Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?

Autor: dr Janusz Górczyński, WSZiM w Sochaczewie

1

Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?


2

Problem

Powiedzmy, że interesuje nas odpowiedź na następujące pytanie:

W latach 1985-94 obserwujemy wartość pewnej cechy, np. wielkość produkcji telewizorów w tys. sztuk.

Dane empiryczne zobaczymy na kolejnym slajdzie.


3

Problem – dane empiryczne

Dane te tworzą szereg czasowy (inaczej chronologiczny).Szereg czasowy, to zbiór wyników postaci (t, yt) uporządkowany rosnąco wg czasu. Czas w szeregu czasowym odgrywa rolę zmiennej niezależnej

lata produkcja

1985 4,2

1986 4,5

1987 5,6

1988 5,7

1989 6,2

1990 8,9

1991 7,9

1992 16,1

1993 21,9

1994 22,9


4

Problem – inna postać danych

Bez szkody dla istoty problemu, a dla całkowitej zgodności z definicją szeregu czasowego przekształcamy czas tak, aby przypisać mu kolejne wartości naturalne 1, 2, 3 itd..

Interesuje nas teraz pytanie, czy możemy uznać, że trend tego zjawiska można przedstawić jako wykładniczą funkcję czasu?

czas produkcja

1 4,2

2 4,5

3 5,6

4 5,7

5 6,2

6 8,9

7 7,9

8 16,1

9 21,9

10 22,9


5

Problem – próba odpowiedzi

Można oczywiście oszacować (korzystając z Excela) wykładniczy model trendu na podstawie danych z poprzedniego slajdu.

y = 2,8545e0,1998x

R2 = 0,9076

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

produkcja

Wykł. (produkcja)


6

Próba odpowiedzi

Jak widzimy trend wykładniczy dość dobrze opisuje badaną zależność, ale z tego jednoznacznie nie wynika, że powinniśmy zastosować właśnie model wykładniczy.

W przypadku szeregu czasowego (szerzej: wtedy, gdy x zmieniają się o stałą wartość) i konieczności sprawdzenia, czy związek między y a czasem (x) jest wykładniczy możemy skorzystać z bardzo prostej własności funkcji wykładniczej.


7

Własność funkcji wykładniczej

)exp(btaeay btt

Załóżmy, że między y a zmienną t jest związek wykładniczy postaci:

Przyrost absolutny wartości funkcji wykładniczej dla argumentu t i t-1 jest równy:

))exp(1)(exp())1(exp()exp( bbtatbabtayt

Jak widzimy przyrost absolutny nie jest stały, lecz jest funkcją czasu.

dla t=2, 3, …, n


8

Własność funkcji wykładniczej (2)

Mając przyrosty absolutne możemy wyznaczyć przyrosty względne wartości funkcji w punkcie t:

)exp(1)exp(

))exp(1)(exp()( b

bta

bbta

y

yyd

t

tt

Z powyższego wynika, że w przypadku zależności wykładniczej przyrosty względne zmiennej y-ek są STAŁE (nie są funkcją zmiennej t)

dla t=2, 3, …, n


9

Rozwiązanie

ntyyy ttt ...,,3,21 dla

Wykorzystując podaną na poprzednim slajdzie zależność wyznaczamy dla naszych danych przyrosty absolutne zmiennej y dla kolejnych wartości czasu:

A następnie przyrosty względne:

ntdlay

y

t

tt ...,,3,2

1


10

Rozwiązanie – dane wyjściowe,przyrosty bezwzględne i względne


11

Obliczenie przyrostów-formuły


12

Rozwiązanie – estymacja pomocniczego modelu

Wykorzystując dane z kolumny A i D arkusza przedstawio-nego na slajdzie 10 (bez pozycji i=1) będziemy estymować model

z zamiarem wykazania, że parametr b jest równy ZEROZrobimy to poprzez weryfikację hipotezy H0:b=0.W sytuacji, gdy nie będziemy mieli podstaw do odrzucenia H0:B=0 będziemy mogli uznać, że przyrosty względne y-ka są STAŁE, a tym samym y-ek zależy wykładniczo od czasu!

