1

TARTALOMJEGYZÉK KÖNYVINDÍTÓ..........................................................................................................4

1. Bevezető rendszerekről és jelekről .........................................................................7

1.1. Bevezető rendszerekről ......................................................................................7

1.2. Bevezető jelekről..............................................................................................15

1.3. Vezérlés, szabályozás.......................................................................................22

2. Jelek rendszerelméleti megközelítésben .............................................................25 2.1. A jelek modelljei ..............................................................................................26

2.2. A jelek osztályozása.........................................................................................28

2.3. Alapműveletek jelekkel....................................................................................35

2.4. A jelek értelmezési tartományát módosító műveletek ....................................38

2.5. Elemi jelek .......................................................................................................52

3. Rendszermodellek ..................................................................................................60

3.1. Példák modellekre...........................................................................................61

4. Rendszerelméleti alapfogalmak............................................................................71 4.1. Fogalmak rendszerekről ...................................................................................71

4.2. LTI rendszerek .................................................................................................73

4.3. Rendszerek tulajdonságai.................................................................................76

5. Rendszerek állapotteres leírása ............................................................................80

5.1. Folytonos rendszerek leírása az állapottérben..................................................82

5.2. Fázistér .............................................................................................................85

5.3. LTI rendszerek állapotteres leírása szimulációs diagramok alapján................90

5.4. Lineáris rendszerek állapotteres modelljei.......................................................96

5.5. Állapotteres diagramok módszertana...............................................................98 5.5.1. Szekvenciális differenciálás módszere ............................................................... 98 5.5.2. Összekapcsolt integrálási módszer ................................................................... 101 5.5.3. Állapotegyenletek résztörtek alapján ................................................................ 104 5.5.4. Faktorizált átviteli függvény módszer ............................................................... 107

5.6. Állapottér egyenletei és az átviteli függvény.................................................109

5.7. Az állapotegyenletek megoldása....................................................................110

6. A mátrixalgebra és analízis alapfogalmai..........................................................119 6.1. Állapotváltozók transzformációja ..................................................................120

6.2. Sajátérték, Sajátvektor....................................................................................122 6.2.1. Lineáris, nemhomogén egyenletrendszer egyszeri sajátértékekkel .................. 127 6.2.2 Lineáris, nemhomogén egyenletrendszer többszörös sajátértékekkel ................ 129

2

7. Transzformációk a rendszerelméletben.............................................................145 7.1. Fourier sorbafejtés és transzformáció ...........................................................145

7.2. Laplace transzformáció ..................................................................................151 7.2.1. Átviteli függvény (összefoglaló) ........................................................................ 156 7.2.2. Dirac-jel Laplace transzformációja .................................................................. 158

7.3. Z-transzformáció ............................................................................................161

8. Frekvenciafüggvények.........................................................................................170 8.1. Az amplítúdó-fázis jelleggörbe (Nyquist-diagram) .......................................171

8.2. Bode jelleggörbe ............................................................................................172

8.3. Rendszerek stabilitása ...................................................................................173 8.3.1. BIBO stabilitás ................................................................................................. 179 8.3.2. Routh-féle stabilitási kritérium ......................................................................... 180 8.3.3. Hurwitz-féle stabilitási kritérium ...................................................................... 181 8.3.4. Routh és Hurwitz kritériumok diszkrét rendszer esetében ............................... 182 8.3.5. Jury-féle stabilitási kritérium ........................................................................... 183 8.3.6. Ljapunov közvetlen módszere............................................................................ 185 8.3.7. Nyquist stabilitási kritérium............................................................................. 187 8.3.8. Stabilitásvizsgálat BODE-diagramokkal .......................................................... 191 8.3.9. Gyökhely módszer ............................................................................................. 192

8.4 Szabályzó körök alaptagjainak jelátviteli tulajdonságai .................................200 8.4.1. Arányos tag (P-elem) ....................................................................................... 202 8.4.2. Integráló tag (I-elem) és egy energiatátárolós integráló tag (IT0) ................. 202 8.4.3. Deriváló (differenciáló) tag (D-elem) .............................................................. 203 8.4.4. Egy energiatárolós arányos időkésleltető tag (PT1) ....................................... 204 8.4.5. Két energiatárolós arányos időkésleltetésű tag (PT2) ..................................... 206 8.4.6. A holtidős tag ................................................................................................... 209 8.4.7. Jelátviteli tagok kapcsolási módozatai............................................................. 211

9. Mátrix-függvények...............................................................................................217 9.1. Cayley-Hamilton törvény...............................................................................219

9.2. Sylvester tétele ...............................................................................................221

9.3. Cayley-Hamilton módszer .............................................................................223

10. Mintavételezés, diszkrét rendszerek.................................................................227 10.1. Mintavételezés ............................................................................................227

10.2. Differencia egyenletek ................................................................................235 10.2.1. Diszkrét átviteli függvény............................................................................... 236 10.2.2. A differencia egyenlet és diszkrét átviteli függvény ........................................ 238

3

10.3. Folytonos rendszerből diszkrét rendszerre való transzformáció..................240 10.3.1. Bilineáris (Tustin) módszer ............................................................................ 240 10.3.2. Az impulzus átviteli invariancia módszere ..................................................... 242 10.3.3. Egységugrás invariancia módszere(ZOH) ..................................................... 243 10.3.4. Előrecsatolt differencia módszere.................................................................. 244 10.3.5 Visszacsatolt differencia módszere ................................................................. 244 10.3.6. Megközelítő deriváló módszer ....................................................................... 247 10.3.7. Mintavételek közötti állandó bemenet módszere ............................................ 250

10.4. Diszkrét állapotegyenletek ..........................................................................252

10.5. A diszkrét állapotegyenlet rendszer megoldása .........................................256 10.5.1. Diszkrét állapotegyenletek általános megoldása ........................................... 258 10.5.2. Állapotteres transzformációk ......................................................................... 262

11. Rendszerek minőségi követelményei ................................................................266 11.1. Megfigyelhetőség, szabályozhatóság...........................................................266

11.1.1. Megfigyelhetőség ........................................................................................... 267 11.1.2. Szabályozhatóság ........................................................................................... 270

11.2. Érzékenység, Tűrőképesség (robusztusság).................................................275

12. Összefoglaló rendszerelméleti feladatokhoz ....................................................278

Befejező gondolatok.................................................................................................301

IRODALOMJEGYZÉK .........................................................................................302

4

KÖNYVINDÍTÓ A könyv szándéka, hogy egy a rendszerelméletbe bevezető tankönyv legyen mérnökjelöltek számára. A fontos fogalmak végig a szövegben dőltbetűs formában szerepelnek. A bevezető fejezetben vázlatosan ismertetem a rendszerelméletben, rendszertechnikában használatos fogalmakat. Ennek a könyvnek nem célja, hogy ezeket a fogalmakat elméleti meggondolások alapján elmélyítsük. Egyszerűen csak figyelemfelkeltő célja van. A könyv végigtanulmányozása után, újraolvasva a bevezető fejezetet, legyen mindez továbbgondolásra késztető vázlat. A könyvben szereplő képletek megszámozásának logikája azt tükrözi (és minden alfejezetnek megfelelően számoztam ezeket, akárcsak az ábrákat), hogy az illető képletre hivatkozni fogok, vagy az illető képlet egy fontos összefüggés függetlenül attól, hogy még hivatkozok rá vagy sem. Lehetséges, hogy a Bevezető rendszerekről és jelekről fejezetben egyes fogalommagyarázatok ismétlődnek, de ez annyira összetett tudományterület, hogy egy nem átfedő fogalomrendszer kevésbé áttekinthetővé, túlzottan absztrakttá tenné az egész megközelítést. Ez nem tudománytörténeti fejezet, inkább egyfajta fogalomtár. A jelek mint fogalom, ismertetése magába foglalja a jel osztályozását a jel mint információhordozó, zajos jel fogalmait is. A fejezet végén a vezérlést és szabályzást fogalmát tisztázom. A második fejezet a Jelek rendszerelméleti megközelítésben az elméleti meghatározásokon, osztályozásokon túl gyakorlati példák segítenek a módszertani eljárások megértésében. A jelek esetében a cél nem az, hogy kimerítő matematikai elemzésekbe bonyolódjunk. Feltételezem, hogy mindenki rendelkezik a matematikai analízis alapvető ismereteivel (mint a függvény fogalma, topológia, folytonosság, deriválhatóság, integrálhatóság, stb.) és nem kell kitérni ezekre minden esetben. Fontos elsajátítani a jelekkel kapcsolatos alapműveleteket amelyek vonatkozhatnak a jelek értelmezési tartományára akár az értékkészletére. Figyeljünk arra oda arra, hogy a fejezetben úgy a folytonos mint diszkrét jelekről szó van, de a diszkrét jelek esetében minden meghatározás szintjén marad és nem itt térek ki a mintavételezés problematikájára. A fejezet végén tárgyalt Dirac-jel alapvető fontosságú a mintavételezési eljárás megértésére. A mintavételezési eljárást egy elkövetkező fejezetben ismertetem. Fontos, hogy egy pár, didaktikai szempontból is hasznos példán keresztül bemutassam a modellkészítés művelet sorát. Ezt találhatjuk a Rendszermodellek fejezetben. Ez egy tovább bővíthető fejezet. Az LTI alapvető fogalmát a Rendszerelméleti alapfogalmak fejezetben gyűjtöttem össze. A szuperpozició és homogenitás fogalmának a megértése és újabb példákon való elmélyítése elengedhetetlen a többi rendszerelméleti fogalom megértésében. Az ötödik fejezet egy alapvető fogalmat, az állapotteres leírás módszertanát tárgyalja. Az állapottér, állapotváltozó, fázistér meghatározásait példákkal illusztráltam. A fázismodellezés szimulációs diagramok segítségével központi helyett foglal el a tárgyalásban, mert ez áttekinthetővé teszi a matematikai modellezést vagyis

5

az állapotegyenletek felírását. Több példán keresztül mutatom be a szimulációs diagram elkészítési módozatait. Külön paragrafus tárgyalja a különböző típusú állapotegyenletformák felírásának menetét. Nagyon fontos megjegyezni azokat az összefüggéseket amelyek a rendszer bemeneteinek, kimeneteinek és állapotainak száma, valamint a rendszer mátrixainak dimenziója között fennáll. Ez a fejezet tartalmazza az állapotegyenlet megoldásának tárgyalását is. Itt ismertetem a rendszer fundamentális (állapot átviteli) mátrixának, valamint az állapotegyenlet és a teljes megoldás fogalmát. Az közismert, hogy az állapot egyenletrendszer alapján a rendszereket akkor tanulmányozhatjuk, ha tisztában vagyunk a mátrixanalízis és algebra törvényeivel. Erről szól a hatodik A mátrixalgebra és analízis alapfogalmai című fejezet. Az első fontos fogalom a modális mátrix és ennek tulajdonságai a sajátvektor, sajátértékre építve. A jobb megértés érdekében a null-mező, rang-mező fogalmakat is ismertetem. Ennek a fejezetnek a végén szó esik az időben nem invariáns és nemlineáris rendszerekről is egy meghatározás erejéig. A rendszerek viselkedését nem mindig célszerű időtartományban tárgyalni. Sokszor előnyös ha egy adott transzformációval átírjuk az egyenletrendszert egy komplex síkba ahol a műveleti szabályok könnyebbé válnak és végül is ezért végezzük el ezeket a transzformációkat. Bemutatom a Fourier-, a Laplace- és a Z- transzformációkat. A Laplace transzformáció következménye az átviteli függvény fogalma. Mindezek a Transzformációk a rendszerelméletben fejezetben találhatók. Az átviteli függvény alapján rendelkezésünkre áll a rendszer Nyquist jelleggörbéje, a Bode jelleggörbéje amelyek klasszikus elemei a rendszerek stabilitásának vizsgálatában. A Frekvenciafüggvények fejezetben meghatározzuk ezeket az elemeket. A fejezet központi témája a rendszerek stabilitásának vizsgálta. Több ismert stabilitási kritériumot mutatok be meghatározás és alkalmazás szinten. A pólusok elhelyezkedése a komplex síkban és a stabilitás milyensége fontos téma ebben a fejezetben. Ugyanitt tárgyalom az alap jelátviteli tagok tulajdonságait. Ezek az elemek fontosak a szabályzástechnikában is. A jelátviteli tagok kapcsolásának algebrája az alapismeretek közé tartozik. Ebben a fejezetben ismertetem a kapcsolások törvényeit. Amint azt már az előbb is említettem, ez a fejezet képezi a klasszikus rendszerelmélet témakörét. Az állapotteres leírás (modellezés) megköveteli az olyan egyenletek és függvények tanulmányozását amelyeknél a változó egy mátrix. Minden esetben szem előtt kell tartsuk, hogy a négyzetes mátrixok halmazán a multiplikatív művelet nem kommutatív. Ez is egy ok arra, hogy a mátrixfüggvényeket meg kell ismerjük. A kilencedik fejezet erről szól. A fejezet címe Mátrixfüggvények. Az alapelemek ismertetésének a célja a Cayley-Hamilton törvény és módszer megismertetése úgy elméletileg mint alkalmazásokon keresztül. A számítógépes lehetőségek következtében a diszkrét rendszerek tanulmányozása egyre fontosabb. Első lépésként a mintavételezés fogalmának a tisztázása alapvető. Az egész eljárás alapproblémája a mintavételezési periódus megválasztása. Mivel ez a választás ilyen fontos, ezért részleteiben leírom, hogy miért és hogyan kell ezt értelmezni és megválasztani. Mindez a Mintavételezés, diszkrét rendszerek fejezetben található. A differencia egyenletek meghatározása és a Z-transzformáció elvezet a diszkrét átviteli függvény a diszkrét pólus és zérós fogalmához is. Ebben a fejezetben

6

ismertetem a folytonos rendszerből diszkrét rendszerre való transzformáció több módszerét. Így eljutunk a diszkrét állapotegyenletekhez fogalmához is. A diszkrét állapotegyenletek felírásának ismertetése után következhet ezek megoldási eljárásai. Mindenekelőtt bevezetem a diszkrét fundamentális mátrix fogalmát majd a diszkrét modális mátrixot. Ha rendszerelméleti problémákkal foglalkozunk, akkor szükségünk van objektív minőségi kritériumokra, amelyekkel elbírálhatjuk a rendszerek milyenségét. A Rendszerek minőségi követelményei fejezet bevezeti a megfigyelhetőség, szabályozhatóság fogalmait úgy folytonos mint diszkrét rendszerek esetében. A fejezet végén csak megemlítem az érzékenység és tűrőképesség fogalmát. Az utolsó fejezet címe Összefoglaló rendszerelméleti feladatokhoz, amelyben megpróbáltam az előző 11 fejezetben bevezetett, meghatározott fogalmakat összefüggésbe hozni. Mindezt gyakorlati eljárások segítségével teszem. Fontosnak tartottam ezt a fejezetet, hogy elsajátítsuk az egyik rendszerelméleti fogalom szerint felírt formát átalakíthassuk egy vele ekvivalens, de más fogalom szerinti formába. Ebben a könyvben, többek között, nem érintem a rendszerelméletre épülő tudományterületek (rendszer-identifikáció, vezérléselmélet, optimális rendszerek, robusztus rendszerek, adaptív rendszerek, stb.) alapfogalmait. A könyv végén található Irodalomjegyzék minden egyes könyvet valamilyen szinten felhasználtam de nem tartottam fontosnak, hogy mindenikre hivatkozzam a fejezetekben, mert szinte mindenik könyv struktúrájában másképpen de végül is ugyanazt fogalmazza meg. Köszönet mindenkinek akiknek volt elég türelme hozzám míg megírtam a könyvet és köszönet mindazoknak is akiknek nem volt türelme. Remélem, hogy a megírásába fektetett energia és idő nem vész kárba. Ez azt jelenti, hogy a könyv azok jobbulására szolgál akik megpróbálják okulásukra használni. 2006. év nyara Márton László Ferenc

7

1. Bevezető rendszerekről és jelekről

1.1. Bevezető rendszerekről A rendszerelméletek feladata az hogy mindenfajta rendszerre érvényes általános elméleteket, elveket, törvényeket tárjon fel. Egy elméletnek magába kell foglalnia a rendszerek összességének felépítési, viselkedési, működési és fejlődési törvényszerűségeit, tudományos, ellentmondásmentes leírását. Mondhatjuk, hogy a rendszerelmélet a jelenségek rendszerképként való megjelenítésével, a rendszerek struktúráinak és viselkedésmódjainak egyeztetéseivel, mindezek modellezésével foglalkozik. A rendszertechnika, az ember alkotó képességének egyik jellemzője és az összefüggések és kölcsönhatások szemelőtt tartása hozta létre. Mindezek mögött módszerességre, tudatosságra való törekvés is áll. Ezek alapján a rendszertechnika létrejöttének okai között említhetjük:

• urbanizáció terjedését, anyag- és energiafogyasztás növekedését, • a korábbinál hatékonyabb erőforrások, termelékenyebb technológiák

megjelenését, • a műszaki fejlődés gyórsulását, a termékek bonyolultabbá válását, • gépesítést, automatizálást, elektronikát mint a mindennapi élet részeit, • heterogén műszaki komponensekből kialakított nagy rendszerek különböző

problémáit (tervezés, működtetés, irányítás, stb.), • ökológiai-műszaki, társadalmi-műszaki kölcsönhatások jelentőségének

növekedését, • a tudományterületek elkülönülését amiért szükségessé válik az

interdiszciplináris együttműködés.

Ezek szerint a rendszertechnika egy definiciója lehet: A műszaki alkotások tudatosságra törekvő kifejlesztésének, megvalósításának, működtetésének és továbbfejlesztésének tudománya. Objektív összefüggések, szabályszerűségek, törvényszerűségek, a belső és külső kölcsönhatások, következmények, a tapasztalatok gyors kiértékelésének és visszacsatolásának lehetőségeit, módszereit és eszközeit vizsgáló tudományterület.

A tudományterület gyakorlati részét képezi a műszaki objektumok létrehozásával, beillesztésével, felhasználásával, átalakításával vagy lebontásával való törődés is. Fontos eszközei a modellezés és a rendszerszimuláció.

Legáltalánosabban egy rendszer az egymással kölcsönhatásban álló elemek együttese. A rendszer és környezet egységet képező fogalmak. A rendszer határvonalának kijelölése a feladattól függ.

A rendszer főbb jellemzői között említhetjük a rendszer rendeltetését, funkcióit és viselkedésmódját, a határvonalán megfigyelhető anyag-, energia-, információcseréjét, struktúráját, állapotterét, teljesítőképességét, a rendszer és környezete közötti kölcsönhatásokat, elemek, alrendszerek és részrendszerek együttműködését, ezek viszonyait.

8

A rendszer környezete a rendszeren kívüli, de annak muködését befolyásoló elemek és relációk. Miben segít a rendszerelmélet?

• A rendszer megközelítés legcélszerűbb módjának felismerésében

• Annak tisztázásában, hogy mi mivel és hogyan függ össze

• Ezen tényezők tudatos és előrelátható módon történő alakításában

Láthatjuk, hogy egy rendszer meghatározása csakis egy tisztázott nézőpont szerinti szemlélet révén lehetséges. Ezért ismerkedjünk meg egy pár, a tudományterület fejlődése során megfogalmazott rendszer-fogalommal. Ezek lehetnek a rendszerkutatás meta elméletei és ezek nem másak mint valamennyi, egy specifikus nézőpont szerinti, a rendszerkutatásban fellelhető, közös vonásokból álló elmélet.

1. Rendszer-fogalom: (Ludwig von Bertalanffy) a rendszer kölcsönhatásban lévő elemek együtteseként értelmezhető [Bertalanffy,1968]

• Elem: fizikai vagy fogalmi entitás, mely kölcsönhatásai révén részt vesz a rendszerhez tartozó új minőségek létrehozásában

• Elem és rendszer: általános rendszerelméleti fogalom, mely jellemzi, hogy az elemek kölcsönhatása új, a rendszerhez tartozó minőségeket hoz létre

• Rendszer: kölcsönösen összefüggő, kölcsönhatásban lévő elemek összessége [Bertalanffy,1975]

2. Rendszer-fogalom: (Russell L. Ackoff) [Ackoff,1968] a rendszer kölcsönösen kapcsolatban álló elemek halmaza, a rendszer olyan entitás, mely legalább két elemből áll és egy olyan reláció értelmezett, mely az entitást képező halmaz minden egyes eleme esetében, egy elem és legalább az entitás egy másik eleme között fennáll, azaz a rendszer minden egyes eleme közvetlenül vagy közvetve kapcsolatban áll a rendszer összes többi elemével. (Entitás: valamely dolog tulajdonságainak összessége [Ackoff,1972])

3. Rendszer-fogalom:

a. (Mihajlo D. Mesarovic) a rendszer halmazelméleti értelmezésben egy reláció.

Halmaz: bizonyos szempontból összetartozó dolgok összessége [Mesarovic, 1968]

Reláció: kapcsolat, viszony, összefüggés, vonatkozás az elemek között [Mesarovic, 1971]

b. (V. N. Szadovszkij) rendszernek elemek meghatározott módon rendezett halmazát nevezzük, melyek kölcsönösen összefüggnek egymással és valamilyen totális egységet képeznek [Szadovszkij, 1976]

Mindaz ami szükséges a rendszerek feltárásához:

• meg kell határozni a rendszer elemeit és tulajdonságaikat

• fel kell tárni az elemek közötti kapcsolatokat

• le kell írni, hogy az elemek és a közöttük fennálló kapcsolatok halmazából hogyan válik rendszer

9

Más meghatározásban (C. West Churchman) a rendszerek olyan alkotóelemek halmazából épülnek fel, amelyek a rendszeren belül a fő célért működnek együtt. A rendszerszemléletű gondolkodás nem más, mint csupán ezekről a teljes rendszerekről és alkotóelemeikről való gondolkodási módszer [Churchman , 1971]. A rendszer a célkitűzések elérésére koordinált elemek halmaza.

Mesterséges elemek azok amelyeket emberkéz alkotott egy jól meghatározott rendszer megvalósítása, működtetése érdekében.

Mesterséges elemek (rendszerek) tulajdonságai:

• Környezetüktől jól elhatárolhatóak

• Környezetükkel kölcsönhatásban állnak

• A mesterséges elem meghatározását a rendszer célja adja

Kijelenthetjük: - Természetes rendszerek azok amelyek a funkcióik által definiált,

nem célra szervezett rendszerek. - Mesterséges rendszerek azok amelyek alapvető jellemzőjük a célra

szervezettség. - Zárt rendszerek azok amelyek a környezetükkel kifejezetten csak

energia kapcsolatot tartanak fenn.

A mesterséges rendszert nem önmagában, hanem a környezetéhez illeszkedő, abban fellelhető és cél szerint determinált elemek halmazaként is értelmezzük. A mesterséges rendszer leírását szolgáló tényezők:

A rendszer célja: egyrészt a rendszer teljesítmény késztetője, másrészt a rendszer teljesítményének értékmérője

• A rendszer környezete: az a jelenséghalmaz, amelyre a rendszernek befolyása már nincs, de hatása determinisztikus a rendszer céljaira (minden, ami a rendszeren kívül van)

• A rendszer vonásai: azon eszközök, melyek a rendszeren belül helyezkednek el és amelyeket a rendszer működése során felhasznál (azon tényezők, melyeket a rendszer környezetétől függetlenül, szabadon válogathat és változtathat meg)

• A rendszer alkotóelemei: a rendszert jellemző és a rendszer érdekében létrejövő műveletek halmaza, melyek értelmezve vannak a rendszer erőforrásainak működtetésére és a környezettel való együttműködésre egyaránt

Általános rendszerek lehetséges osztályai A struktúráltság és a mozgás típusa szerint állítunk össze egy osztályozást, mely jól mutatja az egyes rendszertípusok viselkedésének lényeges vonásait.

10

• Statikus rendszerek - vázak, struktúrák. A vizsgálat számára csak az elemek geometriai elrendeződése érdekes.

• Dinamikus rendszerek - van anyag- és energiaáramlás. Ide tartoznak a technikai rendszerek - gépek szintje.

• Szabályzott rendszerek (automaták) - anyag-, energia- és információáramlás (itt már nincs szükség állandó emberi felügyeletre).

• Adaptív rendszerek (tanuló automaták) - az ilyen rendszerek nemcsak választ adnak a környezet hatásaira, hanem struktúrájuk megváltoztatásá-val alkalmazkodnak hozzá (adaptív szabályozású szerszámgépek, robot-szerkezetek).

• Regeneratív rendszerek - képesek önmaguk reprodukálására (növények). • Reflektív rendszerek - reagálnak a környezetre, az befolyásolja a viselke-

désüket (a válasz nem ismétlődések után, hanem azonnal létrejön). • Magasabb rendű szervezetek - megjelenik az öntudat - „egyedi ember”

szintje. • Társadalmi (gazdasági) rendszerek - nagy szervezettségű rendszerek

szintje, melyben az egyedi ember társadalmi-gazdasági kapcsolatrend-szerben mozog. (Ez már annyira bonyolult, hogy rendszerelméleti eszkö-zökkel nem lehet leírni).

• Transzcendens rendszerek - földieken túli viszonylatok - még nem ismert rendszerek.

Más, összegező szemlélet szerint, beszélhetünk:

• Hierarchikus rendszerekről: Alrendszereket, felettes rendszereket, valamint ezek energia- anyag- és információcseréjét foglalja magába.

• Heterarchikus rendszerekről: Osztott intelligenciájú, hálózatos struktúrájú rendszerek. Ezek mellérendelt viszonylatok jelentenek, amelyben az egyes egységek önálló működésre is képesek.

A technikai rendszerek osztályozása szűkebb körű. Az osztályozás alapját a modelle-zés során felmerülő megfontolások és korlátozások képezik. A rendszertechnika interdiszciplináris jellegéből következik, hogy sok különféle tudományterületet hoz kapcsolatba egymással (matematika, fizika, kémia, biológia, társadalomtudományok, informatika, muszaki tudományok, stb). A technikai rendszerek térbeli kiterjedésűek, mozgásukat az idő- és helykoordináták határozzák meg (elsődleges az időkoordináta).

• koncentrált paraméterű rendszerek – viselkedésüket időkoordinátával írjuk le. • osztott paraméterű rendszerek - viselkedésüket mind az idő, mind a

helykoordináták segítségével le kell írni.

Másik megkülönböztetési szempont a rendszer jelleggörbéje:

• lineáris karakterisztikájú elemekbol álló rendszerek, • nemlineáris karakterisztikájú elemekből álló rendszerek.

11

A lineáris rendszer jellegzetessége a hatások szuperpozíciójának lehetősége (a hatások külön-külön vehetők figyelembe és összegezhetők az elem kimenetén). A reális rendszerek többnyire nemlineárisak, de a modellezés során linearizálhatók a munkapont környezetében. Koncentrált paraméterű rendszerek változói jellemzőjük hogy az elemeinek tulajdonságát fizikai kiterjedés nélküli módon értelmezik. A rendszerelemek viselkedésének leírásakor kétféle változótípussal találkozunk. Az egyik típusú változót az jellemzi, hogy az elemek végződésein mindig azonos értéket mutat, „átfolyik” az elemen anélkül, hogy mérőszámát változtatná (pl. erő, nyomaték, térfogatáram, stb.). Ezeket átmenő változóknak nevezzük. A másik változó jellemzője ezzel ellentétben épp az, hogy az elemek végződésein különböző értékeket vehet fel. Mindig különbségként (relatív referencia) értelmezve rendelhetjük az idealizált elemhez (pl. sebesség, feszültség, nyomás, hőmérséklet, stb.). Ezek a kapocsváltozók, vagy keresztváltozók. A leggyakrabban használt modellek egyik jellemzője, hogy csak időben változó paraméterekkel irjuk le ezeket. Tehát koncentrált paraméterű rendszer modellekről beszélhetünk. Ez egy elfogadott egyszerűsítő eljárás a rendszertechnikában. Egy egyszerűsítő eljárással elemet idealizált elemnek is nevezünk. A reális rendszerek modellezéséhez kialakítható egy általánosítható elemrendszer. Ezek az elemek a modellezés alapelvének megfelelően egy kiemelt, lényeges tulajdonságot tükröznek. Komplex feladatot ellátó alrendszer (alkatrész) esetén gyakori, hogy egy testet több idealizált elem együttese modellez. A rendszerelemek lehetnek aktív vagy passzív elemek.

• Aktív elemek: segítségükkel - meghatározott módon – energiát lehet a rendszerbe vezetni v. elvezetni.

• Passzív elemek: tárolhatják, átalakíthatják vagy a rendszer számára elhasználhatatlanná emészthetik az energiát.

Mechanikai rendszerelemek (passzív elemek) tanulmányozásában mint vizsgálati módszer, ki kell jelölni egy referenciapontot vagy referenciafelületet, amihez képest értelmezzük a mozgást vagy erőt. Általánosítva, mondhatjuk, hogy egy referencia rendszert (vonatkoztatási rendszert) rendelünk a rendszerhez a modellezés során. Az egyszer meghatározott vonatkoztatási rendszer szerves resze a létrehozott modellnek, attól elválaszthatatlan. A rendszerek csoportosítása:

• Alkotóelemek száma szerint:

o egyszerű rendszer (viszonylag kevés, de legalább két elem, viszonylag kisszámú állapot);

o összetett rendszer (több egyszerű rendszer alkotja, kapcsolataik áttekinthetők)

o bonyolult rendszer (alkotóelemeik száma és állapota jelentős, kapcsolataik sokrétűek és dinamikusak)

• Kapcsolat feltárhatósága szerint

12

o determinisztikus (kényszerpályás)

o sztochasztikus (valószínűségi)

• Objektíve létezés alapján:

o materiális (objektíve , akaratunktól függetlenül léteznek)

o absztrakt (az anyagi világ jelenségeinek tükröződései tudatunkban)

• Működésük szerint:

o dinamikus rendszer(működő = elemei a mozgás során hatnak egymásra)

o célszerűen vagy nem célszerűen működő rendszerek

o statikus rendszer (állapotváltozások sorozata nem valósul meg, nem képesek célok kitűzésére)

Rendszer és környezet kapcsolata szerint:

• zárt (legfeljebb energiakapcsolat)

• nyílt (soktényezős kapcsolat a külvilággal)

Fejlettségi szint szerint beszélhetünk:

• Statikus kultúrákról (vázak szintje)

• Egyszerű dinamikus kultúrákról

• Kibernetikus rendszerekről

• Önfenntartó struktúrákról

• Genetikai társadalmakról

• Állatvilágról

• Emberekről

• Társadalomról

• Transzcendentális rendszerekről

A rendszerek működési vázlatához elengedhetetlenül szükséges:

• Bemenet (I) - a környezet hat a rendszerre. Bemeneti érték: a környezeti hatás jellemző értéke

• Kimenet (O) - a rendszer hat a környezetére. Kimeneti érték: a környezetre való hatás jellemző értéke

• Működésmód - az a mód, ahogyan a kimenet a bemenetek alapján létrejön. A transzformáció determinálja. A működéshez legalább egy bemenet és egy kimenet szükséges, de ezek száma elvileg végtelen lehet.

• Transzformáció: a rendszer elemeinek együttműködési szabályait írja le (a bemeneti értékek hogyan alakulnak kimeneti értékekké)

Transzformáció típusai: az algoritmus egyértelmű eljárásai adják, aszerint, hogy a rendszer elemei egy:

Meghatározott rendezettségben működnek együtt. A rendszer

13

működtetője tudatosan szerkeszti meg az algoritmus lépéseit.

Sztochasztikus az elemek egymáshoz való viszonya vagyis működés közben nem teljesen ismert lépéssorozat, de közelítéssel leírható.

Fekete doboz a rendszerben folyó transzformációk ismeretlenek, de a bementei és kimeneti értékek között átviteli függvénykapcsolat írható le (rendszer-identifikáció).

• Cél: a rendszer működtetése és értékmérője amint már ezt említettem

• Környezet: egyrészt a rendszer korlátja (felhasználható erőforrás), másrészt a rendszer határait jelöli ki (kimenet iránti kereslet mennyisége és szerkezete).

• Bemeneti erőforrások: a rendszer adottságaihoz képest dönti el, hogy melyikből mennyit használ fel

• Alkotóelemek: a rendszer tevékenységei és ezekkel kapcsolatos fogalmak (anyagi részek, céloknak alárendelt mozgásjelenségek oszthatatlan egysége, térbeli és időbeli integrációja)

Mindezek alapján rendszermodellezésről lesz szó a továbbiakban.

Amint azt már láttuk, a rendszermodellezés a rendszertechnika egyik alapvető módszere. A következő, erre vonatkozó általános fogalmak ismertetése alapján, majd a jelek fogalmának tisztázása után bemutatok egy pár modell elkészítésének menetét, és akkor megfigyelhető lesz az elvi meghatározások gyakorlati alkalmazása. Rendszerképzés útja:

• egyrészt elméleti, tapasztalati ismeretek segítségével leírásra kerülnek a valóságot jellemző tulajdonságok és viszonyaik

• másrészt, a tulajdonságok mögött álló fogalmakat úgy alkalmazzuk, hogy közben az általános rendszerelmélet által megjelölt tulajdonságok minden elem azonosításakor érvényt szereznek

Bármely jelenség amelyet vizsgálunk, az objektív valóság része és mint olyan az egészet tételezi fel. Tehát tőlünk függetlenül létezik. Amikor modellezünk, elvonatkoztatunk a rajta kívül lévőktől és így az már csak tőlünk függően létezik.

• A rendszer alkotója valamiféle szakmai ismeret rendezőelve szerint információkat gyűjt, megállapítja a jelenséget leíró tulajdonságok teljes körét

• Meghatározza a rendszer elemeinek halmazát

• A rendszer minden eleméhez hozzárendeli összes tulajdonságait

• A modellben egyesíti a jelenség tulajdonságait a rendszer elemeivel és a tulajdonságok és elemek közötti megfeleltetéssel

Rendszerképző tulajdonságok a következők:

Totalizálás (teljesség, összesség)

Olyan tulajdonságok megállapítása, melyek alapján leképezhetők a rendszer elemei, ugyanakkor képesek a rendszer általános tulajdonságait is megjeleníteni.

14

Hierarchizálás

A rendszer elemei potenciálisan oszthatók, azaz a rendszerelemek maguk is tekinthetők rendszernek és maguk a rendszerek is válhatnak elemekké egy tágabb rendszer feltételezése szerint.

Hierarchia

Jelentése, hogy a rendszermodell elemei tulajdonságaik szerint egy szigorúan betartott rangsor szerint helyezkednek el

Rendezés

A modellben érvényesíteni kell, hogy az egyes rendszerelemek számunkra eltérő jelentőséggel bírnak és figyelembe kell venni az időparamétert is. Az elemek kvantitatív és kvalifikatív tulajdonságokat vesznek fel (időben), ezáltal rendezhetővé és strukturálhatóvá válnak.

Kvantitatív tulajdonság nem más mint a rendszerelemek mennyiségi meghatározottsága és mérhetősége.

Kvalifikatív tulajdonságok azok amelyek rendezési relációt képezhetnek a rendszerelemek halmazán

Rendezés lépései:

• Relációértelmezés a rendszerelemek összefüggéseiről

• Rendezettség megállapítása

• Rendezőreláció megkeresése

• Mérőszámok kialakítása

Strukturálás

a rendszer elemeinek kapcsolódásokkal érintett tulajdonságainak meghatározása.

struktúra (vagyis szerkezet), felépítés, az egymást kölcsönösen meghatározó elemek rendszert alkotó összefüggő egysége amikor ezek a kapcsolódások lehetnek, egy adott pillanatban, aktívak akár inaktívak.

Komplexitás

a rendszer minőségét, általános viselkedését jellemző fogalom.

A komplexitást befolyásoló tényezők:

• a szerkezetet alkotó rendszerelemek száma

• a rendszerkifejtés

• a rendszer környezete

• a kapcsolódások sokasága

• a kapcsolódás változékonysága

Modellezés fázisai:

• (O) Osztályozási struktúra modellje: megkülönbözteti az alkotóelemeket, azonosítja a rendszer határait és környezetét, definiálja az elemek tulajdon-

15

ságait és ismereteit

• (S) Statikus viszonystruktúra modellje: rendszerelemek kapcsolatainak össze-foglalása

• (D)Dinamikus viszonystruktúra modellje: időben változó kapcsolatok és azok okozati és hatásösszefüggései

• Integrált struktúra modellje: az előbbi három {O, S, D} struktúra integrálódása

1.2. Bevezető jelekről A rendszerekkel szorosan összefüggő fogalom a jel fogalma. A rendszerelemek közötti kommunikációhoz kapcsolódó fogalom. A jel általános fogalmáról lesz szó a következőkben. A mindenféle fajta kommunikációban a jeleknek jut a fő szerep. Beszédjeleket továbbítanak a telefonhálózatok vezetékein, míg a mobil telefónia digitális üzeneteit a rádióhullámok térerőssége vezérelt változása közvetíti. Ugyanakkor szélessávú bitfolyamok áramlanak a számítógépek közötti optikai hálózatokon. Az információ közlése, függetlenül az információ valódi természetétől (hang,kép, vagy adat) egy kommunikációs rendszer alapvető feladata, ennek része a jelek átvitele, átalakítása és feldolgozása a megkövetelt szolgáltatásminőség biztosítása végett. Szolgáltatásminőség jelöli azokat a követelményeket (pl. jel-zaj viszony, bit-hibaarány, késleltetés ...stb.), amelyeknek a megbízható információ átvitelnek meg kell felelnie. Az információ fogalma központi szerepet játszik az egyes ember és a társadalom életében, és tudományos kutatásban. Mindennapi életünk minden pillanatában az információ megszerzés, továbbadás, tárolás problémájával vagyunk elfoglalva. Természetesen más és más a jelentése ugyanannak az információnak a különböző felhasználók számára. Hasonlókat mondhatunk az észlelés, tárolás, érték stb. esetében is. Az adott helyzettől függően szubjektíven döntünk, használjuk fel stb. Ezért nem foglalkozunk az információ fogalmával. Az információelmélet szempontjából csak az információ mennyisége az érdekes, mint ahogy adattároláskor is mellékes, hogy honnan jöttek és mit jelentenek az adatok. Csak a célszerű elhelyezésükről kell gondoskodni. Napjainkban már eléggé világos, hogy konkrét tartalmától, megjelenési formájától és felhasználásától elvonatkoztatva beszélhetünk az információ számszerű mennyiségéről, ami éppen olyan pontosan definiálható és mérhető, mint bármely más fizikai mennyiség. Persze mindenkinek van valamilyen többé-kevésbé szubjektív elképzelése az információ mennyiségének fogalmáról, de a köznapi szóhasználatban ez általában az információ konkrét megjelenési formájának terjedelmességéhez, másrészt a hasznosságához és egyéb tulajdonságaihoz kapcsolódik. Ahhoz, hogy jól használható mérőszámot kapjunk minden esetleges vagy szubjektív tényezőtől el kell vonatkoztatni. Ezek közé soroljuk az információ konkrét tartalmát, formáját és mindent, ami a köznyelvben az információ fogalmához kötődik. Ezt a könyörtelen absztrakciót az indokolja, hogy az információ megszerzésével, feldolgozásával, felhasználásával (tárolás, átalakítás, továbbítás) kapcsolatos gyakorlati problémák között nagyon sok olyan is akad, melynek megoldásához (pl. a kívánt berendezés vagy eljárás megtervezéséhez) az információ számos jellemzője közül kizárólag csak a mennyiséget kell figyelembe venni. Az információ fogalma olyan univerzális, annyira áthatja a mindennapi életünket és a tudomány minden ágát, hogy e tekintetben csak az energiafogalommal hasonlítható össze. A két fogalom között több szempontból is érdekes párhuzamot vonhatunk. Ha

16

végigtekintünk a kultúra, a tudomány nagy eredményein, a legnagyobb felfedezéseken, azoknak jelentős részét két világosan elkülöníthető osztályba sorolhatjuk. Az egyik csoportba az energia átalakításával, tárolásával, továbbításával kapcsolatos felfedezések tartoznak. Pl. a tűz felfedezése, a víz és szélenergia felhasználása, egyszerű gépek kostruálása, az elektromos energia hasznosítása stb. Az egyik csoportba az információ átalakításával, tárolásával, továbbításával kapcsolatos felfedezések tartoznak. Pl. az írás, a könyvnyomtatás, a távíró, a fényképezés, a telefon, a rádió, a televízió és a számítógép stb. Számos, az első csoportba tartozó felfedezésnek megvan a párja a második csoportban. Még egy szempontból tanulságos párhuzamot vonni az energia- és az információfogalom között. Hosszú időbe telt, amíg kialakult az energiamennyiség elvont fogalma, amelynek alapján a különböző megjelenési formáit, mint pl. a mechanikai energiát, a hőenergiát, a kémiai energiát, az elektromos energiát stb. össze lehetett hasonlítani, közös egységgel lehetett mérni. Erre a felismerésre és egyben az energiamegmaradás elvének a meghatározására a XIX. század közepén jutott el a tudomány. Az információ fogalmával kapcsolatban a megfelelő lépés csak a XX. század közepén történt meg. Mielőtt rátérnénk az információmennyiség mértékének kialakulására, történetére meghatározzuk, hogy mit is jelent az információ absztrakt formában. Információn általában valamely véges számú és előre ismert lehetőség valamelyikének a megnevezését értjük. Nagyon fontos, hogy információmennyiségről csak akkor beszélhetünk, ha a lehetséges alternatívák halmaza adott. De ebben az esetben is csak akkor beszélhetünk az információmennyiség definiálásáról, ha tömegjelenségről van szó, vagyis ha nagyon sok esetben kapunk vagy szerzünk információt arról, hogy az adott lehetőségek közül melyik következett be. Mindig ez a helyzet a híradástechnikában és az adatfeldolgozásban, de számos más területen is. Az információmennyiség kialakulásához a kezdeteket a statisztikus fizika kutatói adták meg. Ebből adódík a fizikában használatos elnevezés(pl. entrópia). L.Boltzmann (1896), Szilárd L. (1929), Neumann J. (1932). Továbbá, a kommunikációelmélettel foglalkozók: H. Nyquist (1924), R,V.L. Hartley (1928). A hírközlés matematikai elméletét C.E. Shannon (1948) foglalta össze. Már nemcsak az elmélet alapproblémáit fejti ki, hanem úgyszólván valamennyi alapvető módszerét és eredményét tartalmazza. Párhuzamosan fejlesztette ki elméletét N. Wiener (1948), amely erősen támaszkodott a matematikai statisztikára és elvezetett a kibernetikai tudományok kifejlődéséhez. Shannon a következőképpen adta meg az (egyirányú) hírközlési rendszer általános modelljét: forrás ⇒ kódoló ⇒ csatorna ⇒ dekódoló ⇒ felhasználó Látható, hogy meg kell oldanunk a következő problémákat: Az üzenet lefordítása továbbítható formára. Az érkező jel alapján az üzenet biztonságos visszaállítása. A fordítás(kódolás) legyen gazdaságos (a dekódolás is) a biztonság megtartása mellett. Használjuk ki a csatorna lehetőségeit (sebesség, kapacitás). Természetesen ezek a problémák már a tervezési szakaszban felmerülnek. Viszont gyakran kerülünk szembe azzal, hogy a már meglévő rendszer jellegzetességeit, kapacitásait kell optimálisan kihasználni. Számos számítástechnikai példa van arra, hogy a biztonságos átvitel mennyire lelassítja az adatáramlást. Továbbá egy ,,jó" kódolás hogyan változtatja az üzenet terjedelmét, a felhasználás gyorsaságát. Az információelméletet két nagy

17

területre bonthatjuk: az algebrai kódoláselmélet és a Shannon-féle valószínűség-számításon alapuló elmélet. Az információelmélettel foglalkozók a következő három kérdés ‘mennyiségi’ vizsgá-latával foglalkoznak:

• Mi az információ?

• Melyek az információátvitel pontosságának a korlátjai?

• Melyek azok a módszertani és kiszámítási algoritmusok, amelyek a gyakorlati rendszerek esetén a hírközlés és az információtárolás a megvalósítás során megközelíti az előbb említett pontossági, hatékonysági korlátokat?

Az első próbálkozás egy feladat megoldásához szükséges információmennyiség meghatározásához 1928-ból származik. Ekkor fogalmazta meg Hartley, hogy egy n elemű halmaz elemeinek azonosításához

nlogI 2=

mennyiségű információra van szükség. Shannon(1948) a valószínűség és az információ fogalmának összekapcsolásával oldotta meg az események információtartalmának mérését. Shannon szerint egy P(A) valószínűségű A esemény bekövetkezése:

)A(P1logI 2=

mennyiségű információt szolgáltat. Meghatározzuk az

)x(P1log)x(I 2 =ξ

==ξ (1.2.1)

mennyiséget amelyet a ξ valószínűségi változó x értéke által tartalmazott egyedi infor-máció mennyiségnek nevezzük. A }p,,p,p{P n21 L= eloszlású ξ valószínűségi változó Shannon-féle entrópiájának (1.2.2.) nevezzük a

∑=

⋅−=ξn

1ii2i )p(logp}{H (1.2.2)

mennyiséget. Megjegyzés: A valószínűségi értékek között a 0 is előfordulhat, így problémát okozhat hiszen a logaritmus függvény csak pozitív számokra értelmezett. Ezt azonban megoldja az, hogy az )x(logx 2⋅ függvény folytonosan kiterjeszthető a nullára, mert

0)x(logxlim 20x=⋅

+→

lehet defníció szerint.

18

Egy véletlentől függő kimenetelű kísérlet eredménye több-kevesebb mértékben bizonytalan. A kísérlet elvégzésével ez a bizonytalanság megszűnik. A kísérlet eredményére vonatkoző, erdetileg fennálló bizonytalanságot mérhetjük azzal az információmennyiséggel, amit a kísérlet elvégzésével (átlagban) nyerünk. A bizonytalanságot tehát felfoghatjuk, mint információ hiányt, vagy megfordítva: az információt úgy, mint a bizonytalanság megszüntetését. Az információ betöltése ekvivalens a bizontalanság megszüntetésével, azaz:

információ betöltés = a-priori bizonytalanság – a-poszteriori bizonytalanság. A fenti gondolatok alapján, az információra a továbbiakban úgy tekintünk, mint egy analóg, vagy digitális adatstruktúrára (pl. analóg beszédjel, vagy digitalizált képjel). A kommunikációs rendszerekben ezen adatstruktúrákat egymásba átalakítják a következő elvek szerint:

• meg kell találni a jelek azon formáját, amelyek inkább alkalmasak az előírt minőségű szolgáltatás megvalósítására

• ki kell dolgozni azokat a transzformációs algoritmusokat, amelyekkel a jeleket hatékonyan (nagy megbízhatósággal és gazdaságosan) lehet egyik reprezentációból a másikba átalakítani.

Általában a ’megbízható’ átvitel és kezelés megfelelést a kritériumoknak, míg ‘gazdaságosság’ a lehető legkisebb erőforrásigényt (sávszélesség-, vagy processzorigény) jelenti. A jelfeldolgozás, mint tudományos diszciplína a jelek leírásával, és azon absztrakt tulajdonságainak a feltárásával foglalkozik, amelyek megadják, hogy egy adott reprezentáció milyen szempontból optimális. Az anyag tárgyalása során feltételezzük, hogy az olvasó ismeretekkel rendelkezik a matematikai analízis, valószínűségelmélet és lineáris algebra területén.

A jelelekkel kapcsolatban a következő területeket probaljuk áttekinteni

• jelek reprezentációja;

• jelfeldolgozási architektúrák;

• a jelek legfontosabb tulajdonságai egy kommunikációs rendszer számára (például sávszélesség, redundancia ...stb.)

A jeleket a továbbiakban mint időfüggvényeket kezeljük, feltételezve, hogy az információs folyamatok valamilyen fizikai jellemző időfüggését tükrözik. Fizikailag a jel lehet egy időben változó feszültség egy mikrofon kimenetén, vagy diszkrét feszültségszintek időbeli egymásutánja valamilyen digitális áramkörben. (Még a térbeli állóképi információ is lefordítható időtől függő jellé a kép letapogatásával.) A jelenlegi tárgyalás során azonban ezeket a jelenségeket, a konkrét fizikai tartalomtól független időfüggvények írják le. Úgy a folytonos mint a diszkrét időtartománybeli tárgyalásra gyakran visszatérünk még a jelek tárgyalása során. Az időfüggvény értelmezési tartományának és értékkészletének megfelelően a következő táblázat tartalmazza azokat az elnevezéseket és jelöléseket amelyeket a továbbiakban alkalmazni fogunk:

19

A jel típusa Jelölés Értelmezési tartomány

(idő)

Értékkészlet (amplitúdó)

Analóg jel ∞<≤ t0),t(x folytonos folytonos Mintavételezett analóg jel L,2,1n],n[x = diszkrét folytonos Digitális jel L,2,1n],n[x = diszkrét diszkrét Analóg véletlen jel (sztochasztikus)

∞<≤ξ t0),t( folytonos folytonos

Mintavételezett véletlen jel L,2,1n],n[ =ξ diszkrét folytonos Digitális véletlen jel L,2,1n],n[ =ξ diszkrét diszkrét Az időfüggvénynek meg értelmezési tartománya és értékkészlete ugyanolyan fontossággal bír mint magát a jel matematikai formája. A rendszerek tanulmányozása során a véletlen jelek leírása is fontos, hiszen az információ alapvetően az átvitt üzenetekben szereplő "véletlenség" mértékével azonosítható . Mivel például a modern kommunikációs rendszerekben az információt bináris sorozatokban (gyakran csomagokba szabdalva) továbbítjuk, az ilyen rendszerek vizsgálatánál a következő kérdések merülnek fel:

• Hogyan lehet az eredendően analóg információt (pl. kép, zene, beszéd) digitálissá alakítani?

• Mekkora információveszteség lép fel egy ilyen átalakítás során?

• Milyen tartományban érdemes a jeleket leírni egy kommunikációs rendszerben, azaz milyen matematikai leírás "illeszkedik" az átvitel fizikai természetéhez (pl. az idő-, vagy frekvencia-tartománybeli leírás...stb.)?

• Mi a jelek optimális (legrövidebb) reprezentációja (pl. hogyan lehet multimédiás adatfolyamokat keskenysávú csatornákhoz illeszteni, a legtömörebb reprezentáció kiválasztásával)?

Egy jelfeldolgozási feladat a bemeneti jelnek - egy meghatározott algoritmus szerint végrehajtott - transzformációját jelenti a kimeneti jelbe. hogy mind az analóg, mind a digitális jelfeldolgozás fontos szerepet tölt be a modern kommunikációs technológiákban. Annak ellenére, hogy CPU alapú eszközök (PC-k, vagy Work Station-ok), valamint DSP-k széleskörűen elterjedtek az információ digitális feldolgozására, ezen eszközök sebessége néha kritikus ponttá válhat a gyors rendszerkommunikáció során. Ezért a jelfeldolgozás újszerű megközelítései (analóg számítási trajektóriák), amelyek analogikus chip-en implementálhatók, vonzó alternatívái lehetnek a hagyományos digitális rendszereknek, ha a sebesség további növelése a cél. A jelek használata esetében ismerni kell bizonyos fogalmakat amelyek elengedhetetlenek az elkövetkezők megértésében. Itt felsorolunk néhányat ezek közül a fogalmak közül. A. Csillapítási tényező Ha valamely elektronikus alkatrész, vagy adatátviteli összeköttetés kimenetén a jel amplitúdója kisebb, mint a bemenetére adott jelé, azt mondjuk, hogy csillapítás lépett

20

fel. Definíció szerint a csillapítás a kimenő és a bemenő teljesítmény hányadosa. A csillapítást az áramkörök belsejében levő veszteségek okozzák. B. Decibel-skála A csillapítást decibel-ben szokás megadni. A decibel-skála két teljesítmény arányának (P1/P2) logaritmikus skálán való kifejezése (Cs-csillapítás, 1P -kimenő teljesítmény, 2P -bemenő teljesítmény). Ezzel a csillapítás:

)PPlg(10]dB[Cs

2

1⋅= (1.2.3)

vagy, mivel a teljesítmény a feszültség négyzetével arányos:

)PPlg(20]dB[Cs

2

1⋅= (1.2.4)

A két teljesítmény hányadosával kifejezett mennyiségnek nincs mértékegysége, vagy más szóval dimenziója. A decibel (dB) definíció szerint ezen hányados logaritmusa. Ha a mért teljesítményt az 1mW-hoz viszonyítjuk (kimenő teljesítmény =1mW), az eredményt dBm-mel jelöljük. A kommunikációs rendszerekben az erősítést és a csillapítást decibelben adják meg. Ha a P1/P2 teljesítmény arányának logaritmusa pozitív (P1/P2>1), akkor a rendszer erősít, ha negatív (P1/P2<1), akkor csillapít. A következő táblázat tartalmaz néhány teljesítmény arányt dB-ben és százalékban kifejezve.

001.0105012626.11101.01019999.13505.0339898.36

4.7979.0110101010010101050

%dB%dB

5

3

75PP

PP

21

21

−−−−−

C. Zaj és a jel/zaj viszonyszám Minden olyan jelet, ami nem része az információnak, a kommunikációs összeköttetésben zajnak tekintünk. A zaj forrása lehet természetes eredetű, vagy lehet mesterséges, valamilyen emberi tevékenység. A természetes zajforrások lehetnek a rendszeren kívüliek, mint pl. a Nap, a kozmikus sugárzás, de keletkezhet zaj magában a rendszerben is, pl. az ellenállások, vagy a félvezetők termikus zaja. Mivel a zaj erősen befolyásolja a kommunikációs rendszer információátvivő képességét, nem csoda, hogy az adatátviteli technikában ez a leggyakrabban tárgyalt témakör.

21

A jel/zaj viszonyszám

A kommunikációs rendszerekben nem a zaj abszolut értéke, hanem annak a hasznos jel teljesítményéhez való viszonya a döntő tényező. Ezért hasznos definiálni a jel/zaj viszonyszámot, ami a jel és a zaj teljesítményének a hányadosa. A jel/zaj viszonyszámot, vagy jel-zaj viszonyt szintén decibelben fejezzük ki. Valamely áramkör, vagy berendezés kimenetén és bemenetén mérhető jel/zaj hányados a rendszer zajosságára jellemző. Az angol terminológiában ezt noise figure-nek (NF) nevezik.

zajjelbemeneti

zajjelkimeneti

NF = (1.2.5)

Ha az NF értéke 1, azt jelenti, hogy a rendszer nem termel zajt. Ha egynél kisebb, a rendszer zajos. Ezek alapján úgy tekintjük a jeleket mint információhordozókat.Tágabb értelmezésben tekinthetjük úgy is mint valós változójú valós függvényt vagy akár más általánosabb relációt. Egy rendszer egyes elemei között, vagy különböző rendszerek között olyan kapcsolatok vannak, amelyeken keresztül kölcsönhatásban állnak egymással. Ezek a kapcsolatok az energia vagy az anyag átadásást jelenthetik az egymásra ható elemek vagy rendszerek között. A kapcsolatok azonban olyanok is lehetnek, hogy információtartalmuk lesz lényeges, azaz azok az ismeretek, amelyeket az elem vagy a rendszer más rendszerek vagy elemek állapotáról kap, vagy a saját állapotáról közöl. Ekkor az ismereteket hordozó anyagi forma csak másodrangú jelentőségű lesz. A most következő 1.2.1 ábra valós időben mért jeleket jeleket ábrázol. Az ECG és EEG jelek biológiai jelek és látható, hogy az ideálizált jelektől eltérően sok zajt is tartalmaznak. Ezek a biológiai jelek nagyon komplex jelek, és legtöbbször az információtartalmára csak empirikus módon következtethetünk.

1.2.1 ábra

22

Az 1.2.2 ábrán két, a szakirodalomból vett, áttekinthetőbb jelet látunk. Az első egy nagyon egyszerű és lassú szabályzást (éjjel/nappal- ciklussal) míg a második a hálózati 50Hz-és 220V-s jelet (effektív érték) mutatja.

1.2.2 ábra

A mindennapi életben még nagyon sokféle jellel találkozhatunk. Az újabb méréstechnikai eljárások megjelenése egyre összetettebb jelek mérését, rögzítését is jelenti. Gondoljunk itt a világűrből kapott (természetes mesterséges) jelekre, a repülőgépek fekete dobozának adathalmazára, 3D képfeldolgozást igénylő jelekre. Az információ kinyerése alapvető dolog bármely jel esetében. A jelfeldolgozó eljárások is hasonló ütemben fejlődnek. Olyan újabb tudományterületek fejlődtek ki mint Tér-frekvencia analízis, olyan alfejezetekkel mint Wavelet transzformáció vagy Chirpslet transzformáció.

1.3. Vezérlés, szabályozás A rendszer nem más mint egy olyan térben elhatárolt rész, ahol anyag és energiaformák elemeit kölcsönhatások és kölcsönös összefüggések kapcsolják egységes egészbe. A rendszer tanulmányozása során figyelembe kell vegyük a környezet hatását a rendszerre. Egy dinamikus rendszer (állapotváltozásai nem egy pillanat alatt zajlanak le, hanem egy átmeneti folyamat eredménye) működésének három alapvető módja van: egyensúlyi vagy állandósult, átmeneti és periodikus. Az egyensúlyi üzemmódban van, ha állapota nem változik időben. A rendszeranalízis azt vizsgálja, hogy ha a rendszer felépítése és paraméterei előre adottak, akkor ezekből kiindulva, hogyan állapítható meg a rendszer viselkedése és tulajdonságai. A rendszer tulajdonságait meghatározhatjuk akár kísérleti úton nyert adatok feldolgozásával (identifikáció), akár a rendszer működésének számítógépen végzett lejátszása és feldolgozása során (szimuláció). A rendszer egyes elemei között, vagy különböző rendszerek között olyan kapcsolatok vannak, amelyek biztosítják ezek kölcsönhatását. Ezek a kapcsolatok az energia vagy az anyag vagy akár információ átadását jelentik az egymásra ható elemek vagy rendszerek között. A kapcsolatokban az információtartalom is lényeges lehet, azaz azok az ismeretek amelyeket a rendszer vagy elem a más elemek vagy rendszerek állapotáról kap, vagy a saját állapotáról közöl. Ekkor az információhordózó jel csak másodrangú jelentőségű lesz. A rendszerben áthaladó hatásokat, amelyek információs kapcsolatokat valósítanak meg jeleknek nevezzük. A jelek legfontosabb tulajdonsága az információtartalom, az energiaszint nagysága csak másodlagos jelentőségű. Jelhordozó lehet minden mérhető állapothordozó (fizikai, kémiai stb.) Egy rendszer szervezett és érdekeinknek

23

megfelelő működését és változásait irányító hatások alkalmazásával lehet fenntartani és megvalósítani. Azokat a rendszereket amelyekben az irányító hatások kialakításához nem használjuk a rendszer állapotváltozásainak az irányítás folyamán felvett és az érzékelők által mért értékeire vonatkozó információt, nyíltláncú irányító rendszernek nevezzük.

1.2.3. ábra

Az irányító berendezés (szabályzó) és irányított rendszer kölcsönhatása egy beavatkozó szerven keresztül történik. Ez látható az 1.2.3. ábrán. Azokat a rendszereket, amelyek esetében az irányító hatások kialakításához felhasználjuk az irányított rendszert jellemző értékekre vonatkozó információt, zártláncú irányítási rendszernek nevezzük. A zártláncú irányítási rendszereket szabályzónak is nevezzük. A szabályzás leggyakrabban alkalmazott típusa a hibajelre alapozott szabályzás. A szabályozás működési vázlatát az 1.2.4. ábrán láthatjuk. A szabályzásban az alapvető ítéletalkotási művelet a különbségképzés. Az irányítani kívánt mennyiséget olyan mértékben befolyásoljuk, amilyen mértékben eltér az előírt értéktől. A szabályozási folyamatra a szabályozott jellemző visszahat a zárt láncon keresztül (a negatív visszacsatolás a szabályozott szakasz egyensúlyának visszaállítására szolgál, ha külső hatásra elmozdul onnan). A zaj hatását és a modellkészítésben itt most nem tárgyaljuk. A zaj mindig mint sztochasztikus jel vesz részt egy modell elkészítésében.

1.2.4. ábra

A szabályozási feladatoknál két típusról beszélhetünk (a zavaró hatások ellenére):

• értéktartó (stabilizáló) szabályozás és • követő (szervó) szabályozásról A szabályzó rendszerek elmélete és ezek tervezési eljárási nem tartoznak

24

ennek a könyvnek a tematikájához. Irányítástechnikai problémák ritkábban fordulnak elő mint szabályozástechnikai eljárások. A modern rendszerelmélet, rendszertechnika fontos fejezete az intelligens rendszerek, alrendszerek használata. Itt a mesterséges intelligencia rendszer fogalma alatt azon rendszert értjük amelyet nem a klasszikus matematikai eszközökkel modelleznek, képesek tanulni és ezáltal önállóan, bizonyos fajta intelligens döntéseket hozni. Nagy jövő áll a hibrid (klasszikus megközelítés és a mesterséges intelligenciára épülő) szabályzó rendszerek előtt. A mesterséges intelligencia fogalma, fajtái, alkalmazása nem tartozik ennek a könyvnek a témái közé.

25

2. Jelek rendszerelméleti megközelítésben A jelek és rendszerek fizikai természete a legkülönbözőbb lehet. A jelek egy vagy több független változójú függvények (relációk, disztribúciók), információt hordoznak a jelenségek működéséről és természetéről. A rendszerek specifikus bemenő jelekre adott módon, egy kimenő jellel válaszolnak. Egy elektromos áramkörben az időfüggő áramerősség vagy feszültség jelek, míg maga az áramkör a rendszer. Egy autó esetében amely a rendszer, a bemenő jel (gerjesztő jel) lehet a gázpedálra kifejtett nyomás míg a válaszjel az autó gyorsulása. Egy elektrokardiogramot, mint bemenő jelet feldolgozó számítógépes program a rendszer míg a kimenet a szív működését jellemző diagnózis. Egy fényképezőgép mint rendszer, előállítja a kimenő jelet ami a fénykép a bemenő jelből ami ebben az esetben a rendszerbe bejutó fény. Ezekből a példákból láthatjuk, hogy egy általános rendszert a 2.1. ábrán látható módon ábrázolhatjuk [I –bemenő jelé O -kimenő jel]:

2.1. ábra

Sokféle probléma vár megválaszolásra a rendszerekkel kapcsolatban. Sok esetben elemezni kell a rendszert, hogy megállapíthassuk, hogy miként fog viselkedni különböző bemenő jelekre. A rendszerekre vonatkozó általános meggondolásokról a könyv bevezető fejezetében olvashatunk. Máskor elemzés helyett, tervezni akarunk egy olyan rendszert amely egy elvárt módon fogja átalakítani a bemenő jelet. Erre példa a különböző szűrők (mint például a képjavító műveletek). Egy nagyon fontos fejezet a jelek és rendszerek esetében az amikor a rendszer paramétereit akarjuk módosítani akár a bemenő jelek segítségével akár egy megtervezett és hozzákapcsolt szabályzó (rendszer) segítségével. Itt bevezetjük a szabályozó rendszer felépítését. A 2.2. ábrán használt jelölések:

• t – idő mint független változó • u(t) – előírt bemenő érték (jel) • e(t) – hiba (e(t)=u(t)-y(t)), néha )(tε jelölésben is • y(t) – kimenő érték (jel) • ν(t) – zaj • v(t) – a szabályzó kimenő értéke

2.2. ábra

26

Különféle szabályzó rendszerek elengedhetetlen kellékei a mindennapi életünknek. Ebben a könyvben a jelek és rendszerek leírásával, jellemzésével, tanulmányozásával fogunk foglalkozni és nem a szabályzók osztályozásával, tervezésével. A kommunikációs rendszer egy másik fontos példa a rendszer fogalmára. Egy ilyen összetett rendszer üzenetet továbbít. Üzenet alatt információt értünk. Egy ilyen rendszer bemenő jelére (JEL1) rátelepítjük az információt amelyet továbbítani akarunk. Az így kapott, az információval modulált jelet a kommunikációs rendszer adója a kommunikációs csatornán (CSATORNA) át eljuttatja a vevőhöz amely leválasztja az információt a hordozó jelről és ez lesz a kimenő jel (JEL2). A továbbító csatorna módosíthatja is a hordozó jelet. A 2.3. ábra ezt az elvet szemlélteti. Ha valamelyik eleme ennek a rendszernek nem működik akkor az információt nem lehet továbbítani. A zaj ismerete fontos minden rendszerben mert jelen van és majdnem minden esetben információvesztést eredményezhet A rendszer optimális működése nem módosíthatja a továbbított információmennyiséget.

2.3. ábra

Az időt mint változót független változónak tekintjük. Minden jel időben változó mennyiség. A jel lehet időben folytonosan változó, vagy csak diszkrét időpillanatokban létező mennyiség. Az elkövetkezőkben a következő jelöléseket fogjuk használni x(t): R→ R egy valós változójú (idejű) valós jel x :]n[ Z→ R diszkrét idejű jel

• Egy jelet diszkrét idejű jelnek nevezünk, ha az csak diszkrét időpillanatokban vesz fel értéket. A diszkrét idejű jelek megadhatók véges vagy megszámlálhatatlanul végtelen sok jel sorozataként.

• Egy jelet folytonos idejű jelnek nevezünk, ha az minden t időpillanatban felvesz egy értéket.

• Egy jel determinisztikus ha minden kívánt időpontban pontosan, vagy kellő pontossággal ismert.

• Egy jel sztochasztikus ha a jel nem határozható meg pontosan minden időpillanatban, hanem csak stasztikus tulajdonságai ismertek (átlagérték, szórás, stb.)

• Egy jel bemenő jel ha értéke, t illetve n negatív értékeire azonosan nulla.

2.1. A jelek modelljei A. Sztochasztikus jelmodell

27

A kísérletet közel azonos körülmények mellett megismételve látszólag véletlenszerű eredményt kapunk. Valójában nem tudunk, vagy nem akarunk minden lényeges körülményt számba venni. A jelmodell },),,(;{ Ω∈∈= ξξ Tttxx . Ennek alábbi két értelmezését adhatjuk:

• Véletlenszerű eseménytér elemei generálják a folyamat egy-egy realizációját. Maguk a (a stochasztikus folyamatok) realizációi konkrét időfüggvények (determinisztikus jelek).

• A sztochasztikus folyamat felfogható úgy is, mint egy olyan jel, amelynek időbeni mintái valószínűségi változók. A minták időpontról időpontra változó sűrűségfüggvényűek lehetnek, valamint vizsgálható együttes sűrűségfüggvényük, mint a mintavételi időpontok függvénye.

Két valószínűségi változó korrelációját felírhatjuk mint:

∫∫ ⋅⋅⋅⋅= dydxyx)y,x(f}y,x{E xy , ha x és y korrelálatlan, akkor }y{E}x{E}y,x{E ⋅= .

• Stacionárius szochasztikus folyamat autokorreláció függvénye

)}t(x),t(x{E)(R τ+=τ ami azt mutatja, hogy a jel az időbeni eltolással szemben invariáns (R nem függ t-től)

• Ergodikus az a jel ha az időbeli átlag felcserélhető a sokaság szerinti átlaggal (példa: tökéletes dobókockák közül választok és dobok egy sorozatot, ellenpélda: tökéletlen dobókockákkal teszem ugyanezt).

:

2.1.1. ábra

B. Determinisztikus jelmodell Egy kísérletet azonos körülmények mellett megismételve azonos eredményt kapunk. (közelítés) és egy konkrét függvény írja le a (mért) jelet.

• periodikus jel vagyis t)Tt(x)t(x ∀+= -re, létezik a Fourier sora (lásd később); időben végtelen jel, nem véges energiájú.

28

• kvázi periodikus: szinuszos összetevőkre bontható, de a frekvenciák aránya nem racionális szám, nincs véges T ; időben végtelen, nem véges energiájú jel

• tranziens: nem periodikus, véges jelenergia, ("általában" bizonyos idő-tartón kívül eltűnik a jel)

Mindezeket összefoglalhatjuk a 2.1.1. ábrán

Az elkövetkezőkben a determinisztikus jelekről lesz szó. Úgy tekinthetjük a jeleket mint információhordozókat. Tágabb értelemben tekinthetjük mint egy valós változójú valós függvényt de ez az értelmezés változhat a különböző osztályzási esetekben. Az elkövetkezőkben a következő jelölést használjuk:

• C – a komplex számok halmaza • R – a valós számok halmaza • Q - a racionális számok halmaza • Z – az egész számok halmaza • N - a természetes számok halmaza

Ezek alapján felírhatunk egy pár fontosabb jelet:

• x(t): R→ R egy folytonos valós jel (folytonosság nem a pontos matematikai értelemben)

• x :]n[ Z→ R egy diszkrét jel • x :]n[ Z→ Z egy diszkrét jel kalibrálás után

2.2. A jelek osztályozása A. Folytonos és diszkrét idejű jelek:

vagyis x(t): R→ R

2.2.1. ábra A 2.2.1. ábrán egy valós idejű (változójú) valós jel grafikus ábrázolása látható.

vagyis x :]n[ Z→ R 2.2.2. ábra

29

A 2.2.2. ábrán egy diszkrét idejű (változójú) valós jel grafikus ábrázolása látható. Itt a diszkrét jel L,2,1,0n];Tn[x]n[x s ±±=⋅= Megjegyzés:

• )( zárójelek egy folytonos jelet jelent • ][ zárójelek egy diszkrét jelre utal a továbbiakban

B. Páros és páratlan jelek Egy x(t): R→ R folytonos jel esetében:

• A jel páros, ha t)t(x)t(x ∀=− esetében az értelmezési tartományból • A jel páratlan ha t)t(x)t(x ∀−=− esetében az értelmezési tartományból

Példa

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−

=⋅π

másholha0

TtTha)sin()t(x T

t egy páratlan

Bármely x(t): R→ R jel felbontható egy páros és páratlan összetevő összegére, vagyis

)t(x)t(x)t(x páratlanpáros += ahol

e21

páros x))t(x)t(x()t(x =−+⋅=

σ=−−⋅= x))t(x)t(x()t(x 21

páratlan Példa Adott ⇒⋅= ⋅− )tcos(e)t(x t2

)tcos()t2(sh)t(x)tcos()t2(ch)t(xe

⋅⋅−=⋅⋅=

σ

Ha x(t): C → C akkor a jel konjugált szimmetrikus ha: )t(x)t(x ∗=− ahol az ∗ szimbólum a komplex konjugált operátor. Ha a komplex jel valós része a(t) és a képzetes része b(t) akkor ezeket a 2.2.3. ábrán látjuk:

2.2.3. ábra

Ez egy konjugált szimmetrikus jel.

