-
Tema III: SistemasHamiltonianos: Variables acciónángulo
1. Transformaciones canónicas
Sea H(q, p, t) un hamiltoniano tal que
ṗ = −∂H∂q
q̇ =∂H
∂p(1.1)
Una transformación en el espacio de fases
Q = Q(q, p)
P = P (q, p) (1.2)
es canónica, si existe un hamiltoniano H ′(Q,P, t)
H ′(Q,P, t) = H(q, p, t) +∂F
∂t(1.3)
tal que Q y P son variables canónicas
Ṗ = −∂H′
∂Q
Q̇ =∂H ′
∂P(1.4)
La función F es la función generatriz construida como
dF1(q,Q, t) = pdq − PdQdF2(q, P, t) = pdq + QdP
dF3(p,Q, t) = −qdp− PdQdF4(p, P, t) = −qdp + QdP (1.5)
(1.6)
1
-
2 Caṕıtulo 3
1..1 Ejemplo: Oscilador armónico amortiguado
Lagrangiano
L = ebtm
(m
2q̇2 − k
2q2
)
La ecuación del movimiento es:
d
dt(e
btm mq̇) + e
btm kq = 0
o sea
mq̈ + bq̇ + kq = 0
Hamiltoniano
p =∂L
∂q̇= e
btm mq̇ =⇒ q̇ = e−btm p
m
H = e−btm
p2
2m+ e
btm
kq2
2
Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una
constante delmovimiento. Veamos si hay una transformación
canónica que pase a un Hamilto-niano constante.
Transformación canónica
Utilicemos la siguiente función generatriz
F2(q, p̂, t) = ebt2m qp̂
En tal caso
∂F2∂q
= ebt2m p̂ = p
∂F2∂p̂
= ebt2m q = q̂
∂F2∂t
=b
2me
bt2m qp̂
Las nuevas variables son por tanto:
p̂ = e−bt2m p
q̂ = ebt2m q
-
2.. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 3
y el nuevo Hamiltoniano
Ĥ(q̂; p̂) =p̂2
2m+
kq̂2
2+
b
2mq̂p̂
Las ecuaciones de Hamilton son:
˙̂q =p̂
m+
b
2mq̂
− ˙̂p = kq̂ + b2m
p̂
Puesto que el nuevo hamiltoniano Ĥ no depende expĺıcitamente
de t, es constantedel movimiento. Si lo expresamos en términos de
las variables iniciales
Ĥ = e−btm
p2
2m+ e
btm
kq2
2+
b
2mpq
donde no es d́ıficil comprobar que
[Ĥ, H] +∂Ĥ
∂t= 0
Dado que p = ebtm mq̇, la constante Ĥ puede escribirse como
Ĥ = ebtm
(q̇2
2m +
k
2q2 +
b
2qq̇
)
2. Ecuación de Hamilton-Jacobi
El procedimiento standard de resolución de un sistema
hamiltoniano consiste enobtener tantas constantes del movimiento
como grados de libertad de manera queel problema sea soluble por
cuadraturas.
Por otra parte, hemos visto que toda coordenada ćıclica lleva
asociada una inte-gral primera (su momento conjugado), de forma que
una transformación canónicaque nos pasase a un conjunto de
coordenadas ćıclicas nos aseguraŕıa la resolucióndel
problema.
