Tema 1:Tema 1:Fundamentos Matemáticos

ánde

z

Antonio González Fernández

nzál

ez F

erná

Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Ant

onio

Gon Universidad de Sevilla

Parte I

© 2

009,

A

Índice

IntroducciónIntroducción

I. Sistemas de coordenadas

II. Campos escalares. Gradiente

III. Campos vectoriales

ánde

z

p

IV. Flujo, divergencia y teorema de Gauss

V Ci l ió t i l t d St k

nzál

ez F

erná V. Circulación, rotacional y teorema de Stokes

VI. Otros operadores vectoriales

Ant

onio

Gon

VII. Teoremas de unicidad

© 2

009,

A

2

Introducción: el electromagnetismo se ib l j t átiescribe en lenguaje matemático

Todo el electromagnetismo se resumen en las Todo el electromagnetismo se resumen en las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz

0

·

E q F E r v B r

ánde

z

t

B

E

¿Qué tipo de entes son E(r) y B(r)?

nzál

ez F

erná t

0 B

¿Qué significa ·? ¿Y ×?

Ant

onio

Gon · 0 B

E

Necesitamos dominar el lenguaje de la teoría de

© 2

009,

A

30 0 0 t

E

B Jg j

campos

Parte I

Sistemas de coordenadas

ánde

z

Sistemas de coordenadas

nzál

ez F

erná

Ant

onio

Gon

© 2

009,

A

Para identificar los puntos del espacio it ti tnecesitamos etiquetas

Para estudiar funciones Para estudiar funciones que dependen de la posición debemos posición debemos distinguir un punto de otro

ánde

z

otro

Las etiquetas literales

nzál

ez F

erná

qno dan idea de la proximidad entre

Ant

onio

Gon

ppuntos

Se requieren etiquetas

© 2

009,

A

5

Se requieren etiquetas numéricas

Un sistema de coordenadas asigna ú d t d l inúmeros a cada punto del espacio

A cada punto del espacio tridimensional se le A cada punto del espacio tridimensional se le asigna una terna de números (q1, q2, q3)

Deben identificar cada punto de forma unívoca

No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas

ánde

z Deben ser funciones continuas

No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas

nzál

ez F

erná A puntos vecinos le

corresponden coordenadas próximas

(1,2,-1) (1.01,1.99,-0.98)

(q q q ) ( d d d )

Ant

onio

Gon

p

Deben ser funciones derivables

(q1,q2,q3) (q1+dq1,q2+dq2,q3+dq3)

© 2

009,

A

6

Deben ser funciones derivables

Para poder operar con ellas

Coordenadas cartesianas (x,y,z)C ( ,y, )

Las coordenadas cartesianas o rectangularesLas coordenadas cartesianas o rectangulares(x, y, z) asignan a cada punto del espacio las distancias (con signo) a tres planos ortogonales

x: Distancia al plano YZ

distancias (con signo) a tres planos ortogonales

ánde

z

x: sta c a al pla o

y: Distancia al plano XZ

nzál

ez F

erná

L t d d ti i

z: Distancia al plano XY

Ant

onio

Gon Las tres coordenadas tienen signo

y pueden variar entre −∞ y +∞

© 2

009,

A

7El vector de posición se escribe r = xi + yj + zk

Coordenadas cilíndricas (ρ,,z)(ρ,, )

Generalización a 3 dimensiones de las coordenadas Generalización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano

( d d di l) di i l ρ (coordenada radial): distancia al eje Z

ánde

z

φ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X

nzál

ez F

erná con el eje X

z (c. vertical): distancia al plano XY

Ant

onio

Gon

Rangos de variación ρ es siempre positiva. Si reducimosρ hasta atravesar el eje Z, a partir

0 0 2 X

Y

φφ+πρ

© 2

009,

A

8

ρ j , pde ahí ρ vuelve a aumentar, pero el valor de φ pasa a ser φ ± π

0 0 2π

z

XZ

φφ

ρ

Dos ejemplos de uso de coordenadas ilí d icilíndricas

CC:ρ

H:z

ánde

z

H:z

S:φ

nzál

ez F

erná

φ

Ant

onio

Gon

Grúa Disco duro

© 2

009,

A

9

Coordenadas esféricas (r,θ,φ)C ( , ,φ)

Otra generalización a 3 dimensiones de las Otra generalización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano

r (coordenada radial): distancia al

θ ( l ) á l l t d

r (coordenada radial): distancia al origen

ánde

z

( i t l) á l l

θ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Z

nzál

ez F

erná φ (c. acimutal): ángulo que la

proyección sobre el plano XY forma con el eje X

Ant

onio

Gon con el eje X

Rangos de variación θ varía desde 0 (en el polo norte) hasta π (en el polo sur). Al pasar 0 0 πr

