TD Suite Numérique_2

Dr N.ASSAAD 1/16 MVA005

Institut des Sciences Appliques et EconomiquesCnam Liban

Suites numriquesExercices corrigs

On donne :

1. limn!

1+

an

n= ea

2. limn!

ln nn= 0

3. limn! n sin

1n= 1

4. limn! n

2

1 cos 1n

=

12

5. limn! n ln

1+

1n

= 1

6. limn! n

a1/n 1 = ln a

7. limn! n

1+

1n

1=

8. limn!

Pa (n)Qb (n)

=

8 a si b < a

9. n! =p

2pin (1+ n)ne

n

avec n 2N, a 2 R+, 2 R; limn! n = 0

Exercice 1 Vrai ou Faux ?

1. Si une suite (junj) est majore, la suite (un) est borne.2. Si une suite (junj) converge vers 0, alors la suite (un) converge vers 0.3. Si une suite (un) converge vers ` et si elle est termes strictement positif, alors ` > 0

4. Si une suite (un) converge vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0 quelque soit la suite(vn).

5. Si (junj) et(jvnj) sont deux suites convergentes, la suite (jun + vnj) est aussi convergente.6. Si la suite (jun + vnj) est convergente alors les deux suites (junj) et (jvnj) sont aussi conver-

gentes.

7. Si (un) et (vn) sont deux suites telles qu partir dun certain rang on ait un vn, alors laconvergence de (vn) implique celle de (un).

8. Si (un) et (vn) sont deux suites telles qu partir dun certain rang on ait un vn, alors laconvergence de (un) implique celle de (vn).

9. Si (un) et (vn) sont deux suites telles qu partir dun certain rang on ait un vn, alors laconvergence de (vn) implique celle de (un).

10. Si (un) et (vn) sont deux suites telles qu partir dun certain rang on ait un vn, alors laconvergence de (un) implique celle de (vn).

11. Si une suite (un) converge, alors elle est monotone.

12. Si une suite (un) est monotone, alors elle converge.

13. Si une suite (un) est croissante et majore, alors elle converge.

14. Si une suite (un) est croissante et minore, alors elle converge.

15. Si une suite (un) est dcroissante et majore, alors elle converge.

16. Si une suite (un) est dcroissante et minore, alors elle converge.

Calcul diffrentiel et intgral Le Cnam-Liban


Solution 1

1. Vrai : sil existe un rel positif a tel que junj a alors a un a donc la suite (un) estborne.

2. Vrai (Thorme dencadrement).

3. Faux : un >1n> 0 pour tout n mais un !n! 0

4. Faux : un =1n

et vn = n; un !n! 0 et unvn = 15. Vrai : jun + vnj junj+ jvnj6. Faux : par exemple un = n et vn = n7. Faux : un = n < 0 vn = 1n > 0 mais un !n! bien que vn !n! 0.

8. Faux : un =1n< vn = n, mais vn ! + bien que un ! 0

9. Faux : un = n > vn =1n

mais un ! + bien que vn ! 0

10. Faux : un =1n> vn = n mais un ! 0 bien que vn !

11. Faux : un =(1)nn

12. Faux : un = 0

13. Vrai

14. Faux : un = n est minore par 0 et croissante mais elle diverge.

15. Faux : un = n majore par 0 et dcroissante mais un ! 16. Vrai

Exercice 2 Montrer que la suite

xn =n

k=1

1k 1

k+ 1

est convergente

Solution 2

xn =n

k=1

1k 1

k+ 1

=

1 1

2

+

12 1

3

+ +

1

n 2 1

n 1+

1

n 1 1n

= 1 1

n

limn! xn = limn!

1 1

n

= 1 0 = 1

donc xn est convergente.



Exercice 3 Dmontrer que la suite

1n2

est convergente et vrifier que n satisfait lingalit

1n2<

Solution 3

L = limn!+ un = limn!+

1n2= 0 donc

1n2

est convergente

La dfinition de la limite : 8 > 0, 9N 2N / 8n > N on a jun Lj alors :

1n2 0 () 1n2

Exercice 4 tudier le comportement des suites

an =cos ne3n + 1

bn =e4n +

1n

sin n

Solution 4On a 8n : 1 cos n 1 et 1 sin n 1alors 8n : 1

e3n + 1 an 1e3n + 1

limn!

