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informe de telecomunicaciones , problemas de fourier con matlab
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TELECOMUNICACIONES I
GUIA N°1:
1. Desarrollar en matlab los siguientes ejemplos y anotar sus resultados:1.1. Funciones matemáticas:
1.2. Números complejos:
1.3. Construcción de arrays:
TEMA 1: DESARROLLO DE LA SERIE DE FOURIER
I. OBJETIVO:
Haciendo uso de MATLAB, verificar la serie trigonométrica y exponencial de Fourier y desarrollar los ejercicios propuestos en el cuestionario:
II. PROCEDIMIENTO:
1. Desarrolle la serie trigonométrica de Fourier de la función:
f ( t )={ A ,en∧0≤ t ≤ π−A ,en∧π ≤ t ≤2π
Grafique la serie de Fourier f(t), en MATLAB:
SOLUCION
La función f(t) es una función impar cuya serie trigonométrica de Fourier es:
f (t )=( 4 Aπ ) [sinωt+( 13 )sin 3ωt+( 15 )sin 5ωt+…]Programando para mostrar la gráfica de la serie de Fourier:
Fs=1000;
t=(1:100)/Fs;
w=2*pi*10;
f=(8/pi)*(sin(w*t)+(1/3)
*sin(3*w*t)+(1/5)*sin(5*w*t)+(1/7)
*sin(7*w*t)+(1/9)*sin(9*w*t));
plot(t,f)
grid
2. Desarrolle la siguiente serie trigonométrica de Fourier, para:
f (t )={ A , para∧−π /2≤ t ≤π /2−A , para∧π /2≤ t ≤3π /2
SOLUCION:
Dado que f(t) = función par cuya serie trigonométrica de Fourier esta dada por:
f (t )=( 4 Aπ ) [cosωt−(13 )cos3ωt+( 15 )cos5ωt−( 17 )cos7ωt+(1/9)cos (9ωt)]Cuyo programa en matlab es:
Fs=1000;
t=(1:100)/Fs;
w=2*pi*10;
f=(8/pi)*(cos(w*t)-(1/3)*cos(3*w*t)+(1/5)*cos(5*w*t)-(1/7)*cos(7*w*t)+(1/9)*cos(9*w*t)-(1/11)*cos(11*w*t)-(1/13)*cos(13*w*t));
plot(t,f)
grid
3. De acuerdo al problema 2, la expresión general de la serie trigonométrica de Fourier para función f(t) par, esta dado por:
f (t )=( 4 Aπ )∑ ( 1n )sin( nπ2 )cos nωtDesarrolle mediante la instrucción de control de flujo FOR del Matlab:
SOLUCION:
Fs=100;
t=(-100:100)/Fs;
w=2*pi;
A=2;
f=0;
for n=1:1000;
f=f+(4*A/(n*pi))*(sin(n*0.5*pi))*cos(n*w*t);
end;
plot(t,f)
xlabel('t(seg)')
ylabel('AMPLITUD')
title('FUNCION PAR ONDA CUADRADA')
grid
CUESTIONARIO FINAL TEMA 1
1. Dada la expresión de la serie de Fourier trigonométrica, desarrolle la gráfica de f(t). Usando el criterio del problema 3.
Dada la serie:
f (t )=A2
−∑ ( 1n )sin (nω0 t ) . si f (t )=At en (0,1 ) .
Paraunamejor visualización de la gráfica trabajaremos de−1a1
Fs=100;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=1;f=0;for n=1:1000;f=0.5-(f+(sin(n*w*pi)));end;plot(t,f)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t(seg)
AM
PLI
TU
D
FUNCION ONDA DIENTE DE SIERRA
2. Desarrolle la exponencial de Fourier, si f (t )=A sin (πt ) en el intervalo (0,1). Grafique la S.E.F.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(seg)
AM
PLI
TU
D
FUNCION PAR SENO
3. Programe en matlab la siguiente serie trigonométrica.
f(t)=∑ 4 A(nπ )²
cos(nWt) ; n=impar d ela onda triangular.
fs=100;t=(-100:100)/fs;w=2*pi;A=2;f=0;for n=0:1000;f=f+((2*(n+1)*pi)^2)\(4*A)*cos(n*w*t);end;plot(t,f)xlabel('t(seg)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION TRIGONOMETRICA IMPAR')grid
4. Grafique la serie exponencial de FOURIER DE LA FUNCION f(t)=Ae−2 t en t=[0,1].
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-2
0
2
4
6
8
t(seg)
AM
PLI
TU
D
FUNCION EXPONENCIAL
TEMA 2: DESARROLLO DE LA TRASFORMADA RAPIDA DE FOURIER
I. OBJETIVO:
Haciendo uso de MATLAB, desarrollar la transformada de funciones no periódicas y la transformada rápida de Fourier FFT de señales muestreadas y mostrar las graficas correspondientes en el dominio del tiempo y la frecuencia.
