SynthŁse de filtres - benoit.decoux.free.frbenoit.decoux.free.fr/ENSEIGNEMENT/SIGNAL/ECE/cours_filtres.pdf · I.7) RØsumØ des diffØrentes Øtapes de synthŁse I.8) Exemple complet

1

Cours de

Traitement du signal- Synthèse de filtres -1ère partie : Filtres Analogiques

Benoît [email protected]

2

Cours de "Synthèse de filtres", 1ère partie

Plan

Introduction généraleGénéralités et rappels sur le filtrage

I) Synthèse de filtres analogiquesI.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreI.1.2) Réalisation électroniqueI.1.3) Association des cellules élémentaires

I.2) Filtres de ButterworthI.3) Filtres de TchebyscheffI.4) Filtres de CauerI.5) Filtres de BesselI.6) Comparaison des performancesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèseI.8) Exemple complet

3

Introduction

Définitions

e(t) : entrée s(t) : sortie h(t) : réponse impulsionnelle (à δ(t))

E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]

Représentations

)p(E)p(S)p(H =

)f(E)f(S)f(Hou

)j(E)j(S)j(H =

ωω=ω

NM,dt

)t(edbdt

)t(sdaM

0mm

m

m

N

0nn

n

n ≤=∑∑==

∫+∞

∞−

τττ−== d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

Domaine temporel Domaine fréquentiel (complexe)

p=jω)t(h

TL

Equation différentielle

Réponse impulsionnelle

Réponse à une entrée quelconque

Fonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert harmonique

TF

TF

TL

Signaux quelconques

Signaux sinusoïdaux

Introduction générale (1/4)

4

Objectif

Se rapprocher des filtres idéaux (le plus simplement possible)

passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande

Autre type de filtre courant : passe-tout (déphaseur pur)

1

fc f1 f2 f1 f2fc

1 1 1

Introduction Introduction générale (2/4)

)j(H ω

0fc f1 f2 f1 f2fc

0 0 0)j(Hlog20 ω

1)j(H ω

0)j(Hlog20 ω

f

f

f

f

5

Caractérisation des filtres "physiques"

- type : passe-bas, passe-haut, passe-bande : coupe-bande, passe-tout

- fréquence(s) de coupure

- pente des variations (liée à lordre du filtre)

- retard de phase

- retard de groupe

Si la phase est linéaire, tg est constant ↔ le signal ne subit pas de déformation.


ωωϕ−=ϕ

)(t

ωωϕ−=

d)(d

gt

6

Stabilité

Condition par rapport aux pôles

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert de Laplace sont situés dans le demi-plan situéà gauche de laxe imaginaire du plan de la variable p :

plan p

Explication

Pôle réel p0 :

Pôles complexes conjugués p1,2=α±jβ :

Condition par rapport à la réponse impulsionnelle

Soit h(t) la réponse impulsionnelle dun système. Ce système est stable si : ∫+∞

−∞=∞<

tdt)t(h

tpL

0

0Ae)t(hpp

A)p(H =→←−

=

)tsin(.eA)t(h)pp)(pp(

A)p(H tL

21

ωω=→←−−

= α

risque dinstabilité


Re

Im

zone destabilité

7

Cellule passe-bas du 1er ordre

Gain en dB :

Fonction de transfert harmonique :

Cellule passe-haut du 1er ordre

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

)j(Hlog20)(HdB ω=ω

Cellules élémentaires de filtrage : 1er ordreI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre

c

c

j1

j)j(H

ωω+

ωω

=ωpente=20dB/décade

pente=-20dB/décadepente=-20dB/décade

8

Cellule passe-bas du 2e ordre

Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :

ξ coefficient damortissement

( , Q facteur de qualité)

Gain en dB :

Le cas ξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente 40dB/déc.

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω


Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (1/3)

Q21=ξ


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordre

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

9

Cellule passe-bande du 2e ordre

Exemple dun filtre passe-bas du 2e ordre :

bande passante :

avec fréquence centrale

Gain en dB :

2

cc

2

c

jj21

j)j(H

ωω+

ωωξ+

ωω

=ω


Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (2/3)I) Synthèse de filtres analogiques


Qff 0=∆

21 cc0 fff ×=

ξ=0,7

pente=-20dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

10

Cellules du 1er et du 2e ordre

1er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

2er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

Passe-bande : Coupe-bande :

Déphaseur :

Cellules élémentaires de filtrage : 2e ordre (3/3)I) Synthèse de filtres analogiques


2

cc

2

c

jj21

j1

ωω+

ωωξ+

ωω+

2

cc

2

cc

jj21

jj21

ωω+

ωωξ+

ωω+

ωωξ−

2

00

2

0

jj21

j

ωω+

ωωξ+

ωω

2

00

0

jj21

j2

ωω+

ωωξ+

ωωξ

c

j1

1

ωω+

c

c

j1

j

ωω+

ωω

2

cc

jj21

1

ωω+

ωωξ+

11

Différentes formes des fonctions de transfert

harmonique (régime sinusoïdal) en variable de Laplace en variable de Laplace réduite

(forme normalisée

↔ indépendante de ωc)

Exemple : cellule passe-bas du 2e ordre

utile pour étude en fréquence : gain en dB et phase

(cellules élémentaires)

utile pour étude temporelle avec signaux (causals)

quelconques, étude des pôles (étude stabilité, factorisation)

idem variable de Laplace, avec écriture simplifiée

(=variable de Laplace réduite)


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert

)j(H ω )s(H)p(Hpj =ω s/p c =ω

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

2ss211)s(H+ξ+

=

2

cc

pp21

1)p(H

ω

+ω

ξ+

=

12

Intérêt de la forme normalisée

Toute létude peut porter sur la forme normalisée ; indépendamment de ωc.

Au final, il faut "dénormaliser" la fonction de transfert, cest à dire remplacer s par jω/ωc, pour pouvoir réaliser le filtre

satisfaisant aux paramètre du filtrage..


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreDifférentes formes des fonctions de transfert

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω2ss21

1)s(H+ξ+

=

c

jsωω=

s11)s(H+

=

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

13

Passage du cas passe-bas aux autres cas

Le passage dun type à lautre seffectue facilement par changement de variable.

Passe-bas → passe-haut

Passe-bas → passe-bande

avec

B : bande passante

fc1, fc2 : fréquences de coupure

Passe-bas → coupe-bande f0 : fréquence centrale du filtre

s1s →

+→

s1s

B1s

0

cc

fff

B 12−

=

1

s1sBs

−

+→


I.1.1) Cellules du 1er et du 2e ordreTransformation du type de filtrage

14

Réalisation par circuits passifs

1er ordre

passe-bas passe-haut

2e ordre

passe-bas passe-bande passe-haut

Méthode de calcul

Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension

avec 2 impédances complexes Z1 et Z2.

Dans le cas du 2e ordre, lune des 2 impédances est elle-même constituée

de 2 impédances complexes en série ou parallèle.

Réalisation des cellules élémentaires par circuits passifsI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique

Z1Z2

15

Réalisation par circuits actifs : cellule du 1er ordre

La cellule du 1er ordre suivante permet de réaliser des filtres passe-bas et passe-haut :

Passe-bas : Z1 : Z2 :

Passe-haut : Z1 : Z2 :

Exemple : passe-bas avec R=1kΩ et C=10nF

ω+−=ω

CjR11.

RR)j(H

21

2

|H(jω)|

ω (éch. log)

-R2/R1

1/R2C


I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active du 1er ordre

16

Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande

du 2e ordre.

Ils permettent dobtenir des facteurs de qualité moyens (jusquà 20 environ).

Structure de Sallen-Key

Passe-bas :

Passe-haut :

)ZZ(Z)ZZ(Z)H1(ZZZkZ

VVH

432321041

42

e

s

++++−==

1RRk

b

a +=

11 RZ =pC

1Z2

2 =

pC1Z1

1 = 22 RZ =


I.1.2) Réalisation électronique

4231c CCRR

1=ω

++−=ξ4231

4341021

CCRRCRCR)H1(CR

21

3142c CCRR

1=ω

+++=ξ3142

0343212

CCRR)H1(CRCRCR

21

33 RZ =pC

1Z4

4 =

pC1Z3

3 = 44 RZ =

Cellule élémentaire active de Sallen-Key

kH0 =

kH0 −=

avec

17


Structure de Rauch

Passe-bas :

Passe-haut :

Passe-bande :

4343215

31

e

s

YY)YYYY(YYY

VVH

++++−==

11 RZ =pC

1Z2

5 =34 RZ =

pC1Z1

1 = 25 RZ =pC

1Z3

4 =

pC1Z1

2 =

12 RZ =

121 RZZ ==Cp1ZZ 43 ==

25 RZ =



pC1Z2

3 =

23 RZ =1

232

321 CCRR

R1

R1

R1

21

++=ξ

2132c CCRR

1=ω1

30 R

RH −=

3

10 C

CH =3221

c CCRR1=ω ( )

322

1321 CCR

RCCC21 ++=ξ

2

1

R2R=ξ

CR2

1c

ξ=ωξ

−=2

1H0

Cellule élémentaire active de Rauch

18


I.1.2) Réalisation électroniqueCellule élémentaire active universelle

11

22

43

3

CRCR

RRR+

=ξ

2121c CCRR

1=ω43

40 RR

R2H+

=

43

40 RR

R2H+

−=

3

40 R

RH −=

43

4

a

b0 RR

R2RRH

+×−=


Cellule généralisée du seconde degré (ou filtre universel, ou filtre à variables détat)

Intérêts :

- 4 filtrages de base dans une même structure ;

- facteurs de qualité élévés (Q>10).

Inconvénient :

- phases des sorties différentes

Passe-bas : (gain statique)

Passe-haut :

Passe-bande :

Coupe-bande :

19

Circuits passifs vs circuits actifs

Filtres passifs

Inconvénients :

- nécessitent parfois des composants volumineux (condensateurs et bobines)

Avantages :

- passifs, donc ne nécessitent pas dalimentation (exemple : enceintes acoustiques)

Filtres actifs

Inconvénients :

- nécessitent une alimentation

- bande passante limitée donc limitation aux fréquences basses

- sensibles à leurs composants passifs (condensateurs et résistances)

- produisent du bruit

- limités en tension

Avantages :

- permettent une intégration à grande échelle (et notamment dans les processeurs)

- fiables

- coût de fabrication réduit

Circuits passifs vs circuits actifsI) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrageI.1.2) Réalisation électronique

20

Mise en évidence des pôles

Par factorisation du dénominateur, la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

ou N ordre du filtre

Exemple avec N=1

1 pôle (réel pur) :

doù :

Exemple avec N=2 et ξ=0,7

2 pôles (complexes conjugués doù

et à partie réelle <0) :

∏−

= −=

1N

0n nss1)s(H

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωω+

=ω 2ss211)s(H++

=

+−=

−−=

)j1(22s

)j1(22s

2

1

))j1(22s))(j1(

22s(

1)s(H+−−−−−

=

Etude des pôles des cellules élémentaires

c/js ωω=

∏−

= −−=

1N

0n n

n

ppp)p(H



c

j1

1)j(H

ωω+

=ωs1

1)s(H+

=c/js ωω=

1s1 −=

)1(s1)s(H−−

=

21

Décomposition des fonctions de transfert

Décomposition sous forme de produit

Une fonction de transfert dordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires dordres 1 et 2 (les ordres sajoutent).

