Tema 8: Torsión

1

Tema 8: TORSIÓN

T

x

G

1 2

2 ́

G

Tema 8: Torsión

2

8.1.-INTRODUCCIÓN Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento resultante de las fuerzas interiores tiene la componente Mx = T

En este tema se estudiarán elementos estructurales en los que todas sus secciones estén solicitadas a Torsión Diagramas de Momentos Torsores Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción-Compresión y de la Flexión, los diagramas de Momentos Torsores indicarán el Momento Torsor correspondiente a cada sección del elemento estructural. Se desarrollará uno de estos diagramas a través de un ejemplo:

G

z

y

x T

T>0 → si su sentido es el de la normal saliente de la sección

T<0 → si su sentido es contrario al de la normal saliente en la sección

Criterios de signos para los Momentos Torsores

x n T x n T

x n T x n T

Fig..8.1.a

Fig..8.1.b

Sección 8.1: Introducción

3

Tipos de Torsión que se podrán dar:

A.-Torsión uniforme: Se dice que una barra trabaja a TORSIÓN UNIFORME cuando se cumplan las dos condiciones siguientes: el único esfuerzo presente es un Momento Torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden alabear libremente En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero (σx = 0) , y sólo dará lugar a tensiones cortantes: τ

Tramo L1

M1 Mext = M1

T = M1

n M int = M1

Tramo L2

M3 Mext = M3 M int= M3

T = - M3

n

M1 M2 M3

L1 L2

T

x

M1

M3

+

-

M M

L

T

x

M

+

Fig..8.3

Fig..8.2

Tema 8: Torsión

4

B.-Torsión no uniforme: Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan algunas de las dos condiciones anteriores, como sería el caso de los dos ejemplos siguientes:

En la torsión no uniforme, el alabeo posible de las diferentes secciones no será el mismo, por lo que se producirán tensiones normales: σx y tensiones cortantes: τ. En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa cómo debido al alabeo, las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales σx

M

T

x

M = cte

+

La sección de la izquierda está empotrada y no podrá alabear libremente

Ejemplo 1

Fig..8.4

M1 M2 M3

T

x

M1

M3

+

-

El Momento Torsor no es constante a lo largo de la barra

Ejemplo 2

Fig..8.5

Fig..8.6

Sección 8.1: Introducción

5

Observaciones:

1. Para medir la susceptibilidad al alabeo por torsión de una determinada sección se utiliza el denominado “módulo de alabeo”: Ia y para medir la susceptibilidad la torsión se utiliza el “módulo de torsión”: It . Ambos valores se pueden calcular u obtener de Tablas

2. Las piezas sometidas a Torsión no uniforme en las que el módulo de alabeo (Ia)

sea nulo o de pequeño valor con respecto al módulo de torsión (It), se admite aplicar el cálculo como si fuera Torsión uniforme.

Éstos casos se darán en los siguientes tipos de secciones: secciones macizas de gran espesor

secciones cerradas de pequeño espesor

secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto

Tema 8: Torsión

6

Secciones más adecuadas para trabajar a torsión En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.) y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales). Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor:

• SECCIONES DE GRAN ESPESOR (MACIZAS)

• SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR

Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este tipo de solicitación y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su cálculo no es frecuente y es estudiado con más profundidad en asignaturas de Estructuras Metálicas

Circulares Circulares huecas Rectangulares

Circulares Rectangulares

Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca

7

8.2.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA: CIRCULAR Y CIRCULAR HUECA A.- CÁLCULO DE TENSIONES Considérese una pieza de sección circular y sea T el momento torsor en una de sus secciones Las relaciones Tensiones – Solicitaciones vistas en 1.7 serían para este caso:

Pero al igual que ocurría en la Tracción-Compresión y en la Flexión, éstas ecuaciones, por si solas, no permiten calcular el valor de las tensiones originadas por el Momento Torsor T. y habrá que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido comprobadas experimentalmente. Para este caso será: Hipótesis de Coulomb: “ Las secciones transversales circulares de la pieza permanecen planas durante la Torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje x normal a la sección”

T

x

y

z

Fig..8.7

( )0 . 0 . 0 .

