Embed Size (px)
Citation preview
6. Równania stanu
56
6. RÓWNANIA STANUWiększość obiektów można zapisać przy użyciu równań stanu:( ) ( ) ( )tButAxtx +=!
( ) ( ) ( )tDutCxty += dla układów stacjonarnych, natomiast dla układówniestacjonarnych macierze są zależne od czasu A(t), C(t), B(t), D(t)
Na podstawie tych równań wyznaczamy schemat blokowy liniowy układuwielowymiarowego (rys. 6.1a) gdzie:x(t) – wektor zmiennych zależnych, wektor stanu o wymiarach nx1 i składowych
( ) ( ) ( )txtxtx n,,, 21 "
u(t) – wektor wymuszeń wejściowych, wektor sterowania o wymiarach px1 o składowych( ) ( ) ( )tututu p,,, 21 "
y(t) – wektor wielkości wyjściowych, wektor odpowiedzi o wymiarach qx1 o składowych( ) ( ) ( )tytyty q,,, 21 "
A(t) – macierz układu (stanu), reprezentuje dynamikę systemu o wymiarach nxnB(t) – macierz sterowania oddziaływanie sterowania na system o wymiarach nxpC(t) – macierz wyjścia (odpowiedzi), pokazuje w jaki sposób są transformowane zmienne
stanu na zmienne wyjściowe o wymiarach qxnD(t) – macierz transmisyjna układu o wymiarach qxp
Rys. 6.1a
Często współrzędne stanu wybierane są w tensposób, aby:
.
,
,
,
1
22
3
11
2
1
−=
==
==
=
nn xx
xdt
dxx
xdtdx
x
xx
!
!
!
Rys. 6.1b
Tak wybrane współrzędne nazywamy fazowymi a n – wymiarową przestrzeń, przestrzeniąfazową. Gdy n = 2 wtedy mamy płaszczyznę fazową.
Właściwy wybór zmiennych stanu ma w sobie pewną dowolność. Dla danegoukłady dynamicznego istnieje wiele wektorów współrzędnych, które mogą być wektoramistanu. Między tymi wektorami istnieją przekształcenia liniowe typu cTxX +=∗ , T – macierz nieosobliwa, wektor współczynników. Przekształceniu liniowemu stanu
y(t)u(t)B(t)
D(t)
∫ C(t)
A(t)
x'(t) x(t)
x3
x3 x
x1 x1 x
x2
x2
Trajektoria stanu
6. Równania stanu
57
odpowiada przesunięcie i obrót układu współrzędnych przestrzeni stanu. Trajektoria stanunie ulega zniekształceniu.W przypadku gdy macierz A ma postać kanoniczną, macierze B i C reprezentują zeratransmitancji systemu. Macierz D w rzeczywistych układach jest równa 0, gdyż
0, =∞→ yω .Nie jest równe zeru gdy transmitancja systemu ma tyle zer ile biegunówczyli gdy ( ) 0lim ≠
∞→sG
s. Dla wykrycia istotnych właściwości oraz wyznaczenia odpowiedzi
wygodnie jest mieć macierz A o postaci kanonicznej tzn. zawierającej wyłącznie wartościwłasne lub przyjmującej postać macierzy Jordana.
Przykład 6.1Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu przedstawionego na rysunku 6.2.
Rys. 6.2
k – współczynnik sprężystościr1, r2 – tłumienie wiskotyczne (kulombowskie)m – masau – siła zewnętrzna
Jako zmienne stanu przyjąć prędkość masy z1(t) oraz względne wydłużenie sprężyny,wyjście – siłę bezwzględną
Rys. 6.3
( )( )
=−+=−++
01222
21111
zzkzruzzkzrzm
!
!!!
11 zx != - prędkość masyx2 = z1 – z2 – względne wydłużenie
1zmy !!=
21212 zxzzx !!!! −=−=( )2122 zzkzr −=!
22
12 xrkxx −=!
mux
mkx
mr
x +−−= 211
1!
m
r1 r2k
u(t) z1(t) z2(t)
m
u
1z! 2z!
r2
r1 k
6. Równania stanu
58
22
12 xrkxx −=!
umxx
rkmk
mr
xx
+
−
−−=
0
1
1 2
1
2
1
2
1
!
!
ukxxrzmy +−−== 2111!!
[ ] uxx
kry +
−−=
2
11
Przykład 6.2Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższym równaniem
uyyyy 10285 =+++ !!!!!! Są trzy zmienne stanu, bo równanie trzeciego rzędu
założenia:
3
2
1
xyxyxy
===
!!
!
+−−−===
uxxxxxxxx
10285 1233
32
21
!
!
!
+−−−=+++=+++=
uxxxxuxxxxuxxxx
10582000000
3213
3212
3211
!
!
!
uxxx
xxx
+
−−−=
1000
582100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
uxxxy 000 321 +++=
[ ] uxxx
y
+
=
000
001
3
2
1
Rys. 6.4
1x!3x!u 10 ∫ x3 1 2x! ∫ x2 ∫ x11 y-5
-8
-2
1
6. Równania stanu
59
Przykład 6.3Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu przedstawionego na rysunku 6.5.
Rys. 6.5( )( )
=−++=−++
00
1222
2111
yykkyymyykkyym
!!
!!
założenia:4221
3211
xyxyxyxy====
!!
+−=
=
+−=
=
134
43
312
21
2
2
xmkx
mkx
xx
xmkx
mkx
xx
!
!
!
!
+−+−=
+++=
+++−=
+++=
43214
43213
43212
43211
020
000
002000
xxmkxx
mkx
xxxxx
xxmkxx
mkx
xxxxx
!
!
!
!
u
xxxx
mk
mk
mk
mk
xxxx
+
−
−=
0000
0201000
0020010
4
3
2
1
4
3
2
1
!
!
!
!
=
4
3
2
1
2
1
01000001
xxxx
yy
m
m
k
k
k
y
y2
m m
k k1y! 2y!k
6. Równania stanu
60
Rys. 6.6
Przykład 6.4.Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla obiektu opisanego poniższymrównaniem.
uxxtxx 222 =+++!!
założenia: xzxz!=
=
2
1
+−−−=
=
uzztzzzz
2211
212
21
!
!
( ) uzz
tzz
+
−−−
=
20
0110
2
122
2
1
!
!
[ ]
=
2
101zz
x
Rys. 6.7Związek między transmitancją macierzową a równaniami stanu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sBUAsIsXsBUsAXssX 1−−=→+= przy założeniu, że ( ) 01 ≠− −AsI
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsYsDUsCXsY +−=→++ −1
stąd: ( ) ( ) DBAsICsG +−= −1
np.:
=
=
=
−
−
=
0000
10100101
10100101
1100000000000001
DC
BA
( )( )
+
+=
111
111
sss
sssG
1z!u 2 ∫ 12z! ∫z2 xz1 1
-1-t2
-()2
3x!4x! ∫ x31 2x! ∫ x2 1x! ∫ x1 1 y11mk
∫ x4
mk2−
mk2−
mk
1y2
6. Równania stanu
61
Przykład 6.5Wyznaczyć równania stanu obiektu jak na rysunku 6.8.
