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Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D
– Contínua & discreta
Principais propriedades
Motivação
Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor e sons
Sinais são representados por funções que se carac-terizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos)
Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência
O que é freqüência de uma função ?
Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas
A = amplitude da função (valores max e min assumidos)
= indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]
f ( t )=A cos (2 πωt ) , A>0
O que diz Fourier sobre a equação do slide anterior?
qualquer função periódica pode ser expressa como soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente.
Mesmo funções não periódicas, mas cuja área sob a curva é finita, podem ser expressas como integral de senos e /ou cossenos multiplicados por uma função peso. A formulação neste caso é a transformada de Fourier.
Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Teoria publicada em 1822
Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier)
Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)
Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação
Série de Fourier – Calculando coeficientes
< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x)
f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...
Tomando as médias de cada termo da equação:)
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
f(x) = 1 (de 0 a )f(x) = 0 (de a 2)
a0 = 1/2
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π
a2 = 0
a0 = 1/2;an = 0 - para todo n PAR;an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.
a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π
Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ...
Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos
Quiz: O que é o termo constante?O que é o primeiro termos da equação?E os demais termos? Como são chamados??
Série de Fourier
1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua.
2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental
As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal
Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico
T=2 π
Definições matemáticas importantes
Número complexo
Conjugado complexo
Módulo
Fase
Fórmula de Euler
C ¿=R− jI
C=R+ jI
|C|=√ R2+ I 2
φ=arctan ( IR )
e− j θ=cos (θ)− j sin( θ)
Definições matemáticas importantes• IMPULSOS E A PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO (SHIFT) O conceito de impulso e sua propriedade de deslocamento, é central ao
estudo de sistemas lineares e transformada de Fourier. • Um impulso unitário de uma variável contínua t localizada em t=0,
denotado (t), é definido como
e deve satisfazer também a identidade
Fisicamente, se t é considerado tempo, um impulso pode ser visto como um pico de amplitude infinita e duração zero, tendo área unitária.
• Um impulso tem a propriedade de deslocamento com respeito a integração
δ ( t )={∞ se t=00 se t≠0
∫−∞
∞
δ ( t )dt=1
∫−∞
∞
f ( t )δ ( t )dt= f ( 0)
Propriedade Sift mais geral diz que o impulso pode estar localizado em um ponto arbitrário
Definições matemáticas importantes
∫−∞
∞f ( t )δ ( t−t0 )dt=∫−∞
∞f ( t +t0 )δ ( t )dt= f ( t0 )
A Aδ ( x−x0 )
x0
t 0
que resulta no valor da função na posição do impulso. Por exemplo, se f(t) = cos(t) , usando o impulso (t-) resulta em f() = cos()= -1.
Esta discussão vale para variáveis discretas...
Definições matemáticas importantes
• Seja x uma variável discreta. O impulso unitário discreto (x) funciona da mesma forma que em variáveis contínuas, e é definido como
E a definição satisfaz o equivalente discreto da eq. contínua:
δ ( x )={1 x=00 x≠0
∑x=−∞
∞
δ ( x )=1
• A propriedade de deslocamento para variáveis discretas tem a forma
ou mais genericamente, usando o impulso discreto em x = x0,
• A Fig. mostra o impulso discreto unitário diagramaticamente.
∑x=−∞
∞
f ( x )δ ( x−x0 )=f ( x0 )
∑x=−∞
∞
f ( x )δ ( x )=f (0 )
• A TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNÇÕES CONTÍNUAS DE UMA VARIÁVEL
A transformada de Fourier de uma função contínua f(t) , é definida pela equação
onde é também uma variável contínua. Dada F(), podemos obter f(t) usando a transformada inversa de
Fourier
Usando a fórmula de Euler podemos expressar
F (μ )=∫−∞
∞
f ( t ) [cos (2 πμ t )− jsin (2 πμ t )] dt
F (μ )=ℑ {f ( t )}=∫−∞
∞f ( t )e− j 2π μ t dt
f ( t )=ℑ−1 {F ( μ )}=∫−∞
∞F (μ )e j2 π μ t dμ
EXEMPLO 4.1 Transformada de Fourier da função da Fig.4.4a
onde a identidade foi usada
E o resultado é uma função sinc:
sin θ=( e jθ−e− jθ
)/2 j
F (μ )=∫−∞
∞f ( t )e− j 2 π μ t dt= ∫
−W /2
W / 2
A e− j2 π μ t dt
¿=−Aj 2 πμ
[e− j 2 πμ t ]−W /2
W /2=
−Aj2 πμ
[e− jπμ W −e j πμ W ]
¿=Aj 2 πμ
[e jπμW −e− j πμ W ]
¿=AWsin( πμ W )
( πμW )
sinc( m)=sin( π m)
( π m)
Vimos que
onde sinc(0) = 1 e sinc(m) =0 para todos os valores inteiros de m, coforme podemos observar na Fig.4.4b.
