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Tema 1
Francisco Javier de los Ríos López
Curso 2013-2014
Pag. 1
Tema 1: Integral indefinida.
1.1. Introducción: Conceptos básicos
1.2. Propiedades Fundamentales: Linealidad. Integrales Inmediatas.
1.3. Métodos Elementales de Integración: sustitución e integración por partes
1.4. Integración de Funciones Racionales. Método de Hermite u Ostrogradski.
1.5. Integración de Funciones Trigonométricas.
1.6. Integración de Funciones Irracionales. Método Alemán. Integrales
Binomias
1.1.-INTRODUCCIÓN: CONCEPTOS BÁSICOS
El cálculo de integrales indefinidas, también llamado cálculo de antiderivadas, o simplemente cálculo
integral, es una práctica habitual no solo en las asignaturas de Matemáticas que el alumno de Ingeniería debe
cursar sino que, además, aparece frecuentemente en el estudio de otras materias, generales como la Física, o
más específicas como cualquier Tecnología.
Así, por ejemplo, es imposible manejar la Integración Múltiple o la resolución de Ecuaciones diferenciales
sin un amplio dominio en la determinación de primitivas. Asimismo, son múltiples los problemas como
determinación de Centros de Gravedad o Momentos de inercia, Trabajo realizado por una fuerza, etc, donde
es imprescindible la utilización del cálculo integral.
Para definir el concepto de integral, definiremos previamente el concepto de función primitiva, resaltando la
circunstancia de la existencia de infinitas primitivas de una función dada que se diferencian en una
constante. Aprovechando las reglas de derivación construiremos un cuadro de integrales inmediatas para su
utilización por el alumno.
Es importante observar que no todas las funciones admiten primitivas expresables mediante funciones
elementales. Intentaremos crear una metodología en la determinación de estas primitivas dando los pasos a
seguir para cada uno de los tipos más frecuentes de integración que se nos pueda presentar.
Así, comentaremos los casos más usuales en la aplicación de la integración por partes como producto de
polinomios por exponenciales, exponenciales por trigonométricas, polinomios por logaritmos,..., veremos la
útil regla nemotécnica ALPES. Con respecto a las integrales racionales, y al hecho de ser muy metódicas en
su resolución bastaría un ejercicio de cada tipo para que el alumno adquiera el conocimiento necesario. La
mayoría del resto de las integrales, como trigonométricas, irracionales y las trascendentes se resuelven en los
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casos generales transformándolas en racionales. Hemos de concienciarnos, que en general, las integrales
indefinidas no se resuelven mediante “ideas felices”, sino aplicando estos métodos ya estudiados que nos
permiten hacerlo por la vía más segura y, casi siempre, más rápida. No obstante como refleja Spivak, “La
derivación es una mecánica, la integración es un arte”
Definición 1 Se dice que una función F(x) es una primitiva de otra función f(x) sobre un
intervalo ( , )a b si para todo x de ( , )a b se tiene que F’(x)=f(x) (1)
Teorema 1 Sean F1(x) y F2 (x) dos primitivas de la función f(x) en el intervalo real ( , )a b .
Entonces, para todo x de ( , )a b , F1(x)-F2(x)=cte. Es decir dada una función f(x) sus
primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por k a una constante
cualquiera).
Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función f(x) definida en ( , )a b se
denomina integral indefinida de f(x) (o simplemente integral) y se denota por dxxf )( .
De manera que, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces kkxFdxxf ,,)()( ,
habitualmente usaremos F(x)+k para referirnos a la integral
( ) ( )f x dx F x k (2)
o lo que es lo mismo por definición 1 F’(x)=f(x)
Para la determinación de una primitiva en concreto, es necesario conocer la
constante de integración; por consiguiente necesitamos una condición denominada
condición inicial, por ejemplo el valor que toma la función primitiva en un punto del
dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.
Ejemplos:
1. Halla una primitiva de la función ( ) 2 ,f x x cuya gráfica pasa por el punto P (1,4).
Las primitivas de ( )f x son de la forma 2
( )F x x K
Como la gráfica pasa por P (1,4), tendremos
(1) 4 4 1 3F K K
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Por consiguiente, la primitiva pedida es 2( ) 3F x x
2. Hallar la ecuación de la primitiva de la función ( )x
f x e que pasa por el punto P(0,6)
Las primitivas de ( )f x son de la forma ( )x
F x e K
Puesto que la gráfica pasa por P (0,6), tendremos
0(0) 6 6 6 1 5F e K K K
Por consiguiente, la primitiva pedida es ( ) 5x
F x e
Siendo '( ) ( ),F x f x para cualquier primitiva ( ) de ( ),F x f x se verificará que
( ) '( )· ( )· .dF x F x dx f x dx En consecuencia, la expresión ( )·f x dx es la diferencial de
cualquier primitiva de ( )f x y, por tanto, podemos escribir
( ) ( )dF x F x K en particular dx x K
o también: ( )· ( ( ) ) ( )·d f x dx d F x K f x dx
Estas expresiones nos establecen que las operaciones “diferenciar” e “integrar” son
operaciones inversas o recíprocas, la una de la otra, de ahí que a la primitiva, también se
le llame antiderivada.
Como consecuencia, tenemos las siguientes propiedades:
1.2.-PROPIEDADES FUNDAMENTALES: LINEALIDAD. INTEGRALES INMEDIATAS
Teorema 2 (Propiedades de la integral indefinida.)
1. ( ) ( )d
f x dx f xdx
2. ( ) '( )· ( )df x f x dx f x C
3. , · ( ) · ( ) · · ( ) · ( )·f x g x dx f x dx g x dx
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Ejemplo:
6 65 5
1 2 1 2
6
3 4cos 3· 4· cos 3· 4·(sen ) 4·sen ( )6 2
4·sen2
x xx x dx x dx x dx k x k x k k
xx k
4. NO ES CIERTO QUE: ( )· ( )· ( ) · ( )·f x g x dx f x dx g x dx
Como ya hemos dicho la integración es el proceso recíproco de la derivación; por eso,
mirando la tabla de derivadas de derecha a izquierda nos proporciona una tabla de las
primitivas de las funciones elementales tanto en la forma simple como en la forma
compuesta.
Estas primitivas que se obtienen directamente de la tabla de derivadas se llaman
inmediatas, y el conjunto de ellas, integrales inmediatas.
Todas las técnicas de integración consisten en transformar el integrando hasta obtener
una función que reconozcamos como inmediata. Por ello, el conocimiento y
memorización de los siguientes tipos es imprescindible para iniciarse en la integración.
Tabla de Integrales inmediatas:
Llamaré forma simple, cuando aparece una variable independiente, por ejemplo x,
y llamaré forma compuesta, cuando en lugar de la variable x, aparece f(x), en cuyo
caso en lugar de dx, debe aparecer f’(x)·dx.
Entiendo que es más cómodo para recordar la forma simple, pero nunca hay que
perder de vista su forma compuesta.
Ejercicio
1. Comprobar la veracidad de por un lado la tabla de inmediatas puestas en su forma
simple.
2. Comprobar por sustitución de ( )f x t , la veracidad de la tabla de inmediatas
compuestas. Recuerda si ( ) ( ( )) ( )f x t d f x dt f x dx dt
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En Tipos, a veces haré referencia al integrando, a veces a la primitiva que
obtenemos.
Observación:
Hay autores que en el tipo sólo indican tipo de primitiva que se obtiene.
He sombreado en amarillo, las más importantes
T I P O S F O R M A S
SIMPLES COMPUESTAS
Potencias 1
xx dx K
1
·1
Observación: Es
\ 1 , luego cuando
no sea entero, por
ejemplo una raíz,
recomendamos que pongan
la raíz como una potencia,
para ello recordamos que
p
q p qx x por lo tanto en
este caso p
q
1( )
( )· ( )·1
f xf x f x dx K
Integrando
Potencias 1
Primitiva
logaritmo
1Ln | |dx x K
x
( )Ln | ( ) |
( )
f xdx f x K
f x
Exponencial
x xe dx e K ( ) ( )
( )·f x f x
f x e dx e K
x x
aa dx a K
a a
0 1,
1 Ln
f x f xa
f x a dx a Ka a
( ) ( )0 1
, ( )·1 Ln
Tri
gon
om
ét
rica
s
circ
ula
res cos · senx dx x K ( )·cos ( ) · sen ( )f x f x dx f x K
sen cosx dx x K ( )sen ( ) · cos ( )f x f x dx f x K
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2sec · tgx dx x K 2
( )sec ( ) · tg ( )f x f x dx f x K
2(1 tg ) tgx dx x K 2
(1 tg ( ) )· ( )· tg ( )f x f x dx f x K
2
1tg
cosdx x K
x
2
( )tg ( )
cos ( )
f xdx f x K
f x
2cosec · ctg x dx x K 2
( )·cosec ( ) · ctg ( )f x f x dx f x K
2(1 ctg ) ctg x dx x K 2
1 tg ( ) · ( )· tg ( )f x f x dx f x K
2
1ctg
sendx x K
x
2
( )ctg ( )
sen ( )
f xdx f x K
f x
Tri
gon
om
étri
cas
hip
erb
óli
cas
ch x dx sh x K· f x ch f x dx sh f x K( )· ( ) · ( )
sh x dx ch x K f x sh f x dx ch f x K( ) ( ) · ( )
h x dx th x K2
sec · f x h f x dx th f x K2
( )sec ( ) · ( )
2(1 )th x dx th x K 2
1 ( ) · ( )· ( )th f x f x dx th f x K
dx th x K
ch x2
1
2
( )( )
( )
f xdx th f x K
ch f x
x dx x K2
cosech · cth 2( )·cosech ( ) · cth ( )f x f x dx f x K
2(1 cth ) cth x dx x K 2
1 ( ) · ( )· ( )cth f x f x dx cth f x K
2
1cth dx x K
sh x
2
( ) ( )
( )
f xdx cth f x K
sh f x
PRIMITIVAS
Arco tangente
=
Arco cotangente
2
1arctg
1dx x K
x
arc ctg x K
2
( )arc tg ( )
1 ( )
( )
f xdx f x K
f x
arc ctg f x K
xdx K
a aa x
xarc ctg K
a a
2 2
1 1arc tg
1
f x f xdx K
a aa f x
f xarc ctg K
a a
2 2
( ) 1 ( )arc tg
( )
1 ( )
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1.3 MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN.