Rysunek 6.8
( )( )
=+−++=−+++
uykyykyBymyykykyBym
231222222
212111111 0!!!
!!!
( )( )
=+−++=−+++
uxkxxkxBxmxxkxkxBxm
331324242
312112121 0!
!
( )
( )
+−−−−=
−−−−=
23
2
313
2
24
2
24
311
21
1
12
1
12
mux
mkxx
mkx
mBx
xxmkx
mkx
mBx
!
!
++
+−−=
+
+−−=
21
2
23
2
324
2
24
31
21
1
212
1
12
mux
mkx
mkkx
mBx
xmkx
mkkx
mBx
!
!
( )
( )u
mxxxx
mB
mkk
mk
mk
mB
mkk
xxxx
+
−+−
−+−=
24
3
2
1
2
2
2
32
2
2
1
2
1
1
2
21
4
3
2
1
1000
01000
00010
!
!
!
!
k1
k2
k3
y1
y2
m1
m2
B1
B2
m11y! 2y!m2
B1 k1 k2B2
u
6. Równania stanu
62
Przykład 6.6Wyznaczyć równania stanu dla obiektu ze sprzężeniem dodatnim jak na rysunku 6.9.
Rysunek 6.9.
121
++=
ss
ux
41
2
3
+=
sxx
31
21
2
+=
− ssxxx
( ) ( )uuxx
susx2
21
11
1
+=++=+
!!
uyyuyx+−=+=
11
11
!
( ) 23 4 xsx =+
233
33
233
4
4
xyyyx
xxx
+−==
=+
!
!
( ) ( )212 3 sxxsx −=+
23
233 21
221222122xxxxxxxxxxx −=⇒−=+⇒−=+ !!!!!
22
22
yxyx!! ==
( )21
23
122 uyyy ++−=!
Równania stanu:BuAyy +=!
uyyy
yyy
+
−
−−
=
0211
410
023
21
001
3
2
1
3
2
1
!
!
!
Równania wyjść:DuCyx +=
yyyy
xxx
+
=
001
100010001
3
2
1
3
2
1
s
u x1 x2 x3
12++
ss
31+s 4
1+s+
6. Równania stanu
63
Przykład 6.7Wyznaczyć równania stanu dla poniższego układu.
Rysunek 6.10
( ) ( )21
2
1
1033
10
xusxsxu
x
−=++
=−
11
332211 ;;yx
yxyxyx!! =
===
21211
211
101031010310103
yuyxuyyxuxx
−+−=−+−=−=+
!
!
( )( ) ( )312
31
2
211
2
xxssxssxx
x
−=++
=− 32322323 yyyxxxsxx =⇒=⇒=⇒= !!!
12212221223122 23232222 yxxxxxxxxxxxxx =+⇒=+⇒−=+⇒−=+ !!!!!!!!!!!!!
Po podstawieniach 32 yx !!! = oraz 32 yx =!
213313133 323223 yyyyyyyyy !!!! −=⇒−=⇒=+Równania stanu:
BuAyy +=!
uyyy
yyy
+
−
−−=
0010
3021000103
3
2
1
3
2
1
!
!
!
Równanie wyjść:DuCyx +=
=
2
1
2
1
1001
yy
xx
6.1. Zalety ogólne przedstawiania dynamiki systemu przy pomocyrównań stanu
1. Własności systemu opisywane są przy pomocy macierzy o elementach rzeczywistych,co pozwala na programowanie na komputerach analogowych i cyfrowych celemuzyskania rozwiązania.
2. Równanie stanu opisuje obiekt poprawnie gdy opis przy pomocy transmitancji jestniemożliwy, niewystarczający lub fałszywy.
3. Opis przy pomocy równań stanu pozwala na łatwe oddzielenie własności statycznych idynamicznych.
4. Łatwe przejście do analizy systemów niestacjonarnych.5. Opis obejmuje również systemy nieliniowe co przy pomocy transmitancji było
niemożliwe.6. Prosta forma równań stanu umożliwiająca analizę modeli, nawet bardzo
skomplikowanych systemów przy pomocy prostych reguł rachunku macierzowego.
( )12+ss3
10+s
s
u x1 x2
x3
- -
6. Równania stanu
64
6.2. Wybór zmiennych stanu dla układu o znanej transmitancji
( ) ( )( ) 01
11
011
1
asasasbsbsbsb
sUsYsG n
nn
mm
mm
++++++++
== −−
−−
"
"
co jest jednoznaczne z równaniem:ububububyayayayay m
mm
mnn
nn
011
10121
1 ++++=+++++ −−
−− ""
Przypadek n < m nie jest realizowany fizycznie.W przypadku n = m, wtedy można dokonać dzielenia wielomianem likwidując mianowniki otrzymujemy w wyniku składnik stały niezależny od s i składnik spełniający warunekn>m. Składnik ten jest identyczny z macierzą D stąd wynika, że jeżeli n>m to D ≡ 0. Wdalszych rozważaniach rozpatrujemy przypadek n > m.
Przykładowo dla: uuxxx +=++ !!!!!!! 23( )( ) ( )( )21
1++
+=sss
ssUsX równanie charakterystyczne ma postać: 023 23 =++ λλλ
( )( ) ( )2
1+
=sssU
sX równanie charakterystyczne ma postać: 022 =+ λλ
W związku z powyższym jakiekolwiek uproszczenie przez wspólny czynnikwyprowadzaniu równań stanu jest niedopuszczalne. Stąd wniosek, że jeżeli system jestopisany równaniami stanu to nie zatraca się istotnych własności obiektu.
Np.: ( )21 1
111
sTsTsG
++
+=
21
21
CCRR≠≠
ale 21 TT = wtedy:
( ) 2112 TTTsT
sG ==+
=
Forma zapisu przy pomocy transmitancji nie uwzględnia w pewnych szczególnychwypadkach istotnych własności układu. Tej wady pozbawiony jest sposób zapisu przypomocy równań stanu.
Stosuje się następujące metody wyboru zmiennych stanu:• bezpośrednia, gdy nie są znane bieguny i zera,• szeregowa (kaskadowa) (ang. factored, zer-pole-gain) lub równoległa (ang.
partial fraction, sesidue form) gdy są znane bieguny i zera,• iteracyjna.
6.3. Wybór zmiennych stanu dla systemów o transmitancji bez zer
u(t) bya y a y a y n-n-
n0011
11 =++…++
Aby przedstawić powyższy układ w przestrzeni stanów najłatwiej przyjąć naturalnezmienne stanu (co sprowadza się do później opisanej macierzy Frobeniusa):
x1 = y x3 = y2
x2 = y1 xn = y(n-1)
nn xxxx == −121 !!
