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1

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Control de un proceso en bucle cerrado:

Para poder aplicar el controlador adecuado necesitamos saber cómo se comporta el proceso a lo largo del tiempo.

Cualquier proceso se puede identificar matemáticamente mediante una o varias ecuaciones diferenciales.

Función de transferencia: Relación que existe entre la entrada y salida del proceso.

Transformada de Laplace: Proceso matemático por el cual es posible convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones matemáticas que son más fáciles de manejar.

Controlador e v

Proceso

M

PC

Medida

Propiedades de la transformada de Laplace: La transformada de una función del tiempo f(t) se convierte en una función de la 

variable s, F(s). La transformada de la suma o resta de varias funciones del tiempo es la suma o 

resta de las transformadas. La transformada del producto de una constante por una función de t es el 

producto de dicha constante por la transformada. La transformada de la derivada enésima de una función f(t) es  sn veces la 

transformada de f(t). La transformada de la integral de la función f(t) es 1/s veces la transformada de 

f(t). Transformadas:

Impulso: 1 Escalón unidad: 1/s Rampa: 1/s2

Teorema del valor final:

sFslimtflim0st

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Diagramas de bloques: Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y 

unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.

Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.

Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. 

El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único

sX sY sG

Variable de entrada Variable de salida

Diagramas de bloques en bucle cerrado:

G(s)+‐

H(s)

R(s) E(s) C(s)

B(s)

Función de transferencia en bucle abierto G(s)H(s)E(s)

B(s)

Función de transferencia trayectoria directa G(s)E(s)

C(s)

Función de transferencia en bucle cerrado G(s)H(s)1

G(s)

R(s)

C(s)

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Régimen transitorio y régimen estacionario:

Sistema contínuox(t) y(t)

x(t)

t

y(t)

t

Régimen transitorio

(t 0)

Régimen estacionario:salida acotada en un pequeño margen

(t )

Grados de estabilidad relativa:x(t)

t

y(t)

t

Estable

x(t)

t

y(t)

t

Estable

x(t)

t

y(t)

t

Críticamente estable

x(t)

t

y(t)

t

Inestable

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Especificaciones de funcionamiento para la salida:

y(t)

K1,05K

0,95K

Tiempo de establecimiento

Sobreoscilación

t

x(t)

t

Error de posición

Régimen transitorio

Régimen estacionario

Respuesta B

Respuesta A

B es más estable que A

Influencia en la respuesta transitoria de la situación de polos y ceros: El comportamiento de un sistema viene dado por la función de 

transferencia:

‐zi. Ceros de la función de transferencia. ‐pi. Polos de la función de transferencia. Con realimentación H(s):

Igualando a cero el denominador se tiene la ecuación característica cuyas raíces son los polos de la función de transferencia en bucle cerrado.

Los ceros son las raíces del numerador. Los ceros y polos pueden ser reales o parejas de números complejos conjugados.

Condición de estabilidad: los polos han de estar situados en el semiplano complejo que comprende la parte real negativa.

n

1ii

m

1ii

n1n2n

21n

1n

0

m1m2m

21m

1m

0

ps

zsK

asa...sasasa

bsb...sbsbsb

sX

sYsG

sHsG1

sGsGbc

sX sY sG

GC(s)=1 G(s)+

-

X(s) E(s) U(s) Y(s)

H(s)

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Calcular los polos y ceros de la siguiente función de transferencia en bucle cerrado y determinar la estabilidad del sistema:

j

21

21

sj21

21

s

1

1s22s

1sG

2bc

Influencia en la respuesta transitoria de la situación de polos y ceros:

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Sistemas de primer orden La ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del 

sistema es una ecuación de primer orden.

Función de transferencia:

K. Ganancia del sistema (factor de amplificación entre salida‐entrada)

τ. Constante de tiempo. Nos da una idea de lo rápido o lento que es el sistema en responder. A mayor valor, más lento es el sistema.

SALIDA SISTEMA

ENTRADA txctybdt

tdya

tx ty

1τs

K

bas

c

sX

sYsG

Sistemas de primer orden Respuesta ante entrada escalón de x 

unidades:

El régimen permanente tiende a Kx.

T>5τ. Régimen permanente.Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final. Se suele usar el criterio del 95% (5τ)

Cálculo de τ. 

t/τe1Kxtys

x

1τs

KsY

Kx632,0e1Kxτy τ/τ

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Modelo de un motor de corriente continua controlado por inducido: Modelo de un sistema de accionamiento: relaciona las órdenes de mando

generadas en la unidad de control con las fuerzas y pares utilizados para producir el movimiento

p 1 2 m

i i 2 p b T 1 2 m

p 1 2 mm

i i 2 p b T 1 2 m

k k ks k

u s R k k Js B k k k k k T s 1

ˆk k k Js Bs T s 1k̂

u s R k k Js B k k k k k T s 1

Sistemas de segundo orden La ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del 

mismo es una ecuación de segundo orden.

Función de transferencia:

SALIDA SISTEMA

ENTRADA txetycdt

tdyb

dt

tyda

2

tx ty

jωσsjωσs

Kω

ωsξω2s

Kω

cbsas

e

sX

sYsG

dd

2n

2nn

2

2n

2

2ac

ba

cω

c

eK

n

jωσjξ1ωξωs

0ωsξω2s

d2

nn12

2nn

2

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Sistemas de segundo orden K. Ganancia del sistema en estado estacionario. y=K.x.

ωn. Frecuencia natural no amortiguada. Si no existiera amortiguamiento el sistema oscilaría con esta frecuencia.

