspace fonksiyonlar grafik izimlerinde
kolaylk salar.
>>% Eer x vektr 5x1 uzunluunda 5 elemanl bir stun vektr
olsayd, x in gsterim ekilleri aadaki >>% gibi olurdu:
>> x= [ 1 2 3 4 5] x= 1 2 3 4 5 >> x=[1;2;3;4;5] x= 1 2
3 4 5 % Keli parentez iinde elemanlar noktal virglle ; ayrarak. %
Keli parentez iinde alt alta yazmla.
29
>> x=1:5 x= 1 >> x' ans = 1 2 3 4 5 2 3 4 5
% nce satr vektrn oluturup,
% sonra satr vektrnn transpozesini alarak (yani stun vektrne
dntrerek).
>>% Deneme amal baz durumlar iin rasgele sayl vektrler
retmek gerekebilir. Bunun iin rand veya >>% randn
fonksiyonlar kullanlr. >>% rand fonksiyonunun genel szbiimi,
f= a+(b-a)*rand(m,n) eklinde olup, burada retilen mxn >>%
boyutundaki f vektr, a ile b saylar arasnda dzenli dalm rasgele
saylardan oluur. Sadece rand >>% fonksiyonu kullanldnda 0 ile
1 arasnda rasgele saylar retilir. >>% randn fonksiyonunun
genel szbiimi ise, f= mu + sigma*randn(m,n) eklinde olup, burada
retilen >>% mxn boyutundaki f vektr, mu ortalama deerine ve
sigma standart sapma deerine sahip bir >>% dalmdan (Gauss
dalmndan) normal rasgele saylardan oluur. >>% Sadece randn
fonksiyonu kullanldnda ortalamas 0 ile standart sapmas 1 olan Gauss
dalmndan >>% rasgele saylar retilir. >>% Bu
fonksiyonlar her arllarnda farkl saylar retilecektir.
30
>>% RNEK 2 >>% a=1 ile b=5 saylar arasnda rasgele 7
tane say retelim.(satr vektr olsun) >> f=1+4*rand(1,7) f=
Columns 1 through 5 4.6676 2.6411 4.5746 1.2316 2.4115 Columns 6
through 7 4.2527 1.0394 >>% Benzer olarak, a=-1 ile b=1
saylar arasnda rasgele 2 tane say retelim.(stun vektr olsun)
>> f=-1+2*rand(2,1) f= -0.5947 0.3443 >> rand ans =
0.8381 >>% RNEK 3 >>% mu=2 ve sigma=5 iin 4 elemanl bir
satr vektr retelim. >> f=2+5*randn(1,4) f= -0.1628 -6.3279
2.6267 3.4384 % Sadece rand fonksiyonu 01 arasnda rasgele saylar
retir.
>> randn
% Sadece randn fonksiyonu kullanldnda ortalamas 0 ile standart
sapmas 1 olan % % Gauss dalmndan rasgele saylar retilir.
ans = -1.1465
31
>>% RNEK 4 >>% ones ile elemanlar 1 den oluan, zeros
ile elemanlar 0 dan oluan vektrler retilir. >>
v_dort=ones(1,4) v_dort = 1 1 1 1
>> f_dotr=zeros(1,4) f_dort = 0 0 0 0
>>% TEMEL VEKTR LEMLER >>% RNEK 5 >>% -1 ile 1
arasnda 0.125 artml bir vektr (dizi) retip, bu vektr inceleyelim.
>> v=-1:.125:1 v= Columns 1 through 6 -1.0000 -0.8750 -0.7500
-0.6250 -0.5000 -0.3750 Columns 7 through 12 -0.2500 -0.1250 0
0.1250 0.2500 0.3750
Columns 13 through 17 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000
>> size(v) ans = 1 17 >> v(5) ans = -0.5000
% size(v), v vektrnn boyutunu verir. v vektr 1x17
uzunluundadr.
% v(5), v vektrnn 5. eleman.
32
>> v(end-2) ans = 0.7500
% v vektrnn sondan (son deer dahil) 3. terimi (yani batan 15.
terimi).
>> v(1:5) ans =
% v vektrnn ilk 5 terimi.
-1.0000 -0.8750 -0.7500 -0.6250 -0.5000
>> v(end-4:end) ans =
% v vektrnn son 5 terimi.
0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000
>> v(9:end) ans =
% v vektrnn 9. teriminden son terimine kadar olan deerleri.
Columns 1 through 6 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 Columns
7 through 9 0.7500 0.8750 1.0000
>> (3*v/2)' ans = -1.5000 -1.3125 -1.1250 -0.9375 -0.7500
-0.5625 -0.3750
% v vektrnn her bir elemannn 3 katnn yarsnn stun vektr eklinde
gsterimi.
33
-0.1875 0 0.1875 0.3750 0.5625 0.7500 0.9375 1.1250 1.3125
1.5000 >>% RNEK 6 >>% iki vektr tanmlayp ilemler
yapalm. >> a=[1 -2 4 5]; >> b=[3 -1 2 3]; >>
t=(2*a)+(3*b) t= 11 -7 14 19 % Skaler saylarla vektrlerin arpm ve
oluan yeni vektrlerin toplam.
>> c1=a.*b c= 3 2 8 15
% ki vektrn karlkl elemanlarnn arpm (elemanter arpm-sonu
vektrdr).
>> c2=a*b' c2 = 28
% Satr vektryle stun vektrnn arpm (i arpm=skaler arpm-sonu
skalerdir).
34
>> c3=a' *b c3 = 3 -1 -6 2
% Stun vektryle satr vektrnn arpm (d arpm-sonu kare
matristir).
3 -6 12
2 -4 8
12 -4
15 -5 10 15
>> b1=a./b b1 =
% a vektrnn her bir eleman b vektrnn her bir elemanna blnmtr
(saa blme).
0.3333 2.0000 2.0000 1.6667
>> b2=a.\b b2 =
% b vektrnn her bir eleman a vektrnn her bir elemanna blnmtr
(sola blme).
3.0000 0.5000 0.5000 0.6000
>> u=a.^b u=
% a vektrnn her bir elemannn b vektr karlndaki ss alnarak oluan
vektr.
1.0000 -0.5000 16.0000 125.0000 >> % NOT: MATLAB de nokta
iaretli ilemler, yani dot ilemleri eleman eleman (elemanter) ilem
yaplacan gsterir. >>% RNEK 7 >>% 1 den 100 e kadar tek
saylarn kareleri toplamn ve arpmn bulalm >> t=1:2:100;
>> toplam=sum(t.^2), carpim=prod(t.^2) toplam = 166650 carpim
= 7.4278e+156
35
>>% RNEK 8 >>% 1 den 5 e kadar olan saylar iin sol
stunda say, sa stunlarda srasyla saylarn tersi ve karekklerini
>>% gsterelim. >> sayi=1:5; tersi=1./sayi;
karekoku=sqrt(sayi); >> goster=[sayi; tersi; karekoku]'
goster = 1.0000 1.0000 1.0000 2.0000 0.5000 1.4142 3.0000 0.3333
1.7321 4.0000 0.2500 2.0000 5.0000 0.2000 2.2361 >>% RNEK 9
>>% 0 ile 300 arasnda 8 ile tam blnen ka say vardr, bulalm.
>> s=0:8:300; >> size(s) ans = 1 38 >>% 38 tane
say vardr >>% MATRSLER >>% MATRS GSTERMLER >>%
Matrisler mxn uzunlukta 2 boyutlu dizilerdir. MATLAB de matrisler 3
temel yoldan oluturulabilir: >>% 1. Dorudan keli parentez
kullanarak; 2. eye, ones, zeros, rand, randn gibi utility
fonksiyonlar >>% kullanarak; 3. zel matrisler; paskal,
hilbert ve buna benzer fonksiyonlar kullanarak.
36
>>% RNEK 10 >>% a=[ 1 2 3; 2 4 6; 1 3 7 ] % Keli
parentez iinde, elemanlar arasnda boluk(virgl de kullanlabilir) %
brakp, satrlar noktal virglle ayrarak. a= 1 2 1 2 4 3 3 6 7
>> a=[ 1 2 3 2 4 6 1 3 7] a= 1 2 1 2 4 3 3 6 7
>>% RNEK 11 >>% eye(n,n) fonksiyonu 1. Kegeni 1
lerden dier elemanlar 0 lardan oluan birim matris oluturur.
>> eye(3,3) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
>>% ones fonksiyonu btn elemanlar 1 lerden, zeros
fonksiyonu da btn elemanlar 0 lardan oluan >>% matrisler
retir.
37
>> ones(3,3) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1
>> zeros(3,3) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
>>% RNEK 12 >>% rand fonksiyonunun genel szbiimi, f=
a+(b-a)*rand(m,n) eklinde olup, burada retilen mxn >>%
boyutundaki f matrisi, a ile b saylar arasnda dzenli dalm rasgele
saylardan oluur. Sadece rand >>% fonksiyonu kullanldnda 0 ile
1 arasnda rasgele sayl matrisler retilir. >>% randn
fonksiyonu ile rasgele matris retmek pek yaygn deildir. >>%
a=-5 ile b=5 saylar arasnda, rasgele sayl 2x4 boyutunda matrisler
retmek iin; >>% f= -5 + 10*rand(2,4) f= 4.5013 1.0684 3.9130
-0.4353 -2.6886 -0.1402 2.6210 -4.8150
>>% 0 ile 1 arasnda rasgele sayl 3x2 boyutunda matrisler
retmek iin; >>% rand(3,2) ans = 0.8214 0.7919 0.4447 0.9218
0.6154 0.7382
38
>>% RNEK 13 >>% pascal(k) fonksiyonu k. sraya kadar
pascal geninin elemanlarndan oluan kxk boyunda bir matris >>%
oluturur. >> pascal(4) ans = 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 4
6 10
4 10 20
>>% magic(k) fonksiyonu kxk boyunda 1 den k ya kadar
saylardan oluan (k=2 hari) eit satr, stun ve >>% kegen
toplamna sahip bir kare matris oluturur.