( ) ( ) ( ) ( )tubtxatxatxaxxx nnn 01211032 +−−−−== −"!!
6. Równania stanu
65
( )tu
bxx
xx
aaaxx
xx
n
n
nn
n
+
−−−
=
−
−
−
0
1
2
1
110
1
2
1
0
00
1000
01000010
##
""
"
#####
"
"
!
!
#
!
!
y = Cx + Du
( ) [ ] [ ] u
x
xx
ty
n
0001 2
1
+
=#
"
Rys. 6.11Wielomian charakterystyczny dla macierzy A jest równy ( ) 0=−= AIM λλ
0010000100001
13210
=
+
−−
−
=
−naaaaa
M
λ
λλ
λ
$
######
$
$
$
6.4. Wybór zmiennych stanu dla systemów, które zawierają zera ibieguny
Dla m < n
u
aaaaxx
xx
nn
n
+
−−−−
=
−
−
1
000
1000
01000010
1210
1
2
1
#
"
"
#####
"
"
!
!
#
!
!
[ ]
= −
n
mm
x
xbbbby #"
1
110
1x!2x!1−nx!nx! ...u(t) b0 ∫ xn 1 ∫ xn-1 ∫ x2 1 ∫ x1 1 y
an-1
-an-2
-a1
-a0
6. Równania stanu
66
Rys. 6.12lub
( ) ( ) ( )tub
bb
txAtxm
T
+=
0
1
0
#
#
( ) [ ] ( )txty 100 $=
Dla m = n
( ) u
x
xx
aaa
tx
nnn
+
−−−
=
− β
ββ
##
""
"""""
"
"
! 2
1
2
1
110
01000010
[ ] ux
xy
n
0
1
001 β+
= #"
gdzie:
1111000
110222
0111
0
ββββ
βββββ
β
−
−−−
−−
−−=
−−=−=
=
nn
nnn
nn
n
aaab
aabab
b
$
#
lub
( ) [ ] ( )tu
x
xx
Atx
n
+
=
1
00
2
1
##
( ) [ ] ( ) ( ).,,,,, 11221100 tutxbababababty nnn +−−−−= −−"
1x!2x!1−nx!nx!u(t) 1 f xn 1 f xn-1 f x2 1 f x1 b0 yan-1
-an-2
an-1
a0
1
a1
b1
bm-1
6. Równania stanu
67
Przykład 6.8Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższą transmitancją
( ) ( )( ) 65
322 +++==ss
ssUsYsG Mnożąc przez –s otrzymujemy: 21
21
65132
−−
−−
+++
ssss
( ) [ ] ( )( ) ( ) [ ] ( )sxsssUsX
sXsssY21
21
6532
−−
−−
+−=
+=
+=+−−=
=
21
212
21
2356
xxyuxxx
xx!
!
[ ] 02310
5610
==
=
−−
=
DC
BA
Rys. 6.13
Przykład 6.9Wyznacz równania stanu i wyjścia oraz narysuj graf przepływu sygnału dla obiektuopisanego równaniem:
uxxtxx 22 =+++ !!!Równania stanu:
BuAyy +=!
( ) uyy
tyy
+
−+−
=
20
1110
2
12
2
1
!
!
Równanie wyjść:DuCyx +=
[ ]
=
2
101yy
x
Rysunek 6.14
Przykład 6.10Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego równaniem
32103210
0120123 0572
−−−−−−−−
=+=+++
nnnnnnnn
n
bbbbaaaabbbbaaaa
uuyyyy !!!!!!!
321 xyxyxy === !!!
uxxx
xxx
+
−−−=
100
211100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
1x!u 31 2x! ∫ x2 x1 y-5
-6
2
∫
1y!u 12 2y! ∫ y2 y1x
-1
-(t2+1)
∫1
6. Równania stanu
68
[ ] uxxx
y
+
=
000
075
3
2
1
Rys. 6.15Przykład 6.11Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego równaniem jakw przykładzie 6.6. Należy tu pamiętać, że oznaczenia dotyczą układu o równych stopniachobu stron równania.
97
00
0333
110222
0111
0
−=−−==−−=
=−===
−−
−−−
−−
$βββββ
βββ
nn
nnn
nn
n
abaab
abb
[ ] [ ] uxAx
−+=
970
!
[ ] [ ]uxy 0001 +=
Przykład 6.12Wyznacz równania stanu i wyjścia ora graf przepływu sygnału dla obiektu opisanegorównaniem
uuuyyyy ++=+++ !!!!!!!!! 325106
0120123 bbbaaaa
Sposób 1:3=n
uxxx
xxx
+
−−−=
100
6105100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ]
=
3
2
1
231xxx
y
1x!3x!u 5∫ x31 2x! ∫ x2 ∫ x1y
-2
-1
-1
7
6. Równania stanu
69
Rysunek 6.16
Sposób 2:
( ) 359621019123
20
2211022110003
121120112
20221
30
=−−⋅−=−−=−−−=−=−=−=−−=
==−===
ββββββββββ
βββ
aabaaababaab
babb
uxxx
xxx
−+
−−=
359
2
6105100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ] [ ]
=+
=
3
2
1
0
3
2
1
001001xxx
uxxx
y β
Przykład 6.13Wyznacz równania stanu i wyjścia oraz graf przepływu sygnału dla obiektu opisanegorównaniem:
uuuuxxxx 523652 +++=+++ !!!!!!!!!!!!
01230123 bbbbaaaa
1x!3x!u 1∫ x3 1 2x! ∫ x2 ∫ x1y
-6
-10
-5
3
11
2
2x! 1x!3x!u 1∫ x3 1 ∫ x2 ∫ x1 y-6
-10
-5
-9
135
2
Rysunek 6.17
6. Równania stanu
70
3
3
===
pnp
n
( )( ) ( ) 1912201856245365
6815142351462322
3
22110003
120112
0221
30
=++−=−−−−⋅−=−−−=−=+−=−−⋅−=−−=
−=−=⋅−=−===
βββββββ
βββ
aaabaab
abb
Stąd równania stanu mają postaćBuAxx +=!
uxxx
xxx
−−
+
−−−=
4964
256100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
Równanie wyjśćY=Cx+Du
[ ] uxxx
y 3001
3
2
1
+
=
Rysunek 6.18
6.5. Wybór zmiennych stanu metodą szeregową
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∏
=
−−=−−−
==n
ii
n
sKsss
KsHsYsG
1
1
21
λλλλ "
lub postać zawierająca stałe czasowe
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∏
=
−+=−++
==n
ii
n
sTVsTssTsT
VsHsYsG
1
1
21
111 "
przy czym i
i T1=λ , dla s = 0 mamy ∏
=
=n
iiTKV
1
Rys. 6.19
nx!1−nx!2x!