Schémas-blocs et modules électroniques

Quand les modules élémentaires (schémas-blocs ou modules électroniques) sont mis en cascade (=en série), les ordres sajoutent. Exemple pour lordre N=5 :

Diagrammes de Bode

Dans les diagrammes de Bode, les courbes de gain (en dB) sadditionnent :

→ importance de létude des cellules de filtrage dordre 1 et 2 ; on les appelle cellules élémentaires

N=2

=


I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (1/2)

)j(H).j(H).j(H)j(H 321 ωωω=ω

fc fc fc fc=+ +-40 -40 -100-20

H1 H2 H3

N=2 N=1 N=5

H

22

Position du problème

On a vu comment vu la cellule de filtrage passe-bas du 1er ordre, dont les caractéristiques sont :-3dB à fc-atténuation -20dB/décade

puis la cellule de filtrage du 2e ordre dont les caractéristiques sont -3dB à fc-atténuation -40dB/décade

De plus, on sait quen associant des cellules du 1er et du 2e ordre, on peut obtenir des cellules dordre plus élevé.

Problème : est-il possible dobtenir un filtre dordre N quelconque, caractérisé par :-3dB à fc-atténuation -20хN dB/décade ?

On a vu quen associant des cellules élémentaires on pouvait obtenir un ordre quelconque, comme par exemple pour lordre 5 :

mais comment avoir toujours 3dB à fc ?

N=2

=H1 H2 H3

N=1 N=5

H

N=3


I.1.3) Association des cellules élémentairesIntérêt des cellules élémentaires de filtrage (2/2)

23

Intérêt

Comment obtenir une pente quelconque tout en ayant 3dB à fc, sans calculs (trop) compliqués ?

→ Monsieur Butterworth, dans les années 30, a trouvé une solution :

Définition

N ordre du filtre

Propriétés

pente de la décroissance du gain : -20хN dB/décade gain à fc : 3dB (Ұ N)

N2

c

2

1

1)(H

ωω+

=ω

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Filtre de Butterworth : définition et propriétés

10-1 100 101-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gain en dB pour N=1, 2, 3, 4, 5

Programme Matlab :w=linspace(0.1,10,1000);

[z,p,k]=buttap(2);

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w);

semilogx(w,20*log10(abs(h)),'black');

...

24

Lien avec cellules élémentaires

Cellule passe-bas du 1er ordre :

Il sagit bien dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=1.

Cellule passe-bas du 2e ordre, avec (rappel : -3dB à fc) :

Il sagit également dun cas particulier du filtre de Butterworth, avec N=2.

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth Cellules de filtrage de base : 2e ordreFiltre de Butterworth : étude de lordre 1 et 2

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωω+

=ω

22=ξ

4

cc

2

c

2

cc1

1...

2j1

1

jj21

1)j(H

ωω+

==

ωω+

ωω−

=

ωω+

ωω+

=ω

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω2

cc

1

1

j1

1)j(H

ωω+

=

ωω+

=ω

25

Etude des pôles de la fonction de transfert (=racines du dénominateur)

Différentes formes de la fonction de transfert

harmonique en variable de Laplace en variable de Laplace réduite

Détermination des pôles

Les pôles sont tels que : ↔ ↔

↔

Il y a 2N pôles (2 fois plus que lordre du filtre), ce qui est normal puisquon a recherché les pôles de |H(jω)|2

0s)1(1 N2N =−+π+−

= N2n21Nj

n es

1N2n0 −≤≤

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn

N2

c

2

1

1)j(H

ωω+

=ω

N2N2

s)1(11)s(H−+

=

I) Synthèse de filtres analogiquesI.2) Filtre de Butterworth

Filtre de Butterworth : étude des pôles (1)

N2

c

2

p1

1)p(H

ω

+

=N2

2

s11)s(H+

=ω= jp c/ps ω=

⇒−=ωω↔

ωω= jsjs

cc

26

Position des pôles

La fonction |H(jω)|2 possède 2N pôles ; ils sont situés sur le cercle unité ;: à partie réelle <0: à partie réelle >0

Chaque pôle à partie réelle négative possède un "homologue" à partie réelle >0. Ces derniers, qui ne correspondentpas à un système stable, ne sont pas pris en compte (on a vu précédemment que la cellule passe-bas du 1er ordre et celle du 2e ordre, pour . possédaient respectivement 1 et 2 pôles à partie réelle <0 ; la généralisation à lordre Nconsiste à ne garder que les pôles à partie réelle <0 : ce sont les pôles de H(jω), même si cette dernière nest pas définie directement).

Le pôle réel pur, quand il existe, correspond à une cellule du 1er ordre.

Les autres pôles existent par paires : 1 pôle + son conjugué ;

N=2N=1 N=3 N=4

etc


Filtre de Butterworth : étude des pôles (2)

1Nn0 −≤≤1N2nN −≤≤

non pris en compte

2/2=ξ

27

Exemple : Filtre de Butterworth dordre 2 (passe-bas)

N=2 → 2 pôles :

On retrouve bien les 2 pôles calculés précédemment.

Différentes formes de la fonction de transfert :

Réalisation pratique : mise sous forme standard

(déjà étudiée précédemment)

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn 1,0n =

π+

π−=

4cosj

4sins0

22j

22 +−=

22j

22 −−= Re

Im

*01 s

4cosj

4sins =

π−

π−=

4s11)s(H+

=4

c

1

1)j(H

ωω+

=ω ou4

c

p1

1)p(H

ω

+

= ou


Filtre de Butterworth : exemple dordre 2

1s2s1)s(H 2 ++

=

28

Exemple : Filtre de Butterworth passe-bas dordre 4

N=4 → 4 pôles :

Réalisation pratique : mise sous forme de 2 fonctions de transfert standard du 2e ordre

3,...,0n =

π+

π−=

8cosj

8sins0

π+

π−=

83cosj

83sins1

*s8

5cosj8

5sins 12 =

π+

π−= *s

87cosj

87sins 03 =

π+

π−=

3210

3

0n n ss1.

ss1.

ss1.

ss1

ss1)s(H

−−−−=

−=∏

=

)s(H).s(H 21=

)*ss)(ss)(*ss)(ss(

1)s(H1100 −−−−

=

1s848,1s1.

1s765,0s1

22 ++++=

...*ss)*ss(ss

1.*ss)*ss(ss

1

11112

00002

=++−++−

=


Filtre de Butterworth : exemple dordre 4

π++

π+−=

N21n2cosj

N21n2sinsn

Re

Ims0

s1

s2

s3

1

29

Polynômes de Butterworth

Une fois les pôles de la fonction de transfert calculés, les pôles complexes conjugués sont regroupés ensemble.Chaque paire correspond à une cellule élémentaire (passe-bas) du 2e ordre.Le pôle simple réel, sil existe (ordre impair), correspond à la cellule élémentaire (passe-bas) du 1er ordre.

Forme développée

n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : s3+2s2+2s+1n=4 : s4+2,6131s3+3,4142s2+2,6131s+1n=5 : s5+3,2361s4+5,2361s3+5,2361s2+ 3,2361s+1n=6 : s6+3,8537s5+7,4741s4+9,1416s3+7,4741s2+3,8537s+1etc

Forme factorisée

n=1 : s+1n=2 : s2+1,41s+1n=3 : (s+1)(s2+s+1)n=4 : (s2+0,765s+1)(s2+1,848s+1)n=5 : (s+1)(s2+0,618s+1)(s2+1,618s+1)n=6 : (s2+1,932s+1)(s2+1,414s+1)(s2+0,518s+1)etc


Filtre de Butterworth : polynômes

30

Butterworth avec gabarit

Définition dun gabarit

(On parle également de "synthèse sur cahier des charges")

On distingue la bande passante de la bande datténuation (ou coupée).On définit latténuation maximale (Ap) tolérée dans la bande passante, et latténuation minimale tolérée dans la bande darrêt (Aa).

: sélectivité

Dans le cas classique, Ap=3dB. On peut souhaiter une atténuation Ap moins importante. Il suffit dajouter un paramètre

supplémentaire dans la fonction de transfert de Butterworth :

ou

N2

p

2

2

1

1)(H

ωωε+

=ω 10 ≤ε≤

N222

11)(HΩε+

=ωpωω=Ω


pulsation réduite

0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

p

a

ωω

31

Gabarits

Autres gabarits

passe-bas passe-haut

passe-bande coupe-bande

RemarquePour la transformation de gabarits passe-bas vers passe-bande ou coupe-bande, ces derniers doivent être symétriques.Si ça nest pas le cas, il faut des rendre symétrique (en les rendant plus sévères).La condition de symétrie est :


0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

0 ωpωa

-Aa

-Ap

ω

0 ωp1ωa1

-Aa

-Ap

ωωa2ωp2

2a1a2p1p f.ff.f =

0 ωa1ωp1

-Aa

-Ap

ωωp2ωa2

32

Définition dun gabarit

On part du gain en dB :

Soit Ap le gain à la pulsation ω=ωp, (soit Ω=1) on peut démontrer (*) que lon a :

On peut démontrer (**) que lordre du filtre est donné par :

Le résultat peut être fractionnaire ; lordre choisi est lentier supérieur.

On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :

(*) il suffit dimposer que le gain soit Ap dB pour ω=ωp ; on a alors Ω2N=1, et la seule inconnue est ε.(**) on impose que la courbe passe par le point (ωp, Aa). Connaissant ε, la seule inconnue est N.

11010pA

−=ε

a

10aA

log2

log2110logN

Ω

ε−

−

=

N2211log20)(Hlog20Ωε+

=Ωpωω=Ω


Paramètres du filtre de Butterworth à partir du gabarit

0 ωp ωωa

-Aa

-Ap

p

aa ω

ω=Ω

Np

c εω

=ω

33

Exemple : Détermination dun filtre dont le gain est atténué de 1dB à la fréquence fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz

Pulsation réduite datténuation en bande coupée Ωa :

Ordre du filtre :

On prend pour lordre lentier supérieur : N=4.

La fonction de transfert du filtre est la suivante :

Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé un ordre N=10

509,0110110 101

10pA

=−=−=ε

5kHz1kHz5

ff

p

a

p

aa ===

ωω=Ω

99,35log2

509,0log2110log

log2

log2110logN

1050

a

10aA

=−

−

=Ω

ε−

−

=

8

p

N2

p

2 259,01

1

1

1)(H

ωω+

=

ωωε+

=ω


Butterworth à partir dun gabarit : exemple

0 1 f(kHz)5

-50

-1

34

Détermination des pôles

Rappel : uniquement les pôles à partie réelle <0

Les arguments des pôles sont les mêmes que ceux de la fonction de transfert simplifiée avec ε=1, mais situéssur un cercle de rayon


Filtre de Butterworth généralisé : détermination des pôles

N2N22

s)1(11)s(H−ε+

=⇒−=ωω↔

ωω= jsjs

cc

N222

s11)s(Hε+

=

0s)1(1 N2N2 =−ε+π+−

ε= N2

n21NjN

n e1s

1Nn0 −≤≤

π−+

π−−

ε=

N21n2cosj

N21n2sin1s N

n

N /1 εRe

Ims0

s1

s2

s3

N1.ε

35

Utilisation dabaques

Elles permettent de déterminer lordre du filtre en fonction des paramètres Ap, Aa, ωp et ωa.


Butterworth : utilisation dabaques

0ωP ωωa

-Aa

-Ap

p

a

ωω=λ

36

Programmation Matlab

%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth

[N,Wn]=buttord(1000,5000,1,50,'s')

[b,a]=butter(N,Wn,'s');

F=[100:1:10000]; %vecteur de fréquences

[hb,bc]=freqs(b,a,F); %calcul réponse en fréquence

semilogx(bc,20*log10(abs(hb))); %affichage avec axe des abs. log.

xlabel('Frequence (radians)');

ylabel('Gain (dB)');

grid;

Pour la phase :...

semilogx(bc,angle(hb));

...