1e3n + 1

= 0 =) limn! an = 0

8n : e4n +

1n

bn

e4n +

1n

limn!

e4n +

1n

= 0 =) lim

n! bn = 0

Exercice 5 Calculer, si elles existent, les limites suivantes :

1. limn!

n+ 2n

22. lim

n!n2 n+ 5

2n+ 6

3. limn!

n!(n+ 1)! n!

4. limn!

pn+ 2pn

5. limn!

1+ 2+ 3+ ...+ nn2

6. limn!

1n (n+ 1)

7. limn!

n2n

8. limn!

3p

2n3 + n 3n+ 1

9. limn!

n!nn

10. limn! n

2

1 cos 2n

11. lim

n! n2

1 cos 2pn

12. lim

n! n

1 cos 2n

13. lim

n! n2(1)n cos 1

n

14. lim

n!

n sin

2n

15. lim

n!

n sin

2pn

16. limn!

pn sin

2n

17. lim

n!

n sin

(1)nn

18. lim

n!

1+

2n

n19. lim

n!

1+

2pn

n20. lim

n!

1+

2n

pn21. lim

n!

1+

(1)nn

n22. lim

n!

1+

3n

4n



Solution 5

1. limn!

n+ 2n

2= lim

n!

1+

2n

2= 1

2. limn!

n2 n+ 52n+ 6

= limn!

n2

1 1n+

5n2

n

2+6n

limn! n =

3. limn!

n!(n+ 1)! n! = limn!

n!(n+ 1) n! n! = limn!

1n= 0

4. limn!

pn+ 2pn = lim

n!

pn+ 2pn pn+ 2+pnp

n+ 2+pn

= limn!

n+ 2 npn+ 2+

pn= lim

n!+2p

n+ 2+pn= 0

5. limn!

1+ 2+ 3+ ...+ nn2

1+ 2+ 3+ ...+ n =nk=1

k =12n (n+ 1)

) limn!

1+ 2+ 3+ ...+ nn2

= limn!

n (n+ 1)2n2

= limn!

n+ 12n

=12

6. limn!

1n (n+ 1)

= 0

7. limn!

n2n= 0

un =n2n) ln un = ln n n ln 2 = n

ln nn ln 2

ln nn!n! 0) ln un !n! ) un ! 0

8. limn!

2n3 + n 31/3

n+ 1= lim

n!n2+ n2 3n31/3

n+ 1= 3p

2

9. limn!

n!nn= 0

n! =p

2pin (1+ n)ne

n ) un = n!nn =p

2pin (1+ n) nn

nnen=

p2pin (1+ n)

en

limn! n = 0) limn!

n!nn= lim

n!

p2pinen

= 0

10. limn! n

2

1 cos 2n

= lim

n! 4n2

4

1 cos 2

n

= 2

11. limn! n

2

1 cos 2pn

= lim

n! (4n)n4

1 cos 2p

n

=

12. limn! n

1 cos 2

n

= lim

n!1

4n4n2

1 cos 2

n

= 0



13. limn! n

2(1)n cos 1

n

nexiste pas car la suite extraite constitue par les termes din-

dices paire converge vers12

et la suite extraite constitue par les termes dindices impairediverge vers

14. limn!

n sin

2n

= lim

n!

2n2

sin2n

= 2

15. limn!

n sin

2pn

= lim

n!

2pnpn

2sin

2pn

=

16. limn!

pn sin

2n

= lim

n!

2pnn2

sin2n

= 0

17. limn!

n sin

(1)nn

nexiste pas car la suite extraite constitue par les termes dindices

paire converge vers 1 et la suite extraite constitue par les termes dindices impaireconverge vers 1

18. limn!

1+

2n

n= e2

19. limn!

1+

2pn

n= lim

n!

1+

2pn

pn!pn=

20. limn!

1+

2n

pn= lim

n!