1. Integración por cambio de variable.
Es una consecuencia directa de la derivación de funciones compuestas.
INTEGRANDO
Irracionales con
denominador
a x2 2
PRIMITIVA
arco seno
ó
arco coseno
arcsen x kdx
x kx2
( )1
arcos( )1
arcsen f x kf xdx
f x kf x2
( )( )
arccos ( )1 ( )
2 2
1
arccos
xarcsen k
adx
xa xk
a
f xarcsen k
af xdx
f xa f xk
a
2 2
( )
( )
( )( )arccos
INTEGRANDO
Irracionales con
denominador
x a2 2
PRIMITIVA
En forma
logarítmica
2
2
1ln 1
1dx x x k
x
f x dx
f x
f x f x k
2
2
1· ( )
1
ln ( ) ( ) 1
2
2
1 1ln
x xdx k
ax a
f x dx
f x a
f x f xk
a
2
2
1· ( )
( ) ( ) 1ln
INTEGRANDO
Irracionales con
denominador
x a2 2
PRIMITIVA
Argumentos
hiperbólicos
2
1( )
1dx Arg sh x C
x
2
( )( ( ))
( ) 1
f xdx Arg sh f x C
f x
2 2
1 xdx Arg sh C
ax a
2 2
( ) ( )
( )
f x f xdx Arg sh C
af x a
2
1( )
1dx Arg ch x C
x
2
( )( ( ))
( ) 1
f xdx Arg ch f x C
f x
2 2
1 xdx Arg ch C
ax a
2 2
( ) ( )
( )
f x f xdx Arg ch C
af x a
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Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable "" "x " por una función de
otra variable " "t , es decir, ( )x g t , de forma que el integrando se transforme en otro
más sencillo.
Este proceso puede hacerse de dos formas:
FORMA DIRECTA
Se hace ( )x g t de donde '( ) .dx g t dt Sustituyendo en la integral, nos queda:
( )· ( ) '( )·f x dx f g t g t dt
FORMA RECÍPROCA
Se hace ( ),t u x de donde '( )· ,dt u x dx y se despeja a continuación x y dx para
sustituirlos en la integral.
Para terminar el proceso se calcula la integral en la nueva variable y después se
deshace el cambio.
Observación: Cuando hacemos un cambio de variable, deseamos que la nueva
integral que salga, sea más fácil que la de partida, en caso
contrario, no es un buen cambio de variable
Ejemplos:
a. Calcular cos(2 )x dx . Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en
una de la tabla. Para ello hacemos:
2 1 1cos(2 ) cos( ) ( ) (2 )
2 2 2 2
y x dyx dx y sen y k sen x k
dy dx
b. Calcular cos( )( )
xe sen x dx . Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla
en una de la tabla:
cos( ) cos( )cos( )
( )( )
x y y xy x
e sen x dx e dy e k e kdy sen x dx
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c. Calcula 1
1I dx
x x
. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla
en una de la tabla:
2
2
22 2
11 1 11 2 · 2 ·
( 1)·2 ·1 ( 1)·
x tI dx x t t dt t dt
t tdx t dtx x t t
2
12 2arctg {deshaciendo el cambio de variable} 2arctg 1
( 1)dt t K x K
t
d. 3
2
(arctg )
1
xI dx
x
No es de la tabla de la columna de las simples, pero si de la
compuesta, la 1ª: 1( )
( )· ( )·1
f xf x f x dx K
, no obstante si no caemos en la cuenta,
haríamos el cambio arctg x t , quedando:
33
22
2 22
1arctg
arctg (1 )·11 1
(1 )·
x dx dt tI dx x t x dtx
x xdx x dt
44
3arctg
·4 4
xtt dt K K
Como hemos dicho antes, podríamos haberla hecho directamente:
4
3
3
2 2
( )'( )
arctg(arctg ) 1(arctg )
1 1 4f x
f x
xxI dx x dx K
x x
2. Integración por partes.
Supongamos que las funciones u(x) y v(x) son derivables en un intervalo ( , )a b y existe
la primitiva de la función v(x)·u’(x) en ( , )a b . Entonces, sobre ( , )a b existe la primitiva
de u(x)·v’(x) y se cumple que ’( ) ( ) ’( )u x v x dx u x v x v x u x dx (3)
o en su forma diferencial
( ) ( ) ( )u x dv x u x v x v x du x , en forma abreviada duvvudvu · (4)
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Observación: Cuando hacemos una integral por partes, deseamos que la nueva
integral que salga, sea más fácil que la de partida, en caso
contrario, no es posible resolverla por partes, o no ha sido adecuado
la forma de tomar tanto u como v
Ejemplos:
a) Calcular nx ln(x)dx . Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una
de la tabla. Utilicemos la integración por partes:
n
n 1
n n
1u(x) ln(x) du(x) dx
xx ln(x)dx
xdv(x) x dx v(x) x dx
n 1
n 1 n 1 n 1 nx x 1 x x
ln(x) · dx ln(x) dxn 1 n 1 x n 1 n 1
n 1 n 1x x
ln(x) Kn 1 (n 1)·(n 1)
n 1x 1
ln(x) Kn 1 (n 1)
b) Calcular cos( )ax
I e bx dx . Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla
en una de la tabla. Utilicemos la integración por partes:
·
cos( ) ( )cos( ) cos( )
ax ax
ax
u e du a e dx
I e bx dx sen bxdv bx dx v bx dx
b
( )· ( )
ax axsen bx ae e sen bx dx
b b
Llamando 1
( )ax
I e sen bx dx tenemos que nuestra integral queda: 1
( )·
ax sen bx aI e I
b b La
integral 1
( )ax
I e sen bx dx es de la misma forma que la original así que volveremos a
aplicar integración por partes:
1
·
( ) cos( )( ) ( )
ax ax
ax
u e du a e dx
I e sen bx dx bxdv sen bx dx v sen bx dx
b
cos( )· cos( )
ax axbx ae e bx dx
b b
cos( )·
ax bx ae I
b b
1
( ) ( ) cos( )· · ·
ax ax axsen bx a sen bx a bx aI e I e e I
b b b b b b
operando
como una ecuación lineal en la variable I, obtenemos:
2 2
2 2 2 2
( ) ( )· cos( ) 1 · cos( )
ax axsen bx a a a sen bx aI e bx I I e bx
b b b b b b
2
( ) cos( )·
ax bsen bx a bxe
b
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2 2
2 2 2 2 2
2 2
( ) cos( ) ( ) cos( )· ·
[ ( ) cos( )]
1
ax axax
bsen bx a bx bsen bx a bxe e
e bsen bx a bxb bIa a b a b
b b
2 2
( ) cos( ) axbsen bx a bxI e K
a b
Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes
son la mayoría de las de los siguientes tipos: las que sus factores son de entre las
funciones Arcos (Argumentos), Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos
(Cosenos) (Como regla nemotécnica: ALPES) Tomar como u el factor que contenga el
elemento anterior de ALPES, y como dv, el factor que contenga el elemento posterior de
ALPES.
RECUERDA EL SIGUIENTE ESQUEMA:
log( )( ) ( ) ( ) ( )
log ( )cos( ) ( ) exp cos( ) ( )
( ) ( ) ln( ) ( ) ( )
LA P E
b
xarc sen x ó Arg sh x Polinomios funciones sen x ó sh x
xarc x ó Arg ch x onenciales x ó ch x
arc tg x ó Arg th x x tg x ó th x
arc ó Arg en general funciones
trigo
S
nométricas
Así:
1. Las integrales ( ) ( · )n
ax b sen c x dx , ( ) cos( · )n
ax b c x dx y ( )n cx
ax b e dx . Donde para
encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes n
veces tomando cada vez ( ) ( )n
u x ax b , 1( ) ( )
nu x ax b
,..., respectivamente.
2. Las integrales de la forma ( )ax
e sen bx dx , cos( )ax
e bx dx , (ln( ))sen x dx y cos(ln( ))x dx .
Para encontrar las primitivas hay que denotar por I a cualquiera de las integrales
anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la ecuación
resultante respecto a I (ver ejemplo b).
3. 2cos ( )x dx , es un ejemplo particular que no hay elemento anterior ni posterior,
éste si queremos hacerlo por partes, hay que aplicar partes, y luego utilizar la
fórmula fundamental de trigonometría, finalizando con una ecuación integral, así:
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2
· · ·
cos ( ) cos( ) ( ) cos( )· ( ) ( )· ( )
cos( ) cos( ) ( )
u dv u v v du
I x dx u x du sen x dx x sen x sen x sen x dx
dv x dx v x dx sen x
2 2
2 2 2
( ) 1 cos ( )
cos( )· ( ) ( ) · cos( )· ( ) 1 cos ( ) cos( )· ( ) 1 cos ( )
sen x x I
x sen x sen x dx x sen x x dx x sen x dx x dx
cos( )· ( )
cos( )· ( ) 2 cos( )· ( )2
x sen x xx sen x x I I x sen x x I k
1.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.