Z

θθ = 0

© 2

009,

A

10

( p ) pdel polo sur θ vuelve a disminuir, pero φ pasa a ser φ ± π

0 0 π

0 2π

r θ = π

Ejemplos de uso de coordenadas fé iesféricas

ánde

z nz

ález

Fer

ná

: R + lt

Ant

onio

Gon

Coordenadasgeográficas

r : RT+ altura

θ : colatitudBrazo robótico

polar

© 2

009,

A

11

g g : longitud

p

Relación entre coordenadas esféricas, ilí d i t icilíndricas y cartesianas

De cilíndricas a De esféricas a

ánde

z

cartesianascos x

cilíndricassen r

nzál

ez F

erná

sen

y

z z cos

z r

Cada sistema se puede poner

Ant

onio

Gon

De esféricassen cos

x r

se puede poner en función de los otros

© 2

009,

A

12

De esféricasa cartesianas

sen sen

cos

y r

z r

Ejemplos de cambio de un sistema a t ( bl 1 1)otro (problema 1.1)

1 1 Exprese los siguientes campos escalares en 1.1 Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas Esféricas

ánde

z 2 2 2 2x y z 2 2 2z 2 2r

nzál

ez F

erná

2 2 22 2z x y 2 22 2z 2 23cos 1 2r

Ant

onio

Gon

cosz 2 2xz x y cotg cos 2 2 2z x y

© 2

009,

A

13

cotg tg z

z

2 2

z x y

z x y

Razones para elegir un sistema t t í i t íconcreto: geometría y simetría

Los sistemas de coordenadas son arbitrarios Se Los sistemas de coordenadas son arbitrarios. Se elige el más conveniente

U i i l d l lí fi i ría

Un criterio lo dan las líneas y superficies que definen el sistema físico (esferas, cilindros...)

omet

rán

dez

Conviene conocer las líneas y superficies coordenadas

Si t i ét i bi l h

Geo

nzál

ez F

erná Sistema simétrico: no cambia al hacer una

transformación

ría

Ant

onio

Gon Simetría traslacional:

invariante en un d l i t

Simetría rotacional: i i Si

met

© 2

009,

A

14

desplazamiento rectilíneo

invariante en una rotación

S

Líneas coordenadas: movimiento al i l d dvariar una sola coordenada

Sea un punto de coordenadas (q q q )Sea un punto de coordenadas (q10,q20,q30)

Si aumentamos el valor de q1 nos movemos sobre una curva r = r(q1)

También podemos reducir q1

ánde

z

También podemos reducir q1

Esta es la línea q1-coordenada

nzál

ez F

erná

Del mismo modo

Por cada punto pasan tres líneas.

Si las líneas son

Ant

onio

Gon Del mismo modo

podemos trazar las líneas y

Si las líneas son perpendiculares en cada punto el sistema es

© 2

009,

A

15

líneas q2- y q3-coordenada

punto el sistema es ortogonal

Líneas coordenadas en cartesianas, ilí d i fé icilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas

ánde

z nz

ález

Fer

ná

Líneas rectas paralelas a los

ρ: semirrectas

: circunferenciasr: semirrectas

θ idi

Ant

onio

Gon

pejes

: c cu e e c ashorizontales

z: rectas verticales : paralelos

θ: meridianos

© 2

009,

A

16

z: rectas verticales

Los tres sistemas son ortogonales

Superficies coordenadas: mantenemos t t d dconstante una coordenada

Si variamos una Si variamos una coordenadas y fijamos dos obtenemos líneas dos obtenemos líneas coordenadas

Si fij i

ánde

z

Si fijamos una y variamos dos resultan superficies

d d t

nzál

ez F

erná coordenadas qi = cte

Por cada punto pasan tres

Ant

onio

Gon

p psuperficies coordenadas

La intersección de dos superficies

© 2

009,

A

17

La intersección de dos superficies coordenadas es una línea coordenada

Superficies coordenadas en cartesianas, ilí d i fé icilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas

ánde

z nz

ález

Fer

ná

Planos paralelos a los

r: esferasconcéntricasρ: cilindros rectos

Ant

onio

Gon

pplanos coordenados

θ: conos

: semiplanos

ρ

: semiplanos verticales

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009,

A

18

: semiplanos verticales

verticales

z: planos

Conveniencia de definir una base t i l d tvectorial en cada punto

Para describir campos vectoriales es necesario dar Para describir campos vectoriales, es necesario dar un vector en cada punto del espacio.