1+

2n

n 1pn= 1

21. limn!

1+

(1)nn

nnexiste pas car la suite extraite constitue par les termes dindices

paire converge vers e et la suite extraite constitue par les termes dindices impaireconverge vers e1

22. limn!

1+

3n

4n= lim

n!

1+

3n

n4=e34= e12

Exercice 6 Calculer, en fonction de 2 R, la limite

limn!

n 2pnpn 3 2 3pn

Solution 6

` = limn!

n 2pnpn 3 2 3pn = limn! n 2

pn

3n+ 11pn 6sous la forme lim

n!Pa (n)Qb (n)

` =

8>:1

3si = 1

0 si < 1 si > 1



Exercice 7 Soit (xn) une suite relle .

1. Si (xn) est convergente de limite `. Montrer que la suite (yn) dfinie par yn =1n

n

p=1

xp

converge galement vers `.La rciproque est-elle vraie ?

2. Si la suite (xn+1 xn) converge vers `. Montrer que la suite xnn

converge galement vers

`. La rciproque est-elle vraie ?

3. Si (xn) une suite de rels strictement positifs telle que la suitexn+1xn

converge vers `.

Montrer que la suite ( npxn) converge galement vers `. La rciproque est-elle vraie ?

4. Application : Dterminer les limites ventuelles des suites :

(a) un = npn

(b) un = ns

2nn

(c) un =

npn!n

Solution 7

1. Soit > 0. Il existe un entier n0 tel que 8p n0xp ` .

Soit n n0 yn ` = 1nn

p=1

xp ` = 1nn

p=1

xp `

do jyn `j 1n

n01p=1

xp `+ 1n np=n0xp `

n0 tant fix, le premier terme de cette somme tend vers 0 quand n tend vers linfini ; ilexiste donc un entier n1 tel que

8n n1 : 1nn01p=1

xp ` Quant au second terme

1n

n

p=n0

xp ` n n0 + 1n Do 8max (n0, n1) : jyn `j cest--dire limn! yn = `La rciproque est fausse ; avec xn = (1)n, la suite (yn) converge vers 0 bien que la suite(xn) ne converge pas.

2. Appliquons le rsultat de la question 1) la suite (x0n = xn+1 xn).y0n =

1n

n

p=1

x0p =1n

n

p=1

xp+1 xp

=

xn+1 x1n

Comme (x0n) converge vers `, (y0n) converge aussi vers ` ; doncxn+1n

converge vers ` ; il

en est de mme dexn+1n+ 1

donc dexnn

Ici aussi, la rciproque est fausse ; avec xn = (1)n, la suite xnn converge vers 0 bien quela suite (xn+1 xn) ne converge pas.

3. Cest la mme question que le 2) en remplaant une diffrence par un quotient : penser la fonction logarithme.



Il suffit dappliquer le rsultat de la question 2) la suite (ln xn) ; la suite (ln xn+1 ln xn)converge vers ln `, donc la suite

ln xnn

converge aussi vers ln ` or

ln xnn

= ln npndonc

la suite npn converge vers `.

La rciproque est encore fausse : il suffit de considrer la suitee(1)

n

.

4. Applications :

(a) limn!

n+ 1n

= 1 donc limn!

npn = 1

(b)

2n+ 2n+ 1

2nn

= (2n+ 2)!(n+ 1)!2

n!2

(2n)!=(2n+ 2) (2n+ 1)

(n+ 1)2

limn!

(2n+ 2) (2n+ 1)(n+ 1)2

= 4

donc limn!

n

s2nn

= 4

(c)npn!n

= nr

n!nn

(n+ 1)!

(n+ 1)n+1n!nn=

nn

(n+ 1)n=

n

n+ 1

n=

11+

1n

n !n! 1e = e1donc lim

n!

npn!n

= e1

Exercice 8 Soit un la suite reprsente sur la figure ci-contre.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

1. Dterminer graphiquement u0, u1, u2 et u32. En supposant que la nature de la suite est gomtrique, en prciser la raison.

