TEMA 6. TEMA 6. ELS CAMPS CENTRALSELS CAMPS CENTRALS

1. 1. IntroducciIntroduccióó

“Entenem per camp central a tota pertorbació generada per una partícula en tots

els punts del seu entorn”.

Hi ha dos tipus de camps centrals que compleixen les condicions anteriors, el

camp elèctric i el camp gravitatori. En la taula adjunta apareixen les seves

equivalències.

Aquesta pertorbació que designarem per existeix pel fet que la partícula en

qüestió presenta una característica en particular que anomenem c.

Cr

Altres partícules que presentin la mateixa característica c’ sentiran l’efecte de la

pertorbació en forma de força

Camp

gravitatori

Camp elèctric

K: Cnt. Coulomb

G: Cnt. gravitació

universal

Equació del camp

Camp central

Cr

C'·cFrr

=

Er

r2u

r

QKE

rr= E'·qF

rr=

2

29

C

m·N8,99·10 K =

gr

r2u

r

MGg

rr−= g'·mF

rr=

2

211-

kg

m·N6,67·10 G =

c

Q

M

6.1.6.1.-- EL CAMP GRAVITATORIEL CAMP GRAVITATORI

1. El camp gravitatori

r2u·

r

M·Gg

rr−=

2

211-

kg

m·N6,67·10 G =

Una massa pertorba tots els punts del seu voltant generant un camp gravitatori en

cada un d’aquests punts. Aquest camp és central i atractiu, i ve expressat per

l’equació següent:

on G és la constant de la gravitació universal que val

r és la distància de la massa al punt (mesurada en metres), M és la massa que crea

la gravetat (mesurada en quilograms) i ur

és el vector unitari.

La gravetat és doncs una pertorbació vectorial i les seves unitats són éls N/kg o

m/s2.

De l’expressió del camp gravitatori, distingim:

{{

unitarivector

r

mòdul

2u·

r

M·Gg

rr−=

El camp gravitatori és atractiu i va

dirigit cap a la massa

EXEMPLES

2r2r2r

MGu·

r

MGu

r

MGg =−=−= rrr

22

2411

2 sm81,9

000.379.610·99,5

·10·67,6rM

Gg === −r

Calculeu el valor del camp gravitatori creat pel planeta Terra just sobre els punts

de la seva superfície. Dades: M = 5,99·1024 kg, R = 6.379 km.

La gravetat que ens demanen és el mòdul, ja que ens demanen simplement el

valor del vector gravetat, és a dir:

Aleshores si calculem el valor del camp obtenim:

Calculeu la gravetat a 2.000 km de la superfície de la Terra. Preneu les dades de

l’exemple anterior.

( ) 22

2411

2 sm69,5

000.000.2000.379.6

10·99,5·10·67,6

r

MGg =

+== −r

Com podeu comprovar la gravetat terrestre no sempre val 9,81 m/s2 , és a dir que com

més ens allunyem del centre de la Terra, menor és el valor de la gravetat terrestre.

EXEMPLES

On s’anul·la el valor de la gravetat terrestre?

La gravetat terrestre no s’anul·la mai. Això és així perquè la gravetat depèn

de paràmetres no nuls que es multipliquen i divideixen.

0r

MGlimSi

r

MGg

2r

2

=

=

∞→

Només es pot extrapolar que la gravetat s’allunya

quan la distància a la terra és enorme, és a dir

que tendeix a infinit.

Calcula el camp gravitatori que crea una massa m de 10+20 kg en el punt A. La massa

està situada en el punt (30Mm,40Mm) el punt A situat a (-30Mm,-10Mm).

gr

El primer que fareu sempre és representar gràficament la posició de A i M

m

A

EXEMPLES

X(Mm)

Y(Mm) Després expressarem la

posició de A i M respecte O.

Mmj40i30r

Mmj10i30r

M

A

rrr

rrr

−−=

−−=

Calculeu la posició de A

respecte M.

Mmj50i60rr MA

rrrr−−=−

j61

5i

61

6u

6110

j50i60

)50()60(

j50i60

r

)j40i30()j10i30(

rr

rru

r

22AMmA

mAr

rrr

rrrr

r

rr

rr

rrr

−−=

−−=−+−

−−=+−−−=−−=

277

26

2011

r2

s·mj10·00,7i10·40,8

j61

5i

61

6·

)10·6110(

10·10·67,6u·

r

mGg

−−−

+−

+=

=

−−−=−=rr

vrrr

EXEMPLES

Ara el què cal fer és la determinació del vector unitari:

2. Addició de camps gravitatoris.

Quan en una zona de l’espai hi ha més d’una massa, cada massa pertorba els

punts del seu voltant creant un camp gravitatori. Així doncs en un punt de l’espai

hi haurà els efectes combinats de cada una de les masses que té al voltant. Aquest

efecte s’expressa com la suma de camps en un mateix punt.

