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Tema 7.Modelos teóricos de probabilidad (4-3-2015),(9-3-2015),(10-3-2015),(11-3-2015)

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    Grupos 24 y 28 04/03/2015

    TEMA 7: MODELOS TERICOS DE PROBABILIDAD

    Los modelos tericos de probabilidad son una serie de funciones de densidad y de distribucin,

    y son para una serie de variables que van a aparecer muchsimas veces en medicina.

    DISTRIBUCIN DE BERNOULLI

    Tenemos a nuestro paciente, entra a nuestra consulta y este paciente puede estar enfermo o

    puede estar sano. Este es el experimento ms sencillo que podemos tener.

    Elegir una persona de la poblacin y que est enfermo. P es la prevalencia de la enfermedad

    en la poblacin de la que procede ese enfermo. Y tenemos tambin que aplicar un tratamiento

    a un enfermo, podra ser obtener un xito (curarle) o un fracaso. Vas a intervenir

    quirrgicamente a un paciente, puedes tener un xito o un fracaso.

    Sucesos del espacio muestral omega: E es estar enfermo o tener un xito en la curacin del

    paciente. E complementario, que sera el F, es estar sano o no curar al paciente.

    Creamos ahora una variable aleatoria, X discreta que tome slo dos resultados. Si el resultado

    es un xito esta variable va a tomar valor 1, y si es un fracaso va a tomar valor 0. Esta es una

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    variable indicador, indica que ha ocurrido algo. Ha ocurrido un xito, ha ocurrido que este

    paciente tena la enfermedad, o ha ocurrido que este paciente se ha curado. Da igual, pero

    puedo utilizar esta variable para sealar multitud de sucesos.

    Esta variable de Bernoulli, esta variable X, tiene una funcin de cuanta. Cul es esta funcin

    de cuanta? Este paciente va a tener la enfermedad con una prevalencia P, esta P es la

    probabilidad de obtener un xito, una curacin o estar enfermo. Si esto es estar enfermo, esta

    P es la prevalencia de la enfermedad, pero si esto es tener un xito en la operacin, lo que

    tengo que hacer previamente es estudiar qu es lo que ha pasado con varios individuos a los

    cuales les hayamos hecho la misma operacin y ver cul es esta frecuencia relativa de xito

    que sera P.

    Cul sera la probabilidad de no tener un xito? Estamos aplicando una norma de

    probabilidad. Si tenemos un suceso, cul es la probabilidad de que no ocurra ese suceso, pues

    1 menos la probabilidad de que ocurra. Tenemos P, y a este 1 P se le denomina Q y sera la

    probabilidad de no curar o de no tener la enfermedad. Es un experimento, es coger a un

    individuo y ste puede o no tener la enfermedad. Se le interviene, y se analiza cul es la

    probabilidad de obtener un xito o un fracaso en esa intervencin. Es el experimento que se

    hace constantemente en clnica.

    *p = probabilidad de xito y q =probabilidad de un fracaso.

    Esto es la variable de Bernoulli. Esto es para un individuo. Qu va a pasar entonces cuando

    nosotros tenemos varios individuos? Bueno, fijaos, decimos entonces que X sigue una

    distribucin de Bernoulli, cuando tenemos una situacin de un solo individuo y tenemos un

    xito o un fracaso, solamente decimos que X sigue una distribucin de Bernoulli. En este tipo

    de experimentos con resultados dicotmicos, la distribucin de la variable queda

    completamente determinada conociendo el parmetro P.

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    La media o esperanza de X (siendo X la variable de Bernoulli), sera p, y la varianza sera p x q

    (esto s que lo tenis que saber). Hay que saber de cada una de las distribuciones cul es la

    funcin de densidad, de distribucin, y por supuesto cul es la media y la varianza. Si la

    varianza es p x q, la desviacin estndar sera la raz cuadrada de p x q. As que ya tenemos la

    distribucin de Bernoulli, la cual es para una variable que solo puede tomar dos valores: 0 1.

    DISTRIBUCIN BINOMIAL

    En lugar de hacer un experimento con un paciente, ahora vamos a hacer n experimentos.

    Fijaos, voy a coger a mi paciente nmero 1, nmero 2, nmero 3 y nmero n. Para cada

    paciente vamos a crear una variable de Bernoulli, X1, X2, X3, Xn. Aqu todas son maysculas

    porque son los indicativos o nombres de las variables. Esta variable, va a tomar valor 1 0, y

    esta otra variable X2 va a tomar valor 1 0 dependiendo de las caractersticas de este

    paciente. En lugar de tener una distribucin de Bernoulli solamente, vamos a tener n

    distribuciones de Bernoulli, una para cada uno de los pacientes.

    Voy a crear una variable X que va a ser la suma de X1 + X2 + Xn.

    Si digo, quiero contar los individuos que tienen aqu esta caracterstica, que son naranjas.

    Imaginemos que los naranjas son los aos. Cundo va a tomar valor 1 la variable X1? Cuando

    este individuo sea naranja. En este caso X1 va a ser igual a 1. Qu valor va a tomar X2? Va a

    tomar el valor 0 porque no es naranja. Si yo quiero contar los naranjas, X3 va a tomar valor 1.