ESTE TIPO DE INTEGRALES ES MUY IMPORTANTE, DE HECHO EL RESTO
TIENEN POR OBJETIVO CONVERTIRSE EN UNA INTEGRAL RACIONAL.
Definición 3.- Decimos que una fracción de polinomios o función racional n
m
P (x)f (x)
Q (x) es
propia (algunos autores le llaman simple), si el grado del polinomio del numerador es
menor que el grado del polinomio del denominador, es decir: n mgr(P (x)) gr(Q (x)) o sea
n m
Observación: Cuando nos referimos a polinomios, el subíndice indica el grado, así nP (x)
indica que es un polinomio de grado n
Si n ≥ m entonces al hacer la división polinómica de nP (x) entre mQ (x) nos queda:
n k
n m
m m
P (x) R (x)C (x)
Q (x) Q (x) , donde k m
En cuyo caso, tenemos:
1
2
n k
n m
m mI
I I
P (x) R (x)dx C (x) dx dx
Q (x) Q (x)
Obviamente:
I1, es inmediata al ser la integral de un polinomio.
I2, es ya una integral de una fracción propia.
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Centrémonos por lo tanto en integrales de fracciones propias
Teorema 3 Supongamos que n
m
P (x)
Q (x)es una fracción propia. El polinomio denominador se
puede factorizar siempre de la siguiente forma
1 h 1 k2 2
m 1 h 1 1 k kQ (x) (x x ) (x x ) ·(x b x c ) (x b x c ) (5)
donde 1 hx , ,x son las raíces reales de mQ (x) , y donde los factores 2
i ix b x c , i 1, ,k no
tienen raíces reales. Entonces, la fracción simple n
m
P (x)
Q (x)se puede descomponer en las
siguientes fracciones elementales simples:
1 2
1 2
1, 2,1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3n
2 3 2 3
m 1 1 1 1 2 2 2 2
A AA A A A A AP (x)
Q (x) x x (x x ) (x x ) (x x ) x x (x x ) (x x ) (x x )
h
h
h,h,1 h,2 h,3
2 3
h h h h
AA A A
x x (x x ) (x x ) (x x )
1 1
1
1, 1,1,1 1,1 1,2 1,2
22 2 21 1 1 1 1 1
M x NM x N M x N
x b x c x b x c x b x c
k k
k
k , k ,k ,1 k ,1 k ,2 k ,2
22 2 2k k k k k k
M x NM x N M x N(6)
x b x c x b x c x b x c
Donde i , j l ,r l ,rA ,M ,N , son ciertas constantes reales indeterminadas.
Ejemplo:
3 2
2 3 3 22 2 2
2x 5x 3dx
x 1 x 2 x 1 x 2x 4 x 1 x 4
En este ejemplo vamos a mostrar simplemente la descomposición (6), que no la
resolución de la integral
3 2
1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1
2 3 3 2 2 2 32 2 2
A A A A A A2x 5x 3
x 1 x 2 x 1x 1 x 2 x 1 x 2x 4 x 1 x 4 x 1 x 2 x 2
1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 2,1 2,1 2,2 2,2 3,1 3,1
2 3 22 2 22 2 2
M x N M x N M x N M x N M x N M x N
x 2x 4 x 1 x 4x 2x 4 x 2x 4 x 1
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Una vez determinados los coeficientes indeterminados, nuestra integral será una suma
de integrales, que ahora detallaremos.
Para determinar dichas constantes sumamos las fracciones del segundo miembro.
Nótese que el mcm de los denominadores de (6), coincide con (5). Los numeradores son
polinomios, que podemos suponer que son ambos del mismo grado, completando el
teóricamente de menor grado con los monomios que le faltan poniéndoles coeficiente 0
Por consiguiente, tenemos una igualdad de dos fracciones, como ambas tienen el mismo
denominador, esto implica que los numeradores son iguales. Por lo tanto tenemos una
igualdad funcional, para más información, una igualdad de dos polinomios.
Por ello, tenemos al menos dos recursos cómodos para determinar los coeficientes
indeterminados, que son:
1. Para todo x, ambas funciones (polinomios en nuestro caso) son iguales
2. Los coeficientes de los monomios semejantes de cada miembro, son iguales.
Por ejemplo utilizando la 2ª aseveración, comparamos el polinomio del numerador que se
obtiene al sumar las fracciones simples de (6) con nP (x) . Igualando los coeficientes de
ambos obtendremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que al resolver
determinaremos los coeficientes indeterminados i , j l ,r l ,rA ,M ,N .
OTRO MÉTODO PARA DETERMINAR LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
ESTE MÉTODO ES SÓLO A TÍTULO INFORMATIVO, NO LO EXIJO, AUNQUE LO
USARÉ EN ALGUNOS EJEMPLOS DE ESTOS APUNTES.
DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES QUE APARECEN EN LOS NUMERADORES
DE LAS FRACCIONES DE (6), CUYOS DENOMINADORES SON DEL TIPO j
i(x x )
Situación: tenemos P(x)
Q(x) donde i
iQ(x) (x x ) ·q(x) es decir Q(x) , tiene a ix como raíz
con multiplicidad i i
i
P(x) P(x)
Q(x) (x x ) ·q(x)
i
i
i ,i ,1 i ,2 i ,3
2 3
i i i i
AA A A p(x)
x x (x x ) (x x ) (x x ) q(x)
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Pag. 15
Obviamente i
i
i
i
i
i
P(x) (x x ) ·P(x) P(x)(x x ) ·
Q(x) (x x ) ·q(x) q(x)
que llamo F(x) Luego:
ii i i
i i
i
i i ,i i ,1 i i ,2 i i ,3
i2 3
i i i i
(x x ) ·A(x x ) ·A (x x ) ·A (x x ) ·A p(x)F(x) (x x ) ·
x x (x x ) (x x ) (x x ) q(x)
i i i i
i i
1 2 3
i i ,1 i i ,2 i i ,3 i i , 1 i , i
p(x)(x x ) ·A (x x ) ·A (x x ) ·A (x x )·A A (x x ) ·
q(x)
Cuando estudiemos los polinomios de Taylor, podrá Vd. observar la similitud con una de
las propiedades de dicho polinomio, la 5, a saber:
5. :
( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) 0 ( ) ( ; )
n
n
n n n
Si P es un polinomio de orden n y F y g son dos funciones con derivadas n en a que verifican
F x P x x a g x en donde g x cuando x a P x T F x a
Y por consiguiente le será más fácil recordar la determinación de los coeficientes i , jA
Pues bien haciendo las sucesivas derivadas de F(x) , y particularizándolas en ix
Dicho eso, sabemos que los i , jA son los coeficientes de Taylor, y por consiguiente:
i
i i i i
( 1
i i i
i , i i , 1 i i , 2 i , 3 i ,1
i
F (x ) F (x ) F (x )A F(x ), A F (x ), A , A , , A (7)
2! 3! 1 !
Como consecuencia de lo anterior, si mQ (x) tiene m ceros reales y simples, o sea, si su
factorización es de la forma m 1 2 mQ (x) (x x )·(x x ) (x x ) (8)
entonces, n
m
P (x)
Q (x)se puede descomponer en las fracciones elementales simples:
n 1 2 3 m 1 m
m 1 2 3 m 1 m
P (x) A A A A A(9)
Q (x) x x x x x x x x x x
Donde 1A ,..., mA se pueden calculan por la fórmula
k
n k
k
x x m
P (x)·(x x )A (10)
Q (x)lim
Demos ahora un teorema donde se resuelven las integrales que aparecen en (6)
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Pag. 16
Teorema 4 (Primitivas de las fracciones simples más elementales)
1) lnA
dx A x a Cx a
2)
1
1, 1 (11)
1k k
B Bdx C k
kx a x a
3) 2
2 2 2
2 · 2ln
2 4 4
Mx N M N M b x bdx x bx c arctg C
x bx c c b c b
4) 2
( )m
Mx Ndx
x px q
cuya forma de proceder, sería por reducción, de unidad en
unidad, del exponente m del denominador, no obstante la haremos más adelante
como caso particular del método de Hermite u Ostrogradski
La 3), es la que F. Coquillat, en su libro Cálculo Integral Metodología y Problemas,
resuelve por el método que denomina método de 4 pasos.
SIEMPRE SALE UN ARCOTANGENTE + LOGARITMO, pudiendo faltar uno de los
sumandos
Es obvio que no hay que saberse el resultado de 3) de memoria, más bien hay que saber
deducirlo, para ello sigamos el siguiente procedimiento:
I=2 2 2
1
( )
Mx N Mx Ndx dx
x x x a b
Empecemos supuesta escrita la integral como 2
Mx Ndx
x x
.
Esta integrales, como ya hemos comentado salen la suma de un logaritmo + un arco
tangente.
Lo que ahora desarrollo teóricamente, al ser un procedimiento deductivo, tiene su
verdadera importancia al aplicarlo a un caso concreto que es lo que Vds. deben
saber hacer.