. . . 0 . . 0 . .

x y xy z xzA A A

xz xy y x z xA A A

N dA V dA V dA

T y z dA M z dA M y dA

σ τ τ

τ τ σ σ

= = = = = =

= − = = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫)1.8(

Tema 8: Torsión

8

Como consecuencia de dicha hipótesis se deduce que los radios de las secciones transversales giran, permaneciendo rectos, mientras que las generatrices de la superficie lateral (línea 1-2), se transforma en hélices (curva 1-2´) Se demostrará a continuación que en la Torsión de piezas de sección circular no se producen tensiones normales, es decir que: σx = 0

• Se supone en primer lugar que existen tensiones normales σx . Si fuese así, éstas deberían presentar una distribución no constante, pues si fuese constante, es decir: σx = cte, en virtud de la primera de las relaciones de la ecuación (8.1), se tendría:

Osea que tendría que ser: σx ≠ cte

• Si σx ≠ cte, por la ley de Hooke:

con lo cual se tendría que las deformaciones lineales εx serían diferentes para los distintos puntos de una sección y ésta por tanto se alabearía, contradiciendo la Hipótesis de Coulomb

Conclusión: ⇒ (8.2)

O lo que es lo mismo: “La torsión en secciones circulares sólo produce tensiones cortantes τ “

T

x

G

1 2

2 ́

G

Fig..8.8

. ( cte) . . 0 Nosecumpliría dicha relaciónx x x x

A A

dA si dA Aσ σ σ σ= = = = ≠ ⇒∫ ∫

cteE

xx ≠= σε

1

2 3 4

5

1 2 3 4

5

σx = 0

Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca

9

Cálculo de las tensiones cortantes Se considera una rebanada de la pieza de longitud dx Mientras que la sección izquierda gira, alrededor del eje x, un ángulo ϕ (ángulo de giro a torsión), la sección de la derecha habrá girado, en el mismo sentido, un ángulo ϕ + dϕ. lo que supone un giro relativo a torsión de ésta sección con respecto a la anterior de valor dϕ. Se toma sobre dicha rebanada un prisma como el indicado en la siguiente figura Como consecuencia del giro de torsión relativo, dϕ, entre las dos secciones laterales de dicha rebanada, el prisma se deformará, de tal forma que la cara lateral derecha girará un ángulo dϕ con respecto a la cara lateral izquierda, dando lugar a la siguiente figura, (que se ampliará para poder observarse mejor dicha deformación). La cara abcd del prisma se transformará en la ab1c1d, sufriendo una deformación angular γ

ϕ ϕ +dϕ

dx

1 2

1´ 2´

G G x

Fig..8.9

dx

a

G x

b

c d

Fig..8.10

dx

a

G x

b

c d b1

c1

γγγγ r dϕ a

d

b

c b1

c1

τ

τ

τ

τ γ

Fig..8.11

Tema 8: Torsión

10

La deformación angular γ se podrá obtener por:

La deformación angular γ es el resultado de la acción de las tensiones cortantes que actúan sobre las caras laterales del prisma. El valor de éstas se podrá obtener a partir de la Ley de Hooke:

Ecuación que indica que: “en una sección circular, las tensiones cortantes τ producidas por el Momento Torsor T, son proporcionales a la distancia r al centro de la misma y perpendiculares al vector de posición r ”. Así pues, la distribución de tensiones cortantes en una sección circular será la que se indica en las siguientes figuras

siendo: “ la tensión cortante máxima: τmax, se dará en los puntos del borde de la sección circular” La cuarta ecuación de la relación tensiones-solicitaciones, ecuaciones (8.1) era:

y sustituyendo el valor de τ dado en (8.5) :

“ángulo de torsión unitario” (8.6)

siendo: G.Io = Módulo de rigidez a la torsión (equivalente al módulo de rigidez a la flexión: E.Iz, visto en el tema 5º)