>> magic(3) ans = 8 3 4 1 5 9 6 7 2
>>% hilb(k) fonksiyonu kxk boyunda her bir eleman
1/(i+j-1) ile belirlenen ve hilbert matrisi olarak >>%
adlandrlan bir kare matris oluturur.
>> hilb(3) ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
39
>>% [X,Y]=mesgrid(x,y) fonksiyonu x ve y vektrlerini, X ve
Y matrislerine dntrerek, zellikle 3 boyutlu >>% grafik
izimleri iin bir veri ortam hazrlar. >>% -2 ile 2 arasnda 1
artml X ve Y matrislerini oluturalm. >>
[X,Y]=meshgrid(-2:2,-2:2) X= -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 -2 -1 Y= -2 -2
-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2
>>% TEMEL MATRS LEMLER >>% RNEK 14 >> A=[-2 3;
4 1], k=3 A= -2 4 k= 3 3 1 % A matrisi ve k skaler saysn ele
alalm.
>> A+k ans = 1 7 6 4
% A+k=k+A dr. A matrisinin her bir eleman k says ile
toplanr.
40
>> A-k ans = -5 0
% A-k=-(k-A) dr. A matrisinin her bir elemanndan k says
karlr.
1 -2
>> A*k ans = -6 12 9 3
% A*k=k*A dr. A matrisinin her bir eleman ile k says arplr.
>> A^k ans = -44 45 60 1
% A matrisi yan yana k kere arplr: A*A*A
>> k^A ans = 11.0106 14.5080 19.3440 25.5186
% k says A matrisinin her bir elemann s olarak logaritmik ileme
alr.
>> A/k ans = -0.6667 1.0000 1.3333 0.3333
% A matrisinin her bir eleman k saysna blnr.
>> A\k ??? Error using ==> mldivide
% Boy uyumazl vardr.
Matrix dimensions must agree.
41
>> k/A
% Boy uyumazl vardr.
??? Error using ==> mrdivide Matrix dimensions must
agree.
>> k\A ans =
% A matrisinin her bir eleman k saysna blnr.
-0.6667 1.0000 1.3333 0.3333
>> A.*k ans = -6 12 9 3
% A.*k=k.*A =A*k =k*A dr. A matrisinin her bir eleman ile k says
arplr.
>> A.^k ans = -8 27 64 1
% A.^k A^k dr. A matrisinin her bir elemannn k. ss alnr.
>> k.^A ans =
% k.^A k^A dr. Her k says A matrisinin her bir elemann s olarak
logaritmik ileme alr.
0.1111 27.0000 81.0000 3.0000
>> A./k ans =
% A./k=A/k dr. A matrisinin her bir eleman k saysna blnr.
-0.6667 1.0000 1.3333 0.3333
42
>> A.\k ans =
% A.\k A\k dr. Her k says A matrisinin her bir elemanna
blnr.
-1.5000 1.0000 0.7500 3.0000
>> k./A ans =
% k./A k/A dr. Her k says A matrisinin her bir elemanna
blnr.
-1.5000 1.0000 0.7500 3.0000
>> k.\A
% k.\A=k\A dr. A matrisinin her bir eleman k saysna blnr.
ans = -0.6667 1.0000 1.3333 0.3333 >>% RNEK 15 >>%
Matris-matris ilemlerinde yaplacak ileme gre matrislerin boylar
uyumaldr. rnein matris arpma >>% kuralna gre 1. matrisin stun
says 2. matrisin satr saysna eit olmaldr. Aksi takdirde MATLAB hata
>>% mesaj verir. Vektrlerin de ayn zamanda birer matris
olduunu unutmamak gerekir. >> v=[1 2 3], M=[4 5 6; 7 8 9; 0 1
2] v= 1 M= 4 7 0 5 8 1 6 9 2 2 3 % Bir vektrle bir matrisin arpm.
Sonu bir vektrdr.
>> v*M ans = 18 24 30 43
>> a=[1:3; 4:6; 7:9], b=[ones(1,3); zeros(1,3); rand(1,3)]
% a ve b matrislerini alarak ilemler yapalm. a= 1 4 7 b= 1.0000
1.0000 1.0000 0 0 0 2 5 8 3 6 9
0.3529 0.8132 0.0099
>> a+b ans = 2.0000 3.0000 4.0000 4.0000 5.0000 6.0000
7.1389 8.2028 9.1987
% a+b=b+a dr. Matrislerin karlkl elemanlar kendi arasnda
toplanr.
>> a-b ans = 0 1.0000 2.0000 4.0000 5.0000 6.0000 6.8611
7.7972 8.8013
% a-b=-(b-a) dr. Matrislerin karlkl elemanlar kendi arasnda
karlr.
>> a*b ans = 1.4167 1.6083 1.5962 4.8333 5.2166 5.1923
8.2500 8.8249 8.7885
% Matris arpma kuralna gre ilem yaplr.
44
>> b*a ans =
% Matris arpma kuralna gre ilem yaplr. Grld gibi, a*b b*a
dr.
12.0000 15.0000 18.0000 0 2.3410 0 2.8814 0 3.4218
>> a/b
% Saa blmede 1. matris 2. matrisin tersi ile arplr.
Warning: Matrix is singular to working precision. ans = NaN NaN
NaN -Inf 33.4276 -Inf 33.4276 -Inf 33.4276
>> b/a
% Sola blmede 2. matris 1. matrisin tersi ile arplr.
Warning: Matrix is singular to working precision. ans = NaN NaN
NaN NaN NaN NaN NaN -Inf Inf
>> a^b
% MATLAB de matris ss matris ilemleri tanml deildir.
??? Error using ==> mpower At least one operand must be
scalar.
45
>> a.*b ans = 1.0000 2.0000 3.0000 0 0 0
% a.*b=b.*a dr. Elemanter arpm normal arpmdan farkldr.
0.9722 1.6221 1.7885
>> a./b Warning: Divide by zero. ans = 1.0000 Inf 2.0000
Inf
% Elemanter saa blme normal saa blmeden farkldr.
3.0000 Inf
50.3993 39.4545 45.2895
>> a.\b ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0 0 0
% Elemanter sola blme normal sola blmeden farkldr.
0.0198 0.0253 0.0221
>> a.^b ans =
% Elemanter s almada a matrisinin her bir eleman, b matrisi
karlndaki eleman s olarak alr.
1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.3103 1.5245
1.5475
46
>>% RNEK 16 >> a=magic(3) a= 8 3 4 1 5 9 6 7 2 % a
matrisini alalm.
>> size(a) % a matrisinin boyutunu verir. a matrisi 3 satr
ve 3 stundan oluan 3x3=9 elemanl bir matristir. ans = 3 3
>> a' % a matrisinin transpozesi (devrii) dir. Burada
matrisin ayn indisli satr ve stunlar yer deitirmitir. ans = 8 1 6 3
5 7 4 9 2
>> det(a) ans = -360
% a matrisinin determinantdr. Determinant alabilmek iin matris
kare olmaldr.
>> inv(a)
% a matrisinin arpma ilemine gre tersi (inversi) dir. % Sadece
det 0 olan karesel matrislerin inversi vardr.
ans = 0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889
-0.1028
47
>> rank(a)
% a matrisinin rankdr. Yani, a matrisinin tm karesel alt
matrislerinden, % determinant sfrdan farkl olan en yksek
boyutlusunun buyutudur.
ans = 3
a= 8 3 1 5 9 6 7 2
>> diag(a) ans = 8 5 2
% Ana kegen elemanlarn verir.
4
>> diag(a,1) ans = 1 7
% Ana kegenin st ksmndaki elemanlar verir.
>> diag(a,-1) ans = 3 9
% Ana kegenin alt ksmndaki elemanlar verir.
>> [v,d]=eig(a) v=
% a matrisinin, v zvektrlerini ve d zdeerlerini verir.
-0.5774 -0.8131 -0.3416 -0.5774 0.4714 -0.4714 -0.5774 0.3416
0.8131
48
d= 15.0000 0 0 >>% RNEK 17 >> m=magic(5) m= 17 24 23
4 5 1 8 15 % m matrisini alp inceleyelim. 0 4.8990 0 0
0 -4.8990
7 14 16
6 13 20 22
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
>> m(2) ans = 23
% m matrisinin 2. eleman.
>> m(1:9) ans = 17 23
% m matrisinin 1. elemandan 9. elemana kadar olan elemanlar.
4 10 11 24
5
6 12
>> m(1:2:9) ans = 17 4 11 5 12
% m matrisinin 2 artmla 1. elemandan 9. elemana kadar olan
elemanlar.
>> m(2, :) ans = 23 5 7 14 16
% m matrisinin 2. satr.
49
>> m(2:4, :) ans = 23 4 5 7 14 16
% m matrisinin 2. 3. 4. satrlarndan oluan alt matrisi. m= 17 24
23 4 5 6 1 7 13 8 15
6 13 20 22 3
14 16 20 22 3 9
10 12 19 21
10 12 19 21 >> m(:, 2) ans = 24 5 6 12 18 % m matrisinin
2. stunu. 11 18 25 2
>> m(:, 2:4) ans = 24 5 1 7 8 14 20
% m matrisinin 2. 3. 4. stunlarndan oluan alt matrisi.
6 13
12 19 21 18 25 2
>> m(1,3) ans = 1
% m matrisinin 1. satr 3. stun eleman.