3. Exprimer un en fonction de n.

4. En dduire la valeur de u10.

5. Calculer S10 = u0 + u1 + + u10



Solution 8

1. u0 = 8, u1 = 4, u2 = 2, u3 = 1

2. Une suite est gomtrique de raison q 2 R, si 8n 2N : un+1un

= q.

On au3u2=

u2u1=

u1u0=

12

on en dduit que la suite est gomtrique de raison q =12

,

un =12un1

3. un = 21un1 = 22un2 = 23un3 = = 2nu0 = 2n 8 = 23n4. u10 = 2310 = 27 = 7. 812 5 103

5. S10 =10

n=0

un = 8 1 211

1 21 =2047128

= 15. 992

Exercice 9 (Pression atmosphrique, suite gomtrique) : Au niveau de la mer, la pression atmo-sphrique est de 1013 h Pa (hectopascals). On admet que la pression atmosphrique diminuede 1.5% chaque lvation de 100 m. On note pour les besoins de lexercice Pn la pression enhectopascal 100n mtres daltitude et on considre la suite numrique (Pn).

1. Dterminer les pressions P0, P1, et P2 aux altitudes respectivement 0 m, 100 m, et 200 m

2. Exprimer la pression Pn+1 laltitude 100n+ 100 m en fonction de la pression (Pn) lalti-tude 100n m. En dduire la nature de la suite et sa raison.

3. Donner le terme gnral de la suite (Pn).

4. Calculer la pression atmosphrique 3200 m daltitude.

5. Dterminer partir de quelle altitude, 100 m prs, la pression atmosphrique devientinfrieure 600 h Pa. Justifier par un encadrement.

Solution 91. P0 = 1013 h Pa,

P1 = (1 1.5%) P0 = 98.5100 P0 =98.5100 1013 = 997. 81

P2 = (1 1.5%) P1 = 98.5100 P1 =98.5100 997. 81 = 982. 84

2. Pn+1 =98.5100

Pn = 0.985 Pnil sagit dune suite gomtrique de raison q = 0.98 5 = 98.5%

3. Pn = P0qn = 1013 (0.985)n4. La pression atmosphrique 3200 m daltitude correspond :

P32 = 1013 (0.985)32 = 624. 55

5. Pn < 600 h Pa si 1013 (0.985)n < 600() (0.985)n < 600

1013= 0.592 3

=) n > ln 0.592 3ln 0.985

= 34. 654 ' 34P34 = 1013 (0.985)34 = 605. 96 et P35 = 1013 (0.985)35 = 596. 87



Exercice 10 (Suites rcurrentes) :

1. Soit (un) telle que u0 = 2 et un+1 = 2 1un pour tout n 2N.

(a) Montrer que (un) est une suite bien dfinie qui satisfait (un) > 1 pour tout n 2N.(b) Montrer que la suite n 2N est monotone puis en tudier la convergence.

2. Soit n 2N une suite telle que u0 = 1 et un+1 =p

2+ un 8n 2N(a) Montrer que pour tout n 2N : 1 < un < 2(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.

(c) Montrer que (un) est une suite monotone et en tudier sa convergence.

3. Soit (un) une suite telle que u0 > 2 et 8n 2N : un+1 = u2n + 1(a) Montrer que un > 2 pour tout n 2N.(b) Montrer que la suite (un) est divergente sans tudier sa monotonie.

(c) Montrer que un est croissante et diverge vers +

4. Soit (un)n2N une suite telle que u0 > 2 et un+1 = u2n 2 pour tout n 2N.

(a) Montrer que un > 2 pour tout n 2N.(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.

(c) Montrer que (un) est croissante et diverge vers +

5. Soit (un)n2N une suite telle que u0 = 1 et un+1 =un

1+ u2n(a) Montrer que pour tout n 2N : un > 0(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.


6. Soit (un) une suite telle que u0 =12

et un+1 =u2n + un

2(a) Montrer que pour tout n 2N : 0 < un < 1(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.


7. Soit (un)n2N une suite telle que u0 >32

et un+1 = u2n 34

.

(a) Montrer que pour tout n : un >32

(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.


