TD Curviligne 2013

8/19/2019 TD Curviligne 2013

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Dr Noureddine ASSAAD c Le cnam-Liban

1/26 MVA107

I nstitut des Sciences Appl iquées et Economiques Cnam Liban

Algèbre Linéaire et Géométie (MVA107)Intégrale Curviligne - Exercices

Exercice 1

Calculer les intégrales curvilignes suivantes :

1.R C

!F !dr ; !F = x2 + 1!i + y2 1! j et (C ) le demi-cercle allant de A (4; 0) à B (4; 0)

2.

R C xdx + dy ; (C ) la branche parabolique y = x2 entre A (2; 4) et B (2; 4)

3. R C

2xd`; (C ) le demi cercle, x 0, de centre O et de rayon 1

4. I =

Z C

!V !dr avec !V = (xy + z) !i + x2y + 2! j + (x) !k . (C ) est l’arc joignant les points

A (c;c;h) et B

2c; 12c; h

dé…ni par 2y = 3c x; z = h ; c et h sont des constantes données.

5.

Z AB

!H !dr où !H = z2 + 2xy!i + x2 + 2yz! j + y2 + 2zx!k et AB est une courbe

joignant les points A (1; 1; 1) et B (1; 2; 2) :

6. I C x2 + 3y2 2xy d` où (C ) est le cercle unité.

7.R C

(x + y) dy (C ) est l’ellipse 4x2 + y2 = 4

Solution 1 :

1. (C ) est le demi cercle inférieure. En coordonnées polaires : x = 4cos ; y = 4sin , donc

dx = 4sin d et dy = 4 cos d

sur

gAB on a r = R = 4; A = ; B = 2

-4 -2 2 4

-4

-2x

yA B

(C )

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

lignes du champ !

F

R C !F !dr =

R C x2 + 1

dx +

x2 1

dy

=2R

16 cos2 + 1

(4sin ) + 16 sin2 1 (4 cos ) d


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2/26 MVA107

= 42R

16 cos2 sin sin + 16 sin2 cos cos d= 4

16

cos3

3 + cos + 16

sin3

3 sin

2

= 4163

+ 1 163 1 = 152

3

2. I =R C

xdx + dy

-2 -1 0 1 2

2

4

x

yA B

-5 5

-5

5

x

y

On considère x comme paramètre : y = x2 =) dy = 2xdx et 2 x 2I = R C xdx + dy =

2

R 2 (xdx + 2xdx) = 32

R 2 xdx = 0:3. (C ) le demi cercle, x 0, de centre O et de rayon 1

-1

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y A

B

En coordonnées polaires : x = cos ; y = sin ,donc dx = sin d et dy = cos d

sur gAB on a r = 1; A = =2; B = 3=2d` =

p dx2 + dy2 =

p sin2 d2 + cos2 d2 = dR

C

2xd` = 23=2R =2

cos d = 4

4. (C ) dé…ni par 2y = 3c x =) x = 3c 2y =) dx = 2dy; z = h =) dz = 0 en allant deA à B x varie de xA = c à xB = 2c:

I =

R C !V !dr =

R C =A!B (xy + z) dx +

x2y + 2

dy + (x) dz

=2cR c

(y (3c 2y) + h) (2dy) + (3c 2y)2 y + 2 dy


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3/26 MVA107

=2cR c

6cy + 4y2 2h + 2 + 9c2y + 4y3 12cy2 dy=

1

6c

3c3 + 2c2 12h + 125.

!H = z2 + 2xy!i x2 + 2yz! j + y2 + 2zx!k@P @y

= @Q

@x = 2x

@P

@z =

@R

@x = 2z;

@R

@y =

@Q

@z = 2y =) !H = !r' et !H !dr = d'

@'

@x = z2 + 2xy =) ' = R z2 + 2xy dx = xz2 + x2y + f (y; z)

@'

@y = x2 +

@ f

@y = x2 + 2yz =) @f

@y = 2yz =) f = R 2yzdy = y2z + g (z)

' = xz2 + x2y + y2z + g (z)@'

@z = 2xz + y2 + g0 = y2 + 2zx =) g0 = 0 =) g = C

' = xz2 + x2y + y2z + C

R C !H

!dr = R BA d' = ' (x;y ;z)BA = ' (B) ' (A) avec A (1; 1; 1) et B (1; 2; 2) :

' (A) = 1 + 1 + 1 + C = C + 3 ' (B) = 4 + 2 + 8 + C = C + 14R C

!H !dr = (C + 14) (C + 3) = 11

6. I =

I C

x2 + 3y2 2xy d` où (C ) est le cercle unité.

En coordonnées polaires : r = R = 1

x = cos =) dx = sin d y = sin =) dy = cos dd` =

p dx2 + dy2 = d

d! = x2 + 3y2

2xy d` = cos

2 + 3 sin2

2cos sin dcos2 = 1 + cos 2

2 sin2 = 1 cos2

2

cos2 + 3 sin2 = 1 + cos 2

2 + 3

1 cos22

= 2 cos2=) d! = (2 cos2 sin2) d

I =

2Z 0

(2 cos2 sin2) d = 4

7. 4x2 + y2 = 4 =) x2 + y2

4 = 1

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-2

-1

1

2

x

y

-1 1

-2

-1

1

2

x

y


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4/26 MVA107

En coordonnées elliptiques (r = 1; a = 1; b = 2) : x = cos ; y = 2 sin ,

donc dx = sin d et dy = 2 cos d et 0 2R C

(x + y) dy =2R 0

(cos + 2 sin ) (2 cos ) d

= 22R 0cos2 + 2 sin cos d = 2:

Exercice 2

Calculer l’intégrale curviligne Z AB

(x + y) (dx + dy)

où AB est le chemin joignant les points A = (2; 0) et B = (0; 0) déterminé par :

1. Le segment de droite AB .

2. Le demi-cercle inférieur de diamètre AB .

3. L’arc supérieur de l’ellipse d’équation (x 1)2 + y2

4 = 1 parcouru de A vers B .