ξ. Coeficiente de amortiguamiento. Mide la estabilidad relativa.

σ. Factor de decrecimiento. 

Im(s)

Re(s)

s2

s1

-σ

ωd j

-ωd j

cos =ζ

ωn

jωσsjωσs

Kω

ωsξω2s

Kω

cbsas

e

sX

sYsG

dd

2n

2nn

2

2n

2

jωσjξ1ωξωs

0ωsξω2s

d2

nn12

2nn

2

Amortiguamiento cero, ξ = 0 Se tiene un sistema no amortiguado.

En este caso la salida es: tcosω-1Kty n

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Amortiguamiento unidad, ξ = 1 Se tiene un sistema críticamente amortiguado.

En este caso la salida es: tω1e-1Kty nt-ωn

Amortiguamiento mayor que la unidad, ξ > 1 Se tiene un sistema sobreamortiguado.

En este caso la salida es: Dt-ωBt-ω nn CeAe-1Kty

1ξξD

1ξ2

1ξξC

1ξξB

1ξ2

1ξξA

2

2

2

2

2

2

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Amortiguamiento menor que la unidad, 0 < ξ < 1 Se tiene un sistema subamortiguado.

En este caso la salida es:

tξ1ωsin

ξ1

ξtξ1ωcose-1Kty 2

n2

2n

tξω- n

y(t)

K

0,9K

0,1K

1,05K

0,95K

tr

tp

ts

Mpyp

t

100eM

σ

πt

ω

πt

ξ

ξ1arctgα,

ω

απt

dω

πσ

p

s

dp

2

dr

Especificaciones

Ubicación polos

jωσs de

Respuestas dependiendo del coeficiente de amortiguamiento.

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Polos dominantes: En los sistemas de orden superior, alguno o algunos de los polos se 

encuentran más cerca del eje imaginario. A dichos polos se les llama polos dominantes porque determinan en mayor medida el comportamiento y respuesta del sistema.

Ejemplo. Dada la siguiente función de transferencia, calcular el sistema de segundo orden equivalente:

Presenta los siguientes polos en bucle cerrado:

El sistema de segundo orden equivalente será:

13670s87s18ss

136G(s)

234

Polos dominantes de lazo cerrado

-9.1543 -8.3369

-0.2544+1.3105i-0.2544-1.3105i

Sus efectos son de corta duración (se desprecian)

-0.2500 + 1.2400i -0.2500 - 1.2400i Polos de lazo cerrado

1.60.5ss

1.6G(s)

2

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Si en régimen permanente la salida es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario, este error depende del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de transferencia en bucle abierto) y de la señal de entrada. 

Error en régimen estacionario: Se clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entradas escalón, 

rampa, parabólicas y otras.

Las entradas reales se suelen considerar como una combinación de ellas. 

Los valores de los errores estacionarios debidos a esas entradas individuales son indicativos del desempeño del sistema. 

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Considérese la siguiente función de transferencia en bucle abierto:

El esquema de clasificación está basado en la cantidad de integraciones indicadas por la función de transferencia de lazo abierto (es decir el valor de N en sN)   Si N=0, el sistema se denomina tipo cero.

Si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y así sucesivamente.

Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema.

Al aumentar el número del tipo, disminuye el error en régimen estacionario.

Al disminuir el número del tipo, empeora el problema de estabilidad.

1)s(T1)s1)(Ts(Ts

1)s(T1)s1)(TsK(TG(s)H(s)

p21N

mba

Considérese el siguiente sistema en bucle cerrado:

La señal de error E(s) en Laplace es:

Utilizando el teorema del valor final podemos encontrar el valor final de la señal de error:

Se observa que el valor del error depende tanto del sistema como de la entrada. 

G(s)+‐

H(s)

R(s) E(s) C(s)

B(s)

R(s)G(s)H(s)1

1E(s)

G(s)H(s)1

sR(s)limsE(s)lime(t)lime

0s0stes

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El error estacionario del sistema, para una entrada escalón unitario (error en posición) es:

Constante de error en posición Kp:

Para un sistema tipo 0:

Para un sistema tipo 1 o superior:

P0s

es K1

1

G(0)H(0)1

1

s

1

G(s)H(s)1

slime

G(0)H(0)G(s)H(s)limK0s

P

K1

1eK

1)s1)(Ts(T

1)s1)(TsK(TlimK es

21

ba

0sP

0e1)s1)(Ts(Ts

1)s1)(TsK(TlimK es

21N

ba

0sP

El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria (error en velocidad) es:

Constante de error en velocidad KV:

Para un sistema tipo 0:

Para un sistema tipo 1:

Para un sistema tipo 2 o superior:

sG(s)H(s)limK0s

V

V0s20s

ss K

1

sG(s)H(s)

1lim

s

1

G(s)H(s)1

slime

Ves

21

ba

0sV K

1e0

1)s1)(Ts(T

1)s1)(TssK(TlimK

K

1

K

1eK

1)s1)(Tss(T

1)s1)(TssK(TlimK

Ves

21

ba

0sV

0K

1e

1)s1)(Ts(Ts

1)s1)(TsK(TlimK

Ves

21N

ba

0sV

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Resumen:

Error en estado estacionario en términos de la ganancia K

1r(t) tr(t) 2tr(t) Entrada escalón Entrada rampa Entrada aceleración

Sistema tipo 0

Sistema tipo 1

Sistema tipo 2

K1

1

0K

1

0 0K

2

Tema 2. Análisis de sistemas.