tbayd t )(


13

Rozwiązanie numeryczne (1)

Do obliczeń wykorzystamy procedurę Liniowa z menu Regresja arkusza StatystykaJG.xls. Przed wywołaniem tej procedury musimy przygotować spójny obszar danych dla zmiennej niezależnej (czasu) jak i zmiennej zależnej (przyrostów względnych d(y)).Zaczniemy od wyselekcjonowania komórki A1, a następnie przy wciśniętym klawiszu Ctrl selekcjonujemy obszar A3:A11, komórkę D1 oraz obszar D3:D11. Zaznaczone obszary pokazane są na kolejnym slajdzie.


14

Rozwiązanie numeryczne (2) – zaznaczone obszary arkusza


15

Rozwiązanie numeryczne (3) – skopiowanie danych w inne miejsce

Korzystając z dowolnej metody umieszczamy zaznaczony fragment arkusza w schowku WindowsZawartość schowka wkleimy w innym miejscu arkusza, może to być przykładowo obszar zaczynający się komórką G1

Po ustawieniu kursora w tej komórce wywołujemy polecenie Wklej specjalnie i wybieramy opcję Wartości – jest to konieczne z uwagi na formuły w zaznaczeniu.


16

Rozwiązanie numeryczne (4) – dane skopiowane

Dane z obszaru G1:H10 zostaną wykorzystane w procedurze Liniowa


17

Obliczenia – wskazanie danych wyjściowych


18

Uruchomienie obliczeń

Pytanie o kontynuację obliczeń – odpowiadamy Tak


19

Wyniki weryfikacji H0:b=0

W obszarze M3:N3 mamy dolny i górny kraniec przedziału ufności dla wsp. regresji b – krańce są różnych znaków, co oznacza, że zero należy do tego przedziału, tym samym nie ma podstaw do odrzucenia H0


20

Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (1)

Na slajdzie 19 wskazałem, że z uwagi na fakt, że zero należy do przedziału ufności dla współczynnika regresji b NIE MAMY podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0

Analogiczny wniosek możemy sformułować wykorzystująć statystykę F –Fishera dla weryfikacji tej samej hipotezy. W komórce N7 mamy p-value, jego wartość jest większa niż domyślne alfa=0,05


21

Podsumowanie badania, czy przyrosty względne są stałe (2)

Fakt, że nie mamy podstaw do odrzucenia H0:b=0 wobec H1:b<>0 przy rozpatrywaniu modelu

tbayd t )(Oznacza, że przyrosty względne zmiennej y-ek są stałe, co automatycznie wskazuje na związek wykładniczy między zmienną y-ek a czasem t


22

Co dalej?

)exp(btaeay btt

btaebtayt )ln()ln()ln()ln(

Pozostaje nam estymacja modelu wykładniczego

Jest to jednak model krzywoliniowy, przed jego estymacją musimy go linearyzować. Logarytmując obustronnie mamy:

Co pozwala już na użycie standardowej procedury estymacji modelu liniowego


23

Przygotowanie danych do estymacji modelu wykładniczego

W kolumnie C są logarytmy danych z kolumny B, do estymacji wykorzystamy dane z obszaru A1:A11 oraz C1:C11


24

Estymacja – wskazanie danych


25

Estymacja – wykresy i badanie założeń


26

Pytanie o kontynuację obliczeń…


27

Wyniki estymacji w nowym arkuszu


28

Ocena wyników estymacji (1)

Test serii został wykorzystany do zweryfikowania hipotezy, że zależność między ln(y) a czasem jest liniowa. Wniosek jest oczywisty – wynika bowiem z naszych wcześniejszych rozważań dotyczących ustalenia, czy y-ek zależy wykładniczo od czasu


29


Pokazane są wyniki badania założeń o normalności reszt losowych i braku autokorelacji – w obu przypadkach założenia są spełnione.


