TecnicaMO 20102010

Dispense del corso di Tecnica delle Costruzioni – Ing. Loris Vincenzi 27/10/2010

INDICE 1/139

INDICE

INDICE 1

1 LA SICUREZZA DELLE STRUTTURE 5

1.1 INTRODUZIONE 5 1.1.1 Definizione di struttura sicura o affidabile 5

1.2 METODI PROBABILISTICI 7 1.2.1 Metodi di livello 3 8 1.2.2 Metodi di livello 2 10 1.2.3 Verifica semi-probabilistica di primo livello. 12

1.3 VERIFICA SEMI-PROBABILISTICA AGLI STATI LIMITE 13 1.3.1 Azioni 14 1.3.2 Materiali 16

1.4 METODI DETERMINISTICI: IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI 17 1.4.1 Metodo delle tensioni ammissibili 17

2 METODO DELL’EQUILIBRIO O METODO DEGLI SPOSTAMENTI 19

2.1 INTRODUZIONE 19 2.2 DEFINIZIONE DI RIGIDEZZA 19 2.3 LA RIPARTIZIONE DELLE AZIONI PROPORZIONALMENTE ALLE RIGIDEZZE 21

2.3.1 Esempio 1: trave su tre appoggi con coppia concentrata 23 2.4 METODO DEI VINCOLI AUSILIARI 25

2.4.1 Esempio 2: trave su tre appoggi e carico uniformemente distribuito 28 2.4.2 Esempio 3: trave incastro-appoggio e carico uniformemente distribuito 32

2.5 RISOLUZIONE DI STRUTTURE CON DUE O PIÙ NODI LIBERI DI RUOTARE 38 2.6 ESPRESSIONI GENERALI DEL METODO DELL’EQUILIBRIO O DEGLI SPOSTAMENTI 40 2.7 APPLICAZIONE A TELAI CON I NODI CHE RUOTANO MA NON TRASLANO: IL METODO DI CROSS 42 2.8 STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE SIMMETRICAMENTE E STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE

ANTIMETRICAMENTE 42 2.9 APPLICAZIONE A TELAI CON I NODI CHE TRASLANO MA NON RUOTANO 43 2.10 STRUTTURE CON NODI CHE RUOTANO E TRASLANO 45 2.11 CONFRONTO TRA IL METODO DELL’EQUILIBRIO E IL METODO DELLA CONGRUENZA 45

3 I MATERIALI: CALCESTRUZZO E ACCIAIO 47

3.1 INTRODUZIONE 47 3.2 IL CALCESTRUZZO 48 3.3 ACCIAIO PER CEMENTO ARMATO 51 3.4 LEGAMI COSTITUTIVI DI CALCOLO 51


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4 VERIFICHE PER ELEMENTI INFLESSI E IN C.A. CON IN METODO DEGLI SLU 55

4.1 IPOTESI DI CALCOLO 55 4.2 CAMPI DI ROTTURA PER SEZIONI INFLESSE 55

4.2.1 Crisi in campo 3 con armatura compressa snervata 57 4.2.2 Crisi in campo 3 con armatura compressa non snervata 61 4.2.3 Crisi in campo 4 62

4.3 IL PROGETTO E LA VERIFICA DI SEZIONI INFLESSE 63 4.3.1 Il problema di verifica 63 4.3.2 Il problema di semi progetto 64 4.3.3 Il problema di progetto 64

5 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE CON IN METODO DEGLI SLU 67

5.1 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE RETTA 67 5.2 COSTRUZIONE EL DOMINIO M-N PER UNA SEZIONE CON ARMATURA SIMMETRICA 70

5.2.1 Punto “A”: pura trazione 70 5.2.2 Punto “E”: pura compressione 71 5.2.3 Punto “C”: deformazione dell’acciaio As pari a quella di snervamento 72 5.2.4 Punto “B”: deformazione dell’acciaio As maggiore di quella di snervamento 73 5.2.5 Punto “D”: deformazione dell’acciaio As minore di quella di snervamento 74 5.2.6 Verifica con il dominio M-N e fattori di sicurezza 74 5.2.7 Osservazioni 76

5.3 COSTRUZIONE EL DOMINIO M-N PER UNA SEZIONE CON ARMATURA NON SIMMETRICA 78 5.4 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DEVIATA 79

6 VERIFICHE A TAGLIO CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE ULTIMI 83

6.1 INTRODUZIONE 83 6.2 TRAVE SENZA ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO 86 6.3 TRAVE CON ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO 90

6.3.1 Molteplicità del traliccio 91 6.3.2 Forza di Scorrimento 92 6.3.3 Equilibrio del traliccio soggetto allo sforzo di scorrimento 94 6.3.4 Il problema di Verifica e di Semi-progetto nei confronti dell’azione tagliante 99 6.3.5 Traslazione del momento flettente 100

7 LA PROGETTAZIONE E LA VERIFICA DI TRAVI E PILASTRI IN C.A. 103

7.1 INTRODUZIONE 103 7.2 ESERCIZIO 1: PROGETTO E VERIFICA DI UNA TRAVE IN ALTEZZA 104

7.2.1 Analisi dei carichi 105 7.2.2 Calcolo del carico di progetto 105 7.2.3 Calcolo delle sollecitazioni 106 7.2.4 Dimensionamento della trave in altezza 107 7.2.5 Progetto delle armature per flessione a momento negativo 108 7.2.6 Verifica a momento negativo. 111 7.2.7 Progetto delle armature per flessione a momento positivo 112 7.2.8 Verifica a momento positivo. 114 7.2.9 Verifica a taglio 116


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7.3 ESERCIZIO 2: PROGETTO E VERIFICA DI UNA TRAVE IN SPESSORE 119 7.3.1 Dimensionamento della trave in spessore 119 7.3.2 Progetto armature per flessione a momento negativo 120 7.3.3 Verifica a momento negativo. 122 7.3.4 Progetto armature per flessione a momento positivo 122 7.3.5 Verifica a momento positivo. 123 7.3.6 Verifica a taglio 124

7.4 ESERCIZIO 3: PROGETTO E VERIFICA DI UN TRAVETTO DI SOLAIO IN LATEROCEMENTO 126 7.4.1 Analisi dei carichi sul solaio 128 7.4.2 Azioni di calcolo agenti su ogni singola travetto 128 7.4.3 Calcolo delle sollecitazioni 129 7.4.4 Calcolo delle armature 130 7.4.5 Verifica a flessione – travetti di solaio 132 7.4.6 Verifica a Taglio – travetti di solaio 133

7.5 ESERCIZIO 4: VERIFICA DI UN PILASTRO PRESSO-INFLESSO 134 7.5.1 Calcolo delle sollecitazioni 135 7.5.2 Verifica a presso-flessione 136


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LA SICUREZZA DELLE STRUTTURE 5/139

1 LA SICUREZZA DELLE STRUTTURE

1.1 INTRODUZIONE

Il fine ultimo della progettazione strutturale è quello di garantire che l’opera assolva alla funzione per cui è stata progettata, mantenendo un prefissato livello di sicurezza. Nella tradizione viene dato alla sicurezza strutturale il significato di assenza di crolli e dissesti della struttura, ma oggi si considerano strutture sicure le strutture che assolvono il compito per cui sono state concepite sia nei riguardi della resistenza sia nei riguardi della funzionalità. Parlare di sicurezza assoluta delle strutture non è ragionevole poiché essa dipende da numerosi fattori. Infatti, la sicurezza può essere compromessa da:

- errori di previsioni riguardanti le sollecitazioni, valutando in difetto l’intensità delle azioni esterne;

- stime in eccesso della resistenza dei materiali e degli elementi strutturali; - errori nel calcolo delle azioni basato su uno schema strutturale semplificato che si

discosta dalla struttura reale; - inadeguatezza dei criteri di resistenza per le verifiche relative agli stati

pluriassiali; - errori di esecuzione; - difficoltà nella valutazione del degrado della resistenza nel tempo per carichi di

lunga durata (viscosità) o per carichi ciclici (fatica). In particolare le grandezze Resistenza e Sollecitazione (nel seguito R e S) sono

variabili che non possono essere considerate deterministiche; si pensi ad esempio alle azioni della neve, la cui intensità può essere determinata solo in modo probabilistico. Analogamente anche la resistenza di un elemento strutturale non può essere considerata deterministica in quanto può variare da punto a punto (variabilità spaziale) o nel tempo (variabilità temporale). Occorre quindi mettere in conto il carattere aleatorio delle grandezze Resistenza e Sollecitazione. In tal senso, i metodi di verifica si distinguono in metodi probabilistici e metodi deterministici (si veda il paragrafo 1.2 e 1.3, rispettivamente).

1.1.1 Definizione di struttura sicura o affidabile

Una struttura si dice affidabile se presenta misure positive di sicurezza per ogni suo Stato Limite (SL) durante l’intera vita utile di riferimento Vr (o vita utile di progetto).



Uno stato limite è una situazione al di là della quale la struttura o una sua parte cessa di adempiere alla funzione per la quale è stata progettata. Gli stati limite si dividono in due categorie: - stati limite ultimi (SLU) corrispondenti al valore estremo della capacità portante; - stati limite di esercizio (SLE) corrispondenti alla perdita di funzionalità della struttura.

Il raggiungimento di uno stato limite può essere provocato dall’intervento di vari fattori di carattere aleatorio derivanti da incertezze che possono riguardare: la resistenza dei materiali impiegati, l’intensità delle azioni, la geometria della struttura, etc. Degli stati limite ultimi e di esercizio se ne discuterà più approfonditamente nel paragrafo 1.3.

La definizione di struttura affidabile necessita anche la definizione di Vita Utile della struttura. La Vita Utile di progetto è il periodo durante il quale si assume che la struttura venga utilizzata per i suoi scopi previsti, con manutenzione regolare e programmata ma senza che risultino necessari sostanziali interventi di riparazione.

La normativa prevede che la Vita Utile possa essere calcolata dal prodotto tra la vita nominale Vn e il coefficiente d’uso Cu, determinato in base alla classe di utilizzo della struttura:

uNR CVV ( 1.1)

Nelle Tabelle 1.1, 1.2 vengono riportati i valori di vita nominale Vn e i valori del coefficiente d’uso presenti nella normativa Italiana (NTC 2008).

Categoria Vn

1 Strutture provvisorie 10 anni

2 Opere Ordinarie (edifici etc.) 50 anni

3 Opere straordinarie (ponti, edifici monumentali etc. )

100 anni

Tabella 1.1. Categorie di edifici e relativo valore della vita utile di riferimento

Classe di Utilizzo Cu

I Occasionali, Costruzioni agricole 0.7

II Normale Affollamento 1

III Affollamento Signigficativo o pericolose per l’ambiente

1.5

IV Strategiche, importanza critica (ponti importanti, dighe, centrali elettriche)

2

Tabella 1.2. Categorie di edifici e relativo valore della vita utile di riferimento



1.2 METODI PROBABILISTICI

L’obbiettivo delle verifiche di sicurezza è di mantenere la probabilità di raggiungimento dello stato limite considerato entro un valore prefissato.

Ogni costruzione presenta molteplici aspetti di comportamento, ciascuno dei quali corrisponde ad uno stato limite. Misurare in termini probabilistici la sicurezza nei confronti dell’i-esimo SL significa calcolare la probabilità P di accadimento di questo SL e confrontarlo con valori probabilità P* prefissati sulla base di considerazioni di vario genere (etiche, sociali, economiche, …). Se risulta che:

P < P* ( 1.2)

la misura di sicurezza (1.2) viene ritenuta positiva per tale SL e la struttura può quindi essere definita affidabile per tale SL. La normativa ritiene opportuno che la probabilità P* per uno SLU debba essere dell’ordine di 10-5 ÷10-6, mentre la probabilità che venga superato uno SLE sia dell’ordine di 10-2 ÷10-3 (10-6 significa avere una probabilità di uno su un milione che l’elemento vada in crisi per superamento dello stato limite). La probabilità dovuta al raggiungimento di uno SLU è ovviamente minore in quanto la pericolosità legata alla perdita di capacità portante della struttura è maggiore rispetto alla perdita di funzionalità (superamento di uno SLE).

Per quanto riguarda i metodi probabilistici, le verifiche vengono riferite a tre livelli di precisione e di complessità:

a) metodo di terzo livello o metodo esatto, b) metodi di secondo livello (metodi approssimati), c) metodi di primo livello o semi-probabilistici. I metodi di secondo e terzo livello prendono il nome di metodi di livello superiore, in

quanto consentono di avere informazioni sulla probabilità di raggiungimento di uno stato limite o addirittura di calcolarne il valore.

Il problema da risolvere è quello di calcolare la probabilità di crisi P per lo Stato Limite in esame.

Si supponga che per lo SL si possa determinare una funzione “Esito” g(x) in cui il vettore x è il vettore delle variabili del problema, sia riguardanti la resistenza R che la sollecitazione S , per la quale la funzione sia:

g(x)0 sinonimo di rovina ( 1.3)

g(x)>0 sinonimo di sicurezza ( 1.4)

Le formule hanno una rappresentazione geometrica nello spazio n-dimensionale delle n variabili x1, x2…xn, per cui la (1.3) rappresenta situazioni esterne all’iper-superficie limite g(x)=0, mentre la (1.4) rappresenta la situazione interna (Figura 1.1).



Figura 1.1. funzione esito g(x); dominio di crisi e dominio di sicurezza

Se si considera il caso più semplice in cui si hanno solo 2 variabili aleatorie ed esse sono indipendenti, la v.a. Esito è definita da:

M=R-S ( 1.5)

che viene denominata spesso anche Margine di Sicurezza. Per M<0 si ha il superamento dello stato limite in esame, per M>0 invece è assicurata la verifica di sicurezza.

La probabilità di crisi (o probabilità di “failure” Pf) può quindi essere posta nel seguente modo:

Pf = P ( M=R-S<0 ) ( 1.6)

Nel caso più generale, invece la probabilità può essere calcolata conoscendo la funzione di probabilità congiunta fx (x1…xn) delle n variabili aleatorie x1…xn . Allora se le n variabili sono di tipo aleatorio, la probabilità di crisi Pf è espressa nel seguente modo:

nD

nnxf dxdxxxfP'

11 ...)...( ( 1.7)

dove l’integrale è esteso al dominio D’n di crisi. Per il teorema delle probabilità totali si può scrivere:

nD

nnxf dxdxxxfP ...)...(1 11 ( 1.8)

essendo Dn il dominio di successo. La forma (1.8) è più agevole per il calcolo, in quanto il dominio Dn è finito, a differenza di D’n che tipicamente è infinito (si veda la Figura 1.1). Il significato grafico dell’integrale (1.7) o (1.8) è riportato in Figura 1.2.

1.2.1 Metodi di livello 3

I metodi di livello 3 vengono anche chiamati esatti perché affrontano direttamente il calcolo degli integrali (1.8). Per calcolare questo integrale è necessaria la descrizione completa delle n variabili aleatorie xi del problema attraverso le loro funzioni di densità di probabilità congiunta fx (x1…xn). Posto anche di riuscire a superare le difficoltà connesse alle definizioni di queste funzioni e l’individuazione delle regioni di successo Dn, la



valutazione dell’integrale richiede un onere di calcolo che eccede le potenzialità degli elaboratori se le variabili sono più di 6 o 7. Per tale motivo i metodi di livello 3 sono ad oggi utilizzati solo in ambito accademico.

Se però le variabili R e S sono statisticamente indipendenti, il problema del calcolo della probabilità Pf risulta essere meno oneroso. In questo caso, la distribuzione congiunta che compare nella (1.8) è data dal prodotto delle distribuzioni marginali di R e S. È possibile quindi operare pensando che la sollecitazione S assuma un valore preciso s e si valuta la probabilità:

P (R- S <0 | S = s ) ( 1.9)

Ripetendo il calcolo per ogni valore della sollecitazione, la probabilità di crisi è ottenuta come somma della probabilità che avvenga la crisi a causa della sollecitazione S = s moltiplicata per la probabilità che questa sollecitazione S si verifichi:

sogniper

f sSsSSRP P|0-P ( 1.10)

Se R e S sono indipendenti, il primo termine della somma altro non è che la CDF (funzione distribuzione cumulata - cumulative distribution function - F) della resistenza R, mentre il secondo è la PDF (funzione densità di probabilità - probability density function - f) della sollecitazione. Pensando a variabili aleatorie continue, si può quindi scrivere la (1.10) nella seguente forma:

dssfsFsSdsSSRP sRf )()(P|0-P ( 1.11)

Il significato dell’integrale (1.11) può essere interpretato graficamente mediante la Figura 1.3.

nD

nnxf dxdxxxfP'

11 ...)...(

Figura 1.2. Distribuzione congiunta e dominio di collasso



Figura 1.3. Interpretazione dell’integrale (1.11)

1.2.2 Metodi di livello 2

I metodi di livello 2, a differenza dei precedenti, non calcolano l’integrale (1.8) o (1.11) ma valutano la probabilità di crisi attraverso una relazione nominale basata su una

grandezza detta indice di affidabilità o indice di sicurezza.

Per definire una espressione dell’indice di affidabilità si assuma che le variabili Resistenza e Sollecitazione siano Normali (cioè variabili aleatorie Gaussiane), ovvero:

2, RRNR ( 1.12)

2, SSNS ( 1.13)

Nelle (1.12) e (1.13) si è indicato con il valor medio e con 2 la varianza e, di

conseguenza, con la variazione standard.

Il margine di sicurezza M (dato da una combinazione lineare di variabili aleatorie gaussiane, si veda la (1.5)) è anch’esso distribuito secondo una gaussiana:

2, MMNM ( 1.14)

per la quale valgono le relazioni:

22; SRMSRM ( 1.15)

Dalla variabile gaussiana M è possibile ottenere la relativa variabile gaussiana

standardizzata m sottraendo a M la media M e dividendo per la variazione standard M :

M

MMm

( 1.16)

Pertanto la probabilità di crisi può essere posta nella seguente forma:



M

MMMf mPmPMPP 00 ( 1.17)

Si definisce l’indice di affidabilità la quantità:

M

M

( 1.18)

Facendo l’uso delle (1.15), l’indice di affidabilità può quindi essere scritto nella seguente forma:

22SR

SR

M

M

( 1.19)

dalla quale la probabilità di crisi è data da:

1mPmPPM

Mf ( 1.20)

avendo indicato con la funzione densità di probabilità di una gaussiana normalizzata, per

la quale sono noti i valori dato il valore della variabile .

La (1.20) si presta ad una interessante osservazione. Con riferimento alla Figura 1.4,

l’indice di affidabilità è pari alla distanza tra la retta limite M = 0 e l’origine degli assi

nel piano delle variabili aleatorie normalizzate r e s , con:

S

S

R

R Ss

Rr

ˆ;ˆ ( 1.21)

Figura 1.4. Interpretazione dell’indice di affidabilità nel piano delle variabili gaussiane standardizzate



Nella sua forma più semplice, quindi, il metodo consiste nel: - valutare la distanza tra la retta limite M = 0 e l’origine 0 degli assi per ottenere

l’indice di sicurezza ,

- calcolare la probabilità di crisi mediante la formula 1fP

- confrontare la probabilità di crisi con quella prestabilita dalla normativa (P*)

1.2.3 Verifica semi-probabilistica di primo livello.

Il metodo per la misura della sicurezza strutturale adottato nella Normativa Italiana (Nuovo Testo unico per le Costruzioni DM 14/01/2008 , speso indicato brevemente con NTC2008) e negli Eurocodici (la normativa Europea) è il Metodo dei Coefficienti Parziali agli Stati Limite, facente parte dei metodi Semi-Probabilistici.

Il metodo si basa su un insieme di regole che garantiscono l’affidabilità richiesta (Pf < P*) utilizzando i valori Caratteristici delle variabili più una serie di “elementi di

sicurezza”, che sono rappresentati dai coefficienti parziali , per le incertezze sulle Azioni

e Materiali e da elementi additivi per le incertezze sulla geometria.

Gli aspetti probabilistici sono già considerati nel processo di calibrazione del

metodo, ovvero nella determinazione e nella scelta dei valori dei coefficienti parziali . In sintesi, considerando la resistenza R e la sollecitazione S quali variabili

indipendenti, si definiscono i valori caratteristici di azioni e resistenze dei materiali quali frattili di un ordine prefissato; si mettono in conto le incertezze trasformando i valori caratteristici in valori di progetto, mediante l’applicazione dei coefficienti parziali; la misura di sicurezza è positiva se accade che:

dd SR ( 1.22)

Non fornisce quindi informazioni dirette sulla probabilità di crisi, ma si è certi che tale probabilità è inferiore alla probabilità P* se accade che la verifica (1.22) è positiva.

Figura 1.5. Interpretazione del metodo dei coefficienti parziali e delle variabili di progetto



Una rappresentazione grafica di valori caratteristici e valori di progetto per sollecitazioni e resistenze è riportato in Figura 1.5. Il metodo semiprobabilistico agli stati limite viene descritto nel dettaglio nel seguito.

1.3 VERIFICA SEMI-PROBABILISTICA AGLI STATI LIMITE

Il metodo per la misura della sicurezza strutturale adottato nella Normativa Italiana (NTC2008) e negli Eurocodici (la normativa Europea) è il Metodo dei Coefficienti Parziali agli Stati Limite.

Il metodo si basa su un insieme di regole che garantiscono l’affidabilità richiesta utilizzando i valori Caratteristici delle variabili più una serie di “elementi di sicurezza”, che

sono rappresentati dai coefficienti parziali , per le incertezze sulle Azioni e Materiali e da

elementi additivi per le incertezze sulla geometria.

Gli aspetti probabilistici sono già considerati nel processo di calibrazione del

metodo, ovvero nella determinazione e nella scelta dei valori dei coefficienti parziali . In sintesi, considerando la resistenza R e la sollecitazione S quali variabili

indipendenti, si definiscono i valori caratteristici di azioni e resistenze dei materiali quali frattili di un ordine prefissato; si mettono in conto le altre incertezze trasformando i valori caratteristici in valori di progetto, mediante l’applicazione dei coefficienti parziali; la misura di sicurezza è positiva se accade che:

dd SR ( 1.23)

Gli stati limite si dividono in due categorie: stati limite ultimi (SLU) e stati limite di esercizio (SLE).

Gli SLU corrispondono al valore estremo della capacità portante. Si distinguono in verifiche EQU, per le quali si ha la perdita di equilibrio statico della struttura, (piccole variazioni di intensità o distribuzione delle azioni sono significative); verifiche denominate STR, che corrispondono al collasso per deformazione eccessiva degli elementi strutturali o della struttura nel suo insieme (il collasso è governato dalla resistenza dei materiali); verifiche tipo GEO per le quali il collasso avviene per deformazione eccessiva del terreno e verifiche FAT (collasso per fatica).

Gli stati limite di esercizio (SLE) sono SL corrispondenti alla perdita di funzionalità della struttura. Gli SLE corrispondono a situazioni raggiunte le quali i requisiti di funzionalità non sono più soddisfatti. Causano danni limitati ma rendono impossibile l’utilizzo della struttura rispetto alle esigenze determinate in fase di progetto. (confort, danni agli impianti, danno alle parti non strutturali). Esistono tre tipi di SLE: SLE con combinazione CARATTERISTICA (o RARA), per la quale gli effetti sono irreversibili e SLE con combinazione FREQUENTE e SLE con combinazione QUASI PERMANENTE, con effetti reversibili.



Per effettuare una verifica con il metodo dei coefficienti parziali agli SL occorre ottenere i valori di progetto di Resistenze e Sollecitazioni. Per far ciò, occorre determinare il valore di progetto delle Azioni e il valore di progetto delle Resistenze dei materiali, da cui ottenere, rispettivamente, le Sollecitazioni nella sezione e la Resistenza della sezione stessa.

1.3.1 Azioni

Le azioni sono un insieme di forze (carichi) e/o coazioni (es. variazioni termiche) e/o accelerazioni applicate alla struttura. Si classificano in:

Azioni Permanenti (G): sono azioni di durata continua e uguale alla vita utile Vr della struttura con variazioni trascurabili nel tempo (esempio: il peso proprio).

Azioni Variabili (Q): sono azioni di breve durata, azioni variabili nel tempo per intensità e direzione e, in genere, non sono monotone (esempio: l’azione delle persone su un edificio)

Azioni Eccezionali (A): sono carichi di breve durata e difficilmente prevedibili come, ad esempio, le azioni dovute ad uno scoppio o ad un incendio.

Azioni Sismiche (E). Per le azioni Permanenti, caratterizzate da ridotta variabilità nel tempo (esempio: il

peso proprio), si attribuisce un unico valore caratteristico Gk pari al valore nominale. Per le azioni Variabili, esistono 4 valori rappresentativi:

Il valore Caratteristico o principale: kQ . È definito come quel valore che

rappresenta una probabilità di essere superato durante il periodo di vita utile della struttura corrispondente ad un frattile del 95% (detto anche frattile superiore al 5%). delle distribuzioni statistiche.

Il valore di combinazione: kQ0 . Il coefficiente 0 fissa il livello di intensità di

una azione quando è presa in conto contemporaneamente ad un’altra azione

variabile. Il coefficiente 0 è minore dell’unità in quanto tiene in conto la

probabilità di occorrenza simultanea delle due azioni (in altre parole, è improbabile che entrambe le azioni si manifestino con il loro valore caratteristico contemporaneamente: una delle due si manifesta con un valore minore, di intensità

pari a kQ0 ).

Il valore frequente kQ1

Il valore quasi permanente kQ2 Questi due ultimi valori sono definiti come frazioni del valore caratteristico. Per determinare le azioni di progetto Fd, necessarie per ottenere le Sollecitazioni Sd,

occorre seguire le seguenti fasi:



1 Si definiscono le azioni sulla struttura Fi (dove con F si indicano generalmente le azioni, sia che esse siano permanenti G o variabili Q)

Fi

2 Si assegnano i valori rappresentativi kF o kF0

3 Si determinano i valori di progetto Fd. amplificando le azioni

mediante i coefficienti parziali kd FF

4 Si considerano le combinazioni di Azioni dF kd FF

5

Si calcolano gli effetti (Sollecitazioni S) noti i parametri geometrici a (nota: l’effetto non è solo la sollecitazione intesa come Momento, Sforzo Normale o Taglio ma anche, ad esempio, la deformazione)

),( aFS d

6 Si applica un eventuale coefficiente parziale di modello M per

tenere in conto delle incertezze del modello matematico utilizzato per ottenere le sollecitazioni (o effetti) Sd

),( aFES dMd

Per quanto riguarda le combinazioni, la normativa specifica diverse combinazioni in

funzione dello stato limite (ultimo o di esercizio), della presenza o meno dell’azione eccezionale o sismica, o a seconda che si debbano fare verifiche di tipo EQU, STR, GEO o FAT. Nel seguito si farà riferimento ad una sola combinazione (la cosìddetta “combinazione fondamentale”) per la verifica di elementi strutturali agli SLU:

n

iikiiQkQpkGd QQPGF

2011 ( 1.24)

Nella (1.24), con P si è indicato l’effetto della precompressione. I coefficienti parziali e i valori di combinazione sono riportati nell’NTC2008 in funzione della tipologia di

carico. Per quanto riguarda i coefficienti parziali i valori sono riportati in Tabella 1.3. Si

riportano inoltre i valori dei coefficienti di combinazione più comuni (Tabella 1.4).

