Click here to load reader
Upload
rojasjd
View
83
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
República Bolivariana de Venezuela Ministerio de educación Superior
I.U.T. “DR. FEDERICO RIVERO PALACIOS” PNF - ELECTRICIDAD
TRABAJO # 2
INTEGRANTES:
T.S.U. Héctor Regnault C.I. 15715089
T.S.U. Jesús Pérez C.I 16146418 T.S.U. Daniel RojasC.I. 13537694
Wilmer Quintero C.I. 14322457
Caracas, Viernes, 01 de Abril de 2011
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
Dr. FEDERICO RIVERO PALACIO
1. A.(BxC) = ?
Dados los vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
kcjcicC zyxˆˆˆ ++=
Para el cálculo de A.(BxC), primero se realiza el cálculo de BxC como sigue:
zyx
zyx
ccc
bbb
kji
CB
ˆˆˆ
=×
yx
yx
zx
zx
zy
zy
cc
bbk
cc
bbj
cc
bbiCB ˆˆˆ +−=×
Ahora para A.(BxC) seria:
+−
⋅++=×⋅yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx cc
bbk
cc
bbj
cc
bbikajaiaCBA ˆˆˆ)ˆˆˆ()(
Como αcos)( ⋅×⋅=×⋅ CBACBA y para los vectores unitarios se tiene que:
;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkikkjijkiji
yx
yx
zzx
zxy
zy
zy
x cc
bbkka
cc
bbjja
cc
bbiiaCBA ˆ.ˆˆˆˆˆ)( +⋅−⋅=×⋅
Y como 1ˆˆ;1ˆˆ;1ˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii queda lo siguiente
yx
yx
zzx
zxy
zy
zy
x cc
bba
cc
bba
cc
bbaCBA +−=×⋅ )(
Por lo tanto, el producto mixto es:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
CBA =×⋅ )(
2. Demostrar )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅
Dados los vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
kcjcicC zyxˆˆˆ ++=
Para demostrar que )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ , se hace lo siguiente:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
CBA =×⋅ )( yx
yx
zzx
zxy
zy
zy
x cc
bba
cc
bba
cc
bba +−=
)()()( xyyxzxzzxyyzzyx cbcbacbcbacbcbaCBA −+−−−=×⋅
xyzyxzxzyzxyyzxzyx cbacbacbacbacbacbaCBA −++−−=×⋅
zyx
zyx
zyx
aaa
ccc
bbb
ACB =×⋅ )(yx
yx
zzx
zxy
zy
zy
x aa
ccb
aa
ccb
aa
ccb +−=
)()()()( xyyxzxzzxyyzzyx acacbacacbacacbACB −+−−−=×⋅
xyzyxzxzyzxyyzxzyx acbacbacbacbacbacbACB −++−−=×⋅ )(
zyx
zyx
zyx
bbb
aaa
ccc
BAC =×⋅ )( yx
yx
zzx
zxy
zy
zy
x bb
aac
bb
aac
bb
aac +−=
)()()()( xyyxzxzzxyyzzyx babacbabacbabacBAC −+−−−=×⋅
xyzyxzxzyzxyyzxzyx bacbacbacbacbacbacBAC −++−−=×⋅ )(
xyzyxzxzyzxyyzxzyxxyzyxz
xzyzxyyzxzyxxyzyxzxzyzxyyzxzyx
bacbacbacbacbacbacacbacb
acbacbacbacbcbacbacbacbacbacba
−++−−=−+
+−−=−++−−
Para todos los productos mixto tienen el mismo valor de determinante, por tanto
se demuestra que )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ .
3. En que condiciones puede ser negativo el producto punto de dos vectores.
Dados dos vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
B
α
A
Se tiene que αcos⋅⋅=⋅ BABA , por tanto, el producto punto será negativo
cuando el ángulo α formado por los vectores A y B se encuentre en el intervalo
(π/2,3π/2).
4. Escribe los resultados
?=⋅ BA BA× Si
a) A║ B
?=⋅ BA
Dados dos vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
Como A es paralelo a B significa que tiene la misma dirección y sentido, como
el producto punto es:
αcos⋅⋅=⋅ BABA
Para los vectores unitarios se tendría que:
;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkikkjijkiji
Y
1ˆˆ;1ˆˆ;1ˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii
Por ello, para A paralelo a B se tiene:
⋅++⋅++=⋅ )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaBA zyxzyx
zzyyxx bababaBA ++=⋅
BA×
Dados dos vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
Como el vector A es paralelo al vector B significa que la misma dirección y sentido.