Solution 2 :

0.5 1.0 1.5 2.0

-1

0

1

2

x

y

B A

1. Sur le segment AB : y = 0 =) dy = 0(x + y) (dx + dy) = xdx: En allant dans le sens B ! A; x varie de 0 ! 2R C + (x + y) (dx + dy) =

Z BA

xdx =

2Z 0

xdx = 2:

2. Le cercle est centré au point (1; 0) et de rayon R = 1 son équation est : (x 1)2 + y2 = 1

En coordonnées polaires et sur la courbe on a : x 1 = cos y = sin =) dx = sin ddy = cos d et varie de B = à A = 2:


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5/26 MVA107

R C + (x + y) (dx + dy) =

2R

(1 + cos + sin ) ( sin + cos ) d

=2

R

( sin + cos ) + sin2 + cos2 d

=2R

[ sin + cos + cos 2] d

=

cos + sin sin 2

2

2

= 1 (1) = 2

3. (x 1)2 + y2

4 = 1 : Les longueurs des demi-axes sont a = 1 et b = 2

donc on pose

x 1 = cos

y = 2 sin =)

dx = sin d

dy = 2 cos d

avec varie de A = 0 à B = :

R C + (x + y) (dx + dy) =

R 0 (1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) d = 2(1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) = 2 cos2 + 3 cos sin + 2 cos 2sin2 sin

= 2 cos sin + 4 cos2 + 3 cos sin 2R 0

(1 + cos + 2 sin ) ( sin + 2 cos ) d =

sin2 34

cos 2 + cos + 2 sin

0

= 2

Exercice 3

Calculer la température moyenne d’une résistance, en forme d’une helice,cos t; t

10; sin tlimité par les plans y = 0 et y = 1 si la distribution de température est donnée par

(x;y ;z) = x2 + y2 + z2.

Solution 3 : T =

Z C

d`

y

z

x

d` =p

dx2 + dy2 + dz2 = 1

10

p 100 + t2dt8>:

x = cos t =) dx = sin tdty =

t

10 =) dy = dt

10z = sin t =) dz = cos tdt

=) d` =r

sin2 t + 1

100 + cos2 tdt =

1

10

p 101dt

= x2 + y2 + z2 = cos2 t + t2

100 + sin2 t ==

t2

100 + 1 =

t2 + 100

100y = 0

!t = 0 y = 1

!t = 10

T =10Z 0

t2 + 100100

110

p 101dt =

4

3

p 101


6/26


6/26 MVA107

Exercice 4

Calculer le travail e¤ectué par la champ !

F = x!i

3xy

! j + z2

!k le long de l’hélice

( x = sin t; y = cos t; z = 3t) entre les points A (0; 1; 0) et B (0; 1; 9) :

Solution 4 :

0.5

10

0 0.0

B

-1.0-1

-0.50

20

z

1.0 1A

8


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7/26 MVA107

En coordonnées polaires : r = R = 2x = 2 cos =) dx = 2sin d y = 2 sin =) dy = 2 cos dl’arc du cercle du 1er quadrant! 2

h0;

2

id` =

p dx2 + dy2 = 2d =

p x2 + y2 = 2

m =

=2Z 0

4d = 2

X = 1

m

=2Z 0

xd` = 1

2

=2Z 0

(2 cos )(2)(2) d = 4

Y = 1

m

=2Z 0

yd` = 1

2

=2Z 0

(2 sin )(2)(2) d = 4

Exercice 6

ans le plan (xOy) on considère les points : A (1; 1) ; B (2; 1) ; C (2; 5) ; et D (5; 5) :

1. Une particule se déplace sous l’action du champs des forces !

F = x2!i 2 (x + y) ! j suivant

le trajet ABCDA: Calculer, à l’aide d’une intégrale curviligne, le travail e¤ectué.

2. Peut-on calculer ce travail par une autre méthode. Justi…er votre réponse et recalculer letravail.

Solution 6 :

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

x

y

A B

C D

M

1. W =

I

!F !dr =

Z AB

+

Z BC

+

Z CD

+

Z DA!

F !dr = x2dx 2 (x + y) dySur AB : y = 1 =) dy = 0 et x : 1 ! 2

Z AB

!F

!dr =

2

Z 1

x2dx = 7

3

Sur B C : x = 2 =) dx = 0 et y : 1 ! 5


8/26


8/26 MVA107

Z BC

!F !dr = 2

5Z 1

(2 + y) dy = 40

Sur C D : y = 5 =) dy = 0 et x : 2 ! 5

Z CD

!F !dr =5Z

2

x2dx = 39

Sur DA : x = y =) dx = dy et x : 5 ! 1Z DA

!F !dr =

1Z 5

x2 4x dx = 20

3

W = 7

3 40 + 39 + 20

3 = 8

N.B. : Remarquons que x2dx 2ydy est une di¤érentielle totale alorsI

x2dx 2ydy = 0

par suite W devient : W = 2I

xdy

Sur AB et C D : dy = 0 donc W AB = W CD = 0

Sur B C x = 2 et y : 1 ! 5

W BC = 25Z

1

2dy = 16

Sur DA : x = y =) dx = dy et x : 5 ! 1

W DA = 21

Z 5(x) dx = 24

W = 16 + 24 = 82. Le champs

!F n’a pas des points de discontinuité et le contour est fermé donc on peut

appliquer la formule de Green-Riemann :I +

!F !dr =

ZZ

@F y@x

@ F x@y

dxdy =

ZZ

(2) dxdy

Soit M le point d’intersection des segments B C et DA alors le domaine = 1 [ 21 = triangle AMB