Butterworth avec Matlab

102 103 104-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (Hz)

Phase (rad)

102 103 104-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequence (Hz)

Gain (dB)

37

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

Définition

Il existe 2 types :

Type I : Type II :

avec Ω pulsation réduite :

TN(.) désigne un polynôme dordre N défini par :

Les premiers polynômes sont donc :

On peut démontrer (*) quil existe une relation de récurrence entre ces polynômes :

(*) la démonstration consiste à exprimer TN+1(ω) et à utiliser les formules de trigonométrie :et

ωωε+

ωωε

=ω

pN

2

pN

2

2

2

2

T1

T)(H

ωωε+

=ω

pN

2

2

2

T1

1)(H 1<ε1<ε

)(T)(T.2)(T 2N1NN ω−ωω=ω −−

....

pωω=Ω

N2N ]1jRe[)(T ω−+ω=ω

ω=ω−+ω=ω ]1jRe[)(T 21

1]1jRe[)(T 020 =ω−+ω=ω

12]1jRe[)(T 2222 −ω=ω−+ω=ω

)bsin().asin()bcos().acos()bacos( −=+ )b(sh).a(sh)b(ch).a(ch)ba(ch −=+

38

Filtres de Chebyshev (ou Tchebyscheff )I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

Définition

Les polynômes TN(.) sont également définis par :

On peut démontrer que la fréquence de coupure à 3dB est liée à la fréquence fp par la relation :

>≤= 1xsi))x(charg.N(ch

1xsi))xarccos(.Ncos()x(TN

2ee)xcosh(

xx −+=

2ee)xsinh(

xx −−=

ε

ω=ω 1coshan1coshpc

Rappel :

39

Filtres de Chebyshev : caractéristiques

Caractéristiques

Type I

Oscillations dans la bande passante (band-pass ripple)

Soit N lordre du polynôme du dénominateur ;

- si N pair, |H(0)|=0 ; si N impair,

- Pour ω <=ωc, |H(jω)| oscille N/2 fois entre 1 et .

- Pour ω>ωc, |H(jω)| est monotone et décroissante.

1)(H1

12

≤ω≤ε+

I) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.021/1)0(H ε+=

|H(jω)| (N=2,3,4)

21/1 ε+

10-1 100 101-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20log|H(jω)| (N=2,3,4)

40

Filtres de Chebyshev : caractéristiquesI) Synthèse de filtres analogiquesI.3) Filtres de Chebyshev

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Frequence

Module fonction de transfert

Caractéristiques

Type II

Oscillations dans la bande atténuée (ou coupée) (stop-band ripple) 21)(H0

ε+ε≤ω≤

41


Définition

On part du gain en dB :

On peut montrer que le paramètre est défini par :où Ap est latténuation à ωp

et que lordre N du filtre est donné par :

où Ωa est la pulsation réduite datténuation minimale en bande atténuée.

11010Ap

−=ε

)(charg

110chargN

a

10aA

Ωε−

=

Paramètres du filtre de Chebyshev à partir du gabarit

)(T1

1log20)(Hlog202

N2 Ωε+

=Ωpωω=Ω

p

aa ω

ω=Ω

42

Etude des pôles

Les pôles sont définis par :

avec et (=cte)

Comme dans le cas de Butterworth, on ne prend en compte que la moitié des pôles : ceux à partie imaginaire <0.

En posant

et en se souvenant que , on voit que

ce qui est la définition dune ellipse, sh2(β) et ch2(β) étant des constantes (voir ci-dessous).

Les pôles sont donc situés sur une ellipse.

Rappel : dans un repère (x,y), une ellipse est définie par ; a et b sont les 2 rayons de lellipse.


)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 1N2k0 −≤≤

Nk

N2kπ+π=α

ε=β 1sharg

N1


)(sh)sin(Re kk βα= )(ch)cos(Im kk βα=

1)(ch

Im)(sh

Re2

2k

2

2k =

β+

β

1by

ax

2

2

2

2

=+

1)x(cos)x(sin 22 =+

43

Etude des pôles : exemple avec N=2

Les pôles sont définis par :

On a :

et , soit

doù

Les pôles sont donc situés sur une ellipse de rayons sh(β)≈0,17 et ch(β)≈1 .


)(ch)cos(j)(sh)sin(s kkk βα+βα= 3k0 ≤≤

Nk

N2kπ+π=α

17,02sharg21

509,01sharg

N11sharg

N1 ≈≈=

ε=β


40π=α

43

241π=π+π=α

45

42π=π+π=α

47

23

43π=π+π=α

17,0)(sh ≈β 1)(ch ≈β

)4

cos(j)4

sin(17,0s0π+π= )

43cos(j)

43sin(17,0)

43cos(j)

43sin(17,0s1

π+π=π+π=

44

Filtres de Chebyshev : exemple avec type I

Exemple avec type I : Gain atténué de 1dB à fa=1kHz et de 50dB à fr=5kHz

Pulsation réduite datténuation en bande coupée :

Ordre du filtre :

On prend pour lordre lentier supérieur : N=3.

Fonction de transfert du filtre :

Autre exemple : en prenant fa=2kHz, on aurait trouvé N=3,66 (→ N=4)

Remarque : lordre est inférieur à celui du filtre de Butterworth équivalent.

509,0110110 101

10Ap

=−=−=ε

1,2)5(charg

110charg

)(charg

110chargN

1050

a

10aA

=ε−

=Ωε−

=

2

3

3

3

2

33

2

10.23

10.2426,01

1

.10.2T26,01

1)(H2

πω−

πω+

=

πω+

=ω


0 1 f(kHz)5

-50

-1

p

aa ω

ω=Ω

45

Polynômes de Chebyshev

Les coefficients du polynômes sont donnés en fonction de Ap (en général, on prend 0,5 ou 1) et de lordre du filtre N.

Pour Ap=1dB :

Forme développée

n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,9957s+1n=3 : 2,0353s3+2,0116s2+2,5206s+1n=4 : 3,628s4+3,4568s3+5,2749s2+2,6942s+1n=5 : 8,1415s5+7,6271s4+13,75s3 +7,933s2+4,7264s+1n=6 : 14,512s6+13,47s5+28,02s4+17,445s3 +13,632s2+4,456s+1etc

Forme factorisée

n=1 : 0,509s+1n=2 : 0,907s2+0,996s+1n=3 : (2,024s+1)(1,006s2+0,497s+1)n=4 : (3,579s2+2,411s+1)(1,014s2+0,283s+1)n=5 : (3,454s+1)(2,329s2+1,091s+1)(1,012s2+0,181s+1)n=6 : (8,019s2+3,722s+1)(1,793s2+0,609s+1)(1,009s2+ 0,126s+1)etc

Polynômes de Chebyshev

Remarque : contrairement aux polynômes de Butterworth, les cellules élémentaires de la forme factorisée ne possèdent pas ici toutes la même fréquence de coupure.


46

Filtres de Bessel : principe (1)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Filtres de Bessel

Les filtres de Bessel sont basés sur le critère de la plus grande linéarité possible de la phase (en fonction de la fréquence).

On rappelle lintérêt davoir une phase linéaire : le signal nest pas déformé par le filtre.

On définit le retard de groupe :

Si la phase est linéaire, le retard de groupe est constant.

On définit donc une fonction de transfert (FT) :

Pour simplifier, on prend τ =1 :

On cherche ensuite à mettre la FT sous forme passe-bas (on cherche à faire apparaître ses pôles) :

ωωϕ−=

d)(d

gt

pe)p(H τ−= ωτ−=ω je)j(H avec τ constant

pe)p(H −=

)p(sh)p(ch1

2ee

2ee

1)p(H pppp +=

−++= −−

47

Filtres de Bessel : principe (2)I) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Filtres de Bessel

Pour déterminer le polynôme équivalent au dénominateur,

on utilise la "technique" suivante : on exprime le développement

limité de cth(p)=ch(p)/sh(p), on effectue la division des polynômes

puis on identifie numérateur et dénominateur resp. à ch(p) et sh(p).

En limitant le développement limité à lordre N, on obtient une expression approchée de cth(p).

Pour N=2, on a :

Par identification, on trouve : et doù

Pour N=3, on a

Par identification, on trouve : et doù

etc.

Pour lordre n, on a : avec

...p5

1P3

1p1

...!5

p!3

p1

...!4

p!2

p1

)p(sh)p(ch)p(cth 53

42

++

+=+++

+++==

3

2

pp15p615

p/5/1p/31

p1)p(cth

++=

++=

2p615)p(ch += 3pp15)p(sh +=32 pp6p1515

1)p(sh)p(ch

1)p(H+++

=+

=

nn

2210n pa...papaa1

)p(B1)p(H

++++==

p3p3

p31

p1)p(cth

2+=+=

2p3)p(ch += p3)p(sh = 2pp331

)p(sh)p(ch1)p(H

++=

+=

(p)Bp(p)1)B-(2n(p)B 2-n2

1-nn +=

1B0 =1p(p)B1 +=

48

Filtres de Bessel : normalisationI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Normalisation

En considérant la fréquence normalisée pour ω/ωc avec ωc telle que 20log|H(ωc)|=-3dB, on a :

Par exemple pour N=2, le polynôme du dénominateur est :

On le transforme en polynôme standard (en mettant en facteur le terme constant, qui représente un gain statique) :

La pulsation normalisée ω=ωc permettant davoir une atténuation de 3dB est telle que

↔ ↔ ↔

La fonction de transfert normalisée devient donc :

203

nn

2210 10pa...papaa =++++

2p31p1 ++

2pp33 ++

203

2 10p31p1 =++ 20

32

cc 10)j(31j1 =ω+ω+ 359,1c =ω

22 p6149,0p359,11

1

)p359,1(31p359,11

1)p(H++

=++

=

49

Polynômes de BesselI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel

Coefficients des polynômes du dénominateur

Forme développée (normalisée)

n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1n=3 : 0,3607s3+1,2328 s2+1,7556s+1n=4 : 0,1901s4+0,8995s3+1,9149s2+2,1138 s+1n=5 : 0,08911s5+0,5506s4+1,588s3+2,6174s22,4266s+1

Forme factorisée

n=1 : s+1n=2 : 0,618s2+1,359s+1

n=3 : (1,3225s+1)(0,4773s2+0,9998s+1)

n=4 : (0,4883s2+1,3389s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)

n=5 : (1,5015s+1)(0,4133s2+1,1408s+1)(0,3885s2+0,7738s+1)

Il nexiste pas de méthode analytique pour permettre de déterminer les coefficients ai en fonction dun gabarit.

Ces coefficients sont obtenus par approximations successives, par des méthodes graphiques ou des

algorithmes numériques

50

Filtres de Bessel : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.4) Filtres de Bessel


%Réponse en fréquence d'un filtre de Butterworth

[b,a]=besself(4,1000)






grid;

Pour la phase :...


...

102

103

104

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Frequence (Hz)

Gain (dB)

102

103

104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (Hz)

Phase (rad)

51

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : introduction

Filtres de Cauer

Introduction

Les filtres étudiés jusquici (Butterworth, Chebyshev, Bessel) étaient tous sous la forme :

On les appelle filtres polynômiaux. Ils sont caractérisés par leurs pôles. On parle de filtres "tous pôles".

D(p) est appelée fonction de transmission.

Il existe également des filtres qui possèdent en plus un polynôme au numérateur.

On les appelle filtres elliptiques. Cest le cas du filtre de Cauer.

En plus de ses pôles, cette fonction de transfert possède des zéros (valeurs de p qui annulent la fonction de transfert).

Ces zéros correspondent à des fréquences pour lesquelles la fonction de transfert est nulle, et donc un signal à cette

fréquence est éliminé.