50
>> m([1,2], :) ans = 17 24 23 5 1 8 15
% m matrisinin 1. ve 2. satrlar.
m= 17 24 23 4 5 6 1 8 15
7 14 16 13 20 22
7 14 16
10 12 19 21 3 11 18 25 >> m(:,[1:3]) ans = 17 24 23 4 5 6
1 7 13 % m matrisinin 1. 2. 3. stunlar. 2 9
10 12 19 11 18 25
>> m([1, 2], [3, 4, 5]) ans = 1 8 15
% m matrisinin 1. 2. satrlar ve 3. 4. 5. stunlarndan oluan alt
matrisi.
7 14 16
>> [i, j]=find(m> sonuc=[i, j] sonuc = 3 1 5 4 1 3 4
5
% m matrisinin 5 den kk elemanlarnn konumlarn bulur.
51
>> m(1)=5 m= 5 24 23 4 5 6 1 8 15
% m matrisinin 1. elemann 5 yapar.
m= 17 24 23 4 5 6 1 8 15
7 14 16 13 20 22
7 14 16 13 20 22 3 9
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
10 12 19 21 11 18 25 2
>> m(1:3)=5 m= 5 24 5 5 5 6 1 7 8
% m matrisinin 1. 2. 3. elemanlarn 5 yapar.
15
14 16
13 20 22
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
>> m(1:3,:)=5 m= 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
% m matrisinin 1. 2. 3. satrlarn 5 yapar.
5 5 5
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
52
>> m(:, 1)= [ ] m= 24 5 6 1 8 15
% m matrisinin 1. stunu siler.
m= 17 24 23 4 5 6 1 8 15
7 14 16 13 20 22
7 14 16 13 20 22 3 9
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
12 19 21 18 25 2
>> m(:, [2, 4])= [ ] m= 17 23 1 15 7 16
% m matrisinin 2. ve 4. stunu siler.
4 13 22 10 19 11 25 3 9
>> c=[1:5] c= 1 2 3 4 5 % c vektrn 6. satr olarak m
matrisine ekler.
>> ek_satir=[ m; c ] ek_satir = 17 24 23 4 5 6 1 8 15
7 14 16 13 20 22 3 9 5
10 12 19 21 11 18 25 1 2 3 2 4
53
>> ek_sutun=[ m, c' ] ek_sutun = 17 24 23 4 5 1 7 8 15 14
16 20 22 3 9
% c vektrn 6. stun olarak m matrisine ekler.
m= 17 24 1 8 15
1 2 3 4 5
23 4
5 6
7 14 16 13 20 22
6 13
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
10 12 19 21 11 18 25 2
>> sum(m) ans = 65 65 65 65 65
% m matrisinin her bir stununun toplamn bulur.
>> sum(m') ans = 65 65 65 65 65
% m matrisinin her bir satrnn toplamn bulur.
>> sum(diag(m)) ans = 65
% m matrisinin ana kegen elemanlarnn toplamn bulur.
54
>>% RNEK 18
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n
xn = b1
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
a11 a12 ... a1n x1 b1 a 21 a22 ... a2 n x1 = b2 ... . . ... . .
am1 am 2 ... amn xn bm A X = B
>>% n bilinmeyenli ve m tane denklemden oluan lineer
denklem sitemi ve onun matris biimi verilmitir. >>% Grld
bibi, AX=B dir. Burada A katsaylar matrisi, X bilinmeyenler stun
vektr, >>% B ise, sabitler stun vektrdr. >>% X=A\B
matris denklemi AX=B zmn gsterir. >>% X=B/A matris denklemi
XA=B zmn gsterir. >>% Burada denklem sisteminin kkleri,
X=A\B=inv(A)*B den bulunabilir.
>>% >>% >>%
2y+4z=2 x+2y+2z=3 3x+4y+6z=-1
>>% Yukarda verilen lineer denklem sisteminin zm kmesini
bulalm. >> A=[0 2 4; 1 2 2; 3 4 6]; % Katsaylar matrisi.
>> B=[2;3;-1]; >> X=inv(A)*B X= -3.0000 5.0000 -2.0000
% Sabitler stun vektr. % Bilinmeyenleri ieren stun vektr.
>>% zm x=-3, y=5, z=-2 dir. Yani, zm kmesi, ={(-3, 5, -2)}
eklindedir.
55
>>% zm baka bir yoldan, solve fonksiyonu ile de
bulabiliriz. >>
[x,y,z]=solve('2*y+4*z=2','x+2*y+2*z=3','3*x+4*y+6*z=-1') x= -3 y=
5 z= -2
>>% POLNOMLAR >>% MATLAB de polinomlar vektrlerle
gsterilir ve vektrn elemanlar, polinomda x in en byk ssnden
>>% balayarak azalan sradaki katsaylardr. Polinom katsaylar,
keli parantezler arasnda, aralarnda >>% boluk braklarak satr
vektr formatnda ifade edilir. >>% RNEK 19 >>%
P(x)=x3-2x+1 ve Q(x)=3x3 +5 polinomlarn alalm. >> P=[1 0 -2
1], Q=[3 0 0 5] P= 1 0 -2 1 % Polinomlarn azalan sse gre vektrel
gsterimi. Katsay vektrleri.
Q= 3 0 0 5
>> 2*P+5*Q
% Skaler ile polinom arpm ve polinomlarn toplam. Sonu, 17x3 - 4x
+ 27 dir.% % Burada polinom dereceleri eittir. Dereceler farkl
olsayd toplama ilemi iin,% % dk dereceli polinoma sfr katsaylar
ilave edilerek, dereceler eitlenirdi.
ans = 17 0 -4 27
56
>> conv(P,Q)
% Polinomlarn arpmak iin conv(P,Q) fonksiyonu kullanlr. % %
kiden fazla polinomun arpm iin conv fonksiyonunu tekrar tekrar
kullanmak gerekir. % % Sonu, 3x6 - 6x4 + 8x3 - 10x + 5 dir.
ans = 3 0 -6 8 0 -10 5
>> [B,K]=deconv(P,Q)
% Polinomlarn blmek iin [B,K]=deconv(P,Q) fonksiyonu kullanlr. %
Burada B blm, K ise kalan gsterir. % Blm= 0.3333x, kalan=-2x -
0.6667 dir.
B= 0.3333 K= 0 0 -2.0000 -0.6667
>> roots(P) ans = -1.6180 1.0000 0.6180
% roots(P) fonksiyonu P polinomunun kklerini bulur.
>> solve('x^3-2*x+1=0') ans = 1 1/2*5^(1/2)-1/2
-1/2-1/2*5^(1/2)
% Polinomlarn kklerini bulmak iin solve fonksiyonu da
kullanlabilir.
57
>>poly([1 -1]) ans = 1 0 -1
% poly([1 -1]) kkleri 1 ve -1 olan polinomu bulur. Sonu, x2 - 1
dir.
>>% P(x)=x3-2x+1 polinomunun trevini iki ayr yoldan
bulalm. >> P=[1 0 -2 1], P= 1 0 -2 1 % Katsaylar vektr.
>> polyder(P) ans = 3 0 -2
% polyder(P) fonksiyonu P polinomunun trevini alr. Sonu, 3x2 2
dir.
>> diff('x^3-2*x+5','x') ans = 3*x^2-2
% diff fonksiyonu da P polinomunun x e gre trevini alr.
>>% NOT: Polinom fonksiyonlarna >>help polyfun
>> help polyfun Interpolation and polynomials. Data
interpolation. pchip interp1
komutu ile ulalabilir.
- Piecewise cubic Hermite interpolating polynomial. - 1-D
interpolation (table lookup).
interp1q - Quick 1-D linear interpolation. interpft - 1-D
interpolation using FFT method. interp2 interp3 interpn - 2-D
interpolation (table lookup). - 3-D interpolation (table lookup). -
N-D interpolation (table lookup).
griddata - Data gridding and surface fitting.
58
griddata3 - Data gridding and hyper-surface fitting for
3-dimensional data. griddatan - Data gridding and hyper-surface
fitting (dimension >= 2). Spline interpolation. spline ppval -
Cubic spline interpolation. - Evaluate piecewise polynomial.
Geometric analysis. delaunay - Delaunay triangulation. delaunay3
- 3-D Delaunay tessellation. delaunayn - N-D Delaunay tessellation.
dsearch - Search Delaunay triangulation for nearest point.
dsearchn - Search N-D Delaunay tessellation for nearest point.
tsearch - Closest triangle search.
tsearchn - N-D closest triangle search. convhull - Convex hull.
convhulln - N-D convex hull. voronoi - Voronoi diagram.
voronoin - N-D Voronoi diagram. inpolygon - True for points
inside polygonal region. rectint - Rectangle intersection area.
polyarea - Area of polygon. Polynomials. roots poly polyval -
Find polynomial roots. - Convert roots to polynomial. - Evaluate
polynomial.
polyvalm - Evaluate polynomial with matrix argument. residue
polyfit polyder - Partial-fraction expansion (residues). - Fit
polynomial to data. - Differentiate polynomial.
59
polyint conv deconv
- Integrate polynomial analytically. - Multiply polynomials. -
Divide polynomials.
>>% ARADEER HESAPLARI >>% interp fonksiyonu polinom
tekniini kullanarak, interft fonksiyonu ise, Fourier dnmn >>%
kullanarak ara deer hesab yapar. >>% interp1 bir boyutlu,
interp2 iki boyutlu, interp3 boyutlu interpn n boyutlu aradeer
fonksiyonlardr. >>% interft ise, bir boyutlu aradeer hesab
yapar. Ara deer hesaplarnda veriler, artan ya da azalan >>%
deerlerine gre sralanmaldr. >>% RNEK 20 >>% x ve y
deerlerini ieren verilerden hareketle, veri tablosunda olmayan,
xi=5.45678 ara deerine karlk >>% gelen yi deerini bulalm.
>> x=[1 :. 8 : 10]; y=[10 :.8 :19]; >> y=interp1(x, y,
5.45678) y= 14.4568 % yi=intp1(x,y,xi) formatnda bir boyutlu ara
deer fonksiyonu.