2..1 Función principal de Hamilton
La función generatriz que más drásticamente verifica la
finalidad buscada seŕıaaquella para la que el nuevo hamiltoniano
fuese estrictamente cero. En concreto se
-
4 Caṕıtulo 3
denomina función principal de Hamilton a una función
generatriz de segundaespecie S(q, P, t) tal que:
H ′ = H +∂S(q, P, t)
∂t= 0
p =∂S
∂q
Q =∂S
∂P(2.1)
Puesto que H ′ = 0, todas las Q son ćıclicas y sus momentos
conjugados con-stantes
P = α (2.2)
La ecuación
H
(q,
∂S
∂q, t
)+
∂S
∂t= 0 (2.3)
se denomina Ecuación de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse
como unaecuación en derivadas parciales para S. En esta ecuación
hay n+1 variables: las nq y el tiempo. La solución general de S ha
de depender de n+1 constantes. Una deellas ha de ser aditiva, ya
que (2.3) solo depende de las derivadas de S y por tantosi S es una
solución S+cte también lo es. Puesto que la transformación
canónicasolo depende de las derivadas de S, la constante aditiva
es irrelevante. Las otrasn constantes las podemos identificar con
los n momentos constantes P = α demanera que, la resolución de la
ecuación de H-J ha de proporcionar
S = S(q, α, t) (2.4)
Como H ′ = 0, las ecuaciones de Hamilton son:
P = α
Q = β (2.5)
y la condición de transformación canónica implica
Q =∂S
∂P=⇒ β = ∂S(q, α, t)
∂α(2.6)
Esta última ecuación (2.6) permite despejar las q en la
forma
q = q(α, β, t) (2.7)
con lo que el problema esta resuelto. Las n qi dependen de 2n
constantes arbitrariasα y β (que son las nuevas variables
canónicas)
-
2.. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 5
2..2 Sistemas autónomos: Función caracteŕıstica de
Hamil-ton
Si H no depende expĺıcitamente del tiempo, la ecuación de H-J
es:
H
(q,
∂S
∂q
)+
∂S
∂t= 0 (2.8)
que admite para S la forma
S(q, αi, t) = W (q, αi)− α1t (2.9)con lo que (2.8) es:
H
(q,
∂W (q, αi)
∂q
)= α1 (2.10)
De manera que en este caso la constante α1 (uno de los nuevos
momentos) es elpropio Hamiltoniano (que solo será la enerǵıa si
el sistema es natural)
La función W se denomina función caracteŕıstica de
Hamilton.
2..3 Separación de variables en la ecuación de H-J
Se dice que el sistema es separable en las variables qi si para
W de la forma
W (qi, αi) =n∑
j=1
Wj(qj, αi) (2.11)
la ecuación de H-J se puede separar en n ecuaciones de la
forma
Hj(qj,dWjdqj
, αi) = αj (2.12)
Hamilton-Jacobi
Vamos ahora a aplicar H-J a
Ĥ(q̂; p̂) =p̂2
2m+
kq̂2
2+
b
2mq̂p̂
Puesto que Ĥ no depende de t
S(q̂, α, t) = −αt + W (q̂, α)y la ecuación de H-J es:
α =1
2m
(dW
dq̂
)2+
k
2q̂2 +
b
2mq̂
(dW
dq̂
)
-
6 Caṕıtulo 3
Se puede separar haciendo:
W = M − b4q̂2
en cuyo caso
2mα =
(dM
dq̂
)2+ q̂2(mk − b
2
4) = 0
y por tanto
dM =
√2mα− (m2ω2 − b
2
4)q̂2dq̂
La función principal de Hamilton es, por tanto
S = −αt− b4q̂2 +
∫ √2mα− (m2ω2 − b
2
4)q̂2dq̂
y la ecuación del movimiento
β =∂S
∂α= −t +
∫ (√2mα− (m2ω2 − b
2
4)q̂2
)−1mdq̂
La integral se resuelve con el cambio
(m2ω2 − b2
4)q̂2 = 2mα sin2 θ
de manera que
β = −t + m√m2ω2 − b2
4
θ
con lo que
q̂ =
√2α
m(ω2 − b24m2
)sin
[√ω2 − b
2
4m2(t + β)
]
y por tanto la variable f́ısica es:
q = e−bt2m
√2α
mγ2sin[γ(t + β)]
donde γ =√
ω2 − b24m
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 7
3. Variables acción-ángulo
Nos vamos a restringir, por el momento a sistemas autónomos,
tales que la ecuaciónde H-J sea separable en la forma:
S(q1...qn, α1...αn) = −α1t +n∑
k=1
Wk(qk, α1...αn) (3.1)
donde H = α1.