...1x! ∫ x1 1 ∫ x2 1 y(t)u(t) ∫xn-1 1 xn
λn
kλn-1
1x!2x!3x!u 1∫ x3 1 ∫ x2 ∫ x1 y-2
-5
-6
-6
149
-4
3
6. Równania stanu
71
stąd
( ) ( ) ( )tu
k
txtx
n
n
+
=
−
0000
10010
11
000
1
3
2
1
λλ
λλ
λ
!
( ) [ ] ( )txty 100 "=lub
( ) ( ) ( )tutxtx
n
+
=
10000
1
1001
3
2
1
λ
λλ
λ
%
!
( ) [ ] ( )txkty 000 "=
Rys. 6.20
6.6. Wybór zmiennych stanu metodą równoległą
( ) ∑= −
=n
i i
i
sC
sG1 λ
gdzie ( ) ( )sGsC isii
λλ−=
→lim (i = 1,...,n)
( ) ( ) ( )tuC
Ctxtx
nn
+
= #!
1
2
1
0
0
λλ
λ
( ) [ ] ( )txty 111=
Rys. 6.21Gdy bieguny wielokrotne:
( )( ) ( ) ( ) r
r
i kn
kr
r
rk
kl s
Cs
C
s
C
s
CsC
sGλλλλλ −
++−
++−
++−
+−
= ,
1
1,
1
,1
1
2,1
1
1,1 1 ""$
ki oznacza krotność i – tego bieguna
1x!2x!1−nx!nx! ...u(t) 1 ∫ xn 1 ∫ xn-1 ∫ x2 1 ∫ x1 k y
λn-1 λ2 λ1λn
2x!u(t)
nx!
∫
xn∫
x2
1x!
∫
x1
y
λ1
λ2
λn
C1
C2
Cn
1
1
1#
6. Równania stanu
72
( ) ( ) ( )[ ]111 !
1lim λλλ =−
−
→
−−
= sm
km
km
sk sGsdsd
kmC
i
( ) ( ) ( )[ ]sGsdsd
jkG i
i
i
i
kijk
jk
isij λλ
−⋅−
= −
−
→ !1lim
u
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
r
k
l
k
r
l
r
k
l
k
+
=
+
−
++
−
1
110
00
000000
000000000000100
0000000001
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
#
#
#
#
"
#%#####
""
""
""
####%##
""
""
!
#
!
!
!
#
!
!
λ
λλ
λ
λλ
( ) [ ] duux
xCCCCCty
n
rkkkl +
+
= +−
1
01
11111 ##""
Rys. 6.22
Przykład 6.14Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższą transmitancją
( )( ) ( ) ( )22 11331
2+
++
++
=++
+=s
Cs
Bs
Ass
ssG
( )( ) ( ) 4
131
233
2 −=++
++=−=sss
ssA
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 4
13
23321
3121
!121
12
112
2 =++−+=
++=
++++
−=
−=−=−= ssss
ssss
dsd
ssss
dsdB
21
32
1
=++=
−=sssC
iikxiikx!
iikx
1−iikx1−iikx!
iikx!
u(t)
∫
∫
iikx!
∫
iikx
y
λi
λi
λi
1
1
1
Ci1
Ci2
iikC
6. Równania stanu
73
stąd: ( )( )21
21
141
341
++
++
+
−=
ssssG
−=
=
−−
−=
41
41
21
110
300010011
CBA
Przykład 6.15Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższą transmitancją.
( ) ( )( )( )32110
+++=
ssssG
Rys. 6.23Przedstawienie szeregowe:
( ) ( ) ( )31
21
1110
2
33
1
22
11 +
==+
==+
==sx
xsG
sxx
sGsu
xsG
( ) ( ) ( ) 23121 32101 xsxxsxusx =+=+=+
32321211 3210 xxsxxxsxuxsx −=−=+−=
33321211 3210 xxxxxxuxx −=−=+−= !!!
uxxx
xxx
+
−−
−=
0010
310021001
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ]
=
3
2
1
100xxx
y
Przedstawienie równoległe:
( )( )( ) 35
210
15
32110
++
+−+
+=
+++ ssssssuyyuyyuyy 531025 332211 +−=−−=+−= !!!
uxxx
xxx
+
−−
−=
111
300020001
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ]
−=
3
2
1
5105xxx
y
Przykład 6.16
x3=yu(t)G3G2G1
x1 x2
6. Równania stanu
74
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższą transmitancją.
( )( ) ( )21
52 ++
=ss
sG
Przedstawienie szeregowe:
( ) ( ) ( )21
11
15
2
33
1
22
11 +
==+
==+
==sx
xsG
sxx
sGsu
xsG
23312211 25 xxxxxxuxx +−=+=+−= !!!
uxxx
xxx
+
−−
−=
005
210011001
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ]
=
3
2
1
100xxx
y
Przedstawienie równoległe:
( ) ( ) ( ) 25
15
15
215
22 ++
+−+
+=
++ sssssuxxuxxxxx +−=+−=+−= 3322211 2!!!
uxxx
xxx
+
−−
−=
110
200010011
3
2
1
3
2
1
!
!
!
[ ]
−=
3
2
1
555xxx
y
6.7. Wyznaczanie wartości własne macierzy kwadratowej A
0=− IA λ - równanie charakterystyczne, gdzie I to macierz jednostkowa.
( ) ( ) 01 011
1
21
22221
11211
=++++−=
−
−−
=− −− aaa
aaa
aaaaaa
IA nn
nn
nnnn
n
n
λλλ
λ
λλ
λ "
"
###
"
"
Przykład 6.17Wyznaczyć wartości własne macierzy A.
=
2231
A
( )( ) 062122
31=−−−=
−−
=− λλλ
λλIA
6. Równania stanu
75
41 =λ ; 12 −=λ .Wartości własne dogodnie jest uporządkować tak, aby λpo największej wartości
były na początku:( ) ( ) ( )nλλλ ReReRe 21 ≥≥≥ $ .
6.8. Diagonalizacja macierzy
Głównym celem diagonalizacji jest taki zapis macierzy A, aby wartości własne byłytylko na przekątnej.