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Pag. 17
Comencemos haciendo que aparezca en el Numerador, la derivada del Denominador:
2
Mx Ndx
x x
= 2
22
Nx
Mx x x M dxx x
2
2 2
2
Nx
M M dxx x
2
2 2
2
Nx
M M dxx x
=
2
2 2
2
Nx
M Mdx
x x
=
1 2
2 2
22
2
I I
N
xM Mdx dx
x x x x
I1= 2
12
2ln
xdx x x k
x x
I2= 2
2N
Mdx
x x
=2
12 ·
Ndx
M x x
Esta integral será un arctg(···), para ello lo que hacemos es poner el denominador de
la integral como suma o diferencia de cuadrados, evidentemente si no tiene raíces
reales, saldrá como suma de cuadrados, y si nos sale como diferencia de cuadrados,
es que tiene raíces reales.
2 2
2 2 2( ) ( )
2 4x x x x x x x
*
Obviamente 2
4
>0, pues
22
2 2 22
2
44
4 4
4 4 4 4 4·
, siendo tanto el
numerador como el denominador positivos, el numerador por ser el opuesto del
discriminante de la ecuación 2x x (∆= 2
4 <0, al no tener raíces reales), y
el denominador es un cuadrado.
*
2
2
2x l
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Pag. 18
22 2
22
2
2
2 · 2 ·1 1 1
2 ·
22 21
N N
N M Mdx dx dx
Mx lx l x
ll
=2 22 2
22 2
1 1 2
· · 2·1
2 21
N N xt
M M ldx dx
l l dxxdt dx l dtx
ll
l
=2 22 2 2 2
2 2 · 2 21 1 2
· · ( ) ( )· · 2· 1 · 1
N N N Nl
xM M M Mldt dt arctg t k arctg k
l l ll t l t
2
22
·
Nx
Marctg k
l l
Como habíamos dicho, I=I1+I2=logaritmo + arco tangente
2
N2 x
M M 2ln( x x ) arctg k2 ·l l
Ejemplos:
a) Calcular 2
3 2
xdx
x x
1º) Vemos los grados, como 2gr(x) 1 2 gr(x 3x 2) . Pasamos al 2º) paso
2º) Descomponemos el denominador (Dor) en factores elementales.
3º) Descomponemos nuestro integrando en fracciones simples elementales:
23 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
x x A B
x x x x x x
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Pag. 19
Luego, utilizando (10) obtenemos:
x 1 x 2
x·(x 1) x·(x 2)A 1 , B 2
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)lim lim
Finalmente, utilizando (11) obtenemos
2
1 2 1 2ln 1 2ln 2
3 2 ( 1) ( 2) 1 2
xdx dx dx dx x x k
x x x x x x
2ln 1 ln 2x x k
2( 2)
ln1
xk
x
b) Calcular2 2
·( 1) ( 1)
xdx
x x .
Al igual que en el ejemplo anterior
1º) Vemos los grados, como 2 2gr(x) 1 4 gr((x 1) (x 1)) . Pasamos al 2º) paso
2º) Descomponemos el Dor en factores elementales.- Ya está descompuesto
3º) Descomponemos nuestro integrando en fracciones simples elementales:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1)( 1) ( 1) ( )( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x A B Cx D A x x B x Cx D x
x x x x x x x
Para encontrar los coeficientes , ,A B C y D , al tener una igualdad de dos fracciones con el
mismo denominador, igualamos los polinomios de los numeradores:
2 2 2( 1)( 1) ( 1) ( )( 1)A x x B x Cx D x x
Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de los monomios semejantes
son iguales, es decir, si los coeficientes de las potencias 3 2 0, , ,x x x x son iguales, por lo que
igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:
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Pag. 20
3
2
0
( ) : 0
( ) : 2 0
( ) : 2 1
( ) : 0
coef x A C
coef x A B C D
coef x A C D
coef x A B D
cuya solución es:
0
1
2
0
1
2
A
B
C
D
También podríamos haber utilizando la aseveración 1ª: Si dos polinomios nP (x) y nQ (x)
son iguales a valores iguales las imágenes son iguales, es decir n nP (x) Q (x) x
como hay que determinar n+1 coeficientes, al ser los polinomios de grado n tomamos
n+1 valores, 1 2 1, , , nx x x (distintos entre sí). En nuestro ejemplo es conveniente tomar
como kx los ceros del polinomio del denominador y luego el resto de los valores tomarlos
los más sencillos posibles:
11:
2
1: 4 2 4 4 1
2 : 5 5 2 2
0 : 0
x B
x A B C D
x A B C D
x A B D
cuya solución es:
0
1
2
0
1
2
A
B
C
D
Que obviamente coinciden con las encontradas por el otro método.
Independientemente del método empleado, obtenemos que:
2 2 2 2
1 1 1 1 1( )
( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 2( 1) 2
xdx dx arctg x k
x x x x x
Con lo que el problema está ya resuelto:
Ejemplo:
2
3 2
8 6 6
3 7 5
x xI dx
x x x
Las raíces del denominador y su descomposición son:
3 23 7 5 0x x x cuyas raíces son: 1 2 3
1 , 1 2 , 1 2x x i x i , y por
consiguiente su descomposición es:
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Pag. 21
3 2 23 7 5 ( 1)( 1 2 )( 1 2 ) ( 1)( 2 5)x x x x x i x i x x x
Quedando el integrando:
2 2
3 2 2 3 2
8 6 6 ( 2 5) ( 1)( )
3 7 5 ( 1) 2 5 3 7 5
x x A Mx N A x x x Mx N
x x x x x x x x x
Como ambas
fracciones son iguales, y tiene el mismo denominador, igualando denominadores nos
queda:
2( 2 5) ( 1)( )A x x x Mx N 2 2
8 6 6 ( ) ( 2 ) (5 )x x A M x A M N x A N 2
8 6 6x x
Identificando los coeficientes de los monomios semejantes tenemos:
2
0
( ) : 8
( ) : 2 6
( ) : 5 6
coef x A M
coef x A M N
coef x A N
cuya solución es:
5
3
19
A
M
N
quedando nuestra integral
como sigue:
21
2
3 2 2
8 6 6 5 3 19
3 7 5 ( 1) 2 5I II
x x xdx dx dx
x x x x x x
1 1
55·ln 1
( 1)I dx x k
x
2 2
3 19
2 5
xI dx
x x
(Esta es del tipo 3º por lo tanto logaritmo + arco tangente),
empecemos haciendo que salga en el Numerador la derivada del denominador.
2
2 2 2 22
19 19 383 2 22 53 19 3 33 3 3
2 5 2 5 2 2 5 2 2 5( 2 5) 2 2
or x x xD x xxdx dx dx dx
x x x x x x x xx x x
2,1 2,2
2 2 2
38 44(2 2) (2 )
3 3 2 23 3
2 2 5 2 2 5 2 5I lorgaritmo I arctg
xx
dx dx dxx x x x x x
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Pag. 22
2
2,1 2,12
2 2ln( 2 5)
2 5
xI dx x x k
x x
Observación: No pongo 2ln 2 5x x al tener certeza de ser el argumento del
logaritmo positivo, ya que es un polinomio de 2º grado sin raíces reales y con
coeficiente líder >0
(1)
2,2 2 2
44
44 13
2 5 3 2 5I dx dx
x x x x
Como el Dor, no tiene raíces reales,
descompongámoslo como suma de cuadrados. Si nos saliera diferencia de cuadrado,
significaría que tiene dos raíces reales. 2 2 2 2 22 5 ( 1) 1 5 ( 1) 4 ( 1) 2x x x x x
Con lo que:
(1) (2)
2 22 2 222
22
44 1 44 1 44 1 11 1
( 1)3 ( 1) 2 3 3·2 3·( 1) 112 1 1
22 2
dx dx dx dxxx x x
Haciendo ahora el cambio de variable elemental 1
2 1 22
xt x t dx dt
(2) (3)
2,22
11 1 112 ·2· ( )
3 1 3dt arctg t k
t
deshaciendo ahora el cambio efectuado
(3)
2,2
22 1·
3 2
xarctg k
23 22 1
5·ln 1 ln( 2 5) ·2 3 2
xI x x x arctg k
RAÍCES COMPLEJAS MÚLTIPLES:
Para este tipo de integrales, utilizaremos el método de HERMITE (Charles Hermite, -
Matemático francés 1822 a 1901-) u OSTROGRADSKI (Mijaíl Vasílievich
Ostrogradski -Matemático y Físico Ucraniano 1801 a 1861-)
De ahora en adelante le denominaré Método de Hermite (MH), por ser más
conocido así en Occidente
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Pag. 23
MÉTODO DE HERMITE
NUESTRO OBJETIVO ES CONVERTIR LA INTEGRAL DE LA FRACCIÓN CON
RAICES MULTIPLES, EN OTRA INTEGRAL QUE TENGA RAICES SIMPLES.
Hermite demostró que cuando ( )Q x es un polinomio con raíces múltiples,
siempre es posible la siguiente igualdad:
1 2
1 2
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
P x P x P xdx dx MH
Q x Q x Q x
Siendo en dicha expresión:
1( )Q x el máximo común divisor de ( )Q x y ( )Q x ; es decir: 1
( ) ( ( ) , ( ))Q x MCD Q x Q x
2( )Q x el cociente (exacto) entre ( )Q x y 1
( )Q x , es decir: 2
1
( )( )
( )
Q xQ x
Q x
y 1( )P x y 2
( )P x son polinomios de coeficientes indeterminados, de grados inferiores en
una unidad a 1( )Q x y 2
( )Q x respectivamente.
Observación: 2
2
( )
( )
P xdx
Q x es una integral racional con raíces del denominador simples
ya que cada raíz h-múltiple de ( )Q x es raíz (h-1)-múltiple de 1( )Q x .
