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Tema 4: Sistemi di V.A. Gaussiane
1
/ 2
1 1( ) exp ( ) ( )
2(2 ) det( )
TX X X XN
X
f
x x m C x m
C
1 2[ ]TNX X XX Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane
1 2
1 2
N
T
X N
T
X X X
E E X E X E X
m X
1 1 2 1
2 1 2
1
1 1
2
2
2
( )( )
N
N N
N N N N
X X X X X
X X XTX X X
X X
X X X X X
c c
cE
c
c c
C X m X m
ddp congiunta di ordine N
Vettore valori medi[ statistica di ordine 1 ]
Matrice di covarianza[ statistica di ordine 2 ]
,[ ] ( )( )i j i j i j i jX i j i X j X X X X X X XE X X c C
Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 1Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza
Proprietà 2Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità:
Proprietà 3Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni Xk è una v.a.
Gaussiana
y Ax bT
Y X Y X m Am b C AC A
1 2 1 1 1 2 1 1( ) ( , , , , , , , )kX k X k k k N k k Nf x f x x x x x x dx dx dx dx dx
1 1 1, , , , , 1 2 1 1 1 2 1 1( , , , , , , ) ( , , , , , , , )k k NX X X X k k N X k k k N kf x x x x x f x x x x x x dx
Proprietà dei vettori Gaussiani
• Se {Xi; i=1,2,3,4} sono v.a. Gaussiane con valori medi nulli:
1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3
4
1 2 3 4 41 2 3 4
1 ( )XX X X X X X X X X X X XE X X X X c c c c c c
j
Proprietà 4: Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano
1 1( )1
1( ) ( , , ) e e exp
2
ΤN Nj X X j Τ Τ
X X N X XE E j
X m C
• Se {Xi; i=1,2, … , N} sono v.a. Gaussiane indipendenti:
2 2 2 2
1 1 1
1 1( ) exp exp
2 2i i i i
NN N
X X i X i X i X ii i i
j j
Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 5Proprietà 5: se N v.a. congiuntamente Gaussiane sono a due a due incorrelate, esse sono anche indipendenti
1
2
2
2
2
2
2
( )2
212 2
1 1 1
0 0
0 0 per
0
0 0
( ) 1( ) ( ) ( ) ( )
2
i j
N
i Xi
Xi i
i
i i
X
XX X X
X
xN NN
i XTX X X X X i
i i iX X
c i j
xf e f x
C
x m C x m x
• Se sono anche identicamente distribuite: , dove I è la matrice identità, e
2X XC I
[11 1]TX X X m 1
Proprietà dei vettori Gaussiani
Proprietà 6Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana
, 1 2
T
r k r k k k r kE E X E X E X m X X X X X
, , ,( )( )Tr k r r k r r k kE C X m X m X
1, , ,/ 2
,
1 1( ) exp ( ) ( )
2(2 ) det( )r k
Tr k r r k r k r kr
r k
f
X X x x x m C x mC
vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati
y
x
Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane:
0 0
1 1
0
X Y
X Y
XY
Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane
, 22
1 1( , ) exp ( , )
2 12 1X Y
XYX Y XY
f x y Q x y
, ( , ) ( ) ( )X Y X Yf x y f x f y
2 2
( , ) 2X X Y YXY
X X Y Y
x x y yQ x y
2, 2, 0X Y XY
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
0
0
Y
X
2
4
Y
X
0, 0, 0X Y XY
Influenza di valori medi e varianze
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y
2
4
Y
X
4
2
Y
X
x
Curve di livello: Curve di livello: , 0 0( , ) ( , )X Yf x y z Q x y
Influenza del coefficiente di correlazione
2 22 2 2 2
( ) ( )
var (1 )
YY XY XY X Y X
X
Y XYY X Y X
E Y X x yf y x dy x
Y X x E Y X x E Y X x E Y X x
curva di regressione
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
