Tema 7 Sistemas Trifasicos Equilibrados en Tensiones

Tema 7:SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EN TENSIONES.

7.0 OBJETIVOS7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E

INVERSA. 7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES

SIMPLES Y COMPUESTAS.7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA.

7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO.

7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS.7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.

7.6.1 CARGA EN ESTRELLA. 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO. 7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA 7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES.7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS.7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS.

7.9.1 MÉTODO DE ARON7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS.7.11 BIBLIOGRAFIA

2

• Saber las posibles conexiones de fuentes y cargas en sistemas trifásicos.• Comprender la importancia de la secuencia en un sistema trifásico.• Conocer métodos particulares de análisis en la resolución de circuitos trifásicos.• Estudiar la resolución de circuitos trifásicos equilibrados mediante su equivalente

monofásico.• Estimar la importancia del Teorema de Kenelly en la resolución de estrellas a tres hilos

por métodos de sustitución.• Valorar la importancia de la medida de potencia activa y reactiva en circuitos trifásicos.• Analizar el método de Aron y todas las consecuencias que de el se derivan.

7.0 OBJETIVOS

3

DEFINICIÓN:

Se denomina sistema trifásico al que se compone de tres tensiones.

Si las tres tensiones tienen el mismo modulo y están desfasadas entre si 120º, se dice que el sistema es trifásico equilibrado en tensiones, cuando no se cumple un de las doscondiciones entonces decimos que el sistema es desequilibrado en tensiones

Nosotros en este tema solo estudiaremos los circuitos trifásicos equilibrados en tensiones

7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (1)

Sistema trifásico equilibrado

|U10|= |U20|= |U30| y φ1=φ2=φ3

Sistema trifásico desequilibrado

|U10|= |U20|= |U30| pero φ1≠φ2≠φ3

Sistema trifásico desequilibrado

φ1=φ2=φ3 pero |U10|≠ |U20|≠ |U30|

ω

U10

U20

U30

φ2

φ1

φ3

ω

U10

U20

U30

φ3

φ1

φ2

ω

U10

U20

U30

φ3

φ1

φ2

4

Si al recorrer el diagrama vectorial de las tensiones encontramos que pasan según el orden 1-2-3, entonces decimos que la secuencia es directa, si por el contrario pasan según el orden 1-3-2, entonces a la secuencia le llamamos inversa.

ωωωω

U10

U20

U30

S.D.

ωωωω

U10

U30

U20

S.I.R

S

T

1

2

3

Para pasar de un sistema directo a un sistema inverso o viceversa bastaría con permutar el orden de llegada de dos fases

7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (2)

5

3

2

1

3

30

3

303

2

20

2

202

1

10

1

101

ϕ

ϕ

ϕ

∠

∠

∠

==

==

==

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

ZZ11

ZZ33

ZZ22

II11

II22

II33UU3030

UU1010

UU2020

II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )

000000

2

1

3

Este sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilosEste sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilos si tenemos en cuenta si tenemos en cuenta que la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 Vque la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 V..

7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (1)

6

3

2

1

3

30

3

303

2

20

2

202

1

10

1

101

ϕ

ϕ

ϕ

∠

∠

∠

==

==

==

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas condiciones que en condiciones que en el de seis, ademel de seis, ademáás podemos decir que:s podemos decir que:

••0 es el neutro del generador0 es el neutro del generador

••00’’ es el neutro de la cargaes el neutro de la carga

••UU1010, , UU2020, , UU3030 son las tensiones simplesson las tensiones simples

••UU1212, , UU2323, , UU3131 son las tensiones compuestasson las tensiones compuestas

ZZ11

ZZ33

ZZ22

II11

II22

II33UU3030

UU1010

UU2020

II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )

0 0’=0

2

1

3

UU1212

UU2323

UU3131


7

103031

302023

201012

UUU

UUU

UUU

−=−=−=

De la aplicación de la 2ª ley de Kirchhoff a las tensiones simples y compuestas

ZZ11

ZZ33

ZZ22

II11

II22

II33UU3030

UU1010

UU2020

II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )

0 0’=0

2

1

3

UU1212

UU2323

UU3131

1

3

2

U10

U20

U30

U31

U12U23

U10

U20

U30

U12

U31

U23

ω

S.I.ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

S.D. U10U20

U30

U12

U23

U31

1

3

2


8

°−∠

°∠

°∠

°∠

°−∠

°∠

===

===

12030

12020

010

12030

12020

010

Inversa Sec.Directa Sec.

S

S

S

S

S

S

UU

UU

UU

UU

UU

UU

103031

302023

201012

UUU

UUU

UUU

−=−=−=

De la observación de las ecuaciones y teniendo en cuenta que las tensiones simples formaban un sistema trifásico equilibrado en tensiones, se puede afirmar que las compuesta también lo forman, y teniendo en cuenta que la representación gráfica de la suma vectorial coincide en todos los casos formando triángulos de las mismas dimensiones, si llamamos al modulo de las tensiones simples Us, se puede decir que:

UU1010 --UU2020

UU1212

30º 30º

°−∠°∠

°∠°−∠

°−∠°∠

====

⋅=⋅=

⋅=⋅⋅=⋅+⋅=°⋅+°⋅=

12012311201231

12012231201223

301012301012

201012

33

SISD

32

32

2

3

2

330cos30cos

UUUU

UUUU

UUUU

UUUUUUU SSSS


9

Cuando a cada una de las fases se conecta una carga y estas se unen entre si y al hilo neutro, se dice que las cargas están cerradas formando una estrella para S.D.

