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Tema 6: Lógica

1. El razonamiento.

Cuando razonamos llevamos a cabo inferencias o razonamiento; una inferencia consiste en establecer una relación entre proposiciones (el significado de una oración enunciativa) para derivar una consecuencia desde ellas:

Ejemplos de inferencias:

Si compro una tarrina de veinticinco CD y al intentar grabar en ellos compruebo que el primero de ellos falla, a continuación el segundo, luego el tercero, y así sucesivamente, no necesitaré seguir probando hasta llegar al último, antes de esto infiero o llego a la conclusión de que todos los CD de la tarrina están en mal estado.

Si sumo siete y cinco puedo inferir un doce como resultado. Si dejé secando ropa en la azotea de mi casa y al asomarme a la ventana

compruebo que todo está mojado, infiero que ha llovido y esto a su vez me lleva a otra consecuencia: que la ropa que tendí debe estar mojada.

Las inferencias forman parte de nuestra actividad mental cotidiana, permiten anticipar situaciones a partir de los datos previos de los que partimos, tanto ideas generales como experiencias particulares: inferimos al hacer un ejercicio de matemáticas, al hacer zapping con el mando del televisor, al conducir un automóvil, etc.

Pero hay inferencias que son correctas y otras que no lo son. Por ello tendremos que aprender a diferenciarlas. Se puede decir que, en cierto sentido, aprender filosofía es aprender a razonar correctamente. Lo curioso es que cuando razonamos hay veces que parece que lo hacemos bien, y no es cierto. Es decir, el razonamiento humano es problemático, y desde siempre se ha intentado en la filosofía encontrar un camino para no equivocarnos al razonar.

1.1 Elementos de un razonamiento.

Todo razonamiento consta de dos elementos diferenciados:

1-Las premisas, expresiones que afirman o niegan algo y que constituyen el punto de partida del razonamiento.

2-La conclusión, o proposición final a la que se llega como consecuencia de las premisas establecidas anteriormente.

Pongamos un ejemplo sencillo, supongamos que sabemos que un local comercial, siempre que está abierto, mantiene un letrero encendido; al aproximarnos a él comentamos a una persona que nos acompaña: Si la tienda estuviera abierta tendría encendido el letrero, pero está apagado, así que está cerrada.. En este caso podríamos distinguir dos premisas y una conclusión. Serían las siguientes:

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Premisa 1: Cuando la tienda está abierta, el letrero luminoso permanece encendido.

Premisa 2: El letrero luminoso está apagado.

Conclusión: La tienda está cerrada.

En esta unidad vamos a ver, a través de los siguientes capítulos, los distintos aspectos

que se implican en los procesos de razonamiento: qué tipo de argumentaciones

llevamos a cabo a la hora de justificar una conclusión, cuáles son las claves para poder

determinar la validez o no de un razonamiento determinado y también conoceremos

en qué consiste ese instrumento empleado para análisis riguroso de los procesos

deductivos que es la lógica formal.

1.2 El razonamiento en filosofía.

En la primera unidad vimos que la filosofía, frente a la interpretación mitológica de la realidad, se caracterizaba por el empleo del pensamiento racional (logos) como medio para el conocimiento de lo real. El logos es usar la lógica, es el razonamiento o la argumentación el medio empleado por los filósofos en la defensa de sus teorías.

Ya Platón diferenció entre dos modos de enfrentarnos al problema de la verdad (Platón, Timeo):

"Ahora bien, hemos de afirmar que la intelección y la opinión son dos cosas

distintas, puesto que tienen orígenes distintos y se comportan de modos

distintos. La primera de ellas, la intelección, se produce en nosotros por la

acción de la enseñanza científica; la segunda se produce en nosotros por la

persuasión. La primera va siempre acompañada de una verdadera

demostración, la segunda no comporta demostración. Una es inquebrantable

por la persuasión; la otra puede ser modificada por ésta".

Lo realmente curioso es pues que a veces llegamos a la verdad de un modo irrefutable,

sin posibilidad de error, y otras, en cambio, nos pueden convencer de algo que no sea

verdadero.

2. La deducción.

La deducción es aquel modo de razonamiento que, partiendo de una premisa general o universal, extrae conclusiones de ella. O bien podemos decir, de manera más general, que consiste en derivar lógicamente una conclusión a partir de un enunciado inicial o un conjunto de enunciados (que denominamos premisas). Si yo afirmo por ejemplo, como lo hizo Kepler, que "todos los planetas (de nuestro sistema) giran alrededor del Sol", y conozco que la Tierra es un planeta, entonces

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puedo deducir sin problemas que la Tierra tiene que girar alrededor del Sol (y esto es un claro ejemplo de razonamiento deductivo). La deducción es el modo de razonamiento propio de las llamadas ciencias formales. Llamamos así a aquellas ciencias que se preocupan fundamentalmente por la estructura o forma de los enunciados o juicios, más que por sus contenidos. En el razonamiento anterior, por ejemplo, la Lógica se ocuparía de comprobar si el razonamiento es válido o correcto, mientras que la cuestión de si los diversos enunciados son verdaderos o no corresponde a una ciencia empírica, la Física. Pero el razonamiento deductivo puede darse de formas muy diferentes, no tienen por qué tener todos la misma forma: 1- Todos los mamíferos tienen mamas. 2- Los murciélagos son mamíferos. Conclusión: los murciélagos tienen mamas. ¿Verdadero o falso? ¡Cuidado!: esa no es la pregunta correcta. Nos ocupamos del razonamiento en sí, no de los murciélagos (para eso ya están los biólogos). La pregunta correcta es: ¿se puede extraer la conclusión a partir de las premisas? Otro ejemplo: 1- Si llueve las calles se mojan. 2- Ahora está lloviendo. ¿Puedo deducir que las calles tienen que estar necesariamente mojadas?

3. Aprender filosofía es aprender a razonar.

La filosofía consiste en pensar en cuestiones que normalmente no se piensan. Pero lo primero y más importante, es pensar correctamente. Para eso hemos visto la importancia del razonamiento. En el razonamiento deductivo, si las premisas son supuestamente verdaderas y el razonamiento es válido, entonces la conclusión tiene que ser necesariamente verdadera. Claro que no es lo mismo validez que verdad: a la Lógica no le interesa la verdad de los enunciados particulares, de su contenidos; a la Lógica le interesa la forma del razonamiento. ¿Cuántas veces has discutido sobre cuestiones con la sensación de que el principal

problema para aclarar el asunto era el modo en que se argumentaba? La típica

“conversación de besugos” en la que, más que resolver, aumenta la confusión en la

medida que la conversación progresa.

Tras siglos en los que la lógica se desarrollaba utilizando un lenguaje natural, como es

el que se emplea en estas líneas, la lógica pasó a emplear modelos matemáticos para

el análisis de los procesos racionales; se transformó en una lógica simbólica. Te

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encontrarás con un lenguaje de signos que esquematizan los modos posibles en los

que los humanos relacionamos entre sí a las ideas al argumentar; esto permite un

análisis más claro y riguroso de los argumentos y, cuando estos se complican hasta el

punto de no poder distinguir de modo inmediato si se encuentran bien construidos o

no, posibilita determinar, mediante reglas precisas, si efectivamente las conclusiones

están o no justificadas.

4. La lógica formal.

Lo que vamos a estudiar a continuación son algunas nociones de la lógica tal como se

concibe en la actualidad. En el tema anterior vimos que razonamos llevando a cabo

inferencias; aquí se nos ofrece un instrumento para determinar la validez de las

mismas, estudiaremos la lógica como un sistema formal que opera sobre los procesos

de razonamiento mediante el cálculo, aplicando precisas reglas de inferencia.