Favorevoli Sfavorevoli

Carichi permanenti G 1.3 1

Carichi permanenti non strutturali G 1.5 0

Carichi variabili Q 1.5 0

Tabella 1.3. Coefficienti parziali per diverse tipologie di azioni.

Categoria Azione i0 i1 i2

Ambienti ad uso Residenziale 0.7 0.5 0.3

Uffici 0.7 0.5 0.3



Ambienti suscettibili di affollamento 0.7 0.7 0.6

Ambienti ad uso Commerciale 0.7 0.7 0.6

Biblioteche, Archivi, Magazzini 1.0 0.9 0.8

Vento 0.6 0.2 0.0

Neve (a quota < 1000 m s.l.m.) 0.5 0.2 0.0

Neve (a quota < 1000 m s.l.m.) 0.7 0.5 0.2

Tabella 1.4. Coefficienti di combinazione per diverse tipologie di azioni.

Oltre la (1.24), altre combinazioni sono necessarie nei confronti di verifiche geotecniche (combinazione tipo “GEO”), situazioni con carichi eccezionali, o combinazioni con l’azione sismica. Per tali combinazioni si faccia riferimento alle NTC2008 al paragrafo 2.5.3.

Analoghe combinazioni sono riportate per la verifica agli SLE, con 3 situazioni possibili: combinazione caratteristica o rara (paragonabile alle combinazioni che si facevano applicando il metodo delle tensioni ammissibili), combinazione Frequente e combinazione Quasi Permanente. La prima di queste combinazioni vede i carichi con il valore rappresentativo caratteristico, la seconda vede i carichi al loro valore frequente, l’ultima con carichi al valore quasi permanente Queste combinazioni sono riportate nel seguito. - Combinazione caratteristica o rara:

n

iikikkd QQPGF

201 ( 1.25)

- Combinazione frequente:

n

iikikkd QQPGF

22111 ( 1.26)

- Combinazione quasi permanente:

n

iikikd QPGF

22 ( 1.27)

1.3.2 Materiali

La resistenza dei materiali è rappresentata mediante il valore caratteristico kf

definito come il frattile al 5% della distribuzione statistica. I parametri di rigidezza (quali, ad esempio il modulo Elastico, coefficiente di dilatazione termica…) vengono imposti pari al valor medio.

Le resistenze caratteristiche dei materiali sono per definizione frattili inferiori del 5% delle rispettive distribuzioni, le quali, in mancanza delle rispettive indagini sperimentali possono tenersi normali. Le resistenze caratteristiche si calcolano mediante la relazione:



Rk = R – kR ( 1.28)

dove R è la resistenza media aritmetica dei risultati sperimentali, R è la deviazione

standard delle misure e k è un coefficiente che misura la probabilità del 5%.

Per determinare le resistenze di progetto Rd, si seguono le seguenti fasi:

1 Si individuano le resistenze dei materiali Xi Xi

2 Si determinano i valori caratteristici (tramite la 1.28) kX

3

Si determinano i valori di progetto Xd. riducendo i valori

caratteristici mediante opportuni coefficienti parziali ;

rappresenta un coefficiente che tiene in conto degli effetti scala

M

kd

FX

4 Si determina la resistenza strutturale (ad esempio il momento Mrd) noti i parametri geometrici a (ad esempio le caratteristiche geometriche della sezione)

),( aXR d

5 Si applica un eventuale coefficiente parziale di modello per tenere in conto delle incertezze del modello matematico utilizzato per ottenere le resistenze

),(1

aXRR dM

d

1.4 METODI DETERMINISTICI: IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI

I metodi deterministici sono anche detti metodi di livello 0 (zero). Tra i metodi deterministici fanno parte il Metodo delle Tensioni Ammissibili e il Metodo del Calcolo a Rottura. Nel seguito si fa riferimento al solo metodo delle Tensioni Ammissibili (T.A.)

1.4.1 Metodo delle tensioni ammissibili

Secondo il metodo delle T.A. denominato anche metodo tradizionale, la sicurezza di una struttura è garantita se nel punto maggiormente sollecitato la tensione risulta inferiore alla tensione ammissibile.

< amm = 0/ ( 1.29)

dove 0 indica il valore critico di tensione e è il (unico) coefficiente di sicurezza. Tale

coefficiente, che è fissato generalmente dalle norme, riassume in sé tutte le incertezze riguardanti la valutazione dei parametri in gioco. Esso assume il ruolo sia di riduttore dello sforzo resistente sia amplificatore delle sollecitazioni.



Identificato il primo termine della disuguaglianza (1.25) con la sollecitazione S ed il secondo con la resistenza R, la (1.19) si scrive nella forma:

S < R ( 1.30)

Nel metodo delle T.A., S, valore massimo della sollecitazione e R, valore minimo della resistenza, sono considerate grandezze deterministiche.

Il criterio di verifica alle T.A. soddisfa i requisiti di: - semplicità e chiarezza, - consente di adottare coefficienti di sicurezza sulla base di esperienze passate; - è l’unico criterio applicabile in alcune verifiche di strutture complesse. Per contro, il metodo delle T.A: - non tiene in considerazione che la crisi non si manifesta per il superamento della

limite elastico in un punto ma esiste il fenomeno della ridistribuzione della tensioni;

- non consente di valutare il rischio cui ogni struttura è esposta; - assegnando un solo coefficiente di sicurezza non consente la differenziazione

delle varie fonti di incertezza;

- il coefficiente di sicurezza è molto ampio e fornisce ai progettisti l’illusione di

disporre di margini di sicurezza ampi; - non è prevista alcuna verifica nei confronti di altri stati indesiderati (come, ad

esempio la fessurazione);


METODO DELL’EQUILIBRIO O METODO DEGLI SPOSTAMENTI 19/139

2 METODO DELL’EQUILIBRIO O METODO DEGLI SPOSTAMENTI

2.1 INTRODUZIONE

Il metodo della congruenza (detto anche metodo delle forze) e il metodo dell’equilibrio (detto anche metodo agli spostamenti) sono due procedimenti di calcolo per risolvere il problema dell’equilibrio in un solido elastico soggetto a forze e a condizioni di vincolo note. Il metodo della congruenza (quello, per intenderci, visto durante il Corso di Scienza delle Costruzioni) consiste nel determinare la configurazione effettiva del corpo come l’unica congruente tra tutte le infinite configurazioni equilibrate possibili;

il metodo dell’equilibrio, invece, consiste nel determinare l’unica soluzione equilibrata fra tutte le infinite congruenti. In definitiva l’una pone a premessa quanto l’altra persegue come condizione. Per meglio comprendere come opera il metodo degli spostamenti (o metodo dell’equilibrio), si presenta in primo luogo il concetto di rigidezza.

2.2 DEFINIZIONE DI RIGIDEZZA

Il coefficiente di rigidezza è definito dal rapporto tra la forza (o coppia) applicata alla struttura e lo spostamento (o rotazione) generato dall’azione stessa:

;;i

iii

i

iii

Mk

Fk

( 2.1)

Per strutture semplici, le rigidezze possono essere ricavate risolvendo la struttura integrando la linea elastica:

)(xqEJv IV o )(xMEJv II ( 2.2)

ottenendo gli spostamenti e le rotazioni date le forze o le coppie esterne e, successivamente, ottenendo le rigidezze dalla loro definizione:

i

iii

i

iii

Mk

Fk

; ( 2.3)

Nel seguito vengono riportate le rotazioni e gli spostamenti per le strutture più comuni soggette a forze e/o a coppie alle estremità:



SCHEMA ROTAZIONE RIGIDEZZA

AL

B

M

EI

MLA 3

EI

MLB 6

L

EIk A

3

L

EIkB

6

3R

6R

AL

B

M M

EI

MLA 2

L

EIk A

2

2R

AL

B

M M

EI

MLA 6

L

EIk A

6

6R

L

BA

M

EI

MLA

L

EIk A

R

AL

B

M

EI

MLA 4

L

EIk A

4

4R

SCHEMA SPOSTAMENTO RIGIDEZZA

F

L

EI

FLA 3

3

3

3

L

EIk A

3U

L

F

EI

FLA 12

3

3

12

L

EIk A 12U



2.3 LA RIPARTIZIONE DELLE AZIONI PROPORZIONALMENTE ALLE RIGIDEZZE

Si consideri la struttura in figura 2.1. La struttura è molte volte iperstatiche (13 volte nel caso in esame) ma è caratterizzata dall’avere un solo grado di movimento, ovvero la

rotazione del nodo centrale i ove è applicata la coppia M . Infatti, supponendo

trascurabile la deformabilità per sforzo assiale (ovvero considerando infinitamente rigide le aste per sforzi di trazione o compressione), il nodo non può traslare in nessuna direzione in quanto questa traslazione comporterebbe una deformazione assiale delle aste. Viene quindi

naturale pensare alla rotazione come unica incognita del problema. Nota infatti la

rotazione , è possibile ottenere le sollecitazioni agenti su ogni asta.

Per definizione, la rigidezza alla rotazione del nodo i (nel suo complesso) è quella coppia che genera lo spostamento unitario. Nel caso in esame:

MK iTot , ( 2.4)

Analogamente, per ogni asta considerata a se stante, si definisce la rigidezza alla rotazione come la coppia applicata sull’asta diviso la rotazione della i-esima asta:

i

ii

Mk

( 2.5)

Per il problema in esame, ogni asta è soggetta alla medesima rotazione (Figura 2.2) e pari alla rotazione del nodo. È possibile quindi ottenere la seguente equazione di congruenza:

ni .......21 ( 2.6)

M

Figura 2.1. Struttura 13 volte iperstatica con aste che concorrono in un solo nodo



Questa equazione risulta essere autonomamente soddisfatta. Indicando quindi la rotazione di ogni nodo:

i , ( 2.7)

si esprime la rigidezza di ogni singola asta come:

i

i

Mk ( 2.8)

Si impone ora l’equazione di equilibrio al nodo:

0..1

ni

iMM ( 2.9)

e, sostituendo la (2.8) nella (2.9) si ottiene:

0..1

ni

ikM ( 2.10)

Essendo la medesima per tutte le aste, si ricava:

ni

ikM..1

, ( 2.11)

da cui è possibile valutare la rotazione incognita :

niik

M

..1

( 2.12)

MMi

Figura 2.2. Rotazione delle singole aste e momenti delle singole aste



Per confronto con la (2.4) è immediato ottenere che, per strutture tipo quelle esaminate, la rigidezza complessiva del nodo non è altro che la somma delle singole rigidezze delle aste concorrenti nel nodo stesso:

ni

iTot kK..1

( 2.13)

Inoltre, sostituendo la (2.12) nella (2.8) si ricava l’espressione che valuta il momento nell’asta i-esima:

i

nii

ii M

k

kMM ..1

( 2.14)

La (2.14) è un risultato fondamentale: indica che le sollecitazioni (in questo caso i momenti flettenti) si ripartiscono in proporzione alla loro rigidezze. Nella (2.14) si è indicato con:

nii

ii k

k

..1

( 2.15)

il coefficiente di ripartizione. Note quindi le azioni agenti sui nodi delle struttura, è possibile ottenere le

sollecitazioni agenti sulle singole aste valutando i coefficienti di ripartizione. Si noti che, per come sono stati definiti, la somma dei coefficienti di ripartizione è pari all’unità:

1

..1

..1

..1..1

..1

ni

i

nii

nini

i

i

nii k

k

k

k ( 2.16)

La procedura finora esposta viene applicata, a titolo di esempio, ad una trave su tre appoggi.

2.3.1 Esempio 1: trave su tre appoggi con coppia concentrata

Risolvere la struttura rappresentata in Figura 2.3, soggetta ad una coppia di intensità

M = +72.4 kNm. La trave ha sezione costante e momento d’inerzia pari a I e modulo elastico E.

M

4,63,5

Figura 2.3. Trave su 3 appoggi con coppia concentrata



Si valutano in primo luogo le rigidezze alla rotazione delle due aste (si veda la tabella del paragrafo 2.2):

11

3

l

EIk =

5.3

3EI

22

3

l

EIk =

6.4

3EI

Si valutano i coefficienti di ripartizione:

21

1

21

11 33

3

l

EI

l

EIl

EI

kk

k

=

6.4

3

5.3

35.3

3

= 57.0

51.1

86.0

21

2

21

22 33

3

l

EI

l

EIl

EI

kk

k

=

6.4

3

5.3

36.4

3

= 43.0

51.1

65.0

Considerando la convenzione per il momento flettente secondo cui il segno positivo si attribuisce a momenti orari (destrogiri):

-+

Figura 2.4. Convenzione dei segni per il momento flettente

si calcolano i momenti sulle singole aste:

11 MM 0.5772.4 = + 41.1 kNm

22 MM 0.4372.4 = + 31.3 kNm

Si noti che, ovviamente, la somma dei coefficienti di ripartizione è pari a 1 e la

somma dei momenti M1+M2 è pari alla coppia M . Il diagramma del momento è ottenuto valutando il diagramma di ogni singola asta:

21M

4,63,5

M

Figura 2.5. Ripartizione delle azioni in proporzione alle rigidezze delle aste



31.3

41.1

31.3

41.1

4,63,5

3,5 4,6

Figura 2.6. Momento flettente sulle singole aste e sulla intera struttura

2.4 METODO DEI VINCOLI AUSILIARI

Il metodo descritto nel paragrafo precedente è applicabile solo quando le azioni agiscono direttamente sul nodo. Nel caso in cui si hanno carichi disposti non sui nodi (ad esempio, un carico distribuito), si può procede applicando il metodo dei vincoli ausiliari.

Il metodo dei vincoli ausiliari prevede una procedura secondo le seguenti fasi: - vengono posti i vincoli ausiliari o fittizi che rendono nulli tutti i movimenti (rotazioni

o spostamenti) indipendenti ai nodi e si determinano le sollecitazioni di incastro perfetto (sollecitazioni “prime”, indicate nel seguito con I) delle membrature incastrate e le reazioni F dei vincoli ausiliari. Tale soluzione rispetta la congruenza ma non l’equilibrio essendo i nodi soggetti alle reazioni immaginarie dei vincoli fittizi

- vengono soppressi i vincoli ausiliari e applicate le reazioni di incastri perfetto F cambiate di segno, ossia la struttura è soggetta soltanto in corrispondenza dei nodi alle azioni:

F’=F0-F ( 2.17)

dove F0 sono le azioni esterne già presenti nei nodi. - si studia una seconda configurazione in cui compaiono, applicati ai nodi, le sole

azioni F’=F0-F, ;

- si ricavano i valori dei movimenti e si ripartiscono tali forze proporzionalmente

alle loro rigidezze, ricavando così le cosiddette azioni ripartite (o “seconde”, II);

- si ricavano quindi le sollecitazioni S(), dalle sollecitazioni ripartite o direttamente

dai movimenti ;



- Le sollecitazioni complessive si ottengono sommando i valori ottenuti nella fase I

con le S()

Stot = I + S() ( 2.18)

I dettagli del metodo vengono spiegati con l’esempio del paragrafo 2.4.1. Vengono riportati, in via preventiva, i diagrammi del momento di alcuni casi

notevoli che saranno utili per la risoluzione delle strutture con carichi distribuiti e/o concentrati. Il valore assoluto (senza segno) del momento è riportato nell’ultima colonna.

SCHEMA DIAGRAMMA DEL MOMENTO

12

2qLMM BA

24

2qLMmezz

8

2qLM B

16

2qLMmezz

MM A

2M

MB

8

2qLMmezz

A

L

B

q

A

L

B

q

A

L

B

M

A

L

B

A

L

B

M

q

A

L

B

A

L

B

A

L

B

A

L

B

A

L

B

MM A

0BM



MMM BA

MMM BA

2

2qLMB

MMM BA

AL

B

A

L

B

A

L

B

AL

B

A

L

B

A

L

B

M

A

L

B

M

M

M

A

L

B

A

L

B

A

L

B

q

M

F

FLMB



2.4.1 Esempio 2: trave su tre appoggi e carico uniformemente distribuito

Risolvere la struttura rappresentata in figura, soggetta ad carico distribuito q = 65 kN/m.

q

4,63,5

Figura 2.7. Trave su tre appoggi con carico uniformemente distribuito

FASE I: Si blocca con un morsetto (vincolo ausiliare) la rotazione nel nodo centrale (l’unica incognita del problema).

q

3,5 4,6

Figura 2.8. Trave con il vincolo ausiliare (morsetto) applicato all’appoggio centrale

Si valutano le azioni di incastro perfetto (in questo caso, i momenti di incastro prefetto) che nascono a causa del fatto che è stato introdotto il morsetto. Questi momenti sono pari a:

8

21

1

qlI =

8

5.365 2 = + 99.5 kNm

8

22

2

qlI =

8

6.465 2 = 171.9 kNm

I segni dei momenti sono stati posti coerentemente alla convenzione adottata (il momento ha segno positivo se orario).

La struttura così ottenuta è CONGRUENTE (infatti lo spostamento a sinistra è uguale allo spostamento di destra; entrambi sono nulli in quanto è stato posto il morsetto).



ql /82

22

1ql /84,63,5

Figura 2.9. Fase I: trave con il morsetto e momenti di incastro perfetto (momenti primi)

- 171.9+ 99.5

3,5 4,6

Figura 2.10. Fase I: diagramma dei momenti

FASE II: Viene soppresso il morsetto e ci si accorge che la struttura NON è

EQUILIBRATA. Infatti la somma dei momenti nel nodo non è nulla:

88

22

21

21

qlqlII = + 99.5 – 171.9 = – 72.4 kNm

Occorre ora equilibrare il nodo: l’unico modo per farlo è sommare allo squilibrio che è presente nel nodo (I1 + I2) un momento con la stessa intensità ma con verso contrario, cosicché, sommando la FASE I alla FASE II, si ottenga un momento nullo al nodo (ovvero nodo equilibrato).

Rimosso il morsetto occorre applicare quindi le reazioni di incastro perfetto F’ cambiate di segno (ovvero applicare una coppia F’ = -F pari a +72.4 kNm).



2

2 - ql /8 = +ql /81

2M

4,63,5

Figura 2.11. Squilibrio del nodo dopo la fase I.

3,5 4,6

M 2

1= -(+ql /8 - ql /8)2

2

Figura 2.12. Fase II: coppia da applicare al nodo per ottenere l’equilibrio.

Occorre ora ripartire il momento applicato al nodo. Si valutano quindi le rigidezze alla rotazione delle due aste (si veda l’esempio 1):

11

3

l

EIk =

5.3

3EI,

22

3

l

EIk =

6.4

3EI

Si valutano i coefficienti di ripartizione:

21

1

21

11 33

3

l

EI

l

EIl

EI

kk

k

=

6.4

3

5.3

35.3

3

= 57.0

51.1

86.0

21

2

21

22 33

3

l

EI

l

EIl

EI

kk

k

=

6.4

3

5.3

36.4

3

= 43.0

51.1

65.0

Si calcolano i momenti sulle singole aste (questi momenti sono detti momenti RIPARTITI o anche momenti “secondi” (II)):

II = 11 MM 0.5772.4 = 41.1 kNm

II = 22 MM 0.4372.4 = 31.3 kNm



3,5 4,6

+41.1

+31.3

Figura 2.13. Fase II: Diagramma del momento

Il momento all’appoggio centrale del problema originario è ottenuto dalla somma del momento a sinistra (o a destra) della FASE I e della FASE II:

M I+ II = + 99.5 + 41.1 = +140.6 (somma nei momenti a sinistra dell’appoggio)

M I+II = 171.9 + 31.3 = 140.6 (somma nei momenti a destra dell’appoggio)

Il diagramma del momento è ottenuto sommando il contributo della FASE I con quello della FASE II, per ogni singola asta:

- 171.9+ 99.5

3,5 4,6

Figura 2.14. Diagramma del momento di Fase I

3,5 4,6

+41.1

+31.3

Figura 2.15. Diagramma del momento di Fase II



3,5 4,6

+ 140.6 - 140.6

Figura 2.16. Diagramma del momento di Fase I + Fase II

Il risultato della procedura è sicuramente congruente (per come è stato condotto il procedimento) ma anche equilibrati, in quanto, a conti fatti, la somma dei momenti al nodo centrale è nulla. Infatti, nella FASE I la struttura è congruente in quanto la rotazione dell’appoggio centrale è nulla per la presenza del morsetto. Nella FASE II, si ha congruenza in quanto la formula usata per ripartire le azioni è ricavata dal presupposto che le rotazioni siano uguali (si veda il procedimento del paragrafo 2.3). La struttura è certamente equilibrata grazie alla FASE II (la FASE II è stata introdotta proprio per ripristinare l’equilibrio). Per il teorema dell’unicità della soluzione elastica lineare, una configurazione che sia equilibrata e congruente è la soluzione (unica) del problema.

2.4.2 Esempio 3: trave incastro-appoggio e carico uniformemente distribuito

Si calcoli il diagramma del momento flettente della figura seguente:

L

Figura 2.17. Struttura appoggio incastro con carico uniformemente distribuito

FASE I: Si blocca con un morsetto (vincolo ausiliare) la rotazione nel nodo di destra (l’unica incognita del problema).



Si valutano l’azioni di incastro perfetto (in questo caso, il momenti di incastro prefetto) che nascono a causa del fatto che è stato introdotto il morsetto:

12

21

1

qlI ;

12

22

2

qlI

I segni di momenti sono stati posti coerentemente alla convenzione adottata (il momento ha segno positivo se orario).

22+qL/12-qL/12

L

Figura 2.18. Trave con il morsetto nell’appoggio di destra e con i momenti di incastro perfetto

La struttura così ottenuta è congruente (infatti lo spostamento a destra è nullo in quanto è stato posto il morsetto).

FASE II: Viene soppresso il morsetto e ci si accorge che la struttura non è equilibrata. (si ha infatti un momento non nullo sull’appoggio di destra). Occorre ora equilibrare il nodo: l’unico modo per farlo è sommare allo squilibrio che è presente nel nodo un momento con la stessa intensità ma di verso contrario, cosicché, sommando la FASE I alle FASE II, si ottiene un momento nullo al nodo (ovvero nodo equilibrato).

Rimosso il morsetto occorre applicare quindi le reazioni di incastro perfetto I2 cambiate di segno.

2

2- qL/24

- qL/12

L

Figura 2.19. Fase II: si applica lo squilibrio del nodo cambiato di segno

Per una struttura incastro-appoggio, il momento che nasce all’incastro (momento III) a causa del momento II sull’appoggio è esattamente la metà di quest’ultimo:

III = II / 2.

Nel caso in esame:



242

2qLIIIII

Il momento all’appoggio di destra è ottenuto dalla somma della FASE 1 e della FASE 2:

M 1212

22 qLqLIII = 0 (somma nei momenti a destra)

M 82412

222 qLqLqLIIII = 0 (somma nei momenti a sinistra)

Il diagramma del momento è ottenuto sommando il contributo della FASE 1 con quello della FASE 2. Il risultato è rappresentato nella seguente figura:

FASE I

FASE II

L

L

L

-qL/12 +qL/12

- qL/12

- qL/24

qL/12

L

L

+ +

=qL/12

L

=

qL/24

qL/12

0

qL/8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2- qL/8

L

=

Figura 2.20. Diagramma del momento finale ottenuto dalla somma dei diagrammi di FASE I e II

FASE I + FASE II

Attraverso la sovrapposizione degli effetti è possibile, ad esempio, valutare il momento in mezzeria, valutando quindi gli effetti del carico e della coppia all’estremità:



L

+L

=L

L

+

L

- qL/82

2qL/8

0

=

LqL/162

Figura 2.21. Sovrapposizione degli effetti per ottenere il valore del momento in mezzeria

Nel primo schema il momento in mezzeria è pari a:

8

2/2

1

qLLxM

Nel secondo schema il momento in mezzeria è pari a:

162

08

22/

2

2

2

qLqL

MMLxM BA

Il momento in mezzeria è quindi dato da:

161682

08

8282/

222

2

22 qLqLqLqL

qLMMqLLxM BA

TOT

Per ottenere tutte le altre grandezze di interesse (diagramma del Taglio, rotazione, etc.), si applica semplicemente la sovrapposizione degli effetti.

Per ottenere il diagramma del taglio, si procede come segue:



L

=

+

L

=

L

+

L

V = qL/2 V = qL/2

V = M/L V = M/L

V = qL/2

V = qL/8

5/8 qL

3/8 qL3/8 qL5/8 qL

Figura 2.22. Diagramma del Taglio per sovrapposizione degli effetti

Nel primo schema il taglio alle estremità è pari a:

2

qLV

Nel secondo schema il taglio è costante (se il momento è lineare il taglio è costante):

8

8/2 qL

L

qL

L

MV

I tagli alle estremità valgono:

qLqLqL

L

MqLV

8

5

8221

qLqLqL

L

MqLV

8

3

8222

Se si vuole inoltre avere conferma che la rotazione all’incastro è nulla (ovvero si vuole essere certi che la soluzione ottenuta è congruente), si possono valutare le rotazioni nei due schemi:



L

+

L

- qL/82

Figura 2.23. verifica della congruenza al nodo incastrato tramite la sovrapposizione degli effetti

Nel primo si ha:

EI

qL

24

3

Nel secondo schema, invece si ha:

EI

qL

EI

LqL

EI

ML

24383

32

Le due rotazioni risultano ovviamente opposte e quindi la loro somma è nulla.

Infine, se si vuole ottenere la rotazione dell’appoggio, si ha:

EI

qL

24

3

a causa del carico distribuito. A causa della coppia applicata all’estremo di sinistra, invece, la rotazione del nodo di destra vale (si veda lo schema di pag. 20):

EI

qL

EI

LqL

EI

ML

48686

32

La rotazione complessiva vale:

EI

qL

EI

qL

EI

qL

482448

333

In alternativa si può operare (in modo efficiente) valutando le rotazione dei due schemi adottati nella FASE I e della FASE II. Nella FASE I la rotazione dell’estremo con l’appoggio è nulla in quanto è presente il morsetto. Nella FASE II la rotazione è (rigidezza notevole – si vedano gli schemi del paragrafo 2.2):

EI

qL

EI

LqL

EI

ML

484124

32



2.5 RISOLUZIONE DI STRUTTURE CON DUE O PIÙ NODI LIBERI DI RUOTARE

Si pensi di risolvere la struttura illustrata in Figura 2.24. Sono presenti due nodi, in uno dei quali è applicata una coppia di intensità M1. Si può pensare di risolvere il problema mediante la sovrapposizione degli effetti.