ZZ11

ZZ33

ZZ22

II11

II22

II33

II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )

0’=0

2

1

3

UU1212

UU2323

UU3131

3

21

3

30

3

303

2

20

2

202

1

10

1

101

ϕ

ϕϕ

∠

∠∠

==

====

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

UI

00321321

120λλ

30

3

303120

λλ

20

2

202

λλ

10

1

101

=−=++⇒===

========= −∠∠

−−∠∠

−∠∠

IIIIIIII

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

s

s

s

λ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Además, cuando las tres cargas son idénticas entre si se dice que la estrella es equilibrada y en este caso se cumple que:

λϕϕϕϕ ∠∠∠∠ ===λ321 321

ZZZZ

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (1)

10

Con las consideraciones expuestas anteriormente se puede decir que el diagrama vectorial del sistema se corresponde con:

0

s

s

s

S.I.

s

s

s

S.D.

0321321

120λλ

30

3

303120

λλ

20

2

202

λλ

10

1

101

120λλ

30

3

303120

λλ

20

2

202

λλ

10

1

101

=−=++⇒===

=========

=========

−−∠∠

−∠∠

−∠∠

−∠∠

−−∠∠

−∠∠

IIIIIIII

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

Z

U

Z

U

Z

UI

λ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λϕϕϕϕ ∠∠∠∠ ===λ321 321

ZZZZ

ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

S.D.I1

I2

I3

ϕλ

ϕλ

ϕλ

U10

U20

U30

U12

U31

U23

ω

S.I.

I1

I3

I2

ϕλ

ϕλ

ϕλ

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (2)

11

Como se cumple que para el caso de cargas equilibradas:

0 0321321 =−=++⇒=== IIIIIIII λ

Se puede pasar de un sistema a cuatro hilos a uno de tres hilos ya que por el neutro no circula corriente y puede eliminarse.

ZZ11

ZZ33

ZZ22

II11

II22

II33

0’=02

1

3

UU1212

UU2323

UU3131

Este tipo de circuitos pueden estudiarse mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases

ZZ11II11

0

1

UU1010

1201312012λλ

10

1

101

1201312012λλ

10

1

101

1 1 s

S.I.

1 1 s

S.D.

−∠∠−∠∠

∠−∠−∠∠

⋅=⋅====

⋅=⋅====

IIIIZ

U

Z

U

Z

UI

IIIIZ

U

Z

U

Z

UI

λ

λ

λ

λ

ϕϕ

ϕϕ

Se dice que el equivalente monofásico de una estrella esta formado por la tensión simple, la corriente de línea o compuesta y la impedancia de la estrella

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (3)7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.

12

Volviendo al sistema a seis hilos, se podría haber conectado de la siguiente forma:

233131223231121

31

3131

23

2323

12

1212

IIIIIIIII

Z

UI

Z

UI

Z

UI

−=−=−=

===

Z12 Z31

Z23

I12

I23

I31

U31

U12

U23

I1 = (I12 - I31)

2

1

3

I2 = (I23 - I12)

I3 = (I31 - I23)

1 11

2

2 2

3 33

DONDE:

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (1)

13

El diagrama vectorial seria:

U12

U31

U23

ω

S.I.I23

I12

I31

-I23 I3I1

-I31

-I12I2

ϕ23

ϕ31

ϕ12

ω

I12I23

I31 U12

U23

U31

S.D.I1

I2

I3

ϕ12

ϕ3

1

ϕ23

-I31-I12

-I23


14

En esta conexión, si en lugar de tres generadores monofásicos se pone un generador trifásico:

Z12Z31

Z23

I12

I23

I31

U31

U12

U23

I1 = (I12 - I31)

2I2 = (I23 - I12)

I3 = (I31 - I23)

1 1

2

3 3

23313

1223231121

31

3131

23

2323

12

1212

III

IIIIII

Z

UI

Z

UI

Z

UI

−=−=−=

=

==

Donde:

• U12, U23 y U31 son las tensiones compuestas del sistema

• I12, I23 e I31 son las intensidades simples o de carga

• I1, I2 e I3 son las intensidades compuestas o de línea


15

Cuando la carga en triángulo es equilibrada se cumple que:

-120Uc

Uc

-120Uc

Uc

-Uc

Uc

S.I.

-120Uc

Uc

-120Uc

Uc

-Uc

Uc

S.D.

-120012

31

3131

-120012

23

2323

-0

12

1212

-120012

31

3131

-120012

23

2323

-0

12

1212

∆

∆

∆

∆

∆

∆

−∠∆∆∆∠∆

°−∠

°∠∆∆∆∠∆

°∠

∠∆∆∆∠∆

°∠

∠∆∆∆∠∆

°∠

°−∠∆∆∆∠∆

°−∠

∠∆∆∆∠∆

°∠

=−∠===

=∠===

=∠===

=∠===

=−∠===

=∠===

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

IsZZZ

UI

IsZZZ

UI

IsZZZ

UI

IsZZZ

UI

IsZZZ

UI

IsZZZ

UI

11

S.I.