3..1 Un grado de libertad
En tal caso, la función de Hamilton es:
S(q, α, t) = W (q, α)− αt
donde W satisface la ecuación
α = H
(q,
∂W
∂q
)
siendo los antiguos momentos
p =∂W
∂q
y las nuevas coordenadas
β =∂S
∂α= −t + ∂W
∂α
• El procedimiento que vamos a describir resulta particularmente
útil para sis-temas cuyas trayectorias de fases son cerradas. La
constancia del Hamiltonianodefine una curva H(q, p) = α en el
espacio de fase. Cuando dicha curva es cerrada,se define I como
I = I(α) =1
2π
∮pdq (3.2)
cuya inversión proporcionaH = α = H(I) (3.3)
• Veamos ahora una forma alternativa de transformación
canónica. Busquemosnuevos momentos constantes I, de tal manera que
el nuevo Hamiltoniano sea elmismo que el anterior y que la función
generatriz sea Ŵ (q, I) = W (q, α(I)). Lasnuevas variables seran
ahora ćıclicas pero no constantes y las denominaremos θ
H(q, p) = α →Ŵ (q,I)→ H(I) = α (3.4)
-
8 Caṕıtulo 3
p =∂Ŵ (q, I)
∂q(3.5)
θ =∂Ŵ (q, I)
∂I(3.6)
• Las ecuaciones del movimiento para H(I) serán
I = cte
θ̇ =∂H
∂I= cte = ω (3.7)
y por tanto la solución
θ = ωt + θ0 (3.8)
ejemplo: Oscilador armónico
H =p2
2m+
mω2
2q2
Los puntos de retroceso son
q0 =
√2α
mω2
de manera que la variable de acción se calcula como
I = 41
2π
∫ q00
√2m
(α− mω
2
2q2
)dq
Haciendo sin γ = qq0
I =2
π
∫ π2
0
2α
ωcos2 γdγ
=4α
πω
[γ
2+
(sin 2γ
4
)]π2
0
=α
ω
luego
H = α = Iω
de manera que
θ̇ = ω =⇒ θ = ωt + θ0
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 9
Ejemplo: Potencial lineal
xo
E
El hamiltoniano es:
H =p2
2m+ k | x |
El punto de retroceso es:
x0 = ±αk
y por tanto
I =2
π
∫ x00
√2m(α− kx)dx
I =2
π
(−2
3
1
2mk
) [(2m(α− kx))3/2
]x00
=
(2
3mkπ
)(2mα)3/2
α =
(9mk2π2
8
)1/3I2/3
ω =2
3
(9mk2π2
8
)1/3I−1/3
-
10 Caṕıtulo 3
Ejemplo: Péndulo
–4 –2 2 4t
El hamiltoniano es:
H =p2
2ml2−mgl cos θ = α
El punto de retroceso es:
θ0 = arcos
( −αmgl
)
y por tanto
I =2
π
∫ θ00
√2ml2(α + mgl cos θ)dθ
Hacemos los cambios
k2 =mgl + α
2mgl
x = sinθ
2=⇒ cos θ = 1− 2x2
dθ =2dx√1− x2
con lo cual
I =8
π
√m2gl3
∫ x00
√k2 − x21− x2 dx
Haciendo x = k sn(u, k)
I =4
π
√m2gl3
∫ K=arsn10
k2cn2udu
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 11
3..2 Varios grados de libertad. Separabilidad
Sea un hamiltoniano autónomo H(q1...qn, p1..pn) tal que la
ecuación de H-J seaseparable en la forma:
S(q1...qn, α1...αn) = −α1t +n∑
k=1
Wk(qk, α1...αn) (3.9)
donde H = α1.