2
2
Y
X
2
4
Y
X
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
5.0XY
95.0XY
0, 0
2, 2X Y
X Y
0, 0
0.95X Y
XY
% Calcolo analitico della ddp congiunta di coppia di v.a. cong. Gaussianefunction ddp=ddpgausscorr(vx,vy,ex,ey,sx,sy,rho,graf)
% IN: vettori dei valori di cui calcolare la ddp, vx,vy;% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey;% dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy;% coefficiente di correlazione, rho;% flag grafico 3D/curve di livello (0,1), graf% OUT: matrice di valori della ddp congiunta;% uscita su video della ddp congiunta
x=repmat(vx,size(vy,2),1); % prepara una matrice di valori di x per y costantiy=repmat(vy,size(vx,2),1);y=y'; % prepara una matrice di valori di y per x costanti
fattnorm=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-rho^2));fattesp=1/(2*(1-rho^2));formaquadr=(x-ex).^2/sx^2-2*rho*(x-ex).*(y-ey)/(sx*sy)+(y-ey).^2/sy^2;ddp=fattnorm*exp(-fattesp*formaquadr); % valuta la ddp
if graf == 0 mesh(x,y,ddp) % grafico 3Delse contour(x,y,ddp) % curve di livello hold on plot([min(vx) max(vx)],[0 0],'g--') hold on plot([0 0],[min(vy) max(vy)],'g--')end
Esempio di file.m: ddpgausscorr.mddpgausscorr.m
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
95.0XY
y
)2|(| Xyf XY
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
95.0,5.0,0
2
2
0
0
XY
Y
X
Y
X
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ddp marginali e condizionate
y
0XY
0.5XY
y
y
| ( | 2)Y Xf y X
)2|(| Xyf XY
essendo Gaussiane, sono indipendenti:
la ddp condizionata coincide con la ddp marginale( )Yf y
2 2 2
( )
(1 )
YY XY XY X
X
Y XYY X
x
ddp marginali e condizionate
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
5.0
2
2
0
0
XY
Y
X
Y
X
x
5.0XY
5.0XY
y
y
y
)4|(| Xyf XY
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
5.0XY
y
)0|(| Xyf XY
)( yfY
)2|(| Xyf XY
retta di regressione
2 2 2
( )
(1 )
YY XY XY X
X
Y XYY X
x
% Calcolo analitico della ddp condizionata Y|X per coppia di v.a. X,Y cong. Gaussiane
function ddpc=ddpcondgauss(x,vy,ex,ey,sx,sy,rho)
% IN: valore della v.a. X a cui condizionare la v.a. Y, x;
% vettore dei valori di Y di cui calcolare la d.d.p. cond., vy;
% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey;
% dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy;
% coefficiente di correlazione, rho;
% OUT: vettore di valori della ddp cond.;
% uscita su video della ddp cond.
etaycond=ey+rho*sy/sx*(x-ex);
sigmaycond=sy*sqrt(1-rho^2); % calcola media e dev. standard cond.
ddpc=normpdf(vy,etaycond,sigmaycond); % calcola ddp cond.
plot(vy,ddpc)
hold on
plot(0,0,'go')
hold on
plot(etaycond,0,'r*') % valor medio cond.
Esempio di file.m: ddpcondgauss.mddpcondgauss.m
Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate
1
/ 2
1 1( ) exp ( ) ( )
2(2 ) det( )
TW W W WN
W
f
w w m C w m
C
z Aw b
Z W
TZ W
m Am b
C AC A
,W W m 0 C I ,Z Zm C
TZ C AA [ ( )]T
ZCholA C ( )Chol Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superioreoppure
TZ C V V
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2( )( )T T TZ C V V V V AA
1/ 2 A V
Zb m
desiderati
?