11

S.D.

12012311201223

-12031

-12023

-12

12012311201223

-12031

-12023

-12

°−∠°∠

−∠

°∠

∠°∠°−∠

∠

°−∠

∠ ⋅=⋅=⇒

==

=⋅=⋅=⇒

==

=

∆

∆

∆

∆

∆

∆ IIII

IsI

IsI

IsIIIII

IsI

IsI

IsI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (4) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

312312 ∆∠∆∆ ==== ϕZZZZZ

16

ω

I23

I31 U12

U23

U31

S.D.

I2

I3

ϕ3

1

ϕ23 -I12

-I23

I12

I1

ϕ12

-I3130º

30º30º30º

30º

30º

ωI23

I31

U12

U31

U23

S.I.

I2

I3

ϕ3

1

ϕ23

-I12

-I23

I12

I1

ϕ12 -I31

30º30º

30º

30º

30º

30º

Cuando la carga en triángulo es equilibrada el diagrama vectorial será:

En este caso se observa que las intensidades de línea en secuencia directa retrasan 30º respecto de las de carga, mientras que en secuencia inversa sucede lo contrario, pero en ambos casos se forman sistemas trifásicos equilibrados en corrientes, cumpliendo que si llamamos al modulo de las corrientes de carga Is y al de las corrientes de línea Ic:

IcIscosIscosIcosII

IcIscosIscosIcosII

IcIscosIscosIcosII

IsIII

=⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅==⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅==⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅=

⇒===33023030

33023030

33023030

23313

12232

31121

312312

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (5)7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

17

Cuando la carga en triángulo es equilibrada a la hora de estudiar el circuito, el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases.

Z12

I12

U12

°−∠°∠°∠

°−∠°∠

−∠

°∠

∠

°∠°−∠°−∠

°∠°−∠

∠

°−∠

∠

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=

⇒

==

=

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=

⇒

==

=

∆

∆

∆

∆

∆

∆

120131201230121

12012311201223

12031

12023

12

120131201230121

12012311201223

12031

12023

12

113

11

113

11

IIIIII

IIII

IsI

IsI

IsI

IIIIII

IIII

IsI

IsI

IsI

S.I.

S.D.

-

-

-

-

-

-

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Se dice que el equivalente monofásico de un triangulo esta formado por la tensión compuesta y la corriente simple o de carga y la impedancia del triángulo

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (6) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

18

Cuando la carga del sistema trifásico es equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, se calcularía la potencia de una fase y se multiplicaría por tres para obtener la potencia total.

Z∆∆∆∆

ISUC

ZλλλλIL

0

1

US

LCLS

LCLS

LCLS

LS

LS

LS

33 m3

sen3sen3 m3

cos3cos3 m3

m

senm

cosm

IUIUSS

IUIUQQ

IUIUPP

IUS

IUQ

IUP

⋅⋅=⋅⋅==

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

LCSC

LCSC

LCSC

SC

SC

SC

33 m3

sen3sen3 m3

cos3cos3 m3

m

senm

cosm

IUIUSS

IUIUQQ

IUIUPP

IUS

IUQ

IUP

⋅⋅=⋅⋅==

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS.

19

Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico.

Zλλλλ

Zλλλλ

Zλλλλ

I1

I2

I3

0’=02

1

3

U12

U23

U31

ZλλλλI1

0

1

U10

1201312012λλ

10

1

101

1201312012λλ

10

1

101

1 1 s

S.I.

1 1 s

S.D.

−∠∠−∠∠

∠−∠−∠∠

⋅=⋅====

⋅=⋅====

IIIIZ

U

Z

U

Z

UI

IIIIZ

U

Z

U

Z

UI

λ

λ

λ

λ

ϕϕ

ϕϕ

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (1)7.6.1 CARGA EN ESTRELLA

20

Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella desequilibrada el estudio se hace mediante tres métodos que son: lazos básicos, mallas o desplazamiento del neutro. Si bien en algunos casos se hace la transformación de estrella a triangulo y se resuelve según el siguiente apartado.

Z1

Z3

Z2

I1

I2

I3

0’≠ 02

1

3

U12

U23

U31

IA

IB

B3

AB2

A1

23

12

B

A

322

221

II

III

II

U

U

I

I

ZZZ

ZZZ

−=−=

=⇒

=

⋅

+−−+


21

321

3032021010'0

1

10

0'0

YYY

UYUYUYU

Y

UYU

n

ii

n

iii

++⋅+⋅+⋅=

=⋅

=∑

∑

=

=

Z1

Z3

Z2

I1

I2

I3

0’2

1

3

U20

U30

U10

U0’0

El método del desplazamiento del neutro se basa en el teorema de Millman

3

0030

3

303

2

0020

2

202

1

0010

1

101

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

Z

UU

Z

UI

''

''

''

−==

−==

−==

2

U10U20

U30

U12

U23

U31

1

3

0

0’U0’0

U10’

U20’

U30’


22

Cuando la carga en estrella es desquilibrada mediante la transformación estrella-triangulo y el estudio del triángulo desequilibrado.