• En tal caso, tomando como función generatriz la función
W (q1...qn, α1...αn) =n∑
k=1
Wk(qk, α1...αn) (3.10)
obtenemos
pk =∂
∂qkWk(qk, α1...αn) (3.11)
• y por tanto, es posible definir las variables de acción
Ik(α1..αn) =1
2π
∮pkdqk (3.12)
como los nuevos momentos generados por la transformación
canónica
W (q1...qn, I1...In) =n∑
k=1
Wk(qk, I1...In) (3.13)
• de forma que las nuevas coordenadas, conjugadas de las de
acción, serán lasvariables de ángulo definidas como
θk =∂W
∂Ik=
n∑i=1
∂Wi(qk, I1...In)
∂Ik(3.14)
• En cuanto al nuevo hamiltoniano será:
H = α1 = H(I1...In) (3.15)
y las ecuaciones de H-J
İk = 0
θ̇k =∂H
∂Ik= ωk(I1...In) (3.16)
-
12 Caṕıtulo 3
o bien
Ik = cte
θk = ωk(I1...In)t + δk (3.17)
El conjunto de constantes (I1...In), (δ1...δn) son las 2n
constantes requeridas. Noobstante, las δi son triviales, una vez
conocidas las Ii. En consecuencia: Un hamil-toniano se dice
completamente integrable si existen n integrales Ii en
involución
[Ii, Ij] = 0 (3.18)
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 13
Ejemplo: Part́ıcula en un rectángulo
El Hamiltoniano es:
H =1
2m
(p2x + p
2y
)
con
0 ≤ x ≤ a0 ≤ y ≤ b
de forma que tanto px como py son constantes en módulo
I1 =1
2π
∮pxdx =
1
π
∫ a0
| px | dx = aπ| px |
I2 =1
2π
∮pydy =
1
π
∫ b0
| py | dy = bπ| px |
de forma que
H =π2
2m
(I21a2
+I22b2
)
0
2
I1
2I2
Para cada valor de la enerǵıa, los posibles valores de I1 y I2
estn situados sobreuna elipse. Las frecuencias son por tanto
ω1 =π2
ma2I1
ω2 =π2
mb2I2
que dependen de las condiciones iniciales a través de I1 y
I2.
n =ω2ω1
=a
b
√2mEa2
π2I21− 1
-
14 Caṕıtulo 3
Aśı pues,para una enerǵıa dada, la relación entre las
frecuencias será racional oirracional dependiendo de los valores
de I1
Las dos variables angulares son
θ1 = πx
a
θ2 = πy
b
que pueden identificarse con los dos ángulos de un toro. Las
trayectorias en elespacio de fases se encuentran pues arrolladas
sobre un toro de radios I1 e I2 yángulos θ1 y θ2.
Para un mismo valor de la enerǵıa tenemos varios posibles toros
ya que laenerǵıa es degenerada pues todos los valores de I1 e I2
situados sobre una elipsetienen la misma enerǵıa. En la figuras
siguientes se muestran secciones de losdiversos toros
correspondientes a una misma enerǵıa
–2
–1
0
1
2
1 2 3 4
Las trayectorias sobre estos toros serán ergódicas o no
dependiendo el valor deI1
Toro racional con n=3 Trayectoria irracional
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 15
Ejemplo: Part́ıcula en un potencial central
El lagrangiano será
L =m
2
(ṙ2 + r2ϕ̇2
)− V (r) (3.19)y los momentos
pr = mṙ
pϕ = mr2ϕ̇ (3.20)
Por tanto el hamiltoniano es:
H =p2r2m
+p2ϕ
2mr2+ V (r) (3.21)
Los momentos de H-J serán
P1 = α1 = H
P2 = α2 = pϕ (3.22)
Ejemplo: Potencial de Coulomb
El movimiento se realiza en un plano y el Hamiltoniano es:
H =p2r2m
+p2ϕ
2mr2− k
r
y por tantoα1 = H α2 = pϕ
y
pr =√
Ar2 + Br + C1
r
donde
A = 2mα1 < 0
B = 2mk > 0
C = −α22 < 0
de manera que
•Iϕ =
1
2π
∮ 2π0
pϕdϕ = α2
-
16 Caṕıtulo 3
•Ir =
1
2π
∮prdr =
1
π
∫ r2r1
√Ar2 + Br + C
1
rdr
donde r1 y r2 son las raices de Ar2 + Br + C = 0
Ir =1
π
[Bπ
2√−A − π
√−C
]
Ir =mk√−2mα1
− α2
de manera que
Iϕ = α2 α2 = Iϕ
Ir = mk√
1−2mα1 − α2 α1 = −
mk2
2(Ir + Iϕ)2
y la enerǵıa es degenerada a lo largo de las rectas de la
gráfica
En las figuras siguientes se ven los cortes de diferentes toros
de la misma enerǵıa
–2
–1
0
1
2
1 2 3 4 5
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 17
• En cuanto a las frecuencias son iguales
ω =mk2
(Ir + Iϕ)3= mk2
(−2Emk2
)3/2
y todos los toros son racionales con las trayectorias cerradas
como muestra la figura
Como el semieje mayor es:
a =r1 + r2
2= − B
2A= − k
2E
se verifica
ω2a3 =k
m
que es la ley de Kepler
-
18 Caṕıtulo 3
Ejemplo: Potencial Dipolar
• Sea el potencial central V = −kr+ λ
r2. El correspondiente Hamiltoniano será:
H =p212m
+p222m
− kr
+λ
r2
.
