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Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Título
DIAGRAMAS DE BLOQUES,
FLUJOGRAMAS
Y SUS OPERACIONES
TEMA I
Universidad de OrienteNúcleo de Anzoátegui
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 2
DIAGRAMAS DE BLOQUES, DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
TEMA I – Objetivos
Objetivo Terminal:
Aplicar las técnicas de diagramas de bloques y flujogramas en larepresentación y cálculo de relaciones entre variables dentro de lossistemas de control.
Objetivos Específicos:
Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde bloques.
Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde flujo de señal.
Aplicar la técnica de reducción de diagramas de bloques en el cálculo derelaciones entre variables dentro de los sistemas de control.
Aplicar la fórmula de ganancia de mason en el cálculo de relaciones entrevariables dentro de los sistemas de control.
Convertir diagramas de bloques a flujogramas y viceversa.
Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 3
TEMA I – Contenido
Elementos de un diagrama de bloques.
Ejemplos de diagramas de bloques.
Elementos de un diagrama de flujo de señales o flujogramas.
Ejemplos de diagramas de flujo de señal o flujogramas
Algebra de bloques
Aplicación del algebra de bloques en la reducción de bloques
Cálculo de funciones de transferencia por reducción de diagramas de bloques.
Fórmula de ganancia de mason.
Elementos de la fórmula de ganancia de mason.
Definición de lazos individuales.
Definición de lazos disjuntos.
Definición de Trayectos directos.
Cálculo de relaciones entre variables o funciones de transferencia.
Transformación de diagramas de bloques en flujogramas.
Transformación de flujogramas en diagramas de bloques.
Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 4
Representan en forma gráfica las funciones realizadas por los componentes queforman parte de una planta o proceso industrial. En él también se indica el flujo delas señales que intervienen.
BLOQUE FUNCIONAL:Representación o símbolo de algún elementode la planta o proceso o controlador.
SUMADOR:Representan operaciones de adición osustracción de las señales que intervienen.También se les llama comparadores. (laadición o sustracción depende del signocon que la señales entran)
BIFURCACION:Representan puntos de ruptura de unaseñal específica. Puntos de toma de señal.
G(s)
G(s)
+- +-- +
-
+
-
++
+
Diagramas de Bloques
• Elementos de un Diagrama de Bloques
Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 5
(s+3) +-1
(s+4)+--
Entrada
2(s)
s+5
2s-6
Diagramas de Bloques
• Ejemplos de Diagramas de Bloques
G1(s) +- G2(s)+--
H3(s)
H1(s)
Entrada
H2(s)
+
G1(s) G2(s)+--
H3(s)
H1(s)
Y(s)
H2(s)
+-+ G3(s) +-
+
H4(s) H5(s)
R(s)
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 6
Medio gráfico para representar las relaciones de entrada salida de unconjunto de elementos
Nodos: (Representa a una variable o señal)Puntos de unión que se utilizan para representar las variables de unsistema de control. Pueden representar la salida de una bifurcación osuma de los diagramas de bloques.
Ramas:Segmentos lineales que conectan a dos nodos. Tienen ganancias(transmitancias) y direcciones asociadas a ellas. La señal que pasa por unarama, sólo se puede transmitir en la dirección de la flecha.
Transmitancias:Representan una función de trasferencia, ganancia o constante, asociadasa las ramas.
Flechas:Indican la dirección de las señales en una rama.
s .
s+5
G(s)
Gráficas de Flujo de Señal o Flujogramas
Flujogramas:
Elementos que de un Diagrama de Flujo de Señales:
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 7
LAZOS (L):Caminos o trayectos cerrados con dirección y sentido,
sin pasar más de una vez por un mismo punto o nodo. Laganancia del lazo es el producto de todas lastransmitancias de las ramas involucradas.
LAZOS DISJUNTOS:Son aquellos Lazos que no tienen ningún nodo ni otro
elemento en común. Su ganancia es el producto de todaslas transmitancias de las ramas involucradas
TRAYECTOS DIRECTOS (T):Caminos o trayectos desde un nodo de inicio hasta un
nodo de salida, a través de ramas con la misma dirección,sin pasar mas de una vez por un mismo nodo. Su gananciaes el producto de todas las transmitancias de las ramasinvolucradas
Gráficas de Flujo de Señal o Flujogramas
Otros Elementos dentro de un Flujograma
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 8
1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .
S+1
-1/4 -4.25
1/s
0.75
S+1
0.45
Y(s)R(s) 1
1 1
1 S+1 5S 0.2 5S
s_
s+2
2S -3
-4/S
12
S+1 0.15S
C(s)X(s) 1
0.752
R(s) Y(s)
Ejemplos de Flujogramas
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 9
Trasformación de Diagrama De Bloques a Flujograma
• Premisas Generales:
Los sumadores de un DDB serán Nodos en el Flujograma.