Pour y …xé : x varie de xm = y jusqu’à xM = 2 et 1 y 2

ZZ 1

(2) dxdy = 22Z

1

0@ 2Z y

dx1A dy = 12 = triangle C M D

Pour y …xé : xvarie de xm = 2 jusqu’à xM = y et 2 y 5ZZ 2

(2) dxdy = 25Z

2

0@ yZ 2

dx

1A dy = 9 = Z MDC

= Z

MCD

donc : W = 1 (9) = 8


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9/26 MVA107

Exercice 7

Soit le champ vectoriel!H =

zx

r3

!i

z y

r3

! j +

x2 + y2

r3

!k

où r =p

x2 + y2 + z2:

1. Démontrer que !H est un champ conservatif.

2. Calculer le travail e¤ectué en allant du point A (1; 0; 0) vers le point B (1; 1; 1) :

Solution 7 :

1. @P

@y =

@Q

@x =

3xyz

r5

@P @z

= @R@x

= x x2 + y2 2z2r5

@Q

@z =

@R

@y = y

x2 + y2 2z2

r5

donc !H est un champ conservatif

2. Soit ' = ' (x;y ;z) tel que !H =

!r' () !H !dr = d'!H = zx

r3!i z y

r3! j +

x2 + y2

r3!k

@'

@x = zx

r3 = zx

(x2 + y2 + z2)3=2

' = Z zxdx(x2 + y2 + z2)3=2

= zp x2 + y2 + z2

+ g (y; z) = zr

+ g (y; z)

@'

@y =

@

@y

zp

x2 + y2 + z2+ g (y; z)

! = yz

r3 +

@g

@y = zy

r3 =) @g

@y = 0 =) g = g (z)

' = z

r + g (z)

@'

@z =

@

@z

zp

x2 + y2 + z2

! =

x2 + y2

r3 + g0 =

x2 + y2

r3 =) g0 = 0 =) g = C

' (M ) = z

r + C =

z

p x2 + y2 + z2W =

Z C

!H !dr =

BZ A

d' = ' (B) ' (A) = 1p 1 + 1 + 1

0p 1 + 0 + 0

= 1p

3

Exercice 8

On désigne par (C ) la courbe joignant les points A (1; 0) et B (0; 1) du plan xOy; et soit!H un

champ vectoriel dé…ni et continu sur (C ) ;!H = y2

!i x2! j

1. Démontrer que I = Z C

!H !dr dépend du chemin parcouru entre les points A et B


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10/26 MVA107

Exercice 8 (suite)

2. Calculer la valeur de l’intégrale I dans les cas suivants :

(a) C est le segment de droite joignant A et B

(b) C est l’arc du cercle centré à l’origine et de rayon 1(c) C est la ligne brisée B OA

3. Déduire la valeur de l’intégrale J =

ZZ D

(x + y) dxdy; où D est la région limitée par :

(a) L’arc AB et les axes des coordonnées.

(b) Le segment AB et les axes des coordonnées.

(c) L’arc AB et le segment AB :

Solution 8 :

1. On a @P

@y = 2y 6= @Q

@x = 2x donc !H n’est pas un champ conservatif, par suite R

C

!H !dr

dépend du chemin parcouru entre les points A et B:

A

2. I =R C

!H !dr

(a) L’équation de la droite (AB) est : x + y = 1 =) y = 1 x =) dy = dx en allantdans le sens positif de A vers B on a x varie de 1 à 0R C

!H !dr = R

C

y2dx x2dy =0R 1

(1 x)2 + x2

dx = 2

3

(b) en coordonnées polaires avec r = 1 :x = cos =) dx = sin dy = sin =) dy = cos d; A = 0; B = =2R C

!H !dr = R

C

y2dx x2dy = =2R 0

sin3 + cos3

d = 4

3

(c)R C

!H !dr = R

BO

!H !dr + R

OA

!H !dr

sur BO : x = 0 =) dx = 0 =) y2dx x2dy = 0 =) R BO

!H !dr = 0

sur OA : y = 0 =) dy = 0 =) y2dx x2dy = 0 =)R OA

!H !dr = 0

R BOA

!H !dr = 0


11/26


11/26 MVA107

3. Si on applique la formule de Green-Riemann :R C

!H !dr = RR

D

@Q

@x @ P

@y

dxdy

I =R C

y2dx x2dy = RR D

(2x 2y) dxdy = 2 RR D

(x + y) dxdy = 2J =) J = I 2

(a) C = gAB [ [BO] [ [OA] =)J = 1

2

R gAB

!H !dr + R

BOA

!H !dr

! = 1

2

4

3 + 0

=

2

3

(b) C = [AB] [ [BO] [ [OA] =)

J = 12

R [AB]

!H !dr + R

BOA

!H !dr

! = 1

2

2

3 + 0

=

1

3

(c) C = gAB [ [BA] =)J = 1

2 R gAB!H !dr +

R [BA]!H !dr

! = 1

2 4

3 +

2

3 =

1

3

Exercice 9

Soit le champ de vecteurs :!H =

2xy x2!i + x + y2! j

1. !

H est il un champ de gradient ?

2. Calculer

I !H !dr par calcul direct et à l’aide de formule de Green, où C est la boucle fermée

constituée par les arcs des paraboles y = x2et x = y2 .

Solution 9 :

1. @P

@y = 2x 6= @Q

@x = 1 =) !H n’est pas un champ de gradient

2.R C +

!H !dr =?