Seguramente los procedimientos de la lógica te recordarán bastante a las

matemáticas. Esto no es casual, la lógica simbólica surge como resultado de la

matematización de la lógica tradicional. La lógica es una disciplina filosófica que trata

sobre la validez de los razonamientos; de acuerdo con su historia, la palabra lógica

deriva del concepto griego λόγος, logos, que es traducido por pensamiento o razón. La

lógica nace en el seno de la filosofía griega con el objetivo de ordenar las leyes del

razonamiento; fue el filósofo Aristóteles (IV a.C.) su primer sistematizador, su tratado

constituye un modelo de referencia hasta el siglo XIX. En el siglo XIX la lógica se

matematiza, es decir, comienza a usar la simbología de las matemáticas y se empieza a

utilizar en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. En el siglo XX, la lógica se

convierte en la base de una nueva disciplina: la informática. No es sólo que se utilice la

informática en el estudio de la lógica sino que se puede decir que el fundamento de la

informática es lógica.

4.1 .Verdad y validez del conocimiento.

Para empezar, debemos distinguir entre la verdad de los enunciados o proposiciones y la validez de los argumentos .

Los enunciados o proposiciones afirman o niegan hechos; en la medida que éstas se ajusten o no a la realidad, podemos considerar que éstas son verdaderas o falsas.

Si afirmo: "Hoy es 21 de junio", se trata de una proposición falsa, porque la que afirma no se corresponde con la fecha actual. La cuestión de la verdad o falsedad de los enunciados singulares no es algo sobre lo que la lógica tenga que pronunciarse, tan sólo sobre la validez de los argumentos.

Los argumentos son enunciados en los que desde una o más premisas se sigue una conclusión.

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Un razonamiento es válido cuando a partir de premisas supuestamente verdaderas se sigue una consecuencia necesariamente verdadera, no lo es cuando ocurre lo contrario, o sea, cuando de proposiciones que son verdaderas no se concluye necesariamente la verdad de la conclusión.

Si yo hago el siguiente razonamiento: "La noche del 21 de junio es siempre la más corta del año. Hoy es 21 de junio. Por lo tanto, esta noche será la más corta del año".

El razonamiento es válido. Un lógico no investigará cuál es la fecha actual, o si la primera afirmación es cierta o no, pero si está en condiciones de afirmar que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas anteriores.

Como hemos visto arriba, la validez de una inferencia está relacionada con la coherencia formal de la misma; la lógica no se ocupa de probar la verdad o no de las premisas empleadas en un argumento, tan sólo de garantizar la inferencia a una conclusión verdadera a partir de premisas verdaderas. Este ejemplo de deducción es válido y además es verdad todo lo que dice: Si el punto de ebullición del agua es 100ºC y el agua contenida en este recipiente ha alcanzado dicha temperatura, ésta tiene que encontrarse en estado de ebullición. El mismo argumento sería válido formalmente si se indicase una temperatura inferior, ya que de ser ciertas las premisas debería serlo necesariamente la conclusión. De todo lo anteriormente dicho se extrae un principio lógico clásico, denominado principio de relación entre verdad y validez: Si un razonamiento es válido (y es válido debido a su forma) y las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. Si las premisas son falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa (ojo con esto, en un razonamiento válido, podemos extraer conclusiones verdaderas de premisas falsas). Ahora bien, no es posible que, si el razonamiento válido, extraigamos conclusiones falsas de premisas verdaderas. Veamos ese principio con un ejercicio. El siguiente esquema es un esquema de razonamiento válido. Para no complicar la cosa, no diremos por qué es válido (cumple una serie de reglas) ya que se puede captar de una forma intuitiva: Premisa Todos los M son P

Premisa Todos los S son M

Conclusión Todos los S son P

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Sustituyendo M, P y S por un término tienes que conseguir:

Que las premisas sean verdaderas y la conclusión verdadera:

Todos los ........................... son ....................... V

Todos los ........................... son........................ V

Todos los .......................... son ......................... V

Que las premisas sean falsas y la conclusión falsa:

Todos los ........................... son ....................... F

Todos los ........................... son........................ F

Todos los .......................... son ......................... F

Que las premisas sean falsas y la conclusión verdadera:

Todos los ........................... son ....................... F

Todos los ........................... son........................ F

Todos los .......................... son ......................... V

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Recuerda que, en un razonamiento válido, no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. 4.2. Principios de la lógica clásica. Desde que Aristóteles fundara la lógica, existen una serie de principios que se consideran el soporte o fundamento de toda la lógica. Son muy elementales y casi parecen evidentes. En realidad, nos parecen muy simples y evidentes porque los tenemos muy metidos dentro de nuestra mente y su violación es un absurdo: Son estos tres:

Principio de Bivalencia (tercio excluso o tertium non datur): o p o no p.

Quiere decir que una proposición sólo puede tener dos valores de verdad, o es

verdadera o es falsa.

Principio de Identidad: a = a. Toda entidad es idéntica a sí misma.

Principio de No contradicción: No es el caso que p y no p. No podemos afirmar una proposición y su contraria, es decir, en lógica no puede haber contradicciones.

La lógica moderna ha rechazado el principio de bivalencia, el que afirma

que una proposición o es verdadera o es falsa, ya que postula que pueden existir más valores de verdad.

El principio de identidad y el de no contradicción, en cambio, no se cuestionan. Ahora bien, para ver hasta qué punto actúa el principio de no contradicción, pensemos en los casos en qué aparecen las contradicciones. Por ejemplo, si estamos acusados de asesinato y hacemos una declaración ante un juez, y decimos que a la hora del crimen estábamos en nuestra casa y poco después decimos que no estábamos en nuestra casa, hemos emitido una contradicción: las dos proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez. En nuestros razonamientos cotidianos debemos siempre eliminar las contradicciones, ya que una contradicción vuelve a un razonamiento inconsistente. Ahora bien, en la historia de la lógica han aparecido una serie de contradicciones que no son fáciles de eliminar y, de hecho, los intentos de resolverlas han hecho avanzar a la lógica: se denominan paradojas.

4.3 Paradojas de la lógica.

Las paradojas son contradicciones. Existen decenas de ellas y se agrupan

por categorías. Las más famosas son las paradojas semánticas y las paradojas de la teoría de conjuntos.

Las paradojas semánticas surgen por el significado de las proposiciones. Si

yo, por ejemplo, escribo en la pizarra “No escribir en la pizarra” me estoy contradiciendo. La paradoja semántica más famosa está en la Biblia, en una carta de San Pablo, en la que este afirma que Epiménides, un cretense, dijo “Todos los

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cretenses son mentirosos”. Por el principio de bivalencia, esa proposición debe ser o verdadera o falsa, pero si es verdadera tiene que ser falsa y si es falsa tiene que ser verdadera. Para entender mejor esto pensemos en esta frase:

Esta frase es falsa

Si es verdadera tiene que ser falsa, y si es falsa entonces es verdadera. Esa

frase siempre es contradictoria. Otro grupo muy famoso de paradojas surgen en el siglo XIX, cuando los

matemáticos establecieron la teoría de conjuntos. La paradoja más célebre tiene una historia triste. Un matemático alemán, Gottlob Frege, escribió un libro para fundamentar la aritmética. Antes de que se publicara el libro, un matemático y filósofo inglés, Bertrand Russell, descubrió la paradoja en el libro y le escribió una carta a Frege en la que se la contaba. Frege se deprimió porque si su sistema tenía contradicciones, entonces no servía para nada. Para explicar la paradoja, Russell formuló la paradoja del barbero, que dice así: En un pueblo hay un barbero que afeita a aquellas personas que no se afeitan a sí mismas y sólo a ellas. Ahora bien, la paradoja surge cuando nos planteamos ¿quién afeita al barbero? No puede ni afeitarse ni no afeitarse.