30

C. Periodikus jel Egy x(t): R→ R folytonos jel periodikus ha ∈∀+= t);Tt(x)t(x R esetében 0! >∃ T ahol T véges, konstans érték. A !∃ logikai kvantifikátor jelentése ’létezik egy és csakis egy’. Ezt a T értéket alap periódusnak nevezzük. Ebben az esetben

• T1

=ν az alapfrekvencia és a mértékegysége ]Hz[ és

• T

22 π⋅=ν⋅π⋅=ω a körfrekvencia és a mértékegysége ]

srad[

2.2.4. ábra

A 2.2.4. ábrán látható folytonos jel egy nem periodikus jel, míg

2.2.5. ábra

A 2.2.5. ábrán látható folytonos jel periodikus és srad10Hz5s2.0T π=ω=ν= .

Minden esetben figyelembe kell venni, úgy a negatív, mint a pozitív végtelenbe tartó irányba, az ábrán alkalmazott ••• jeleket amelyek jelentése a folytatólagosság azokba az irányokba (akár periodikus is). De ugyanezt a jelölést használom a két végtelen fele való kiterjesztés érzékeltetésére is. Egy x :]n[ Z→ R diszkrét jel periodikus ha ∈∀n Z esetében létezik egy legkisebb

pozitív, véges N egész szám amelyre ]Nn[x]n[x += . Ekkor ][2 radNπ⋅

=Ω a

körfrekvencia.

31

Példa Tanulmányozzuk a következő diszkrét jel periodikus voltát.

2.2.6. ábra

a 2.2.6. ábrán látható jel periodikus és 8N = és 4π

=Ω . Ez egy diszkrét változójú

diszkrét jel ha a jel amplitúdója eleme a {-1,1} halmaznak és egy diszkrét változójú valós jel ha az amplitúdója eleme az R halmaznak. D. Determinisztikus jel Egy jel determinisztikus, ha leírásához nem szükséges valószínűségi változót is figyelembe venni. A rendszerek leírása során általában a zaj modellezésére használnunk kell egy nem determinisztikus leírási módszert tekintve a zaj természetét. E. Valószínűségi jel (sztochasztikus jel) A valószínűségi (sztochasztikus) folyamatokat a rendszerelméletben véletlenszerű zavarok, zajok modellezésére használjuk. Egy

RxT:x →Ω reláció a valószínűségi történést leíró leképezés. Itt x(.,.) egy valószínűségi változó. T egy időhalmaz és ha részhalmaza a valós számok halmazának, ekkor folytonos valószínűségi rendszerről van szó. Ha T eleme az egész számok halmazának akkor diszkrét valószínűségi rendszert értelmeztünk. Értelmezések: • )(.,x 0ω egy determinisztikus függvény, ahol 0ω egy rögzített érték, realizációnak

nevezzük. • ,.)t(x 0 egy rögzített 0t -val egy valószínűségi változó • ,.)t(x 1 jelöljük x(t)-vel és ez az x sztochasztikus folyamat által t rögzítésével

generált valószínűségi változó. • Egy valószínűségi folyamat egyértelműen megadható valamennyi véges

dimenziós eloszlásfüggvényével. Egy sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásfüggvénye a következő ahol P a valószínűségfüggvény:

32

})t(x,,)t(x{P)t,,t;,,(F nn11n1n1 ς≤ς≤=ςς LLL • Gauss vagy normális a folyamat ha a folyamat valamennyi véges dimenziós

eloszlásfüggvénye normális eloszlásfüggvény. • Az x folyamat várható érték függvénye a

∫∞

∞−

⋅⋅== dt)t,y(fy)}t(x{E)t(m xx

ahol az ),( tyf x x folyamat által generált valószínűségi változó sűrűségfüggvénye (az eloszlásfüggvény deriváltja) • Egy valószínűségi folyamat (autó)kovariancia függvénye

}))t(m)t(x())s(m)s(x{(E)}t(x),s(x{Cov)t,s(rxxτ−⋅−==

ahol m(s) az x(t) a valószínűségi változó várható értéke, míg aτ a transzponálás művelete

• Megjegyzés: xm egy determinisztikus időfüggvény, míg xxr egy determinisztikus kétváltozós függvény

• Az x valószínűségi folyamat stacionárius, ha valamennyi )(,),(),( 21 ntxtxtx L eseménysornak megfelelő véges dimenziós eloszlásfüggvénye bármely T esetén megegyezik az )(,),(),( 21 TtxTtxTtx n +++ L eloszlásfüggvényével. A folyamat gyengén stacionárius, ha csak az eloszlásfüggvények első két momentuma ( xxx rm , ) bármely T-re megegyezik, azaz

)st(r)t,s(r;0)t(m xxxx −==

• Az R|)}(e{e ∈θθ=

valószínűségi folyamat fehér zaj folyamat, ha azonos eloszlásfüggvényű, független valószínűségi változók sorozata A fehér zaj teljesítményspektruma egyenletes oszlik meg egy adott frekvenciasávban, csak az elméleti (ideális) fehér zaj esetében igaz, hogy a teljes frekvenciatartomány azonos energiamennyiséget hordoz. Tulajdonságaik:

- stacionárius folyamat (általában m(t) 0= feltételezésével) - kovarianciafüggvénye a valós változó esetében

⎪⎩

⎪⎨⎧

±±==σ=−=

L,2,1t00t)}ts(e),s(e{Cov)t(r

2

ee

- nem feltétlenül normál (Gauss) folyamat

• Legyen },2,1,0,1,k],k[e{e LL −== diszkrét fehér zaj. Akkor az ebből képzett Zk]}k[y{y ∈= folyamat amelyre igaz a következő egyenlet

]}k[e){z(B]nk[eb]1k[eb]1k[eb]k[e]k[y 1*n21

−=−⋅++−⋅+−⋅+= L egy MA mozgóátlag folyamatnak nevezzük. Az MA folyamat várható értéke

0)t(my = és

n1n3211yy

2n

22

21yy

bbb2bbbb)1(r

bbb1)0(r

⋅++⋅+⋅+=

++++=

−L

L

33

• Az Z|]}[e{e ∈θθ= valószínűségi folyamattal az AR autoregressziós folyamat a következőképpen irható le:

]k[e]}k[y){z(A]nk[ya]1k[ya]k[y 1*n1 ==−⋅++−⋅+ −L

A külső bemenettel rendelkező autoregressziós mozgóátlag folyamat (ARMAX) egy AR és egy MA folyamat lineáris kombinációja egy külső Zk|])}k[u{u ∈= jellel

]}k[e){z(C]}k[u){z(B]}k[y){z(A 1*1*1* −−− += (2.2.1) ahol

nn

11

1*

mm

11

1*

nn

11

1*

zczc1)z(C

zazb1)z(B

zaza1)z(A

−−−

−−−

−−−

⋅++⋅+=

⋅++⋅+=

⋅++⋅+=

L

L

L

Itt a 1z− egy transzláció operátor és visszatérek rá a Z-transzformáció tárgyalása során.

• Reprezentációs tétel: Minden véges első és második momentummal ( xxx r,m ) rendelkező Zk|]}k[x{x ∈= diszkrét sztochasztikus folyamat felírható ARMA formában a következőképpen:

]}k[e){z(B]}k[x){z(A 1*1* −− =

ahol Zk|]}k[e{ ∈ fehér zaj folyamat (nem feltétlenül Gauss) és )z(A 1* − stabil

míg )z(B 1* − pedig nem instabil operátor. Innen következik, hogy minden stacionárius, diszkrét idejű Zk|]}k[x{x ∈= sztochasztikus folyamat tekinthető

úgy, mint egy )z(A)z(B)z(H *

*= átviteli függvénnyel (operátorral) rendelkező, fehér

zaj bemenetű LTI rendszer kimenete. • Egy diszkrét idejű LTI SISO sztochasztikus ki-bemeneti modellek általános alakja

a következő ARMAX folyamat: ]}k[e){z(C]}k[u){z(B]}k[y){z(A += (2.2.2)

ahol

n1n

1n

m1m

1m

0

n1n

1n

czcz)z(A

bzbzb)z(B

azaz)z(A

++⋅+=

++⋅+⋅=

++⋅+=

−

−

−

L

L

L

E. Energiajel, teljesítményjel Legyen x(t): R→ R egy folytonos jel. A jel teljes energiáját kiszámíthatjuk mint:

∫ ∫−

∞

∞−∞→

⋅=⋅=2T

2T

dt)t(xdt)t(xlimE 22T

(2.2.3)

A jel átlagteljesítményét kiszámíthatjuk mint:

∫−

∞→⋅=

2T

2T

dt)t(xT1limP 2

T (2.2.4)

34

Ha az x(t) jel periodikus akkor

∫−

⋅=2T

2T

dt)t(xT1P 2 (2.2.5)

A folytonos jel esetében meghatározzuk az RMS operátort, vagyis P))t(x(RMS = (root mean square). Ez pedig nem más mint a négyzetes középértéke a teljesítménynek (effektív értéke). Egy x :]n[ Z→ R egy diszkrét jel esetében a jel teljes energiáját az

∑∞

−∞==

n

2 ]n[xE (2.2.6)

összefüggés adja. Az átlagteljesítménye pedig:

∑−=∞→

⋅⋅

=N

Nn

2N

]n[xN2

1limP (2.2.7)

Ha a jel periodikus és alapperiódusa N, akkor az átlagteljesítmény:

∑−=

⋅⋅

=N

Nn

2 ]n[xN2

1P (2.2.8)

• Egy jel energiajel ha a teljes energiájára igaz, hogy: ∞<< E0 • Egy jel teljesítményjel ha átlagteljesítményére igaz: ∞<< P0

Az energiajel és teljesítményjel kölcsönösen kizárják egymást (tehát egy energiajel nem lehet teljesítményjel és fordítva). Egy energiajel átlagteljesítménye zéró, míg egy teljesítményjel energiája végtelen. Megjegyzendő, hogy a periodikus és sztochasztikus jelek általában teljesítményjelek, míg a nem periodikus determinisztikus jelek lehetnek energiajelek. Minden jelnek, amelynek véges a teljes energiája, annak zéró az átlagteljesítménye. Minden jelnek amelynek véges az átlagteljesítménye annak végtelen a teljes energiája. A legtöbb jel se nem energiajel, se nem teljesítményjel (x(t)=t, ),0[t ∞∈ ). Példa Számítsuk ki a következő folytonos jel átlagteljesítményét.

2.2.7. ábra

A 2.2.7. ábrán látható, hogy a jel egy folytonos periodikus jel, a periódusa pedig s2.0T = Az átlagteljesítményt kiszámítjuk mint:

35

∫∫∫−−

=⋅−⋅+⋅⋅=⋅⋅=0

1.0

21.0

0

21.0

1.0

2 1dt)1(2.0

1dt12.0

1dt)t(x2.0

1P

Példa Számítsuk ki a következő folytonos jel teljes energiáját.

. 2.2.8. ábra

A 2.2.8. ábrán látható folytonos, nem periodikus jel teljes energiája:

TAdtAdtAE 2222T

2T

=⋅=⋅= ∫ ∫∞

∞− −

Példa Számítsuk ki a 2.2.9. ábrán látható nem periodikus diszkrét jel teljes energiáját ha tudjuk, hogy a nem zéró diszkrét komponensek amplitúdója egységnyi.

2.2.9. ábra

A jel teljes energiája

∑∞

−∞==++==

n3111]n[xE

2.3. Alapműveletek jelekkel A. Amplitúdó módosítás skálázással Adott egy folytonos jel, x(t): R→ R . Ha egy amplitúdó skálázást alkalmazunk akkor egy újabb valós változójú, valós függvényt kapunk vagyis )t(xc)t(y ⋅= jelet. Az alkalmazott c együttható eleme a valós számoknak. Egy függvény valós számmal való szorzása minden tulajdonsága igaz ebben az esetben is. Egy példa látható a következő 2.3.1. ábrán. Itt a c együttható pozitív, egynél kisebb valós szám.

36

2.3.1. ábra

Ha most egy diszkrét x :]n[ Z→ R jel esetében alkalmazzuk, egy ]n[xc]n[y ⋅= jelet kapunk. Ha c egy valós szám akkor a 2.3.2. ábrán láthatunk egy esetet diszkrét amplitúdó skálázásra.

2.3.2. ábra

Itt a c együttható pozitív, egynél nagyobb valós szám. Az amplitúdó skálázással a keletkező jelek (folytonos akár diszkrét) értelmezési tartománya nem változik. B. Jelek összeadása, szorzása A 2.3.3. ábra két folytonos jel összeadását és szorzását mutatja.

2.3.3. ábra

Amint látjuk, adottak a következő folytonos jelek: →A:)t(x1 R és →B:)t(x 2 R . Ha a Dom operátor a jel értelmezési tartományát adja akkor, hogy az összeadás és szorzás a két folytonos jel között értelmezhető legyen, szükséges, hogy:

37

Dom( ))t(x(Dom))t(x 21 ≡ vagyis BA ≡ .

Ha most a jelek összeadását, szorzását diszkrét jelekre alkalmazzuk, akkor legyen a két diszkrét jel →⋅ 11s1 A:]Tn[x R és →⋅ 12s2 B:]Tn[x R. Ahhoz, hogy az összeadás és szorzás a két jel között értelmezhető legyen szükséges, hogy:

Dom( ))t(x(Dom))t(x 21 ≡ vagyis 21 BA ≡ és 2s1s TT = .

C. A jel differenciálása, integrálása Legyen adott x(t): R→ R egy folytonos, deriválható jel. A jel esetében alkalmazzuk a következő operátort.

)}({)( txdtdty = (2.3.1)

Így kapjuk a jel deriváltját. Egy fontos gyakorlati példa erre a 2.3.4. ábrán látható áramkör:

2.3.4. ábra

Az ennek megfelelő differenciálegyenlet: )t(idtdL)t(u ⋅= .

Legyen most x(t): R→ R egy folytonos, integráló jel. A jel esetében alkalmazzuk a következő operátort.

τ⋅τ= ∫∞−

d)(x)t(yt

(2.3.2)

Ez adja a jel integrálját. Egy fontos gyakorlati példa erre a 2.3.5. ábrán látható áramkör:

2.3.5. ábra

Az ennek megfelelő differenciálegyenletet felírhatjuk mint

∫∞−

τ⋅τ⋅=t

d)(iC1)t(u

38

Az eddig bemutatott műveletek mint a jel értékkészletét módosították.

2.4. A jelek értelmezési tartományát módosító műveletek A. Időintervallum-skálázás Legyen most x(t): R→ R folytonos jel, akkor az időintervallum-skálázással kapott y(t) jel felírható )mint 0a > ) :

)ta(x)t(y ⋅= (2.4.1) ahol

• ha 1a > akkor időintervallum kompresszióról beszélünk • ha 1a0 << időintervallum dilatációról beszélünk

Erre a két esetre láthatunk példát a 2.4.1. ábrán:

2.4.1. ábra

Mindkét esetben láthatjuk, hogy a transzformáció során nem változik meg a jel amplitúdója. Kiindulunk az adott )ta(x)t(y ⋅= transzformációból, amelynek segítségével meghatározzuk az adott jel (a 2.4.1. ábra bal oldalán) értelmezési tartománya meghatározó pontjainak megfelelő új koordinátákat amelyek az új értelmezési tartomány elemei lesznek. Az időintervallum-skálázás során a műveletet a jel értelmezési tartományának minden pontjára értem még ha nem is jelentem ki ezt tételesen minden alkalommal. Hasonlóan járunk el a következő, diszkrét jelek esetében is. Legyen most a 2.4.2. ábrán látható x :]n[ Z→ R egy diszkrét jel. A diszkrét időintervallum-skálázás meghatározás szerint legyen

]nk[x]n[y ⋅= (2.4.2) ahol k egy egész paraméter vagyis },3,2,1{k ±±±∈

39

2.4.2. ábra

Láthatjuk, hogy ez a művelet a diszkrét jelek esetében információvesztéssel jár. Most ugyanazt a skálázási műveletet figyeljük meg egy másik diszkrét jel esetében. Legyen ez a jel

⎩⎨⎧

=párosnha0páratlannhan

]n[x

és ez látható a 2.4.3. ábra bal oldalán.

2.4.3. ábra

A 2.4.3. ábrán látható skálázás 2=k esetben információvesztéssel jár. Ennek a jelnek az esetében ha k nem 2 vagy ennek többszöröse akkor a transzformált jel nem veszít információt (a mindenhol zéró jel nem hordoz információt). B. Időtükrözés (reflexió) Legyen x(t): R→ R egy folytonos jel. Ekkor az időtükrözés (az idő-tengely tükrözése a vonatkoztatási rendszer origójára nézve) felírható mint:

)t(x)t(y −= (2.4.3)

Ha a jel páros, akkor az időtükröző művelet nem változtatja meg a jelet, mert )t(x)t(x =− , míg egy páratlan jel esetében mikor )t(x)t(x −=− , a transzformált az

Oy tengelyre nézve szimmetrikus jel lesz. Ebben az esetben is a műveletet a jel értelmezési tartományának minden pontjára értem. A 2.4.4. ábra az időtükrözést mutatja. Itt is, mint minden esetben az x(t) az eredeti jel míg y(t) a transzformált jel.

40

2.4.4. ábra

12

21

TtésTtha0)t(yTtésTtha0)t(x

>−<=>−<=

Legyen egy x :]n[ Z→ R egy diszkrét jel. A diszkrét jel időtükrözés művelete meghatározása:

]n[x]n[y −= (2.4.4)

Példa

Adott a diszkrét jel mint ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

−=−=

=

1nés0nha01nha1

1nha1]n[x és számítsuk ki

]n[x]n[x]n[y −+= értékét. A 2.4.5. ábrán láthatjuk az ]n[y jel két komponensét:

2.4.5. ábra

Innen már nem nehéz kiszámítani, hogy a két jel összege: 0]n[y = . C. Idő-eltolás Adott egy x(t): R→ R folytonos jel. Az idő-eltolás műveletet

;0t);tt(x)t(y 00 ≠−= (2.4.5)

és 0t egy véges valós szám. Ha 0t0 > akkor az időtengelyen jobbra toljuk (transzláció) az x(t) grafikonját, ha meg 0t0 < akkor meg az eltolás (transzláció) balra történik. Példa: a 2.4.6. ábrán

41

2.4.6. ábra

Legyen egy x :]n[ Z→ R egy diszkrét jel. Az idő-eltolást ]Mn[x]n[y −= (2.4.6)

alakban írhatjuk fel, ahol M∈ Z. Példa. Legyen adott a 2.4.7. ábrán is látható diszkrét jel. Számítsuk ki a ]3n[x]n[y += eltolást. Itt M = -3. Mivel ez egy negatív szám, az eltolás balra ( ∞− ) történik.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

−−=−=

=

2nés0nha02,1nha1

2,1nha1]n[x akkor

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−=−−=−−−=

=+1nés3nha0

5,4nha12,1nha1

]3n[x

Grafikus ábrázolásban:

2.4.7. ábra

Vegyük most a következő, nagyon fontos transzformációt: )bta(x)t(y −⋅= (2.4.7)

ahol x,y : R→ R , vagyis valós függvények és a,b szigorúan pozitív valós számok. Alapvető az idő-eltolás és az időtükrözés műveletének a sorrendje. Ez a következő:

• Első lépés: elvégezzük az idő-eltolás műveletét ( )t(v)t(xbtt →⇒−→ ) • Második lépés: ezután elvégezzük az időtükrözés műveletét ( )t(y)t(v → )

2.4.8. ábra

42

A 2.4.8. ábra a helyes és a helytelen sorrendben végrehajtott műveleteket mutatja. Látható, hogy ez a transzformáció műveleti sorrendfüggő. Ez érvényes a diszkrét műveleti sorrend esetében is. Egy diszkrét jel esetében következik a helyes sorrendben végrehajtott műveletsor az ]3n2[x]n[y +⋅= kiszámítására ha a jel:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

−−=−=

=

2nés0nha02,1nha1

2,1nha1]n[x

Ezt a 2.4.9. ábrán láthatjuk.

2.4.9. ábra

D. Konvolúciós összeg A konvolúciós integrál alapvető a rendszerelméletben.

• Ha egy diszkrét rendszert az időtartományban a súlyfüggvénye (h ]n[ -a diszkrét Dirac jelre adott válasz) jellemzi, és ha a bemenő jelet x ]n[ -vel jelöljük, akkor a rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a súlyfüggvény konvolúciós szorzatát:

]n[h]n[x]n[y ∗= (2.4.8)

Az ‘∗ ’ művelet jelenti a konvolúciós szorzatot.

Ez a konvolúció egy konvolúciós összeg. Diszkrét rendszerről van szó, ezért

x :]n[ Z→ R és h :]n[ Z→ R .

• Ha egy folytonos rendszert időtartományban a súlyfüggvénye (h(t)-a Dirac jelre adott válasz) jellemzi, és ha a bemenő jelet x(t)-vel jelöljük, akkor a rendszer válaszát felírhatjuk, mint a bemenő jel és a súlyfüggvény konvolúciós szorzatát:

)t(h)t(x)t(y ∗= (2.4.9)

Ez a konvolúció egy konvolúciós integrál. Folytonos rendszerről van szó, ezért

x(t): R→ R és h(t): R→ R .

43

Az elkövetkezőkben, először a diszkrét konvolúciós összegről lesz szó. Adott

x :]n[ Z→ R h :]n[ Z→ R

Ekkor a konvolúciós összeg:

]n[h]n[x]kn[h]k[x]n[yk

∗=−⋅= ∑∞

−∞= (2.4.10)

Kövessük lépésről lépésre az összeg kiszámítását a következő példában:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−<

=−

=

=

−=−

=

2nés1nha0

2nha

1nha1

0nha

1nha1

]n[x

21

21

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=

==

=

máshol0

2nha

1nha1

3n;0nha

]n[h21

21

Ez a két jel diszkrét és véges. A 2.4.10. ábrán láthatjuk az ]n[x és ]n[h grafikonját.

2.4.10. ábra

A ∑∞

−∞=−⋅=

k]kn[h]k[x]n[y képlet alapján kiszámítjuk az y kimenő jel értékeit az

egész számok(Z) halmazán.

0)]2(0[h]2[x)]1(0[h]1[x)]0(0[h]0[x)]1(0[h]1[x0]0[y +−⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−+= Csak ennyi tagot írtunk fel, mert a többi k értékre 0]k[x = , tehát nem járul hozzá valós nem zéró értékkel az ]0[y -hoz. Innen következik

43

41

21

21

21

21

21

10)(0111

]2[h)(]1[h)1(]0[h)(]1[h)1(0]0[y

−=+−=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

=−⋅−+−⋅+⋅+⋅−+=

0)]2(1[h]2[x)]1(1[h]1[x)]0(1[h]0[x)]1(1[h]1[x0]1[y +−−⋅+−−⋅+−−⋅+−−−⋅−+=−

21

21

21

21

000

]3[h)(]2[h)1(]1[h)(]0[h)1(0]1[y

−=+++−=

=−⋅−+−⋅+−⋅+⋅−+=−

44

0)]2(2[h]2[x)]1(2[h]1[x)]0(2[h]0[x)]1(2[h]1[x0]2[y +−−⋅+−−⋅+−−⋅+−−−⋅−+=−

00000

]4[h)(]3[h)1(]2[h)(]1[h)1(0]2[y 21

21

=+++=

=−⋅−+−⋅+−⋅+−⋅−+=−

Könnyen beláthatjuk, hogy LL,0]4[y;0]3[y =−=− Ezért most ki kell számítanunk az y értékét a 0n > egész számokra.

0)]2(1[h]2[x)]1(1[h]1[x)]0(1[h]0[x)]1(1[h]1[x0]1[y +−⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−+=

23

21

21

21

21

21

0

]1[h)(]0[h)1(]1[h)(]2[h)1(]1[y

=+++=

=−⋅−+⋅+⋅+⋅−=

)]2(2[h]2[x)]1(2[h]1[x)]0(2[h]0[x)]1(2[h]1[x]2[y −⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−=

0)(11)(

]0[h)(]1[h)1(]2[h)(]3[h)1(]2[y

21

21

21

21

21

21

21

=⋅−+⋅+−+−=

=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

)]2(3[h]2[x)]1(3[h]1[x)]0(3[h]0[x)]1(3[h]1[x]3[y −⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−=

23

21

21

41

21

21

21

21

21

21

01)()(101

]1[h)(]2[h)1(]3[h)(]4[h)1(]3[y

−=−−+=⋅−+−⋅+⋅+⋅−=

=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

)]2(4[h]2[x)]1(4[h]1[x)]0(4[h]0[x)]1(4[h]1[x]4[y −⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−=

43

21

41

21

21

21

21

21

21

)()()(1001

]2[h)(]3[h)1(]4[h)(]5[h)1(]4[y

=+=−⋅−+⋅+⋅+⋅−=

=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

)]2(5[h]2[x)]1(5[h]1[x)]0(5[h]0[x)]1(5[h]1[x]5[y −⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−=

41

21

21

21

21

21

)()(01001

]3[h)(]4[h)1(]5[h)(]6[h)1(]5[y

−=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

=⋅−+⋅+⋅+⋅−=

0)]2(6[h]2[x)]1(6[h]1[x)]0(6[h]0[x)]1(6[h]1[x]6[y =−⋅+−⋅+−⋅+−−⋅−=

Összegezésként, a kapott kimenő jel (a konvolúciós szorzat eredménye) felírható mint:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−<=

=−

=

=

==−

−=−

=

5nés1n;2nha0

5nha

4nha

1nha

3n;0nha

1nha

]n[x

4143234321

45

Kövessünk egy más módszert a konvolúciós értékek kiszámítására Ez egy grafikus ábrázolásra épülő módszer). Legyen itt példának a 2.4.10 alapján a

∑∞

−∞=−⋅=

k]k1[h]k[x]1[y

meghatározása vagyis. Grafikusan ábrázoljuk a 2.4.11. ábrán az x és h formákat a k valamint 1-k diszkrét időpillanatokban.

2.4.11. ábra

Figyelembe kell venni, hogy ]1k[h]k1[h +−=− . A 2.4.11. ábrán a két diszkrét grafikont az adott bemenő jelből és a súlyfüggvényből kiindulva, transzlációval és skálázással kaptuk. Most az azonos időpillanatbeli jeleket összeszorozzuk és az így kapott részeredményeket összeadjuk amint azt az ]1[y -re felírt képlet adja. A fenti ábra alapján láthatjuk, hogy:

23

21

21

21

21

21 0)(11)()1(0]1[y =⋅−+⋅+⋅+−⋅−+⋅=

Hasonlóan járunk el hogy kiszámítsuk L],2[y],0[y],1[y − értékeket. Így kiszámítjuk a konvolúciós szorzatot. Egy újabb példa a grafikus megoldási módszerre amikor a két diszkrét jel nem véges jel. Legyen a két jel:

• A diszkrét egységugrás jel a bemenő jel ( ]n[x : Z→ R)

• A súlyfüggvényt a 0n;)43(]n[h n ≥= ( ]n[h : Z+→ R)

46

Ki kell számítani a súlyfüggvénnyel jellemzett rendszer válaszát a bemenő jelre. Ez a

∑∞

−∞=−⋅=

k]kn[h]k[x]n[y konvolúciós szorzat kiszámítását jelenti. A két adott diszkrét

forma grafikus képe a 2.4.12. ábrán látható:

2.4.12. ábra

Példaként két pontban számítjuk ki a konvolúciós szorzatot 2.4.10 alapján. Az első lépésben legyen n = -5. Ekkor

∑∞

−∞=−−⋅=−

k]k5[h]k[x]5[y

Szükségünk van az ]k[x és ]5k[h −− jelek ábrázolására. Látható, hogy )]5(k1[h]k5[h −+⋅−=−− ami azt jelenti, hogy első lépésként egy 5 egységgel jobbra transzláció majd egy második lépés az időtükrözés (reflexió) következik. Tehát az első lépés a transzláció és ennek eredménye a 2.4.13. ábrán látható.

2.4.13. ábra

Második lépés a reflexió és ennek eredménye a 2.4.14. ábrán látható.

2.4.14. ábra

és ha bemenő jel a 2.4.15. ábrán található, akkor

47

2.4.15. ábra innen kiszámítható (megfigyelve, hogy az összegezendő minden szorzat értéke zéró, mert az azonos k pillanatokban valamelyik szorzótényező mindég zéró, nincs zérótól különböző közös része az azonos k pillanatban vett jelösszetevőknek)

0]k5[h]k[x]5[yk

=−−⋅=− ∑∞

−∞=.

Most oldjuk meg ugyanezt a feladatot 5n = diszkrét időre a 2.4.10 alapján.

∑∞

−∞=−⋅=

k]k5[h]k[x]5[y

Az előzőekhez hasonló módon elvégezzük a transzláció és időskálázás műveletét, akkor kapjuk a 2.4.16. ábra szerinti ábrázolásokat:

2.4.16. ábra

Innen következik, ha elvégezzük az identikus k-ra a szorzást, hogy:

288.3)34()

43()

43(]5[y

k5

0k

55

0k

k5 =⋅== ∑∑==

−

Hasonló módon folytatva, ki tudjuk számítani a konvolúció minden elemét. E. Konvolúciós integrál

48

Ez a művelet folytonos jelekre vonatkozik. Ezért adott két folytonos jel:

x(t): R→ R és h(t): R→ R A konvolúciós integrált felírjuk mint:

τ⋅τ−⋅τ=∗= ∫∞

∞−

d)t(h)(x)t(h)t(x)t(y (2.4.11)

Ha a h(t) egy lineáris, időben nem változó paraméterű rendszer súlyfüggvénye és az x(t) a rendszer bemenő jele, akkor az y(t) a rendszer válasza, kimenő jele. Ez azt jelenti, hogy ha pontosan ismerjük a rendszer Dirac jelre adott válaszát, akkor elvileg ismerjük a rendszer válaszát bármely folytonos jelre, ha ki tudjuk számítani a fentebb említett konvolúciós integrált. Példa Adott a rendszer bemeneti jele )t(x és súlyfüggvénye )t(h (habár ez a rendszert jelentő összefüggés és függvénynek nevezzük, valójában egy relációként értelmezzük és úgy ábrázoljuk mint egy jel) amint azt a 2.4.17. ábrán láthatjuk:

2.4.17. ábra

Ahhoz, hogy a konvolúciós integrált kiszámíthassuk, a t változó felvesz minden értéket az R valós intervallumban és ugyanakkor szükségünk van az )(x τ és a

)t(h τ− függvényekre. Az utóbbit megkapjuk a h(t) súlyfüggvényből. Amint azt a diszkrét konvulúció esetében is láttunk, egy időintervallum eltolásra (t értékkel) és egy idő-tükrözésre van szükségünk. Az új változó a τ míg a t egy független paraméter. Az így transzformált h(t) formát nem rögzítettük egy vonatkoztatási rendszerhez, mert az integrálás során, mint azt látni fogjuk, amint a τ integálás változó növekvő értékeket vesz fel, az )(x τ és )t(h τ− relatív pozíciója változni fog.

2.4.18. ábra

49

Az előző, 2.4.18. ábra az x(t) és h(t) egy relatív pozíciót mutatja. Ebben a példában a konvolúciós integrál kiszámítását négy lépésben mutatjuk be. Figyeljük meg, hogy a 2.4.18. ábrán a 2.4.17. ábrához viszonyítva, más az értelmezési tartomány változójának jelölése. 1. ha 1t < akkor 0)t(h)(x ≡τ−⋅τ és ez látható a következő 2.4.19. ábrán látjuk. Nincs átfedés a két jel között.

2.4.19. ábra

2. a 2.4.20. ábrán érzékeltetem azt ha 3t1 <≤ akkor (az integrálás csak az átfedő, közös értelmezési tartományon (1,t) nem nulla)

1t|dd11 t1

t

1

−=τ=τ=τ⋅⋅∫ ∫∞

∞−

2.4.20. ábra

3. ha 32t1 ≤−≤ akkor t5|dd11 32t

3

2t

−=τ=τ=τ⋅⋅∫ ∫∞

∞−−

−

. Ezt érzékelteti a 2.4.21.

ábra

2.4.21. ábra

4. ha 32t >− akkor 0)t(h)(x ≡τ−⋅τ és ez látható a 2.4.22. ábrán.

50

2.4.22. ábra

Így a kapott konvolúciós szorzat eredményét felírhatjuk mint intervallumon értelmezett függvényformát:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−⇐>≤−≤⇐∈−

<≤⇐∈−<

=∗

32t5tha032t1]5,3[that5

3t1)3,1[tha1t1tha0

)t(y)t(x

Az eredményt grafikus formában a 2.4.23 ábra mutatja.

2.4.22. ábra

Fontos megjegyezni, hogy t = 3 pontban kapott maximális érték azt jelenti, hogy akkor van az )(x τ és a )t(h τ− függvényeknek maximális átfedése (konvolúció maximuma). Ezt a megfigyelést alkalmazzuk akkor is mikor a konvolúciós szorzatot mint ‘hasonlóságdetektort’ használjuk. Ennek a példának alapján a konvolúciós integrált a következő algoritmus alapján számítjuk ki:

• 1. Ábrázoljuk az )(x τ és )t(h τ− jeleket amikor a τ a független változó, és figyelembe vesszük a )t1(h)t(h +τ⋅−=τ− egyenlőséget amely a transzláció és reflexió elvégzésében segít.

• 2. A )t(h τ− -t ’végigcsúsztatjuk’ ∞− -től ∞ -fele (t-paraméter változtatva) figyelve a súlyfüggvény és a bemenő jel relatív pozícióját.

• 3. Minden esetben felírjuk a konvolúciós szorzatot a képlet alapján, és az integrálási határokat az adott helyzet szerint választjuk.

• 4. A két utóbbi lépést addig ismételjük míg t felvesz minden valós értéket és míg van új relatív pozíciója a bemenő jelnek és a súlyfüggvénynek.

Példa Számítsuk ki az

⎩⎨⎧

∉∈

=]2,0[tha0]2,0[tha1

)t(x és 0t;e)t(h t ≥= −

51

jelek konvolúciós szorzatát.

τ⋅τ−⋅τ=∗= ∫∞

∞−

d)t(h)(x)t(h)t(x)t(y

1. lépés A ⎩⎨⎧ <τ<

=τmáshol;0

20;1)(x és

⎪⎩

⎪⎨⎧ <τ=τ−

τ−−

máshol0te)t(h

)t(

jelek grafikus képét a 2.4.23. ábrán láthatjuk. A súlyfüggvény esetében a t egy paraméter.

2.4.23. ábra

2. lépés Láthatjuk, hogy )(x τ és )t(h τ− egymáshoz való viszonyában 3 esetet különböztetünk meg. Mégpedig:

• ⇒< 0t a konvolúciós szorzat zéró, mert nincs relatív átfedés a két jel

között • ⇒∈ ]2,0[t ekkor részleges átfedés van amint az a 2.4.24. ábrán

látható

2.4.24. ábra

Ekkor a konvolúciós szorzat

tt

0

)t( e1de1)t(y −τ−− −=τ⋅⋅= ∫

• ⇒≥ 2t teljes, de változó területű az átfedés, vagyis a 2.4.25. látható eset

2.4.25. ábra

52

Ekkor kiszámítjuk a konvolúciós szorzatot, mint:

t22

0

)t( e)1e(de1)t(y −τ−− ⋅−=τ⋅⋅= ∫

Az integrálás után kapott megoldás

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥⋅−

<≤−

<

=−

−

2te)1e(

2t0e1

0t0

)t(yt2

t

Ennek grafikus ábrázolása látható a 2.4.26. ábrán.

2.4.26. ábra

2.5. Elemi jelek Az elemi jeleket leíró függvények ismertek az elemi matematikából. Ezért nem térünk ki ezekre. Az elkövetkezőkben csak kiemelünk néhány alapvető tulajdonságot mindenekről. A matematikából ismert konvergencia, monotonitás, folytonosság, deriválhatóság, integrálhatóság fogalmak ismerete elengedhetetlen a továbbiakban. A. Exponenciális jel

• Az x(t): R→ R egy valós exponenciális jel: taeB)t(x ⋅⋅= (2.5.1)

• Az ]n[x : Z→ R egy diszkrét exponenciális jel: nrB]n[x ⋅= (2.5.2)

Egy exponenciális jelet szimulálhatunk a 2.5.1. ábrán látható áramkörrel

2.5.1. ábra

53

Ha a kondenzátoron a kezdeti 0t = pillanatban a feszültség 0U és 0t ≥ esetben a rendszert leíró differenciálegyenlet

)t(udtdC)t(i;0)t(u)t(u

dtdCR ⋅==+⋅⋅

ennek megoldása ( 0t ≥ )

CRt

0 eU)t(u ⋅−

⋅= egy exponenciális jel. B. Szinuszjel Az x(t): R→ R egy valós szinuszjel:

)tcos(A)t(x φ+⋅ω⋅= (2.5.3)

Ahol A-amplitúdó, ω-körfrekvencia, φ -fázisszög, ωπ⋅

=2T -periódus. Egy szinusz-

jelet szimulálhatunk a következő, a 2.5.2. ábrán látható áramkörrel.

2.5.2. ábra

Ha a kondenzátoron a kezdeti 0t = pillanatban a feszültség 0U és 0t ≥ esetben a rendszert leíró differenciálegyenlet

0)t(u)t(udtdCL 2

2=+⋅⋅

ennek megoldása ( 0t ≥ )

CL1);tcos(U)t(u 000⋅

=ω⋅ω⋅=

egy szinuszjel. Legyen ]n[x : Z→ R egy diszkrét szinuszjel:

)ncos[A]n[x φ+⋅Ω⋅= (2.5.3)

A diszkrét szinuszjel lehet periodikus vagy nem. Hogy periodikus legyen N darab diszkrét jelen keresztül, akkor a jelnek eleget kell tegyen az

n]Nn[x]n[xN! ∀+=∃

54

összefüggésnek amikor létezik egyetlen egy legkisebb N természetes szám úgy, hogy igaz legyen az egyenlőség. Így

)Nncos(A]Nn[x φ+⋅Ω+⋅Ω⋅=+ ⇒ ⇒π⋅⋅=⋅Ω k2N

]rad[Nk2 π⋅⋅

=Ω (2.5.3a)

(k,N eleme a természetes számok halmazának) Innen látható, hogy tetszőleges Ω esetében nem biztos, hogy a diszkrét szinuszjel periodikus. Ha periodicitásról beszélünk akkor Ω szükségszerűen π⋅2 racionális többszöröse kell legyen. Meg kell jegyezzük, hogy a szinuszjel egy oszcilláció (időben változó jel) és nem egy hullám amely úgy térben mint időben változó mennyiség. Példa Adott a következő jel:

]n5sin[]n[x ⋅π⋅= Innen π⋅=Ω 5 . Innen következik, hogy

k52

5k2k2N ⋅=

π⋅⋅π⋅

=Ω⋅π⋅

=

Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a jel periodikus az, hogy N természetes szám legyen. Ez csak akkor lehetséges, ha: L,15,10,5k = Ebből következik, hogy

L,6,4,2N = Ezekből a legkisebb a főperiódus. Példa Adott a következő jel:

]5

n31

4cos[10]n[x π+⋅

π⋅⋅=

Innen

]rad[41

4 π⋅=Ω

Felírhatjuk

2k31

314

k2k2N ⋅=

π⋅⋅π⋅

=Ω⋅π⋅

=

A lehetséges k értékek: 2, 4, 6 L, L,93,62,31N =⇒ . Ebből az alapperiódus N = 31. Fontos ismeretek:

• Euler összefüggés

)sin(j)cos(e j θ⋅+θ=θ⋅ (2.5.4)

55

• Csillapított rezgőmozgás

0);tsin(eA)t(x t >αφ+⋅ω⋅⋅= ⋅α− (2.5.5)

Erre a csillapított rezgőmozgásra példa a 2.5.3. ábrán látható áramkör:

2.5.3. ábra

Erre az áramkörre felírható összefüggések (az elektrotechnikából ismert törvényeket is alkalmazva) a következők:

R)t(ui;

dt)t(duCi;d)(u

L1i RC

t

L =⋅=τ⋅τ⋅= ∫∞−

A rendszer differenciálegyenlete:

0R

)t(udt

)t(duCd)(uL1 t

=+⋅+τ⋅τ⋅ ∫∞−

A differenciálegyenlet megoldása

0t);tcos(eU)t(u 0CR2

t

0 ≥⋅ω⋅⋅= ⋅⋅−

ahol 0U a kondenzátor kezdeti töltése, és

220RC4

1CL

1⋅⋅

−⋅

=ω

Látható, hogy a 2.5.5 alapján ez egy csillapított rezgőmozgás. C. Egységugrás jel Folytonos egységugrás (x(t): R→ R) jelet felírhatjuk mint:

1(t)⎩⎨⎧

<≥

=0t00t1

(2.5.6)

2.5.4. ábra

56

Diszkrét egységugrás ( ]n[x : Z→ R) jelet felírhatjuk mint:

1 ]n[⎩⎨⎧

<≥

=0n00n1

(2.5.7)

2.5.5. ábra

A 2.5.4. ábra a folytonos egységugrás, míg a 2.5.5. ábra a diszkrét egységugrás grafikus ábrázolása. Alapvetően fontos, hogy a matematikai analízis szempontjából a folytonos egységugrás egységugrás jelnek nincs értelme az origóban de jelelméleti szempontból egy elsőrendű szakadási ponttal rendelkező folytonos jel. A következőben meglátjuk, hogy ennek a folytonos jelnek (nem függvénynek) a deriváltja az origóban nem más mint a Dirac-jel. Könnyű belátni, hogy egy impulzusjel, amely a 2.5.6. ábrán látható, felírható mint

x(t) = 1(t) - 1(t - 2)

2.5.6. ábra

tehát két egységugrás jel algebrai összegeként miután a második egységugrásra alkalmaztuk az időeltolás műveletét.

D. Lineáris változású jel Folytonos lineáris változású jel (x(t): R→ R) jelet felírhatjuk mint:

r(t)⎩⎨⎧

<≥

=0t00tt

(2.5.8)

2.5.7. ábra

57

Diszkrét lineáris változású jel ( ]n[x : Z→ R) jelet felírhatjuk mint:

r ]n[⎩⎨⎧

<≥

=0n00nn

(2.5.9)

2.5.8. ábra

A 2.5.7. ábra a folytonos lineáris változású jel, míg a 2.5.8. ábra a diszkrét lineáris változású jel grafikus ábrázolása. E. Dirac- jel Dirac jel a folytonos változás esetében (x(t): R→ R) jelet (nem függvény), és felírhatjuk mint:

δ (t)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅δ

≠=δ

=∫∞

∞−

1dt)t(

0t0)t(

(2.5.10)

Ennek értelmezéséhez, és a következő meghatározást vesszük figyelembe

)t(xlim)t(0

Δ→Δ

=δ

ahol az )t(xΔ -t grafikusan ábrázoljuk. Ez a )t(xΔ egy impulzusjel. A 2.5.10 meghatározás akkor igaz, ha a kapcsos jelben szereplő mindkét feltétel egyszerre teljesül. Mindenik )t(xΔ impulzusjel forma területe egységnyi, ez azt jelenti, hogy ha az időtartományban a ha jel szélessége Δ=−− ΔΔ )( 22 akkor a magassága Δ

1 és ez látható a fenti ábrán. Ekkor ha ∞→Δ akkor a kapott jel a Dirac-jel, és ennek egyfajta ábrázolását lásd 2.5.9. ábrán. Hogy a Dirac-jelet még jobban érzékeltethessem,

szükség lett volna a további ‘keskenyebb mint 1Δ ’ és ezáltal ’magasabb mint 1

1Δ

’

téglalapok berajzolására, de ez túlzsúfolttá és áttekinthetetlenné tette volna a 2.5.9. ábrát.

58

2.5.9. ábra

Azonban logikailag könnyen követhető, hogy miként juthatnánk el egy folytonos Dirac-jel vizualizálásához, de a ennek a fogalomnak megértése sokkal fontosabb mint az ábrázolására való törekvés. (’ha a jel végtelen amplitúdójú, akkor végtelen keskeny, hogy a területe egységnyi legyen’ de ezt klasszikus matematikai szemlélettel nem írhatom le) Mindenképpen újra leírom, hogy a Dirac-jel nem egy függvény matematikai analízis szempontjából. Dirac-jel fontos tulajdonságai:

• dtd)t( =δ 1(t) vagyis az egységugrás jel deriváltja egy Dirac-jel

• 1(t) ∫∞−

τ⋅τδ=t

d)( vagyis az előző tulajdonság más megfogalmazása

• )t()t( −δ=δ vagyis páros jel

• ∫∞

∞−

=−δ⋅ )t(x)tt()t(x 00 ez is lehet a Dirac-jel meghatározása (fontos a

mintavételezés megértéséhez!) (2.5.11) • 0a)t()ta( a

1 >δ⋅=⋅δ Diszkrét Dirac ( ]n[x : Z→ R) jelet felírhatjuk mint:

δ ]n[⎩⎨⎧ =

=máshol0

0n1 (2.5.12)

Ennek grafikus képe a 2.5.9. ábrán láthatjuk és megjegyezzük, hogy itt a jel az 0n = pillanatban vett értéke egységnyi, s nem végtelen mint a folytonos Dirac-jel esetében.

59

2.5.9. ábra

A Dirac-jel elméleti jelentősége nagyon nagy a rendszerelméletben mert az a fontos matematikai fogalom amely lehetővé teszi, hogy pontos matematikai megfogalmazást adhatunk sok rendszerelméleti fogalomnak (súlyfüggvény, mintavételezés, stb.)

60

3. Rendszermodellek Egy rendszert, hogy szabályozni tudjuk, szükségünk van a rendszer működésének leírására. Minderről szóltam már a bevezető fejezetben. Ez a leírás tartalmaznia kell a rendszer felépítéséből adódó jellegzetességeiket, az időben változó jellemzőket és a zavaró tényezők hatását a szabályzó kör minden elemére. A modellezés a különböző rendszerek hasonló vonásain alapszik. A rendszer és a hasonlóság fogalmát itt nagyon tág értelemben használjuk. Ha két rendszer között bármilyen de legalább egy vonatkoztatásban megállapítható a hasonlóság, akkor köztük fennáll az eredeti és a modell viszonya. Modellnek tekinthetjük a bonyolult valóságos rendszer egyszerűsített, áttekinthető megvalósított mását vagyis a fizikai modellt, és az elképzelt, matematikailag leírható, idealizált, elvi másolatát, a matematikai modellt is. A matematikai modell a rendszer teljes vagy részletes viselkedésének matematikai leírása, a rendszer bemenő-kimenő jellemzőinek matematikai összefüggéssel (összefüggésrendszerrel) leírt ábrázolása. Minden matematikai modell egyszerűsítéseket tartalmaz, sokkal több paraméter befolyásolja a működést mint amennyit számításba tudunk venni. Jelentőségük abban áll, hogy valóságos viszonyok között meg sem valósítható, vagy csak nagy költségek árán felépíthető rendszerek vizsgálatát teszi lehetővé.

3.1. ábra

A statikus és dinamikus rendszermodellek közül a rendszerelmélet az időfüggő dinamikus rendszereket részesíti előnyben. Mivel minden modell megközelítő a valódi rendszerhez képest, ezért nagyon fontos az a cél amiért egy modell elkészül.

61

Mivel szabályozástechnika a ki-bemenő rendszerviszonyokat tárgyalja, ezért fontos a modellben szereplő változók meghatározása. Az adott rendszerre jellemző sok, közvetett vagy közvetlen módon mérhető vagy becsülhető jellemzők közül azokat választjuk ki amelyek a rendszer adott célú leírása és működése szempontjából fontosak. A modellek nem lehetnek pontosabbak, mint a bennük felhasznált leíró elvek és azok paramétereinek pontossága. Minden modell megközelítő, ezért minden modellalkotásnál szükséges a fejlesztés és kísérleti igazolás (például szimuláció útján). Az alkalmazást megelőző modellfejlesztés lépéseit mutatja be a 3.1. ábra. A matematikai modell általában lehet egy differenciálegyenlet mint dinamikus állapotegyenletek leírója, algebrai egyenlet mint statikus modellek, logikai egyenlet vagy akár heurisztikus alapon felállított reláció. Minden dinamikus modell esetében az idő a független változó. A modellek leírását olyan ellentétes párokba tudjuk sorolni mint lineáris-nemlineáris, állandósult állapotú-dinamikus, osztott paraméterű-koncentrált paraméterű, folytonos-diszkrét vagy determinisztikus-sztochasztikus. Mindezen rendszerjellemzők meghatározását az elkövetkező fejezetekben adjuk meg.

3.1. Példák modellekre A. Víztartály A 3.1.1. ábrán látható tartály szintváltozását a következő differenciálegyenlet írja le:

)t(q)t(qdt

)t(dhA 21 −=⋅

ahol A tartály alapterülete, h a tartályban levő folyadék szintje, a 1q a tartályba beáramló folyadék hozama míg 2q a kiáramló hozam. A kiáramló folyadék hozama a gravitációs hatás miatt a következő egyenlettel határozható meg:

)t(hk)t(hg2c)t(q2 ⋅=⋅⋅⋅=

ahol c valamint k konstans együtthatók és a fizikai rendszert (modell) jellemző mennyiségei.

3.1.1. ábra

Így a rendszermodellnek a

)t(q)t(hkdt

)t(dhA 1=⋅+⋅

nemlineáris differenciálegyenletet kapjuk.

62

Ha egy beáramló 10q hozam értékénél elérjük azt, hogy a 20q kifolyásra a folyadékszint többet ne változzon, akkor a rendszerben egyensúlyi állapot jön létre. A hozam és a szint között ekkor a következő összefüggés igaz:

210

0 kq

h ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

Végezzük el a következő változócserét (lineárizálás):

)t(hh)t(h)t(qq)t(q

0

1101

Δ+=Δ+=

.

Ekkor kapjuk:

)t(qq)t(hhkdt

)t(hdA 1100 Δ+=Δ+⋅+Δ

⋅

Ha ezt a modellt kis folyadékszint változásra írjuk fel, vagyis arra az esetre mikor )t(hΔ kicsi értékeket vesz fel akkor érvényesek a következő összefüggések:

010

021

00

00 h2)t(hkq)

h)t(h1(hk

h)t(h1hk)t(hh

⋅Δ

⋅+=Δ

+⋅⋅≈Δ

+⋅⋅=Δ+

Ezt behelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy:

)t(q)t(hh2

kdt

)t(hdA 10

Δ=Δ⋅⋅

+Δ

⋅ (3.1.1)

és ez egy lineáris differenciálegyenlet. A munkapontok beállítását egy járulékos kézi beállítású szeleppel érhetjük el. B. RLC áramkör Vegyünk egy másik példát modell készítésére. Ez egy két energiatárolós áramkör, amelynek felépítését a 3.1.2. ábra adja. A rendszert mint irányított rendszert tekintjük, amikor a bemenet az u(t) feszültség, míg a kimenet az R ellenálláson mérhető

Ru feszültség. A két energiatároló a kondenzátor és a tekercs a hálózatból.

3.1.2. ábra

63

Az ismert, hurkokra és csomópontokra vonatkozó törvények alapján felírhatjuk a következő egyenleteket:

)t(iR3dt

)t(diL)t(u R ⋅⋅+⋅= (3.3.2)

majd

)t(u)t(iR3dt

)t(diLudt

)t(duCR2 G=⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅ (3.3.3)

és a csomópontra meg

0))t(iR3dt

)t(diL(R1)t(i

dt)t(duC =⋅⋅+⋅⋅++⋅− (3.3.4)

ahol dt

)t(duC ⋅ a kondenzátoron átfolyó áram és )t(iR3dt

)t(diL ⋅⋅+⋅ pedig a kimenő

ellenálláson levő feszültség (ugyanaz mint a tekercs meg a vele sorba kötött ellenálláson eső feszültség. A második egyenletből kapjuk:

0)t(iC4

dt)t(di

CRL

dt)t(du

=⋅+⋅⋅

= (3.3.5)

A (3.3.3) egyenletet deriváljuk és behelyettesítjük a (3.3.5) egyenletet és ennek deriváltját, akkor a következő formát kapjuk:

dt)t(du

dt)t(diR3

dt)t(diL

))t(iC4

dt)t(di

CRL()

dt)t(di

C4

dt)t(id

CRL(CR2

G

2

2

=⋅⋅+⋅+

+⋅+⋅⋅

+⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅

Ha ezt az egyenletet rendezzük akkor kapjuk, hogy:

dtdu

iC4

dtdi)

CRLR11(

dtdiL3 G

2

2=⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅ (3.3.6)

Az (3.3.2) egyenletet megszorozzuk 3-al majd deriváljuk és kivonjuk az (3.3.6) egyenletből s következik:

dtdu3

dtdu

iC4

dtdi)

CRLR2( RG ⋅−=⋅+⋅⋅

+⋅ (3.3.7)

Most ebből kiküszöböljük az i(t) első deriváltját az 1. egyenlet segítségével. Ekkor következik:

R

2RG

2u

CRLLCR2

dtdu3

dtdu

)t(iCL

CR6L⋅

⋅⋅+⋅⋅

−⋅−=⋅⋅

⋅⋅−

és akkor

dtdu

CR3dt

udCLu4

dtdu)

RLR2(

dtudCL3 G

2G

2

GR

2R

2⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅ (3.3.8)

64

A differenciálegyenletet meghatározása hosszadalmas munka ha több energiatárolós a rendszer. C. Mechanikai mozgás Súrlódásmentes egyenes vonalú mechanikai mozgás (a 3.1.3 ábra egy ilyen rendszert mutat) mozgásegyenlete (modellje) felírása a cél. :

3.1.3. ábra

A rendszer bemenő jele az m tömegű testre ható erők eredője, és ezt u(t)-vel jelöljük. A modell egy egyenes vonalú, súrlódásmentes mozgást szemléltet, ezért eltekinthetünk a vektoriális felírásmódtól. A dinamika második törvényét alkalmazva kapjuk:

)t(udt

)t(ydm 2

2=⋅ (3.3.9)

Mivel az m anyagi pont sebességét, meghatározás szerint felírhatjuk mint:

)t(vdm

)(udt

)t(dy)t(v 0

t

t0

+τ⋅τ

== ∫ (3.3.10)

itt pedig a 0t a kezdeti pillanat, míg )t(v 0 a kezdősebesség és itt úgy szerepel mint integrálási konstans, a kezdeti feltételekből meghatározott értéke. Ezek alapján felírhatjuk, hogy:

)t(yd)(v)t(y 0

t

t0

+τ⋅τ= ∫

Innen láthatjuk, hogy y(t) függ az )t(y 0 , az ábrán látható vonatkoztatási rendszerhez viszonyított kezdeti pozíciótól s ugyanakkor, ismerve a sebességváltozót, függ a sebesség kezdeti értékétől ( )t(v 0 ) is. Tehát, ha ismerjük a rendszer kezdeti pozícióját és a kezdősebességét, akkor könnyen megkapjuk ennek a rendszernek a mozgásegyenletének (a differenciálegyenlettel leírt modellnek) egy megoldását ha ismerjük a bemenő u(t) 0tt ≥ változását. A rendszer mozgása ismert 0t pillanattól kezdve és a két kezdeti értékbe belefoglaltuk mindazt ami a rendszerrel történt a 0t momentum előtt. Ha most ezek ismeretében meghatározunk egy vektort,

65

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)t(v)t(y

)t(x

akkor ezt elnevezhetjük a rendszer állapotvektorának és a vektor komponensei pedig a rendszer állapotváltozói. Ezekre a fogalmakra többször visszatérünk még az elkövetkezőkben. D. Kerékfelfüggesztés Írjuk fel egy autó kerekének felfüggesztése matematikai modelljét. Ez egy egyszerűsített modell de sok esetben elégséges, hogy a rendszer dinamikáját megismerhessük. A mechanikai rendszert a leegyszerűsített formában (többek között nem vettük figyelembe, hogy a rendszer három dimenziós rendszer) a 3.1.4. ábrán láthatjuk. Itt az m az autó tömegét jelenti.

3.1.4. ábra

Ha az autó kereke egy kis gödörbe hajt, vagy kődarabra szalad, akkor megjelenik a függőleges u(t) erő amely hatására az autó rezgőmozgást végezhet. A felfüggesztési rendszer tartalmaz egy rugót amelynek rugalmassági együtthatója k és egy sokk-elnyelő mechanizmust (súrlódási erő formájában). A súrlódási együtthatót f-el jelöljük. Rugó által létrehozott erő arányos a rugó megnyúlásával, vagy összenyomásával és ezt jelöljük )t(yk ⋅ -vel, míg az csillapító (sokkelnyelő) súrlódási erő arányos az elmozduló tömeg pillanatnyi sebességével és ezt jelöljük mint )t(yf &⋅ -vel. Akkor ennek a felfüggesztés dinamikájának megfelelő differenciálegyenletet felírhatunk mint:

)t(u)t(ykdt

)t(dyfdt

)t(ydm 12

2=⋅+⋅+⋅

Ezt a differenciálegyenletet még felírhatjuk, mint

)t(u)t(ymk

dt)t(dy

mf

dt)t(yd

2

2=⋅+⋅+

Bevezetjük a következő jelöléseket:

66

• mk

n =ω amelyet a rendszer saját körfrekvenciájának

• f

mkQ ⋅= amelyet a rendszer jósági tényezőjének

nevezzük. Ekkor a másodrendű rendszert (a differenciálegyenlet másodrendű) a következő egyenlettel modellezhetünk:

)t(u)t(ydt

)t(dyfdt

)t(yd 2n

n2

2=⋅ω+⋅

ω+ (3.1.11)

Ez az autó kerekének felfüggesztésén kívül, több hasonló dinamikájú rendszert is modellez, és minden esetben beszélünk saját körfrekvenciáról és minőségi faktorról, még akkor is ha a rendszer nem tartalmaz az autóéhoz hasonló rugózatot vagy amortizáló mechanizmust. Így rendszerelméleti szempontból teljesen azonosan tanulmányozható teljesen eltérő fizikai megvalósítású rendszer, de amelyek matematikai modellje identikus. E. Egyenáramú motor Ez a példa egy nagyon gyakran használt egyenáramú (DC) motor modelljét adja. Legyen a következő ábra egy egyszerűsített bemutatása ennek a DC motornak. Ilyen elektromotorok teljesítménye változhat a watt törtrészétől több százezer wattig. A 3.1.5. ábrán láthatjuk, hogy két áramkört tartalmaz ez a DC motor. Egy egyenáramú áramkört, amely a konstans mágneses teret hivatott előállítani. Ennek a modellje az

ff L,R ideális passzív ellenállásból és tekercsből és egy egyenáramot szolgáltató áramforrásból áll.

3.1.5. ábra

A 3.1.5. ábrán egy külső gerjesztésű egyenáramú motorral felépített elektromechanikai rendszer – úgynevezett villamos hajtás modelljét adja. Az ábrán két galvanikusan független áramkör látható. Az egyiket, a gerjesztő kört az fR ellenállású és fL induktivitású tekercs modellezi. Ezt fu feszültségforrásról táplálva, az fi állandósult gerjesztő áram a motor légrésében mágneses teret hoz létre. Állandó mágneses teret létrehozhatunk állandó mágnesekkel is, a mágneses pólusok mindkét esetben az állórészen, sztatoron helyezkednek el.

67

A motor fordulatszámát az )t(u , armatúrafeszültség segítségével vezéreljük, amely a mechanikai egyenirányító szerepét játszó kommutátoron keresztül, a forgórész (rotor) tekercselését táplálja. Ez a második áramkör az armatúrakör, áramköri modelljét az

aR és aL armaturaellenállás és induktivitás és az bu forgási elektromotoros feszültséget képviselő feszültségforrás soros kapcsolásával kapjuk. A gerjesztő mágneses tér és az ai armatúraáram kölcsönhatása eT elektromágneses forgatónyomatékot generál. A forgó mechanikai rendszerre ható forgató nyomatékok összege és a rendszer tehetetlenségét képviselő J tehetetlenségi nyomaték ismeretében felírható a forgó rendszer mozgásegyenlete. Megjegyzendő, hogy úgy a hajtás lineáris mozgást végző tömegei, mint a különböző áttételeken keresztül forgó mozgást végző tehetetlenségi nyomatékok visszavezethetők (redukálhatók) a motor tengelyére közvetlenül kapcsolt tehetetlenségi nyomatékra. A meghajtott munkagép terhelési nyomatékai lehetnek aktív, előjeltartó (pl. súly) illetve reaktív, a mozgást mindig fékező (pl. súrlódás) nyomatékok. Példánkban tekintsünk egy olyan reaktív terhelést, amelynek súrlódási nyomatéka lineárisan függ a forgómozgás szögsebességétől (viszkózus súrlódás). Így a terhelési nyomaték:

θ⋅=ω⋅= &ffTt A mozgásegyenlet erre:

θ⋅+θ⋅=⇒θ⋅=ω⋅=− &&&&&& JfTJJTT ete

Ismert tény, hogy az elektromágneses nyomaték és az armatúra áram közötti

)t(iK)t(T aTe ⋅= ,

valamint az indukált forgási elektromotoros feszültség és a szögsebesség közötti )t(K)t(u bb ω⋅= összefüggésben bT KK = . Tehát a mozgásegyenlet most

)t(iK)t(f)t(J aT ⋅=θ⋅+θ⋅ &&&

Az armatúra feszültségegyenlet pedig:

)t(kdt

)t(diL)t(iR)t(u

dt)t(di

L)t(iR)t(u ba

aaaba

aaa θ⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅= &

Ha most az előző két differenciálegyenletből kiejtjük az )t(ia függvényt, akkor a következő differenciálegyenletet kapjuk:

)t(uk)t()kkfR()t()fLJR()t(LJ TTbaaaa ⋅=θ⋅⋅+⋅+θ⋅⋅+⋅+θ⋅⋅ &&&&&& (3.1.12) Ez egy harmadrendű differenciálegyenlet. Az itt bemutatott modellek mindegyike betekintést enged az adott rendszer működésébe. Ez az időben, mint független változó (t), történő működés (dinamika) nem jellemzi a teljes rendszert, mert hogy ezeket a modelleket megkapjuk, több, a leírást egyszerűsítő elemet vettünk figyelembe.

68

F. Összekapcsolt rugós rendszer Tekintsünk két, 1m és 2m tömegű testet, amelyeket a 3.1.6 ábrán látható módon három rugó fog közre. A két szélső rugó falhoz rögzített. A három rugó rugóállandója rendre 1k , 2k és 3k .

3.1.6 ábra

A testek nyugalmi pozíciójukhoz képesti elmozdulását jelölje 1x és 2x , ahol a pozitív irányt jobbra választjuk. Tegyük fel, hogy az eredeti hosszukhoz képest 1L ,

2L illetve 3L egységgel vannak megnyújtva (összenyomva) a rugók a nyugalmi helyzetben. Ekkor a rugóerők egyenlősége miatt 332211 LkLkLk ⋅=⋅=⋅ teljesül. Ha a nyugalmi helyzetükből kimozdítjuk a rugókat, és esetleg valamilyen kezdő sebességet is adunk a testeknek, akkor a testek mozogni kezdenek az egyes testekre ható rugóerők hatására. Ha az első test 1x egységgel mozdult el a nyugalmi helyzethez képest, akkor a rugó teljes megnyúlása 1x + 1L . Ekkor ha 1x + 1L > 0, akkor az első rugó balra visszahúzza az első testet, így a testre az első rugó által ható erő - ⋅1k ( 1x + 1L ). Ha viszont 1x + 1L < 0, akkor az első rugó jobbra, azaz pozitív irányba tolja a testet, így ebben az esetben is - ⋅1k ( 1x + 1L ) adja a rugóerő irányát és nagyságát. A második rugó az eddigi állapotához képest 2x - 1x egységgel, azaz az eredeti hosszához képest 2x - 1x + 2L egységgel lesz megnyújtva vagy összenyomva. Mint az előbb, most is ellenőrizhető, hogy mindkét esetben a második rugó

⋅2k ( 2x - 1x + 2L ) erővel hat az első testre. Tegyük fel, hogy az első test és az alap közötti súrlódási együttható 1c . Ekkor a mozgás közben - 1c 1x& súrlódási erő hat a testre. Ezért Newton I. törvénye szerint teljesül az

11212211111 xc)Lxx(k)Lx(kxm &&& ⋅−+−⋅++⋅−=⋅ egyenlet. Ezt az 2211 LkLk ⋅=⋅ összefüggést felhasználva egyszerűsíthetjük:

111221111 xc)xx(kxkxm &&& ⋅−−⋅+⋅−=⋅ (3.1.13) Ugyanígy indokolható, hogy a második testre teljesül az

22212232322 xc)Lxx(k)Lx(kxm &&& ⋅−+−⋅−+−⋅−=⋅ egyenlet, ahol 2c a második test és az alap közötti súrlódási együttható, és így egyszerűsítés után

221222322 xc)xx(kxkxm &&& ⋅−−⋅−⋅−=⋅ (3.1.14)

69

adódik. Fejezzük 1x -et a (3.1.14) egyenletből:

2

23222221 k

x)kk(xcxmx

⋅++⋅+⋅=

&&& (3.1.15)

és ezt visszahelyettesítjük a (3.1.13) egyenletbe:

2223222222

1

23222222

2123222

)4(22

2

1

xk)x)kk(xcxm(kc

)x)kk(xcxm(k

kk)x)kk(xcxm(km

⋅+⋅++⋅+⋅⋅−

−⋅++⋅+⋅⋅+

−=⋅++⋅+⋅⋅

&&&&&&

&&&&&&&&

Ez egy

0xaxaxaxaxa 0212223)4(

24 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ &&&&&&

alakú negyedrendű homogén lineáris egyenlet 2x -ben, ahol

214 mma ⋅=

12213 cmcma ⋅+⋅=

212123212 cc)kk(m)kk(ma ⋅++⋅++⋅=

212123211 cc)kk(c)kk(ca ⋅++⋅++⋅=

3231210 kkkkkka ⋅+⋅+⋅= Tegyük fel most, hogy a súrlódási erő mindkét testnél elhanyagolható, azaz 1c = 2c = 0 Feltesszük továbbá, hogy 1k = 3k = 2, 2k = 1, az első testet jobbra egy egységgel, a másodikat pedig balra egy egységgel elmozdítjuk, majd elengedjük a testeket (azaz kezdősebességet nem adunk nekik). Ekkor az

0x8x6x 22)4(

2 =⋅+⋅+ &&

egyenletet kapjuk. Ennek karakterisztikus egyenlete:

086 24 =+λ⋅+λ

amiből 22 −=λ 42 −=λ azaz j2,j2 ⋅±⋅±=λ . Ismerve a karakterisztikus egyenlet gyökeit, felírjuk, hogy

)t2sin(l)t2cos(l)t2sin(lt2cos(lx 43212 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= Ebből

)t2sin(l2)t2cos(l2)t2cos(l2)t2sin(l2x 43212 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=&

)t2sin(l)t2cos(l)t2sin(l2)t2cos(l2x 43212 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=&&

Ezért a (3.1.15) képlet szerint

)t2sin(l)t2cos(l)t2sin(l)t2cos(lx3xx 4321221 ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅+= &&

70

Kiszámítjuk:

)t2cos(l2)t2sin(l2)t2cos(l2)t2sin(l2x 43211 ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=& Az

0)0(x,1)0(x,0)0(x,1)0(x 2211 =−=== &&

kezdeti feltételeket felhasználva kiszámítjuk az integrálási együtthatók értékét, és azt kapjuk, hogy:

0l2l2

1ll0l2l2

1ll

42

31

42

31

=⋅+⋅

−=+=⋅−⋅

=−

amiből kiszámíthatjuk, hogy 0l,1l,0l,0l 4321 =−=== , azaz a két megoldás:

1x = cos(2t) és 2x = -cos(2t)

Harmonikus rezgőmozgást végez mindkét test. A megoldások szimmetriája nyilvánvaló, hiszen a feltételek szerint a rendszer paraméterei is szimmetrikusak voltak. Egy másik lehetőség a (3.1.13)-(3.1.14) rendszer átalakítására az, ha bevezetjük az

24231211 xy,xy,xy,xy && ====

új, úgynevezett állapotváltozókat. Ekkor a (3.1.13)-(3.1.14) rendszer ekvivalens alakja:

42

213

2

23

2

34

43

21

113

1

21

1

12

21

ymc)yy(

mky

mk

y

yy

ymc

)yy(mk

ymk

y

yy

⋅−−⋅+⋅−=

=

⋅−−⋅+⋅−=

=

&

&

&

&

Az τ= )y,y,y,y(y 4321 vektor változó tehát teljesíti az yAy ⋅=& elsőrendű homogén lineáris négydimenziós egyenletrendszert, ahol az A rendszermátrix

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−

−+

−=

2

2

2

32

2

2

1

2

1

1

1

21

mc

mkk

0mk

1000

0mk

mc

mkk

0010

A

Ilyen lineáris rendszerek megoldásával a következő fejezetekben foglalkozunk.