L

L

1 2

1

L

Figura 2.24. verifica della congruenza al nodo incastrato tramite la sovrapposizione degli effetti

Si pensi di bloccare con un morsetto (vincolo ausiliare) la rotazione del nodo “2” ed

analizzare la sola rotazione del nodo “1”. Applicando un momento pari a 1M , non è

difficile valutare la rigidezza dalla rotazione del nodo: essa è la somma delle rigidezze delle aste che concorrono nel nodo.

L

LL

M1

L

LL

M

1 2

1 M112M112 2

Figura 2.25. Prima fase: si analizza il nodo “1”

In questa condizione, per il nodo “1” si può certamente scrivere (si veda la 2.12):

1111 Mk ( 2.19)

dove si è indicato con 11k la rigidezza totale del nodo “1” avendo applicato una coppia nel

nodo “1” e con 1 la rotazione del nodo “1”. Si ripartisce quindi la coppia 1M tra le aste

concorrenti nel nodo e, a causa della presenza del morsetto nel nodo “2”, nasce un momento al morsetto che risulta essere pari a:



2121

2

MM ( 2.20)

essendo 12 il coefficiente di ripartizione dell’asta “1-2”. Questo momento può essere

correlato all’entità della rotazione 1 pensando ad una rigidezza 21k che è determinato dal

rapporto tra l’azione che è nata nel nodo “2” a causa della rotazione al nodo “1”:

12121

221

kM

Mk ( 2.21)

In modo del tutto analogo, si pensi di applicare una coppia di intensità pari 2M al

nodo “2” e di bloccare il nodo “1” con un morsetto.

L

LL

M2

L

LL

M

1 2

2 M212M212 2

Figura 2.26. Seconda fase: si analizza il nodo “2”

Si può quindi scrivere:

2222 Mk ( 2.22)

dove si è indicato con 22k la rigidezza totale del nodo “2” avendo applicato una coppia nel

nodo “2” e con 2 la rotazione del nodo “2”. Si ripartisce quindi la coppia 2M tra le aste

concorrenti nel nodo e, a causa della presenza del morsetto nel nodo “1”, nasce un momento al morsetto che risulta essere pari a:

2122

1

MM ( 2.23)

Questo momento può essere correlato all’entità della rotazione 2 , ottenendo:

21212

112

kM

Mk ( 2.24)

Si applica quindi la sovrapposizione degli effetti di queste due fasi e si impone l’equilibrio, ottenendo:



222

111

MMM

MMM ( 2.25)

ovvero, sostituendo:

2222121

1212111

Mkk

Mkk

( 2.26)

Nel problema in oggetto si ha che il momento esterno applicato al nodo 2 è nullo, ottenendo così:

0222121

1212111

kk

Mkk ( 2.27)

Il sistema (2.27) fornisce la soluzione del problema, in quanto permette di

determinare le rotazioni 1 e 2 . Note le rotazioni si possono poi calcolare i momenti alle

estremità delle aste.

2.6 ESPRESSIONI GENERALI DEL METODO DELL’EQUILIBRIO O DEGLI SPOSTAMENTI

Le espressioni generali del metodo dell’equilibrio sono divenute essenziali negli ultimi decenni grazie all’ausilio dei calcolatori elettronici. Infatti, i metodi di analisi computazionale più diffusi sono basati sulla formulazione generale del metodo dell’equilibrio.

Si consideri una struttura costituita da più elementi connessi l’uno all’altro in corrispondenza dei nodi, nei quali si pensano agenti le forze esterne F in senso

generalizzato (forze vere e proprie o coppie) Siano 1 … n gli n movimenti indipendenti

dei nodi della struttura. A tali movimenti corrisponderanno le n forze F1…Fn (alcune di esse possono anche essere nulle pur sussistendo i correlativi movimenti). Si pensi di

imprimere ad un qualunque nodo della struttura un movimento unitario i = 1 considerando

tutti gli altri movimenti indipendenti nulli. È in generale semplice ricavare le conseguenti forze sia del nodo direttamente interessato ( kii ) che nei nodi circostanti ( kij ). I coefficienti k sono i coefficienti di rigidezza in quanto gli spostamenti sono unitari.

Ripetendo tale operazione per tutti gli n movimenti indipendenti si possono scrivere

le equazioni di equilibrio corrispondenti ai movimenti i come:



nnnnnn

ininii

nn

nn

Fkkk

Fkkk

Fkkk

Fkkk

...

...

...

...

...

...

2211

2211

22222121

11212111

( 2.28)

Il sistema (2.28) è un sistema di equazioni lineari per il quale si è posta lecita la sovrapposizione degli effetti. Si noti che i coefficienti di rigidezza kij risultano uguali ai coefficienti kji per il teorema di reciprocità (teorema di Betti).

La soluzione di tale sistema è l’unica soluzione equilibrata tra le infinite congruenti. Si noti che è stata fatta l’ipotesi che le azioni esterne agiscano solo sui nodi, ma si possono anche considerare strutture genericamente caricate facendo ricorso al metodo dei vincoli ausiliari.

Il sistema (2.28) può essere scritto convenientemente anche nel seguente modo:

FαK ( 2.29)

in cui

nnnjnn

inijii

nj

nj

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

......

.................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

K ( 2.30)

è la matrice di rigidezza,

n

i

...

...2

1

α ( 2.31)

è il vettore degli spostamenti nodali e



n

i

F

F

F

F

...

...2

1

F ( 2.32)

è il vettore delle forze nodali. La risoluzione è data da:

FKα 1 ( 2.33)

Ottenuti gli spostamenti dei nodi α è poi possibile ottenere le sollecitazioni di ciascuna

asta del sistema.

2.7 APPLICAZIONE A TELAI CON I NODI CHE RUOTANO MA NON TRASLANO: IL METODO DI CROSS

L’applicazione del metodo dell’equilibrio o degli spostamenti più utilizzato è la determinazione di Momento e Taglio in telai che hanno nodi che ruotano e non traslano. Piuttosto che risolvere il sistema (2.28) o (2.29), il metodo di Cross ricava la soluzione iterativamente, operando con un nodo per volta.

----------- omiss --------

2.8 STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE SIMMETRICAMENTE E STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE ANTIMETRICAMENTE

----------- omiss --------



2.9 APPLICAZIONE A TELAI CON I NODI CHE TRASLANO MA NON RUOTANO

La risoluzione di telai che traslano ma non ruotano è concettualmente identica a quanto detto per telai con nodi che ruotano ma non traslano (considerando EJ della trave ∞). Se si considera la struttura di Figura 2.27, tutti i pilastri presentano il medesimo spostamento orizzontale δ.

P

Figura 2.27. Struttura con travata che trasla ma non ruota

Per definizione, la rigidezza alla traslazione della trave (nel suo complesso) è quella forza che genera lo spostamento unitario. Nel caso in esame:

F

K iTot , ( 2.34)

Analogamente, per ogni asta considerata a se stante, si definisce la rigidezza alla traslazione come la forza applicata sull’asta diviso lo spostamento della i-esima asta:

i

i

ii

FFk ( 2.35)

in quanto gli spostamenti delle aste sono gli stessi. Imponendo l’equazione di equilibrio alla traslazione della trave, si ottiene:

0..1

ni

iFF ( 2.36)

e, sostituendo la (2.35) nella (2.36) si ottiene:

ni

ikF..1

, ( 2.37)

da cui è possibile valutare la rotazione incognita δ:



niik

F

..1

( 2.38)

Sostituendo la (2.38) nella (2.35) si ricava la forza nell’asta i-esima:

i

nii

ii F

k

kFF ..1

( 2.39)

In modo del tutto analogo al problema di elementi con nodi che traslano ma non ruotano, le sollecitazioni (in questo caso le forze) si ripartiscono in proporzione alla loro rigidezze. Tutti i procedimenti quindi già visti per telai con nodi che ruotano e non traslano possono essere ripercorsi anche nel caso di telai con nodi che traslano ma non ruotano sostituendo, idealmente, i momenti flettenti con forze e le rotazioni con spostamenti.

Nel caso infatti di carichi non ai nodi, si può operare con il metodo dei vincoli ausiliari così come mostrato nel paragrafo 2.4 per ottenere le azioni equivalenti ai nodi.

Nel caso in cui siano presenti più spostamenti incogniti, è possibile scrivere un sistema risolvente del tipo:

FδK ( 2.40)

e ricavare il vettore delle incognite “spostamento” δ dopo aver determinato gli elementi della matrice di rigidezza K.

Infine, come per il caso in cui incognite solo le rotazioni, è possibile evitare la risoluzione del sistema (2.40) mediante un procedimento iterativo che vede l’analisi di una travata per volta, mantenendo nulli gli spostamenti delle altre travate (analogamente al metodo di Cross1 per telai con nodi che ruotano ma non traslano).

----------- omiss --------

1 Se pur concettualmente identico, nel caso ti telai con nodi che traslano ma non ruotano il procedimento iterativo non è chiamato “metodo di Cross”. Il nome “metodo di Cross” è proprio della risoluzione per telai con nodi che ruotano ma non traslano.



2.10 STRUTTURE CON NODI CHE RUOTANO E TRASLANO

Per la risoluzione si esegue un procedimento iterativo che vede l’analisi del telaio considerando i soli spostamenti e con le rotazioni bloccate da morsetti. In una fase successiva si devono considerare le rotazioni ma avendo preventivamente bloccato le traslazioni. Queste due fasi, che a loro volta possono essere risolte mediante un processo iterativo, sono state descritte nei paragrafi precedenti.

Complessivamente, la risoluzione vede, nel caso più generale, tre processi iterativi, di cui due “interni” o “annidati” al primo.

----------- omiss --------

2.11 CONFRONTO TRA IL METODO DELL’EQUILIBRIO E IL METODO DELLA CONGRUENZA

Le equazioni del metodo dell’equilibrio individuano l’unica soluzione equilibrata tra le infinite congruenti. Per contro le equazioni provenienti dal metodo della congruenza individuano l’unica soluzione congruente tra le infinite equilibrate.

Si noti che il numero di incognite nel metodo dell’equilibrio dipende dal numero dei

movimenti dei nodi : aumentando il grado di vincolamento diminuiscono i movimenti

indipendenti e quindi diminuiscono il numero delle incognite. Pertanto aumentando il grado di iperstaticità diminuiscono le incognite, mentre il sistema si complica quando ci si avvicina alla isostaticità del sistema.

Aumentando il grado di iperstaticità, quindi diminuendo il numero dei movimenti, il numero delle incognite si riducono nel metodo dell’equilibrio mentre aumentano nel metodo della congruenza. Pertanto in una struttura fortemente iperstatica, nella quale il numero di movimenti incogniti è in genere basso, il metodo più rapido risulta quello dell’equilibrio mentre per strutture con basso grado di iperstaticità può essere conveniente il metodo della congruenza.

Si osservi inoltre che nel metodo dell’equilibrio si fa uso in modo evidente del principio di sovrapposizione degli effetti (si veda la 2.16) che nel calcolo dei coefficienti di rigidezza k (si veda la 2.13). Ciò e lecito solo se si ipotizza la linearità dei materiali e si trascurano gli effetti del secondo ordine (si scrive cioè il problema nella configurazione indeformata).




I MATERIALI: CALCESTRUZZO E ACCIAIO 47/139

3 I MATERIALI: CALCESTRUZZO E ACCIAIO

3.1 INTRODUZIONE

Il calcestruzzo armato o conglomerato cementizio armato (chiamato generalmente anche cemento armato) è un materiale usato per la costruzione di opere civili, costituito da calcestruzzo (una miscela di cemento, acqua, sabbia e aggregati) e barre di acciaio (armatura) annegate al suo interno ed opportunamente sagomate ed interconnesse fra di loro. È un materiale utilizzato sia per la realizzazione della struttura degli edifici o di manufatti come ad esempio, i muri di sostegno o ponti.

Il cemento armato sfrutta l'unione di un materiale da costruzione tradizionale e relativamente poco costoso come il calcestruzzo, dotato di una notevole resistenza alla compressione ma con il difetto di una scarsa resistenza alla trazione, con l'acciaio, dotato di un'ottima resistenza a trazione. Quest'ultimo è utilizzato in barre (oggi esclusivamente ad aderenza migliorata, realizzata mediante opportuni risalti) e viene annegato nel calcestruzzo nelle zone ove è necessario far fronte alle tensioni di trazione.

Le barre hanno diametro variabile commercialmente da 5 mm a 32 mm e possono essere impiegate sia come “armatura longitudinale”, sia come “staffe”. Per problemi di trasporto, le barre di armatura vengono prodotte barre fino ad una lunghezza massima di 12 metri. Le barre si possono presentare anche sotto forma di reti elettrosaldate (nei diametri da 5 a 10 mm) a maglia quadrata con passi variabili da 10 a 20 cm e vengono, in questo caso, impiegate per armare solette o muri in elevazione.

La collaborazione tra due materiali così eterogenei è garantita dall’aderenza tra i due materiali che trasmette le tensioni dal calcestruzzo all'acciaio in esso annegato e viceversa.

Il cemento armato può essere realizzato in opera o in stabilimento (per produrre elementi prefabbricati). La produzione in stabilimento permette di avere un miglior controllo sulla qualità del calcestruzzo e risulta essere conveniente quando gli elementi da produrre richiedono calcestruzzi di elevata qualità, per la produzione di cemento armato precompresso (tecnologia necessaria per strutture in c.a. di grandi luci) o per strutture ripetute in serie (capannoni industriali, tegoli di copertura, ecc.). In cantiere, la tecnologia del calcestruzzo gettato in opera ha il vantaggio di semplificare i collegamenti tra gli elementi strutturali e di rendere economica la struttura soprattutto per edifici di dimensioni correnti.



Vengono brevemente descritti nel seguito le caratteristiche principali dei due materiali.

3.2 IL CALCESTRUZZO

Il calcestruzzo è un conglomerato artificiale costituito da una miscela di legante, acqua e aggregati (sabbia e ghiaia) e con l'aggiunta, secondo le necessità, di additivi, e/o aggiunte minerali che influenzano le caratteristiche fisiche o chimiche del conglomerato sia fresco che indurito.

Il legante, idratandosi con l'acqua, indurisce e conferisce alla miscela una resistenza. Attualmente il legante utilizzato per confezionare calcestruzzi è il cemento (normalmente cemento Portland), ma in passato sono stati realizzati calcestruzzi che utilizzavano leganti differenti come la calce aerea, o idraulica.

Il calcestruzzo fresco viene gettato nel cassero e costipato con vibratori, ma esistono formulazioni moderne del calcestruzzo dette autocompattanti (SCC) che non richiedono la costipazione.

Nella normativa italiana (Nuovo Testo Unico per le Costruzioni – nel seguito

NTC2008), definisce diverse classi di resistenza del calcestruzzo, contraddistinte da diversi valori caratteristici delle resistenze cubica Rck e cilindrica fck a compressione uniassiale. Queste resistenze sono misurate su provini normalizzati e cioè rispettivamente su cilindri di diametro 150 mm e di altezza 300 mm (fck) e su cubi di spigolo 150 mm (Rck). La resistenza caratteristica a compressione è definita come la resistenza per la quale si ha il 5% di probabilità di trovare valori inferiori. Nelle norme la resistenza caratteristica designa quella dedotta da prove su provini come sopra descritti, confezionati e stagionati, eseguite a 28 giorni di maturazione.

Le caratteristiche del calcestruzzo possono essere ottenute tramite prove sperimentali mediante i cosiddetti “controlli di accettazione”, e ricavati dalle formulazioni indicate nel seguito. Con riferimento a prove su cubetti, ogni controllo è rappresentato da almeno tre prelievi, ciascuno dei quali eseguito su un massimo di 100 m3 di getto di miscela omogenea. Un prelievo consiste nel prelevare dagli impasti, al momento della posa in opera il calcestruzzo necessario per la confezione di un gruppo di due provini (due cubetti). Si effettuano le prove sui provini e la media delle resistenze a compressione dei due provini di un prelievo rappresenta la “Resistenza di prelievo”. Si effettua la media delle resistenze dei prelievi ottenendo il valore di resistenza media Rcm.

È possibile passare dal valor medio Rcm al valore caratteristico Rck della resistenza mediante l’espressione:

Rck = Rcm -3.5 [N/mm2]

Deve però risultare anche:



Rck > R1 +3.5 [N/mm2]

dove si è indicato con R1 la resistenza di prelievo più bassa. Nella realizzazione di opere strutturali che richiedano l’impiego di più di 1500 m3

di miscela omogenea è obbligatorio il controllo di accettazione di tipo statistico (denominato controllo di tipo B). In questo caso il numero di provini da prelevare è largamente superiore. Per questo motivo, è possibile passare dal valor medio Rcm al valore caratteristico Rck della resistenza mediante l’espressione:

Rck = Rcm 1.4 σ [N/mm2]

dove σ è lo scarto quadratico medio della distribuzione di resistenza dei campioni. Dalla resistenza caratteristica a compressione su cubi Rck , ottenuta sperimentalmente,

si ottiene quella cilindrica fck (da utilizzare nelle verifiche) mediante l’espressione:

fck = 0.83 Rck

Ai fini della valutazione del comportamento e della resistenza delle strutture in calcestruzzo, questo viene titolato ed identificato mediante la classe di resistenza contraddistinta dai valori caratteristici delle resistenze cilindrica fck e cubica Rck a compressione uniassiale, misurate rispettivamente su provini cilindrici e cubici, espressa in MPa. Sulla base della resistenza a compressione dei provini, vengono definite le classi di resistenza del calcestruzzo riportate in Tabella 3.1.

Classi di resistenza

C8/10 C40/50

C12/15 C45/55

C16/20 C50/60

C20/25 C55/67

C25/30 C60/75

C28/35 C70/85

C32/40 C80/95

C35/45 C90/105

Tabella 3.1. Classi di resistenza del calcestruzzo

Destinazione Classe di

resistenza minima

Per strutture non armate o a bassa percentuale di armatura

C8/10

Per strutture semplicemente armate C16/20

Per strutture precompresse C28/35

Tabella 3.2. Classi di resistenza del calcestruzzo



Il primo numero della classe di resistenza del calcestruzzo indica appunto la resistenza caratteristica ottenuta su provini cilindrici fck e il secondo la resistenza ottenuta su provini cubici Rck. I calcestruzzi delle diverse classi di resistenza trovano impiego secondo quanto riportato nella Tabella 3.2. Il calcestruzzo comunemente utilizzato per le strutture ordinarie è il calcestruzzo di classe C25/30.

La resistenza a trazione del calcestruzzo può essere determinata a mezzo di diretta sperimentazione, condotta su provini appositamente confezionati, per mezzo delle prove di trazione diretta o di prove di trazione indiretta, o, infine, mediante prove di trazione per flessione.

In sede di progettazione si può assumere come resistenza media a trazione semplice fctm del calcestruzzo il valore dipendente dalla resistenza a compressione:

fctm = 0,30 (fck )2/3

in cui le grandezze vanno espresse in N/mm2 (o MPa). Per classi superiori a C50/60 , la resistenza media a trazione semplice fctm del calcestruzzo si valuta mediante la seguente formula:

fctm = 2.12 ln[1+fcm/10]

I valori caratteristici fctk corrispondenti ai frattili 5% e 95% sono assunti, rispettivamente, pari a 0,7 fctm ed 1,3 fctm .

Dalle formule che determinano la resistenza a trazione del calcestruzzo si evidenzia che la resistenza a trazione risulta significativamente inferiore a quella a compressione. Ad esempio, per un calcestruzzo di classe C25/30, la resistenza media a trazione risulta circa 1/10 della resistenza caratteristica a compressione. Ancor minore è tale valore se si considera la resistenza caratteristica a trazione rispetto alla resistenza caratteristica a compressione.

Il valore medio della resistenza a trazione per flessione è assunto, in mancanza di sperimentazione diretta, pari a:

fcfm =1.2 fctm

Per modulo elastico istantaneo del calcestruzzo va assunto quello secante tra la tensione nulla e una tensione di 0,40 fcm, determinato sulla base di apposite prove. In sede di progettazione si può assumere il valore:

Ecm = 22000 [fcm /10]0,3

in cui fcm va espresse in N/mm2 (o MPa). Per il coefficiente di Poisson può adottarsi, a seconda dello stato di sollecitazione, un

valore compreso tra 0 (calcestruzzo fessurato) e 0,2 (calcestruzzo non fessurato).



3.3 ACCIAIO PER CEMENTO ARMATO

L’acciaio da cemento armato è oggi presente solo in barre ad aderenza migliorata, che presentano risalti che ne migliorano l’aderenza con il calcestruzzo.

Le barre hanno diametro variabile commercialmente da 5 mm a 32 mm e possono essere impiegate sia come “armatura longitudinale”, sia come “staffe”. Per problemi di trasporto, le barre di armatura vengono prodotte barre fino ad una lunghezza massima di 12 m. Le barre si possono presentare anche sotto forma di reti elettrosaldate (nei diametri da 5 a 10 mm) a maglia quadrata con passi variabili da 10 a 20 cm e vengono, in questo caso, impiegate per armare solette o muri in elevazione.

Per quanto riguarda l’acciaio per cemento armato, l’unica classe di acciaio ammessa oggi dalla normativa è l’acciaio B450C. L’acciaio per cemento armato B450C è caratterizzato da specifici valori nominali delle tensioni caratteristiche di snervamento e rottura da utilizzare nei calcoli e deve rispettare i requisiti indicati in Tabella 3.3.

Caratteristica Valore Frattile

Tensione di snervamento fyk 450 [N/mm2] 5%

Resistenza a trazione ftk 540 [N/mm2] 5%

Rapporto ftk / fyk > 1.15 10%

Allungamento > 7.5 % 10%

Tabella 3.3. Caratteristiche dell’acciaio B450C.

3.4 LEGAMI COSTITUTIVI DI CALCOLO

La normativa italiana (NTC2008) prevede diversi modelli del legame costitutivo sia per il materiale calcestruzzo che per l’acciaio.

Per quanto riguarda il calcestruzzo, tutti i legami sono caratterizzati dallo stesso

valore di resistenza fcd e dalla deformazione ultima cu, posta pari al 3.5‰

Il legame costitutivo di riferimento presente in normativa è un legame parabola-rettangolo, descritto da un tratto parabolico che raggiunge una tensione massima

denominata fcd per una deformazione inferiore a c2, pari al 2‰, per poi mantenersi con una

tensione costante di valore pari a fcd fino alla deformazione ultima cu, posta pari al 3.5‰.

Tale legame, se pur semplificato, è il più realistico, in quanto modella la non linearità che è presente nel diagramma reale tensione-deformazione del calcestruzzo sin dal principio.

Per classi di resistenza elevate (superiore al C50/60), il legame costitutivo è modificato per tenere in conto della minore duttilità del materiale, aumentando la



deformazione corrispondente all’inizio del tratto costante c2 e diminuendo la deformazione

ultima cu (si veda la normativa – paragrafo 4.1.2).

La resistenza fcd si calcola a partire dalla resistenza cilindrica caratteristica fck con la seguente formula:

c

ckcccd

ff

( 3.1)

dove cc tiene in conto degli effetti scala, causati dalla differente modalità di crisi del

provino il laboratorio rispetto alle strutture reali; più precisamente tiene in conto che la velocità a cui è sottoposto il provino il laboratorio è tipicamente maggiore della velocità di applicazione del carico per una struttura reale. Di conseguenza, in laboratorio, si ottiene un valore della resistenza a compressione del provino cilindrico che è maggiore di quanto non si riscontri nella struttura reale. Inoltre tiene in conto il fatto che il calcestruzzo è un materiale soggetto a viscosità e che quindi modifica le sue caratteristiche di resistenza e deformabilità nel tempo. Per tenere in conto di questi effetti a lungo termine, il coefficiente

cc ha quindi un valore che è minore dell’unità; in particolare la normativa lo impone pari

a cc = 0.85.

c è il coefficiente parziale del materiale calcestruzzo. L’NTC 2008 lo pone pari a

1.5, in accordo con quanto previsto dalla normativa europea (EUROCODICE2 - EC2 2004), mentre nel recente passato le normative precedenti (DM 1996) definivano un coefficiente pari a 1.6.

Per un calcestruzzo di classe C25/30 (aventi quindi una resistenza a compressione su provini cilindrici di fck = 25MPa e una resistenza su cubetti Rck = 30 MPa), la resistenza a compressione di progetto fcd è pari a:

2.145.1

2585.0

c

ckcccd

ff MPa. ( 3.2)

3.5‰2‰

fcd

c

c

Figura 3.1. Legame costitutivo del calcestruzzo



Nel caso di calcestruzzo di Classe non superiore a C50/60, è dimostrabile che l’area sottesa la curva del legame costitutivo è pari a:

cucdcucd

cu

ccu

cu

ccucdcdccucdc fffffArea

8.05.3

5.1

5.3

2

3

2

3

2

3

2 2222

L’area sottesa al legame costitutivo vale quindi circa 0.8 volte l’area che del rettangolo che inscrive la parabola-rettangolo.

Il legame costitutivo utilizzato per l’acciaio è un legame di tipo elasto-plastoco avente tensione di snervamento pari a fyd. La tensione di calcolo di snervamento dell’acciaio è ottenuta dal rapporto tra la relativa tensione caratteristica e il coefficiente

parziale dell’acciaio s :

s

ykyd

ff

( 3.3)

con s = 1.15. La deformazione al limite elastico y è ottenuta utilizzando la linearità tra

tensioni e deformazioni mediante la legge di Hooke:

s

ydy E

f ( 3.4)

Considerando un acciaio tipo B450C che è caratterizzato da una resistenza a trazione

caratteristica fyk = 450 MPa, la deformazione al limite elastico risulta pari a y =1.96‰.

Gli acciaio utilizzati in Europa devono soddisfare ad importanti requisiti di duttilità.

In particolare, è richiesto che la deformazione caratteristica a rottura sia almeno pari al uk

75‰. La deformazione associata alla tensione di rottura dell’acciaio è molto grande rispetto a quella limite del calcestruzzo compresso (75‰ >> 3.5‰). Sulla base di questa considerazione, le nuove norme considerano un legame per l’acciaio elasto-plastico con deformazione ultima illimitata, come mostrato in figura 3.2a (la normativa precedente limitava la deformazione dell’acciaio al 10‰). La conseguenza è che la crisi di una sezione inflessa o presso-inflessa avviene sempre per raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo. Ne consegue quindi una significativa semplificazione nel calcolo delle sezioni inflesse e presso-inflesse (si veda nel seguito).

