SYSTEMY LICZBOWE

SYSTEM DWÓJKOWY•Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2.

•Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości istnienia dwóch stanów, które można interpretować jako dwie różne cyfry.

•W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1.

• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.

Wartości dziesiętne wybranych liczb zapisanych w systemie dwójkowym:

Zapis w systemie

dwójkowym

Wartość w systemie

dziesiętnym

Wartość w systemie

dziesiętnym

Zapis w systemie dwójkowym

1 20 = 1 0,1 2-1 =0,5

10 21 = 2 0,01 2-2 =0,25

100 22 = 4 0,001 2-3 =0,125

1000 23 = 8 0,0001 2-4 =0,0625

10000 24 = 16 0,00001 2-5 =0,03125

100000 25 = 32 0,000001 2-6 =0,015625

1000000 26 = 64 0,0000001 2-7 =0,0078125

10000000 27 = 128 0,00000001 2-8 =0,00390625

100000000 28 = 256 0,000000001 2-9 =0,001953125

1000000000 29 = 512 0,0000000001 2-10 =0,0009765625

10000000000

210 = 1024 0,00000000001

2-11

=0,00048828125

W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system dwójkowy:

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny.

gdzie: • k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej),•bk to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu binarnego, bk є {0, 1}

Wzór ogólny liczby naturalnej zapisanej w systemie binarnym

Zamiana ułamka dziesiętnego na binarny:

SYSTEMY:

ÓSEMKOWY

I

SZESNASTKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY

Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7

Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest

trzykrotnie.

SYSTEM ÓSEMKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY

W tym systemie mamy szesnaście cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Symbolom literowym odpowiadają wartości dziesiętne:

A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15

SYSTEM SZESNASTKOWY

Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny

czterokrotnie.

SYSTEM SZESNASTKOWY

Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny)

Dec – system dziesiątkowy (decymalny)

Oct – system ósemkowy (oktalny)

Bin – system dwójkowy (binarny)

Wzór na wartość n-cyfrowej liczby całkowitej zapisanej w dowolnym

systemie liczbowym:

gdzie:

• k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej),

• ck to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu, ck є {0, 1, …, r – 1}

Działania arytmetyczne w różnych systemach liczbowych

Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w różnych systemach liczbowych są takie same jak w znanym Ci systemie dziesiętnym.

Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb. Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.

Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych.

System dwójkowy

System czwórkowy

Dalej

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

System czwórkowy

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

DODAWANIE

× 0 1

0 0 0

1 0 1

MNOŻENIE

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

System dwójkowy

+ 0 1

0 0 1

1 1 2

DODAWANIE

2 2 3

3 3 10

2 3

3 10

10 11

11 12

× 0 1

0 0 0

1 0 1

MNOŻENIE

2 0 2

3 0 3

2 3

0 0

2 3

10 12

12 21

2 3

Znasz już sposób postępowania przy zamianie liczby z układu dziesiętnego np. na układ

ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez 8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.

Na następnym slajdzie podany jest inny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania działań arytmetycznych w różnych systemach.

11000101001010111010010110111000011010110111

Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę 835(10) w systemie ósemkowym

• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:

8(10) =10(8)

Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr – wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:

83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8)

Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8)

835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8)

W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.