>>% imdi iki boyutlu ara deer hesab iin aadaki tabloyu
inceleyelim. Tabloda bir motorun belli >>% devirlerde ve
belli zamanlarda silindir kafas scaklk deerleri gsterilmitir. Buna
gre 3.25 saniyedeki >>% 3500 devir/dakika ya karlk gelen
scaklk deerini hesaplayalm.
Motor hz(dev/dak)
2000
3000
4000 Scaklk (oC)
5000
6000
Zaman (s) 0 1 2 3 4 5 0 20 60 68 77 110 0 110 180 240 320
405
0 176 220 349 450 503
0 190 285 380 510 623
0 240 327 428 620 785
60
>> x=[2000 3000 4000 5000 6000]; >> y=[ 0 >>
z=[ 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 ];
% Motor hzlar. % Zaman deerleri. % Scaklk deerleri.
20 110 176 190 240 60 180 220 285 327 68 240 349 380 428 77 110
310 450 510 620 405 503 623 785]; % yi=interp2(x,y,z,xi,zi)
formatnda iki boyutlu ara deer fonksiyonu.
>> y=interp2(x,y,z,3500,3.25) y= 315.8750
61
BLM IV>>% GRAFK LEMLER >>% MATLAB da hemen her trl
grafii izdirmek mmkndr. En temel grafik izdirme fonksiyonu olan
>>% plot fonksiyonunun genel hali: plot(x,y, ' izgi tr ' )
eklindedir. >>% RNEK 1 >>% y = e 4cos x fonksiyonunun
grafiini, /15 artmla 0 x 4p aralnda izdirelim. >> x=0: pi/15:
4*pi; >> y=exp(4*cos(x)); >> plot(x,y)
>>% Ayn grafii her bir veri noktas mavi + olacak ekilde
izdirelim. >> plot( x, y, 'b+' ) % 'b+' blue + izgi trn ifade
eder.
62
>>% imdi title ile grafik baln, xlabel ve ylabel ile eksen
isimlerini ve grid on ile de klavuz >>% izgilerini grafie
ekleyelim.
>> title('y=exp(4cosx) in grafii'); % grafik bal >>
xlabel('x'); ylabel('y'); >> grid on % eksen isimleri %
klavuz izgileri
63
>>% NOT: izgi tr kodlar aadaki tabloda verilmitir.
>>% Grafie bilgi eklemek iin kullanlan komutlar ise
unlardr: title ('text') xlabel('text') ylabel('text') grid on grid
off text(x,y,'text') gtext('text') grafiin st tarafna balk ekler.
x-eksenine isim verir. y-eksenine isim verir. klavuz izgileri
ekler. klavuz izgilerini kaldrr. (x, y) kesiim noktasn adlandrr.
girdiiniz yaz mouse ile tkladnz yerde belirir.
>>% Bu komutlar, plot komutundan sonra istenilen srayla
kullanlabilir. >>% >>% >>% >>% Grafie bilgi
ekleme ilemlerini ve izgi trlerini grafii izdirdikten sonra grafik
ekranndan, yani figr penceresinden yapmak da mmkndr. Ayrca btn dier
grafik ielemlerini de ( bak asn deitirme, renk haritas ekleme, eri
uydurma, data analizi vs. gibi) figr penceresinden kolayca
yaptrabiliriz.
>>% oklu grafikler izdirmemiz gerektiinde ise, en basit
olarak plot fonksiyonunu veya hold on, hold off >>%
fonksiyonlarn kullanlabiliriz. rnein, y1=sinx, y2=cosx erilerini
ayn grafik zerinde iki farkl >>% yoldan izdirelim: >>%
1.Yol: Tek bir plot fonksiyonunda srasyla deikenleri yazarak.
>> x=-2*pi: pi/100: 2*pi; >> y1=sin(x); >>
y2=cos(x); >> plot( x, y1, 'r', x, y2, 'g' ) % ki fonksiyon
erisini de ayn grafikte izer. >>% 2.Yol: hold on ve hold off
fonksiyonlarn kullanarak. hold on fonksiyonu bir nceki grafii
dondurur ve >>% ayn dzlemde dier grafiklerin izilmesine izin
verir. hold off fonksiyonu ile de dondurulan grafikler >>%
tekrar serbest braklr. >> x=-2*pi: pi/100: 2*pi; >>
y1=sin(x); 64
>> plot( x, y1, 'r' ) % 1. grafii izer. >> hold on
>> y2=cos(x); >> plot( x, y2, 'g' ) % 2. grafii izer.
>>hold off % Grafikleri tekrar serbest brakr. % Grafii
dondurur.
>>% >>% >>% >>% >>%
Ayrca, ayn dzlem zerinde ve ayn eksen takmn kullanarak (veya
kullanmayarak), tek bir grafik penceresinde birden fazla grafii
grup halinde gsterebiliriz. Bunun iin subplot fonksiyonu kullanlr.
subplot komutu bir grafik ekrann blmeye yarar. Kullanm
subplot(m,n,p) eklinde olup, ekran m tane satr n tane stundan oluan
p tane grafik ekran haline getirir. Mesela subplot(2,2,1) komutu
ekran drde bler ve bunlardan birincisini aktif hale getirir. yle
bir tablo yararl olabilir:
>>% imdi bunu bir rnek zerinde inceleyelim. >>
x=linspace(-2*pi,2*pi); >> subplot(2,2,1) >>
plot(x,sin(x)) >> subplot(2,2,2) >> plot(x,cos(x))
>> subplot(2,2,3) % 2. satr 1. grafik 65 % 1. satr 2. grafik
% 1. satr 1. grafik
>> plot(x,tan(x)) >> subplot(2,2,4) >>
plot(x,cot(x)) % 2. satr 2. grafik
>>% Aada harmonik dalga grafikleri de benzer ekilde
subplot komutuyla gsterilmitir. >> subplot(3, 1, 1); % 1.
satr 1. grafik >> t=0: 0.01: 1; >> y=sin(2*pi*2*t);
>> plot(t,y) >> title('Birinci Harmonik'); >>
subplot(3, 1, 2); % 2. satr 2. grafik >> t=0: 0.01: 1;
>> z=sin(2*pi*10*t); >> plot(t,z) >> title('kinci
Harmonik'); >> subplot(3, 1, 3); % 3. satr 3. grafik >>
w=y+z; 66
>> plot(t,w) >> title('Harmonik Dalgalarn
Toplam')
67
>>% K BOYUTLU GRAFKLER >>% ki boyutlu (2D) grafik
fonksiyonlar: plot, loglog, semilogx, semilogy, plotyy, ezplot,
fplot dr. >>% RNEK 2 >>% plot(x,y) x ve y eksenlerini
lineer olarak leklendirir ve verilerin grafiini izer. (Tek deikenli
>>% fonksiyonlarn grafiklerini izer.) >>% Burada xler
bamsz deiken yler ise, baml deikeni gstermektedir. x ve y nokta
saylar birbirine >>% eit olmaldr. >> x=[1 2 3 4 5];
>> y=[25 0 20 5 15]; >> plot(x,y) >>
title('Hz-Zaman Grafii'); >> xlabel('zaman(da)');
ylabel('hz(km/sa)'); >>grid on
>>% RNEK 3 >>% >>% >>% >>%
>>% Grld gibi plot fonksiyonu, x ve y eksenlerindeki
deerlerin artm miktarlarnn eit aralkl olduu dorusal grafikleri
izmekte kullanlr. Eit eksen artm deerli olmayan logaritmik
grafikleri izmek iin ise loglog(x,y), semilogy(x,y), semilogx(x,y)
fonksiyonlar kullanlmaktadr. Burada logaritmik grafikler, eksenler
gznne alnarak ya tam logaritmik (loglog), ya da yar logaritmik
(semilog) olmak zere ikiye ayrlmtr.
>>% Logaritmik grafikler genel olarak ok byk veya ok
deerli verileri anlalabilir bir lee uyarlar ya da >>% dorusal
olmayan verilere uygun bir izim zemini salarlar.
68
>>% loglog(x,y): x ve y eksenlerinde 10 tabanl logaritmik
eksen kullanlr ve plot( log10(x), log10(y) ) >>% ile ayn
sonucu verir. Her iki eksen de logaritmik leklidir. >>%
semilogy(x,y): y ekseninde 10 tabanl logaritmik eksen kullanlr ve
plot( x, log10(y) ) ile ayn >>% sonucu verir. x ekseni
lineer, y ekseni ise logaritmik leklidir. >>% semilogx(x,y):
x ekseninde 10 tabanl logaritmik eksen kullanlr ve plot( log10(x),
y ) ile ayn >>% sonucu verir. x ekseni logaritmik, y ekseni
ise lineer leklidir.
>>% Bir maddenin tanecik ayrm erisini hem lineer hem de
logaritmik lekte izdirelim. >> n=[3 5 9 17 33 65]'; >>
sn=[2.57e-1 6.46e-2 1.51e-2 3.96e-3 9.78e-4 2.45e-4]'; >>
plot(n,sn,'r*') % Grafik gsterimi zayf
69
>>loglog(n,sn,'r*')
% Grafik gsterimi daha belirgin
>>% RNEK 4 >>% >>% >>% >>% Bir
kondansatrn dearj sresince kaydedilen, kondansatrn ular arasndaki
gerilim deerleri aadaki tabloda verilmitir. Tablo incelendiinde
gerilim deerlerindeki azalma miktarnn, zaman deerlerindeki artma
miktarndan ok ok fazla olduu grlr. Bu nedenle grafikte, gerilim
eksenini (y-ekseni) logaritmik olarak gstermek, yani semilogy(x,y)
fonksiyonunu kullanmak daha yerinde olur.