71

4. Rendszerelméleti alapfogalmak Az alapvető figyelem a rendszerek tanulmányozásában a bemenetek (források) és kimenetek (válaszok) közötti kapcsolatra irányul. Fizikai rendszerek mint az elektromos, hidraulikus, mechanikai, pneumatikus, termikus vagy ezek kombinációja normális esetben mindig integro-differenciál egyenletekkel, valós változójú, valós függvényekkel modellezhetők. A leggyakrabban a valós, független változó az idő. Ugyanakkor beszélhetünk gazdasági, biológiai, társadalmi rendszerekről is de ezek modellezése nem minden esetben oldható meg tisztán matematikai eljárásokkal. Jelölje ezután

u1(t), u2(t), ...,um(t)

egy folytonos rendszer bemeneteit és y1(t), y2(t), ... , yp(t)

a rendszer kimeneteit. Ezek a bemenetek és a kimenetek valós változójú valós függvények. Itt m a bemenetek száma és p a kimenetek számát jelenti. Ezeket a mennyiségeket vektorjelöléssel felírhatjuk mint:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)t(u

)t(u)t(u

)t(u

m

2

1

M;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)t(y

)t(y)t(y

)t(y

m

2

1

M (4.0.1)

Ebben a jelölési formában az aláhúzott változót vektorként értelmezzük és használjuk az elkövetkezőkben. Fekete dobozként a rendszert ábrázolhatjuk a 4.1. ábrán látható módon.

4.1. ábra

4.1. Fogalmak rendszerekről Jelöljük az elkövetkezőkben

• SISO-val az egy bemenet egy kimenetű rendszereket (single input single output = SISO)

• MIMO-val a több bemenet több kimenetű rendszereket (multiple input, multiple output = MIMO).

Tételezzük fel, hogy ez a rendszer nem rendelkezik olyan bemenettel amely ne lenne direkt kapcsolatban a rendszerrel és nyugalmi állapotban van a bemenő jelek alkalmazása pillanatában (nem rendelkezik kezdeti belső energiával). Ekkor felírhatjuk

72

)t(uL)t(y ∗= (4.1.1)

Itt az L egy operátor amely a rendszer egy leírását (modelljét) jelenti, a rendszert jellemzi és ténylegesen egy a kimenetek és bemenetek között lehetséges matematikai összefüggéseket jelenti. A * művelet jelenti a rendszer és a bemenő jel kölcsönhatását (vagyis az L hatását a bemenő jelekre). A rendszer determinisztikus, ha minden adott

)t(u bemenő jelre ugyanazt az )t(y kimenő jelet kapjuk. Nem determinisztikus vagy más szóval, sztochasztikus a rendszer ha egy adott bemenő jelre egy adott kimenet egy adott valószínűséggel jelenik meg míg egy másik kimenet megjelenése más valószínűséggel rendelkezhet. Ha egy determinisztikus rendszer bemenetén valószínűségi jelet alkalmazunk akkor a rendszer kimente nem lesz determinisztikus. A rendszer nem anticipativ ha a pillanatnyi kimeneti érték nem függ egy ezután következő bemenő értéktől. Ez alapján felírhatjuk, hogy )t(y 0 értékét 0tt);t(u ≤ bemenő jel és a rendszer tulajdonságai határozzák meg. Ha 0)t(u ≡ minden 0tt ≤ esetben akkor 0)t(y ≡ ha 0tt ≤ . Egy anticipativ rendszer megsérti az ok-kozati elvet. A rendszer megvalósítható ha nem anticipativ és ha y(t) egy valós függvénye u(t)-nek. Ez nem azt jelenti, hogy meg is lehet valósítani. A megvalósíthatóság általában elvi meggondolás. A rendszer lineáris ha adottak az )t(u1 és )t(u 2 bemenő jelek az L rendszermodell, a bemenő jelekre, a rendszer által adott )t(y

1 és )t(y

2 válaszok. Ha létezik C1 és C2

két valós mennyiség úgy, hogy igaz a következő összefüggés:

)t(u*LC)t(u*LC))t(uC)t(uC(*L 22112211 ⋅+⋅=⋅+⋅ (4.1.2)

akkor lineáris rendszerről beszélünk. Matematikai értelemben a fenti meghatározás magába foglalja a lineáritás két alapvető tulajdonságát:

• homogenitást • szuperpoziciót

A két fogalom matematikai értelmezése a lineáris algebra tárgykörbe tartozik. A rendszer lineáritása az egész rendszer jellemzője, tehát minden bemenetre és kimenetre igaz. A rendszer időben invariáns ha a kimenetek és bemenetek közötti összefüggés nem időben változó operátor. Ezt felírhatjuk mint

)t(y)t(u*L λ−=λ− (4.1.3)

ahol λ egy tetszőleges valós érték. Ez azt jelenti, hogy a kimenő jel nagysága és formája nem függ attól a pillanattól amikor a bemenő jelet alkalmazzuk. A jel folytonos jel ha L időben )(t folytonos függvénnyel írható le és megszámlál-ható, elsőrendű szakadási pontot tartalmazhat. Ezek szerint a folytonos jel fogalma tágabban értelmezett mint a folytonos függvény fogalma.

73

4.1.1. ábra

A 4.1.1. ábrán látható egy jel amely tartalmaz egy elsőrendű szakadási pontot. Az y(t) egy időben változó mennyiség, és az idő a független változó. A jel diszkrét hogy ha az idő mint független változó, csak a valós diszkrét sorozatán vesz fel értékeket. A jel értéke lehet zéró bárhol de a független változó sorozatán vehet fel zérótól eltérő értékeket. Alapvető az amiképpen a független változó diszkrét sorozatát meghatározzuk. Fontos eset az amikor a diszkrét időpillanatokat

Tktt 0 ⋅+= ahol k egy egész szám, módon adjuk meg. Itt T jelenti diszkrét sorozat egymás utáni tagjai közötti időintervallumot (a jel periódusa). Ebben a meghatározásban k a jel független változója. A jel kvantált ha a jel csak egy véges számú (vagy megszámlálható számosságú) értéket vehet fel. A kvantált jel lehet akár folytonos akár diszkrét jel is. Külön osztályt képeznek a digitális jelek. Ezek diszkrét kvantált jelek és az információt egy előre meghatározott kódrendszer hordozza és nem a jelsor amplitúdója vagy/és frekvenciája. Ezekről a jelfajtákról láthatunk egy összefoglalót a 4.1.2 ábrán.

4.1.2. ábra

A 4.1.2. ábrán a következő jelöléseket használjuk: 1f időben folytonos jel, 2f folytonos kvantált jel, 3f diszkrét jel, 4f diszkrét kvantált jel, 5f a kvantálás szintjei,

6f digitális jel.

4.2. LTI rendszerek

74

Az LTI (Linear, Time-Invariant) rendszerek alapvetően fontos rendszerek. Adott egy )t(u*L)t(y = rendszer. Ha erre a rendszerre érvényes a fentebb megadott két

meghatározás amelyek a lineáritás és időbeni invariánciát illetik, akkor az adott rendszert LTI rendszernek nevezzük. Figyeljük meg a két tulajdonságot a következő példák esetében. Példa Legyen )t(u)t(y e t ⋅= − az adott rendszer modellje [ )t(u*L)t(y = forma] és vizsgáljuk meg a linerítását. Ha )t(u)t(y)t(u 111 e t ⋅=⇒ − [ vagyis )t(uL)t(y 11 ∗= ] és

)t(u)t(y)t(u 2te22 ⋅=⇒ − [ vagyis )t(uL)t(y 22 ∗= ]

Akkor képezzük )t(uC)t(uC)t(u 21113 ⋅+⋅= a bemenő jelek lineáris

kombinációját. Legyen ugyanakkor )t(uL)t(y 33 ∗= ahonnan ))t(uC)t(uC(*L)t(y 223 11 ⋅+⋅= .

Ha igazoljuk, hogy =)t(y

3))t(uC)t(uC(*L)t(y*C)t(y*C 221121 21 ⋅+⋅≡+ akkor a

rendszer lineáris.

)t(yC)t(yC)t(uC)t(uC))t(uC)t(uC(

))t(uC)t(uC(*L)t(u)t(u*L)t(y

2211

2t

21t

12211t

2211t

eeee 333

⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

=⋅+⋅=⋅==−−−

−

Tehát a rendszer lineáris.

Vizsgáljuk meg most a rendszer idő szerinti invariánciáját. Egy előző részben bemutatott meghatározás alapján legyen

)t(u)t(u)t(y)t(u)t(u 122 ee tt11 λ−⋅=⋅=⇒λ−= −−

Kérdés az, hogy )t(y)t(y 12 λ−≡ ? De )t(y)t(u)t(y 211 e )t( ≠λ−⋅=λ− λ−− .

Tehát a rendszer nem invariáns időben ⊗ Példa Vegyünk most )1t(u)t(u4)t(u*L)t(y −⋅⋅== egy másik rendszermodellt. Azt, hogy a rendszer nem lineáris azt könnyen beláthatjuk, mert a kimenet a benő jel másodfokú formájának függvénye. Ugyanerre az eredményre jutunk ha az előző feladatnál alkalmazott módszert alkalmazzuk. Vizsgáljuk meg most az időbeni invariánciáját. Legyen )1t(u)t(u4)t(y)t(u 1111 −⋅⋅=⇒ Felírhatjuk

75

)t(u)1t(u)t(u4

)1t(u)t(u4)t(y)t(u)t(u

111

22212

λ−≡−λ−⋅λ−⋅=−⋅⋅=⇒λ−=

Tehát ez a rendszer időben invariáns. ⊗ Példa Legyen )t(uL)t(y ∗= egy LTI rendszer. Mikor igaz az, hogy a rendszer )}t(uRe{ bemenő jelre adott válasza )}t(yRe{ (itt Re{} egy komplex változó valós részét jelenti)?

Tudjuk, hogy 2

*)t(u)t(u)}t(uRe{ += ahol )t(u∗ a bemenő jel komplex konjugáltja.

Ekkor

))t(u(L21)t(y

21))t(u(L

21)t(uL

21

2

)t(u)t(uL *

11*11

*11 ∗⋅+⋅=∗⋅+∗⋅=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +∗ és a

kérdésre adott válasz igen, ha *))t(u(L))t(u(L11

* ∗≡∗ ⊗

Példa

Vizsgáljuk meg az )t(uL)}t(u{dtd)t(y ∗== rendszert.

Lineáritás: Ha )t(uC)t(uC)t(u);t(y)t(u);t(y)t(u 2212 13211 ⋅+⋅=⇒⇒

)t(yC)t(yC

)}t(u{dtdC)}t(u{

dtdC))}t(uC)t(uC{(

dtd)}t(u{

dtd)t(y)t(u

2211

22112211333

⋅+⋅=

=⋅+⋅=⋅+⋅==⇒

Tehát a rendszer lineáris. Időbeni invariancia:

Ha )t(u)t(u 12 λ−= akkor )t(y)t(udtd)t(u

dtd)t(y 1122 λ−=λ−==

Tehát a rendszer időben invariáns. ⊗ Példa

Legyen )t(u)t(y3

= a rendszer és vizsgáljuk meg az invariánciáját. Lineáris

tulajdonsága magától értetődik. Legyen:

)t(y)t(u)t(u)t(y)t(u)t(u;)t(y)t(u 11121211 33λ−=

λ−λ−=⇒λ−=⇒ ≠

Tehát nem időben invariáns rendszer. ⊗ Megjegyzés: A bizonyítási eljárás azonos diszkrét rendszerek esetében is.

76

4.3. Rendszerek tulajdonságai Egy rendszert úgy is tekinthetjük mint összekapcsolt operátorokat (elemeket), amely szerepe a bemenő jel átalakítása kimenő jellé. Ha most H-val jelöljük az összekapcsolással keletkező eredő operátort, akkor bármely rendszer felírható mint:

• )}t(u{H)t(y = folytonos rendszer esetében • ]}n[u{H]n[y = diszkrét rendszer esetében 1. Memória: Egy rendszer memóriával rendelkezik, ha a kimenő jel függ a

bemenő jel előző vagy elkövetkező értékétől. Az előző vagy elkövetkező értékek a független idő-változó vonatkozásában értendők. (egy ellenállás memórianélküli, míg egy L induktivitású tekercs vagy egy C kapacitású kondenzátor memóriával rendelkező rendszer)

2. Kauzalitás: Egy rendszer kauzális ha a kimenő jel csak a bemenő jeltől és

esetleg a bemenő jel előző értékeitől függ és nem egy elkövetkező bemenő jeltől. Példa

• ])1n[u]n[u(]n[y 31 −+⋅= kauzális

• ])n[u]1n[u(]n[y 31 ++⋅= pedig egy nem kauzális rendszer

3. Megfordíthatóság: Egy rendszer megfordítható, hogy ha a rendszer bemenete visszaállítható ha rendelkezésünkre áll a rendszer kimenete. Legyen H operátor amely egy folytonos idejű rendszert jellemez, bemenete u(t), kimenete y(t). A rendszer megfordítható, ha létezik egy invH operátor amely eleget tesz a következő összefüggésnek ha:

)}t(y{H)t(uakkor)}t(u{H)t(y inv== (4.3.1)

Ekkor felírhatjuk IHH)}t(u{HH)}}t(u{H{H)}t(y{H invinvinvinv =⇒== oo Itt I az identitás operátort jelenti. Példa

• )t(ydtdL)t(ud)(u

L1)t(y

t

⋅=⇒τ⋅τ⋅= ∫∞−

megfordítható rendszer

• )t(u)t(y 2= nem megfordítható mert a kimenő jelből nem lehet egyértelműen meghatározni a bemenő jelet.

77

4. Időbeni invariáncia: Bevezetjük a következő jelölést:

)}t(u{S)tt(u)t(y 0t0 =−= (4.3.2)

Itt 0tS egy eltolási operátor míg 0tS− egy inverz operátor. Egy rendszer időben invariáns ha időbeli eltolás a bemenő jelen ugyanolyan eltolást eredményez a kimenő jelen is. Ez azt jelenti, hogy a rendszer válasza ugyanaz, függetlenül, hogy mikor alkalmaztuk a bemenő jelet (a rendszer nem változik időben). Legyen H egy folytonos rendszert jellemző operátor. Figyeljük meg a 4.3.1. ábrán látható két történést:

4.3.1. ábra

Ha a rendszer időben invariáns, akkor a két fenti történés ekvivalens. Ez azt jelenti, hogy )tt(y)t(y 012 −= , vagyis mindegy, hogy mit végzünk el előbb, az időeltolást, vagy a H operátor adta műveletét mert egy időben invariáns rendszer esetében ez nem számít. Ezt felírhatjuk, mint:

HSSH 00 tt oo = (4.3.3)

Ez azt jelenti, hogy a 4.3.3 esetben két (jobb és baloldali) operátor kommutál.

5. Lineáris rendszer:

Legyenek

)t(u),t(u,),t(u),t(u n21 L bemenő jelek, )t(y),t(y,),t(y),t(y n21 L kimenő jelek

és itt t a független változó. A rendszer lineáris a be- és kimenő jelekre nézve ha eleget tesz két feltételnek: a. Szuperpozició

22

11

yuyu

→→

⇒ 2121 yyuu +→+ (4.3.4)

78

b. Homogenitás yu → ⇒ yaua ⋅→⋅ ahol a egy valós szám. (4.3.5)

Általános esetben, vegyük a bemenő jelek lineáris kombinációját, vagyis

∑=

⋅=n

1iii )t(ua)t(u

ekkor

∑∑==

⋅=⋅==n

1iii

n

1iii )t(ya})t(ua{H)}t(u{H)t(y

ahol )}t(u{H)t(y ii = vagyis a kimenet (y(t)) az n kimenő jel lineáris kombinációja. Ezt az elvet így ábrázolhatjuk:

4.3.2. ábra

Ha a H rendszer lineáris, akkor a 4.3.2. ábrán a jobb és baloldali diagram ugyanazt a rendszert jelenti. Példa Adott a következő ki/bemenő összefüggés

)1t(u)t(u)t(y −⋅= . Válasszuk most

∑=

⋅=n

1iii )t(ua)t(u .

Ekkor felírjuk, hogy:

)1t(u)t(uaa)1t(ua)t(ua)t(y ji

n

1i

n

1jji

n

1jjj

n

1iii −⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅= ∑∑∑∑

= ===

és innen következik, hogy ez a rendszer nem lineáris (ez előrelátható volt, mert a rendszert leíró y(t) egy másodfokú kifejezés és ez nem lineáris forma). Példa

79

Adott

]n[un]n[y ⋅= Tanulmányozzuk a rendszer a lineáritását. Legyen

∑=

⋅=n

1iii ]n[ua]n[u

ekkor következik, hogy

∑=

⋅⋅=n

1iii ]n[uan]n[y

majd innen

∑∑==

⋅=⋅⋅=n

1iii

n

1iii ]n[ya]n[una]n[y

és ez azt jelenti, hogy a rendszer lineáris.

80

5. Rendszerek állapotteres leírása Legyen adott egy SISO, lineáris, ismert felépítésű áramkör. Legyen az áramkör ismert bemenete )t(u valamint kimenő jele )t(y . Mivel az áramkör ismert, ezért elégséges a bemenő jel teljes ismerete t→∞− intervallumban ahhoz, hogy meghatározhassuk a kimenő jelet ugyanabban a t időpillanatban. Ellenben, ha )t(u csak tt 0→ időtartományban ismert, akkor szükségünk van kezdeti feltételekre (a tekercsen 1t pillanatban átfolyó áram erőssége, valamint a kondenzátoron található töltésmennyiség ugyancsak a 1t pillanatban amikor

ttt 10 ≤≤ és általában 01 tt = ), ahhoz, hogy a rendszer )t(y kimenetét meghatározhassuk. Ekkor a tekercsen átfolyó áram és a kondenzátoron levő feszültségesés a 1t pillanatban jelentik a rendszer állapotait (a rendszer memoráló elemei). Ha az áramkör csak egy ellenállást tartalmaz akkor a kimenet a 1t pillanatban meghatározható tisztán csak a 1t pillanati bemenetből. Általánosabban tekintve és figyelembe véve, hogy az előbb felvázolt áramkör modellje egy konstans együtthatós differenciálegyenlet, az egyenletet megoldva a 1t pillanati kezdeti feltételeket felhasználva, megkapjuk a rendszer kimenő jelének időbeni változását. Elvileg ez nem más mint a rendszer jövőbeli viselkedése felírva a rendszer 1t időpontbeli állapota függvényében. A 1t pillanat elválasztja a rendszer 1t előtti és 1t utáni viselkedését. Egy rendszer állapota alapfogalom, így nem igényel más meghatározást, elégséges megértéséhez a tulajdonságai felsorolása. Az elkövetkezőkben az állapotteres leírás módszerét csak determinisztikus, folytonos és diszkrét rendszerek esetében alkalmazzuk. Egy determinisztikus rendszer a következő tulajdonságokkal rendelkezik :

• u(t) időfüggvények a rendszer elfogadható bemeneti jelei [vektorfüggvények]

• minden t pillanatra meghatározható az tX vektorhalmaz úgy, hogy ennek elemei )t(x [vektor függvények], a rendszer lehetséges állapotai t pillanatban.

• minden )t(x),t(u párhoz hozzárendelhető legalább egy, időben változó függvény amelyet kimenő jelnek [jeleknek] nevezünk, úgy, hogy minden tt1 > esetében egyetlen egy )t(x 1 található

1tX halmazban.

Ha a második tulajdonság biztosítja az állapottér időbeni változását, addig a harmadik tulajdonság a végső [terminális] vagy kimenő állapot fogalmát rögzíti. Ahhoz, hogy az így meghatározott tX állapotteret a rendszer leírására használhassunk, szükséges, hogy eleget tegyen a következő három konzisztencia feltételeknek.

1. Egy )(3 tu elfogadható bemenet, ha )t(u1 , )t(u2 elfogadható bemenetek és

013 tt)t(u)t(u ≤= és 023 tt)t(u)t(u >= (lásd 5.0.1. ábrát)

81

5.0.1. ábra

2. Az a történés ahogy a rendszer elérte a 0t pillanatbeli állapotait nem

befolyásolja az elkövetkező kimeneteit. A pillanatnyi és jövőbeli bemenetek egyértelműen meghatározzák a rendszer pillanatnyi és jövőbeli kimeneteit. Ezért minden

0tX)t(x 0 ∈ és elfogadható )t(u1 és )t(u2 bemenő jelek

esetében amikor 012 tt)t(u)t(u >= , akkor bármely ))t(u),t(x( 10 párhoz tartozó kimenő jel identikusan azonos az ))t(u),t(x( 20 párhoz asszociálható kimenő jellel ha 0tt > . Hasonlóan értelmezzük más időbeni lefutású jelek esetében is. ( )t(v),t(v 21 bemenő jelek) Ezt érzékelteti az 5.0.2. ábra.

5.0.2. ábra

3. Ha a rendszernek adott a kezdeti állapota 0t pillanatban és a bemenő )t(u függvény akkor a kimenő )t(y függvény egyértelműen meghatározott.

A felsorolt három konzisztencia kritériumot egy egyenlet pár formájában foglalhatunk össze és ezek képezik az állapotegyenleteket.

82

))t,t(u),t(x(f)t(x

))t,t(u),t(x(g)t,t(y

00

000

=

= (5.0.1)

Az )t(x állapotvektor n dimenziós és egy tX állapottér eleme. Az )t(x vektor komponensei (koordinátái) egy adott t pillanatban felírhatók mint

)t(x,),t(x),t(x n21 K . Az állapotvektor által időben az tX állapottérben felvett állapotok összességet állapotváltozásnak nevezzük (ha az állapottér minden vektorát egy pontként értelmezzük akkor ebben az állapottérben az állapotváltozás neve pálya). Formális szempontból a következő jelöléseket használjuk:

tX)t(x ∈ a rendszer állapota a t időpillanatban ahol az n dimenziós állapotvektor felírható mint:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)t(nx

)t(2x)t(1x

)t(xM

ahol )t(x,),t(x),t(x n21 K az állapotváltozók.

Egy rendszer állapotát 0tt = pillanatban n darab állapotváltozó írja le, úgy hogy ha adott az 0tt),t(u ≥ bemenő vektor akkor a rendszer )t(y kimenetelei meghatározottak 0tt ≥ esetében.

5.1. Folytonos rendszerek leírása az állapottérben Számos tudományos és mérnöki terület használja dinamikus rendszerek leírására az úgynevezett állapotegyenleteket. Az állapotteres leírás szükségességét többféle módon származtatják. Talán a legegyszerűbb annak a felismerése, hogy bonyolult dinamikus rendszerek igen széles osztályának működését viszonylag nagy pontos-sággal modellezhetjük elsőrendű vektor differenciálegyenlettel amely ebben az esetben, egyszerűbb formában felírva

)u,x(gy

)u,x(f)t(xdt

)t(xd

=

== & (5.1.1)

Az állapotváltozónak nevezett x vektor a skaláris ix komponenseket (állapotokat) rendezi vektorba. Az u a rendszer bemenő, az y pedig a kimenő jele. Az x állapot-vektor dimenzióját a rendszer rendjének nevezzük. Az )u,x(f függvény az állapotvek-tor "sebességét" adja az állapot és a bemenőjel függvényében. A )u,x(g függvényt érzékelési illetve mérési függvénynek nevezzük, mivel a rendszer kimenőjelét szolgáltatja. Vegyük észre, hogy itt )u,x(f és )u,x(g nem függ explicit módon az időtől. (Ezt a tulajdonságot ne tévesszük össze azzal, hogy az állapotegyenlet be és kimenő jelei függnek időtől) Az ilyen rendszereket idő-invariánsnak nevezzük. Az állapotváltozókat olyan változóknak is szokták hívni, amelyek összefoglalják a

83

rendszer múltjára vonatkozó információkat, hogy a jelek jövőbeli értékeit jósolni tudjuk, ezért az állapotvektor a rendszer memóriáját is jelentheti. Mérnöki rendszerekben az állapotváltozók igen sokszor kapcsolódnak olyan alapvető fizikai folyamatokhoz, ahol tömeg, áram, impulzus, energia, stb. tárolásához szükséges összefüggéseket kell kiszámítanunk. (Felhívjuk a figyelmet, hogy egyes szakterületeken - például kémiában - az állapotváltozó megnevezés nem egyezik meg a fenti általános rendszerelméleti fogalommal, sokkal inkább a vizsgálat tárgyát képező anyag, elegy, oldat, stb. fizikai-kémiai állapotára utaló változókat jelenti) Az állapotváltozók, mint koordináták egy teret - az állapotteret (state space) - definiálnak. Ebben a térben helyezkedik el az )(tx állapotvektor. Az állapotvektor végpontjának elmozdulása jelenti a rendszer állapottérben való mozgását. Az állapotvektor végpont-ja által leírt görbe az állapot trajektória. Az általános állapotegyenletekhez viszonyítva 5.1.1 egyenlet párral adott rendszer a nemlineáris dinamikus rendszerek egy speciális osztályát jelenti, amelynek lehetséges

)u,x( 00 egyensúlyi állapota (ahol 0)t(x 0 =& azaz a változás sebessége nulla), amely az

0)u,x(f 00 = (5.1.2)

egyenletből adódik. (Jegyezzük meg, hogy általános esetben több egyensúlyi állapot is adódhat. Az egyensúlyi állapotok különböző jellegű stabilitási állapotokat jelenthet-nek. Ezek minőségi vizsgálatához az )u,x(f másodrendű deriváltjainak vizsgálata is szükséges.) Statikus rendszerek elfajult állapotegyenlettel írhatók le, hiszen nincs memóriájuk, illetve az ennek megfelelő állapotuk, tehát leírásukhoz a 5.1.1 egyenletrendszer második egyenlete is elegendő, vagyis:

)u(gy = Taylor sorbafejtve a most skaláris egyenletet az 0u pontban az

L+−+= )uu(du

)u(dg)u(gy 0

00

alakra jutunk, amelynek elsőrendű tagjából az

udu

)u(dg)uu(

du)u(dg

)u(gyyyy 00

000 Δ=−=−=Δ=−

lineárizált modelljét kapjuk. A linearizált modell az 0u munkapontban az eredeti görbét az érintőjével helyettesíti és a munkapont körüli )u,y( ΔΔ változások között teremt statikus lineáris kapcsolatot. Lényegében hasonló gondolatmenet alapján végezhetjük el a 5.1.1 állapotegyenlet linearizálását is. Az egyensúlyi állapot )u,x( 00 körüli kis változásokra érvényes

yyy;uu;xxx 000 Δ+==Δ+=

jelölésekkel számítsuk ki a 5.1.1 elsőrendű linearizált közelítését

udu

)u,x(dgxxd

)u,x(dg)u,x(g)uu,xx(gy

udu

)u,x(dfxxd

)u,x(df)u,x(f)uu,xx(fdtxd

00000000

00000000

Δ⋅+Δ⋅+≈Δ+Δ+=

Δ⋅+Δ⋅+≈Δ+Δ+=

τ

τ

84

Használjuk fel, hogy az egyensúlyi pontban 0)u,x(f 00 = és vezessük be az )u,x(gy 000 = jelölést, így a kis változásokra érvényes linearizált modellünk az

alábbi formájú lesz

uDxC)uu(D)xx(Cyy

uBxA)uu(B)xx(Adt

xddt

)xx(d

000

000

Δ⋅+Δ⋅=−⋅+−⋅=−

Δ⋅+Δ⋅=−⋅+−⋅=Δ

=−

ττ

ahol bevezettük az

du)u,x(dg

Dxd

)u,x(dgC

du)u,x(df

Bxd

)u,x(dfA

0000

0000

==

==

ττ

τ

(5.1.3)

jelöléseket. A kapott modell egy lineáris idő invariáns (Linear Time-Invariant = LTI), azaz időben nem változó rendszer modellje. Eléggé elterjedt gyakorlat, hogy az egyszerűség kedvéért a jelölt változások y,u,x ΔΔΔ helyett az eredeti y,u,x változókat használjuk és mindig munkapont körüli változásokra gondolunk. Így kapjuk a rendszer- és irányításelmélet általánosan használt lineáris (LTI) állapotegyenletét

uDCy

uBxAdtxd

⋅+=

⋅+⋅=

τ (5.1.4)

Itt D,C,B,A τ a rendszer paraméter mátrixai. Mivel itt egybemenetű - egy kimenetű (Single Input - Single Output = SISO) rendszerekkel foglalkozunk, ezért n-edrendű esetben az A egy n x n -és négyzetes mátrix, az állapotmátrix, a B egy n x

1-és oszlopvektor, a τC egy 1 x n-és sorvektor és D skaláris mennyiság.

Az elkövetkezőkben τC -t mint C fogjuk jelölni, ha ez nem okoz félreértelmezést. A 5.1.4 állapotegyenletnek megfelelő blokkvázlat az 5.1.1. ábrán látható.

5.1.1 ábra Lináris idő invariáns rendszer állapotegyenletének megfelelő blokkvázlat

85

A blokkvázlat fogalmára és elkészítési módjára későbbiekben még visszatérünk.

5.2. Fázistér Adott egy n-ed rendű differenciálegyenlet, amely egy LTI rendszer modellje (SISO)

)t(u)t(yadt

)t(dyadt

)t(ydadt

)t(ydadt

)t(yd012

2

21n

1n

1nn

n=⋅+⋅+⋅+⋅+

−

−

− K (5.2.1)

Ez az egyenlet egyértelműen felírható n darab elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerrel. Bevezetjük az 5.2.2 jelöléseket:

n

n

n

2n)2n(

1n

23

12

1

dt)t(yd)t(x

)t(x)t(y)t(x

)t(x)t(y)t(x)t(x)t(y)t(x

)t(y)t(x

=

==

====

=

−−

−

&

&

LLLLLLLL

&&&

&&

(5.2.2)

ahol dt

)t(dy)t(y ≡& vagyis a kimenő jel a független t időváltozó szerinti deriváltja.

Ekkor a differenciálegyenlet felírható mint

)t(y0adt

)t(dy1a2dt

)t(y2d2a1ndt

)t(y1nd1na)t(u)t(nx ⋅−⋅−⋅−−−

−⋅−−= L&

Ha ebbe behelyettesítjük az előzőleg meghatározott )(txi állapotváltozókat (5.2.2) és így a következő egyenletet kapjuk

)t(1x0a)t(2x1a)t(1nx2na)t(2nx1na)t(u)t(nx ⋅−⋅−−−⋅−−−⋅−−= L& (5.2.3)

amely egy elsőrendű differenciálegyenlet )(txn állapotváltozóban. Nem homogén az egyenlet és a bemenetet és az összes előző állapotváltozót tartalmazza. Mátrixegyenlet formájában is felírható az 5.2.2 egyenletrendszer ha felhasználjuk az 5.2.3 egyenletet is, vagyis

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

)t(x)t(x)t(x

)001()t(y

)t(u100

)t(x)t(x)t(x

aaaaa010000010000010

)t(x)t(x)t(x

n

2

1

n

2

1

1n3210n

2

1

&

&

&

86

Ugyanezt vektorjelöléssel felírhatjuk mint

⎩⎨⎧

⋅=⋅+⋅=

)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

(5.2.4)

Ahol

1xn)xdim(;)t(nx)t(2x)t(1x

)t(x;)t(nx)t(2x)t(1x

)t(x →⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

&

&

&

&

Mivel a fenti egyenleteket egy SISO rendszerre írtuk fel, tehát y(t) és u(t) skaláris függvények. Ebben az esetben az A , B , C mátrixokról felírhatjuk.

( )( )( ) nx1Cdim

1xnBdimnxnAdim

→→→

(5.2.5)

Egy több bemenet több kimenetű (MIMO) rendszer esetében, amikor m a bemenetek száma míg p a kimenetek száma akkor

nxp)Cdim(mxn)Bdim(

→→

(5.2.5a)

Ennek a mátrix differenciálegyenlet rendszernek a megoldása az A , B , C mátrixok tulajdonságaitól függ. Az így kapott állapotváltozókat fázisváltozóknak is nevezzük és a megfelelő állapotteret fázistérnek nevezzük. Példa Adott az 5.2.1. ábrán látható RLC áramkör (rendszer)

5.2.1. ábra

Ennek a rendszernek a bemenete az u(t) feszültség míg a kimenete a kondenzátoron a feszültségesés, vagyis y(t).

87

A feszültségegyenlet az áramkörben

∫+⋅+⋅= dt)t(iC1

dt)t(diL)t(iR)t(u

vagy másképpen felírva

)t(uL1dt)t(i

CL1)t(i

LR

dt)t(di

⋅+⋅⋅

−⋅−= ∫

legyenek az állapotváltozók 1x és 2x amelyek a tekercsen (a kondenzátoron) átfolyó áramerősséget és a kondenzátoron levő feszültséggel arányos mennyiségek jelentik tehát )t(ix1 = és ∫= dt)t(ix 2 . Így

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )txC1ty

txdt

tdx

tuL1tx

CL1tx

LR

dttdx

2

12

211

⋅=

=

⋅+⋅⋅

−⋅−=

Ennek mátrixok alkalmazásával felírt alakja:

u0L1

xx

01CL

1LR

xx

2

1

2

1 ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛&

&

(5.2.6)

( ) u0xx

C10y

2

1 ⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RLC rendszer állapotegyenletei, vagy állapotegyenlet rendszere, 1x és 2x az állapotváltozók. Ez egy másodrendű rendszer mert az áramkör két energiatárolót tartalmaz (tekercs és kondenzátor). Rendszer mátrixait felírtuk mint:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

−−=01

CL1

LR

A ; ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

0

1LB ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

C10C ; ( )0=D ;⊗

Példa Az 5.2.2. ábrán látható hidraulikus rendszer két 1A és 2A keresztmetszetű (alapterületű) tartályból áll. A két tartályban a folyadék szintmagassága )t(h1 valamint )t(h 2 . A csővezeték hidraulikus ellenállása lineáris közelítéssel legyen 1R és 2R . A )t(q , )t(q1 és )t(q 2 folyadékhozamot jelentenek. Legyen a rendszer bemenete a q(t) hozzáfolyás, míg a kimenet a )t(q2 áramlás.

88

5.2.2. ábra

A tartályokban a folyadéktömeg változását a következő egyenletek írják le:

)t(q)t(qdt

)t(dhA

)t(q)t(qdt

)t(dhA

212

2

11

1

−=⋅

−=⋅

A hozzáfolyást és a kimeneti áramlást a következő egyenletek adják:

2

22

1

211

R)t(h

)t(q

R)t(h)t(h

)t(q

=

−=

Így a következő állapotegyenleteket kapjuk:

2

2

1

2122

1

2111

R)t(h

R)t(h)t(h

dt)t(dh

A

)t(qR

)t(h)t(hdt

)t(dhA

−−

=⋅

+−

=⋅

Ha

)t(q)t(y);t(q)t(u;)t(h)t(h

)t(x)t(x

)t(x 12

1

2

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

akkor

)xx(R1y

xAR

1)xx(AR

1x

uA1)xx(

AR1x

211

222

2121

2

121

111

−=

⋅⋅

+−⋅

−=

⋅+−⋅

−=

&

&

89

Innen felírhatjuk az állapotteres egyenleteket:

uxx

RRy

uAxx

ARARAR

ARARxx

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+

⋅⋅−

⋅⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)0(11

0

1

111

11

2

1

11

12

1

222121

1111

2

1

&

&

(5.2.7)

Ez is egy másodrendű rendszer. Látható, hogy modell szinten a két egyenletrendszer, az 5.2.6 és 5.2.7 azonos struktúrájú és csak a rendszer mátrixai felépítése szempontjából különbözne. Ezt fontos figyelemmel követni az elkövetkezőkben is mert ez biztosítja a rendszerek állapotteres leírásának egységes tárgyalási lehetőségét. Példa Legyen egy fizikai inga ahol egy 1m hosszú nyújthatatlan cérnára egy 1kg tömeg van felfüggesztve (5.2.3. ábra). A súrlódást elhanyagolva és egy T kimozdító nyomaték figyelembevételével, az inga mozgását a következő differenciálegyenlet írja le:

T)sin(gdtd

2

2+θ⋅−=

θ

5.2.3. ábra

Legyen az inga modelljének állapotváltozói θ=θ= &

21 x;x . A bemenet u(t)=T míg a kimenet y= .θ Az inga állapotegyenletei felírhatók mint

1

1

2

2

1

2

1

x)t,u,x(gyu)xsin(g

x)t,u,x(f)t,u,x(f

xx

x

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

&

&&

Az inga egyensúlyi állapotát

90

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ=

θ 0dtd;0

dtd

2

2 a )

gTarcsin(=θ és a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0)0(

20

10 d

xx

xθ

kezdeti állapotvektor adja. Lineárizáljuk a munkapont körül az előbbi állapotegyenleteket ha az elsőrendű differenciálokat kiszámítjuk a következő módon:

0ux|

ug

1xx|

xg

10

|

u)u)xsin(g(

ux

|uf

0)xcos(g10

|

x)u)xsin(g(

x)u)xsin(g(

xx

xx

|xf

1u,x

1

1u,x

1

u,x1

2

u,x

10u,x

2

1

1

12

2

1

2

u,x

00

00

0000

0000

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂+⋅−∂

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂+⋅−∂

∂+⋅−∂

∂∂

∂∂

=∂∂

Így a nemlineáris egyenletrendszer lineárizált állapotegyenletei:

x)01(y

u10

x0)cos(g10

u10

x0)xcos(g10

xd10

Δ⋅=Δ

Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ⋅−

=Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=Δ & ⊗

5.3. LTI rendszerek állapotteres leírása szimulációs diagramok alapján Rendszerek állapotteres leírásának egyik módszere a szimulációs diagramok használata. A módszer előnye abban mutatkozik, hogy könnyen alkalmazható és a megfelelő diagram megválasztásával a keresett állapotteres formát egyértelműen felírhatjuk.

5.3.1. ábra

91

Az 5.3.1. ábrán látható ideális művelet végrehajtó elemeket használjuk, hogy egy lineáris differenciálegyenletet úgynevezett szimulációs blokkdiagram alakra hozzunk (analóg számítógépek programozásában alkalmazott módszer alapján került bevezetésre és ideális, zajmentes elemek).A szimulációs blokkdiagram alapján felírjuk a differenciálegyenlettel modellezett dinamikus rendszer állapotteres egyenleteit. A különböző diagramok különböző állapotteres felírást eredményeznek. Így a rendszer tanulmányozása (szabályzás, különböző stabilitási módszerek, megfigyel-hetőség stb.) különböző állapotteres felírást kér. Egy n-ed rendű rendszer, vagyis egy n-ed rendű differenciálegyenlet esetében, az egymás utáni n-szeres integrálás (nulla kezdeti feltételeket használva) az út a diagram elkészítéséhez. Így a legmagasabb rendű deriváltan végzett integrálás sor vezet a diagram elkészítéséhez. Lássunk néhány példát a diagramok elkészítésére (az elkövetkezőkben

u)t(u,y)t(y ≡≡ jelölést használjuk és ha az összegező esetében nem szerepel bemeneti ‘+’ vagy ‘-‘ előjel akkor azt pozitívnak tekintjük ) 1. Ha adott a következő differenciálegyenlet

uybyayuybyay +⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+ &&&&&& (5.3.1)

Az 5.3.1 egyenlet kettős integrálásával kapjuk a következő, 5.3.2. ábrán látható diagramot.

5.3.2. ábra

2. Ha adott a következő differenciálegyenlet

uuybyay &&&& +=⋅+⋅+

akkor az előző esethez képest a változás az u& tag jelenléte az egyenlőség jobb oldalán. Az u& + u tagot előállíthatnánk a bemenő u jelből, ha a rendszer bemenetéhez egy deriváló blokkot adunk amint azt az 5.3.4. ábrán láthatunk.

5.3.4. ábra

92

De egy deriváló elem általában erős zajforrás ezért kerüljük ennek használatát. Ezért a differenciálegyenletet a következő képen módosítjuk:

uybyauy +⋅−⋅−=− &&&&

Így az első integrátor bemenete nem y&& , hanem uy &&& − és ennek megfelelően az 5.3.5. ábrán látható szimulációs diagramot kapjuk:

5.3.5. ábra

3. Legyen most adott a következő differenciálegyenlet

ueuducybyay &&&&&& ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+

(a,b,c,d,e konstans mennyiségek) Első lépésként ezt

yaybucuduey &&&&&& ⋅−⋅−⋅=⋅−⋅− (5.3.2)

alakra hozzuk. Ha az 5.3.2 egyenlet bal oldalát egyszer integráljuk akkor kapjuk, hogy (5.3.6. ábra)

5.3.6. ábra

Második lépésként felrajzoljuk az 5.3.7. ábrán látható diagramot az 5.3.2 egyenlet bal oldalát véve figyelembe.

5.3.7. ábra

Harmadik lépésként az 5.3.7. ábrán látható diagramot úgy egészítjük ki, hogy megkapjuk a kimenő y(t) jelet. Ezt a diagramot az 5.3.8. ábrán láthatjuk.

93

5.3.8. ábra

Negyedik Lépésnél figyelembe vesszük az 5.3.2 egyenlet jobb oldalát és így kapjuk az 5.3.9. ábrán látható diagramot.

5.3.9. ábra

A harmadik lépés után azt láthatjuk, hogy ha a kérdőjeltől jobbra lévő pont értéke uduey &&&&& ⋅−⋅− akkor a kimenet y lesz. De ha az 5.3.9. ábrán a kérdőjeltől balra levő

értékeket használnánk, akkor a kör nem zárható mert a kérdőjeltől balra lévő pont értéke most )uey(aybuc && ⋅−⋅−⋅−⋅ . A probléma megoldható ha a konstans szorzótényezős faktorok (erősítő elemek) értékeit módosítjuk. Ezért induljunk ki az 5.3.10. ábrán látható zárt diagramból amely esetében úgy kell az erősítési tagok együtthatóit megválasztani, hogy ez a szimulációs diagram ekvivalens legyen a 2.3.9. ábrán látható szimulációval. Láthatjuk, hogy bevezettünk három új erősítési tényezőt

)b,b,b( 210 és ezek meghatározása a cél.

5.3.10. ábra

A diagram alapján leolvashatjuk, hogy ez a

∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−+⋅−⋅−= dtubbu)bbbab(qbqaq 1210&&& differenciálegyenlet szimulációja és ha az y kimenetet is figyelembe vesszük, akkor felírhatjuk:

ububyqububyq

ubdtubyq

21

21

21

&&&&&&&

&&&

⋅−⋅−=⇒⋅−⋅−=

⇒⋅−⋅⋅−= ∫

94

Az előbbi egyenlőségeket használva következik, hogy

ybyaubu)abb(uby 0212 ⋅−⋅−⋅=⋅⋅+−⋅− &&&&&& Ennek az egyenletnek valamint az 5.3.2 egyenletek az összehasonlításából (ekvivalencia) következik, hogy

ebcadb

cb

2

1

0

=⋅−=

= (5.3.3)

Így zárható az adott differenciálegyenlet 5.3.9. ábrán látható blokk diagram. Látható, hogy a 2.3.9. ábrán található d erősítési együttható helyett a cadb1 ⋅−= együttható alkalmazása zárja a diagramot. Ennek a hasznosságát akkor fogjuk látni amikor a lineáris rendszerek mátrixos állapotteres felírásának általános tulajdonságait tárgyaljuk. MIMO rendszerek szimulációs diagramja A következő példa esetében láthatjuk, hogy a MIMO a több kimenet több bemenetű rendszerek esetében az állapotteres egyenletrendszer felírására hasonló az eljárás mint a SISO rendszerek esetében. Itt több differenciálegyenlet kell kezelnünk. A modell differerenciálegyenleteinek megfelelő szimulációs diagramok nem függetlenek egymástól (csak egészen kivételes esetben). A diagramok elkészítése az első lépés majd következik a kapott diagramok közötti kapcsolat megteremtése. Általános elvként, a diagramok bal oldalán megrajzoljuk a bemenő jeleket és a jobb oldalán a kimenő jeleket majd következik a diagramok felépítése amint ezt a következő példa menetében láthatunk (5.3.11. ábra). Példa Adott a következő MIMO (Multiple Input – Multiple Output) rendszer.

⎩⎨⎧

=++=⋅+⋅+

2211

1211

uyyyuy2y3y

&&&

&&&

Ez a rendszer két bemenettel két kimenettel rendelkező rendszer. Az 5.3.11. ábrán a bal oldalon láthatjuk az 21 u,u bemenő jeleket és a jobb oldalon meg az 21 y,y kimenő jeleket. A megfelelő szimulációs diagram a következőképpen néz ki:

5.3.11. ábra

95

Mivel az integrátorok kimenetét jelöljük mint állapotváltozó, ezért a következő összefüggéseket kapjuk:

42

324

21423

21

112

11411

xyxyx

uxx1yxxy

xyxux3x2yx

===

+−⋅−===

==+⋅−⋅−==

&&

&&&

&&

&&&

Az állapotegyenletek pedig a következők:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

1

4

3

2

1

2

1

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

uu

)0(

xxxx

10000010

yy

uu

00100001

xxxx

01001001

00012003

xxxx

&

&

&

&

Innen már könnyen felírhatjuk az D,C,B,A rendszermátrixokat. Az elkövetkezőkben még visszatérünk erre a példára.

Példa Legyen adott a következő MIMO rendszer modell:

221222

2111

uuuy2y3yu2uyy

&&&&

&

++=⋅+⋅+⋅+=+

Az előző példánál is említett eljárásokat alkalmazva megkapjuk a 5.3.12. ábrán látható szimulációs diagramot. Ennek alapján már nem nehéz felírni az állapot-egyenleteket, ha az integrátorok kimenetét jelöljük mint állapotváltozók, majd a megfelelő D,C,B,A rendszermátrixokat.

5.3.12. ábra

96

5.4. Lineáris rendszerek állapotteres modelljei Az állapotegyenletek egy lineáris, folytonos, determinisztikus rendszer esetében, amint azt már láttuk, leírhatók egy lineáris elsőrendű differenciálegyenlet rendszerrel. Az 5.4.1 egyenletek SISO rendszert

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

(5.4.1)

míg 5.4.2 egyenletek egy MIMO rendszert

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

)t(uB)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

(5.4.2)

írnak le állapotteres formában. Itt az D,C,B,A a rendszer állapotteres lírását adó mátrixok. Itt is a következő jelöléseket használtuk:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

)t(x)t(x)t(x

)t(x

n

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

)t(u)t(u)t(u

)t(u

m

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=)t(y)t(y)t(y

)t(y

p

2

1

Jegyezzük meg, hogy

• n az állapotok száma • m a bemenetek száma • p a kimenetek száma

Ezek alapján az állapotmátrixok dimenziója egy MIMO rendszer esetében felírható mint:

mxp)Ddim(nxp)Cdim(mxn)Bdim(nxn)Adim(

====

(5.4.3)

A szimulációs diagramok nagy előnye, s haszna ugyanakkor, hogy könnyen felírhatóvá teszi az állapotegyenleteket. A diagram felrajzolása után, jelöljük az integrátorok kimenetét mint a rendszer állapotát. Ha ez megtörtént, akkor felírjuk az integrátorok bemenetétnek (amelyek az állapotváltozók deriváltját jelentik) egyenletét amelyek képezik az állapotegyenleteket. Példának álljon itt és az egyik előző példában (5.3.11. ábra) már ismertetett feladat esetében a szimulációs diagram (ez az 5.4.1. ábrán látható), amely azonban most tartalmazza a beírt állapotváltozókat is.

97

5.4.1. ábra

A diagram alapján felírhatjuk, hogy:

21432142

21432121

21432134

2143212143

21432112

2143211141

u0u0x1x0x0x0xyu0u0x0x0x1x0xyu0u0x0x1x0x0xxu0u1x1x0x0x1uxxxu0u0x0x0x0x1xxu0u1x2x0x0x3ux3x2x

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−=+−−=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−=+⋅−⋅−=

&

&

&

&

vagyis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

1

4

3

2

1

2

1

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

uu

0000

xxxx

10000010

yy

uu

00100001

xxxx

01001001

00012003

xxxx

&

&

&

&

ahonnan az állapotegyenlet mátrixai (lásd az 5.4.2 egyenletrendszert):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=0000

D;10000010

C;

00100001

B;

01001001

00012003

A

98

Mint egy levonható következtetés, jegyezzük meg a következő gondolatmenetet: ha adott a rendszert leíró differenciálegyenlet rendszer, akkor ennek alapján felrajzolhat-juk a rendszer szimulációs diagramját majd az integrátorok kimeneteit állapotváltozóként jelölve (a bemeneteik meg a megfelelő állapotváltozók deriváltja), felírjuk deriváltakra vonatkozó egyenleteket és innen az állapotteres egyenletek mátrixait. Az elkövetkező paragrafusban ismertetem a különböző állapotteres leírási formákat. A különböző formák elősegítik az rendszerek állapotteres tanulmányozhatóságát megkönnyítve a matematikai módszerek alkalmazását.

5.5. Állapotteres diagramok módszertana 5.5.1. Szekvenciális differenciálás módszere (successive differentiation) Adott egy n-ed rendű SISO rendszert modellező alap általános diffenciálegyenlet (5.5.1.1).

)t(u)t(udtd)t(u

dtd)t(u

dtd)t(u

dtd

)t(y)t(ydtd)t(y

dtd)t(y

dtd)t(y

dtd

012n

2n

2n1n

1n

1nn

n

n

012n

2n

2n1n

1n

1nn

n

⋅β+⋅β++⋅β+⋅β+β=

=⋅α+⋅α++⋅α+⋅α+

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

L

L

(5.5.1.1)

Figyeljük meg, hogy az egyenletünk normalizált, vagyis az n-ed rendű derivált együtthatója egyenlő egyel. Jelölje r a deriválási operátort, s ekkor a következő formális operácionális leírási alakot kapjuk az alapegyenletre:

)t(u)rrrr(

)t(y)rrrr(

012n

2n1n

1nn

n

012n

2n1n

1nn

β+⋅β++⋅β+⋅β+β=

=α+⋅α++⋅α+⋅α+−

−−

−

−−

−−

L

L (5.5.1.1a)

A modellnek megfelelő szimulációs diagram az 5.5.1.1. ábrán látható. Ezt az 5.3 paragrafusban bemutatott módszer általánosítása alapján kaptunk.

5.5.1.1 ábra

Az integrátorok kimenetét választjuk mint állapotváltozók.

99

A cél meghatározni az )n,,1i(,a i K= és )n,,1i(,bi K= értékeit az adott modell iα és iβ együtthatók függvényében. A diagram alapján felírhatjuk:

ub)xaxaxa(x

Nk,nnkubxx

ubxy

nn1n2110n

*k1kk

01

⋅+⋅++⋅+⋅−=

∈<∀⋅+=

⋅+=

−

+

L&

KKK

& (5.5.1.2)

Deriválva az 5.5.1.2-ből az y egyenletét azt kapjuk, hogy

ubxydtdry 01 && ⋅+==

Ebbe behelyettesítve 1x& értéket a 5.5.1.2 egyenletrendszerből, kapjuk:

ububxry 012 &⋅+⋅+=

Az előbbi lépéseket megismételve kapjuk, hogy:

urburbrub

ub)xaxaxa(yr

urbrububxyr

ubububxububxyr

n0

22n1n

nn1n2110n

1n02n1nn

1n

01230122

⋅++⋅+⋅+

+⋅+⋅++⋅+⋅−=

⋅++⋅+⋅+=

⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+=

−−

−

−−−

−

L

L

L

KKK

&&&&&&&

Ezt az összefüggést behelyettesítve az 5.5.1.1a egyenletbe és identifikálva az yr k együtthatóit azt kapjuk, hogy:

{ }

002n2n1n1n0n

02n11n2n2

01n1n1

n0

ii

bbbb

bbbbb

b1n,,2,1,0ia

α−−⋅α−⋅α−β=

⋅α−⋅α−β=⋅α−β=

β=−∈α=

−−−−

−−−

−−

L

LLL

L

Ez egy egyenletrendszer amelyben az ismeretlenek a n,1,0ibi L= tehát a szimulációs diagram ismeretlen erősítési tényezői. Az egyenletrendszer felírható mátrix formában mint:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ααααα

α=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ββββ

−−

−

−

−

n

2

1

0

210

1n2n

1n

0

2n

1n

n

bbbb

1010010001

(5.5.1.3)

100

Ebben az egyenletrendszerben az ismeretlenek a n,,1,0ibi L= értékek. Ha megoldjuk az 5.5.1.3 egyenletrendszert akkor a szimulációs diagram ismert és így akkor már könnyen felírhatjuk az állapotegyenleteket. Így a rendszert leíró állapotteres egyenletek D,C,B,A mátrixai az 5.5.1.4 mátrixai lesznek.

( )0001C;000001000010

A

1n210

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α−α−α−α−

=

−

n0bD β== (5.5.1.4)

és

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ββββ

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ααααα

α=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

−

−−

−

0

2n

1n

n1

210

1n2n

1n

n

2

1

0

1010010001

bbbb

BD

A fenti állapotegyenleteket a rendszer úgynevezett standard formájának nevezzük Láthatjuk, hogy az A rendszermátrix és a C kimenő mátrix egyszerű formák ha a mátrixműveleteket vesszük alapul. Ez hasznos megfigyelés ha a rendszerek megfigyelhetőségét kell tanulmányoznunk, mert amint látni fogjuk, a megfigyelhetőség meghatározása az A és C mátrixokkal végzett műveletekre épít. A módszer nehézségét csak az 5.5.1.4 egyenletekben a B mátrix kiszámítása okozhat (az inverz mátrix számítása). Példa Adott

u2uu3u2yy4y3y ⋅++⋅+⋅=+⋅+⋅+ &&&&&&&&&&&& rendszermodell. Írjuk fel a standard állapotteres reprezentáció mátrixait. Az 5.5.1.4 egyenletek alapján felírhatjuk, hogy:

( );001C;341

100010

A =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

és a D,B kiszámítására felírjuk a következő mátrixegyenletet

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

BD

623

2

2132

1354013500130001

2132

1341013400130001

bbbb 1

3

2

1

0

101

Ahonnan következik:

;623

B⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= és ( )2D =

És így a szimulációs diagram az 5.5.1.2 ábrán látható.

5.5.1.2. ábra

⊗

5.5.2. Összekapcsolt integrálási módszer (Nested Integral method) Adott a következő modell:

)t(u)t(udtd)t(u

dtd)t(u

dtd)t(u

dtd

)t(y)t(ydtd)t(y

dtd)t(y

dtd)t(y

dtd

012m

2m

2n1m

1m

1mm

m

m

012n

2n

2n1n

1n

1nn

n

⋅β+⋅β++⋅β+⋅β+β=

=⋅α+⋅α++⋅α+⋅α+

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

L

L

(5.5.2.1) Ha nm < akkor egy pár 0i ≡β ha meg nm > akkor a rendszer nem megvalósítható. Most kifejezzük a legnagyobb rendű deriváltat az 5.5.2.1 egyenletből:

)t(u)t(udtd)t(u

dtd)t(u

dtd)t(u

dtd

)t(y)t(ydtd)t(y

dtd)t(y

dtd)t(y

dtd

012m

2m

2n1m

1m

1mm

m

m

012n

2n

2n1n

1n

1nn

n

⋅β+⋅β++⋅β+⋅β+β+

+⋅α−⋅α−−⋅α−⋅α−=

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

L

L

Feltételezzük, hogy m = n. Csoportosítjuk az azonos rendű deriváltakat és kapjuk:

102

))t(y)t(u())t(ydtd)t(u

dtd(

))t(ydtd)t(u

dtd(

))t(ydtd)t(u

dtd()t(u

dtd)t(y

dtd

0011

2n

2n

2n2n

2n

2n

1n

1n

1n1n

1n

1nn

n

nn

n

⋅α−⋅β+⋅α−⋅β++

+⋅α−⋅β+

+⋅α−⋅β+β=

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

L (5.5.2.2)

Ha az 5.5.2.2 egyenletet egymásután n-szer integráljuk kapjuk:

] }dtdtdtdt))t(y)t(u())t(ydtd)t(u

dtd(

))t(ydtd)t(u

dtd(

))t(ydtd)t(u

dtd()t(u)t(y

0011

2n

2n

2n2n

2n

2n

1n

1n

1n1n

1n

1nn

LL ⋅α−⋅β+⋅α−⋅β++

+⎢⎣

⎡⋅α−⋅β+

+⎩⎨⎧

⋅α−⋅β+⋅β=

∫∫

∫

∫

−

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

Ennek alapján felépíthető a rendszer szimulációs diagramja. Mindég a ‘legmélyebben’ levő integráljával kezdjük (az a mélyebben levő integrál, amelyet ha nem számítunk ki, akkor a következő integrálás már nem végezhető el). Ez jelenti az összekapcsolt integrálás fogalmát:

5.5.2.1. ábra Az 5.5.2.1. ábrán látható diagram alapján felírhatók a következő állapotegyenletek:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β⋅α−ββ⋅α−ββ⋅α−ββ⋅α−β

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α−α−α−α−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−− n1n1n

n22

n11

n00

n

3

2

1

1n

2

1

0

n

3

2

1

xxxx

000010001000

xxxx

&

&

&

&

( ) u

xxxx

1000y n

n

3

2

1

⋅β+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅= (5.5.2.3)

103

Az összekapcsolt integrálási módszert használva az 5.4.2 egyenletrendszernek megfelelően a kapott A rendszermátrix és a C kimenőmátrix segítségével tanulmányozhatjuk a rendszerek megfigyelhetőségét figyelembe véve ezeknek a mátrixoknak a matematikai kezelhetőségét. Ugyanakkor a B bemenő mátrix komplexitása adhat bizonyos információt a rendszer bemenete és állapotváltozói közötti összefüggésekre. Példa Adott következő rendszermodell:

u2uyy2y ⋅+=+⋅+ &&&&

Akkor az összekapcsolt integrálási módszert használva felírhatjuk:

( ){ }dtdtyu2y2uy ∫ ∫ −⋅+⋅−=

Ennek megfelelően kapjuk az 5.5.2.2. ábrán látható szimulációs diagramot.

5.5.2.2. ábra

Ennek alapján a felírjuk a következő állapotegyenleteket:

( ) ( ) ⊗⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

u0xx

10y

u12

xx

2110

xx

2

1

2

1

2

1

&

&

Az elkövetkezőkben használt átviteli függvény fogalmára még visszatérek. Addig is az átviteli függvény fogalmat úgy értelmezhetjük mint a komplex s-síkban meghatározott racionális függvényt és nem más mint a kimenet és bemenet közötti egyfajta összefüggés egy komplex síkban.

104

5.5.3. Állapotegyenletek résztörtek alapján (Partial Fractions expantion-simple roots) A. Egyszeres gyökök esetében Legyen adott H(s) egy SISO rendszer átviteli függvénye. Legyen az átviteli függvény nevezője D(s) (a rendszer karakterisztikus egyenlete). Tételezzük fel, hogy a nevezőnek megfelelő egyenletnek csak valós egyszeres gyökei vannak. Így felírhatjuk, hogy:

( ) ( ) ( )n21n sssd)s(D λ−⋅⋅λ−⋅λ−⋅= K

Az átviteli függvényt, amely egy racionális forma (és a számláló fokszáma mindig kisebb vagy egyenlő a nevező fokszámánál), felírható egyszerű törtek összegeként.

)s(U)s(Y

sc

sc

scd)s(H

)s(D)s(N

n

n

2

2

1

1 =λ−

++λ−

+λ−

+== L

ahol

)s(Hlimds ∞→

= és is|)s(D

)s(N)s(c ii λ=⋅λ−= (5.5.3.1)

Az rendszer kimenete, az 5.5.3.1 alapján:

∑= λ−

⋅+⋅=⇒⋅=n

1i i

i

sc)s(U)s(Ud)s(Y)s(U)s(H)s(Y

A párhuzamosan kötött alrendszerek átviteli függvényei mint összegek szerepelnek a rendszer átviteli függvényében. Ezt tudni kell az átviteli függvények algebrájáról. Amint látjuk az 5.5.3.1 egyenletekből, az elemi törtek összegére bontott H(s) mindenik összetevője a rendszer szimulációs diagramjában mint egy párhuzamosan kötött egység jelenik meg. Vegyük most az alrendszereket. Ha figyelembe vesszük, hogy ezek uxx iii =⋅λ−& és elsőrendű differenciálegyenletek amelyek Laplace transzformáltja )s(U)s(X)s(Xs iii =⋅λ−⋅ formában írható fel, ahonnan következik, hogy

ii s

)s(U)s(Xλ−

=

Könnyen belátható, hogy a )s(Xi mennyiségeknek az 5.5.3.1 egyenlőségből kiszámított ic értékekkel vett súlyozott összege adja a rendszer átviteli függvényét. Ha az uxx iii =⋅λ−& differenciálegyenlet megoldása )t(x i függvény, akkor felírhatjuk

udxcyn

1iii ⋅+⋅= ∑

=

x

Az 5.5.3.1. ábrán láthatjuk ezeket a párhuzamosan kötött alrendszereket.

105

5.5.3.1. ábra

A szimulációs diagram alapján az állapotegyenleteket a következő formában kapjuk:

( ) udxxx

cccy

u111

xxx

000000

xxx

n

2

1

n21

n

2

1

n

2

1

n

2

1

⋅+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

&

&

&

(5.5.3.2)

Ez még felírható mint:

udxCyuBx)t(x

⋅+⋅=⋅+⋅Λ=&

ahol ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

B míg d egy skaláris mennyiség.

Egy nagyon fontos megjegyzés az, hogy a kapott rendszermátrix a Λ egy átlós mátrix. Ezért is jelöltük ezt itt másképpen. Ennek az a jelentősége, hogy ez egy alapvető forma a rendszeregyenletek megoldásában. Ha átlós a rendszermátrix, akkor az állapotegyenlet rendszer könnyen megoldhatóvá válik. Tehát az állapotegyenletek résztörtek alapján eljárás egy nagyon fontos módszer ha az állapotegyenletek megoldása a feladat. Ugyanakkor a bemenő B mátrix speciális felépítése miatt előnyös ezt a módszert alkalmazni, ha a rendszer szabályozhatóságát akarjuk tanulmányozni. A szabályozhatóság fogalmáról egy későbbi fejezetben lesz szó.

B. Többszörös gyökök esetében (Partial Fractions expantion-repeated roots) Legyen a karakterisztikus egyenletnek 1λ egy k-szoros gyöke. Ekkor, ha nnk 1 =+ akkor felírhatjuk

106

)s()s()s()s(d)s(D1n32

k1 λ−⋅⋅λ−⋅λ−⋅λ−⋅= L

Ebből következik:

( ) ( ) ( ) )s(U)s(Y

s

c

sc

sc

sc

scd)s(H

)s(D)s(N

1n

1n

2

21

1

k11k

1

12k

1

11 =λ−

++λ−

+λ−

++λ−

+λ−

+== − LL

Ahol )s(Hlimd

s ∞→= és

( )1s|)s(D

)s(Nsdsd

)!1j(1c k

11j

1j

ij λ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅λ−⋅

−= −

−

(5.5.3.3a)

valamint

1s|

)s(D)s(N)s(c ii λ=

⋅λ−= (5.5.3.3b)

5.5.3.2. ábra A kimenet )s(U)s(H)s(Y ⋅= alapján ⇒

)s(Xc)s(Xc)s(Ud)s(Y i2i

i

k

1jjj1

1n

⋅+⋅+⋅= ∑∑== (5.5.3.4)

ahol

1jk1

j )s()s(U)s(X +−λ−

= vagy iterációs formában 1k,,2,1j)s(Xs

1)s(X 1j1

j −=λ−

= + L

és i

i s)s(U)s(Xλ−

=

Így az 5.5.3.2. ábrán látható szimulációs diagramot kapjuk ahol az erősítési együtthatókat az 5.5.3.3a és 5.5.3.3b képletek segítségével számítjuk ki: Az 5.5.3.5 egyenletek az 5.5.3.2. ábrán látható diagram alapján felírt állapotegyen-letek

107

( )

( )

( ) ud

xxxxx

cccccy

11100

xxxxx

000000

0

0

000100010001

xxxxx

n

1k

k

2

1

n2k11211

n

1k

k

2

1

n

3

2

1

1

1

1

n

1k

k

2

1

⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λλ

λλ

λ

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

++

&

&&

&

&

(5.5.3.5)

Ha az 5.4.2 általános állapotegyenleteket vesszük, akkor látható, hogy mivel a rendszer karakterisztikus egyenletének a 1λ többszörös gyöke, ezért az A rendszermátrix egy Jordan forma, vagyis a mátrix főátlója mentén elhelyezkedő többszörös gyökökkel párhuzamosan egy 1-es helyezkedik el. Az állapotegyenletek résztörtek alapján való alkalmazása ebben az esetben is hozzásegít az állapotegyenletek megoldásához. Ebben a tankönyvben nem foglalkozunk azzal az esettel amikor a rendszer karakterisztikus egyenletének komplex egyszeri vagy többszörös gyökei vannak.

5.5.4. Faktorizált átviteli függvény módszer (Factored Transfer Function Method) Egy LTI rendszer átviteli függvényt felírjuk a következő formában:

)s(U)s(Y

)s()s()s()zs()zs()zs(K

)s(D)s(N)s(H

n21

m21 =λ−⋅⋅λ−⋅λ−−⋅⋅−⋅−⋅

==L

L (5.5.4.1)

ahol iz a rendszer zérósai, vagyis az 0)s(N = gyökei, míg iλ a pólusok vagyis

0)s(D = egyenlet gyökei. Tételezzük fel, hogy nm = , és akkor az 5.5.4.1 modell felírható mint:

)s(YKs

zss

zss

zs)s(Un

n

2

2

1

1 →⋅λ−

−⋅⋅

λ−−

⋅λ−

−→ L

amely n darab sorba kötött elsőrendű rendszert jelent. Megjegyezzük, hogy ha a rendszer átviteli függvénye az alrendszerek átviteli függvényeinek a szorzata akkor az alrendszerek sorba vannak kötve. Mindezt majd bebizonyítjuk az átviteli függvények algebrája fejezetben. Adjuk meg most az i.-ik tagnak megfelelő szimulációs diagramot. Legyen )s(Yi a tag kimenete és )s(Ui a bemenete.

108

⇒ ⇒⋅−=⋅λ−⇒λ−

−= )t(uz

dt)t(du)t(y

dt)t(dy

szs

)s(U)s(Y

iii

iii

i

i

i

i

)]t(uz)t(y[dt

)t(dudt

)t(dyiiii

ii ⋅−⋅λ+=

∫ ⋅⋅−⋅λ+=⎯→⎯∫ dt)]t(uz)t(y[u)t(y iiiiii

Ezek alapján kapjuk az 5.5.4.1. ábrán látható szimulációs diagramot.

5.5.4.1. ábra Ha sorba kötjük az n darab diagramot (a rendszer átviteli függvénye a előbb tárgyalt elsőrendű rendszer átviteli függvényeinek szorzata), amikor is az előző kimenet a következő bemenethez kapcsolódik, akkor megkapjuk a rendszer szimulációs diagramját. Ennek alapján felírjuk az állapotegyenleteket. Ezzel a módszerrel kapott állapotegyenletek jellegzetessége, hogy az A rendszermátrix felső háromszögmátrix (a karakterisztikus egyenlet gyökeinek valós volta miatt). Példa

Legyen adott 4s

13s2s

3s1s

36s33s10s2s3s)s(H 23

2

+⋅

++

⋅++

=+⋅+⋅+

+⋅+=

Az előzőekben ismertetett módszer alapján felrajzoljuk a rendszer diagramját. Ez az 5.5.4.2. ábrán látható.

5.5.4.2. ábra

A szimulációs diagram alapján felírt állapotegyenletek:

109

1

33

322

3211

xyu2x3x

uxx3xuxxx4x

=⋅−⋅−=−−⋅−=

+++⋅−=

&

&

&

Innen meg következik, hogy:

u21

1

xxx

300130

114

xxx

3

2

1

3

2

1

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

&

&

&

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

3

2

1

xxx

001y

5.6. Állapottér egyenletei és az átviteli függvény Komplex frekvencia tartományba az állapotegyenletek (időfüggvények) a Laplace transzformációjával vihetők át. Az elkövetkezőkben SISO LTI rendszerek jöhetnek számításba. Jelölje az y,u,x időfüggvények Laplace transzformáltját )s(Y),s(U),s(X . Adott egy n-ed rendű MIMO rendszer állapotteres leírása (5.4.2 egyenlet):

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

A cél hogy meghatározzuk az H(s) függvényét az D,C,B,A rendszermátrixok függvényében. A megoldás általánosságát nem érinti ha 0D ≡ . Az állapotegyenletek Laplace transzformációját alkalmazva kapjuk:

)s(UB)s(XAx)s(Xs 0 ⋅+⋅=−⋅ )s(XC)s(Y ⋅=

ahol 0x a kezdeti állapotok vektora. A kezdeti feltételek 0x vektora olyan bemenő-jelnek tekinthető, amely egy egységmátrixon keresztül hat a rendszerre

)s(UBx)s(X)AIs()s(UBx)s(XA)s(XIs)s(UBx)s(XA)s(Xs

00

0

⋅+=⋅−⋅⇒⋅+=⋅−⋅⋅⇒⋅+=⋅−⋅⇒

110

Itt I a megfelelő dimenziójú egységmátrixot jelöli. Ha létezik a )AIs( −⋅ mátrix inverz mátrixa akkor az előbbi egyenletet beszorozzuk 1)AIs( −−⋅ -el balról és a következő összefüggést kapjuk:

)]s(UBx[)AIs(C)s(Y)]s(UBx[)AIs()s(X

)s(UB)AIs(x)AIs()s(X

01

01

10

1

⋅+⋅−⋅⋅=⇒

⋅+⋅−⋅=⇒

⋅⋅−⋅+⋅−⋅=

−

−

−−

Innen gyakorlati meggondolásokból az az eset fontos amikor a kezdeti állapotokra igaz, hogy 0x 0 = és egy SISO rendszer esetében felírhatjuk, hogy:

)s(HB)AIs(C)s(U)s(Y 1 =⋅−⋅⋅= −

(5.6.1)

Azért tekintjük az 0x 0 = kezdeti állapotvektort, mert bármikor bevezethető egy transzformáció az adott állapottérben, hogy a kezdeti állapot az állapottér origójába kerüljön. A kérdés most az, hogy mikor létezik 1)AIs( −−⋅ mert erre épül az átviteli függvény kiszámítása? Ennek feltétele, hogy legyen igaz, hogy .0)AIsdet( ≠−⋅ Ez azt jelenti, hogy az átviteli függvény értelmezési tartománya az a komplex sík amely nem tartalmazza a rendszer pólusait. Tudjuk, hogy egy átviteli függvény (amely egy racionális függvény SISO rendszer esetében), nevezőjének gyökei nem mások mint a rendszer pólusai. Vagyis a pólusok a rendszer szinguláris pontjai. De a

0)AIsdet( =−⋅ egyenlet gyökei, a rendszer pólusai, és ezek nem másak mint az A mátrix sajátértékei, ugyanakkor a 0)s(D)AIsdet( ==−⋅ az adott rendszer karakterisztikus egyenlete is. Ezek alapján megelőlegezhetjük, hogy a rendszer tulajdonságai (stabilitás, vezérelhetőség, megfigyelhetőség, érzékenység) és a rendszermátrixok milyensége között szoros kapcsolat van.