A) Dla dowolnej macierzy A, : ( )ndiagAVV λλλ ,,, 211 "=−
a) Przypadek gdy mamy pojedyncze wartości własne.Każdy niezerowy wektor xi, spełniający równanie iii xAx λ= nazywamy wektoremwłasnym.Macierz modalna (macierz przekształcenia) [ ]nxxxV "21= , tworzymy jąw następujący sposób:
=
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
V
121
11
12212
112
11211
111
"
###
"
"
macierz diagonalna Dλ
Każda z kolumn jest wektorem własnym, liniowo niezależnym. Aby uzyskać pierwsząkolumnę budujemy macierz: [ ]IA 1λ− i wyznaczamy 1
1112
111 ,, nAAA , należy pamiętać, że
XXA 1)1( 32112 −=−= =+ . Aby uzyskać drugą kolumnę budujemy macierz [ ]IA 2λ−
i wyznaczamy 21
212
211 ,, nAAA itd.
b) Przypadek, gdy mamy wielokrotne wartości własne 44111 ,,,, λλλλλ
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=
515
415
115
115
115
514
414
114
114
114
513
413
113
113
113
512
412
112
112
112
511
411
111
111
111
''!21'
''!21'
''!21'
''!21'
''!21'
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
V macierz kanoniczna Jordana
( ) ( ) ( ) ( ) 51;'';' 11
21
21
11
1
1 "=== jAddAA
ddA ijijijij λ
λλ
λKażda z kolumn jest wektorem własnym, z tym że pierwiastek wielokrotny daje tylkojeden wektor liniowo niezależny.B) Dla obiektu opisanego transmitancją lub równaniem różniczkowym – wykorzystaniemacierzy Frobeniusa, diagonalizację przeprowadza się przy użyciu macierzyVandermonda
6. Równania stanu
76
a) Przypadek gdy mamy pojedyncze wartości własne.Macierz modalna ma postać macierzy Vandermonde’a:
=
−−−− 113
12
11
223
22
21
31 2
11111
nn
nnn
n
n
V
λλλλ
λλλλλλλλ
"
#%###
"
"
otrzymujemy macierz diagonalną AVVD 1−=λ
Macierz Jordana ma postać:
nλ
λλ
000000000000
2
1
%
b) Przypadek gdy mamy wielokrotne wartości własne 54111 ,,,, λλλλλ
=
45
44
21
31
41
35
341
21
31
25
241
21
541
64331201
11001
λλλλλλλλλλλλλλλλλ
V otrzymujemy macierz Jordana
5
4
1
1
1
00000000000000100001
λλ
λλ
λ
Druga kolumna jest pochodną pierwszej podzieloną przez 1!, trzecia kolumna jest pochodnądrugiej kolumny podzieloną przez 2!.Dla dowolnej macierzy A można wyznaczyć macierz Frobeniusa, gdyż obie mają ten samwielomian charakterystyczny, wyznaczniki i ślad.
Przykład 6.18Dla poniższej macierzy A wyznaczyć macierz Frobeniusa.
=
368175924
A
1882714 23 +−−=− λλλλIA
−=
1427188100010
F
Przykład 6.19Wyznacz wartości własne dla obiektu opisanego poniższą transmitancją.
6. Równania stanu
77
( )sss
sG23
123 ++
=
uxxx
xxx
+
−−=
100
320100010
3
2
1
3
2
1
!
!
!
0=− IA λ
( )23321
03201001
2 ++−=−−−
−−→=
−−−−
−λλλ
λλ
λλ
λλ
120 321 −=−== λλλ
VV det21412
1140120111111
23
22
21
321 ==−−
=
−−=
=
λλλλλλ
λDAVVV =→
−
= −− 11
12021
210
21
231
Dla macierzy Frobeniusa
−−=
100020000
λD
Przykład 6.20Wykonaj diagonalizację następującej macierzy A.
−−
=13
24A
( )( ) ( ) 0230231401324 2 =+−→=−−−−−→=−−−
−λλλλ
λλ
21 21 == λλ
( ) ( )( ) ( ) 331
221
2323
113214
21112
11111
1
=−−=
−=−−=
−−=
−−−−
=
+
+
A
A
A
( ) ( )( ) ( ) 331
331
3322
3212
2211
2
=−−=
−=−−=
−−=
A
A
A
6. Równania stanu
78
VV det33332
==
−−=
−−=
−
32111
1V
Sprawdzenie:
=
−−
−−
−−=
−
2001
3332
1324
32111
1AVV
Przykład 6.21Wykonaj diagonalizację następującej macierzy A.
−−=
105012010
A →112
3
2
1
=−=−=
λλλ
wektorów własnych tyle, ile wektorów
własnych
105012012
1 =A →521
113
112
111
−=
−=
=
AAA
005002011
2 =A →000
213
212
211
=
=
=
AAA
500
223
222
221
=
=
=
AAA
205022011
3
−−
−=A →
1044
313
312
311
=
=
=
AAA
MV det10555202201
=−=
−−=
Przykład 6.22Wykonaj diagonalizację następującej macierzy A.
−−−=
452100010
A →2
1
3
21
−=−==
λλλ
−−−−−
−=
−
−−− λλ
λ
λλ
λ
4521001
000000
452100010
[ ] ( ) 0254524524det 23322 =−−−−=−−−−=−−−−=− λλλλλλλλλλIA–1 –4 –5 –2
–1 –1 –3 –2 0
6. Równania stanu
79
121
1023
023
3
2
1
2
2
−=−=−=
=∆=−+
=−−−
λλλ
λλλλ
−−−=421211101
V
−−−=
=
421211101
21
101
231
21
31
λλλλλV
−−
−=−
200010011
1AVV
Przykład 6.23Wykonaj diagonalizację poniższej macierzy A.
−−−=
6712203010
A
[ ] 0det =− IA λ
−−−−−
−=
−
−−− λλ
λ
λλ
λ
67122301
000000
6712203010
= H
[ ] ( ) ( ) 061163314246det 232 =−−−−=−−−−−−−=− λλλλλλλλIA11 −=λ–1 –6 –11 –6
–1 –1 –5 –6 0
321
1065
3
2
1
2
−=−=−=
=∆=−−−
λλλ
λλ
Do macierzy H podstawiamy λ λ λ1 2 3, ,
−−− 5712213011
1λ
−− 4712223012
2λ
−−− 3712233013
3λ
6. Równania stanu
80
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]9999712
233013
12211241511451 421
−−=
=
−−+−−+−−+−−=V
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]312624211241211481 22 −−=+−+−−+−−=V( ) ( ) ( )[ ] [ ]151553621291483 −=+−+−−+−=V
−−−−=153915129569
V
Przykład 6.24Wykonaj diagonalizacje następującej macierzy A
−=
331100010
A
( )
−−−
−=−
λλ
λλ
3311001
IA
[ ] ( ) 0133313det 232 =+−+−=−+−=− λλλλλλλIA–1 3 –3 1
1 –1 2 –1 0
1012
012
1
2
2
==+−
=−+−
λλλλλ
stąd
=
121011001
V
Przykład 6.25Sprawdzić, czy dla macierzy A zachodni związek, że:
−
−=
311201214
A
=−
100030013
1AVV
( )( )( )1339157 23 −−−−=+−+−=− λλλλλλλIA
13
3
21
===
λλλ
6. Równania stanu
81
011231211
1
−−
−=A →
222
113
112
111
=
=
=
AAA
( ) ( )
( )
( ) 111
1'
131
21'
32331
2'
'
313
'
312
3
'
311
=−−
=
=−
=
=+−=−−
−=
=
=
==
λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
A
A
A
211211213
3
−−
−=A →
000
313
312
311
=
=
=
AAA
480
323
122
321
=
=
=
AAA
=
412812032
V
Przykład 6.26 Wykonaj diagonalizację poniższej macierzy A.