2

13322131

1

13322123

3

13322112

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=


23

Cuando la carga en triángulo es equilibrada se resuelve mediante la reducción al equivalente monofásico del propio triángulo.

Z∆∆∆∆

I12

U12

°−∠°∠

−∠

°∠

∠

°∠°−∠

∠

°−∠

∠

⋅=⋅=⇒

==

=

⋅=⋅=⇒

==

=

∆

∆

∆

∆

∆

∆

12012311201223

-12031

-12023

-12

12012311201223

-12031

-12023

-12

11

S.I.

11

S.D.

IIII

IsI

IsI

IsI

IIII

IsI

IsI

IsI

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∆

=Z

UI 12

12

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (5)7.6.2 CARGA EN TRIANGULO

24

Cuando la carga en triángulo es desequilibrada se resuelve mediante las ecuaciones del triángulo

Z12Z31

Z23

I12

I23

I31

U31

U12

U23

I1 = (I12 - I31)

2I2 = (I23 - I12)

I3 = (I31 - I23)

1 1

2

3 3

23313

1223231121

31

3131

23

2323

12

1212

III

IIIIII

Z

UI

Z

UI

Z

UI

−=−=−=

=

==


25

Otro método que no suele ser muy utilizado es la transformación del triángulo-estrella

312312

23313

312312

12232

312312

31121

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

++⋅=

++⋅=

++⋅=


26

Se agrupan las cargas de cada rama de la estrella con la de línea que le precede y se estudia la estrella resultante según lo visto en el apartado 7.6.1., . Hay que tener en cuenta que la tensión en la carga en estrella no es la tensión del generador ya que en la línea se produce una caída de tensión

I1

I2

I3

0’≠ 02

1

3

U12

U23

U31 ZL2

ZL3

2’

1’

3’

ZL1 Z1

Z2

Z3

U11’

U22’

U33’

U1’0’

U2’0’

U3’0’

Z’1

Z’3

Z’2

I1

I2

I3

0’=02

1

3

U12

U23

U31

3L33

2L22

1L11

ZZ'Z

ZZ'Z

ZZ'Z

+=+=+=

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (8)7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA

27

Se transforma el triangulo en su estrella equivalente según las ecuaciones de la transformación triangulo-estrella vistas en el apartado anterior, y después se estudiara como una estrella con carga en la línea

I1

I2

I3

0’≠ 02

1

3

U12

U23

U31 ZL2

ZL3

2’

1’

3’

ZL1 Z1

Z2

Z3

U11’

U22’

U33’

U1’0’

U2’0’

U3’0’

2

3

U12

U23

U31

I11 1’ZL1

U11’

I2ZL2 2’

U22’

I3ZL3 3’

U33’

Z31

Z12

Z

23

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (9)7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

28

Para resolver este sistema se tienen que conocer las corrientes que llegan al triángulo y las que llegan a la estrella, para obtener a partir de ellas la corriente de la línea. Existen tres métodos superposición, transformación del triángulo a la estrella equivalente o bien transformación de la estrella al triangulo equivalente

I’1

I’2

I’3

0’≠ 02

1

3

U12

U23

U31

Z1

Z2

Z3

U1’0’

U2’0’

U3’0’I” 2

Z31

Z12 Z23

I” 1 I” 3

I1

I2

I3

333

222

111

"I'II

"I'II

"I'II

+=+=+=

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (10)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

29

Para resolver este sistema por superposición: se estudia por una parte la estrella y por otra el triángulo;

333

222

111

"I'II

"I'II

"I'II

+=+=+=

Z1

Z3

Z2

I’1

I’2

I’3

0≠02

1

3

U12

U23

U31

Z12

Z31

Z23

I12

I23

I31

U31

U12

U23

I” 1 = (I12 - I31)

2I” 2 = (I23 - I12)

I” 3 = (I31 - I23)

1 1

2

3 3


30

Para resolver este sistema por transformación de la estrella en el triángulo equivalente, entonces en cada rama del triangulo tendremos dos impedancias en paralelo y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será un triangulo equivalente.

Z12

Z31

Z23

I12

I23

I31

U31

U12

U23

2

1 1

2

3 3

Z’12

I’12

I1

I2

I3Z’23

I’23

Z’31

I’31


31

Para resolver este sistema por transformación del triángulo a la estrella equivalente, se necesita que las dos cargas sean equilibradas, entonces tendremos dos impedancias en paralelo para cada rama de la estrella y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será una estrella también equilibrada.

I’1

I’2

I’3

0’= 0

2

1

3

U12

U23

U31

Z1

Z2

Z3

I” 2

Z’1

Z’2

I” 1 I” 3

I1

I2

I3

Z’3

Z1P

Z3P

Z2P

I1

I2

I3

0’=02

1

3

U12

U23

U31

333P

222P

111P

'ZZZ

'ZZZ

'ZZZ

+=+=+=

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (13) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

32

I’1

I’2

I’3

0’≠ 02

1

3

U12

U23U

31

Z1

Z2

Z3

U1’0’

U2’0’

U3’0’I” 2

Z31

Z12 Z23

I” 1 I” 3

I1

I2

I3

ZL1

ZL2

ZL3

2’

1’

3’

U1’

2’U

2’3’U

3’1’

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (14)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

33

ZL1

ZL2

ZL3

2’

1’

3’

U1’

2’U

2’3’U

3’1’

Z12

Z31

Z23

I12

I23

I31

U31 U

12U

23

2

1 1

2

3 3

Z’12

I’12

I1

I2

I3Z’23

I’23

Z’31

I’31

En el caso de cargas desequilibradas hay que hacer la transformación de la estrella al triángulo equivalente, se calculan las ramas del triangulo equivalente como hemos calculado para carga en triangulo y en estrella, y entonces se estudia igual que una carga en triangulo y en la línea.


