TEMA 4 - · PDF file• En el entorno de la resonancia, el circuito RLC paralelo es como una conductancia 1/R, con una reactancia en paralelo que aumenta con la

Circuitos Resonantes 1

TEMA 4

Circuitos Resonantes

4.1 Repaso sobre resonancia.4.2. Resonancia en líneas de transmisión.4.3. Resonancia transversal.4.4. Excitación de resonadores.4.5. Filtros de microondas.

Bibliografía:

•D. M. Pozar. “Microwave Engineering”. Capítulos 6 y 8.•R. E. Collin. “Foundations for Microwave Engineering”. Capítulos 7 y 8


TEMA 4

• Objetivos:– Comprender el fenómeno de la resonancia en líneas de

transmisión.– Mostrar un ejemplo de un circuito formado únicamente

por líneas de trasmisión con comportamiento equivalente a un circuito formado por elementos concentrados (R, L, C).

– Aplicar el fenómeno de la resonancia al diseño de filtros de microondas.


4.1 Repaso de conceptos sobre resonancia.

• Índice:– 4.1.1. Introducción.– 4.1.2. Circuito RLC resonante serie.– 4.1.3. Circuito RLC antiresonante paralelo.– 4.1.4. Factor de calidad con carga.


• Aplicaciones de los resonadores de microondas:– Filtros, osciladores, amplificadores sintonizados, ....

• Tipos de resonadores de microondas:– Líneas de transmisión.

– Guía de ondas rectangulares o circulares.

– Cavidades dieléctricas.

• Cerca de resonancia, el comportamiento del resonador de microondas es modelable como un circuito RLC.

4.1.1. Introducción


• Energía magnética media almacenada en la bobina.

• Energía eléctrica media almacenada en el condensador.

CjLjRZ ent ω

ω 1−+=

[ ] [ ]2

22*

21

21

21

21

ententconsumida Z

VRIRIZeVIeP ==ℜ=ℜ=

2

41 ILWm =

CIVCW ce 2

22 141

41

ω==

LR

C+

V–

I

Zent

4.1.2. Circuito RLC resonante serie


• En resonancia, el circuito RLC cumple que:– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:

– La impedancia de entrada es resistiva pura:

CIILWW em 2

22 141

41

ω=⇒=

CLRZ ent ω

ω 1=⇒ℜ∈=

• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:

LCr1

=ω



• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de entrada igual a R.

• La potencia consumida en el resonador (es decir sus pérdidas) dependen de R.

• En general, R será un valor bajo (idealmente CC) de forma que en resonancia la Zent es muy baja y las pérdidas también.

• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la impedancia.

2

21 IRPentreg =



• Factor de calidad de un circuito resonante.

• Para el caso del circuito RLC resonante serie.

rconsumidaPotencia

almacenadamediaEnergíaQωω

ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RCRL

IR

CIIL

PWWQ

r

rrr

consumida

emr ω

ωωωω 1

21

141

41

2

222

==+

=+

=



• Una vez conocido el comportamiento para la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la respuesta del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia?

ωωω Δ+= r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2

22

2111

ωωωω

ωω

ωω

r

ent

LjR

LCLjR

CLjRZ



• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar

• Luego, en el entorno de la resonancia, el circuito RLC es como una resistencia R, que tiene una parte imaginaria que aumenta con la frecuencia yque depende de L (o de C).

• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.

( )( ) ( ) ωωωωωωωωωωω Δ≈Δ−Δ=+−=− 2222rrr

ωω

ωωω Δ+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+≈ LjRLjRZ ent 22

2

rent

RQjRZω

ωΔ+≈ 2



ω

( )ωentZ

Qr

r 2ωω +

Qr

r 2ωω −

2RR

BW

Ancho de bandaAncho de banda

QBW rω

=rr

rel ff

QBWBW Δ

===1

ω



• Energía magnética media almacenada en la bobina.

