UNIDAD 4 INTEGRAL DEFINIDA. 1. ÁREA BAJO UNA … · Unidad 4: Integral Definida 1 UNIDAD 4 INTEGRAL DEFINIDA. 1. ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES. ... Matemáticas

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque I: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad 4: Integral Definida

1

UNIDAD 4 INTEGRAL DEFINIDA.

1. ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES. Sea f continua en [ ]ba, con ( ) 0≥xf (Positiva en [ ]ba, ).

Partición de [ ]ba, : Conjunto finito de puntos { }nnn xxxxP ,,,, 110 −= K con bxxxxa n =<<<<= K210

bxxxxxxa nn == −13210

Diámetro de la partición nP : Mayor de los valores 11201 ,,, −−−− nn xxxxxx K

Tenemos dos aproximaciones al área bajo la curva, una por defecto y otra por exceso:

[ ] [ ] [ ][ ]⎩

⎨⎧

==

⇒⇒−

−−

iii

iiisWeierstras

Teorema

ii xxenfdeoMínimmxxenfdeoMáximM

Existenxxencontinuafbaencontinuaf,,

,,1

11

Área “por defecto”: ( ) ( ) ( )1122011 −−++−+−= nnnn xxmxxmxxmS K

Área “por exceso”: ( ) ( ) ( )1122011 −−++−+−= nnnn xxMxxMxxMS K Siendo: →nS Suma inferior.

→nS Suma superior. ( ) nn SAÁreaS ≤≤

Si añadimos más puntos en la partición⇒Más rectángulos⎩⎨⎧

⇒superiores sumas lasDecrecen

inferiores sumas lasCrecen

Es claro, por tanto, que: ⇒≤≤≤≤ ++ nnnn SSASS 11 nnnn

SlímASlím+∞→+∞→

== A este límite se le llama integral definida de f entre a y b :

( )∫ =b

aAdxxf baf yentrededefinidaIntegral←

siendo a y b son los límites de integración inferior y superior respectivamente.



2

Observa: La integral definida coincide con el área bajo la curva.

• Áreas “negativas”: Si f es negativa en [ ]ba, ( )( )0≤xf . Haciendo el mismo proceso anterior se llega a:

( )∫ −=b

aAdxxf

• Si f cambia de signo en [ ]ba, :

( )∫ +−=b

aAAAdxxf 321

Propiedades:

a) ( )∫ =a

adxxf 0

b) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=<<b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxfbcaSi ,

c) ( ) ( )∫∫ =b

a

b

adxxfkdxxfk

d) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

e) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )∫ ∫≤≤b

a

b

adxxgdxxfbaenxgxfSi ,,

f) ( ) ( )∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf

2. TEOREMAS DE INTEGRACIÓN. 2.1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL (DE LA MEDIA).

Si f es continua en [ ]ba, entonces existe [ ]bac ,∈ tal que:

( ) ( ) ( )∫ −⋅=b

aabcfdxxf

Interpretación geométrica:

Existe [ ]bac ,∈ de modo que el área del rectángulo de base

ab − y altura ( )cf , coincide con el área bajo la curva entre [ ]ba, .



3

2.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Si f es continua en [ ]ba, y definimos:

( ) ( ) [ ]∫ ∈=x

abaxcondttfxF , (Función área)

Entonces F es derivable en [ ]ba, y ( ) ( )xfxF =′ . ( F es una primitiva de f )

Observación: Se ha producido un “enlace” entre el cálculo de áreas y la integral indefinida y, consecuentemente, con la derivación.

Ejemplo 1: Halla la derivada de ( ) ∫ −=x tdtexF

2.

Solución:

Como ( ) tetf −= es continua ( ) xlFundamentaT

CálculodelexF −=′⇒

.

Ejemplo 2: Halla la derivada de ( ) ∫=3

1

2xdttxF .

Solución:

Sea ( ) ∫=x

dttxG1

2 y ( ) ( )( )xhGxFxxh o=⇒= )(3

El integrando es una función continua GlFundamentaT

Cálculodel

.

⇒ es derivable y ( ) 2xxG =′

Por tanto, hGF o= es derivable al ser composición de funciones derivables y

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 822323 333 xxxxxGxhxhGxhGxF ==′=′⋅′=′=′ o

2.3. REGLA DE BARROW. Si f es continua en [ ]ba, y G es una primitiva de f entonces:

( ) ( ) ( )∫ −=b

aaGbGdxxf

También se expresa: ( ) ( )[ ]∫ =b

a

baxGdxxf

En el siguiente punto se van a ver múltiples aplicaciones de la Regla de Barrow.

3. CÁLCULO DE ÁREAS.

3.1. Si ( ) 0xf ≥ en [ ]ba,

( )∫=b

adxxfA

Ejemplo: Calcular el área encerrada por la curva ( ) [ ]π,0, ∈= xxsenxf y el eje de

abscisas.

