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ESTADÍSTICA I
Tema VIII 299
TEMA VII. VARIABLE ALEATORIA. CLASIFICACIÓN Y
CARACTERISTICAS
VII.1.- Variable aleatoria. Clasificación.
VII.1.1.- Introducción.
VII.1.2.- Definición.
VII.1.3.- Clasificación.
VII.2.- Caracterización de una variable aleatoria.
VII.2.1.- Función de distribución.
VII.2.1.1.- Definición.
VII.2.1.2.- Propiedades.
VII.2.2.- Variable aleatoria discreta: Función de
cuantía.
VII.2.3.- Variable aleatoria continua: Función de
densidad.
VII.3.- Un acercamiento a la Variable aleatoria bi-
dimensional.
¡Error! Marcador no definido.
VII.4.- Características de una variable aleatoria.
VII.4.1.- El operador esperanza matemática.
VII.4.2.- Algunos casos de especial relevancia.
Media de una variable aleatoria.
Varianza de una variable aleatoria.
VII.5.- La variable aleatoria tipificada.
VII.6.- El teorema de Tchebycheff.
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 300
VII.1.- Variable aleatoria. Clasificación.
VII.1.1.- Introducción. El objeto de este tema es definir el concepto de variable
aleatoria, y demostrar algunos teoremas característicos que
cumplen dichas variables.
Una variable aleatoria no es más que una transformación que
te permite pasar de estar trabajando en el campo del
experimento, a abstraerlo y trabajar en el campo o conjunto
de números reales.
Veamos un ejemplo. Partamos que estamos trabajando con un
experimento que consiste en lanzar una moneda dos veces.
Los posibles resultados del experimento son:
(c,c) (c,+) (+,c) (+,+),
y por tanto el espacio muestral asociado vendrá dado por
W={(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)}
Hasta ahora estamos trabajando con los resultados del
experimento. Si ahora definimos una variable como "n� de
caras que salen al lanzar una moneda al aire dos veces",
que denotaremos por X, podrán salir 0 caras, 1 cara ó 2
caras. Es una variable por que puede tomar distintos
valores y será aleatoria ya que los valores que toma los
toma en función del azar.
Obsérvese que en este momento podemos establecer una
relación entre los posibles resultados del experimento, los
cuales definen W, y el conjunto de valores que puede tomar
la variable X. De esta manera establecemos la siguiente
relación:
Resultado (c,c) de W implica que X=2
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 301
Resultado (c,+) de W implica que X=1
Resultado (+,c) de W implica que X=1
Resultado (c,+) de W implica que X=1
Resultado (+,+) de W implica que X=0
Es decir, que de estar trabajando en el espacio de los
resultados del experimento ahora estamos trabajando con los
resultados {0,1,2}.
A la función que te permite pasar de los resultados del
experimento al conjunto {0,1,2} se le denomina variable
aleatoria. Es una variable aleatoria porque puede salir
{0,1,2} aleatoriamente dependiendo del resultado del
experimento.
VII.1.2.- Definición.
Sea (W,β) un espacio probabilizable, en donde β es una σ-
álgebra de sucesos.
Sea B una σ-álgebra de Borel. Una σ-álgebra de Borel es lo
mismo que una σ-álgebra de sucesos pero en donde los
elementos no son sucesos de un experimento sino que son
subconjuntos de la recta que forman los números reales.
Una variable aleatoria es una aplicación X: W---àR de tal
forma que a cada elemento de A 0 W, se le hace corresponder
un elemento X(A) 0 Β, tal que debe verificar, que para
cualquier I 0 R
β∈∃ (I)X -1
Por tanto lo que hace la variable aleatoria es permitirnos
pasar de un espacio probabilizable (W,β) al espacio
probabilizable (R,B).
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 302
Pasamos ahora a definir la probabilidad en este nuevo
espacio {R,B):
Es decir, la probabilidad de X es la misma que la
probabilidad del suceso que ha dado lugar al valor de X
desde W.
Por lo tanto, a través de la variable aleatoria pasamos de
un espacio probabilístico {W,β,P} a otro {R,B,P'}.
Veamos un ejemplo a partir del lanzamiento de las dos
monedas. En base a los resultados del ejemplo anterior,
tenemos:
A X(A)
(c,c) ---6 2
(c,+) ---6 1
(+,c) ---6 1
(c,+) ---6 0
en consecuencia, las probabilidades vendrán dadas por
P(A) P'[X(A)]
1/4 ----- 1/4 = P'(2)
1/4 1/2 = P'(1)
1/4
1/4 ----- 1/4 = P'(0)
Por tanto, X = “Número de caras al lanzar dos monedas al
aire es una variable aleatoria que puede tomar tres
valores, {0,1,2} siendo la probabilidad de que la variable
X tome el valor cero igual a la probabilidad de que salga
el suceso {+,+}, que como ya hemos visto vale 0.25; la
probabilidad de que tome el valor 1 la probabilidad es 0.5,
puesto que para que tome el valor 1 pueden salir los
sucesos {c,+} o {+,c} y la probabilidad en W de que salga
uno u otro es igual a 0.5; y, por último, la probabilidad
[X(A)]P=P(A)---A ′→∈∀ β
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 303
de que la variable X tome el valor 2 es la misma que para
que salga el suceso {c,c} en W, y vale 0.25.
