Tabelle di frequenza

Tabelle di frequenzaTabelle di frequenza

Disporre i seguenti dati in Disporre i seguenti dati in una serie ascendente e poi una serie ascendente e poi

in una distribuzione di in una distribuzione di frequenze:frequenze:

1,40, 1,43, 1,50, 1,51, 1,53, 1,46, 1,40, 1,43, 1,50, 1,51, 1,53, 1,46, 1,50 , 1,40, 1,46, 1,46, 1,50, 1,52, 1,52, 1,50 , 1,40, 1,46, 1,46, 1,50, 1,52, 1,52, 1,53, 1,40, 1,40, 1,48, 1,50, 1,43, 1,46, 1,53, 1,40, 1,40, 1,48, 1,50, 1,43, 1,46, 1,44, 1,46, 1,44, 1,50, 1,50, 1,48, 1,43, 1,44, 1,46, 1,44, 1,50, 1,50, 1,48, 1,43,

1,40.1,40.

Altezza in metri

Frequenzai

Frequenze relativa

i/n

Percentuale

i/n1.401.40 55 5/28=5/28=

1.411.41 00 0/28=0/28=

1.421.42 00 0/28=0/28=

1.431.43 33 3/28=3/28=

1.441.44 22 2/28=2/28=

1.451.45 00 0/28=0/28=

1.461.46 55 5/28=5/28=

1.471.47 00 0/28=0/28=

1.481.48 22 2/28=2/28=

1.491.49 00 0/28=0/28=

1.501.50 66 6/28=6/28=

1.511.51 11 1/28=1/28=

1.521.52 22 2/28=2/28=

1.531.53 22 2/28=2/28=

2828

0.17860.1786

0.00.0

0.00.0

0.10710.1071

0.07140.0714

0.00.0

0.17860.1786

0.00.0

0.07140.0714

0.00.0

0.21420.2142

0.03570.0357

0.07140.0714

0.07140.0714

17.86%17.86%

0%0%

0%0%

10.71%10.71%

7.14%7.14%

0%0%

17.86%17.86%

0%0%

7.14%7.14%

0%0%

21.42%21.42%

3.57%3.57%

7.14%7.14%

7.14%7.14%

Distribuzione di frequenze Distribuzione di frequenze raggruppateraggruppate

Può succedere che risulta più Può succedere che risulta più conveniente “raggruppare” le conveniente “raggruppare” le

distribuzioni di frequenza. Questo distribuzioni di frequenza. Questo raggruppamento viene fatto raggruppamento viene fatto

riunendo i valori sulla scala di riunendo i valori sulla scala di misura riunendoli in gruppi della misura riunendoli in gruppi della

stessa unità.stessa unità.

I gruppi si chiamano I gruppi si chiamano classeclasse e la e la rappresentazione rappresentazione intervallo di intervallo di

classe.classe.


Le tabelle contenenti i gruppi (le Le tabelle contenenti i gruppi (le

classiclassi) saranno formate da ) saranno formate da

diverse colonne corrispondenti diverse colonne corrispondenti

agli agli intervalli di classeintervalli di classe,, limiti limiti

della classedella classe,, estremi della classe estremi della classe,,

valore centrale della classevalore centrale della classe,,

conteggio conteggio ee frequenza. frequenza.


I I limiti della classelimiti della classe sono la sono la misura minima di una classemisura minima di una classe ((limite inferiore della classelimite inferiore della classe) )

ee la misura massima la misura massima

di una classedi una classe

((limite superiore della classelimite superiore della classe)) e definiscono l’intervalloe definiscono l’intervallo

della classe.della classe.


Gli Gli estremi (o confini) della classeestremi (o confini) della classe rappresentano l’intervallo di approssimazione rappresentano l’intervallo di approssimazione

della classe. Il calcolo dei confini serve a della classe. Il calcolo dei confini serve a rendere contigue le classi. Possiamo calcolare rendere contigue le classi. Possiamo calcolare la misura dell’la misura dell’estremo inferiore estremo inferiore di una classe di una classe

ee la misura dell’la misura dell’estremo superiore estremo superiore di una di una classeclasse

considerando il limite superiore di una classe considerando il limite superiore di una classe e il limite inferiore della classe successiva. e il limite inferiore della classe successiva.