• Las constantes de separación de Hamilton-Jacobi serán:
α1 = H, α2 = p2
S = −α1t + α2ϕ +∫ √
−2mr2 | α1 | +2kmr − α22 − 2λmdr
r
y el potencial efectivo (ver figura) es:
Vef =α222m
− kr
+λ
r2
donde los puntos de retroceso son
r1 =k
2 | α1 |
(1−
√1− 4α1
k2
(λ +
α222m
))
r2 =k
2 | α1 |
(1 +
√1− 4α1
k2
(λ +
α222m
))
• Las variables de acción serán
I1 =1
π
∫ r2r1
√−2mr2 | α1 | +2kmr − α22 − 2λm
dr
r=
√mk2
2 | α1 |−√
α22 + 2mλ
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 19
I2 =1
2π
∮α2dϕ = α2
invirtiéndolas
α2 = I2
α1 = −mk2
2
1(I1 +
√I22 + 2mλ
)2
• Aśı que en el formalismo de acción-ángulo, el Hamiltoniano
es:
H = −mk2
2
1(I1 +
√I22 + 2mλ
)2
En las figuras se ven los cortes de los toros de la misma capa
de enerǵıa
–1
–0.5
0
0.5
1
0.5 1 1.5 2
• y las frecuenciasω1 =
mk2(I1 +
√I22 + 2mλ
)3
ω2 =mk2(
I1 +√
I22 + 2mλ)3
I2√I22 + 2mλ
y por tanto la relación entre las frecuencias será
n =ω1ω2
=
√I22 + 2mλ
I2
que será racional o no dependiendo del valor de I2
En la siguiente figura se ve la variación de n con I2
-
20 Caṕıtulo 3
0
1
2
3
4
n
1 2I2
• Toros racionales (n=3)
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 21
• Toros irracionales
-
22 Caṕıtulo 3
Ejemplo: Potencial de Hartman
Sea el potencial
V = −kr
+λ
ρ2θ
el lagrangiano será:
L =m
2
(ẋ2 + ẏ2 + ż2
)+
k
r− λ
ρ2
• El problema es separable en coordenadas parabólicas
x =√
ab cos φ
y =√
ab sin φ
z =a− b
2
cos θ =a− ba + b
sin2 θ =4ab
(a + b)2
r =a + b
2
ρ =√
ab (3.23)
en cuyo caso
ẋ2 + ẏ2 + ż2 =(ȧb + ḃa)2
4ab+ abφ̇2 +
(ȧ− ḃ)24
Por tanto
L =m
2
[ȧ2
4
(1 +
b
a
)+
ḃ2
4
(1 +
a
b
)+ abφ̇2
]+
2k
a + b− λ
ab
• Los momentos serán:
pa =m
4
(1 +
b
a
)ȧ
pb =m
4
(1 +
a
b
)ḃ
pφ = mabφ̇
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 23
• y el Hamiltoniano
H =2
m
[a
a + bp2a +
b
a + bp2b +
p2φ4ab
]− 2k
a + b+
λ
ab
• Para emplear H-JH = α1
S = −α1t + Wa(a) + Wb(b) + Wφ(φ)
α1 =2
m
[a
a + b
(dWada
)2+
b
a + b
(dWbdb
)2+
(dWφdφ
)21
4ab
]− 2k
a + b+
λ
ab
Como ϕ es ćıclica, podemos hacer
α2 = pϕ
con lo que la ecuación de H-J es:
4a
(dWada
)2+4b
(dWbdb
)2− 4mk +2mλ
(1
a+
1
b
)− 2mα1(a+ b) = −α22
(1
a+
1
b
)
de manera que podemos separar el problema en la forma
pa =
(dWada
)=
√mα1
2+
α34a− α
22 + 2mλ
4a2
pb =
(dWbdb
)=
√mα1
2+
4mk − α34b
− α22 + 2mλ
4b2
pϕ =
(dWϕdϕ
)= α2 (3.24)
donde α3 es la constante de separación
Las variables de acción serán:
•IΦ =
1
2π
∮pΦdΦ = α2
•Ia =
1
2π
∮pada =
1
π
∫ a2a1
√Aa2 + Ba + C
ada
-
24 Caṕıtulo 3
donde
A =mα1
2< 0
B =α34
C = −α22 + 2mλ
4< 0
y a1, a2 son las raices de Aa2 + Ba + C = 0.