Zaman (dk) 6 10 17 25 32
Gerilim (volt) 498 162 23 9.6 1.5
>> zaman=[ 6 10 17 25 32 ]; >> gerilim=[ 498 162 23
9.6 1.5 ];
70
>>plot(zaman, gerilim)
% x ve y eksenleri lineerdir.
>>semilogy(zaman, gerilim)
% y-ekseni logaritmik, x-ekseni lineerdir.
71
>>% RNEK 5 >>% Baz durumlarda verileri y-ekseninin
hem sol hem de sa tarafnda leklemek gerekebilir. Byle iki tane
>>% y-ekseni olan grafikleri izdirmek iin plotyy fonksiyonu
kullanlr. Fonksiyonun genel yazm biimi >>% yledir: plotyy(x1,
y1, x2, y2, 'fun1','fun2') Bu fonksiyon sol y-eksenine fun1(x1,y1)
grafiini, >>% sa y- eksenine de fun2(x2,y2) grafini
izecektir. >>% rnek 4 deki grafikleri plotyy fonksiyonunuyla
iki y-ekseni olan tek bir grafikte izdirelim. >> zaman=[ 6 10
17 25 32 ]; >> gerilim=[ 498 162 23 9.6 1.5 ]; >>
plotyy(zaman, gerilim, zaman, gerilim,'plot','semilogy')
>>% imdi iki ayr fonksiyon iin plotyy yi kullanalm.
>>x=1: .1 :10; >>y1=exp(-x).*sin(x);
>>y2=exp(x).*cos(x); >>plotyy(x, y1, x, y2)
72
>>% RNEK 6 >>% ki boyutlu iki deikenli fonksiyonlarn
grafiklerini, kabataslak bir fikir alabilmek iin, ezplot ya da
>>% onunla hemen hemen ayn ileve sahip fplot fonksiyonlaryla
izdirmek mmkndr. Genel yazm >>% biimleri: ezplot( fun, [xmin,
xmax], [ymin, ymax] ) eklindedir.
>>% y=sinx/1+x2 fonksiyonunun grafiini izdirelim. >>
ezplot('sin(x)/1+x^2') %x-ekseninin varsaylan snrlar [ -2*pi, 2*pi
] araldr.
73
>>% RNEK 6 >>% x2+ y2 = 4 denklemi ile tanmlanan
eriyi ezplot fonksiyonu ile izdirelim. >> ezplot(
'x^2+y^2=4', [-3, 3], [-3,3] )
>>% RNEK 7 >>% f: { 2cos(t), 2sin(t) : 0 t 20 }
noktalar kmesiyle t ye bal parametrik olarak tanmlanm grafii,
>>% ezplot fonksiyonu ile izdirelim. >> ezplot(
'2*cos(t)' , '2*sin(t)' )
74
>>% RNEK 8 >>% (x,y) = ( r()cos(x),r()sin(y) ),
r()=sin(x)/x (cochleoid) ile tanmlanan polar grafii ezplot
fonksiyonu ile >>% izdirelim. >> ezplot(
'(sin(t)/t)*cos(t)' , '(sin(t)/t)*sin(t)', [-6*pi, 6*pi] )
75
>>% RNEK 9 >>% fplot fonksiyonu ezplot fonksiyonu
ile hemen hemen ayn ilevi grr. fplot ile parametrik ve polar
>>% koordinatlarda grafikler izilemez ancak fplot fonksiyonu
ayn grafik zerinde birden fazla grafiin >>% izilmesine ve
erilere izim sembolleri ve renk eklenmesine olanak tanr. >>%
y=x, y=x2, y=x3, y=x4 grafiklerini fplot fonksiyonu ile izdirelim.
>> fplot ( '[x, x^2, x^3, x^4]', [-1, 1] ) % Fonksiyonlar
vektr elemanlar olarak girilmitir.
>>% RNEK 10 >>% Verileri kutupsal koordinatlarda
(polar grafikler iin) polar(, ) fonksiyonuyla izdirebiliriz.
polar(, ) >>% fonksiyonu, radyan olarak (rho) deerlerine kar,
(theta) asnn kutupsal koordinatlarn kullanarak >>% izim
yapar. >>% 2g(1+cos ) denklemi, asnn bir fonksiyonu olarak
bir cardioid mikrofonun kazancn gsterir. >>% Burada g
mikrofon kazan sabiti, ise radyan cinsinden, mikrofon ekseni ile
ses kayna arasndaki >>% adr. g=0.5 iin, ses kaynann ynne bal
olarak mikrofon kazancnn polar grafiini izdirelim. >> t=0:
pi/20: 2*pi; >> r=2*0.5*(1+cos(t)); >> polar(t, r)
76
>>% RNEK 11 >>% y=I sin2t.cos2t I grafiini kartezyen
ve polar kaoordinatlarda izdirelim. >>
t=linspace(0,2*pi,200); >> r=abs(sin(2*t).*cos(2*t));
>> subplot(2,1,1) >> plot(t,r) >> subplot(2,1,2)
>> polar(t,r)
77
>>% NOT: ki boyutlu grafikler ile ilgili bilgilere
>>help graph2d komutuyla ulalabilir.
>> help graph2d Two dimensional graphs.
Elementary X-Y graphs. plot - Linear plot.
loglog - Log-log scale plot. semilogx - Semi-log scale plot.
semilogy - Semi-log scale plot. polar - Polar coordinate plot.
plotyy - Graphs with y tick labels on the left and right. Axis
control. axis zoom - Control axis scaling and appearance. - Zoom in
and out on a 2-D plot. 78
grid box rbbox hold axes
- Grid lines. - Axis box. - Rubberband box. - Hold current
graph. - Create axes in arbitrary positions.
subplot - Create axes in tiled positions.
Graph annotation. plotedit - Tools for editing and annotating
plots. title - Graph title.
xlabel - X-axis label. ylabel - Y-axis label. texlabel -
Produces the TeX format from a character string. text gtext - Text
annotation. - Place text with mouse.
Hardcopy and printing. print - Print graph or Simulink system;
or save graph to M-file.
printopt - Printer defaults. orient - Set paper orientation.
See also graph3d, specgraph.
79
>>% BOYUTLU GRAFKLER >>% boyutlu (3D) grafikler
temel olarak iki boyutlu (2D) grafiklere nc boyut olan z-ekseninin
>>% eklenmesiyle elde edilir. Temel olarak boyutlu izgi, a ve
yzey grafiklerini inceleyelim. >>% RNEK 12 >>%
plot3(x,y,z) boyutlu uzayda x, y, z elemanlaryla oluan noktalardan
geen bir izgi grafii oluturur. >>% Burada x, y, z nin ayn
boyutlu vektrler olmas gerekir. Aadaki boyutlu izgi grafikte olduu
gibi. >> x=[10 20 30 40 ]; >> y=[10 20 30 40 ];
>> z=[0 230 75 600]; >> plot3(x,y,z); >>title('
Boyutlu Bir Doru Grafii'); >>xlabel('x-ekseni');
ylabel('y-ekseni'); zlabel('z-ekseni'); >> grid on
80
>>% RNEK 13 >>% Benzer olarak boyutlu ilgin bir izgi
grafik olan heliks i plot3 fonksiyonu ile izdirelim. >> t=0:
pi/50: 10*pi; >> plot3(sin(t),cos(t),t,'r'); >>
title('Heliks Grafii'); >> xlabel('x-ekseni');
ylabel('y-ekseni'); zlabel('z-ekseni'); >>
text(0,0,0,'Orijin'); >> grid on
81
>>% RNEK 14 >>% boyutta iki deikenli izgi grafikler
iin, tpk iki boyutta olduu gibi ezplot fonksiyonu kullanlr.
>>% xyz dzleminde { x(t)=cost, y(t)=sint, z(t)=sin(5t) } ile
tanmlanan izgisel parametrik eriyi t >>% aralnda ezplot3
fonksiyonu ile izdirelim. >> ezplot3 ( 'cos(t)', 'sin(t)',
'sin(5*t)', [-pi pi] )
>>% RNEK 15 >>% z=x2+y2 gibi boyutlu fonksiyonlarn
yzeyini gsterecek, boyutlu a grafik izmek iin, meshgrid ve
>>% mesh fonksiyonlar kullanlr. nce meshgrid fonksiyonu ile
xy-dzleminde noktalarn bir zgaras >>% oluturulur ve sonra
mesh fonksiyonu ile yzey izdirilir. >>% z=x2+y2 boyutlu
parabolnn a grafiini, meshgrid ve mesh fonksiyonlarn kullanarak
izdirelim. >>% Ayn grafik daha pratik olarak, ezmesh
>>% fonksiyonuyla yle de izdirilebilir: >> ezmesh(
'x.^2+y.^2', [-10: 1: 10], [-10: 5: 10] )
>> x_nok=[-10: 1: 10]; >> y_nok=[-10: 5: 10];
>> [x,y]=meshgrid(x_nok, y_nok);
% Izgara iin oluturulan matris.
>> z=x.^2+y.^2 ; % Matris elemanlar olduu iin elemanter s
alma yapld. >> mesh(x,y,z); >>title('z=x^2+y^2
Parabolnn A Grafii'); >> xlabel('x-ekseni');
ylabel('y-ekseni'); zlabel('z-ekseni') 82
>>% Ortaya kan boyutlu a, x-ekseni ynnde 4 birim, y-ekseni
ynnde 1 birim uzunluktaki >>% dikdrtgenlerden oluan bir
paraboldr.
>>% NOT: meshgrid fonksiyonu ile oluturulan zgarann matris
yaps, aadaki rnekte incelenebilir. >> x=[ 1 2 3 ]; >>
y=[-1 -2 -3 ]; >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X= 1 1 1 Y= -1 -1 -1 -2
-2 -2 -3 -3 -3 2 2 2 3 3 3
83
>>% RNEK 16 >>% z=5cosx.siny fonksiyonunun grafiini,
- ile + aralnda, /50 artml olarak boyutlu dzlemde >>% mesh ve
meshgrid fonksiyonlaryla izdirelim.