Estos vectores pueden representarse mediante sus componentes en una determinada base.

ánde

z Una posibilidad es emplear siempre la misma base, i, j, k.

A( ) A(r )

nzál

ez F

erná

j

ik

A(r2)A(r1)

Otras veces conviene usar una base dependiente del sistema de

Ant

onio

Gon i

j

pcoordenadas empleado.

Esto puede simplificar las expresiones y

© 2

009,

A

19

p p p ylos cálculos

Construcción de una base ortonormal a ti d l lí d dpartir de las líneas coordenadas

Por cada punto pasan tres líneasPor cada punto pasan tres líneas

Podemos construir una base vectorial tomando los vectores tangentes a las líneas

ánde

z

k q

re Es tangente a la línea qi,

pero no es unitario

nzál

ez F

erná

1 r Tangente yr Factor de

kq pero no es unitario

Ant

onio

Gon 1

kk kh q

ru Tangente y

unitariokk

hq

r Factor de escala

© 2

009,

A

20La base depende de la posición 1 1P Qu u

Base ortonormal en cartesianas

L lí d d Z

zuz

Las líneas coordenadas son paralelas a los ejes

x

P

ux

uy

i j

k

uz

Los vectores de la base, ux, uy, uz, son también paralelos a los j

ánde

z Xy

i j

ux

uy

ejes

La base cartesiana es la misma

nzál

ez F

erná

Y

Esta base sí es El vector de posición es

que i,j,k

Ant

onio

Gon independiente de

la posición

El vector de posición es

x y zx y z r u u u

© 2

009,

A

21

Base ortonormal en cilíndricas: depende d l i ióde la posición

t di l uρ es un vector radial horizontal

uφ es tangente a una circunferencia horizontal

ánde

z uz es vertical

nzál

ez F

erná

DEPENDE DE LA POSICIÓN

Ant

onio

Gon POSICIÓN

El vector de posición

© 2

009,

A

22

El vector de posiciónse escribe zz r u u x yx y u u u

Base ortonormal en esféricas: depende d l i ióde la posición

ur es radial desde el origen

u es tangente a los uθ es tangente a los meridianos (va hacia “el sur”)

ánde

z

sur )

uφ es tangente a los

nzál

ez F

erná

φ

paralelos (hacia “el este”)

DEPENDE DE LA El vector de posición

Ant

onio

Gon DEPENDE DE LA

POSICIÓN

El vector de posiciónse escribe

rrr u

© 2

009,

A

23

r

Las tres bases son ortonormales

Ortonormal: ortogonal y unitarioO to o al: o togo al y u ta o

1·

0i k

i k

i k

u u1 2 1 3 2 3· · 0 u u u u u u

0i k i k

De la ortonormalidad se deduce que

1 1 2 2 3 3· · · 1 u u u u u u

ánde

z

De la ortonormalidad se deduce que1 1 2 2 3 3· A B A B A B A B

Si b dif t h lti li l

nzál

ez F

erná Si se usan bases diferentes hay que multiplicar los

vectores de las dos bases: p.ej. si A=2ux+3uy, B = uρ−uφ, entonces A·B = 2u ·u +3u ·u − 2u ·u − 3u ·u

Ant

onio

Gon

La componente Ak puede 1 1·A A u

entonces A B = 2ux uρ+3uy uρ 2ux uφ 3uy uφ

© 2

009,

A

24

La componente Ak puede hallarse como Ak = A·uk

1 1

1cos , A u A

Las tres bases vectoriales son d t ó idextrógiras

Dextrógira: que verifica la regla de la mano derechaDextrógira: que verifica la regla de la mano derecha

x y z y x z

y z x z y x

u u u u u u

u u u u u uIgual para las otras

ánde

z z x y x z y u u u u u u dos bases

nzál

ez F

erná

El orden es importante

C t i ( )

Ant

onio

Gon

Cilíndricas: (ρ, φ, z)

Cartesianas: (x, y, z)

© 2

009,

A

25Esféricas: (r, θ, φ)

Relaciones entre las bases: Los 9 t d i d di tvectores no pueden ser independientes

De cilíndricas a cartesianasDe cilíndricas a cartesianas

cos senx y u u u

z zu u

sen cosx y u u u

ánde

z

De esféricas a cilíndricas

nzál

ez F

erná De esféricas a cilíndricas

sen cosr z u u u

Ant

onio

Gon cos sen z u u u

u u

© 2

009,

A

26

Tabla de relaciones entre las bases

cos sen sen cos cos cos sen

sen cos sen sen cos sen cosx r

y r

u u u u u u

u u u u u u

cos senz z r u u u u

ánde

z

cos sen sen cos

sen cosx y r

x y

u u u u u

u u u u

nzál

ez F

erná cos senz z r u u u u

Ant

onio

Gonsen cos sen sen cos sen cos

cos cos cos sen sen cos senx y z z r

x y z z

u u u u u u

u u u u u u

© 2

009,

A

27

sen cosx y u u u u

Problemas de relaciones entre las bases t i lvectoriales

1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en 1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