[ ]∫ =−==π π

0 0cos xdxxsenA

( ) 22110coscos u=+=−−−= π



4

3.2. Si ( ) 0xf ≤ en [ ]ba,

( )∫−=b

adxxfA

Ejemplo: Calcular el área encerrada por la curva ( ) [ ]ππ 2,, ∈= xxsenxf y el eje de abscisas.

[ ] ( )[ ] [ ]∫ =−−−=−−−−=−−=−=π

π

ππ ππ

2 22 211cos2coscos uxdxxsenA

3.3. Si f toma valores positivos y negativos en [ ]ba,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ −+−=e

d

b

e

d

c

c

adxxfdxxfdxxfdxxfA

O bien:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++=b

e

e

d

d

c

c

adxxfdxxfdxxfdxxfA

↑ Muy útil si No disponemos de la gráfica de f, pero SÍ de sus puntos de corte con OX.

Ejemplo: Calcular el área limitada por ( ) xsenxf = y el eje de abscisas en [ ].2,0 π

[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫ =+=+−=−−−=−=

π ππ

πππ

ππ

π0

220

20

2422coscoscoscos uxxxxdxxsendxxsenA

3.4. Área limitada por la gráfica de dos funciones con ( ) ( )xfxg ≤ en [ ]ba, .

( ) ( )[ ]∫ −=b

adxxgxfA

Válida incluso si f ó g no son necesariamente positivas (Ver ejemplo 2).



5

Ejemplo 1: Calcular el área limitada por las gráficas de ( ) xxf 4= y ( ) .2xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g: ( ) ( ) ⇒=−⇒=⇒= 044 22 xxxxxgxf

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

⇒==⇒=−16,4

0,04;004

2

121 P

Pxxxx

Como ( ) ( ),xgxf ≥ entonces:

( )∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

4

0

24

0

322

332

324 uxxdxxxA

Ejemplo 2: Calcular el área limitada por las gráficas de ( ) 42 −= xxf y ( ) .3xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g:

( ) ( ) 04334 22 =−−⇒=−⇒= xxxxxgxf ( )( )⎩

⎨⎧ −−

⇒=−=⇒12,4

3,14;1

2

121 P

Pxx

Como ( ) ( ),xfxg ≥ entonces:

( )( )∫−−++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=−−=

4

1

24

1

23

43

2

61254

23

343

2

uxxxdxxxAxx4434421

3.5. Área limitada por dos funciones que se cortan.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫∫ −+−+−+−=e

d

b

e

d

c

c

adxxfxgdxxgxfdxxfxgdxxgxfA

O bien:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫ −+−+−+−=b

e

e

d

d

c

c

adxxgxfdxxgxfdxxgxfdxxgxfA

↑ Muy útil si No disponemos de las gráficas de f y g, pero SÍ de sus puntos de corte.

Ejemplo: Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones ( ) 3xxf = y ( ) .xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g:

( ) ( ) ( ) 010 233 =−⇒=−⇒=⇒= xxxxxxxgxf ( ) ( ) ( )1,1;1,1;0,01;1;0 321321 −−⇒−=== PPPxxx

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−+−=

=−+−=

−−

−

∫∫

∫∫1

0

420

1

241

0

30

1

3

1

0

0

1

4224xxxxdxxxdxxx

dxxfxgdxxgxfA

2

21

41

21

21

41 u=−++−=



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4. OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. 4.1. VOLUMEN Y ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.

El volumen y el área lateral de un cuerpo de revolución engendrado al girar la curva ( )xfy = continua en [ ]ba, en torno al eje OX vienen dados, respectivamente, por:

( )[ ]∫=b

adxxfV 2π

( ) ( )[ ]∫ ′+=b

adxxfxfA 212π

Ejemplo: Hallar el volumen de una esfera de radio r y el área de su superficie esférica. Circunferencia de radio r: 222 ryx =+

( )[ ] ( ) ( ) 333

2222

222

34

3urxxrdxxrdxxrdxxfV

r

r

r

r

r

r

b

a

πππππ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=−==

−−− ∫∫∫

( ) ( )[ ] =−

+−=′+= ∫∫ −

r

r

b

adx

xrxxrdxxfxfA 22

2222 1212 ππ

[ ] 22

22

22 4222 urxrdxrdxxr

rxr rr

r

r

r

rππππ ===

−−= −−− ∫∫

Ejemplo: Hallar el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje

OX el arco de gráfica de ( ) 2xxf = entre 1 y .3

( ) 33

1

53

1

43

1

22

5242

51

5243

5uxdxxdxxV πππππ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫

Ejercicio: Hallar el volumen y el área lateral del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje OX el arco de gráfica de ( ) xxf = entre 0 y .4

Solución: 38 uV π= ; ( ) 2117176

uA −=π

En el próximo apartado se verá como se calcula el volumen de este cuerpo por otro procedimiento.