1 .. (8.3)

denominando "ángulo de torsión unitario" (8.4)

bb r dtag r

ab dxd

dx

ϕγ γ ϑ

ϕθ

≅ = = =

=

)5.8(..)3.8(. GrsegúnGG

ϑγττγ ===→=

G τ

τ τ

τ

a b

c d

r r

G

τmax

τmax

τmax

τmax

z

y

R

ϑτϑτ ..)(.. max RGRrcuandoyrG ====

( . . ) ( ) . .xz xy

A A

T y z dA ver figura r dAτ τ τ= − = =∫ ∫

τxz

τxy τ r

dr

dA

O≡G

y

z

Fig..8.13

2. . . . . . . . . de donde :o

A A

T G r r dA G r dA G Iϑ ϑ ϑ= = =∫ ∫

. o

T

G Iϑ =

Fig..8.12

Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca

11

Sustituyendo finalmente el valor obtenido en (8.6), para el cálculo del ángulo de torsión unitario, en la ecuación (8.5): expresión final para el cálculo de la tensión cortante debida a la torsión, en el caso de barras de sección circular. Por lo visto antes: siendo : Wo = Io / R Módulo resistente a la torsión (equivalente al módulo de resistente a la flexión: Wz = Iz / ymax, visto en el tema 5º) Observación: Éstas fórmulas serán también aplicables a las barras macizas de sección circular hueca SECCIÓN CIRCULAR SECCIÓN CIRCULAR HUECA

.. . . .

. o o

T T rG r G r

G I Iτ ϑ= = = (8.7)

max

.( )

oo o

T R T Tr R

II WR

τ τ= = = = = (8.8)

G

τmax

τmax

τmax

τmax

z

y

R Ri

G

τmax

τmax

τmax

τmax

z

y

Re

)(2

.

max

4

Rr

RI o

==

=

ττ

π

)(2

.

2

.

max

44

e

ieo

Rr

RRI

==

−=

ττ

ππ

Fig..8.14.a Fig..8.14.b

Tema 8: Torsión

12

B.- CÁLCULO DE DEFORMACIONES Las deformaciones que se provocan en una barra sometida a Torsión son los GIROS a TORSION: ϕϕϕϕ, que se producen, al girar sus secciones transversales alrededor del eje geométrico OX de la misma. El valor de éstos giros será: El ángulo de torsión unitario según la ecuación (8.6) era:

Giro relativo entre dos secciones A y B de la barra

Caso particular: Si G.Io = cte, la ecuación (8.9) se podrá expresar:

Expresión que nos dice: “ el giro relativo debido a la torsión entre dos secciones A y B, es igual al área del diagrama de momentos torsores entre las dos secciones, dividido por el módulo de rigidez a la torsión: G.Io” Signos: ϕBA > 0 ⇒ B gira en sentido antihorario respecto a A (siempre que las secciones consideradas A y B, la sección A esté a la izquierda de la B) Observación final: Según lo indicado en 8.1, las fórmulas obtenidas para las tensiones y las deformaciones serán válidas tanto para el caso de Torsión Uniforme como para el de Torsión no Uniforme.

.. .

e integrando esta ecuación entre dos seccionesA y B de la barra:o o

d T Td dx

dx G I G I

ϕϑ ϕ= = → =

.

.

B

BA B AoA

T dx

G Iϕ ϕ ϕ= − = ∫ (8.9)

.

. .

AB

B

TA

BA B Ao o

T dxS

G I G Iϕ ϕ ϕ= − = =

∫(8.10)

Sección 8.3: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza no circulares

13

8.3.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA NO CIRCULARES La hipótesis de Coulomb: “……las secciones transversales permanecen planas durante la torsión…”, válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán.

No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo Ia es pequeño comparado con el módulo de torsión It y entonces, según lo indicado en 8.1, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a Torsión Uniforme, aunque se estuviera en el caso de Torsión no Uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes τ. La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint-Venant y forma parte de la Teoría de la Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular. CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR:

se da en el punto medio del lado mayor

Los valores de µ y de β dependen de la relación h/b: h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ µ 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333

β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

T T T T

τmax h

b

max 2. .

T

b hτ

µ=

3. . .