5.7. Az állapotegyenletek megoldása Keressünk megoldást egy

uBxAx ⋅+⋅=& (5.7.1)

elsőrendű mátrix differenciálegyenletnek. Többféle megoldási módszer létezik. A lineáris algebra és az elsőrendű algebrai egyenletek megoldási módszerei alkalmazása elsőrendű fontossággal bír az állapotegyenletek megoldásában. Tekintsük a következő

xAx ⋅=& (5.7.2) elsőrendű homogén egyenletet. Tudjuk, hogy dim( x ) =nx1 és dim( A )=nxn. Ha n=1 akkor a megoldás:

111

)0(xex tA ⋅= ⋅ (5.7.3)

amely az x(0) kezdeti értékből induló magára hagyott rendszer mozgása (megoldása). Most feltételezzük, hogy ha 1n ≠ a homogén egyenlet megoldása

)0(xex tA ⋅= ⋅ (5.7.4)

Ebben a megoldásban nxn)edim( tA =⋅ . Az alapkérdés az, hogy miként értelmezzük a tAe ⋅ mátrixot? Újból azzal az esettel kezdjük amikor n = 1 s ekkor felírhatjuk, hogy:

LL +⋅

++⋅

+⋅

+⋅

+⋅ =!k

ktka!3

3t3a!2

2t2a!1ta1tae (5.7.5)

vagyis taey ⋅= valós változójú valós függvény Taylor sorba fejtése.

Ennek alapján egy logikus (és matematikailag helyes) meghatározása tAe ⋅ lehet:

LL +⋅

++⋅

+⋅

+⋅

+=⋅!k

ktkA!3

3t3A!2

2t2A!1tAItAe (5.7.6)

ahol I az n x n –es egységmátrix. Ha 5.7.4 egy helyes megoldás, akkor behelyettesítve ezt az 5.7.6 egyenletbe és akkor egy identitást (≡ ) kell kapjunk. Ennek érdekében ki kell számítsuk az tAe ⋅ deriváltjait az idő (független változó) függvényében.

LL +−

−⋅++

⋅+

⋅+

⋅+=⋅

)!1k(

1ktkA!3

3t4A!2

2t3A!1

t2AAtAedtd

ahonnan következik (konvergens sorok tulajdonsága), hogy

tAedtdtAeA ⋅=⋅⋅ (5.7.7)

Hasonló módszer alapjan igazolhatjuk, hogy

tAedtd

AtAe ⋅=⋅⋅

Ez egy fontos eredmény ha figyelembe vesszük, hogy a mátrix szorzat nem kommu-tatív. Tehát ha az 5.7.7 derivált formát visszahelyettesítjük az eredeti 5.7.2 homogén egyenletbe akkor azt kapjuk, hogy:

112

)t(xA)0(xtAeA)0(xtAedtd

)t(x ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=& ⇒ xA)t(x ⋅=&

igaz és így igazoltuk, hogy )0(xex tA ⋅= ⋅ egy megoldása a homogén xA)t(x ⋅=& egyenletnek. Keressük most a nemhomogén egyenlet egy megoldását. Ez az egyenlet az 5.7.1 egyenlet. Ennek a megoldását keressük az integrálási faktor módszerrel. Az

integrálási faktor tAe ⋅− és ezzel balról beszorozva az 5.7.1 nemhomogén egyenletet kapjuk, hogy:

)t(uBtAe)t(xAtAe)t(xtAe ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=⋅⋅− & ⇒

)t(uBtAe)t(xAtAe)t(xtAe ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−−⋅⋅− &

Az így kapott egyenlőség bal oldalán az )t(xtAe ⋅⋅− teljes deriváltja található s így felírhatjuk, hogy

)t(uBtAe))t(xtAe(dtd

⋅⋅⋅−=⋅⋅− ⇒ha mindkét oldalt integráljuk⇒

∫ τ⋅⋅τ⋅−=⋅⋅−−⋅⋅−t

0

)(uBAe)0(x0Ae)t(xtAe

De a Taylor sorbafejtés eredményeként I0Ae =⋅− ⇒

τ⋅τ⋅⋅τ⋅−+⋅=⋅⋅− ∫ d)(uBAe)0(xI)t(xtAet

0

Ha balról beszorozzuk az tAe)t( ⋅=Φ taggal, akkor ⇒

τ⋅τ⋅⋅τ⋅−⋅⋅+⋅⋅= ∫ d)(uBAetAe)0(xtAe)t(xt

0

τ⋅τ⋅⋅τ−⋅+⋅⋅= ∫ d)(uB)t(Ae)0(xtAe)t(xt

0

(5.7.8)

Ezt a tAe)t( ⋅=Φ (5.7.9)

mátrixot nevezzük a rendszer fundamentális mátrixának vagy másnéven állapottranziciós mátrixnak és ennek kiszámítása adja majd az állapotegyenletek megoldását. Itt a fundamentális mátrix a zéró kezdeti értékek esetében van felírva. Ez a nemhomogén mátrix differeniálegyenlet általános megoldása. A megoldásnak (jobb oldala az egyenlőségnek) két összetevője van. A már említett x(0) kezdeti értékből induló magára hagyott rendszer mozgása az állapottérben (a homokén egyenlet megoldása) a második tag - a konvolúciós integrál – az x(0) kezdeti értékből induló gerjesztett mozgás (nem más mint a nemhomogén egyenlet egy megoldása). Az LTI rendszer teljes megoldása

113

Az előbbiekben láttuk, hogy egy LTI rendszer állapotteres leírása az ismert (5.4.2)

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

differenciálegyenletrendszer. Az A rendszermátrix adja az előbbiekben meghatá-rozott 5.7.9 fundamentális mátrixot. Legyen most a kezdeti állapotvektor )t(x 0 és

0t0 ≠ . Az előbbi gondolatmenetet követve az 5.7.8 alapján azt kapjuk, hogy az állapotegyenletek megoldása most:

)t(uDd)(uB)t(C)(x)tt(C)t(y

d)(uB)t()t(x)tt()t(x

t

t0

t

t00

0

0

⋅+τ⋅τ⋅⋅τ−Φ⋅+ϑ⋅−Φ⋅=

τ⋅τ⋅⋅τ−Φ+⋅−Φ=

∫

∫ (5.7.10)

Itt a fundamentális (állapotranziciós) mátrix )tt(A

00e)tt( −=−Φ (5.7.11)

Legyen most egy időben változó rendszer amikor a rendszermátrix nem egy konstans elemekből felépített mátrix. Legyen ).t(AA = Innen a rendszer nem gerjesztett (homogén) állapotegyenlete

)t(x)t(A)t(x ⋅=& . Ekkor az

)t(xe)t(x 0

d)(At

0t ⋅∫

=τ⋅τ

(jelöljük az )t(Gd)(At

0t=τ⋅τ∫ ) akkor és csakis akkor megoldás ha az

)t(G)t(G edt

)t(Gdedtd

⋅=

egyenlőség igaz. Ez a megoldás feltétele. Csakhogy mátrixfüggvények esetében ez nem mindig igaz. Két ismert eset van mikor ez igaz. Mégpedig ha a rendszermátrix A egy konstans mátrix, vagy egy átlós mátrix. Az első esetben a teljes megoldást az előzőekben (5.7.10) számítottuk ki, míg a második esetben az állapotegyenletek egymástól függetlenek, tehát kapunk megoldást. Igazolható, hogy az előbbi feltétel igaz abban az esetben ha minden 1t és 2t esetében ( 0t;0t 21 >> ) igaz, hogy:

)t(A)t(A)t(A)t(A 1221 ⋅=⋅ ami azt jelenti, hogy a mátixok komutálnak. Ha ez igaz akkor a rendszer fundamen-tális mátrixa:

∫=Φ

τ⋅τt

0td)(A

0 e)t,t( (5.7.12)

114

Ha a megoldhatósági feltétel nem igaz, akkor az állapottranziciós mátrixot speciális integrálási (Peano-Baker) módszerrel kell kiszámítani (legtöbbször lehet, hogy akár egy vektoriális Volterra integrálegyenlethez jutunk). Az állapottranziciós (fundamentális) mátrix tulajdonságai

1. n00 I)t,t( =Φ ha a rendszer n-ed rendű. 2. )t,t()t,t()t,t( 011202 Φ⋅Φ=Φ

legyen )t(x)t,t()t(x

)t(x)t,t()t(x)t,t()t(x

0011

0021122

⋅Φ=⋅Φ=⋅Φ=

és ekkor )t,t()t,t()t,t()t(x)t,t()t,t()t(x 011202001122 Φ⋅Φ=Φ⇒⋅Φ⋅Φ=

3. )t,t()t,t( 12

121

−Φ=Φ

)t,t(I)t,t()t,t( 11n12121 Φ==Φ⋅Φ−

de )t,t()t,t()t,t()t,t()t,t()t,t()t,t( 1212

11221111221 Φ⋅Φ=Φ⋅Φ⇒Φ=Φ⋅Φ −

majd jobbról szorozva )t,t( 12

1−Φ mátrixszal, kapjuk a 3. tulajdonságot

4. Ha a megoldhatósági feltétel igaz, akkor )t()t()tt( 00 Φ⋅Φ=+Φ Ez egyből következik az felírható

fundamentális mátrixból, vagyis )t()t(e)tt(e)t( 0

)tt(A0

tA 0 Φ⋅Φ==+Φ⇒=Φ +⋅⋅

5. )t()t(1 −Φ=Φ− . Ez a 4. pontnál leírt esetben igaz és ugyancsak az ott felírt összefüggésből következik ha 0t0 = .

Példa

Ha az

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λ=

3

2

1

000000

A

akkor

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅λ

⋅λ

⋅λ

=⋅t3e00

0t2e0

00t1e

tAe

115

Később bizonyítjuk be, hogy ez az összefüggés csak akkor igaz ha a A rendszermátrix átlós forma. Ezt most felhasználjuk a következő állapotegyenlet megoldásában. Példa Legyen:

uxx ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

32

5003

& és ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

)0(x a kezdeti feltétel,

és ha

1=)t(u (t) egységugrás jel azaz ⎩⎨⎧

<≥

=0tha00tha11 , a bemenő jel

akkor keressük meg az ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)t(x)t(x

)t(x2

1 megoldást.

A differenciálegyenlet általános megoldása (5.7.10) alapján írjuk fel, vagyis:

τ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

τ⋅τ⋅

τ⋅τ⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∫∫

∫∫τ⋅

τ⋅

⋅−

⋅−

⋅−

⋅−d1

32

ded0

d0de

e00e

21

e00e)t(x t

0

5t

0

t

0

t

0

3

t5

t3

t5

t3

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

τ⋅⋅⋅

τ⋅⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∫

∫τ⋅⋅−

τ⋅⋅−

⋅−

⋅−

t

0

5t5

t

0

3t3

t5

t3

2

1

de3e

de2e

e2e

)t(x)t(x

ha 0t ≥

⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ⋅−

⋅−

53

5e7

32

3e

)t(x)t(x

)t(x t5

t3

2

1

Vegyük észre, hogy ez a megoldás azonos két független elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldásával, ahol a két egyenlet:

⎩⎨⎧

⋅+⋅−=⋅+⋅−=

u3x5xu2x3x

22

11&

&és

⎩⎨⎧

==

2)0(x1)0(x

2

1 és 0t)t()t(u ≥=1

Ez annak a következménye, hogy az A rendszermátrix tiszta átlós forma. Mindezt még megemlítem, mikor a rendszermátrix sajátérékeit tárgyaljuk.

116

Példa Adott a következő mátrixegyenlet:

xx ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1014

& és ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

43

)0(x .

Ebben az esetben a rendszermátrix nem átlós mint az előző példa esetében ezért sokkal nehezebb a megoldási eljárás. Most a Taylor sorbafejtés módszerét alkalmazzuk, vagyis felírjuk, hogy:

.stb;1085256

A;10

2164A;

10516

A 432⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ,

így meg:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−+−

−⋅

−⋅

+⋅

−−⋅

+⋅

−⋅

+⋅−=⋅

L

LL

!3t

!3t

!2tt10

!3t85

!3t21

!2t5t

!3t256

!3t64

!2t16t41

e432

432432

tA .

Innen tovább folytatni azt jelenti, hogy meg kell állapítsuk, hogy az előbbi mátrix elemeit alkotó sorok konvergensek-e, s ha igen akkor meg kell találnunk a határértékeiket. Ez általában nehéz, vagy néha megoldhatatlan feladat. Ebben az esetben megadom a megoldást (határértékeket), hogy:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

−

⋅−−⋅−

⋅

t

t4tt4

tA

e03eeee

Az is látható, hogy a következő egyenlőtlenséghez jutunk:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠ −

⋅−⋅

t

tt4tA

e0eee -vel

( mintha az exponenciális operátort „lineárisan” alkalmaztuk volna a példánkban szereplő A mátrix esetében) és ezt nagyon fontos dolog megjegyezni. Az elkövetkezőkben a mátrixalgebra és mátrixanalízis eredményeit követve próbálunk megoldásokat keresni azokban az esetekben is amikor az adott A nem egy átlós forma, vagyis amint ezt látni fogjuk később, amikor a rendszer pólusai nem valós és egyszeri gyökei a karakterisztikus egyenletnek.

117

Példa Adottak a következő állapotegyenletek:

u)1(x)01(yxx

)0(x)t(x)t(x

xu10

x10

12x

20

10

2

1

⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=&

a további számításokhoz szükség lesz a következő részeredményekre.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1078

A;1034

A 32

Kiszámítjuk az tAe ⋅ mátrixot vagyis

LL +⋅

++⋅

+⋅

+⋅

+=⋅!k

ktkA!3

3t3A!2

2t2A!1tAItAe =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+−

+⋅+⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−=

=+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

⋅−−⋅−

t

t2tt2

32

3232

32

e0eee

!3t

!2t

!1t10

!3t7

!2t3

!1t10

!3t8

!2t4

!1t21

!3t

1078

!2t

1034

!1t

1012

1001

L

LL

L

A magára hagyott rendszer mozgását (vagyis a homogén differenciálegyenlet megoldását)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

⋅−−⋅−

20

10t

t2tt2

2

1

xx

e0eee

)t(x)t(x

)t(x

Most felírjuk a teljes megoldást mint:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅+⋅+⋅

+τ⋅τ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=τ⋅τ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=τ⋅τ⋅⋅τ−⋅+⋅⋅=

−

⋅−−⋅−

τ−−

τ−⋅−τ−−

τ−−

τ−⋅−τ−−τ−⋅−

−

⋅−−⋅−

∫

∫

∫

t20

t220

t20

t210

t

0)t(

)t(2)t(

t

0)t(

)t(2)t()t(2

20

10t

t2tt2

t

0

exexexexd)(u

eee

d)(u10

e0eee

xx

e0eee

d)(uB)t(Ae)0(xtAe)t(x

118

t20

t

0

)t(2

t2t20

t210

t

0

)t(2)t(1

exd)(ue)t(x

)ee(xexd)(u)ee()t(x

−τ−−

⋅−−⋅−τ−⋅−τ−−

⋅+τ⋅τ⋅=

+⋅+⋅+τ⋅τ⋅−=⇒

∫

∫

A kimenetet felírjuk mint:

τ⋅τ⋅−+++⋅+⋅=

=+=⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

∫ τ−⋅−τ−−⋅−−⋅− d)(u)ee()t(u)ee(xex

)t(u)t(x)t(u)1()t(x)t(x

)01()t(y

t

0

)t(2)t(t2t20

t210

12

1

Az u(t) bemenő jel ismeretében, így meghatározhatjuk a rendszer kimenő jelének analitikus formáját ha elvégezzük a kijelölt integrált. ⊗

119

6. A mátrixalgebra és analízis alapfogalmai Legyen adott az xAx ⋅=& , lineáris rendszert leíró homogén állapotegyenlet. Ennek az egyenletnek az összes megoldásából képzett halmaz egy lineáris tér, a valós számok (R) halmazára nézve. Az A és B mátrixokat ekvivalensnek nevezzük ha az egyik a másikból megkapható elemi mátrix transzformációkat alkalmazva. Elemi transzformáción értjük azt ha az adott mátrixot balról megszorozzuk egy ),3,2,1i(Pi L= nem szinguláris mátrixxal vagy/és jobbról egy másik nem szinguláris ),3,2,1i(Q

iL= mátrixxal. Jelölje a

baloldali mátrixszorzatokat P valamint a jobboldali mátrixszorzatokat Q . Akkor azt mondjuk, hogy A és B mátrixok ekvivalensek ha létezik P és Q nem szinguláris mátrix úgy, hogy

QAPB ⋅⋅=

Két ekvivalens mátrixnak ugyanakkora a rangja. Bármely A mátrix, melynek rangja 0r > transzformálható egy ekvivalens mátrixba amely lehet :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0I

vagy0Ivagy000I

vagyI rr

rr

forma ahol rI nem más mint az rxr dimenziójú egységmátrix. Ezeket a formákat normált vagy kanonikus formáknak nevezzük. Ha A egy nem szinguláris mátrix

akkor 1AP −= és IQ = ahol I az A dimenziójú egységmátrix, kiszámítható az A mátrixnak megfelelő normált forma. Ha most olyan transzformációkat ( Q,P ) alkalmazunk, hogy az A mátrixot egységmátrix formára hozzuk, vagyis:

QAPI ⋅⋅= akkor felírhatjuk, hogy:

111111 QPAQIPAQQAPPAAA −−−−−− ⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅⋅⋅⋅=⇒=

amely azt jelenti, hogy bármely nem szinguláris mátrix felírható két elemi mátrix szorzataként. Ha az általános QAPB ⋅⋅= transzformációt tekintjük és ha

• 1QP −= akkor szimilaritás transzformációról beszélünk

• 1QQP −τ == akkor ortogonális transzformációról

• τ= QP akkor kongruens transzformációról beszélünk.

120

• abban az esetben ha A egy *ijij aa = tulajdonsággal (Hamilton)

rendelkező mátrix, akkor τ= )Q(P * akkor egység transzformációról beszélünk. ( az ∗ komplex konjugálás, míg τ a mátrixtranszponálás művelete).

6.1. Állapotváltozók transzformációja A követett cél, hogy hozzuk az A mátrixot úgy egy átlós (normált vagy kanonikus ) formára, hogy az így kapott állapotegyenletek ekvivalensek legyenek az eredetivel. Ezért meg kell határozzuk a bevezetőben leírt Q,P mátrixokat. Ha ezeket sikerült megtalálni akkor azt mondjuk, hogy az állapotváltozók nem csatoltak (függetlenek) egymástól és az így kapott differenciálegyenlet rendszer egymástól független n darab elsőrendű differenciálegyenletre bontható ami azt jelenti, hogy könnyen megoldható állapotegyenlet rendszert kapunk. Legyenek adottak az 5.4.2 egyenletek

⎩⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

(6.1.1)

az állapotegyenletek. Tekintsük az

qMx ⋅= (6.1.2)

transzformációt és számítsuk ki az új állapotegyenleteket az új, q állapotváltozók függvényében. A 6.1.2 transzformációt alkalmazva a 6.1.1 rendszerben kapjuk, hogy:

⎩⎨⎧

⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅=)t(uD)t(qMC)t(y

)t(uB)t(qMAqM)t(x &&

Ha most az első egyenletet, balról 1M− mátrixxal megszorozzuk, akkor a

)t(uBM)t(qMAMq 11 ⋅⋅+⋅⋅⋅= −−& egyenletet kapjuk. Ezt nevezzük az állapotegyenletek normált formájának. Ha az állapotváltozók nem csatoltak (tehát függetlenek) akkor ⇒ Λ=⋅⋅− MAM 1 jelölés arra utal, hogy Λ egy átlós n x n-és mátrix amelyben a főátló elemei

),,,( n21 λλλ L .

A feladat az, hogy megtaláljuk ezeket a )n,2,1i(i L=λ értékeket, vagyis azt az M mátrixot amely mint operátor, a rendszert x állapottérből q állapottérbe transzformálja úgy, hogy az új rendszermátrix az átlós Λ forma lesz.

121

Ha ΛΛ ⋅=⋅⇒=⋅⋅− MMAMAM 1 , tehát egy szimilaritás transzformáció, és jelöljük az M oszlopait mint ix és a mátrixszorzás szabályait alkalmazzuk, akkor a következő kifejezést kapjuk:

( )( )

( ) ( )n,,2,1i;0xAIvagyn,,2,1i;0xAxIvagyn,,2,1ixxA

ii

iii

iii

L

L

L

=≡⋅−⋅λ

=≡⋅−⋅⋅λ

=λ⋅=⋅

(6.1.3)

egyenletekhez jutunk. Ha Λ=⋅⋅− MAM 1 egy szimilaritás transzformáció akkor ez az 1M,M − létezését is feltételezi. A 6.1.3 összefüggéseiből következik, hogy az M oszlopvektorai nem mások mint az A rendszermátrix sajátvektorai és iλ az ezeknek megfelelő sajátértékek. Tehát ha meghatározzuk a rendszermátrix sajátvektorait akkor ezekből mint oszlopvektorok képezzük az M mátrixot amelyet modális mátrixnak nevezünk és ennek, mint transzformáció operátornak a segítségével megkaphatjuk a normál állapotegyenleteket. Ez egy partikuláris esete a sajátértékek létezésének. Eddig arról volt szó, hogyha az állapotegyenletek normált formáját akarjuk akkor szükségünk van a rendszer sajátértékeire. Mostantól azt is tárgyalnunk kell, hogy különböző típusú sajátértékek segítségével kaphatunk normált alakot minden esetben? Tekintsük most a következő homogén, lineáris egyenletrendszert:

)n,,2,1i(;0x)AI( ii L=≡⋅−⋅λ (6.1.4)

Általános formában felírhatjuk mint yxU =⋅ vagyis mint egy lineáris egyenletrendszert. Ha 0y = akkor az egyenletrendszerünk homogén. Tehát a célunk az

0xU =⋅

lineáris, homogén egyenletrendszerek megoldhatóságainak tanulmányozása. Fontos dolog a zérótól különböző (nem triviális) megoldások megtalálása. Tudjuk hogy annak feltétele, hogy a fenti homogén, lineáris egyenletrendszernek legyen a triviális megoldástól különböző megoldása az, hogy 0)Udet( = vagyis 0)AIdet( =−⋅λ legyen. Ebben az egyenletben az ismeretlen a λ . Az egyenlet rangja n vagyis annyi mint a rendszer állapotainak száma. Az n darab )n,,2,1i(,i L=λ a rendszernek megfelelő sajátértékek és ezek segítségével meghatározzuk a rendszer sajátvektorait. Jelöljük a sajátértékeknek megfelelő sajátvektorokat mint

)n,,2,1i(,x ii L=→λ .

Az ix értékekből, mint oszlopvektorok, képzett mátrix az )x,,x,x(M n21 L= a modális mátrix. A következőkben tárgyalom a sajátérték, sajátvektorok meghatározásának egyes módszereit, eseteit.

122

6.2. Sajátérték, Sajátvektor Adott a következő lineáris egyenletrendszer:

yxV =⋅ ahol V egy n x n –es mátrix. A megoldandó feladat alapkérdése az, hogy mikor létezik egy x vektor úgy, hogy ha a V transzformációs mátrixot (operátort) alkalmazzuk, akkor azt az y vektort kapjuk, amelynek a vektortérben ugyanaz az iránya mint az x vektornak. Ha ez az x létezik ( y adott) akkor az arányos kell legyen az adott y vektorral, vagyis:

∈λ⋅λ==⋅ ;xyxV C.

Itt C a komplex számok halmazát jelenti. Azok a iλ komplex számok melyekre létezik 0xi ≠ azok a V sajátértékei valamint 0xi ≠ sajátvektorai. A megoldandó alapegyenlet xxV ⋅λ=⋅ amely felírható mint 0x)IV( =⋅λ− valamint egy homogén lineáris egyenletrendszerként a következő módon:

Ha ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn2n1n

n22221

n11211

vvvvvvvvv

V és ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

n

2

1

xxx

x akkor az egyenletrendszer a következő:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅λ−++⋅+⋅=⋅++⋅λ−+⋅=⋅++⋅+⋅λ−

0x)v(xvxv0xvx)v(xv0xvxvx)v(

nnn22n11n

nn2222121

nn1212111

L

L

L

egy minden esetben összeférhető egyenletrendszer. A rendszernek van triviálistól eltérő megoldása ha teljesül a következő reláció:

0)VIdet( =−⋅λ (6.2.0.1)

Ezt nevezzük a V operátornak megfelelő karakterisztikus egyenletnek, tehát ha a V operátor most egy rendszert leíró A rendszer mátrixxal azonos akkor 6.2.1 –ről mint a rendszer karakterisztikus egyenletéről beszélünk. Ez a karakterisztikus egyenlet ugyanaz mint a rendszert modellező differenciálegyenlet megoldása során felírandó karakterisztikus egyenlet és ugyanakkor ekvivalens a SISO rendszert modellező

átviteli függvény (H(s))s(D)s(N

= ) nevezője D(s) polinomjának megfelelő egyenlettel.

Ez fontos kijelentés, hogy egységesen láthassuk az állapotteres leírás valamint a Laplace transzformáció segítségével felírt átviteli függvényre épülő eljárásokat. A karakterisztikus egyenlet polinom egyenletét felírhatjuk mint:

0)VIdet(aaaa)(P n1n2n

21n

1n =−⋅λ=+λ⋅++λ⋅+λ⋅+λ=λ −

−− L (6.2.0.2)

Ennek az egyenletnek a gyökei lehetnek:

123

• Valós, egyszeri gyökök • Valós, többszörös gyökök • Komplex (konjugált), egyszeri gyökök • Komplex (konjugált), többszörös gyökök • A fenti esetek különböző, bármely lehetséges kombinációja

Látható 6.2.2 alapján, hogy )Vdet()1(aa)Vdet()0(P n

nn ⋅−=⇒=−= Ha tudjuk, hogy:

)()()()(P n21 λ−λ⋅⋅λ−λ⋅λ−λ=λ L

akkor Viète összefüggések alapján felírható, hogy:

n321nn )1()Vdet()1()0(P λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ⋅−=⋅−= L

tehát ⇒λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ= n321)Vdet( L ,

hogy ha csak egy sajátérték is zéró, akkor V egy szinguláris mátrix. Ugyancsak a Viète összefüggések alapján felírható, hogy:

⇒+++−=λ++λ+λ+λ−= )vvv()(a nn2211n3211 LL a V mátrix főátlója elemeinek összege amelyet a mátrix nyomvonalának is nevezzünk, tehát:

)vvv()()a(Tr)V(trace nn2211n321ij +++=λ++λ+λ+λ== LL .

Legyen kV a mátrix k-ik hatványa. Ha ennek nyomvonalát kT -val jelöljük, akkor felírhatjuk a következő rekurzív összefüggéseket:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅++⋅+⋅⋅−=+⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅−=−=

−−− )TTaTaTa(a)TTaTa(a

)TTa(aTa

n1n122n11nn1

n

3211231

3

21121

2

11

L

Ez egy hasznos forma, ha számítógépes módszereket használunk a rendszertanulmá-nyozásra. Ha a rendszert n sajátérték jellemzi, azaz )n,,2,1i(,i L=λ , akkor minden sajátértékéhez a 0x)IV( =⋅λ− egyenlet egy ix sajátvektor megoldása tartozik. Mivel az egyenletrendszer homogén, ezért a ii xk ⋅ is szintén sajátvektor és ik egy valós szám. Azt a mátrixot amelyet a ii xk ⋅ oszlopvektorokból képezünk, modális mátrixnak nevezünk. Most azt a fontos esetet tárgyaljuk amikor n darab egyszeri sajátértéke van a rendszer-nek. A későbbiekben visszatérünk még a komplex és/vagy többszörös gyökök esetére is. Ha a sajátértékek egyszeri gyökei a karakterisztikus egyenletnek, akkor a modális mátrix oszlopai lehetnek bármely nem zéró oszlopa (vagy ezzel arányos vektor) az

)AI(adj i −⋅λ mátrixnak. Tekintsük az általános négyzetes V mátrix helyett, az A rendszermátrixot. Mivel az )AI(adj i −⋅λ mátrix oszlopai, egy adott iλ sajátértékre

124

egymással lineárisan összefüggnek (nem függetlenek), ezért az adott sajátértékre a mátrix csak egy oszlopvektorát vehetjük mint sajátvektor és ez lesz a modális mátrix egy oszlopa. Példa

Adott ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

131111322

A

Az ennek megfelelő karakterisztikus egyenlet

;3;2;1

)3()2()1(6520131

111322

)AIdet(

111

23

=λ−=λ=λ⇒

⇒−λ⋅+λ⋅−λ=+λ⋅−λ⋅−λ==+λ−−−−λ−−−λ

=−λ

Most felírjuk az )AI(adj i −⋅λ formát

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+λ⋅−λ−λ⋅+λ+λ−λ−λ+λ−λ⋅+λ⋅−−λ

=−⋅λ43832

15253724

)AI(adj2

2

2

i

Most minden sajátértékre válasszunk ki egy nem zéró sajátvektort a legegyszerűbb formában, tehát úgy, hogy eltekintünk az arányossági tényezőtől. Így felírjuk, hogy:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−⋅⇒=λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=−⋅−⇒−=λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=−⋅⇒=λ

415415415

)AI3(adj3Ha

1414011011110

)AI2(adj2Ha

253253253

)AI1(adj1Ha

Ha 1=λ sajátértékre az adjungált mátrixból az első oszlopot választjuk és eltekintünk a 3 mint arányossági tényezőtől, a 2−=λ sajátértéknek megfelelően az adjungált mátrixból a második oszlopot választjuk, míg a 3=λ sajátértékre szintén a második oszlopot választjuk akkor a következő modális mátrixot kapjuk:

125

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

11411111111

M

A modális mátrix oszlopai egy három dimenziós vektortér bázisvektorait alkotják. Ezt a teret nevezzük állapottérnek ha meg az állapotváltozók nem mások mint fázisváltozók akkor fázistérről beszélünk. Ha 0x)IA( =⋅λ− sajátértékei egyszeri gyökök akkor létezik a következő reláció:

MAM ⋅=Λ⋅

ahol Λ egy olyan átlós mátrix ahol a főátló mentén a sajátértékek helyezkednek el.

Innen következik, egy szimilaritás transzformációt alkalmazva (ha 1M− létezik), hogy:

MAM 1 ⋅⋅=Λ − Innen meg következik, hogy:

MAM)MAM()MAM( 21112 ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=Λ −−−

Ezeket ismerve, írjuk fel újra a következő összefüggéseket: xAy ⋅= és egy qMx ⋅= transzformációt alkalmazunk akkor qMAy ⋅⋅=⇒ , és ha

most ha az M nem más mint az A rendszermátrix modális mátrixa, és ez nem szinguláris akkor a következő transzformációkat írhatjuk fel:

qzqqMAMyM 11 ⋅Λ=⇒⋅Λ=⋅⋅⋅=⋅ −−

ha yMz 1 ⋅= − jelölést használjuk. Ezt a formát még felírhatjuk mint:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅λ=⋅λ=⋅λ=

nnn

222

111

qzqzqz

Ez egy összeférhető, határozott egyenletrendszer és a )n,,2,1i(,qi L= koordináták a sajátvektorok irányába mutatnak. Ezek a rendszer normálkoordinátái s ez a rendszer normált alakja. Az M modális mátrix oszlopvektorai egy bázist, míg 1M− sorvektorai egy reciprok bázist képeznek az eredeti állapottérben ( x ). Jelöljük most a modális mátrix oszlopvektorait }v,,v,v{ n21 L -nek nevezzük míg a reciprok bázis vektorait jelöljük mint }r,,r,r{ n21 L . Bármely y vektor felírható mint:

nn2211 vy,rvy,rvy,ry ⋅++⋅+⋅= L

126

ahol 11 vy,r ⋅ azt jelenti, hogy az 1r bázisvektor és az y vektor skaláris szorzatát

(amely nem más mint az y vektor 1r bázisvektornak megfelelő komponense) tekintjük az y vektornak az új 1v bázisvektor szerinti komponensének. De

z)vvv(yM)vvv(yMMy n211-

n211 ⋅=⋅⋅=⋅⋅= − LL

ahol a yMz 1 ⋅= − egy előbbi összefüggést használtuk. Így írhatjuk, hogy:

∑=

⋅=+++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

n

1iii111111

n

2

1

n21 vzv.zv.zv.zzzz

)vvv(y LL

Ha ezt összevetjük az előző ∑=

⋅=n

1iii vy,ry felírással, akkor evidens, hogy

⇒= y,rz ii 1M− sorai képezik a reciprok bázist, amelyre érvényes:

n,,2,1j,iv,r ijji L=∀δ=

a Kronnecker féle összefüggés. Példa

Legyen ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

⋅=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−= −

12315220

102515M

11411111111

M131

111322

A 3011

⇒

Λ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=⋅⋅−

3

2

11

000000

300020001

MAM

Példa Adott a következő egyenletrendszer:

x32

10y ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

Ekkor

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−

+λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ−λ

⇒2

1332

1adj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==1

1xv 11 és ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

== 21

xv 22 a két sajátvektor.

127

Most normalizáljuk a két sajátvektort, vagyis elosztjuk mindkét vektort a vektor

moduluszával. Ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1i x

xx akkor a vektor modulusza 2

221i xxx += . Így a

sajátvektorok normalizált alakja: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−==

212

1

11 xv és

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−==

525

1xv 22

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⇒

525

1

212

1M ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⋅

=−

55222M 1

a reciprok bázisvektorok az inverz 1M− mátrix sorai és ezek transzponáltjai:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=τ

222r1 és ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=τ

55r 2

Látható, hogy:

11

1)222(v,r 11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

és hasonlóképpen kiszámíthatjuk, hogy

1v,r

0v,r

0v,r

22

21

12

=

=

=

(Kronnecker összefüggések)

6.2.1. Lineáris, nemhomogén egyenletrendszer egyszeri sajátértékekkel Adott a következő állapotegyenlet rendszer (lásd 5.4.2):

⎩⎨⎧

⋅=⋅+⋅=

)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x&

Egy példa segítségével mutatom be a modális mátrix ( M ) kiszámítását és az ennek segítségével elvégzett rendszer transzformációt. Abból indulunk ki, hogy az A rendszermátrixnak csak egyszeri sajátértékei vannak és ezek ismertek Példa Adottak a következő rendszeregyenletek és határozzuk meg a sajátvektorait.

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

x001y

u100

x131111322

x&

128

Legyen =u 1(t) ha 0t ≥ . Ismertek ;3;2;1 321 =λ−=λ=λ A sajátvektorok meghatározása

• ;11 =λ most oldjuk meg a 0x)AI1( 1 =⋅−⋅ egyenletrendszert

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅+⋅−−=−⋅+−=⋅−⋅+−

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

⇒0x2x3x

0xx0x0x3x2x

000

xxx

231101321

131211

131211

131211

13

12

11

ez egy összeférhető, egyszeresen határozatlan egyenletrendszer akkor választhatjuk 1x12 = (tetszőleges).

Ekkor következik, hogy ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

111

x1 egy a 11 =λ -nek megfelelő sajátvektor.

• ;22 −=λ most oldjuk meg a 0x)AI2( 2 =⋅−⋅− egyenletrendszert és ha a

keletkező egyszeresen határozatlan egyenletrendszernél 1x 22 = értéket

választjuk akkor a kapott sajátvektor ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

14111

x3 .

• ;33 =λ most oldjuk meg a 0x)AI3( 3 =⋅−⋅ egyenletrendszert és a fenti

módszer alapján következik, hogy ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

x1

Tehát a kapott modális mátrix ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

11411111111

M .

Jó ha ellenőrizzük, hogy igaz az Λ=⋅⋅− MAM 1 összefüggés. Elvégezzük az qMx ⋅= változócserét és ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅= −−

qMCyuBMqMAMq 11&

(6.2.1.1)

Számítsuk ki most ezeket a transzformációkat. Így megkapjuk az új q vektoroknak megfelelő állapotteret. Ebben az állapottérben van felírva a 6.2.1.1 állapotegyenlet. A számítási részletektől eltekintünk, és kapjuk a 6.2.1.2 állapotegyenleteket most már az új állapottérben.

129

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

⋅+⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

q11411111111

001y

u100

12315220

102515q

300020001

q 301&

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

+⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

q)1111(y

uq300020001

q

5215131

& (6.2.1.2)

Ennek alapján, három, nem csatolt állapotegyenlethez jutunk

)t(u)t(q3)t(q)t(u)t(q2)t(q

)t(u)t(q)t(q

52

33

151

22

31

11

⋅+⋅=

⋅−⋅−=

⋅−=

&

&

&

Ha ezeket az egyenleteket megoldjuk akkor a következőket kapjuk:

0tha))0(q(e)t(q

))0(q(e)t(q

))0(q(e|e3e)0(qed)(ee)0(qe)t(q

152

152

3t3

3

301

301

2t2

2

31

31

1tt

0

t

1t

31

t

0

t1

t1

≥++⋅=

−+⋅=

+−⋅=⋅+⋅=τ−⋅⋅+⋅=

⋅

⋅−

τ−τ−∫

Ugyanakkor

)t(q)t(q11)t(qy 321 +⋅+−= A kezdeti állapotokat kiszámítjuk a következő formákból:

)0(xM)0(qvagy)0(qM)0(x 1 ⋅=⋅= − .

6.2.2 Lineáris, nemhomogén egyenletrendszer többszörös sajátértékekkel Ugyancsak egy példán keresztül mutatom be ezt az esetet. Az eset általános tárgyalása a mátrixalgebra tárgykörébe tartozik. Példa Legyen adott a következő állapotegyenlet

130

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)t(x)t(x

1011

)t(x)t(x

2

1

2

1&

&

és ebből kiszámítható a 121 =λ=λ sajátértékek, tehát itt egy kétszeres sajátértékről van szó.

• 11 =λ ⇒ 0x)AI( 1 =⋅− ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

xx

0010

12

11 ⇒ 0x12 = és 111 kx =

• 11 =λ ⇒ de csak ugyanazt írhatnánk fel mint az előbb⇒ 1k!∃ és így csak egy lineárisan független sajátvektor lenne de ez nem elégséges bázisnak egy 2D vektortérben ⇒ ezt a rendszermátrixot ( A ) nem lehet átlós formára hozni. Ennek ellenére található egy bázis 2D-ben amelyben az állapotegyenletek kezelhetőbb formát vesznek fel.

Példa Határozzuk meg a rendszeregyenletnek megfelelő sajátvektorokat.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

3

2

1

xxx

359025100010

xxx

&

&

&

⇒ és a sajátértékeket kiszámítjuk a 0)AIdet( =−λ

egyenletből ⇒ 26,10 321 −λ−=λ=λ

• 101 −=λ ⇒ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=⋅−⋅−

000

xxx

25902590000

x)AI10(

13

12

11

1

• 102 −=λ ⇒ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=⋅−⋅−

000

xxx

25902590000

x)AI10(

23

22

21

1

Innen következnek a következő egyenletrendszerek:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

0x25x9x00x25x9x00x0x0x0

131211

131211

131211

és

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

0x25x9x00x25x9x00x0x0x0

232221

232221

232221

de a lineáris egyenletrendszerek rangja 1, tehát két mellék ismeretlenünk van s mivel az egyenletrendszer összeférhető így két szabadon választható paraméter két

131

független sajátvektort eredményez. Az előző egyenletből látható, hogy 11x és 21x szabadon választhatók, míg a

0x25x90x25x9

3322

1312

=⋅−⋅=⋅−⋅

megmaradt egyenletekből egy-egy változó még szabadon választható. Válasszuk az 25x12 = és 25x 22 = értékeket és akkor 9x;9x 2313 == így a kapott két sajátvektor:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

9250

x1 és ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

9251

x 2 .

• ⇒−=λ 263 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110

x3 , így

a modális mátrix ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

19912525010

M és 016)Mdet( ≠−= ⇒ a modális mátrix

oszlopai lineárisan függetlenek. A. Null-mező és Rang-mező Legyen adott a következő leképezés:

yx)AI( ii =⋅−⋅λ

amelyet a következő módon tudunk szemléltetni:

Legyen a )AI(N i −⋅λ a )AI( i −⋅λ operátor (leképezés) null-mezője és az összes olyan ix alkotja amelynek képe ha az előbbi leképezést használjuk, egyenlő 0y = -val. A null-mező az operátor értelmezési tartományának egy résztartománya (mag – kernel). Ennek a null-mezőnek a dimenzióját nevezzük NULL-nak. Ha NULL=2 akkor két sajátvektor létezik amelyre 0y = és ez a két sajátvektor lineárisan független

132

egymástól. Ha NULL= 0 akkor a null-mező egyetlen elemet tartalmaz, a zéró vektort, vagyis az 0xi = vektort. Az 0x)AI( ii =⋅−⋅λ azt mondja, hogy )AI( i −⋅λ operátor és ix sajátvektor skaláris szorzata zéró és ez azt jelenti, hogy az operátor sorai és a sajátvektorok merőlegesek egymásra. Legyen a )AI( i −⋅λ operátornak megfelelő )AI(R i −⋅λ rang-mező ami nem más mint azon 0y ≠ -ok halmaza amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy léteznek azok az ix vektorok amelyekre 0yx)AI( ii ≠=⋅−⋅λ . A rang-mező dimenziója RANG egyenlő az )AI( i −⋅λ operátor rangjával (mátrix rangja). Az alapkérdés az, hogy megtaláljuk a NULL értékét. Az A operátor egy n x n –és mátrix, akkor

RANGNULLn += (6.2.2.1)

Legyen )aaa()AI( n21i L=−⋅λ ahol ia oszlopvektorok. Ekkor felírhatjuk, hogy

inn2i21i1 xaxaxay ⋅++⋅+⋅= L vagyis az operátor rangja nem más mint a maximális lineárisan független oszlopvek-torok száma vagyis az A mátrix rangja. Ezek alapján:

• ha az )AI( i −⋅λ rangja n akkor a sajátvektor problémának csak triviális megoldása létezik (NULL=0 csak 0 vektor a sajátvektor)

• ha NULL >0 (ami ugyanazt jelent, hogy n)AI( i <−⋅λ )⇒ 0x)AI( ii =⋅−⋅λ rendszernek van nem triviális megoldá-

sa és a lineárisan független sajátvektorainak száma egyenlő )AI(rangn i −⋅λ− értékével.

Példa Adott a következő állapotegyenlet, keressük meg a sajátvektorait.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

3

2

1

xxx

200410201

xxx

&

&

&

Ebből következnek a következő sajátértékek:

121 =λ=λ és 23 =λ Most felírjuk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=−⋅

100400200

)AI1( és ennek a mátrixnak a rangja 1.

Tehát ⇒=−=−= 213RANG3NULL két lineárisan sajátvektort kaphatunk ha megoldjuk az 0x)AI( ii =⋅−⋅λ egyenletet.

133

⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⇒=⋅−⋅

000

xxx

100400200

0x)AI1(

3

2

1

i

;0x1;0x4;0x2 333 =⋅=⋅=⋅ Innen az következik, hogy 0x3 = , de mivel 1x és 2x nem jelenik meg ebben a három egyenletben azt eredményezi, hogy tetszőlegesen megválaszthatók. Egy lehetséges választás lehet:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

010

x;001

x 21

A harmadik sajátvektort amely a 23 =λ sajátértéknek felel meg, kiszámíthatjuk a 0x)AI2( 3 =⋅−⋅ ⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

000

xxx

000410201

33

32

31

⇒

0x4x0x2x

3332

3331

=⋅−=⋅−

Mivel a rendszer rangja 2 ezért szabadon választjuk 1x33 = értéket, így kapjuk, hogy

4x;2x 3231 == . Így a harmadik független sajátvektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

142

x3

és az így kapott modális mátrix:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100410201

M és ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅⋅−

200010001

MAM 1 .

A sajátvektorokat megkaphatjuk az )AI(Adj −⋅λ formából. Abban az esetben ha az operátornak megfelelő NULL=1, egy sajátvektort úgy választhatunk, hogy arányos legyen bármely nem zéró oszlopvektorral az adjungált formából. Ez az egyedüli sajátvektor amelyet ezen az úton kaphatunk meg. Példa Adott a következő rendszermátrix

134

10)AIdet(331100010

A 321 =λ=λ=λ⇒=−⋅λ⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

most felírhatjuk, hogy 1NULL231110

011)AI1( =⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−⋅

(mert a mátrix rangja kettő és n 3= ), így csak egy sajátvektor határozható meg az adjungált formából, vagyis

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=−⋅121121121

)AI1(adj és innen ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

x1 .

Szükség van még két független vektorra, hogy leírhassuk a három dimenziós teret. Ha Null > 1 akkor )AI(adj −⋅λ és ennek minden deriváltja egészen

{ })AI(adjdd

2q

2q−⋅λ

λ −

−

ahol q=NULL zéró mátrix a iλ=λ többszörös sajátértékre. A q darab lineárisan független sajátvektort megkaphatjuk a nem zéró derivált adjungált mátrix nem zéró oszlop vektoraiként. Ha q egyenlő a sajátérték multiplicitásával, akkor q darab lineárisan független sajátvektort kapunk a

{ }i

|)AI(adjdd

1q

1q

λ=λ−

−−⋅λ

λ mátrixból.

Példa

Keressük meg az ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100121112

A rendszermátrixnak megfelelő modális mátrixot.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−λ−−−−λ

=−⋅λ100121112

)AI( és innen 3;10)AIdet( 321 =λ=λ=λ⇒=−⋅λ

Ha 1i =λ akkor NULL 2= és a megfelelő adjungált mátrix

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−λ⋅−λ−λ−λ⋅−λ−λ−λ−λ−λ⋅−λ

=−⋅λ)3()1(00

1)1()2(111)1()2(

)AI(adj

135

Látható, hogy 1i =λ esetében az adjungált mátrix nulla mátrix. Számítsuk ki

{ }⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−λ⋅−λ⋅

−λ⋅=−⋅λ

λ4200

13211132

)AI(adjdd

és ha 1=λ ⇒ a derivált adjungált forma:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

200111111

⇒ a két sajátvektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

211

x;011

x 21

Ha 3i =λ akkor az adjungált mátrixból kapjuk a harmadik sajátvektort:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011

x3

Így a modális mátrix:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

020111111

M ⊗

B. Szimmetrikus mátrixok Valós és szimmetrikus A mátrixok gyakran előfordulnak a gyakorlatban. A szimmetrikus tulajdonságot az n,,2,1j,ihaaa jiij L== formában írhatjuk le, ahol az

Aaza ij mátrix eleme. Ezeknek a mátrixoknak alapvető tulajdonsági hogy: • minden sajátértékük valós szám • sajátvektorai egy ortogonális bázis alkotnak • ha egy sajátvektor algebrai multiplicitása p, akkor ehhez a sajátértékhez p

lineárisan független sajátvektor tartozik Példa Legyen

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0223

A egy szimmetrikus rendszermátrix.

;4;1043)(p 212 −=λ=λ⇒=−λ⋅+λ=λ⇒ a sajátértékek.

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ

λ=−⋅λ⇒

322

)AI(adj a sajátvektorok,

136

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

x;21

x 21

és látható innen, hogy ez a két sajátvektor ortogonális, vagyis a skaláris szorzatuk zéró, vagyis:

022xxx,x 2121 =−=⋅=⇒ τ Az eddigieket összefoglalva megállapíthatjuk:

1. Minden n x n mátrixnak ha n sajátértéke van akkor nem szükségszerű, hogy ezek egyedi értékek legyenek

2. Minden n x n mátrix amelynek n darab egyedi sajátértéke van, mindig átlós formára hozhatók

3. Ha egy n x n mátrixnak van egy többszörös sajátértéke amely multiplicitása m, akkor és csakis akkor hozható átlós formára, ha NULL = m.

C. Jordan formák Legyen A egy mátrix amelynek az iλ egy m multiplicitású sajátérték és az ennek megfelelő NULL < m ! Ekkor nem lehetséges találni egy szimilaritás transzformációt, hogy egy átlós rendszermátrixot kapjunk, kivéve ha A egy valós, szimmetrikus mátrix. Példa

Legyen .0

1A

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

λ= Ez nem hozható átlós alakra ha 21 λ=λ .

Építsünk fel egy szimilaritás transzformációt úgy, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

qqqq

Q és 211222112221

1211

1 qqqq)Qdet(;)Qdet(

qqqq

Q ⋅−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−

Ha most felírjuk a QAQ 1 ⋅⋅− transzformációt és feltételezzük, hogy a kapott mátrix átlós forma ami azt jelenti, hogy a mellékátló elemei egyenlők zéróval. Ha ezeket az elemeket felírjuk akkor kapjuk, hogy:

0q)(qq

0q)(qq221212111

222211222

=+λ−λ⋅⋅

=+λ−λ⋅⋅

De ha a két sajátérték egyenlő, akkor ⇒ 0qq 2221 == kell legyen mert hanem a fenti összefüggéseknek nincs értelme De ekkor ⇒= 0)Qdet( nem létezik szimilaritás transzformáció, tehát A -nak nincs átlós alakja. ⊗ Igazolhatjuk, hogy bármely négyzetes A mátrix, egy szimilaritás transzformációval Jordan kanonikus formára hozhatjuk, amelynek a következő tulajdonságai vannak:

a.) a mátrix átlós elemei az A mátrix sajátértékei b.) a főátló alatti elemek mind zéró értékűek

137

c.) a főátló feletti elemek egy része egyenlő 1–el. (az egyenlő sajátértékeknek megfelelően)

Példa ilyen Jordan formákra

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λ=

1

1

1

001001

J vagy

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λλ

λλ

=

3

3

2

1

1

1

000001000000000000000001000001

J =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λλ

λλ

3

3

21

1

1

001000

000000000

000000000

001001

Az utóbbi mátrix érzékelteti az úgynevezett Jordan blokkokat a Jordan forma esetében. A −λ i hez tartozó blokkok száma a Jordan formában egyenlő a sajátértékhez tartozó sajátvektorok számával, vagyis a )AI( i −⋅λ NULL értékével. Egy adott iλ sajátértékhez tartozó 1-ek száma egyenlő a iλ multiplicitása a karakterisztikus egyenletben, kivonva a megfelelő NULL érték. A Jordán forma segítségével felírhatjuk a következő összefüggést JMMA ⋅=⋅ amely segítségével kiszámíthatjuk a rendszermátrix sajátvektorait, vagyis az M oszlopvektorait. Jelöljük a sajátvektorokat mint n321 x,,x,x,x L . A iλ hez tartozó m-ed rendű (sajátérték multiplicitása) Jordan blokk akkor és csakis akkor létezik ha m lineárisan független m321 x,,x,x,x L oszlopvektor kielégíti a következő

1mmi

12i

1i

xx)AI(

xx)AI(0x)AI(

−−=⋅−⋅λ

−=⋅−⋅λ

=⋅−⋅λ

LLLLLLLLL

egyenletrendszert. Ezt az egyenletrendszert használjuk a modális mátrix meghatáro-zására. Példa Legyen 1λ háromszoros, 2λ egyszeres sajátértékei A rendszermátrixnak. Keressük meg ennek a mátrixnak megfelelő Jordán formát. A )AI( i −⋅λ NULL értéke meghatározza a Jordán formát.

o 1.eset: ha NULL=3 ⇒ akkor három Jordán blokk étezik. A 1λ -hez rendelt egyesek száma egyenlő a 1λ multiplicitása kivonva a NULL értéke és ez egyenlő 3-3=0. Tehát az A átlós formára hozható.

138

o 2.eset: ha NULL=2 ⇒ akkor két Jordan blokkunk van és az egyesek száma egyenlő 1-el de nem lehet eldönteni melyik blokkhoz tartozik.

o 3.eset: ha NULL=1 ⇒ akkor egy Jordan blokkunk van és két 1-es a főátlóval párhuzamosan

Példa

Adott ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

331100010

A rendszermátrix, határozzuk meg az ehhez tartozó Jordan

formát, majd a rendszer modális mátrixát. A mátrixnak 11 =λ háromszoros sajátértéke. A mátrix RANG=2 s így NULL=1, tehát egy Jordan blokk alkotja a Jordan formát és az 1-ek száma egyenlő 2-vel (multiplicitás - NULL=2). Így a Jordan formát felírjuk mint:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110011

J

Most meghatározzuk a rendszermátrix sajátvektorait. Erre az JMMA ⋅=⋅ mátrix- egyenletet használjuk tudva, hogy az M oszlopvektorai a rendszer sajátvektorai és ekkor felírjuk:

23

12

1

xx)AI1(xx)AI1(

0x)AI1(

−=⋅−⋅

−=⋅−⋅

=⋅−⋅

(6.2.2.2)

Itt

;xxx

x;xxx

x;xxx

x

33

23

13

1

32

22

12

2

31

21

11

1⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

A 6.2.2.2 első egyenletből következik, hogy

0x2x3xxxxx

312111

2131

1121

=⋅+⋅−==

Innen következik, hogy 312111 xxx ==

A választott sajátvektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111

x1

139

A 6.2.2.2 második egyenletből következik, hogy

1x2x3x1xx1xx

322212

2232

1222

=⋅+⋅−+=+=

Innen következik, hogy 12x nem meghatározott, ezért ennek választjuk 1x12 = A választott sajátvektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

321

x 2

A 6.2.2.2 harmadik egyenletből következik, hogy

3x2x3x2xx1xx

332313

2333

1323

=⋅+⋅−+=+=

Innen következik, hogy 13x nem meghatározott, ezért ennek választjuk 1x13 −= A választott sajátvektor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

201

x 2

Innen

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −= −

121132

254M;

231021111

M 1

Láthatjuk, hogy

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅⋅= −

100110011

MAMJ 1

Példa

Adott ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

232011011

A rendszermátrix, határozzuk meg az ehhez tartozó Jordan

formát, majd a rendszer modális mátrixát. A rendszer sajátértékei 11 =λ kétszeres míg 22 =λ egyszeres érték. A 11 =λ értékre NULL=1 akkor ennek a sajátértéknek egy Jordan blokk felel meg egy egyessel a főátlóval párhuzamosan. Kapjuk:

140

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110002

J

A modális mátrixot az előző példában is használt módszer szerint határozzuk meg. A 22 =λ értékre a következő egyenleteket kapjuk:

31211131

211121

1111

x2x3x2x2xxx2

xx2

⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅

=⋅

Az 1x31 = értéket tetszőlegesen választhatjuk és kapjuk a sajátvektort

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100

x1

A 11 =λ értékre a következő egyenleteket kapjuk:

32221232

221222

1212

x2x3x2xxxx

xx

⋅+⋅+⋅=+=

=

Az 1x 22 = értéket tetszőlegesen választhatjuk és kapjuk a sajátvektort

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

310

x1

A 11 =λ értékre a következő egyenleteket kapjuk:

33231333

231323

1313

x2x3x23xxx1x

xx

⋅+⋅+⋅=−+=+

=

Az 0x 23 = értéket tetszőlegesen választhatjuk és kapjuk a sajátvektort

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

501

x1

Innen

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= −

531010135

M;531

010100

M 1

Láthatjuk, hogy

141

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅⋅= −

100110002

MAMJ 1

Példa Adott a következő rendszer mátrix

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0000000010000100

A

A karakterisztikus egyenlet 04 =λ és a ennek megfelelő NULL=2. Így két Jordan blokkunk van és 2 darab egyes van az főátlóval párhuzamosan. Két Jordán forma írható fel.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0000100000000010

Jvagy;

000100010

000

0000

J

Ha a módszert folytatjuk akkor a következő modális mátrixot kapjuk:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2321

1311

24232221

14131211

x0x0x0x0xxxxxxxx

M

és innen a paramétereket úgy válasszuk, hogy az oszlopvektorok lineárisan függetlenek legyenek. A próba-szerencse módszer elkerülése végett bevezetjük az általánosított sajátvektor fogalmát. Azt az kx vektort amely eleget tesz a következő összefüggéseknek

0x)IA(

0x)IA(

kk

i

k1k

i

=⋅⋅λ−

≠⋅⋅λ− −

iλ -nek megfelelő általánosított sajátvektornak nevezzük.

Ez azt jelenti, hogy kx vektor eleme ki )IA( ⋅λ− NULL-mezőjének de nem eleme

1ki )IA( −⋅λ− NULL-mezőjének. Az általánosított sajátvektornak az az előnye, hogy

ha egyszer egy kx vektort megtaláltunk, akkor a többi sajátvektort megtalálhatjuk a következő összefüggések alapján:

142

LLLLLLLLLL

1ki2k

ki1k

x)IA(xx)IA(x

−−

−

⋅⋅λ−=

⋅⋅λ−=

Példa Adott a következő rendszer mátrix

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

331100010

A

Innen 10133 32123 =λ=λ=λ⇒=−λ⋅+λ⋅−λ .

Ekkor

1NULL;2RANG;231110

011)AI( ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−

Így csak egy lineárisan független sajátvektort határozhatunk meg.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

111

x;000

xxx

231110

011

1

13

12

11

Még két sajátvektort kell meghatározzunk az általánosított sajátvektor módszerrel. Ekkor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=−

000000000

)AI(

1RANG;121121121

)AI(

3

2

⇒≠⋅−=⋅− 0x)AI(de0x)AI( 32

33

0xx2x 333231 ≠+⋅−⇒ akkor egy lehetőség

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

201

x3

Az 2x sajátvektort generálhatjuk az 3x sajátvektorból ha felírjuk:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒⋅−=

321

xx)AI(x 232

143

Ezek alapján

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −= −

121132

254M;

231021111

M 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅⋅= −

000110011

MAMJ 1

Összefoglaló

• Minden n x n-és mátrixnak n sajátértéke van, nem mindig egyszeri gyökök. • Minden n x n-és mátrix amelynek n egyszeri gyöke van, mindig átlós formára

hozhatók • Egy n x n –és mátrixnak amelynek iλ egy m-szeres sajátértéke, csak akkor

hozható átlós formára, ha NULL=m • Az n x n –és mátrixnak amelynek iλ egy m-szeres sajátértéke, Jordan formára

hozható ha NULL < m. Megjegyzések a fejezetekhez A. Időben változó (variáns) rendszerek Az időben változó rendszerek leírása az eddig használt módszerekhez képest sokkal nehezebb folyamat. Legyen a következő rendszermodell:

uy)t(by)t(ay =⋅+⋅= &&&

Látható, hogy az erősítési tényezők (a(t),b(t)) időben változó mennyiségek és nem konstans tényezők mint az eddig tárgyalt esetekben. Mindenekelőtt a differenciál-egyenlet nem egy lineáris egyenlet. A rendszerelmélet külön fejezetei foglalkoznak az időben változó rendszerekre vonatkozó fogalmakkal és itt nem térünk ki ezekre. B.Nemlineáris rendszerek Nemlineáris rendszerek blokkdiagramjahoz be kell vezetni speciális funkciójú blokkokat. Így például legyen:

Ahol M egy nemlineáris operátor, míg f( ) egy nemlineáris függvény. Példának vegyük yxxMy ⋅= tehát egy multiplikációt jelentő operátor, míg 3y)y(f = nem linearitást jelenti és legyen a nemlineáris rendszerünk modellje:

144

uybyyay 3 =⋅+⋅⋅+ &&&

Ennek megfelelő blokk diagram látható a következő ábrán. Ezek tárgyalása sem képezi ennek a könyvnek az anyagát.

Látható, hogy a szimulációs diagram tartalmazza a nemlineáris operátort mint átviteli elem, de egy ilyen rendszerre nem írhatunk fel egy az eddigiekben ismertetett állapotegyenlet rendszert.

145

7. Transzformációk a rendszerelméletben A folytonos jeleket és a rendszereket leíró függvények és egyenletek tanulmányozá-sában használt hatásos eszközök a Fourier transzformáció a Laplace transzformáció. A diszkrét jelek és rendszerek esetében a diszkrét Fourier transzformációt valamint Z-transzformációt használjuk. A transzformációk eredménye egy jel (modell) a frekvencia tartományban. Az így kapott matematikai forma ekvivalens az eredeti kiindulási formájával és ez az ekvivalencia egyértelműen meghatározott vagyis az időtartománybeli módszerekkel ekvivalens reprezentációs eszközöket (módszereket) biztosít valós vagy komplex frekvencia tartományban. A transzformációk előnye, hogy az így kapott új matematikai eszközök esetében általában egyszerűbb matematikai eljárások állnak rendelkezésünkre a rendszerek és jelek tanulmányo-zására. Hasonló a helyzet a diszkrét rendszerek esetében is. Mindezek a módszerek lineáris, időben invariáns rendszerek esetében alkalmazhatók. Nem célja ennek a fejezetnek, hogy teljes részletességében mutassa be a transzformációkat. Itt a hatásos alkalmazhatóságon van a hangsúly. Nem térünk ki a számítógép támogatta gyors számítási algoritmusokra sem. A hangsúly az elkövetkezőkben a transzformáció eredményének értelmezésére és alkalmazására irányul.

7.1. Fourier sorbafejtés és transzformáció Legyen f(t,T) egy szakaszonként folytonos (megszámlálhatóan végtelen) és differenciál-ható, korlátos változású függvény, akkor felírható Fourier sor alakban. Egy periodikus időfüggvényt a jel amplitúdója, körfrekvenciája (periódusa), és kezdőfázisa határozza meg. Tudjuk, hogy a körfrekvencia és periódus közötti összefüggés:

T2 π⋅

=ω

Bizonyítás nélkül egy f(t,T) periodikus jel Fourier sorát a következőképpen írjuk fel:

∑∞

=⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅=

0iii ))tisin(B)ticos(A()T,t(f (7.1.1)

Az együtthatókat a következő összefüggésekkel számítjuk ki:

∫

∫

∫

−

−

−

⋅⋅ω⋅⋅⋅=

⋅⋅ω⋅⋅⋅=

⋅⋅=

2T

2T

2T

2T

2T

2T

dt)tisin()T,t(fB

dt)ticos()T,t(fA

dt)T,t(fA

T2

i

T2

i

T1

0

(7.1.2)

Ha a Fourier sor komplex alakját keressük, akkor a következő helyettesítéseket alkalmazzuk:

146

2ee)ticos(

2ee)ticos(

)ti(j)ti(j

)ti(j)ti(j

⋅ω⋅⋅−⋅ω⋅⋅

⋅ω⋅⋅−⋅ω⋅⋅

−=⋅ω⋅

+=⋅ω⋅

(7.1.3)

∑

∑∑

∑

∞

−∞=

⋅ω⋅⋅

⋅ω⋅⋅−∞

=

⋅ω⋅⋅∞

=

∞

=

⋅ω⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅ω⋅⋅−⋅ω⋅⋅

⋅⋅−

=

=⋅⋅+

+⋅⋅−

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −⋅+

+⋅=

i

)ti(jii

)ti(j

0i

ii)ti(j

0i

ii

0i

)ti(j)ti(j

i

)ti(j)ti(j

i

e2

BjA

e2

BjAe

2BjA

2eeB

2eeA)T,t(f

Jelöljük: 2

BjAC iii

⋅−=

a komplex együtthatót és így a Fourier sor a következő formában írható:

∫∑−

⋅ω⋅⋅−∞

−∞=

⋅ω⋅⋅ ⋅⋅=⋅=2T

2T

)ti(jT1

ii

)ti(ji e)T,t(fCahol;eC)T,t(f (7.1.4)

A 7.1.1. ábra a négyszögfüggvény Fourier sorának első öt komponensét mutatja, vagyis a következő komponenseket.

))t7sin()t5sin()t3sin()t(sin(f)t(f 071

051

031

004 ⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅= π

7.1.1. ábra

A. Fourier transzformáció Ha a függvény nem periodikus, akkor nem alkalmazhatjuk a Fourier sorbafejtés műveleteit. Anélkül, hogy részletekbe bocsátkoznánk, mondjuk, hogy egy nem

147

periodikus függvényt tekinthetjük, úgy mint a periodikus függvények olyan határesetét amelynél ∞→T . Ekkor felírhatjuk

ω⋅⋅ω⋅⋅π⋅

= ⋅ω⋅∞

∞−∫ de)j(F

21)t(f tj (7.1.5)

ahol

∫∞

∞−

⋅ω⋅− ⋅=ω⋅ dte)t(f)j(F tj (7.1.6)

Az )j(F ω⋅ komplex spektrum az f(t) függvény Fourier transzformáltjának nevezzük. A Fourier transzformáció konvergenciájának a feltétele, hogy

∞<⋅∫∞

0

dt)t(f

legyen, vagyis az f(t) abszolút integrálható legyen a pozitív valós számok halmazán. A nem periodikus függvények esetében )j(F ω⋅ az amplitúdó sűrűség spektruma és ez egy folytonos függvény, míg periodikus jel esetében ez egy diszkrét (vonalas) függvény. A ωΔ⋅ω⋅ 2)j(F mennyiség a jelösszetevők energiájával arányos. B. Diszkrét jelek Fourier-sorbafejtése Adott az ]n[f diszkrét jel. A jel mintavételezési periódusa sT . Az ]n[f jel periodikus ha létezik egy legkisebb 0N > természetes szám úgy, hogy

]Nn[f]n[f += minden n egész számra. A periódus másodpercben kifejezett értéke sTN ⋅ . Ebben az esetben a jel körfrekvenciája

sTN2⋅π⋅

=ω (7.1.7)

Vezessünk be egy jelölést:

L,2,1,0m;ee]n[ Nnm2j

Tnmjm

s ±±===Φ⋅⋅π⋅⋅

⋅⋅ω⋅⋅

ahol m egy frekvencia index, n pedig a diszkrét idő index. Könnyen igazolható, hogy a ]n[mΦ periodikus és a periódusa N vagyis ]Nn[]n[ mm +Φ=Φ . Igazolhatjuk, hogy

⎩⎨⎧

⋅±±≠⋅±±=

=

−

−===Φ ⋅π⋅⋅

⋅⋅π⋅⋅

∑∑ ∑−

=

⋅π⋅⋅−

=

−

=

⋅⋅π⋅⋅

L

L

,N2,N,0m0,N2,N,0mN

e1

e1)e(e]n[N

m2j

N)N

m2j(n1N

0n

Nm2j1N

0n

1N

0n

Nnm2j

m

Ennek alapján láthatjuk, hogy:

⎩⎨⎧

⋅±±≠⋅±±=

==⋅ ∑∑−

=

−⋅π⋅⋅⋅⋅⋅π⋅⋅−−

=

⋅⋅π⋅⋅

L

L

,N2k,Nk,km0,N2k,Nk,kmN

eee1N

0n

N)km(n2j

Nnk2j1N

0n

Nnm2j

.

Ez meg nem más mint az ortogonalítás feltétele.

148

Ezek alapján egy f diszkrét periodikus jel egyértelműen felírható mint ]n[mΦ lineáris kombinációja, vagyis

∑−

=

⋅⋅π⋅⋅

⋅=1N

0n

Nnm2j

m ec]n[f (7.1.8)

A cél, meghatározni a mc Fourier együtthatókat.

Ha beszorozzuk az előbbi egyenletet Nnm2j

e⋅⋅π⋅⋅

−kifejezéssel, és használva az

ortogonalitás tulajdonságot, akkor kapjuk:

∑−

=

⋅⋅π⋅⋅−

⋅⋅=1N

0n

Nnm2j

m e]n[fN1c (7.1.9)

Egy periodikus diszkrét ]n[f függvény esetében, ha kiszámítjuk a mc együtthatókat, akkor ezek segítségével tanulmányozhatjuk a függvény frekvencia tartományban való viselkedését. Ezek a mc együtthatók komplex mennyiségek, felírhatjuk úgy az amplitúdóját, mint a fázisszög összefüggéseit. Könnyen igazolható, hogy mNm cc =+ , vagyis a mc komplex együttható periodikus. Ha a ]n[f egy valós jel akkor a diszkrét Fourier sor együtthatói modulusza páros szimmetriájú (páros függvény), míg a fázisok páratlan szimmetriájú (páratlan függvény) formák. Példa Adott a következő, 7.1.1. ábrán látható diszkrét periodikus függvény:

LL +δ+δ+δ+= ]2[]1[]0[]n[f

7.1.1. ábra

és a mintavételezési periódus .Ts Láthatjuk, hogy N=3. Ezek alapján kiszámíthatjuk a jel Fourier együtthatóit, vagyis:

32])2[f]1[f]0[f(e]n[fc 3

12

0n

3n02j

31

0 =++=⋅= ∑=

⋅⋅π⋅⋅−

)886.0j5.0()e]2[fe]1[f]0[f(e]n[fc 313

4j32j

31

2

0n

3n12j

31

1 ⋅+=⋅+⋅+=⋅=π⋅⋅−π⋅⋅−

=

⋅⋅π⋅⋅−

∑

)886.0j5.0()e]2[fe]1[f]0[f(e]n[fc 313

8j34j

31

2

0n

3n22j

31

2 ⋅−=⋅+⋅+=⋅=π⋅⋅−π⋅⋅−

=

⋅⋅π⋅⋅−

∑

Ezek a jel frekvencia komponensei amelyek a frekvencia tartomány abszcisszáján az

149

2,1,0m];[TN

2mm srad

s=

⋅π⋅

⋅=ω⋅ helyet foglalják el.