Debemos de resaltar que a partir de ahora nosotros ya
podemos estudiar variables aleatorias sin tener en cuenta
el experimento del cual proceden. Así mismo, es conveniente
que a partir de este instante el alumno tenga presente los
conceptos estudiados en el ámbito de la variable
estadística puesto que ello le permitirá entender más
fácilmente lo que es y como se estudian las variables
aleatorias. En este sentido, un buen punto de partida es
asimilar el estudio de una variable estadística junto con
su frecuencia relativa (distribución de frecuencias), con
el estudio de una variable aleatoria con sus probabilidades
asociadas. Es decir utilizar la definición frecuencialista
y asociar la frecuencia relativa con la probabilidad.
Tal y como se hizo al estudiar las variables estadísticas,
una vez definidas, se clasificaron las mismas en variables
estadísticas discretas y continuas. Esto mismo haremos con
las variables aleatorias.
VII.1.3.- Clasificación. Las variables aleatoria se pueden clasificar en:
A) Variable aleatoria discreta: Se dice que X es una
variable aleatoria discreta cuando el conjunto de todos los
valores que puede tomar la variable es finito o infinito
numerable. Por ejemplo, X= "n� de caras al lanzar una
moneda al aire", solo puede tomar valores los valores
{0,1}, por tanto, X es una variable aleatoria discreta.
B) Variable aleatoria continua: se dice que X es una
variable aleatoria continua cuando el conjunto de todos los
valores que puede tomar la variable es infinito. Por
ejemplo, X= "peso de los alumnos de 2� de empresariales".
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 304
VII.2.- Caracterización de una variable aleatoria.
Cuando se caracterizaron las variables estadísticas se
definieron la función de distribución y la función de
cuantía para las variables estadísticas discretas y la
función de distribución y la función de densidad para las
variables estadísticas continuas. Para la caracterización
de las variables aleatorias la estructura de trabajo es la
misma. La diferencia que nos encontraremos serán
básicamente dos: en primer lugar, en vez de trabajar con
frecuencias absolutas o relativas, trabajaremos con las
probabilidades; y, en segundo lugar, para el tratamiento de
las variables aleatorias continuas, dejaremos de utilizar
las marcas de clase y operaremos con las integrales.
VII.2.1.- Función de distribución.
VII.2.1.1.- Definición.
Sea X una variable aleatoria definida sobre el espacio
{R,B,P'} asociado al espacio probabilístico {W,β,P},
llamamos función de distribución de la variable aleatoria X
a la función:
x]P[X=F(x)----Rx
R----R:F(x)
≤→∈
→
Como se puede observar, a cada X 0 R se le hace
corresponder un F(x) que por definición es igual a la
probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual
que el valor observado. La definición coincide exactamente
con la realizada para el caso de una variable estadística
sustituyendo la frecuencia relativa por la probabilidad.
Gráficamente la función de distribución para una variable
aleatoria discreta tiene la forma escalonada tal y como
vimos cuando se estudio la variable estadística.
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 305
Volvamos al ejemplo del lanzamiento de las dos monedas. En
base a los resultados ya alcanzados podemos definir la
función de distribución de la variable X “número de caras
al lanzar dos monedas como:
≥<≤
<≤
<
=
21
2175.0
1025.0
00
)(
xsi
xsi
xsi
xsi
XF
Gráficamente sería:
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 306
representación idéntica a la realizada para el caso de una
variable estadística discreta.
VII.2.1.2.- Propiedades.
Las propiedades de la función de distribución son las
mismas que para el caso de una variable estadística.
1�) 0 # F(x) # 1
Demostración: Es evidente, pues F(x)=P(X#x), y P(X#x) por
la definición de probabilidad está definida entre [0,1].
2�) Si x1 < x2, entonces F(x1) < F(x2).
3�)
1=(x)F xx
Lim∞→
4�)
0=(x)F x-x
Lim∞→
5�) Sean a, b 0 R y a < b; entonces se cumple
P(a < X # b)= F(b) - F(a)
6�) P(X > x) = 1 - F(x), para cualquier x 0 R.
VII.2.2.- Variable aleatoria discreta: Función de cuantía.
Recordemos que una variable aleatoria X es discreta si el
conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
es finito o infinito numerable.
Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar k
valores. Llamamos función de cuantía de la variable
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 307
aleatoria X, y la denotamos por f(x), a la función:
=≠
====∈∀→−−−
},..,2,1{,0
},..,2,1{,)()(,,:
kixxsi
kixxsixXPxfRxRRf
i
ii
Gráficamente sería:
Como se puede ver, sigue coincidiendo con lo que hemos
estudiado para el caso de variable estadística.
En consecuencia, las propiedades de la función de cuantía
ya nos son conocidas.
1�)
1=f(x)∑
Demostración:
1=0+]x=p[X
k].,)[r_1,2,..xf(+k]1,2,...,=)[rxf(=f(x)Si
r
k
1=r
rr
k
1=r
∑
∑ ∑∑
2�)
i1,2,..,=rpara )xf(=x]P[X=)xF( r
i
1=rr ∑≤
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 308
Ejemplo: Del conjunto de números {1,2,3,4,5,6} se elige un
grupo de tres números y se obtiene la suma de dichos
números, no importando el orden. El espacio muestral será
W={123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234,
235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456}. Definimos la
variable aleatoria X = "suma de los dígitos de cada número"
que genera los números X={15,14,13,12,11,10,9,8,7,6} como
únicos valores de la variable aleatoria X:"Suma de los
números elegidos".