>> [x,y]=meshgrid( -pi: pi/50: pi, -pi: pi/50: pi );
>> z=5*cos(x).*sin(y); >> mesh(z) % mesh(x,y,z) ile
ayndr.
>>% Ayn grafik daha pratik olarak, ezmesh >>%
fonksiyonuyla yle de izdirilebilir: >>
ezmesh('5*cos(x).*sin(y)',[-pi: pi/50: pi],[-pi: pi/50: pi])
>> title('z=5cosx.siny Fonksiyonunun A Grafii'); >>
xlabel('x-ekseni'); ylabel('y-ekseni'); zlabel('z-ekseni');
>>% RNEK 17 >>% A grafiklerinin ii renkle
doldurulduunda yzey grafikleri elde edilir. Dolaysyla boyutlu a
>>% grafiklerini boyutlu yzey grafii olarak izdirmek mmkndr.
Bunun iin surf(x,y,z) fonksiyonu >>% kullanlr. >>% Daha
nce a grafii olarak izdirdiimiz, z=x2+y2 boyutlu parabolnn yzey
grafiini, surf(x,y,z) >>% fonksiyonu ile izdirelim.
84
>> x_nok=[-10: 1: 10]; >> y_nok=[-10: 5: 10];
>>% Ayn grafik daha pratik olarak, ezsurf >>%
fonksiyonuyla yle de izdirilebilir: >> ezsurf( 'x.^2+y.^2 ',
[-10: 1: 10], [-10: 5: 10] )
>> [x,y]=meshgrid(x_nok, y_nok);
% Izgara iin oluturulan matris.
>> z=x.^2+y.^2 ; % Matris elemanlar olduu iin elemanter s
alma yapld. >> surf(x,y,z); >>title('z=x^2+y^2
Parabolnn Yzey Grafii'); >> xlabel('x-ekseni');
ylabel('y-ekseni'); zlabel('z-ekseni')
>>% RNEK 18 >>% f(x,y)=xye(x2+y2)
fonksiyonunun -2 x 2 ve 0 y 2 aralklarnda boyutlu yzey grafiini
surf
>>% fonksiyonu ile izdirelim.
85
>> x=(-2:.2:2); >> y=(-2:.2:2); >>
Z=X.*Y.*exp(-(X.^2+Y.^2)); >> surf(X,Y,Z);
>>% Ayn grafik daha pratik olarak, ezmesh >>%
fonksiyonuyla yle de izdirilebilir: >> ezmesh(
'X.*Y.*exp(-(X.^2+Y.^2))', [-2:.2:2], [-2:.2:2] )
>> xlabel('x-ekseni'); ylabel('y-ekseni');
zlabel('z-ekseni')
>>% RNEK 19 >>% x2 + y2 + z2 = 9 kresinin st yarsnn
grafiini ezsurf fonksiyonu ile izdirelim. >>% Denklem
dzenlenirse, z=sqrt(9- x2 - y2) olur.
86
>> ezsurf('sqrt(9- x^2 - y^2)', [-4 4], [-4 4] )
>>% NOT: Yukardaki rneklerde de grld gibi izdirilen
grafiklere figr ekranndan renk haritas >>% eklemek ve figr
ekrannda grafiin bak asn deitirmek mmkndr. >>% NOT: Hem iki
boyutta hem de boyutta, grafikleri dorudan izdirmek iin plot, mesh,
surf gibi grafik >>% izdirme fonksiyonlarnn bana ez ekinin
getirildii ezplot, ezplot3, ezmesh, ezsurf fonksiyonlar >>%
kullanlabilir. >>% RNEK 20 >>% >>% >>%
>>% Bazen z=f(x,y) eklindeki iki deikenli fonksiyonlarda,
dzey erilerini de izdirmek gerekebilir. Bunun iin a grafiklerde
ezmeshc, yzey grafiklerde ezsurfc fonksiyonlar kullanlr. Sadece
dzey erilerini gstermek istediimizde ise, ezcontour (a gsterimi
iin) ya da ezcontourf (yzey gsterimi iin) fonksiyonlar yeterli
olacaktr.
87
>>% z=y2 x2 fonksiyonunu, dzey erileriyle birlikte ezmesc
fonksiyonuyla izdirelim. Sonra hemen altnda >>% ezcontour
fonksiyonuyla sadece dzey erilerini gsterelim.
>> subplot(2,1,1) >> ezmeshc( 'y^2-x^2', [-3 3], [-3
3] ) >> subplot(2,1,2) >> ezcontour( 'y^2-x^2', [-3 3],
[-3 3] )
88
>>% >>% >>% >>% >>%
NOT: Grafik izimlerinde xlabel, ylabel ve title adlandrmalarnda
ya da grafik zerinde legend, text
veya gtext kullanmlarnda, hatta eksen centiklerinin
adlandrlmasnda a, b, w, l gibi Yunan karakterlerini ya da km2, , ,
gibi sembolleri eklemek gerekebilir. Bunlarn MATLAB kod
sistemindeki kullanmlar aadaki tabloda verilmitir. MATLAB de bu
ilemler yaz dizgeleri (text strings) olarak adlandrlr.
Yunan Karakterleri ve SembollerKrakter \alpha \beta \gamma
\delta \epsilon \zeta \eta \theta \vartheta \iota \kappa \lambda
\mu \nu \xi \pi \rho Sembol Krakter \upsilon \phi \chi \psi \omega
\Gamma \Delta \Theta \Lambda \Xi \Pi \Sigma \Upsilon \Phi \Psi
\Omega \forall Sembol Krakter \sim \leq \infty \clubsuit
\diamondsuit \heartsuit \spadesuit \leftrightarrow \leftarrow
\uparrow \rightarrow \downarrow \circ \pm \geq \propto \partial
Symbol ~
89
\sigma \varsigma \tau \equiv \Im \otimes \cap \supset \int
\rfloor \lfloor \perp \wedge \rceil \vee \langle
\exists \ni \cong \approx \Re \oplus \cup \subseteq \in \lceil
\cdot \neg \times \surd \varpi \rangle x
\bullet \div \neq \aleph \wp \oslash \supseteq \subset \o \nabla
\ldots \prime \0 \mid \copyright
...
|
90
>>% Tablo da verilen tm karakterler, ayrca aadaki zel
deitiriciler (stream modifier) ile kullanlabilir:v \bf{} - Koyu
yaztipi (bold font ). v \it{} - talik yaztipi (italics font). v
\sl{} - yaztipi (oblique font, nadiren kullanlr). v \rm - Normal
yaztipine dn. v \fntname{fontname} Kullanlacak yaztipi (font)
ailesinin adn blirler. v \fontsize{fontsize} FontUnits olarak yani
punto olarak yaztipi boyutunu belirler. v _{...}- Parantez iindeki
karakterler ya da yaz altindis olarak gsterilir. v ^{...}- Parantez
iindeki karakterler ya da yaz stindis olarak gsterilir.
>>% Genel kullanmda tabloda verilen yunan karakterlerini
ve sembollerini ekilde ifade edebiliriz: >>% Eitlik >>%
st indis >>% Alt indis : : : b=3 iin \beta=3 (equal) b3 iin
\beta^3 (subscript) b3 iin \beta_3 (superscript)
>>% Ayrca bu gsterim mant m3 veya K12 gibi normal yaz
ilemleri iin de geerlidir. >>% Alt indis veya st indislerde
birden fazla karakter kullanlacak ise bu durumda { } eklindeki ssl
>>% parantez kullanlmaldr. rnein; >>% x ekseninde "-co1
ldamasna gre yarlanma deerleri " grnmesini >>% istersek,
>> xlabel ('-\gamma{_0^1} ldamasna gre yarlanma deerleri ')
komutu kullanlr.
>>% y ekseninde "Hz katsays: Ko=10-12 " grnmesini
istersek, >> ylabel ('Hz katsays: K_o=10^{-12}') >>%
komutu kullanlr.
91
>>% NOT: boyutlu grafiklerle ilgili bilgilere >>help
graph3d komutuyla ulalabilir. >> help graph3d Three
dimensional graphs.
Elementary 3-D plots. plot3 mesh surf fill3 - Plot lines and
points in 3-D space. - 3-D mesh surface. - 3-D colored surface. -
Filled 3-D polygons.
Color control. colormap - Color look-up table. caxis -
Pseudocolor axis scaling.
shading - Color shading mode. hidden - Mesh hidden line removal
mode.
brighten - Brighten or darken color map. colordef - Set color
defaults. graymon - Set graphics defaults for gray-scale
monitors.
Lighting. surfl - 3-D shaded surface with lighting.
lighting - Lighting mode. material - Material reflectance mode.
specular - Specular reflectance. diffuse - Diffuse reflectance.
surfnorm - Surface normals.
92
Color maps. hsv hot gray bone copper pink white flag lines -
Hue-saturation-value color map. - Black-red-yellow-white color map.
- Linear gray-scale color map. - Gray-scale with tinge of blue
color map. - Linear copper-tone color map. - Pastel shades of pink
color map. - All white color map. - Alternating red, white, blue,
and black color map. - Color map with the line colors.
colorcube - Enhanced color-cube color map. vga jet prism cool
autumn spring winter summer - Windows colormap for 16 colors. -
Variant of HSV. - Prism color map. - Shades of cyan and magenta
color map. - Shades of red and yellow color map. - Shades of
magenta and yellow color map. - Shades of blue and green color map.
- Shades of green and yellow color map.
Transparency. alpha - Transparency (alpha) mode.
alphamap - Transparency (alpha) look-up table. alim -
Transparency (alpha) scaling
Axis control. axis zoom - Control axis scaling and appearance. -
Zoom in and out on a 2-D plot.