Existen muchas otras paradojas similares. Otra es la paradoja del puente, que está en la segunda parte del Quijote, una historia que le cuentan a Sancho Panza para burlarse de él. Dice así: En un pueblo hay un puente sobre un río, y en una de sus orillas hay un guardián junto a una horca. A los viajeros que quieren pasar por el puente, el guardián les hace una pregunta. Si el viajero contesta la verdad puede pasar, pero si dice la mentira, el guardián le ahorca. Un día, llega un viajero y el guardián le pregunta “¿Dónde vas?”. El viajero contesta “Voy a morir en esa horca”. El guardián no puede ni dejarlo pasar ni ahorcarlo.

4.4. El lenguaje natural y el simbólico.

El lenguaje habitual empleado dentro de una comunidad que comparte el mismo

idioma se denomina lenguaje natural. Es con éste con el que argumentamos y llevamos

a cabo los desarrollos lógicos habituales. Sin embargo, a la hora de analizar un

razonamiento partiendo de éste nos encontramos con serias dificultades; el lenguaje

natural contiene numerosas lagunas y ambigüedades, esto impide la aplicación de un

análisis lógico riguroso a partir del mismo.

Veamos algunos casos en los que se observa la imprecisión del lenguaje natural:

En numerosas ocasiones, determinadas premisas de un razonamiento se dan por supuestas, son implícitas. Si argumento: “No estudió nada durante todo el curso, así que suspendió”, doy por sabida otra premisa: “Sólo estudiando es posible aprobar”.

En otros casos, algunas expresiones del lenguaje ordinario son ambiguas, permiten diferentes interpretaciones, así la disyunción o, expresándose igual, puede ser inclusiva o exclusiva según las circunstancias. Por ejemplo, inclusiva en: “para tener convalidado

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el ámbito científico se requiere el aprobado en matemáticas o en ciencias naturales” (uno, otro, o los dos), y disyuntiva en: “no podemos saber si en aquel momento estaba vivo o muerto” (una cosa o la otra, pero no las dos).

La lógica deductiva pretende ser una ciencia que posibilite el cálculo, que permita

establecer con rigor si en un proceso deductivo las consecuencias se siguen

necesariamente o no de los antecedentes o premisas presentadas; esto requiere del

uso de un lenguaje artificial que determine cuál es el empleo de los términos y las

reglas que rigen la formación de enunciados. Este lenguaje artificial será un lenguaje

formal o simbólico. De acuerdo con las reglas de uso de este lenguaje, el análisis lógico

requerirá una traducción de los argumentos expresados en el lenguaje natural al

lenguaje formal empleado por la lógica simbólica.

5. La lógica de enunciados.

5.1. Formalización con variables proposicionales.

Vayamos concretando lo anteriormente dicho con la denominada lógica de enunciados, llamada además lógica de juntores, lógica de yuntores o lógica proposicional. Esta lógica, considerada la más elemental, y cuyo estudio fue iniciado por la escuela megárico-estoica, es aquella en la que las proposiciones no se analizan internamente, se toman como un todo. No se tiene en consideración lo que se podría denominar una “sintaxis interna” de las proposiciones. Lo único que interesa de las proposiciones es la semántica, su valor de verdad. El primer paso de la formalización es delimitar cuáles son esas proposiciones, es decir, los enunciados simples que representan el contenido de estados de cosas: las proposiciones atómicas. Una vez que tenemos la lista de esas proposiciones, sustituimos cada una de ellas por letras minúsculas que usamos como símbolos o “nombres” de las proposiciones, denominados también variables proposicionales desde la ‘p’ hasta la ‘w’, ocasionalmente poniendo subíndices o superíndices cuando tengamos más proposiciones que letras (teniendo en cuenta que cada proposición tiene un nombre, sólo uno, sólo ella y siempre el mismo). Por tanto, buscamos enunciados simples, afirmativos, libres de elementos constantes como las conectivas (por eso las proposiciones han de ser afirmativas: la negación se considera una conectiva), que representen estados de cosas. En definitiva, practicar lo que Bertrand Russell denominó “atomismo lógico”. Russell nos dio una de las claves para identificar proposiciones cuando dijo “los hechos más simples imaginables son aquellos que consisten en la posesión de una cualidad por parte de una cosa particular”. Así, por ejemplo, la proposición representada por el enunciado:

Agustín se salvó del terremoto de Lorca es un hecho atómico, sólo habla de un individuo, tiene un valor de verdad y es, por consiguiente, una proposición atómica, a la que denominamos p. Lo que buscamos es una especie de estructura profunda conceptual más allá del lenguaje natural pero que descubrimos a través de dicho lenguaje natural. El elemento que nos alertará de la existencia de proposiciones moleculares es la existencia, implícita o explícita, de

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conectivas. Al no analizar internamente la proposición, la lógica de enunciados no detecta nada más allá del valor de verdad de los estados de cosas y la articulación de estos mediante conectivas lógicas, por eso la proposición ‘los granadinos se salvaron del terremoto de Lorca’ es también atómica aunque hable de muchos individuos, mientras que ‘Agustín y Salvador se salvaron del terremoto de Lorca’ es una proposición molecular ya que contiene una conectiva (‘y’), expresa un estado de cosas que, desde un punto de vista lógico, es la composición de dos (‘Agustín se salvó del terremoto de Lorca’ y ‘Salvador se salvó del terremoto de Lorca’). Ni que decir tiene que, para que exista valor de verdad tiene que haber un verbo (así, el nombre ‘Agustín’ no es proposición ya que no es un estado de cosas: no estamos diciendo nada de ‘Agustín’ susceptible de ser verdadero o falso). Primera regla de formación de la lógica de enunciados: Cada variable proposicional es una “fórmula bien formada” del cálculo (en adelante “fbf”). De acuerdo con esto, ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. son fbf’s: pueden aparecer en solitario. Una vez que a determinada proposición se la denomine con el símbolo ‘p’, ‘q’, o el que deseemos, ya sólo utilizaremos esos símbolos. Por ello, el primer paso en la formalización de la lógica de enunciados es establecer la lista de proposiciones atómicas con las que vamos a trabajar e identificar cada una de ellas con un símbolo distinto. Los valores de verdad de las proposiciones se representan con lo que se denomina tabla de verdad, una matriz bidimensional en la que “verdadero” es V y “falso” F1. Así, la tabla de verdad de una proposición dada ‘p’ es:

Cada una de las filas (se entiende horizontales) se denomina mundo posible: así ‘p’ es verdadera en un mundo posible y falsa en otro. 5.2. Conectivas y proposiciones moleculares

Siempre que se hace una exposición de las conectivas lógicas se empieza por la negación. La negación recoge el sentido que en el lenguaje natural tienen todas las partículas que invierten el valor de verdad de una proposición (convierten lo verdadero en falso y viceversa), así “no”, “es falso”, “no es cierto”, “no es el caso”, etc. Se representa habitualmente con el símbolo ‘¬’, símbolo denominado “prefijo” (es decir colocado a la izquierda de la proposición: ‘¬ p’ se lee ‘no p’). No es, en sentido estricto, una conectiva ya que no “conecta” proposiciones. Es más bien una función de verdad. Su tabla de verdad sólo tiene dos mundos posibles:

1 También se puede utilizar el lenguaje binario: 1 para “verdadero” y 0 para “falso”.

p

V

F

A ¬ A

V F

F V

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Hemos usado la letra mayúscula A para nombrar cualquier fbf. Ahora presentamos una nueva regla de formación: Segunda regla de formación de la lógica de enunciados: Si ‘A’ es fbf, ‘¬ A’ es fbf. Cuando las proposiciones atómicas se combinan mediante conectivas lógicas tenemos proposiciones moleculares. Las proposiciones moleculares más simples son aquellas que conectan dos proposiciones, p. ej., ‘p’ y ‘q’. Al ser dos proposiciones, cada una de las cuales puede ser verdadera o falsa, obtenemos cuatro mundos posibles2. En esos mundos posibles, la combinación de los valores de verdad de ‘p’ y ‘q’ nos da como resultado a su vez un valor de verdad. Es decir, las conectivas lógicas no son tampoco otra cosa más que funciones de verdad o “funciones veritativas”: ofrecen un valor de verdad como resultado de la composición de valores de verdad de las proposiciones atómicas. Puesto que tenemos cuatro mundos posibles, cada uno de los cuales puede a su vez ser verdadero o falso, tenemos en total dieciséis funciones, es decir, dieciséis potenciales conectivas, a saber:

Al igual que hicimos con la negación, hemos usado para mostrar la matriz inicial las letras ‘A’ y ‘B’, en vez de ‘p’ y ‘q’, para indicar que se trata de “metavariables”, es decir, que podrían ser sustituidas por cualquier fbf3. De esas dieciséis funciones, sólo cuatro expresan conexiones elementales de sentido reflejadas en el pensamiento y el lenguaje natural: f8 (conjunción), f2 (disyunción no excluyente), f5 (condicional o implicación material) y f7 (bicondicional o equivalencia material). Son, junto con la

2 La fórmula para determinar el número de mundos posibles es 2

n, donde n es el número de

proposiciones. Así, con dos proposiciones: 22 = 4. Con tres proposiciones: 2

3 = 8, etc. Normalmente, a

partir de tres proposiciones no se hacen tablas de verdad ya que el número de mundos posibles aumenta exponencialmente y se producen explosiones combinatorias. Por otro lado, tradicionalmente, con el fin de que la matriz inicial sea siempre la misma, se ordenan los valores de verdad de la siguiente forma: primera columna de dos en dos (VVFF), segunda alternando (VFVF), tercera de cuatro en cuatro (VVVVFFFF) y así. En cualquier caso, esto es un detalle menor ya que la matriz es correcta siempre y cuando aparezcan todas las posibles combinaciones de valores de verdad.

3 En muchos textos de lógica se utilizan para la misma función letras griegas minúsculas.

A B f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V F

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negación, las conectivas básicas que aparecen necesariamente en todos los cálculos. Existen, sin embargo, más conectivas, que aparecen en cálculos complejos y que tienen su propio nombre y símbolo pero que se consideran derivadas ya que se pueden construir sus tablas a partir de una de las conectivas básicas junto con el negador: f9 (función de Sheffer4 o no conjunción), f15 (función de Peirce5 o no disyunción), f10 (disyunción excluyente6 o no equivalencia), f3 (implicación conversa7), f12 (negación de la implicación) y f14 (negación de la implicación conversa). Nosotros usaremos tan sólo las cinco conectivas imprescindibles. Ya hemos hablado de la negación, veamos las otras: Conjunción (o conjuntor): Denota a las partículas del lenguaje que unen a dos proposiciones cuando ambas son verdaderas, independientemente de cualquier otro matiz. Son, en castellano, “y, e, ni, que, pero, aunque…”. Su símbolo es ‘˄’, situado en medio de las dos proposiciones, denominado “símbolo infijo”, así ‘p ˄ q’ se lee ‘p y q’. P. ej.: ‘Antonio Miguel colecciona cromos de Invizimals (p) y Violeta los de Hello Kitty Fashion (q)’8. Su tabla de verdad es f8:

A B A ˄ B

V V V

V F F

F V F

F F F

La conjunción es falsa cuando al menos una de las proposiciones es falsa. Es conmutativa, por tanto no le afecta el orden de las proposiciones (‘A ˄ B’ es equivalente a ‘B ˄ A’9). En el caso de ‘ni’, su sentido lógico es el de una conjunción de negaciones (v. infra). Tercera regla de formación de la lógica de enunciados: Si ‘A’ y ‘B’ son fbf’s, ‘A ˄ B’ es fbf. Disyunción (o disyuntor): Representa a las ‘disyunciones no excluyentes’ (“o, u, o bien…”), es decir, aquellas que para ser verdaderas basta con que lo sea una de las proposiciones, pero también pueden ser verdaderas las dos a la vez (a diferencia de las ‘disyunciones excluyentes’, que no pueden ser verdaderas al mismo tiempo). Un ejemplo de disyunción no excluyente sería ‘Se necesita abogado o economista’, mientras que un ejemplo de disyunción excluyente ‘Se busca a Billy el Niño vivo o

4 En símbolos ‘A B’.

5 En símbolos ‘A B’.

6 En símbolos ‘A B’.

7 ‘A B’.

8 La forma lógica está reflejada en lo que la gramática generativo-transformacional denomina

“estructura profunda” del lenguaje. Saber captar esta estructura profunda es fundamental en la formalización. Así, la proposición q de nuestro ejemplo no es la superficial ‘Violeta los de Hello Kitty Fashion’ sino ‘Violeta colecciona cromos de Hello Kitty Fashion’.

9 En lógica, dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad, es decir, cuando

son verdaderas o falsas en los mismos mundos posibles.

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muerto’. Su símbolo es un infijo ‘’, así ‘A B’ se lee ‘A o B’10. También es conmutativa. Su tabla es f2:

A B A B

V V V

V F V

F V V

F F F

Cuarta regla de formación de la lógica de enunciados: Si ‘A’ y ‘B’ son fbf’s, ‘A B’ es fbf11. Condicional (o implicador): Expresa la secuencia “si A entonces B” y se representa con

una flecha infija: ‘A B’, donde ‘A’ recibe el nombre de antecedente y ‘B’ el de consecuente. Es una conectiva no conmutativa y representa la forma lógica de las relaciones de consecuencia entre proposiciones12. Así, por ejemplo, todas las

siguientes proposiciones tendrían la misma forma lógica ‘p q’ (donde ‘p’ es la proposición ‘Pablo se queda’ y ‘q’ ‘Luis se irá’):

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Las conectivas no tienen por qué aparecer en la proferencia lingüística aunque sí deben estar implícitas en la estructura profunda. P. ej., la proposición ‘me quiere, no me quiere, me quiere, no me quiere…” es en el fondo una serie de disyunciones.

11 Un error muy frecuente de los principiantes en lógica es formalizar la doble disyunción enfática, así

‘O te callas o te doy un guantazo” lo simbolizan ‘ p q’. Pero, aunque haya dos disyunciones lingüísticas sólo hay una lógica. Esa expresión es agramatical, ninguna regla de formación la autoriza, la disyunción tan sólo se puede simbolizar como infijo. El énfasis, en cambio, sí es útil para eliminar ambigüedades semánticas, así la polisemia de ‘Llueve y sopla el viento o nieva’ se elimina al decir ‘Llueve y o sopla el viento o nieva’.

12 Cuál es el sentido de la conexión que expresa el condicional y, por tanto, cuál debe ser su tabla de

verdad, ha sido un tema objeto de controversia desde los tiempos de la escuela megárico-estoica (que ya distinguía al menos cuatro sentidos distintos: implicación “filónica”, “diodórica”, “conexa” e “inclusiva”). La semántica de esta conectiva ha dado lugar a lo que se conoce como “paradojas materiales” en las cuales la relación de implicación es correcta pero se viola el sentido común (p. ej., la proposición ‘si la luna es de queso entonces nosotros somos ratones’ es verdadera). Salta a la vista que los casos objeto de discusión son los dos últimos, es decir, aquellos en los que el antecedente es

falso. Supongamos la proposición ‘Si llueve (p) me mojo (q)’, ‘p q’, ¿qué se puede decir de su verdad o falsedad cuando no llueve? En principio se podría decir que nada, pero es preciso razonar más bien en términos no de qué se afirma sino de qué no se excluye. Así, si se entiende el condicional de manera causal, como “implicación estricta” o “implicación material”, en el sentido de que se está hablando de relaciones entre hechos nombrados por proposiciones, es decir lingüísticamente, p debe ser interpretado como condición suficiente pero no necesaria. Llover sería

una condición suficiente para mojarse pero no necesariamente la única, por tanto ‘p q’ sólo excluye que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Una segunda vía teórica de acceso al condicional para aquellos a los que no satisfaga la implicación material sería interpretar esta conectiva en un sentido más lógico o metalingüístico. Ya no hablaríamos entonces de relaciones entre hechos ni de “implicación” entre proposiciones sino de la relación de consecuencia lógica entre los valores de verdad de dichas proposiciones. Lo que significaría el condicional sería, por consiguiente, “razonamiento válido”, y en los razonamientos válidos sólo se excluye que de premisas verdaderas se deduzcan conclusiones falsas pero no los otros casos. Esta opción es la que se puede asumir aquí ya que, como veremos posteriormente, se puede demostrar la validez de un razonamiento construyendo la tabla de verdad de un condicional.