Ia =1
π
[Bπ
2√−A − π
√−C
]
Ia =α38
√2
−mα1 −1
2
√α22 + 2mλ
•Ib =
1
2π
∮pbdb =
1
π
∫ b2b1
√Ab2 + Bb + C
bdb
donde
A =mα1
2< 0
B =4mk − α3
4
C = −α22 + 2mλ
4< 0
y b1, b2 son las raices de Ab2 + Bb + C = 0.
Ib =1
π
[Bπ
2√−A − π
√−C
]
Ib =4mk − α3
8
√2
−mα1 −1
2
√α22 + 2mλ
• Para eliminar α3 sumamos Ia e Ib
Ia + Ib = −√
I2Φ + 2mλ +4mk
8
√2
−mα1despejando α1
H = α1 = −mk2
2
(Ia + Ib +
√I2φ + 2mλ
)−2
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 25
• Las frecuencias asociadas a a y b son iguales
ωa = ωb = mk2(Ia + Ib +
√I2φ + 2mλ
)−3
mientras que
ωΦ = ωaIφ√
I2φ + 2mλ
-
26 Caṕıtulo 3
Problemas
1) Dado el hamiltoniano
H =p2
2m+
β
4q4
a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobib) Encontrar
la frecuencia del movimiento utilizando el método de las
variables
acción-ángulo
2) Resolver el hamiltoniano
H =p2
2m+
1
2mω2q2 + ²q3
3) Estudiar los espacios de fases de los dos hamiltonianos
anterioresa) Representar las trayectorias en el espacio de fasesb)
Hacer el análisis de puntos cŕıticos
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 27
1) Dado el hamiltoniano
H =p2
2m+
β
4q4
a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobib) Encontrar
la frecuencia del movimiento utilizando el método de las
variables
acción-ángulo
Solución
• Hamilton-JacobiH =
p2
2m+
β
4q4
S(q, α) = −αt + W (q, α)donde las nuevas coordenadas son
P = α = H
Q = t0
y
W (q, α) =
∫ √2m(α− β
4q4)dq
y la ecuación del movimiento es:
Q =∂S
∂P−→ t0 = −t + ∂W
∂α
es decir
t0 = −t +∫ √
m
2
dq√α− β
4q4
Haciendo
q = q0cn(u; 1/2) q0 = (4α
β)1/4
t0 + t = −12
√m
αq0 u
deshaciendo el cambio
q = q0cn
[2
√α
m
t + t0q0
; 1/2
]
q =
(4α
β
) 14
cn
[(4αβ
m2)
14 (t + t0); 1/2
]
-
28 Caṕıtulo 3
• Variable angular de acciónEs una integral eĺıptica definida
que puede escribirse en términos de funciones
Γ
I =1
2π
∮ √2m
(α− βq
4
4
)dq
o bien
I =4
2π
√2mα
∫ q400
√1− q
q0
4
dq
Si hacemos el cambio
z =
(q
q0
)4
I =√
2mαq02π
∫ 10
(1− z)1/2z−3/4dz
que es una función de Bessel
I =1
2π
(16m2α3
β
)1/4B(1/4, 3/2)
que es expresable también como
I =1
2π
(16m2α3
β
)1/4Γ(1/4)Γ(3/2)
Γ(7/4)
Utilizando las relaciones:
Γ(3/2) = Γ
(1 +
1
2
)=
1
2Γ(1/2) =
√π
2
Γ(7/4) = Γ
(1 +
3
4
)=
3
4Γ(3/4)
Γ(3/4)Γ(1/4) = Γ(1/4)Γ
(1− 1
4
)=
π
sin(π4)
=√
2π
obtenemos
I =
√2
3π3/2
(m2
β
)1/4Γ2
(1
4
)α3/4
Invirtiendo para despejar α
α = H = k0I4/3
k0 =
(81π6β
4m2Γ8(1/4)
)1/3
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 29
de manera que la frecuencia es
ω =4
3k0I
1/3
que depende de la enerǵıa
-
30 Caṕıtulo 3
2) Resolver el hamiltoniano
H =p2
2m+
1
2mω2q2 + ²q3
Solución
En la figura se ha representado el potencial V = 12mω2q2 +²q3.