Sils sont judicieusement placés dans le plan complexe, ils permettent daugmenter les pentes de variation du gain,

par rapport aux filtres polynômiaux.

n210

m210

p...papaap...pbpbb

)p(D)p(N)p(H

++++++++==

n210 p...papaa

1)p(D

1)p(H++++

==

52

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer Filtres de Cauer : définition

Filtres de Cauer

Ils sont définis par la fonction de transfert suivante :

où RN(ξ,ω/ω0) est appelée fonction rationnelle de Chebyshev; N est lordre du filtre, ω0 la pulsation de coupure,,ε est le facteur dondulation et ξ est le facteur de sélectivité.

Dans la bande passante, le gain varie donc entre 1 et

Dans la bande atténuée, le gain varie donc entre 0 et , avec

La fonction RN est appelée fonction elliptique.

Ces filtres sont caractérisés par des oscillations à la fois

dans la bande passante et dans la bande coupée.

La décroissance de leur gain est plus rapide

que celle des filtres polynômiaux, avec un ordre inférieur.

Quand , le filtre devient équivalent à un filtre de

Chebyshev de type I.

)/,(R11)(H

02N

22

ωωξε+=ω

21/1 ε+2N

2L1/1 ε+ ),(RL NN ξξ=

∞→ξ

en.wikipedia.org

53


Filtres de Cauer

La fonction elliptique peut se mettre sous la forme suivante :

pour N pair pour N impair

avec xi les zéros et xpi les pôles de ces rationnelles, et r0 un facteur de normalisation tel que

Le dénominateur de ce polynôme fait apparaître des zéros dans la fonction de transfert du filtre.

Ils sont appelés zéros de transmission, et ont la propriété déliminer les fréquences correspondantes.

RN(ξ,x) avec N=3 ; ξ=1,3 RN(ξ,x) avec N=4 ; ξ=1,3

∏∏

=

=

−

−=ξ N

1i pi

N

1i i0N )xx(

)xx(r)x,(R

∏∏

=

=

−

−=ξ N

1i pi

N

1i i0N )xx(

)xx(xr)x,(R

1)1,(RN =ξ

54


Filtres de Cauer

Il nexiste pas dexpression analytique pour les pôles et les zéros de la fonction de transfert du filtre.

Ils sont calculés par des méthodes numériques.

La synthèse comporte les étapes suivantes :

1. Détermination de lordre N en fonction du gabarit

2. Détermination du polynômes du numérateur et du dénominateur

3. Détermination des pôles et des zéros

Exemple Matlab

fp=1000; fa=2000; Ap=1; Aa=40;

[N,Wn]=ellipord(fp,fa,Ap,Aa,'s') %étape 1

[num,den]=ellip(N,1,50,Wn,'s') %étape 2

zeros=roots(num) %étape 3

poles=roots(den) %étape 3

Une fois les pôles et les zéros connus, on peut écrire la fonction de transfert sous forme dun produit de

fonctions de transfert élémentaires du 1er et du 2e ordre (en regroupant les pôles et les zéros conjugués entre eux).

On peut alors passer à la réalisation électronique.

55

Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer


%Réponse en fréquence d'un filtre de Cauer (elliptique)

[N,Wn]=ellipord(1000,5000,1,50,'s')

[b,a]=ellip(N,1,50,Wn,'s');






grid;

Pour la phase :...


...

102 103 104-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frequence (radians )

Gain (dB)

102 103 104-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Frequence (radians )

Gain (dB)

56

Filtres de Cauer : programmation MatlabI) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

Caractéristiques

Affichage du gain en dB et de la phase en échelle semi-log :

f=[0.1:0.01:4];

[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100) %-99dB entre f/fe=0,4 et 0,5

[b,a]=ellip(n,1,100,wn); % -> ordre 9

[H,fl]=freqz(b,a,f);

semilogx(fl,20*log(abs(H)),'b');

hold;




semilogx(fl,20*log(abs(H)),'r');




semilogx(fl,20*log(abs(H)),'g');

Un affichage de |H(f)| en échelle linéaire permet de constater la

non-linéarité de la phase (même dans la bande passante) :

[n,wn]=ellipord(0.4,0.5,1,100)

[b,a]=ellip(n,1,100,wn);

freqz(b,a);

10-1 100

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150

-100

-50

0

50

Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)

Magnitude (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-800

-600

-400

-200

0

Normalized Angular Frequency (×π rads /s ample)

Phase (degrees)

57

Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer

Gain en dB

[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4

w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10


semilogx(w,20*log(abs(h)),'b'); %bleu

hold;

[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)

semilogx(w,20*log(abs(h)),'r'); %rouge

[z,p,k]=cheb2ap(4,20); %Chebyshev type II ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(20dB min en BA)

semilogx(w,20*log(abs(h)),'g'); %vert

[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4


semilogx(w,20*log(abs(h)),'c'); %cyan

[z,p,k]=ellipap(4,0.5,20); %Cauer ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP et

semilogx(w,20*log(abs(h)),'m'); %20dB min en BA)

grid; %magenta

10-1

100

101

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Gain en dB pour N=4

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

58

Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev de Bessel et de Cauer

Délai de groupe

w=logspace(-1,1,1000); %1000 points entre 0.1 et 10

[z,p,k]=buttap(4); %Butterworth ordre 4


dg=-diff(unwrap(angle(h)))./diff(w); %délai de groupe

semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'b'); %bleu

hold;

[z,p,k]=cheb1ap(4,0.5); %Chebyshev type I ordre 4

h=freqs(k*poly(z),poly(p),w); %(0,5dB max en BP)


semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'r'); %rouge

grid;

[z,p,k]=besselap(4); %Bessel ordre 4



semilogx(w(1:length(w)-1),dg,'c'); %cyan

Remarque : le délai de groupe du filtre de Chebyshev de type II

et du filtre de Cauer doit être affiché séparément :

10-1 100 1010

1

2

3

4

5

6

7

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

I) Synthèse de filtres analogiquesI.5) Filtres de Cauer

Délai de groupe (en secondes) pour N=4

59

Butterworth, Chebyshev, Bessel

Comparaison des performances des filtres de Butterworth, de Chebyshev et de Cauer

*********Absence

doscillations (BP)

*******Linéarité de la phase

*******Raideur des pentes

*******Facilité de conception

CauerBesselChebyshevButterworthCritères de choix selon type de filtre

I) Synthèse de filtres analogiquesI.6) Comparaison des performances

60

Les différentes étapes de la synthèse dun filtre analogique

1. Définition du gabarit désiré

2. Normalisation du gabarit par rapport à une pulsation de référence ωr :

(- fréquence de coupure à 3dB pour un filtre de Butterworth de la forme simplifiée,

- fréquence datténuation max. en bande passante pour un filtre de Butterworth, Chebyshev ou Cauer,

- fréquence centrale pour un filtre passe-bande ou coupe-bande)

3. Transposition en gabarit (normalisé) passe-bas

4. Détermination de lordre du filtre (calcul, abaques, logiciel)

5. Recherche de la fonction de transfert normalisée (mise en facteur) à partir des tables de polynômes

6. Transposition du filtre passe-bas étudié vers le type de filtre recherché

7. Dénormalisation :

8. Réalisation électronique

Remarque : dans le cas de la synthèse dun filtre passe-bas, les étapes 2 et 5 nont pas lieu dêtre.

I) Synthèse de filtres analogiquesI.7) Résumé des différentes étapes de synthèse Résumé des différentes étape de synthèse

sjr

→ωω

r

jsωω→

61

Exemple complet de synthèse (1/6)I) Synthèse de filtres analogiquesI.8) Exemple complet

Exemple complet de synthèse

On souhaite réaliser un filtre passe-haut satisfaisant aux contraintes suivantes :

-atténuation maximale en bande passante : Ap=1dB à fp=4kHz

-atténuation minimale en bande atténuée : Aa=40dB à fa=2kHz

et pour lequel on accepte une ondulation dans la bande passante de 1dB.

On choisit dutiliser un filtre de Chebyshev de type I.

Normalisation du gabarit

On normalise les fréquences par rapport à fp : f F=f/fpfp Fp=fp/fp=1

fa Fa =fa/fp=0,5

Gabarit passe-bas (normalisé) correspondant

Changement de variable de la transposition passe-bas vers passe-haut :

Pour f=fa : (on fait abstraction du signe - )

0 2 f(kHz)4

-40

-1

s1s →

ωω

→ωω

jj p

p

0 0,5 F1

-40

-1

0 1 F2

-40

-1

a

p

p

a

ff

jffj −→ 2j5,0j −→

62



Détermination de lordre du filtre

avec et

on prend N=5

Fonction de transfert normalisée à partir de la table des polynômes de Chebyshev (pour Ap=1dB)

Transposition vers le type de filtre de départ (passe-haut)

)(charg

110chargN

a

10aA

Ωε−

= 509,0110110 101

10Ap

=−=−=ε 2p

aa =

ωω=Ω

5,4)2(charg

509,0/)110(chargN10/aA

=−=

)1s181,0s012,1)(1s091,1s329,2)(1s454,3(1)s(H 22 +++++

=

s1s →

1s179,0s988,0s988,0

1s468,0s429,0s429,0

1s29,0s29,0)s(H 2

2

2

2

++×

++×

+=

63



Dénormalisation

Identification :

s/rad665,86)( 1c =ω s/rad372,38)( 2c =ω s/rad285,25)( 3c =ω

Hz8,13)f( 1c = Hz1,6)f( 2c = Hz4)f( 3c =

357,02 =ξ 09,03 =ξ

2

3c3c

2

3c2

2c2c

2

2c

1c

1c321

)(j

)(2j1

)(j

)(j

)(2j1

)(j

)(j1

)(j

)j(H)j(H)j(H)j(H)s(H

ωω+

ωωξ+

ωω

×

ωω+

ωωξ+

ωω

×

ωω+

ωω

=ω×ω×ω=ω→

pp f2jjsπω=

ωω→

64



Tests

Avant de passer à la réalisation proprement dite, on peut simuler le filtre pour vérifier que la synthèse est correcte.

Programme Scilab :fc=4;w0=2*%pi*fc/0.29num=poly([0 1/w0], "s", "coef");den=poly([1 1/w0], "s", "coef");sys1=syslin('c', num, den);bode(sys1, 0.1, 100);

w0=2*%pi*fc/sqrt(0.429)xi=0.468*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys2=syslin('c', num, den);bode(sys2, 0.1, 100);

w0=2*%pi*fc/sqrt(0.988)xi=0.179*w0/(4*%pi*fc)num=poly([0 0 1/w0/w0], "s", "coef");den=poly([1 2*xi/w0 1/w0/w0], "s", "coef");sys3=syslin('c', num, den);bode(sys3, 0.1, 100);

Affichage de la fonction de transfert produit :

...bode(sys1*sys2*sys3, 1, 100);...

Le gabarit désiré est bien obtenu.

zoom

H1 x H2 x H3

zoom

H1, H2, H3

65



Réalisation électronique (1/2)

On se propose dutiliser une cellule active du 1er ordre et de 2 filtres de Rauch pour les cellules du 2nd ordre.