0.5 1.0

0.5

1.0

x

y

(a) Calcul directR C +

!H !dr = R

C +

2xy x2 dx + x + y2 dy = R

OA

!H !dr + R

AO

!H !dr

Sur OA : y = x2 =) dy = 2xdx et x : 0 ! 1

R OA 2xy x2

dx +

x + y2

dy =

1

R 0 2x3 x2

+

x + x4

(2x)

dx

=1R 0

2x5 + 2x3 + x2

dx =

7

6


12/26


12/26 MVA107

Sur AO : x = y2 =) dx = 2ydy et y : 1 ! 0R AO

2xy x2 dx + x + y2 dy = 0R

1

2y3 y4 (2ydy) + 2y2 dy

=0

R 1 4y4

2y5 + 2y2 dy =

17

15R C +

!H !dr = 7

6 17

15 =

1

30

(b) Formule de Green

I =R C

!H !dr = RR

D

@Q

@x @ P

@y

dxdy =

RR D

(1 2x) dxdy

Fixons x on touve que pour x = C te : x2 y p x et 0 x 1

I =RR D

(1 2x) dxdy =1R 0

p xR

x2(1 2x) dy

!dx =

1R 0

(1 2x) yjp x

x2 dx

=

1R 0 (1 2x) p x x2 dx = 130

Exercice 10

On considère le champ vectoriel !

F = y2!i + x

! j dé…ni et continu sur la courbe fermée

C = C 1 [ C 2; C 1 est le segment joignant A (5; 3) à B (0; 2) et C 2 la branche paraboliquex = 4 y2

1. Donner une expression paramétrique de AB ; x = x (t), y = y (t).

2. Calculer H C +

!F !dr

Solution 10 !

F = y2!i + x

! j

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

1. L’équation paramétrique de la droite (AB) se détermine par l’expression :y yA

yB yA = x xAxB xA = t

=) y + 32 + 3

= x + 5

5 = t donc on aura :

x = 5t 5y = 5t 3


13/26


13/26 MVA107

2.H C +

!F !dr = H

C

y2dx + xdy avec C = C 1 [ C 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

A

B

H C

y2dx + xdy =R C 1

y2dx + xdy +R C 2

y2dx + xdy

sur (C 1) = [BA]+

: x = 5t 5y = 5t 3 =) dx = 5dtdy = 5dtau point A on a

x = 5t 5 = 5y = 5t 3 = 3 =) tA = 0

et en B

x = 5t 5 = 0y = 5t 3 = 2 =) tB = 1

y2dx + xdy = (5t 3)2 (5dt) + (5t 5)(5dt) = 5 25t2 25t + 4 dtZ BA

y2dx + xdy = 5

0Z 1

25t2 25t + 4 dt = 5

6

sur (C 2) : x = 4

y2 =

)dx =

2ydy et y varie de yA =

3 à yB = 2R

C 2y2dx + xdy =

2R 3

y2 (2ydy) + 4 y2 dy = 2R 3

2y3 + 4 y2 dy = 2456H

C

y2dx + xdy = 5

6 +

245

6 =

125

3

N.B. : Sur B A on peut déterminer l’équation de la droite y = ax + b =) y = x + 2 =)dy = dx et x varie de xB = 0 à xA = 5 dans le sens positif R C 1

y2dx + xdy =5R 0

(x + 2)2 dx + xdx =5R 0

x2 + 5x + 4

dx =

5

6

Exercice 11

Dans le plan xoy on considère le triangle AB C ; A (1; 1) ; B (2; 2) ; et C (1; 3) : Le champ

!H = 2

x2 + y2

!i + (x + y)2

! j

étant dé…ni et continu sur le domaine intérieur du triangle ABC et sur la frontière.

1. Calculer à l’aide d’une intégrale curviligne l’aire du triangle

2. Calculer H ABC !H !dr directement et à l’aide de formule de Green-Rieman


14/26


14/26 MVA107

Solution 11 :Equation de la droite (AB) : y = x:Equation de la droite (AC ) : x = 1:Equation de la droite (BC ) : y = x + 4:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

x

y

A

B

C

1. A l’aide de formule de Green-Riemann : I P dx + Qdy = ZZ D @Q

@x @ P

@y dxdySi P = 1

2y et Q =

1

2x alors

1

2

I +

(ydx + xdy) =ZZ D

dxdy

Soit la frontière du triangle AB C donc = [AB] [ [BC ] [ [CA] ; l’aire du triangle est :ZZ D

dxdy = 1

2

I +

(ydx + xdy) = 12

264 Z [AB]

ydx + xdy +Z

[Bc]

ydx + xdy +Z

[CA]

ydx + xdy

375– Sur [AB] : y = x; dy = dx =) ydx + xdy = 0 =)

Z [AB]

ydx + xdy = 0

– Sur [BC ] : y = x + 4; dy = dx =) ydx + xdy = ((x 4) x) dx = 4dx avec x varie

de xB = 2 à xC = 1 par suite

Z [BC ]

ydx + xdy = 41Z

2

dx = 4

– Sur [CA] : x = 1 =) dx = 0 et y varie de yC = 3 à yA = 1

=)Z

[CA]

ydx + xdy =1Z

3

dy = 2

Finalement :

ZZ D

dxdy = 1

2 (0 + 4 2) = 1

Calcul à l’aide d’une intégrale double

D = f(x; y) =x y x + 4 et 1 x 2gZZ D

dxdy =

2Z 1

0@ x+4Z x

dy

1A dx = 12.