34

En el caso de cargas equilibradas hay que hacer la transformación del triángulo a la estrella equivalente, y se calcula el equivalente monofásico del circuito

ZL 1I11’

U1’0 U10

00

I’1

0

Zλλλλ

I” 1

0

Z∆∆∆∆/3


35

En los sistemas trifásicos equilibrados en tensiones se puede determinar el orden de sucesión de fases mediante sencillos montajes como los de las siguientes figuras:

H1

H2C

SR T

IR

IS

IT

0’

VC

S

IS

R

TR

IR

IT

0’ 0’

VL

S

IS

R

TR

IR

IT

Se puede observar que los montajes como los de las figuras se corresponden con cargas trifásicas desequilibradas de forma que el 0’≠0, y por tanto las tensiones que caen en cada rama de la estrella desequilibrada serán diferentes, el valor de esta tensión será el que nos dará la secuencia del sistema.

En una carga para cambiar el orden de sucesión de fases basta con permutar dos de las fases entre si y ya se consigue.

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (1)

H1

H2L

SR T

IR

IS

IT

0’

36

Estudiaremos cada uno de los cuatro montajes:

Para el primer montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, entonces se podría calcular el equivalente de Thevenin en bornes del condensador, es decir entre la fase R y 0’, para ello

P

UR

R

UI

IUP 2

=

=

⋅=

R

R

UTHS

R

T

0’

UTR

URS R�IR

IR

R�IR

2

2

TRRSTH

RRSTH

RTHRS

RTR

UUU

IRUU

IRUU

IRU

+=

⋅+=⋅−=

⋅⋅=

R

R

S

R

T

0’

ZTH

22

2 R

R

RZTH ==

0’

S

CUCURS

+UTR

/2

UR/2

I

~ I

RS

T

0’

UTR

UTR

/2

UST

UT0’

URS

UTH

UR0’

UR/2

UC

I

RS

T

0’

UC

UTR

/2

UR0’U

TH

UT0’

UR/2

°−∠

=−

=ϕZ

U

jXcR

UI ThTh

2H2>H1 ⇒ SD H1>H2 ⇒ SI

H1

H2C

SR T

IR

IS

IT

0’


37

Para el segundo montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, igualmente se podría calcular el equivalente de Thévenin en bornes de la bobina, es decir entre la fase R y 0’, para ello:

P

UR

R

UI

IUP 2

=

=

⋅=

R

R

UTHS

R

T

0’

UTR

URS R�IR

IR

R�IR 2

2

TRRSTH

RRSTH

RTHRS

RTR

UUU

IRUU

IRUU

IRU

+=

⋅+=⋅−=

⋅⋅=

R

R

S

R

T

0’Z

TH

22

2 R

R

RZTH ==

T

T

I

RS

0’UL

UTR

/2

UR0’

UTH

UT0’

UR/2

°∠=

+=

ϕZ

U

jXR

UI Th

L

Th

2 I

RS

0’

UTR

UTR

/2

UST

UT0’

URS

UTH

UR0’

UR/2

UL

H1>H2 ⇒ SD H2>H1 ⇒ SI


H1

H2L

SR T

IR

IS

IT

0’

0’

S

LULURS

+UTR

/2

UR/2

I

~

38

P

UR

R

UI

IUP 2

=

=

⋅=

Para el montaje de la tercera figura, si consideramos la resistencia de las lámparas, y si además se considera que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por un condensador y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán:

V

C

SIS

R

T

RIR

IT

0’

U0’T

RSSR

CRSCRSS

RSRSR

RSCRS

RS

UUU

XIXIU

RIRIU

IZ

U

jXcR

UI

=+−∠=−∠⋅∠=

∠=⋅∠=

∠=−∠

=−

= ∠

''

'

'

º

º�º

º�

ºº

00

0

0

0

9090 ϕϕϕϕ

ϕϕ

RS

T

UST

UTR

UR0’

UT0’

UT0’

I

φ

T

0’

UTR

UST

URS

U0’S

S.D.

S.I.L.V.>Uc ⇒ SD

L.V.<Uc ⇒ SI


39

Para el montaje de la cuarta figura, volviendo a considerar la resistencia de las lámparas, y que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por una bobina y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán

P

UR

R

UI

IUP 2

=

=

⋅=

RSS''R

CRSLRSS'

RSRS'R

RSºC

L

RSRS

UUU

ºX·IºXIU

ºR·IRIU

ºIºZ

U

jXR

UI

=++−∠=∠⋅−∠=

−∠=⋅−∠=

−∠=∠

=+

= ∠

00

0

0

0

9090 ϕϕϕϕ

ϕϕ

L.V.<Uc ⇒ SD

L.V.>Uc ⇒ SI

RS

T

UST

UTR

UR0’

UT0’

UT0’

Iφ

T

0’

UTR

UST

URS

U0’S

S.D.