• Energía eléctrica media almacenada en el condensador.

LR C+

V–

I

LjCj

RYent ω

ω 11−+=

[ ] [ ] 22

2**

21

21

21

21

ententconsumida IZRR

VVYeVIeP ==ℜ=ℜ=

LVILW Lm 2

22 141

41

ω==

2

41 VCWe =

Zent

4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo


• En resonancia, el circuito RLC cumple que:– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:

– La impedancia de entrada es resistiva pura:

22

2

411

41 VC

LVWW em =⇒=

ω

CLRZ ent ω

ω 1=⇒ℜ∈=

• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:

LCr1

=ω



• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de entrada igual a R.

• La potencia consumida en el resonador (es decir sus pérdidas) dependen de R.

• En general, R será un valor alto (idealmente CA) de forma que en resonancia la Zent es muy alta y las pérdidas serán bajas.

• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la admitancia.

RV

Pentreg

2

21

=



• Factor de calidad de un circuito RLC antirresonanteparalelo.

LRRC

RV

VCVL

PWWQ

rr

rr

consumida

emr ω

ωωωω ==+

=+

= 2

222

21

411

41



• Una vez conocido el comportamiento para la frecuencia de resonancia, ¿cuál es la respuesta del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia? ωωω Δ+= r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2

22

2

1

11111

ωωωω

ωω

ωω

r

ent

CjR

LCCj

RLCj

RY



• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar

• En el entorno de la resonancia, el circuito RLC paralelo es como una conductancia 1/R, con una reactancia en paralelo que aumenta con la frecuencia y que depende de C (o de L).

• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.

( )( ) ( ) ωωωωωωωωωωω Δ≈Δ−Δ=+−=− 2222rrr

ωω

ωωω Δ+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+≈ CjR

CjR

Yent 21212

rent R

QjR

YωωΔ

+≈21



ω

( )ωentZ

Qr

r 2ωω +

Qr

r 2ωω −

2/RR

BW

Ancho de bandaAncho de banda

QBW rω

=rr

rel ff

QBWBW Δ

===1

ω



• El factor de calidad visto previamente corresponde al propio circuito resonante cuando éste está aislado. ¿Qué pasa al conectar el resonador con algún circuito externo que lo cargue?

• Ejemplo con RLC serie:

LR

CRL

Circuito Resonante

RLQ rω

=

L

re R

LQ ω=

Factor de calidad del resonador aislado:

Análogamente, se define un factor de calidad externo Q debido a la carga RL:

Factor de calidad del circuito resonante con carga: QQQ eL

111+=

4.1.4. Factor de calidad con carga


• Para el RLC paralelo:

RL

Circuito Resonante

LRQrω

=

LRQ

r

Le ω=

Q del cto resonante aislado:

Análogamente, se define un factor de calidad externo Q debido a la carga RL:

Al igual que en el caso del circuito RLC serie, el factor de calidad del circuito resonante con carga vale:

QQQ eL

111+=

LR C

4.1.4. Factor de calidad con carga


4.2. Resonancia en líneas de transmisión

• Índice:– 4.2.1. Introducción.– 4.2.2. Línea de media onda acabada en

cortocircuito.– 4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito

abierto– 4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en

cortocircuito.


• Elementos concentrados no disponibles a altas frecuencias.

• Elementos distribuidos más frecuentes.• Secciones de línea de transmisión + CC ó CA se

comportan como resonadores.• Estudiamos el Q (factor de calidad) pérdidas.

4.2.1. Introducción


• Linea de y cortocircuitada.