−=
82952100010
A4
3232
3
2
1
=−=+=
λλλ
jj
( ) ( )
−
+=→
−+−+=
4032
032
16323243232111
22
jj
JjjjjV
Jeżeli obliczenia wykonywane są na EMC, przedstawienie macierzy A w postacikanonicznej z liczbami zespolonymi jest niekorzystne. Dokonuje się dodatkowejtransformacji przy pomocy macierzy T i otrzymujemy macierz J’ o elementachrzeczywistych.
6. Równania stanu
82
6.9. Metody rozwiązywania równań stanu
A). Układy stacjonarnea) układ swobodny tzn. 0=u
równania: ( ) ( )( ) ( )
00 xetx
tAxtxttA −=
=!
b) układ nieswobodny tzn. 0≠u
równania:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dBuetxetx
tButAxtxt
t
tAttA ∫ −− +=
+=
0
00
!
Jeżeli równania stanu są typu:a) diagonalnego,b) trójkątnego (postać Jordana)mówimy wtedy, że równania stanu mają postać kanoniczną. W związku z czymdiagonalizuje się macierz A przy pomocy macierzy modalnej M i otrzymujemy:
( ) ( ) ( )∫ −−− +=t
tDtD dBuVVexVVetx0
10
1 τττλλ
B). Układy niestacjonarne
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −Φ+Φ=t
tgojednorodne
ukladurozwiaznie
dButtxtttx0
00, τττ&'&()
Większość układów jest mniej lub więcej niestacjonarna, wiele z nich można opisaćrównaniami stacjonarnymi. Przybliżenie to jest dobre, jeżeli charakterystyki układuzmieniają się bardzo wolno w stosunku do prędkości zmian sygnałów wejściowych. Przezto w układach stacjonarnych odpowiedź nie zależy od t0, miejsca przyłożenia wymuszenia,więc można założyć t0=0.
Podstawowym zagadnieniem przy rozwiązywaniu równań stanu jest wyznaczeniemacierzy podstawowej Φ(t) dla układów stacjonarnych. Jest to poszukiwanie rozwiązaniarównania Axx =! czyli równania stanu z zerowym sterowaniem.
Metody rozwiązań:I.
+−−
=+
−−
+
−
+
=
−
=
+= ∑∞
=
2
2
2
2
1
22101
200
200
1010
2010
!
tttt
tt
tt
e
A
ktAIe
At
k
kkAt
"
( )21221
2111
!21
222
2
tttttt
xxex
+−−=−+−=−
+++= "
6. Równania stanu
83
( )
−=−
−
t
tAt
e
ee2
2
0
1211
II.( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
=
−=
−=−−
−
ss
Ds
AsIt
AsIt
00
11
1
αθ
θα
[ ]TDCC
C
ss
AsIC
det1
201
1 =
+−
=−=
−
( )22det 2 +=+= ssssC
( )
+
+=+
+=
+=
−
210
211
21
012
102
21
s
ssssss
sC
ss
C D
( )
−=−
−
t
t
e
et2
2
021
211θ
( )( ) 12
221
21
221
=+++
−+=
++=
+BssA
sssB
sA
ss
dla s = 0 dla s = –2
21
102
=
=+
A
A
2112
−=
=−
B
B
III.( )
=
==
Λ
−Λ
t
t
t
t
tAt
ne
ee
e
VVete
λ
λ
λ
θ
000
000000
2
1
1
%
2010−
=A
6. Równania stanu
84
( )
224
222
02
224
202201
2
1
2
−=−=−−=
=+−=
=∆
+=−−−−=
−−
−=−
λ
λ
λλλλλ
λλIA
dla λ1 = 0 [ ]022010
1 −=
−
V
dla λ2 = –2 [ ]210012
2 −=
V
−−=
2012
V
[ ]TDVV
Vdet11 =−
[ ]
−−=
−
=
−
=
−=
−
21041
21
;2012
;21
02
4det
1VVV
V
TDD
[ ]
−=
−−
−−=
−−
=
−
−−
−−
t
tt
te
eeV
e
e
2
22
12
0
021
211
21041
21
210
2
001
2012
1
IV.( ) ( )
( ) ( )sR
s
sssC
CAsIsR
=
+
+=
=−=
−
−−
210
211
1
11
ntttAt ReReRee nλλλ
λλ
+++=
−==
"21
21
21
2,0
u nas n = 2 — rząd macierzy( ) ( )k
kk
ssRsR
λλ
=−=
— dla jednokrotnych wartości własnych
6. Równania stanu
85
( ) ( ) ( )
=
=
+
+=
+
+=
+
+−=
00211
02
0211
210
211
210
211
0
1
1
R
ss
ss
s
ssss
s
ssssR
( ) ( )
2210
211
22
−=
+
++=
ss
ssssR
−=10210
2R
−=
−+
=
−+
=
−
−−−
t
tttAt
e
eeeee2
2220
021
211
10210
00211
10210
00211
[ ] nnn BAABB ×−=Γ 1"
( )[ ]TnTTTT CACAC 1−=∆ "
6.10. Sterowalność i obserwowalność
Dany jest liniowy układ dynamiczny w stanie nieustalonym. Każda współrzędna stanutego układu składa się z sumy przebiegów wykładniczych.
Układ jest obserwowalny, jeżeli w przebiegu wyjściowym są reprezentowanewszystkie krzywe wykładnicze występujące we współrzędnych stanu. Można dać podobnąinterpretacją częstotliwościową, zgodnie z którą w sygnale wyjściowym muszą byćreprezentowane wszystkie harmoniczne występujące we współrzędnych stanu.
Układ jest sterowalny, jeżeli za pomocą sygnału sterującego można oddziaływać nawszystkie składowe (wykładnicze lub harmoniczne) występujące we współrzędnych stanu.Układ sterowalny można za pomocą odpowiedniego sterowania sprowadzić do dowolnegopunktu w przestrzeni stanu.
Mając równania:
+=+=
DuCxyBuAxx!
przez podstawienia:zMx
Mzx!! =
=
Doprowadzamy do postaci
( )
+=+= −
tDuCMzyBuMzDz 1
λ!
Układ jest sterowalny względem stanu, gdy macierz kolumnowa M-1B nie zawierawierszy złożonych z samych zer.
Układ jest obserwowalny, gdy macierz wierszowa CM nie będzie zawierała kolumnzłożonych z samych zer.
W pierwszym przypadku będzie to układ częściowo sterowalny lub obserwowalny.