Tenemos, pues
X(123)=6
X(124)=7
X(125)=X(134)=8
X(135)=X(234)=X(126)=9
X(145)=X(136)=X(235)=10
X(146)=X(236)=X(245)=11
X(156)=X(246)=X(354)=12
X(256)=X(346)=13
X(356)=14
X(456)=15
La función de cuantía puede ser expresada en la tabla:
¡Err
or!
Marc
ador
no
defi
nido
. x
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
f(x) 1/20 1/20 2/20 3/20 3/20 3/20 3/20 2/20 1/20 1/20
Gráficamente la función de cuantía viene dada por
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 309
La función de distribución será:
¡Error
!
Marcad
or no
defini
do.x
6 7 8 9 10 11 12 13 14
F(x) 1/20 2/20 4/20 7/20 10/20 13/20 16/20 18/20 19/20
1
Cuya gráfica es
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 310
VII.2.3.- Variable aleatoria continua. Función de densidad.
Para el caso de la variable aleatoria continua es en donde
se producen los cambios más importantes, no en el
contenido, sino en la forma de trabajar ya que se
introducen las derivadas y las integrales.
Diremos que una variable aleatoria X es continua, (o
absolutamente continua), si existe una función F: R ---> R
que verifica:
Rx f(x)dx;=F(x) x- ∈∀∫ ∞
y que cumpla:
F(x)dxd
=f(x)
en donde F(x) es la función de distribución. En este caso,
decimos que f(x) es función de densidad de una variable
aleatoria continua. Obsérvese, que la función de densidad
es la derivada de la función de distribución. Recordemos
que la derivada de una función nos da el valor del
incremento de la función partido por el tamaño del
intervalo cuando el intervalo tiende a cero. Es decir,
aplicado a la función de distribución, nos da la densidad
de probabilidad. Por tanto, lo mismo conceptualmente que
para el caso de variable estadística, en donde la función
de densidad era el cociente entre la frecuencia relativa y
la amplitud de la clase.
- Si f(x) es continua salvo en un número finito de puntos,
entonces diremos que la variable aleatoria X es continua.
- Si f(x) es continua en todo R, entonces diremos que la
variable aleatoria X es absolutamente continua.
Algunas de las propiedades que presenta la función de
densidad son las siguientes:
1�)
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 311
)F(--F(x)=f(x)dxx- ∞∫ ∞
y se cumple que:
f(x)dx=x)P(X=F(x) x-∫≤ ∞
2�)
f(x)dx=F(a)-F(b)=b)X<P(a ba∫≤
Además por ser F(x) continua siempre, P(X=x)=0 y entonces
f(t)dt=b)<XP(a=b)X<P(a=b)<x<P(a ba∫≤≤
3ª) P(X<x)=P(X#x)=F(x)
4ª) P(X$x)=P(X>x)=1-F(x)
Veamos un ejemplo. Tenemos la siguiente función :
restoeninclusive ambos 1,y 0 entredefinida xK =f(x) 2 __0,
Se pide: a) determinar K para que sea función de densidad,
b) obtener la función de distribución.
a) Para que sea función de densidad:
1=dxxk 210∫
3=K tanto lopor 1=3k
=]3x[k=dxkx
10
321
0∫
La función de densidad será:
≤≤
=resto
xsixxf
0
103)(
2
La función de distribución la determinamos de la forma
siguiente:
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 312
Por lo lato la función de distribución será:
>
≤≤
≤
=
11
10
00
)( 3
xsi
xsix
xsi
xF
Problemas.
1.- Sea la siguiente función de cuantía, donde X es "suma
de los dígitos al lanzar dos dados al aire":
¡Error
!
Marcad
or no
defini
do. X
P(X=x)
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
f(x)=F(x)dxd
que cumpley x=]x[=dxx3 3x0
32x0∫
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 313
9 4/36
10 3/36
11 2/36
12 1/36
Se pide determinar :
1.- � es función de cuantía?.
2.- Hallar la función de distribución. Representarla.
3.- Demostrar que se cumple P(X > x) = 1 - F(x), para
cualquier x 0 R.
2.- Tenemos la siguiente función:
f(X)= K(X2 + X) definida entre 0 y 1.
- Determinar k para que sea función de densidad.
- Hallar la función de distribución.
3.- La función de distribución de una variable aleatoria
definida entre 0 y 1 es la siguiente:
X1
= F(X)
Se pide determinar la función de densidad.
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 314
VII.3.- Un acercamiento a la variable aleatoria bidimensional.
ESTADÍSTICA I
Tema VIII 315
VII.3.1.- Variable aleatoria bi-dimensional.
A veces, el estudio de una sola variable aleatoria es
insuficiente para el objetivo que nos hemos propuesto, y se
hace necesario estudiar conjuntamente más de una variable
aleatoria. En este caso, estaremos trabajando con dos, tres
o n variables o caracteres cuantitativos, de la misma
manera que lo hicimos para el caso de variables
estadísticas.
Por ejemplo, si queremos estudiar la relación existente
entre la temperatura y la cantidad de agua de lluvia, vemos
que el suceso “un día extraído al azar dio como resultado
una temperatura de 35 grados y una cantidad de lluvia
obtenida de 0 litros” no puede expresarse mediante un único
número, puesto que conjuntamente nos interesan dos
características, y el resultado son dos números. Es decir,
es un elemento del espacio bidimensional.