Ay x

B u uA r

2 22 z z C u u

2 2 2 2x y

y

x y x y

B u u

tgr D u

ánde

z

z C u u tg u

Solución

nzál

ez F

erná

1.3 Dados los vectores A = uρ – uz, B = 5ur + 12uθ, evaluados en el punto de coordenadas

Ant

onio

Gon

θ, pcartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule:(a) A + B, (b) A·B, (c) A×B.

© 2

009,

A

28

( ) , ( ) , ( )

Solución

Diferenciales de camino en coordenadas ilícurvilíneas

Un diferencial de camino es un desplazamiento Un diferencial de camino es un desplazamiento infinitesimal entre dos puntos vecinos r y r + dr

El d d El vector dr puede expresarse en la b l l i d

ánde

z

base local asociada al punto r

nzál

ez F

erná

1 1 2 2 3 3 1 2 3d d , d , d , ,q q q q q q q q q r r r1 2 31 2 3

d d d dq q qq q q

r r rr 1 1 2 2 3 3d d d dq q q r e e eDiferencial de caminod d d dh h h

Ant

onio

Gon

1 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3d d d dh q h q h q r u u u

© 2

009,

A

29

hk: factor de escala uk: vector de la base

Factores de escala y diferenciales en los t i t i i ltres sistemas principales

Miden la proporción entre Miden la proporción entre lo que varía qi y lo que varía dr

d d

dh

r

r dφρdφ

1 ρvaría dr.P.ej. si solo varía φ

dh

ánde

z Para los tres sistemas principales

nzál

ez F

erná

Car.

Cil

d d d dx y zx y z r u u u

d d d d

1 1 1x y zh h h

1 1h h h

Ant

onio

Gon

Esf

Cil.

d d d sen dr r r r u u u

d d d d zz r u u u1 1zh h h

1 senh h r h r

© 2

009,

A

30

Esf. d d d sen drr r r r u u u1 senrh h r h r

Diferenciales de superficie coordenada d d ilíen coordenadas curvilíneas

Por definición, dS = dS ndS Por definición, dS dS n

|dS| = dS: área del elementodS

dSn

Dirección y sentido de la normal(exterior si S es cerrada)

S

ánde

z Podemos construir dS a partir de dos diferenciales de camino tangentes a la superficie

nzál

ez F

erná de camino tangentes a la superficie

3 1 2d d d S r r Diferencial de superficie q2dSq3=cte

Ant

onio

Gon

3 1 2 1 2 1 2d d dh h q q S u u1 1 1 1d dh qr u

ppara q3= cte

d d dh hSdr2 q

q2dS3

© 2

009,

A

31

2 2 2 2d dh qr u 3 1 2 1 2 3d d dh h q qS udr1

q1

Diferenciales de superficie en los tres i t i i lsistemas principales

Cartesianas Cilíndricas EsféricasCartesianas Cilíndricas Esféricas

ánde

z nz

ález

Fer

ná

d d dz S ud d dx xy zS u 2 send d dr rr S u

Ant

onio

Gon

d d dy yx zS u d d dz S u

x xy r r

d sen d dr r S u

© 2

009,

A

32

d d dz zx yS u d d dz z S u d d dr r S u

Diferenciales de volumen en d d ilícoordenadas curvilíneas

Puede construirse un diferencial de dτ Puede construirse un diferencial de volumen, dτ, extendiendo un diferencial de superficie en la

dτ

dr3 dS diferencial de superficie en la tercera dimensión

dr3 dS3

ánde

z 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3d d ·d d d ·h h q q h dq S r u uDiferencialde volumen 3 3 1 2 3 1 2 3d d ·d d d dh h h q q q S r

nzál

ez F

erná de volumen

J = h1h2h3 es el jacobiano de la transformación

Ant

onio

Gon

Cartesianas Cilíndricas Esféricasd d d dx y z d d d dz 2d sen d d dr r

© 2

009,

A

33

d d d dx y z d d d dz d sen d d dr r

Sevilla septiembre de 2009

ánde

z

Sevilla, septiembre de 2009

nzál

ez F

erná

Ant

onio

Gon

© 2

009,

A

34