4.2. VOLUMEN DE UN CUERPO DE SECCIÓN CONOCIDA. El volumen de un cuerpo de sección conocida viene dado por:

( )∫=b

adxxSV

Siendo ( )xS la superficie de la sección obtenida al cortar el cuerpo por un plano xP perpendicular al eje de abscisas a una distancia

[ ]., bax∈



7

x

Ejemplo: Obtén la fórmula del volumen de un cono de radio de la base r y altura h a través del cálculo del área de una sección arbitraria.

r r´

Ejercicio: Hallar, por secciones, el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje OX el arco de gráfica de ( ) xxf = entre 0 y .4 Solución: 38 uV π= ;

4.3. LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA. La longitud del arco de una curva ( )xf en un intervalo [ ]ba, viene dada por:

( )[ ]∫ ′+=b

adxxfL 21

siempre que tanto ( )xf como ( )xf ′ sean continuas en [ ]ba. .

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de curva 3xy = en el intervalo [ ]1,0 .

u

x

dxx

dxxdxxL

27813131

81313

278

1491

278

491

278

491

49

23

94

32

491

231

31

0

23

1

0

21

1

0

21

1

0

2

21

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫

∫∫

Observación: Si ( )xf viene dada por sus ecuaciones paramétricas y(t)y x(t);x == la longitud del arco de la curva ( )xf en [ ]ba, viene dada por:

( ) ( )∫ ′+′= 1

0

22t

tdttytxL con ( ) ,0 atx = ( ) .1 btx =

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de curva definida por sus ecuaciones paramétricas

,senttx −= ty cos1−= entre 0=t y π=t .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttsentttsenttytx cos12cos2cos1cos1 222222 −=+−+=+−=′+′

( )

utdttsen

dttsendttdttL

42

cos222

2

22

2cos14cos12

00

0

2

00

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−==

==−

=−=

∫

∫∫∫π

π

πππ

h

Por semejanza de triángulos:

hrxr

xr

hr

=′⇒′

= ( ) 2

22

hxrxS π

=⇒

( ) 32

0

3

0 2

2

2

22

33uhrx

hrdx

hxrdxxSV

hhb

a

πππ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫



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5. ANEXOS. 5.1. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL.

f es continua en [ ]ba,Teorema

sWeierstras⇒

[ ]( )[ ]( )⎩

⎨⎧

=∃

=∃

bafMbafm

, Máximo , Mínimo

tal que ( ) [ ]baxMxfm ,∈∀≤≤ .

Además:

( ) ( ) ( )∫ −≤≤−b

aabMdxxfabm ⇒ ( )∫ ≤

−≤

b

aMdxxf

abm 1

⇒ ( ) [ ]( )∫ ∈−

b

abafdxxf

ab,1

Por tanto, por el Teorema de los valores intermedios (Darboux):

[ ]bac ,∈∃ tal que ( ) ( )∫−=

b

adxxf

abcf 1

⇒ ( ) ( ) ( )abcfdxxfb

a−⋅=∫ .

5.2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

−+=

−=

−+ ∫ ∫∫∫ ∫+

→

+

→→ h

dttfdttfdttflím

h

dttfdttflím

hxFhxFlím

x

a

x

a

hx

x

h

hx

a

x

a

hh 000

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )xfcflímh

hcflím

h

dttflím hh

h

hMediaT

hx

x

h

∗∗

→→

∗+

→==

//⋅

== ∫00.0

F⇒ es derivable y ( ) ( )xfxF =′

Es decir, F es una primitiva de f en [ ]., ba

( ) f∗ es continua en [ ]hxx +,Teorema

Medialade⇒ [ ]hxxch +∈∃ , tal que ( ) ( ) ( )⇒/−+/⋅=∫

+xhxcfdttf h

hx

x

( ) ( ) hcfdttf h

hx

x⋅=⇒ ∫

+

( )∗∗ Si xch h →⇒→ 0 .

x ch x+h 5.3. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE BARROW.

Por el Teorema Fundamental del Cálculo ( ) ( )∫=x

adttfxF es una primitiva de f.

Sea G otra primitiva cualquiera de f ( ) ( ) ,KxFxG +=⇒ es decir: ( ) ( ) KdttfxGx

a+= ∫ .

( ) ( ) ( )aGKKKKdttfaGa

a=⇒=+=+= ∫ 0 ( ) ( ) ( )aGdttfxG

x

a+=⇒ ∫ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aGbGdttfaGdttfbGb

a

b

a−=⇒+= ∫∫ .

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