Decomposizione spettrale
1/ 2Z z V w m
Z m b
Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate
2 2 2( ) (1 )YY XY X Y XYY X Y X
X
x
2 2( , ), ( , ), coeff.corr.X X Y Y XYX N Y N
X YZVettore Gaussiano 2-D: N=2
2 2( , ), ( , )X X Y X Y XX N Y X N
2 2( ) dove (0, (1 ))YY XY X Y XY
X
Y X W W N
Metodo per N=2:
1{ [ ]}Mi i i ix y zM coppie di campioni di v.a. X ed Y cong. Gaussiane:
Calcolo di “scatterplot” e coeff. di correlazione
- Generare M realizzazioni del vettore 2-D Z=[X Y], X ed Y v.a. cong. Gaussiane
-Visualizzare lo “scatterplot” (diagramma di dispersione, rappresentazione cartesiana delle coppie di campioni) [istruzioni utili: load, plot, axis]
- Calcolare le medie, le varianze ed il coefficiente di correlazione [istruzioni utili: mean, std]
- Confrontare lo scatterplot con la ddp analitica determinata dai parametri calcolati elaborando N coppie di campioni [SuggSugg.: utilizzare il programma ddpgausscorr.mddpgausscorr.m]
1
1ˆ ˆ( )( ){( )( )}
ˆˆ ˆ
M
i X i YiXY X Y
XY XYX Y X Y X Y
x yc E X Y M
y
x
load coppie.matplot(x,y,'.')axis([-8 12 -4 12])hold onplot([-8 12],[0 0],'g--')plot([0 0],[-4 12],'g--')
Esempio di risultati
scatterplotscatterplotValori dei parametri della ddp:
media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9;varianza Y = 4;coeff. di correlazione = -0.5
» mean(x) 1.9904» mean(y) 3.9958» std(x)^2 9.1204» std(y)^2 4.0664
» calcrho(x,y) -0.5192
% Misura empirica del coefficiente di correlazionefunction rho = calcrho(x,y)
% IN: vettori di realizzazioni della coppia di v.a. (x,y)
% OUT: coefficiente di correlazione rho
etax=mean(x); % calcola le medie e deviazioni standardetay=mean(y);sigx=std(x,1);sigy=std(y,1);
rho=mean((x-etax).*(y-etay))/(sigx*sigy); % calcola la covarianza % normalizzata
Valori effettivi:
media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9;varianza Y = 4;
coeff. di correlazione = -0.5
Esempio di risultati e file.m: calcrho.mcalcrho.m
9 3
3 4Z
C
y
x
hold onddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1);
Esempio di risultati
ScatterplotScatterplot++
Curve di livelloCurve di livello
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
y
x
ddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],2,4,3,2,-0.5,1);hold onddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1);
Confronto tra ddp effettiva
e la ddp analitica con
i parametri misurati dai dati
Esempio di risultati
Esempio di file.m: gengausscorrgengausscorr11.m.m
% Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate
% metodo della decomposizione di Cholesky
function [x,y] = gengausscorr1(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho)
% IN: numero di realizzazioni, n;
% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay;
% varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y;
% coefficiente di correlazione, rho;
% OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y;
R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza
Ch=chol(R); % determina la trasform. lineare 2x2 tramite decomposizione di Cholesky;
A=Ch.';
w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip.
% organizzate in una matrice 2xn;
c=A*w; % trasformazione lineare 2x2
% applicata a tutte le realizzazioni;
x=c(1,:)+etax; % impone le medie
y=c(2,:)+etay;
Esempio di file.m: gengausscorrgengausscorr22.m.m
% Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate
% metodo della decomposizione agli autovalori
function [x,y] = gengausscorr2(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho)
% IN: numero di realizzazioni, n;
% media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay;
% varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y;
% coefficiente di correlazione, rho;
% OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y;
R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza
[V,L]=eig(R); % determina le matrici degli autovettori e degli autovalori;
A=V*L.^(1/2); % calcola la trasformazione lineare 2x2
w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip.
% organizzate in una matrice 2xn;
c=A*w; % trasformazione lineare 2x2
% applicata a tutte le realizzazioni;
x=c(1,:)+etax; % impone le medie
y=c(2,:)+etay;