6. Równania stanu
86
Twierdzenie Cayleya – HamiltonaUkład jest sterowalny, gdy rząd macierzy ( ) ( ) ( )[ ]BABAABBQ n
s12 −= " jest równy
rzędowi macierzy A. (czyli wektory B i AB są liniowo niezależne, zatem Qs jestnieosobliwa).Układ jest obserwowalny gdy, rząd macierzy ( ) ( )[ ]TnTTTTTT
o CACACACQ 12 −= " jest równy rzędowi macierzy A.( )
=
=
−−+−
=100001
0
1
010001
CaBa
bccb
A
( )( )( )( )
( )( )( )( )
+−−+−+−+−
=
+−−++−+
=
−−−
=cb
acbbcbcacbacbbca
Qcb
acbbccbacb
BAbccba
AB s
10
1
1
22
2
Więc układ jest niecałkowicie sterowalny. Rząd macierzy Qs≠0 wynosi dwa, więc częśćsterowalna układu jest rzędu drugiego.Sprawdzamy układ przy założeniu, że wielkością wejściową jest jedynie y2 więc macierz Cma postać [ ]100=C .
( )( )
++−=
−=
2
2 101
a
acbCA
aCA TTTT
( )1det
1100
10
02
0 =
−
++−= Q
aa
acbQ
Układ jest więc obserwowalny.
Tabela. 6.1Niesterowalny Nieobserwowalny
[ ]0131
3011
=
−
=
−
= CBA [ ]1110
1032
=
=
−−= CBA
−
=
−
= −
1013
31
3011 1MM
−=
−
= −
1110
31
0111 1MM
[ ]11101 =
=− CMBM
−=
62
AB
06321=
−−
=ABB
[ ]10111 =
−=− CMBM
2121−−
=TTT CAC
Y(s)U(s)21+−
ssx
11−s
Y(s)U(s)11−s
x21+−
ss
6. Równania stanu
87
Przykład 6.27Czy poniższy układ jest obserwowalny:
[ ]
[ ]
−−−
=
−−−−
−=
=
−−
−−−=
==
+
−−
−−−=
131
011
112012101
011101110221
3011
102
101110221
TT CA
c
A
nxy
uxx!
−−−−−
=
−−−−
−
−−−−
−=
122214211
112012101
112012101
TT AA
( )
=
−−−−−
=050
011
122214211
2 CAT
5
5000010531011
=∆
+++=∆⇒
−−−
=∆ — układ całkowicie obserwowalny
6.11. Analiza modalna w systemach sterowania
Analiza modalna dla jednokrotnych wartości własnych
JzzAVzVz
AVzzVxVz
VzxAxx
==
==
==
−
−
!
!
!
!
1
1
iT
i
AA
λλ
→
→
i
i
WV
Wyznaczamy równanie ruchu swobodnego
6. Równania stanu
88
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )00
0001
1
xVzztQtzxVtVQztVQtVztx
−
−
=
=====
( ) ( )0
00
0000
2
1
xWtVQ
e
ee
Q T
t
t
t
n
=
=
λ
λ
λ
"
###
"
"
( )TVW 1−=
( ) ( )∑=
=n
ii
tTi VexWtx i
1
0 λ
Przykład 6.28Określić postacie ruchu swobodnego i trajektorię stanu wykorzystując wektory własne jako
osie układu współrzędnych. Jako zmienne stanu przyjąć siłysprężyste f1 i f2. Współczynniki B1, B2, B3, K1 i K2 sąjednakowe.Warunki początkowe f1(0)=1, f2(0)=2.
Rys. 6.24
( )( ) ( )( )
⇒=+−=−+−⇒=−++
333232
322121
12111211
0 00
zzBzzkzzkzzk
zzzkzBzB
!!
!!!
Siły sprężystości:( )( )
−=−=
3222
2111
zzkfzzkf
BuAxx +=!BuAff +=!
( )2111 zzkf !!! −=( )2222 zzkf !!! −=( )
21
1
21
1211 BB
fBB
zzkz+
−=+−=!
( )3
2
3
2323 B
fB
zzkz =−−=!
B1
k1 k2
B2
B3
1z! 2z! 3z!B2
B1
B3
Z1
Z2
Z3
f1
f2
różniczkujemy
6. Równania stanu
89
( ) ( )
( )
12
32112
3211212
32221121
322121
000
kkzkzkz
zkzkzkkzkzkzkzk
zzkzzk
+−=
=−−+=−+−=−+−
!!!
!!!
!!!!
!!!!
−
++
=
++
−+
−=
→
3
2
21
321122
21
3211
21
111
321 ,,
Bf
kkzkzk
kf
kkzkzk
BBf
kfzzz
!!!
!!!
!!!
+
+
+
−−
+−=
21
2
22
21
11
21
111 kk
Bfk
BBfk
BBfkf!
−+
+
+
−=
3
2
21
3
22
21
11
22 Bf
kkBf
kBB
fk
kf!
11
321
21
=====kkk
BB
211 21
41 fff −−=!
212 21
41 fff −=!
−−
−−=
2
1
2
1
21
41
21
41
ff
ff!
!
−−
−−=
21
41
21
41
A
043det
81
21
41
81
81
21
41det
21
41
21
41
2
2
=+=−
−+++=−
−−
−−=−
−−−
−−−=−
λλλ
λλλλλλ
λ
λλ
IA
IA
IA
6. Równania stanu
90
43
0
2
1
−=
=
λ
λ
−=
−= −
38
34
34
34
41
41
41
21
1MM
( )( )
+
−
−=
−⋅
4141
21
38
34
4121
21
34
34 4
30
2
1 tt eetftf
( )
( )41
21
38
34
411
21
34
34
41
21
38
34
211
21
34
34
43
2
43
1
t
t
etf
etf
−
−
+⋅
−=
+
−
−=
( )
( ) tt
tt
eetf
eetf
43
02
43
01
35
31
35
32
−
−
+=
+−=
Przykład 6.29Określić postacie ruchu swobodnego dla systemu opisanego macierzami A i B, orazwyznaczyć przy jakich warunkach początkowych x1(0) i x2(0) jedna z postaci ruchuzostanie wyeliminowana.
=
−−
=01
61112
BA
Wyznaczamy wartości własne:
λλ
λ −−−−
=−61112
IA
3421
2
1
−=
−=
λ
λ
Stąd postacie ruchu mają postać: tt
eie 34
21
−−
( )∑=
+=
n
iii Vex
xx
i
12
1 0 λω
00 =−=− iii VIAIA λλω
=
=→
−
−=
+−
+−=
132
321
123
21
611
1212
112
111
11 aa
VA
6. Równania stanu
91
=
=→
−
−=
+−
+−=
123
231
132
34
611
1342
212
211
21 aa
VA
[ ]21 VVV =
−
−=
−
−
−
=−
54
56
59
56
65
321231
1V
−=
−=→
=−
54
56
59
56
212
11 ωωωω
V
Sprawdzenie:111 =Vω
0lub0lub 121211 =−=− IAVVIA λωωλ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10540
5610
590
56
230
540
56
320
590
56
34
2121
212
34
2121
211
tt
tt
exxexxtx
exxexxtx
−−
−−
−+
+−=
−+
+−=
lub
( )( )
( )( )
( )( )
−+
−=
−−
123
00
34
56
132
00
59
96 3
4
2
121
2
1
2
1 tte
xx
exx
txtx
Zakładamy ( )( ) 1
32
00
2
1 =xx
dla pierwszej postaci ruchu → ( ) ( )0320 21 xx = po wprowadzeniu
tego do równania na x1(t) druga postać ruchu eliminuje się ( ) ( )320 2
1
21
textx−
= .