∑=

=n

1k

kT ggrr

3. La llei de la gravitació universal de Newton.

Quan una massa m’ se situa dins d’un camp gravitatori sentirà l’acció d’una força F’que és la resposta a la interacció del camp g amb la massa m’. L’expressió que

relaciona m’, g i F’ és:

Quan dues masses se situen una al costat de l’altre la interacció mútua dels

respectius camps i de les masses crearà forces sobre elles iguals i contràries (3ª llei

de Newton)

g'·m'Frr

=

−== 'ur

mG·mg·mF r2

212112

rrr

−== r2

121221 u

r

m·G·mg·mF

rrr

Veiem això amb més claredat

r2

22 'u

r

mGg

rr−=

m1 m2

gg22

FF2121

r2

1221 'u·

r

m·mGF

rr−=

2121 g·mFrr

=

−= r2

2121 'u·

r

mG·mF

rr

r'ur

r2

11 u

r

mGg

rr−=

1212 g·mFrr

=

−= r2

1212 u·

r

mG·mF

rrr2

2112 u·

r

m·mGF

rr−=

m1 m2

gg11

FF1212

rur

'u u- rr

rr=

|F| |F| 2112

rr=

F- F 1221

rr=

r2

21 ur

m·mGF

rr−=

m1

gg22

FF2121

r2

1221 'u·

r

m·mGF

rr−= r2

2112 u·

r

m·mGF

rr−=

m2

gg11

FF1212r'u

r

rur

r2

1221 'u·

r

m·mGF

rr−= ( )r2

1221 u·

r

m·mGF

rr−−=→ r2

1221 u·

r

m·mGF

rr+=→ r2

1221 u·

r

m·mGF

rr+=→

r2

2112 u·

r

m·mGF

rr−=

3a llei de Newton

5. Energia potencial gravitatòria5. Energia potencial gravitatòria

La força provocada per dues masses és una força conservativa ja que la seva

expressió depèn de la posició, a més de ser una força central. Així doncs podem

definir una funció energia potencial associada a la força gravitatòria.

rfr0

m’m ur F dr

r

'm·mGU

r

1

r

1'·m·m·GUU

r

1

r

1'·m·m·GUUWU

r

1

r

1'·m·m·G

r

1

r

1'·m·m·G

r

1'·m·m·Gdr·

r

1'·m·m·G

rd·u·r

'm·mGrd·FW

;WU

0f

0f

0f

0fF

0f0f

r

r

r

r2

r

rr2

r

rF

F

f

0

f

0

f

0

f

0

−=→

−−=−

−−=−→−=∆

−=

+−−

=

−−=−

=−==

−=∆

∫

∫∫

r

rr

r

rrr

Demostreu que l’equació Ep = mgh és una aproximació de

( )( )

+=

+−−=

+−−=

=

++−−=

−

+−=

=

−

+−=

−

−=

=

−−=

−−−=−=∆

T

TT

T

T

2

T

2

T

TT

TT2

T

TT

2

T

TT

2

T

0f

2

T2

T

T

0f

T

0

T

f

T0f

R

h1

h·g·m

)hR·(R

h·R·g·m

R·hR

h·R·g·m

hR·R

hRR·R·g·m

R

1

hR

1·R·g·m

R

1

hR

1·m·R·g

r

1

r

1·m·R·

R

M·G

r

1

r

1·m·M·G

r

m·M·G

r

m·M·GUUU

I lI l ’’equaciequaci óó mghmgh ??

Aleshores, si h << RT

tenim: h·g·m

Rh

1

h·g·mlimU

T

0Rh

T

=

+=∆

→

r

'm·mGU −=

r0

rfh

ExempleExemple

'V·mr

'm·G·m

r

'm·mGU =

−=−=

'g·mur

'mG·mu

r

'm·mGF r2r2

rrrr=

−=−=

Com hem vist la força entre dues masses ve donada pel producte entre la massa

el camp elèctric.

De forma anàloga podem fer el mateix amb l’energia potencial gravitatòria

Veiem que el terme que apareix entre parèntesis el designem amb la lletra V.