Las bifurcaciones presentes en el DDB, serán nodos delflujograma
Las ganancias de los bloques funcionales, representantransmitancias en el Flujograma.
Los signos presentes en los sumadores presentes en elDDB, deben transferirse a las transmitancias en elflujograma.
Los puntos de señal de entrada y/o salida se puedenconsiderar como nodos del flujograma.
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 10
Trasformación de Diagrama De Bloques a Flujograma
G1(s) +- G2(s)+--
H2(s)
H1(s)
R(s) Y(s)
1 G1 G2 1
-H1
-1
-H2
Y(s)R(s)
• Ejemplo
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Transformación de Flujograma a Diagrama de Bloques
• Premisas Generales
Las Transmitancias serán bloques funcionales del Diagramade Bloques.
Los Nodos del Flujograma serán:
a) Sumadores: Si entran varias señales y una o variasseñales salen
b) Bifurcaciones: Si entra una sola señal y salen varias
Los signos asociados a las transmitancias se deben transferira los sumadores en el diag. de Bolques, en los caso que aplique.
Diap. I - 11
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Transformación de Flujograma a Diagrama de Bloques
• Ejemplo
Diap. I - 12
1 1/S S (s+1) 1/S
-1/4
0.75
Y(s)R(s)
-1 1
1/s
S+1
-+-R(s) 1
s ++ s (s+1)
1
s
1
4
0.75
1
s
(s+1)
++
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 13
Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar y sustituir partes de undiagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, selogra llevar el problema inicial a un sólo resultado o bloque, el cual representará lafunción de transferencia entre las señales involucradas.
+- ++A
B
A-B A-B+C
C
++ +-A
C
A+C A-B+C
B
12
+-A
B
A-B+C+C
+- +A
C
A-B A-B+C
B
+
3
A AG1G1(s) G2(s)
AG1G2A
AG2
G2(s) G1(s)
AG1G2
AG1
G1(s) G2(s)AG1G2
4
G1(s)G2(s)AG1G2
5AG1
G1(s)A
++
G2(s)
AG1+ AG2
G1(s)+G2(s)
AG1+ AG26
AGG(s)
A+-
AG-B
B
+-A
G(s)AG-B
1/G(s) B
A-B/G
B/G
Reducción de Diagramas de Bloques
Algebra de diagramas de bloques:• Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un
diagrama de bloques agrupados en una forma específica.
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 14
7
+-A G(s)
AG-BG
B
A-B
AGG(s)A +-
AG-BG
BGG(s)B
8AG
G(s)A
AG
AG
AGG(s)
A
G(s)AG
9AG
G(s)A
A
AGG(s)
A AG
A1/G(s)
10
A A-B
A-B
+-B
A
A-B
+-
+
B
-
B
A-B
11AG1+AG2
G1(s)A
G2(s)AG2
+-A
G2(s)G1(s)
+-
AG1+AG2
G1(s)AG1 +-
AG(s)
B
H(s) B
12
+-
AH(s)
AG-B
B
G(s). 1 . H(s)
+-A
G(s)B
H(s) B
13
G(s) .1±G(s)H(s)
BA
14
G(s) .G(s)+H(s)
BA+-A BG(s)
H(s)
Reducción de Diagramas de Bloques Alg. De Bloques
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 15
G1(s)+--
H1(s)
G2(s) .1+G2(s)H2(s)
Cascada
R(s)
Y(s)
+--
H1(s)
G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)
R(s) Y(s)
G1(s) +- G2(s)+--
H2(s)
H1(s)
R(s)Realimentación
Y(s)Y(s)
R(s)
+-
H1(s)
G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)+-
Realimentación
H1(s)
R(s) Y(s)
+- G1(s)G2(s) .
1+G2(s)H2(s))()(1
)()(1
)()(1
)()(
21
21
21
21
sHsG
sGsG
sHsG
sGsG
G1(s) +-+--
H2(s)
H1(s)
R(s) Y(s)
G2(s)
Ejemplo de Reducción de Diagramas de Bloques
Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 16
H1(s)
R(s)
Y(s)
+- G1(s)G2(s) .
1+G2(s)H2(s) )()()()(1
)()(
2121
21
sHsGsGsG
sGsG
Realimentación
Y(s)G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)
)()()()()(1
)()(1
)()()()(1
)()(
1
2121
21
2121
21
sHsHsGsGsG
sGsG
sHsGsGsG
sGsG
R(s)
Y(s)R(s)
)()()()()()(1
)()(
1212121
21
sHGsGsHsGsGsG
sGsG
Solución
Ejemplo de Reducción de Diagramas de Bloques
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 17
Permite la determinación de las relaciones entrada-salida o entre señales deun flujograma mediante cierta inspección.
kkT
sR
sY
)(
)(
Elementos de la fórmula de Ganancia de MasonTk : K-ésimo trayecto directo desde R(s) (entrada) hasta Y(s) (salida).