Lo siguiente que hemos de hacer es determinar exactamente 1( )P x y 2
( )P x , para
ello derivamos nuestra igualdad integral (MH) y utilizamos el método de los
coeficientes indeterminados.
Derivando (MH) nos queda: 1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x P x P x
Q x Q x Q x
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Pag. 24
No obstante, y para ganar tiempo, aplicaremos el método de Hermite mejorado,
descomponemos ( )
( )
P xdx
Q x de la siguiente manera:
Como el determinar 2
2
( )
( )
P x
Q x es un paso intermedio para a su vez descomponerlo en
suma de fracciones elementales, que son las que realmente luego hay que integrar, no
perdemos el tiempo en su determinación, y lo ponemos directamente como la suma
de fracciones elementales finales, sobre la que determinaremos sus coeficientes.
Para ello, descomponemos 1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x P x P xdx dx
Q x Q x Q x como la suma de los sumandos
correspondiente a la fracción 1
1
( )
( )
P x
Q x, cuyo denominador ya hemos dicho que es el
MCD ( ( ) , ( )Q x Q x ) + la descomposición antes descrita de 2
2
( )
( )
P x
Q x
Observación: La determinación de 1 2( ) ( )Q x y Q x es elemental, sin necesidad de hacer
la derivada de ( )Q x , ya que en la práctica se trabaja como sigue:
1. 1( )Q x que tiene exactamente las mismas raíces que ( )Q x , pero todas con una
unidad menos de multiplicidad.
2. 1( )P x , es un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado
inferior en una unidad al polinomio 1( )Q x del denominador.
3. 2( )Q x que tiene exactamente las mismas raíces que ( )Q x , pero todas simples.
4. La fracción 2
2
( )
( )
P x
Q x se ha descompuesto como en (6), considerando que todas las
raíces, reales y complejas, son simples.
Antes de hacer ejemplos reales, pongamos un ( )Q x que nos aclare la descomposición:
2 3 2 5( ) ( 1) ( 1) ( 3)( 2)Q x x x x x x
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Pag. 25
2 3 1 2 1 1 1 5 1 2 2 4
1( ) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) ( 1) ( 1)( 2)Q x x x x x x x x x x
polinomio de gr 9
8 7 6 5 4 3 2
1 8 7 6 5 4 3 2 1 0( )P x A x A x A x A x A x A x A x A x A
2
2( ) ( 1)( 1)( 3)( 2)Q x x x x x x Obviamente tiene las mismas raíces que ( )Q x ,
pero todas simples.
2
2
2
( )
( ) 1 1 3 2
P x ax b c d edx dx dx dx dx
Q x x x x x x
Ejemplo 1:
2 2
2
( 1) ( 1)
xdx
x x x
El denominador 2 2( 1) ( 1)x x x tiene una raíz real simple 1x y dos raíces
complejas dobles 1 3
2 2x i
El denominador pues, puede ser descompuesto así:
22
2 2 1 3( 1) ( 1) ( 1)
2 4x x x x x
Luego:
2 1
2 1 1 2
1( ) 1 ( 1) 1Q x x x x x x
, 2
2( ) 1 ( 1)Q x x x x
1( )P x mx n ,
2
2
2
( )
( ) ( 1) 1
P x A Mx Ndx dx dx
Q x x x x
Luego la descomposición de Hermite mejorada queda así:
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Pag. 26
2 2 22
2
( 1)1 11 ( 1)
x mx n A Mx Ndx dx dx
xx x x xx x x
Ahora hemos de determinar los coeficientes indeterminados, para ello derivamos la
igualdad anterior.
Derivando obtenemos:
2 2 22
2
( 1)1 11 ( 1)
x d mx n A Mx N
dx xx x x xx x x
2
2 22
1 ( )(2 1)
( 1) 11
m x x mx n x A Mx N
x x xx x
22 2 2
22
( 1) 1 ( )(2 1) 1 ( 1) 1
( 1) 1
x m x x mx n x A x x Mx N x x x
x x x
Igualando los polinomios del numerador tenemos:
3 2 2 4 2 3 2 4 32 2 2 2 2x mx mx nx nx mx m n Ax Ax A Ax Ax Ax Mx Mx
3 2 3 2 2 2Nx Nx Mx Mx Nx Nx Mx Mx Nx N
4 3 2( ) (2 ) (3 2 ) (2 ) ( )A M x A N m x A m n x A M m n x A N m n
De donde resulta el sistema:
4
3
2
0
( ) : 0
( ) : 2 0
( ) : 3 2 0
( ) : 2 1
( ) : 2
coef x A M
coef x A N m
coef x A m n
coef x A M m n
coef x A N m n
cuya solución es:
1
9
1
9
11
9
1
1
3
A
M
N
m
n
Y la integral pedida queda:
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Pag. 27
2 222
log( 1) log
1 1 11
2 13 9 9
9 ( 1) 111 ( 1)
x arctg
x xx dx
dx dxx x xx xx x x
Ejemplo 2:
2 2 2
4 8
( 1) ( 1)
xdx
x x
Primero el grado del Nor es 1 obviamente menor que el del Dor que es 6
Encontramos las raíces del Dor que obviamente son 1x y la x i dobles
Aplicamos el método de Hermite mejorado, 1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
descompuesto en fracciones simples
P x P x P xdx dx
Q x Q x Q x
2 2 2( ) ( 1) ( 1)Q x x x
2 2 1 2 1 2
1
2
2
( ) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)
( ) ( 1)( 1)
Q x x x x x
Q x x x todas raices simples
( )MH queda como
sigue: 2
2 2 2 2 2
4· 8 · · ·
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 1
x a x b x c A B x Cdx dx dx
x x x x x x
Determinemos ahora los coeficientes, para ello derivemos la igualdad anterior
2
2 2 2 2 2
4· 8 · · ·
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 1
x a x b x c A B x C
x x x x x x
3 2 2 2
2 2 2 2
(2 )( 1) ( · · )(3 2 1) ·
( 1) ( 1) 1 1
ax b x x x a x b x c x x A B x C
x x x x
4 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2
2 2 2
2 2 2 2 3 · 2 3 · 2 3 2
( 1) ( 1)
ax ax ax ax bx bx bx b a x ax ax b x bx bx cx cx c
x x
2 2 2 2
2 2 2
( 1)( 1) ( · )( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
A x x B x C x x
x x
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Pag. 28
5 4 3 2
2 2 2
( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 ) ( 3 2 2 2 )
( 1) ( 1)
A B x a A B C x b A B C x a b c A B C x
x x
2 2 2
(2 2 2 ) ( )
( 1) ( 1)
a c A B C x b c A C
x x
Identificando los coeficientes, tenemos:
5 : 0
4 : 2 0
3 : 2 2 2 2 0
2 : 3 2 2 2 0
1: 2 2 2 4
0 : 8
coef grado A B
coef grado a A B C
coef grado b A B C
coef grado a b c A B C
coef grado a c A B C
coef grado b c A C
resolviendo el sistema, tenemos:
0 , 3 , 1 , 3 , 3 , 3a b c A B C , llevándolo a , obtenemos:
1 2
2 2 2 2 2
4 8 3 1 3 3 3
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 1I I
x x xI dx dx dx
x x x x x x
1 1
33·ln 1
1I dx x k
x
2,1 2,2
2 2 2 2 2 2
3 3 1 3 2 2 3 2 23· ·
1 1 2 1 2 1 1I I
x x x xI dx dx dx dx dx
x x x x x
2
2,1 2,12
2ln( 1)
1
xI dx x k
x
2,22,2 2
22· ( )
1I dx arctg x k
x
2 2 2 2
4 8 3 1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
x xI dx
x x x x
+ 233·ln 1 · ln( 1) 2· ( )
2x x arctg x k
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Pag. 29
1.5 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.
1. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS GENERALES
En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma ( ( ),cos( ))R sen x x dx las
cuales se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica.
ES DECIR NUESTRO OBJETIVO ES CONVERTIR LA INTEGRAL TRIGONOMÉTRICA EN
UNA INTEGRAL RACIONAL
Pudiendo ocurrir los siguientes casos:
Caso GENERAL La Integral ( ( ),cos( ))R sen x x dx , la convertimos en racional, haciendo
el cambio siguiente:
2
2
2
2
2( )
1
1cos( )
2 1
2
1
tsen x
t
x ttg t x
t
dx dtt
Deducción de las expresiones anteriores:
2
2 2 2 2
dim 1
2 cos2 2
2 cos cos2 2 2
( ) 2 2 cos2 2 2
cos cos2 2 2 2
cdivi os por el trigonométrico
x xsen
x x xsen
x x xsen x sen sen
x x x xsen sen
2
2
dim cos2
os2
or or xdivi os N y D por
x
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Pag. 30
2 2
22
cos22
1
21
cos2
xsen
x
t
txsen
x
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
dim 1
cos2 2
cos cos2 2 2
cos( ) cos 2 cos2 2 2
cos cos2 2 2
divi os por el trigonométrico
x xsen
x x xsen
x x xx sen
x x x xsen sen
2
2
dim cos2
2
cos2
or or xdivi os N y D por
x
2
2
2 2
21
cos2 1
1
21
cos2
xsen
x
t
txsen
x
2
2( ) 2· ( )
2 2 1
x xtg t arctg t x arctg t dx dt
t
Veamos Casos PARTICULARES, que tienen cambios de variable, que hacen más
simple la integral racional que obtenemos, así:
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Pag. 31
t
1. La función ( ( ),cos( ))R sen x x es IMPAR en sen(x), es decir, la función cambia de
signo al sustituir sen(x) por -sen(x) entonces, convertimos la ( ( ),cos( ))R sen x x dx en
racional haciendo el cambio siguiente:
2
2
( ) 1
cos( ) 1
1
sen x t
x tdx dt
t
2. La función ( ( ),cos( ))R sen x x es IMPAR en cos(x), es decir, si la función cambia de
signo al sustituir cos(x) por -cos(x) entonces, convertimos la ( ( ),cos( ))R sen x x dx en
racional haciendo el cambio siguiente:
2
2
cos( ) 1
( ) 1
1
x t
sen x tdx dt
t
3. La función ( ( ),cos( ))R sen x x es PAR en sen(x), cos(x), es decir, si la función no se
altera al sustituir sen(x) y cos(x) simultáneamente por -sen(x) y –cos(x)
respectivamente entonces, convertimos la ( ( ),cos( ))R sen x x dx en racional haciendo
el cambio siguiente:
2
2
2
( )
1
1cos( )
1
1
1
tsen x
t
tg x t x
t
dx dtt
Ejemplos.