Aquest terme s’anomena potencial gravitatòri. El potencial gravitatori és una

magnitud molt útil ja que ens permetrà resoldre problemes amb major facilitat. El

potencial gravitatori es mesura en volts ([V] =1J/kg).

El potencial gravitatori i el camp gravitatori són dues magnituds que estan

íntimament relacionades. Qualsevol massa crea en els punts de l’espai dues

pertorbacions el camp i el potencial gravitatori de forma simultània.

6. Potencial 6. Potencial gravitatorigravitatori

6. 6. AddiciAddici óó delsdels potencialspotencials gravitatorisgravitatoris

Quan en una zona de l’espai hi ha més d’una massa, cada massa pertorba els

punts del seu voltant creant un potencial gravitatori. Així doncs en un punt de

l’espai hi haurà els efectes combinats de cada una de les masses que té al voltant.

Aquest efecte s’expressa com la suma de potencials en un mateix punt.

∑=

=N

1i

iT VV

El treball mecànic que exerceix la força F sobre una massa es pot calcular de dues

formes.

6. 6. RelaciRelaci óó entre el potencial i el camp entre el potencial i el camp gravitatorigravitatori ..

dVrd·gdV·mrd·g·mdUrd·FdUdW

rd·FdW

F

F =−⇒−=⇒−=⇒

−== rrrrrr

rr

r

r

De l’equació anterior deduïm que si ens movem en el sentit del camp gravitatori el

potencial gravitatori disminueix, si ho fem en contra el potencial augmenta i si ens

movem perpendicularment al camp el potencial no canvia.

V1 < V2

Camps Camps gravitatorisgravitatoris uniformesuniformes

En zones properes a les superfícies dels planetes, el camp gravitatori es pot

considerar uniforme i perpendicular al terra del planeta.

r·gVrr

∆−=∆

La relació entre el camp i el potencial en el seu interior ve donada per l’equació

següent, en la qual g es pot considerar constant.

gr

EXEMPLE

Ni130)i2,5·(25Fg·mF)arrrrr

==→=

11m

kg/J2,57)i11)·(i2,5(Vr·gV

J1430)2,57·(25V·mU)b

−=−=∆→∆−=∆

−=−=∆=∆rrrr

( )

0v·m·2

1EEEE

s/m69,10v4,11425

1430·2

m

U·2vUv·m·

2

1

0Uv·m·2

10UE

0UE0UE0E)c

2

ccocfc

sm22

2

c

ccm

2

2

−=∆→−=∆

=→=−−=∆−=→∆−=

=∆+→=∆+∆

→=∆+∆→=∆+∆→=∆

Energia d’un sistema de partícules

Suposem que tenim un sistema de partícules com el de la figura. Les interaccions

mútues (forces gravitatòries) són conservatives i per tant, l’energia mecànica del

sistema es manté constant. L’energia mecànica del sistema es calcula com la suma

d’energies mecàniques.

Aquesta energia mecànica és la suma de l’energia cinètica i l’energia potencial

gravitatòria del sistema.

Per determinar-ne el valor cal aplicar la següent relació ∑∑≠=

+=LK

KL

N

1k

Cm UEEK

On és l’energia mecànica del sistema és l’energia cinètica de la partícula

k i és l’energia potencial de les partícules relatives dos a dos.

mEKCE

KLU

∑=

=N

1K

mm KEE

Exemples

Considera el sistema Terra Lluna. Considereu la Terra aturada i la Lluna que gira al

voltant de la Terra. Troba l’elergia mecànica del sistema respecte la Terra.

T

L

J10·28,7U;J10·64,3E

J10·64,3r

M·MGv·M·

2

1UEE

000UEE

J10·64,30EEE

28

TL

28

C

28LT2

LTLCm

TTCm

28

mmm

L

LL

TT

LT

++

+

+

−==

−=−=+=

=+=+=

−=+=

Considera el sistema format per Mart, Phobos i Deimos. Considereu la Phobos i

Deimos giren al voltant de Mart. Troba l’elergia mecànica del sistema respecte

Mart.