Ezek az értékek ][3

40,3

20,0 sradππ⋅ .

C. Diszkrét Fourier-transzformáció Jelölje )(X ω az ]n[x diszkrét jel Fourier transzformáltja és ezt felírhatjuk mint:

∑∞

−∞=

⋅ω⋅−⋅=ωn

nje]n[x)(X (7.1.10)

Hogy ez létezzen ez a sor konvergens kell legyen. Ennek szükséges feltétele:

∞<∑∞

−∞=n]n[x

Az inverz transzformáció képlete

ω⋅ω⋅π⋅

= ⋅ω⋅

π⋅∫ de)(X

21]n[x nj

2

(7.1.11)

Példa

Számítsuk ki a ⋅= n21 )(]n[x 1[n] diszkrét jel Fourier transzformáltját:

Felírjuk

∑∑∑∞

=ω⋅−

ω⋅−∞

=

⋅ω⋅−∞

−∞=

⋅ω⋅−

⋅−=⋅=⋅=⋅=ω

0nj

21

nj21

0n

njn21

n

nj

e11)e(e)(e]n[x)(X

Felhasználtuk a geometriai sor összegképletét ⊗<−

=∑∞

=)1a;

a11a(

0n

n .

Példa Számítsuk ki a ]n[A]n[x δ⋅= diszkrét jel Fourier transzformáltját: Felírjuk

⊗=⋅δ⋅=⋅δ⋅=ω ⋅ω⋅−∞

−∞=

⋅ω⋅−∑ Ae]0[Ae]n[A)(X 0j

n

nj

Bizonyítás nélkül felsoroljuk a diszkrét Fourier transzformáció néhány, fontosabb tulajdonságát.

o Periodicitás

150

)(X)2(X ω=π⋅+ω

o Lineárítás. Ha ]n[xa]n[xa]n[x 2211 ⋅+⋅= egy diszkrét jel, akkor

)(Xa)(Xa)(X 2211 ω⋅+ω⋅=ω .

o Diszkrét idejű eltolás. Az ]nn[x 0− jel Fourier transzformáltja )(Xe 0nj ω⋅⋅ω⋅−

o Frekvencia eltolás

Az nj 0e]n[x ⋅ω⋅⋅ jel transzformáltja )(X 0ω−ω

o Reflexív tulajdonság. Az ]n[x − jel Fourier transzformáltja )(X 0ω−

o Konvolútív szorzat.

Az ]n[h]n[x]k[y ∗= konvolútiv szorzat Fourier transzformáltja )(H)(X)(Y ω⋅ω=ω

Példa Adott egy diszkrét rendszer amelyet a ]1n[]n[]n[h −δ+δ= diszkrét súlyfüggvény

jellemez és a bemenő jel pedig ⋅= n21)(]n[x 1[n]. Számítsuk ki a rendszer kimenő

jelét Fourier transzformációt használva. A súlyfüggvény Fourier transzformáltja ω⋅+=ω -je1)(H míg a bemenő jelé

ω⋅−⋅−=ω j

21 e1

1)(X .

A tulajdonságok alapján felírhatjuk:

ω⋅−

ω⋅−

ω⋅−ω⋅−ω⋅

⋅−+

⋅−=

⋅−⋅+=ω j

21

j

j21j

21

j-

e1e

e11)

e11()e1()(Y

Inverz Fourier transzformációt alkalmazva a következő diszkrét kimenetet kapjuk:

n21 )(]n[y = 1[n]+ 1n

21)( − 1[n-1] ha 0n ≥ .⊗

D. Parseval reláció Tudjuk, hogy egy ]n[x diszkrét jel teljes energiája:

∑∞

−∞==

n

2]n[x]n[E (7.1.12)

A Parceval összefüggést felírhatjuk mint:

151

∫∑π

π−π⋅

∞

−∞=ω⋅ω⋅== d)(X]n[x]n[E 2

21

n

2 (7.1.13)

Ebből kiolvasható, hogy egy jel energiája kiszámítható úgy is, hogy kiszámítjuk a jel Fourier transzformáltját. Példa Számítsuk ki a következő ]1n[]n[]n[x −δ+δ= jel energiáját

2)1()1(]n[x]n[E 22

n

2 =+== ∑∞

−∞=

Az előbbiekben láttuk, hogy

ω⋅+=ω -je1)(X , így a Parceval összefüggés alapján felírhatjuk, hogy:

∫∫π

π−π⋅

π

π−

ω−π⋅ ω⋅ω⋅−ω+⋅=ω⋅+⋅= d)sin(j)cos(1de1]n[E 2

21

2j21

2d))(sin))cos(1((]n[E 2221 ==ω⋅ω+ω+⋅= ∫

π

π−π⋅ L

7.2. Laplace transzformáció A Laplace transzformáció egy valós változójú (általában ez a független változó, a t vagyis az időtartomány változója) valós függvényhez hozzárendel egy komplex változójú komplex függvényt. Az f(t) Laplace transzformáltját jelöljük F(s)-el. Az itt bevezetett s komplex változót még komplex frekvenciának is nevezzük. Amint azt a 7.2.1. ábra szemlélteti, az idő tartományból a komplex S tartományba visz a Laplace megfeleltetés.

7.2.1. ábra

152

A Laplace transzformáció meghatározása:

∫∞

⋅− ⋅⋅==0

ts dte)t(f)}t(f{L)s(F (7.2.1)

Az s változót felírjuk mit a valós és a képzetes részek összegét:

}sIm{};sRe{;js =ω=σω⋅+σ= (7.2.2)

Ha a 0=σ akkor a Laplace transzformáció a Fourier integrált adja. A Laplace transzformáció konvergenciájának feltétele:

∫ ∞<⋅⋅ ⋅σ dte)t(f t (abszolút konvergencia kritérium). Alaptulajdonságok Az elkövetkezőkben 212

L21

L1 k,k);s(F)t(f);s(F)t(f ⎯→←⎯→← valós számok

1. Lineáritási elv

Ha 21 k,k állandó vagy t-től vagy s-től független mennyiségek, akkor:

)t(Fk)t(Fk)}t(f{Lk)}t(f{Lk)}t(fk)t(fk{L 221122112211 ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅

2. Eltolási elv

Ha f(t) a 0t = helyett az esemény 0tt = pillanatban indul akkor:

)s(Fe)}tt(f{L st0

0 ⋅=− ⋅−

3. Differenciálhányados transzformáltja

)0(f)s(Fs}dt

)t(df{L −⋅=

)0(f)0(fs)s(Fs}dt

)t(fd{L '22

2−⋅−⋅=

,LLL

∑=

=−

−−

−−−

=

=−−⋅−⋅−⋅=

n

1i0t)1i(

)1i(in

1n''2n1nnn

n

|dt

)t(fds

)0(f)0(fs)0(fs)s(Fs}dt

)t(fd{L L

ahol 0t = pillanatban a kezdeti feltételek szerepelnek a fenti képletekben.

4. Az integrál transzformáltja

s)0(f)s(F

s1}dt)t(f{L

1−−⋅=⋅∫

153

5. Frekvenciatartományi eltolás

)as(F)}t(fe{L ta −=⋅⋅

Példa Határozzuk meg az egységugrás Laplace transzformáltját

{L)s(F = 1(t)s1dtedte1}

0

ts

0

ts =⋅=⋅⋅= ∫∫∞

⋅−∞

⋅−

6. Konvolúció transzformáltja

Legyen ∫ τ⋅τ−⋅τ≡∗=t

01121 d)t(f)(f)t(f)t(f)t(f meghatározás szerint, két

valós függvény konvolúciós szorzata (az )t(f1 súlyfüggvénnyel rendelkező rendszernek az )t(f2 bemenő jelre adott válasza). A Laplce transzformáció eredménye:

F(s)= )s(F)s(F)}t(f)t(f{L)s(F 2121 ⋅=∗==

7. Konvolúció komplex frekvencia tartományban

11

jc

jc21121 ds)ss(F)s(F

j21)}t(f)t(f{L ⋅−⋅⋅⋅π⋅

=⋅ ∫∞⋅+

∞⋅−

8. Állandósult állapot

Az F(s) Laplace transzformáltból közvetlenül meghatározható valamely f(t) időfüggvénynek a += 0t -hoz és ∞=t -hez értékei.

)s(Fslim)0(fp

⋅=∞→

+ valamint

)s(Fslim)(f0p⋅=∞

→.

9. Komplex differenciálás törvénye

k

kkk

ds)s(Fd)1()}t(ft{L ⋅−=⋅

Példa

Határozzuk meg a frekvenciatartományban adott )s1.01(s

20)s(F⋅+⋅

= jelnek

megfelelő, az időtartományban a kezdeti és végsőértékeket.

154

20)s1.01(

20lim)s1.01(s

20slim)s(Fslim)(f

0)s1.01(

20lim)s1.01(s

20slim)s(Fslim)0(f

0p0p0p

ppp

=⋅+

=⋅+⋅

⋅=⋅=∞

=⋅+

=⋅+⋅

⋅=⋅=

→→→

∞→∞→∞→

+

Az inverz transzformációt az

∫⋅+σ

⋅−σ

⋅− ⋅⋅⋅π⋅

==sj

sj

ts1 dse)s(Fj2

1)}s(F{L)t(f (7.2.3)

összefüggés adja. A σ értékét úgy kell megválasztani, hogy F(s) szinguláris pontjai a σ=}sRe{ egyenes bal oldalán helyezkedjenek el majd a komplex integrálást a

rezidiuum-tétel segítségével kiértékeljük. A fontosabb függvények Laplace transzformáltját a következő táblázat tartalmazza:

Nr. f(t); és f(t)=0 t<0 F(s) 1. jelDirac)t( −δ 1 2. 1(t) – egységugrás s

1 3. t

2s1

4. !n

tn 1ns

1+

4. tae ⋅− as1+

5. t tae ⋅−⋅ 2)as(1+

6. tan et ⋅−⋅ 1n)as(!n++

7. sin( )t0ω 20

20

s ω+

ω

8. cos( )t0ω 20

2ssω+

9. 1- tae ⋅− )as(sa+⋅

10. )ta1e( taa12 ⋅+−⋅ ⋅−

)as(s1

2 +⋅

Általában az inverz transzformáció kiszámítására a fenti táblázat adta átalakítási formákat használjuk. Adott F(s) és keressük a )t(f)}s(F{L 1 =− időtartománybeli függvényt. Ha az F(s) nem szerepel a táblázatban, akkor első lépésként az F(s)-t felbontjuk elemi függvényformákra, olyanokra amelyek szerepelnek a táblázatban. Így

)s(F)s(F)s(F)s(F 111 +++= L ahonnan

)t(f)t(f)t(f)}s(F{L)}s(F{L)}s(F{L)}s(F{L

n21

n1

21

111

+++==+++= −−−−

L

L

A legtöbb szabályzási feladatban:

155

)s(D)s(N

ssddsnsnn

)s(F n10

mm10 =++⋅+

⋅++⋅+=

L

L

Ha nm > akkor polinom osztással eljutunk az nm < esethez, ezért az elkövetkezőkben csak ezt az esetet tárgyaljuk. Az F(s) most felírható mint:

)ss()ss()ss()s(N)s(F

n21 −⋅⋅−⋅−=

L

ahol az L,2,1isi = az átviteli függvénynek megfelelő pólusok. A következő eseteket különböztetjük meg:

• A pólusok egyszeri gyökök. )s(Hss

c)s(Fn

1k k

k =−

= ∑=

és ∈kc C és innen

felírhatjuk, hogy 0thaec)t(fn

1k

tsk

k >⋅= ∑=

⋅ . Az együttható értékét

meghatározhatjuk a reziduum számítás módszerével:

kk ssk1ssk

k1

kk |

dsdD)s(Dn,,1k|

)s(D)s(N)ss(

)s(D)s(Nc == ==⋅−== L

• A pólusok többszörös gyökök. Legyenek az F(s) pólusai

o,,1k,rk L= multiplicitású pólusok. Ekkor felírhatjuk, hogy

∑∑ ∑= = =

=−

=o

1k

r

1j

o

1jkj

k

kjkrn;

)ss(

c)s(F .Innen felírhatjuk, hogy

0t;)!1j(

tce)t(f

kk

r

1j

1jkj0

1k

ts >−

⋅= ∑∑

=

−

=

⋅

ahonnan

kk

k

k

ssr

k)jr(

)jr(

kkj |]})ss()s(F[

dsd{

)!jr(1c =−

−−⋅⋅

−=

• A pólusok konjugált komplex gyökök. Legyenek ezek 112,1 js ω⋅±σ= , ekkor

)s(F)s(F)s(F)s(F n32,1 +++= L

Itt pedig )j(s

c)j(s

cF

11

1

11

12,1 ω⋅+σ−

+ω⋅+σ−

= és 112,1 jc ε⋅±δ=

De

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

δ⋅=βσ⋅−=α

ε⋅ω+β⋅σ⋅−=βω+σ=α

⇒+⋅α+α

⋅β+β=

11

11

11110

21

210

210

102,1

22

)(2ss

sF

156

A 0β és 1β együtthatók meghatározása a reziduum számítás alapján történhet,

vagyis 11 ss21ss10 |

)s(D)s(N)ss()ss(|)s( == ⋅−⋅−=⋅β+β és felhasználjuk a két

komplex szám egyenlőségére vonatkozó tételt. Példa

Határozzuk meg a következő F(s) függvény inverz transzformációját:

)2s()2s2s(1)s(F 2 +⋅+⋅+

=

A pólusok 2s

j11s

3

2,1

−=

⋅±−=

j2j1

1j)(|1s

1|)s( 21

21

110ssss10 11⋅−=

++−=β⋅+β−β⇒

+=⋅β+β⇒ ==

Innen (komplex számok egyenlősége)

221

1

10

−=β

=β−β00 =β⇒

Felhasználva

21|

)2s()2s2s(1)2s(c

3ss23 =+⋅+⋅+

⋅+= =

Következik, hogy

2s1

21)

1)1s(1

1)1s(1s(

21

2s1

21

2s2ss

21)s(F 222 +

⋅+++

−++

+⋅−=

+⋅+

+⋅+⋅−=

A táblázat alapján kapjuk, hogy 0t);e)tsin(e)tcos(e()t(f t2tt

21 >−⋅−⋅⋅−= ⋅−−−

Láthatjuk, hogy 0)t(flimt

=∞→

és ez várható volt a pólusok ismeretében.

• A komplex többszörös gyököket itt nem tárgyaljuk. A Laplace transzformáció és inverz transzformáció használható a differenciál-egyenletek megoldásában.

7.2.1. Átviteli függvény (összefoglaló) Adott egy koncentrált paraméterű, folytonos LTI rendszer amelyet a következő differenciálegyenlet modellez:

∑∑==

⋅=⋅m

0jj

j

j

n

0ii

i

idt

)t(udbdt

)t(yda (7.2.1.1)

Itt az u(t) jelenti a bemenő, az y(t) a kimenő jelet. Minden kezdeti feltételt nullának vesszük. Ha most kiszámítjuk az előző differenciálegyenlet Laplace transzformáltját, akkor a következő összefüggést kapjuk:

157

∑∑==

⋅⋅=⋅⋅m

0j

jj

n

0i

ii sb)s(Usa)s(Y (7.2.1.2)

Innen következik, meghatározás szerint, az átviteli függvény zéró kezdeti feltételek mellett, vagyis :

)s(D)s(N

sasasaasbsbsbb

)s(U)s(Y)s(H n

n2

210

mm

2210 =

⋅++⋅+⋅+

⋅++⋅+⋅+==

L

L (7.2.1.3)

vagy

n

m0

m21n

m21mabK

)ps()ps()ps(a)qs()qs()qs(b)s(H =

−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−⋅

=L

L (7.2.1.4)

• n – a differenciálegyenlet rendje és a D(s) = 0 az n-ed rangú karakterisztikus

egyenlet • m – a kimenet rendje (kimenetek száma) • H(s) a rendszer átviteli függvénye – egy racionális függvény ahol az s-sík

( ω⋅+σ= js ) az értelmezési tartomány • Egy SISO rendszer esetében amikor egy bemenet egy kimenete van a

rendszernek, az átviteli függvény teljesen jellemzi a rendszert. • A D(s) = 0 a rendszer karakterisztikus egyenlete, ennek gyökei a rendszer

pólusai és ezek n,,2,1iip L= -el jelöltük.

• Az N(s) = 0 gyökei a rendszer zérósai • Az s-tartományban a ki/bemeneti reláció )s(U)s(H)s(Y ⋅=

• Időtartományban τ⋅τ⋅τ−=∗= ∫ d)(u)t(h)t(u)t(h)t(yt

0

és ezt konvolutív

szorzatnak nevezzük. Itt a h(t) a súlyfüggvény és definició szerint )}t(H{L)t(h 1−=

• A súlyfüggvényt még meghatározhatjuk mint a rendszer válaszát a Dirac-jelre. Ezt felírhatjuk mint )t(h)t(y)s(H)s(Y)}t({L)s(H)s(Y =⇒=⇒δ⋅=

• Legyen )tsin(eu)t(u t ⋅ω⋅⋅= ⋅σ egy szinuszjel. Stabil kimeneti állapotban a

rendszer válasza: ))j(tsin(eu)j(H)t(y t ω⋅+σφ+⋅ω⋅⋅⋅ω⋅+σ= ⋅σ ahol

)}jarg{()j( ω⋅+σ=ω⋅+σφ . Itt )j(H ω⋅+σ a rendszer válaszának modulusza (erősítési tényező, gain) és )j( ω⋅+σφ a válasz fáziseltolódása. Úgy a modulusz mint a fáziseltolás frekvenciafüggő.

• Ha nm > akkor a rendszer fizikailag nem létezik, nem realizálható. A megvalósíthatóság feltétele nm ≤ . Ellenkező esetben

ha ∞→∞→ )s(Hakkors . • A megvalósítható átviteli függvény tulajdonsága, hogy 0

sK)s(Hlim =

∞→. Az

ilyen rendszert nevezzük valódi rendszernek. Ha 0K0 = akkor a rendszer szigorúan valódi rendszer.

• Ha egy várakozási idő jellemzi a rendszer, amit még holtidőnek is nevezünk, a holtidő hossza legyen dT ). A rendszer differenciálegyenlete

158

∑∑==

−⋅=⋅

m

0jj

dj

j

n

0ii

i

idt

)Tt(udb

dt)t(yda

és ekkor a rendszer átviteli függvénye dTse)s(D)s(N)s(H ⋅−⋅=

7.2.2. Dirac-jel Laplace transzformációja A Dirac-jel, vagy )t(δ disztribúció (pszeudó-függvény, disztribúció) Laplace transzformációját kezeljük úgy is mint a jel meghatározását. Legyen

∫∞

⋅− ⋅⋅δ=δ0

ts dte)t()}t({L forma NEM létezik mivel )t(δ nem függvény és

szingularitása egybeesik az alsó integrálási határral. A )t(δ –t megközelítőleg leírhatjuk mint

);t(rlim)t(0ε

→ε=δ ahol

⎪⎩

⎪⎨⎧ ε≤≤ε=ε

máshol0

t01r

εr NEM differenciálható forma Így az εr függvény használata nem járható matematikai eljárás a Laplace transzformáció kiszámítására. Vegyük most

(1)t(rε

=ε 1(t)- 1(t- ε ))

de az integrálás nem függ ε -tól, így

∫∞

→ε ε=δ

00

(1lim)}t({L 1(t)- 1(t- ε )) =⋅⋅ ⋅− dte ts

)}e1(s11{lim)}t({L s

0⋅ε−

→ε−⋅

ε=δ

Most 'L Hospital eljárását alkalmazva a határozatlanság eltüntetésére, kapjuk, hogy

1s

eslim)}t({Ls

0=

⋅=δ

⋅ε−

→ε

Példa Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet:

)t(dt

)t(dyδ=

Az előbbiekben ismertetett eljárás eredményét alkalmazzuk és így a következő lépésekben írhatjuk fel a megoldást (zérós kezdeti feltételek mellett).

159

I. A Laplace transzformációt alkalmazva kapjuk )0)0(y(1)0(y)s(Ys ==−⋅ −−

II. Y(s)s1

=

III. y(t)=1(t)

Innen azt következtetjük, hogy az egységugrás függvény időbeni deriváltja egyenlő a Dirac-jellel Példa Használjuk a Laplace transzformációt, hogy kiszámítsuk tAe ⋅ mátrixfüggvény

értékét, ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1011

A .

Tudjuk, hogy egy LTI rendszer homogén állapotegyenletének ( xA)t(x ⋅=& )

megoldása, az )0(x kezdeti állapotokat figyelembe véve )0(xe)t(x tA ⋅= ⋅ . Tehát tAe ⋅ kiszámítása ténylegesen a rendszer állapotegyenleteinek megoldását szolgálja.

A rendszermátrix sajátértékei 121 =λ=λ . Kiszámítjuk az állapotegyenlet Laplace transzformációját.

)0(x)s(X)AIs()s(XA)0(x)s(Xs}xA)t(x{L =⋅−⋅⇒⋅=−⋅⇒⋅=& És innen következik, hogy

)0(x})AIs{(L)t(x)0(x)AIs()s(X 111 ⋅−⋅=⇒⋅−⋅= −−−

Így a megoldás

=⋅tAe })AIs{(L 11 −− −⋅

Felírjuk:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=−⋅⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=−⋅ −

1s10

)1s(1

1s1

)1s(

1s011s

)AIs(1s0

11s)AIs(

2

21

Ha most egyenként kiszámítjuk az előbbi mátrix minden elemének inverz Laplace transzformáltját, akkor kapjuk, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅t

tttA

e0etee

Példa

Adott a következő átviteli függvény

160

1s2s1

)s(U)s(Y)s(H 2 +⋅+==

Írjuk fel az ennek megfelelő állapotteres egyenleteteket.

⇒ )s(U)s(Y)s(Ys2)s(Ys2 =+⋅⋅+⋅ ⇒

⇒ )t(u)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd2

2

=+⋅+ ⇒

Legyen )t(y)t(x)t(x

)t(y)t(x

12

1

&& ===

⇒

A differenciálegyenlet felírható mint

)t(u)t(x2)t(x)t(x)t(y)t(y2)t(u)t(y)t(x)t(u)t(y)t(y2)t(y

212

2

+⋅−−=⇒−⋅−==⇒=+⋅+

&

&&&&&&&

Ekkor felírhatjuk az állapotteres egyenleteket

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2

1

xx

01y

)t(u10

xx

2110

xx&

&

Induljunk ki most az átviteli függvény egy átalakított formájából.

)s(H)s(H1s

11s

1

1s22s

1)s(H 11 ⋅=+

⋅+

=+⋅+

=

tehát sorba kötött, két )(1 sH átviteli függvénnyel rendelkező rendszer. Ekkor az állapotteres egyenleteket felírhatjuk mint (erre a későbbiek során még visszatérünk)

1

22

121

xy)t(u)t(x)t(x

)t(x)t(x)t(x

=+−=

−=&

&

és ezek alapján felírhatjuk, hogy

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2

1

xx

01y

)t(u10

xx

1011

xx&

&

Láthatjuk, hogy formailag a két módszer más A mátrixot eredményez. Ez látszólagos különbség csupán. A rendszer dinamikája szempontjából ez a két leírása ekvivalens. Fontos megfigyelés, hogy az u(t) bemenet nincs hatással mindkét állapotra. ⊗

161

7.3. Z-transzformáció A Z-transzformáció egy diszkrét jel frekvencia tartományba való transzformációja. Adott az ]n[x diszkrét jel, akkor ennek a bilaterális transzformáltját a következő képlet adja:

LL +⋅+⋅+⋅+⋅−+⋅−+=⋅= −−∞

−∞=

−∑ 21012

n

n z]2[xz]1[xz]0[xz]1[xz]2[xz]n[x)z(X

(7.3.1) ahol a z egy komplex változó. Példa Írjuk fel a következő diszkrét jel

]2n[2]1n[1]n[2]1n[1]2n[2]n[x −δ⋅+−δ⋅−δ⋅++δ⋅−+δ⋅=

Z-transzformáltját. A meghatározás alapján:

211221012 z2z2zz2z2z1z2z1z2)z(X −−−− ⋅+−+−⋅=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

Látható, hogy a 2z− tag egy sT2 ⋅ időegység késleltetést és egy 3z pedig egy sT3 ⋅ anticipatív időintervallumot jelent. Az ]n[x diszkrét jel unilaterális transzformáltját (ha 0n;nn 00 =≥ )

∑∞

=

−⋅=0n

nz]n[x)z(X (7.3.2)

képlettel írjuk fel. Példa Írjuk fel az ⋅= k]n[x 1 ]n[ jel Z-transzformáltját. A megoldás:

10n

n1

0n

n

z1k)z(kzk)z(X−

∞

=

−∞

=

−

−=⋅=⋅= ∑∑

Példa Írjuk fel az njn eak]n[x ⋅ω⋅⋅⋅= 1 ]n[ jel Z-transzformáltját. A megoldás:

1j0n

n1j

0n

nnjn

zea1k)zea(kzeak)z(X

−ω⋅

∞

=

−ω⋅∞

=

−⋅ω⋅

⋅⋅−=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∑∑

162

A. Konvergencia feltételek A Z-transzformáció esetében a komplex z változót felírhatjuk mint ω⋅⋅= jerz vagyis ez a komplex szám poláris koordinátákban való ábrázolása. Így a 7.3.1 felírható mint:

∑∑∞

−∞=

⋅ω⋅−−∞

−∞=

−ω⋅ω⋅ ⋅⋅=⋅⋅=⋅n

njn

n

njj er]n[x)er(]n[x)er(X (7.3.3)

Innen egy nagyon fontos dolgot vehetünk észre, vagyis az ]n[x jel Z-transzformáltja

nem más mint nr]n[x −⋅ jel Fourier transzformáltja. Ha 1r = akkor ω⋅= jez és

1ez j == ω⋅ az egységsugarú kör.

Az ]n[x jel unilaterális transzformáltja (7.3.2), ∑∞

=

−⋅=0n

nz]n[x)z(X konvergens sor

kell legyen, hogy a transzformáció létezzen. Ennek feltétele, hogy nr]n[x −⋅ abszolút értékben összegezhető legyen, vagyis

∞<⋅∑∞

=

−

0n

nr]n[x . (7.3.4)

Így eljutottunk a konvergencia tartomány (ROC) fogalmához, amely azon értékek halmaza amelyre teljesül a 7.4.3 feltétel. Fontos megjegyezni, hogy:

• a ROC nem tartalmazhat egyetlen pólust sem! Tudjuk, hogy ROC a transzfor-máció konvergencia tartománya, tehát ott a sor véges határértékkel rendelke-zik. Ezzel szemben a pólusokban a Z-transzformáció végtelen értékű.

• az ROC egy véges jel esetében az egész z-sík, kivétel esetleg 0z = és/vagy

∞=z . Legyen ∑=

−⋅=2

1

n

nn

nz]n[x)z(X egy véges jel Z-transzformációja. Ez a

sor konvergens, feltéve ha sor minden tagja véges. Ha 0n 2 > (nem zéró

kauzális tagok) akkor az X(z) tartalmazza 1z− tagot, s ezért ROC nem tartalmazhatja 0z = értéket. Ha 0n1 < (nem zéró nem kauzális tagok) akkor X(z) tartalmazza a z hatványait, ekkor ROC nem tartalmazhatja ∞=z . Ha

0n 2 ≤ akkor ROC tartalmazhatja 0z = értéket. Ha 0n1 ≥ akkor ROC tartalmazza ∞=z értéket. Az egyedüli jel amely esetében a ROC az egész z-sík az ]n[k]n[x δ⋅= .

• A végtelen jelek esetében a konvergencia feltétele

∞<⋅∑∞

−∞=

−

n

nr]n[x .

A végtelen jel transzformáltja felbontható a következő módon:

163

∑∑∞

=

−+

−

−∞=

−− ⋅=⋅=

0n

n1

n

n z]n[x)z(I;z]n[x)z(I és )z(I)z(I)z(X +− +≤ .

Ha a két jobboldali komponens véges, akkor a konvergencia magától érthető. Ehhez elegendő ha ]n[x korlátos. Vezessük be a következő jelöléseket:

0n,)r(k]n[x

0n,)r(k]n[xn

n

≥⋅≤

<⋅≤

++

−−

Ezek alapján felírhatjuk és láthatjuk, hogy 1. Kauzális jelek esetében ROC +>⇐ rz

2. Nem kauzális jelek esetében ROC −<⇐ rz

3. Kauzális + Nem kauzális esetben ROC −+ <<⇐ rzr A három eset grafikus megjelenítése a 7.3.1. ábrán látható.

7.3.1. ábra

Példa Határozzuk meg a ROC-t a következő három jel esetében.

⋅−= n21)(]n[x 1 ⋅⋅+− n

41)(2]n[ 1 ]n[ (7.3.5)

164

⋅−= n21)(]n[y 1 ⋅⋅+ n

41)(2]n[ 1 ]n[ (7.3.6)

⋅−= n21)(]n[x 1 ⋅⋅+− n

41)(2]n[ 1 ]n[− (7.3.7)

Felírhatjuk az 7.3.5 jel Z-transzformációját:

∑ ∑∑ ∑∞

=

∞

=⋅

−∞=

∞

=⋅⋅ ⋅+⋅−=⋅+−=

0k 0n

nz4

1k0

n 0n

nz4

1nz2

1 )(2)z2()(2)()z(X

Az első tag 2

1z < esetben konvergens, a második pedig 41z > és ezért X(z)

konvergencia tartománya a ROC 21

41 z << . Ha ez teljesül akkor a transzformációt

felírhatjuk mint:

41zz2

z211)z(X

−⋅

+⋅+

=

A 7.3.6 jelre a Z-transzformációt felírhatjuk mint:

∑ ∑∞

=

∞

=⋅⋅ ⋅+−=

0n 0n

nz4

1nz2

1 )(2)()z(Y

Az első tag 2

1z > esetben konvergens, a második pedig 41z > és ezért X(z)

konvergencia tartománya a ROC 21z > . Ha ez teljesül akkor a transzformációt

felírhatjuk mint:

41

21 z

z2z

z)z(X−⋅

++

=

A 7.3.7 jelre a Z-transzformációt felírhatjuk mint:

∑ ∑∑ ∑∞

=

∞

=−∞= −∞=⋅⋅ ⋅⋅+⋅−=⋅+−=

0k 0k

kk0

n

0

n

nz4

1nz2

1 )z4(2)z2()(2)()z(W

Az első tag 2

1z < esetben konvergens, a második pedig 41z < és ezért X(z)

konvergencia tartománya a ROC 41z < . Ha ez teljesül akkor a transzformációt

felírhatjuk mint:

z4z2

z211)z(W

⋅−+

⋅+=

Példa Számítsuk ki a következő jel Z-transzformáltját:

⋅−⋅= n21 )(n(]n[x 1 ⋅∗ −n

41 )((])n[ 1 ])n[−

165

Lépésenként felírhatjuk:

a.) ⋅− n21)( 1

21

Z

zz]n[+

⎯→← ahol ROC : 21z >

b.) =]n[w n ⋅−⋅ n21)( 1 ⎯→←Z]n[

221

21

221

21

21

Z

)z(z

))z(

zz(z)

zz(

dzdz)z(W

+

⋅−=

+

−+⋅−=

+⋅−=⎯→←

ahol ROC : 21z >

c.) ⋅= n41)(]n[y 1

41

Z

zz]n[−

⎯→← ahol ROC : 41z >

d.) 4z

4)z(Y]n[y41

z1

z1

Z

−−

=−

=⎯→←− ahol ROC : 4z <

Ezek szerint ;)z()4z(

z2)z(Y)z(W)z(X]n[y]n[w]n[x 221

Z

+⋅−

⋅=⋅=⎯→←∗=

ahol 4z21 << ⊗

B1. Z-transzformáció tulajdonságai

Legyen );z(X]}n[x{Z);z(X]}n[x{Z);z(X]}n[x{Z 2211 === A Z-transzformáció alaptulajdonságait a következő táblázatban foglaljuk össze:

Nr. Tulajdonság Jel Z-transzformáció Megjegyzés 1 Lineáritás ]n[xb]n[xa 21 ⋅+⋅ )z(Xb)z(Xa 21 ⋅+⋅ 21 ROCROC ∩ 2 Időbeni eltolás ]nn[x 0− )z(Xz 0n ⋅−

∞≠≠ z;0zha;ROC

3 Kalibrálás z-síkban ]n[xe nj 0 ⋅⋅ω⋅ )ze(X 0j ⋅ω⋅− ROC

]n[xzn0 ⋅ )(X

0zz ROCz0 ⋅

]n[xa n ⋅ )za(X 1 ⋅− Kalibrált ROC

4 Időinverzió ]n[x − )z(X 1− ROCKomplement

5 Idő dilatáció

⎩⎨⎧

⋅≠⋅=

=rn0rn]r[x

]n[x )k(

)z(X k k1

ROC

6 Konvolúció ]n[x]n[x 21 ∗ )z(X)z(X 21 ⋅ 21 ROCROC ∩ 7 Differencia ]1n[x]n[x −− )z(X)z1( 1 ⋅− − 0zROC1 >∩ 8 Összegezés

∑−∞=

n

k]k[x )z(X

z11

1 ⋅− − 0zROC1 >∩

9 z-síkban differenciálás

]n[xn ⋅ dz

)z(dXz ⋅− ROC

10 Kezdeti feltétel 0n;0]n[x <= )z(Xlim]0[xz ∞→

=

166

Példa Számítsuk ki a következő jel Z-transzformáltját:

⋅⋅ω⋅= ]ncos[a]n[x 0n 1 ]n[

Lépésenként felírhatjuk: Tudjuk, hogy ⎯→←⋅ Zn ]n[xa )za(X 1 ⋅− és hogy az egységugrás transzformáltja

1z11

−−

Így ha ⋅= na]n[y 1 ]n[ , akkor

1za11)z(Y

−⋅−= ahol ROC : az >

Ha most a ]ncos[ 0 ⋅ω jelet felírjuk exponenciális formában így

=⋅⋅+⋅⋅= ω⋅ω⋅− )ze(Y)ze(Y)z(X 00 j21j

21

2210

10

zaz)sin(a21z)cos(a1

−−

−

⋅+⋅ω⋅⋅−⋅ω⋅−

és az > ⊗

B2. Néhány alapjel Z-transzformációját: Nr. Jel Z-transzformáció ROC 1 ]n[δ 1 z-sík 2 1 ]n[ 1z1

1−−

1z >

3 -1 ]1n[ −− 1z11−−

1z <

4 ]mn[ −δ mz− z-sík }0m{/vagy};0m0{/ <∞>5 nα 1 ]n[ 1z1

1−⋅α−

α>z

6 - nα 1 ]1n[ −− 1z11

−⋅α− α<z

7 ⋅n nα 1 ]n[ 21

1

)z1(z−

−

⋅α−⋅α α>z

8 - ⋅n nα 1 ]1n[ −− 21

1

)z1(z−

−

⋅α−⋅α α<z

9 ⋅⋅ω ]nsin[ 0 1 ]n[ 21

0

10

zz)sin(21z)sin(

−−

−

+⋅ω⋅−

⋅ω 1z >

10 ⋅⋅ω ]ncos[ 0 1 ]n[ 21

0

10

zz)sin(21z)cos(1

−−

−

+⋅ω⋅−

⋅ω− 1z >

11 ⋅nr ⋅⋅ω ]nsin[ 0 1 ]n[ 221

0

10

zrz)sin(r21z)sin(r

−−

−

⋅+⋅ω⋅⋅−

⋅ω⋅ rz >

12 ⋅nr ⋅⋅ω ]ncos[ 0 1 ]n[ 221

0

10

zrz)sin(r21z)cos(r1

−−

−

⋅+⋅ω⋅⋅−

⋅ω⋅− rz >

167

C. Inverz Z-transzformáció Az inverz transzformációt felírhatjuk mint

∫ ⋅⋅⋅⋅π⋅

= −C

1n dzz)z(Xj2

1]n[x (7.3.8)

ahol C egy trigonometriai irányban körbejárt út a z-síkban. Az integrál kiszámítása nehézkes és ezért általában praktikus algebrai módszereket alkalmazunk. Induljunk ki egy diszkrét racionális függvényből:

NN

110

MM

110

zazaazbzbb

)z(D)z(N)z(X

−−

−−

⋅++⋅+

⋅++⋅+==

L

L

és NM < és ha NM ≥ akkor egy osztás eredményeként felírhatjuk mint:

∑−

=

− ′+⋅=

NM

0k

kk )z(D

)z(Nzf)z(X

Ha az X(z) polinom formákban a változó a z és nem 1z− . Ha kiemeljük úgy a számlálóból és nevezőből a z legnagyobb hatványát akkor átalakíthatjuk 1z− függvényében. Ezt egy példán keresztül mutatjuk be. Legyen

32

211

31

32

21

3

2

3

2

z3z21z10z22z

z3z21z10z22

z3z

9z6z310z2z2)z(X

−−

−−−

−−

−−

⋅+⋅−

⋅+⋅−⋅⋅=

⋅+⋅−

⋅+⋅−⋅

⋅=

+⋅−⋅

+⋅−⋅=

Nagyon fontos, hogy megoldjuk a D(z)=0 egyenletet, hogy megtaláljuk az X(z) pólusait, majd ezekkel a komplex számok halmazán ireduktibilis résztörtekre bontjuk, hogy kiszámíthassuk az inverz transzformációt. Így

)zd1(a

zbzbb)z(X

1N

1kk0

MM

110

−

=

−−

∏ ⋅−⋅

⋅++⋅+=

L

ahol kd nem más mint az X(z) pólusai. A résztörtre bontás után felírhatjuk, hogy :

∑=

−⋅−=

N

1k1

k

k

zd1A

)z(X

Az ROC függvényében minden elemi törtnek, megfelel egy inverz transzformáció. Az alap transzformációkat felírjuk mint:

nkk )d(A ⋅ 1 k1

k

kZ dz:ROCha;zd1

A]n[ >⋅−

⎯→←−

168

nkk )d(A ⋅− 1 k1

k

kZ dz:ROCha;zd1

A]1n[ <

⋅−⎯→←−−

−

Ha a id egy r-szeres pólus, akkor az elemi résztörteket ezekre a következő módon írjuk fel:

;)zd1(

A;;

)zd1(

A;

zd1

Ar1

i

i21

i

i1

i

i 111−−− ⋅−⋅−⋅−

L

és ebben az esetben a következő transzformációkat használjuk:

ni )d(

)!1m()1mn()1n(A ⋅

−−+⋅⋅+

⋅L 1 im1

i

Z dz:ROCha;)zd1(

A]n[ >⋅−

⎯→←−

ni )d(

)!1m()1mn()1n(A ⋅

−−+⋅⋅+

⋅−L 1 im1

i

Z dz:ROCha;)zd1(

A]1n[ <⋅−

⎯→←−−−

Mivel a Z-transzformáció lineáris, ezért a keletkező ROC nem más mint a résztörteknek megfelelő ROC-k keresztmetszete. Az inverz forma megválasztása az X(z)–nek megfelelő ROC és a pólusnak az ehhez való helyzete dönti el. Ha ROC-nak van kisebb rádiusza mint a pólus akkor az nem kauzális formát használjuk, ellenkező esetben pedig a kauzális formát. Példa Keressük meg a következő X(z) függvény inverz transzformáltját:

2z1:ROCha;)z1()z21()z1(

zz1)z(X 11121

21<<

−⋅⋅−⋅⋅−

+−=

−−−

−−

Elemi törtekre bontjuk és kapjuk:

11121 z1

2z21

2z1

1)z(X −−− −−

⋅−+

⋅−=

Az első tag esetében a pólus 21z = , tehát az inverz transzformációt a kauzális forma

adja, vagyis

⋅n21)( 1 1

21

Z

z11]n[

−⋅−⎯→←

A második tag esetében a pólus z =2 és a ROC alapján felírhatjuk, hogy

⋅⋅− n)2(2 1 1Z

z212]1n[

−⋅−⎯→←−−

A harmadik tag pólusa z =1 így

⋅− 2 1 1Z

z12]n[−−

⎯→←

169

A teljes megoldás pedig:

n21 )(]n[x = 1 ⋅⋅− n)2(2]n[ 1 ⋅−−− 2]1n[ 1 ]n[

Egyoldalú transzformáció esetében ( ;azvagy;az >< ) az inverz transzformáció

kiszámításának egyik módszere a sorbafejtés. Ha az > akkor X(z)-t hatványsorba

fejtjük 1z− hatványaiként, ha meg az < akkor a sorbafejtés a z hatványai szerint történik. Sorbafejtés után felírjuk az időtartománybeli függvényt Példa

I. Keressük meg az 21

121

1z:ROCamikor;

z1z2)z(X >⋅−

+=

−

− inverz Z-transzformált-

ját. Ekkor felírjuk, hogy LL+⋅++⋅+=⋅−

+ −−−−

−3

2121

121

1zzz22

z1z2 és az osztást a

polinomok osztási szabályai szerint végeztük. Így az eredmény:

LL+−δ⋅+−δ+−δ⋅+δ⋅= ]3n[]2n[]1n[2]n[2]n[x 21

II. Keressük meg az 21

121

1z:ROCamikor;

z1z2)z(X <⋅−

+=

−

− inverz Z-

transzformáltját. Ekkor felírjuk, hogy

LL+⋅−⋅−⋅−−=+⋅−

+−

−32

121

1z32z16z82

1z2z

Az eredmény ebben az esetben:

LL++δ⋅−+δ⋅−+δ⋅−δ⋅−= ]3n[32]2n[16]1n[8]n[2]n[x Ezt az eljárást akkor alkalmazzuk, ha a kapott sor véges számú tagja elégséges a továbbiakban.

170

8. Frekvenciafüggvények Adott egy lineáris, dinamikus, koncentrált és állandó paraméterű rendszer (LTI) és a következő differenciálegyenlettel írjuk le:

;ubdt

)t(udbdt

)t(udb

yadt

)t(dyadt

)t(ydadt

)t(yda

01m

1m

1mm

m

m

011n

1n

1nn

n

n

⋅++⋅+⋅=

=⋅+⋅++⋅+⋅

−

−

−

−

−

−

L

L

(8.0.1)

Alkalmazzuk a Fourier transzformációt a 8.0.1 egyenletre:

)j(Ub)j(U)j(b)j(U)j(b

)j(Ya)j(Y)j(a)j(Y)j(a

01m

1mm

m

01n

1nn

n

ω⋅⋅++ω⋅⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅=

=ω⋅⋅++ω⋅⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅−

−

−−

L

L

Ebből meghatározzuk a rendszer frekvenciafüggvényét:

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a)j(a)j(ab)j(b)j(b

)j(U)j(Y)j(H

++ω⋅⋅+ω⋅⋅

++ω⋅⋅+ω⋅⋅=

ω⋅ω⋅

=ω⋅−

−

−−

L

L (8.0.2)

Ennek a komplex függvénynek abszolút értéke és fázisa is frekvenciafüggő. Ha ismerjük a rendszer bemenő illetve kimenő jelének frekvenciafüggvényét, akkor az időtartományba való visszatérés nélkül is következtethetünk a rendszer időbeli viselkedésére. Azt már tudjuk, hogy ha egy rendszer bemenetére egy ω körfrekvenciájú szinusz jelet adunk, akkor az állandósult állapot beállta után a kimeneten ugyancsak egy szinusz jel jelenik meg amely a bemenőtől általában amplitúdóban és fázisban is különbözik. A frekvencia-függvény az átviteli függvényből ω⋅= js változócserével érhető el.

ω⋅==ω⋅ js|)s(H)j(H (8.0.3)

A frekvenciafüggvény abszolút értéke ))(A( ω a kimeneti és bemeneti jelek amplitúdójának hányadosa, a fázisszög ))(( ωϕ pedig a fázisszögek a kimeneti és bemeneti fázisszögek szorzata. Legyen:

)(Qj)(P)j(H ω⋅+ω=ω⋅ (8.0.4) Innen

))(Q)(P(arctg)(

)(Q)(P)(A 22

ωω

=ωϕ

ω+ω=ω (8.0.5)

A frekvencia függvényből egyértelműen meghatározható a rendszer viselkedése a kezdeti időpontban ( 0t → ) és az állandósúlt állapotban ( ∞→t ).

171

)t(hlim)(Alim)j(Hlim

)t(hlim)(Alim)j(Hlim

t00

0t

∞→→ω→ω

→∞→ω∞→ω

=ω=ω⋅

=ω=ω⋅

8.1. Az amplítúdó-fázis jelleggörbe (Nyquist-diagram) Ha a

))j(HIm(j))j(HRe(e)(A)j(H )(j ω⋅⋅+ω⋅=⋅ω=ω⋅ ωϕ⋅

frekvenciafüggvényt a komplex síkban ábrázoljuk, a ∞<ω<0 frekvenciatart-ománynak megfelelően, akkor kapjuk a rendszer amplitúdó-fázis jelleggörbéjét. Minden egyes frekvenciára a kimenő jelnek a bemenő jelhez viszonyított fáziseltolási szöge és az amplitúdó a komplex sík egy pontját határozzák meg. A pontokat összekötő görbe az amplitúdó-fázis jelleggörbe. Ez egy irányított görbe és a frekvencia növekedésének irányát mutatja. A rendszer állandósúlt állapotának a görbe egy pontja felel meg. A következő, 8.1.1. ábra ezt mutatja.

8.1.1. ábra

Fontos megjegyezni, hogy a Nyquist jelgörbe felhúzható tisztán kísérleti alapon is, mikor mint bemenő jelként egy változó frekvenciájú jelcsomagot alkalmazunk és mérjük a kimenő választ. Ehhez tudnunk kell a következőket. Egy LTI rendszer bemenő jelét jelöljünk mint

)tsin(u)t(u ⋅ω⋅= és a kimenetet mint )tsin(y)t(y ϕ−⋅ω⋅= . Fontos megfigyelés, hogy az LTI rendszer nem módosítja a bemenő jel frekvenciáját, hanem csak az amplitúdóját és fázisát. Az amplitúdó és fázis változásának mértéke függ a jel frekvenciájától. Igazolni lehet, hogy a komplex átviteli függvény frekvencia-függvényének akár valós akár képzetes része akár amplitúdója akár fázisa (mindezek a frekvencia függvénye) elégséges a rendszer dinamikájának jellemzésére. A frekvencia tartománybéli eljárások könnyebben alkalmazható módszereket biztosítanak mint az időtartománybeli eljárások.

172

8.2. Bode jelleggörbe Az átviteli függvény felírható mint

)(j)(j e)(Ae)j(H)j(H ωϕ⋅ωϕ⋅ ⋅ω=⋅ω⋅=ω⋅

Kiszámítjuk a frekvenciafüggvény tízes alapú logaritmusát (lg) és kapjuk

elg))((j))j(Hlog()e)j(Hlg( )(j ⋅ωϕ⋅+ω⋅=⋅ω⋅ ωϕ⋅ Ha a )j(H ω⋅ amplitúdó decibelben kifejezett mértékét és a fáziseltolási szöget az ω körfrekvencia függvényében ábrázoljuk, kapjuk a Bode-diagramokat amely az amplitúdó-jelleggörbéből és fázis-jelleggörbéből áll. A decibelben kifejezett érték egyenlő a mennyiség tízes alapú logaritmusának 20-al való szorzása adja.

8.2.1. ábra

Az ω körfrekvencia nagy frekvenciatartomány esetében fontos logaritmikus léptékben ábrázolni. Ekkor a körfrekvencia változás mértékeként a dekád egységet alkalmazzuk. Egy diszkrét rendszert jellemző )z(H átviteli függvény esetében az eljárás ugyanaz mint folytonos rendszer esetében, de itt approximatív frekvenciafüggvénnyel van dolgunk. Egy sT mintavételezési periódus esetében a

ω⋅−

ω⋅+=

2T2T

s

s

1

1z

bilineáris transzformációt alkalmazunk, hogy megkapjuk a megközelítő frekvencia-függvényt, de erre a későbbiekben még visszatérünk.

173

8.3. Rendszerek stabilitása Egy folytonos LTI rendszer vagy stabil, vagy nem. Ezt a karakterisztikus egyenlete gyökeinek (pólusok) az s-síkban való elhelyezkedése határozza meg. Ha a rendszer egy diszkrét LTI rendszer akkor a stabilitást a pólusainak az z-síkban való elhelyezkedése jelenti. A rendszer stabilitása nem függ a rendszer kezdeti feltételeitől. Mindez nem igaz a nemlineáris rendszerekre. Fontos a rendszer viselkedését állapotterekben (fázisterekben) tanulmányozni. Az állapottér nem más mint az állapotváltozók által kifeszített tér.

8.3.1. ábra

Az LTI rendszerek esetében az állapottér origója az )0,0(O pont a rendszer egyedüli egyensúlyi pontja (szinguláris megoldási pontja) az egyedüli stabil (aszimptotikus stabilitás) pontja a rendszernek (lásd a 8.3.1. ábrát). A szinguláris pontok dinamikus egyensúlyi pontok, és a rendszer ezekben a pontokban stabil állapotban maradhat. Ez az egyensúlyi pont lehet stabilitási pont, akkor hogy ha egy minimális perturbáció után a rendszer kimozdul egyensúlyi állapotából de bizonyos idő elteltével visszatér ugyanoda (biztos egyensúly) Az egyensúlyi pont lehet instabilitási pont (bizonytalan egyensúly) ha egy tetszőlegesen kis, minimális, perturbáció hatására a rendszer végleg eltávolodik ettől az egyensúlyi ponttól. Ha egy minimális perturbáció hatására a stabilitás nem változik, akkor közömbös stabilitásról beszélünk. Alapvető tulajdonsága a szinguláris (egyensúlyi) pontnak, az, hogy a rendszert jellemző állapotváltozók deriváltja itt zéróvá válik )0x;0x( 21 == && vagyis dinamikai szempontból „mozdulatlan”. Itt a t-idő egy paraméter s ha az állapotteres rendszermodellt (5.4.2) megoldjuk, akkor megkapjuk az állapotváltozókat idő függvényében vagyis (két állapotváltozó esetében):

))0(x;t(f)t(x))0(x;t(f)t(x

22

11

==

(8.3.1)

Ezek nem egymástól független mennyiségek és ha a t független változót kiküszöböljük, akkor kapunk egy 0)x,x(G 21 = implicit függvényt amelyet a

174

rendszer állapottérbeli pályájának nevezünk. A fenti összefüggéseket egy másodrendű rendszer esetében írtuk fel. Egy magasabb rendű rendszer esetében is igazak az eddigi megállapítások, de az állapottér a rendszer rangjával egyenértékű dimenziójú s ezért nehéz a szemléletes bemutatása. A rendszer stabil ha bármely kezdeti állapotából eljut az egyedüli egyensúlyi, stabilítási (origó) pontjába. Az is nagyon fontos, hogy a kezdeti állapotból milyen módon jut el a stabilitási pontba. Ez a pályát adó, görbe formájából következik. Ha pedig nem jut el az egyedüli egyensúlyi pontba akkor a rendszer instabil (ha végleg eltávolodik a pálya az origótól) vagy a stabilitás határán van ha a pálya zárt pályán körbejárja az origót. A szinguláris pontok természete (osztályozása) meghatározása érdekében induljunk ki egy másodrendű rendszerből, amelynek differenciálegyenlete a következő:

0ydtdy2

dtyd 2

002

2=⋅ω+⋅ω⋅ξ⋅+ (8.3.2)

A 8.3.2 rendszer karakterisztikus egyenlete az 0s2s 200

2 =ω+⋅ω⋅ξ⋅+ egyenlet gyökei adják a rendszer két sajátértékét:

1s

1s2

2

21

−ξ⋅ω+ω⋅ξ−=

−ξ⋅ω−ω⋅ξ−= (8.3.3)

Ha a pályák egyenes vonalak, akkor átmennek az origón. Könnyen igazolható, hogy az egyenes pályák meredeksége egyenlő a rendszer valós sajátértékeivel. Tudjuk, hogy a sajátértékek invariánsak az állapotvektorok megválasztására nézve. Az LTI másodrendű rendszer szinguláris pontjainak osztályozása a 8.3.3 sajátértékek alapján ( ξω, az osztályozás paraméterei)

1. Központ. Az állapottér origója egy központ és a pályák ellipszisek ha 0=ξ és 02 >ω . Nincs egyenes pálya, mert a rendszernek nincs valós sajátértéke.

2. Fókusz Ha a rendszer paraméterei eleget tesznek a 1<ξ és 02 >ω feltételeknek

akkor az origó egy fókuszpont. Nincs egyenes pálya mert nincs valós sajátértéke a rendszernek. Ha az állapotváltozók parametrikus (t-paraméter) formájából felírjuk az implicit formát akkor ezek egy logaritmikus spirálgörbét jelentenek. Ha ekkor:

• 01 >ξ> akkor stabil fókuszról beszélünk, mert a logaritmikus spirál az origó fele csökkenő görbe

• 10 −>ξ> akkor nem stabil fókuszról beszélünk, mert a logaritmikus spirál az origótól indulva egy növekvő görbe

3. Csomópont. Ha a rendszer paraméterei eleget tesznek a 1>ξ és 02 >ω feltételeknek akkor

az origó egy csomópont. Ebben az esetben létezik két egyenes pálya amelyek

175

meredeksége a rendszer két valós sajátértéke. A többi pályatípus meghatározása nélkül a következőket kapjuk

• Ha 1>ξ ( 0ss 21 << ) akkor az origó stabil csomópont • Ha 1−<ξ ( 0ss 21 >> ) akkor az origó instabil csomópont

4. Nyeregpont. Ha a rendszer paramétere eleget tesz a 02 <ω feltételeknek akkor az origó egy csomópont. A rendszernek ekkor van két egyenes pályája és egy nyeregfelületen futó pályák.

Ezek ismertetésére itt nem térünk ki, ezek megtalálhatók a szakirodalomban. Ez az ismertetés arra szolgál, hogy bevezessünk új fogalmakat. Egy nemlineáris rendszernek több szinguláris pontja van. A nemlineáris rendszer szinguláris pontjai közvetlen környezetében lineárizálhatjuk a rendszeregyenleteket, így az előbbi, másodrendű rendszereknél használt osztályba sorolás módszere itt is alkalmazható lesz. A lineárizálás, a szinguláris pont körüli Taylor sorbafejtéssel és csak a lineáris tagok megtartásával történik. Nemlineáris rendszerek állapotterében léteznek partikuláris pályák amelyeket határciklusoknak nevezünk. Ezek olyan izolált, zárt pályák amelyek az állapotváltozás periodikus mozgását jelentik az állapottérben. A határciklusra jellemző periodikus mozgás függ a kezdeti feltételektől és végtelen sok ilyen pálya létezhet. Egy nemlineáris rendszer minden határciklusa felosztja az állapotteret két részre amelyekben az állapotváltozások karakterisztikája más és más lehet. Egy határciklus lehet stabil, instabil, félig-stabil. Stabil határciklusról beszélünk ha minden pálya a határciklus fele tart mikor t tart a végtelenhez (periodikus jel a valós fizikai rendszerben). Ha a pályák eltávolodnak (t függvényében) a zárt görbétől akkor instabil határciklustól beszélünk. Ha az előbbi két eset egyszerre fordul elő egy határciklussal kapcsolatban akkor félig stabil esetről beszélünk. A határciklus létezése vagy hiánya alapvető egy rendszer viselkedésének megértésében. Egy szabályzás általában határciklus nélküli rendszereket kér, de kis amplitúdójú oszcillációkat még el lehet fogadni. Innen azt is megérthetjük, hogy míg egy lineáris rendszer stabilitása a rendszer tulajdonsága, addig egy nemlineáris rendszer stabilitása lokális tulajdonság, mert csak egy infinitezimális térben a szinguláris pontok környezetében igaz. Egy nemlineáris rendszer lehet stabil egy szingularitás környezetében de instabil egy másik szingularitás környezetében. Így egy nemlineáris rendszer perturbáció hatására visszatérhet egy adott egyensúlyi pontba (ahonnan indult), de ugyanolyan eséllyel találhat egy másik stabil egyensúlyi állapotot, oszcillálhat ha egy határciklus pályájára jut vagy akár instabillá is válhat. A három hatásciklus esetet a 8.3.2. ábrán láthatjuk:

8.3.2. ábra

176

LTI rendszerek esetében az aszimptotikus stabilitás a legfontosabb rendszertulajdonság s nem függ a ki/bemenő jelek korlátos tulajdonságától, sem a kezdeti feltételektől. A stabilitás a rendszer viselkedése, vagyis valamely vonásának állandósága jelenti. Az a rendszer stabil, amely energiamentes kiindulási állapotából kimozdítva, majd magára hagyva végül visszatér energiamentes kiindulási állapotába. Minden más esetben nem stabil a rendszer (labilis). Fizikailag nyilvánvaló, hogy energiatárolót nem tartalmazó veszteséges rendszer csak stabil lehet. A stabilitás tehát az energiatárolót tartalmazó rendszerek sajátossága. A stabilitás leggyakrabban visszacsatolt rendszerekkel kapcsolatos. Ezekre jellemző, hogy a kimenőjel, vagy annak átalakított formája megjelenik a bemeneten. A visszacsatolás következtében akkor is van bemenőjel, ha a külső bemenőjel időközben meg is szűnik. És ez ismétlődő jelenség. Ez a folyamat lehet konvergens, úgy, hogy a kimenő jel nullához tart. Konvergálhat azonban egy véges határértékhez, felléphetnek állandósult rezgések vagy minden határon túl növekedhet. Ezek a stabilitás különböző esetei. Általános esetben a stabilitás a bemenő jeltől és a munkaponttól is függ, tehát a rendszer egy állapotának, semmint az egész rendszernek a jellemzője. A rendszer stabil, ha a bemenő jel állandóan hat a rendszerre és ha korlátos bemenetre mindig korlátos választ ad. A különböző stabilitási eseteket mutatja a 8.3.3 ábra.

8.3.3. ábra

A stabil viselkedés megítélése különböző eljárásokat (stabilitási kritériumokat) dolgoztak ki. A stabilitás pontos meghatározását elsőként A.M. Ljapunov adta meg. Ha ismert a rendszer h(t) súlyfüggvénye akkor egy LTI rendszerek stabilitásának feltétele 8.3.4.

Mdt)t(h0

<⋅∫∞

(8.3.4)

ahol M egy véges korlát. Ennek szükséges feltétele 8.3.5

0)t(hlimt

=∞→

(8.3.5)

Ha M)t(hlim

t<

∞→ (8.3.6)

ahol M véges, akkor a rendszer kritikus stabilitási állapotban van (lásd 8.3.6 relációt). Akár folytonos akár diszkrét rendszerről van szó, a súlyfüggvény olyan exponenciális összetevők kombinációja , amelynek kitevői a rendszernek megfelelő karakterisztikus egyenlet gyökei (és megegyeznek a rendszermátrix sajátértékével). Hogy a rendszerek

177

ezeknek a fenti feltételeknek eleget tegyenek szükséges, hogy a pólusok valós részei negatívak, vagy diszkrét rendszer esetében ezek amplitúdója abszolút értéke kisebb legyen mint egy egység )1(< . Ha nem adott a súlyfüggvény, de ismert a rendszer átviteli függvénye, akkor tudjuk,

hogy a H(s))s(D)s(N

= pólusainak (n-ed rangú karakterisztikus egyenlet 0)s(D = ) az s-

síkban való elhelyezkedéséből tudunk a rendszer stabilitására következtetni. A pólusok poziciójából adódó, a kimenő jelek időben való változását mutatja a 8.3.4. ábra. A rendszer dinamikáját, mint az egységugrás mint bemenő jelre adott válaszát láthatjuk.

8.3.4. ábra

Jelöljük a rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeit )n,,2,1i(,si L= -vel. Ekkor szükséges és elégséges stabilitási kritériumok a következők:

• Az LTI rendszer aszimptotikusan stabil ha is∀ esetében igaz, hogy 0}sRe{ i < (bal félsík)

• Az LTI rendszer instabil, ha legalább egy pólus az s-sík jobb félsíkjában helyezkedik el vagy legalább egy komplex konjugált póluspár az s-sík képzetes tengelyén van.

• Az LTI rendszer kritikus stabilitási állapotban van, ha egy pólus van a képzetes tengelyen (origó) és nincsenek konjugált komplex (dupla) pólusok az s-sík képzetes tengelyén.

178

Diszkrét rendszerek leírását szolgálja a )z(H diszkrét impulzusátviteli függvény. Ezek pólusainak elrendezése az egységsugarú körhöz viszonyítva adja a diszkrét rendszer stabilitásának mértékét. Ha a diszkrét rendszer pólusai mind szigorúan az egységsugarú körön belül vannak akkor a rendszer aszimptotikusan stabil. Ennek összefoglalóját láthatjuk a 8.3.5. ábrákon mind a valós mind a komplex pólusok esetében.(Ez analóg azzal amit a folytonos rendszerek esetében mondtunk az s-sík bal félsíkja esetében a 8.3.4. ábrán.)

8.3.5. ábra

A 8.3.5. és 8.3.6. ábrákon látható, hogy a valós pólusok viszonya az egységsugarú körhöz miként határozza meg a bemenő diszkrét egységugrás jel és a megfelelő kimenő jel viszonyát egy diszkrét rendszer esetében.

8.3.6. ábra

179

A 8.3.5. ábra esetében a diszkrét rendszer pólusai valósak, míg a 8.3.6. ábra esetében konjugált komplex pólusokról van szó. Egy kauzális LTI rendszert leíró egyenletek zéró értéket vesz fel ha 0n < ha 0n = a kezdeti pillanat. Kiszámítjuk a rendszer átviteli függvénynek megfelelő pólusokat. Ha egy pólus az egységnyi sugarú körön belül helyezkedik el ( 1dk < ) akkor ez a pólus, mint egy exponenciális tag alapja, időben csökkenő tagokat szolgáltat a rendszer megoldásában (stabilitás). Ha a pólus az egységnyi körön kívül helyezkedik el ( 1dk > ), akkor a megoldásban az ennek megfelelő exponenciális tag időben növekvő tagot szolgáltat s ez instabilitást jelent. Ha a pólus az egységnyi körön helyezkedik el akkor az egy oszcilláló taggal járul hozzá a homogén rendszer viselkedéséhez. Ha egy rendszer stabil és kauzális akkor minden pólusa az egységnyi sugarú körön belül helyezkedik el.

8.3.1. BIBO stabilitás Ez nem aszimptotikus stabilitás, hanem ki / bemeneti stabilitás. Legyen egy rendszer bemenete u(t) (vagy diszkrét esetben ])n[u és a kimente y(t) (vagy diszkrét esetben

])n[y . A rendszer BIBO stabilitása azt jelenti, hogy a rendszer korlátos bemenő jelre korlátos kimenő jelet ad. Ezt felírhatjuk mint (itt diszkrét rendszer esetében írjuk fel az összefüggéseket): ha

∞<≤ uM]n[u (8.3.1.1) akkor

∞<≤ yM]n[y (8.3.1.2)

A BIBO feltétel megértése érdekében figyelembe kell vegyünk két alapvető algebrai összefüggést:

baba +≤+ és baba ⋅=⋅ . Ezeket felhasználva, felírhatjuk:

∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=≤−⋅≤−⋅=∗=

ku

kk]k[hM]kn[u]k[h]kn[u]k[h]n[u]n[h]n[y (8.3.1.3)

Most figyelembe véve 8.3.1.2 egyenlőtlenséget akkor az előbbi (8.3.1.3) logikai sorból következik, hogy annak feltétele, egy rendszer BIBO stabil legyen az, hogy

∞<∑∞

−∞=k]k[h (8.3.1.4)

Ez egy abszolút értékekből képezett számtani sor konvergenciáját jelenti (vagyis a diszkrét súlyfüggvény, a mintavételezési pillanatokban vett értékeiből képzett sor abszolút konvergens). Tehát a rendszer BIBO stabil ha ez a sor abszolút konvergens. Hasonló módon bizonyítható, hogy egy folytonos rendszer súlyfüggvénye h(t), a BIBO stabilitás érdekében eleget kell tegyen az

180

∞<τ⋅τ∫∞

∞−

d)(h (8.3.1.5)

tehát a súlyfüggvény abszolút értékben integrálható kell legyen. Visszatérünk most az aszimptotikus stabilitáshoz, amely rendszertulajdonság és nem a bemenő jel természetétől függ. A rendszer stabilitását akkor is tanulmányozhatjuk ha a pólusokat nem számítsuk ki. Ilyenkor stabilitási kritériumokat használunk. Ezek lehetnek algebrai algoritmusok de frekvencia tartományi kritériumokat is megismerhetünk a következőkben.

8.3.2. Routh-féle stabilitási kritérium Adott egy LTI rendszer polinom alakban felírt karakterisztikus egyenlet:

001

1n1n

nn rararara)r(D ⋅+⋅++⋅+⋅= −

− L A polinom együtthatóiból egy, úgynevezett Routh táblázat (séma) állítható fel. Egy n-ed fokszámú karakterisztikus egyenletnek megfelelő séma 1n + sorból áll. A karakterisztikus egyenletből hiányzó együtthatók helyére zérót írunk. A Routh szabály szerint a rendszer akkor és csakis akkor stabil, ha a karakterisztikus polinom minden együtthatója pozitív (szükséges feltétel) és a Routh-séma első oszlopának minden egyes eleme is pozitív (elégséges feltétel). Ha az első oszlopban negatív elemek is előfordulnak, akkor az előjelváltozások száma megadja a rendszer s-sík jobb félsíkjában lévő pólusok számát. Látható, hogy a sorok hosszúsága egyre csökken.

10

11

212

213

3213n

43212n

7n5n3n1n1n

6n4n2nnn

hrgr

ffreer

cccrbbbbr

aaaaraaaar

MMMM

LL

L

L

L

−

−−−−−

−−−−

Ahol,

21

1

21211

1

1n35n12

1

1n23n11

1n

5nn4n1n2

1n

3nn2n1n1

fhf

feefg

;b

ababc;

babab

c

;a

aaaab;

aaaaa

b

=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

−−−−

−

−−−

−

−−−

M

LL

LL

181

A nulla megjelenése az első oszlopban a képzetes tengelyre eső gyököt jelent. Ha nulla jelenik meg az első oszlopban, akkor rendszerint helyettesítjük ezt egy tetszőleges ε értékkel, majd tanulmányozzuk a stabilitást a }{lim

0L

→ε határérték-

számítással a Routh-séma első oszlopában. Példa Határozzuk meg a K paraméter értéktartományát a 8.3.2.1 karakterisztikus egyenlettel jellemzett rendszer esetében úgy, hogy ez a rendszer stabil legyen.

0Kr3r4r 23 =+⋅+⋅+ (8.3.2.1) A Routh-séma az adott rendszer esetében

Kr3r

K4r31r

04K1

2

3

−

Az adott rendszer stabil, ha az első oszlopban igaz, hogy 03 4K >− és 0K > ,

amelyekből következik a stabilitási feltétel

12K0 << ⊗

8.3.3. Hurwitz-féle stabilitási kritérium A rendszer n-ed rendű karakterisztikus egyenletnek megfelelően felírjuk az n-ed rendű Hurwitz mátrixot. Legyen

0rararara)r(D 001

1n1n

nn =⋅+⋅++⋅+⋅= −

− L és ennek megfelelő Hurwitz mátrix, meghatározás szerint:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Δ −

−−

−−

−−−

02

1

2nn

3n1n

4n2nn

5n3n1n

H

aa000a000

00aa000aa000aaa00aaa

L

L

MMMMMM

L

L

L

L

(8.3.3.1)

és ennek alapján felírhatjuk

L;aa0aaaaaa

;aaaa

);a(

3n1n

4n2nn

3n3n1n

32nn

3n1n21n1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ=Δ

−−

−−

−−−

−

−−−

182

A stabilitás szükséges és elégséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója (szükséges feltétel) legyen pozitív, és valamennyi, a főátlóra támaszkodó ),3,2,1i(i L=Δ mátrixoknak megfelelő determináns legyen pozitív definit (elégséges feltétel). Tehát az elégséges feltételeket felírjuk mint:

L,0)det(,0)det(,0)det( 321 >Δ>Δ>Δ (8.3.3.2) Példa Adott a következő karakterisztikus egyenlet:

0Kpp)TT(pTT 221

321 =++⋅++⋅⋅

A Hurwitz-mátrix pedig

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅+

=ΔKTT001TT0KTT

21

21

21

H

Ahonnan következnek a feltételek:

0)det(K)det(0TTKTT)det(

0TT)det(

22

21212

211

>Δ⋅=Δ>⋅⋅−+=Δ

>+=Δ

Innen 0K > . Ha

0T1 > és 0T2 > akkor a rendszer stabilitásának feltétele:

21 T1

T1K +<

(Minél nagyobbak az időállandók, annál kisebb lehet az erősítés.⊗

8.3.4. Routh és Hurwitz kritériumok diszkrét rendszer esetében A diszkrét rendszerek esetében a stabilitási feltétel az, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökeinek abszolút értéke legyen kisebb mint egy. Legyen adott a következő diszkrét karakterisztikus egyenlettel rendelkező n-ed rendű rendszer:

001

1n1n

nn zazazaza)z(D ⋅+⋅++⋅+⋅= −

− L

Hogy a folytonos rendszerek esetében ismertetett kritériumokat használhassuk alkalmazzuk a

w1w1z

−+

= (8.3.4.1)

bilineáris transzformációt. Ekkor azt kapjuk, hogy:

183

0)w1w1(a)

w1w1(a)

w1w1(a)

w1w1(a)

w1w1(D 0

011n

1nn

n =−+

⋅+−+

⋅++−+

⋅+−+

⋅=−+ −

− L

Az így kapott polinomra már alkalmazhatjuk a 8.3.3 al paragrafusban kijelentett kritériumokat. Példa Adott egy diszkrét rendszer átviteli függvénye mint:

012 azaz)z(D +⋅+= , ahol 0a,0a 10 >>

Ekkor 8.3.4.1 relációt alkalmazva azt kapuk, hogy

0a)w1w1(a)

w1w1()

w1w1(D 01

2 =+−+

⋅+−+

=−+

Innen következik, hogy:

0)aa1(w)a1(2w)aa1(

)w1(a)w1()w1(a)w1(

0102

01

201

2

=+++⋅−⋅+⋅−−=

=−⋅+−⋅+⋅++

Ha felírjuk a Hurwitz mátrixot (8.3.3.1), azt kapjuk, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−

−⋅=Δ

)aa1()aa1(0)a1(2

0101

0

A stabilitás feltételei a 8.3.3.2 relációk alapján feltétel, hogy:

1a 0 < és 0)aa1( 01 >−−

Magasabb fokszámú karakterisztikus egyenletek esetében nagyszámú számítást kell elvégezzünk amíg eredményhez juthatunk. Ezért rendszerint kevésbé alkalmazott módszer.