a) Calcular la integral 1 ( ) cos( )
dx
sen x x Esta integral es del tipo general, por
consiguiente:
x
1
21 t
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Pag. 32
2
2 2 2
2 2 22
2 2 2
2
2( )
1 2 2
1 1 1cos( )2 1 1 2 11 ( ) cos( ) 2 1
12 1 1 1
1
tsen x
tdt
dx x t t ttg t x dtt t t t tsen x x t
t t tdx dt
t
*2 1ln 1
2 2 1
dt dt t kt t
deshaciendo ahora el cambio de variable
*
ln 12
xtg k
b) Calcular la integral ( )
dx
sen x Esta integral es del tipo caso particular 1. Luego,
2
22 22
1cos( )
1( )
( ) 11 1( ) 1
t xdx dt dtt
dt sen x dx dx dtsen x tt tsen x t
1 1 1 1 1 1 cos( )ln ln ln
2 1 2 1 2 1 cos( )
t t xk k k
t t x
c) Calcular la integral 3cos ( )x dx . Esta integral es del tipo caso particular 2. Luego,
3
3 2
2 2 2
( ) 1cos ( ) cos( ) 1
cos( ) 1 1 1
t sen x dtx dx dt x dx dx t dt
x t t t
3 32
2 2 ( )1 1 ( )
3 3
t sen xt dt t dt t k sen x k
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Pag. 33
d) Calcular la integral 3( )tg x dx . Esta integral es del tipo caso particular 3. Luego,
2
3
3 3
2 2 22
2
( )1
1 1( ) ( ) cos( )
1 1 11
1
1
tsen x
t
t ttg x dx t tg x x dt t dt dt t dt
t t tt
dx dtt
2 2 2 2
2 2
2
1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( )ln 1 ln 1 ( ) ln ln cos( )
2 2 2 2 2 2 cos ( ) 2
t tg x tg x tg xt k tg x k k x k
x
2. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS:
( )· ( )
cos( )·cos( )
( )·cos( )
( )· ( )
c ( )·c ( )
( )·c ( )
sen x sen x
x x
sen x xdx
sh x sh x
h x h x
sh x h x
NUEVAMENTE NUESTRO OBJETIVO ES CONVERTIR LA INTEGRAL
TRIGONOMÉTRICA EN UNA INTEGRAL RACIONAL
Convertimos los productos en sumas, para ello recordamos:
( ) ( ) ( )cos( ) cos( ) ( )
( ) ( ) ( )cos( ) cos( ) ( )
( ) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
( ) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
I sen A B sen A B A sen B
II sen A B sen A B A sen B
III A B A B sen A sen B
IV A B A B sen A sen B
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Pag. 34
Y utilizamos:
Si tenemos un producto de senos o de cosenos las igualdades (III) y (IV)
Si tenemos un producto de senos por cosenos las igualdades (I) y (II)
Así por ejemplo: x x dxcos( )·cos( )
Lo primero que hacemos es convertir en sumas os( )·cos( )c x x , para ello utilizamos las
igualdades (III) y (IV) anteriores:
( ) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
( ) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )
cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )
III A B A B sen A sen B
IV A B A B sen A sen B
A B A B A B
De donde A B A B
A B A B A Bcos( ) cos( ) 1
cos( )cos( ) (cos( ) cos( ))2 2
Por lo tanto
Análogo con funciones trigonométricas hiperbólicas
En este caso las cuatro igualdades anteriores quedan como sigue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I sh A B sh A ch B ch A sh B
II sh A B sh A ch B ch A sh B
III ch A B ch A ch B sh A sh B
IV ch A B ch A ch B sh A sh B
x x x x1
cos( )cos( ) (cos(( ) ) cos(( ) ))2
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Pag. 35
3. : INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES
NUEVAMENTE NUESTRO OBJETIVO ES CONVERTIR LA INTEGRAL
TRIGONOMÉTRICA EN UNA INTEGRAL RACIONAL
Son de la forma ( )·cos ( )m n
sen x x dx , donde ,m n , es decir pueden ser negativos
(aparecer en el denominador) Pueden ocurrir los casos siguientes:
1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:cos( )x t una de las potencias
del seno la utilizamos para el diferencial, ya que: (cos( )) ( )d x sen x dx y las
restantes al ser pares la ponemos en función de cosenos, así:
2 1
2 2
cos( ) ( )( )·cos ( ) ( )·cos ( )
( ) 1 cos ( )
m n k nx t sen x dx dt
sen x x dx sen x x dxsen x x
2 2 2( ) ·cos ( )· ( ) 1 · ·( ) 1 · ·
k k kn n n
sen x x sen x dx t t dt t t dt
2. Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio: ( )sen x t una de las potencias del
coseno la utilizamos para el diferencial, ya que: ( ( )) cos( )d sen x x dx y las
restantes al ser pares la ponemos en función de senos, así:
2 1
2 2
s ( ) cos( )( )·cos ( ) ( )·cos ( )
cos ( ) 1 ( )
m n m ken x t x dx dt
sen x x dx sen x x dxx sen x
2 2( )· cos ( ) ·cos( ) · 1 ·
k km m
sen x x x dx t t dt
3. Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace:2
( )
1
cos ( )
tg x t
dx dtx
Ejemplos:
a) 3 2
2 2
cos( ) ( )( )·cos ( ) ( )·cos ( )· ( )·
( ) 1 cos ( )
n nx t sen x dx dt
sen x x dx sen x x sen x dxsen x x
1 3 1 3
2 2 cos ( ) cos ( )1 · · ·
1 3 1 3
n n n nn n n t t x x
t t dt t t dt k kn n n n
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Pag. 36
b)
6 6 6
23 42 2 2
( ) cos( )( ) ( )· ·cos( ) ·
cos ( ) cos ( )cos ( ) 1 ( ) 1
sen x t x dx dtsen x sen x tdx x dx dt
x xx sen x t
Ejercicio: Acabar la integral anterior.
Recuerde que:
1. Típica integral racional, que al tener grado del Nor mayor que el grado del Dor,
hay que empezar dividiendo, siendo la integral racional resultante, una con
raíces reales múltiples, a saber, ±1 con multiplicidad 2
2. Al final hay que deshacer los cambios de variables, dejando la solución como
función de x
c)
2
2 4
2 4
22 2 2
2
( )1
1 1 1( )·cos ( )· cos( ) · ·
11 1 1
1
1
tsen x
t
tsen x x dx tg x t x dt
tt t t
dx dtt
2 2
2 42 22 2
1 1· ·
1 11 1
t tdt dt
t tt t
Ejercicio: Acabar la integral anterior.
Integral típica para hacer por Hermite
Observación: Las integrales ( )·cos ( )m n
sen x x dx con el caso particular de ser m y n
pares positivos tiene otra forma de resolverse que puede a veces ser más cómoda, a
saber:
2 2( )·cos ( )
m nsen x x dx Utilizamos las fórmulas trigonométricas: 2 1 cos(2 )
( )2
xsen x
y
2 1 cos(2 )cos ( )
2
xx
quedándonos:
2 2 1 cos(2 ) 1 cos(2 )( ) · cos ( ) ·
2 2
m nm n x x
sen x x dx dx
1
1 cos(2 ) · 1 cos(2 )2
m n
m nx x dx
, desarrollamos los binomios, operamos, y nos
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Pag. 37
salen integrales en potencias de cos(2 )x que las que son impares se resuelven como
el tipo 2
NOTA: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una
integral racional sencilla, siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de
integración por REDUCCIÓN. Consultar F. Coquillat (Integrales Metodología y
Problemas):
1.6 INTEGRALES IRRACIONALES.
En este apartado vamos a estudiar las integrales de las siguientes formas:
1 2
1 2
1) , , , ,
l
l
pp p
q q qax b ax b ax bR x dx
cx d cx d cx d
, 2
2) R x ax bx c dx ,
2 23) ( , )R x x a dx , 2 2
4) ( , )R x a x dx , 5) , nax b
R x dxcx d
y 6)p
m nx a bx dx
NUESTRO OBJETIVO ES CONVERTIR LA INTEGRAL IRRACIONAL EN UNA INTEGRAL
RACIONAL
Caso 1)
1 2
1 2
, , , ,
l
l
pp p
q q qax b ax b ax bR x dx
cx d cx d cx d
: Se convierte en racional haciendo el
cambio de
variable siguiente: 1 2( , , )lmcm q q qax by
cx d
Así conseguimos eliminar todas las raíces.