93
grid box hold axes
- Grid lines. - Axis box. - Hold current graph. - Create axes in
arbitrary positions.
subplot - Create axes in tiled positions. daspect - Data aspect
ratio. pbaspect - Plot box aspect ratio. xlim ylim zlim - X limits.
- Y limits. - Z limits.
Viewpoint control. view - 3-D graph viewpoint specification.
viewmtx - View transformation matrix. rotate3d - Interactively
rotate view of 3-D plot.
Camera control. campos - Camera position.
camtarget - Camera target. camva camup - Camera view angle. -
Camera up vector.
camproj - Camera projection.
High level camera control. camorbit - Orbit camera. campan - Pan
camera.
camdolly - Dolly camera. camzoom - Zoom camera.
94
camroll - Roll camera. camlookat - Move camera and target to
view specified objects. cameratoolbar - Interactively manipulate
camera.
High level light control. camlight - Creates or sets position of
a light. lightangle - Spherical position of a light. Graph
annotation. title xlabel ylabel zlabel text gtext - Graph title. -
X-axis label. - Y-axis label. - Z-axis label. - Text annotation. -
Mouse placement of text.
plotedit - Experimental graph editing and annotation tools.
Hardcopy and printing. print - Print graph or Simulink system;
or save graph to M-file.
printopt - Printer defaults. orient vrml - Set paper
orientation. - Save graphics to VRML 2.0 file.
See also graph2d, specgraph.
95
>>% NOT: MATLAB deki grafik eitleri aada zet olarak
gsterilmitir.
96
BLM V>>% DENKLEMLER-DENKLEM SSTEMLERNN ZM >>%
CEBRSEL DENKLEMLER >>% Cebirsel denklemlerin sembolik zmn
solve fonksiyonu verir; solve fonksiyonunun genel hali: >>%
syms x y z >>% [x,y,z,]=solve(denk1,denk2,denk3,,x,y,z,)
eklindedir. >>% RNEK 1 >>% x2-x-6=0 denkleminin zmn
bulalm. >> syms x >> solve(x^2-x-6,x) ans = 3 -2
>>% zm kmesi, ={3,2} olarak bulunur. >>% Benzer olarak,
x12-3x10+x7-120x2+67=0 denkleminin kklerini bulalm. >> syms x
>> solve(x^12-3*x^10+x^7-120*x^2+67,x) ans =
.74720356628315882129201933741592 1.8739449545046381201418339113910
1.3799412975372923656562133279358+.79883587021658777179945832073383*i
.50217039300299764820601368779329+1.4261986019933698713398249020469*i
-.51246479578529006009603072834460+1.4418562120833487079385352327090*i
-1.3468332163973951506034599502807+.80004143504146966877333266198056*i
-.74577493701228339964228021354946
-1.9210009404907231481170457094651
-1.3468332163973951506034599502807-.80004143504146966877333266198056*i
97
-.51246479578529006009603072834460-1.4418562120833487079385352327090*i
.50217039300299764820601368779329-1.4261986019933698713398249020469*i
1.3799412975372923656562133279358-.79883587021658777179945832073383*i
>> double(ans) % double(ans) fonksiyonu, elde edilen sonucu
drt haneli hale getirir. ans = 0.7472 1.8739 1.3799 + 0.7988i
0.5022 + 1.4262i -0.5125 + 1.4419i -1.3468 + 0.8000i -0.7458
-1.9210 -1.3468 - 0.8000i -0.5125 - 1.4419i 0.5022 - 1.4262i 1.3799
- 0.7988i >>% RNEK 2 >>% >>% >>% x+2y=1
x-y=2 denklem sisteminin zm kmesini bulalm.
>> syms x y >> [x,y]=solve(x+2*y-1,x-y-2,x,y) %
Denklemler sfra eitlenerek ilem yapld. x= 5/3 y= -1/3
98
>>% RNEK 3 >>% >>% >>% x2+xy+y=3
x2-4x+3=0 denklem sisteminin zm kmesini bulalm.
>> syms x y >>
[x,y]=solve(x^2+x*y+y-3,x^2-4*x+3,x,y) x= 1 3
>>% ya da ayn sonu aadaki gsterimle de bulunabilir
>> [x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0','x','y') x= 1
3
y= 1 -3/2
y= 1 -3/2
>>% Yani zm kmesi, ={(1,1),(3,-3/2)} eklindedir. >>%
RNEK 4 >>% >>% >>% sin(x+y)-ex y=0 x-y=2 denklem
sisteminin zm kmesini bulalm.
>> syms x y >>
[x,y]=solve(sin(x+y)-exp(x)*y,x-y-2,x,y) x=
2.0992000712861186211615062078174 y=
.992000712861186211615062078174e-1
99
>>% RNEK 5 >>% >>% >>% tx+zy-1=0
2tx-3zy+2=0 denklem sistemde x ve y parametre olmak zere zm kmesini
t ve z ye gre bulalm.
>> syms x y t z >>
[t,z]=solve(t*x+z*y-1,2*t*x-3*z*y+2,t,z) t= 1/5/x z= 4/5/y
>>% Yani, ={1/5x , 4/5y} olacaktr. Gsterimden emin olmak iin
pretty fonksiyonu ile kontrol edilebilir. >>% RNEK 6
>>% fzero: Fonksiyon fonksiyonu; tek deikenli bir fonksiyonun
sfrn hesaplar. >>% cosx fonksiyonunun 0 ile arasndaki kkn
bulalm, yani cosx=0 denklemini zelim. >> fzero( 'cos(x)', [0
pi] ) ans = 1.5708 >>% Benzer olarak 2eX - 5=0 denkleminin
zmn, balama deerini 1 alarak bulalm. >> fzero( '2*exp(x)-5' ,
1 ) ans = 0.9163 >>% NOT: MATLAB de ileri dzey nmerik analiz
ve matematiksel ilemler iin fonksiyon fonksiyonlar >>%
kullanlr. Ayrntl bilgi iin >> help funfun komutu
kullanlabilir. >>% DFERANSYEL DENKLEMLER >>% Dorusal
diferansiyel denklemlerin analitik zm mmkndr. Bu amala, >>%
adi diferansiyel denklemlerin simgesel zm iin dsolve fonksiyonu
kullanlr. >>% dsolve fonksiyonunun genel format:
dsolve('denk1','denk2',,'art1','art2',,'v',) eklindedir. >>%
D harfi v bamsz deikenine gre trevi (yani d/dt yi) gsterir.
>>% rnein, D3y, y(x) ya da y(t) nin 3. trevini ifade eder.
Varsaylan bamsz deiken t dir. 100
>>% RNEK 7 >>%
dy = 1 + y 2 diferansiyel denkleminin zmn bulalm. dt
>>dsolve('Dy=1+y^2','t') ans = tan(t+C1) >>% RNEK 8
>>%
d2y = - a 2 y , y(0)=1, y(/a)=0 diferansiyel denkleminin zmn
bulalm. 2 dt
>> dsolve('D2y=-a^2*y','y(0)=1','Dy(pi/a)=0', 't') ans =
cos(a*t) >>% RNEK 9 >>%
d2y dy + 3 + y = 0 diferansiyel denkleminin zmn bulalm. 2 dt
dt
>> dsolve('D2y+3*Dy+y=0', 't') ans =
C1*exp(1/2*(5^(1/2)-3)*t)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+3)*t) >>% RNEK
10 >>% y(1)=0 art altnda xy+y=2e2X birinci dereceden
diferansiyel denklemin zmn bulalm. >>
dsolve('x*Dy+y=2*exp(2*x)','y(1)=0','x') ans = (exp(2*x)-exp(2))/x
>> pretty(ans)
exp(2 x) - exp(2) -------------------------x
101
>>% RNEK 11 >>% y(0)=-1/2 ve y(0)=4 koullar altnda
y-4y=4x2 >>% ikinci dereceden diferansiyel denklemin zmn
bulalm. >> dsolve('D2y-4*y=4*x^2','y(0)=-1/2','Dy(0)=4','x')
ans = exp(2*x)-exp(-2*x)-1/2-x^2 >>% RNEK 12 >>%
y(0)=0, y(0)=0 koullar altnda y+6y+13y=10sin5t >>% ikinci
dereceden diferansiyel denklemin zmn bulalm. >>
dsolve('D2y+6*Dy+13*y=10*sin(5*t)','y(0)=0','Dy(0)=0','t') ans =
125/174*exp(-3*t)*sin(2*t)+25/87*exp(-3*t)*cos(2*t)-10/87*sin(5*t)-25/87*cos(5*t)
>> pretty(ans) 125 25 10 25
--- exp(-3 t) sin(2 t) + --- exp(-3 t) cos(2 t) - --- sin(5 t) -
--- cos(5 t) 174 87 87 87
>>% RNEK 13 >>% y(0)=0 koulu altnda (y)2 + y2 =1
diferansiyel denklemin zmn bulalm.
>> dsolve('(Dy)^2+y^2=1','Dy(0)=0','t') ans = -1 1 cos(t)
-cos(t)
>>% RNEK 14 >>% y(0)=0 ve x(0)=1 koullar altnda
d y d x = 3 y + 4x , = -4 y + 3 x dt dt102
>>% diferansiyel denklem sisteminin zmn bulalm. >>
[x,y]=dsolve('Dy=3*y+4*x','Dx=-4*y+3*x','y(0)=0','x(0)=1','t') x=
exp(3*t)*cos(4*t) y= exp(3*t)*sin(4*t) >>% Analitik zmleri
bulunmayan diferansiyel denklemlerin ise saysal zmleri mmkndr.