/ 2l λ=

inZ

0/ 2, Zλ

0 0tanh tantanh( )

1 tan tanhinl j lZ Z j l Z

j l lα βα β

β α+

= + =+

Si (sin pérdidas) 0α = 0 taninZ jZ lβ=

4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito



• Bajas pérdidas

• Desviación pequeña

1lα (tanh )l lα α

0ω ω ω= + Δ

0ll llv v v

ωω ωβ Δ= = +

02 2v vlf

λ πω

= = = 0

l ωπβ πωΔ

= +



0 0 0

tan tan tanl ωπ ωπ ωπβ πω ω ω

⎛ ⎞Δ Δ Δ= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

tanh l lα α

00 0

0

0

1in

l jZ Z Z l j

j l

ωπαω ωπαωπ ωα

ω

Δ+

⎛ ⎞Δ+⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠+



• Circuito RLC serie:

• Línea de transmisión:

• Identificando:

2inZ R j L ω= + Δ

00

inZ Z l j ωπαω

⎛ ⎞Δ+⎜ ⎟

⎝ ⎠

00 2

0 0

1; ; 2ZR Z l L C

Lπαω ω

= = =


4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito.

• En resonancia:

• También ocurre resonancia en

• Factor de calidad (1ª resonancia):

• Si

00 inZ R Z lω αΔ = ⇒ = =

; 1, 2, 3,2

nl nλ= = …

0

2 2LQ

R lω π β

α α= = =

Qα ↑⇒ ↓


4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto

• Linea de y en circuito abierto (se suele usar en microstrip).

/ 2l λ=

inZ

0/ 2, Zλ

0 01 tan tanhcoth( )tanh tanin

j l lZ Z j l Zl j lβ αα β

α β+

= + =+

Si (sin pérdidas) 0α = 0 cotinZ jZ lβ= −



• Bajas pérdidas



0ω ω ω= + Δ

0ll llv v v

ωω ωβ Δ= = +

02 2v vlf

λ πω

= = = 0

l ωπβ πωΔ

= +



0 0 0

tan tan tanl ωπ ωπ ωπβ πω ω ω

⎛ ⎞Δ Δ Δ= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

tanh l lα α

0 00

0 0

1

in

j lZZ Z

l j l j

ωπ αω

ωπ ωπα αω ω

Δ+

Δ Δ+ +



• Circuito RLC paralelo:

• Línea de transmisión:

• Identificando: 02

0 0 0

1; C ; L2

ZRl Z C

πα ω ω

= = =

11 2

inZj C

Rω

=+ Δ

0

0

inZZ

l j ωπαωΔ

+



• En resonancia:

• También ocurre resonancia en

• Factor de calidad (1ª resonancia):

• Si

00 inZZ R

lω

αΔ = ⇒ = =

; 1, 2, 3,2

nl nλ= = …

0 2 2Q RC

lπ βωα α

= = =

Qα ↑⇒ ↓


4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito

• Linea de y cortocircuitada. 0/ 4, Zλ

/ 4l λ=

inZ

0 0

0

tanh tantanh( )1 tan tanh

1 tanh cot =tanh cot

inl j lZ Z j l Z

j l lj l lZ

l j l

α βα ββ αα β

α β

+= + =

+−

−



• Bajas pérdidas



0ω ω ω= + Δ

0ll llv v v

ωω ωβ Δ= = +

04 4 2v vlf

λ πω

= = = 02 2l π π ωβ

ωΔ

= +



0 0 0

cot cot tan2 2 2 2

l π π ω π ω π ωβω ω ω

⎛ ⎞Δ Δ Δ= + = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

tanh l lα α

0 00

0 0

12

2 2

in

ljZZ Z

l j l j

α ωπωπ ω π ωα αω ω

Δ+

Δ Δ+ +



•Circuito RLC paralelo :

•Línea de transmisión:

•Identificando:

11 2

inZj C

Rω

=+ Δ

02

0 0 0

1; C ; L4

ZRl Z C

πα ω ω

= = =

0

02

inZZ

l j π ωαωΔ

+



• En resonancia:

• Factor de calidad:

• Si

00 inZZ R

lω

αΔ = ⇒ = =

0 4 2Q RC

lπ βωα α

= = =

Qα ↑⇒ ↓


• Secciones resonantes:– Línea cortocircuitada en un extremo.– Línea cortocircuitada en extremos.– Línea abierta en extremos.