T

G hbϑ

β=

(8.11)

(8.12)

Fig..8.15

Fig..8.16

Tema 8: Torsión

14

8.4.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR Ya se indicó en 8.1 que este tipo de secciones no son apropiadas para el trabajo a Torsión y para los casos en que la torsión aparezca como efecto secundario, para evitar la excesiva deformación o rotura a la que pueda dar lugar, deberán emplearse disposiciones constructivas adecuadas para evitar el efecto de dichas consecuencias. En este tipo de secciones sólo se va a estudiar el caso de la Torsión Uniforme. Observación: Según se dijo anteriormente los casos de secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto, como sería el cado de las secciones en L o en simple T, aunque estén sometidas a Torsión no uniforme, su cálculo se hará como si fuera Torsión uniforme CASO DE TORSIÓN UNIFORME: Para conocer la distribución de tensiones cortantes τ a lo largo de la sección se utiliza el denominado “Método de analogía de la membrana”, propuesto por Prandtl y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello: En virtud de ello, y en el caso de espesor constante t = cte, se podrán aplicar las mismas fórmulas (8.11) y (8.12) vistas anteriormente para el caso de sección rectangular:

Y en este caso, como h >> b, es decir, sm >> t, los coeficientes µ y β valdrán (ver tabla en 8.3): µ = 0,333 = 1/3 β = 0,333 = 1/3 Así pues las formulas quedarán:

sm

sm

t

t

equivalente

Fig..8.17

max 2 2. . . . m

T T

b h t sτ

µ µ= =

33 ...... tsG

M

bhG

M

m

xx

ββϑ ==

max21

. .3 m

T

t sτ =

31. . .

3 m

T

G s tϑ =(8.13) (8.14)

Sección 8.4: Tensiones y deformaciones en piezas de sección abierta de pequeño espesor

15

La teoría de Prandtl también dice: “…las tensiones cortantes máximas se dan en los bordes del contorno, llevando en ambos lados sentidos opuestos y se admite que su variación es lineal a lo largo del espesor” Casos particulares:

1. En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , las ecuaciones anteriores se generalizarán de la siguiente forma:

2. En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, las ecuaciones anteriores serían ahora:

La tensión cortante máxima para cualquier espesor t se obtendrá:

sm

sm

t

t

equivalente τmax

τmax τmax τmax

τmax τmax τmax

τmax

Fig..8.18

sm

tmax

τmax(t)

τmax(tmax)

t

Fig..8.19

3

0

1. . .

3

ms

m

T

G t ds

ϑ =

∫

(8.15) max

2

0

1. .

3

ms

m

T

t ds

τ =

∫

(8.16)

s1

s2

s3

t1 = tmax

t2

t3

τmax(tmax)

τmax(t3)

(8.17)

(8.18)

max

.( )

t

T tt

Iτ = (8.19)

max21

. .3 i i

T

t sτ =

∑

31. . .

3 i i

T

G t sϑ =

∑

Fig..8.20

Tema 8: Torsión

16

8.5.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR En este tipo de secciones, según lo que se indicó en la sección 8.1, el cálculo que haremos será válido tanto para la torsión uniforme como para la torsión no uniforme, por lo tanto las tensiones normales serán cero (σ = 0) y sólo habrá tensiones cortantes (τ). A.- CÁLCULO DE TENSIONES Se considera una rebanada de una pieza de longitud dx sometida a un Momento Torsor T.

Se sabe que las tensiones cortantes en los puntos del contorno: a1a2 , han de ser tangentes al mismo y dado el pequeño espesor (t) de la sección, se admite que están distribuidas uniformemente a lo largo del mismo. Estableciendo el equilibrio de fuerzas del elemento bcde, que se representa a continuación ampliado:

0

. . . . . .

. (flujo cortante)=cte

x

b b c c b b c c

F

t dx t dx t t

t

τ τ τ ττ

=

= → =⇒

∑

“el flujo cortante: ττττ.t es constante a lo largo de la sección transversal”

Como consecuencia de ello, las tensiones cortantes (τ), serán mayores donde el espesor (t) sea menor, (al revés de lo que ocurre en las secciones abiertas de pequeño espesor).

dx

t

c d

e b

a1 a2 τ

T

b

c d

e dx tb

τc τc

τb τb

tc

b

c

e dx tb

τc

τb

tc

cbcb

ccbb

ttsi

tt

ττ

ττ

<→>

= ..