8. Soit (un)n2N une suite telle que u0 > 2 et un+1 = u2n 1

(a) Montrer que pour tout n 2N : un > 2(b) En supposant que la limite de (un) existe, la calculer.


9. Soit (un) une suite telle que u0 >152

et un+1 = u2n 154

(a) Montrer que pour tout n 2N : un > 152



(b) En supposant que la limite de un existe, la calculer.


10. Soit (un)n2N une suite telle que u0 = 4 et un+1 = 34

2+ un

(a) Montrer que un 1 pour tout n 2N.(b) Montrer que (un) est une suite monotone.

(c) En tudier la convergence.

11. tudier la suite (un) telle que u0 = 2 et un+1 = 5 4un 8n 2N

12. tudier la suite (un) telle que u0 = 9 et un+1 = 5 4un 8n 2N

13. tudier la suite (un) telle que 0 < u0 < 1 et un+1 = 5 4un 8n 2N.

Solution 10

1. u0 = 2 et un+1 = 2 1un(a) Par rcurrence u0 = 2 > 1, u1 = 2 12 =

32> 1

Si un > 1 =) 1un < 1 alors un+1 = 21un> 1

(b) Puisque un > 1 pour tout n 2N, on a :un+1 un = 2 1un un = 2

1 u2nun

= (1 un)2

2< 0

autrement dit la suite (un) est monotone dcroissante. tant une suite monotonedcroissante vrifiant un > 1 alors elle converge et lim

n! un = ` > 1. En passant la

limite dans la dfinition, on a : ` = 2 1`

do ` = 1.

2. u0 = 1 et un+1 =p

2+ un

(a) On dmontre par rcurrence : que 8n 2N : 1 < un < 2.u0 = 1 =) 1 < u0 < 2u1 =

p2+ 1 =

p3 : 1 < u1 < 2

Soit 1 < un < 2, alors un+1 =p

2 1 = 1 > 1 et un+1 =p

2+ 2 = 2

(b) Soit limn! un = `.

Alors, en passant la limite dans la dfinition,on a ` =

p2+ ` =) `2 ` 2 = 0 =) ` = 2 ou ` = 1

(c) Puisque 1 < un < 2, 8n 2N on a :un+1 un =

p2+ un un = 2+ un u

2np

2+ un + un=(un 2) (un 1)p

2+ un + un> 0

autrement dit la suite (un) est monotone croissante.tant une suite monotone croissante vrifiant 1 < un < 2, puisque les uniqueslimites relles possibles sont ` = 2 ou ` = 1 on conclut que lim

n! un = 2



3. u0 > 2 et 8n 2N : un+1 = u2n + 1(a) par rcurrence u0 > 2, u1 = 4+ 1 = 5 > 2

Si un > 2 donc u2n + 1 = un+1 > 5 > 2

(b) Soit ` = limn! un Alors, en passant la limite dans la dfinition, on a ` = `

2 + 1 quina pas de solution relle : la suite est alors divergente

(c) Puisque un > 2 8n 2N , on aun+1 un = u2n + 1 un > u2n 2un + 1 = (un 1)2 > 0utrement dit la suite (un) est monotone croissante.tant une suite monotone croissante qui diverge, on conclut que lim

n! un = +

4. u0 > 2 et un+1 = u2n 2(a) Par rcurrence :

u0 > 2 =) u1 > 4 2 = 2Soit un > 2 alors un+1 = u2n 2 > 4 2 = 2

(b) Soit ` = limn! un alors si n ! on a ` = `

2 2 : les solutions possibles sont 2 et 1mais comme un > 2 la suite diverge.