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Si Pablo se queda Luis se irá Luis se irá si Pablo se queda

Supuesto que Pablo se quede, Luis se irá Luis se irá en caso de que Pablo se quede

Su tabla de verdad canónica es f5:

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Quinta regla de formación de la lógica de enunciados: Si ‘A’ y ‘B’ son fbf’s, ‘A B’ es fbf. Bicondicional (o coimplicador): Representa la noción de equivalencia lógica entre

proposiciones. Es una conectiva conmutativa que se nombra con el infijo ‘’, así ‘p q’ se puede leer ‘p si y sólo si q’, ‘solamente q si p’, etc. Al ser la relación de equivalencia, el bicondicional es verdadero sólo cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Su tabla de verdad es f7

13:

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Sexta regla de formación de la lógica de enunciados: Si ‘A’ y ‘B’ son fbf’s, ‘A B’ es fbf. Metarregla de formación: Las seis reglas anteriormente expuestas son las únicas reglas de formación en lógica de enunciados14.

13

La flecha de dos puntas procede, obviamente, de que se está expresando una relación de suficiencia

y necesidad: ‘A B’ y ‘B A’. Realizando la tabla de verdad de la conjunción ‘(A B) ˄ (B A)’ se

comprueba que es equivalente a ‘A B’. El opositor puede realizarla como ejercicio. 14

Salvo la primera regla, que afecta sólo a variables proposicionales, las otras cinco restantes son también reglas de formación en la lógica de predicados. La utilización del término “fórmula” es una herencia de la matematización de la lógica, es decir, de la concepción del razonamiento como cálculo en el que se utilizan variables. Herencia también lingüístico/matemática son los símbolos auxiliares (singularmente paréntesis ‘( )’, corchetes ‘* +’ y, excepcionalmente, llaves ‘, -’). Hay autores que proponen un uso intuitivo de ellos y no excesivamente formalista, en el sentido de que se usen, cuando sea estrictamente necesario, para eliminar ambigüedades en las fórmulas. Así, se pueden suprimir paréntesis externos, poco elegantes, y omitir los internos cuando no hay dudas sobre el signo principal (el último signo que interviene en la construcción de la fórmula, suponiendo que se ha realizado a partir de fórmulas atómicas siguiendo las reglas de formación). Otros autores

15

5.3. Ejemplos de formalización Saber realizar una buena formalización es absolutamente fundamental en lógica de enunciados y en cualquier otra: es el primer paso de la lógica matemática. Si la formalización está mal, todo ejercicio está inevitablemente mal realizado por más que la aplicación de las reglas de transformación sea correcta. Presentamos una selección de ejemplos y comentaremos sus peculiaridades en notas al pie:

No es cierto que sea falso que no llueve15 ¬ ¬ ¬ p

No vi la película pero leí la novela16 ¬ p ˄ q

Ni vi la película ni leí la novela17 ¬ p ˄ ¬ q

No es cierto que viese la película y leyese la novela18 ¬ ( p ˄ q )

Llueve y o bien nieva o sopla el viento19

prefieren su utilización obligatoria para delimitar subfórmulas (las partes de una fbf que son a su vez fbf’s) cuando contienen conectivas. Existe, en principio, una jerarquía de conectivas, que otorga dominancia a condicional y bicondicional sobre conjunción y disyunción, y a todos estos sobre la negación, pero es conveniente, a efectos pedagógicos, que los alumnos sean conscientes de cuáles son las partes de que se compone una proposición y lo hagan explícito mediante paréntesis. Saber formalizar también es, en buena medida, saber usar los paréntesis, por ello ponemos a continuación las normas de Montaner y Arnau: 1) no se usan paréntesis cuando los conectores afecten a proposiciones atómicas, 2) se usan paréntesis cuando el conector prefijo, la negación, afecta toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional, 3) se utilizarán paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de condicional o bicondicional, 4) se usarán paréntesis en las expresiones en que interese especificar la predominancia del conector o para eliminar la ambigüedad en conectivas con el mismo valor, como conjunción y disyunción. Además de lo dicho, es preciso añadir otros conceptos adicionales que se usan en formalización, así: grado lógico (número de símbolos lógicos que contiene una fórmula) y alcance (el alcance de un símbolo lógico son las fórmulas o subfórmulas de las cuales es el signo principal).

15 ‘p’: ‘llueve’. Se trata de tres formas diferentes de expresar una negación, es decir, de cambiar el

valor de verdad. 16

‘p’: ‘vi la película’, ‘q’: ‘leí la novela’. Desde un punto de vista lógico, ‘pero’ es una conjunción equivalente a ‘y’; la forma lógica es independiente de los matices lingüísticos de sentido ya que sólo trabaja con los valores de verdad.

17 Gramaticalmente, “ni” es una conjunción copulativa. Lógicamente es una conjunción de negaciones.

Es un error frecuente en alumnos y principiantes confundirla con la negación de una conjunción: ‘¬ ( p ˄ q)’. Pero la conjunción de negaciones expresa la falsedad de las dos proposiciones mientras que una conjunción es falsa simplemente con que lo sea una, no necesariamente las dos. La negación de una conjunción es una disyunción de negaciones (v. las leyes de De Morgan más adelante).

18 Es necesario utilizar el paréntesis para delimitar el alcance de la negación, que afecta a la conjunción

entera, es decir, que no es cierto que hiciese las dos cosas a la vez. Existe una posible ambigüedad con que la negación afectase sólo a ‘p’ pero en ese caso no se hubiera utilizado la cláusula subordinada. También es posible que se hablara de una conjunción de negaciones pero en ese caso la forma lingüística habría sido ‘no es cierto que viese la película y que leyese la novela’.

19 ‘p’: ‘llueve’, ‘q’: ‘nieva’, ‘r’: ‘sopla el viento’. En este caso, la disyunción enfática sirve para delimitarla

como subfórmula, por ello va entre paréntesis ya que la conjunción es dominante. Recuérdese que aquí, al utilizarse tres proposiciones básicas, tendríamos una tabla de verdad de ocho mundos posibles.