Los estados ligados
corresponden a
0 < E <m3ω6
54²2
q1 < q2 < q < q3
donde q1, q2, q3 son las raices de la ecuación de tercer grado
(ver Schaum)
q3 +mω2q2
2²− E
²= 0
que verifican
q1 + q2 + q3 =−mω2
2²
q1q2q3 =E
²
q1q2 + q1q3 + q2q3 = 0
Resolución exacta
Corresponde a resolver
E =m
2q̇2 + V =
m
2q̇2 +
1
2mω2q2 + ²q3
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 31
es decir ∫dq√
(q3 − q)(q − q2)(q − q1)=
√2²
mdt
Esta integral puede resolverse con el cambio
q = q2 + (q3 − q2) cn2(u; k)
k2 =q3 − q2q3 − q1
de manera que:
q3 − q = (q3 − q2) sn2(u; k)q − q1 = (q3 − q1) dn2(u; k)q − q2 =
(q3 − q2) cn2(u; k)
y la integral es
2du√q3 − q1 =
√2²
mdt
en consecuencia
q = q2 + (q3 − q2) cn2(√
²(q3 − q1)2m
(t + t0); k
)
• El caso particular en que E = m3ω654²2
corresponde a
q1 = q2 = −mω2
3²
q3 =E
6q1q2= −q1
2=
mω2
6²
En tal caso k = 1 y la solución es:
q = −mω2
3²+
mω2
2²
1
cosh2[ω2(t + t0)]
de forma que
q(−∞) = q(∞) = q1 = q2q(t0) = q3
-
32 Caṕıtulo 3
Variables de acción
I =1
2π
∮pdq =
1
π
∫ q3q2
√2m²(q3 − q)(q − q2)(q − q1)dq
que con el cambio de variable anterior es:
I =1
π
∫ u3u2
2(q3 − q2)√
2m²(q3 − q1)(q3− q2)2 sn2 cn2 dn2 du
I =2(q3 − q2)2
π
√2m²(q3 − q1)
∫ u3u2
sn2 cn2 dn2 du
dondecn2(u2) = 0 sn
2(u2) = 1 u2 = K
cn2(u3) = 1 sn2(u3) = 0 u3 = 0
Teniendo en cuenta 361.04 ∫sn2 cn2 dn2 du =
1
15k4{k′2(k2 − 2)u + 2(k4 + k′2)E(u) + k2 sn(u) cn(u) dn(u)(3k2
sn2(u)− 1− k2)}
Cálculo aproximado
Volviendo a :
I =1
π
∫ q3q2
√2m(E − mω
2
2q2 − ²q3)dq
Haciendo el desarrollo en serie de la raiz
√a− b² ∼ √a− b²
2√
(a)
donde en nuestro casoa = 2mE −m2ω2q2
b = 2mq3
obtenemos
I ∼ 1π
∫ q3q2
√2mE −m2ω2q2dq
− ²2π
∫ q3q2
2mq3√
2mE −m2ω2q2dq
haciendo
sin θ =
√mω2
2Eq
-
3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 33
obtenemos
I ∼ 1π
∫ π0
√2mE
√2E
mω2cos2 θdθ − ²m
π
∫ π0
(2E
mω2
)2sin3 θ√2mE
dθ
I ∼ Eω− 4²
3π
(2E
mω2
)21√
2mE