(c) un+1 un = u2n 2 un = (un + 1) (un 2) > 0suite monotone croissante qui diverge, on conclut que lim

n! un = +

5. u0 = 1 et un+1 =un

1+ u2n(a) Par rcurrence :

u0 = 1 > 0, soit un > 0 donc un+1 =un

1+ u2n> 0

(b) Soit ` = limn! un : daprs la dfinition, n! on a : ` =

`

1+ `2, Solution ` = 0

(c) un+1 un = un1+ u2n un = u

3n

u2n + 1< 0 puisque un > 0

la suite est donc monotone dcroissante, de plus elle est minore par 0 8n 2 N etpuisque lunique limite relle possible est ` = 0 on conclut que lim

n! un = 0

6. u0 =12

et un+1 =u2n + un

2

(a) 0 < u0 =12< 1

Si 0 < un < 1, alors un+1 =u2n + un

2> 0 et un+1 32

et un+1 = u2n 34

(a) Par rcurrence : Soit un >32=) un+1 = u2n

34>

94 3

4=

32



(b) Soit ` = limn! un.Alors, en passant la limite dans la dfinition, on a ` = `

2 34

, les

solutions possibles sont :32

,12

Puisque un >32

, alors ` =32

est une limite finie acceptable

(c) un+1 un = u2n 34 un = 14 (2un + 1) (2un 3) > 0

la suite (un) est monotone croissante,et lunique limite relle possible est ` =32

, mais

puisque un >32

on conclut que limn! un = +.

8. u0 > 2 et un+1 = u2n 1(a) Par rcurrence : on a u0 > 2, u1 = u0 1 > 4 1 = 3 > 2

Si un > 2 alors un+1 > 4 1 = 3 > 2(b) ` = lim

n! un =) ` = `2 1() `2 ` 1 = 0 =) `1 = 12

p5+

12

, `2 =12 1

2

p5

aucune limite finie nest acceptable car un > 2.

(c) un+1 un = u2n un 1 > 0, autrement dit la suite (un) est monotone croissante.tant une suite monotone croissante tel que un > 2 pour tout n 2 N et puisque ilny a pas de limite finie relle possible, on conclut que lim

n! un = +.

9. u0 >152

et un+1 = u2n 154

(a) Par rcurrence : u0 >152

, soit un >152

: un+1 >152

4 15

2>

152

(b) Si ` = limn! un =) ` = `

2 154

, les solutions possibles sont :52

,32

, aucune limite

finie nest acceptable puisque un >152

(c) un+1 un = u2n 154 un = 14 (2un + 3) (2un 5) > 0

tant une suite monotone croissante tel que un >152

, puisque aucune limite rellefinie nest possible, on conclut que lim

n! un = +.

10. u0 = 4 et un+1 = 3 42+ un(a) u0 = 4 > 1, soit un 1, donc un + 2 3, par suite 42+ un 1 donc un+1 =

3 42+ un

1

(b) un+1 un = 3 42+ un un

=u2n + un + 2

un + 2= (un + 1) (un 2)

un + 2< 0

donc (un) est une suite monotone dcroissante

(c) (un) est dcroissante et minore, elle est donc convergente.

` = limn! un =) ` = 3

42+ `

, les solutions possibles sont : 1, 2Comme un 1 il faut ` 1 donc ` = 2



11. u0 = 2 et un+1 = 5 4un 8n 2NSuite borne

u1 = 5 4u0 = 542= 3

u2 = 5 43 =113

Soit donc 1 < un < 4montrons que si 1 < un < 4 alors 1 < un+1 < 4

1 < un < 4() 14 0

(un) est une suite monotone croissante et majore. Elle est donc convergenteNotons ` sa limite. La suite un+1 tend vers ` et la suite f (un) tend vers f (`).La limite vrifie donc

` = 5 4`=) `2 5`+ 4 = (` 1) (` 4) = 0

Comme un < 4 il faut ` 4 on a donc ` = 412. (un) est une suite monotone dcroissante et minore.

Elle est donc convergente limn! un = 4

13. (un) est une suite monotone croissante et majore.

Elle est donc convergente limn! un = 4

Exercice 11 La suite (un) est dfinie, pour tout entier n, par la relation de rcurrence :

un+2 =un + un+1

2

et par ces deux premiers termes u0 = a et u1 = b , o a et b sont deux rels quelconques.

1. Montrer que la suite de terme gnral

vn = un un1

est une suite gomtrique convergente

2. Montrer queN

n=1

vn = uN u03. en dduire que (un) est aussi une suite convergente dont on dterminera la limite.