16

p ˄ ( q r ) O está lloviendo y nevando o ninguna de las dos cosas20

( p ˄ q ) ( ¬ p ˄ ¬ q ) O Holmes lleva razón, o Moriarty y Crumm son o ambos culpables o ambos inocentes21

p [ ( q ˄ r ) ( ¬ q ˄ ¬ r ) ] No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos

espaciales no pueden alunizar en ella22

¬ ( p ¬ q ) Si la Reina Roja está furiosa, entonces o el Conejo Blanco está desconcertado o Alicia

no será coronada reina23

p ( q ¬ r )

5.4. Demostración de la validez de un razonamiento usando tablas de verdad. El método de las tablas de verdad es un algoritmo para calcular el valor de verdad de cualquier proposición como función de verdad de sus elementos componentes. Sus reglas de construcción son muy sencillas, se parte de la matriz inicial de las proposiciones atómicas y se construyen progresivamente columnas con los valores de verdad de las subfórmulas a partir de los valores ofrecidos por las tablas de verdad de las conectivas básicas. Hoy en día, realizar estas tablas tan sólo tiene un valor teórico y pedagógico ya que el alcance práctico de las mismas es muy limitado: como dijimos anteriormente, el número de mundos posibles aumenta exponencialmente a medida que se añaden proposiciones y es casi impracticable con más de tres. No obstante, es un ejercicio valioso para demostrar la validez de razonamientos simples. Interpretando el condicional como la relación de consecuencia lógica, se establece el antecedente como una premisa o conjunción de premisas y el consecuente como conclusión. Si el razonamiento es válido no puede darse el caso de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, por tanto la tabla de verdad del condicional construido debe ser tautológica. Una tautología es una proposición que es siempre verdadera (es decir, el resultado final es V en todos los mundos posibles; si es F en todos los mundos posibles se denomina contradicción, y si es a veces V y a veces F indeterminada). Basta con que sea falsa en un mundo posible para que el razonamiento no sea válido. Veámoslo con un ejemplo. Queremos demostrar la validez del siguiente razonamiento:

20

Ahora la disyunción enfática sirve para distinguirse como la conectiva principal, por tanto las otras dos subfórmulas con conectivas van entre paréntesis. El sentido de ‘ninguna de las dos cosas’ es una conjunción de negaciones, pero en toda formalización se puede poner la fórmula equivalente, aquí

habría valido también ‘¬ ( p q )’ por las leyes de De Morgan (v. más adelante). 21

‘p’: ‘Holmes lleva razón’, ‘q’: ‘Moriarty es culpable’, ‘r’: ‘Crumm es culpable’. Definiendo inocente como “no culpable”. La coma sirve como elemento para señalar el inicio de la subfórmula disyunción dentro de la disyunción principal señalada enfáticamente. La segunda disyunción enfática señala las subfórmulas dentro de la subfórmula. Cuando existen esas subfórmulas se puede empezar a utilizar los corchetes.

22 ‘p’: ‘la luna está hecha de queso verde’, ‘q’: ‘los vehículos espaciales pueden alunizar en la luna’.

Iniciar la proposición con la negación, así como la cláusula subordinada, reforzada por la coma, indican que la negación es el símbolo principal, que afecta a todo el condicional (por tanto este va entre paréntesis para que le llegue el alcance del negador).

23 ‘p’: ‘la Reina Roja está furiosa’, ‘q’: ‘el Conejo Blanco está desconcertado’, ‘r’: ‘Alicia será coronada

reina’. En toda proposición que empieza por “si…” el condicional es el símbolo principal y, por tanto, todas las subfórmulas con conectiva infija van entre paréntesis.

17

Si el ejército cercado recibió nuestro ultimátum, o bien huyó a través de un túnel o bien se enfrentarán a nosotros. El ejército cercado no ha huido a través de un túnel. Por tanto, si recibieron nuestro ultimátum entonces se enfrentarán a nosotros. En primer lugar formalizamos las premisas:

Si el ejército cercado recibió nuestro ultimátum, o bien huyó a través de un túnel o bien se enfrentarán a nosotros24

p ( q r )

El ejército cercado no ha huido a través de un túnel

¬ q

A continuación, formalizamos la conclusión:

Si recibieron nuestro ultimátum entonces se enfrentarán a nosotros

p r

Construimos el condicional (recordando que, al ser ‘’ el símbolo dominante, todas las otras subfórmulas van entre los correspondientes paréntesis y corchetes).

[( p ( q r )) ˄ ¬ q ] ( p r )

Por último, realizamos la tabla de verdad:

p q r ¬ q q r p ( q r ) ( p ( q r )) ˄ ¬ q

p r

[( p (q r)) ˄ ¬ q ]

( p r )

V V V F V V F V V

V F V V V V V V V

F V V F V V F V V

F F V V V V V V V

V V F F V V F F V

V F F V F F F F V

F V F F V V F V V

F F F V F V V V V

La fórmula general es una tautología, por tanto se trata de un razonamiento válido.

24

‘p’: ‘el ejército cercado recibió nuestro ultimátum’, ‘q’: ‘el ejército cercado huyó a través de un túnel’, ‘r’: ‘el ejército cercado se enfrentará a nosotros’.

18

5.5. Reglas del cálculo deductivo. Estudiaremos ahora las reglas lógicas. Nos limitaremos a la exposición de las principales, teniendo en cuenta que son reglas de transformación para todos los cálculos deductivos (no sólo de la lógica de enunciados). En principio, el número de reglas es infinito, podemos construir cuantas queramos derivándolas a partir de las reglas básicas (cuya validez se demuestra, recordémoslo, convirtiéndolas en leyes lógicas y realizando sus tablas de verdad para obtener tautologías), no obstante lo que es imprescindible es exponer estas reglas básicas. Se las denomina “reglas de transformación” porque lo que hacen es convertir las proposiciones en otras diferentes pero equivalentes, o también “reglas de inferencia” porque obtienen proposiciones nuevas a partir de su aplicación sobre un grupo de proposiciones. Normalmente lo que hacen es introducir o eliminar una determinada conectiva. G. Gentzen (1909-1945), padre de los cálculos de deducción natural, estableció ocho reglas básicas: una de introducción y otra de eliminación para la negación, la conjunción, la disyunción no excluyente y el condicional. Así, por ejemplo, las dos reglas clásicas del condicional (modus ponens y modus tollens) son en realidad reglas para su eliminación25.

Modus ponens (M.P.) Modus tollens (M.T.)

A B A

B

A B ¬ B

¬ A

Para introducir el condicional, en cambio, suponemos el antecedente como hipótesis26.

Introducción del condicional (I.Cond.) o “teorema de la

deducción”

A . . .

B

A B

25

Aunque el nombre “eliminación del condicional” se suele reservar para el modus ponens. Si el antecedente de un condicional es verdadero, el consecuente debe ser también verdadero pues si fuera falso todo el condicional lo sería. En el caso del modus tollens, la falsedad del consecuente tiene que implicar la del antecedente también para que el condicional no sea falso.

26 En los cálculos deductivos se pueden establecer hipótesis para ver cuáles son sus consecuencias y

aplicar las reglas pertinentes. En ese caso, la hipótesis y las inferencias a partir de ella se marcan con líneas verticales laterales con forma de corchetes, lo cual quiere decir que son inferencias provisionales. Las proposiciones que están fuera de la línea marcada se pueden utilizar dentro, pero no a la inversa. En el caso de I.Cond., una vez cerrado el corchete, se puede escribir el condicional como línea independiente, ya sin provisionalidad.

19

El caso de introducción y eliminación de la conjunción es bastante elemental. Si dos proposiciones son verdaderas, se pueden unir y separar en función de los intereses y necesidades del cálculo.

Introducción de la conjunción (I.C.) o “ley del producto”

Eliminación de la conjunción (E.C) o “ley de simplificación”

A B

A ˄ B

A ˄ B A

A B

B ˄ A

A ˄ B B

También es elemental la introducción de la disyunción. Si una proposición es verdadera, se puede formar una disyunción entre ella y cualquier otra, independientemente del valor de verdad de esta: la verdad de la disyunción queda garantizada por la verdad de uno de sus miembros. Menos elemental es la eliminación de la disyunción ya que requiere el uso de hipótesis y la obtención de una tercera proposición.

Introducción de la disyunción (I. D.) o “ley de adición”

A

A B

B

A B

Otros autores prefieren utilizar el nombre “eliminación de la disyunción” para referirse al también denominado silogismo disyuntivo.

Silogismo disyuntivo (S. D.)

A B ¬ A B

A B ¬ B A

20

Por lo que respecta a la negación, su eliminación es posible cuando aparece duplicada, por lo que se le conoce también como regla de la doble negación (o de “introducción y eliminación de la doble negación”)27.

También se puede denominar introducción de la negación al que se conoce como método de reducción al absurdo. Aunque no son básicas, se pueden poner junto a las anteriores las reglas de introducción y eliminación del bicondicional.