S.I.


V

L

SIS

R

T

RIR

IT=0

0’

U0’T

Z=∞

40

CARGA EN ESTRELLA Y DESEQUILIBRADA

W1

W3

W2 0’=0

Z1

Z2

Z3

0

U10

U20

U30

U10

U20

U30

I1

I2

I3

1

2

3

I0

W3W2W1333022201110321++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++= ϕϕϕ cosIUcosIUcosIUPPPP ZZZ

3330330330

2220220220

1110110110

LW3

2LW

1LW

ϕ

ϕ

ϕ

cosIUIUcosIU

cosIUIUcosIU

cosIUIUcosIU

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

∧

∧

∧

7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (1)

41

CARGA EN ESTRELLA Y EQUILIBRADA

W33 =⋅⋅= ϕcosIUP LC

ϕ

ϕ

cosIUIUcosIU

IIIIZZZZZ

LS

L

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

===⇒°∠====∧

110110

321321

1LW

W1

0’=0

Z1

Z2

Z3

U10

U20

U30

U10

I1

I2

I3

1

2

3

I0


42

CARGA RESISTIVA PURA Y EQUILIBRADA

W23033 =⋅=°⋅⋅=⋅⋅= LCLCLC IUcosIUcosIUP ϕ

LCLC

L

IUcosIUIUcosIU

IIII

⋅=°⋅⋅=

⋅⋅⋅=

===∧

2

330LW 113113

321

U13

Z

W1

I1 ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

S.D.

I1I2

I3

U13

U10

U20

U30

U12

U31

U23

ωS.I.

I1

I3

I2 U13


43

CARGA DESEQUILIBRADA

W1

W3

W2 0”

Z1

Z2

Z3

0’

u10”

u20”

u30”

u10’

u20’

u30’

i1

i2

i3

1

2

3

u0’0”

( )

( )

( )

( ) tuiuiui

PPPP

tuiP

tuiP

tuiP

"""

"

"

"

dT

1

dT

1

dT

1

dT

1

303202101

Z3Z2Z1

303Z3

202Z2

101Z1

∫

∫

∫

∫

⋅+⋅+⋅

=++=

⋅=

⋅=

⋅=

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) Ptuiuiuiiii

tiiiuuiuiui

tuuiuuiuui

tuuituuituui

uuuuuuuuu

tuituitui

"""

"'"""

"'""'""'"

"'""'""'"

"'"'"'"'"'"'

'''

=⋅+⋅+⋅=++⇒=++

++⋅−⋅+⋅+⋅

=−⋅+−⋅+−⋅=++

−⋅=−⋅=−⋅=

−=−=−=

⋅=⋅=⋅=

∫

∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

dT

1WWW0

dT

1

dT

1WWW

dT

1Wd

T

1Wd

T

1W

dT

1Wd

T

1Wd

T

1W

303202101321321

32100303202101

003030020200101321

003033002022001011

003030002020001010

303320221011


44


( )

( )

( )

( ) tuiuiui

PPPP

tuiP

tuiP

tuiP

"""

"

"

"

dT

1

dT

1

dT

1

dT

1

303202101

Z3Z2Z1

303Z3

202Z2

101Z1

∫

∫

∫

∫

⋅+⋅+⋅

=++=

⋅=

⋅=

⋅=

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) Ptuiuiuiiii

tiiiuuiuiui

tuuiuuiuui

tuuituuituui

uuuuuuuuu

tuituitui

"""

"'"""

"'""'""'"

"'""'""'"

"'"'"'"'"'"'

'''

=⋅+⋅+⋅=++⇒=++

++⋅−⋅+⋅+⋅

=−⋅+−⋅+−⋅=++

−⋅=−⋅=−⋅=

−=−=−=

⋅=⋅=⋅=

∫

∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

dT

1WWW0

dT

1

dT

1WWW

dT

1Wd

T

1Wd

T

1W

dT

1Wd

T

1Wd

T

1W

303202101321321

32100303202101

003030020200101321

003033002022001011

003030002020001010

303320221011

W1

W3

W2 0”

Z1

Z2

Z3

0’

u10”

u20”

u30”

u10’

u20’

u30’

i1

i2

i3

1

2

3

u0’0”


45


Además como finalmente el neutro de los vatímetros no interfiere en el resultado final podría estar a cualquier potencial luego podría puentearse con cualquiera de las fases, de esta forma el vatímetro que toma la corriente de esa fase marcaría cero y los otros dos vatímetros variaran su lectura de forma que su suma coincida con la de los tres vatímetros cuando el neutro de las bobinas voltimétricas estaba al aire. De esta forma se pasa de un sistema de medida con tres vatímetros a uno con dos vatímetros que nos permite medir potencia activa en cargas equilibradas y desequilibradas, y que llamaremos el método de Aron o de los dos vatímetros.