>>% Benzer biimde, analitik zmleri bulunan yksek dereceden ok
sayda diferansiyel denklem >>% takmnn da saysal zmleri daha
pratik olmaktadr. MATLAB de ode (ordinary differential equations)
>>% zm fonksiyonlar, analitik zm iersin ya da iermesin btn
diferansiyel denklemlerin >>% zmnde kullanlabilir. ode
fonksiyonlar saysal integrasyon yolu ile zm salar (benzetim).
>>% Bu fonksiyonlar balang koullar ile bir balang zamanndan
balayp, zaman aral boyunca adm >>% adm ilerleyerek her bir
zaman admnda bir zm hesaplar. Eer bir zaman admnda elde edilen
>>% zm, fonksiyonun hata tolerans ltn karlarsa bu baarl bir
adm saylr; karlamazsa fonksiyon >>% adm boyunu ksaltarak
tekrar deneme yapar. >>% MATLAB de deiik yntemler kullanan
ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb >>%
gibi ok sayda ode zc vardr. imdi Dormand-Prince iftini kullanan ve
belirgin Runge-Kutta (4,5) >>% yntemine dayanan ode45
fonksiyonu ile diferansiyel denklem zclerinin genel formatn
>>% inceleyelim: >>% [T,Y]=ode45(odefun,Tspan,Y0)
dr.
>>% Burada [T,Y], y=f(t,y) ye karlk gelen bir stun vektr
retir. >>% odefun, m-dosyas eklinde tanmlanm difreransiyel
denklemlerin sa tarafn ifade eder. >>% Tspan, [T0 Tson]
biiminde tanmlanan integral etme zaman deerleri anlamna gelir.
>>% y0, balang zaman, T0 da balang koullar deerini ieren stun
vektrn ifade eder. >>% RNEK 15
d2y dy + m ( y 2 - 1) + y = 0 >>% Literatrde ska karmza
kan, 2 dt dt>>% Van Der Pol denkleminin saysal zmn, ode45
fonksiyonunu kullanarak bulalm.
103
>>% nce denklemi yeniden dzenleyerek 1. dereceden
diferansiyel denklem halinde ifade etmemiz >>% gerekir.
d2y dy + m ( y 2 - 1) + y = 0 ise, 2 dt dt
y=F(t,y,y) = m y(1-y2) y dir.
& >>% Burada y1 = y ve y2 = y biiminde yeni deikenler
tanmlanrsa, denklemimizin son hali,
& y1 = y2 & y2 = m (1- y12) y2 - y1olur.
>>% imdi, rnein m = 2 iin y1 ve y2 nin geerli deerlerine
dnderecek bir m-dosyasn yazp vdpmu.m >>% olarak kaydedelim.
(Bkz: Blm VI)function dy = vdpmu(t,y); mu=2; dy=[y(2);
mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
>>% vdpmu.m olarak kaydedilen bu dosya artk komut satrndan
arlabilecektir. >>% Burada seeceimiz y(1)=1, y(2)=0 balang
koullar altnda ve [0 30] zaman aralnda zm, >>tspan=[0 30];
>>y0=[1;0]; >> [t,y]=ode45('vdpmu',tspan,y0) t= 0
0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 29.6381 29.7286 29.8190 29.9095 30.0000
104
y= 1.0000 0
1.0000 -0.0001 1.0000 -0.0001 1.0000 -0.0002 1.0000 -0.0002
1.7776 -0.3800 1.7426 -0.3926 1.7065 -0.4060 1.6691 -0.4205
1.6304 -0.4363 >>% t stun vektr t zmn zaman noktas deerlerini
ifade eder. Bu zaman deerleri integral almada >>% kullanlan
zaman admlar (gerektiinde bu da ayarlanabilir) olmayp, grafik iin
belirlenen uygun >>% admlardr. y matrisinde ise, 1. stun
y(:,1) biiminde t zaman noktalarnda zmn kendisi; 2. stun >>%
y(:,2) biiminde t zaman noktalarnda zmn 1. trevidir. >>
plot(t,y(:,1),'o')
105
>> NOT: Yukardaki rnekte de grld gibi yksek dereceden bir
diferansiyel denklemin saysal zm 3 >> admda gereklemektedir:
1- Verilen denklem 1. dereceden diferansiyel denklem takm olacak
ekilde >> dzenlenir. 2- Hazrlanan 1. dereceden sistem bir
m-dosyasnda kodlanr. 3-Uygun ode fonksiyonu ile >> zme
gidilir; sonular yorumlanr. >>% RNEK 16 >>% y(1)=1,
y(2)=0 balang koullar altnda, [0 3000] zaman aralnda m = 1000 iin
van der Pol >>% denklemini zelim. ode45 burada yetersiz
kalacaktr, yerine ode15s kullanlmaldr. >>% 1-) 1. dereceden
diferansiyel denklem takmna dntrelim. >>%
d2y dy + m ( y 2 - 1) + y = 0 ise, 2 dt dt
y=F(t,y,y) = m y(1-y2) y dir.
& >>% Burada y1 = y ve y2 = y biiminde yeni deikenler
tanmlanrsa, denklemimizin son hali,
& y1 = y2 & y2 = m (1- y12) y2 - y1>>% 2-) 1.
dereceden diferansiyel denklem sistemini bir m-dosyasnda
saklayalm.function dy = vdpmu(t,y); mu=1000; dy=[y(2);
mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
olur.
>>% 3-) ode15s fonksiyonu ile zm bulup, grafiini
izdirelim. >> [t,y]=ode15s('vdpmu',[0 3000],[1;0]) t=
1.0e+003 * 0 0.0000 0.0000 0.0000 2.7982
106
2.8220 2.8458 2.8696 3.0000 y= 1.0e+003 * 0.0010 0
0.0010 -0.0000 0.0010 -0.0000 0.0010 -0.0000
0.0020 -0.0000 0.0020 -0.0000 0.0019 -0.0000 0.0019 -0.0000
0.0018 -0.0000 >> plot(t,y(:,1),'o')
107
>>% RNEK 17 >>% y - 3y - yy = 0 biiminde verilen bir
diferansiyel denklemde, balang koullar y(0)=0, y(0)=1, >>%
y(0)=-1 olarak tanmlanmtr. Denklemin zmn bulalm. >>% y1=y,
y2=y, y3=y deiken deiimi yaplrsa, >>% >>% >>%
>>% 1.dereceden denklem sisteminin m- dosyas,function
dy=diffonk(t,y); dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(2)*y(1)];
y1= y2 y2= y3 y3 = 3y3 + y2y1 olur.
>>% [0 1] aralnda zm, >> [t,y]=ode45('diffonk',[0
1],[0; 1; -1]) t= 0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.9313 0.9485
0.9657 0.9828 1.0000
108
y= 0 1.0000 -1.0000 0.0001 0.9999 -1.0002 0.0001 0.9999 -1.0003
0.0002 0.9998 -1.0005 0.0002 0.9998 -1.0006
-0.4417 -4.0297 -15.9915 -0.5132 -4.3110 -16.8015 -0.5897
-4.6066 -17.6459 -0.6714 -4.9170 -18.5255 -0.7586 -5.2427 -19.4404
>> plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'*',t,y(:,3),'o') % y(:,1) zm,
y(:,2) zmn 1.trevi, y(:,3) zmn 2.trevidir.
109
>>% RNEK 18 >>% y = 2cos2 (y) diferansiyel
denklemini ode23 fonksiyonunu kullanarak zelim.function dy=
diffonk(x,y); dy= 2*x*(cos(y))^2;
>> [x,y]=ode23('diffonk',0,2,pi/4) Warning: Obsolete
syntax. Use ode23(fun,tspan,y0,...) instead. > In
funfun\private\odearguments at 41 In ode23 at 172 x= 0 0.2000
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 y=
0.7854 0.8050 0.8593 0.9367 1.0232 1.1071 1.1818
110
1.2451 1.2970 1.3393 1.3735 >> plot(x,y(:,1))
>>% RNEK 19 >>% >>% >>% >>% y1=
y2y3, Y2= - y1y3, Y3= -0.51y1y2, y1(0)=0 y1(0)=1 y1(0)=1
diferansiyel denklemini zelim.
111
function dy=rig(t,y)
dy=[y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)];
>> [t,y]=ode45('rig',[0 12],[0; 1; 1]) t=
0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 11.4847 11.6136 11.7424 11.8712
12.0000
y= 0 1.0000 1.0000 0.0001 1.0000 1.0000 0.0001 1.0000 1.0000
0.0002 1.0000 1.0000 0.0002 1.0000 1.0000
-0.2936 -0.9540 0.9763 -0.4098 -0.9102 0.9548 -0.5169 -0.8539
0.9279 -0.6135 -0.7874 0.8974 -0.6987 -0.7128 0.8650
112
>> plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.')
>>% RNEK 20 >>% (rnek 12 de analitik olarak zdmz)
>>% y+6y+13y=10sin5t y(0)=0, y(0)=0 balang koullar altnda
ikinci dereceden diferansiyel denklemin saysal zmn bulalm.
>>% y1=y, y2=y deiken deiimi yapldnda, >>% >>%
>>% 1.dereceden denklem sisteminin m- dosyas, y1= y2 y2= -6y2
- 13y1 + 10sin5t olur.
function dy=diffonk(t,y);
dy=[y(2);-6*y(2)-13*y(1)+10*sin(5*t)];
113
>> [t,y]=ode45('diffonk',[0 1],[0 ; 0]) t= 0 0.0192 0.0383
0.0575 0.0767 0.9534 0.9650 0.9767 0.9883 1.0000 y= 0 0
0.0001 0.0088 0.0004 0.0339 0.0014 0.0732 0.0033 0.1244
0.1325 -1.6244 0.1135 -1.6448 0.0942 -1.6603 0.0748 -1.6708
0.0553 -1.6763
114
>> plot(t,y(:,1))
115
BLM VIMATLAB de PROGRAMLAMA Daha nceki blmlerde komutlarmz