Introducción del bicondicional (I. B.) Eliminación del bicondicional (E. B.)

A B

B A

A B

A B

A B

B A

Hasta aquí las reglas de introducción y eliminación. El resto de reglas también se pueden dividir en grupos. Así tenemos, por ejemplo, reglas distributivas, las más famosas de las cuales son las distributivas del negador o “leyes de De Morgan”28.

27

Otros autores, en cambio, hablan de “eliminación de la negación” para referirse a la regla que la tradición denomina ex contradictione quodlibet, es decir, que de una contradicción se puede deducir cualquier cosa. Así, de ‘A’ y ‘¬ A’ se deduce ‘Y’.

28 La línea doble indica el doble sentido de la deducción: hacia abajo y hacia arriba. Como dijimos

anteriormente, son muy corrientes los fallos aplicando estas leyes de De Morgan ya que a priori se piensa que la negación de una conjunción es una conjunción de negaciones, y no una disyunción de las mismas. Lo mismo se puede decir en el caso de la segunda ley, la negación de la disyunción.

Introducción de la negación (I. N.) o “reducción al absurdo”

A . . .

B ˄ ¬ B

¬ A

Doble negación (D. N.)

A ¬ ¬ A

¬ ¬ A A

21

De Morgan 1 (D. M.1) De Morgan 2 (D. M.2)

¬ ( A ˄ B )

¬ A ¬ B ¬ ( A B ) ¬ A ˄ ¬ B

También existen reglas de definición de unas conectivas en función de otras.

Definición del conjuntor 1

(Def. C1)

Definición del conjuntor 2

(Def. C2)

Definición del disyuntor 1

(Def. D1)

Definición del disyuntor 2

(Def. D2)

Definición del condicional 1 (Def. Cond1)

Definición del condicional 2 (Def. Cond2)

A ˄ B

¬ (A ¬B)

A ˄ B

¬ (¬A ¬B) A B

¬ A B

A B ¬ (¬A ˄ ¬B)

A B ¬ (A ˄ ¬ B)

A B

¬ A B

Presentamos ahora un grupo de reglas que manifiestan el carácter matemático que, desde la obra de G. Boole (1815-1864), tiene la lógica: Reglas transitivas, conmutativas, asociativas y distributivas. Por último, una de las reglas de dilema.

Transitiva del condicional

(Trans.)

Transitiva del bicondicional

(Trans. B)

Conmutativa de la conjunción

(Conm. C.)

Conmutativa de la disyunción

(Conm. D.)

Conmutativa del bicondicional

(Conm B.)

A B

B C

A C

A B

B C

A C

A ˄ B B ˄ A

A B

B A

A B

B A

Asociativa de la conjunción

(As. C.)

Asociativa de la disyunción

(As. D.)

Distributiva 1 (Dist. 1)

Distributiva 2 (Dist. 2)

Dilema constructivo compuesto

A ˄ (B ˄ C) (A ˄ B) ˄ C

A (B C)

(A B) C

A ˄ (B C)

(A ˄ B) (A ˄ C)

A (B ˄ C)

(A B) ˄

(A C)

A B

A C

B D

C D

5.6. Ejemplos de deducción. En lógica formal, un razonamiento es una deducción, es decir, una secuencia que parte de información organizada en una proposición o grupo de proposiciones, denominadas premisas, y termina en una proposición denominada conclusión. La conclusión es dada de antemano (se escribe a continuación del símbolo “demostrador”: ‘├’), por eso cuando se llega a la misma se escribe tradicionalmente Q.E.D. (Quod erat demonstrandum: “lo que queríamos demostrar”). Grosso modo, las deducciones son secuencias de líneas numeradas, cada una de las cuales es una fórmula que es a) una premisa, b) un supuesto o c) una fórmula que se deduce de otra fórmula o fórmulas anteriores. En el caso b, las fórmulas que son supuestas o derivadas de supuestos se marcan con una línea lateral vertical para indicar que no se pueden aplicar fuera de ese ámbito29. A continuación de todas las fórmulas derivadas se escriben las siglas de

29

Para una especificación de todas estas normas, v. Manuel Garrido: Lógica simbólica, op. cit., pág. 98 y ss.

22

la regla que se ha aplicado y los números de las líneas donde se encuentran las fórmulas sobre las que se ha aplicado la regla. La última línea es la conclusión. Veamos como primer ejemplo de deducción en lógica de enunciados el mismo razonamiento que en 3.4 demostramos con la tabla de verdad30.

Ej. 1:├ p r

1. p ( q r ) premisa 2. ¬ q premisa 3. p

4. q r M. P. 1,3 5. r S. D. 2,4

6. p r I. Cond. 3,5 Q.E.D. Ej. 2: Los astronautas deberán permanecer 40 días en observación únicamente si salen fuera de la atmósfera terrestre31. La nave deberá ser revisada sólo en el caso de que se quiera utilizar de nuevo32. Como ni los astronautas han salido de la atmósfera terrestre ni la nave será utilizada de nuevo33 se deduce de todo lo anterior34 que los astronautas no tendrán que hacer cuarentena ni la nave será revisada35. ├ ¬ p ˄ ¬ r

1. p q premisa

2. r s premisa 3. ¬ q ˄ ¬ s premisa

4. p q E. B. 1

5. r s E. B. 2 6. ¬ q E. C. 3 7. ¬ p M. T. 4,6 8. ¬ s E. C. 3 9. ¬ r M. T. 5,8 10. ¬ p ˄ ¬ r I. C. 7,9 Q.E.D.36

30

Todos los ejemplos que presentamos a continuación han sido utilizados por el autor durante muchos años en clases de lógica en 1º de bachillerato. En los libros citados de Montaner y Arnau y García Trevijano se pueden encontrar muchos más ejercicios.

31 ‘p’: ‘los astronautas deberán permanecer 40 días en observación’. ‘q’: ‘los astronautas salen de la

atmósfera terrestre’. ‘p q’. 32

r: ‘la nave deberá ser revisada’. ‘s’:’ se quiere utilizar de nuevo la nave’. ‘r s’. 33

‘¬ q ˄ ¬ s’. 34

Esta expresión nos indica que lo que viene a continuación es la conclusión. 35

‘¬ p ˄ ¬ r’. 36

No existen, por así decir, “recetas” (es decir, reglas de producción) para resolver un ejercicio de deducción: la inteligencia y la práctica son fundamentales. Ahora bien, sí existen algunas claves técnicas que se pueden recomendar para realizar una deducción. Por ejemplo, las conectivas que se pueden eliminar inmediatamente (en este caso, bicondicionales y conjunción) se deben eliminar. Las reglas que se puedan aplicar sobre una única fórmula (caso de las reglas distributivas como De Morgan) se deben aplicar también de inmediato. Las fórmulas que sean inferidas pero no utilizadas se pueden omitir (aunque el ejercicio no es incorrecto con ellas siempre hay que realizar un ejercicio

23

Ej. 3: Sólo en el caso de que se respeten los derechos humanos Morgan salvará el pellejo37. Sólo si Morgan salva el pellejo podrá soplarme dónde guardó el botín38. Si me lo dice, o lo hallo intacto o Spencer se me habrá adelantado39. Si Spencer se me ha adelantado, volveré a mi antiguo empleo de vendedor ambulante40. Supongamos que se respetan los derechos humanos y que no hallo intacto el botín41… Ya me estoy viendo, de nuevo, vendiendo peines por esas calles42. ├ u

1. p q premisa

2. q r premisa 3. r ( s t ) premisa

4. t u premisa 5. p ˄ ¬ s premisa

6. p r Trans. B. 1,2

7. p r E. B. 6 8. p E. C. 5 9. r M. P. 7,8

10. s t M. P. 3,9 11. ¬ s E. C. 5 12. t S. D. 10,11 13. u M. P. 4,12 Q.E.D.