II. PROCEDIMIENTO:
1. Desarrolle la transformada de Fourier usando Matlab cuya expresión es:
N=128;
t=linspace(0,3,N);
f=2*exp(-20*t);
figure(1)
plot(t,f)
xlabel('Time,seg'),ylabel('f(t)'),grid
axis([0 0.3 0 2]);
Ts=(2)-t(1);
Ws=2*pi/Ts;
F=fft(f);
Fp=F(1:N/2+1)*Ts;
W=Ws*(0:N/2)/N;
figure(2)
plot(W,abs(Fp),'+')
xlabel('frequency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')
2. Desarrolle la gráfica de la transformada de Fourier desarrollada:
N=128;
t=linspace(0,3,N);
Ts=t(2)-t(1);
Ws=2*pi/Ts;
W=Ws*(0:N/2)/N;
Fa=2./(20+j*W);
figure(3)
plot(W,abs(Fa))
xlabel('frequency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')
3. Desarrolle la transformada rápida de Fourier de una señal muestreada
X (k)=∑ X (n ) e− j( 2π4 )nk Donde k=0,1,2,3 ,…
Cuyo desarrollo está dado por el siguiente programa:
m=[0,1,2,3,4,5];
Xn=[1,2,3,4,5,6];
Xk=fft(Xn);
Xmag=abs(Xk);
Xphase=angle(Xk);
figure(1)
plot(m,Xmag),axis([0 5 0 23]);
figure(2)
Stem(m,Xmag)
figure(3)
Stem(m,Xphase)
4. Para la suma de dos señales senoidales contaminado con ruido desarrolle la gráfica en el dominio del tiempo y su respectiva grafica de Fourier.
t=0:0.001:0.6;
x=sin(2*pi*50*t)-sin(2*pi*120*t);
y=x+2*randn(size(t));
figure(4)
plot(y(1:50))
Y=fft(y,512);
Pyy=Y.*conj(Y)/512;
f=1000*(0:255)/512;
figure(5)
plot(f,Pyy(1:256))
5. Desarrolle la transformada de Fourier de la suma de tres señales senoidales:
Fs=100;
t=(1:100)/Fs;
s1=5*sin(2*pi*t*5);s2=10*sin(2*pi*t*15);s3=7*sin(2*pi*t*30)
s=s1+s2+s3;
figure(1)
plot(t,s);
S=fft(s,512);
w=(0:255)/256*(Fs/2);
figure(2)
plot(w,abs([S(1:256)]));
6. Desarrolle la gráfica de la transformada de la función de muestreo Sa(x):
fplot('6*sin(x)./x',[-30 30 -.2 6])
title('fplot of f(x)=5.sin(x)/x')
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
III. CUESTIONARIO FINAL TEMA 2
1. Desarrolle la transformada rápida de Fourier de la función Sa(t).
2. Si F(t )=(e jωt+e− jωt )/2. Determine su transformada rápida de Fourier.
t=-0.25:0.001:0.25;
w=2*pi;
f=(exp(j*w*t)+exp(-j*w*t))/2;
figure(1)
plot(t,f)
N=128;
axis([0 0.2 0 2]);
Ts=t(2)-t(1);
Ws=2*pi/Ts;
F=fft(f);
Fp=F(1:N/2+1)*Ts;
W=Ws*(0:N/2)/N;
>> figure(2)
>> plot(W,abs(Fp),'+')
>> xlabel('Frequency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')
3. Dado F(t )=A sinωt . Desarrolle su transformada rápida de Fourier.
a) Funcióndirecta
>> N=128;
>> A=2;
>> w=2*pi;
>> f=A*sin(w*t);
>> figure(1)
>> plot(t,f)
>> xlabel('Time,seg'),ylabel('f(t)'),grid
b) Transformada de fourier
>> t=-0.25:0.001:0.25;
>> A=2;
w=2*pi;
f=A*sin(w*t);
subplot(2,1,1);
plot(t,f);
F=fft(f);
Fp=F(1:N/2+1)*Ts;
W=Ws*(0:N/2)/N;
figure(3)
plot(W,abs(Fp),'+')
xlabel('Frecueny,rad/s'),ylabel('|F(W)|')
4. Desarrolle la transformada de Fourier de la señal muestreada m=[0,1,2,3] y Xm=[2,3,4,5].
m=[0,1,2,3];
Xm=[2,3,4,5];
Xk=fft(Xm);
Xmag=abs(Xk);
Xphase=angle(Xk);
figure(1)
plot(m,Xmag),axis([0 5 0 25]);
figure(2)
stem(m,Xmag)
figure(3)
stem(m,Xphase)
Conclusiones:
En esta experiencia hemos podido hacer uso de la transformada rápida de Fourier a través del software Matlab.
Hemos analizado la transformada trigonométrica y exponencial de Fourier y así mismo lograr su gráfica a través de Matlab.
Hemos sincronizada las diferentes funciones a través del tiempo, teniendo en cuenta señales periódicas que se generan a través del Matlab.
Para poder expresar la serie trigonométrica y exponencial de Fourier realizamos un análisis teórico para obtener la forma expresada matemáticamente y luego digitarla en matlab.