Opereremo come segueOpereremo come segue

141+142141+142

22=141.5=141.5


IlIl valore centrale della classe valore centrale della classe è il è il

punto medio (centro esatto) della punto medio (centro esatto) della

classe. Possiamo ottenere questo valore classe. Possiamo ottenere questo valore

dividendo per due il risultato della dividendo per due il risultato della

somma del limite inferiore e il limite somma del limite inferiore e il limite

superiore della classe di interessesuperiore della classe di interesse

142+144142+144

22

=143=143

mmii==

Le colonne delLe colonne del conteggio e frequenza conteggio e frequenza sono sono essenzialmente le stesse delle distribuzioni di essenzialmente le stesse delle distribuzioni di frequenze non raggruppate ma rappresentano il frequenze non raggruppate ma rappresentano il numero di misure di ciascuna classe piuttosto numero di misure di ciascuna classe piuttosto che ciascun livello.che ciascun livello.

Altezza Altezza in metriin metri

Limiti Limiti inferiori-inferiori-superiori superiori

della della classeclasse

Estremi Estremi inferiori-inferiori-superiori superiori

della classedella classe

Valore Valore centralcentrale della e della classe classe

mmii (min)(min)

ConteggioConteggio ii

1.39-1.411.39-1.41 1.39-1.411.39-1.41 1.385-1.4151.385-1.415 1.401.40 IIII 5

1.42-1.441.42-1.44 1.42-1.441.42-1.44 1.415-1.4451.415-1.445 1.431.43 IIII 5

1.45-1.471.45-1.47 1.45-1.471.45-1.47 1.445-1.4751.445-1.475 1.461.46 IIII 5

1.48-1.501.48-1.50 1.48-1.501.48-1.50 1.475-1.5051.475-1.505 1.491.49 IIII III 8

1.51-1.531.51-1.53 1.51-1.531.51-1.53 1.505-1.5351.505-1.535 1.521.52 IIII 5

28


L’L’ampiezza della classeampiezza della classe è il numero di è il numero di livelli che formano una data classe. Possiamo livelli che formano una data classe. Possiamo

ottenere questo valore dal risultato della ottenere questo valore dal risultato della differenza tra il limite inferiore (o superiore) differenza tra il limite inferiore (o superiore) di una classe il limite inferiore (o superiore) di una classe il limite inferiore (o superiore)

della classe successivadella classe successiva

144-141=3144-141=3

Ci sono tabelle costituite da classi di Ci sono tabelle costituite da classi di ampiezze uniformi. In questo caso oltre al ampiezze uniformi. In questo caso oltre al

metodo appena descritto possiamo calcolare metodo appena descritto possiamo calcolare l’ampiezza utilizzando l’ampiezza utilizzando MMii


Anche in questo caso è possibile calcolare il Anche in questo caso è possibile calcolare il valore delle frequenze relative, e delle valore delle frequenze relative, e delle corrispondenti % di frequenze relative.corrispondenti % di frequenze relative.

iiNN

Nel caso di una popolazione avremo Nel caso di una popolazione avremo ii NN

La % verrà calcolataLa % verrà calcolatai i

nn

ii

NN

Trasformazione di distribuzione di frequenze non Trasformazione di distribuzione di frequenze non raggruppate in raggruppate: principali regole.raggruppate in raggruppate: principali regole.

• Usare non meno di 5 classi e non più di 20Usare non meno di 5 classi e non più di 20• Se possibile usare classi equi-ampieSe possibile usare classi equi-ampie• Le ampiezze delle classi possono essere numeri pari o Le ampiezze delle classi possono essere numeri pari o

dispari, ma è preferibile un numero dispari in modo dispari, ma è preferibile un numero dispari in modo che il valore centrale della classe sia una delle unità che il valore centrale della classe sia una delle unità della scala di misura.della scala di misura.

• Nel caso in cui le ampiezze delle classi siano uniformi Nel caso in cui le ampiezze delle classi siano uniformi bisogna accertarsi chebisogna accertarsi che

(campo di variazione) < numero delle classi usate * ampiezza delle classi(campo di variazione) < numero delle classi usate * ampiezza delle classi

• Bisogna che la classe con il limite inferiore minimo Bisogna che la classe con il limite inferiore minimo includa xincluda xminmin e che la classe con il limite superiore e che la classe con il limite superiore massimo includa xmassimo includa xmaxmax

• Più grande è il campione (o la popolazione) maggiori Più grande è il campione (o la popolazione) maggiori sarà il numero di classi da utilizzaresarà il numero di classi da utilizzare

Classi aperteClassi aperte

Vengono utilizzate nei casi in cui si lavora con misure molto grandi o molto piccole, lontane dal punto in cui si concentrano la maggior parte dei

dati. Presentano un solo limite della classe, il limite inferiore o il limite superiore. Qualsiasi

distribuzione raggruppata abbia una classe aperta a uno od entrambi gli estremi viene definita

distribuzione raggruppata aperta.

