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Grupos 24 y 28 04/03/2015
TEMA 7: MODELOS TERICOS DE PROBABILIDAD
Los modelos tericos de probabilidad son una serie de funciones de densidad y de distribucin,
y son para una serie de variables que van a aparecer muchsimas veces en medicina.
DISTRIBUCIN DE BERNOULLI
Tenemos a nuestro paciente, entra a nuestra consulta y este paciente puede estar enfermo o
puede estar sano. Este es el experimento ms sencillo que podemos tener.
Elegir una persona de la poblacin y que est enfermo. P es la prevalencia de la enfermedad
en la poblacin de la que procede ese enfermo. Y tenemos tambin que aplicar un tratamiento
a un enfermo, podra ser obtener un xito (curarle) o un fracaso. Vas a intervenir
quirrgicamente a un paciente, puedes tener un xito o un fracaso.
Sucesos del espacio muestral omega: E es estar enfermo o tener un xito en la curacin del
paciente. E complementario, que sera el F, es estar sano o no curar al paciente.
Creamos ahora una variable aleatoria, X discreta que tome slo dos resultados. Si el resultado
es un xito esta variable va a tomar valor 1, y si es un fracaso va a tomar valor 0. Esta es una
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variable indicador, indica que ha ocurrido algo. Ha ocurrido un xito, ha ocurrido que este
paciente tena la enfermedad, o ha ocurrido que este paciente se ha curado. Da igual, pero
puedo utilizar esta variable para sealar multitud de sucesos.
Esta variable de Bernoulli, esta variable X, tiene una funcin de cuanta. Cul es esta funcin
de cuanta? Este paciente va a tener la enfermedad con una prevalencia P, esta P es la
probabilidad de obtener un xito, una curacin o estar enfermo. Si esto es estar enfermo, esta
P es la prevalencia de la enfermedad, pero si esto es tener un xito en la operacin, lo que
tengo que hacer previamente es estudiar qu es lo que ha pasado con varios individuos a los
cuales les hayamos hecho la misma operacin y ver cul es esta frecuencia relativa de xito
que sera P.
Cul sera la probabilidad de no tener un xito? Estamos aplicando una norma de
probabilidad. Si tenemos un suceso, cul es la probabilidad de que no ocurra ese suceso, pues
1 menos la probabilidad de que ocurra. Tenemos P, y a este 1 P se le denomina Q y sera la
probabilidad de no curar o de no tener la enfermedad. Es un experimento, es coger a un
individuo y ste puede o no tener la enfermedad. Se le interviene, y se analiza cul es la
probabilidad de obtener un xito o un fracaso en esa intervencin. Es el experimento que se
hace constantemente en clnica.
*p = probabilidad de xito y q =probabilidad de un fracaso.
Esto es la variable de Bernoulli. Esto es para un individuo. Qu va a pasar entonces cuando
nosotros tenemos varios individuos? Bueno, fijaos, decimos entonces que X sigue una
distribucin de Bernoulli, cuando tenemos una situacin de un solo individuo y tenemos un
xito o un fracaso, solamente decimos que X sigue una distribucin de Bernoulli. En este tipo
de experimentos con resultados dicotmicos, la distribucin de la variable queda
completamente determinada conociendo el parmetro P.
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La media o esperanza de X (siendo X la variable de Bernoulli), sera p, y la varianza sera p x q
(esto s que lo tenis que saber). Hay que saber de cada una de las distribuciones cul es la
funcin de densidad, de distribucin, y por supuesto cul es la media y la varianza. Si la
varianza es p x q, la desviacin estndar sera la raz cuadrada de p x q. As que ya tenemos la
distribucin de Bernoulli, la cual es para una variable que solo puede tomar dos valores: 0 1.
DISTRIBUCIN BINOMIAL
En lugar de hacer un experimento con un paciente, ahora vamos a hacer n experimentos.
Fijaos, voy a coger a mi paciente nmero 1, nmero 2, nmero 3 y nmero n. Para cada
paciente vamos a crear una variable de Bernoulli, X1, X2, X3, Xn. Aqu todas son maysculas
porque son los indicativos o nombres de las variables. Esta variable, va a tomar valor 1 0, y
esta otra variable X2 va a tomar valor 1 0 dependiendo de las caractersticas de este
paciente. En lugar de tener una distribucin de Bernoulli solamente, vamos a tener n
distribuciones de Bernoulli, una para cada uno de los pacientes.
Voy a crear una variable X que va a ser la suma de X1 + X2 + Xn.
Si digo, quiero contar los individuos que tienen aqu esta caracterstica, que son naranjas.
Imaginemos que los naranjas son los aos. Cundo va a tomar valor 1 la variable X1? Cuando
este individuo sea naranja. En este caso X1 va a ser igual a 1. Qu valor va a tomar X2? Va a
tomar el valor 0 porque no es naranja. Si yo quiero contar los naranjas, X3 va a tomar valor 1.
