Universidad de Antioquia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

4◦ Taller de Oscilaciones y Ondas

Oscilaciones - Repaso

OSCILACIONES

Del libro “Oscilaciones y ondas”de Alicia Guerrero de Mesa:

Capıtulo 1:

Osciladores libres con un grado de libertad

1. (a) A partir de la ecuacion de conservacion dela energıa de un pendulo simple, halle su ecua-cion de movimiento en coordenadas polares enaproximacion de pequenas oscilaciones.

(b) Deduzca la ecuacion de movimiento en pre-sencia de una fuerza tangencial viscosa.

2. Halle el perıodo de oscilacion de un pendulofısico de masa m y distancia h del centro demasa al punto de suspension, en aproximacionde angulos pequenos.

3. (a) Exprese la amplitud y la constante de fa-se de un oscilador armonico en funcion de lascondiciones iniciales x(0) y v(0).

(b) Suponga que el sistema es sometido a unafuerza de amortiguamiento de la forma −Γx.Halle una expresion para A(t) y δ en funcion delas mismas condiciones de la parte (a).

4. (a) Integre las ecuaciones de movimiento: Fθ =−mg sen θ y x(t) = −(k/m) x(t), para el pendu-lo simple y el sistema masa-resorte, halle suenergıa total y muestre que es una constanteen el tiempo.

(b) Derivando la expresion de la energıa delsistema amortiguado masa-resorte demuestre,mediante la ecuacion de movimiento, que la po-tencia perdida tiene igual magnitud que el tra-bajo de la fuerza viscosa por unidad de tiempo.

5. Para el sistema masa-resorte no amortiguado:

(a) Elabore graficas comparativas de E (energıatotal), Epot (energıa potencial) y Ecin (energıacinetica) en funcion de t.

(b) Elabore graficas de E, Epot y Ecin en fun-cion de x.

(c) Halle la velocidad x en funcion de x pa-ra hacer un diagrama en el espacio de fase deloscilador (x, x). Muestre que la velocidad des-cribe una elipse en el espacio de fase, indique enque sentido la describe y exprese los semiejes ay b en funcion de la energıa E. Muestre que, siexiste amortiguamiento, la curva describe unaespiral que converge hacia en origen.

Capıtulo 2:

El oscilador simple amortiguado y forzado

6. Cuando hay un termino de friccion en la ecua-cion de movimiento, es mas simple usar varia-ble compleja y al final tomar la parte real. Pa-ra hallar la solucion particular de la ecuaiconde movimiento del oscilador forzado (2.6) contermino no homogeneo (2.7), resuelva primerola ecuacion con Φp compleja y el termino defuente

G(t) = G0 ei(ωf t−β)

(con G0 real). Suponga un Ansatz de la formasiguiente:

Φp = A(ωf) ei(ωf t−β)

con amplitud A(ωf) compleja

A(ωf) = Ae−iαf

Muestre que:

Φp =G0(ω

20 − ω2

f) ei(ωf t−β)

(ω20 − ω2

f)2 + (Γωf)2

+G0Γωf e

i(ωf t−β−π2)

(ω20 − ω2

f)2 + (Γωf)2

Verifique que la parte real de esta expresioncoincide con (2.16) y (2.17) y que tanαf yCf = A concuerdan con (2.14) Y (2.15).

7. Halle la frecuencia externa para la cual la ampli-tud de la respuesta estacionaria de un osciladorforzado es maxima.

8. A partir de la solucion particular (2.10):

(a) Muestre que el trabajo de la fuerza friccionalpor unidad de tiempo es en general diferentedel trabajo por unidad de tiempo de la fuerzaexterna.

(b) Demuestre que, en promedio, sobre un cicloambas potencias se compensan; por lo tanto, laenergıa media del sistema es constante.

(c) Halle la condicion en la cual ambas poten-cias instantaneas son de la misma magnitud y,por lo tanto, la energıa del oscilador es estric-tamente constante.

9. Considere un sistema masa-resorte debilmenteamortiguado y no forzado. Muestre que el factorde calidad es igual a:

Q = 2πEnergıa al comienzo de un ciclo

Energıa perdida en un ciclo=

ω0

Γ

Ayuda: elija el comienzo del ciclo (t = 0) cuan-do toda la energıa es potencial y tome la faseinicial del oscilador amortiguado igual a cero(δ = 0). Recuerde que la energıa perdida enun ciclo es debida a la fuerza de friccion y esigual a (Pf(t) · P ), donde (Pf(t)) es la poten-cia promedio y P es el periodo. Considere que elamortiguamiento es suficientemente debil paraque se cumpla que (Γ ≪ ω0) y tenga en cuentaque en este caso se puede usar la aproximacione−Γt ∼= 1− Γt.