!H !dr = 2 x2 + y2 dx + (x + y)2 dy(a) Par calcul direct :

I = I +

!H !dr = Z [AB]

!H !dr + Z [BC ]

!H !dr + Z [CA]

!H !dr


15/26


15/26 MVA107

– Sur [AB] : y = x; dy = dx et 1 x 22

x2 + y2

dx + (x + y)2 dy = 2

2x2

dx + (2x)2 dx = 8x2dx

=)Z

[AB]

!H !dr =

2Z 1

8x2dx = 56

3

– Sur [BC ] : y = x + 4; dy = dx avec x varie de xB = 2 à xC = 12

x2 + y2

dx + (x + y)2 dy = 2

x2 + (x + 4)2

dx (x x + 4)2 dx= 4 (x 2)2 dx

par suite

Z [BC ]

!H !dr = 4

1Z 2

(x 2)2 dx = 43

– Sur [CA] : x = 1 =) dx = 0 et y varie de yC = 3 à yA = 12

x2 + y2

dx + (x + y)2 dy = 2

1 + y2

(0) + (1 + y)2 dy = (1 + y)2 dy

Z [Bc]!H

!dr =

1

Z 3 (1 + y)2 dy =

56

3

I = 56

3 4

3 56

3 = 4

3(b) Formule de Green-Riemann :

P = 2

x2 + y2

=) @P @y

= 4y

Q = (x + y)2 =) @O@x

= 2 (x + y)

@O

@x @ P

@y = 2 (x + y) 4y = 2x 2y

I +

!H !dr = 2ZZ D

(x y) dxdy = 22Z

1

0@ x+4Z x

(x y) dy1A dx = 43

Exercice 12

Au point M (x;y ;z) on fait associer le champ de vecteurs

!V = 6 1 + x2' (x)

!i

12xy' (x)

! j

6z

!k

1. Déterminer la fonction ' (x) d’une manière que le champ !

V soit un champ de rotationnel ;

2. On suppose que !

V =!rot

!W et

!W = P (x;y ;z)

!i + Q (x;y ;z)

! j

Déterminer !W sachant que

!W (x;y; 0) =

!0 :

3. Calculer

I C

!W !dr ; C est le cercle d’équation : y2 + z2 = 25, du plan x = 3:


16/26


16/26 MVA107

Solution 12 :

1. !

V est un champ de rotationnel si !r !V = @P V

@x +

@ QV @y

+ @ RV

@z = 0

P V = 6 1 + x2' (x) =) @P V

@x

= 12x' + 6 1 + x2'0QV = 12xy' (x) =) @QV

@y = 12x'

RV = 6z =) @RV @z

= 6!r !V = 12x' + 6 1 + x2'0 12x' 6 = 6'0 x2 + 1 6!r !V = 0 () 6'0 x2 + 1 6 = 0 =) '0 = 1

1 + x2 =) ' (x) = arctan x

!V = 6

1 + x2

arctan x

!i 12xy arctan x! j 6z!k

2. !W = P !i + Q! j =) !r !W = @Q

@z !i @ P

@z ! j +@Q@x @ P @y !k!r !W = !V =)

8>>>>>>>:@Q

@z = 6 1 + x2 arctan x@P

@z = 12xy arctan x

@Q

@x @ P

@y = 6z

@Q

@z = 6 1 + x2 arctan x =) Q = 6z 1 + x2 arctan x + f (x; y)

@P

@z = 12xy arctan x =) P = 12xyz arctan x + g (x; y)

@Q@x

@ P @y

= 6z 12xz arctan x + @ f @x 12xz arctan x @g

@y = 6z

=) @f @x

@ g@y

= 0

Donc !W = (12xyz arctan x + g (x; y))

!i +

6z 1 + x2 arctan x + f (x; y)! jOr

!W (x;y; 0) =

!0 =) g!i + f ! j = !0 =) f = g = 0

!W = 12xyz arctan x

!i 6z 1 + x2 arctan x! j

Notons tout d’abord que !r !W = !V 6= !0 donc !W n’est pas conservatif.

3. !

W !dr = 12xyz arctan xdx 6z 1 + x2 arctan xdydans le plan x = 3 : dx = 0!W !dr = (60 arctan 3) zdyen coordonnées polaires sur le cercle y2 + z2 = 25 et (x = 3) :

on pose y = r cos = 5 cos =) dy = 5sin d et z = r sin = 5 sin !W !dr = 60 arctan 3 5sin (5sin d) = 1500 arctan 3 sin2 d

I C

!W !dr = 1500 arctan 3

2

Z 0

sin

2

d = 1500 arctan 3


17/26


17/26 MVA107

Exercice 13

Soit le champ vectoriel !H = y2

!i +

x2 + 2xy

! j dé…ni sur la courbe (C ) frontière de la zone

limitée par l’intérieur du cercle C 1 : (x 2)2 + y2 = 4 , l’extérieur du cercle C 2 : x2 + y2 = 4et x 0 .

1. Le champ !H est-il un champ de gradient ?. Justi…er votre réponse.

2. Calculer I =

Z C

!H :

!dM :

(a) Par calcul direct.

(b) A l’aide de formule de Green-Riemann.

Solution 13 :

1. !r !H = 2x!k 6= !0 alors !H n’est pas un champ de gradient.2. La courbe (C ) frontière de la zone limitée par les deux cercles

C 1 : (x 2)2 + y2 = 4 et C 2 : x2 + y2 = 4 extérieur de C 2 et x 0 est illustrée sur la …gureci-dessous.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

(a) I =

Z C

!H :

!dM =

Z C

y2dx +

x2 + 2xy

dy

=

Z C

y2dx + 2xydy +

Z C

x2dy =

Z C

d

xy2

+

Z C

x2dy =

Z C

x2dy

En coordonnées polaires :