Si yo voy a sumar X1, X2 y X3 (variables que solamente toman valor 0 1).
Si quiero contar los individuos de color rojo, el que sea naranja ser 0, X2 sera 1 y X3 sera 0. A
si que, cuando sumo todas las variables lo que obtengo es el nmero de individuos que tienen
una determinada caracterstica o el nmero de xitos que tengo en n pruebas.
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Esto se aplica en medicina? S, se aplica continuamente, por ejemplo el nmero de xitos en
una intervencin quirrgica. Si voy a hacer 100 intervenciones quirrgicas, me interesa saber
el nmero de xitos de esas intervenciones.
Cundo vamos a aplicar una distribucin binomial?
Si sumamos todas estas variables, me va a dar el nmero de individuos, de xitos en n
pruebas. Este nmero de xitos en n pruebas se dice que sigue una distribucin binomial que
depende de dos parmetros:
n = el nmero de pruebas que haces.
P = probabilidad de xito en cada una de esas pruebas.
Esto tiene mucho que ver con cundo puedo utilizar esta distribucin binomial. Imaginaos que
aqu hay 90 personas, entonces, hay 45 chicas y 45 chicos. Yo saco a esta persona, cul es la
probabilidad que tengo de sacar a otra chica? Qu probabilidad tena de sacarla a ella? 45/90
= . Cul es la probabilidad de que saque a otra chica? 44/89 es la probabilidad que tengo de
sacar a otra chica. La probabilidad que tena de sacar a la primera persona no es igual que la
probabilidad que tena de sacar a la segunda persona. Puedo utilizar aqu la distribucin
binomial? NO. Tengo que utilizar otra distribucin diferente, porque en el primer experimento
las probabilidades son diferentes que en el segundo. Por lo que, los experimentos no son
independientes, ya que la probabilidad de sacar a una persona en un experimento es diferente
a la probabilidad que tengo de sacar a una persona en el siguiente experimento.
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Seguimos en la misma situacin, 90 personas (45 chicos y 45 chicas). Cul es la probabilidad
de que saque a una chica? .
Qu significa esto? La situacin de Bernoulli la puedo aplicar a poblaciones cuando hago un
muestreo con reemplazamiento, as que la distribucin binomial la puedo utilizar cuando hago
un muestreo con reemplazamiento. Tambin la puedo utilizar en los muestreos sin
reemplazamiento, pero contando con la condicin de que la poblacin de la que est haciendo
el muestreo sea muy muy muy grande. Si tengo un milln de personas, la mitad son hombres y
la mitad son mujeres, y saco a una persona, Qu probabilidad tengo de sacar a una persona?
. Cul va a ser la probabilidad de que en la siguiente extraccin saque a otra persona? Muy
muy similar a , no igual, pero muy similar. As que, cundo puedo utilizar la distribucin de
Bernoulli? Siempre que haga un muestreo con reemplazamiento o siempre que muestree de
poblaciones muy grandes.
Qu valores puede tomar la distribucin binomial? La variable X que tiene una distribucin
binomial puede tomar valores siempre entre 0 y n. Si X sigue una distribucin binomial de
parmetros n y P, los valores que puede tomar X son siempre entre 0 y n. La funcin de
densidad o cuanta es esta que tenis aqu tan complicadita, que luego vamos a utilizar tablas y
no la vamos a usar. Implica combinaciones. Ya veremos cmo se utilizan las tablas.
La funcin de distribucin sera esta otra que tenemos aqu, esto sera cmo se calcula el
nmero combinatorio. No os voy a pedir que sepis esto. Estas seran las tablas. Os daremos
tablas para que aprendis a buscar esas probabilidades.
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Lo que s que me interesa es que sepis que en la distribucin binomial, la esperanza
matemtica, la media de una distribucin de X cuando sta sigue una distribucin binomial es
siempre n x p. n que es el nmero de pruebas que hacemos x P.
Esto tiene que ver con lo siguiente. Si s que la probabilidad de xito en cada una de mis
intervenciones quirrgicas es de 0,25, y voy a hacer 100 intervenciones quirrgicas. Cuntos
xitos esperara tener? n x 0,25 = 25 xitos. Esta es la esperanza matemtica, es la media de
una distribucin binomial. Cul sera la desviacin estndar o la varianza de una distribucin
binomial, de una variable que recoge el nmero de xito en n pruebas? Varianza = n x p x q (n=
nmero de pruebas; P = probabilidad de xito en cada prueba; q= probabilidad de fracaso en
cada prueba). Cul sera la desviacin estndar? La raz cuadrada de n x p x q.
Con respecto a lo dado anteriormente, fundamental saber cmo son y dnde se utilizan en
medicina tanto el modelo de Bernoulli como el binomial; las funciones de densidad y de
distribucin d