Por tanto, en este caso es necesario considerar dos
variables aleatorias, una para la temperatura y otra para
la cantidad de lluvia, que generarán un espacio de
probabilidad en R2.
El ejemplo lo podemos generalizar sin ninguna dificultad a
el espacio Rn. Un repaso al tema III permitirá al alumno
tener una idea más clara de las variables bi-dimensionales.
Definición.
Para expresar correctamente ciertos sucesos relacionados
con experimentos aleatorios como subconjuntos de los
números reales, es necesario recurrir a aplicaciones que
transformen los resultados de un espacio muestral ω en
puntos del espacio R2, es decir, es necesario utilizar
variables aleatorias con 2 componentes, que también pueden
denominarse “vectores aleatorios”.
Variables aleatorias bi-dimensionales
Tema VIII 316
Formalicemos el concepto de variable aleatoria bi-
dimensional.
Si X e Y son variables aleatorias en R sobre el par {ω,ß},
entonces Z=(X,Y) es una variable aleatoria en R2 sobre el
par
{ω,ß}.
Es decir, sea (ω,ß) un espacio probabilizable y sean X e Y
dos variables aleatorias tales que:
X: ω 6 R Y: ω 6 R
A 0 ω 6 X(A) 0 R C 0 ω 6 Y(C) 0
R
entonces:
Z=(X,Y): ω 6 R2
(A,C) 0 ω 6 Z(A,C)=[X(A),Y(C)] 0 R2
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 284
Clasificación.
Al igual que para las variables aleatorias uni-
dimensionales, para las bi-dimensionales tenemos también
que distinguir entre:
A.- Variables aleatorias bi-dimensionales discretas: (X,Y)
es una variable aleatoria bi-dimensional discreta si los
valores posibles de (X,Y) son finitos o infinitos
numerables.
Es decir, los valores posibles de (X,Y) se pueden
representar como (Xi,Yj), tal que i={1,2,...,k},
j={1,2,...,p}.
B.- Variables aleatorias bi-dimensionales continuas: (X,Y)
es una variable aleatoria bi-dimensional continua si puede
tomar todos los valores posibles dentro de un par de
valores dado.
VII.3.2.- Caracterización de una variable aleatoria bi-
dimensional.
Supongamos que queremos estudiar un experimento aleatorio
mediante una variable aleatoria bi-dimensional Z=(X,Y). Si
lo que pretendemos es estudiar las probabilidades de los
sucesos en función de sólo una de las variables aleatorias:
(por ejemplo X > a ó a < Y # b), nos bastaría con conocer
las funciones de distribución de las variables aleatorias X
e Y de la forma ya vista en el tema anterior. Pero si lo
que pretendemos es tener en cuenta la interacción entre las
dos componentes del vector aleatorio; es decir, entre X e
Y, será necesario disponer de una función conjunta de ambas
variables aleatorias.
ESTADÍSTICA
Tema VII 285
Función de distribución.
Dada una variable aleatoria bidimensional (X,Y), llamaremos
función de distribución de dicha variable a la función
definida en R2 que toma valores en R definida como:
F(x,y)=P(X # x ,Y # y)
Como se puede observar, la función de distribución bi-
dimensional nos da la probabilidad de que la variable tome
un valor igual o inferior al par (x,y), en donde x e y son
dos valores de X e Y respectivamente.
Variable aleatoria discreta: Función de cuantía.
Sean X,Y dos variables aleatorias. Se define la función de
probabilidad conjunta o función de cuantía conjunta como
una aplicación de R2 en R tal que a cada uno de los
resultados posibles (x,y) 0 R2 se le asocia un número pij,
tal que:
pij= P(X = xi;Y = yj)
Es decir:
pij: R2 6 R
(x,y) 0 R2 6 pij= P(X = xi;Y = yj) 0 R
A partir de esta función de probabilidad obtenemos una
tabla de doble entrada formada por todos los pares de
valores que toma la variable junto con su probabilidad
asociada:
¡Error!
Marcado
y1 y2 y3 ... yp p(xi)
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 286
X1 p11 p12 p13 ... p1p p(x1)
X2 p21 p22 p23 ... p2p p(x2)
X3 p31 p32 p33 ... p3p p(x3)
... ... ... ... ... ... ...
Xk pk1 pk2 pk3 ... pkp p(xk)
p(yj) p(y1) p(y2) p(y3) ...
p(yp)
El alumno debe repasar el tema III y comparar la tabla de
doble entrada de las variables estadísticas discretas y la
tabla anterior. Como podrá dase cuenta, la función que la
frecuencia relativa conjunta desempeña en las variables
estadísticas bi-dimensionales, lo desempeñan las las
probabilidades conjuntas en las variables aleatorias.
Variable aleatoria continua: Función de densidad.
Llamaremos función de densidad de una variable aleatoria
continua, y la denotaremos por f(x,y) a aquella función que
cumple
ldimensionabi óndistribuci de funciónla es y) F(x,donde −
∫∫ ∞∞
y)dxdyf(x, =y)F(x, y
-
x
-
Es decir,
f(x,y): R2 6 R
(x,y) 0 R2 6 f(x,y) 0 R
y, por tanto, f(x,y) es la derivada con respecto a x e y de
ESTADÍSTICA
Tema VII 287
la función de distribución.
VII.3.3.- Distribuciones marginales y condicionadas.