Una seconda possibilità offerta al progettista è quella di considerare un modello che tiene in conto dell’incrudimento dell’acciaio, introducendo al posto del ramo

indefinitamente plastico, un ramo con deformazione ultima pari a ud = 0.9 uk e

corrispondente tensione pari a k fyd, (Figura 3.2b) con k fattore di sovraresistenza:

y

t

f

fk ( 3.5)



dove tf e yf sono le resistenze medie (non caratteristiche) a trazione e di snervamento

dell’acciaio.

1.96‰

fyd

s

s 1.96‰

fyd

s

sud

k fyd

(a) (b)

Figura 3.2. Legame costitutivo dell’acciaio (a) elasto plastico e (b) elasto incrudente


VERIFICHE PER ELEMENTI INFLESSI E IN C.A. CON IN METODO DEGLI SLU 55/139

4 VERIFICHE PER ELEMENTI INFLESSI E IN C.A. CON IN METODO DEGLI SLU

4.1 IPOTESI DI CALCOLO

Le ipotesi di calcolo su cui si basa la trattazione sono le seguenti: 1- conservazione delle sezioni piane; 2- perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo (in compressione); 3- calcestruzzo non reagente a trazione; 4- legami costitutivi parabola rettangolo per il calcestruzzo e elastico-perfettamente

plastico per l’acciaio (come descritti nel paragrafo precedente); 5- la crisi della sezione avviene per raggiungimento della deformazione ultima del

calcestruzzo (in quanto la deformazione ultima dell’acciaio è considerata infinita). L’ipotesi 1 è in realtà rigorosa solo per materiali elastico-lineari, in assenza di taglio

o torsione (che può provocare ingobbamento della sezione). Nel caso del c.a. è un’ipotesi che trova fondamento dai risultati di campagne sperimentali. L’ipotesi di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo in compressione è giustificata dal basso livello di deformazioni in gioco. Piccoli scorrimenti potrebbero esserci ma questi risultano essere trascurabili. La resistenza a trazione del calcestruzzo non è nulla, ma è molto piccola rispetto a quella a trazione e può quindi essere trascurata. Inoltre, a causa della fessurazione che certamente è presente quando si analizza il comportamento ultimo a flessione di sezioni in c.a., la verifica viene effettuata nella sezione fessurata, per la quale l’ipotesi è perfettamente corrispondente alla realtà.

4.2 CAMPI DI ROTTURA PER SEZIONI INFLESSE

Rimuovendo per un attimo l’ipotesi che la deformazione dell’acciaio ultima sia

infinita ma finita (cioè come la normativa italiana precedente imponeva - ud = 10‰), la

crisi può avvenire o per raggiungimento della deformazione ultima nell’acciaio o per raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo. Ciò ne deriva che tutte le possibili configurazioni di deformazione che rappresentano la crisi della sezione devono

essere caratterizzate dall’avere o deformazione nell’acciaio pari a ud o deformazione



ultima nel calcestruzzo pari a cu. Ne consegue che si possono definire i cosiddetti “campi

di rottura” definiti dalla figura 4.1. Si definisce “campo 2” o campo delle deboli armature, il campo caratterizzato da rette di deformazione con crisi dell’acciaio teso (ovvero con

deformazione in corrispondenza dell’acciaio teso pari a ud). Si definisce inoltre “campo 3”

o campo delle medie armature, il campo in cui ricadono tutte le configurazioni di crisi che vedono il calcestruzzo alla sua deformazione ultima e l’acciaio con deformazione

compresa tra yd e ud (acciaio snervato). Infine si definisce “campo 4” o campo delle forti

d'

c

d

A's

Asb

H

x

ydud s=0

s

sc '

cu

ydud s=0

s

sc '

cu

c

d

A's

Asb

H

d'

x

c

d

A's

Asb

H

d'x

ydud s=0

s

sc '

cu

ud=

cu=

yd>

CAMPO 2

CAMPO 3

CAMPO 4

Figura 4.1. Campi di rottura



armature, il campo in cui le rette di deformazione di crisi sono caratterizzate dal raggiungimento del limite di deformazione per il calcestruzzo con acciaio non ancora

snervato (la deformazione dell’acciaio teso s < yd ).

4.2.1 Crisi in campo 3 con armatura compressa snervata

Nell’ipotesi che la crisi avvenga per schiacciamento del corrente compresso di calcestruzzo, che avviene per raggiungimento della deformazione ultima a compressione

cu, il calcolo della sezione inflessa risulta essere semplice. Infatti viene a mancare la crisi

in “campo 2”, così come definita al capoverso precedente, mentre è possibile solo crisi in campo 3 o 4. Inoltre, se i quantitativi di armatura imposti dalla normativa attuale vengono rispettati (in particolare non si eccede con l’armatura il massimo previsto dall’NTC2008), la crisi può avvenire solo in campo 3.

La trattazione del campo 4 verrà però ugualmente esposta nel seguito in quanto può essere necessario effettuare una verifica di elementi in c.a. esistenti che, essendo costruiti prima dell’entrata in vigore dell’NTC2008 posso avere una percentuale di armatura superiore al massimo consentito oggi, con conseguente possibile crisi in campo 4.

Per valutare il momento resistente della sezioni, con il quale si effettua la verifica (si veda paragrafo 1.3 sul metodo agli stati limite - i.e. Mrd > MEd), occorre valutare e quantificare gli sforzi interni alla sezione nella condizioni di crisi incipiente.

Con riferimento alla figura 4.2, si impone la crisi ponendo la deformazione del calcestruzzo all’estremo lembo superiore pari al 3.5‰. Il profilo di deformazione (lineare per ipotesi di conservazione di sezioni piane), è definito ipotizzando la posizione dell’asse

neutro x o, meglio, definendo la deformazione nell’acciaio teso s > y

Dal diagramma delle deformazioni (Figura 4.2a), è possibile ricavare il diagramma delle tensioni (Figura 4.2b) attraverso i legami costitutivi del materiale.

Nel calcestruzzo il legame costitutivo risulta completamente sviluppato, in quanto,

per quanto già ripetuto, la deformazione cu = 3.5‰.

In questo caso, si può far riferimento allo stress block, ovvero ad una distribuzione di tensioni rettangolare equivalente a distribuzione effettiva delle tensioni definite dal legame costitutivo parabola-rettangolo. La distribuzione delle tensioni può quindi essere considerata rettangolare, con area equivalente all’area sottesa dal legame costitutivo. Per quanto esposto nel paragrafo precedente, l’area sottesa al legame costitutivo vale circa 0.8 volte l’area che del rettangolo che inscrive la parabola-rettangolo, ed il baricentro è posto a circa 0.4 volte l’altezza dello stress block (Figura 4.2c).

Poiché la crisi si ha con il calcestruzzo alla deformazione ultima, la risultante delle tensioni di compressione Rc è pari a:

cd

x

c xbfdzzbR 8.00

( 4.1)



c

d

A's

Asb

H

d'

x

yd s=0

s

sc '

cu

cu=

yd>

CAMPO 3

x 0.8 x

cdf cdf0.4 x

Rs

R's

Rc

Rs

R's

Rc

(a) (b) (c)

Figura 4.2. Sezione con deformazioni e relative tensioni

Indicando con As l’area dell’armatura tesa, la risultante delle tensioni di trazione Rs è pari a:

ydss fAR ( 4.2)

in quanto si è supposto precedentemente una deformazione dell’acciaio teso superiore a y

cui corrisponde una tensione pari a fyd. Non è nota a priori la deformazione dell’acciaio compresso. In questa prima fase,

dato che la deformazione del calcestruzzo al lembo superiore è pari al 3.5‰, è verosimile pensare che l’armatura compressa, che si trova prossima al lembo superiore, abbia una deformazione non molto minore del 3.5‰. Di conseguenza è possibile supporre che l’acciaio compresso sia snervato, che equivale a supporre la sua deformazione maggiore del 1.96‰. Tale supposizione dovrà però trovare conferma a posteriori.

Se l’acciaio compresso è snervato (’s ≥ y), la risultante corrispondente sarà pari a:

ydss fAR '' ( 4.3)

nella quale sA' è l’area dell’armatura compressa.

La soluzione del problema di flessione è effettuato imponendo l’equilibrio alla traslazione e l’equilibrio alla rotazione.

Imponendo l’equilibrio alla traslazione:

0' ssc RRR ( 4.4)

Sostituendo la (4.1), la (4.2) e la (4.3) nella (4.4), si ottiene:

0'8.0 ydsydscd fAfAxbf ( 4.5)

nella quale l’unica incognita presente è la posizione dell’asse neutro x:



cd

ydsyds

bf

fAfAx

8.0

' ( 4.6)

Per comodità di notazione e per generalità, la (4.6) è spesso espressa in forma adimensionale, ottenendo la seguente formulazione:

125.11

25.18.0

'M

cd

yds

cd

ydsyds

bdf

fA

bdf

fAfA

d

x ( 4.7)

Avendo indicato con:

d

x ,

s

s

A

A' ( 4.8)

cd

ydsM bdf

fA ( 4.9)

dove è la posizione dell’asse neutro adimensionale, indica la quantità di armatura

compressa rispetto a quella tesa e M è detta percentuale meccanica di armatura, in quanto

compaiono, oltre al rapporto tra le aree (nota come percentuale geometrica) anche le resistenze.

Imponendo l’equilibrio alla rotazione, ad esempio per un punto posto sulla retta d’azione della risultante calcestruzzo Rc, si ottiene:

Rdydsyds MxdfAdxfA 4.0'4.0' ( 4.10)

da cui, raccogliendo yds fA si ottiene

'4.04.0 dxxdfAM ydsRd ( 4.11)

La (4.11) può essere convenientemente posta in forma adimensionale, dividendo entrambi i membri per la quantità:

cdfbdM 20 ( 4.12)

ottenendo:

'4.04.01'4.04.0

0

Mcd

ydsRd

d

dxxd

bdf

fA

M

M ( 4.13)

'4.04.010

MRd

M

M ( 4.14)

dove si è posto:

d

d '' ( 4.15)



Le equazioni di equilibro alla rotazione e alla traslazione possono così essere espresse in forma dimensionale:

0'8.0 ydsydscd fAfAxbf ( 4.16)

'4.04.0 dxxdfAM ydsRd ( 4.17)

o in forma adimensionale equivalente:

125.1 Md

x ( 4.18)

')1(4.010

MRd

M

M ( 4.19)

A queste equazioni va aggiunta l’equazione che permette di ricavare la deformazione

dell’acciaio compresso s' , imponendo la conservazione delle sezioni piane (si veda la

figura 4.2):

'

'

dxxsc

( 4.20)

da cui si ricava:

x

dx

x

dxcs

'0035.0

''

( 4.21)

Dividendo numeratore e denominatore per l’altezza utile d si ottiene la forma analoga adimensionale:

'

0035.0's ( 4.22)

La (4.21) o la (4.22) permettono di verificare se l’armatura compressa è realmente

snervata (’s ≥ y) e se quindi è stato corretto l’utilizzo delle (4.16), (4.17), (4.18) e (4.19)

per valutare posizione dell’asse neutro e momento resistente.

Si noti che se la quantità di armatura compressa è uguale a quella tesa (s

s

A

A' = 1),

la (4.6) o la (4.7) giungono al paradosso che distanza dell’asse neutro dal bordo superiore sia nulla e che quindi il calcestruzzo non dia nessun contributo. Inoltre si noti che, se x=0, l’armatura “compressa” risulterebbe avere deformazione concorde con quella inferiore, ottenendo così due armature entrambe tese che lederebbero l’equilibrio alla traslazione. Il

problema sta nel fatto che l’armatura compressa non può mai essere snervata se = 1. Per

la risoluzione in questa situazione si veda il paragrafo 4.2.2.



Sostituendo la (4.18) nella (4.19) è possibile ottenere un’equazione che fornisce una

equazione di secondo grado che lega la percentuale meccanica di armatura M al momento

resistente adimensionale :

02)'1(2)1( 22 MM ( 4.23)

da cui è possibile ricavare la percentuale meccanica di armatura noto :

22

2)1(2)'1()'1(

)1(

1

M ( 4.24)

Anche la (4.24) mostra come con = 1 non sia possibile ottenere una soluzione se si

ipotizzano entrambe le armature snervate.

4.2.2 Crisi in campo 3 con armatura compressa non snervata

Se l’armatura compressa ha una deformazione che è inferiore alla deformazione di

snervamento ’s < y , occorre modificare le relazioni nelle equazioni di equilibrio alla

rotazione e alla traslazione, considerando il fatto che la tensione dell’acciaio sarà minore di fyd.

Le equazioni vengono così riscritte:

0''8.0 ydssscd fAAxbf ( 4.25)

Rdydsss MxdfAdxA 4.0'4.0'' ( 4.26)

a cui va aggiunta l’equazione che mi determina la tensione nell’acciaio compresso imponendo la conservazione delle sezioni piane e ricordando che il legame dell’acciaio è

lineare per deformazioni inferiori a y:

ssss Ex

dxE

'0035.0''

( 4.27)

Il sistema risolutivo è quindi il seguente:

0''8.0 ydssscd fAAxbf ( 4.28)

'4.0''4.0 dxAxdfAM ssydsRd ( 4.29)

ssss Ex

dxE

'0035.0''

( 4.30)

Sostituendo la terza equazione nella prima, si ottiene una equazione di secondo grado che, risolta, fornisce la posizione dell’asse neutro x; sostituendo quanto trovato nella terza si ricava la tensione nell’acciaio compresso; sostituendo x nella seconda, si ricava il momento resistente. Analoghe espressioni adimensionali possono essere ricavate così come nel caso di armatura compressa snervata.



In modo approssimato, è possibile ricavare il momento flettente resistente RdM

mediante la seguente formula:

dfAM ydsRd 9.0 ( 4.31)

Questa formula non tiene conto della presenza dell’armatura compressa e della reale posizione dell’asse neutro x. Deriva fondamentalmente da porre trascurabile in contributo dell’armatura compressa nella (4.29) in quanto il braccio della risultante dell’armatura

compressa è molto minore di quello dell’armatura tesa. Inoltre s' è minore di ydf ; questo

fa si che il secondo addendo della (3.23) si piccolo rispetto al primo. Infine si stima la posizione dell’asse neutro come:

dx 25.0 ( 4.32)

che corrisponde ad avere l’armatura tesa con deformazione circa pari al 10‰. Sostituendo si ottiene:

dfAddfA

ddfAdxf

xdfAM

ydsyds

ydsyd

sydsRd

9.01.0

025.04.0'4.0'

4.0

( 4.33)

La formula è approssimata ma fornisce risultati buoni se l’asse neutro della sezione risulta alto (ovvero con piccoli valori di x). Ciò accade quando la percentuale di armatura compressa è elevata

4.2.3 Crisi in campo 4

Il campo 4 è, per definizione, caratterizzato dall’armatura tesa non snervata, ovvero

con deformazione s < y. Imponendo le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla

rotazione, si ottiene:

0'8.0 ssydscd AfAxbf ( 4.34)

Rdssyds MxdAdxfA 4.0'4.0' ( 4.35)

Nelle quali la tensione s è ottenuta imponendo la conservazione delle sezioni piane e

ricordando che il legame dell’acciaio è lineare per deformazioni inferiori a y:

sss E ( 4.36)

x

xd

xxd ss

0035.00035.0

( 4.37)

Il sistema risolutivo è quindi il seguente:



0'8.0 ssydscd AfAxbf ( 4.38)

'4.0'4.0 dxfAxdAM ydsssRd ( 4.39)

ssss Ex

xdE

0035.0 ( 4.40)

Sostituendo la terza equazione nella prima, si ottiene una equazione di secondo grado che, risolta, fornisce la posizione dell’asse neutro x; sostituendo quanto trovato nella terza si ricava la tensione nell’acciaio teso; sostituendo x nella seconda, si ricava il momento resistente. Analoghe espressioni adimensionali possono essere ricavate così come nel caso di crisi in campo 3.

4.3 IL PROGETTO E LA VERIFICA DI SEZIONI INFLESSE

In diverse situazioni il problema può essere posto come problema di verifica di una sezione in c.a., ovvero quando sono note tutte le caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e viene chiesto di valutare il momento resistente. In altri casi è richiesto un problema di progetto, ovvero di definire le caratteristiche della sezione che sia in grado di sopportare un predeterminato momento flettente sollecitante. Infine, accade spesso nella progettazione che le dimensioni della sezione siano note (o determinate da altri fattori) e ne è richiesta la determinazione della sola armatura in modo da ottenere verifiche a flessione positive. Quest’ultimo è chiamato semi-progetto. Le procedure di verifica, di semi-progetto e di progetto di sezioni inflesse in c.a. sono illustrate nel seguito.

4.3.1 Il problema di verifica

Se il problema richiede la verifica di una sezione in c.a., devono essere note a priori tutte le caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione (cioè anche i materiali e corrispettive tensioni di progetto). La procedura di verifica consiste: 1. si ipotizza di essere in campo 3; 2. con la (3.22) o (3.24) si calcola la posizione dell’asse neutro;

3. dalla (3.27) si ricava la deformazione dell’acciaio compresso ’s e la si confronta con

la deformazione di snervamento y;

4. analogamente, dalla (3.39) si ricava la deformazione dell’acciaio teso ’s e la si

confronta con la deformazione di snervamento y;

5. se entrambe sono maggiori della y =1.96‰, si calcola il momento resistente

mediante la (3.23) o la (3.25); 6. Se ciò non è verificato, occorre ripartire con il procedimento applicando le formule

per il campo 4 qualora la deformazione dell’acciaio teso sia inferiore allo



snervamento (s < y) – equazioni (3.33), (3.34) e (3.35). Utilizzando le regole del

campo 3 con armatura compressa non snervata qualora risultasse (’s < y) –

equazioni (3.40), (3.41) e (3.42).

In modo approssimato, è possibile ricavare il momento flettente resistente RdM

mediante la seguente formula:

dfAM ydsRd 9.0 ( 4.41)

quando la percentuale di armatura compressa è elevata (Campo 3 con armatura compressa snervata)

4.3.2 Il problema di semi progetto

Se il problema richiede la progettazione dell’armatura data la geometria della sezione, il problema è detto di semi-progetto. La procedura di semi-progetto consiste nel

determinare l’armatura minima da porre nella trave imponendo che EdRd MM . Si

procede come segue. 7. Si ipotizza di essere in campo 3;

8. si fissa un valore di ;

9. si calcola il coefficiente 0M

M Ed

10. con la (3.29) si calcola la percentuale meccanica di armatura in funzione di e ;

11. dalla (3.14) si ricava l’area di armatura tesa sA e, tramite , l’area di armatura

compressa 'sA

In modo approssimato, se, ad esempio =1, è possibile valutare la quantità di

armatura necessaria mediante la seguente formula:

df

MA

yd

Rds 9.0 ( 4.42)

4.3.3 Il problema di progetto

In un problema di progetto è noto solamente il momento sollecitante. Si hanno a disposizione il solo equilibrio alla rotazione, l’equilibrio alla traslazione e la conservazione delle sezioni piane. Non è possibile quindi determinare tutti i parametri necessari. Occorre fissare alcuni di questi per poi ricavare gli altri. Tra questi, il copriferro c e d’, il rapporto tra armatura compressa e tesa vengono stabiliti a priori. Inoltre si deve stabilire anche una delle due dimensioni della sezione.

La procedura di progetto ottiene le dimensioni minime e le quantità minime di

armatura imponendo che EdRd MM . Si procede come segue.

12. Si ipotizza di essere in campo 3;



13. si fissa un valore di , del copriferro c e d’;

14. si sceglie un valore per il coefficiente 0M

M Ed . Per quanto possibile, si consiglia di

scegliere nel range 0.15÷0.25. Si calcola quindi M0. Si noti che fissare un valore a

M0 equivale a fissare la posizione dell’asse neutro a parità di armatura longitudinale.

15. dalla definizione di M0. (equazione 3.17) si ricava l’altezza utile d nota la base o si ricava la base nota l’altezza. Tipicamente per le travi in altezza è nota la base, mentre per quella in spessore l’altezza è paria all’altezza del solaio: occorre quindi determinare la base.

16. nota la geometria, si prosegue come in un problema di semi-progetto.




VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE CON IN METODO DEGLI SLU 67/139

5 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE CON IN METODO DEGLI SLU

Quando si deve effettuare una verifica nei confronti di una sollecitazioni composta (ovvero in cui concorrono nella stessa sezione più di una azione interna) per un materiale elastico lineare e isotropo si è soliti definire regole per la combinazione delle tensioni per ottenere tensioni ideali con le quali valutare la sicurezza. Per il calcestruzzo armato, invece, a causa della non linearità del materiale e della sensibile differenza di comportamento nei confronti di sollecitazioni di trazione o compressione, è preferibile usare domini di interazione che delimitino una porzione di spazio “di sicurezza”, rispetto alla restante parte “di crisi”.

In tal senso, la verifica a presso-flessione per elementi in c.a. agli SLU viene eseguita costruendo un dominio di resistenza Momento Flettente – Sforzo Normale, (nel seguito dominio M-N), da cui effettuare le verifiche. Nel paragrafo 5.1 e 5.2. viene riportata la procedura per ottenere tale dominio. Nel paragrafo 5.3, invece, viene descritta la procedura per ricavare in modo rigoroso e in modo approssimato il dominio di interazione nel caso di presso-flessione deviata (dominio Mx-My-N).

5.1 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE RETTA

Nel caso di presso-flessione si opera esattamente come nel caso della flessione semplice, con la sola differenza che la somma delle risultati di acciaio e calcestruzzo non deve essere nulla, ma deve fare equilibrio allo sforzo normale agente NEd.

Si consideri quindi la generica sezione rettangolare di dimensioni Hb per la quale

As è l’area dell’armatura inferiore, avente una deformazione s ed una tensione s , e A’s è

l’area dell’armatura superiore, avente una deformazione s' , e una corrispondente

tensione s' .

Si impone quindi, come per la flessione, l’equilibrio alla traslazione e l’equilibrio alla rotazione. Con riferimento alla notazione presente in Figura 5.1, si scrive l’equilibrio alla traslazione facendo uso, per quanto riguarda il calcestruzzo, dello stress block:

Rdsssscd NAAxbf ''8.0 ( 5.1)

dove RdN è lo sforzo normale resistente. Imponendo l’equilibrio alla rotazione, ad

esempio per il baricentro della sezione (posto ad H/2) si ottiene:



c

d

A's

Asb

H

d'

x

yd s=0

s

sc '

cu

cu=

yd>

CAMPO 3

x 0.8 x

cdf cdf0.4 x

Rs

R's

Rc

Rs

R's

Rc

(a) (b) (c)

Figura 5.1. Sezione con deformazioni e relative tensioni

Rdsssscd McH

AdH

AxH

fxb

'

2'

2''4.0

28.0 ( 5.2)

È ovviamente possibile effettuare l’equilibrio ai momenti attorno ad un punto scelto a piacere. Se si effettua però l’equilibrio rispetto al baricentro della sezione risulta nullo il

braccio dello sforzo normale resistente RdN e, di conseguenza, le (5.1) e (5.2) risultano

disaccoppiate (con vantaggi dal punto di vista computazionale). Le (5.1) e (5.2) sono state scritte ipotizzando che esista un asse neutro che tagli la

sezione e che quindi la sezione sia parzializzata. Analoghe considerazioni possono essere fatte pensando ad un asse neutro che cada al di fuori della sezioni o che sia all’infinito

(trazione pura o compressione pura). Inoltre è stata genericamente indicata con s la

tensione dell’acciaio inferiore, che potrà essere o meno pari alla tensione di snervamento di

progetto ydf se la deformazione s è superiore o meno della deformazione di snervamento

y . Analoga osservazione va fatta per l’armatura superiore A’s .

In ogni modo, l’equazioni o alla traslazione associata all’equazione di equilibrio alla rotazione formano un sistema di due equazioni che risolvono il problema della presso-flessione. Anche se il problema è di verifica, ovvero per il quale tutte le caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione sono note, accade però che nella (5.1) risultano

essere incognite la posizione dell’asse neutro x e lo sforzo normale resistente RdN . Nella

(5.2) risultano essere incognite la posizione dell’asse neutro x e il momento resistente

RdM . Complessivamente, il sistema formato dalla (5.1) e (5.2) ha ∞1 soluzioni, in quanto è

formato da 2 equazioni e 3 incognite ( RdN , RdM e x).

Nel piano Momento Flettente – Sforzo Normale, le ∞ soluzioni date dalla (5.1) e (5.2) rappresentano una curva, denominata dominio di interazione Sforzo Normale – Momento Flettente, che indica il luogo di punti di crisi nella sezione. Un esempio di



dominio per sezione rettangolare con armatura superiore e inferiore uguali è rappresentato in Figura 5.2.

Per ottenere questo dominio, è conveniente precedere secondo quanto descritto nel seguito. 1. Si fissa un valore della posizione dell’asse neutro x (o, analogamente, la deformazione

dell’acciaio inferiore); 2. si assegna la crisi di un materiale per il raggiungimento della deformazione ultima; il

piano delle deformazioni è così compiutamente definito; 3. si determinano le deformazioni dei materiali;

4. si valutano le tensioni e le relative risultanti ( cR , sR' e sR );

5. si scrive l’equilibrio alla traslazione e, dato che la posizione dell’asse neutro x è fissata

a priori, si ricava lo sforzo normale resistente di progetto RdN ;

6. si scrive l’equilibrio alla rotazione e, dato che la posizione dell’asse neutro x è fissata a

priori, si ricava il momento flettente resistente di progetto RdM ;

7. si ottiene così un punto del dominio, di coordinate P = [ RdN , RdM ].

Ripetendo la procedura per diversi valori della posizione dell’asse neutro x si può ottenere l’intero dominio. Nel paragrafo successivo vengono esplicitate le equazioni di equilibrio per alcuni punti con caratteristiche salienti.

Dominio M-N

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Sforzo Normale [KN]

Mo

men

to F

lett

en

te [

KN

m]

Figura 5.2. Esempio di Dominio Sforzo Normale – Momento Flettente



5.2 COSTRUZIONE EL DOMINIO M-N PER UNA SEZIONE CON ARMATURA SIMMETRICA

Si esegue il calcolo del dominio di una sezione rettangolare con armatura simmetrica. Nel seguito, anche se si continuerà a chiamare le due armature con As e A’s , si rammenti che esse sono uguali. Si valutano i punti del dominio corrispondenti alla pura trazione

(punto “A”), alla pura compressione (punto “E”), ad un punto per cui s = y (punto “C”),

ad un generico punto in campo 3 ( s > y , punto “B”), un generico punto in campo 4 ( s

< y punto “D”).