10. Sobre un oscilador debilmente amortiguado actu-an simultaneamente dos fuerzas con frecuenciasy amplitudes iguales, pero con diferentes cons-tantes de fase β1 y β2. Analice la solucion dela ecuacion de movimiento del sistema en fun-cion de la diferencia entre las constantes de fase∆β = β2 − β1.

11. Dos fuerzas armonicas de igual amplitud e igualconstante de fase pero con frecuencias ligera-mente diferentes actuan simultaneamente sobreun oscilador. Muestre, con ayuda de identida-des trigonometricas, que en el estado estacio-nario la fuerza neta puede expresarse como unproducto de una oscilacion armonica “rapida”,por una funcion armonica “lenta”.

Capıtulo 3:

Sistema libre de dos osciladores acoplados

12. Sustituyendo directamente x1(t) y x2(t) en ter-minos de coordenadas normales en la expresion(3.39), muestre que la energıa de los dos oscila-dores acoplados puede escribirse como la sumade las energıas asociadas a cada modo normal,como si se tratara de osciladores independien-tes.

13. Escriba las ecuaciones de movimiento de dosmasas desiguales, ma y mb, acopladas entresı por un resorte de constante kc y a los extre-mos por resortes identicos de constante k. En-cuentre las frecuencias y las relaciones de am-plitud de los modos normales. Verifique que enel caso ma = mb se obtiene el mismo resultado(3.21).

Ejercicios Complementarios de

Oscilaciones

14. Osciladores armonicos simples

a) Una partıcula oscila con un movimientoarmonico simple de tal forma que su des-plazamiento varıa de acuerdo con la ex-presion

x = 5m cos

(

3rad

st +

π

3

)

En t = 0, encuentre: (a) El desplazamien-to, (b) su velocidad, (c) su aceleracion y(d) el periodo y la amplitud del movimien-to.

b) Una masa que esta sujeta a un resorte estaoscilando: (a) ¿Que fraccion de su energıatotal esta en forma de energıa cineticacuando el desplazamiento es la mitad desu amplitud?. (b) ¿Para que desplazamien-to son iguales sus energıas cinetica y po-tencial?.

c) Una partıcula de 200 g de masa esta unidaa un resorte de constante elastica k = 40N/m y describe un movimiento armonicosimple de 15 cm de amplitud. Si en el ins-tante t = 0 se encuentra a 8 cm del origenmoviendose hacia la izquierda, determinar:(a) la posicion, velocidad y aceleracion en

funcion del tiempo, (b) las energıas poten-cial, cinetica y total del sistema y (c) Losvalores de t en los que la partıcula pasapor el origen.

d) Un bloque de masa 300 g esta unido a dosresortes de constantes elasticas k1 = 35N/m y k2 = 25 N/m. Si la masa se sa-ca de la posicion de equilibrio y empiezaa oscilar, hallar: (a) La ecuacion de movi-miento y su solucion, (b) la expresion parala velocidad y la aceleracion y (c) el pe-riodo de oscilacion del bloque.

15. Osciladores amortiguados:

a) Una partıcula de masa m = 200 g, quepuede moverse en el eje x, esta sometidaa dos fuerzas: F1(x) = −kx y F2(v) =−bv, donde k = 60 N/m y b = 0,02 kg/s.(a) Escriba la solucion a la ecuacion demovimiento para amortiguamiento debil.(b) ¿Como evoluciona la energıa mecani-ca de la partıcula?. Considere amortigua-miento suficientemente debil.

b) Un cuerpo de masa m = 0,2 kg esta sus-pendido del techo mediante un muelle. Lafuerza que realiza el muelle al ser estira-do una longitud z a partir de su longi-tud sin deformar es Fe = −kz, dondek = 29 N/m. El cuerpo esta sumergi-do en un fluido viscoso que amortigua elmovimiento con una fuerza proporcional ala velocidad: Fv = −bv. (a) Escribir laecuacion diferencial que rige el movimien-to z(t) del cuerpo, y la solucion generalde esta ecuacion. (b) Hallar la expresionz(t) si el coeficiente de la fuerza viscosaes b = 0,4 kg y las condiciones es inicialesson z(0) = 3, 27 cm y v(0) = 0,424 m.

16. Osciladores acoplados:

a) Ilustre graficamente los modos normalesde oscilacion para: (a) Un sistema de tres

masas acopladas con resortes. (b) Un sis-tema de cuatro masas acopladas con re-sortes. Nota: considere que todas las ma-sas y todas las constantes elasticas soniguales.

b) Para el sistema de tres masas acopladascon resortes: (a) Establezca claramente elsistema de coordenadas a utilizar, y plan-tee las ecuaciones de movimiento para ca-da masa. (b) Reescriba las ecuaciones delsistema en forma matricial. (c) Halle lasfrecuencias propias.