• Em geral a transformada de Fourier tem termos complexos, e é costume trabalhar com a magnitude da transformação (um valor real), que é chamada de espectro de Fourier ou espectro de frequência:
conforme Fig.4.4c.
É importante observar que: a) as posições de zeros em ambas as figuras são inversamente
proporcionais a largura W, da função. b) a altura dos picos decrescem com a distância da origem. c) a função estende a infinito positivo e negativo.
sinc( m)=sin( π m)
( π m)
|F ( μ)|=AT |sin (πμ W )
(πμ W )|
Convolução
Uma das propriedades mais importante da FT
h(t) H( f ) e g(t) G( f )
(h*g)(t) H( f )G( f )
h(t)g(t) (H * G)( f )
Amplitude e Fase
O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)
Ou através da fase e amplitude do spectro
Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:
– seja z um número complexo definido como: z = x + yi
� z = |z| = x2 + y2
– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2
Fase é dada por:
Im[ ( )]( ) arctan
Re[ ( )]
E tt
E t
Transformada de Fourier 2D
O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:
F (u , v )=∫−∞
∞
∫−∞
∞
f ( x , y )exp [− j 2 π (ux+vy ) ]dxdy
f ( x , y )=∫−∞
∞
∫−∞
∞
F( u , v )exp [ j 2 π (ux+vy ) ]dudv
onde u, v são os valores de freqüência
Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:
{f ( t0 ) , f ( t0+ ΔT ) , f ( t0+2 ΔT ) ,… , f ( t0+[ N−1 ] ΔT )}
Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então
A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente
Transformada Discreta de Fourier
f ( t )= f ( t 0+[ N−1 ] ΔT )
O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:
Transformada Discreta de Fourier
F (u)=1N
∑t=0
N−1
f ( t )exp [− j 2 π ut / N ] , para u=0,1,2,…,N-1
f ( t )=∑u=0
N −1
f (u )exp[ j 2 π ut / N ] , para t=0,1,2,…,N-1
Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t
Repetimos para todos os N valores de u
Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)
Transformada Discreta de Fourier
F (u)=∑t=0
N−1
f ( t )exp [− j 2 π ut / N ] , para u=0,1,2,…,N-1
• EXEMPLO A Fig.4.11a mostra quatro amostras de uma função contínua, f(t),
tomada em intervalos de T. A Fig.4.11b mostra os valores amostrados no domínio x.
Nota-se que os valores de x são 0, 1, 2 e 3, indicando que poderiam referenciar quaisquer 4 amostras de f(t).
Usando a eq.4.4-6
O próximo valor de F(u) é
F (0 )=∑x=0
3
f ( x )=[ f (0 )+ f (1)+ f (2 )+ f (3 )]
¿=1+2+4+4=11
F (u)=∑x=0
M−1
f ( x )e− j2 π ux /M u=0,1,2, .. . , M −1
F (1 )=∑x=0
3
f ( x )e− j2 π (1)x / 4
¿=1 e0+2e− jπ /2+4e− jπ+4e− j3 π /2=−3+2 j
Similarmente
e
Todos os valores de amostras f(x) são usados para computar cada valor de F(u). Se fosse dado F(u) e o problema é de computar a inversa
o que está de acordo com a Fig.4.11b.
F (3)=−(3+2 j )
f (0 )=14∑u=0
3
F (u)e j2 πu (0)
¿=14∑u=0
3
F (u )
¿=14
[11−3+2 j−1−3−2 j ]
¿=14
[ 4 ]=1
F (2)=−(1+0 j)
No caso de duas variáveis, o par DFT é:
F (u , v )=1MN
∑x=0
M −1
∑y=0
N−1
f ( x , y )exp [− j 2 π (ux /M +vy / N ) ]
f ( x , y )= ∑x=0
M−1
∑y=0
N −1
F (u , v )exp[ j 2 π (ux / M +vy / N ) ]
onde u, v são os valores de freqüência
Transformada Discreta de Fourier
A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente
Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função
para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1
Transformada Discreta de Fourier
f ( x0+ xΔx , y0+ yΔy )
Δu=1
MΔx, Δv=
1NΔy
Algoritmo 2D de 1D
FFT 1D para cada linha
Matriz A Separar em linhas
Compor linhas em
matriz
Separar em colunas Matriz
FFT 1D para cada coluna
FFT 2D de A
Combinando Amplitude e Fase
As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.
f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]
Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]
Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.
Pictures reconstructedusing the Fourier phase
of another picture
The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.
Rick Linda
Mag{Linda}Phase{Rick}
Mag{Rick} Phase{Linda}
Combinando Amplitude e Fase