Fig..8.21

Fig..8.222

Fig..8.232

Sección 8.4: Tensiones y deformaciones en piezas de sección abierta de pequeño espesor

17

Tomando ahora momentos respecto del centro de gravedad G de la sección, de todas las fuerzas que actúan en la misma:

y despejando τ: siendo: Am = “área encerrada por la línea media de la sección transversal” La tensión cortante máxima, por lo visto antes, se dará donde el espesor sea mínimo, resultando siendo su valor: B.- CÁLCULO DE DEFORMACIONES Para el cálculo de deformaciones se partirá de la ecuación obtenida en 3.3, aplicándola a la rebanada de la pieza anteriormente descrita de longitud dx.:

siendo:

“energía almacenada en la rebanada durante la deformación provocada por Mx”

T

dAm r Sm

dSm t

τ dF

z

y

. .

longitud línea media

m

m

dF ds t

s

τ=

=

. . . . ( . ) . . . . . 2. . .2.m m m

m m m m

s s s

T dF r ds t r como t cte t r ds t dA t Aτ τ τ τ τ= = = = = = =∫ ∫ ∫ ∫

2. . m

T

t Aτ = (8.20)

Am

dUdTe =

1. .

2e xdT T dϕ=

2 2 2 2

2

1 1 1. .( ). . . . . . . ( cte)

2. 2. 2.

. . .2.

m

m

xy xz m

V V V s

m

s

dU u dV dV dV ds t dx dxG G G

dxt ds

G

τ τ τ τ

τ

= = + = = = = =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

“trabajo que realiza el momento torsor T”

maxmin2. . m

T

t Aτ = (8.21)

Fig..8.242

Fig..8.252

Tema 8: Torsión

18

igualando ambas expresiones:

Casos particulares: 1. Si t = cte ⇒

2. Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese

formada por varios elementos de espesor constante:

OBSERVACIÓN FINAL: CUADRO RESUMEN Con el objeto de unificar las fórmulas que se han obtenido para los diferentes tipos de secciones, se podrá adoptar un formato general, único para todas ellas, que sería el siguiente:

Los valores de It y de Wt para cada una de las secciones se obtendrán comparando las fórmulas obtenidas para cada una de las secciones estudiadas con las dadas como formato general. Así tendremos:

2 22 2

2 2

22 2

2

1 1 1 .. . . . . . . . . . .

2 2.

.(y como . cte) .

.. . (como ) . y despejando :

2. . 4. .

m m m

m

m m

xx m m m

s s s

m

s

m m

m ms s

ddx tT d t ds T t ds ds

G dx G G t

dstt

G t

ds dsTt TT

G t t A G A t

ϕ τϕ τ τ

ττ

τϑ τ ϑ

= = = =

= =

= = = =

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

2.

4. .m

m

m s

dsT

G A tϑ = ∫ (8.22)

2.

4. .m

m

sT

G A tθ =(8.23)

(8.25)

. t

T

G Iϑ =

(8.27) max

t

T

Wτ =

(8.28)

siendo: It = momento de inercia torsor equivalente

siendo: Wt = módulo resistente a la torsión equivalente

max 2. . m

T

t Aτ = (8.24)

maxmin2. . m

T

t Aτ = 2

.4. .

i

m i

sT

G A tθ = ∑ (8.26)

Sección 8.5: Tensiones y deformaciones en piezas de sección cerrada de pequeño espesor

19

a) sección circular : comparando las fórmulas específicas obtenidas para la sección circular: con las generales de formato único: resultará: b) sección rectangular : comparando las fórmulas específicas obtenidas para la sección rectangular:

con las generales de formato único:

resultará: c) secciónes abiertas de pequeño espesor: compararando las fórmulas específicas obtenidas para las secciones abiertas de pequeño espesor t = cte:

con las generales de formato único:

resultará: Observación: La Normativa española NBE-EA-95 corrige estos valores afectándolos de un coeficiente α de la siguiente forma:

(8.6) (8.7) . o

T

G Iϑ = max

o

T

Wτ =

maxt

T

Wτ =

. t

T

G Iϑ =

2

.