Classi aperteClassi aperteEsempio di

distribuzioni raggruppate di classi aperte

Altezza Altezza (metri)(metri)

Alunni della scuola Alunni della scuola media a.s. 2002/2003media a.s. 2002/2003

meno di 1.40 meno di 1.40 106106

1.41-1.451.41-1.45 168168

1.46-1.501.46-1.50 120120

1.51-1.551.51-1.55 5656

1.56-1.601.56-1.60 2323

Oltre 1.61Oltre 1.61 1212

Ha un limite superiore della classe (Ha un limite superiore della classe (1.391.39) ) ma non ha un limite inferiorema non ha un limite inferiore

Ha un limite inferiore della classe (Ha un limite inferiore della classe (1.611.61) ) ma non ha un limite superiorema non ha un limite superiore


Altezza in Altezza in metrimetri





Valore Valore centralcentrale della e della classe classe

mmii (min)(min)

AmpiezzAmpiezza classea classe

Alunni Alunni della della

scuola scuola media a.s. media a.s. 2002/2003 2002/2003

ii

Meno di Meno di 1.401.40

?-1.40?-1.40 ?-1.405?-1.405 ?? ?? 106106

1.41-1.451.41-1.45 1.41-1.41-1.451.45

1.405-1.405-1.4551.455

1.431.43 55 168168

1.46-1.501.46-1.50 1.46-1.46-1.501.50

1.455-1.455-1.4951.495

1.481.48 55 120120

1.51-1.551.51-1.55 1.51-1.51-1.551.55

1.495-1.495-1.5551.555

1.531.53 55 5656

1.56-1.601.56-1.60 1.56-1.56-1.601.60

1.555-1.555-1.6051.605

1.581.58 55 2323

1.61 e oltre1.61 e oltre 1.61-?1.61-? 1.605-?1.605-? ?? ?? 1212

485485


NelleNelle distribuzioni raggruppate aperte distribuzioni raggruppate aperte vengono normalmente utilizzate classi con vengono normalmente utilizzate classi con ampiezza “non uniformi” in modo tale da ampiezza “non uniformi” in modo tale da

mettere in risalto raggruppamenti particolari mettere in risalto raggruppamenti particolari nel caso di indagini statistiche a sfondo nel caso di indagini statistiche a sfondo

politico o demografico. E’ comunque sempre politico o demografico. E’ comunque sempre consigliabile evitare l’uso di classi aperte consigliabile evitare l’uso di classi aperte perché quando si lavora con esse abbiamo perché quando si lavora con esse abbiamo

che le proprietà non sono totalmente che le proprietà non sono totalmente definite e risulterà quindi difficile la definite e risulterà quindi difficile la

rappresentazione dei dati.rappresentazione dei dati.

Distribuzione cumulataDistribuzione cumulata

Una distribuzione di frequenze non Una distribuzione di frequenze non

raggruppate può essere raggruppate può essere

trasformata in una distribuzione di trasformata in una distribuzione di

frequenze cumulate. Ciò avviene frequenze cumulate. Ciò avviene

quando le frequenze vengono quando le frequenze vengono

cumulate (cumulate (aggiunte al totaleaggiunte al totale) dalla ) dalla

categoria più piccola,categoria più piccola, xxminmin, alla , alla

categoria più grande,categoria più grande, xxmaxmax..

Distribuzioni cumulate Distribuzioni cumulate “minore di”“minore di”

Mostrano quanti valori di un insieme Mostrano quanti valori di un insieme di dati siano inferiori a qualsiasi di dati siano inferiori a qualsiasi

valore considerato. Se i miei dati sono valore considerato. Se i miei dati sono rappresentati da misure continue rappresentati da misure continue

(approssimate) la cumulazione va fino (approssimate) la cumulazione va fino all’estremo superiore dell’intervallo di all’estremo superiore dell’intervallo di approssimazione di una categoria di approssimazione di una categoria di misura. Ad ogni estremo superiore la misura. Ad ogni estremo superiore la

cumulazione darà come risultato finale cumulazione darà come risultato finale il numero di misure del nostro il numero di misure del nostro

campione inferiori al valore estremo.campione inferiori al valore estremo.