Ej. 4 (ejemplo de reducción al absurdo): Si el cajero hubiera apretado el botón de alarma, la caja se habría cerrado automáticamente y la policía habría llegado en tres minutos43. Si la policía hubiera llegado en tres minutos, habría alcanzado el vehículo de los ladrones44. Pero no pudo alcanzarlo45. Luego el cajero no apretó la alarma46.

con el menor número posible de pasos). En caso de que no se vea la forma de inferir la conclusión de forma directa se debe utilizar el método de reducción al absurdo.

37 ‘p’: ‘se respetan los derechos humanos’. ‘q’: ‘Morgan salvará el pellejo’. ‘p q’.

38 ‘r’: ‘Morgan podrá soplarme dónde guardó el botín’. ‘q r’.

39 ‘s’: ‘hallo intacto el botín’. ‘t’: ‘Spencer se me ha adelantado’. ‘r ( s t )’.

40 ‘u’: ‘volveré a mi antiguo empleo de vendedor ambulante’. ‘t u’.

41 ‘p ˄ ¬ s’.

42 Es decir, ‘volveré a mi antiguo empleo de vendedor ambulante’.

43 ‘p’: ‘el cajero apretó el botón de alarma’. ‘q’: ‘la caja se cerró automáticamente’. ‘r’: ‘la policía llegó

en tres minutos’. ‘p ( q ˄ r )’. 44

‘s’: ‘la policía alcanzó el vehículo de los ladrones’. ‘r s’. 45

Es decir, ‘la policía no alcanzó el vehículo de los ladrones’. ‘¬ s’. 46

‘¬ p’.

24

├ ¬ p

1. p ( q ˄ r ) premisa

2. r s premisa 3. ¬ s premisa 4. p 5. q ˄ r M. P. 1,4 6. r E. C. 5 7. s M. P. 2,6 8. s ˄ ¬ s I. C. 3,7 9. ¬ p I. N. 4,8 Q.E.D.

Ej. 547: Si los lingüistas están en lo cierto, entonces en caso de que haya habido muchos

dialectos en la antigua Grecia, diferentes tribus tuvieron que descender hasta ella desde el Norte48. Si tribus diferentes descendieron desde el Norte, tuvieron que venir del valle del Danubio49. Pero las excavaciones arqueológicas hubieran revelado allí rastros de tribus diferentes si vinieron desde el Norte50. No se han encontrado tales rastros51. Por consiguiente, si en la antigua Grecia había más de un dialecto, los lingüistas están equivocados52.

47

Presentamos este ejercicio por su dificultad en la formalización de las proposiciones y por la utilización de supuestos dentro de los supuestos.

48 ‘p’: ‘los lingüistas están en lo cierto’. ‘q’: ‘hubo muchos dialectos en la antigua Grecia’. ‘r’: ‘diferentes

tribus descendieron hasta Grecia desde el Norte’. ‘p (q r)’. Repárese en la utilización de la expresión “en caso de que” como condicional.

49 ‘s’: ‘las tribus del Norte tuvieron que venir del valle del Danubio’. ‘r s’.

50 ‘t’: ‘las excavaciones hubieran revelado rastros de tribus diferentes en el valle del Danubio’. ‘r t’.

Obsérvese que en el enunciado de esta proposición el antecedente aparece después del consecuente.

51 ‘¬ t’.

52 ‘q ¬ p’.

25

├ q ¬ p

1. p ( q r ) premisa

2. r s premisa

3. r t premisa 4 ¬ t premisa 5. q 6. p

7. q r M. P. 1,6 8. r M. P. 5,7 9. t M. P. 3,8 10. t ˄ ¬ t I. C. 4,9 11. ¬ p I. N. 6,10

12. q ¬ p I. Cond. 5,11 Q.E.D.

26

6. Falacias.

Una falacia es un razonamiento incorrecto, es decir, no válido (aunque pueda parecerlo). Pero ya hemos explicado que no debemos confundir validez y verdad. La falacia se caracteriza porque algo falla en el razonamiento mismo (es decir, no podríamos llegar lógicamente de las premisas a la conclusión).

6.1. Falacias materiales.

Los griegos distinguían entre los paralogismos y los sofismas. Ambos serían tipos de falacias, pero mientras que en los primeros el razonamiento es incorrecto por error o ignorancia (falacia proviene de "fallo"), en los segundos hay una intención inequívoca de engañar a nuestro interlocutor.

Dentro de las falacias podemos distinguir también entre las llamadas falacias formales y las falacias informales o materiales. Llamamos falacias formales a aquellas en las que lo que falla es la forma del razonamiento, que parece correcta, pero no lo es. Mientras que las falacias informales (o materiales) serían argumentos convincentes pero intencionadamente incorrectos (por defectos de expresión o por la constitución misma del razonamiento).

Vamos a ver algunos ejemplos de falacias materiales:

Falacia ad verecundiam: consiste en defender una conclusión simplemente porque alguien a quien se considera una autoridad ha dicho lo mismo (es el llamado "argumento de autoridad"). Por ejemplo: La Tierra no se mueve porque lo dijo Aristóteles (o la Biblia) -se decía durante la Edad Media-.

Falacia ad hominem: ataca no el argumento de nuestro adversario, sino directamente a la persona, desacreditándola (es una falacia "dirigida a la persona"). Por ejemplo: no puede ser cierto lo que dice, porque ese no tiene ni idea de lo que habla (y además es un...).

Falacia ad populum: apela a los sentimientos o prejuicios de la mayoría ("del pueblo") para que nos apoyen. También es llamada falacia demagógica o sofisma patético. Un ejemplo: los inmigrantes nos quitan los puestos de trabajo, luego hay que expulsarlos a todos (claro, a nadie le gusta que le quiten el trabajo, ¿no?).

Falacia ad ignorantiam: algo es verdadero porque no se puede demostrar lo contrario. Ejemplo: los extraterrestres tienen que existir necesariamente, ya que nadie ha demostrado todavía que no existan (puedes cambiar el sujeto de la frase y poner lo que quieras en su lugar: duendes, hadas, brujas...). Pero es evidente que la falta de pruebas no prueba nada.

Falacia ad baculum: muy común, tanto entre personas como entre países (significa "por la fuerza" o a bastonazos). Mejor que me hagas caso porque o si no... Podríamos decir que, más que un argumento, es una amenaza.

Falacia por generalización indebida (o precipitada): consiste en la aplicación del principio de inducción a partir de pocos casos (o incluso un único caso). Por ejemplo, si alguien de un país (o región o ciudad) te ha tratado mal, pues ya consideras que todos los habitantes de ese país son todos iguales.

Falacia del "tu quoque" o "tú también": discusiones familiares. No se argumenta, se devuelve el mismo argumento, descalificando de paso al adversario.

27

Falacia de eludir la cuestión ("ignoratio elenchi"):o irse por la tangente (o por los cerros de Úbeda). Muy típica de los políticos.

6.2. Falacias formales.

Las falacias formales son argumentaciones en las que la conclusión no se sigue de las premisas. La forma misma del razonamiento es incorrecta, por lo que es imposible deducir lo que se dice en la conclusión. Los siguientes son los casos más conocidos de falacias formales:

Falacia de la afirmación del consecuente: es una interpretación errónea del M.P., ya que pienso que cuando tengo un consecuente en un condicional, entonces puedo deducir el antecedente. Por ejemplo:si digo "si llueve las calles se mojan" y las calles están mojadas, entonces podré deducir que ha llovido. Pues muy mal, esto es una falacia.

Falacia de la negación del antecedente: ocurre lo mismo, pero al revés. Es decir, cuando tengo un condicional y su antecedente negado. Es la interpretación incorrecta del M.T. Por ejemplo, si digo "si llueve las calles se mojan" y no ha llovido, pues concluyo "las calles no se pueden haber mojado".