Vemos por tanto que al no haber considerado ninguna secuencia de fases este método de medida de potencias es valido para secuencia directa e inversa

W1

W3

W2 0”

Z1

Z2

Z3

0’

u10”

u20”

u30”

u10’

u20’

u30’

i1

i2

i3

1

2

3

u0’0”


46

W1

W2

I1

I2 W5

I3

I2

W6I3W4

W3

I1

Este método sirve para medir potencia activa para cargas equilibradas ydesequilibradas tanto para secuencia directa como para inversa, y para la medida de la potencia reactiva en los sistemas equilibrados y en ambas secuencias, la disposición de los vatímetros puede ser cualquiera de las figuras siguientes

En todas ellas hay un vatímetro que toma la intensidad de la fase “i” y la tensión desde esta misma fase “i” hasta la fase “i-1”, a este vatímetro en el método de Aron le llamaremos vatímetro “1”, mientras que el otro vatímetro toma la intensidad de otra fase “j”= “i+1” y la tensión de la fase “j” hasta la fase “j+1” a este segundo vatímetro le llamaremos vatímetro “2”

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (7)7.9.1 MÉTODO DE ARON

47

Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada

WI

WJ

i

i-1

j

j+1

Ii

Ij

ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

ϕϕ

U13ϕ +30º ϕ-30º

( ) ( )

( ) ( ) 2CLCL1jj,j1jj,jJ

1CLCL1-i,ii1-i,iiI

Wsensen30cos30cos30coscosW

Wsensen30cos30cos30-coscosW

=⋅°−°⋅⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅⋅=

=⋅°+°⋅⋅⋅=°⋅⋅=

⋅⋅=

∧

++

∧

ϕϕϕ

ϕϕϕ

UIUIUIUI

UIUIUIUI

( )

( )3

Qsen

2

1sen2sensen302W-W

Pcos32

3cos20cos3cos2WW

CLCLCL21

CLCLCL21

=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅°⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅⋅=+

ϕϕϕ

ϕϕϕ

UIUIUI

UIUIUI

S. D.


48

Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada

WI

WJ

i

i-1

j

j+1

Ii

Ij S. I.

ϕ +30º

U10

U20

U30

U12

U31

U23

ω

U13

ϕ -30º

ϕ

ϕ

II

IJ

( ) ( )

( ) ( ) 1CLCL1jj,j1jj,jJ

2CLCL1-ii,i1-ii,iI



=⋅°+°⋅⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅⋅=

=⋅°−°⋅⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅⋅=

∧

++

∧

ϕϕϕ

ϕϕϕ

UIUIUIUI

UIUIUIUI

( )

( )3

sen2

1sen2sensen302W-W

cos32

3cos20cos3cos2WW

CLCLCL21

CLCLCL21

QUIUIUI

PUIUIUI

=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅°⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅⋅=+

ϕϕϕ

ϕϕϕ


49

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias

Secuencia directa ϕ =0º carga resistiva pura

( ) ( )

( ) ( )

0WW

2

330co30cosW

2

330-cos30-cosW

JI

CLCLCLJ

CLCLCLI

>=⇒

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

Secuencia directa ϕ =30º inductivos( ) ( )

( ) ( )0W2W

2

160co30cosW

cos030-cosW

JI

CLCLCLJ

CLCLCLI

>=⇒

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

Secuencia directa ϕ =60º inductivos

( ) ( )

( ) ( )JI

CLCLJ

CLCLCLI

W0W

090co30cosW

2

3cos3030-cosW

=>⇒

=°⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=

sUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


50


Secuencia directa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º)

Secuencia directa ϕ =90º inductivos

( ) ( )

( ) ( )JI

CLCLJ

CLCLI

W0W

0105co30cosW

0cos4530-cosW

>>⇒

<°⋅⋅=°+⋅⋅=

>°⋅⋅=°⋅⋅=

sUIUI

UIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )JI

JI

CLCLCLJ

CLCLCLI

W0W

WW

2

1120co30cosW

2

1cos6030-cosW

>>−=

⇒

⋅−=°⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


51


Secuencia directa ϕ =-30º capacitivos


( ) ( )

( ) ( )0W2W

0co30cosW

2

160-cos30-cosW

IJ

CLCLCLJ

CLCLCLI

>=⇒

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )IJ

CLCLCLJ

CLCLI

W0W

2

330co30cosW

090-cos30-cosW

=>⇒

⋅=°−⋅⋅=°+⋅⋅=

=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUI

ϕ

ϕ

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (12) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

52


Secuencia directa -60º>ϕ>-90º capacitivos (por ejemplo 75º)


( ) ( )

( ) ( )IJ

CLCLJ

CLCLI

W0W

045co30cosW

0105-cos30-cosW

>>⇒

>°⋅⋅=°+⋅⋅=

<°⋅⋅=°⋅⋅=

sUIUI

UIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )IJ

IJ

CLCLCLJ

CLCLCLI

W0W

WW

2

160co30cosW

2

1120-cos30-cosW

>>−=

⇒

⋅=°−⋅⋅=°+⋅⋅=

⋅−=°⋅⋅=°⋅⋅=

UIsUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


53


Secuencia inversa ϕ =0º carga resistiva pura

( ) ( )( ) ( )

0W2Wcos030cosW

2

1cos6030cosW

IJ

CLCLCLJ

CLCLCLI >=⇒

⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( ) IJ

CLCLCLJ

CLCLI

W0W

2

3cos3030cosW

0cos9030cosW

=>⇒⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=

=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUI

ϕ

ϕ

Secuencia inversa ϕ =30º inductivos



( ) ( )