5.2.1 Punto “A”: pura trazione

Nel caso di massima trazione, l’asse neutro è posto all’infinito, con conseguente diagramma delle deformazioni costante e di trazione su tutta la sezione. Con riferimento alla Figura 5.3, la risultante dell’acciaio inferiore è pari a:

ydss fAR ( 5.3)

in quanto, in configurazione di crisi, l’acciaio inferiore è certamente snervato. Analogamente accade per l’armatura superiore:

ydss fAR '' ( 5.4)

Il calcestruzzo, invece, non reagisce, in quanto si è supposta trazione su tutta la sezione.


Rdssc NRRR ' ( 5.5)

si ottiene:

Rdydsydsyds NfAfAfA 2' ( 5.6)

in quanto As = A’s. Imponendo l’equilibrio alla rotazione si ottiene:

Rdydsyds MdH

fAcH

fA

'

2'

2 ( 5.7)

Dato che solitamente il copriferro superiore d’ è uguale al copriferro inferiore c , la (5.7) fornisce:

0RdM ( 5.8)

Il punto “A” è quindi dato dalla coppia:

0,2,"" ydsRdRd fAMNA ( 5.9)



con RdN di trazione.

c

d

A's

Asb

H

d'

Rs

R's

NRd

H/2

H/2

Figura 5.3. Sezione interamente tesa

5.2.2 Punto “E”: pura compressione

Nel caso di pura compressione, l’asse neutro è posto all’infinito, con conseguente diagramma delle deformazioni costante e di compressione su tutta la sezione (Figura 5.4). La deformazione è posta costante al 3.5‰ (pari alla deformazione ultima del calcestruzzo). In tale situazione, entrambe le armature sono compresse e snervate, in quanto

s =3.5‰ > y =1.96‰

Le risultanti dell’acciaio superiore ed inferiore sono pari a:

ydss fAR ; ydss fAR '' ( 5.10)

Il calcestruzzo reagisce in tutta la sezione con una tensione pari a cdf in quanto,

differentemente dal “punto A”, la sezione è compressa. Si ottiene quindi la risultante del calcestruzzo:

cdc fbHR ( 5.11)


Rdssc NRRR ' ( 5.12)

si ottiene:

Rdcdydscdydsyds NfbHfAfbHfAfA 2' ( 5.13)

Imponendo l’equilibrio alla rotazione si ottiene:

Rdydsyds MdH

fAcH

fA

'

2'

2 ( 5.14)



nella quale non compare la risultante del calcestruzzo dato che il suo braccio è nullo (Figura 5.4). Dato che solitamente il copriferro superiore d’ è uguale al copriferro inferiore c , la (5.14) fornisce:

0RdM ( 5.15)

Il punto “E” è quindi dato dalla coppia:

0,2,"" cdydsRdRd fbHfAMNA ( 5.16)

con RdN di compressione.

c

d

A's

Asb

H

d'

Rc

Rs

R's

NRd

H/2

H/2

Figura 5.4. Sezione interamente compressa

5.2.3 Punto “C”: deformazione dell’acciaio As pari a quella di snervamento

Si sceglie una posizione dell’asse neutro x tale per cui la crisi è per raggiungimento

della deformazione ultima del calcestruzzo (cu = 3.5‰) e la deformazione dell’acciaio

inferiore è pari alla deformazione di snervamento ( s = y ). Tale configurazione è

rappresentata in Figura 5.5.

Sfruttando l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane e ricordando che s = y , si

ricava il valore di x:

0035.01

0035.0

y

s dx

xxd

( 5.17)



s=0

s

sc '

cu

cu=

yd=

Rsc

d

A's

Asb

H

d'

H/2

H/2

x

NRd

R's

Rc MRd

Figura 5.5. Sezione con deformazione nell’acciaio inferiore pari alla deformazione di snervamento

Si ricava la deformazione dell’acciaio superiore (compresso) sfruttando, ancora una volta l’ipotesi di sezioni piane:

x

dx

x

dxcs

'0035.0

''

( 5.18)

Se tale deformazione è maggiore di y , l’armatura superiore sarà snervata con

tensione corrispondente pari a fyd . Se ciò non accade, si pone la tensione:

ssss Ex

dxE

'0035.0''

( 5.19)

Si rammenta che tale tensione è nota perchè si è imposta una particolare configurazione di crisi in cui il diagramma delle deformazioni è noto a priori.

Si scrive l’equilibrio alla traslazione:

Rdydssscd NfAAxbf ''8.0 ( 5.20)

e alla rotazione:

Rdsssscd McH

AdH

AxH

fxb

'

2'

2''4.0

28.0 ( 5.21)

In queste equazioni sono note tutte le quantità a sinistra del segno di uguaglianza ed è

quindi possibile ricavare facilmente RdN dalla (5.20) e RdM dalla (5.21).

5.2.4 Punto “B”: deformazione dell’acciaio As maggiore di quella di snervamento

Per tutti i punti con deformazione dell’acciaio inferiore maggiore della deformazione di snervamento valgono le relazioni scritte per il punto “C”. L’equilibrio alla traslazione:

Rdydssscd NfAAxbf ''8.0 ( 5.22)

e alla rotazione:



Rdsssscd McH

AdH

AxH

fxb

'

2'

2''4.0

28.0 ( 5.23)

forniscono i valori di RdN e RdM una volta ottenuti il valore di x e s' . Questi ultimi sono

ottenuti con la (5.17) e con la (5.18).

5.2.5 Punto “D”: deformazione dell’acciaio As minore di quella di snervamento

Per tutti i punti con deformazione dell’acciaio inferiore minore della deformazione di snervamento valgono le relazioni scritte per il punto “C” sostituendo alla tensione di

progetto ydf la tensione s , in quanto l’acciaio non è snervato.

Sfruttando l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ricava il valore di x:

0035.0

1

0035.0

s

s dx

xxd

( 5.24)

se si impone una deformazione per l’acciaio inferiore, ovvero:

x

xd

xxd ss

0035.00035.0

( 5.25)

se si impone una posizione dell’asse neutro x. Si ricava la deformazione dell’acciaio superiore (compresso) sfruttando, ancora una

volta l’ipotesi di sezioni piane:

x

dx

x

dxcs

'0035.0

''

( 5.26)

e se ne attribuisce la corrispondente tensione ( s se s < y . o fyd se s ≥ y .).

Si scrive l’equilibrio alla traslazione:

Rdssydscd NAfAxbf '8.0 ( 5.27)

e alla rotazione:

Rdssydscd McH

AdH

fAxH

fxb

'

2'

2'4.0

28.0 ( 5.28)

che forniscono i valori di RdN e RdM .

5.2.6 Verifica con il dominio M-N e fattori di sicurezza

Unendo i punti trovati nel piano cartesiano M-N s ottiene una spezzata, coerente con quanto indicato in Figura 5.6, che indica il luogo di punti in cui la sezione è in condizione



di crisi. La verifica a pressoflessione può quindi essere effettuata ponendo, sullo stesso diagramma, il punto di coordinate:

EdEd MNP , ( 5.29)

che è definito dalla coppia sforzo normale sollecitante e momento flettente sollecitante. Se accade che tale punto è interno al dominio, la verifica di sicurezza è positiva in quanto, per esempio, a parità di sforzo normale N il momento sollecitante risulta essere minore del corrispettivo momento resistente. Se invece accade che il punto è esterno al dominio, la verifica di sicurezza non è soddisfatta.

In tal senso, possono quindi essere definiti i fattori di sicurezza , intesi come una

misura di quanto si è prossimi alla crisi. Nel caso della pressoflessione, possono essere

definiti 3 differenti fattori di sicurezza : un primo fattore 1 che indica la distanza dal

dominio nel caso in cui si aumenti in modo proporzionale sia M che N:

OA

OP1 ( 5.30)

in cui OP e OA sono i due segmenti indicati in Figura 5.7. Sempre con riferimento alla Figura 5.7, possono essere definiti altri due fattori che

indicano la distanza dal dominio nel caso in cui si aumenti solo M:

''

'2 AO

PO ( 5.31)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-500 0 500 1000 1500 2000

Dominio semplif icato

Sollecitazione

A

B3

E

C

B1

B2

D1

D2

Figura 5.6. Dominio M-N ottenuto per punti con indicato un generico punto di verifica (verifica positiva)



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-500 0 500 1000 1500 2000


Sollecitazione

PO''

E

A'

O O'

A

A''

Figura 5.7. Dominio M-N e valutazione dei fattori di sicurezza.

o solo N:

''''

''1 AO

PO ( 5.32)

5.2.7 Osservazioni

Il dominio di interazione M-N è convesso. Conseguentemente, se si calcolano solo alcuni punti (come illustrato) si ottiene un dominio M-N approssimato che è a favore di sicurezza, in quanto interno al dominio più accurato, quest’ultimo ottenuto con più punti (si veda la Figura 5.8). Dalla Figura 5.8 si nota inoltre i pochi punti definiti in precedenza (6 o 7) sono sufficienti per ottenere una ottima approssimazione.

Se la sezione è simmetrica, il dominio è simmetrico secondo l’asse dello sforzo normale (Figura 5.2); ciò non può accadere secondo l’asse del momento flettente. Infatti, per sforzi di trazione reagiscono le sole barre d’armatura mentre per sola compressione vi è in aggiunta anche il contributo del calcestruzzo (si confrontino la (5.6) con la (5.13)).

Il punto con momento flettente massimo è ottenuto ponendo s = y .

I punti di massima trazione e massima compressione hanno il corrispettivo momento nullo solo nel caso di armatura simmetrica (si veda l’equazione 5.7 e 5.14)

Si noti infine che con il procedimento svolto, si è ottenuto solo metà del diagramma. L’altra parte (simmetrica a questa in quanto l’armatura è simmetrica) si otterrebbe invertendo il segno del momento flettente, ovvero scambiando la zona tesa con quella compressa e ripetendo il procedimento svolto.



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-500 0 500 1000 1500 2000


Sollecitazione

Dominio accurato

Dominio Semplif icato

Dominio Accurato

Figura 5.8. Esempio di Dominio Sforzo Normale – Momento Flettente

La determinazione del problema di verifica è possibile in un problema di verifica, nel quale sono noti a priori tutti i dati geometrici e meccanici. A causa della complessità del problema, non si è soliti invece effettuare progetti o semi-progetti a pressoflessione. Nel caso di un problema di semiprogetto, è possibile utilizzare domini normalizzati per diverse percentuali di armatura. Uno di questi è riportati in Figura 5.9. In tale figura si è indicato con:

cd

Rdd bHf

N ( 5.33)

lo sforzo normale adimensionale rispetto la quantità di calcestruzzo, con:

cd

Rdd fbH

M2

( 5.34)

lo sforzo normale adimensionale e con:

cd

ydss

cd

ydtots

f

f

bH

AA

f

f

bH

A ', ( 5.35)

la quantità di armatura adimensionale. Questi si utilizzano inserendo nel grafico i valori dei sollecitazione agenti sulla

sezioni:

cd

EdEd bHf

N ,

cd

EdEd fbH

M2

( 5.36)

e valutando la quantità di armatura che fa si che il punto sollecitante stia dentro al

relativo dominio (nel caso di Figura 5.9, minimo = 0.6). Valutato quindi è possibile

ottenere la quantità di armatura totale ( ss AA ' ) invertendo la (5.35).



0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

d - Sforzo Normale adimensionale

d

- M

om

en

to a

dim

en

sio

na

le

Figura 5.9. Esempio di Dominio Normalizzato per diverse quantità di armatura

5.3 COSTRUZIONE EL DOMINIO M-N PER UNA SEZIONE CON ARMATURA NON SIMMETRICA

Se l’armatura non è simmetrica ss AA ' , il dominio non risulta più simmetrico

rispetto all’asse dello sforzo normale. Un esempio di dominio ottenuto per armatura non simmetrica è presente in Figura 5.10.

Per la determinazione di tale dominio si procede esattamente allo stesso modo che è stato mostrato per armatura simmetrica ma tenendo ben presente che nei punti di pura

trazione e pura compressione non si ha momento nullo. Infatti, se ss AA ' , dalla (5.7) e la

(5.14) – punto “A” e punto “E” – si ottiene 0RdM . In particolare, per il fatto che la

risultante del calcestruzzo (nel punto “E”, ovviamente) ha braccio nullo, accade che

"""" BMAM RdRd . Questo risultato è immediato confrontando la (5.7) con la (5.14).



Dominio M-N

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Sforzo Normale [KN]

Mo

men

to F

lett

en

te [

KN

m]

Figura 5.10. Esempio di Dominio Sforzo Normale – Momento Flettente con armatura non simmetrica

5.4 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DEVIATA

Il procedimento per la determinazione del dominio di resistenza nel caso di pressoflessione deviata ricalca concettualmente quello già descritto nel paragrafo 5.2, ma si complica notevolmente in quanto l’asse neutro non è più parallelo ad una delle due direzioni principali della sezione e non è nemmeno ortogonale all’asse di sollecitazione.

Nel caso di presso-flessione deviata si hanno a disposizione tre equazioni di equilibrio: l’equilibrio alla rotazione nelle due direzioni oltre all’equilibrio alla traslazione.

In numero delle incognite però risulta essere 5: lo sforzo normale resistente RdN , i due

momenti resistenti xRdM , e yRdM , , la posizione dell’asse neutro x e l’inclinazione dell’asse

neutro ϑ (si rammenti che nei problemi di presso-flessione deviata l’asse neutro è inclinato rispetto ai due assi principali). Complessivamente, il sistema ha ∞2 soluzioni, in quanto è formato da 3 equazioni e 5 incognite.

Nello spazio Sforzo Normale – Momento Flettente in direzione x – Momento Flettente in direzione y –, le ∞2 soluzioni rappresentano una superficie, che indica il luogo di punti di crisi nella sezione. Un esempio di dominio per sezione rettangolare con armatura superiore e inferiore uguali è rappresentato in Figura 5.11.



Figura 5.11. Dominio tridimensionale RdN - xRdM , - yRdM ,

Dal momento che non risulta agevole ne il calcolo del dominio tridimensionale ne la sua rappresentazione, si è soliti effettuare una verifica semplificata. Sezionando il dominio tridimensionale con un piano a NEd = costante si ottiene un dominio che ha la forma del tipo a quanto indicato in Figura 5.12. Tale dominio, può essere rappresentato, in via approssimata, dalla seguente relazione:

10,,

,

0,,

,

yRd

yRd

xRd

xRd

M

M

M

M ( 5.37)

in cui si è indicato con 0,,xRdM , 0,, yRdM , i momenti resistenti rispetto agli assi x e y nel caso

di pressoflessione retta (Figura 5.12). Tali valori possono quindi essere ottenuti dal dominio di pressoflessione retta, in funzione dello sforzo normale NEd (Figura 5.13). α è un coefficiente numerico che determina la forma del dominio approssimato. Si noti che

se 2 , la (5.37) è l’equazione di una ellisse, di assi 0,,xRdM e 0,, yRdM . Nel caso invece

di 1 , la (5.37) è l’equazione di rette congiungenti i momenti 0,,xRdM e 0,, yRdM . La

curva del dominio risulta essere compresa tra questi due estremi (ellisse e retta). Per tale

motivo si può porre 5.13.1 . L’Eurocodice suggerisce che è possibile valutare in

modo più accurato α in funzione dello sforzo normale sollecitante rispetto a quello resistente (massimo) ottenuto per pura compressione (che può essere calcolato mediante l’equazione (5.13)). I valori di α sono riportati nella seguente tabella:



max,Rd

Ed

N

N 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2.0

Per valori di max,Rd

Ed

N

N intermedi si può ottenere una stima di α mediante interpolazione.

La verifica è positiva se accade che il punto “sollecitazione” è interno al dominio. Analiticamente ciò significa:

10,,

,

0,,

,

yRd

yEd

xRd

xEd

M

M

M

M ( 5.38)

dove 0,,xRdM , 0,, yRdM , sono i momenti resistenti rispetto agli assi x e y nel caso di

pressoflessione retta con sforzo normale NEd .

xRdM ,

0,,xRdM

0,, yRdMyRdM ,

2

1

Dominio "esatto"

Figura 5.12. Sezione del dominio tridimensionale per N = NEd ; indicazione di 0,,xRdM e 0,, yRdM



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-500 0 500 1000 1500 2000

0,,xRdM

EdN

xRdM ,

Figura 5.13. Determinazione di 0,,xRdM dal dominio di pressoflessione retta


VERIFICHE A TAGLIO CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE ULTIMI 83/139

6 VERIFICHE A TAGLIO CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE ULTIMI

6.1 INTRODUZIONE

La sollecitazione di taglio è presente nella maggior parte degli elementi strutturali ed è accoppiata alla sollecitazione di momento flettente. Sono in pochi casi è possibile che si verifichi una situazione in cui è presente momento flettente senza taglio e sono i casi in cui il momento è costante (ad esempio, in pilastri a mensola presso-inflessi – struttura isostatica).

I meccanismi resistenti a taglio, si vedrà nel seguito, sono caratterizzati da un elevato impegno dell’armatura ma coinvolgono in modo significativo anche il calcestruzzo sia a trazione che a compressione. Quest’ultimo, com’è noto, possiede una limitata capacità deformativa rispetto all’acciaio (materiale meno duttile). Pertanto, le crisi per taglio possono avvenire bruscamente con repentine cadute di resistenza senza importanti segni premonitori, soprattutto per elementi privi di specifica armatura a taglio. Per tale motivo la crisi per taglio può definirsi una crisi fragile e, quindi, è un tipo di crisi che si cerca assolutamente di evitare.

Poiché il taglio V non si presenta disaccoppiato dal momento flettente M, la valutazione della resistenza a taglio non può prescindere dal tenere in conto il fatto della parzializzazione della sezione, in quanto il calcestruzzo ha una modesta resistenza a trazione. Per tale motivo, anche se è possibile valutare lo stato tensionale dovuto al taglio considerando una sezione parzializzata, è preferibile, agli Stati Limite Ultimi, agire valutando il comportamento dell’intera trave piuttosto che effettuare una analisi tensionale locale in una sezione .

In questo contesto, si pensi di effettuare una prova di flessione a 4 punti (Figura 6.1), ovvero una prova in cui un trave semplicemente appoggiata è caricata da due forze P concentrate, poste ad una distanza “a” dagli appoggi. A causa del carico applicato, la trave presenta un tratto centrale, soggetto al solo momento flettente, di andamento uniforme e privo di taglio e due tratti laterali soggetti a momento variabile linearmente e a taglio costante.

Per carichi molto modesti, il comportamento della trave è vicino a quello previsto da De Saint Venant, per un materiale elastico omogeneo e isotropo; è possibile quindi calcolare le tensioni tangenziali con la formula di Jourawski. L’effetto fondamentale delle



tensioni tangenziali τ è la comparsa di sforzi di trazione inclinati rispetto all’asse longitudinale della trave. In particolare, in corrispondenza dell’appoggio, dove le tensioni σ dovute alla flessione sono nulle o quasi, lo stato tensionale è tangenziale puro, con direzioni principali di trazione e compressione inclinate di 45° rispetto all’asse longitudinale (si veda il Cerchio di Mohr in di uno stato tangenziale puro). Nel tratto centrale dove le tensioni tangenziali sono nulle (è infatti nullo il taglio), le direzioni principali sono parallele all’asse della trave (sono presenti infatti solo tensioni σ). Le direzioni principali di trazione e compressione per limitati valori di carico sono riportati in Figura 6.3a.

Aumentando progressivamente il carico, per valori inferiori al carico di esercizio, si giunge a fessurazione del calcestruzzo. La trave si fessura per flessione (non solo nel tratto centrale ma anche in quelli laterali), dove il momento flettente sollecitante provoca trazioni maggiori della resistenza a trazione del calcestruzzo. Nelle zone caratterizzate da un regime prevalentemente flessionale (zona centrale), si vede la presenza di fessure verticali o sub-verticali, mentre nelle zone prossime agli appoggi (zone con taglio costante e massimo) si rilevano fessure inclinate approssimativamente a 45°. Le fessure presentano infatti andamento lungo le direzioni ortogonali alle isostatiche di trazione, quindi lungo le direzioni delle isostatiche di compressione (si confronti Figura 6.2 e Figura 6.3).

P a

Momento

Taglio

P

P

P P

P P

a a

Figura 6.1. Schema prova a flessione a 4 punti



Accade però che, rispetto al caso di sezione interamente reagente (modesti valori del carico verticale) che l’asse neutro della sezione parzializzata non coincide più con l’asse geometrico della stessa. Associato a questo, si registra un andamento differente delle isostatiche di trazione e compressione. L’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione produce, infatti, tensioni normali di trazione nulle al di sotto dell’asse neutro con conseguente inclinazione delle isostatiche a 45°, conseguente alle sole tensioni tangenziali. Infine, l’andamento delle tensioni tangenziali lungo la sezione non risulta più essere parabolico, tipico di una sezione rettangolare interamente reagente, bensì presenta un tratto costante con valore pari al valore massimo.

A causa della fessurazione, quindi, la valutazione della resistenza a taglio non può prescindere dal tenere in conto il fatto della parzializzazione della sezione. Tuttavia, dopo l’instaurarsi della fessurazione, lo studio delle direzioni principali è di scarsa rilevanza. A causa della presenza delle fessure, la trattazione alla De Saint Venant perde quindi di significato e si sviluppano meccanismi totalmente differenti.

Figura 6.2. Andamento delle Isostatiche di trazione



Figura 6.3. Fessure in una trave soggetta ad una prova di flessione a 4 punti

Anche se è possibile valutare lo stato tensionale dovuto al taglio considerando una sezione parzializzata, è preferibile, agli Stati Limite Ultimi, agire valutando il comportamento dell’intera trave piuttosto che effettuare una analisi tensionale locale in una sezione. I meccanismi che contribuiscono alla resistenza a taglio vengono descritti nel seguito.

Si analizza nel seguito quindi la resistenza di una trave a) in assenza di armature specifiche a taglio; b) travi con armatura specifiche a taglio (staffe o ferri piegati).

6.2 TRAVE SENZA ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

Il meccanismo resistente di travi in calcestruzzo armate solo con l’armatura longitudinale risulta essere un problema molto complesso e di non facile interpretazione. Data la complessità del fenomeno e dall’elevato numero dei parametri in gioco, le espressioni presenti il letteratura che valutano la capacità portante di travi senza armatura specifica a taglio sono in genere di natura semi-sperimentale.

La capacità portante a taglio di travi senza armatura specifica può condursi ai seguenti meccanismi.

Tra due fessure consecutive si identificano elementi in calcestruzzo che possano essere schematizzati come mensole incastrate al corrente compresso superiore e collegate alle altre dall’armatura longitudinale inferiore. La singola mensola è sollecitata da una

forza S pari alla differenza di trazione nell’armatura longitudinale tra le due sezioni in

corrispondenza delle due fessure.

S = (S + S) – S



La forza S è chiamata Sforzo di Scorrimento. Incrementando il carico verticale,

aumenta lo sforzo di taglio e il momento flettente e, di conseguenza, lo sforzo nelle

armature e, quindi, anche lo scorrimento S.

L’azione prodotta dalla forza di scorrimento è contrastata da una serie di meccanismi resistenti (meccanismi iperstatici) che garantiscono l’equilibrio del dente:

1 – resistenza offerta dalla sezione d’incastro (“effetto pettine”) 2 – azioni che si instaurano all’interfaccia tra le fessure (“effetto ingranamento”) 3 – contributo alla resistenza che offre l’armatura longitudinale in corrispondenza

della fessura (“effetto bietta” o “effetto spinotto”) L’effetto pettine è l’effetto dovuto al comportamento delle mensole in calcestruzzo

che si identificano tra due fessure consecutive. Ad un certo livello di carico la sezione all’incastro di questa mensola raggiunge la crisi in quanto si supera la resistenza a trazione

del calcestruzzo (la mensola infatti è presso-inflessa dallo sforzo S). Tale comportamento

è denominato “effetto pettine”, in quanto queste mensole appaiono come i denti di un pettine. Il singolo dente del pettine è sollecitato

c

d

H

xS + Sc

Sc

S + SsSs

V

V

x

S

x

Figura 6.4. Effetto pettine

Il trasferimento del taglio all’interfaccia della fessura è dovuta principalmente all’ingranamento degli inerti presenti nelle fessure. La superficie fessurata, infatti, non si presenta liscia e si forma una azione mutua sulle due facce della fessura che tende ad opporsi allo scorrimento relativo tra due denti del pettine.

L’armatura longitudinale fornisce un contributo alla resistenza a taglio (“effetto bietta”) fino a quando non è vinta la resistenza a trazione del calcestruzzo del copriferro, che rappresenta l’unico vincolo alla deformazione trasversale della barra.



Figura 6.5. Effetto ingranamento

Figura 6.6. Effetto bietta

Ad integrazione di questi, va aggiunto e va considerato il meccanismo resistente che nasce nel corrente compresso non fessurato. Infatti, in questa zona, nascono tensioni tangenziali che contribuiscono alla resistenza a taglio. Il contributo di tale meccanismo è strettamente connesso all’entità della zona compressa e quindi alla posizione dell’asse neutro.

Figura 6.7. Contributo del puntone compresso



Figura 6.8. Meccanismo ad arco

Esiste anche un meccanismo ad arco che tende a trasferire un’aliquota del taglio direttamente all’appoggio. Tale effetto è significativo quando è modesta la distanza tra il punto dell’applicazione della forza e l’appoggio (distanza “a”) rispetto all’altezza della trave.

Vi è inoltre un fenomeno di “effetto scala” che riduce la resistenza a taglio quando si incrementa l’altezza utile d della trave. Tale effetto è prevalentemente dovuto alla diminuzione del contributo legato all’ingranamento: travi con altezza elevate presentano ampiezza di fessura maggiore e quindi l’effetto ingranamento tende ad essere minore.

Alla luce di quanto visto, si conclude che la crisi della trave può avvenire per due modalità differenti: la crisi per crisi a taglio del corrente compresso e crisi nella sezione all’incastro dei denti del pettine. In questo ultimo caso, vinta la resistenza a trazione del primo dente del pettine, si forma una fessura orizzontale che si propaga ai denti adiacenti provocando una sezione di scorrimento (Figura 6.9).