Dades: MMart=6,42··10+23 J ; MDeimos = 2,40·10+15 kg ; MPhobos = 10,6·10+15 kg

rMD = 23.500 km ; rMP = 9.400 km

Exemples

JU;JE

Jr

M·MGv·M·

2

1UEE

JU;JE

Jr

M·MGv·M·

2

1UEE

000UEE

J0EEEE

PHMC

PHM

PHM2

PHMPHCm

MDC

MD

DM2

DMDCm

MMCm

mmmm

PH

PHPH

D

DD

MM

PHDM

==

=−=+=

==

=−=+=

=+=+=−−=++=

−

−

Les lleis de Kepler

Entre els anys 1600 i 1620 Johanes Kepler va deduir les tres lleis fonamentals que

permeten explicar el moviment dels planetes al voltant del Sol. La seva deducció va

ser totalment experimental a partir de les observacions astronòmiques molt

precises de la trajectòria del planeta Mart. Les dades astronòmiques eren

anotacions de l’astrònom italià Ticho Brahe. Així doncs el moviment dels planetes al

voltant del Sol o dels satèl·lits al voltant d’un planeta es resumeixen en tres lleis.

Les lleis de Kepler

1. Tots els planetes (satèl·lits)

descriuen òrbites el·líptiques

amb el Sol (planeta) situat en un

dels focus de l’el·lipse

2. La recta que uneix el planeta

(satèl·lit) i el Sol (planeta)

escombra àrees iguals en temps

iguals

3. El quadrat del període orbital

el·líptic del planeta (satèl·lit) al

voltant del Sol (planeta) és

proporcional al cub del semieix

major de la trajectòria el·líptica

descrita. La constant de

proporcionalitat depèn de la

massa de l’objecte central, mai

de la massa de l’objecte que

gira 2

aaa

a·CT

ap

32

+=

=

Les lleis de Kepler

El valor de la constant C de la 3a llei de Kepler es dedueix a partir de la força

centrípeta i gravitatòria per a òrbites circulars.

a

M

( )

32

22

2

2

2

2

22

2c2

c2Gc

r·M·G

4Tr·

T

4

r

MG

r·T

2

r

MGr·

r

MG

T

2ir·vSi

vr

MG

r

v

r

MGa

r

MG

a·mr

M·mGFF

π=→π=

π=→ω=

π=ωω=

=→=→=

=→=

32r·CT =

32

2 r·M·G

4T

π= M·G

4C

2π=

EXEMPLES

( )kg10·00,2

875.555.31

10·150·

10·67,6

4M

T

r·

G

4Mr·

M·G

4T

s875.555.31dies25.365any1T

30

2

39

11

2

sol2

32

sol

3

sol

22 +

+

− =π=→π=→π=

===

( )

dies38,27s04.377.36.2T10·59,5T

s10·59,510·384·10·99,5·10·67,6

4Tr·

M·G

4T

12

21236

2411

223

TERRA

22

→=→=

=π=→=π=

+

+++−

L’ENERGIA MECÀNICA DELS COSSOS CEL·LESTES

Kepler només va poder observar una de les possibles trajectòries dels cossos celestes. Realment hi ha més trajectòries possibles. Totes elles pertanyen a la família de les corbes còniques. Distingim:

Òrbites tancades

Òrbites obertes

El·lipses Circumferència Paràbola Hipèrbola

Velocitat orbital i velocitat d’escapament

r

MGvv

r

MG

r

v

r

MGa

r

MGa·m

r

M·mGFF

2

2

2c2c2Gc

=→=

=→=→=→=

a

M

M

R

M·G·2v

R

MGv

2

10

R

m·MGmv

2

1(*)

R

m·MGmv

2

1E;00

r

m·MGmv

2

1E

(*)EE0EE0E

e

2

e

2

e

2

em

f

2

fm

mmmm

0f

0f0f

=→=→=−→

−=+=−=

=→=−→=∆

Per escapar necessitem una trajectòria oberta, la més

simple.

Energia mecànica dels cossos en òrbita circular.

a

M

Quan un cos està en òrbita circular al voltant d’un altre,

podem calcula la seva energia mecànica.

==

>−=<=

−−=→−=→+=

r

MGvorbitalvelocitat

0U2

1E;0U

2

1E

UU2

1E

r

m·MGv·m

2

1EUEE

2

Cm

m

2

mCm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/CannonNewton/Newtonian%20Mountain.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/EnergiaOrbitas/Energ%C3%ADayOrbita.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/Orbitas%20de%20Proyectiles%20y%20satelites/OrbitasProyectiles.html

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/LeyKepler3/Kepler.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/LeyesKepler/LeyesKeplerEnergia.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/FuerzasCentrales1/FuerzasCentrales1.htm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/2-CD-Fiisca-TIC/2-1Gravitacion/FuerzasCentrales2/FuerzasCentrales.htm

Anar a la diapositiva 9.