    Si yo voy a sumar X1, X2 y X3 (variables que solamente toman valor 0 1).

    Si quiero contar los individuos de color rojo, el que sea naranja ser 0, X2 sera 1 y X3 sera 0. A

    si que, cuando sumo todas las variables lo que obtengo es el nmero de individuos que tienen

    una determinada caracterstica o el nmero de xitos que tengo en n pruebas.

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    Esto se aplica en medicina? S, se aplica continuamente, por ejemplo el nmero de xitos en

    una intervencin quirrgica. Si voy a hacer 100 intervenciones quirrgicas, me interesa saber

    el nmero de xitos de esas intervenciones.

    Cundo vamos a aplicar una distribucin binomial?

    Si sumamos todas estas variables, me va a dar el nmero de individuos, de xitos en n

    pruebas. Este nmero de xitos en n pruebas se dice que sigue una distribucin binomial que

    depende de dos parmetros:

    n = el nmero de pruebas que haces.

    P = probabilidad de xito en cada una de esas pruebas.

    Esto tiene mucho que ver con cundo puedo utilizar esta distribucin binomial. Imaginaos que

    aqu hay 90 personas, entonces, hay 45 chicas y 45 chicos. Yo saco a esta persona, cul es la

    probabilidad que tengo de sacar a otra chica? Qu probabilidad tena de sacarla a ella? 45/90

    = . Cul es la probabilidad de que saque a otra chica? 44/89 es la probabilidad que tengo de

    sacar a otra chica. La probabilidad que tena de sacar a la primera persona no es igual que la

    probabilidad que tena de sacar a la segunda persona. Puedo utilizar aqu la distribucin

    binomial? NO. Tengo que utilizar otra distribucin diferente, porque en el primer experimento

    las probabilidades son diferentes que en el segundo. Por lo que, los experimentos no son

    independientes, ya que la probabilidad de sacar a una persona en un experimento es diferente

    a la probabilidad que tengo de sacar a una persona en el siguiente experimento.

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    Seguimos en la misma situacin, 90 personas (45 chicos y 45 chicas). Cul es la probabilidad

    de que saque a una chica? .

    Qu significa esto? La situacin de Bernoulli la puedo aplicar a poblaciones cuando hago un

    muestreo con reemplazamiento, as que la distribucin binomial la puedo utilizar cuando hago

    un muestreo con reemplazamiento. Tambin la puedo utilizar en los muestreos sin

    reemplazamiento, pero contando con la condicin de que la poblacin de la que est haciendo

    el muestreo sea muy muy muy grande. Si tengo un milln de personas, la mitad son hombres y

    la mitad son mujeres, y saco a una persona, Qu probabilidad tengo de sacar a una persona?

    . Cul va a ser la probabilidad de que en la siguiente extraccin saque a otra persona? Muy

    muy similar a , no igual, pero muy similar. As que, cundo puedo utilizar la distribucin de

    Bernoulli? Siempre que haga un muestreo con reemplazamiento o siempre que muestree de

    poblaciones muy grandes.

    Qu valores puede tomar la distribucin binomial? La variable X que tiene una distribucin

    binomial puede tomar valores siempre entre 0 y n. Si X sigue una distribucin binomial de

    parmetros n y P, los valores que puede tomar X son siempre entre 0 y n. La funcin de

    densidad o cuanta es esta que tenis aqu tan complicadita, que luego vamos a utilizar tablas y

    no la vamos a usar. Implica combinaciones. Ya veremos cmo se utilizan las tablas.

    La funcin de distribucin sera esta otra que tenemos aqu, esto sera cmo se calcula el

    nmero combinatorio. No os voy a pedir que sepis esto. Estas seran las tablas. Os daremos

    tablas para que aprendis a buscar esas probabilidades.

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    Lo que s que me interesa es que sepis que en la distribucin binomial, la esperanza

    matemtica, la media de una distribucin de X cuando sta sigue una distribucin binomial es

    siempre n x p. n que es el nmero de pruebas que hacemos x P.

    Esto tiene que ver con lo siguiente. Si s que la probabilidad de xito en cada una de mis

    intervenciones quirrgicas es de 0,25, y voy a hacer 100 intervenciones quirrgicas. Cuntos

    xitos esperara tener? n x 0,25 = 25 xitos. Esta es la esperanza matemtica, es la media de

    una distribucin binomial. Cul sera la desviacin estndar o la varianza de una distribucin

    binomial, de una variable que recoge el nmero de xito en n pruebas? Varianza = n x p x q (n=

    nmero de pruebas; P = probabilidad de xito en cada prueba; q= probabilidad de fracaso en

    cada prueba). Cul sera la desviacin estndar? La raz cuadrada de n x p x q.

    Con respecto a lo dado anteriormente, fundamental saber cmo son y dnde se utilizan en

    medicina tanto el modelo de Bernoulli como el binomial; las funciones de densidad y de

    distribucin d

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