Les calculs donnent :

Cellule 1 : R1=1000Ω R2=1000Ω C=11,5µF

Cellule 2 : R1=1000Ω C1=C2=C3=6,2µF R2=17,6kΩ

Cellule 3 : R1=1000Ω C1=C2=C3=2,3µF R2=277,8kΩ

66



Réalisation électronique (2/2)

Avec la cellule de Sallen-Key (pour le 2e ordre) :

On prend Ra=0 et Rb= ; on pose : C1=C3=10µF

Les calculs donnent :

Cellule 2 : R2=930Ω R4=7,3kΩ

Cellule 3 : R2=348Ω R4=43kΩ

∞

67

Cours de

Traitement du signal- Synthèse de filtres -2e partie : Filtres Numériques

Benoît [email protected]

68

Cours de "Synthèse de filtres", 2e partie

Plan

II) Synthèse de filtres numériquesII.1) IntroductionII.2) Transformée en zII.3) Filtres RII

II.3.1) Méthode de léchantillonnage de la RIII.3.2) Méthode de léquivalence de la dérivationII.3.3) Méthode de la transformée bilinéaire

II.4) Filtres RIFII.4.1) Principe généralII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectreII.4.3) Synthèse par TFD inverse du spectre

II.5) Performances comparées des filtres RII et RIFII.6) ConclusionConclusion générale

69

Introduction

Dans lintroduction générale sur le filtrage, on a vu quun filtre était décrit par une équation différentielle :

De manière analogue, un filtrage numérique consiste à transformer une séquence discrète dentrée en une

séquence de sortie :

n représente lindice de léchantillon présent ; n-i (i>0) représentent les indices déchantillons passés.

On appelle cette relation entrée-sortie "équation aux différences" ("équa. diff.").

La synthèse de filtres numériques "se résume" à déterminer des valeurs adéquates pour ces coefficients.

Les outils mathématiques utilisés pour létude des filtres analogiques sont les transformée de Laplace et de Fourier ;

loutil détude des filtres numériques est la transformée en z.

La TZ permet de modéliser les filtres numériques sous la forme de fonctions de transfert polynômiale, facilitant leur étude.

(attention, les coefficients du filtre analogique ne sont pas les mêmes que celui du filtre numérique !)

II) Synthèse de filtres numériquesII.1) Introduction

)Qn(sb...)2n(sb)1n(sb)Pn(ea...)2n(ea)1n(ea)n(ea)n(s Q21P210 −−−−−−−−++−+−+=

Q

Q

Q1Q

1Q

1Q10P

P

Pn

1P

1P1 dt)t(eda

dt)t(eda...

dt)t(dea)t(ea

dt)t(sdb

dt)t(sdb...

dt)t(dsb)t(s ++++=++++ −

−

−

−

−

∑

∑

=

−

=

−

+== Q

1q

qq

P

0p

pp

z.b1

za

)z(E)z(S)z(H

∑

∑

=

=

+== N

1n

nn

M

0m

mm

p.b1

p.a

)p(E)p(S)p(H

Introduction sur le filtrage numérique (1/5)

PQ ≤

PQ ≤

70

Filtrage numérique en pratique

Comme son nom lindique, le filtrage numérique se pratique sur système numérique : - ordinateur (utilisation de logiciels, programmation C/C++) ;- Processeur de Traitement de Signal (DSP) ;- autre composant numérique (microcontrôleur, FPGA, etc).

Le traitement peut seffectuer - en temps différé (C/C++, Matlab, Scilab, etc) ou - en temps réel (C/C++, assembleur, FPGA).

Traitement temps-réel

La condition de temps réel est que léchantillon de sortie présent s(n) soit calculé avant le prochain échantillon dentrée,cest à dire sur une durée tt inférieure à Te, la période déchantillonnage.

Pour pouvoir calculer cette équation dans un système temps-réel, le bloc fonctionnel de traitement doit comporter de lamémoire pour les échantillons e(n-i) et s(n-i) :


e(n-2)

e(n-P)

s(n-2)

s(n-Q)

e(n-1) s(n-1)

e(n) s(n)


e(nTe)traitement numérique

s(nTe+tt)

71

Filtres RII et filtre RIF

Les filtres numériques peuvent être classés en 2 grandes catégories : - à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)- à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

Filtres RIILeur équation aux différences comportent des termes en e(n-i) et des termes en s(n-i) :

On va voir que :- ils permettent de synthétiser des filtres à partir des caractéristiques de filtres analogiques

(cellules élémentaires, filtres de Butterworth, de Chebyshev, de Bessel et de Cauer, etc) ;- ils peuvent être instables, doù les précautions à prendre dans leur implémentation.

Filtres RIFLeur équation aux différences ne comporte que les termes en e(n-i) ; la sortie ne dépend que des valeurs de lentrée :

On retrouve lexpression de la convolution numérique étudiée précédemment : les RIF sont des systèmes à convolution.On va voir que :

- ils permettent dobtenir des filtres à partir dune réponse en fréquence idéale ;- les coefficients ai constituent sa réponse impulsionnelle du filtre (ils sont souvent notés hi) ;- ils sont forcément stables (pas de terme de récurrence dans léqua. diff.).


)Pn(ea...)2n(ea)1n(ea)n(ea)n(s P210 −++−+−+=



72

Signification de "Réponse Impulsionnelle Finie" et "Réponse Impulsionnelle Infinie "

Réponse "intuitive" : prenons lexemple du filtre défini par léquation aux différences :

Appliquons lui une impulsion de Kronecker (δk=1,0,0,0,., équivalent de limpulsion de Dirac du domaine continu).

- si k>1, le signal de sortie s(n) peut diverger vers des valeurs

- si k=1, s(n) garde une valeur constante

- si k<1, s(n) tend vers 0 quand n

)1n(ks)n(e)n(s −+=

∞→

∞

II) Synthèse de filtres numériquesII.1) Introduction Introduction sur le filtrage numérique (4/5)

73

La transformée en z

La transformée en z (TZ) est loutil détude des systèmes échantillonnés.

Définition

Soit s(n) un signal numérique. Sa TZ est définie par :

Une fonction de transfert en z est elle-même la transformée dune séquence h(n) :

Comme dans le cas continu, la fonction de transfert est la transformée de la réponse impulsionnelle du filtre.

Les coefficients h(n) représentent donc les échantillons de sa réponse impulsionnelle.

En pratique, la réponse impulsionnelle possède un nombre fini déchantillons. La sommation est donc finie :

∑∞

=

−=0n

nz)n(s)z(S

II) Synthèse de filtres numériquesII.2) Transformée en z

∑∞

=

−=0n

nz)n(h)z(H

Définition de la transformée en z (TZ)

∑=

−=N

0n

nz)n(h)z(H

74

Lien avec la Transformée de Laplace (TL)

La TZ est la TL dun signal échantillonné. Elle est obtenue en posant : (Te période déchantillonnage)

Démonstration

Soit s(t) un signal et se(t) sa version échantillonnée :

Remarque : en général, on utilise lécriture simplifiée :

où s(n) est lélément dindice n de la séquence numérique obtenue.

∫+∞ −==

0

ptdte)t(s)p(S)t(sL

pTeez =

1)t( L→←δptL

00e)tt( −→←−δ

∑∑∑∞

=

−+∞

−∞=

+∞

−∞=

=→←−δ=−δ×=0n

pnTee

L

nee

nee

ee)nT(s)p(S)nTt()nT(s)nTt()t(s)t(s

pTeez = ∑∞

=

−=0n

ne z)nT(s)z(S


∑∞

=

−=0n

nz)n(s)z(S

Lien entre transformées en z et de Laplace

75

La transformée en z

Propriétés élémentaires

Linéarité :

Retard temporel :

Produit de convolution :

Réponse impulsionnelle et fonction de transfert :

Stabilité :

système stable


)z(Sa)z(Sa)n(sa)n(sa 2211Z

2211 +→←+

)z(Sz)nn(s 0nZ0

−→←− )p(Se)tt(s ptL0

0−→←−

)p(S.a)p(S.a)t(s.a)t(s.a 2211L

2211 +→←+

Rappel domaine continu

∞<∑∞

=0n

)n(h∞<∫

∞

=0tdt)t(h

*Z→←×

×→← Z*

)z(E)z(S)z(H = )z(S

1)z(S)z(H ==1)z(E =

Rappel domaine continu

Propriétés de la transformée en z

: RI(voir plus loin)

76

Rappels : suites géométriques

Pour calculer la transformée en z, il est nécessaire de connaître les définitions et propriétés des suites géométriques.

Une suite géométrique de terme principal un est telle que : r : raison

Le terme principal un est défini par :

On peut démontrer que la somme des N premiers termes, définie par :

est égale à :

De même, la somme de tous les termes est égale à :

Exemple numérique :

∑−

=

=1N

0nnN uS

n1n u.ru =+

r1r1uS

N

0N −−=

r1r1limuS

n

n0 −

−=∞→

∞

∑∞

=∞ =++++=

0n

n321 5,0...5,05,05,01S

5,0u5,05,05,0u nn1n

1n ×=×== ++

5,15,075,0

5,0125,01

5,015,011

r1r1uS

22

02 ==−−=

−−×=

−−=

25,0

15,015,01lim

r1r1limuS

n

n

n

n0 ==

−−=

−−=

∞→∞→∞

II) Synthèse de filtres numériquesII.2) Transformée en z Lien entre TZ et suites numériques

nn 5,0u =

n0n ruu =

77

Transformées élémentaires

Impulsion

Il sagit ici de limpulsion de Kronecker, définie par δ(n)=1,0,0, :

Echelon unité

Signal exponentiel

1)z(S)n()n(s Z =→←δ=

aT1ZanT

ez11)z(Se)n(s −−

−

−=→←=


1Z

z11)z(S0npour0

0npour1)n(u)n(s −−=→←

<≥==

Quelques exemples de TZ

78

Stabilité

De la même manière quun filtre analogique peut être étudié dans le plan p du point de vue de ses pôles et de ses zéros,

les filtres numériques peuvent être étudiées dans le plan z.

La correspondance plan p ↔ plan z est directement liée à la relation entre les variables p et z :

Léchantillonnage conduit à limiter le plan p à la bande horizontale [-ωe/2, ωe/2] (ωe pulsation déchantillonnage).

Il a été vu précédemment quun filtre analogique était stable si tous ses pôles sont à partie réelle négative.

Un filtre numérique est donc stable si tous ses pôles sont à lintérieur du cercle unité.

II) Synthèse de filtres numériquesII.2) Transformée en z Stabilité dans le plan z

pTeez =

79

De la fonction de transfert en z à léquation aux différences

Forme générale de la fonction de transfert en z du filtre numérique :

E(z) et S(z) représentent respectivement les transformées en z des échantillons dentrée e(n) (avec n correspond à nTe)

et de sortie s(n) courants : E(z)=Ze(n) ; S(z)=Zs(n)

(propriétés de retard temporel et de linéarité)

∑

∑

=

−

=

−

−−−

−−−

+=

++++++++== Q

1q

qq

P

0p

pp

QQ

22

11

PP

22

110

z.b1

za

zb...zbzb1za...zazaa

)z(E)z(S)z(H


II) Synthèse de filtres numériquesII.2) Transformée en z De la fonction de transfert en z à léqua. diff.

)z(E)z(S)z(H =

)z(Ez)in(eZ i−=− )z(bE)z(aE)n(be)n(aeZ baba +=+

80

Introduction

En cherchant à transformer les filtres analogiques étudiés précédemment en filtres numériques, on va voir quon arrive à

des fonctions de transfert de type RII.

La variable z étant définie par , le passage du domaine continu (variable p) au domaine discret (variable z) peut

seffectuer en remplaçant p par , mais cette transformation ne conduit pas à une forme polynômiale.

On doit donc rechercher des méthodes dapproximation.

Les méthodes de transformation étudiées ici sont :

- échantillonnage de la réponse impulsionnelle

- équivalence de la dérivation (transformation dEuler)

- équivalence de lintégration (transformée bilinéaire)

Toutes ces méthodes conservent la stabilité des filtres analogiques, une fois convertis en filtres numériques.