La normativa Italiana (NTC2008), prendendo spunto da una formulazione già presente nell’Eurocodice 2, valuta la resistenza a taglio di una trave senza armatura specifica come segue:

bdfkV cpckGC

Rd

15.0100

18.0 3/11 = bdcp 15.0 ( 6.1)

nella quale:

C18.0

è la tensione tangenziale resistente di base, con C coefficiente parziale di sicurezza

del calcestruzzo, pari a 1.5.

dk

2001 con d in millimetri, termine che mette in evidenza la minor efficacia dell’

ingranamento al crescere dell’altezza utile della sezione d; la normativa fissa al valore 2 il



Crisi “denti del pettine” Crisi corrente sup. in cls

Figura 6.9. Tipi di crisi: (a) crisi nel corrente compresso e (b) crisi con sezione di scorrimento orizzontale

valore massimo del coefficiente k.

bd

AsG è il rapporto di armatura longitudinale che, in ogni caso, non può essere

considerata superiore a 0.02;

Il termine additivo cp15.0 tiene in conto dell’effetto favorevole della compressone

(o della precompressione) in quanto ritarda e limita l’apertura delle fessure, aumentando il beneficio dell’effetto ingranamento; aumenta la resistenza a taglio del puntone compresso, abbassando la posizione dell’asse neutro. Per tale motivo, la compressione incrementa anche il contributo dell’effetto pettine, diminuendo la lunghezza del dente del pettine e quindi del relativo momento d’incastro.

La quantità , presente dentro la parentesi quadra deve, per normativa essere

superiore a:

2/12/3min 035.0 ckfkv ( 6.2)

6.3 TRAVE CON ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

La presenza di armature specifiche a taglio produce un’importante incremento della capacità portante a taglio della trave stessa. L’armatura trasversale migliora i contributi resistenti dei meccanismi iperstatici in quanto vincola maggiormente i denti del pettine, riduce le fessure incrementando l’ingranamento e produce un’azione di confinamento sul calcestruzzo che migliora la resistenza del conglomerato stesso. Ma soprattutto la resistenza a taglio incrementa in quanto si può formare un traliccio resistente che è in

grado di assorbire efficacemente gli sforzi di scorrimento S. Tale meccanismo, ideato



originariamente da Ritter e Mörsch, prevede che una trave in c.a. possa essere schematizzata come un traliccio ideale formato da:

un corrente superiore (compresso) di calcestruzzo che si estende al di sopra dell’asse neutro;

un corrente inferiore (teso) formato dall’armatura longitudinale;

elementi inclinati di calcestruzzo compressi (puntoni) delimitati dalle fessure e che hanno una inclinazione θ (per quanto riguarda questa inclinazione si veda nel seguito)

elementi tesi formati dall’armatura trasversale (staffe o “ferri piegati”) aventi una generica inclinazione α.

Un esempio del traliccio semplice è rappresentato in Figura 6.8. Nella versione originale del traliccio proposto da Mörsch, le bielle di calcestruzzo

erano inclinate di 45°, coerentemente con quanto detto nel paragrafo 6.1.1. riguardante l’inclinazione delle isostatiche di compressione. Successivamente, in accordo con alcune evidenze sperimentali, tale inclinazione è stata posta variabile da un angolo θ=45° a θ = 21.8° (Eurocodice e NTC2008).

Per giungere alla formulazione finale presente anche in normativa (NTC 2008), si definisce in primo luogo che cos’è la molteplicità del traliccio. Successivamente si mostra il legame analitico tra sforzo di Scorrimento e sforzo di Taglio ed infine si considera il meccanismo resistente del traliccio ad inclinazione variabile.

6.3.1 Molteplicità del traliccio

Si definisce con “molteplicità del traliccio” m il numero di tralicci sovrapposti. Analiticamente, la molteplicità m può essere espressa dal rapporto tra la lunghezza L della

singola maglia del traliccio e la distanza tra due armature trasversali successive x :

x

Lm

( 6.3)

In Figura 6.11 sono riportate alcuni esempi di traliccio con molteplicità pari a (a,b) 1, (c) 2, (d, e) 4 e (f) 6.

Corrente compresso

Biella compressa

Armatura a taglio

Corrente teso

Figura 6.10. Traliccio di Mörsch con indicazione di puntoni in calcestruzzo e dell’armatura trasversale



(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 6.11. Tralicci con molteplicità pari a (a,b) 1, (c) 2, (d, e) 4 e (f) 6.

6.3.2 Forza di Scorrimento

Se si osserva un concio di trave di lunghezza L come quello rappresentato in Figura 6.12, è semplice constatare che la parte superiore della trave, formata dal corrente di calcestruzzo al di sopra dell’asse neutro e ed il corrente inferiore, formato dalle barre longitudinali, si scambiano, in corrispondenza del piano orizzontale definito dall’asse

neutro, una forza elementare S , già definita Forza di Scorrimento (o semplicemente

Scorrimento). Si è già visto che lo scorrimento è pari alla differenza di trazione nell’armatura longitudinale tra le due sezioni in corrispondenza delle due fessure:

S = (S + S) – S ( 6.4)

Questo è direttamente in relazione con il taglio V agente nella sezione. Infatti,

valutando la tensione tangenziale massima max mediante la formula di Jourawski:

bI

SV

x

x

*

max ( 6.5)



c

d

L

H

x S + ScSc

S + SsSs

V V M + MM

Figura 6.12. Concio elementare di lunghezza L con le azioni agenti sulle due sezioni.

dove con *xS si è indicato il momento statico considerando la corda posta in

corrispondenza dell’asse neutro, e ricordando che il rapporto tra il momento d’inerzia ed il

momento statico *xS è il braccio della coppia interna z, si ottiene:

db

V

bz

V

9.0max

( 6.6)

Nella (6.6) si è considerato che il braccio della coppia interna può essere posto, in via approssimata, pari a 0.9 volte l’altezza utile d. Per reciprocità delle tensioni tangenziali, le

max sono anche disposte nel piano formato dall’asse neutro, con la medesima intensità

calcolata dalla (6.6). Integrando queste tensioni tangenziali sulla lunghezza L del concio considerato si ottiene:

z

LVdx

z

Vdxb

bz

VdxbS

LLL

( 6.7)

La (6.7) indica che lo scorrimento è direttamente proporzionale al taglio. Si noti che la (6.7) è stata ottenuta senza alcuna ipotesi sul materiale. In alternativa, alla medesima relazione si può pervenire considerando l’equilibrio alla rotazione del concio di lunghezza L di Figura 6.10:

LVzS ( 6.8)

da cui si ricava:

z

LVS

( 6.9)

Considerando travi con tralicci multipli di molteplicità m, lo scorrimento associato ad ogni traliccio è dato da:



z

xV

mz

LV

m

S

( 6.10)

in cui si è fatto uso della (6.3).

6.3.3 Equilibrio del traliccio soggetto allo sforzo di scorrimento

Si consideri una generica trave in cui sono presenti m tralicci. Si consideri un concio di questa trave di lunghezza L e uno degli m tralicci presenti nella trave. Questa maglia del traliccio è soggetta ad una forza orizzontale di scorrimento pari a (Figura 6.13a):

z

xV

m

S

( 6.11)

Lo scorrimento S /m genera una forza di trazione nell’armatura trasversale e uno

sforzo di compressione nel puntone di calcestruzzo, che, per equilibrio, devono soddisfare alle seguenti relazioni (Figura 13b):

m

SSS

SS

sc

sc

coscos

sinsin ( 6.12)

dove con sS si è indicato lo sforzo nell’armatura trasversale e con cS lo sforzo che nasce

nel puntone di calcestruzzo. La (6.12) può essere convenientemente dedotta considerando che, affinché ci sia equilibrio, il triangolo delle forze fatto nel punto di applicazione della

forza S /m deve essere chiuso (Figura 6.11b). In ogni modo, dalla (6.12) è possibile

ricavare le espressioni degli sforzi nell’armatura sS e nel puntone di calcestruzzo cS in

funzione dello scorrimento S /m. Infatti dalla prima delle (6.12) si ricava lo sforzo nella

biella di calcestruzzo in funzione dello sforzo della biella d’acciaio:

S/m

SsSc

S/m

L

Figura 6.13. (a) Maglia elementare del singolo traliccio e (b) triangolo delle forze nel punto “P”.



sin

sinsc SS ( 6.13)

Sostituendo nella seconda delle (6.12), si ottiene:

m

SSS ss

cossinsin

cos ( 6.14)

da cui:

m

SSs sincotcot ( 6.15)

che fornisce il legame tra lo scorrimento e lo sforzo nelle armature. Sostituendo il valore ottenuto nella (6.15) nella (6.13) si ottiene legame tra lo scorrimento e lo sforzo nelle bielle di calcestruzzo, ottenendo così:

sincotcot

1sincotcot

1

m

SS

m

SS

s

c

( 6.16)

Sostituendo infine al valore dello scorrimento quanto ottenuto nel paragrafo precedente (equazione 6.10), si ottiene:

sincotcot

1sincotcot

1

z

xVS

z

xVS

s

c

( 6.17)

Le 6.16 mettono in relazione gli sforzi nell’armatura trasversale e nel puntone di

calcestruzzo con il taglio sollecitante V. Ponendo lo sforzo dell’armatura sS uguale a

quello resistente dell’armatura trasversale stessa:

wydwss fAS ,,lim, ( 6.18)

si ottiene una espressione che fornisce il taglio resistente ultimo per il quale si ha crisi dell’armatura trasversale:

sincotcot

1,,

z

xVfA Rsd

wydws ( 6.19)

da cui, ricordando che il braccio delle coppia interna z è circa pari a 0.9d:

sincotcot9.0

,,

x

dfAV wydwsRsd ( 6.20)



Nelle (6.18)-(6.20) si è indicato con wsA , l’area delle armature trasversali e con wydf ,

la sua tensione di progetto. Analogamente a quanto fatto per l’acciaio, si determina lo sforzo ultimo dei puntoni

di calcestruzzo:

sinlim, xbfAfS cuccuc ( 6.21)

La (6.21) è ottenuta considerando che lo sforzo massimo nel puntone è dato dalla

tensione ultima cuf per l’area della sezione del puntone (che ha profondità b e larghezza

sinx - si veda Figura 6.12). Uguagliando lo sforzo ultimo delle bielle di calcestruzzo

con la seconda delle (6.17), si ottiene il valore del taglio che porta in crisi la trave per

schiacciamento del puntone di calcestruzzo RcdV :

sincotcot

1sin

z

xVxbf Rcd

cu ( 6.22)

da cui si ottiene:

2sincotcot9.0 cuRcd fbdV ( 6.23)

Il valore della tensione ultima cuf è posto, dalla normativa italiana pari a:

cdccu ff 5.0 ( 6.24)

dove c è un coefficiente che tiene in conto della eventuale presenza benefica dello sforzo

normale (in via cautelativa può essere posto pari a 1) e il coefficiente 0.5 è dovuto al fatto che le bielle di calcestruzzo possono essere soggette ad uno stato di sollecitazione che in realtà non è di compressione ma anche una componente di flessione (e quindi soggette a presso-flessione), con conseguente diminuzione della resistenza ultima di quest’ultimi.

Figura 6.14. Larghezza del puntone compresso



La (6.20) e (6.23) sono le due equazioni che permettono di verificare che non ci sia

crisi nelle bielle compresse e nell’armatura a causa di un taglio sollecitante EdV . Affinché

la sicurezza sia soddisfatta occorre che:

RcdEd VV e RsdEd VV ( 6.25)

che equivale a:

RsdRcdEd VVV ,min ( 6.26)

Nel caso in cui siano presenti staffe (caratterizzate da un angolo α = 90°), le (6.20) e (6.23) si semplificano nelle seguenti espressioni:

cot9.0

,, x

dfAV wydwsRsd

( 6.27)

2sincot9.0 cuRcd fbdV ( 6.28)

La seconda, è anche convenientemente posta nelle seguenti due espressioni:

2cot1

cot9.0

cuRcd fbdV ( 6.29)

cottan

19.0

cuRcd fbdV ( 6.30)

Infine, nel caso in cui siano presenti staffe (caratterizzate da un angolo α = 90°) e che

si consideri ϑ = 45° ( 1cot ), si ha un’ulteriore semplificazione:

x

dfAV wydwsRsd

9.0

,, ( 6.31)

5.09.0 cuRcd fbdV ( 6.32)

Queste sono le espressioni che venivano utilizzate nelle norme precedenti all’entrata in vigore delle NTC2008 (ovvero nella normativa DM 1996). Invece, secondo la normativa attuale (NTC2008), l’inclinazione del puntone si può scegliere nel range:

5.2cot0.1 , ( 6.33)

corrispondenti a scegliere:

8.2145 . ( 6.34)

Se si sceglie 5.2cot (traliccio con puntoni molti inclinati) le bielle di

calcestruzzo sono molto più sollecitate rispetto ad adottare un’inclinazione caratterizzata

da 0.1cot (= 45°). Per contro, con 0.1cot sono più sollecitate le bielle tese

formate dalle staffe; per poter sopportate questa maggior carico, è necessario aumentare il quantitativo di staffe (aumentandone l’area o riducendone il passo). La condizione

5.2cot è invece quella che fa ottenere il minimo quantitativo di staffe.



Questa osservazione è semplice da verificare se si osservano le Figure 6.15a,b. Nella prima di esse è riportato il valore del taglio resistente del puntone compresso VRcd normalizzato:

2sincotcot5.09.0

ccd

RcdRcd bdf

Vt ( 6.35)

al variare dell’angolo ϑ (tratto in grossetto continuo) e di diversi valori del taglio resistente delle staffe VRsd normalizzato:

sincotcot9.0

,,

cd

wydwsRsdRsd fxb

fA

bd

Vt ( 6.36)

al variare dell’angolo ϑ e della quantità di staffe (tratti sottili continui). Si nota come, per angoli compresi nel range dato dalla normativa, che aumentando

l’angolo ϑ la resistenza delle bielle compresse Rcdt è sempre crescente, mentre decresce,

anche in modo significativo, la resistenza delle bielle tese Rsdt , qualsiasi sia la quantità di

staffe, indicato con ω. Analoghe considerazioni si possono fare se si esamina il grafico di

Figura 6.12b, in cui si osservano le variazioni di Rcdt e Rsdt al variare della cot .

Si può quindi, almeno in teoria, individuare per quale valore di cot si giunge alla

condizione di “rottura bilanciata”, ovvero alla crisi contemporanea delle bielle tese e delle

compresse. Questo può essere fatto ponendo EdRcd VV . Ponendo EdRcd VV nel caso di

staffe (α = 90°) si ottiene:

2,,

cot1

cot9.0cot

9.0

cuwydws fbdx

dfA ( 6.37)

Semplificando e ricavando cot si ottiene:

Figura 6.15. (a) variazione di tagli resistenti in funzione dell’angolo ϑ e (b) della cotangente dell’angolo ϑ. [da Manfredi, Cosenza, Pecce]



1cot,,

wydws

cu

fA

fxb ( 6.38)

ovvero:

15.0

cot,

wM

x

( 6.39)

essendo:

cu

wydwswM fxb

fA

,,

, ( 6.40)

la percentuale meccanica di armatura trasversale. Per sezioni con dimensioni correnti, però accade spesso che l’angolo così ricavato sia

minore di 21.8° ( cot >2.5). Per tale motivo è in genere più veloce valutare se con un

angolo tale per cui cot =2.5 il puntone di calcestruzzo è verificato; se la risposta è

affermativa, si utilizza ancora tale angolo per valutale l’adeguatezza dell’armatura

trasversale. In caso contrario, si può valutare la condizione ottimale ricavando cot dalla

(6.39).

6.3.4 Il problema di Verifica e di Semi-progetto nei confronti dell’azione tagliante

Per la sollecitazione di taglio sono significativi il problema di verifica e di sempiprogetto. Nel primo sono noti sia le caratteristiche geometriche della trave che le armature; nel secondo sono note le caratteristiche dimensionali della trave ma occorre calcolare il quantitativo di armatura trasversale (area delle staffe e/o passo delle staffe). Il problema di progetto è nella pratica non significativo, in quanto le dimensioni della sezione sono note in quanto si è certamente progettata la sezione per la sollecitazione di flessione.

Nel problema di verifica, occorre controllare che:

1RdEd VV , ( 6.41)

mediante la (6.1) nel caso in cui non siano presenti staffe (come, ad esempio accade per i travetti di solaio). La verifica è posta controllando che:

RsdRcdEd VVV ,min , ( 6.42)

se sono presenti staffe, valutando VRcd e VRcd mediante le (6.20), (6.23). Nel problema di semiprogetto, invece si opera seguendo la seguente procedura. Date

le caratteristiche geometriche della trave si controlla, in primo luogo, se il solo calcestruzzo con l’armatura longitudinale (senza il contributo delle staffe) è in grado di sopportare lo sforzo di taglio di progetto (equazione (6.1)). Se sì, sarà necessario disporre la sola armatura minima da normativa. Altrimenti, se sono presenti tratti di trave per i quali



il taglio sollecitante supera il taglio resistente dato dalla (6.1), si dovranno prevedere e calcolare apposite staffe che garantiscano l’adeguata resistenza a taglio. Si verifica con la

(6.20) la capacità resistente dei puntoni scegliendo, ad esempio 5.2cot . Se con tale

angolo vengono verificate le bielle compresse di calcestruzzo, allora è possibile calcolare il quantitativo di armatura trasversale prediligendo l’economicità; il quantitativo di staffe

minimo richiesto si ottiene invertendo la (6.23) per ricavare l’area di staffe wsA , o il passo

x . Si noti che non è possibile determinare entrambe ma una delle due quantità va scelta,

l’altra ricavata. Tipicamente si decide a priori il diametro delle staffe (e, di conseguenza,

l’area) per ricavare il passo x . Nel caso di staffe dalla (6.23) si ottiene:

cot9.0

Edydwsw V

dfAx ( 6.43)

Se accade che il calcestruzzo non sia verificato avendo assunto 5.2cot , occorre

individuare per quale valore di cot si giunge alla crisi delle bielle compresse. Ponendo

EdRcd VV si ottiene cot dalla (6.39) e si progettano le staffe con tale valore di cot .

Si riportano infine i minimi di armatura trasversale che l’NTC2008 impone per le

travi. La quantità ed il passo delle staffe devono soddisfare alle seguenti condizioni:

metroalstaffealmeno

d.x

bAsw

3

80

/mmm5.1 2

( 6.44)

in cui si è fatto uso della consueta notazione. Per i pilastri, l’armatura minima è posta pari a:

mm250

12

mm6

min,

max,41

x

x longbarre

longbarrestaffe

staffe

( 6.45)

6.3.5 Traslazione del momento flettente

La formazione di fessure inclinate di un angolo ϑ rispetto all’asse dell’elemento comporta un aggravio dello stato tensionale dell’armatura tesa longitudinale. Con riferimento alla Figura 6.13, si vede che, in realtà, l’armatura è soggetta allo sforzo Ss in una sezione che è “spostata” rispetto alla sezione in cui si effettua la verifica a flessione (sezione “1”), di una quantità pari a:

cot9.0 da ( 6.46)



Per questo motivo, nella sezione “2”, deve essere presente una quantità di armatura che non è direttamente in relazione al momento M2 della sezione “2”, bensì a quanto accade nella sezione “1” (che ha momento M1 > M2). Per tenere in conto di tale fenomeno in fase di progettazione, è comodo traslare il diagramma del momento flettente di una quantità pari a a, per tenere in conto di questo fenomeno e, conseguentemente, progettare l’armatura della sezione “2” con il momento delle sezione “1”.

a =z cot .

MM

Rs

Rc

V

V

"1""2"

z = 0.9d

21

Figura 6.16. Forze agenti su una porzione di trave in c.a. fessurata a taglio.




LA PROGETTAZIONE E LA VERIFICA DI TRAVI E PILASTRI IN C.A. 103/139

7 LA PROGETTAZIONE E LA VERIFICA DI TRAVI E PILASTRI IN C.A.

7.1 INTRODUZIONE

La progettazione viene sempre effettuata seguendo le seguenti fasi: 1. Analisi dei carichi sulla struttura; 2. Calcolo delle azioni di progetto sull’elemento strutturale (o sugli elementi

strutturali); 3. Calcolo delle sollecitazioni (Momento flettente, Taglio e Sforzo Normale) 4. Si valuta quali sono le sezioni significative per il progetto e/o la verifica; 5. Si effettua un dimensionamento della sezione (problema di progetto o

semiprogetto) 6. Si effettua le verifiche a Flessione (o presso-flessione) e a Taglio.

In particolare, per le travi occorre sempre effettuare verifiche a flessione e a taglio; per quanto riguarda la flessione, anche se a rigore sarebbero necessarie più verifiche per rendere economica la struttura, è indispensabile analizzare almeno 2 sezioni: la sezione con massimo momento positivo e la sezione con massimo momento negativo. Per quanto riguarda il taglio, solitamente può bastare la verifica della sezione in cui è presente il taglio massimo (se la sezione della trave è costante). Nel dettaglio la procedura di progetto e verifica prevede:

a) Il pre-dimensionamento o il dimensionamento della sezione; b) Il progetto delle armature longitudinali per flessione; c) Controllo dei minimi imposti dalla normativa d) Verifiche a flessione; e) Verifiche a Taglio. f) Controllo della quantità minima di staffe richiesta dalla normativa.

Per i pilastri, invece, si risolve il problema di verifica, considerando la sezione maggiormente sollecitata. Anche in questo caso, a rigore, occorrerebbe effettuare più verifiche considerando le diverse condizioni di sollecitazione a cui il piastro è soggetto. Il procedimento di verifica vede quindi determinazione del dominio M-N e la verifica a Taglio.



7.2 ESERCIZIO 1: PROGETTO E VERIFICA DI UNA TRAVE IN ALTEZZA

Data la struttura rappresentata in Figura 7.1, dimensionare e verificare la travata indicata in grossetto. La struttura è una parte interna di un edificio di nuova costruzione che sarà adibito a banca. La travata può essere schematizzata su tre appoggi (si veda la lo schema 2 di figura 7.1). I carichi permanenti possono essere ricavati considerando che il solaio sarà realizzato in latero-cemento e sono previsti i carichi permanenti portati coerentemente con quanto previsto nel progetto architettonico (e riportati in Figura 7.1 – schema 3). La trave è in altezza e ne è nota solamente la base (30 cm).

pavimentosottofondo/caldana: 3 cm

massetto: 10 cm

intonaco: 1 cm

accidentale: BancaCategoria C1

4,63,5

Figura 1

Figura 2

Trave oggetto di progettazione

4,2

5,3

3,5 4,6

Trave in altezzaH

= ?

30

Figura 7.1..Pianta dell’edificio con indicato lo schema statico ed i carichi sul solaio

SVOLGIMENTO: Si effettua in primo luogo l’analisi dei carichi, per ottenere il carico di progetto con

cui calcare le sollecitazioni (Momento e Taglio). Si effettua quindi il dimensionamento della sezione; successivamente si calcolano le armature per flessione in due sezioni significative (massimo momento positivo e massimo momento negativo) e si effettua la verifica a taglio.



7.2.1 Analisi dei carichi

Si analizzano nel seguito i carichi agenti sulla trave.

TIPO DI CARICO Peso Specifico Spessore Carico

Peso proprio del solaio - - 3.00 kN/m2

Sottofondo alleggerito per impianti 12.00 kN/m3 0.10 1.20 kN/m2

Caldana per pavimentazioni 24.00 kN/m3 0.03 0.72 kN/m2

Pavimento - - 0.34 kN/m2

Intonaco (sotto al solaio) 24.00 kN/m3 0.01 0.24 kN/m2

TOTALE PERMANENTI 5.50 kN/m2

Tramezzi (ripartiti) - - 0.80 kN/m2

TOTALE PERMANENTI 6.30 kN/m2

Stima del peso proprio della trave - - 3.75 kN/m

Carico Variabile (Banca) – cat. C1 - - 3.00 kN/m2

TOTALE VARIABILI 3.00 kN/m2

La stima del peso proprio della trave è stata effettuata considerando una trave 30x50

e considerando il peso specifico del calcestruzzo = 25.00 kN/m3:

peso proprio trave = 0.300.5025.00 = 3.75 kN/m

Si noti che, ovviamente, il peso proprio della trave è espresso come carico a metro lineare (e non a metro quadrato).

7.2.2 Calcolo del carico di progetto

Dato che si vuole effettuare la progettazione nei confronti dello Stato Limite Ultimo, occorre fattorizzare i carichi, secondo la “combinazione fondamentale”

ikiQkQkGd QQGQ 11

con G = 1.3 coefficiente parziale di amplificazione dei carichi “permanenti di entità

certa” , G = 1.5 coefficiente parziale di amplificazione dei carichi “permanenti di entità

incerta” e Q = 1.5 coefficiente parziale di amplificazione dei carichi variabili.

Spesso si considerano i tramezzi come “permanenti di entità incerta”, in quanto possono frequentemente essere modificati, anche in fase di progetto. Nel caso in esame, si ottiene:

00.35.180.05.150.53.1 dQ = 12.85 kN/ m2

Il carico per metro lineare di lunghezza è ottenuto moltiplicando il carico a metro quadrato per la larghezza di influenza della trave:



2221 ii

Qq dd

2

2.4

2

3.585.12 61.0 kN/m

A questo carico va infine sommato anche il (presunto) peso proprio della trave:

dq 61.0 + 3.75 65 kN/ m

7.2.3 Calcolo delle sollecitazioni

Per il calcolo delle sollecitazioni si utilizza il metodo dell’Equilibrio (o metodo degli spostamenti).

Vengono riportati nel seguito solo i risultati e l’andamento dei diagrammi del momento flettente e del taglio.

21

22

12

22

2

33

3

888l

EIl

EIl

EIlqlqlq

M dddEd = 141 kNm

82

21

1,

lqMM dEd

Ed

= 30 kNm

82

22

2,

lqMM dEd

Ed

= 102 kNm

1

11, 2 l

MlqV Edd

Ed

= 74 kN

1

12, 2 l

MlqV Edd

Ed

= 154 kN

2

23, 2 l

MlqV Edd

Ed

= 180 kN

2

24, 2 l

MlqV Edd

Ed

= 119



Figura 7.2.. Diagramma del Momento e del Taglio per la trave oggetto di progettazione

7.2.4 Dimensionamento della trave in altezza

Per dimensionare la sezione è possibile seguire diverse procedure. In ogni caso, ogni procedimento di progetto è caratterizzato dal determinare le

quantità minime ponendo:

RdEd MM

Nel caso in esame, il dimensionamento della sezione DEVE eseere ovviamente effettuato partendo dal momento maggiore in senso assoluto (quello con “modulo” maggiore, a prescindere che esso sia positivo o negativo).



Per questa struttura occorre quindi considerare:

RdEd MM =141 kNm = 141 610 Nmm

Per la trave in oggetto, in cui è nota la base b, è necessario in primo luogo determinare l’altezza H o l’altezza utile d.

Per quanto possibile, si consiglia di procedere scegliendo un valore del coefficiente

nel range 0.15÷0.25. Nel caso in esame si sceglie un valore =0.22. Dalla definizione del

coefficiente :

cd

Rd

fbd

M2

si ricava l’altezza utile d, note le caratteristiche dei materiali:

2.1430022.0

10141 6

cd

Sd

bf

Md 388 mm

[nota: per uniformità con le unità di misura, occorre mettere il momento in (Nmm)]. Supponendo un copriferro di 40 mm sia per l’armatura tesa che per quella

compressa, l’altezza complessiva della sezione risulta pari a:

H = 388 + 40 = 428 mm.