2

. 34 R

R

IWW

RII o

otot

ππ =====

max 2. .

T

b hτ

µ=

3. . .

T

G hbϑ

β= (8.11) (8.12)

. t

T

G Iϑ = max

t

T

Wτ =

hbWbhI tt .... 23 µβ ==

max21

. .3 m

T

t sτ =

31. . .

3 m

T

G s tϑ = (8.13) (8.14)

. t

T

G Iϑ = max

t

T

Wτ =

23 ..3

1..

3

1tsWtsI mtmt ==

(8.27) (8.28)

(8.29)

(8.28) (8.27)

(8.30)

(8.28) (8.27)

23 ..3

1...

3

1. tsWtsI mtmt αα == (8.32)

(8.31)

Tema 8: Torsión

20

siendo el valor de α:

α SECCIÓN

1

1,1

1,3

Y para el caso estudiado de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, comparando de nuevo las ecuaciones obtenidas para este caso específico con las fórmulas generales únicas, y ya incluyendo el valor α corrector que incluye la normativa española NBE-AE-95, sería: d) secciónes cerradas de pequeño espesor: compararando las fórmulas específicas obtenidas para las secciones cerradas de pequeño espesor t = cte

con las generales de formato único: resultará Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante:

∑∑ == 23 ..3

1...

3

1. iitiit tsWtsI αα

(8.24) (8.23)

. t

T

G Iϑ = max

t

T

Wτ =

AmtW

t

sA

I t

i

i

mt ..2

.4min

2

==∑

mtm

mt AtW

s

tAI ..2

..4min

2

==

(8.33)

max 2. . m

T

t Aτ =

2.

4. .m

m

sT

G A tθ =

(8.28) (8.27)

(8.34)

(8.35)

Sección 8.5: Tensiones y deformaciones en piezas de sección cerrada de pequeño espesor

21

Ejemplos 1.-SECCIÓN CIRCULAR DE PEQUEÑO ESPESOR

2.-SECCIÓN RECTANGULAR DE PEQUEÑO ESPESOR

Am

rm t = cte

Fig..8.262

trr

tr

s

tAI

rtAtW

rs

rA

mm

m

m

mt

mmt

mm

mm

...2..2

.)..(4..4

...2..2

..2

.

3222

2min

2

ππ

ππ

ππ

===

==

==

Am

bm

hm

t1

t2

12

222

1min

.2.2

..4..4

...2..2

.2.2

.

t

h

t

bhb

t

stA

I

hbtAtW

hbs

hbA

mm

mm

i

i

mt

mmmt

mmm

mmm

+==

==+=

=

∑

Fig..8.272

Tema 8: Torsión

22

5.5-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS METÁLICAS SOLICITADAS A TORSIÓN (Normativa DB-SE-A) RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A TORSIÓN El esfuerzo torsor T de cualquier sección puede dividirse en dos componentes: siendo: Tt : componente correspondiente a la torsión uniforme Tw : componente correspondiente a la torsión de alabeo

• En las piezas de secciones macizas de gran espesor o en las cerradas de pequeño espesor puede despreciarse la componente Tw, con lo cual: T = Tt

• En las piezas de secciones abiertas de pequeño espesor puede despreciarse la

componente de torsión uniforme Tt, con lo cual: T = Tw La comprobación a resistencia puede realizarse de acuerdo a la expresión de Von Misses Observación: En esta asignatura tal y como dijimos anteriormente, tan sólo dimensionaremos, en el caso de la Torsión, con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor Criterio de dimensionamiento de Von Misses:

Se calcularán las tensiones cortantes debidas a Tt y las tensiones normales y cortantes debidas a Tw. Con los valores obtenidos de todas estas tensiones se introducirán en la fórmula de Von Misses.

t wT T T= +

*2 *23.co ydfσ σ τ= + ≤

(8.36)