8.3.5. Jury-féle stabilitási kritérium Adott egy diszkrét n-ed rendű rendszer 8.3.5.1 karakterisztikus egyenlete:

001

1n1n

nn zazazaza)z(D ⋅+⋅++⋅+⋅= −

− L (8.3.5.1)

Ekkor a stabilitás szükséges feltételei:

0)1(D)1(

0)1(Dn >−⋅−

>

Most felírjuk a két következő mátrixot:

184

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−

−−−

000a0

0aaaaaaa

m;

a00

a00aa0aaa

m

0

04n3n

013n2n

2

n

4

3n

21nn

1

L

MLMM

MMMMM

L

L

L

MMMM

L

L

L

Ekkor a stabilitás elégséges feltétele, hogy 21 M,M ahol,

211 mmM += és 212 mmM −=

pozitív definit mátrixok legyenek. Mindezt a következő példa mutatja be. Példa Adott a következő diszkrét karakterisztikus egyenlet:

01zz4z2z)z(D 2345 =++⋅+⋅+=

A stabilitás szükséges feltételei:

01)1)1()1(4)1(2)1(()1()1(D)1(

0911421)1(D234555 >=+−+−⋅+−⋅+−⋅−=−⋅−

>=++++=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0001001001011014

000a00aa0aaa

aaaa

m

1000210042101421

a000aa00aaa0aaaa

m

0

01

012

0123

2

5

45

345

2345

1

Ekkor ⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+= ;

1001211043112435

mmM 211

;031)1131

det(1D <−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)

1001211043112435

det(2D

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

185

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=−= ;

1001211011110413

mmM 212

;0211)1111

det(3D >=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

)

1001211011110413

det(4D

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

Mivel 01D < ezért a rendszer instabil, s ezért a továbbiakban nincs értelme kiszámítani a D2, D3, D4 determinánsok értékét, hogy a pozitív definit tulajdonságot tanulmányozzuk.

8.3.6. Ljapunov közvetlen módszere Legyen nU R⊂ egy nyílt halmaz, amelyre U0∈ . Egy R→U:V függvényt pozitív (negatív) definitnek nevezzük, ha

0)0(V = és Ux,0x)0)x(V(;0)x(V ∈≠<> . A V függvényt pozitív (negatív) szemidefinitnek nevezzük, ha

0)0(V = és Ux,0x)0)x(V(;0)x(V ∈≠≤≥ . Alkalmazásokban általában V értelmezési tartománya nR . Ljapunov tétel Tekintsük az )x(f)t(x =& nemlineáris elsőrendű differenciálegyenlet rendszert. Ez egy nemlineáris egyenlet. Ha )t(xA)t(x ⋅=& differenciálegyenlet rendszert tekintjük, akkor ez egy lineáris egyenlet. A nemlineáris formára feltételezzük, hogy 0)0(f = , azaz 0 a rendszer egyensúlyi helyzete. A lineáris rendszerre ezek igaz állítások. Tétel: Tegyük fel, hogy 0)0(f = , nU R⊂ nyílt halmaz és U0∈ . Legyen R→U:V folytonosan parciálisan differenciálható.

• Ha V pozitív definit és V& negatív szemidefinit, akkor )x(f)t(x =& (vagy )t(xA)t(x ⋅=& ) egyenlet 0 egyensúlyi helyzete stabil.

• Ha V pozitív definit és V& negatív definit, akkor )x(f)t(x =& ( )t(xA)t(x ⋅=& ) egyenlet 0 egyensúlyi helyzete aszimptotikusan stabil.

• Ha 0 bármely környezetében létezik olyan x , hogy 0)x(V > , és V& pozitív definit, akkor a 0 egyensúlyi helyzet instabil.

Egy olyan V függvényt, amely pozitív definit és amelynek V& egyenletre vonatkozó deriváltja negatív szemidefinit, Ljapunov függvénynek nevezünk.

186

Legyen most )x(V egy vektorváltozójú skaláris függvény (8.3.6.1)

xPx)x(V ⋅⋅= τ (8.3.6.1)

és valós, szimmetrikus kvadratikus alak pozitív definit, ha a P mátrix valamennyi főátló menti aldeterminánsa pozitív. Egy lineáris, 8.3.6.2 állapotegyenletekkel leírt, magára hagyott (homogén) rendszer

)t(xA)t(x ⋅=& (8.3.6.2)

akkor stabil, ha a vele kapcsolatos Ljapunov függvényre ( xPx)x(V ⋅⋅= τ ) érvényes, hogy létezik egy Q pozitív definit mátrix úgy, hogy

xQx)x(V ⋅⋅−= τ&

Ezt az egyenlőséget felírjuk most mint:

xQxx)APPA(xxAPxxPAx

)xA(PxxP)xA(xPxxPx)xPx(dtd)x(V

⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=

ττττττ

τττττ &&&

Ezek alapján, a

QAPPA −=⋅+⋅τ (8.3.6.2)

Ljapunov mátrixegyenletet kapjuk és ha a 8.3.6.2. mátrixegyenlet P megoldása pozitív definit mátrix akkor a 8.3.6.2 rendszer Ljapunov stabil. Példa Adott a következő állapotegyenlettel leírt rendszer:

x11

11)t(x ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=&

Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását a Ljapunov direkt módszerrel.

Válasszuk a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

Q mátrixot mint pozitív definit mátrix. Ekkor a Ljapunov

mátrix egyenletet 8.3.6.2 felírható mint:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

1001

1111

pppp

pppp

1111

2221

1211

2221

1211

mivel a P mátrix szimmetrikus ( 2112 pp = ). Innen a következő egyenletrendszert kapjuk:

187

1p2p20pp2p

1p2p2

2212

221211

1211

=⋅+⋅=−⋅−

=⋅+⋅

A rendszer megoldása alapján a P mátrix

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

21

00

P

pozitív definit, tehát a rendszer Ljapunov stabil. Ezt még bizonyíthatjuk ha felírjuk, hogy

0)xx(xx

00

)xx(xPx)x(V 22

212

1

2

1

21

21

21 ≥+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⋅= τ

0)xx()xx(x)xx(xxxxx))xx((dtdV 2

2212122112211

22

212

1 ≤+−=−−⋅++−⋅=⋅+⋅=+= &&&

Ennél az utóbbi összefüggésnél felhasználtuk az állapotegyenletből felírt

212

211

xxxxxx

−−=+−=

&

&

összefüggéseket.

8.3.7. Nyquist stabilitási kritérium A Nyquist stabilitási kritérium segítségével, a visszacsatolás felbontásával létrehozott rendszer (felnyitott rendszer) Nyquist görbéje segítségével következtetünk a zárt rendszer stabilitására. A gyakorlatban a legtöbb esetben a felnyitott rendszer önmagában stabil. Ha a felnyitott rendszer átviteli függvényének a jobb félsíkban nincs pólusa, a zárt rendszer akkor és csakis akkor stabil, ha a felnyitott rendszer frekvenciafüggvénye a )0j,1( ⋅− ponton nem megy át, vagy azt nem veszi körül, miközben ω változik a ),( +∞−∞ intervallumban. Ez azt jelenti, hogy van-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állandósult megoldása, vagyis van-e egy (vagy több) olyan 0ω körfrekvenciája, amelyre a frekvenciafüggvény -1 értéket vesz fel. Ha egy ilyen zárt rendszer bemenetére egységugrás jel hat, amelyben minden frekvenciájú összetevő megtalálható, ezek közül az 0ω frekvenciájú fennmarad, a többi tart zéróhoz az átmeneti fázis alatt. A 8.3.7.1 ábrán láthatjuk a stabilitás meghatározását szolgáló elemeket a Nyquist diagramon. A bal oldali ábra egy stabil rendszert míg a jobb oldali egy instabil rendszert határoz meg. Az ábrán az PA a rendszer amplitúdó tartalékát míg a pϕ a fázistartalékát jelenti. Ezek meghatározásáról lesz még szó a későbbiekben. Az ábrán szerepel a -1 pont amely jelöli a kritikus pontot. A fH a felnyitott rendszer átviteli függvényének frekvenciaválaszát látjuk a komplex síkban. (Akár kísérleti mérésekkel is meghatározható ez a görbe.)

188

8.3.7.1. ábra

A 8.3.7.1 ábrán az Rω körfrekvencia jelenti a diagramnak a valós tengellyel való metszéspontját. Ez a metszéspont a baloldali ábrán a -1 )0j,1( ⋅− ponttól jobbra helyezkedik el, míg a jobboldali ábra esetében a -1 )0j,1( ⋅− ponttól balra. A Nyquist diagram alkalmazásával értelmezni lehet az úgynevezett relatív stabilitást vagyis ez számszerűleg megadja, hogy a rendszer milyen messze van a stabilitás határától. Kössük össze a Nyquist görbe és az egységsugarú kör metszéspontját a komplex számsík kezdőpontjával. Ennek a sugárnak a negatív valós tengellyel alkotott szöge adja meg a fázistartalékot. A 8.3.7.2. ábrán láthatjuk ezeket a szögeket. Mind a három görbe (L, H, S) egy-egy felnyitott rendszer Nyquist görbéje.

8.3.7.2. ábra

Jelöljük itt

π−ϕ=ϕ⇒ϕ+π=ϕ tt A ϕ -t most az óramutató járásával ellentétes, pozitív irányba mérjük. Kijelenthetjük a következő kritériumokat:

• ,Ha π>ϕ akkor 0t >ϕ és a rendszer stabil (S) • ,Ha π=ϕ akkor 0t =ϕ és a rendszer stabilitás határán van (H) • ,Ha π<ϕ akkor 0t <ϕ és a rendszer instabil (L)

A rendszer stabilitási viszonyaira következtethetünk a rendszer erősítési tartalékából is. Az erősítési tartalék a Nyquist görbe és a negatív valós tengely metszéspontjának a

189

távolsága az origótól. A 8.3.7.3. ábrán három, különböző felnyitott rendszer (L, H, S) Nyquist görbéje esetében ábrázoljuk az erősítési tartalékokat(d = LD ,d = HD d = SD ).

8.3.7.3. ábra

A következő törvényeket jelenthetjük ki: Ha 1d < akkor a zárt rendszer stabil ( SD ) Ha 1d = akkor a zárt rendszer a stabilitás határán van ( HD ) Ha 1d > akkor a zárt rendszer instabil ( LD ) A Nyquist kritérium általánosított formája Legyen

)s(D)s(N)s(H

f

ff =

a felnyitott kör átviteli függvénye. Legyen a számláló fokszáma szigorúan kisebb mint a nevező fokszáma és a számlálónak és nevezőnek ne legyen közös osztója. A rendszer stabilitása szempontjából fontos a zárt rendszer pólusainak helyzete az s-síkban, vagyis az

0D

DN0)s(H1f

fff =

+==+

racionális függvény gyökei. Ezek a gyökök a zárt rendszer pólusai. A kifejezés nevezőjének gyökei pedig a zárt rendszer zérósai. Ha 0k egy konstans, iα a zárt rendszer pólusai és iβ a felnyitott rendszer pólusai és mindkettő multiplicitása n akkor felírjuk a következő összefüggést:

∏

∏

=

=

β−

α−

⋅=+

=+= n

1ii

n

1ii

0f

fff1

)s(

)s(k

DDN)s(H1)s(H .

190

Legyen az n darab iα valamint az n darab iβ számának eloszlása a komplex s-síkban a 8.3.7.4. ábrán látható.

8.3.7.4. ábra

Legyen M a felnyitott rendszer pólusainak száma a jobb félsíkból, és a w a pólusok száma a képzetes tengelyen ugyancsak a felnyitott rendszer esetében. Legyen N a zárt rendszer pólusainak száma a jobb félsíkból, és a v a pólusok száma a képzetes tengelyen ugyancsak a zárt rendszer esetében. Ha ismerjük M és w értékét és a felnyitott rendszer Nyquist diagramját, akkor N és v kiszámítható, tehát meghatározható a zárt rendszer stabilitása. Tudjuk, hogy felírható a következő fázisváltozást leíró összefüggés: Ha

f

g

f

fff1 D

ND

DN)s(H1)s(H =+

=+=

akkor ))wj(Darg())wj(Narg())wj(Harg()( fg1 ⋅−⋅=⋅=ωϕ

és ha ∞<ω≤0 akkor a )0()( ϕ−∞ϕ=ϕΔ fázisváltozást az gN és fD fázisváltozásai adják, vagyis

fg DN ϕΔ−ϕΔ=ϕΔ

Az gN és fD fázisváltozásait az ezen polinomoknak megfelelő gyökök adják, mégpedig:

• ha a gyök a bal félsíkban van akkor mindenik 2π

+ fázisváltozást

• ha a gyök a jobb félsíkban van akkor mindenik 2π

− fázisváltozást

eredményez. A fázisváltozás folytonos függvénye ω-nak kivéve azt az esetet mikor a gyök a képzetes tengelyen van, ilyenkor π -ugrás történik. A következő magyarázat során azt az esetet tárgyaljuk mikor nincs gyök a képzetes tengelyen. Ezek alapján felírhatjuk, hogy

⇒⋅−⋅−−⋅−⋅−=

=−⋅+⋅−−−−⋅+⋅−−=ϕΔ−ϕΔ=ϕΔ

ππ

ππππ

22

2222DN

)wM2n()vN2n(

)](M)wMn[()](N)vNn[(fg

2]vw)NM(2[ π⋅−+−⋅=ϕΔ

191

8.3.7.5. ábra

Tehát ha M és w ismert (a felnyitott rendszerből) és meghatározzuk a ϕΔ értékét a Nyquist diagram segítségével, akkor meghatározhatjuk az 0N > és/vagy

0v > értékét, tehát a zárt rendszer stabilitását. A 8.3.7.5 ábra szemléltet egy zérós fázisváltozású diagramot. Látható, hogy a (-1, j0) kritikus pontból a )j(Hf ω⋅ Nyquist diagramjához húzott vektor 0=ϕΔ fázisváltozást szenved, mikor a )j(Hf ω⋅ vektor csúcsa az 0=ω értéknek megfelelő pontból indulva az ω növekedési irányába haladva eljut az ∞=ω értéknek megfelelő pontba. Ha a Nyquist görbe körbejárná a kritikus pontot akkor a fázisváltozás nem nulla (például -2 π⋅ ). Mindezeket figyelembe véve a Nyquist kritérium kijelenthető mint:

• A zárt rendszer aszimptotikusan stabil ha a kritikus pontból, a )j(Hf ω⋅ -t leíró, ω függő )0( ∞<ω≤ , mozgó ponthoz húzott vektor folytonos változású ϕΔ fázisvektor változásra igaz, hogy:

π⋅+=ϕΔ )2wM(

Nyquist egyszerűsített kritériuma

• Ha 0M = és ⇒=ϕΔ⇒= 00w Ha a felnyitott rendszer aszimptotikusan stabil, akkor a zárt rendszer is aszimptotikusan stabil ha )j(Hf ω⋅ Nyquist diagramja nem járja körbe és nem megy át a kritikus (-1, j0) ponton.

• Ha )j(Hf ω⋅ -nek a pólusai mind a bal félsíkban vannak, egy 0s = pólus kivételével, akkor a zárt rendszer csak akkor stabil, ha a (-1, j0) kritikus pont a )j(Hf ω⋅ Nyquist diagram bal oldalán van az ωnövekvő irányába tekintve.

Nagyon sok esetben ez egy elégséges kritérium.

8.3.8. Stabilitásvizsgálat BODE-diagramokkal A felnyitott rendszer BODE diagramjáról leolvasható a rendszer fázistartaléka illetve az erősítési tartaléka. A fázistartalék a Nyquist-diagram és az egységnyi sugarú

192

kör metszéspontját az origóval összekötő sugár és a negatív valós tengely által bezárt szög. Az egységsugarú körnek a BODE-diagramon a 0 dB tengely felel meg. Az egységsugarú kör és a Nyquist-diagram metszéspontjának a 0 dB tengely és a logaritmikus amplitúdó-diagram metszéspontja felel meg. Ha ehhez a metszésponthoz a fázis körfrekvencia jelleggörbén éppen a o180− szög tartozik, a rendszer stabilitás határán van. Ha a metszésponthoz o180 -nál kisebb szög tartozik, a fázistartalék negatív, a rendszer működése instabil. A stabilitást az erősítési tartalék alapján is vizsgálhatjuk. Ha a o180− -os szöghöz tartozó amplitúdó éppen egységnyi, vagyis

0]dB[d = akkor a rendszer a stabilitás határán van, ha 0]dB[d < akkor a rendszer stabil, ha meg 0]dB[d > akkor a rendszer instabil. (Lásd a 8.3.8.1. ábrát).

8.3.8.1. ábra

Minimál-fázisúnak nevezzük azt a rendszert, amelynek nincsenek jobb oldali zérós helyei. A minimál-fázisú rendszerek esetében a stabilitás megállapítható az amplitudó-körfrekvencia jelleggörbéből is. Ha az amplitudó-körfrekvencia görbe dekád/dB20− meredekségű szakaszon metszi a dB0 tengelyt, a rendszer biztosan stabil, ha a metszés dekád/dB40− meredekségű szakaszon következik be, akkor a stabilitás csak további vizsgálatok alapján dönthető el, ha pedig a metszés dekád/dB60− meredekségű szakaszon következik be akkor a rendszer biztosan instabil.

8.3.9. Gyökhely módszer Egy LTI szabályzó rendszer milyenségét a szabályzott változó időbeni viselkedése alapján dönthetjük el. Általában az időtartománybeli válaszok kiszámítása nagyon nehézkes összetett rendszerek esetében. Egy szabályzó rendszert tervezőnek fontos, hogy minél hatékonyabb módszerekkel megbecsülhesse a szabályzás milyenségét. Ennek a milyenségnek egyik legfontosabb ismérve a stabilitás. Egy szabályzó körre felírjuk az átviteli függvényt és a felnyitott kör átviteli függvényét.

193

Legyen adott a 8.3.9.1. ábrán látható szabályzó kör:

8.3.9.1. ábra

Ennek a zárt rendszernek az átviteli függvénye

)s(H)s(H1)s(H)s(H)s(H

21

21⋅+

⋅=

míg a felnyitott szakasz átviteli függvénye

)s(H)s(H)s(H 21f ⋅=

Most legyen a 8.3.9.2. ábrán látható szabályzó kör:

8.3.9.2. ábra

)s(H)s(H1)s(H)s(H

21

1⋅+

=

míg a felnyitott szakasz átviteli függvénye

)s(H)s(H)s(H 21f ⋅=

Látható, hogy az átviteli függvény más de a felnyitott kör átviteli függvénye ugyanaz. A stabilitásról az 0)s(H1 f =+ karakterisztikus egyenlet gyökeinek (pólusok) tanulmányozása során kaphatunk információt. A stabilitás léte, vagy nemléte néha nem elegendő, kell ismerjük a stabilitás fokát is. A gyökhely módszer nemcsak a stabil-instabil kérdésre ad választ, hanem egy stabil szabályzó kör esetében a stabilitás fokára is tudunk következtetni. A gyökhely nem más mint a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete gyökeinek mértani helye, az s-síkban, a rendszer nyeresége (erősítési tényezője), mint paraméter, függvényében. A gyökhely görbe felrajzolásában a felnyitott rendszer zérósainak és pólusainak eloszlásából indulunk ki. Ha a karakterisztikus egyenlet alapján kapott gyökhelyen, a választott paraméter

194

függvényébe megkapjuk a zárt rendszer gyökeinek eloszlását. A gyökeloszlás segítségével meghatározzuk a rendszer működése szempontjából elvárt gyököket (pólusokat) és a választott pólusokból megkapjuk a paraméter értékét (a rendszer erősítési tényezője) amelyet ha betartunk (alkalmazunk a zárt szabályzó körben) akkor a kívánt dinamikájú szabályzott rendszert kapjuk. A. A gyökhelygörbe felrajzolása A felnyitott rendszer átviteli függvényét általános esetben felírhatjuk mint:

;nm;sasasa1sbsbsb1

k)s(H nn

221

mm

221

ff ≤⋅++⋅+⋅+

⋅++⋅+⋅+⋅=

L

L

Itt fk a felnyitott rendszer erősítési tényezője és nem függ a pólusoktól és zérósoktól. Most zs és ps -vel jelöljük a felnyitott kör zérósait és pólusait, és ezeket ismertnek tekintjük. Ekkor felírhatjuk, ha zs és ps -vel jelöljük a felnyitott kör zérósait és pólusait, hogy

0s;)ss(

)ss(k)s(H

2i

2i

1i

pkn

12ip

m

11iz

ff ≠

−

−

⋅=

∏

∏−

=

=

1i2i

2i

1i

2i

1i

2i

1i

zpfn

12i p

m

11i zn

12i p

m

11i zn

12ip

m

11iz

ff ss;0k;)

ss1(

)s

s1(K

)s

s1(

)s

s1(

)s(

)s(k)s(H ≠>

−

−

⋅=

−

−

⋅

−

−

⋅=

∏

∏

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

=

=

∏

∏

=

=

−

−

⋅= n

12ip

m

11iz

f

)s(

)s(kK

2i

1i

A K a felnyitott rendszer erősítési tényezője. Gyakorlatilag a gyökhely arra az esetre vonatkozik mikor ∞<≤ K0 , tehát csak a nem negatív erősítési tényezőket vesszük figyelembe. Meghatározzuk a következő polinomokat:

∏

∏

=

=

−=

−=

n

12i p

m

11i z

)s

s1()s(Q

)s

s1()s(P

2i

1i

A zárt rendszer karakterisztikus egyenletét felírhatjuk mint:

195

0)s(PK)s(Q)s(D =⋅+=

Ennek alapján, a felnyitott rendszer karakterisztikus egyenlete

1)s(Q)s(PK)s(Hf −=⋅=

Tudjuk, hogy ω⋅+σ= js és így felírhatjuk

∑∏==

⋅ −=−=⋅=m

11i z

m

11i z

)}s(Parg{j }s

s1arg{)}s(Parg{;)s

s1()s(P;e)s(P)s(P1i1i

Hasonló módon felírjuk, hogy

∑∏==

⋅ −=−=⋅=n

12i p

n

12i p

)}s(Qarg{j }s

s1arg{)}s(Qarg{;)s

s1()s(Q;e)s(Q)s(Q2i2i

Ha az így felírt összefüggéseket behelyettesítjük a 1)s(Q)s(PK −=⋅ egyenletbe akkor két

alapvető kritériumot határozunk meg:

• Fázisszög kritérium: Ahhoz, hogy egy is pont a gyökhely eleme legyen eleget kell tegyen a következő összefüggésnek

L,2,1,0k;)1k2()}s(Qarg{)}s(Parg{ ii ±±=π⋅+⋅=− • Amplitúdó kritérium: A K erősítési tényezőt a következőt a

)s(P)s(Q

Ki

i= összefüggés alapján számítsuk ki.

B. Gyökhelygörbe tulajdonságai Kiszámítjuk a felnyitott rendszer pólusait és zérós pontjait. Felhasználjuk a gyökhelygörbe tulajdonságait, s ezek alapján lehetséges egy megközelítő módszer kidolgozása hogy felépíthessük ezt a görbét. Most felsoroljuk a tulajdonságokat:

• T1 a gyökhelygörbe elágazásainak száma egyenlő }m,nmax{ -el )s(Hf -ből, figyelembe véve a gyökök multiplicitását is.

• T2 a gyökhelygörbe a felnyitott rendszer pólusaiból indul

• T3 a gyökhelygörbe a felnyitott rendszer zérósaiban végződik, ide számítva a végtelenbe kitolt zérósokat

• T4 a gyökhelygörbe szimmetrikus az s-sík valós tengelyére nézve

196

• T5 ha a felnyitott rendszer K erősítési tényezője végtelenhez tart , akkor a gyökhelygörbe elágazásai olyan aszimptóta felé tartanak amelyek dőlésszögét a

1mn,,2,1,0k;mn

)1k2(k −−=

−π⋅+⋅

=θ L

és ezek az aszimptóták az s-sík valós tengelyét, a

)számazérósokvéges()számapólusokvéges()összegezérósokvéges()összegepólusokvéges(

mn

ssm

1jz

n

1jp

0

jj

−−

=−

−

=σ∑∑==

• T6 A gyökhelygörbe és az s-sík képzetes tengely metszéspontjainak megfelelő K paraméter értékét Routh-Hurwitz kritériummal határozhatjuk meg

• T7 A gyökhelygörbe elágazási pontjai eleget kell tegyenek a

0))s(H

1(dsd

f= összefüggésnek (szükséges feltétel)

Az itt felsorolt hét tulajdonság alapján felrajzolhatjuk a gyökhely görbét. Példa Adott a következő felnyitott rendszer átviteli függvénye:

)3s()2s()1s(K6)s(Hf +⋅+⋅+⋅

=

Vázoljuk fel a rendszer gyökhelygörbéjét Pólusok: ;3s;2s;1s −=−=−= Zérósok: három zérós a végtelenben A gyökhelygörbének három ága van és a pólusokból indulnak ki és a végtelenbe mennek. Az aszimptóták dőlésszögei ooo 300;180;60

23

3210 −=

−−−=σ

A képzetes tengellyel való metszéspontok meghatározás érdekében felírjuk a H(s) karakterisztikus egyenletét, vagyis

)1K(6s11s6sK6)3s()2s()1s()s(D 23 +⋅+⋅+⋅+=⋅++⋅+⋅+=

Ennek alapján a Routh táblázat:

197

0)1K(60r

06

)1K(6661r

)1K(662r1113r

+⋅

+⋅−+⋅

Az r1. sor és a T6 alapján felírjuk, hogy 0)1K(666 =+⋅− K=10, innen 10K = vagyis megkaptuk az erősítési tényező értékét amely segítségével kiszámítjuk a görbe képzetes tengellyel való metszéspontját. A táblázat r2 sora alapján és tudva, hogy K=10, kapjuk, hogy 066s6 2 =+⋅ és innen a gyökök 11js12 ⋅±= .

Most felhasználjuk a 0))s(H

1(dsd

f= összefüggést, hogy az elágazási pontok helyét

megtaláljuk. Megoldjuk a

011s12s30)]3s()2s()1s[(dsd 2 =+⋅+⋅⇒=+⋅+⋅+

egyenletet és kapjuk az 577.2s;423.1s 21 −=−= gyököket. Ebből a két gyökből csak az első eleme a gyökhelynek, tehát csak ez lehet elágazási pont. A 0)s(PK)s(Q =⋅+ alapján az 1ss = értékre megkapjuk a megfelelő K értékét (K=0.0641). Ezek alapján felrajzolhatjuk a 8.3.9.3. ábrán látható gyökhelygörbét.

8.3.9.3. ábra

Innen látható, hogy ha 10K > akkor a két konjugált komplex pólus az s-sík jobb félsíkjába kerül és a rendszer instabillá válik.

198

A fontosabb átviteli függvényeknek megfelelő gyökhelygörbék láthatók a következő táblázatban.

Példa Adott a 8.3.9.4. ábrán látható egy zárt rendszer amelyben SZ-szabályzó az átviteli függvényével és a R-rendszer az ott megadott átviteli függvényével.

199

8.3.9.4. ábra

Kiszámítjuk a felnyitott kör átviteli függvényét.

)4s()12s(s)2s(K5.0

)4s()5s(K5.0

)12s(s)5s()2s()s(Hf −⋅+⋅

+⋅⋅=

−⋅+⋅

⋅+⋅

+⋅+=

A felnyitott rendszer pólusai ;4s;12s;0s 3p2p1p =−== és véges zérósa meg

2s 1z −= . A gyökhelynek három ága van. Az egyik ág az 12s 2p −= pólusból indul és az 2s 1z −= zérósban végződik. A másik két ág az ;4s;0s 3p1p == pólusokban kezdődnek és a végtelenben végződnek. Mivel van elágazás a végtelenbe ezért léteznek aszimptóták. Kiszámítva a dőlésszögeiket kapjuk, hogy ezek

oo 270;90 =θ=θ és a kiindulási pontjukat kiszámítjuk mint

313

)2()4012(0 −=

−−−++−

=σ

A zárt rendszer karakterisztikus egyenletét felírhatjuk mint 0Ks)48K5.0(s8s)s(D 23 =+⋅−⋅+⋅+=

A Routh-táblázat meg:

0K0r

08

K)48K5.0(81rK82r

48K5.013r

−−⋅⋅

−⋅

Az r1. sor és a T6 alapján 0K)48K5.0(8 =−−⋅⋅ és innen K=128, vagyis megkaptuk az erősítési tényező értékét amely segítségével kiszámítjuk a görbe képzetes tengellyel való metszéspontját. A táblázat r2 sora alapján és mivel K=128 kapjuk, hogy 0128s8 2 =+⋅ és innen a gyökök 4js12 ⋅±= . Ezek a képzetes tengellyel való metszéspont koordinátái Most kiszámítjuk az elágazási pontok koordinátáit. Felírjuk, hogy

048s16s7s0))2s(K5.0

)4s()12s(s(dsd 23 =−⋅+⋅+⇒=

+⋅⋅−⋅+⋅

Ennek az egyetlen valós gyöke 6083.1s = és az előbbi példa szerint a megfelelő erősítési tényező értéke pedig K=29.01

200

8.3.9.5. ábra

Az így kapott gyökhelygörbe az előző 8.3.9.5. ábrán látható. Láthatjuk, hogy a zárt rendszer instabil 128K0 ≤≤ esetében. Ha 128K > akkor a zárt rendszer karakterisztikus egyenlet gyökei (pólusai) a bal félsíkba lesznek tehát a szabályzó stabillá teszi a rendszert ha a felnyitott rendszer erősítési tényezőjét megfelelően nagynak választjuk.

8.4 Szabályzó körök alaptagjainak jelátviteli tulajdonságai Az alaptagok átviteli függvényeinek, súlyfüggvényeinek frekvenciafüggvényeinek tanulmányozását írjuk le a következőkben. A szabályzó körben különböző feladatot ellátó elemek találhatók, de sok közös tulajdonságuk van. A szabályzó rendszer működésének megértéséhez szükséges a jelátviteli rendszer állandósult állapotainak és dinamikus tulajdonságainak együttes megismerése. A jelátviteli tagok jellemzésére szükségünk van:

• Súlyfüggvényre (h(t)) mint a Dirac bemenő jelre adott válasz • Átmeneti függvényre (g(t)) mint az egységugrás bemenő jelre adott válasz • Átviteli függvény (H(s)) mint a súlyfüggvény Laplace transzformáltja • Diszkrét (impulzus) átviteli függvény (H(z)) • Frekvenciafüggvények ))wj(H( ⋅ ahol ωa jel körfrekvenciája.

Egy jelátvivő tag viselkedését az azt leíró differenciálegyenlet határozza meg. Az általános differenciálegyenlet a tag struktúráját (felépítését) az egyenlet bal oldalán álló kifejezéssel és az alkalmazott bemenetet (gerjesztést) az egyenlet jobb oldala tartalmazza. Egy lineáris rendszer általános differenciálegyenletét felírhatjuk mint:

))t(udt

)t(duTdt

)t(udT(K)t(ydt

)t(dyTdt

)t(ydT 1dm

mmdm1n

nnn τ−+

τ−⋅++

τ−⋅⋅=+⋅++⋅ LL

Ez mindenképpen csak egy megközelítő modellje a valós történésnek mert csak korlátozott pontossággal, és korlátozott idő és jeltartományban használható. Ezek a

201

differenciálegyenletek a nem lineáritásokat a jellemzők térbeli felosztottságát és a paraméterek időbeli változásait elhanyagolva vagy módosítva születtek. A rendszer energiatárolóit a differenciálegyenletben a T időállandóikkal jellemezzük. Minden matematikailag különválasztható és leírható energiatároló eggyel növeli a differenciálegyenlet rendszámát.

• A jelátvivő tag a jel átvitelét két ok miatt késleltetheti: A jelátvivő tag energiatárolói a bemenő jel hatására véges idő alatt érik el egyensúlyi állapotukat, és ezzel késleltetik az állandósult állapotbeli kimenőjel megjelenését.

• A jelátvivő tag belső felépítéséből adódóan, a véges idejű τ késleltető hatású, mert a jel átvitelét τ ideig zárolja. Ezt a hatást holtidőnek nevezzük. A holtidő hatása (érvényre jutása) az általános differenciálegyenlet felírásakor a bement argumentumában )t( τ− módon kerül be.

A jelátviteli jelenség állandósúlt állapota akkor következik be, ha az általános differenciálegyenlet bal oldalán szereplő rész deriváltjai időben nullává válnak, azaz:

;0dt

)t(dylim;0dt

)t(ydlimtn

n

t==

∞→∞→L

Állandósult állapotban a K átviteli tényező ad összefüggést a kimenő ))(y( ∞ és a bemenőjel ))(u( ∞ állandósult értéke között. A K mértékegysége megegyezik a kimenő és a bemenőjel mértékegységeinek hányadosával. Ha az átviteli tényezőnek nincs mértékegysége akkor erősítésnek nevezzük. Az átviteli tagok még felírhatóak állapotteres rendszerként, és itt az állapotváltozók megválasztása számtalan leírási formát eredményezhet. Ha egy megválasztott sT időintervallumban (mintavételező periódus) mintavételezünk akkor a tagot egy differencia egyenlettel írjuk le. A Laplace (mintavételezett rendszereknél a Z) transzformáció alkalmazásával meghatározható a rendszer átviteli mátrixa (függvénye), vagy impulzus átviteli mátrixa (függvénye) és frekvenciafüggvénye. Az átviteli függvény általános alakja a következő alapvető dinamikus tagokat tartalmazhatja:

1sT2sT1)s(H;

1sT1)s(H

s1)s(H;1sT2sT)s(H;1sT)s(H;K)s(H

jj22

jj

iii22

ii

±⋅⋅ξ⋅±⋅=

±⋅=

=±⋅⋅ξ⋅±⋅=±⋅==

Az alaptagok típusát és paramétereit szerkezeti felépítésük határozza meg. Az állandósult állapotot leíró összefüggésekből a jelátvivő tagok következő altípusai származnak:

• Arányos tag amikor a kimenőjel arányos a bemenőjellel, vagyis )(y ∞ = )(uK ∞⋅

• Integráló tag amikor a kimenőjel arányos a bemenőjel idő szerinti

integráljával Cdt)t(u)(y)t(uKdt

)t(dyTlimt

0TK

t+⋅⋅=∞→⋅=⋅ ∫∞→

202

• Differenciáló tag amikor dt

)t(duA)(y D ⋅=∞

• Holtidős tag amikor )t(u)t(y τ−= Az alaptípusoknak számtalan változata létezik annak függvényében, hogy a rendszer hány jelkésleltető energiatárolót tartalmaz. Az elkövetkező három jelátvivő tag esetében nem mutatjuk be a tag Nyquist, Bode jelleggörbéket.

8.4.1. Arányos tag (P-elem) Az ideális arányos tagnak nincs energia tátolája. A 8.4.1.1. ábra ilyen jelátvivő tagot mutat. Az ideális arányos tagot leíró matematikai formák a következők:

• Differenciál egyenlet )t(uK)t(y ⋅= • Differencia egyenlet ]n[uK]n[y ⋅=

• Átviteli függvénye K)s(U)s(Y)s(H ==

• Diszkrét átviteli függvény K)z(U)z(Y)z(H ==

• Átmeneti függvény ⋅= K)t(g 1 )t( • Súlyfüggvény )t(K)t(h δ⋅= • Frekvenciafüggvény

0))}j(HRe{)}j(HIm{(arctk)(

);j(Hlog20)w(AK)j(H

=ω⋅ω⋅

=ωϕ

ω⋅⋅=⇒=ω⋅

8.4.1.1. ábra

8.4.2. Integráló tag (I-elem) és egy energiatátárolós integráló tag (IT0) Az integráló tagot az jellemzi, hogy állandósult állapotban a kimenőjel a bemenőjel integráljával arányos. Véges bemenőjel esetén, a kimenőjel nyugalmi állapota nem jöhet létre. Állandósult bemenőjelhez csak állandó változási sebességű kimenőjel

203

tartozhat. A változás állandó, és a kimenet minden határon túl egészen a szaturáció-ig növekszik.

• Differenciálegyenlet

)0(yd)(uTK)t(y

t

0I+ζ⋅ζ⋅= ∫

vagy

)t(uKdtdyTI ⋅=⋅

• Átviteli függvény

sTK)s(HI ⋅

=

• Diszkrét átviteli függvény (Tustin-megközelítés)

1

1

I

s

z1z1

T2T

)z(H−

−

−

+⋅

⋅=

vagy egy másik

2I )1z(

zTK)z(H

−⋅=

• Differencia egyenlet

]1n[u]n[u])1n[y]n[y(T2

T

I

s −+=−−⋅⋅

vagy

]1n[uTK]2n[y]1n[y2]n[y

I−=−+−⋅−

• Frekvenciafüggvény

)Tlg(20)Klg(20)T

Klg(20)(A

2)(;

TK)(A

eT

KTj

K)j(H

II

I

2j

II

⋅ω⋅−⋅=⋅ω

⋅=ω

π−=ωϕ

⋅ω=ω⇒

⇒⋅⋅ω

=⋅ω⋅

=ω⋅π⋅−

8.4.3. Deriváló (differenciáló) tag (D-elem) A differenciáló tagokat az jellemzi, hogy állandósult állapotban a kimenőjel a bemenőjel deriváltjával arányos. Ha a bemenőjel zérus értékű, akkor a differenciáló tag kimenőjele állandósult állapotban szintén zérós értékű. Ha egy ilyen tagot sorba iktatunk egy szabályzó körbe, akkor ez azt eredményezi, hogy a rendszer állandósult állapotban (hatásvonala), szakadási pontot mutat. Egy ideális deriváló tagnak nincs energiatárolója. Egyes elemek a működési tartományuk egy adott tartományában ideális differenciáló tagnak tekinthető.

• Differenciálegyenlet

204

dt)t(duT)t(y D ⋅=

• Átviteli függvény DTs)s(H ⋅=

• Diszkrét átviteli függvény nem írható fel egy tiszta differenciáló tag esetében de egy adott változási tartományban létezik egy megközelítő modell.

1

1

I

D

z1z1

TT2)z(H

−

−

+

−⋅

⋅=

• Differencia egyenlet nem írható fel egy tiszta differenciáló tag esetében de egy adott változási tartományban létezik egy megközelítő modell.

]1n[u]n[u])1n[y]n[y(TT2

I

D −−=−+⋅

• Átmeneti és súlyfüggvény

)t(T)t(h)t(T)t(g

D

D 1δ⋅−=

⋅=

• Frekvenciafüggvény

2)();Tlg(20)(A

eTTj)j(H

D

2j

DD

π=ωϕ⋅ω⋅=ω⇒

⇒⋅⋅ω=⋅ω⋅=ω⋅π⋅

Egy ideális differenciáló tagnak egységugrás bemenő jel esetén, végtelen nagy kimenőjelet kell adnia a belépés pillanatban. A gyakorlatban a tagok csak bizonyos tartományban lineárisak, de ezt a tartományt is a szaturáció korlátozza, így a kimenőjel a végtelen nagy értéket nem érheti el. A tagban levő, esetleg igen kis értékű de mégis csak létező energiatároló az elérhető legnagyobb értéket is csak időkéséssel engedi létrejönni.

8.4.4. Egy energiatárolós arányos időkésleltető tag (PT1) Az egy energiatárolós arányos időkésleltető tag sokszor előfordul a szabályzó rendszerek szerkezeti felépítésében. Az egy energiatárolós arányos időkésleltető tag viselkedését leíró és jellemző összefüggések a következők:

• Differenciálegyenlet

)t(uK)t(ydt

)t(dyT ⋅=+⋅

• Differenciaegyenlet

]n[uk]1n[ya]n[ya 010 ⋅=−⋅+⋅ ahol Kk;TTa;1

TTa 0

s1

s0 =−=+=

• Átviteli függvény 1sT

K)s(H+⋅

=

• Impulzusátviteli függvény

TTs

ez

zTK)z(H

−−

⋅=

205

• Átmeneti függvény

)e1(K)t(g Tt

−−⋅=

• Súlyfüggvény

Tt

eTK)t(h

−=

• Frekvenciafüggvény

)T(arctg)()T(1lg20)Klg(20)(A

Tj1K)j(H

2

⋅ω−=ωϕ

⋅ω−⋅−⋅=ω⇒

⇒⋅ω⋅+

=ω⋅

A folytonos rendszer pólusa T1s −= míg a diszkrét rendszer pólusa T

Ts

ez−

= .

A 8.4.4.1. ábra a PT1-elem diagramjait ábrázolja

8.4.4.1. ábra

Az átmeneti függvény időállandója az az időtartam, amely alatt a tag a végértékének a 63.2%-át éri el. Az időállandó négyszeres értéke alatt az átmeneti függvény már 98.2%-át éri el a végértéknek. A gyakorlatban előforduló időállandók széles határok között, egy ezredmásodperc és néhány óra között változnak.

206

8.4.5. Két energiatárolós arányos időkésleltetésű tag (PT2) Pár példa következik PT2 tagokra a 8.4.5.1. ábrán:

8.4.5.1. ábra

• Differenciálegyenlet

)t(uK)t(ydt

)t(dyTdt

)t(ydT 12

222 ⋅=+⋅+⋅ , Behelyettesítve TT2 = és

2

1T2

T⋅

=ξ ahol ξ a lengési tényező, ekkor a differenciálegyenlet

)t(uK)t(ydt

)t(dyT2dt

)t(ydT 2

22 ⋅=+⋅⋅ξ⋅+⋅ formájú, ha még az

T1

0 =ω

( 0ω a rendszer saját frekvenciája) akkor a differenciálegyenlet

)t(uK)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd 20

2002

2⋅ω⋅=⋅ω+⋅ω⋅ξ⋅+

• Differenciaegyenlet

]n[uk]2n[ya]1n[ya]n[ya 0210 ⋅=−⋅+−⋅+⋅ ahol

;)TT(a;

TT2

TT2a;1

TT2)

TT(a 2

s22

0s1

s

2

s0 =

⋅−

⋅ξ⋅−=+

⋅ξ⋅+=

• Átviteli függvény

200

2

20

221

22 s2s

K1sT2sT

K1sTsT

K)s(Hω+⋅ω⋅ξ⋅+

ω⋅=

+⋅⋅ξ⋅+⋅=

+⋅+⋅=

• A diszkrét átviteli függvény formája ξ értékétől függ és különböző felépítésű lehet.

• Átmeneti és súlyfüggvény Az időfüggvényeknél figyelembe kell venni, hogy a ξ értékétől függően a karakterisztikus egyenlet gyökei három esetet jelentenek: a. 1>ξ és a gyökök negatív valósak

b

2

2

a

2

1

T1

T1

Ts

T1

T1

Ts

−=−ξ

−ξ

−=

−=−ξ

+ξ

−=

207

Ekkor:

)eTT

Te

TTT

1(K)t(g ba T1

ba

bT1

ba

a−−

⋅−

+⋅−

−⋅=

)ee(TT

1K)t(h ba T1

T1

ba

−−−

−⋅=

A kimenőjel nem periódikus módon éri el állandósult állapotát

b. 1<ξ és a gyökök konjugált komplex gyök párok

p

2

2

p

2

1

jT

1T

s

jT

1T

s

ω⋅−α−=ξ−

−ξ

−=

ω⋅+α−=ξ−

+ξ

−=

ahol α a csillapítási tényező, pω a lengési körfrekvencia vagy a csillapított sajátfrekvencia. Ekkor

)tsin(eT

K)t(h

))]tsin()t(cos(e1[K)t(g

pt

2p

pp

pt

⋅ω⋅⋅⋅ω

=

⋅ω⋅ωα

+⋅ω−⋅=

⋅α−

⋅α−

A tag kimenőjele csillapodó lengésekkel éri el állandósult állapotát.

c. 1=ξ és a gyökök egybevágóak

T1ss 21 −== Ekkor

Tt

2

Tt

etTK)t(h

)]Tt1(e1[K)t(g

−

−

⋅⋅=

+⋅−⋅=

A tag kimenőjele nem periódikus határjelleggel éri el állandósúlt állapotát.

A tag viselkedése a 2

1T2

T⋅

=ξ értékétől, vagyis két időállandótól függ.

A súlyfüggvény és az átmeneti függvény látható a 8.4.5.1. ábrán a ξ paraméter különböző értékeire.

208

8.4.5.1. ábra

• Frekvenciafüggvények

A 8.4.5.2., 8.4.5.3. 8.4.5.4 ábrákon a frekvenciafüggvényeket ábrázoljuk.

8.4.5.2. ábra

A paraméterekkel jellemzett Nyquist-diagram

209

8.4.5.3. ábra a BODE-jelleggörbe fázis diagramja

8.4.5.4. ábra a BODE-jelleggörbe amplitúdó diagramja

8.4.6. A holtidős tag Azokat a tagokat, amelyek a bemenő jel átalakítását torzítás nélkül adja tovább a bemenetre a továbbadás azonban csak meghatározott idő múlva következik be holtidős tagnak nevezünk. Ezt a holtidőt jelöljük mint ( τ ). A holtidő oka az, hogy a

210

jeltovábbadás a tag belsejében véges sebességgel terjed, ezért általában akkor jelentkezik, ha a hatás terjedése anyagáramláshoz van kötve.

8.4.6.1 ábra

Példa egy holtidős rendszerre a 8.4.6.1. ábrán látható szállító szalag, mivel a bemenő anyagmennyiség, csak egy meghatározott idő elteltével jelenik meg a kimeneten, vagyis a szalag végén. Holtidős tag lehet egy hosszú csővezeték is, amelyben adott hőmérsékletű folyadék áramlik. Ha a csővezeték elején a hőmérséklet ugrásszerűen változik, akkor a kimeneten is megközelítőleg ugrásszerű lesz a változás de csak egy holtidőnyi időintervallum elteltével.

• Differenciálegyenlet

)t(uK)t(y τ−⋅= • Differenciaegyenlet

sTadahol);dn[uK]n[y τ

−⋅= egészszámú hányadosa.

• Átviteli függvény τ⋅−⋅= szK)s(H

• Diszkrét átviteli függvény dzzH −=][

• Átmeneti és súlyfüggvény

)t(K)t(h)t(K)t(gτ−δ⋅=τ−⋅=

• Frekvenciafüggvény τ⋅ω−=ωϕ⋅=ω⇒⋅=ω⋅ τ⋅ω⋅ )();Klg(20)(A;eK)j(H j

Megjegyzés:

Egy egytárolós arányos tag átviteli függvénye 1sT

1)s(H+⋅

= . Osszuk a tagot n

azonos sorba kapcsolt részre úgy, hogy a T időállandót is n részre osztjuk. A soros kapcsolás eredménye, ha a tagot és időállandót is n részre osztjuk:

n)n

sT1(

1)s(H⋅

+= .

211

Tudjuk, hogy

τ⋅−⋅∞→==

⋅+

ssTnn

ee

1

)n

sT1(

1lim .

Ezért a holtidős tagot tekinthetjük mint végtelen tároló számú arányos tagként tekinthető.

8.4.7. Jelátviteli tagok kapcsolási módozatai A rendszerek egymáshoz kapcsolt elemekből, jelátviteli tagokból épülnek fel. A hatáslánc az a szabályzási lánc amelyek a mért jellemzőkről szerzett információkat és a szabályzóhatást közvetítik. A hatáslánc szemléletes formában fejezi ki a lánc jeleit, jellemzői között differenciál vagy differenciaegyenlettel, átvitel, diszkrét átviteli vagy frekvenciafüggvényekkel megadható összefüggéseit. Tehát a szabályzási rendszerek a jelátviteli tagok alapkapcsolásaiból épülnek fel. Az alapkapcsolásokat egyetlen eredendő taggal helyettesíthetők, így bonyolult hatásláncok (hatásvázlatok) is felépíthetők. Három alapkapcsolás ismeretes. A soros, párhuzamos kapcsolás és visszacsatolás. A. Soros kapcsolás Két tag soros kapcsolású, ha az egyik tag kimenőjele egyben a hatásirányban utána következő tag bemenőjele is.

8.4.7.1. ábra

Keressük a 8.4.7.1. ábrán látható rendszer átviteli függvényét, vagyis

)s(U)s(Y)s(H = kifejezését. Látható, hogy

⇒⋅⋅=⇒⋅==⋅=

)s(U)s(H)s(H)s(Y)s(U)s(H)s(Y)s(U);s(U)s(H)s(Y

12

11222

)s(H)s(H)s(H 21 ⋅= Amint azt a következő ábrán láthatjuk, most több sorba kötött tagot veszünk a hatásláncban.

8.4.7.2. ábra

Ekkor az előbbi gondolatsort ismételve a 8.4.7.2. ábrán látható sorba kötött tagokra kapjuk, hogy

)s(H)s(H)s(H)s(U)s(Y)s(H n21 ⋅⋅⋅== L (8.4.7.1)

212

Mintavételező rendszerek esetében két tag sorba kapcsolása mintavételezőn keresztül vagy mintavételező nélkül történhet. Ha a két tag sorba kapcsolása mintavételezőn keresztül történik, akkor az eredő diszkrét átviteli függvény a két impulzusátviteli függvény szorzata akár a folytonos tagok esetében ( )z(H)z(H)z(H 21 ⋅= ). Ha a két tag sorba kapcsolása mintavételező nélkül történik, akkor az eredő diszkrét átviteli függvény a két átviteli függvény szorzata transzformáltjából adódó impulzusátviteli függvény ( )z(HH)z(H 21= ). Fontos észrevenni, hogy:

)z(HH)z(H)z(H 2121 ≠⋅ . Példa Határozzuk meg két tag eredő diszkrét átviteli függvényét ha:

a. a soros kapcsolás mintavételező nélkül történik b. a soros kapcsolás mintavételezőn keresztül történik

A tagok átviteli függvényei

asa)s(H;

s1)s(H 21 +

== és a mintavételezési periódus sT .

Felírjuk, hogy

sTa2

1

ezza}

asa{Z)z(H

1zz}

s1{Z)z(H

⋅−−

⋅=

+=

−==

a. )e1()1z(

)e1(z}as

as1{Z)z(HH

s

s

Ta

Ta

21 ⋅−

⋅−

−⋅−

−⋅=

+⋅=

b. )e1()1z(

za)e1(

za1z

z)z(H)z(Hss Ta

2

Ta21 ⋅−⋅− −⋅−

⋅=

−

⋅⋅

−=⋅

B. A párhuzamos kapcsolás Két tag akkor tekinthető párhuzamosan kapcsoltnak ha a bemenőjelük közös, kimenőjeleik pedig összeadódnak, vagy kivonódnak. Párhuzamosan csak olyan tagokat lehet kapcsolni, amelyeknek a bemeneti és kimeneti oldalon is közös a jelhordozójuk.

8.4.7.4. ábra

)s(U)s(H)s(Y)s(U)s(H)s(Y

22

11

⋅=⋅=

213

)s(Y)s(Y)s(Y 21 += )s(U))s(H)s(H()s(Y 21 ⋅+=

Így párhuzamosan kapcsolt tagok eredője az átviteli függvényeknek összege, vagyis

)s(H)s(H)s(U)s(Y)s(H 21 +==

Ha több párhuzamosan kötött tagunk van akkor

8.4.7.5. ábra

és

)s(H)s(H)s(H)s(U)s(Y)s(H n21 +++== L (8.4.7.2)

A 8.4.7.6. ábrákon követhetjük, miként tudjuk felrajzolni egy sorba vagy párhuzamosan kapcsolt tagokból álló rendszer eredő Nyquist diagramját. Úgy a soros mint a párhuzamos rendszer esetében két ávitelifüggvény adott és az ezekhez tartozó

)s(H1 és )s(H2 átviteli függvényeikhez tartozó Nyquist diagramok láthatók. .

8.4.7.6. ábra

214

A sorba kötött tagok esetében egy tetszőleges 1ω körfrekvenciához tartozó s-síkban kapott pozicióvektorok (amplitúdó, fázis) összeadódnak (paralelogramma szabály szerint), míg a párhuzamosan kötött tagok esetében a megfelelő pozicióvektorok szorzódnak (Additív szabály az amplitúdók esetében és multiplikatív szabály a fázisok esetében) C. Visszacsatolás A tagok visszacsatolásáról akkor beszélünk, ha a tagok egy része a hatásirányba mutat más része azzal ellentett irányba van kapcsolva, úgy hogy a kimenő jellemzőjük kölcsönösen hat a másik bemenő jellemzőjére. Az ellentetten kapcsolt tagok közül azt, amelynek a hatás iránya az egész rendszer hatásirányával azonos, főirányú tagnak, a másikat ellenirányú tagnak nevezzük. A főirányú ág bemenő jellemzője a rendszer bemenő kivonva a kimenő jellemzőjének. Fő és ellenirányba kapcsolni csak olyan tagokat lehet amelyeknek legalább egyike visszahatástól mentes. Ha ugyanis mindkét tagban lehetséges két hatásirány, akkor a párhuzamos vagy ellentett kapcsolás különbségének és ezáltal a visszacsatolásnak, nincsen értelme.

8.4.7.7. ábra

Felírhatjuk, hogy ))s(H)s(H())s(Y)s(U()s(Y 21 ⋅⋅±=

innen meg következik, hogy

))s(H)s(H()s(U))s(H)s(H1()s(Y 2121 ⋅⋅=⋅⋅ m

és akkor a rendszer átviteli függvénye

)s(H)s(H1)s(H)s(H

)s(U)s(Y)s(H

21

21⋅

⋅==

m (8.4.7.3)

Nagyon fontos megjegyezni a különbséget a hatásvázlat visszacsatolás előjele és a kapott átviteli függvény nevezőjében levő, az előbbivel ellentétes előjel között. Ha most a visszacsatolt rendszer

8.4.7.8. ábra

215

Felírhatjuk, hogy

)s(Y)s(H)s(Y)s(H))s(Y)s(U()s(Y

11

21

⋅=⋅±=

innen meg következik, hogy )s(H)s(U))s(H)s(H1()s(Y 221 ⋅=⋅⋅ m

és akkor a rendszer átviteli függvénye

)s(H)s(H1)s(H

)s(U)s(Y)s(H

21

2⋅

==m

(8.4.7.4)

Itt is nagyon fontos megjegyezni a különbséget a hatásvázlat visszacsatolás előjele és a kapott átviteli függvény nevezőjében levő, az előbbivel ellentétes előjel között. A rendszer negatív visszacsatolását az átviteli függvényben pozitív előjel jelenti. D. Átviteli függvény koncentrált zajbemenet esetén A 8.4.7.9. ábrán a Z(s) bemenet jelenti a koncentrált zaj bemenő jelének Laplace transzformáltját.

8.4.7.9. ábra Ennek alapján felírhatjuk a következő összefüggést:

)s(H)s(H))s(Y)s(U()s(Z)s(Y 21 ⋅⋅±+=

innen meg kifejezzük az Y(s) értékét, és kapjuk:

)s(U)s(H)s(H1

)s(H)s(H)s(Z)s(H)s(H1

1)s(Y21

21

21⋅

⋅⋅

+⋅⋅

=mm

Ha U(s) = 0 akkor megkapjuk a rendszer zajátviteli függvényét. Ezt felírjuk mint:

)s(H)s(H11

)s(Z)s(Y)s(H

21z ⋅

==m

(8.4.7.5)

Ha Z(s) egyenlő zéróval, vagyis a külső koncentrált bemenő zaj nulla, akkor megkapjuk a 8.4.7.4 összefüggést.

216

E. Felnyitott kör átviteli függvénye Ha a 8.4.7.9. ábrán látható zárt szabályzó kört felnyitjuk ( 0)s(Z;0)s(U == ), akkor a felnyitott kör átviteli függvénye

)s(H)s(H)s(H 210 ⋅= (8.4.7.6) Az így meghatározott átviteli függvénynek nagy jelentősége van a stabilitási kritériumok tárgyalásánál. F. Súlyfüggvények összekapcsolása

• Párhuzamos kapcsolás Legyen adott két rendszer súlyfüggvénye (Dirac jelre adott válasza) a )t(h1 és

)t(h 2 . Az átviteli függvények esetében is használt párhuzamos kapcsolás azt jelenti, hogy a bemenet ugyanaz minden tagra nézve, míg a tagok kimenete összegeződik. Ennek megfelelően felírhatjuk:

)t(h)t(h)t(h 21 += (8.4.7.7a)

A párhuzamos kapcsolás diszkrét súlyfüggvények esetében, hasonlóan a folytonos esethez felírhatjuk:

]n[h]n[h]n[h 21 += (8.4.7.7a)

• Sorba kapcsolt súlyfüggvények Ugyanúgy legyen adott két rendszer súlyfüggvénye (Dirac jelre adott válasza) a )t(h1 és )t(h 2 . Az átviteli függvények esetében is használt soros kapcsolás azt jelenti, hogy a bemenet az első tag bemenete, majd a sorban következő tagok esetében igaz, hogy az előző tag kimenete a következő tag bemenete. A sorban utolsó tag kimenete a sorba kötött tagokból álló rendszer kimenete. Ennek megfelelően felírhatjuk:

)t(h)t(h)t(h 21 ∗= (8.4.7.8a)

A sorba kapcsolás diszkrét súlyfüggvények esetében, hasonlóan a folytonos esethez felírhatjuk:

]n[h]n[h]n[h 21 ∗= (8.4.7.8a)

Eltérően az átviteli függvényekkel leírt rendszerekhez viszonyítva, itt a sorba kötött tagok között nem szorzás művelet van hanem ∗ amely itt a konvolúciós szorzatot jelenti.

217

9. Mátrix-függvények Az elkövetkezőkben használt mátrixok, a négyzetes mátrixok halmazának elemei. Jelöljük ezt mint nn ,B,A,I M∈K . Ezen a halmazon értelmezett műveletek közül fontos megemlíteni a következőket (értelmezésük ismert a valós számok halmazán bevezetett meghatározásukból):

mm1n

0

mkmk

mkmk

k

A)A(

IA

A)A(

AAA

AAAA

−−

⋅

+

=

=

=

=⋅

⋅⋅⋅= L

Ha ⇒= BAm A a B m-ik gyöke de nincs általános módszer annak megállapítására, hogy hány gyöke van egy ilyen mátrixegyenletnek, mert az ( nM ,+,*) algebrai struktúra nem képez algebrai testet struktúrát (Itt a + és * a négyzetes mátrixok halmazán értelmezett additív és multiplikatív művelet). Márix-polinomok Egy nagyon fontos függvényforma a mátrix-polinom. Rendszerek állapotteres tanulmányozása szempontjából alapvető fogalom. Ezek ismerete elengedhetetlen. Nem törekszem átfogó ismertetésükre, csak egy a gyakorlatilag használt megközelítés a cél. Legyen adott a következő valós polinom, ahol )p,,p,p( n10 L a valós együtthatók vektora, míg x a valós változó.

001

1n1n

nn xpxpxpxp)x(D ⋅+⋅++⋅+⋅= −

− L (9.0.1) Az x változót a 9.0.1 valós polinomban most egy A négyzetes mátrixxal helyettesítjük. Ekkor a következő mátrixot kapjuk:

n011n

1nn

n IpApApAp)A(D ⋅+⋅++⋅+⋅= −− L (9.0.2)

Ha most kiszámítjuk az A mátrix hatványait, akkor megkapjuk az D( A ) értékét. Legyen most ugyanaz a 9.0.1 polinom ireduktibilis tagok szorzatára bontva.

)x()x()x()x(p)x(D n321n λ−⋅⋅λ−⋅λ−⋅λ−⋅= L (9.0.3)

Most az A mátrixot behelyettesítjük a 9.0.3 polinomba kapjuk, hogy

)IA()IA()IA(p)A(D nnn2n1n ⋅λ−⋅⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅= L (9.0.4)

218

A 9.0.4 mátrix-polinom esetében nI az n-ed rendű egységmátrix. Mátrixsorok Legyen adott a 9.0.5 matematikai sor.

∑∞

=⋅=+⋅++⋅+⋅+=

0k

kk

kk

2210 xaxaxaxaa)x(S LL

(9.0.5)

egy négyzetes A mátrixot helyettesítve az x változó helyére kapjuk, hogy:

∑∞

=⋅=+⋅++⋅+⋅+⋅=

0k

kk

kk

221n0 AaAaAaAaIa)A(S LL (9.0.6)

Bizonyítás nélkül kijelentjük, hogy a 9.0.6 sor konvergens ∞→k határesetben ha az összes skaláris n,,2,1i),(S i L=λ sor konvergens amikor iλ az A mátrix sajátértékei. Speciális mátrixsorok

• Mértani mátrixsor

∑∞

=⋅=+⋅+⋅+=

0k

kk22 AaAaAaI)A(G L

(9.0.7)

• Exponenciális mátrixsor

LL ++++++==!k

A!3

A!2

A!1

AI)Aexp(ek32

A (9.0.8a)

LL +⋅−

++−+−=−=−

!kA)1(

!3A

!2A

!1AI)Aexp(e

kk32A (9.0.8b)

Ezen sorok határértéke egy mátrixokat jelent, ezért érvényes ezekre a mátrixok minden tulajdonsága. Tudjuk, hogy a mátrixszorzat nem kommutatív művelet, s ez érvényes minden mátrixfüggvényekre is. A trigonometriai függvényeket a 9.0.9 módon írjuk fel.

j2)Ajexp()Ajexp(

!5A

!3A

!1A)Asin(

53

⋅⋅−−⋅

=−+−= L

2)Ajexp()Ajexp(

!4A

!2A

!1I)Acos(

42 ⋅−+⋅=−+−= L

2)Aexp()Aexp(

!5A

!3A

!1A)A(sh

53 −−=+++= L (9.0.9)

2)Aexp()Aexp(

!4A

!2A

!1I)A(ch

42 −+=+++= L

219

A mátrixváltozós trigonometriai formákra érvényesek a trigonometriából ismert összefüggések de minden esetben figyelembe kell venni, hogy a velük végzett multiplikatív művelet nem kommutatív. Vigyázzunk arra, hogy a fentebb ismertetett mátrixsorok végtelen sorok és konvergenciájuk következtében határozzák meg az elemi mátrixfüggvényeket. Megjegyzés: Legyen adott a következő négyzetes mátrix:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0110

J0

Ekkor, a kijelölt mátrix müveleteket elvégezve kapjuk, hogy:

;IJ;JJ;IJ 400

30

20 =−=−=

Ezért ez a 0J 2 x 2-és mátrix ugyanazt a szerepet játszhatja mint a 1j −= a komplex számok esetében.

9.1. Cayley-Hamilton törvény Legyen adott, 9.0.1 alapján

001

1n1n

nn pppp)(D λ⋅+λ⋅++λ⋅+λ⋅=λ −

− L Ez egy rendszer karakterisztikus polinomja. Ennek a rendszernek az állapotteres leírásban a rendszermátrixa A . Ismert, hogy ha adott az A rendszermátrix és az ennek megfelelő M modális mátrix, akkor igaz, hogy:

1kk MMA −⋅Λ⋅= (9.1.1)

Itt a Λ egy olyan, A -nak megfelelő, átlós mátrix amely a főátlója mentén az A mátrixnak megfelelő sajátértékek találhatók (a bizonyításban a jobb megértésért itt feltételezem, hogy az A mátrixnak csak valós, egyszeri gyökei vannak) A 9.1.1 összefüggést felhasználva, felírjuk a 9.1.2 mátrix-polinomot, vagyis

1n1n

1n1

n M)(DMIcAcAcA)A(D −−

− ⋅Λ⋅=⋅+⋅++⋅+= L (9.1.2) ahol

1

n

2

1

M

)(D00000)(D000)(D

M)A(D −⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λλ

⋅=OMM

L

L

(9.1.3)

220

és n21 ,,, λλλ L az A mátrix sajátértékei, és mivel a sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei, ezért ;0)(D;0)(D;0)(D n21 =λ=λ=λ L és innen következik, hogy:

0)A(D = (9.1.4)

ahol )AIdet()(D −⋅λ=λ . Itt 0 egy n x n –es nullmátrix. A 9.1.4 egyenlőség a Cayley-Hamilton törvény, vagyis ez kimondja, hogy: Az A rendszermátrix gyöke a saját karakterisztikus egyenletének. Példa

Adott ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A és az ennek megfelelő karakterisztikus egyenlet. Ellenőrizzük

a 9.1.4 egyenlőséget. 23)(D 2 +λ⋅+λ=λ az A mátrixnak megfelelő karakterisztikus egyenlet. Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket, akkor

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⋅+⋅+=

0000

1001

232

103

7632

I2A3A)A(D 22

kapjuk. Tehát igaz a Cayley-Hamilton törvény. Példa

Számítsuk ki 1A− mátrixot az ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A esetében (módszer az A mátrix inverz

mátrixának kiszámítására). Láttuk az előző példában, hogy

00000

I2A3A 22 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅+⋅+

(9.1.5) Ha most a 9.1.5 egyenlőséget balról beszorozzuk az 1A− mátrixxal, kapjuk, hogy:

0A2I3A 12

1 =⋅+⋅+ −

innen meg, algebrai átalakítással következik, hogy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⋅−⋅−=−

01IAA 2

123

23

211

221

Példa Mátrix-polinom fokszámának csökkentésére is használhatjuk a Cayley-Hamilton törvényt. Egy n-ed rangú mátrix karakterisztikus polinomja felírható az

I , A , 2A ,,L 1nA − mátrixok lineáris kombinációjaként. Példának legyen

IAAAA)A(D 234 ++++= ahol ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A (9.1.6)

Ennek kiszámítása nehézkes művelet az A különböző hatványra emelése miatt. Legyen most az A mátrixnak megfelelő karakterisztikus polinom 23)(P 2 +λ⋅+λ=λ és 9.1.4 alapján pedig felírhatjuk, hogy

I14A15I4A12)I2A3(9I4A12A9A

I2A3A0I2A3A24

22

⋅−⋅−=⋅+⋅+⋅−⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=

⇒⋅−⋅−=⇒=⋅+⋅+

Ebben a művelet sorban fontos volt arra figyelni, hogy a mátrixszorzat nem kommutatív. Az ismert 2)ba( + bináris relációt mátrixok esetében mint

22 babbaa +⋅+⋅+ formát kell használni a kommutativitás hiánya miatt. Hasonló módon kiszámítjuk, hogy

I6A7A2)I2A3(3A2A3A 23 ⋅+⋅=⋅−⋅−⋅−⋅−=⋅−⋅−= Ezek alapján 9.1.6 felírható mint:

IA)I2A3()I6A7()I14A15(IAAAA)A(D 234 ++⋅−⋅−+⋅+⋅+⋅−⋅−=++++=

Vagyis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⋅−⋅−=

2120109

I9A10)A(D

és látható, hogy egy 4-ed rangú mátrix-polinom kiszámítása egy első rangú polinom formára redukálódott.

9.2. Sylvester tétele Ez a tétel egy módszer mátrixfüggvény értékének kiszámítására, ha a függvényt kifejezhetjük egy megközelítő polinommal vagy a függvény maga egy polinom. Az itt következő Sylvester módszert akkor használjuk, ha A -nak megfelelő karakterisztikus egyenletnek n darab egyszeri gyöke van. Ha )A(D egy mátrix változójú polinom és ha a négyzetes A mátrixnak n különböző sajátértéke van, akkor )A(D felírható mint:

222

∑=

λ⋅λ=n

1ii0i )(Z)(D)A(D

(9.2.1)

ahol

∏

∏

≠=

≠=

λ−λ

⋅λ−

=λ n

ij1j

ji

n

ij1j

j

i0

)(

)IA(

)(Z

(9.2.2)

Példa

Számítsuk ki Sylvester módszerrel Ae értékét ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A .

A 9.2.1 szerint felírhatjuk, hogy

∑=

λ λ⋅=2

1ii0

A )(Zee i

(9.2.3)

és itt 9.2.2 alapján

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

λ−λ⋅λ−

=λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=λ−λ⋅λ−

=λ

2211IA)(Z

1212IA)(Z

12

120

21

210

(9.2.4)

Most figyelembe vesszük, hogy az A mátrix sajátértékei 2;1 21 −=λ−=λ , és így 9.2.3 és 9.2.4 alapján azt kapjuk, hogy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−−−⋅−−−⋅= −−−−

−−−−

)e2e()ee(2eeee2e 2121

2121A

Példa

Számítsuk ki kA formát a Sylvester módszer segítségével ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A .