Si adotta quindi una trave in altezza 30x45 con altezza H pari a 450 mm e altezza utile pari d a 410 mm

44

37

30

45

Figura 7.3.. Sezione della trave

7.2.5 Progetto delle armature per flessione a momento negativo

Si esegue il progetto delle armature per flessione a momento negativo ( EdM =141

kNm)



Essendo il momento negativo, le fibre tese sono quelle superiori e quelle compresse quelle inferiori (si veda la figura 7.4). Pertanto, volendo essere coerenti con la notazione

utilizzata fino ad ora, occorre indicare con sA l’armatura tesa e quindi quella posta al

lembo superiore, mentre si indicherà con sA' l’area di armatura inferiore, in quanto

compressa.

441

A's

As

30

45

Figura 7.4.. Sezione con indicazione di armatura tesa e compressa

Si calcola il momento adimensionale con le effettive dimensioni della sezione:

cd

Rd

fbd

M2

=2.14410300

101412

6

=0.197

Occorre scegliere il valore del rapporto tra l’area di armatura compressa rispetto a

quella tesa. Per travi in spessore di solaio (si veda nel seguito) è necessario introdurre una

quantità significativa di armatura compressa per limitare le dimensioni della base b della trave, potendo così potenzialmente raggiungere una elevata risultante delle compressioni

anche senza una eccessiva base b della trave. Questo rapporto è quindi

significativamente alto, con valori tipici pari a = 0.8÷1.0.

Per le travi in altezza, come quella oggetto di progettazione, non è necessario avere percentuali significative di armatura compressa; sfruttando a pieno l’altezza della trave si possono ottenere momenti flettenti resistenti significativi anche con risultanti delle compressioni più ridotte (grazie al fatto che aumenta il braccio delle coppia interna).

Normalmente tale rapporto è scelto nel range = 0.2÷0.5. Nel caso in esame si sceglie

quindi il rapporto pari a 0.20.

È possibile quindi ricavare la percentuale meccanica di armatura M dalla formula

(4.24):

22

2 12'1'11

1M =



=

217.02.01197.021.02.011.02.012.01

1 22

2

dove 410

40''

d

d0.1

Dalla definizione di M (equazione 4.9) si ricava l’armatura tesa minima necessaria:

cd

ydsM bdf

fA

yd

cdMs f

bdfA =

391

2.14410300217.0

= 970 mm2 = 9.70 cm2

Il minimo di armatura longitudinale per le travi è imposta nell’NTC2008 pari a

Gykf

4.1

essendo G la percentuale geometrica di armatura tesa:

bd

AsG

Di conseguenza si ricava che:

bd

A

fs

Gyk

450

4.14.1 bdbdAs %3.0

450

4.1min, = 410300%3.0 = 370 mm2

Si dispongono i reggistaffa (2 inferiormente e 2 superiormente) su tutta la lunghezza della trave in modo tale da soddisfare la richiesta di armatura minima presente in normativa. L’area dei reggi staffa deve essere quindi maggiore di 3.70 cm2. Si sceglie di

porre 216 inferiormente e 216 superiormente, con area di:

Areggist. (216) = 4.02 cm2 (402 mm2)

Per quanto calcolato, sono però necessari, in zona tesa, almeno 9.70 cm2. Si deve

aggiungere una armatura integrativa con area almeno pari a:

Aagg. = 9.70 – 4.02 = 5.68 cm2 (568 mm2)

Si dispongono in aggiunta 220, che hanno area:

Aagg. (220) = 6.28 cm2 (628 mm2)

In definitiva, l’armatura tesa è formata da 216 + 220, con area complessiva pari a:

As = Areggist + Aagg = A(216 + 220) = 402 + 628 = 1030 mm2

che è maggiore di quanto richiesto, ovvero di 970 mm2.

L’armatura compressa è nota avendo fissato :

ss AA ' = 0.201030 = 206 mm2



Dato che l’area dei reggistaffa è già maggiore di quanto richiesto, non occorre aggiungere armatura.

La sezione vede quindi 216 al lembo inferiore (armatura compressa) e 216 + 220

al lembo superiore (armatura tesa). Uno schema della sezione ottenuta è riportata in Figura 7.5

2Ø16

2Ø202Ø16

7,1

30

45

4144

41

A's

As

30

45

Figura 7.5.. Sezione con indicazione dell’armatura tesa e compressa ottenute dal dimensionamento

7.2.6 Verifica a momento negativo.

Si effettua ora la verifica. Si calcolano preventivamente il rapporto effettivo tra

armatura compressa e tesa eff , la percentuale meccanica effettiva effM , e il copriferro

adimensionale ' :

s

seff A

A' =

1030

402

)202162(

)162(

A

A = 0.40

cd

ydseffM bdf

fA , =

2.14410300

3911030

= 0.230

10.0410

40''

d

d

Supponendo che sia l’armatura tesa che quella compressa siano snervate, si calcola la posizione dell’asse neutro adimensionale:

effeffMd

x 125.1 , = 40.01230.025.1 = 0.173

corrispondente ad un valore di x pari a:

dx = 0.173410 = 71 mm



Nota la posizione dell’asse neutro si verifica se le armature tesa e compressa sono effettivamente snervate, mediante una proporzione che è conseguenza dell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane:

x

xds

‰5.3 oppure

1

‰5.3s

x

dxs

'‰5.3'

oppure

'

‰5.3's

da cui si ricava:

‰7.16s , ‰71.2' s

Essendo entrambe le deformazioni superiori all’ 1.96 ‰, entrambe le armature sono snervate e quindi le ipotesi fatte sono corrette. Si può quindi calcolare il momento flettente resistente in forma adimensionale:

'14.012

Mcd

rd

fbd

M = 10.040.040.01173.04.01230.0 =

0.211

da cui:

cdrd fbdM 2 = 0.211300410214.2 = 152 610 Nmm = 152 kNm

Oppure direttamente in forma dimensionale:

'4.0'4.0 dxfAxdfAM ydsydsrd =

40714.0391402714.04103911030 = 152 610 Nmm = 152 kNm

Essendo

kNm141kNm152 Edrd MM

la verifica è soddisfatta.

7.2.7 Progetto delle armature per flessione a momento positivo

Il momento sollecitante è pari a EdM =102 kNm. Per definizione di momento

positivo, le fibre tese sono quelle inferiori e quelle compresse quelle superiori (si veda la Figura 7.6). Al contrario di quanto accade per il momento negativo, per essere coerenti con

la solita notazione, occorre indicare con sA l’armatura tesa e quindi quella posta al lembo

inferiore mentre si indicherà con sA' l’area di armatura superiore, in quanto compressa.



45

30

As

A's

414


La procedura è la medesima mostrata per il momento negativo. Si calcola il

momento adimensionale con le effettive dimensioni della sezione:

cd

Rd

fbd

M2

=2.14410300

101022

6

=0.142

Si sceglie il rapporto pari a 0.40

[NOTA 1: si noti che con l’armatura minima si era già ottenuto un effettivo =0.40. Dato

che il momento positivo ha valore assoluto inferiore di quello negativo, certamente l’armatura tesa risulterà minore; di conseguenza, a parità di armatura compressa, il

coefficiente tende ad essere maggiore di quanto effettivamente trovato precedentemente

(=0.40). Non è noto “quanto maggiore”, ma non ha senso porre minore di 0.40].

È possibile quindi ricavare la percentuale meccanica di armatura M dalla (4.24):

22

2 12'1'11

1M =

=

152.04.01142.021.04.011.04.014.01

1 22

2

dove 410

40''

d

d0.1

Dalla definizione di M (equazione 4.9) si ricava l’armatura tesa minima necessaria:

cd

ydsM bdf

fA

yd

cdMs f

bdfA =

391

2.14410300152.0

= 680 mm2 = 6.80 cm2

Si era sceglielto di porre 216 inferiormente e 216 superiormente, con area di:

Areggist. (216) = 4.02 cm2 (402 mm2)



Per quanto calcolato, sono necessari, in zona tesa, almeno 6.80 cm2. Si deve aggiungere una armatura integrativa con area almeno pari a:

Aagg. = 6.80 – 4.02 = 2.78 cm2 (278 mm2)


Aagg. (216) = 4.02 cm2 (402 mm2)

In definitiva, l’armatura tesa è formata da 416 con area complessiva pari a:

As = Areggist + Aagg = A(216 + 216) = 804 mm2

(maggiore di quanto richiesto, ovvero di 680 mm2).

L’armatura compressa è nota avendo fissato :

ss AA ' = 0.40804 = 322 mm2

Dato che l’area dei reggistaffa è già maggiore di quanto richiesto (come ci si aspettava, si deva la nota 1), non occorre aggiungere armatura.

La sezione vede quindi 216 al lembo superiore (armatura compressa) e 416 al

lembo inferiore (armatura tesa). La sezione ottenuta è riportata nella Figura 7.7

45

30

As

A's

414 4

4145

30

4Ø16

2Ø16


7.2.8 Verifica a momento positivo.

Si effettua ora la verifica nota l’armatura calcolata al paragrafo precedente. Si

calcolano preventivamente il rapporto effettivo tra armatura compressa e tesa eff , la

percentuale meccanica effettiva effM , e il copriferro adimensionale ' :

s

seff A

A' =

)164(

)162(

A

A 0.50



cd

ydseffM bdf

fA , =

2.14410300

391804

= 0.178

10.0410

40''

d

d

Supponendo che sia l’armatura tesa che quella compressa siano snervate, si calcola la posizione dell’asse neutro adimensionale:

effeffMd

x 125.1 , = 50.01178.025.1 = 0.112

Corrispondente ad un valore di x pari a:

dx = 0.112410 = 46 mm

Si noti che la posizione dell’asse neutro è poco al di sotto dell’armatura compressa.

Come riportato nel seguito, questo fa si che presumibilmente la deformazione s' risulterà

minore della deformazione di snervamento. Mediante una proporzione derivante dall’ipotesi di conservazione delle sezioni piane

si verifica se le armature tesa e compressa sono effettivamente snervate:

x

xds

‰5.3 oppure

1

‰5.3s

x

dxs

'‰5.3'

oppure

'

‰5.3's

da cui si ricava:

‰27 s , ‰1' s

La deformazione dell’armatura compressa è minore dell’ 1‰ e quindi decisamente inferiore della deformazione di snervamento pari all’ 1.96 ‰. Quando la posizione

dell’asse neutro è così alta (valori di < 0.12÷0.14) e/o le armature compresse sono NON

snervate (nota: accade anche quando = 0.8÷1.0), è possibile approssimare il braccio della

coppia interna a 0.9 volte d, effettuando la verifica come segue:

dfAM ydsrd 9.0 = 8043910.9410 = 116 610 Nmm = 116 kNm

Essendo:





7.2.9 Verifica a taglio

La verifica a taglio si esegue controllando, in primo luogo, se il solo calcestruzzo con l’armatura longitudinale, senza il contributo delle staffe, è in grado di sopportare lo sforzo di taglio di progetto.

Se sì, sarà necessario disporre la sola armatura minima da normativa; in alternativa, nelle zone in cui il taglio sollecitante supera questo taglio resistente, si dovranno prevedere e calcolare apposite staffe che garantiscano l’adeguata resistenza a taglio.

Per valutare la resistenza a taglio di elementi senza staffe, la normativa propone la formulazione (equazione (6.1)):

bdfkV cpckGC

Rd

15.0100

18.0 3/11 = bdcp 15.0

nella quale:

dk

2001

bd

AsG


superiore a:

2/12/3min 035.0 ckfkv

Effettuando i calcoli si ottiene:

dk

2001 =

410

2001 = 1.7

bd

AsG =

410300

402

= 0.33%

3/13/1 2533.07.15.1

18.0100

18.0

ckG

C

fk = 0.41 N/mm2

2/12/3min 035.0 ckfkv = 2/12/3 257.1035.0 = 0.39 N/mm2

Dato che è maggiore del minimo, il taglio resistente è pari a:

1RdV = bd = 0.41300410 = 50400 N = 50.4 kN.

Nella quale si è omesso il contributo dello sforzo di compressione in quanto lo sforzo normale non è presente.



Nelle zone in cui EdV 1RdV , è sufficiente disporre l’armatura minima. Questa deve

soddisfare le seguenti condizioni:

metroalstaffealmeno

d.x

bAsw

3

80

/mmm5.1 2

Se si sceglie di utilizzare staffe 8 a due braccia (tipico per le travi in altezza), l’area

swA di ogni staffa è data da:

*swbracciasw AnA

ovvero moltiplicando l’area di ogni singolo braccio per in numero delle braccia. Nel caso

in esame, per staffe 8 a due braccia swA è data da:

100502 swA mm2

La prima relazione impone che siano presenti almeno 450 mm2 per ogni metro di lunghezza:

/mmm4503005.1 2swA ;

di conseguenza, considerando che ogni staffa ha area di 100 mm2, si ottiene il passo massimo:

1m

mm450 2

x

Asw m22.0450

100

mm450 2 swA

x

ovvero passo massimo 220 mm. La seconda condizione implica:

3284108.080 d.x mm;

la terza, invece:

330x mm

Globalmente le condizioni impongono:

mm330

mm328

mm220

x

x

x

La staffatura minima da porsi sarà quindi di 20/8st

Nelle zone in cui EdV 1RdV , è necessario valutare una specifica armatura a

taglio. Si valuta la sezione più gravosa, a cui corrisponde un taglio sollecitante EdV = 180

kN.



Si verifica la capacità resistente dei puntoni di calcestruzzo inclinati dell’angolo e,

successivamente, si progetta l’armatura imponendo EdRsd VV .

La capacità resistente dei puntoni di calcestruzzo è pari a:

cot

cot

11

5.09.0 cdRcd fbdV

nella quale si è già posto 0cot (per le staffe 90 ) e la tensione ultima dei puntoni

di calcestruzzo pari a cdf5.0 . L’inclinazione del puntone la si può scegliere nel range:

5.2cot0.1

Se si sceglie 5.2cot (traliccio con puntoni molti inclinati) le bielle di

calcestruzzo sono molto più sollecitate rispetto ad adottare un’inclinazione caratterizzata

da 0.1cot (= 45°). Per contro, con 0.1cot sono più sollecitate le bielle tese

formate dalle staffe; per poter sopportate questa maggior carico, è necessario aumentare il

quantitativo di staffe ad esempio riducendone il passo. La condizione 5.2cot è invece

quella che fa ottenere il minimo quantitativo di staffe.

Per questa ragione si sceglie di adottare 5.2cot . Se con tale angolo vengono

verificate le bielle compresse di calcestruzzo, allora è possibile limitare il quantitativo di armatura trasversale prediligendo l’economicità; se questo non accade, occorre individuare

per quale valore di cot si giunge alla crisi delle bielle compresse (ponendo EdRcd VV ) e

progettando le staffe con tale valore di cot . In questo caso ci si pone in una condizione di

“rottura bilanciata”, ovvero di crisi contemporanea di puntoni di calcestruzzo e staffe. Nel caso in esame, si verifica cosa accade alle bielle di calcestruzzo per un angolo

tale per cui 5.2cot . Ne deriva che il taglio resistente delle bielle compresse è dato da:

cot

cot

11

5.09.0 cdRcd fbdV = 5.2

5.2

11

2.145.04103009.0

= 271000 N = 271

kN.

Dato che:

kN180kN271 EdRcd VV

la verifica è ampiamente soddisfatta. Ne consegue che 5.2cot può essere utilizzato per

il calcolo delle staffe. La resistenza delle bielle tese (staffe) è data da:

sincotcot9.0

x

dfAV ydwswRsd .

Per staffe ( 90 ), si semplifica nella seguente forma:



cot9.0

x

dfAV ydwswRsd

Il passo massimo di staffe è ottenuto imponendo EdRsd VV

cot9.0

Edydwsw V

dfAx = 5.2

10180

4109.0391502

3

= 199 mm

Si adotta quindi un passo di 150 mm (15 cm), ottenendo 15/8st . Questa armatura

la si pone in tutte le zone in cui EdV 1RdV

[ NOTA “2” Per dovere di precisione, vale la pena di sottolineare quanto segue. Si potrebbe calcolare, prima di qualsiasi altra cosa, qual è la staffatura minima imposta dalla normativa. Con questo valore è possibile ottenere qual è il taglio massimo sopportabile con queste staffe, che è pari a:

RsdRcdRd VVV ,min

Ovviamente questo valore risulta maggiore di 1RdV , in quanto risente del beneficio dovuto

dalla presenza delle staffe. Il nelle zone in cui il taglio sollecitante eccede questo RdV si

calcola il nuovo passo delle staffe. Nel problema oggetto della progettazione, risulterebbe

RdV 178 kN. Di conseguenza, solo in una piccola parte di trave è assolutamente

necessario porre staffe 15/8st mentre nella restante è sufficiente porre 20/8st ]

7.3 ESERCIZIO 2: PROGETTO E VERIFICA DI UNA TRAVE IN SPESSORE

Si supponga ora che, per lo stesso problema esposto nell’ESERCIZIO 1, fosse richiesto la progettazione di una trave in spessore piuttosto che in altezza. Per questo tipo di trave è tipicamente nota l’altezza ma non la base, da determinarsi. Nel seguito si esegue il calcolo della trave in spessore sottoposta alle stesse sollecitazioni della trave in altezza già calcolata.

7.3.1 Dimensionamento della trave in spessore

Si considerara:

RdEd MM =141 kNm = 141 610 Nmm

Per la trave in oggetto, in cui è nota l’altezza H =25 cm, è necessario in primo luogo determinare la base b. Supponendo un copriferro di 30 mm sia per l’armatura tesa che per quella compressa, l’altezza utile della sezione risulta pari a:

d = 250 + 30 = 220 mm.



Si consiglia di procedere scegliendo un valore del coefficiente maggiore rispetto al

caso della trave in altezza, ad esempio =0.25. Dalla definizione del coefficiente :

cd

Rd

fbd

M2

si ricava la base b, note le caratteristiche dei materiali:

2.1422022.0

101412

6

2cd

Sd

fd

Mb 820 mm

Si adotta quindi una trave in spessore 85x25

33

19

85

25

Figura 7.8.. Sezione della trave

7.3.2 Progetto armature per flessione a momento negativo

Per definizione, se il momento è negativo, le fibre tese sono quelle superiori e quelle compresse quelle inferiori (si veda la figura 7.9). Per tanto, volendo essere coerenti con la

notazione utilizzata fino ad ora, occorre indicare con sA l’armatura tesa e quindi quella

posta al lembo superiore mentre si indicherà con sA' l’area di armatura inferiore, in quanto

compressa. Si calcola il momento adimensionale con le effettive dimensioni della

sezione:

25

85

As

A's

223




cd

Rd

fbd

M2

=2.14220850

101412

6

=0.241

Occorre definire il valore del rapporto tra l’area di armatura compressa rispetto a

quella tesa.

Per travi in spessore di solaio i valori tipici sono pari a = 0.8÷1.0. Nel caso in

esame si sceglie quindi il rapporto =1.0.

Non è possibile ricavare la percentuale meccanica di armatura M dalla (4.24):

22

2 12'1'11

1M

In quanto questa è definita quando l’armatura compressa è snervata. Se =1.0

l’armatura compressa è sicuramente non snervata e ciò implica che la (4.24) non può essere utilizzata. Ne trova conferma il fatto che a denominatore della (4.24) compare zero.

Si valuta la quantità di armatura necessaria tramite la relazione semplificata:

dfAM ydsRd 9.0

ovvero:

df

MA

yd

Rds 9.0 =

2209.0391

10141 6

= 1821 mm2

Con una relazione più accurata sarebbe risultato 1830 mm2. Il minimo di armatura longitudinale per le travi è imposta nell’NTC2008 pari a:

Gykf

4.1

essendo G la percentuale geometrica di armatura tesa:

bd

AsG

Di conseguenza si ricava che:

bd

A

fs

Gyk

450

4.14.1 bdbdAs %3.0

450

4.1min, = 220850%3.0 = 561 mm2

Quindi si dispongono i reggistaffa (4 inferiormente e 4 superiormente) in modo tale

che abbiano un’area maggiore di 5.61 cm2. Si sceglie di porre 414 inferiormente e 414

superiormente, corrispondente ad un’area di:

Areggist. (214) = 6.16 cm2 (616 mm2)

Per quanto calcolato, sono però necessari, in zona tesa, almeno 18.21 cm2. Si deve quindi aggiungere una armatura integrativa con area almeno pari a:



Aagg. = 18.21 – 6.16 = 12.05 cm2 (1205 mm2)


Aagg. (520) = 15.07 cm2 (1507 mm2)

L’armatura tesa è formata da 414 + 520, con area complessiva pari a:

As = Areggist + Aagg = A(414 + 520) = 2187 mm2

che è maggiore di quanto richiesto, ovvero di 1821 mm2. Avendo fissato =1 ne consegue

che anche l’armatura compressa è pari a:

sA' = 2187 mm2

In definitiva, la sezione vede 414 + 520 sia al lembo inferiore che al lembo

superiore. La sezione ottenuta è riportata in Figura 7.10

5Ø204Ø14

25

85

As

A's

223 3

2225

85

4Ø145Ø20


7.3.3 Verifica a momento negativo.

Si effettua ora la verifica nota l’armatura calcolata al passo precedente. Si è scelto

=1 (armatura compressa certamente non snervata) e quindi è possibile effettuare la

verifica mediante la formula semplificata:

dfAM ydsrd 9.0 = 21873910.9220 = 169.3 610 Nmm = 169 kNm

Con relazioni più accurate, che tengano in conto cioè la tensione effettiva dell’acciaio compresso e del contributo del calcestruzzo in esplicito, si sarebbe ottenuto un momento resistente pari a 168 kNm ed un braccio della coppia interna pari a 196 mm, corrispondente a 0.893 volte l’altezza utile d (invece di 0.9). Dato che:



7.3.4 Progetto armature per flessione a momento positivo

Analogamente a quanto visto per il momento negativo, si fissa =1.0.



Si valuta la quantità di armatura necessaria tramite la relazione semplificata, noto il

momento sollecitante ( EdM =102 kNm):

df

MA

yd

Rds 9.0 =

2209.0391

10102 6

= 1318 mm2

Con riferimento a quanto già scelto precedentemente, si dispongono reggistaffa 414

sia inferiormente che superiormente, con area di:

Areggist. (414) = 6.16 cm2 (616 mm2)

Si deve aggiungere una armatura integrativa con area almeno pari a:

Aagg. = 13.18 – 6.16 = 7.02 cm2 (702 mm2)


Aagg. (320) = 7.62 cm2 (9.42 mm2)

L’armatura tesa è formata da 414 + 320, con area complessiva pari a:

As = Areggist + Aagg = A(414 + 320) = 15.58 mm2

che è maggiore di quanto richiesto, ovvero di 1318 mm2.

Avendo fissato =1 ne consegue che anche l’armatura compressa è pari a:

sA' = 15.58 mm2

In definitiva, la sezione vede 414 + 320 sia al lembo inferiore che al lembo

superiore. La sezione ottenuta è riportata in Figura 7.11.

3Ø204Ø14

85

25

2233

22

A's

As

85

25

4Ø143Ø20

Figura 7.11.. Interpretazione dell’indice di affidabilità nel piano delle variabili gaussiane standardizzate

7.3.5 Verifica a momento positivo.

Si effettua ora la verifica nota l’armatura calcolata al passo precedente. Essendo =1

(armatura compressa certamente non snervata), la verifica è effettuata mediante la formula semplificata:

dfAM ydsrd 9.0 = 15583910.9220 = 120.6 610 Nmm = 120 kNm



Dato che:



7.3.6 Verifica a taglio

La procedura è la medesima di quella esposta per la trave in altezza. Occorre controllare se il solo calcestruzzo con l’armatura longitudinale, senza il contributo delle staffe, è in grado di sopportare lo sforzo di taglio di progetto. Se sì, sarà necessario disporre la sola armatura minima da normativa; in alternativa, nelle zone in cui il taglio sollecitante supera questo taglio resistente, si dovrà prevedere e calcolare un apposito quantitativo di staffe che garantiscano l’adeguata resistenza a taglio.

Per meglio fissare le idee, si intende però procedere seguendo quanto è indicato nella “NOTA 2” di pag.119.

Si valuta l’armatura minima taglio, che deve soddisfare le seguenti condizioni:

metroalstaffealmeno

d.x

bAsw

3

80

/mmm5.1 2

Se si sceglie di utilizzare staffe 8 a quattro braccia (tipico per le travi in spessore

con base pari o superiore a 60 cm), l’area swA di ogni staffa è data da:

*swbracciasw AnA

Ovvero moltiplicando l’area di ogni singolo braccio per il numero delle braccia. Nel

caso in esame, per staffe 8 a 4 braccia swA è data da:

200504 swA mm2

La prima relazione impone che siano presenti almeno 450 mm2 per ogni metro di lunghezza:

/mmm12758505.1 2swA

Di conseguenza, considerando che ogni staffa ha area di 200 mm2, si ottiene il passo massimo:

1m

mm1275 2

x

Asw m157.01275

200

275mm1 2 swA

x

ovvero passo massimo 150 mm. La seconda condizione implica:

1762208.080 d.x mm

La terza, invece:



330x mm

Globalmente le condizioni impongono:

mm330

mm170

mm150

x

x

x

La staffatura minima da porsi sarà quindi di 15/)4(8 bracciast .

Non è corretto per travi di base così importanti utilizzare staffe a 2 braccia. Se si vuole però vedere che cosa sarebbe accaduto con staffe a due braccia, sarebbe sufficiente

sostituire ad swA il valore di 100 mm2. Si otterrebbe, dalla prima relazione, un passo

massimo di 75 mm, molto piccolo ed al limite della capacità di messa in opera (il minimo in assoluto è considerato 50 mm, ma per brevi tratti di trave).

Si valuta quindi la resistenza a taglio della trave pensando di disporre solo l’armatura minima. Si verifica la capacità resistente dei puntoni di calcestruzzo inclinati dell’angolo :

cot

cot

11

5.09.0 cdRcd fbdV

nella quale si è già posto 0cot (per le staffe 90 ) e la tensione ultima dei puntoni

di calcestruzzo pari a cdf5.0 . L’inclinazione del puntone la si può scegliere nel range:

5.2cot0.1

Se si sceglie 5.2cot . Ne deriva che il taglio resistente delle bielle compresse è

dato da:

cot

cot

11

5.09.0 cdRcd fbdV = 5.2

5.2

11

2.145.02208509.0

= 412000 N = 412

kN.