Sur C 1 : r = 4 cos =) x = r cos = 4 cos2

y = r sin = 4 cos sin = 2 sin 2 =

)dy = 4 cos 2d

;

avec 3

3

Sur C 2 : x = 2 cos , y = 2 sin =) dy = 2 cos d et 3

3Alors :Z C

x2dy =

Z C 1

x2dy +

Z C 2

x2dy

=

=3Z =3

4cos2

24cos2d +

=3Z =3

(2 cos )2 2cos d

= 64

=3Z =3

cos4 cos2d + 8

=3Z =3

cos3 d = 4p 3 + 323


18/26


18/26 MVA107

(b) La courbe (C ) limite un domaine (D) dans le plan xoy où le champ !H est continue en

tout point de (D) :

La formule de Green-Reimann s’écrit :

I =

Z C !H :

!dM =

Z C y2dx +

x2 + 2xy

dy

=ZZ

D(2x + 2y 2y) dxdy = ZZ

D2xdxdy

En coordonnées polaires : x = r cos , y = r sin , dxdy = rdrd ;

3

3 et 2 r 4cos alors :

I =

ZZ D

2r2 cos drd = 2

=3Z =3

4cos Z 2

r2dr cos d

= 4

=3

Z 0 Z 4cos

2r2dr cos d = 4

p 3 +

32

3

Exercice 14

La force de répulsion entre deux charges électriques(q et Q; Q > q ) de même polarité est donnéepar la loi de Coulombe

!F =

qQ

4"

!rr3

avec !r = x!i + y! j1. Calculer le travail W e¤ectué par la charge q en se deplacant sur le segment AB ; A (1; 1; 0)

et B (2; 2; 0)

2. On considère les points C (2; 0; 0) et D (1; 0; 0) et le champ : !

V = y

2

!i +

x

2

! j Calculer

l’intégrale curviligne

I ABCDA

!V !dr

Solution 14 !F = qQ

4"

!rr3

1. W =

Z AB

!F !dr =

Z AB

qQ

4"

!rr3

!dr

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

x

y

A

B


19/26


19/26 MVA107

Le segment AB

Sur AB ; A (1; 1; 0) et B (2; 2; 0) on a x = y et z = 0 =) dz = 0 et dx = dy

W = qQ

4"

Z AB

xdx + ydy + zdz

p x2 + y2 + z23 =

qQ

4"

2Z 1

2xdx

p

2x23

= qQ

4p

2"

2Z 1

dx

x2 =

qQ

16"

p 2

2. !

V = y

2

!i +

x

2

! j )

I ADCBA

!V !dr =

I ADCBA

y2

dx + x

2dy

(a) Par calcul directI

ADCBA

=

Z AD

+

Z DC

+

Z CB

+

Z BA

0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

x

y

La courbe ABCDA

Sur AD : x = 1)

dx = 0 y varie de 1 à 0Z DA

y2

dx + x

2dy

=

0Z 1

1

2dy = 1

2

Sur DC : y = 0 ) dy = 0 et x varie de 1 à 2 :)Z DC

y2

dx + x

2dy

= 0

Sur C B : x = 2 ) dx = 0 , y varie de 0 à 2

)I CB

y2

dx + x

2dy

=

2Z 0

2

2dy

=

2Z 0

dy = 2

Sur B A : x = y ) dx = dy ) ydx + xdy2

= 0 ) Z BA

= 0

I ABCDA

!V !dr = 1

2 + 2 =

3

2

(b) Par formule de GreenI ADCBA

!V !dr =

ZZ

@

@x

x2

@

@y

y2

dxdy

= ZZ dxdy =2

Z 1

0@x

Z 0

dy1A dx = 32


20/26


20/26 MVA107

Exercice 15

Soit le champ vectoriel :!V = (x z) !i + y! j + x!k :

1. Calculer le travail de!V le long des chemins i; allant de O à Q(

2; 0; 1) dans le sens positif,

lorsque :

(a) 1 est l’arc d’hélice : x = cos t 1; y = sin t; z = t(b) 2 est l’arc de parabole située dans le plan xoz d’équation 4z = x

2

(c) 3 est la ligne brisée OABQ; A (0; 1; 0) ; B (2; 1; 0)2. Pour quelle valeur de le travail de

!V ne dépend-il que des extrémités du chemin ?

3. Calculer le travail de !

V le long d’un chemin allant de O à P (x;y ;z)?

4. Quelle est alors la valeur du travail lorsque P Q:

Solution 15 :!V = (x z) !i + y! j + x!k :

1. W =H

~ V : d~r =H

(x z) dx + ydy + xdz=R gOQ

(x z) dx + ydy + xdz

(a) Sur 1 : x = cos t 1 =) dx = sin tdty = sin t =) dy = cos tdt

et z = t =) dz = dten O : t = 0 et en Q : t = 1 =)W =

1R 0

((cos t 1 sin t) ( sin t) + sin t cos t + (cos t 1)) dt

=1R 0

sin t + sin2 t

+ (cos t 1) dt = 2 + 12

x

y

(1)

-2 -1 0

0.0

0.5

1.0

x

z

(2)

-1

.0

.5

.0

x0

-2

0.0 0.5 1.0

(3) = OABQ

(b) (2) est dans le plan xoz =) y = dy = 0 et 4z = x2

=) dz = xdx2

En O : x = z = 0 en Q : x = 2

=)

R gOQ(x z) dx + ydy + xdz =

2

R 0

x x2

4

dx + +x2

dx

2

=2R 0

x x2

4 +

x2

2

dx =

8 4 3


21/26


21/26 MVA107

(c) (3) = OA [ AB [ BQ =)R

~ V : d~r =R OA

~ V : d~r +R AB

~ V : d~r +R BQ

~ V : d~r

Sur OA : x = z = 0 et 0 y 1=)

R OA(x z) dx + ydy + xdz =

1

R 0ydy = 12

Sur AB y = 1; z = 0 et x varie de 2 à 0=) R

AB

(x z) dx + ydy + xdz =2R 0

xdx = 2

Sur B Q : y + z = 1 =) dy = dz et x = 2=) R

BQ

(x z) dx + ydy + xdz =1R 0

((z 1) 2 ) dz = 12 2

R 3

~ V :d~r = 1

2 + 2 1

2 2 = 2 2

2. H ~ V : d~r est indépendante du chemin si

!V = (x z) !i + y! j + x!k est un champ de

gradient ( champ conservatif ) .