Felírhatjuk ha

∑=

λ⋅λ=2

1ii0

ki

k )(Z)(A

A 0Z formákat a 9.2.4 adja (ugyanaz az A mátrix),és így a műveleteket elvégezve:

223

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅+−−−⋅+−⋅−−−−−−−⋅= kkkk

kkkkk

)2(2)1()2(2)1(2)2()1()2()1(2A

Ha most A -nak többszörös sajátértékei is vannak akkor a megfelelő Sylvester össze-függések megtalálhatóak a szakirodalomban és itt nem térünk ki rájuk.

9.3. Cayley-Hamilton módszer A Cayley-Hamilton törvényre (9.1.4) építve a mátrixfüggvények felírására használt ez a Cayley-Hamilton módszer. Legyen )(P λ az A mátrix karakterisztikus egyenlete, és ki akarjuk számítani az )A(N mátrix-polinom értékét. Itt N(x) egy akármilyen polinom. Legyen a polinom fokszáma nagyobb mint az A karakterisztikus polinomjának rangja. Felírjuk a maradékosztás tételét az N(x) polinomnak P(x)-el való osztása esetében. Ez az összefüggés látható a 9.3.1 egyenlőségben.

)(P)(R)(Q

)(P)(N

λλ

+λ=λλ

(9.3.1)

. Ebből a 9.3.1 egyenlőségből következik, hogy

)(R)(P)(Q)(N λ+λ⋅λ=λ

Tudjuk, hogy az A egy λ sajátértékre 0)(P =λ és így 9.3.1 alapján

)(R)(N λ=λ

Ennek megfelelően , ha 0)A(P = (9.1.4), akkor következik, hogy

)A(R)A(N = (9.3.2) Itt )(R λ polinom nem más mint a 9.3.1-ben felírt osztás maradék polinomja. Tudjuk, hogy a maradékosztás egyik következménye, hogy a maradék polinom fokszáma mindég kisebb mint az osztó polinom fokszáma. Az osztó polinom az A mátrixnak megfelelő rendszer karakterisztikus egyenlete. Példa

Számítsuk ki IAAAA)A(N 234 ++++= értékét ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=32

10A .

Az A mátrixnak megfelelő karakterisztikus polinom 23)(P 2 +λ⋅+λ=λ . Felírjuk, hogy

2391052

231

22

2

234

+λ⋅+λ

−λ⋅−++λ⋅−λ=

+λ⋅+λ

+λ+λ+λ+λ

Innen következik, hogy 910)(R −λ⋅−=λ és így

224

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⋅−⋅−==

2120109

I9A10)A(R)A(N

Láthatjuk, hogy mennyivel egyszerűbb a maradék polinomból kiszámítani a mátrix-polinom értékét mint az eredetileg adott N(x) polinomból. Ez mindég könnyen alkalmazható mikor )(N λ egy polinom-függvény. Ha most az

)(F λ egy analitikus függvénye λ -nak az origó egy adott környezetében és nem polinom-függvény, akkor az Cayley-Hamilton módszer kiterjesztett változatát használjuk. Az )(F λ -t felírjuk mint egy végtelen, az analitikai tartományhoz tartozó λ -ban konvergens hatványsort (végtelen polinom). Ha az A rendszermátrix egy n x n-es mátrix akkor a megfelelő )(P λ karakterisztikus polinom rangja n. Így a maradékosztás tétele alapján felírjuk, hogy:

)(R)(P)(Q)(F λ+λ⋅λ=λ (9.3.3) Ezek alapján a maradék polinomot felírhatjuk mint:

1n1n

2210)(R −

− λ⋅α++λ⋅α+λ⋅α+α=λ L (9.3.4)

A maradék 1n,,1,0ii −=α L együtthatói ismeretlenek, mert végtelen polinomot gyakorlatilag nem tudjuk elosztani a karakterisztikus polinommal de azt tudjuk, hogy a maradék polinom rangja n-1. De a maradék polinom együtthatói kiszámíthatók ha a rendszermátrix sajátértékeit egyenként behelyettesítjük a 9.3.3 egyenlőségbe. Mivel a sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei így a 9.3.2 alapján a következő egyenletrendszert kapjuk:

)(R)(F

)(R)(F)(R)(F

nn

22

11

λ=λ

λ=λλ=λ

LLL (9.3.5)

Ez egy lineáris, n-egyenlet n-ismeretlen egyenletrendszer és a megoldás pedig

1n,,1,0ii −=α L együtthatók és ezzel meghatározzuk az R(λ ) maradék polinomot. Ha többszörös sajátértékekkel találkozunk ( iλ egy s multiplicitású sajátérték), akkor a fenti egyenletrendszer úgy módosul, hogy a többszörös sajátértékek esetében a 9.3.6 összefüggéseket használjuk a 9.3.5 egyenletrendszerben.

1s,,2,1,0k|d

)(Rd|d

)(Fdii k

k

k

k−=

λ

λ=

λ

λλ=λλ=λ L (9.3.6)

Ha meghatároztuk a maradék polinomot, akkor

)A(R)A(F = (9.3.7)

Egyenlőség alapján meghatározható bármely mátrixfüggvény. Példa

225

Számítsuk ki IAAA)A(N 23 +++= ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0101

A

A rendszermátrixnak megfelelő sajátértékek: 1;0 21 −=λ=λ .

Mivel a karakterisztikus polinom rangja kettő, ezért az ezzel való osztás maradéka, (vagyis R(x) a maradék) egyenlő eggyel. A maradék polinomot felírjuk mint λ⋅α+α=λ 10)(R Ha 11 −=λ

1010)1(R0)1(N α=α⇒α−α=−==− Ha 01 =λ

1)0(R1)0(N 00 =α⇒α=== Tehát

λ+=λ 1)(R És innen

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+=

1100

)A(NAI)A(R

Példa Határozzuk meg a

1012 AA)A(H −=

értékét ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2031

A

A maradékot az λ⋅α+α=λ 10)(R formában keressük. A rendszermátrix sajátértékei

2;1 21 =λ=λ

0)(R 10101012

1 =α+α⇒λ⋅α+α=λ−λ=λλ=λ

3072222)(R 10121010

10122 =−=α⋅+α⇒λ⋅α+α=λ−λ=λλ=λ

Így az egyenletrendszer a maradék meghatározására:

307220

10

10

=α⋅+α=α+α

Innen következik, hogy

30723072

1

0

=α−=α

Tehát

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅+⋅−=−=

1030

3072A3072I3072AA)A(H 1012

226

Példa Cayley-Hamilton módszer az )t(uB)t(xA)t(x ⋅+⋅=& egyenlet megoldásában ha

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10

B;10

10A

Tudjuk, hogy az 5.4.2 egyenlet megoldása rendszeregyenletének megoldása

∫ τ⋅τ⋅⋅+⋅= τ−⋅⋅t

0

)t(AtA d)(uBe)0(xe)t(x

Innen a tAe)t( ⋅=Φ a fundamentális mátrix meghatározásában használjuk a Cayley-Hamilton módszert.

AI)A(Re)A(N 10tA ⋅α+⋅α=== ⋅

A rendszer két sajátértéke: 1;0 21 −=λ=λ

t11

t0

0

e11e)1(N

1e)0(N−− −=α⇒α−==−

=α==

Így

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅α+⋅α= −

−

−

−⋅

t

t

t

t

10tA

e0e11

)e1(0e10

1001

1AIe

A teljes megoldás képletét alkalmazva, kapjuk

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

τ⋅τ⋅

τ⋅τ⋅−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

∫

∫

τ−−

τ−−

−

−

t

0

)t(

t

0

)t(

2

1t

t

d)(ue

d)(u)e1(

)0(x)0(x

e0e11)t(x

Az ebben a fejezetben tárgyalt Cayley-Hamilton módszer egy nagyon fontos eszköz úgy a folytonos mint a diszkrét állapotteres egyenletek megoldásában.

227

10. Mintavételezés, diszkrét rendszerek Napjainkban digitális számítógépeket használunk mint a jelfeldolgozás fő eszköze. A számítógép az szakaszos működésű, számértékkel kifejezett mennyiségek feldolgozására alkalmas. A különböző típusú folytonos információkat speciális eszközökkel olyan számszerű formára hozzuk, amelyet a számítógép már fel tud dolgozni. Egy ilyen eszköz például az analog/digitalis konverter (A/D). A szabályzó számítógép a feladat elvégzése céljából a különböző beavatkozó szervhez küld jeleket, de mivel ezek a jelek a számító-gépen belül számszerű formában állnak rendelkezésünkre, ahhoz, hogy az inkább folyto-nos jelekkel dolgozó szervek müködéséhez megfeleljenek, számszerű jelből analog jellé kell átalakítani. Ezt egy digitalis/analog (D/A) konverter alkalmazásával megoldható. A szükséges (A/D) és (D/A) átalakítás csak az úgynevezett mintavételezési időpontokban ( sT ) történik. Általános gyakorlat, hogy a sT

s

egy konstans érték, habár elméletileg lehetséges, hogy minden pillanatban szabadon választható legyen. A digitalis számítógépek használata a szabályzási folyamatokban megköveteli, hogy a szabályzási rendszer szintén számszerű adatokból felépített model formára kell hozni. Ezt a diszkrét matematika szabályai szerint végezzük el. Így nyerhetjük a diszkrét jel valamint a diszkrét rendszer modelleket. Egy időben folytonos jel diszkrétizálása bármely folytonos összetevője (amplitudó, idő) szerint végezhető. Diszkrét időfüggvényt úgy kapunk, hogy egy f(t) folytonos idejű jelet egy megszámlálható sokaságú (a természetes számok halmazával bijektív megfeleltetésben levő) időpontokhoz képest (mintavételezési pillanatok) tartozó

}),t(f,),t(f),t(f),t(f{ n321 LL megszámlálhatóan végtelen számsorrá alakítunk át. Ha a mintavételezési időpontok között állandó sT

sT

időintervallum telik el, akkor a mintavételezési időpontok a },Tn,,T2,T1,T0{ ssss LL ⋅⋅⋅⋅ halmaz és az ezekhez tartozó számszerű

függvényértékeket }],Tn[f],T2[f],T1[f],T0[f{ ssss LL ⋅⋅⋅⋅

módon irhatjuk le és ha sT egy végig állandó mennyiség akkor használni fogjuk az

}],n[f,],2[f],1[f],0[f{ LL jelölést is. Ezt még felírhatjuk mint:

ss

sjelölés

s

T]1k[tTkha0)t(fTktha]k[f]Tk[f)t(f

⋅+<<⋅=⋅=⎯⎯ →⎯⋅=

10.1. Mintavételezés A mintavételezés alapproblémája a mintavételezési periódus, a sT megválasztása. A számítógépek elterjedésével fontossá vált rendszerek diszkrét formában való tanulmányozása. Ha számítógépet használunk akkor egy rendszer a folytonos bemenő jelet egy digitális jellé alakítja, majd egy másik rendszer a digitális processzor által szolgáltatott jelet, a kimeneten, folytonos jellé alakítja, lásd, 10.1.1. ábra.

228

10.1.1 ábra

Első lépésként a jelet mintavételezzük, majd digitizálás következik, amely abból áll, hogy minden mintát kvantálunk és egy bináris (digitális) jellé alakítunk. Ezt az eljárást nevezzük analóg-digitál átalakításnak (A/D konverzió). A számítógép feldolgozza a bináris jeleket és ez egy bináris kimenetet eredményez. Ezt a jelet, bizonyos tartó függvények alkalmazásával egy folytonos jellé lehet alakítani. Ezt az eljárást nevezzük digitál-analóg átalakításnak (D/A konverzió). A mintavételezés sT másodpercenként történik, tehát egyenlő időközönként történő művelet. Mintavételező eljárásnak nevezzük azt a folyamatot, amelyben egy folytonos jel diszkrét jelsorrá alakul. Gyakorlatilag a mintavételező szervet egy állandó sT idő-közönként egy rövid h időtartamra záró érintkező és egy (A/D) átalakító képezi.

10.1.2. ábra

A mintavételezés kvantálás eljárás eredményeként az f(t) folytonos jelből kapjuk az )t(f * szakaszos függvény keletkezik amelyeket mint területmentes impulzus

sorozatnak tekintünk. Tehát rendelkezünk az amplitúdó digitizált értékével valamint a digitizált érték megjelenésének időpontjával. Ezt a minavételezési eljárást mint az impulzussorozat amplítúdó modulációjaként is tekinthetjük (lásd 10.1.2.ábrát) A modulátor bemenőjele a folytonos f(t) míg a modulálandó jel a

229

∑∞

=⋅−δ=

0ks

* )Tkt()t(m (10.1.1)

ahol )t(δ az úgynevezett Dirac-jel. Ekkor a kimenő jelet felírjuk mint

∑∑∞

=

∞

=⋅−δ⋅⋅=⋅−δ==

0kss

0ks

** )Tkt(]Tk[f)Tkt()t(f)t(m)t(f)t(f oo

Ezt még felírhatjuk mint

L+⋅−δ⋅⋅+⋅−δ⋅⋅+⋅−δ⋅⋅= )T2t()T2(f)T1t()T1(f)T0t()T0(f)t(f ssssss*

A mintavételezés információveszteséggel. Az )t(f * jel az f(t) jelről csak a mintavételi időpontban mond, közbeeső viselkedéséről semmit nem mond. Az f(t)-ből egyértelműen képezhető az )t(f * , de ez az állítás fordítva nem igaz mert egy adott mintavételezett formából a mintavételezési pontokban megegyező de más pontokban különböző értékeket vehet fel. A folytonos jellé átalakítást a (D/A) konverter végzi amely két alapműveletre bontható:

• dekódolásra • tartásra.

A tartás során a tartószerv az )t(f * impulzussorozatból folytonos idejű jelet állít elő. Ez nem egyértelmű művelet, mert a függvény két mintavétel közötti értéke szabadon választható. A tartószerv lehet n darab mintavételi értéket használó extrapolarizációs polinom amely adja a két mintavételi pont közötti értékeket. A legegyszerűbb a zérusrendű tartószerv az impulzussorozatot lépcsős formává alakítja át. Egy elsőrendű tartószerv két mintavétel között folytonos kimenőjelet szolgáltat és meredekségét az időköz elején levő és a megelőző mintavételezési érték együttesen szabja meg (LOH). Gyakorlatban általában a zérusrendű tartószerv (ZOH) használata a gyakori. Az előbbi leírás alapproblémája a sT mintavételezési periódus megválasztása. Általánosságban, egy jel mintavételezése mindig információvesztést eredményez, és így az eredeti jelet már nem tudjuk visszaállítani.A mintavételezési tétel elegáns matematikai keretet ad a folytonos jel és a mintái közötti kapcsolat leírásához. A következő ábrákat tekinthetjük ennek egyfajta szemléletes bizonyításaként.

10.1.3. ábra

Vegyük egy jel legmagasabb, W frekvenciájú komponensét. Ez a komponens egy szinuszgörbe, ahogyan a 10.1.3. ábrán látható. Ennek következtében legalább 2W

230

mintára van szükség, hogy megragadjuk a jel legmagasabb frekvenciakom-ponenseinek teljes alakját. Meg kell jegyeznünk, hogy a 2W minta valójában csak egy speciális eset amely csak akkor eredményes, ha a mintákat pontosan a maximum és a minimumhelyeken vesszük.

10.1.4. ábra

Ha bárhová máshová kerülnek, akkor az amplitúdók nem lesznek pontosan ábrázolva. Lásd 10.1.4. ábrát. Így lehet akár nulla is, ha a mintákat éppen az x tengellyel való metszéspontokban vesszük ).

10.1.5. ábra

Egyszerű gyakorlati értelmezésben a tétel azt jelenti, hogy a mintavételezési intervallumot legalább olyan méretűre, vagy kisebbnek kell választani, mint a legkisebb számunkra érdekes részlet fele. A minimális mintavételezési gyakoriság végtelen lesz sokfajta jel számára, ami minket érdekel, így a teljesen tökéletes helyreállítás gyakran lehetetlen. Van azonban néhány olyan függvényosztály, amely teljesen visszaállítható a mintáiból, ilyenek például a polinomok. Felmerülhet a kérdés, hogy milyen sűrű mintavé-telezés szükséges egy adott függvényhez? A benne előforduló legmagasabb frekvencia határozza meg. Ebben lesz segítségünkre a Fourier-transzformált. Tekintsük ezt a függ-vényosztályt, vagyis a különböző függvények Fourier-transzformáltjait. Egy függvény Fourier-transzformációja a benne előforduló frekvenciákat mutatja meg, a fontosságuk arányában (10.1.6. ábra).

.

10.1.6. ábra

Azokat a függvényeket, amelyek nem tartalmaznak egy küszöbfrekvenciánál nagyobb frekvenciát, sávhatárolt függvényeknek nevezzük. A tapasztalat szerint a jelek Fourier-transzformáltjai gyorsan csökkenő függvények, tehát a magasabb frekvenciák

231

egyre kisebb szerepet játszanak, így találhatunk egy olyan határt, aminél ha nagyobb frekvenciákat már nem veszünk figyelembe, még egészen jó eredményt, az eredeti jel elfogadható közelítését kapjuk. Az itt vázolt f(x) függvényt valós időbeli koordinátája szerint mint a megfelelő Fourier transzformáció frekvenciatartományában ábrázoltuk. Shannon-mintavételezési tétel (1949 Claude Shannon) Ha f(x) nem tartalmaz W-nél nagyobb frekvenciát, akkor (visszaállítási törvény):

)nxW2())nxW2(sin()

W2n(f)x(f

n −⋅⋅⋅π−⋅⋅⋅π

⋅⋅

= ∑∞

−∞= (10.1.2)

A mintavételezési tétel azt mondja, hogy egy jel megfelelően visszaállítható a mintáiból, ha az eredeti jel a spektrumának a W, legmagasabb frekvencia komponensénél legalább kétszerakkora frekvencián van mintavételezve. Ezt az alsó mintavételezési határt Nyquist-frekvenciának hívjuk. A Fourier-transzformáció segít nekünk meghatározni ezt a számot, ebből már ki tudjuk számolni a megfelelő mintavételezési gyakoriságot. (A gyakoriság reciproka a mintavételezési periódus).

10.1.7. ábra

A 10.1.7. ábrán láthatjuk, hogy ha a Nyquist-frekvencia alatt veszünk mintákat, a minták amelyeket kapunk, megegyezhetnek egy olyan mintával, amelyet egy alacsonyabb frekvenciájú jel mintavételezésekor kapnánk. Tekintsük most át a mintavételezési törvényt egy grafikus reprezentációt használva. Párhuzamosan ábrázoljuk azt ami történik a valós tartományban és a frekvencia tartományban a különböző átalakítási fázisok során. Adott az f(x), egy valós változójú valós függvény (x lehet akár tér akár időváltozó). Ennek a Fourier transzformáltját jelöljük mint F(w). Az s(x) a mintavételezés sűrűségét mutató, fésű függvény, amelyet a grafikus képe miatt neveztek el így. Értéke mindenhol nulla, kivéve azokat a szabályos távolságonkénti helyeket, amelyek épp a mintavételi sT pontoknak felelnek meg, itt az s(x) értéke 1 és Dirac-féle delta függvényekből áll és felírhatjuk, hogy

∑∞

−∞=Δ⋅−δ=

i)xix()x(s (10.1.3)

A valóságban a digitalizálókban a mintavételező függvények nem ilyen delta-függvények, hanem keskeny, korlátozott/meghatározott amplitúdójú/nagyságú impulzusok használatosak ehelyett. Ennek eredményeként a valóságban egy jeldigitalizálón a mintavételezési intervallumok körülbelül tized akkorák, mint

232

amekkorát a mintavételezési tétel szerint elegendő lenne használniuk, mert a jelrekonstrukció során használt algoritmus csak egy lépcsős függvény. Az s(x) Fourier-transzformáltja az S(w). Egy fésű függvény Fourier-transzformáltja éppen egy másik fésű függvénnyé változik (10.1.8. ábra), 1/Δx-szeres távolságra lévő fogakkal. Az S(X) képlete:

∑∞

−∞= Δ−δ=

i)

XiX()X(S (10.1.4)

10.1.8. ábra

Az f-ből kiválasztjuk a pontokat, Az eredmény az ismétlődő spektrum. Szemléletesebben (lásd 10.1.9. ábrát) olyan, mintha mindegyik nyílhoz odamásolnánk az F(x)-et (ezt fejezi ki a 10.1.5 összefüggés). A nagyon ritka minták miatt ezek képei átfedik egymást.

10.1.9. ábra A képtérben egy jel mintavételezése egy fésű függvénnyel való

szorzásának felel meg.

∑ ∑= =

Δ⋅−δ⋅=Δ⋅−δ⋅=⋅N

1i

N

1i)xix()x(f)xix()x(f)x(f)x(s (10.1.5)

Emlékezhetünk arra, hogy a konvolúció a képtérben megfelel a szorzásnak a frekven-ciatartományban. Ez fordítva is igaz, egy képtérbeli szorzás ugyanaz, mintha a neki megfelelő Fourier-térben konvolúciót végeznénk. A mintavételezést pedig úgy definiáltuk, mint delta-függvények sorozatának szorzatát a folytonos képpel, tehát az ottani szorzásnak itt a konvolúció felel meg (10.1.6. összefüggés). A konvolúciós tétel szerint következik, hogy:

233

)X(F)X(S))x(f(F))x(s(F))x(f)x(s(F ⋅=∗=⋅ (10.1.6)

Megkaphatjuk a mintavételezett jel Fourier-transzformáltját, ha a fésű függvény és az eredeti jel Fourier-transzformációjának konvolútív szorzatát kiszámítjuk.

10.1.10. ábra A kapott eredmények lesznek a diszkrét (digitális) jelünk értékei. A mintavételezett jel Fourier-transzformációja az eredeti folytonos jel periodikusan ismételt Fourier-transzformációinak összege. Mivel a túl ritka minták miatt a képek átfedik egymást (10.1.10. ábra), és összeadódnak.

10.1.10. ábra Sűrűbb mintavételezés esetén (lásd 10.1.12. ábrát) követjük most ugyanolyan logika szerint a mintavételezés lépéseit. A ‘nyílak’ távolabb leszek a Fourier térben.

10.1.12. ábra

Így nincs átfedés (lásd a 10.1.13. ábrát) amikor a most nagyobb frekvenciával mintavételezett jel Fourier-transzformáltját használva, a fésű függvény és az eredeti jel Fourier-transzformáltjának konvolútív szorzatát kiszámítjuk.

234

10.1.13. ábra

A sinc függvénnyel (x

)xsin(sin c ⋅π⋅π

= ) való konvolútív szorzattal a jeltérben helyre

tudjuk állítani az eredeti jelet. Ez ekvivalens a frekvenciatartományban a G négyszögimpulzussal (lásd 10.1.14. ábrát) való szorzással, és inkább ezt fogjuk elvégezni, mivel egyszerűbb művelet.

11.1.14.ábra

A G (mint a sinc függvény Fourier transzformáltja) segítségével kiküszöböljük az ismétlődő spektrumot, így csak egyetlen másolat marad az eredeti tartományból, és megkapjuk az f(x) Fourier-transzformáltját.

10.1.15. ábra

A 10.1.15. ábra érzékelteti, hogy nem mindegy, hogy a G(w) transzformálttal az 10.1.13. ábrán látható frekvencia tartományból különítünk el egy transzformáltat (itt nem volt átfedés), vagy a 10.1.11 frekvencia tartományából.(az ábra jobb oldali grafikonja). A jól megválasztott mintavételezési frekvencia miatt, a 10.1.13. ábrán látható okok miatt az elkülönített Fourier transzformáltból visszaállítható az eredeti

235

folytonos f(x) jel (10.1.15. ábra), mit ha ugyanezt az eljárást a 10.1.10. ábrán látható Fourier transzformálttal tesszük meg, akkor az átfedések miatt az elkülönített Fourier transzformáltból nem állítható vissza az eredeti jel teljes pontossággal. Az elkülönítés alatt a frekvenciatartományban a G(w)-el való szorzási műveletet értjük.

10.2. Differencia egyenletek Egy diszkrét lineáris, időben invariáns rendszer (dLTI) bemenet-kimenet kapcsolatát egy általános differenciaegyenlet írja le, vagyis:

∑∑==

−⋅=−⋅−M

0kk

N

1kk ]kn[ub]kn[ya]n[y (10.2.1)

és legyenek ]N[y,],2[y],1[y −− L értékei a kezdeti feltételek. Itt az ]n[u a diszkrét bemenő jel, míg ]n[y a diszkrét kimenő jel. A differencia egyenlet rendje N. Az egyenlet megoldása ]n[y ha adottak a kezdeti feltételek és a bemenő diszkrét jel. Egy nem homogén differencia egyenlet megoldása a homogén egyenlet általános megoldása és a nem homogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összegéből áll. A homogén egyenlet megoldását a rendszer karakterisztikus egyenletének felírásával kezdjük. Ha a homogén egyenlet

0]kn[ya]n[yN

1kk =−⋅−∑

= (10.2.2)

akkor a megoldást

C∈⋅ p,c)p(c n (10.2.3) formában keressük. Itt c az integrálási konstans, míg p egy komplex változó. Ezt a formát visszahelyezve a homogén differencia egyenletbe (10.2.2), kapjuk:

0)p(ca)p(cN

1k

knk

n =⋅⋅−⋅ ∑=

−

Ebből következik a diszkrét karakterisztikus egyenlet:

0papapapa1 NN

33

22

11 =⋅−−⋅−⋅−⋅− −−−− L .

Beszorozzuk ezt Np -el, kapjuk:

0apapapap N1N2N

21N

1N =−⋅−−⋅−⋅− −

−− L (10.2.4)

A homogén egyenletrendszer általános megoldása

nNN

n22

n11 )p(c)p(c)p(c]n[y ⋅++⋅+⋅= L

236

ahol N21 p,,p,p L a karakterisztikus egyenlet gyökei, míg az ismeretlen, ( n,,2,1i,ci K= ), integrálási együtthatókat a kezdeti feltételek segítségével határozzuk meg.

Ha a diszkrét karakterisztikus egyenlet (10.2.4) gyökei többszörösek és/vagy komplex mennyiségek, akkor a megoldás matematikai formáját akárcsak a nem homogén megoldás (általános) megtalálását itt nem tárgyaljuk.

10.2.1. Diszkrét átviteli függvény Legyen ]n[y egy diszkrét LTI rendszer kimenete, míg a bemenete ]n[u . Ha ]n[h a diszkrét rendszer súlyfüggvénye (a rendszer Dirac bemenő jelre adott válasza) akkor felírható

]n[u]n[h]n[y ∗= (10.2.1.1)

Ha a Z-transzformációt alkalmazunk, akkor a 10.2.1.1-ből

)z(U)z(H)z(Y ⋅= (10.2.1.2) összefüggést kapjuk, ahonnan

)z(U)z(Y)z(H = (10.2.1.3)

és ezt diszkrét átviteli függvénynek nevezzük. Ez a meghatározás érvényes az Y(z) és U(z) közös ROC tartományában, kevésbé azokat a z értékeket amelyben U(z) zéróvá válik. Ha kiszámítjuk az átviteli függvény inverz transzformáltját akkor megkapjuk a rendszer súlyfüggvényét. Legyen most adott a következő általános differencia egyenlet:

∑∑==

−⋅=−⋅+M

0jj

N

1kk ]jn[ub]kn[ya]n[y (10.2.1.4)

Alkalmazzuk erre a Z-transzformációt, és kapjuk:

1a;bz)z(Uaz)z(Y 0

M

0qq

qN

0pp

p =⋅⋅=⋅⋅ ∑∑=

−

=

− (10.2.1.5)

Ebből a diszkrét átviteli függvényt felírhatjuk mint (10.2.1.6):

NN

22

11

MM

22

11

0N

0pp

p

M

0qq

q

azazaz1bzbzbzb

az

bz

)z(U)z(Y)z(H

⋅++⋅+⋅+

⋅++⋅+⋅+=

⋅

⋅

==−−−

−−−

=

−

=

−

∑

∑

L

L

vagy

237

)z(D)z(N

)zp1()zp1()zp1( )zq1()zq1()zq1(

)z(U)z(Y)z(H N

N2

21

1

MM

22

11 =

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+

== −−−

−−−

L

L (10.2.1.6)

Ebben a formában felírva megkapjuk a diszkrét rendszer zérósait ( kq a k-ik zérós) valamint a diszkrét rendszer pólusait ( kp a k-ik pólus). A pólusok poziciója az egységsugarú körhöz képest a z-síkban adja meg a rendszer aszimptotikus stabilitásának mennyiségi és minőségi jellemzőit. Ha a diszkrét átviteli függvényt elemi törtekre bontjuk és kiszámítjuk az inverz Z-transzformációját akkor kiszámítottuk a rendszer diszkrét súlyfüggvényét. Ez általában nem egyszerű művelet. Fordított eljárásként a rendszer átviteli függvényt felírhatjuk a zérós és pólusok ismeretében mint:

∏

∏

=

−

=

−

⋅−

⋅−⋅

= N

1k

1k

M

1k

1k

)zd1(

)zc1(k)z(H (10.2.1.7)

ahol kc a zérósok a kd a diszkrét pólusok és k pedig az erősítési tényező (00

abk = ).

Ez a forma feltételezi, hogy a rendsernek nincsen sem pólusa sem zérósa a 0z = pontban. Ha a rendszernek 0z = egy p-szeres pólusa

(amikor 0bbbb 1p210 ===== −L ) és 0z = r-szeres pólus

(amikor 0aaaa 1r210 ===== −L ) akkor az átviteli függvényt felírjuk mint:

∏

∏−

=

−−

−

=

−−

⋅−⋅

⋅−⋅⋅

= rN

1k

1k

r

pM

1k

1k

p

)zd1(z

)zc1(zk)z(H (10.2.1.7a)

és 0

0

ab

k = erősítési tényező.

Példa Egy LTI rendszer esetében adottak

n31)(]n[u −= 1 ]n[ mint bemenő jel és

n)1(3]n[y −⋅= 1 n31)(]n[ + 1 ]n[ mint kimenő jel.

Határozzuk meg a rendszer súlyfüggvényét.

238

Felírhatjuk ]n[u Z-transzformációját:

31

131

zROC;z)(1

1)z(U >⋅+

=−

majd ]n[y Z-transzformációját:

)z1()z1(4

z11

z13)z(Y 1

3111

311 −−−− ⋅−⋅+

=⋅−

++

= ROC: 1x >

Most kiszámítjuk az átviteli függvényt:

)z1()z1(

)z1(4)z(U)z(Y)z(H 1

311

131

−−

−

⋅−⋅+

⋅+⋅== ROC: 1x >

Ha most ezt elemi törtekre bontjuk, akkor

1311 z12

z12)z(H

−− ⋅−+

+= ROC: 1x >

Ennek inverz transzformáltja pedig adja:

n)1(2]n[h −⋅= 1 n31)(2]n[ ⋅+ 1 ]n[

amely a rendszer súlyfüggvénye.

10.2.2. A differencia egyenlet és diszkrét átviteli függvény Egy LTI diszkrét rendszer N-ed rendű differencia egyenletét felírjuk mint:

∑∑==

−⋅=−⋅M

0kk

N

0kk ]kn[ub]kn[ya (10.2.2.1)

Meghatározás szerint ∑∞

−∞=−⋅=∗=

k]kn[u]k[h]n[u]n[h]n[y

Ha nz]n[u = , akkor

)z]k[h(zz]k[h]n[yk

kn

k

kn ∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ⋅⋅=⋅=

Meghatározás szerint:

)z(Hz]k[hk

k =⋅∑∞

−∞=

− (10.2.2.2)

a diszkrét rendszer átviteli függvénye. Ezek alapján felírhatjuk, hogy

nn z)z(H}z{H ⋅=

239

és ezt úgy értelmezzük mint nz a sajátvektor és H(z) a sajátértéke, vagyis az LTI rendszernek az nz jelre adott válasza nem más mint a bemenő jel megszorozva a komplex H(z) értékkel. Ezek ismeretében felírhatjuk, hogy

)z(Hz]kn[yz]kn[uha knkn ⋅=−⇒=− −−

és a differenciaegyenletet felírjuk mint:

∑

∑∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

⋅

⋅

=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅ N

0k

kk

M

0k

kkM

0k

kk

nN

0k

kk

n

za

zb)z(H]zbz)z(H)za(z

A kz− együtthatója az ]kn[u − valamint a ]kn[y − együtthatói. Ezek alapján könnyen felírhatjuk a 10.2.2.1 differenciaegyenlettel felírt rendszer diszkrét átviteli függvényét. Példa Adott a következő differencia egyenlet

]1n[x2]n[x]2n[y]1n[y]n[y 83

41 −⋅+−=−⋅−−⋅−

Írjuk fel a rendszer átviteli függvényét és a súlyfüggvényét. Az átviteli függvény

1211

432

831

41

1

z12

z11

zz1z21)z(H

−−−−

−

⋅+

−+

⋅−⇒

⋅−⋅−

⋅+−=

A súlyfüggvény pedig

⋅−⋅−= n21 )(2]n[h 1 ⋅+ n

43)(]n[ 1 ]n[ .

Megjegyzés:

Ha egy 2z3z

2z5)z(H 2 +⋅+

+⋅= diszkrét átviteli függvényből kell a differencia egyenletet

felírni, akkor a H(z)-t először 2z való osztással

21

21

z2z31z2z5)z(H

−−

−−

⋅+⋅+

⋅+⋅=

alakra hozzuk. Innen már felírhatjuk, hogy

240

]2n[u2]1n[u5]2n[y2]1n[y3]n[y −⋅+−⋅=−⋅+−⋅+

10.3. Folytonos rendszerből diszkrét rendszerre való transzformáció Tekintsük most az előbbi eszmefuttatást időtartományban meghatározott függvények esetében. Így most s(t) a „fésű-függvény”, vagyis egy Dirac-jel-sor függvény. Legyen a folytonos rendszer bemenete )t(u az átviteli függvénye )s(H míg a kimenete ).t(y A diszkrét rendszert a diszkrét ]n[u bemenet a z tartományból a )z(H diszkrét átviteli függvény, valamint a diszkrét ]n[y kimenet jellemzi. A diszkrét kimenet értékei egybeesnek a folytonos kimenettel a sTnt ⋅= pillanatokban, és itt sT a rendszer mintavételezési periódusa. Feltételezzük, hogy a diszkrét rendszer a folytonos rendszer mintavételezett formája. Az alábbi alakban gyakorlati összefüggéseket adunk, hogy miképpen tudunk a folytonos modellből felírni a megfelelő diszkrét rendszer modelljét. Az elméleti meggondolásokat, amelyek a módszerek mögött állnak, nem tárgyaljuk itt. A következő megközelítő módszerekről lesz szó a következőkben:

• Bilineáris vagy Tustin módszer

• Impulzus invariancia módszere

• Egységugrás invariancia módszere

• Előrecsatolt differencia módszer

• Visszacsatolt differencia módszer

10.3.1. Bilineáris (Tustin) módszer A bilineáris folytonos / diszkrét átalakítási módszer elméleti levezetése nyomán azt kapjuk, hogy az s-sík és z-sík közötti átalakítási összefüggést a 10.3.1.1 reláció adja, vagyis

)zln(T1ss⋅= (10.3.1.1)

Ez egy elméleti transzformáció és biztosítja a folytonos és diszkrét rendszerek azonosságát a mintavételezési pontokban, vagyis

)zln(T1s|s

)s(H)z(H⋅=

=

Gyakorlati alkalmazhatóság érdekében a ln(z) egy megközelítő formáját használjuk. Ez pedig

1z1z2)zln(

+−

⋅=

Az így kapott z és s közötti összefüggés ekkor

241

1z1z

T2s

s +−

⋅= (10.3.1.2)

és ezt nevezzük Tustin-összefüggésnek. Ezt a megközelítő eljárást jobban megérthetjük ha tudjuk, hogy a módszer alapja egy gyakran használt numerikus integrálási módszer, a trapéz szabály szerinti integrálás alkalmazása. Egy folytonos függvény menetét két mintavételi pont között egy egyenes szakasszal helyettesítve a görbe alatti területet egy trapézzal közelíthetjük:

∫⋅

⋅−

⋅−+⋅≅⋅s

s

sTk

T)1k(ss2

T )T)1k((f)Tk(f(dt)t(f

Ha most ez a közelítés az

∫⋅

⋅=⋅sTk

0s dt)t(f)Tk(i

integrál növekményére az

∫⋅

⋅−

⋅−+⋅≅⋅=⋅−−⋅s

s

sTk

T)1k(ss2

Tss )T)1k((f)Tk(f(dt)t(f)T)1k((i)Tk(i

értéket adja. Figyelembe véve a 1z− operátor idõben való egylépéses késleltetését (az eddigi ábráinkon mint D eltolási operátorként is szerepel), írhatjuk, hogy

)Tk(f)z1()Tk(i)z1( s1

2T

s1 s ⋅+≅⋅− −−

tehát a diszkrét idejű integrátor átviteli függvénye

)z1()z1(

)}Tk(f{Z)}Tk(i{Z

1

1

2T

s

s s−

−

−

+⋅=

⋅⋅

amely átviteli függvénynek a Laplace operátoros tartományban az s-sel való osztás felel meg:

)z1()z1(

s1

1

1

2Ts

−

−

−

+⋅=

avagy

)z1()z1(s 1

1

T2s −

−

+

−⋅=

Ezt az összefüggést bilineáris vagy Tustin transzformációnak hívják, fordított irányban a

242

2Ts2Ts

s

s

1

1z

⋅

⋅

−

+= (10.3.1.3)

összefüggést jelenti. Példa Adott a következő folytonos átviteli függvény:

3s1)z(H+

=

Írjuk fel a Tustin transzformációval a H(z) diszkrét átviteli függvényt ha 1.0Ts =

Tudjuk, hogy )1z()1z(s

sT2

+−

⋅= és így kapjuk, hogy

2317

231

1.02 z

)1z(

3)1z()1z(

1)z(H−

+⋅=

++−

⋅=

10.3.2. Az impulzus átviteli invariancia módszere

Az impulzus invariancia módszerét akkor alkalmazzuk ha a H(s) átviteli függvény esetében a számláló fokszáma szigorúan kisebb mint a nevező fokszáma. A H(z)-t megkapjuk ha a következő transzformáció lépéseket alkalmazzuk:

)t(h)s(H → súlyfüggvény, majd felírjuk )Tn(h s⋅ alakot, kiszámítjuk )}Tn(h{Z s⋅ és akkor kapjuk, hogy

)}Tn(h{ZT)z(H ss ⋅⋅= (10.3.2.1) Példa Adott a következő folytonos átviteli függvény:

3s1)z(H+

=

Legyen 1.0Ts = . Ennek az átviteli függvénynek inverz Laplace transzformációja adja a rendszer súlyfüggvényét és ez:

t3e)t(h ⋅−= Most felírjuk, 10.3.2.1 alapján, hogy

nT3Tn3s )e(e)Tn(h ss ⋅−⋅⋅− ==⋅

Az így kapott kifejezés Z-transzformációját kiszámítjuk és kapjuk, hogy

243

ss

T3nT3

ezz})e{(Z

⋅−⋅−

−=

Így a kapott diszkrét átviteli függvény

3.0T3sez

z)1.0()ezz(T)z(H

s −⋅− −

⋅=

−⋅=

10.3.3. Egységugrás invariancia módszere(ZOH) Egységugrás invariancia módszerét (ZOH-zérósrendű tartószerv) a következő lépésekben tudjuk leírni.

Kiszámítjuk a }s

)s(H{Z transzformációt (a s

)s(H inverz transzformációját használva),

majd az így kapott kifejezést z

1zz1 1 −=− − -el szorzott formája az a H(z), vagyis:

}}s

)s(H{L{Z)z1()z(H 11 −− ⋅−= (10.3.3.1)

Megjegyzés: A ZOH módszerhez hasonló a Lineáris Invariancia módszere (LOH-elsőrendű tartószerv) amelyet a következő módon határozunk meg:

}}s

)s(H{L{Z)zT

)z1(()z(H 21

1s

21−

−

−⋅

⋅

−= (10.3.3.2)

Példa Adott a következő folytonos átviteli függvény és 1.0Ts = :

3s1)z(H+

=

Ekkor

3s1

s1

)3s(s1

s)s(H

31

31

+⋅−⋅=

+⋅=

Ennek az inverz Laplace transzformációja ( 0t ≥ )

t3e31

31 ⋅−⋅−

Ha most a sTnt ⋅= behelyettesítést elvégezzük, majd a Z-transzformációt alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy

)1.0(331

31

T331

31nT3Tn3

ezz

1zz

ezz

1zz})e(

31

31{Z}e

31

31{Z

sss

⋅−⋅−⋅−⋅⋅−

−⋅−

−⋅=

−⋅−

−⋅=⋅−=⋅−

Ha most az algoritmus szerinti szorzást elvégezzük, akkor kapjuk, hogy

244

)eze1(

31

ez1z

31

31)

ezz

1zz(

z1z)z(H 3.0

3.0

)1.0(3)1.0(331

31

−

−

⋅−⋅− −

−⋅=

−

−⋅−=

−⋅−

−⋅

−=

10.3.4. Előrecsatolt differencia módszere

Előrecsatolt differencia módszere az sT1zs −

= változócserét alkalmazzuk.

Példa Adott a következő folytonos átviteli függvény és 1.0Ts = :

3s1)z(H+

=

Ekkor kapjuk

7.0z1.0

T31zT

3T

1z1)z(H

s

s

s

−=

⋅+−=

+−

=

10.3.5 Visszacsatolt differencia módszere

Visszacsatolt differencia módszere az zT1zs

s ⋅−

= változócserét alkalmazzuk.

Példa Adott a következő folytonos átviteli függvény és 1.0Ts = :

3s1)z(H+

=

Ekkor kapjuk

1310

131

s

s

s

z

z1z3.1

z1.0Tz31z

Tz

3zT1z1)z(H

−

⋅=

−⋅⋅

=⋅⋅+−

⋅=

+⋅−

=

Az előbbiekben ismertetett öt módszerrel kapott eredmény összehasonlítható, ha összehasonlítjuk a folytonos tartomány H(s) átviteli függvény moduluszát a diszkrét tartományban kapott ötféle H(z) átviteli függvénnyel moduluszával. Megjegyzendő, hogy a módszer megválasztása egy adott feladat típusától is függ. Az Impulzus invariancia módszere nagyon jó megközelítés lehet ha elég kicsi a mintavételezési periódus, míg a Tustin módszer és az Egységugrás invariancia módszere jó egyezést mutat a folytonos rendszer karakterisztikáival. Tudjuk, hogy a mintavételezési

törvény alapján, az s

s T1f = mintavételezési frekvenciára igaz kell legyen, hogy

ms f2f ⋅> ahol az mf a mintavételezendő jel legnagyobb frekvenciájú összetevőjének frekvenciája a Fourier sorbafejtésben. A gyakorlatban nem választhatunk akármilyen nagy mintavételezési frekvenciát mert figyelembe kell vegyük a számítási kapacitásokat (gyorsaság, tároló képesség). Ha a H(s)-nek komplex pólusai is vannak

245

akkor, a mintavételezett rendszer dinamikája módosul ha a komplex bja ⋅± pólus imaginárius része és a mintavételezési periódus között fennáll a következő összefüggés:

b21

Ts⋅=

π

Ha H(s) zérusainak és pólusainak különbsége nulla, akkor bármely mintavételezési periódust választunk, akkor a diszkrét rendszer esetében is a különbség nulla. Ha a H(s) pólusainak és zérósainak különbsége nem nulla akkor a diszkrét rendszernek új zérósai lesznek és ezeknek a száma egyenlő a nem nulla különbséggel. Megjegyzés: Ha sTsez ⋅= transzformációt alkalmazzuk, akkor az s-síkbeli pólusokat ugyanolyan dinamikát biztosító diszkrét pólusokba transzformálja a z-sikban. Példa Adott a következő folytonos rendszer:

)t(x)10()t(y

)t(u10

)t(x10

02)t(x

⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=&

a. Határozzuk meg a rendszer kimenetét ha u(t)=0 és ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

)0(x

b. Határozzuk meg az előző pontban adott feltételek mellett a diszkrét rendszer ]n[y kimentét

c. Hasonlítsuk össze a folytonos és diszkrét kimenetet a. A Laplace transzformációt használva felírhatjuk, hogy

)0(x)AIs()s(X 1 ⋅−⋅= −

Kiszámítjuk a rendszer fundamentális mátrixát:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=−⋅−

⋅−⋅−

t

t2tA.trLaplaceinverz1

e00e

e

1s10

02s

1

)AIs(

Így az állapotvektor felírható mint

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=1s

10

10

1s10

02s

1

)s(X

246

0t;ee0

)10()t(ye0

)t(x ttt >=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−−

b. Az ismert összefüggések alapján, amelyeket úgy kaptunk, hogy a bemenet két egymás utáni mintavétel között állandó marad, felírhatjuk, hogy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==Φ −

⋅−⋅

s

ss

T

T2TA

e00ee

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ −−−

⋅−

∫∫ 1e0

tde0

dt10

e00e

s

ss

T

T

0t

T

0t

t2

ekkor a következő diszkrét állapotegyenleteket kapjuk

]Tn[u)0(]Tn[x)10(]Tn[y]Tn[u]Tn[x]T)1n[(x

sss

sss

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅Ψ+⋅⋅Φ=⋅+

Vagyis

]Tn[u)0(]Tn[x)10(]Tn[y

]Tn[u1e

0]Tn[x

e00e]T)1n[(x

sss

sTsT

T2

s ss

s

⋅⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅+ −−

⋅−

és a megfelelő kezdeti feltételek

s

s

Tnt|2s2

Tnt|1s1

)t(x]Tn[x

)t(x]Tn[x

⋅=

⋅=

=⋅

=⋅

c. A folytonos és diszkrét kimenet közötti eltérés az, hogy a diszkrét kimenet a mintavételezési periódus ( sT ) függvénye. Példa Adott a következő átviteli függvény

10s7s11s4)s(H 2 +⋅+

+⋅=

Határozzunk meg két diszkrét H(z) átviteli függvényt amelyek a folytonos rendszert írják le. Először az impulzus invariancia módszerét használjuk az átviteli függvény felírására. Ekkor

247

5s3

2s1

10s7s11s4)s(H 2 +

++

=+⋅+

+⋅=

Innen a súlyfüggvény

t5t2 e3e)t(h ⋅−⋅− ⋅+=

és a sTnt ⋅= behelyettesítés után kapjuk, hogy

nT5nT2Tn5Tn2s )e(3)e(e3e)Tn(h ssss ⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅− ⋅+=⋅+=⋅

majd ebből

ss T5s

T2s

sez

zT3ez

zT)z(H)}Tn(h{Z

⋅−⋅− −

⋅⋅+

−

⋅==⋅

Másodszor az egységugrás invariancia módszerét használjuk az átviteli függvény felírására. Ekkor

s1.1

5s6.0

2s5.0

)10s7s(s11s4

s)s(H

2 ++

−+

−=+⋅+⋅

+⋅=

Ennek inverz Laplace transzformációja

1.1e)5.0(e)6.0()t(h t2t5 +⋅−⋅−= ⋅−⋅−

és a sTnt ⋅= behelyettesítés után kapjuk, hogy

1.1)e()5.0()e()6.0(1.1e)5.0(e)6.0()Tn(h nT2nT5Tn2Tn5s

ssss +⋅−⋅−=+⋅−⋅−=⋅ ⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−

majd ebből

1zz)1.1(

ezz)5.0(

ezz)6.0()z(H)}Tn(h{Z

ss T2T51s −⋅

+−

⋅−+

−

⋅−==⋅

⋅−⋅−

Innen

)1zz)1.1(

ezz)5.0(

ezz)6.0((

z1z)z(H

ss T2T5 −⋅

+−

⋅−+

−

⋅−⋅

−=

⋅−⋅−

A mintavételezési periódus megválasztásával elérhető hogy a folytonos és diszkrét modellek ugyanazon a dinamikájú rendszert írják le.

10.3.6. Megközelítő deriváló módszer Kiszámítjuk egy folytonos )t(y jel deriváltját a sTnt ⋅= pontban. Itt sT a mintavételezési periódus. Ekkor

248

s

ssTnt| T

)Tn(y)T)1n((y)t(y

dtd

s

⋅−⋅+≈⋅=

kifejezést kapjuk. Ez egy megközelítés csupán s a megközelítés egyszerűsége miatt könnyen használható, de a pontossága nem minden esetben elfogadható. Példa Egy rendszert a következő egyenletrendszer ír le:

)t(ub)t(ya)t(ydtd

⋅=⋅+

ahol y(t) a kimenő, míg u(t) a bemenő jel. 1. A homogén egyenlet megoldása

0tha)0(ye)t(y ta ≥⋅= ⋅− ahol )0(y a kezdeti feltétel. 2. Most a derivált helyett egy megközelítő kifejezést használunk. Ekkor a homogén egyenletet felírjuk mint:

0)Tn(yaT

)Tn(y)T)1n((ys

s

ss =⋅⋅+⋅−⋅+

vagyis egyszerűsítve

0)n(yaT

)n(y)1n(y

s=⋅+

−+ vagy az ekvivalens forma

0]1n[yaT

]1n[y]n[y

s=−⋅+

−−

Ezt a formát felírjuk:

]1n[y)Ta1(]n[y s −⋅⋅−=

Ez egy rekurzív egyenlet amelynek megoldása

0nha]0[y)Ta1(]n[y ns ≥⋅⋅−=

3. Ha most felírjuk az 1. pontban kapott folytonos megoldást Taylor sorba fejtve kapjuk: Ha sTnt ⋅= és )Tn(y s⋅ -t mint y(n) jelöljük és figyelembe véve az exponenciális függvény Taylor sorbafejtését akkor felírjuk:

)0(y)!2Ta

!1Ta

1()0(ye)n(y n2s

2sTna s ⋅−

⋅+

⋅−=⋅= ⋅⋅− L

Ha sT sokkal kisebb mint 1 akkor a sT egynél nagyobb hatványai elhanyagolható mennyiségek lesznek. Így a kapott megoldás formája

249

0nha)0(y)Ta1()n(y n

s ≥⋅⋅−= Tehát az előbbi megjegyzéseket figyelembe véve a folytonos és a mintavételezett forma megoldása azonos. Ez egy elsőrendű rendszer esetében levont következtetés. Példa Egy rendszert a következő egyenletrendszer ír le:

)t(uc)t(yb)t(ydtda)t(y

dtd

2

2⋅=⋅+⋅+

és a kezdeti értékek )0(ydtd);0(y .

Tudjuk, hogy s

ssTnt| T

)Tn(y)T)1n((y)t(y

dtd

s

⋅−⋅+≈⋅= és

2s

sssTnt|2

2s

Tnt|T)1n(t|Tnt|2

2

T)Tn(y)T)1n((y2)T)2n((y

)t(ydtd

T

)t(ydtd)t(y

dtd

)t(ydtd

s

ss

s

⋅+⋅+⋅−⋅+=

−=

⋅=

⋅=⋅+=

⋅=

A kapott megközelítő egyenlet:

)n(uc)n(ybT

)Tn(y)T)1n((ya

T)Tn(y)T)1n((y2)T)2n((y

s

ss2s

sss ⋅=⋅+⋅−⋅+

⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+

Ezt az egyenletet átírhatjuk, ha 2nn −→ időbeni transzlációt alkalmazunk. A kapott egyenlet:

)2n(uTc)2n(y)TbTa1()1n(y)2Ta()n(y 2s

2sss −⋅⋅=−⋅⋅+⋅−+−⋅−⋅+

Ami a kezdeti feltételeket illeti: Szükségük van az )0(y és )1(y értékekre vagyis )0(y mellett )T(y s értékére. Ezt kiszámíthatjuk az

s

sT

)0(y)T(y)0(y

dtd −

=

egyenletből ahol )0(ydtd adott érték. Innen következik

)1(y)0(y)0(ydtdT)T(y ss =+⋅=

250

Ez a megoldás mutatja, hogy ez az út járható de az eszközölt megközelítések, a kezel-hetőség érdekében a hiba nagyságát növelik. Amint láthattuk, ez nem más mint a Tustin módszer időtartományban való értelmezése.

10.3.7. Mintavételek közötti állandó bemenet módszere Induljunk ki a következő MIMO folytonos állapotegyenletekből:

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x

⋅+⋅=⋅+⋅=&

Ha 0tt = pillanati kezdeti értéket figyelembe vesszük, akkor 0tt > -ra az egyenletrendszer megoldását a következő függvény adja:

0

t

t

)t(A0

)tt(A ttd)(xBe)t(xe)t(x0

0 >τ⋅τ⋅⋅+⋅= ∫ τ−⋅−⋅

Legyen most s0 Tnt ⋅= és ss TTnt +⋅= . Mivel az állapotvektort figyelembe véve, a kimenet minden sT után változik ezért a k értékét mintavétel között úgy vehetjük, hogy a kimenet konstans értékű. Ezt úgy is értelmezhetjük, hogy

]Tn[u)t(u s⋅= ha ss T]1n[tTn ⋅+<≤⋅

és így eljutunk egy módszerhez amellyel egy folytonos rendszerből egy ekvivalens diszkrét modellhez jutunk. Az előbbi egyenletből kapjuk, hogy:

0

TTn

Tn

)TTn(As

TAss ttd)(xBe)Tn(xe)TTn(x

ss

s

sss >τ⋅τ⋅⋅+⋅⋅=+⋅ ∫+⋅

⋅

τ−+⋅⋅⋅

Bevezetjük a következő jelöléseket (figyelembe véve, hogy az integrálási intervallumban a bemenet állandó):

λ=τ−+⋅Φ=

Ψ=τ⋅⋅

⋅

+⋅

⋅

τ−+⋅⋅∫

ss

TA

TTn

Tn

)TTn(A

TTn;e

;dBe

s

ss

s

ss

akkor kapjuk, hogy:

∫∫ λ⋅⋅=λ⋅⋅−=Ψ λ⋅λ⋅s

s

T

0

A0

T

A dBedBe

251

Így az állapotegyenleteink a következő formát vesznek fel:

)Tn(uD)Tn(xC)Tn(y)Tn(u)Tn(x)TTn(x

sss

ssss

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅Ψ+⋅⋅Φ=+⋅

vagy egyszerűsített formában:

]n[uD]n[xC]n[y]n[u]n[x]1n[x

⋅+⋅=⋅Ψ+⋅Φ=+

(10.3.7.1)

Példa Adott a következő folytonos állapot egyenletrendszer:

)t(x)01()t(y

)t(u10

)t(x10

10)t(x

dtd

⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

Írjuk fel a rendszer diszkrét átviteli függvényét a mintavételek közötti konstans bemenet módszerével. Hogy felírhassuk a Ψ és a Φmátrixokat szükségünk van az tAe ⋅ mátrixra, amelyet itt az inverz Laplace módszerrel számítunk ki.

}0

{L}1s0

1s{L})AIs{(Le

1s1

)1s(s1

s1

11

111tA⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−⋅=+

+⋅−−

−−−⋅

Innen következik, hogy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= −

−⋅

t

ttA

e0e1te

Ekkor kiszámíthatjuk:

λ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −λ=Ψ ∫ λ−

λ−d

10

e0e1sT

0

Ha 1Ts = akkor

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=Ψ −

−

1

1

e1e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=Φ −

−

1

1

e0e11

252

ahol Φ a diszkrét rendszer mátrix, míg Ψ pedig a bemeneti mátrix. A diszkrét rendszer modell felírható mint:

]n[ue1

e]n[x]n[x

e0e11

]1n[x]1n[x

1

1

2

11

1

2

1 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−

−

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

]n[x]n[x

)01(]n[y2

1

10.4. Diszkrét állapotegyenletek Adott egy mintavételezett (diszkrét) rendszermodell. A diszkrét állapotváltozót úgy tekinthetjük, mint olyan változót amely szükséges és elégséges ahhoz, hogy meghatározzuk a rendszer kimenetét valamint a következő állapotát egy ismert bemenőjel függvényében. Ha ]Tk[x s⋅ a rendszer állapotvektora tehát a diszkrét rendszer állapotvektorának értéke a sTkt ⋅= időpillanatban, akkor a k egy egész szám, valamint a sT a mintavételezési periódus. A diszkrét rendszer állapotegyen-leteit felírjuk mint:

])Tk[u],Tk[x(g]T)k[(y])Tk[u],Tk[x(f]T)1k[(x

sss

sss

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+

(10.4.1)

A legtöbb esetben az állapot mint egy késleltető elem kimenete jelenik meg, hasonló módon mint az integrátor kimenete mint állapot a folytonos rendszerek esetében. Ha a diszkrét rendszer lineáris, akkor állapotegyenleti felírhatók mint:

]Tk[u]Tk[D]Tk[x]Tk[C]T)k[(y]Tk[u]Tk[B]Tk[x]Tk[A]T)1k[(x

sssss

sssss

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅+

(10.4.2)

Ebben az esetben az A , B , C , D rendszermátrixok időben változó mátrixok. Ha a rendszer időben invariáns akkor az A , B , C , D mátrixok állandó mátrixok. Hasonlóan a folytonos rendszerekhez itt is felrajzolhatjuk a rendszer szimuláló diagramját és ez a 10.4.1. ábrán látható.

10.4.1. ábra

253

A K itt az úgynevezett késleltető operátor. Ez ugyanazt a szerepet játssza mint az integráló elem a folytonos rendszerek állapotteres szimuláló diagramjában. Máshol a K operátor helyett D (delay) operátort használok a szimulációs diagramokban. Példa Adott a következő differencia egyenlet.

][][]1[]2[ kukybkyaky =⋅++⋅++ A mintavételezési periódust, mivel nincs gyakorlati jelentősége ebben az esetben, tekintjük mint 1Ts = ezáltal egyszerűsítjük a leírási módszereket. Bevezetjük a fázistérnek megfelelő következő fázisváltozó jelöléseket:

]k[x]1k[x]1k[y]k[x]k[y

21

1

=+=+=

Így a következő állapotegyenleteket kapjuk:

]k[u10

]k[x]k[x

ab10

]1k[x]1k[x

2

1

2

1 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

]k[x]k[x

)01(]k[y2

1

Itt ]k[x1 és ]k[x 2 a rendszer állapotváltozói amit a szimulációs diagramok késleltető kimeneti elemei adják. Példa Induljunk ki egy diszkrét SISO rendszer diszkrét átviteli függvényéből és írjuk fel a diszkrét állapotegyenleteket. Legyen az átviteli függvény egy résztörtekre bontott forma:

)z(U)z

c()z(Y

zc

)z(U)z(Y)z(H

n

1i i

in

1i i

i ⋅λ−

=⇒λ−

== ∑∑==

Ha 1Z− transzformációt alkalmazunk akkor kapjuk, hogy:

∑=

⋅=n

1iii ]k[xc]k[y

ahol ]k[xi eleget kell tegyen az

]k[u]k[x]1k[x iii +⋅λ=+

differencia egyenletnek (lásd egyenként a résztörteket). Ebben az esetben az állapotegyenleteket felírhatjuk mint:

254

]k[u

1

11

]k[x

]k[x]k[x

00

0000

]1k[x

]1k[x]1k[x

n

2

1

n

2

1

n

2

1

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λλ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

++

ML

L

MOMM

L

L

L

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=

]k[x

]k[x]k[x

)ccc(]k[y

n

2

1

n21 LL

vagy vektorjelölést használva:

]k[xC]k[y]k[uB]k[x]1k[x

⋅=⋅+⋅Λ=+

Ha a diszkrét átviteli függvény számlálójának és nevezőjének ugyanaz a fokszáma, akkor a D nem zérós mátrix. A Λ egy átlós mátrix és a főátló elemei a diszkrét átviteli függvény nevezőjének (diszkrét karakterisztikus egyenlet) gyökei és ezeket diszkrét sajátértékeknek nevezzük. A C mátrix elemeit kiszámíthatjuk a

izii |)z(H)z(c λ=⋅λ−= módszerrel. Mindezek igazak, ha a rendszer sajátértékei egyedi gyökei a diszkrét karakterisztikus egyenletnek. Azt már észrevehettük, hogy az átviteli függvényt mint n darab elsőrendű tag segítségével írtuk fel, ezért, akárcsak a folytonos rendszerek esetében, a szimulációs diagram n elsőrendű diagramok párhuzamos kapcsolásából áll. Példa Keressük meg az A , B , C , D mátrixokat egy olyan diszkrét rendszer esetében amelynek az átviteli függvénye

)2z()1z(7z13z12z4)z(H 2

23

−⋅−

−⋅+⋅−⋅=

A diszkrét átviteli függvényt felírhatjuk mint:

032

21 d

)2z(c

)1z(c

)1z(c)z(H +

−+

−+

−=

ahol 4)z(Hlimd

z0 ==

∞→

1|)]z(H)1z[(dzdc

2|)z(H)1z(c

1z2

2

1z2

1

=⋅−=

=⋅−=

=

=

3|)z(H)2z(c 1z3 =⋅−= = Ekkor felírhatjuk, hogy:

255

)z(U4)z(X3)z(X)z(X2)z(U4)2z()z(U3

)1z()z(U

)1z()z(U2)z(Y 3212 ⋅+⋅++⋅=⋅+

−⋅

+−

+−

⋅=

Mivel látjuk, hogy

]k[x]k[x]1k[x1z)z(X)z(X 211

21 =−+⇒

−= .

Ezek alapján az állapotegyenleteket felírjuk mint:

]k[ud]k[xC]k[y]k[uB]k[xJ]1k[x

0 ⋅+⋅=⋅+⋅=+

⇔ 4d);312(C;110

B;200010011

J 0 ==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Ennek a rendszernek megfelelő szimulálási diagram a 10.4.2. ábrán látható:

10.4.2. ábra

Ehhez hasonló példákra még visszatérünk. A MIMO rendszerek esetében a )z(H mátrixot használhatjuk az állapotteres leírásra . Itt ez a módszer nem annyira előnyös mint a SISO rendszerek esetében. Példa Határozzuk meg az állapotegyenleteket ( A , B , C , D mátrixokat) a 10.4.3. ábrán látható diagram segítségével leírt MIMO rendszer esetében.

10.4.3. ábra

256

Láthatjuk, hogy a MIMO rendszer ténylegesen egy két bement két kimenetű rendszer. Innen felírhatjuk, az átvitel függvényekre ismert szabályok szerint, hogy:

)z(U4)z(U)3z()1z(

z)z(Y

)z(U2z

1)z(U)2z()1z(

z)z(Y

21

2

1

211

⋅+⋅+⋅+

=

⋅+

+⋅+⋅+

=

Ha ezt a

)z(UHHHH

)z(U)z(H)z(U)z(U

4)3z()1z(

z2z

1)2z()1z(

z

)z(Y)z(Y

2221

1211

2

12

1

1 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅+

++⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

formában írjuk fel, akkor a )z(H a MIMO rendszer átviteli mátrixa. Innen következik, hogy:

)z(U4)z(U)z(U3z

)z(U1z

)z(Y

)z(U2z

1)z(U2z

2)z(U1z

1)z(Y

21129

121

1

2111

⋅++⋅+

−⋅+

=

⋅+

+⋅+

+⋅+

−=

Innen meg :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

]k[u]k[u

01201

]k[x]k[x]k[x

300020001

]1k[x]1k[x]1k[x

2

1

29

3

2

1

3

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛]k[u]k[u

4100

]k[x]k[x]k[x

10011

]k[y]k[y

2

1

3

2

1

21

2

1

10.5. A diszkrét állapotegyenlet rendszer megoldása Adott a következő diszkrét állapotegyenlet rendszer:

]n[uD]n[xC]n[y]n[uB]n[xA]1n[x

⋅+⋅=⋅+⋅=+

(10.5.1)

Most a Z-transzformációt alkalmazva a következő mátrixformát kapjuk:

257

)z(UB)z(XA]0[xz)z(Xz ⋅+⋅=⋅−⋅ és innen

)z(UB]0[xz)z(X)AIz( ⋅+⋅=⋅−⋅

ahol I a rendszermátrixnak dimenzionálisan megfelelő egységmátrix míg ]0[x a kezdeti állapotvektor. Ebből az egyenletből következik, hogy:

)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z)z(X 11 ⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= −− (10.5.1.a)

A kimenetre kapott Z-transzformáció pedig:

)z(UD)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z(C)z(UD)z(XC)z(Y 11 ⋅+⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅⋅=⋅+⋅= −− Ha most ,0]0[x = akkor következik, hogy

)z(UDB)AIz(C()z(UD)z(XC)z(Y 1 ⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅= −

Innen felírjuk a diszkrét átviteli függvény és a diszkrét állapotegyenletek mátrixai közötti összefüggést akkor ha a rendszer SISO:

DB)AIz(C)z(U)z(Y)z(H 1 +⋅−⋅⋅== − (10.5.2)

Ha a rendszer egy MIMO rendszer akkor a be/kimenetek kapcsolatára felírhatjuk a következő átviteli függvényeket

;)z(U)z(Y

)z(Hj

iij = és igaz, hogy .jkha0)z(Uk ≠= Ezek alapján a ijH racionális

függvényeket egy mátrixba szervezzük, és

)z(U)z(Y)z(H =

formában írjuk fel hol )z(Y a kimenő jelek Z-transzformáltjainak oszlopmátrixa, míg

)z(U a bemenő jelek Z-transzformáltjainak oszlopmátrixa. Erre egy példa

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅++

+⋅+⋅++⋅+=

)3z()2z(1z0

)3z()2z()1z(1

)3z()2z(1

)z(H .

Ez egy két bemenetű és két kimenetű diszkrét rendszer átviteli függvénye.

258

10.5.1. Diszkrét állapotegyenletek általános megoldása Kiindulunk az

]n[uB]n[xA]1n[x ⋅+⋅=+ (10.5.1.1)

vektor differencia egyenletből. Ha ismerjük a kezdeti állapotokat, vagyis ]0[x értékeit, 0n = diszkrét pillanatban, akkor a következő összefüggést kapjuk:

]0[uB]0[xA]1[x ⋅+⋅=

Hasonlóan járunk el és felírjuk 1n = pillanatban, hogy

]1[uB]1[xA]2[x ⋅+⋅=

Ha most kiejtjük az ]1[x -et akkor kapjuk, hogy

]1[uB]0[uBA]0[xA]1[uB])0[uB]0[xA(A]2[x 2 ⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅⋅= .

Most pedig, 2n = esettel folytatva kapjuk, hogy

]2[uB]1[uBA]0[uBA]0[xA

]2[uB])1[uB]0[uBA]0[xA(A]2[uB]2[xA]3[x23

2

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅=

A fenti gondolatmenetet követve a következő általános megoldást kapjuk:

∑−

=

−− ⋅⋅+⋅=1n

0k

k1nn ]k[uBA]0[xA]n[x (10.5.1.2)

Ebben az összefüggésben jelöljük:

nA]n[ =Φ (10.5.1.3)

mátrix az állapot-tranziciós mátrix vagy más néven a rendszer fundamentális mátrixa. Ennek kiszámítása alapvető, ha a diszkrét rendszer megoldását keressük. A fundamentális mátrix segítségével most felírjuk a következő általános megoldási formákat.

]n[uD]k[uB]k1n[C]0[x]n[C]n[y

]k[uB]k1n[]0[x]n[]n[x

1n

0k

1n

0k

⋅+⋅⋅−−Φ⋅+⋅Φ⋅=

⋅⋅−−Φ+⋅Φ=

∑

∑−

=

−

= (10.5.1.4)

Ez a diszkrét állapotegyenletek teljes megoldása. Összehasonlítva a folytonos rendszerek állapotegyenleteinek megoldásával láthatjuk, hogy míg a folytonos

259

esetben a fundamentális (állapot-tranziciós) mátrixot a tAe)t( ⋅=Φ kifejezés adja,

addig a diszkrét rendszerek esetében mindez nA]n[ =Φ a diszkrét állapot-tranziciós mátrix. Úgy folytonos mint diszkrét rendszer esetében a Fundamentális mátrix kiszámítása egy alapvető feladat. Hasonlítsuk össze most a Z-transzformációval kapott 10.5.1.a összefüggéssel, vagyis az

)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z)z(X 11 ⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= −−

megoldást az előbbi, időtartománybeli megoldással, vagyis:

∑−

=

−− ⋅⋅+⋅=1n

0k

k1nn ]k[uBA]0[xA]n[x

kifejezéssel. Megállapíthatjuk, hogy a Fundamentális mátrixot felírhatjuk mint:

})AIz(z{Z]n[ 11 −− −⋅⋅=Φ (10.5.1.5)

A Fundamentális mátrix tulajdonságai

• Egy bemenet nélküli diszkrét rendszer esetében felírhatjuk, hogy ]0[x]n[]n[x ⋅Φ= . Ha meg a kezdeti feltétel zéró, akkor a ]0[x]0[]0[x ⋅Φ= összefüggésből következik, hogy .I]0[ =Φ

• A nA]n[ =Φ és ha 21 nnn += akkor felírjuk, hogy

]n[]n[]nn[ 2121 Φ⋅Φ=+Φ • A nA]n[ =Φ és ha mn −= akkor felírjuk, hogy ]m[]m[ 1−Φ=−Φ .

Ha most nem ]0[x a kezdeti állapotvektor, hanem ]Tn[x s0 ⋅ és a rendszermátrix

időfüggő, akkor keressük az állapot-tranziciós mátrixot (és ennek a kiszámítási módozatait) amelyre érvényes, hogy:

n00 I]n,n[ =Φ .