30


Mamy oceny parametrów modelu wraz z ich błędami oraz 95% przedziałami ufności oraz wyniki weryfikacji hipotezy o istotności regresji (H0:b=0 vs H1:B<>0).

Hipotezę H0 odrzucamy, tym samym istnieje istotny liniowy związek między ln(y) a czasem.


31


Model ln(y)=ln(a)+bt jest istotny statystycznie, możemy więc podać interpretację współczynnika regresji b:

Jeżeli czas wzrośnie o jednostkę, to ln(y) średnio wzrośnie o 0,20 jednostki.

Uwzględniając przedział ufności dla współczynnika regresji można rozszerzyć ten wniosek do postaci:z 95% ufnością mamy prawo oczekiwać, że przy wzroście czasu o jednostkę ln(y) średnio wzrośnie o nie mniej niż 0,15 jednostek, ale nie więcej niż o 0,25 jednostek.


32


Procedura Liniowa zwróciła także wartości współ-czynników korelacji i determinacji. Temu ostatniemu można nadać następującą interpretację: zmienność ln(y) w prawie 91% jest wyjaśniona upływem czasu.Na slajdzie pokazana jest także macierz, którą wykorzystamy do prognozy.


33


Procedura Liniowa wyprowadza także pokazane wyżej wyniki, mamy tu czas, obserwowane wartości Y (u nas ln(y)), wartości teoretyczne wynikające z modelu, oraz przedziały ufności i predykcji oraz reszty.


34


0,7

1,3

1,9

2,4

3,0

3,6

0,9 2,7 4,6 6,4 8,3 10,1

Yi

Yi (teor.)

dolny p.u

górny p.u

dolny p.p

górny p.p

Na podstawie danych z poprzedniego slajdu przygotowany jest pokazany niżej wykres.


35

Retransformacja wyników (1)Wszystkie pokazane dotychczas wyniki estymacji jak i sformułowane wnioski dotyczą cechy ln(y) a nie samego y-ka. Niżej pokazane są dane ze slajdu 33 po retransformacji, czyli po powrocie do cechy y-ek.


36

Retransformacja wyników (2)

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

0 2 4 6 8 10 12

Yi

Yi (teor.)

dolny p.u

górny p.u

dolny p.p

górny p.p

Poniżej wykres zrobiony „ręcznie” na podstawie danych retransformowanych.


37

Prognoza przyszłych wartości (1)

Wykorzystamy teraz wyestymowany model do wyznaczenia prognozowanej wielkości produkcji telewizorów w kolejnym roku, czyli w 1995 roku. Precyzyjnie będziemy prognozować logarytm naturalny przewidywanej wielkości produkcji, ale po retransformacji będziemy mogli wrócić do rzeczywistej wielkości produkcji w 1995 roku.Prognozę wykonamy w tym arkuszu, w którym procedura Liniowa zwróciła wyniki estymacji modelu d(y)=ln(a)+bt


38

Prognoza przyszłych wartości (2)Do prognozy wykorzystamy dane z zaznaczonych obszarów …

Oraz obszar A43:A44, gdzie wpisałem etykietę oraz wartość czasu w 1995 roku


39


Do wykonania prognozy wykorzystam procedurę Prognozowanie z menu Regresja


40


Procedura Prognozowanie zwróciła wyniki w obszarze B43:H44, od wiersza 46 zapisałem wyniki prognozy po retransformacji.

Z 95% pewnością mamy prawo oczekiwać, że wielkość produkcji w 1995 roku będzie nie mniejsza niż 14,51 tys. sztuk, ale nie większa niż 45,52 tys. sztuk

Documents

Szereg czasowy – czy trend jest wykładniczy?