Si !

V = (a;b;c) alors dans ce cas on aura :@a

@y =

@b

@x; @a

@z =

@c

@x et

@b

@z =

@c

@y@a

@y =

@ (x z)@y

= 0 @b

@x =

@y

@x = 0

@a

@z =

@ (x z)@z

= 1 @c@x

= @ (x)

@x =

@b

@z =

@y

@z = 0

@c

@y =

@ x

@y = 0yx

Alors il faut que = 1 et 0y = 0 alors !V est champ conservatif si = 1et par suite :9' = ' (x;y ;z) tel que!V = (x z) !i + y! j x!k = !grad' = @'

@x

!i +

@ '

@y

! j +

@'

@z

!k

3.R

~ V : d~r =H

(x z) dx + ydy + xdz=R OP

(x z) dx + ydy + xdz = R OP

d' = ' (P ) ' (O)@'

@x = (x z) =) ' = 1

2x2 xz + f (y; z)

y = @'

@y

= f 0y =)

f (y; z) = 1

2

y2 + g (z) =

)' =

1

2

x2

xz +

1

2

y2 + g (z)

x = @'@z

= x + g0 =) g = c

' (x;y ;z) = 1

2x2 xz + 1

2y2 + cR

OP

d' = ' (P ) ' (O) = 12

x2 xz + 12

y2

4.R OQ

!V :

!dr =

R OP

d' = ' (Q) ' (O) = 12

(2)2 (2) (1) + 12

(0) = 4


22/26


22/26 MVA107

Exercice 16

Le champ vectoriel !H = xy

!i 2 y z2! j + z!k est dé…nie et continue sur la courbe (C )

telle que :

8M (x;y ;z) 2 (C ) on a : !OM = (1 + t) !i + 1 t2! j + at2!k où t est un paramètre,1.

!H est-il un champ de gradient ?Justi…er votre réponse

2. !

H est-il un champ de rotationnel ?Justi…er votre réponse

3. Calculer le travail e¤ectué par !H le long de la courbe (C ) en allant du point A (0; 0; a)

vers le point B (3; 3; 4a)4. Calculer la charge totale de AB si la densité linéique est = x 1

Solution 16 :!H = xy

!i

2 y z2! j + z!k1.

@xy

@y = x 6= @

2 y z2@x

= 0

ou !r !H = 4z!i x!k 6= !0

donc !H n’est pas un champ de gradient

2. !r !H = y 1 6= 0 donc !H n’est pas un champ de rotationnel

3. W =

Z AB

!H !dr

y

x

z

!r = !OM = (1 + t) !i +

1 t2

! j + at2

!k =) !dr =

!i 2t! j + 2at!k

dt

!H = xy!i 2 y z2! j + z!k = (1 + t) 1 t2!i 2 1 t2 a2t4! j + at2!k=t3 t2 + t + 1!i 2 1 t2 a2t4! j + at2!k

!H !dr = t3 t2 + t + 1+ 4t 1 t2 a2t4+ 2a2t3 dt=4a2t5 + 2a2t3 5t3 t2 + 5t + 1 dt

Au point A (1; 1; 0) on a t = 0 et au point B (2; 0; a) : t = 1

4. W =

Z AB

!H !dr =

1Z 0

4a2t5 + 2a2t3 5t3 t2 + 5t + 1 dt = 2312

16

a2

5. Q = Z AB d`d` =

p dx2 + dy2 + dz2 =

p 1 + 4t2 + 4a2t2dt =

p 1 + 4(1 + a2) t2dt


23/26


23/26 MVA107

= x 1 = 1 + t 1 = tQ =

R 10 tp

1 + 4 (1 + a2) t2dt

6. Posons u = 1 + 4

1 + a2

t2 =) du = 8 1 + a2 tdt =) tdt = du8 (1 + a2)

t = 0!

u = 1 et t = 1!

u = 5 + 4a2

Q =

5+4a2Z 1

p udu

8 (1 + a2) =

4a2 + 5

p 4a2 + 5 1

12 (a2 + 1)Z p udu

8 (1 + a2) =

up

u

12 (a2 + 1)

Exercice 17

Dans l’espace rapporté aux axes Oxyz on considère les points : A (a;b; 0) ; B (a;b; 0) ;C (a; b; 0) ; D (a; b; 0) et M (0; 0; c) avec a; b; c sont des réels poistifs et b = a2; Soit ÂOBun arc parabolique .