• Resonancia si reflexión total– Impedancia de carga reactiva.– Sección de longitud diferente de

/ 4 ( / 2)nλ λ+

/ 2 ( / 2)nλ λ+/ 2 ( / 2)nλ λ+

/ 4 o / 2λ λ

4.3. Resonancia Transversal..


• Resonancia en LT general:– Onda estacionaria atrapada entre reflexiones totales.– Se elige plano de referencia arbitrario.– Las son impedancias vistas hacia la izquierda y

derecha del plano.– son las amplitudes de onda positiva y negativa.

,I DZ Z

,V V+ −

4.3. Resonancia Transversal.


• Si miramos a la derecha:

• Si miramos a la izquierda:

0

0

D

D

Z ZVV Z Z

−

+

−=

+

0

0

I

I

Z ZVV Z Z

+

−

−=

+



• Igualando los coeficientes:

• Basta con que se cumpla UNA de las dos condiciones.

0 0

0 0

0,

I DD I

I DD I

Z ZZ Z Z ZZ Z jZ Z Z Z

+ =⎧− += ⇒ ⎨ = ± ∞+ − ⎩



• Ejemplo: ¿Bajo que condiciones resuena el circuito?

• Se cumple que si 0 tan2I DlZ Z jZ jβ⎛ ⎞= = = ± ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠(2 1) (2 1)

2 2 2l n l nπ λβ = + ⇒ = +



• Se cumple que si ambas son cero (simetría)

• Las dos condiciones proporcionan

• Comprobad si se obtiene el mismo resultado cogiendo el plano en el cortocircuito de la izquierda (o derecha).

0I DZ Z+ =

0 tan 02 2l ljZ n l nβ β π λ⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3, , , 2 ,2 2 2

l l nλ λ λλ λ= ⇒ =…



4.4. Excitación de resonadores.

• Índice:– 4.4.1. Acoplamiento crítico.– 4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento

capacitivo.


• Acoplamiento crítico– Para máxima transferencia de potencia, resonador y LT

que lo alimenta deben estar adaptados a la frecuencia de resonancia.

– Se dice que el resonador está acoplado críticamente a la alimentación.

4.4.1. Acoplamiento crítico


• La impedancia de entrada cerca de la resonancia es:

• El Q del resonador vale• En resonancia y para adaptar línea y

resonador• El Q externo vale

0

22inRQZ R j L R j ωωωΔ

= + Δ = +

0 LQR

ω=

inZ R=

0R Z=

0

0e

LQ QZω

= =



• El factor de acoplamiento se define

• Si resonador serie• Si resonador paralelo• Casos posibles:

– g=1 (acoplamiento crítico)– g<1 (subacoplamiento)– g>1 (sobreacoplamiento)

e

QgQ

=

0ZgR

=

0

RgZ

=



• Consideremos un resonador microstrip en +CA• Resonador acoplado a una línea de transmisión que lo alimenta.

/ 2λ

4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento capacitivo


• Circuito equivalente

• Condición de resonancia

• Solución gráfica

00

tan1 cottanin

l Z CZ j jZ l jC C l

β ωβω ω β

+= − − = −

inZ ∈ℜ

0 0tan tan ll Z C Z Cv

β ω ω ω⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠



• Desarrollando en serie de Taylor se obtiene:– Caso sin pérdidas:

– Caso con pérdidas:

0

inZZ

( )12

0 1

in

c

jZZ b

π ω ωω

−≈

( )12 2

0 12in

c c

Z jZ Qb b

π ω ωπω−

= +

0cb Z Cω=

01 0 02( )

2 2in cc

ZZ R Z R Z bQb Qπ πω = = ⇒ = = ⇒ =

20 2 c

RgZ Qb

π= =


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