A partir de una variable aleatoria bi-dimensional puede
interesarnos estudiar cada una de las características que
la componen por separado. Es decir, conociendo la
distribución conjunta de la variable (X,Y) conocer las
distribuciones uni-dimensionales de X e Y por separado.
Distribuciones marginales.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Sea (X,Y) una variable aleatoria bi-dimensional discreta,
con distribución de probabilidad dada por la siguiente
tabla bi-dimensional:
¡Error!
Marcado
y1 y2 y3 ... yp p(xi)
x1 p11 p12 p13 ... p1p p(x1)
x2 p21 p22 p23 ... p2p p(x2)
x3 p31 p32 p33 ... p3p p(x3)
... ... ... ... ... ... ...
y)f(x,=yx
y)F(x,2
∂∂∂
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 288
xk pk1 pk2 pk3 ... pkp p(xk)
p(yj) p(y1) p(y2) p(y3) ...
p(yp)
Llamaremos distribución marginal de X a aquella variable
aleatoria uni-dimensional que tiene las mismas modalidades
que X con unas probabilidades dadas por
k1,2,...,=i p=)xp( ij
p
1=ji ∑
Llamaremos distribución marginal de Y a aquella variable
aleatoria uni-dimensional que tiene las mismas modalidades
de Y con unas probabilidades dadas por
p1,2,...,=j p=)yp( ij
k
1=ij ∑
A partir de la información anterior, es inmediato calcular
la función de cuantía de las distribuciones marginales,
puesto que son uni-dimensionales, así como las respectivas
funciones de distribución de las distribuciones marginales.
Función de distribución de la marginal de X
)xp(=) < Yx; P(X=(x)F ixx
1
i
∑≤
∞≤
Función de distribución de la marginal de Y
)yp(=y) Y; < P(X=(y)F jyy
2
j
∑≤
≤∞
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Llamaremos variable aleatoria marginal de X a aquella
variable aleatoria cuya función de densidad se obtiene como
ESTADÍSTICA
Tema VII 289
De igual manera, llamaremos variable aleatoria marginal de
Y a aquella variable cuya función de densidad se obtiene
como
De forma similar podemos definir las variables aleatorias
marginales mediante el uso de las funciones de
distribución.
Llamaremos variable aleatoria marginal de X a aquella cuya
función de distribución se obtiene como
O, para Y,
Distribuciones condicionadas
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con
distribución de probabilidad pij (i=
1,2,...,k)(j=1,2,...,p) y con distribuciones marginales:
y)dyf(x, =(x)f -1 ∫∞∞
y)dxf(x,=(y)f -2 ∫∞∞
(x)dxf=y)dxdyf(x, =(x)F 1x--
x-1 ∫∫∫ ∞
∞∞∞
(y)dyf=y)dxdyf(x, =(y)F 2y-
y--2 ∫∫∫ ∞∞
∞∞
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 290
La probabilidad condicionada del valor X=xi al valor de
Y=yj se define como:
De forma similar, la probabilidad condicionada del valor
Y=yj al valor de X=xi se define como:
De las anteriores expresiones podemos obtener las
siguientes distribuciones:
X p(xi/yj) �������������������� x1 p(x1/yj) x2 p(x2/yj) . . . . . . xi p(xi/yj)
py
p=)xp(
ij
k
1=ij
ij
p
1=ji
=)p(
∑
∑
)yp(
p=
)y=P(Y
)y=Y;x=P(X
=)y=/Yx=P(X=)y/xP(
j
ij
j
ji
jiji
)xp(
p=
)x=P(X
)y=Y;x=P(X
=)x=/Xy=P(Y=)x/yP(
i
ij
i
ji
ijij
ESTADÍSTICA
Tema VII 291
. . . . . . xk p(xk/yj) �����������
Σ = 1
Y p(yj/xi)
�������������������� Y1 p(y1/xi) Y2 p(y2/xi) . . . . . . Yj p(yj/xi) . . . . . . Yp p(yp/xi) �����������
Σ = 1
En términos de funciones de distribución podemos expresar
)y/xp(=F(x/y) jixxi
∑≤
como la función de distribución de la variable aleatoria de
X condicionada por el valor yj de Y. Y
1=)y/xp( ji
k
1=i∑
1=)x/yp( ij
p
1=j∑
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 292
como la función de distribución de la variable aleatoria Y
condicionada por el valor xi de X.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Llamaremos distribución condicionada de X condicionada por
Y a aquella variable aleatoria cuya función de densidad se
obtiene de la siguiente manera
en donde f(x,y) es la función de densidad conjunta y f2(y)
es la función de densidad de la marginal de Y.
De igual forma podemos definir la distribución de Y
condicionada por X.
En términos de la función de distribución, la distribución
condicionada de X condicionada por Y se obtiene como
Y para la condicionada de Y condicionada por X,
)x/yp(=F(y/x) ijyy j
∑≤
(y)f
y)f(x,=
dxdF(x/y)
=f(x/y)2
(x)f
y)f(x,=
dydF(y/x)
=f(y/x)1
(y)F
y)F(x,=y) = x/Y P(X=F(x/y)
2
≤
ESTADÍSTICA
Tema VII 293
Con las distribuciones marginales y condicionadas se
trabaja de idéntica forma que con las variables aleatorias
uni-dimensionales, ya que, de hecho, son uni-dimensionales.
VII.3.4.- Dependencia e independencia estadística.