Ganancia entre Y(s) y R(s).
k : K-ésimo cofactor del determinante para cada trayecto directo.: Determinante del flujograma.
Las siguientes ecuaciones se aplican para determinar Tk , k y
Trayecto:Tk = Ganancias de los trayectos directos que van desde R(s) a Y(s)
54321
GGGGGTk
Fórmula de Ganancia de Mason
• Fórmula de Ganancia de Mason en el Cálculo de Funciones de transferencias
1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .
S+1
-1/4 -4.25
1/s
0.7
5
S+1
0.4
5
Y(s)R(s)1
1 1
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 18
gfedfedcbakLLLLLLLLLL1
*
L : Lazo que no toca al trayecto “K”
Cofactor:
k = 1 - de lazos individuales que no tocan al k-ésimo trayecto directo+Sumatoria de lazos disjuntos que no tocan al k-ésimo trayecto directo- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen entreellos y que no tocan al k-ésimo trayecto directo+ Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquenentre ellos y que no tocan al k-ésimo trayecto directo - ...
Determinante:= 1 - Sumatoria de lazos individuales + Sumatoria de lazos disjuntos
- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen + - Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquen + ...
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
Fórmula de Ganancia de Mason
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 19
L3
T1
L2L1
L4
s 1/s 0.25s 2.5 1/s
s
s+1
2s -4.25
1/s
0.75
0.45
Y(s)R(s) 1
11
Y(s)
R(s)=?
Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason
• Ejemplo de Aplicación de la fórmula Mason en el cálculo de función de transferencia
Para la aplicación de la fórmula hay que hallar primero todos los lazos y trayectos.
L5
Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)
)1(625.01
1
15.225.0
11
s
s
s
s
ss
ssT
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 20
EJEMPLO (Cont)
Lazos individuales La:
ssss
L 25.125.225.01
1
1125.2)25.4.(
1
15.225.0
2
s
s
s
s
ssL
ssL 468.075.05.225.03
24
1625.01
11
15.225.0
1
ssss
sL
)1(
1281.01
145.0
1
15.225.0
15
ssss
s
ss
sL
Lazos Disjuntos LbLc:
No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en común.
Productos Triples de lazos “LbLcLd”: No hay
Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 21
Determinante del flujograma ( )
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
En este problema los términos de sumas de productos dobles, triples en adelante son cero por tanto el determinante se transforma en :
aL1
Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresión para el determinante
)(154321
LLLLL
)1(
1281.0
1625.0468.0
1125.225.11
2sss
ss
ss
)1(
281.0)1(625.0))1((468.0125.2))1((25.11
2
222
ss
ssssssssss
)1(
281.0625.0625.0468.0468.0125.225.125.1
2
3433423
ss
sssssssss
Agrupando términos semejantes se obtiene:
)1(
625.0906.0843.2718.1
2
234
ss
ssss
Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 22
Cofactores del Determinante del flujograma ( k )
Habrán tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe sólo un trayecto directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)
El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto. Todos los lazos tocan alúnico trayecto, por tanto: )(1
543211LLLLL
11
Aplicando la Fórmula de Mason
kkT
sR
sY
)(
)( 11
)(
)( T
sR
sY
)1(
625.0906.0843.2718.1
1)1(
0625
)(
)(
2
234
ss
ssss
s
s
sR
sY
625.0906.0843.2718.1
625.0
234
3
ssss
s
625.0906.0843.2718.1
625.0
)(
)(
234
3
ssss
s
sR
sY
Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 23
1 G1 G2 1
-H1
-1
-H2
Y(s)R(s)
T1
L1
L2
L3
Ejemplo 2 de Fórmula de Ganancia de Mason
Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)
2121111 GGGGT
Lazos individuales La:
1211211HGGHGGL
22222HGHGL
212131 GGGGL
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Dpto de Computación y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 24
Lazos Disjuntos LbLc ,Triples “LbLcLd” , etc :
No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en común.
Determinante del flujograma
Este problema los términos de sumas de productos dobles, triples en adelante también son cero por tanto el determinante se transforma en :
aL1
)(1321
LLL
Ejemplo 2 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
0 0 0
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 25
Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresión para el determinante
)(12122121
GGHGHGG
21221211 GGHGHGG
Cofactores del Determinante del flujograma
Habrán tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe sólo un trayento directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto T1. Por tanto, 1 queda dela siguiente forma ya que todos los lazos tocan al trayecto 1:
)(13211
LLL
11
Ejemplo 2 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
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Ejemplo 2 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)
Finalmente se Aplica la Fórmula de Mason
kkT
sR
sY
)(
)(
11
)(
)( T
sR
sY
2122121
21
1
)1()(
)(
)(
GGHGHGG
GG
sR
sY
)(1)(
)(
12112
21
GHHGG
GG
sR
sYSolución