Distribuzioni cumulate “maggiore Distribuzioni cumulate “maggiore uguale”uguale”

Si ragiona in maniera opposta Si ragiona in maniera opposta alle distribuzioni di frequenze alle distribuzioni di frequenze

cumulate “minore di”. La cumulate “minore di”. La cumulazione va dacumulazione va da xxmax max aa xxminmin

considerando quanti valori sono considerando quanti valori sono uguali o maggiori all’estremo uguali o maggiori all’estremo

inferiore dell’intervallo di inferiore dell’intervallo di approssimazione della approssimazione della

categoriacategoria..

Distribuzioni cumulate Distribuzioni cumulate raggruppateraggruppate

““minore ugualeminore uguale” in cui consideriamo i ” in cui consideriamo i valori minori o uguali alla categoria stessa valori minori o uguali alla categoria stessa

(misure esatte) o minori o uguali(misure esatte) o minori o uguali all’estremo all’estremo superiore dell’intervallo di approssimazione superiore dell’intervallo di approssimazione

della categoria della categoria

(misure approssimate). (misure approssimate).

““maggiore dimaggiore di” in cui utilizziamo i valori ” in cui utilizziamo i valori maggiori alla categoria stessa (misure maggiori alla categoria stessa (misure esatte) o maggiori all’estremo inferiore esatte) o maggiori all’estremo inferiore dell’intervallo di approssimazione della dell’intervallo di approssimazione della

categoria categoria

(misure approssimate).(misure approssimate).


Per raggruppare i dati in Per raggruppare i dati in

classi in modo da classi in modo da

organizzareorganizzare distribuzioni distribuzioni

cumulate raggruppate cumulate raggruppate

“minore di”“minore di” dobbiamo dobbiamo

considerare sia l’estremo considerare sia l’estremo

superiore di una classe che superiore di una classe che

l’estremo inferiorel’estremo inferiore

Altezza in Altezza in metrimetri





Valore Valore centracentra

le le della della

classe classe mmii

(min)(min)

ConteggConteggioio

ii

1.39-1.411.39-1.41 1.39-1.411.39-1.41 1.385-1.4151.385-1.415 1.401.40 IIII 5

1.42-1.441.42-1.44 1.42-1.441.42-1.44 1.415-1.4451.415-1.445 1.431.43 IIII 5

1.45-1.471.45-1.47 1.45-1.471.45-1.47 1.445-1.4751.445-1.475 1.461.46 IIII 5

1.48-1.501.48-1.50 1.48-1.501.48-1.50 1.475-1.5051.475-1.505 1.491.49 IIII III 8

1.51-1.531.51-1.53 1.51-1.531.51-1.53 1.505-1.5351.505-1.535 1.521.52 IIII 5

28

Altezza in metri

Frequenza cumulata

Meno di 1.385Meno di 1.385 00

Meno di 1.415Meno di 1.415 55

Meno di 1.445Meno di 1.445 1010

Meno di 1.475Meno di 1.475 1515

Meno di 1.505Meno di 1.505 2323

Meno di 1.535Meno di 1.535 2828

Distribuzioni cumulate raggruppate Distribuzioni cumulate raggruppate “minore di”“minore di”


Stesso discorso vale per leStesso discorso vale per le

distribuzioni cumulate distribuzioni cumulate

raggruppate “maggiore uguale”raggruppate “maggiore uguale”

dove le classi possono essere dove le classi possono essere

cumulate considerando uno cumulate considerando uno

qualsiasi dei due estremi qualsiasi dei due estremi

(superiore o inferiore)(superiore o inferiore)

Altezza in metri

Frequenza cumulata

1.385 o più1.385 o più 28281.415 o più1.415 o più 23231.445 o più1.445 o più 15151.475 o più1.475 o più 10101.505 o più1.505 o più 551.535 o più1.535 o più 00


“maggiore uguale” “maggiore uguale”


Proviamo ad inserire nellaProviamo ad inserire nella

distribuzione cumulata “minore distribuzione cumulata “minore

di”di” da noi organizzata la da noi organizzata la

frequenza relativa cumulata e frequenza relativa cumulata e

la percentuale della frequenza la percentuale della frequenza

relativa.relativa.

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Tabelle di frequenza