II) Synthèse de filtres numériquesII.3) Filtres RIIII.3.1) Introduction

zln)T/1(p e=

epTez =

Synthèse des filtres RII

81

Importance des cellules du 1er ordre et du 2e ordres

Comme dans le cas continu, un filtre dordre quelconque peut se décomposer en un ensemble de cellules

élémentaires du 1er et du 2e ordre. Par exemple, pour lordre 5 :

Chaque bloc étant défini par une fonction de transfert en z élémentaire :

(N=1) (N=2)

Du point de vue de la programmation, chaque bloc fonctionnel correspond à un ensemble de lignes de programme

calculant s(n) en fonction de e(n) et des valeurs mémorisées :

- e(n-1) et s(n-1) pour le 1er ordre,

- e(n-1), e(n-2), s(n-1) et s(n-2) pour le 2e ordre.

N=2 N=2 N=1

22

11

22

110

zbzb1zazaa

)z(E)z(S

−−

−−

++++=

11

110

zb1zaa

)z(E)z(S

−

−

++=

N=2

≡H1 H2 H3

N=1 N=5

H

N=3

e(n-2) s(n-2)e(n-1) s(n-1)e(n) s(n)

e(n-2) s(n-2)e(n-1) s(n-1) e(n-1)

s(n-1)


Cellules du 1er et du 2e ordres

82

Etude de la stabilité des cellules dordre 1 et 2

Un filtre RII peut être instable. Il faut vérifier que ses pôles soient bien à lintérieur du cercle unité.

Cas du 1er ordre

Cas du 2e ordre

Le dénominateur possède 2 racines :

Dans le cas où des pôles de la fonction de transfert en z sont proches du cercle unité, il faut faire attention quils

ne se trouvent pas déplacés en dehors de ce cercle à la suite darrondis numériques.


1

110

bz1zaa)z(H −

−

++=

22

11

22

110

zbzb1zazaa

)z(H −−

−−

++++

=

1b <

1b < ee ff +<−ec

ec

ffffb

+π−π=

2b4bb

z,z 2211

21

−±−=

12

b4bb1 2

211 <−±−

<−

+<+<−1bb1bb

21

21 1bb 21 +<

Stabilité des cellules élémentaires

83

Principe de léchantillonnage de la réponse impulsionnelle (système à 1 pôle simple)

On peut passer de la fonction de transfert en p (continue) à la fonction de transfert en z (échantillonnée), et donc à

léquation aux différences que lon peut programmer, en échantillonnant la réponse impulsionnelle :

z=1 correspond à la fréquence nulle. Le gain pour z=1 est égal à :

Il nest pas nul, alors que cest le cas de la fonction analogique de départ.

Il faut donc multiplier H(z) par 1/H0 :

Finalement :

II) Synthèse de filtres numériquesII.3) Filtres RIIII.3.1) Méthode de léchantillonnage de la RI

ipp1)p(H−

= tp ie)t(h = einTpe)n(h =

1Tp

n1Tp

n

n

0n

1Tp

0n

nnTp

0n

n

ze1)ze(1lim)z.e(z.ez).n(h)z(H

ei

eieiei

−

−

∞→

∞

=

−∞

=

−∞

=

−

−−==== ∑∑∑

)z(Sze)z(EH1)z(S 1Tp

0

ei −+= )1n(se)n(eH1)n(s eiTp

0

−+=

eiei Tp1z

1Tp0 e11

ze11H

−=

−=

=−

1Tp0

ze1H/1)z(H

ei −−−=

)z(E)z(S)z(H =

Synthèse par échantillonnage de la RI : principe

TL-1 éch. Te

TZ1Tp ze1

1)z(Hei −−

=

TZ-1

eiTp0 e11H

−=avec

84

Filtre passe-bas du 1er ordre

Le cellule élémentaire passe-bas du 1er ordre est un exemple du système à un pôle simple étudié précédemment :

jω=p TL-1 éch. Te

TZ

Pour assurer un gain nul à f=0, il faut modifier H(z) :

avec

Finalement :


c

c

p)p(H

ω+ω= t

cce)t(h ω−ω= ecnT

ce)n(h ω−ω=

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

1Tc

0n

n

ze1z).n(h)z(H

ec −ω−

∞

=

−

−ω== ∑

ecT0 e11H ω−−

=1T0

ze1H/1)z(H

ec −ω−−=

)z(Sze)z(EH1)z(S 1T

0

ec −ω−+= )1n(se)n(eH1)n(s ecT

0

−+= ω−

)z(E)z(S)z(H =

Echantillonnage de la RI : passe-bas du 1er ordre

TZ-1

85

Exemple

Soit à programmer un filtrage à laide de la fonction de transfert du 1er ordre suivante, avec fc=1Hz :

On échantillonne sa réponse impulsionnelle à fe=100Hz. On a :

Fonction de transfert en z :

Equation aux différences correspondante :

Programmation avec Scilab

fc=1;

fe=100;

a=[0,1-exp(-2*%pi*fc/fe)]; //coef. num. fonction transfert

b=[-exp(-2*%pi*fc/fe), 1]; //coef. dén.num=poly(a, "z", "coef");

den=poly(b, "z", "coef");sys=syslin('d', num, den);

bode(sys, 0.001, 0.3)

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

)1n(s9391,0)n(e0609,0 −+=

1T0

ze1H/1)z(H

ec −ω−−=

0609,0e1e1H/1 2,0T0

ec =−=−= π−ω−

112,0 z9391,010609,0

ze10609,0

−−π− −=

−=

-410

-310

-210

-110

010

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

Hz

db

-410

-310

-210

-110

010

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Phase

Hz

degrees


)1n(se)n(e)H/1()n(s ecT0 −+= ω−

Synthèse par échantillonnage de la RI : exemple

86

Autres filtres

Filtre passe-bas du 2e ordre

Dans les 2 cas, on peut connaître la TZ-1 (=H(z)), en utilisant la table des transformées.

Filtre passe-haut du 1er ordre

La fonction de transfert possède un pôle et un zéro (nul) :

En mettant H(z) sous forme rationnelle, on peut alors la transformer en équation aux différences.

Limitations

Léchantillonnage de la RI périodise le spectre du filtre analogique. Or, le spectre dun filtre passe-haut nest pas limité dans les hautes fréquences ; il y a donc chevauchement des spectres.Cette méthode de transformation nest donc pas adaptée aux filtres passe-haut et passe-bande à bande large.


Synthèse par échantillonnage de la RI : limitations

i

i

i ppp1

ppp)p(H

−+=

−=

cc

c

/j111

/j1/j)j(H

ωω+−=

ωω+ωω=ω

TL-1t

cce)t()t(h ω−ω−δ=

ecnTce)n()n(h ω−ω−δ=

éch. Te TZ1T

c

ze11)z(H

ec −ω−−ω−=

( )2cc /j/j211)j(H

ωω+ωωξ+=ω

TL-1

selon la valeur de ξ :

ϕ+ω=

+=

α )tcos(ae)t(hou

beae)t(h

t

trtr 21

87

Méthode de léquivalence de la dérivation (transformation dEuler)

Principe

Approximation de la dérivée dune fonction continue :

Te période déchantillonnage

Dérivateur en échantillonné : Dérivateur en continu : Identification :

Limitations

Par définition, ; son développement limité au voisinage de 0 est : , donc pour pTe<<1.

Rappel du développement en série entière dune fonction, au point a :

Léquivalence est donc valable uniquement pour pTe<<1.

On peut démontrer que cette méthode transforme laxe imaginaire du plan p en un cercle de centre 1/2 et de rayon 1/2(au lieu du cercle centré sur 0 et de rayon 1 de la TZ). Elle nest donc correcte que pour les basses fréquences, etnest pas adaptée aux filtres devant laisser passer des fréquences élevées.

II) Synthèse de filtres numériquesII.3) Filtres RIIII.3.2) Méthode de léquivalence de la dérivation

dt)t(de)t(s =

eT)1n(e)n(e)n(s −−=

e

1

Tz1

)z(E)z(S −−= p

)p(E)p(S =

e

1

Tz1p−−=

)ax()ax(...)a(f!n

)ax(...)a(''f!2

)ax()a('f)ax()a(f)x(f n)n(n2

−ε−++−++−+−+=

epTez = e1 pT1z −≈−

e1 T/)z1(p −−≈

Synthèse par transformation dEuler

88

Méthode de léquivalence de la dérivation (transformation dEuler)

Exemple : circuit RC série

Programme Scilab :

tho=1/(2*%pi); //->fc=1/(2*%pi*tho)=1

fe=100; //fc=0,01 en fréquence réduite

Te=1/fe;

beta=Te/(Te+tho);

a=[beta,0];

b=[-(1-beta),1];

num=poly(a, "z", "coef");

den=poly(b, "z", "coef");

den=poly(b, "z", "coef");

sys=syslin('d', num, den)

bode(sys, 0.0001, 0.5);

II) Synthèse de filtres numériquesII.3) Filtres RIIII.3.2) Méthode de léquivalence de la dérivation

)1n(sT

RC1T

RC)n(s)n(eee

−−

+=

)t(sdt

)t(dsRC)t(e += )n(s)T

)1n(s)n(s(RC)n(ee

+−−=

RCTT

e

e

+=β)1n(s)1()n(e)n(s −β−+β=

-410

-310

-210

-110

010

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

Hz

db

-410

-310

-210

-110

010

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Phase

Hz

degrees

Exemple de transformation dEuler

89

Méthode de la transformée bilinéaire (équivalence de lintégration)

Principe

Approximation de lintégrale dune fonction continue (basée sur la méthode des trapèzes) :

Intégrateur en échantillonné : Intégrateur en continu : Identification :

Exemple pour lordre 2

II) Synthèse de filtres numériquesII.3) Filtres RIIII.3.3) Méthode de la transformée bilinéaire

∫=t

0

dt).t(e)t(s

1

1e

z1z1

2T

)z(E)z(S

−

−

−+= 1

1e

z1z1

2T

p1

−

−

−+=

1z1z.

T2p

e +−=

2)1n(e)n(eT)1n(s)n(s e

−++−=

p1

)p(E)p(S =

221

2210

pbpb1papaa

)p(E)p(S)p(H

−−++==

22

11

22

110

z'bz'b1z'az'a'a

)z(X)z(Y)z(H −−

−−

−−++==

1z1z.

T2pe +

−=

Synthèse par transformée bilinéaire

Te période déchantillonnage

90

Exemple passe-bas du 1er ordre

On cherche à la mettre sous la forme :

On obtient :

Exemple numérique et programmation avec Scilab

fe=100Hz, fc=1

fe=100;

fc=1;den=%pi*fc+fe;

H0=%pi*fc/den;H1=fe/den;

a=[H0,H0];b=[H0-H1,1];

num=poly(a, "z", "coef");den=poly(b, "z", "coef");

sys=syslin('d', num, den)bode(sys, 0.0001, 0.2)

c

j1

1)j(H

ωω+

=ω

c

p1

1)p(H

ω+

=

1z1z.

ff1

1)z(H

c

e

+−

π+

=

( ) 110

1

01

ec

ec

1

ec

c

zHH1z1H

zffff1

z1ff

f)z(H −

−

−

−

−++=

+π−π+

++ππ=

1

11

0 bz1za1H)z(H −

−

++=

ec

c0 ff

fH+ππ=

ec

e1 ff

fH+π

=

-410

-310

-210

-110

010

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

Hz

db

-410

-310

-210

-110

010

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Phase

Hz

degrees


1er exemple de transformée bilinéaire

avec et

91

Exemple passe-haut du 1er ordre

On cherche à la mettre sous la forme :

On obtient :


fe=100Hz, f1=1 (fc/fe=0,01)

fe=100;fc=1;

den=%pi*fc+fe;

H1=%pi*fc/den;H0=fe/den;

a=[-H0,H0];b=[H1-H0,1];

num=poly(a, "z", "coef");den=poly(b, "z", "coef");

sys=syslin('d', num, den)bode(sys, 0.0001, 0.5)

c

c

j1

j)j(H

ωω+

ωω

=ω

c

cp1

p

)p(H

ω+

ω=

1z1z.

ff1

1z1z.

ff

)z(H

c

e

c

e

+−

π+

+−

π=

1

11

0 bz1za1H)z(H −

−

++=

ec

e0 ff

fH+π

=ec

c1 ff

fH+ππ=1

01

1

0

ec

ec1

1

ec

e

z)HH(1z1H

ffffz1

z1.ff

f)z(H −

−

−

−

−+−=

+π−π+

−+π

=

-410

-310

-210

-110

010

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

Hz

db

-410

-310

-210

-110

010

-100

102030405060708090

Phase

Hz

degrees


2e exemple de transformée bilinéaire

avec et

92

Exemple passe-bas du 2e ordre

?

avec


fe=100Hz, fc=1Hz (fc/fe=0,01), ξ=0,1

fc=1;fe=100;

xi=0.1;H0=1/(1+2*xi*fe/%pi/fc+(fe/%pi/fc)*(fe/%pi/fc));

a0=H0;

a1=2*H0;a2=H0;

b0=1;b1=2*(1-(fe/%pi/fc)*(fe/%pi/fc))*H0;

b2=(1-2*xi*fe/%pi/fc+(fe/%pi/fc)*(fe/%pi/fc))*H0;a=[a2,a1,a0];

b=[b2,b1,b0];…

2

00

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω

1z1z.