Caso 2) 2
R x ax bx c dx , efectuando operaciones que consisten generalmente en:
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Pag. 38
- Multiplicar y dividir por el conjugado de alguna expresión
- Multiplicar y dividir por 2ax bx c
- Descomponer en fracciones simples la parte racional de la integral
la transformaremos en los tipos:
(I) 2
( )p
dx
x ax bx c con p N
(II) 2
( )P xdx
ax bx c , siendo ( )P x un polinomio en x .
La integral (I) a su vez se transforma en la del tipo (II) mediante el cambio 1
xt
, y
esta última la resolveremos por el llamado MÉTODO ALEMAN.
Este método consiste en descomponer la función integrando de la forma,
2
12 2
( )( )· . . 1ªn
n
P x Adx Q x ax bx c dx M A forma
ax bx c ax bx c
Donde 1( )
nQ x
es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado inferior en una
unidad al de ( )n
P x .
Derivando e identificando polinomios se obtienen los coeficientes indeterminados.
Integrando a continuación.
Podemos también poner el método alemán, de la siguiente forma:
2
12 2
( )( ) . . 2ªn
n
P x d AQ x ax bx c M A forma
dxax bx c ax bx c
Expresión con la que determinaremos los coeficientes indeterminados
Sólo tendríamos que resolver 2
dx
ax bx c que es del tipo arcsen x , argsh x o
argch x , como veremos en los ejercicios.
Casos 3) y 4) Las integrales 2 2( , )R x x a dx y 2 2
( , )R x a x dx .
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Pag. 39
Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonométricas mediante los
cambios:
1. 2 2( , )R x a x dx , ( )x a sen t
2. 2 2( , )R x x a dx , cambio
( )
ax
sen t o también ( )x a Ch t
3. 2 2( , )R x x a dx , cambio ( )x a tg t o también ( )x a Sh t
Regla nemotécnica para recordar el cambio:
Poner las dos formulas fundamentales de las trigonometrías, despejar senos y cosenos,
y utilizar la adecuada, a saber:
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) . . ( )( ) ( ) 1
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) . . ( )( ) ( ) 1
( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 . .
cos x sen x cos x sen x c v t sen xcos x sen x
sen x cos x sen x cos x
ch x sh x ch x sh x c v t sh xch x sh x
sh x ch x sh x ch x c v t c
( )h x
Ejemplos.
a) Calcular la integral 2 2a x dx . Esta integral es del tipo 1. Luego:
1
2 2 2 2 2 (2 )· ( ) cos( ) cos ( )
2 4
t sen ta x dx x a sen t dx a t dt a t dt a k
como
2(2 ) 2 ( )cos( ) 2 ( ) 1 ( )sen t sen t t sen t sen t nos queda: 21
2 2 ( ) 1 ( )
2 4
sen t sen tta k
2 (2)2 ( ) 1 ( )
2 2
sen t sen tta k
deshaciendo el cambio de variable nos queda
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Pag. 40
2 22
22
2 2
1
2 2 2
x x a xx xx arcsenarcsen a a aa aaa k a k
2 2
2 ·
2
x xarcsen a x
a a aa k
22 2
2 2
a x xarcsen a x k
a
b) Calcular la integral 2 2x a dx . Esta integral es del tipo 2. Luego:
2
2 22 2 2 2 2 2 2
· ( ) · ( ) ( )2 4
t t t te e e e
x a dx x a ch t dx a sh t dt a sh t dt a dt k a dt
2 2
2 2 2 2 12 2 2 21 (2 )2
4 2 4 8 2 8 4 2 4 2
t t
t t t t
e e
e e e t e t sh t ta dt dt dt a k a k a k
Aplicando propiedades elementales de la trigonometría, en este caso hiperbólica, y
deshaciendo el cambio de variable utilizado, tenemos:
12 22 ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
sh t ch t t sh t ch t ta k a k
2
2
2 2
1 ·( ) 1 · ( )
2 2 2 2
x x xArgch
ch t ch t a at aa k a k
2 2
2 2
22 2
· ··
2 2 2 2
x xx a x xArgch Argchx aa aa a a aa k a k
2 2 2
2 2 2
2
··
2· 2 2 2
xArgch
x a x x a xaa k x a Argch k
a a
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Pag. 41
c) Calcular la integral 2 2x a dx . Esta integral es del tipo 3. Luego,
2
2 22 2 2 2 2 2 2
· ( ) · ( ) ( )2 4
t t t te e e e
x a dx x a sh t dx a ch t dt a ch t dt a dt k a dt
2 2
2 2 2 2 12 2 2 21 (2 )2
4 2 4 8 2 8 4 2 4 2
t t
t t t t
e e
e e e t e t sh t ta dt dt dt a k a k a k
Aplicando propiedades elementales de la trigonometría, nuevamente hiperbólica, y
deshaciendo el cambio de variable, tenemos:
212 2 2 ( )· 1 ( )2 ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2 2
sh t sh tsh t ch t t sh t ch t t ta k a k a k
22 2
22 2
· 1 ·
2 2 2 2
x x x xx a xArgsh Argsh
a a a aa aa k a k
2 22 2 2
2 2 2 2
2
··· ·
2 2 2· 2 2 2
x xx Argsh Argsha xx a x x a xa aa aa k a k a x Argsh k
a a
Caso 5) , nax b
R x dxcx d
.Se convierte en racional haciendo el cambio: n
ax bt
cx d
.
Ejemplo Calcular la integral41 1
dx
x . Esta integral se racionaliza con el cambio
4 1t x . Luego:
34 (1)3
4 4
1 44
11 1 1
t xdx t dtdx t dt
tx x t
como
32 1
( 1)1 1
tt t
t t
3 2(1)
2 21 14 ( 1) 4 ( 1) 4 ln 1
1 1 3 2
t tt t dt t t dt dt t t k
t t
deshaciendo el
C.V.
3 24 4
4 41 1
4 1 ln 1 13 2
x xx x k
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Pag. 42
34
24 4 4
4 12 1 4· 1 4·ln 1 1
3
xx x x k
3
4
4 44 1
2 1 4· 1 4·ln 1 13
xx x x k
Caso 6) p
m nx a bx dx Este tipo de integrales se les llama Binómicas o Binomias, la
estudiamos en el siguiente apartado.
- INTEGRALES BINOMIAS:
Las integrales Irracionales que tienen esta estructura p
m nx a bx dx donde
, ,m n p , reciben el nombre de Binomias o binómicas.
El Matemático Ruso Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894), demostró que sólo tienen
primitivas expresadas en funciones elementales, si cumple algunas de las tres siguientes
condiciones, llamadas condiciones de Chebyshev:
1. Si p Z
0 : .
0 : , . . .
min .
p Desarrollar por el binomio de Newton
p Cambio x t siendo el m c m
de los deno adores de m y n
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
2. Si 1
: ,nm
Z Cambio a bx t siendon
el denominador de p
3. Si 1
: ,n
n
n
m a bxp Z Cambio ax b t siendo el
n x
denominador de p
Tema 1
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Curso 2013-2014
Pag. 43
Ejercicios:
1) 2 3 2(3 )x x dx
2)
2
4
1
· 2
dx
x x
3) 3 34· 1
dx
x x
4) 2 2· 4
dx
x x
Observación: Hay un caso particular muy simple, que resalto, a saber cuando m=n-1, en
este caso la integral es inmediata, pues con multiplicación y división por constante
conseguimos poner la integral como:
11 1 ( )· ( ) ( ) ·
1
p
pf x
f x f x dx kA A p
Resolución de los ejercicios:
1) 2 3 2(3 )x x dx , podíamos verla como tipo 1 con p>0, y al ser los distintos
exponentes positivos, hacer el desarrollo del binomio 3 2(3 )x , multiplicarlo luego
por 2x y finalizar con la integral de un polinomio, no obstante, es mucho más
cómodo darse cuenta que estamos ante el caso particular, ya que el grado de
na bx es de una unidad más que el grado de m
x ; Por lo dicho, busquemos que
el factor mx sea la derivada de n
a bx , por lo tanto como 3 2(3 ) 3x x
3322 3 2 2 3 3
( ) ( )
( )1 1 1(3 ) ( 3 )(3 ) · 3
3 3 3 9f x f x
f xx x dx x x dx k x k
Tema 1
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Curso 2013-2014
Pag. 44
2)
21 1
4 22
4
12
· 2
dx x x dx
x x
Estamos ante una binomia del tipo 1 con p<0, al tener n o/y m, fraccionario, hacemos
el c.v. x t , siendo ( , ) (4,2) 4
oresmcm D m n mcm
4 22
1 2 3
23 2
42 4·
4· 2
x t tt t t dt dt
dx t dt t
Ya hemos conseguido el primer objetivo, convertir la integral irracional en una
racional
2
22
4
2
tdt
t
Nuestro siguiente objetivo es resolver esta racional.
Como tenemos en el denominador raíces complejas múltiples, aplicamos Hermite
2
2 2 22
· ·4· 4· *
2 22
t A t B C t Ddt dt
t tt
Determinemos los coeficientes A, B, C y D, para ello derivemos *
22 2 2
2 2 22 2 22 2 2
·(2 ) · ·2· · · 2 2 · 2 ·
2 2 22 2 2
A t A t B tt A t B C t D C t D At A A t B t
t t tt t t
2 2 2 3 2
2 22 2
( · )· 2 2 2 · 2 · 2 2
2 2
C t D t At A A t B t Ct Ct Dt D
t t
Como tenemos una igualdad de dos fracciones con el mismo denominador, ha de
darse que los numeradores son iguales.