Przykład 6.30Określić postacie ruchu swobodnego i wykazać, że stanruchu jest określony następująco:
( ) ( ) ( )
−
−−
−= −
10
2sin2cos12
2sin2cos2 ttttetx t
B=0,5m=0,25C=0,5Fc(0)=2
2)0(1 =z!Rys. 6.25
1ω
2ω
m
fc z2
z1
6. Równania stanu
92
Zakładamy: 11
2
xzxf c
==
!
( )
( )
=−+
=−+
010
122
211
zzBzC
zzBzm
!!
!!!!
CfzzC
xf cc =→== 2221
=−+=−+0
0
1
11
BxCBffBCfBxxm
cc
c!
=−+=−+0
0
122
211
BxxBCxxBCBxxm
!
!!
( ) 02111 =−−+ xBxBxxm!
−=
−=→
=−+=+
212
21
122
21
11
1
00
xBC
xC
x
xm
x
BxxxBCxxm
!
!
!
!
Po podstawieniu:
−−
=4240
A
jjIA 2222084 212 −−=+−=→=++=− λλλλλ
jj
A224
2221 −−
−−=
jj
A224
2222 +−
+−=
21
21
442222
21
jV
jV
jjM
+=
−=→
+−−=
+=
−=
j
j
j
j
41
41
21
41
41
21
21 ωω
( )( )
[ ] ( )
( )[ ] ( )
+
++
−
+= −−+−
21
221
41
21
21
221
41
21
2222 je
j
je
jtx tjtj
( ) ( ) ( ) ( )jeejjeejtx jttjtt +
−+−
−= −−− 1
21
2111
211 2222
1
uxxx
xxx
+
−−
−=
111
300020001
3
2
1
3
2
1
!
!
!
Wyznaczyć postacie ruchu przy wymuszeniu skokowym u =1.
6. Równania stanu
93
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
−
−−
+
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
e
ee
xxx
ee
e
txtxtx
3
2
3
2
1
3
2
3
2
1
131
1211
000
( ) ( ) ( ) ( ) τττλλ duexetxt
tt 100
1111 ∫ −+=
( ) ( ) ( ) ( )ttt
tt exedexetx −−+−− −+=+= ∫ 100 10
11 ττ
Rozwiązanie ogólne dla wymuszenia skokowego jest u(t)=k
( ) ( ) ( )[ ]BkIeAxeBkdexetx AtAtt
tAo
At −+=+= −−∫ 10
0
ττ
Przykład 6.31Określić postacie ruchu obiektu jak na rysunku 6.26.
Rys. 6.26
2
22
1
211
Rxq
Rxxq
=
−=
+−=
−=
1222
2
111
1
qqUdt
dxA
qUdtdxA
−+−=
−−=
1
21
2
22
22
1
211
11
Rxx
RxU
dtdxA
RxxU
dtdxA
21222
1122
2
212
112
2222
2
12
21
22
2
2
22
211
1111
1
11
21
1
11
111
111
11
xRARA
xRAA
U
xRA
xRA
xRAA
URAxx
RAx
AUx
xRA
xRAA
URAxx
AUx
+−+=
=−+−=−+−=
+−=−−=
!
!
6. Równania stanu
94
+
+
−=
2
1
2
1
2
1
122212
1111
10
01
111
11
UU
A
Axx
RARARA
RARAx!
[ ]
==
==
dmsekRR
dmAA
1,0
10
21
221
+
−
−=
2
1
2
1
1010
0101
2111
UU
xx
x!
( )( )
618,22
53
381,02
53
513
1221212111
2
1
2
2
−=−−=
−=+−=
=∆++=
=−+++=−−−−−=
−−
−−=−
λ
λ
λλ
λλλλλλ
λλIA
dla λ1
−
−618,111618,0
dla λ2
618,011618,1
[ ][ ]618,11
618,01
2
1
−=−=
VV
t
t
ee15
102
1
1015
−
−
−=−=
ρρ
( ) ( )
iTii
i
ii
T
bpp
k
txktuBuAxx
ω
λρω
=
−=
=
+=!
pi — element macierzy sterowania modalnego2211 ububAxx ++=!
23,2
618,1618,011
−=
−
=
V
V
6. Równania stanu
95
( )
−
−−=
−
== −
1612,01618,1
447,0276,0447,0723,01
1
TD
T
V
VW
[ ]
[ ] 0723,001,0
447,0723,0
447,0723,0
1 =
=
=
p
W T
25,1710723,0
618,215
1
111 −=+−=−=
ρλρk
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )txtxtxktV T111111 54,76814,123447,0723,025,171 −−=−== ω
[ ] ( ) 2254,76814,12301,0
2111
ubtxxx +−−
+
−
−=!
( ) ( )
−−−
=
+
−−−
=
−−+
−
−
2165,638,13
2165,638,13
0065,738,12
2111
1
22
A
ubtxtx
liczymy wartości własne z A1
3,08618,0949,4949,4
3,015
2
2
1
−=
−−=
−=−=
λ
λλ
dlaV
=
−−=−
1,00
135,00186,01135,0211,0
21 bV
[ ]
[ ] 0135,01,0
0135,0016,0
135,00186,0
2
2
=
=
=
p
W T
5,7180135,0
3,010
2
222 −=+−=−=
pk λρ
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
[ ] ( ) [ ] ( )txtxxx
txtxtxWktV T
9736,131,0
054,76814,123
01,0
2111
9736,13135,00186,05,718222
−−
+−−
+
−
−=
−−=−==
!
4 6 82
0,5
1
1,5
x1x2
x1
x2
przed korelacją
po korelacji
x1x2
6. Równania stanu
96
Przykład 6.32Określić u(t) = F(x) aby niestabilna wartość własna wynosiła ρ2 = -5.
uxx
+
=
11
1110
!
3,201610
0 21 =−=→=−
−→=− λλ
λλ
λIA - wartość własna niestabilna
=
3612
1A
−
−=
2613
2A
−=−=⇒
−=
−−−
= −
51
52
51
53
5det1123
6623 1VVVV D
=11
b
=
51
52
2Tω
53
51
52
22 =+== bp Tω
( ) ( ) ( )212
12
2
22 238
51
52
53
35 xxxx
txp
tu T +−=
−−=
−= ω
λρ