Sea (X,Y) una variable aleatoria con función de
distribución F(x,y), siendo F1(x) y F2(y) las funciones de
distribución marginales de X e Y, respectivamente, decimos
que X e Y son variables aleatorias independientes si y sólo
si:
Ry)(x, (y)F*(x)F=y)F(x, 221 ∈∀
o también:
1.-Variables aleatorias discretas:
)y,x( )yp(*)xp(=)y=Y;x=P(X=p jijijiij ∀
2.-Variables aleatorias continuas:
Ry)(x, (y)f*(x)f=y)f(x, 221 ∈∀
Por otra parte, si dos variables son independientes, se
cumple:
Para variables aleatorias discretas
*.- p(xi/yj) = p(xi)
*.- p(yj/xi) = p(yj)
Para variables aleatorias continuas:
*.- f(x/y) = f1(x)
*.- f(y/x) = f2(y)
Para ambas:
(x)F
y)F(x,=x) = y/X P(Y=F(y/x)
1
≤
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 294
*.- F(x/y) = F1(x)
*.- F(y/x) = F2(y)
EJEMPLO: Dada la siguiente distribución de probabilidad de
la variable aleatoria bi-dimensional (X,Y), estudiar la
existencia de dependencia o no entre dichas variables.
¡Error!
Marcador no
definido.
X / Y
1 2
2 4/12 2/12
8 1/12 1/12
10 1/12 3/12
RESOLUCION
DISTRIBUCION MARGINAL DE X
X p(xi)
������������������������
(1) 2 6/12
(2) 8 2/12
(3) 10 4/12 �����������
Σ = 1 en donde
(1) P(2,1) + P(2,2)= 4/12 + 2/12= 6/12
(2) P(8,1) + P(8,2)= 1/12 + 1/12 = 2/12
(3) P(10,1)+ P(10,2)= 1/12 + 3/12= 4/12
ESTADÍSTICA
Tema VII 295
DISTRIBUCION MARGINAL DE Y
Y p(yj) �����������������������
(1) 1 6/12
(2) 2 6/12 Σ = 1 en donde
(1)P(2,1) + P(8,1) + P(10,1)=4/12 + 1/12 + 1/12= 6/12
(2)P(2,2) + P(8,2) + P(10,2)=2/12 + 1/12 + 3/12= 6/12
CONDICION DE INDEPENDENCIA:
)yp(*)xp(=p
:decir que mismo lo es que
j i, )y=P(Y*)x=P(X=)y=Y;x=P(X
jiij
jiji ∀
Es decir,
Por tanto, las variables X e Y no son independientes.
41
=14436
=126
*126
=)yp(*)xp( 31
=124
=p 1111 ≠
41
=14436
=126
*126
=)yp(*)xp( 61
=122
=p 2112 ≠
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 296
ESTADÍSTICA
Tema VII 297
VII. 4.- CARACTERÍSTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
I
VI.4.1.- El operador esperanza matemática. Propiedades.
VI.4.1.1.- Concepto, definición y propiedades.
Para variables aleatorias, los términos "valor esperado",
"media", "valor medio" o "esperanza" tienen el mismo
significado. Para entender este concepto basta con imaginar
un cuerpo suspendido de una varilla; la esperanza no es más
que aquel valor de la distribución que correspondería al
punto en el que la varilla quedaría equilibrada; es decir,
su "centro de gravedad".
Cuando se habla de "valor medio" de una variable aleatoria
se suele utilizar el término de "esperanza" debido al
carácter de aleatoriedad que encierra.
Definamos formalmente el concepto de esperanza matemática.
Dada una variable aleatoria X y una función g de dicha
variable aleatoria, se define la esperanza matemática y se
representa por E[g(X)], como:
Para variables aleatorias discretas:
)x=)P(Xxg(=)x)p(xg(=E[g(X)] iii
iii
∑∑
en donde p(xi) es la probabilidad de que la variable X tome
el valor xi, es decir, la función de cuantía.
Para variables aleatorias continuas:
g(x)f(x)dx=E[g(X)] -∫∞∞
en donde f(x) es la función de densidad de la variable X.
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMATICA:
1.- Dada una variable aleatoria X, siendo g1(X) y g2(X) dos
funciones de X tales que existen sus esperanzas matemáticas
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 298
E[g1(X)] y E[g2(X)], entonces también existe la esperanza
de la suma de ambas funciones y vale:
(X)]gE[+(X)]gE[=(X)]g+(X)gE[ 2121
2.-Sea K una constante, su esperanza matemática es la
propia constante:
K=E[K]
3.- Dada una variable aleatoria X siendo g(X) una función
de X
y K una constante, se verifica:
4.- Dada una variable aleatoria X siendo g(X) una función
de X y K una constante, se verifica:
5.- Si X e Y son dos variables aleatorias, se cumple:
E[g(X)+g(Y)]= E[g(X)] + E[g(Y)]
6.- Si X e Y son independientes, se verifica:
E[g(X)*g(Y)]= E[g(X)] * E[g(Y)]
VII.4.1.- Algunos casos de especial relevancia.
1.- Media de una variable aleatoria.
Llamaremos media de una variable aleatoria X, y la
denotaremos por µ, a la esperanza de la función g(X)=X. Por
tanto, la media de una variable aleatoria no es más que el
centro de gravedad de la propia variable.