Dato che:

kN180kN412 EdRcd VV

la verifica è ampiamente soddisfatta. Ne consegue che 5.2cot può essere utilizzato per

il calcolo delle staffe. Per staffe 15/)4(8 bracciast ( 90 ), la resistenza delle bielle

tese è data da:

cot9.0

x

dfAV ydwswRsd = 5.2

150

2209.0391200

= 258000 N = 258 kN

Il taglio resistente è superiore al massimo taglio sollecitante:



kN180kN258 EdRcd VV

la verifica è ampiamente soddisfatta per il taglio massimo e, di conseguenza, lo è anche per tutti i restanti tratti della trave caratterizzati da un taglio minore.

Per tale motivo la progettazione non necessita di un calcolo di un passo “raffittito”

per le zone a taglio più elevato. Si adottano ovunque 15/)4(8 bracciast

7.4 ESERCIZIO 3: PROGETTO E VERIFICA DI UN TRAVETTO DI SOLAIO IN LATEROCEMENTO

Si progetti il solaio dell’edificio di Figura 7.12 evidenziato con il rettangolo blu. Il solaio è realizzato in latero-cemento armato gettato in opera. Le luci sono, rispettivamente 150 cm, 450 cm e 550 cm.

150

550

500

550450150 550 260 450 150

Figura 7.12.. Pianta dell’edificio con indicato il solaio da progettare

Il dimensionamento di massima del solaio è ottenuto assolvendo alle indicazioni progettuali presenti nella circolare esplicativa all’NTC 2008 al paragrafo 4.1.9.1.2. In particolare: - Lo spessore della soletta deve essere maggiore di 40 mm - La dimensione massima del blocco di laterizio non deve essere maggiore di 520 mm. - L’interasse delle nervature deve essere non maggiore di 15 volte lo spessore della

soletta. - La larghezza delle nervature deve essere non minore di 1/8 del loro interasse e

comunque non inferiore a 80 mm



Si adotta quindi un solaio con le seguenti caratteristiche: - spessore del solaio: H = 25 cm; - spessore della soletta collaborante in calcestruzzo: s = 5 cm; - altezza dei blocchi di laterizio: h = (H – s) = 20 cm; - larghezza dei blocchi di laterizio: b = 40 cm; - interasse delle nervature in c.a.: i = 52 cm; - spessore delle nervature: d = 12 cm;

Con queste dimensioni risultano verificate le condizioni imposte dalla normativa in quanto: - Lo spessore della soletta (50 mm) è maggiore di 40 mm. - La dimensione del blocco di laterizio (400 mm) è minore di 520 mm. - L’interasse delle nervature è minore di 15 volte lo spessore della soletta; infatti

l’interasse risulta pari a 520 mm che è inferiore a 15·50 = 750 mm - La larghezza delle nervature è maggiore di 1/8 del loro interasse; infatti l’interasse è

pari a 520 mm la larghezza della nervatura scelta (100 mm) è maggiore di 520 mm/8 = 65 mm.

- La larghezza delle nervature è maggiore a 80 mm. Lo spessore complessivo del solaio (25 cm) è stato scelto con l’obiettivo di

mantenere limitate le frecce in esercizio. Infatti è buona norma (ma non obbligatorio) scegliere un solaio che abbia una altezza complessiva non minore di un venticinquesimo della lice massima:

;2225

1cmLH

Se viene rispettata tale condizione, le deformazioni del solaio risultano essere in genere accettabili.

Uno schema del solaio così dimensionato è riportato in Figura 7.13.

Figura 7.13.. Sezione del solaio



7.4.1 Analisi dei carichi sul solaio

Si esegue l’analisi dei carichi sul solaio, sia per la parte interna dell’edificio, sia per lo sbalzo (balcone), che, in quanto tale, ha carichi permanenti e accidentali diversi dalla porzione interna all’edificio.

CARICHI PERMANENTI – solaio di civile abitazione

Peso proprio solaio (blocchi laterizio + soletta + nervature) 2.82 KN/m2

Intonaco (2 cm) 0.40 KN/m2

Pavimento (gress) 0.54 KN/m2

Sottofondo 0.54 KN/m2

Tramezzature 1.20 KN/m2

Totale permanenti (qp) 5.50 KN/m2

CARICHI VARIABILI

Sovraccarico ambienti civile abitazione 2.00 KN/m2

Totale variabili (qa) 2.00 KN/m2

CARICHI PERMANENTI - balcone

Peso proprio solaio (blocchi laterizio + soletta + nervature) 2.82 KN/m2

Intonaco (2 cm) 0.40 KN/m2

Pavimento (gress) 0.54 KN/m2

Sottofondo 0.54 KN/m2

Totale permanenti (qp) 4.30 KN/m2

CARICHI VARIABILI

Sovraccarico per balconi 4.00 KN/m2

Totale variabili (qa) 4.00 KN/m2

7.4.2 Azioni di calcolo agenti su ogni singola travetto

Si calcolano quindi le azioni su ogni singolo travetto. Per quanto riguarda i carichi permanenti di entità certa nella zona “interna”:

qp = 4.30·i = 4.30·0.52 = 2.24 KN/m fattorizzazione→ qp,d = 2.24·1.3 = 2.91 KN/m

Per quanto riguarda i carichi permanenti di entità incerta nella zona “interna”:


Per quanto riguarda i carichi permanenti di entità certa nella zona “balcone”:


Per quanto riguarda i carichi variabili nella zona “interna”:



qa = 2.00·i = 2.00·0.52 = 1.04 KN/m fattorizzazione→ qa,d = 1.04·1.5 = 1.56 KN/m

Per quanto riguarda i carichi variabili nella zona “balcone”:

qa = 4.00·i = 4.00·0.52 = 2.08 KN/m fattorizzazione → qa,d = 2.08·1.5 = 3.12 KN/m


Vengono utilizzate più condizioni di carico per il solaio.

Prima condizione di carico La prima condizione di carico massimizza il valore del momento in mezzeria della

prima campata (campata di sinistra di figura 8); è ottenuta ponendo il carico accidentale in corrispondenza della sola prima campata.

Seconda condizione di carico La seconda condizione di carico massimizza il valore del momento nella mezzeria

della seconda campata; è ottenuta ponendo il carico accidentale nella seconda campata e sulla mensola.

Terza condizione di carico: La terza condizione di carico massimizza il valore del momento negativo nel

secondo appoggio; è ottenuta ponendo il carico accidentale su entrambe le campate.

Quarta condizione di carico: Si massimizza il valore del momento nel primo appoggio; è ottenuta ponendo il

carico accidentale sulla mensola. I momenti flettenti risultanti sono riportati in figura 7.14.

Figura 7.14.. Inviluppo del diagramma dei momenti flettenti espresso in kNm



Riassunto delle sollecitazioni:

Posizione Valore di verifica

Appoggio A 7.04 kNm

Campata AB 5.68 kNm

Appoggio B 16.62 kNm

Campata BC 13.71 kNm

Appoggio C 0 kNm

7.4.4 Calcolo delle armature

• Calcolo dell’armatura per la sezione in mezzeria della seconda campata. Si considera quindi la sezione a momento positivo più sollecitata, caratterizzata da

un momento di 13.71 kNm. In questo caso, la sezione resistente è data dalla Figura 7.15a. Dalla geometria e dal momento sollecitante MSd, è possibile calcolare il coefficiente

μ, noto il copriferro (e quindi il corrispettivo valore adimensionale ’); inoltre viene scelto

pari a 0.

Dato che il calcestruzzo non reagisce a trazione, il travetto a T del solaio può essere considerato come una sezione rettangolare caratterizzata dalla stessa altezza della sezione originaria e una base pari a B, essendo B l’interasse tra i travetti. Infatti, se l’asse neutro taglia la soletta superiore, la porzione di calcestruzzo al di sotto dell’asse neutro non reagisce (in quanto soggetta a trazione). È quindi indifferente pensare che tale zona sia di calcestruzzo o meno (si veda la Figura 7.15a).

Considerando quindi una sezione rettangolare di altezza H pari a 25 cm, altezza utile d pari a 22 cm e una base pari a B =52cm, si calcola il coefficiente μ:

cd

Rd

fbd

M2

=2.14220520

1071.132

6

=0.038

È possibile quindi ricavare la percentuale meccanica di armatura M dalla formula:

22

2 12'1'11

1M =

=

038.0213.01113.011 2 =0.045

dove 220

30''

d

d 0.13

Dalla definizione di M si ricava l’armatura tesa minima necessaria:



Figura 7.15.. Travetto di solaio: sezione resistente (a) a momento positivo e (b) a momento negativo.

cd

ydsM bdf

fA

yd

cdMs f

bdfA =

391

2.142205201045.0

= 186 mm2 = 1.86 cm2

Si adottano quindi 2 φ12 aventi area di 2.26 cm2 Si considera quindi la sezione a momento negativo più sollecitata, caratterizzata da

un momento di 16.62 kNm. In questo caso, la sezione resistente è data dalla Figura 7.15b. Dato che il calcestruzzo non reagisce a trazione, il travetto a T del solaio può essere

considerato come una sezione rettangolare caratterizzata dalla stessa altezza della sezione originaria e una base pari a b, essendo b la larghezza della nervatura del travetto. Infatti, se l’asse neutro taglia la nervatura, la porzione di calcestruzzo di soletta al di sopra dell’asse neutro non reagisce (in quanto soggetta a trazione). È quindi indifferente pensare che tale zona di calcestruzzo sia o non sia presente (si veda la Figura 7.15b).

Considerando quindi una sezione rettangolare di altezza H pari a 25 cm, altezza utile d pari a 22 cm e una base pari a b=12cm, si calcola il coefficiente μ:

cd

Rd

fbd

M2

=2.14220120

1062.162

6

=0.202

Si sceglie =0.8 e si ricava la percentuale meccanica di armatura M dalla formula:

22

2 12'1'11

1M =

=

22

22.0202.0213.08.0113.08.01

2.0

1=0.227

dove 220

30''

d

d 0.13



Dalla definizione di M si ricava l’armatura tesa minima necessaria:

cd

ydsM bdf

fA

yd

cdMs f

bdfA =

391

2.14220120227.0

= 217 mm2 = 2.17 cm2

Si adottano quindi 2 φ12 aventi area di 2.26 cm2

7.4.5 Verifica a flessione – travetti di solaio

Si verificano i travetti del solaio con le armature calcolate. Verifica in corrispondenza della mezzeria della campata : MSd = 13.71 kNm. Per fare ciò è

necessario calcolare prima la percentuale meccanica di armatura M:

cd

ydsM bdf

fA

= 2.14220520

391226

= 0.0545

Il coefficiente vale:

eff = 0/3.04 = 0.00

Si calcola la posizione dell’asse neutro adimensionale:

effeffMd

x 125.1 , = 0545.025.1 = 0.068

corrispondente ad un valore di x pari a:

dx = 0.068220 = 15 mm

Si può quindi calcolare il momento flettente resistente in forma adimensionale:

'14.012

M

cd

rd

fbd

M = 068.04.010545.0 = 0.053

da cui:

cdrd fbdM 2 = 0.053520220214.2 = 18.9 610 Nmm = 18.9 kNm

Essendo:

kNm71.13kNm9.18 Edrd MM

la verifica è pienamente soddisfatta. Si effettua ora la verifica in corrispondenza dell’appoggio: MSd = 16.62 KNm. Il

coefficiente effettivo è pari a 1, in quanto si è scelto di mettere 2 φ12 sia superiormente

che inferiormente. Si calcola quindi il momento resistente con la formula:

dfAM ydsrd 9.0 = 3083910.9220 = 23.8 610 Nmm = 23.8 kNm



Essendo:

kNm62.16kNm8.23 Edrd MM

la verifica è pienamente soddisfatta.

7.4.6 Verifica a Taglio – travetti di solaio

In Figura 7.16 è presente l’inviluppo del diagramma del taglio espresso in kN. Per valutare la resistenza a taglio di elementi senza staffe, la normativa propone la formulazione:

bdfkV cpckGC

Rd

15.0100

18.0 3/11 = bdcp 15.0

nella quale:

dk

2001

bd

AsG


superiore a:

2/12/3min 035.0 ckfkv

-8.223

10.889

-13.780

14.400

-10.269

Figura 7.16.. Inviluppo del diagramma del taglio espresso in kN



Effettuando i calcoli si ottiene:

dk

2001 =

220

2001 = 1.83

bd

AsG =

220120

308

= 1.12%

3/13/1 2512.183.15.1

18.0100

18.0 ckG

C

fk

= 0.67 N/mm2

2/12/3min 035.0 ckfkv = 2/12/3 2583.1035.0 = 0.43 N/mm2

Dato che è maggiore del minimo, il taglio resistente è pari a:

1RdV = bd = 0.67120220 = 17688 N = 17.7 kN.

Essendo:

kN78.15kN7.171 EdRd VV


7.5 ESERCIZIO 4: VERIFICA DI UN PILASTRO PRESSO-INFLESSO

Si verifichi il pilastro di Figura 7.17. il pilastro ha sezione quadrata di dimensioni 30x30 cm ed ha una armatura longitudinale complessiva di 4ϕ18. Il carico agente sul piastro è stimato in 8.0 kN/m2 di carico permanente e di 4.0 kN/m2 di carico variabile. La struttura si ripete con interasse pari a 410 cm.

SVOLGIMENTO: Non si effettua l’analisi dei carichi in quanto questi sono già dati; occorre però

fattorizzare i carichi, secondo la “combinazione fondamentale”, per ottenere il carico di progetto per la verifica agli Stati Limite Ultimi:

ikiQkQkGd QQGQ 11

con G = 1.3 per i “permanenti di entità certa” , G = 1.5 per i “permanenti di entità

incerta” e Q = 1.5. Nel caso in esame, si ottiene:



300

170120

q

Figura 7.17.. Pilastro da verificare. Dimensioni espresse in cm.

0.45.10.83.1 dQ = 16.4 kN/ m2

Il carico per metro lineare di lunghezza è ottenuto moltiplicando il carico a metro quadrato per la larghezza di influenza della trave (interasse):

2221 ii

Qq dd

2

1.4

2

1.44.16 68.0 kN/m

A favore di sicurezza si considera: dq 70 kN/ m


La struttura isostatica: il calcolo delle sollecitazioni è immediato:

2

sinistratrave2

1lqM d

Ed = 50 kNm

2

destratrave2

2lqM d

Ed = 101 kNm

22

pilastro2

12

2 lqlqM dd

Ed =51 kNm

12pilastro lqlqN ddEd = 203 kN

Le sollecitazioni sono riportate in Figura 7.18.



10150

51

Figura 7.18.. Diagramma del momento sulle travi e sul pilastro (in kNm)

7.5.2 Verifica a presso-flessione

Il pilastro è soggetto a sforzo normale e momento flettente. Si esegue la verifica a presso-flessione costruendo il dominio di interazione M-N. Secondo quanto esposto nel paragrafo 5.2, per ottenere questo dominio, con esclusione del punto di pura compressione e trazione, è conveniente precedere secondo quanto descritto nel seguito: 1. Si fissa un valore della deformazione dell’acciaio “teso”. 2. Si calcola la corrispondente posizione dell’asse neutro x considerando la deformazione

ultima del calcestruzzo al 3.5‰ , mediante l’equazione:

0035.01 s

dx

3. Si determina la deformazione dell’acciaio “compresso” e la relativa tensione con l’equazione:

ydsssss x

dxseE

x

dxE

'0035.0'

'0035.0''

ydssyds Ex

dxsef

'0035.0''

4. si valutano le tensioni e le relative risultanti ( cR , sR' e sR );



5. si scrive l’equilibrio alla traslazione e si ricava lo sforzo normale resistente di progetto

RdN :

Rdydssscd NfAAxbf ''8.0

6. si scrive l’equilibrio alla rotazione e si ricava il momento flettente resistente di

progetto RdM :

Rdsssscd McH

AdH

AxH

fxb

'

2'

2''4.0

28.0

7. si ottiene così un punto del dominio, di coordinate P = [ RdN , RdM ].

Ripetendo la procedura per diversi valori della posizione dell’asse neutro x si può ottenere l’intero dominio.

Il calcolo viene effettuato per 5 deformazioni dell’acciaio teso, pari al: - 10‰ e 5‰, (deformazioni per cui l’acciaio è sicuramente snervato – ) - 1.96‰ (deformazione di snervamento, apice del dominio) - 1‰ (deformazioni per cui l’acciaio è sicuramente non snervato – ) - 0‰ (sezione interamente compressa) - Il punto di massima resistenza a trazione - Il punto di massima resistenza a compressione

Il risultato del procedimento è riportato nella seguente tabella.

s [‰]

x [mm]

's [‰]

's [MPa]

s [MPa]

Rc [kN]

R's [kN]

Rs [kN]

Nrd [kN]

Mrd [kNm]

20 40 0.89 178 391 137 90 199 29 53.0 10 70 2.00 391 391 239 199 199 239 76.8 5 111 2.56 391 391 379 199 199 379 87.6

1.96 172 2.89 391 391 586 199 199 586 95.3 1 210 3.00 391 196 716 199 99 815 83.0 0 270 3.11 391 0 920 199 0 1119 62.5

Tabella 7.1. Costruzione del dominio M-N per diverse deformazione dell’acciaio teso e con crisi lato calcestruzzo (deformazione del calcestruzzo pari a 3.5‰).

A questi punti si aggiungono il punto caratterizzato da pura trazione e il punto con la massima compressione:

s [‰]

's [‰]

's [MPa]

s [MPa]

Rc [kN]

R's [kN]

Rs [kN]

Nrd [kN]

Mrd [kNm]

Trazione - - 391 391 0 -199 -199 -397 0 Compressione 3.5 3.5 391 391 1278 199 199 1675 0

Tabella 7.2. Costruzione del dominio M-N: massima trazione e massima compressione.



La determinazione del punto con massima resistenza a trazione è ottenuto mediante la formula:

Rdydsydsyds NfAfAfA 2' ( 7.1)

con momento nullo, mentre del punto con massima resistenza a compressione è ottenuto mediante la formula:

Rdcdydscdydsyds NfbHfAfbHfAfA 2' ( 7.2)

sempre con corrispondente momento resistente pari a zero. Sono quindi stati ottenuti i seguenti punti del dominio:

s [‰]

x [mm]

's [ - ]

's [MPa]

s [MPa]

Rc [kN]

R's [kN]

Rs [kN]

Nrd [kN]

Mrd [kNm]

391 391 0 -199 -199 -397 0 20 40 0.89 178 391 137 90 199 29 53.0 10 70 2.00 391 391 239 199 199 239 76.8 5 111 2.56 391 391 379 199 199 379 87.6

1.96 172 2.89 391 391 586 199 199 586 95.3 1 210 3.00 391 196 716 199 99 815 83.0 0 270 3.11 391 0 920 199 0 1119 62.5 391 391 1278 199 199 1675 0

Tabella 7.3. Punti del dominio M-N

Unendo i punti trovati nel piano cartesiano M-N si ottiene la spezzata che indica il luogo di punti in cui la sezione è in condizione di crisi. Il dominio così ottenuto è riportato in Figura 7.19.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-500 0 500 1000 1500 2000

Sforzo Normale [kN]

Mo

me

nto

Fle

tte

nte

[k

Nm

]

Dominio

Sollecitazione

Figura 7.19.. Dominio di interazione M-N



La verifica a pressoflessione è quindi effettuata ponendo, sullo stesso diagramma, il punto di coordinate:

EdEd MNP , = kNm51,kN203 ( 7.3)

che è definito dalla coppia “sforzo normale sollecitante” e “momento flettente sollecitante”. Dato che il punto è interno al dominio, la verifica di sicurezza è soddisfatta.

ESERCIZI SVOLTI CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI 1/29

APPENDICE A

Nel seguito si riportano le tracce di risoluzione di alcuni esercizio delle tipologie più comuni affrontate durante il corso: – strutture con nodi che ruotano ma non traslano; – strutture con nodi che ruotano in cui risulta efficiente l’utilizzo della simmetria

(strutture simmetriche caricate simmetricamente o antimetricamente o riconducibili a tali);

– calcolo di rigidezze alla rotazione; – strutture con nodi che traslano ma non ruotano; – strutture con nodi che traslano e ruotano;

Infine, nel capitolo 2, vengono forniti i soli temi di esercizi d’esame

1 ESERCIZI SVOLTI CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI

1.1 STRUTTURA CON UN SOLO NODO CHE RUOTA MA NON TRASLA

Figura 1.1. Tema: risolvere la seguente struttura


Figura 1.2. Fase I Figura 1.3. Fase II

Figura 1.4. diagramma del momento Figura 1.5. diagramma del taglio


Figura 1.6. deformata

1.2 STRUTTURE CON NODI CHE RUOTANO MA NON TRASLANO (METODO DI CROSS)


Figura 1.8.:Fase I: si valutano i momenti di incastro perfetto (Momenti I)


Figura 1.9. Risoluzione mediante procedimento iterativo

Figura 1.10. Risoluzione mediante “scrittura automatica compatta”


Figura 1.11. Diagramma del momento, taglio e deformata della struttura

1.3 STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE SIMMETRICAMENTE O ANTIMETRICAMENTE

1.3.1 Esercizio 1


La struttura viene risolta scomponendo il problema in due strutture: una struttura simmetrica caricata simmetricamente ed una struttura simmetrica caricata antimetricamente.


Figura 1.13. Risoluzione struttura simmetrica caricata simmetricamente

Figura 1.14. Diagramma del momento, taglio e deformata della struttura simmetrica caricata

simmetricamente


Figura 1.15. Risoluzione struttura simmetrica caricata antimetricamente

Figura 1.16. Diagramma del momento, taglio e deformata della struttura simmetrica caricata

antimetricamente


Figura 1.17. Diagramma del momento, taglio e deformata della struttura originale (sovrapposizione degli

effetti dei risultati ottenuti dalla risoluzione delle sue sottostrutture)

1.3.2 Esercizio 2




Figura 1.20. Diagramma del momento e taglio della struttura


Figura 1.21. Deformata qualitativa della struttura

1.3.3 Esercizio 3


NOTA: si noti che le lunghezze di travi e pilastri sono differenti. Inoltre le sezioni di travi e pilastri sono indicate. Si deve calcolare prima la rigidezza delle singole aste tenendo in conto dell’effettiva lunghezza e dell’effettivo momento di inerzia delle aste:



Figura 1.24. Diagramma del momento della struttura


Figura 1.25. Diagramma del taglio della struttura

1.4 CALCOLO DI RIGIDEZZE

Figura 1.26. Tema: calcolare la rigidezza alla rotazione del nodo “A”

1.4.1 Metodo di risoluzione 1

Si applica la generica coppia di intensità M nel nodo “A” e si valuta la rotazione.


Figura 1.27. Risoluzione struttura soggetta alla coppia M

La rotazione si ottiene come somma della Fase I e della Fase II:

EI

MLI 3

EI

LMII 67

2

EI

ML

EI

LM

EI

MLIII 7

2

67

2

3

La rigidezza vale quindi:

RL

EIW

2

7

2

7

1.4.2 Metodo di risoluzione 2

Si applica una coppia che genera la rotazione unitarie e si valuta in momento complessivo risultante.

Figura 1.28. Risoluzione struttura soggetta alla coppia di intensità 4R.


La rotazione si ottiene come somma della Fase I e della Fase II:

RM I 4

2

RM II

RR

RMMM III 2

7

24

La rigidezza vale quindi:

RW2

7

1.5 NODI CHE TRASLANO MA NON RUOTANO

Figura 1.29. Tema: valutare il diagramma del momento e del taglio sui pilastri nel telaio considerando la

trave infinitamente rigida.

Figura 1.30. Diagramma del momento e taglio della struttura


1.6 NODI CHE RUOTANO MA NON TRASLANO

Figura 1.31. Tema: valutare il diagramma del momento e del taglio sui pilastri nel telaio considerando le travi infinitamente rigide.

Figura 1.32. Fasi di risoluzione


1.7 NODI CHE RUOTANO E TRASLANO


La struttura viene risolta scomponendo il problema in due strutture: una struttura simmetrica caricata simmetricamente ed una struttura simmetrica caricata antimetricamente.

Figura 1.34. Struttura simmetrica caricata simmetricamente e Struttura simmetrica caricata antimetricamente


Figura 1.35. Risoluzione struttura simmetrica caricata simmetricamente

Figura 1.36. Diagramma del momento e taglio della struttura simmetrica caricata simmetricamente


Figura 1.37. Risoluzione struttura simmetrica caricata antimetricamente

Figura 1.38. Diagramma del momento e taglio della struttura simmetrica caricata antimetricamente


Figura 1.39. Diagramma del momento, taglio e deformata della struttura originale (sovrapposizione degli effetti dei risultati ottenuti dalla risoluzione delle sue sottostrutture)


1.8 VARIAZIONI TERMICHE


Figura 1.41. Fase I Figura 1.42. Fase II


Nota : l’allungamento della trave soggetta all’aumento della temperatura è:

LtL

Pertanto le forze all’estremità dei due pilastri valgono:

3

3

12

3

L

EILF

L

EILF

BA

BC

Ed i momenti sono pari a:

ML

EIL

LFM

ML

EILLFM

BCBC

BCBC

26

2

*3

2

2

ESERCIZI NON SVOLTI 22/29

2 ESERCIZI NON SVOLTI

2.1 NODI CHE RUOTANO MA NON TRASLANO

2.1.1 Esercizio 1

LL

L

LL/4

P=qL q

2.1.2 Esercizio 2

L/4L

L

2q

L

q

L

q


2.1.3 Esercizio 3

2q

L/3

L

q

L

q

L L

L

L/3 2L

L/2

LL/

2

2.1.4 Esercizio 4

q

LL

LL/3

L


2.1.5 Esercizio 5

L/2

L

P=qL

q

L/2

LL/2

L

2.2 STRUTTURE SIMMETRICHE CARICATE SIMMETRICAMENTE O ANTIMETRICAMENTE

2.2.1 Esercizio 1

L L/4L/4 L L

LL


2.2.2 Esercizio 2

LL

LL/4

P=qL

q

A B

LL

L L/4

P=qL

2.2.3 Esercizio 3

L/4 L/4LLL

2aa

aa

2q q


2.2.4 Esercizio 4

L

LL/4 L/4

2.3 NODI CHE TRASLANO MA NON RUOTANO

2.3.1 Esercizio 1

2P

P

LL

LL


2.3.2 Esercizio 2

F

L

LL

L

L

2F

L

2.3.3 Esercizio 3

q

2L

L/2

L/2

L


2.3.4 Esercizio 4

LL

LL

q q/2

2.3.5 Esercizio 5

q

LL

LL

L


2.3.6 Esercizio 6

P

LL

LL

2.4 CALCOLO DI RIGIDEZZE

W = ?

LL

L L/2

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TecnicaMO 20102010