Solution 11

1. On a vn = un un1 On remplace un par son expression en fonction des deux termesprcdents :

vn =un2 + un1

2 un1 = un2 un12 =

12(un1 un2) = 12vn1

Cela tablit que (vn) est une suite gomtrique de raison q = 12 < 1, donc convergente

2.N

n=1

vn = v1 + v2 + + vN= (u1 u0) + (u2 u1) + + (uN uN1) = uN u0 = uN a

3. On a dautre part :N

n=1

vn = v11 qN1 q

v1 = u1 u0 = b a et 1 qdonc uN a = v1 1 (1/2)

N

1+ 1/2=

2 (b a)3

1 (1/2)N

() uN = 2 (b a)3

1 (1/2)N

+ a

Si N ! : qN ! 0alors lim

N!uN =

2 (b a)3

+ a =a+ 2b

3

Exercice 12 (Suite rcurrente) Soit a 2 R, a > 0.Soit (un)n2N la suite rcurrente dfinie par u0 =1 et pour tout n 2N

un+1 =a+ 1+ un

a

On pose,pour tout n 2N : vn = un+1 un et Sn =n1k=0

vk

1. Exprimer vn en fonction de vn1. En dduire quil existe une valeur a0 de a ( prciser)pour laquelle (vn)n2N est une suite constante.

2. Montrer que pour tout a 6= a0 la suite (vn) est une suite gomtrique dont on donnera laraison.

3. Calculer limn! Sn en fonction des valeurs de a.

4. Montrer que un = 1+ Sn 8n 2N. En dduire limn! un en fonction des valeurs de a.

Solution 12

1. 8n 2N on a : vn = un+1 un = a+ 1+ una a+ 1+ un1

a=

1a(un un1) = vn1a

On trouve la suite

8


2. Pour tout a 6= a0 = 1 : vn = vn1a =vn2a2

= = 2an= 2

1a

ndonc la suite (vn) est une suite gomtrique de raison

1a

3. On a

Sn =n1k=0

vk =

8:+ si a = 1

2a 1 si a > 1+ si 0 < a < 1

4. On a

Sn =n1k=0

vk = v0 + v1 + + vn1 = (u1 u0) + (u2 u1) + + (un un1) = un 1donc un = 1+ Sn. Alors :

limn! un = 1+ limn! Sn =

8>:+ si a = 1a+ 1a 1 si a > 1+ si 0 < a < 1

Exercice 13 Soient (un)n2N et (vn)n2N deux suites adjacentes, cest dire telle que (un) est crois-sante, (vn) est dcroissante et lim

n! (vn un) = 0. Montrer que (vn un) est dcroissante puisque les deux suites convergent vers une mme limite.

Solution 13(un) est croissante donc un+1 > un, et vn est dcroissante don vn+1 < vnalors vn+1 un+1 < vn un, la suite (vn un) est dcroissante.Si `1 = limn! un et `2 = limn! vn alors `1 = limn! (vn un) = `2 `1or on a lim

n! (vn un) = 0 donc `2 = `1.

Exercice 14 (Moyenne gometrico-harmonique) Soient (an)n2N et (nn)n2N deux suites telles quea0 > b0 > 0 et

8n 2N an+1 = an + bn2 et bn+1 =panbn

Montrer que ces deux suites convergent et ont mme limite (appele moyenne gomtrico-harmonique de a0 et b0.



Solution 148n 2N : les suites an et bn sont bien dfinies.On montre par rcurrence que pour tout n 2N que an > bnvraie pour n = 0 car a0 > b0supposons que an > bn > 0 : alors

an+1 bn+1 = an + bn2 panbn =

an + bn 2panbn

2=

12p

an pbn2> 0

ainsi an+1 > bn+1Les deux suites (an) et (bn) sont adjacentes, en effet :

an dcroissante : an+1 an = an + bn2 an =bn an

2< 0

bn croissante : bn+1 bn =panbn bn =

pan

pbnp

bn > 0an converge car dcroissante et minore par b0 car an bn b0bn converge car croissante et majore par a0 car bn an a0Si lim

n! an = et limn! bn = alors =+

2donc = .


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TD Suite Numérique_2