La media para el caso de que X sea una variable discreta
viene dada por
E[g(X)]+K=g(X)]+E[K
E[g(X)]*K=g(X)]*E[K
ESTADÍSTICA
Tema VII 299
)p( xx=E[X]= iii
∑µ
Para el caso continuo la expresión se concretiza en:
Ejemplo. Dada la variable aleatoria X y su distribución de
probabilidad, hallar la esperanza matemática:
¡Error
!
Marcad
or no
defini
do.xi
1 2 4 6 8 10 12
P(xi) 3/12 1/12 1/12 2/12 1/12 3/12 1/12
RESOLUCION:
Ejemplo. Dada una variable aleatoria continua cuya función
de densidad viene dada por:
����
� 0 x < 0
�
f(x)= � 1/2x 0 # x # 2
xf(x)dx=E[X]= -∫∞∞µ
5.9=1271
=121
*12+123
*10+121
*8+122
*6+121
*4+121
*2+1*123
=
=x)xp(=E[X] iii
∑
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 300
�
� 0 x > 2
����
Calcular la esperanza matemática.
RESOLUCION:
2.- Varianza de una variable aleatoria. Propiedades.
Llamaremos varianza de una variable aleatoria X a la
esperanza de la función g(X)=[X-E(X)]2. A la varianza de
una variable la denotaremos por σ2, y su expresión es la
siguiente:
Para variables aleatorias discretas,
.][E(X)-x)xp(=
=]E(X)-x)[xp(=
22ii
i
2ii
i
2
∑
∑σ
en donde p(xi) es la función de cuantía de la variable X.
Como se puede observar, no existe diferencia con el caso de
las variables estadísticas discretas.
Para variables aleatorias continuas,
68
=
=]6x[=)dx
2x(=
=)dx2x
(*x=xf(x)dx=E[X]=
20
322
0
20-
∫
∫∫∞∞µ
ESTADÍSTICA
Tema VII 301
][E(X)-f(x)dxx=
=f(x)dx]E(X)-[x=
22-
2-
2
∫
∫
∞∞
∞∞σ
en donde f(x) es la función de densidad de la variable X.
En ambos casos, discreto y continuo, definimos la
desviación típica como la raíz cuadrada positiva de la
varianza. Esto es,
Para el caso discreto
)xp()-x(+=+= i2
ii
2 µσσ ∑
Para el caso continuo,
PROPIEDADES DE LA VARIANZA:
1.- Sea X una variable aleatoria y K una constante:
2.- Sea K una constante:
3.- Si X e Y son variables aleatorias independientes:
4.- Si X e Y son variables aleatorias independientes:
f(x)dx)-(x+=+= 2-
2 µσσ ∫∞∞
.K=X)*(K 2x
22 σσ
0=(K)2σ
σσσ 2Y
2X
2 +=Y)+(X
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 302
Ejemplo. Calcular la varianza de la siguiente distribución:
xi p(xi) ��������������������������� 1 0.25 2 0.50 3 0.25 ��������������� Σ = 1 RESOLUCION:
¡Error
!
Marcad
or no
defini
do.xi
p(xi) xip(xi) xi-E(X) [xi-E(X)]2 [xi-E(X)]2p(xi)
1 0.25 0.25 -1 1 0.25
2 0.50 1 0 0 0
3 0.25 0.75 1 1 0.25
1 2 0.50
σ2=0.50
Ejemplo. Dada la variable aleatoria X con función de
densidad:
����
� 0 x < 0
σσσ 2Y
2X
2 +=Y)-(X
ESTADÍSTICA
Tema VII 303
�
f(x)= �1/10 0 # x # 10
�
� 0 x > 10
����
calcular la varianza.
RESOLUCION:
325
=25-]30x[=)(5-dx
101
*x=
5=]20x[=dx
101
*x=xf(x)dx=[E(X)]
=][E(X)-f(x)dxx=
100
32210
02
100
210
0-
22-
2
∫
∫∫
∫
∞∞
∞∞
σ
σ
VII.5.- La variable aleatoria tipificada.
Sea X una variable aleatoria con media µ y desviación
típica σ, llamaremos variable aleatoria tipificada de X a
la variable Z definida como:
Podemos demostrar que la media de Z es ceor y su varianza
1.
"La media de la variable tipificada Z es igual a cero"
Demostración:
σ
µ-X=Z
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 304
"La varianza de la variable tipificada Z es igual a uno"
Demostración:
1==]-E[X=
=]-X
E[=]ZE[=]-E[Z=
2
2
2
2
222Z
2Z
σσ
σµ
σµµσ
Ejemplo. Dada la siguiente función de densidad de la
variable aleatoria continua X:
��� �2/9 x x ε (0,3) f(x)= � � 0 restantes valores ��� Calcular la variable tipificada de X.
RESOLUCION:
A.-Cálculo de µ:
0=-
=]E[-E[X]
=]E[-E[X]
=
=]-E[X
=]-X
E[=E[Z]=Z
σµµ
σµ
σµ
σµ
σµµ
σ
µ-X=Z
2=3
0-27*
92
=]3x*
92
[=dxx92
=
=xdx92
*x=f(x)xdx=E[X]=
30
323
0
30-
∫
∫∫∞∞µ
ESTADÍSTICA
Tema VII 305
B.-Cálculo de σ:
C.- X tipificada:
σµ-X
=Z
2+0.71Z=+z*=x µσ
2.82=0.71
2-0= Z0;=xSi -1. _
1.41=0.71
2-3= Z3;=xSi -2.