( ) ( )0WW

2

330- cos30cosW

2

330 cos30cosW

JI

CLCLCLJ

CLCLCLI

>=⇒

⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅=°+⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

54


Secuencia inversa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º)


( ) ( )( ) ( ) IJ

CLCLJ

CLCLI W0W0cos4530cosW

0cos10530cosW>>⇒

>°⋅⋅=°−⋅⋅=<°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUI

UIUI

ϕϕ

( ) ( )

( ) ( ) IJ

IJ

CLCLCLJ

CLCLCLI

W0W

WW

2

1cos6030cosW

2

1cos12030cosW

>>−=

⇒

⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅−=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


55


Secuencia inversa ϕ =-30º capacitivos


( ) ( )

( ) ( )0W2W

2

160-cos30cosW

cos030cosW

JI

CLCLCLJ

CLCLCLI

>=⇒

⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )JI

CLCLJ

CLCLCLI

W0W

090-cos30cosW

2

330-cos30cosW

=>⇒

=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


56


Secuencia inversa -60º>ϕ>-90º capacitivos


( ) ( )

( ) ( )JI

CLCLJ

CLCLI

W0W

0105-cos30cosW

045-cos30cosW

>>⇒

<°⋅⋅=°−⋅⋅=

>°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUI

UIUI

ϕ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )JI

JI

KLKLKLJ

KLKLKLI

W0W

WW

2

1120-cos30cosW

2

160-cos30cosW

>>−=

⇒

⋅−=°⋅⋅=°−⋅⋅=

⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=

UIUIUI

UIUIUI

ϕ

ϕ


57

Conociendo dos de los tres datos siguientes podríamos conocer el tercero, los datos son: Carácter de la carga, lecturas de los vatímetros y secuencia del sistema trifásico

S.D. S.I.


58

Por ser las cargas desequilibradas no es posible valorar la potencia reactiva que llega a las mismas, por tanto para poder cuantificarla vamos a cuantificarla en un generador trifásico considerado conectado en estrella a tres hilos

∼

∼

∼

I1

I2

I3

U10

U20

U30

0

ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

ϕ2ϕ1

90º-ϕ1

I1

I2

90º-ϕ2

I390º-ϕ3

ϕ3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )332211S332211

30330320220210110132

303303320220221011011

sensensensensensen

sensensen

sensensen

ϕϕϕϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅=⇒⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅=++=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

∧∧∧

∧∧∧

IIIUQUIUIUI

UIUIUIUIUIUIQQQQ

UIUIQUIUIQUIUIQ

SSS

7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (1)

59

W3

W2 0’

Z1

Z2

Z3

I1

I2

I3

1

2

3

W1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )332211S321

332211S

332211K

3K32K21K1321

3K33K31231233

2K22K23123122

1K11K12312311

sensensen3WWW

sensensen3

sensensen

sensinsinWWW

sen90coscosW

sen90coscosW

sen90coscosW

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⋅+⋅+⋅⋅=++

⋅+⋅+⋅⋅

=⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++

⋅⋅=−°⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=−°⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=−°⋅⋅=

⋅⋅=

∧

∧

∧

IIIU

IIIU

IIIU

UIUIUI

UIUIUIUI

UIUIUIUI

UIUIUIUI

Si estudiamos las lecturas de los vatímetros monofásicos

ω

U10

U20

U30U12

U23

U31

ϕ2ϕ1

90º-ϕ1

I1

I2

90º-ϕ2

I390º-ϕ3

ϕ3


60

Por tanto tenemos que:

( ) ( ) ( )( )332211S sensensen ϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅= IIIUQ

( ) ( ) ( )( )

( )321

332211S321

WWW3

1

3sensensen3WWW

++=

⇒⋅=⋅+⋅+⋅⋅=++

Q

QIIIU ϕϕϕ

Y además podemos medir potencia reactiva mediante vatímetros monofásicos.

Si, por otra parte, la carga fuese equilibrada, entonces se cumpliría que :

( ) ( )( ) 321C

CC321

321321

W3W3W3sen3

sen90cosWWW

===⋅⋅=

⋅⋅=−°⋅⋅=========

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

UIQ

UIUI

IIII

L

LL

L

Por tanto con instalar uno solo de los vatímetros podríamos haber medido la potencia reactiva.

Por lo que se puede decir que:


61

7.11 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema XXI, XXII y XXIII.

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.Capitulo VIII, lecciones 20, 21, 22 y 23.

• Z. Aginako y otros, Zirkuituen Teoriako 100 Ariketa, Elhuyar, Usurbil 2006.6. atala.

• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madrid 1997. Capítulo 11.

• A. Gómez Expósito, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid 1990. Capitulo 6.

• A. Gómez Expósito y otros, Teoría de Circuitos, Ejercicios de autoevaluación, Thomson, Madrid 2005. Capítulo 5.

• J.L: Azurmendi y otros, Practicas de Electricidad y Circuitos, Centro de publicaciones de la EUITI de Bilbao, Bilbao 1985. Capitulo 5.

• P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007.Capitulo 3.

Documents

Tema 7 Sistemas Trifasicos Equilibrados en Tensiones