2 2 3 2 2 3 2 2· 2 2 · 2 · · 2 · · 2 · ( 2 )· ( 2 2 )· (2 2 )A t A A t B t C t C t D t D t C t A A D t B C t A D t
Igualando los coeficientes de los monomios semejantes, tenemos:
3
2
0
10( ) : 0 2
1 0( ) : 1 2 1
0( ) : 2 2 0 0
10( ) : 2 2 0
2
ACcoef x C
A D Bcoef x A D D
Ccoef x B C B C B
D AA Dcoef x A DD
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Pag. 45
1
2 (1)
2 2 2 2 2 2 22
1 1·
4 · · 2· 22 2* 4· 4· 4·2 2 2 2 2 22
I
tt A t B C t D t
dt dt dt dtt t t t t tt
1 12 2 22 2
1
2 2 22· 2·
2 212 1 1 1
22 2 2
dtdt dt t
I dt dt arc tg ktt t t t
(1) (1)
12
2·2·
2 2
t tarc tg k
t
deshaciendo el cambio de variable efectuado
1
4 4x t t x
, nos queda:
1 1
4 4(1) 4 4
21
4
2·2· 2· 2·
2 2 22
x x x xarc tg k arc tg k
xx
3) 3 34· 1
dx
x x 0
Resolución:
1º) Lo primero que hacemos es ponerla en forma de potencias, y el integrando sin
fracción, para ello:
Las raíces las ponemos como potencias fraccionarias, así:
p
q p qx x , por otro
lado los factores (que no sumandos) que estén en el denominador los pasamos
al numerador con exponente opuesto, así:
1 2
1 2
( ) ( )( ) ( ) · ( )· ( )
( )· ( )
r s
r s
f x f xdx f x f x g x h x dx
g x h x
Por lo tanto:
13 3
1 4133 34 3 3 34
4
· 1
· 1· 1 · 1
dx dx dxx x dx
x xx x x x
En la práctica se hace directamente, pero he querido aquí detallarlo.
Obviamente estamos ante una integral binomia, donde:
3 11, ,
4 3m n p
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Pag. 46
2º) Lo segundo que hemos de hacer, es ver si cumple alguna condición de
Tchebyshev.
1ª) (C.TCH) ¿ ?p NO, ya que 1
3p
2ª) (C.TCH) 1
¿ ?m
n
1 1 10
3
4
m
n
, SI CUMPLE LA 2ª C.TCH
3º) Hagamos el cambio de variable correspondiente, que convierte nuestra integral
irracional en una INTEGRAL RACIONAL, como sabemos dicho cambio es:
3
341 x t
Observación IMPORTANTE:
La forma más cómoda de operar, es no despejando x como función de t,
ahora bien, NO PODEMOS OLVIDAR QUE x es una función de t, lo que haré
es en lugar de poner x poner x(t) ó x . Finalizaremos operando y si es necesario
al final sustituyendo x(t) ó x , por su expresión correspondiente, así:
1 13 3 1
3 3 2 2 24 44 4 43 4
1 1 ( ) 3 3 44 3
x t d x d t x dx t dt dx x t dt x t dt
1 1 31
1 13 2 1 24 4 43· 4 ·4 4· · ·x t x t dt x t dt x t dt
Ahora hemos de sustituir x , por su expresión en función de t, pero
observemos que realmente no hemos de despejar x, sino 3
4x
que es más
cómodo, así: como 33 3
13 3 344 4
3
11 1 1
1x t x t x t
t
3
43 3
14· · · 4 · · 4 ·
1 1
tx t dt t dt dt
t t
Ya hemos conseguido nuestro objetivo de convertirla en racional, nuestro
siguiente paso es
4º) Resolvamos la integral racional obtenida
34 ·
1
tdt
t
Como integral racional, hemos de observar:
i. Gr(Nor)< Gr(Dor), SI 1<3 PASAMOS AL PUNTO 2º)
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Pag. 47
ii. DESCOMPONEMOS EL Dor EN FACTORES
1 0 0 -1
1 1 1 1
1 1 1 0 3 21 ( 1)( 1)t t t t ,
21t t no tiene raíces
reales y al ser de grado 2, no se puede descomponer más.
iii. Ponemos la fracción del integrando como suma de fracciones simples:
3 2 21 ( 1)( 1) 1 1
t t A Bt C
t t t t t t t
iv. Calculamos los coeficientes indeterminados
2 2
3 2 2 2
·( 1) ( )·( 1) ( )· ( )· ( )
1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
t A Bt C A t t Bt C t A B t A B C t A C
t t t t t t t t t t
Como tenemos una igualdad de dos fracciones que tienen el mismo Dor, han de
ser iguales los Nores 2( )· ( )· ( )A B t A B C t A C t , igualando los
coeficientes de los monomios semejantes tenemos:
2
0
1
3( ) : 01
( ) : 1 1 3 13
( ) : 0 1
3
B A B
coef t A B
coef t A B C A A A A A
coef t A CC A C
quedando nuestra integral:
1 2
3 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 1 13 3 3 3 3 34· · 4· 4· ·1 1 1 1 1 3 1 1
I Î
t tt t
dt dt dt dt dt dtt t t t t t t t t t
1 1
1ln 1
1I dt t k
t
2
2 2 2 2
2 1 1 21 1 2 2 11 2 1
1 2 1 2 1
tt tI dt t t t dt dt
t t t t t t
2,1 2,2
2 2
1 2 1 3
2 1 1I I
tdt dt
t t t t
2
2,1 2,12
2 1ln( 1)
1
tI dt t t k
t t
(no he puesto valor absoluto en el logaritmo,
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Curso 2013-2014
Pag. 48
por tener certeza de ser 21 0 ,t t t
2,2 2
3
1I dt
t t
Empecemos poniendo el Denominador como suma de cuadrados
2
2 22 2 2
2
2
1
1 1 1 3 1 3 3 21 1 · 1
2 4 2 4 2 2 2 3
2
t
t t t t t
2
2 2 22 1
3 3 2 12· 1 · 12 23 3
2
t
t
2,2 2 22 22
3 33· ·
1 2 13 2 1 31· 1
2 2 33
dt dtI dt
t t tt
2,22 2
2 2· ·
3 3 4·3· 3 2 13 3· · · 2· 3·
3 2 3·2 32 1 2 11 14
3 3
dt dtt
arc tg kt t
2 2
2 2,1 2,2 2
1 2 1 2 1ln( 1) 2· 3· 3· ln 1
2 3 3
t tI t t k arc tg k arc tg t t k
2
1 23
4 2 14· · · ln 1 3· ln 1
1 3 3
t tdt t k arc tg t t k
t
2
14 2 13· ln
3 3 1
ttarc tg k
t t
v. Para finalizar, hemos de deshacer los cambios de variables que hayamos
efectuados, así como el c.v. que hemos efectuado es: 3 4 31t x
3 343 34
2
3 33 34 4
1 14 2 1 1
3· ln3 3
1 1 1
xx
arc tg k
x x
, solución
pedida.
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Pag. 49
4) (1)
2 2· 4
dx
x x
Resolución:
1º) Lo primero que hacemos, al igual que en 3) es ponerla en forma de
potencias, y el integrando sin fracción, para ello:
Las raíces las ponemos como potencias fraccionarias, así:
p
q p qx x , por otro
lado los factores (que no sumandos) que estén en el denominador los
pasamos al numerador con exponente opuesto, así:
1 2
1 2
( ) ( )( ) ( ) · ( )· ( )
( )· ( )
r s
r s
f x f xdx f x f x g x h x dx
g x h x
Por lo tanto:
1
2 2 2
2 2· 4 ·
· 4
dxx x dx
x x
Obviamente estamos ante una integral binomia, donde: 1
2, 2,2
m n p
2º) Lo segundo que hemos de hacer, es ver si cumple alguna condición de
Tchebyshev.
1ª (C.TCH) ¿ ?p NO, ya que 1
2p
2ª (C.TCH) 1
¿ ?m
n
1 2 1 1
2 2
m
n
, NO CUMPLE LA 2ª C.TCH
3ª (C.TCH) 1 1 1 1
¿ ? 12 2
m mp Z p
n n
Luego SI cumple la
3ª condición de Tchebyshev 2
2 2
2
4: 4 1
xCambio x t
x
3º) Hagamos el cambio de variable correspondiente, que convierte nuestra
integral irracional en una INTEGRAL RACIONAL, como sabemos dicho
cambio es:2
2 2
2
44 1
xx t
x
Observación IMPORTANTE:
Al igual que en el ejercicio anterior, la forma más cómoda de operar, es no
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Pag. 50
despejando x como función de t, ahora bien, NO PODEMOS OLVIDAR
QUE x es una función de t, lo que haré es en lugar de poner x poner x(t) ó
x . Finalizaremos operando y si es necesario al final sustituyendo x(t) ó x ,
por su expresión correspondiente, así:
3
2 2 2 2 3 14 1 4 1 ( ) 8 2 · · ·
4x t d x d t x dx t dt dx x t dt
1
(1) 2 2 3 2 1 3 2 1 322 1 1 11 1 1· · · · · · · · · ·
4 4 4x x t x t dt x x t x t dt x t dt
(1)001 1
· · · ·4 4
x t dt dt
Ya hemos conseguido nuestro objetivo de convertirla en racional, nuestro
siguiente paso es
4º) Resolvamos la integral racional obtenida
(1) 1 1·
4 4dt t k
5º) Ahora hemos de sustituir x , por su expresión en función de t, así:
como 2 2 2
2 2
2 2
4 4 44 1
x x xx t t
x x x
2(1) 1 1 4·
4 4
xt k k
x