Por tanto:
���� � 2/9[0.71*z+2] z 0 (-2.82,1.41) f(z)= � � 0 restantes valores ����
0.5=]327
*4-29
*4+481
[92
=
=]3x4[-]
2x4[+]
4x[
92
=)dxx4-4x+x(92
=
=4X)xdx-4+x(92
=xdx92
*)2-(x=
=f(x)dx)2-(X=]2-E[X=]E(X)-E[X=
30
330
230
4233
0
23
023
0
2-
222X
∫
∫∫
∫∞∞σ
0.71=0.5+=+= 2XX σσ
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 306
VII.6.- TEOREMA DE TCHEBYCHEFF.
El teorema de Tchebycheff se usa para el cálculo de
probabilidades máximas o mínimas cuando únicamente
conocemos la media y la varianza de la variable aleatoria
sobre la cual queremos calcular probabilidades.
Sea X una variable aleatoria con esperanza y varianza
finitas, entonces:
expresión que es equivalente a:
si hacemos tomar a k el valor tσ y que nos dice que la
probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, entre
el valor que toma una variable y su valor esperado sea
mayor o igual que un cierto valor K es menor o igual que el
cociente entre la varianza de la variable y el cuadrado del
valor de K.
Demostración:
Para una variable aleatoria X, continua, tenemos:
si dividimos esta integral en la suma de 3:
σµ t-hasta - Desde-1. ∞
σµσµ t+hasta t- Desde-2.
∞hasta t+ Desde-3. σµ
t
1 )t |-XP(| 0 > t
2≤≥∀ σµ_
K
K)|-XP(| 0 > K 2
2Xσµ ≤≥∀ _
=f(x)dx)-(x=)-E(x= 2-
22 µµσ ∫∞∞
ESTADÍSTICA
Tema VII 307
tenemos:
Como lo que necesitamos para la demostración es que haya
una desigualdad del tipo mayor o igual reemplazamos las
integrales 1 y 3 por cantidades más pequeñas.
En la primera de las integrales, si t > 0 entonces:
y esto implica que:
σµ -t-x ≤
si multiplicamos por (-1) la anterior expresión:
y si elevamos al cuadrado en ambos miembros:
En la tercera integral:
lo que implica que:
y por tanto:
f(x)dx)-(x+
+f(x)dx)-(x+
+f(x)dx)-(x=
2t+
2t+t-
2t--
2
µ
µ
µσ
σµ
σµσµ
σµ
∫
∫
∫
∞
∞
σµ t-x ≤
σµ t>)-(x-
σµ 222t>)-(x
σµ t+x ≥
σµ t-x ≥
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 308
y sustituyendo dicho valor en las integrales tenemos:
Pero si la σ2 es mayor o igual que la suma de 3 términos
positivos, también será mayor o igual que la suma del
primero y el tercero, por lo que, eliminando la segunda
integral y expresando la primera y tercera en términos de
probabilidad llegamos a:
que es lo mismo que decir:
expresión que como decíamos, es equivalente a:
σµ 222t)-(x ≥
f(x)dxt+
+f(x)dx)-(x+
+f(x)dxt
22t+
2t+t-
22t--
2
σ
µ
σσ
σµ
σµσµ
σµ
∫
∫
∫≥
∞
∞
)t|-xP(|t=
=)]]t+(P[xt+
+)]t-(P[xt[
22
22
222
σµσ
σµσ
σµσσ
≥
≥
≤≥
t
1)t|-xP(|
)t|-XP(|t
2
222
≤≥
≤≥
σµ
σσµσ
_
_
ESTADÍSTICA
Tema VII 309
Ejemplo. En una sucursal de la hamburguesería " Mc Pato
S.A." se estima que, por término medio, los fines de semana
los clientes solicitan unas 500 hamburguesas del tipo "Big
Pato" con una desviación típica de 35. Mr Gilito, dueño de
la sucursal, pretende conocer la probabilidad de que, en un
fin de semana, los clientes le soliciten por lo menos 550
hamburguesas del tipo mencionado.
A.- �Qué le aconsejaría usted hacer, sabiendo que no se
conoce la distribución de probabilidad de la demanda de
hamburguesas?
RESOLUCION
La respuesta adecuada sería la de que no es posible conocer
esa probabilidad, pero lo que sí es posible es obtener la
probabilidad máxima de que eso ocurriera.
E(X)=500 ; σX=35
B.- El señor Gilito, satisfecho con su respuesta, le
pregunta �Cuántos panes de bombón deberé comprar para el
fin de semana para poder satisfacer a los clientes con una
probabilidad de al menos el 75%?
RESOLUCION:
Lo que nos piden es:
)t=k(para
K
K)|-XP(|2
2X
σ
σµ ≤≥
0.49=25001225
=5035=
K
50)|500-XP(|50)500-P(X=550)P(X
2
2
2
2Xσ≤
≤≥≤≥≥
Variable aleatoria uni-dimensional
Tema VII 310
Por tanto, habrá que buscar el valor de K que cumpla:
Deberá comprar, como mínimo, 570 panes para obtener el 75%
de probabilidad de satisfacer a sus clientes.
0.75K)+500P(X ≥≤
K-1K)|<500-XP(|
K)<500-P(XK)500-P(X=K)+500P(X
2
2Xσ≥≥
≥≥≤≤
70K
0.75=K
1225-1 0.75=
K-1
22
2X
≥
_σ