T2pe +

−=

22

11

22

11

0 zbzb1zaza1

H)z(H −−

−−

++++

=

22cece0

12ce0

21

0 z))f/f(f/f21(Hz))f/f(1(H21zz21

H)z(H −−

−−

π+πξ−+π−+++

=2

c

e

c

e

0

ff

ff21

1H

π

+π

ξ+

=

-310

-210

-110

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Magnitude

Hz

db

-310

-210

-110

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Phase

Hz

degrees


3e exemple de transformée bilinéaire

93

Amélioration de la transformée bilinéaire

Analysons plus en détail la transformée bilinéaire telle que définie précédemment.On a effectué le changement de variable suivant :

Or Ha(p)=p est la fonction de transfert dun dérivateur : |Ha(p)|= |Ha(jω)|=ω et arg(Ha(p))=arg(Ha(jω))=π/2.Pour la partie en z de léquivalence, on a :

La phase nest donc pas modifiée par la transformation.Par contre, le module est modifié quand f → fe/2 ; en effet : ωTe/2 → π/2 ↔

La réponse en fréquence du filtre numérique ne correspond donc plus à son équivalent analogique quand f → fe/2 .

Pour pallier à cet inconvénient, on réalise une pré-distorsion des fréquences :avant dappliquer la transformée bilinéaire précédente. on modifie une fréquence caractéristique du filtre : fréquence de coupure dans les cas passe-bas et passe-haut, fréquence centrale dans les cas passe-bande et coupe-bande.

Exemple : ωc, pulsation de coupure :

La transformée bilinéaire est ensuite appliquée ; la valeur de ωc pour le filtre numérique correspond alors bien à celle du filtre analogique de départ.

2Ttg.

T2' ec

ec

ω=ω

1z1z.

T2p

e +−=

1z1z.

T2)z(He

n +−=

)2T(tg

Tj2...

1e1e.

T2)j(H e

eTj

Tj

en e

e ω==+−=ω ω

ω

)2T(tg

T2)j(H e

en

ω=ω2

))j(Harg( nπ=ω

∞→ω)j(Hn

(on peut vérifier que pour ωc, on trouve bien |Hn(jω)|= ωcle gain du filtre analogique à cette pulsation)


Amélioration de la transformée bilinéaire (1/3)

94


Exemple avec cellule passe-bas du 2e ordre

avec ωc=1rad/s et

On effectue un échantillonnage des signaux à fe=1Hz.On applique la pré-distorsion de fréquence à ωc :

Intérêt de la transformation

Un intérêt important de cette transformation est quelle comprime toutes les fréquences dans la bande de Shannon (0-fe/2).Tout repliement spectral est alors impossible. Elle est adaptée à tous les types de filtres, même passe-haut.

Cette méthode de transformation est la plus utilisée en pratique.

0926,15463,0tg221tg.2

2Ttg.

T2' ec

ec ===ω=ω

2

cc

jj21

1)j(H

ωω+

ωωξ+

=ω 22=ξ

2pp211)p(H++

=

22 p8377,0p2944,111

0926,1p

0926,1p21

1)p(H++

=

++

= ...)z(H =

1z1z.

T2pe +

−=



95


Exemple Matlab (fonction "bilinear")

Lexemple suivant montre les conséquences de lapplication de la transformée bilinéaire et de la transformée bilinéaire modifiée par rapport à la courbe de réponse (en dB) du filtre analogique correspondant. On constate que :- les courbes de réponse des 2 filtres RII tendent vers fe/2 ;- la courbe de réponse du filtre RII calculé avec la transformée bilinéaire à pré-distorsion possède bien

la même fréquence datténuation minimale en bande passante que le filtre analogique correspondant.

fe=4000; fp=1000; fa=3000; Ap=1; Aa=40;

wp=2*pi*fp; wa=2*pi*fa;

[N,Wc]=buttord(wp,wa,Ap,Aa,'s');

[b,a]=butter(N,Wc,'s'); %Filtre analogique de Butterworth

[bb,ab]=bilinear(b,a,fe); %sans prédistorsion[bbp,abp]=bilinear(b,a,fe,fp); %avec prédistorsion en fp

L=64;

[Ha,wa]=freqs(b,a,L);

[Hn,wn]=freqz(bb,ab,L,fe);

[Hnp,wnp]=freqz(bbp,abp,L,fe);

semilogx(wa/(2*pi),20*log10(abs(Ha)),':'); %pointilléhold on;title('Butterworth : analogique (pointillé), RII (hachuré), RII rectifié (trait plein)');

semilogx(wn,20*log10(abs(Hn)),'--'); %ligne hachuréesemilogx(wnp,20*log10(abs(Hnp)),'-'); %trait plein

grid;

103

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Butterworth : analogique (pointillé), RII (hachuré), RII rectifié (tra it plein)



96

97

Principe général de la synthèse des filtres RIF (à Réponse Impulsionnelle Finie)

Le principe de la synthèse des filtres RIF est de partir de la réponse en fréquence désirée.Puisquon est dans le domaine de léchantillonné, ces réponses sont périodiques, de période fe.Par exemple, dans le cas dun passe-bas :

La phase idéale est nulle. La réponse en fréquence est donc réelle pure.Les méthodes de synthèse sont basées sur la Transformée de Fourier inverse de cette réponse idéale : - synthèse par TF inverse, ou par décomposition en série de Fourier de la réponse fréquentielle (ce qui revient au même) ;- synthèse par TFD inverse.

Elles consistent à déterminer le nombre et la valeur des coefficients du filtre (que lon notera hi), qui sont également ceux de léquation aux différences :

La réponse en fréquence idéale dun filtre passe-bas périodisé à fe est la TF dun sinus cardinal, échantillonné à Te=1/fe.Ce dernier constitue la réponse impulsionnelle du système. Ses échantillons sont les coefficients hi.

La séquence des coefficients hi est infinie ; elle doit donc être tronquée.De plus, elle nest pas causale ; elle doit donc être décalée vers t>0 pour devenir causale.

II) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.1) Principe général

)Pn(eh...)2n(eh)1n(eh)n(eh)n(s P210 −++−+−+=

fc-fc ffe-fe

1

Principe de la synthèse des RIF

fe/2-fe/2

98

Synthèse des filtres RIF (à Réponse Impulsionnelle Finie) par transformée de Fourier inverse du spectre

Calcul de la Transformée de Fourier du spectre périodisé :

La périodisation du motif (période fe) provoque une multiplication de la TF de ce motif par un peigne de Dirac :

En fonction des fréquences réduites (fc→Fc=fc/fe), cette expression devient :

)f(rect)f(Scf2= →←F )tf2(csinf2)t(h cc π=

∑∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−δπ=−δ=−δ=n

eeccen

eeen

eee )nTt().nTf2(csinf2T)nTt().nT(hT)nTt()t(hT)t(h

II) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

)nTf2(csinTf2)n(h ecec π=

)nF2(csinF2)n(h cc π=

Synthèse des RIF par TF inverse : principe (1/3)

f

cf/1

n

cf2

n2

99

Autres filtres

Pour les autres types de filtres, le même calcul donne les résultats ci-dessous.

Passe-haut

Passe-bande

Coupe-bande


fcfc ffe/2

-fe/2

→←F

fc2fc1 ffe/2-fe/2

→←F

fc2fc1 ffe/2-fe/2

→← F

)nTf2(csinTf2 e1ce1c π−


)nTf2(csinTf2)n(h e2ce2c π=

)nTf2(csinTf2)n(h e1ce1c π=

)nTf2(csinTf2 e2ce2c π−

)nTf2(csinTf2)n(h ecec π−=

100

Transformation en filtres physiquement réalisables

Les filtres possédant les réponses impulsionnelles (RI) obtenues précédemment ne sont pas physiquement réalisables, pour 2 raisons :

- ces RI sont centrées sur 0, donc non-causales ;- leur durée est infinie (= elles sont à support non-borné).

Pour les rendre physiquement réalisables, il est donc nécessaire de :- tronquer ces RI ;- les décaler pour que tous leurs éléments soient nuls pour t<0.

Après troncature et décalage des RI, leurs expressions deviennent (en fréquences réduites, avec F=f/fc) :

Passe-bas :

Passe-haut :

Passe-bande :

Coupe-bande :

avec, dans tous les cas : n=0,,N-1, n0=N/2 pour N pair et n0=(N-1)/2.

( )c0c F)nn(2csinF2)n(h −π=

( )c0c F)nn(2csinF2)n(h −π−=

( ) ( )1c01c2c02c F)nn(2csinF2F)nn(2csinF2)n(h −π−−π=

( ) ( )2c02c1c01c F)nn(2csinF2F)nn(2csinF2)n(h −π−−π=



101

Conséquences de la troncature de la réponse impulsionnelle (raisonnement dans le domaine continu)

Sur le plan théorique, la réponse impulsionnelle (RI) h(n) est une séquence de taille infinie.En pratique, elle doit être tronquée, pour que le nombre de coefficients soit fini.Cette troncature revient à multiplier la RI initiale par une fenêtre carrée w(t), centrée sur 0 :

Dans le domaine des fréquences, cette troncature se traduit par un produit de convolution :

Pour lexemple de la réponse en fréquence H(f) dun passe-bas et h(t) la réponse impulsionnelle correspondante :

* =

Après troncature de la RI, la réponse en fréquence pratique possède des oscillations en bande passante et en bandeatténuée, et ses pentes de variation sont moins importantes quen théorie.

Interprétation :

- pour que la réponse fréquentielle réelle se rapproche le plus possible de celle qui est désirée, le nombre de coefficients du filtre N doit être le plus grand possible ;

- plus N est petit, plus la fréquence de coupure obtenue sera inférieure à la fréquence de coupure désirée.

)t(w)t(h)t('h ×=

)f(W*)f(H)f('H =

Synthèse des RIF par TF-1, physiquement réalisable (1/2)II) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

H(f)

H(f)

f

W(f)

fc f

H(f)

-fc

102

Conséquences du décalage de la réponse impulsionnelle

On sait quun décalage temporel se traduit par un déphasage du signal (→ la phase nest plus nulle).On cherche à savoir si la phase est linéaire, en fonction de la fréquence (cest lun des critères de synthèse).

Rappels :continu discret

temps propag. :

Interprétation : - La phase est donc bien une fonction linéaire de la fréquence.- Le temps de propagation de groupe est constant (le signal nest donc pas déformé).