1. Calculer le travail W du champ !

F = x2y!i + x

! j ; = cte; le long de la courbe ÂOBCDA

décrivée dans le sens trigonométrique à l’aide d’une intégrale curviligne

2. Peut-on calculer ce travail à l’aide d’une intégrale double, justi…er la réponse et recalcluerW s’il est possible

3. Véri…er que y (x) = k

x +

x2

3 est la solution générale de l’équation di¤érentielle

x dydx

+ y = x2

4. On suppose que = (x) : Déterminer tel que !

F dérive d’un potentiel scalaire '; avec!F (0; 0) =

!0

5. Déterminer le champ scalaire ' et calculer le travail de !

F ; suivant un trajet allant de A àB:

Solution 17 :

1. Soit () = AOBCDA = ÂOB [ BC [ CD [ DA

W =

I ()

!F !dr =

I ()

x2y

!i + x

! j

dx!i + dy

! j

=

I ()

x2ydx + xdy

AB

C D

O a -a

b

-b

x

y


24/26


24/26 MVA107

I ()

=

Z ÂOB

+

Z BC

+

Z CD

+

Z DA

– Sur l’arc AOB : y = x2 =) dy = 2xdx=) !F !dr = x2x2dx + x:2xdx = x4 + 2x2 dxZ ÂOB

!F !dr =

aZ a

x4 + 2x2

= 25a5 43a3

– Sur B C : x = a et dx = 0 =) !F !dr = adyZ BC

!F !dr =

bZ b

ady = 2ba = 2a3

– Sur C D : y = b =) dy = 0 =) !F !dr = bx2dx

Z CD

!F

!dr =

b

a

Z a x2dx = 2

3ba3 =

2

3a5

– Sur DA : x = a donc dx = 0 =) !F !dr = adyZ DA

!F !dr =

bZ b

ady = 2ba = 2a3

Alors :I

!F !dr = 25a5 43a3 + 2a3 23a5 + 2a3 = 1615a5 + 83a3

2. La courbe () limite le domaine D et le champ !

F est continu sur () et dans (D) alors

d’après la formule de Green-Riemann on peut écrire :I

!F !dr =

ZZ D

x2 dxdy = aZ

a

0B@ x2Z

b

x2 dy

1CA dx= 23a

3 25a5 + 2ba 23ba3 = 23a3 25a5 + 2a3 23a5 = 1615a5 + 83a3

3. si y (x) = k

x +

x2

3 il su¢t de calculer y 0 = k

x2 +

2x

3

xdy

dx + y = x

k

x2 +

2x

3

+

k

x +

x2

3 = x2

4. Le champ !

F dérive d’un potentiel scalaire ' si !r' = !F alors !F !dr = d' donc

@ @yx2y = @

@x (x) =) x2 = x d

dx +

Pour l’équation sans second membre : xd

dx+ = 0 la solution est 1 (x) =

k

x . Une solution

particulière de l’équation complète , en considèrant que k = k (x) ; est 2 (x) = x2

3 donc

(x) = k

x +

x2

3

alors !

F = x2y!i + x

! j = x2y

!i +

k

x +

x2

3

x! j = x2y

!i +

x3

3

! j

5. !

F =!grad ' =

@'

@x

!i +

@ '

@y

! j

@'

@y =

x3

3 =) ' (x; y) = x

3y

3 + c (x)


25/26


25/26 MVA107

@'

@x = x2y = x2y + c0 =) c0 = 0 et c = cte:

=) ' (x; y) = 13

x3y + C

I AB

!F !dr = I AB

d' =

B

Z A

d' = ' (B) ' (A)

= ' (a; b) ' (a; b) = a3b

3 a

3b

3 = 2a

5

3

Exercice 18

Soit le champ vectoriel

!H = (2x + z) !i + x2 y + xz 1! j + x!k1. Calculer

!r !H ; !r !H et !r !r !H

2. Calculer le travail e¤ectué par !H sur la portion du parabole y = x2 2 joignant les points

A (0; 2; 0) et B (2; 2; 0)3.

!H est -il un champ de gradient ? Justi…er votre réponse.

4. Trouver une fonction (y) telle que !w !dr soit une di¤érentielle totale où !w = !H 5. Trouver la fonction ' (x;y ;z) telle que d' = !w !dr6. Déduire le travail e¤ectué par

!w en allant du point A (1; a ; a) vers le point B (a;a; 1) ; et a

est une constante donnée.

Solution 18 :

1. !r !H = x!i + (2x + z) !k!r !H = 1!r

!r !H = 02. graphe:

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Z C !H

!dr = Z C (2x + z) dx + x

2

y + xz

1 dy + xdz

Sur (C ) y = x2 2 =) dy = 2xdx et 0 x 2 , z = dz = 0


26/26

26/26 MVA107

=)Z C

!H !dr =

Z C

2xdx +

x2 y 1 dy=

2

Z 0 2x + x2

x2 + 2

1 2x dx = 4

2

Z 0 xdx = 83.

!H = (2x + z)

!i +

x2 y + xz 1! j + x!k = P !i + Q! j + R!k

on a trouvé que !r !H = x!i + (2x + z) !k 6= !0 donc !H n’est pas une di¤érentielle

totale .

4. soit = (y) =) !w =

(2x + z)!i +

x2 y + xz 1! j + x!k

!w !dr est une di¤érentielle totale si :@ ( (2x + z))

@y = 0 (2x + z) =

@ (Q)

@x = (2x + z)

@x

@x

= = @ (2x + z)

@z

=

@x

@y = 0x =

@ x2 y + xz 1@z

= x

donc, il faut que : 0 =

() ddy

= =) d

= dy =) = ey!w = (2x + z) ey!i + x2 y + xz 1 ey! j + xey!k est un champ de gradient

5. d' = !w !dr () !r' = !w@'

@x = (2x + z) ey =) ' (x;y ;z) =

R (2x + z) eydx =

x2 + zx

ey + f (y; z)

@'

@y = x2 + zx ey + @ f @y = x2 y + xz 1 ey =) @f @y = (y 1) eyf (y; z) =

R (y 1) eydy = yey + g (z)

' (x;y ;z) =

x2 + zx

ey + f (y; z) =

x2 + zx

ey yey + g (z)@'

@z = xey +

dg

dz = xey =) dg

dz = 0 =) g = cte = k

' (x;y ;z) =

x2 + zx y ey + k6.

Z L

!w !dr =Z AB

d' = ' (B) ' (A) = a2 + a a ea (1 + a a) ea = a2 1 ea

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TD Curviligne 2013