Adott a következő homogén diszkrét állapotegyenlet rendszer (differenciaegyenlet rendszer):

]Tn[x]Tn[A]T)1n[(x sss ⋅⋅⋅=⋅+

és a kezdeti feltétel ]Tn[x s0 ⋅

akkor első lépésként felírhatjuk, hogy

260

]Tn[x]Tn[A]T)1n[(x s0s0s0 ⋅⋅⋅=⋅+

és hasonló módon

]Tn[x]Tn[A]T)1n[(A]T)2n[(x s0s0s0s0 ⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅+

Így folytatva kapjuk, hogy

0s0

1n

nkss nn];Tn[x]Tn[A]Tn[x

0

>⋅⋅⋅=⋅ ∏−

=

Tudjuk, hogy ]Tn[x]T)]n,n[(]Tn[x s0s0s ⋅⋅⋅Φ=⋅

és ebből következik, hogy:

0

1n

nkss0 nn;]Tn[A]T)]n,n[(

0

>⋅=⋅Φ ∏−

= (10.5.1.6)

Abban az esetben ha A egy időben nem változó mátrix (konstans mátrix) akkor igaz, hogy

0)nn(

s0 nn;A]T)]n,n[( 0 >=⋅Φ − (10.5.1.7)

Ez az eredmény egyezik az előzőekben felírt megoldással. Ez egyezik a folytonos rendszerek esetében felírt összefüggésekkel, vagyis a konstans rendszerek esetében a megoldás a kezdeti időpillanattól eltelt időintervallumtól függ, míg időben változó rendszerek esetében emellett a megoldás még függ a megfigyelés pillanatától is. Így időben variáns rendszerek (változó) esetében a rendszermátrix felírható, mint

]Tn[AA]Tn[A s10s ⋅+=⋅ (10.5.1.8)

ahol 0A egy konstans mátrix, és többféle módszer létezik ezek meghatározására. Hasonlóan a folytonos időben változó rendszerekhez, itt is felírhatjuk az állapotátviteli mátrix hasonló tulajdonságait.

• 1. I]T)n,n[( s00 =⋅Φ • 2. ]T)n,n[(]T)n,n[(]T)n,n[( s02s01s12 ⋅Φ=⋅Φ⋅⋅Φ • 3. ]T)n,n[(]T)2n,n[( s12

1s1 ⋅Φ=⋅Φ −

Konstans rendszermátrix esetében meg igaz, hogy: • 4. ]Tn[]Tn[]T)nn[( s0ss0 ⋅Φ⋅⋅Φ=⋅+Φ • 5. ]Tn[]Tn[ s

1s ⋅−Φ=⋅Φ −

261

Példa Adott a következő diszkrét rendszer:

]n[x)10(]n[y

]n[u10

]n[x20

01]1n[x

⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+

Számítsuk k a rendszer állapotváltozóit és a kimenetét, ha ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

]0[x és 0]n[u = .

Tudjuk, hogy a rendszer általános megoldását felírhatjuk mint:

∑−

=

−− ⋅⋅+⋅=1n

0k

k1nn ]k[uBA]0[xA]n[x .

Az adott bemenetre ]0[xA]n[x n ⋅= összefüggést kapjuk. Iteratív módszerrel kezdjük a megoldást felírni:

LLLLL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅=

80

40

2001

]2[xA]3[x

40

20

2001

]1[xA]2[x

20

10

2001

]0[xA]1[x

Azért mert a rendszermátrix átlós forma, ezért

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−= n

nn

)2(00)1(A

és így az állapotegyenlet megoldása

0n;10

)2(00)1(]n[x n

n≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

Ellenőrzésképpen kiszámítjuk a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

80

10

8001

]0[xA]3[x

40

10

4001

]0[xA]2[x

20

10

2001

]0[xA]1[x

10

10

1001

10

A]0[x

3

2

1

0

262

Az előbbiekben meghatározott Z-transzformációt használva, a következő összefüggést kaptuk:

)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z)z(X 11 ⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= −−

és ha 0]n[u = , akkor:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⋅

2z001z

2001

z00z

)AIz(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅++

+⋅+

+⋅++⋅++

=−⋅ −

2zz0

10

2z10

01z

1

z)z(X

2z10

01z

1

)2z()1z(1z

)2z()1z(0

)2z()1z(0

)2z()1z(2z

)AIz( 1

Ennek az inverz transzformációja pedig:

0n;)2(

0]n[x n ≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

Innen

;8

0]3[x;

40

]2[x;2

0]1[x;

10

]0[x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=−⋅⋅ −

2zz0

01z

z

)AIz(z 1

Innen meg:

0n;)2(0

0)1(]n[ n

n≥⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=Φ

és ez a rendszer fundamentális mátrixa.

10.5.2. Állapotteres transzformációk Vezessük be a következő transzformációt:

]n[xM]n[q ⋅= (10.5.2.1)

Ebben az összefüggésben M a transzformációs mátrix. Innen felírhatjuk, hogy:

]n[qM]n[x 1 ⋅= −

263

Ha az eredeti egyenletrendszer

]n[uD]n[xC]n[y]n[uB]n[xA]1n[x

⋅+⋅=⋅+⋅=+

akkor a transzformációt alkalmazva kapjuk, hogy

]n[uB]n[qMA]1n[qM 11 ⋅+⋅⋅=+⋅ −−

vagyis

]n[uBM]n[qMAM]1n[q 1 ⋅⋅+⋅⋅⋅=+ − .

Hasonló módon kapjuk a kimenő jel transzformációját, vagyis

]n[uD]n[qMC]n[y 1 ⋅+⋅⋅= − Ezek alapján ha

DB)AIz(C)z(H 1régi +⋅−⋅⋅= −

akkor az új átviteli függvény

DBM)M)AIz(M(MC

DBM)MAMMMz(MC)z(H

DBM)MAMIz(MC)z(H

111

1111új

111új

+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

=+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

−−−

−−−−

−−−

Hogy ezt felírjuk, figyelembe vettük, a mátrixoperációk következő összefüggéseit:

11111 EFG)GFE(;MMI −−−−− ⋅⋅=⋅⋅⋅=

Azt kapjuk, hogy

DB)AIz(C

DBMM)AIz(MMC

DBM)M)AIz(M(MC)z(H

1

111

111új

+⋅−⋅⋅=

=+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

=+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

−

−−−

−−−

Ebből meg következik, hogy

)z(H)z(H régiúj =

és ennek a nagyon fontos következménye, hogy a rendszer sajátértékei (pólusai) és a transzformált rendszer sajátértékei (pólusai) azonosak. Ha a rendszer kezdeti feltételei

]0[z akkor a transzformált rendszer kezdeti feltételeit felírhatjuk mint

264

]0[xM]0[q ⋅= ahonnan ]0[x]0[qM 1 =⋅− .

Ha az eredeti rendszer teljes megoldását felírjuk mint:

)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z)z(X 11 ⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= −− )z(UD)z(XC)z(Y ⋅+⋅=

akkor a transzformált rendszer teljes megoldása a z-tartományban:

)z(UBM)MAMIz(]0[q)MAMIz(z)z(Q 1111 ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅= −−−−

)z(UD)z(QMC)z(Y 1 ⋅+⋅⋅= −

Ha az M mátrix az A sajátvektoraiból képzett mátrix, akkor 1MAM −⋅⋅ egy átlós mátrix és ekkor M -t modális mátrixnak nevezünk. Példa Adott az

][4]3[3]1[2][ nunynyny ⋅=−⋅+−⋅− differenciaegyenlet. Írjuk fel az ennek megfelelő diszkrét állapotteres egyenleteket. Jelöljük:

]1n[y]n[x]2n[y]n[x]3n[y]n[x

3

2

1

−=−=−=

ekkor felírjuk

]n[u4]n[x3]n[x2]n[u4]3n[y3]1n[y2]1n[x]n[x]1n[y]1n[x]n[x]2n[y]1n[x

133

32

21

⋅+⋅−⋅=⋅+−⋅−−⋅=+=−=+=−=+

A kimenet pedig

]n[u4]n[x3]n[x2]n[y 13 ⋅+⋅−⋅=

Ekkor a következő állapotegyenleteket kapjuk:

]n[u400

]n[x203100010

]1n[x ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=+

]n[u)4(]n[x)203(]n[y ⋅+⋅−=

265

Példa Adott a

1z2z3z1z2)z(H 23 +⋅+⋅+

+⋅=

átviteli függvény. Írjuk fel az ennek megfelelő állapotegyenleteket. Felírjuk, hogy

)z(U)1z2()8z2z3z()z(Y 23 ⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅ Innen következik az

]n[u]1n[u2]3n[y]2n[y3]1n[y2]n[y ++⋅=+++⋅++⋅+ Az előző feladatnak megfelelően kapjuk, hogy

]n[u)0(]n[x)021(]n[y

]n[u100

]n[x321

100010

]1n[x

⋅+⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=+

Modális mátrix Akárcsak a folytonos rendszerek esetében, egy adott diszkrét állapottérből áttérhetünk egy új állapottérbe. Az itt használt transzformációt leírhatjuk mint:

]Tk[qM]Tk[x ss ⋅⋅=⋅ Így felírhatjuk, hogy:

]Tk[uD]Tk[qMC]Tk[y

]Tk[uB]Tk[qMA]T)1k[(qM

sss

sss

⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅

Innen

]Tk[uD]Tk[qMC]Tk[y

]Tk[uBM]Tk[qMAM]T)1k[(q

sss

s1

s1

s

⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅+ −−

és ha Λ=⋅⋅− MAM 1 , ahol az Λmátrix egy átlós forma, a főátlón a rendszer sajátértékei, akkor ezt nevezzük normál formának a diszkrét rendszerek esetében. Az előbb felírt ]Tk[qM]Tk[x ss ⋅⋅=⋅ transzformációt használjuk a kezdeti feltételek transzformációjának kiszámítására is.

266

11. Rendszerek minőségi követelményei Minden szabályozási rendszer legalább két részből áll, a szabályzó és a szabályozott rendszerből. A szabályzási rendszerekben különböző szabályzó körök mentén információ áramlik. A szabályzási rendszerek vizsgálatának, tervezésének az a célja , hogy a szabályzórendszer olyan információfeldolgozást és szabályzó információalkotást tudjunk szervezni, amely a szabályzási rendszert a céljainak megfelelő állapotok megtartása és az állapotváltozások véghezvitelének irányába vezeti. Tehát a szabályzási rendszer vizsgálta és tervezése minden gyakorlati esetben a szabályzási cél meghatározásával kezdődik. Ez sokszor nem egyértelműen meghatározott feladat. A szabályzási rendszert a külső zavarok, a belső konstrukció, a megvalósítás, az időbeli változásokból adódó eltérések miatt bizonyos mértékig mindig ismeretlennek kell tekintenünk. A szabályzási cél elérése érdekében szükséges a rendszer minden

bemenete )}t(u{ állapotváltozója )}t(x{ és kimenete )}t(y{ , megismerése, hogy az előre meghatározott követelményeket el lehessen érni. A meghatározott cél elérése érdekében meg kell határozni az szabályzás minőségének értékelési mértékeit. Egy kiértékelhetőség magába foglalja a rendszer működésével kapcsolatos valamennyi érdeket. A szabályzási cél elérésének alapvető követelménye a megfigyelhetőség és a szabályozhatóság .Ezek a fogalmak arra vonatkoznak, hogy a rendszer egy adott kezdőállapotból elirányítható a kívánt végállapotba és ez alatt a változás alatt a rendszer állapota megfigyelhető. Ha rendszer legalább egy állapotváltozója, az idő növekedésével minden határon túl nő, akkor a rendszert instabilnak nevezzük. Ha a magára hagyott rendszer állapotváltozásai az idő növekedésével elenyésznek, vagy nem növekednek egy előre megadott értéken túl, akkor a rendszert stabilnak nevezzük. A rendszerek működésének célja a stabilitás biztosítása a megfigyelhetőség és szabályozhatóság eldöntése. Ha most a rendszer működése stabil, akkor ha megfigyelhető és szabályozható akkor a szabályzás tervezésének feladata a legmegfelelőbb, optimális szabályozási útvonal megkeresése. Mivel a valós fizikai, mechanikai, kémiai stb. folyamatok matematikai leírása sohasem lehet tökéletes, így a modellek hiányossága miatt, az eredményeket mindig objektív bizonytalanságok kísérik. Azt is tudjuk, hogy mérni is csak adott pontossággal lehet és ez is hozzájárul a bizonytalansági mértékéhez. Egy szabályozható és megfigyelhető rendszer eszményi optimális szabályzási algoritmusa olyan szabályzási rendszert kell eredményezzen amelynek érzékenysége elenyészően kicsi a tűrőképessége pedig megfelelően nagy a kiindulási ismeretek és paraméterek mérési bizonytalanságaival és a rendszer egyes elemeinek meghibásodásaival szemben.

11.1. Megfigyelhetőség, szabályozhatóság A megfigyelhetőséget és irányíthatóságot R.E. Kalman vezette be. Egy szabályzási rendszer átviteli függvénye, vagy átviteli mátrixa csak akkor adja meg teljesen és helyesen a rendszer viselkedését akkor, és csakis akkor ha a rendszer szabályozható és megfigyelhető.

• Egy rendszer állapota az X állapottartományban akkor teljesen állapot-szabályozható ha egy adott 0t időponthoz tartozó )t(x 0 állapot átvihető

267

bármely )t(x 1 állapotba, valamely véges 01 tt − idő alatt. Hasonló meghatározása van az úgynevezett kimeneti szabályozhatóságnak amikor az elérendő érték a )t(y 1 .

• Egy külső kényszer nélküli rendszer teljesen megfigyelhető egy ]t,t[ 10 intervallumban, ha 0t és 1t között, az X tartományban lévő valamennyi

)t(x állapot meghatározható az y(t) kimenetek valamennyi, a ]t,t[ 10 intervallumban elért és ismert (mért) értékekből.

A szabályozhatósággal és megfigyelhetőséggel kapcsolatban két kérdés fontos:

1. Hogyan állapítható meg a rendszer megfigyelhetősége, szabályozhatósága?

2. Hogyan kell meghatározni azt a szabályzó hatást amely alkalmazásával a rendszer )t(x 0 állapotból )t(x 1 állapotba kerül véges 01 tt − idő alatt?

A gyakorlati rendszerek többsége eleve szabályozható és megfigyelhető de a külső zavaró hatások, a belső konstrukció, a kivitel az időbeli változásokból adódó eltérések miatt, bizonyos mértékig mindég ismeretlennek kell tekintsük a rendszerben lejátszódó folyamatokat. A megfigyelhetőség kérdése bizonyos megfontolások mellett általánosítható az identifikálhatóság fogalmával (minden megfigyelhető rendszer identifikálható).

11.1.1. Megfigyelhetőség Legyen egy LTI, folytonos és dinamikus rendszer modellje (5.4.2)

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x

⋅+⋅=⋅+⋅=&

Az )t(x valós, nem zéró állapot megfigyelhető, ha a bemeneti )t(u vektor ismerete, és a kimeneti )t(y vektor egy időtartamig történő mérése alapján meghatározható az állapotvektor )t(x 0 kezdő értéke. A megfigyelhetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy a

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅=

−1n

O

AC

ACC

QL

(11.1.1.1)

megfigyelhetőségi mátrix rangja n-el egyenlő (n rendszer rangja, vagyis állapotainak száma) Ez azt jelenti, hogy a 11.1.1.1 OQ mátrixának van n darab egymástól

független oszlopvektora. Ha a rendszer megfigyelhető, akkor a kimeneti )t(y vektor változásaiban egymást nem megsemmisítő viszonyban megjelenik az

268

)t(x állapotvektor minden elemének a hatása. A megfigyelhetőségi mátrix (11.1.1.1) felépítésében a kAC ⋅ sorok egy 1 x n dimenziójú vektor. Példa Adott a következő rendszer:

21

22

11

xxyux2x

ux2x

+=+⋅−=+⋅−=

&

&

Innen

)11(C = és ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2002

A és )22(AC −−=⋅

Így a megfigyelhetőségi mátrix

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=22

11AC

CQO

Ennek a mátrixnak a rangja egy. Így a rendszer nem megfigyelhető. Mivelhogy a két állapotváltozó változásának törvényszerűsége azonos és a kimenet meghatározásában azonos mértékben vesznek részt, így a kimenet megfigyelése alapján nem lehet meghatározni az állapotváltozók kezdőértékét, vagyis a rendszer nem megfigyelhető. A megfigyelhetőség kapcsolatot jelent az állapotváltozók és a kimenet között. A bemenet nem befolyásolja ezt a fajta kapcsolatot. Így a megfigyelhetőség fenti tesztje megfogalmazásához kiindulunk a következő SISO állapotteres egyenletből:

)t(xC)t(y)t(xA)t(x

⋅=⋅=&

és ennek van megoldása az )t(x 0 kezdeti feltételek mellett. Most a megfigyelhetőség meghatározását ismerve lássuk miként és mikor tudjuk az állapotvektorokat meghatározni ha ismerjük a kimeneteket. Egy rendszer teljesen megfigyelhető csak és csakis akkor ha )t(x 0 állapotvektor meg-határozható ha ismerjük a rendszer y(t) kimenetét minden t-re ha 10 ttt ≤≤ . Az állapotegyenlet megoldása:

)t(xC)t(y)t(xe)t(x

11

0tA

11

⋅=⋅= ⋅

vagy

)t(xeC)t(y 0tA

11 ⋅⋅= ⋅

és ha alkalmazzuk a Cayley-Hamilton tételt, amikor ismerjük a rendszer karakterisz-tikus polinomját, akkor kapjuk, hogy,

269

)t(x)ACACACIC()t(y 01n

1n2

2101 ⋅⋅α⋅++⋅α⋅+⋅α⋅+⋅α⋅= −−L

vagy

∑−

=⋅⋅α⋅=

1n

0j0

jj1 )t(xAC)t(y

vagy

)t(xQ)(

)t(x

AC

ACAC

C

)()t(y

0O1n210

0

1n

21n2101

⋅⋅αααα=

=⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅

⋅αααα=

−

−

−

L

M

L (11.1.1.2)

Itt az ismeretlen )t(x 0 . Ez egy n dimenziós vektor és a 11.1.1.2 egyenletrendszernek van megoldása ha a megfigyelhetőségi mátrix ( OQ ) fokszáma egyenlő a rendszer rendjével (most n-ed rendű a rendszer).

• A megfigyelhetőség invariáns a szimilarítás transzformációra nézve, mert a megfigyelhetőség rendszertulajdonság.

• Ha a rendszer teljesen megfigyelhető, akkor a OQ mátrixnak n lineárisan független oszlopa van és ezek egy bázist képeznek (lehet az oszlopvektorok egy kombinációja is a bázis). Ennek a bázisnak segítségével kapjuk az új állapotteret amelyet megfigyelhető kanonikus formának nevezünk.

Példa Határozd meg az összefüggést 1c és 2c valós paraméterek között, hogy a következő LTI rendszer teljesen megfigyelhető legyen.

)t(x)cc(y

)t(u01

)t(x3221

)t(x

21 ⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=&

Innen

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅+

=2121

21O c3c2c2c

ccQ

Hogy ennek rangja legyen kettő, szükséges, hogy

0cccc 2221

21 ≠+⋅−

vagyis ha

270

2c4cc

c22

222

1⋅−±

=

akkor a rendszer nem teljesen megfigyelhető. Ennek az egyedüli valós megoldása. 0cc 21 == . A levonható következtetés az, hogy a rendszer nagyon kivételes esetben nem megfigyelhető.

11.1.2. Szabályozhatóság Legyen egy LTI folytonos dinamikus rendszer modellje

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x

⋅+⋅=⋅+⋅=&

Az )t(x valós, nem zéró állapot szabályozható, ha a rendszer az )t(x 0 kezdeti állapotból az )t(x 1 végállapotba (legyen ez )0 hozható )t(u korlátozatlan bemenő jel segítségével véges 01 tt − idő alatt. Egy SISO LTI rendszer megoldását fel tudjuk írni mint:

∫ τ⋅τ⋅⋅+⋅= τ−⋅⋅t

t

)t(A0

tA

0

d)(uBe)t(xe)t(x

ez alapján a t = 1t esetben felírhatjuk, hogy:

∫ τ⋅τ⋅⋅+⋅== τ−⋅⋅1

0

11

t

t

)t(A0

tA1 d)(uBe)t(xe0)t(x

Ha ezt a mátrixegyenletet balról megszorozzuk 1tAe ⋅− mátrixxal, akkor kapjuk, hogy:

∫ τ⋅τ⋅⋅=− τ⋅−1

0

t

t

A0 d)(uBe)t(x

A Cayley-Hamilton módszert alkalmazva azt kapjuk, hogy

∫ τ⋅τ⋅⋅τα++⋅τα+⋅τα+⋅τα⋅=− −−

1

0

t

t

1n1n

22100 d)(uB)A)(A)(A)(I)(()t(x L

vagy

τ⋅τ⋅τα⋅⋅=τ⋅τ⋅⋅τα=− ∑ ∫∫∑−

=

−

=

− d)(u)(BAd)(uB)(A)t(x1n

0j

t

tj

jt

tj

1n

0j

1n0

1

0

1

0

271

Ha bevezetjük a következő jelölést: 1n,,1,0j;d)(u)()t(v1

0

t

tj1j −=τ⋅τ⋅τα= ∫ L

(skaláris mennyiség), és így kapjuk

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅=−

−

−

1n

3

2

1

1n20

v

vvv

)BABABAB()t(xM

L (11.1.2.1)

A teljes szabályozhatóság azt jelenti, hogy létezik-e olyan )(u τ bemenő vektor (implicit bennefoglaltatnak a jv értékekben), hogy kiindulva a kezdeti állapotból, a rendszert az állapottér origójába vezesse. A 11.1.2.1 vektoregyenleteket kifejtve arra a következtetésre jutunk (lévén az előbbi egyenletrendszer lineáris), hogy az LTI rendszer megfigyelhetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy a

)BABABAB(Q 1n2C ⋅⋅⋅= −L (11.1.2.2)

a szabályozhatósági 11.1.2.2 mátrix rangja legyen n, vagyis található legyen n egymástól lineárisan független oszlopvektor amely a CQ oszlopai. Ha a rendszernek csak egy bemenete van, akkor a rendszer szabályozhatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a CQ mátrix ne legyen szinguláris. A szabályozható rendszerekben, minden állapotváltozó befolyásolható a bemeneteleken keresztül. Példa Adott a következő rendszer állapotegyenletei

ux2xxuxx

212

11

+⋅−=+−=

&

&

A szabályozhatósági mátrix felírásához szükségesek:

;11

B ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= és a ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⋅

11

11

2101

BA vektorok.

Így

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=1111

QC

Mivel ennek a CQ mátrixnak a rangja egy, ezért a rendszer nem szabályozható. MIMO rendszerek esetében is alkalmazható a teljes megfigyelhetőség és teljes szabályozhatóság elmélete. Ha több mint egy bemenet van, akkor beszélünk teljes szabályozhatóságról ha az összes állapot befolyásolható legalább egy bemenettel. Ha több mint egy kimenete van, akkor a rendszer teljesen megfigyelhető ha minden

272

állapot megfigyelhető legalább egy kimeneten keresztül. A OQ és CQ mátrixokat ugyanúgy képezzük mint SISO rendszerek esetében. 11.1.3. Diszkrét rendszerek minőségi követelményei Diszkrét rendszerek esetében is meghatározzuk ezeket a fogalmakat. Egy diszkrét rendszer teljesen szabályozható akkor és csakis akkor, ha minden lehetséges ]k[x 1 állapotvektorra létezik egy ]k[u bemenő vektor, 1kk0 ≤≤ , úgy, hogy egy rendszer amely zéró kezdeti feltételek mellett elvezethető ]k[x 1 állapotba. Ezt úgy is értelmezhetjük, hogy egy szabályozható rendszer elvezethető az állapottér origójába. Felépíthetjük a következő egyenletsort:

]1k[uB]1[xA]0[uBA]0[xA]k[x

]2[uB]1[uBA]0[uBA]0[xA]2[uB]2[xA]3[x

]1[uB]0[uBA]0[xA]1[uB]1[xA]2[x

]0[uB]0[xA]1[x

]k[uB]k[xA]1k[x

2k1kk

23

2

−⋅++⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=+

−− L

LL

L

Legyen 0 a végső állapotvektor (origó). Innen következik, hogy

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⋅⋅⋅+⋅= −−

]1k[u

]2[u]1[u]0[u

]BBABABA[]0[xA0 2k1kk

L

L (11.1.3.1)

Ez egy egyenletrendszer amelyben az ismeretlen az u[0], u[1], ..., u[k-1] vagyis a vezérlési szekvencia amely az origóba viszi a rendszert. Ha a rendszer teljesen szabályozható akkor 11.1.3.1 rendszernek van egyértelmű megoldása. A rendszert felírhatjuk a következő formában

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅=⋅−

]1k[u

]2[u]1[u]0[u

Q]0[xA Ck

L

ahol

]BBABABA[Q 2k1k

C ⋅⋅⋅= −− L (11.1.3.2)

273

Ennek a rendszernek van megoldása ha a CQ szabályozhatósági mátrix (11.1.3.2) rangja k. Teljes szabályozhatóságról beszélünk, ha nk = . Egy diszkrét rendszer teljesen megfigyelhető akkor és csakis akkor ha ]k[y mikor

Kk0 ≤≤ felhasználható, hogy meghatározzuk ]0[x állapotot. Az ]k[u ismert szekvencia. Egy SISO rendszer esetében felírjuk

]k[xC]k[y]k[uB]k[xA]1k[x

⋅=⋅+⋅=+

]0[xAC]k[y

]0[xAC]2[xC]2[y

]0[xAC]1[xC]1[y]0[xC]0[y

k

2

⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=

LL

Innen felírjuk, hogy

]0[x

AC

ACAC

C

]k[y

]2[y]1[y]0[y

k

2 ⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

(11.1.3.3)

A meghatározás szerint a teljes megfigyelhetőség azt jelenti, hogy a 11.1.3.3 egyenletrendszernek van megoldása és ez lehetséges ha a

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅

=

k

2O

AC

ACAC

C

QL

(11.1.3.4)

diszkrét megfigyelhetőségi mátrix (11.1.3.4) rangja egyenlő n-el. Példa Állapítsuk meg a következő diszkrét rendszer szabályozhatóságát és megfigyelhetőségét. A rendszer:

]k[u]k[x2]1k[x]k[u2]k[u3]k[x2]1k[x

222

2111

+⋅−=+⋅+⋅+⋅−=+

]k[x2]k[x3]k[y]k[x]k[y

212

11

⋅−⋅==

274

A rendszer egy diszkrét MIMO rendszer. Felírjuk, mindenek előtt, a rendszer állapotteres egyenleteit:

]k[x23

01]k[y

]k[u1023

]k[x20

02)1k(x

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+

Ezek alapján felírjuk a OQ és CQ mátrixokat.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

20104623

1023

2002

1023

)BAB(QC

Ennek a mátrixnak a rangja kettő tehát a rendszer szabályozható Most felírjuk a megfigyelhetőségi mátrixot.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=

460223

01

2002

2301

2301

ACC

QO

Ennek a mátrixnak a rangja kettő tehát a rendszer megfigyelhető. A rendszer Kalman-féle felbontása Mint egy összefoglaló a 11.1.1 ábrán láthatjuk egy általános rendszer egy felbontást a fentebb említett minőségi kritériumok alapján.

11.1.1 ábra

275

A rendszer szabályozhatóságának és megfigyelhetőségének szempontjából felvetődik a kérdés, hogy felosztható-e a rendszer oly módon, hogy a szabályozás csupán csak egy részére terjedjen ki vagy olyan módon, hogy csupán néhány , de nem minden állapotváltozó legyen megfigyelhető. Az eddigiekből következik, hogy minden rendszer négy rész-rendszerre osztható. Az első rendszer szabályozható de megfigyelhetetlen. A második rendszer szabályozható és megfigyelhető. A harmadik szabályozhatatlan és megfigyelhetetlen. A negyedik pedig szabályozhatatlan de megfigyelhető. Egy rendszer felbontása a fentebb leírt rendszertípusokra, különböző algoritmusok alkalmazásával valósítható meg. Ha a rendszermátrix átlós akkor az alrendszer szabályozhatósága és megfigyelhetősége eldönthető. Példa Adott egy rendszer a következő állapotteres leírással:

)C0C0(y

)t(u

00bb

xxxx

S0000S0000S0000S

xxxx

42

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

&

&

&

&

ahol igaz, hogy 4321 SSSS ≠≠≠ . A rendszer állapotegyenleteiből az látható, hogy az első részrendszer szabályozható de nem megfigyelhető, a második részrendszer szabályozható és megfigyelhető, a harmadik részrendszer nem szabályozható és nem megfigyelhető s a negyedik megfigyelhető és nem szabályozható. Egy SISO rendszer akkor teljesen szabályozható és megfigyelhető, ha a rendszer pólusainak száma egyenlő a rendszer rendszámával. Ha a pólusok és zérósok közül egyesek semlegesítik egymást, akkor a rendszer nem szabályozható és nem teljesen megfigyelhető. A szabályozhatóság és megfigyelhetőség fogalma olyan eseteket próbál értelmezni amikor a szabályzó rendszerben létrejöhetnek olyan változások is amelyek külsőleg nem befolyásolhatóak vagy külsőleg nem észlelhetőek.

11.2. Érzékenység, Tűrőképesség (robusztusság) A. Érzékenység A rendszerek érzékenységi vizsgálatának az a feladata, hogy megbecsülje a rendszer paraméteri változásának hatását a szabályzásra. A szabályzás annál jobbnak tekinthető, minél kisebb az érzékenysége, vagyis minél kevésbé befolyásolja valamelyik paraméter vagy szerkezeti struktúra relatív változása a rendszer eredeti állapotát. A szabályzási rendszerekben a paramétereket az átviteli tényezőket és időállandókat általában állandónak vesszük. A környezeti és belső változások (melegedés, öregedés) következtében a paraméterek többé kevésbé változnak. Ezért meg kell állapítani, milyen módon reagál a szabályzási kör a paraméter vagy szerkezeti felépítés változásaira.

276

Az érzékenységet mint mennyiségileg meghatározható értéke 11.1.2

dk)k(dT

)k(TkS )k(T

k ⋅= (11.2.1)

ahol T(k) a legáltalánosabb esetben egy átviteli függvény, vagy egy rendszerállandó is lehet. Példa Legyen egy szabályzó rendszer állandósult állapoti erősítése

KK1KKT

2

1⋅+

⋅=

ahol, ;5K;18K;110K 21 =±=±= Határozzuk meg az állandósult állapoti erősítés érzékenységét a 1K és 2K paraméterekre. Kiszámítjuk:

1KK1

KK

KK1dK

)KK1

KK(d

KK1KK

KdK

)K(dT)K(T

KS2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1)K(TK

11

=⋅+

⋅⋅+

=⋅+

⋅

⋅

⋅+⋅

=⋅=

Ez azt jelenti, hogy az állandósult állapoti erősítés arányosan változik a 1K erősítés változásával.

KK1KK

)KK1(KKK

KK)KK1(K

dK

)KK1

KK(d

KK1KK

KdK

)K(dT)K(T

KS

2

22

21

221

1

22

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2)K(TK

22

⋅+⋅

−=⋅+⋅

⋅−⋅

⋅⋅+⋅

=

=⋅+

⋅

⋅

⋅+⋅

=⋅=

A K = 5 értékre a )K(TK

22

S felveszi a 2

2K51

K5⋅+⋅−

− értéket.

Ekkor 2K adott értékeire }9,8,7{ ez az együttható a következő értékeket veszi fel:

978.0951

95S

975.0851

85S

972.0751

75S

)K(T9K

)K(T8K

)K(T7K

22

22

22

=⋅+

⋅=

=⋅+

⋅=

=⋅+

⋅=

=

=

=

277

Ez azt jelenti, hogy az állandósult állapoti erősítés nem változik arányosan a 2K erősítés változásával. B. Tűrőképesség (robusztus) Egy szabályzási rendszer alapfeladata, hogy stabilan és időben végezze el a tervezett szabályzási eljárásokat. A tervezett és a valós állapotok között azonban rendszerint eltérések vannak mégpedig a

• A tervezésben alkalmazott matematikai modell pontatlanságai miatt

• A paraméterek a rendszer elemeiben észlelhető pontatlanságok és időbeli változások miatt

• A mérési pontatlanságok miatt

Az említett eltérések mértéke a probléma természetétől függ és csak hozzávetőlegesen becsülhető, de nem mérhető. Ezért tervezéskor nem lehet olyan eljárásokat tervezni, amelyek a minőségileg és mennyiségileg határozatlan változások hatásait az irányítási rendszerben semlegesítik. Egy megoldás a szabályzási rendszerben megjelenő változások iránti robusztusság növelése. A tűrőképesség növelésének leghatásosabb eszköze a negatív visszacsatolás. A robusztus tulajdonság részletes tanulmányozása nem tartozik ennek a könyvnek a témakörébe.

278

12. Összefoglaló rendszerelméleti feladatokhoz Ezt a fejezetet nem osztom alfejezetekre, mert ide eljutva, a fejezetben az előző fejezetekre épülő összegező példákat feladatokat találunk. Úgy is tekinthetjük mint egy a tananyagot átismétlő fejezet. A. Egy LTI diszkrét rendszer súlyfüggvényét felírhatjuk többféleképpen is, ezek közül a legjelentősebbeket ismertetem.

1. Súlyfüggvény lineáris, konstans együtthatós differencia egyenletből Vegyünk egy differencia egyenletet.

0]2[y]1[y]n[u]2n[y2]1n[y3]n[y

=−=−=−⋅+−⋅+

=]n[u 1 ]n[

Az egyenlet karakterisztikus egyenlete:

02r3r 2 =+⋅+

Ennek két gyöke a rendszer pólusai. Ezek .1r;2r 21 −=−= Az egyenlet teljes megoldása tartalmazza a homogén egyenlet általános megoldását, plusz a nem homogén egyenlet egy partikuláris megoldását. A homogén egyenlet megoldása:

n2

n1h )1(c)2(c]n[y −⋅+−⋅=

A partikuláris megoldás:

3p c]n[y = és erre a differenciaegyenletből következik, hogy

61

3333 c1c2c3c =⇒=⋅+⋅+ A teljes megoldás

61n

2n

1 )1(c)2(c]n[y +−⋅+−⋅= a kezdeti feltételeket felhasználva, kapjuk:

61

21

61

21

c4/c0]2[y

c2/c0]1[y

++==−

+−−==−21

234

1 c;c −==⇒

Így a teljes megoldás

61n

21n

34 )1()2(]n[y +−⋅−−⋅=

2. A diszkrét rendszerek súlyfüggvénye mint a Dirac jelre adott válasz Ugyanabból a diszkrét egyenletből indulunk ki. Legyen

279

]n[]2n[y2]1n[y3]n[y δ=−⋅+−⋅+

Mivel a partikuláris megoldás zéró, így a rendszer teljes megoldását felírjuk a diszkrét karakterisztikus egyenlet megoldásai alapján, hogy:

n2

n1 )1(c)2(c]n[h −⋅+−⋅=

A differenciaegyenletből kapjuk a kezdeti feltételeket ismerve a diszkrét Dirac jel tulajdonságait. Így 1]0[h = és 302130]1[h −=⋅−⋅−= . Ekkor

3c2c]1[h1cc]0[h

21

21

−=⋅−−==+=

2c1c

2

1

=−=⇒

A teljes megoldás: nn )1(2)2(1]n[h −⋅+−⋅−=

Ha ez a rendszer súlyfüggvénye, akkor az egységugrásra adott választ felírhatjuk mint ennek a súlyfüggvény és az egységugrás diszkrét konvolutív szorzatát.

∑∞

−∞=⋅=

m]m[h]n[y 1 ))1(2)2()1((]mn[

0m

mm∑∞

=−⋅+−⋅−=−

0n);)2(1

)2(1(2))1(1

)1(1()1(]n[ynn

≥−−−−

⋅+−−−−

⋅−= (12.1)

3. Diszkrét átviteli függvénnyel való leírás

0]2[y]1[y]n[u]2n[y2]1n[y3]n[y

=−=−=−⋅+−⋅+

Ennek a differencia egyenletnek megfelelő Z-transzformációt alkalmazva kapjuk:

)z(U)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 21 =⋅⋅+⋅⋅+ −− Innen következik, hogy:

)2z()1z(z

2z3zz)z(H

2

2

2

+⋅+=

+⋅+=

Ha most az egységugrásra adott választ akarjuk kiszámítani, akkor a z-síkban elemi törtekre bontjuk az átviteli függvényt, ismerve az egységugrás Z-transzformációját és ekkor kapjuk, hogy:

2zC

1zB

1zA

z)z(Y

)1z()2z()1z(zz

1zz)z(H)z(Y

2

++

++

−=⇒

+⋅+⋅−⋅

=−

⋅=

Innen kiszámítjuk az A,B,C együtthatókat,

280

34

21

61 C;B;A =−==

És így az elemi törtek formájában kapjuk meg a kimenő jel-transzformáltját.

2zz

1zz

1zz)z(Y 6

421

61

+⋅+

+⋅−

−⋅=

majd inverz Z-transzformációt alkalmazva, következik, hogy

61n

21n

34 )1()2(]n[y +−⋅−−⋅=

3. Súlyfüggvény állapotteres leírásból Adott

0]2[y]1[y]n[u]2n[y2]1n[y3]n[y

=−=−=−⋅+−⋅+

Jelöljük:

]1n[y]n[x]2n[y]n[x

2

1

−=−=

Ekkor fázisteres jelölést alkalmazunk

]n[x2]n[x3]n[u]2n[y2]1n[y3]n[u]n[y]1n[x]n[x]1n[y]1n[x

122

21

⋅−⋅−=−⋅−−⋅−==+=−=+

Innen felírjuk az állapotegyenleteket:

]n[u)1(]n[x)32(]n[y

]n[u10

x32

10]1n[x

⋅+⋅−−=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+

Ennek a rendszernek a sajátértékei =λ1 -1 és =λ 2 -2, tehát a rendszer instabil. A rendszer válaszát az egységugrás jelre a következő módon határozzuk meg: Az állapotegyenletek Z-transzformáltjait használva (11.5.1.a), felírjuk, hogy

1zz

10

3z21z

)z(UB)AIz()0(x)AIz(z)z(X1

11

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

=⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅=−

−−

Itt a kezdeti állapotvektor 0)0(x = . A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk, hogy:

281

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅+⋅−

+⋅+⋅−=+⋅+⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

)2z3z()1z(z

)2z3z()1z(z

)2z3z()1z(z

10

z213z

)z(X

2

2

2

2

A kimenő jelet kiszámíthatjuk mint:

)2z3z()1z(z

1zz

)2z3z()1z(z

)2z3z()1z(z

)32()z(Y 2

2

2

2

2

+⋅+⋅−=

−+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅+⋅−

+⋅+⋅−⋅−−=

Innen pedig inverz Z-transzformációt alkalmazva, következik a diszkrét időtartományban a megoldás, vagyis

61n

21n

34 )1()2(]n[y +−⋅−−⋅= ha 0n ≥

B. A súlyfüggvényből kiinduló rendszermodellek Adott a következő súlyfüggvény:

⋅−⋅+−⋅−= ))1(2)2()1((]n[h nn 1 ]n[

Azt már láttuk (12.1), hogy a rendszer egységugrásra adott válasza

0n);)2(1

)2(1(2))1(1

)1(1()1(]n[ynn

≥−−−−

⋅+−−−−

⋅−=

A diszkrét átviteli függvényt felírjuk, ha Z-transzformációt alkalmazunk és akkor

2z3zz

2zz2

1zz)z(H 2

2

+⋅+=

+⋅

++−

=

Ha a bemenet az egységugrás akkor a rendszer kimenetét felírjuk, mint

1zz

2z3zz)z(Y 2

2

−⋅

+⋅+=

és a megoldás

61n

21n

34 )1()2(]n[y +−⋅−−⋅=

A rendszernek megfelelő differenciaegyenletet megkapjuk, kiindulva a rendszer diszkrét átviteli függvényéből mint:

)z(Uz)2z3z()z(Y)z(U)z(Y

2z3zz)z(H 22

2

2⋅=+⋅+⋅⇒=

+⋅+=

282

Innen

]2n[u]n[y2]1n[y3]2n[y +=⋅++⋅++ és

]n[u]2n[y2]1n[y3]n[y =−⋅+−⋅+ A súlyfüggvényt felírhatjuk az átviteli függvényből a ha résztörtekre bontjuk és inverz Z-transzformációt alkalmazunk:

⇒+⋅

++⋅−

=+⋅+

=2zz2

1zz1

2z3zz)z(H 2

2⋅−⋅+−⋅−= ))1(2)2()1((]n[h nn

C. Rekurzív rendszerek Adott a következő negyed rendű differenciaegyenlet:

]n[ub]4n[ya]3n[ya]2n[ya]1n[ya]n[y 04321 ⋅=−⋅−−⋅−−⋅−−⋅− Mivel negyedrendű a rendszer ezért négy állapotváltozót határozunk meg. Ezek:

]1n[y]n[x]2n[y]n[x]3n[y]n[x]4n[y]n[x

4

3

2

1

−=−=−=−=

Ezeknek a jelöléseknek alapján következnek:

]n[x]1n[y]12n[y]1n[x]n[x]2n[y]13n[y]1n[x]n[x]3n[y]14n[y]1n[x

43

32

21

=−=+−=+=−=+−=+=−=+−=+

és a kimenő jel felírható a differenciálegyenlet alapján, hogy:

]n[ubxaxaxaxa]n[ub]4n[ya]3n[ya]2n[ya]1n[ya]n[y

014233241

04321

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=

Ezek alapján most már felírható, hogy

]n[ubxaxaxaxa]1n[x]n[x]1n[x]n[x]1n[x]n[x]1n[x

0142332414

43

32

21

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=+=+=+=+

Így az állapotegyenleteket felírhatjuk mint:

283

]n[ub

]n[x]n[x]n[x]n[x

)aaaa(]n[y

]n[u

b000

]n[x]n[x]n[x]n[x

aaaa100001000010

]1n[x]1n[x]1n[x]1n[x

0

4

3

2

1

1234

04

3

2

1

12344

3

2

1

⋅+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

Innen a rendszermátrixok a következők lesznek:

)b(D);aaaa(C;

b000

B;

aaaa100001000010

A 01234

01234

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

a következő állapotegyenleteknek megfelelően.

]n[uD]n[xC]n[y]n[uB]n[xA]1n[x

⋅+⋅=⋅+⋅=+

D. Nem rekurzív rendszerek Adott a következő differencia egyenlet:

]3n[ua]2n[ua]1n[ua]n[ua]n[y 3210 −⋅+−⋅+−⋅+⋅= Jelöljük:

]1n[u]n[x]2n[u]n[x]3n[u]n[x

3

2

1

−=−=−=

Ekkor

]n[u]1n[x]n[x]1n[y]12n[u]1n[x]n[x]2n[u]13n[u]1n[x

3

32

21

=+=−=+−=+=−=+−=+

és a kimenetet felírjuk mint

]n[xa]n[xa]n[xa]n[ua]n[y 1322310 ⋅+⋅+⋅+⋅= Ekkor az állapotegyenleteket felírhatjuk mint:

284

]n[ua]n[x]n[x]n[x

)aaa(]n[y

]n[u100

]n[x]n[x]n[x

000100010

]1n[x]1n[x]1n[x

0

3

2

1

123

3

2

1

3

2

1

⋅+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

Innen a következő mátrixokat kapjuk:

)a(D);aaa(C;100

B;000100010

A 0123 ==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

E. Szimulációs diagramból állapotteres leírás Adott a 12.1. ábrán látható szimulációs diagram:

12.1. ábra

A rendszer másodrendű mert két késleltető elemet tartalmaz. Ennek megfelelően két állapotváltozót határozunk meg és ezek a késleltetők kimenete lesz amint az a 12.1. ábrán is látható. Az első késleltető elem kimenete az első állapotfüggvény (állapotváltozó), a második kimenete meg a második állapotváltozó lesz. Felírhatjuk, hogy:

]n[xa)ba1(]n[u]1n[x])n[x]n[ub(a]n[u]n[ya]n[u]1n[x

20001

20001

⋅+⋅+⋅=+⇒+⋅⋅+=⋅+=+

A második késleltető elem adja a második állapotváltozót.

]n[xa]n[uba]n[x]1n[x])n[x]n[ub(a]n[x]n[ya]n[x]1n[x

210112

2011112

⋅+⋅⋅+=+⇒+⋅⋅+=⋅+=+

A 12.1 ábra alapján kimenetet pedig felírjuk mint:

285

]n[x]n[ub]n[y 20 +⋅=

Ezek alapján az állapotegyenleteket a következőképpen írhatjuk fel:

]n[ub]n[x]n[x

)10(]n[y

]n[ub]n[x]n[x

a1a0

]1n[x]1n[x

02

1

02

1

1

0

2

1

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Kövessük ezt az eljárást a 12.2. ábrán látható szimulációs diagram esetében.

12.2. ábra

Mivel három késleltető elem található, ezért három diszkrét állapotváltozónk van amelyeket 12.2. ábrán láthatunk. Felírhatjuk, hogy:

]n[xa]n[x]1n[x]n[xa]n[x]1n[x

]n[xa]n[u]1n[x

3223

2112

101

⋅+=+⋅+=+⋅+=+

A kimenetet felírhatjuk mint ]n[x]n[y 3=

Így a következő állapotegyenleteket kapjuk.

]n[u)0(]n[x]n[x]n[x

)100(]n[y

]n[u001

]n[x]n[x]n[x

a100a100a

]1n[x]1n[x]1n[x

3

2

1

3

2

1

2

1

0

3

2

1

⋅+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

F. Az átviteli függvényből állapotegyenletek Az átviteli függvényből több módszerrel lehet az állapotegyenleteket felírni. Példákon keresztül mutatom be ezeket a módszereket.

286

Példa Adott a következő diszkrét átviteli függvény:

6z5z4z)z(H 2

2

+⋅+

−=

A függvénynek megfelelő differenciaegyenletet

]2n[4]n[u]2n[y6]1n[y5]n[yvagy]n[u4]2n[u]n[y6]1n[y5]2n[y

−⋅−=−⋅+−⋅+⋅−+=⋅++⋅++

A rendszer szimulációs diagramja a 12.3. ábrán látható:

12.3. ábra

Az első késleltető elem kimenete az ]n[x1 állapotváltozó. Ezt felírjuk mint

]n[u10]n[x6])n[x]n[u(6]n[u4]n[y6]n[u4]1n[x 221 ⋅−⋅−=+⋅−⋅−=⋅−⋅−=+ ]n[u5]n[x5]n[x])n[x]n[u(5]n[x]n[y5]n[x]1n[x 212112 ⋅−⋅−=+⋅−=⋅−=+

A kimenet pedig

]n[x]n[u]n[y 2+= Az állapotegyenletek pedig

]n[u)1(]n[x]n[x

)10(]n[y

]n[u5

10]n[x]n[x

5160

]1n[x]1n[x

2

1

2

1

2

1

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Példa Legyen az átviteli függvény:

3z1z

2z1z)z(H

++

⋅+−

=

287

Az átviteli tagok szorzata azt jelenti, hogy az ezeket reprezentáló szimuláló diagram sorba van kötve és ezt a 12.4. ábra mutatja.

12.4. ábra

Ebben a másodrendű rendszerben, a két késleltető elem kimenetét jelöljük mint állapotváltozó és ekkor az ezeknek megfelelő egyenleteket felírhatjuk mint:

]n[y3]n[x]n[u]1n[x]n[x2]n[u2]n[u]1n[x

12

11

⋅−+=+⋅−⋅−−=+

Innen következik, hogy

])n[x]n[x]n[u(3]n[x]n[u]1n[x 2112 ++⋅−+=+

és a kimenet pedig ]n[x]n[x]n[u]n[y 21 ++=

Ezekből felírhatjuk a következő állapotegyenleteket:

]n[x]n[x]n[u]n[y]n[u3]n[x3]n[x2]1n[x

]n[u3]n[x2]1n[x

21

211

11

++=⋅−⋅−⋅−=+

⋅−⋅−=+

vagy mátrixos formában:

]n[x)1(]n[x]n[x

)11(]n[y

]n[u23

]n[x]n[x

3202

]1n[x]1n[x

2

1

2

1

2

1

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Példa Adott a következő formában felírt átviteli függvény:

3z8

2z3)z(H

+−

+=

288

Az összeadás az fenti átviteli függvényben azt jelenti, hogy az ezeket a tagokat reprezentáló szimulációs diagramok párhuzamosan vannak kötve és ezt a 12.5. ábrán láthatjuk.

12.5. ábra

Az 12.5. ábrán bejelölt állapotváltozókat felírjuk mint:

]n[x]n[x]n[y]n[x3]n[u8]1n[x

]n[x2]n[u3]1n[x

21

22

11

+=⋅−⋅−=+

⋅−⋅=+

Az ebből felírt állapotegyenletek pedig a következők:

]n[u)0(]n[x]n[x

)11(y

]n[u8

3]n[x]n[x

3002

]1n[x]1n[x

2

1

2

1

2

1

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Példa Adott a következő diszkrét átviteli függvény:

)1()()65()()()(

651)(

22

2

2

−⋅=+⋅+⋅⇒

⇒=+⋅+

−=

zzUzzzYzUzY

zzzzH

Innen következik az alábbi differencia egyenlet:

]2n[u]n[u]2n[y]1n[y5]n[y6 ++−=+++⋅+⋅ Az ennek megfelelő szimulációs diagramot a 12.6. ábrán láthatjuk. Az állapotváltozókat felírjuk mint:

289

]n[x6]n[x5]n[u]n[y]n[x]1n[x

]n[x6]n[x5]n[u]1n[x

12

21

122

⋅−⋅−==+

⋅−⋅−=+

12.6. ábra Majd az állapotegyenleteket kapjuk, amelyek:

]n[u)1(]n[x]n[x

)56(y

]n[u10

]n[x]n[x

5610

]1n[x]1n[x

2

1

2

1

2

1

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−−=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

.Az átviteli függvényből állapotegyenletek módszerek esetében figyeljük meg a szimulációs diagram és az A rendszermátrix struktúrája közötti összefüggést. G. Összetett feladatok Adottak a következő diszkrét állapotegyenletek

]n[x)10(]n[y

]n[u10

]n[xk101

]1n[x

⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

1. A k paraméter milyen értékére lesz stabil a rendszer? 2. Egy k értékre amelyre stabil a rendszer, írjuk fel a H(z) átviteli függvényt 3. A rekurzív eljárást használva, határozzuk meg az ]4[x],3[x],2[x],1[x],0[x

értékeit ha a bemenő jel az egységugrás jel és a kezdeti állapot ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

]0[x .

4. A Z-transzformációt használva keressük az ]n[x megoldást, ha 0n ≥ .

290

5. Írjuk fel a fundamentális (állapotátviteli mátrixot). 1. Első lépésként kiszámítjuk a rendszer sajátértékeit.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−λ−

−λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

λ=−⋅λ

k101

k101

00

)AI(

Tehát )k()1()AIdet( −λ⋅−λ=−⋅λ

A rendszer stabil, ha minden sajátvektora az egységnyi körön belül van. Tehát a stabilitás feltétele, hogy k az egységsugarú körön belül legyen.

2. Vegyük most 21k −= és ekkor );0(D);10(C;

10

B;1

01A

21 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

A diszkrét átviteli függvény

DB)AIz(C)z(H 1 +⋅−⋅⋅= − és ez a példánk esetében felírható mint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

⋅−⋅+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⋅=

−

10

1z10z

)1z()z(1)10(

10

z101z

)10()z(H 21

21

1

21

Vagyis

)1z()z(1z

10

))1z()z(

1z)1z()z(

1()z(H21

21

21 −⋅+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅+−

−⋅+=

3. A rekurzív diszkrét állapotegyenletek

]n[uD]n[xC]n[y]n[uB]n[xA]1n[x

⋅+⋅=⋅+⋅=+

és ha a kezdeti állapotok 110

)10(]0[y;10

]0[x =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

akkor írhatjuk, hogy

21

10

)10(]1[y

0100

110

10

101

]1[x21

21

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

430

)10(]1[y

0100

1100

101

]2[x

43

43

41

21

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

291

és így tovább kiszámítjuk a következő diszkrét lépések állapotainak és kimeneteinek értékeit. 4. Kiszámítjuk most az állapotegyenletek z tartományban kapott megoldását. Az előzőekben (11.5.1.a) láttuk, hogy:

)z(UB)AIz(]0[x)AIz(z)z(X 11 ⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= −− és

)z(UDB)AIz(C()z(UD)z(XC)z(Y 1 ⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅= −

és az egységugrás bemenő jel Z-transzformáltja 1z

z−

és )0()0(D = értéket

figyelembe véve

1zz

1z0

)1z()z(1

1z0

)1z()z(z

1zz

10

1z10z

)1z()z(1

10

1z10z

)1z()z(z)z(X

21

21

21

21

21

21

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅+

=

=−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅

−⋅++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅

−⋅+=

Ahonnan

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

−⋅+−⋅+−⋅+

−⋅

)1z()z(z

)1z()z(z

)1z()z()1z(z

21

2

21

21

000

Ugyanakkor a kimenő jel transzformáltjának kapjuk, hogy

213

132

21

2

zz

1zz

)1z()z(z)z(X)10()z(XC)z(Y

+⋅+

−⋅=

−⋅+=⋅=⋅= .

Ha ennek kiszámítjuk az inverz Z-transzformációját, akkor

⋅−⋅+⋅== ))()1((]n[x]n[y n21

31n

32

2 1 ]n[

5. Láttuk (11.5.1.5), hogy a diszkrét rendszer fundamentális mátrixa felírható mint

})AIz(z{Z]n[ 11 −− −⋅⋅=Φ .

A diszkrét lineáris rendszer esetében pedig nA]n[ =Φ . A feladatnak megfelelően felírjuk, hogy

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−⋅+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

⋅−⋅+

=−⋅⋅ −

)z(z

)1z()z(z

0)1z(

z

1z10z

)1z()z(z)AIz(z

21

21

21

21

1

292

⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⋅+

−⋅

−=−⋅⋅ −

)z(z

zz

1zz

0)1z(

z

)AIz(z

21

213

132

1

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⋅+⋅= n

21n

21

31n

32

nn

)())()1((0)1(

A 1 ]n[

Mivel ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

A0 ezért láthatjuk, hogy az állapotátviteli (fundamentális) mátrix

helyes. Példa Adott a 12.7. ábrán látható szimulációs diagrammal leírt rendszer

12.7. ábra

1. Írjuk fel a megfelelő állapotegyenleteket. 2. Írjuk fel a fundamentális mátrixot

3. Ha a bemenő jel az 0]n[u = és a kezdeti állapotvektor ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

]0[x , akkor

írjuk fel az állapotvektort és a kimenetet az n-ik pillanatban. 4. Stabil ez a rendszer ? 5. Számítsuk ki a rendszer diszkrét átviteli függvényét.

1. A szimulációs diagram alapján felírhatjuk a következő állapotegyenleteket

]n[x]n[x]n[y]n[x2]n[u]1n[x

]n[x]n[u]1n[x

21

12

11

+=⇒⋅−=+

−=+

293

]n[u)0(]n[x)11(]n[y

]n[u11

]n[x20

01]1n[x

⋅+⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+

2. A fundamentális mátrixot a diszkrét rendszermátrix alapján (11.5.1.5) számítjuk ki, vagyis

})AIz(z{Z]n[ 11 −− −⋅⋅=Φ .

Így

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅

+⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=−⋅

−−

1z002z

)2z()1z(1

2z001z

)AIz(1

1

Ahonnan

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅

+⋅+=−⋅⋅ −

2zz0

01z

z

1z002z

)2z()1z(z)AIz(z 1

Ha kiszámítjuk ennek az inverz Z-transzformáltját, akkor kapjuk:

0n;)2(0

0)1(A]n[ n

nn ≥⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−==Φ

3. Ha 0]n[u = akkor az állapotvektort felírhatjuk mint ]n[xA]1n[x ⋅=+ . Ez alapján

⇒= 0n

101]0[x]0[x]0[y01

]0[x

21 =+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒= 1n

101]1[x]1[x]1[y01

01

2001

]1[x

21 −=+−=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⇒= 2n

101]2[x]2[x]2[y01

01

2001

]2[x

21 =+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

294

⇒= 3n

101]3[x]3[x]3[y01

01

2001

]3[x

21 −=+−=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

Ezek alapján, általánosítva kapjuk, hogy

0nha;)1(]n[y

0nha;0)1(]n[x

n

n

≥−=

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

4. A rendszer nem stabil, mert az egyik pólusa (-2) az egységsugarú körön kívül helyezkedik el.

5. Az átviteli függvényt a )DB)AIz(C()z(U)z(Y)z(H 1 +⋅−⋅⋅== − képlet alapján

számítjuk ki.

2z3z3z2

)2z()1z(1z2z

2z1

1z1)z(H

11

)2z

11z

1()0(11

2z10

01z

1

)11()z(H

2 +⋅+

+⋅=

+⋅++++

=+

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

++=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+⋅=

Példa

Az adott, a kezdeti állapotok ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

]0[x és

]n[u)0(]n[x)10(]n[y

]n[u10

]n[x3002

]1n[x

⋅+⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

állapotegyenletekre végezzük el a ]n[x2001

]n[q ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= állapotváltozó cserét.

Láttuk, hogy

]n[uBM]n[qMAM]1n[q 1 ⋅⋅+⋅⋅⋅=+ − .

]n[uD]n[qMC]n[y 1 ⋅+⋅⋅= −

akkor a transzformáció megoldását a z tartományban a következő összefüggések adják

295

)z(UBM)MAMIz(]0[q)MAMIz(z)z(Q 1111 ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅= −−−−

)z(UD)z(QMC)z(Y 1 ⋅+⋅⋅= −

Az adott feladatban az ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2001

M . Ekkor kiszámítjuk a következő kifejezéseket:

)0(MC;20

BM;3002

MAM;0

01M 2

111

21

1 =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−−

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a transzformált állapotegyenletekbe, akkor megkapjuk az állapotegyenleteket a q állapottérben. Példa Adott a következő rendszer

]n[u]n[u]2n[y]1n[y]n[y 21 +=−+−+ 1. Stabil ez a rendszer? 2. Számítsuk ki ]n[y kimenetet ha 0nha;)1.0(]n[u;)1.0(]n[u n

2n

1 ≥== ha a kezdeti feltételek zéró értéket vesznek fel.

3. Számítsuk ki a rendszer diszkrét átviteli függvényét. 1. Felírjuk, hogy

]1n[y]n[x]2n[y]n[x

2

1

−=−=

Innen

]n[u]n[u]n[x]n[x]n[u]n[u]2n[y]1n[y]n[y]1n[x]n[x]1n[y]1n[x

2112212

21

++−−=++−−−−==+=−=+

Az állapotegyenletek:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+

]n[u]n[u

)11(]n[x)11(]n[y

]n[u]n[u

1100

]n[x11

10]1n[x

2

1

2

1

Innen következik, hogy

1zz)1z1

1zdet()AIzdet( 2 ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−⋅ .

Ebből kiszámítjuk a rendszer sajátértékeit, vagyis

23jz01zz)AIzdet( 2

112

2 ⋅±−=⇒=++=−⋅

296

s mivel ezeknek a modulusza az egységnyi sugarú körön helyezkedik el, ezért a rendszer a stabilitás határán van vagy mondhatjuk, hogy instabil. 2. A zéró kezdeti feltételek alapján felírjuk, hogy

)z(UB)AIz()z(X 1 ⋅⋅−⋅= −

)z(UD)z(XC)z(Y ⋅+⋅=

Behelyettesítve a rendszernek megfelelő mátrixokat, kapjuk, hogy

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅+++

−⋅++

+⋅+++

−⋅++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

++++=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

−++++

+

=

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z

)1.0(zz

)1.0(zz

1zzz

1zzz

1zz1

1zz1

)1.0(zz

)1.0(zz

1100

1zzz

1zz1

1zz1

1zz1z

)z(X

22

2

22

22

22

22

22

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−⋅+⋅−−=

)1.0(zz

)1.0(zz

)11()z(X)11()z(Y

))1.0(z(z

))1.0(z(z

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z

))1.0(z()1zz(z)z(Y

22

2

22

−+

++

+⋅++

−+

−⋅++

−+

++⋅++

−+

−⋅++

−=

Ha kiszámítjuk ennek a kifejezésnek az inverz transzformációját, akkor megkapjuk a keresett ]n[y időtartománybeli rendszer válaszát a két bemenő jelre. 3. A diszkrét átviteli függvényt megkapjuk ha kiszámítjuk

)11(1100

1zzz

1zz1

1zz1

1zz1z

)11(DB)AIz(C)z(H

22

221 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

−++++

+

⋅−−=+⋅−⋅⋅= −

kifejezést, vagyis

)11()1zz

z1zz

11zz

z1zz

1()z(H

)11(1100

)1zz

z1zz

11zz

11zz)1z(()z(H

2222

2222

+++

−+

++

−

++

−+

++

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

++

−+

++

−

+++

++

+−=

297

))z(H)z(H()z(H 1211=

)z(U)z(Y

1zzz1

1zzz

1zz1)z(H

)z(U)z(Y

1zzz1

1zzz

1zz1)z(H

22

2

2212

12

2

2211

=++

=+++

−+

++

−=

=++

=+++

−+

++

−=

H. Fundamentális mátrix kiszámítása diszkrét frekvenciatartományban Az állapotátviteli (fundamentális) mátrix meghatározása bizonyos esetekben lehetséges a Z-transzformáció alkalmazásával. Legyen

]k[xA]1k[x ⋅=+

a diszkrét rendszer homogén állapotegyenlete. HA most a Z-transzformációt alkalmazzuk, akkor kapjuk:

)z(XA)0(xz)z(Xz ⋅=⋅−⋅ Innen következik, hogy

)0(xz)AIz()z(X 1 ⋅⋅−⋅= − . Figyelembe véve, hogy

)0(x)z()z(X ⋅Φ= következik, hogy

z)AIz()z( 1 ⋅−⋅=Φ −

Ha most ennek kiszámítjuk az inverz Z-transzformációját, akkor megkapjuk a diszkrét időtartományban a fundamentális mátrixot, vagyis:

}z)AIz{(Z]k[ 11 ⋅−⋅=Φ −− Példa

Legyen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=56

10A egy diszkrét rendszer mátrixa. Számítsuk ki a fundamentális

mátrixát frekvenciatartományban transzformálva. Felírjuk, hogy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−⋅5z6

1z)AIz(

Innen következik, hogy:

298

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅++⋅+⋅−

+⋅++=⋅

+⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=⋅−⋅ −

)3z()2z(z

)3z()2z(z6

)3z()2z(z

3zz

z)3z()2z(

z612z

z)AIz( 21

Ha most inverz Z-transzformációt számítunk, akkor kapjuk a fundamentális mátrixot, vagyis:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

⋅−=Φk1k

kk1)1(]k[ k

Példa Ez a példa azt illusztrálja, hogy a Z-transzformáció segítségével könnyebben

megoldhatunk bizonyos típusú feladatokat. Legyen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

A és számítsuk ki kA

értékét. Az előbbiek alapján tudjuk, hogy kA nem más mint az z)AIz( 1 ⋅−⋅ − inverz Z-transzformációja. Ez alapján kapjuk, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −−

−

−−−

0

101

1

211

z0zz

10z1z

z0zzz

z01z

Ha most kiszámítjuk ennek a mátrixnak az inverz Z-transzformáltját akkor azt kapjuk, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ−δδ

=]k[0

]1k[]k[Ak ahol ]k[δ a diszkrét Dirac-jel.

I. A diszkrét fundamentális mátrix kiszámítása Cayley-Hamilton módszerrel A diszkrét rendszerek esetében is alkalmazhatjuk a Cayley-Hamilton módszert hogy kiszámítsuk az kA fundamentális mátrixot konstans rendszermátrix esetén. Ha a folytonos LTI rendszerek esetében az állapotegyenletek megoldása exponenciális függvényformák ( te ⋅λ ) kombinációjából adódik, addig a diszkrét LTI rendszerek esetében ez hatványfüggvények ( nλ ) kombinációjából adódik. A módszert egy példán keresztül ismerhetjük meg. Példa Adott a következő homogén differencia egyenlet:

299

0]k[y6]1k[y5]2k[y =⋅++⋅++

Ha a következő, fázisteres jelöléseket alkalmazzuk:

]1k[y]k[x]k[y]k[x

2

1

+==

akkor a rendszermátrix felírható mint:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=56

10A

A karakterisztikus egyenlet ( 0)AIdet( =−⋅λ ) gyökei, a rendszer sajátértékei:

3;2 21 −=λ−=λ Most a Cayley-Hamilton módszer alapján felírhatjuk, hogy

10210kk

1

10110kk

1

3)3(

2)2(

α⋅−α=λ⋅α+α=−=λ

α⋅−α=λ⋅α+α=−=λ

Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy:

kk0

kk0

)3()2(

)3(2)2(3

−−−=α

−⋅−−⋅=α

Tudva, hogy

AIA)A(R 120k ⋅α+⋅α==

következik, hogy:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅+−⋅−−−−⋅−−−−−⋅−−⋅=Φ kkkk

kkkk

)3(3)2(2)3()2(6)3()2()3(2)2(3]k[

Példa Számítsuk ki annak a diszkrét rendszernek a fundamentális mátrixát, amelynek adott a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=21

10A rendszermátrixa.

A 0)AIdet( =−⋅λ karakterisztikus egyenletből következik a két sajátérték, vagyis:

121 −=λ=λ

300

Mivel két egybeeső sajátértéke van , ezért használjuk az ismert (ha most általános esetben az i.-ik sajátérték multiplicitása )pi

∑−

=λ=λλ=λ λ⋅α

λ=λ

λ

1n

0i

iis

s

s

s

ii|][

dd|)(R

dd

;1p,,2,1,0s i −= L

összefüggést, amely ebben az esetben i

|][dd

10 λ=λλ⋅α+αλ

formára redukálódik. Így

a követező egyenletrendszerhez jutunk:

1k

10110k

)1(k

)1(

α=−⋅−

α−α=λ⋅α+α=−.

Ennek megoldása

)k1()1(

)1(kk

0

k1

−⋅−=α

−⋅−=α

Így a diszkrét rendszernek megfelelő fundamentális mátrix:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α⋅−αα−

αα=⋅α+⋅α=Φ

k1kkk1

)1(2

AI]k[ k

001

1010

Az itt bemutatott feladatoknak az alapos megértése nagy előrelépés a bonyolultabb rendszerelméleti problémák tárgyalásában.

301

Befejező gondolatok A könyv célja a rendszerekkel és jelekkel kapcsolatos alapfogalmak és alapeljárások megismerése és elsajátítása. Ezek alapos ismeretében foghatunk neki az ezekre épülő, rendszerekkel kapcsolatos tudomány-területek tanulmányozásához, gyakorlati alkalmazásokhoz. A rendszer-identifikáció, szabályzáselméletek, nemlineáris rendszerek, optimális szabályzás, adaptív szabályzás, robusztus szabályzás és megannyi más fejezete a rendszer tanulmányozásának mind felhasználja e könyvben ismertetett alapfogalmakat. A könyv a hangsúlyt nem a teljes körű matematikai, absztrakt tárgyalásmódra helyezi, hanem inkább a fogalmaknak példák segítségével való megismerésére, elsajátítására. Minden építő szellemű észrevételt örömmel fogadok. 2006. év nyara Márton László Ferenc

302

IRODALOMJEGYZÉK • [Bertalanffy,1968] Ludwig von Bertalanffy, General System theory:

Foundations, Development, Applications, 1968, George Braziller New York.

• [Bertalanffy,1975] Ludwig von Bertalanffy, Perspectives on General Systems Theory, Scientific-Philosophical Studies, 1975, E. Taschdjian (eds.), George Braziller New York.

• [Ackoff,1968] Russell L. Ackoff, M. Sasieni Fundamentals of Operations

Research, 1968.

• [Ackoff,1972] Russell L. Ackoff, Frederick Edmund Emery On Purposeful Systems, 1972,

• [Szadovszkij, 1076] Szadovszkij V.N Az általános rendszerelmélet alapjai.

1976 Statisztikai Kiadó, Budapest.

• [Mesarovic, 1971] Mihajlo D. Mesarovic: Controllability of General Systems. 1971 Mathematical Systems Theory 2(5)

• [Mesarovic, 1968] Mihajlo D. Mesarovic: On Some Metamathematical

Results As Properties of General Systems. 1968 Mathematical Systems Theory 2(4)

• [Churchman , 1971] C. West Churchman The Design of Inquiring Systems,

Basic Concepts of Systems and Organizations, 1971 Basic Books, New York.

• [Churchman , 1960] C. West Churchman Prediction and Optimal Decision, 1960, Prentice-Hall Englewood Cliffs, New Jersy

• [Csáki , 1973] Csáki F. Fejezetek a szabályzástehnikából, Állapot egyenletek,

Műszaki Kiadó, 1973

• [Csáki , 1976] Csáki F. Lineáris szabályzási rendszerek analízise, Műszaki Kiadó, 1976

• [Pollock , 1999] DSG Pollock , A Handbook of Time-Series Analysis, Signal

Processing and Dynamics Copyright 1999 by Academic Press

• [DeRusso , 2003] Paul M. DeRusso & all, State variables for Engineers, John Wiley & Sons Inc second edition 2003

• [Chatfield , 2001] C. Chatfield, The Analysis of Time Series, Chapman and

Hall, 2001

303

• [ElAli , 2004] Taan S. ElAli, Discrete Systems and Digital Signal Processing with Matlab,CRC Press,2004

• [Haykin , 2003] Simon Haykin, Barry Van Veen, Signals and Systems, John

Wiley & Sons Inc 2003

• [Jackson , 2002] Leland B. Jackson, Signal, System and Transforms, Addison-Wesley Publishing Company, 2002

• [Oppenheim , 1977] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals &

Systems, Prentice Hall International, second edition 1997

• [Chen , 2004] Chi-Tsong Chen Signal and Systems, Oxford University Press, Third edition, 2004

• [Boashash ,2003] Boualem Boashash, Time Frequency Signal Analysis and

Processing, Elsevier Press 2003

• [Jeges , 2001] Jeges Zoltán, Írányítástehnika, Műszaki Főiskola, Szabadka, 2001

• [Astrom , 1994] Astrom K.J, Wittenmark B., Adaptive Control, Addison

Wesly Publishing Company, 1994, Second edition

• [Internet ] A világhálón található, rendszerekre vonatkozó információ