El producto cruz es:
αsenBABA ⋅⋅=×
Para los vectores unitarios se tendría que:
0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =×=×=× kkjjii
Por ello, para A perpendicular a B se tiene:
0=× BA
b) A ┴ B
?=⋅ BA
Dados dos vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
Como A es perpendicular a B significa que tiene diferente dirección formando
un ángulo de 90 º, es decir, que A es ortogonal a B.
El producto punto es:
αcos⋅⋅=⋅ BABA
Para los vectores unitarios se tendría que:
;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkikkjijkiji
Por ello, para A perpendicular a B se tiene:
0=⋅ BA
BA×
Dados dos vectores
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
Como el vector A es perpendicular al vector B significa que tiene diferentes
direcciones formando un ángulo de 90 º, es decir, que A es ortogonal a B aplicándose la
regla de la mano derecha por conformar una base ortonormal.
El producto cruz es:
αsenBABA ⋅⋅=×
Para los vectores unitarios se tendría que:
ijkjikikjkijjkikji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ −=×−=×=×−=×=×=×
Y
0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =×=×=× kkjjii
Por ello, para A perpendicular a B se tiene:
⋅++×++=× )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaBA zyxzyx
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
BA
ˆˆˆ
=×
yx
yx
zx
zx
zy
zy
bb
aak
bb
aaj
bb
aaiBA ˆˆˆ +−=×
kbabajbabaibabaBA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×
c) B ┴ A
?=⋅ AB
Dados dos vectores
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
Como B es perpendicular a A significa que tiene diferente dirección formando
un ángulo de 90 º, es decir, que B es ortogonal a A.
El producto punto es:
αcos⋅⋅=⋅ ABAB
Para los vectores unitarios se tendría que:
;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkikkjijkiji
Por ello, para A perpendicular a B se tiene:
0=⋅ AB
ABBA ⋅=⋅
AB ×
Dados dos vectores
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
Como el vector B es perpendicular al vector A significa que tiene diferentes
direcciones formando un ángulo de 90 º, es decir, que B es ortogonal A aplicándole la
regla de la mano derecha por conformar una base ortonormal pero aquí para este
producto cruz se tiene que el sentido contrario a AxB.
El producto cruz es:
αsenABAB ⋅⋅=×
Para los vectores unitarios se tendría que:
ijkjikikjkijjkikji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ −=×−=×=×−=×=×=×
Y
0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =×=×=× kkjjii
Por ello, para B perpendicular a A se tiene:
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kajaiakbjbibAB zyxzyx ++×++=×
zyx
zyx
aaa
bbb
kji
AB
ˆˆˆ
=×
yx
yx
zx
zx
zy
zy
aa
bbk
aa
bbj
aa
bbiAB ˆˆˆ +−=×
kababjababiababAB xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×
kbabajbabaibabaAB xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −−−+−−=×
( )kbabajbabaibabaBA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−−=×
ABBA ×−=×
5. Dado dos vectores A y B ¿Como se calcula?
a) la componente de A en dirección a B .
b) la componente de B en dirección de A .
Se tiene los siguientes vectores:
kajaiaA zyxˆˆˆ ++=
kbjbibB zyxˆˆˆ ++=
B
A. cos α
α A
B. cos α
a) La componente de A en dirección a B es A. cos α, este valor se obtiene del despeje
la ecuación de producto punto que seria:
αcos⋅⋅=⋅ BABA
B
BAA
⋅=⋅ αcos
b) La componente de B en dirección a A es B. cos α, este valor se obtiene del despeje
la ecuación de producto punto que seria:
αcos⋅⋅=⋅ BABA
A
BAB
⋅=⋅ αcos
6) Si CABA ⋅=⋅ implica CB = explique.
En las operaciones con producto escalar, no se admite la simplificación:
Si CABA ×=× No implica que CB =
En efecto:
⇒⋅=⋅ CABA
0=⋅−⋅ CABA ; Por la propiedad distributiva:
0)( =−⋅ CBA ; Pero esto no implica que:
CB − = 0; o sea que CB = dado que A y )( CB − pueden ser vectores ortogonales.
7) Si CABA ×=× implica CB = explique.
En las operaciones con producto vectorial, no se admite la simplificación:
Si CABA ×=× No implica que CB =
En efecto:
⇒×=× CABA
0=×−× CABA ; Por la propiedad distributiva:
0)( =−× CBA ; Pero esto no implica que:
CB − = 0; o sea que CB = dado que A y )( CB − pueden ser vectores paralelos.