(*) démonstration :

puis changement de variable k=k-n

0g tdf

)f(d21

d)(d =ϕ

π−=

ωωϕ−=τ

0ft2)f( π−=ϕ

)f(X)t(x F→←0ft2jF

0 e)f(X)tt(x π−→←−)f(X)k(x F→←

efnT2jF e)f(X)nk(x π−→←−

efnT2)f( π−=ϕ

eg nT=τ

∑∑∑+∞

−∞=

π−+∞

−∞=

+∞

−∞=

=→←−δ=−δ=k

fkT2jF

ke

kee

ee)k(x)f(X)kTt()k(x)kTt()t(x)t(x

)nk(y)k(x −= ∑+∞

−∞=

π−−=k

fkT2j ee)nk(y)f(Y

phase :

(*)

Synthèse des RIF par TF inverse, physiquement réalisable (2/2)II) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

103

Conséquence de la symétrie des coefficients

Les réponses impulsionnelles étudiées précédemment présentent toutes une symétrie par rapport à leur valeur centrale, et les filtres correspondant sont à phase nulle (avant décalage).

On peut montrer que cest une généralité. Soit x(k) une séquence infinie. Sa TF est définie par :

En effectuant le changement de variable k=-u, et en utilisant la propriété : x(k)=x(-k) , on peut montrer que lon obtient :

La Transformée de Fourier dune séquence déchantillons x(k) présentant une symétrie x(k)=x(-k) est donc réelle pure.(↔ sa phase est nulle).De même, on pourrait montrer que cest également le cas si les coefficients sont anti-symétriques (x(k)=-x(-k))

Application au filtre FIR étudié

Soit la réponse impulsionnelle discrète h(n), composée de N échantillons.Lindice de lélément central est N/2 si N pair, N/2-1 si N impair.

N indices déchantillons décalage phase temps de propagation de groupe

impair [-(N-1)/2,,(N-1)/2] (N-1)/2 pair [-N/2,,N/2-1] N/2

∑∑∑∞

=

π−−

−∞=

π−+∞

−∞=

π− ++==1k

fkT2j1

k

fkT2j

k

fkT2j eee e)k(x)0(xe)k(xe)k(x)f(X

∑∞

=

π+=1k

e)fkT2cos()k(x2)0(x)f(X

fT)2/)1N((2 e−π− eT)2/)1N(( −fT)2/N(2 eπ−

eT)2/N(

Conséquence de la symétrie des coefficientsII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

104

2e méthode de détermination des coefficients h(n) : par décomposition en série de Fourier du spectre damplitude

Le spectre damplitude étant périodique de période fe, on peut également le décomposer en série de Fourier.

Rappel : un signal périodique s(t) peut se mettre sous la forme :

avec

Ici, la fonction à développer est la réponse en fréquence H(f) :

La partie imaginaire peut être annulée :

Exemple : cas passe-bas, avec N impair :

ou, en fréquences réduites :

On retrouve bien le même résultat quavec la transformée de Fourier inverse.Cette RI doit ensuite être rendue physiquement réalisable (par troncature et décalage).

∫π−

=T

0Tt2jndte).t(s

T1)n(c∑

+∞

−∞=

π=

n

Tt2jn

e).n(c)t(s

Synthèse des RIF par développement en série de FourierII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

∑+∞

−∞=

π=n

fT2jn ee).n(h)f(H ∫ π−= e ef

0

fT2jne dfe).f(HT)n(h

( )∫ π= ef

0 ee dfnfT2cos).f(HT)n(h

avec

)nF2(csinF2)n(h cc π=

( ) )Tnf2(csinTf2...dfnfT2cosT2)n(h ecec

f

0 eec π==π= ∫

105

Lire la valeur de N (nombre de coefficients du filtre)si N pair

p=N/2sinon

p=(N-1)/2Lire la valeur de la fréquence de coupure normalisée FcPour k variant de 0 à N-1 //calcul des coefficients h(i) du filtre

si k!=ph(k+1)=sin(2*pi*(k-p)*Fc)/((k-p)*pi); //k-p pour le décalage

sinonh(k+1)=2*Fc; //sinus(x)/x pour x=0 traité à part

Diviser les coefficients h(i) par leur somme

N=10if modulo(N,2)==0 //si N pair

p=N/2;else

p=(N-1)/2; //si N impairendFc=0.01for k=0:N-1

if k~=ph(k+1)=1/(k-p)/%pi*sin(2*Fc*(k-p)*%pi);

elseh(k+1)=2*Fc; //cas sin(x)/x pour x=0 traité à part

endendsomme=sum(h);h=h/somme; //division des coefficients par leur somme

Algorithme du cas passe-bas

Programme Scilab correspondant


Synthèse des RIF par TF inverse : programmation

106

h0= 0.0989147h1= 0.0995054 = h9h2= 0.0999662 = h8h3= 0.1002962 = h7h4= 0.1004945 = h6h5= 0.1005607

Résultats obtenus :

Exemple : Réalisation dun filtre passe-bas avec fe=44100Hz, fc=4410Hz et N=10

Fréquence de coupure relative : Fc=0,01 Décalage :

RI du passe-bas avant décalage : , n=-5,,4

Après décalage : , n=0,,9

Affichage graphique :num=poly(h, "z", "coef");

sys=syslin('d', num, 1);

bode(sys, 0.0001, 0.3);

Synthèse des RIF par TF inverse : exempleII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

52Nn0 ==

( )π−π−

= )5n(02,0sin)5n(

1)n(h

( )cc nF2csinF2)n(h π=

( )c0c F)nn(2csinF2)n(h −π=

107

Diminution des ondulations en bande atténuée par fenêtrage

Il existe des oscillations dans la fonction de transfert, au niveau des bandes de transition.Il sagit du phénomène de Gibbs Ce phénomène peut être compensé par un fenêtrage de la réponse impulsionnelle.Ce fenêtrage consiste à multiplier la réponse impulsionnelle avec une fenêtre pouvant avoir plusieurs formes possibles.Une fenêtre couramment utilisée est celle dite de Hamming, définie par :

k=-(N-1)/2,0,,(N-1)/2

(= 0 pour les autres valeurs de k)

Exemple

N=10;fc=0.01;if modulo(N,2)==0 //cas N pair

p=N/2else

p=(N-1)/2 //cas N impairendfor k=0:N-1

w(k+1)=0.56+0.44*cos(2*%pi*(k-p)/N);if(k==p)

h(k+1)=2*fc*w(k+1);else

h(k+1)=w(k+1)*sin(2*%pi*(k-p)*fc)/((k-p)*%pi);end

end

π×+=

N2kcos46,054,0wk

Synthèse des RIF par TF inverse : fenêtrageII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

108

Synthèse à partir dun gabarit

Comme pour les filtres analogiques, on peut définir un gabarit dans lequel doit se situer la réponse en fréquence.Du fait du principe de synthèse utilisé, ce gabarit est un peu différent de celui utilisé dans le cas des filtres analogiques :

les ondulations en bande passante se font autour de |H(f)|=1.

Il existe une formule empirique permettant de déterminer lordre du filtre, en fonction des paramètres de ce gabarit :

)10

1(logf3

2N21

10 δδ∆≈

Synthèse des RIF par TF inverse : gabaritII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

f∆

109

Exemple de calcul

Synthèse des RIF par TF inverse : exemple de calculII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.2) Synthèse par TF inverse du spectre

110

Principe de la synthèse de filtres RIF par Transformée de Fourier Discrète inverse (TFD-1) du spectre damplitude

On définit dabord la réponse fréquentielle désirée pour le filtre RIF. Elle est ensuite échantillonnée.Sa TFD-1 est calculée ; le résultat correspond à la réponse impulsionnelle (RI) du filtre (donc aux coefficients du RIF).

Rappel de lexpression de la TFD :

, k=0,,N-1 , n=0,,N-1

directe inverse

Le principe consiste à considérer que le filtre est réel, et donc que la partie imaginaire est nulle :

Le résultat correspond aux échantillons de la réponse impulsionnelle. Celle-ci est réelle et impaire (donc non causale).Pour que le filtre soit réalisable, il faut rendre la RI causale : elle doit être décalée de n0 échantillons vers la droite, avec :

N pair : n0=N/2 ; N impair : n0=(N-1)/2

Lexpression de h(n) peut alors sécrire :

soit : n=0,,N-1

H0 correspond à une fréquence nulle et HN-1 à fe-fe/N . La résolution fréquentielle est fe/N (1/N en fréquences réduites).

∑−

=

π−=

1N

0n

Nnk2j

e)n(x)k(X ∑−

=

π

=1N

0k

Nnk2j

e)k(XN1)n(x

∑−

=

π=

1N

0k Nnk2cos)k(X

N1)n(x

)nn(x)n(h 0−=

( )∑−

=

−π=

1N

0n0nn

Nk2cos).k(H

N1)n(h

Nkff e

)f(H)k(H=

=

fc f(Hz)0

H(f)

fe

Synthèse des RIF par TFD inverse : principeII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.3) Synthèse par TFD inverse du spectre

111

Exemple

Filtre passe-bas, avec N=16, Hn=1 pour n variant de 0 à 2 et de 14 à 15, et Hn=0 pour n variant de 3 à 13.

, n0=N/2=8 , k=0,1,,15

La fréquence de coupure réduite est égale à : fc=2/N=2/10=0,25. Cest approximativement ce quon observe sur la figure.

Programme Scilab :

N=10; if modulo(N,2)==0 //cas N pairp=N/2;

else //cas N impairp=(N-1)/2;

end Nc=3; //correspond à fc=Nc/Nfor n=0:N-1 if(n<Nc)H(n+1)=1;

end,if(n>N-Nc) H(n+1)=1;

end,endfor k=0:N-1somme=0; for n=0:N-1somme=somme+H(n+1)*cos(2*%pi*n*(k-p)/N);

end,h(k+1)=1/N*somme;

end

( )∑=

−π=

15

0k

8n16

k2cos161)n(h( )∑

−

=

−π=

1N

0k0nn

Nk2cos).k(H

N1)n(h

-210

-110

010

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitude

Hz

db

-210

-110

010

-500-450-400-350-300-250-200-150-100

-500

Phase

Hz

degrees

Coefficients :

h0= 0,1h1= 0 = h9h2=-0,1236068 = h8h3= 0 = h7h4= 0,3236068 = h6h5= 0,35

Synthèse des RIF par TFD inverse : exempleII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.3) Synthèse par TFD inverse du spectre

112

Amélioration par fenêtrage

Modification du programme de lexemple précédent :

...

for k=0:N-1

w(k+1)=0.54+0.46*cos(2*%pi*(k-p)/N);

somme=0;

for n=0:N-1

somme=somme+H(n+1)*cos(2*%pi*n*(k-p)/N);

end,

h(k+1)=1/N*somme*w(k+1);

end

...

Lamélioration est notable.

Limitations

Si le nombre déchantillons hk du filtre est limité, la résolution fréquentielle lest également.Par exemple, avec N=10, on passe directement dune fréquence de coupure fc=2/N=2/10=0,2 à fc=3/10=0,33 (pour une application audio, avec fe=44100Hz, cela représente respectivement 0,2x44100=8820Hz à 0,33x44100=14700Hz.Doù la nécessité dutiliser un grand nombre de coefficients.

-210

-110

010

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitude

Hz

db

-210

-110

010

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Phase

Hz

degrees

II) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.3) Synthèse par TFD inverse du spectre

Synthèse des RIF par TFD inverse : fenêtrage

113

Exemple numérique

Synthèse des RIF par TFD inverse : exemple de calculII) Synthèse de filtres numériquesII.4) Filtres RIFII.4.3) Synthèse par TFD inverse du spectre

114

Comparaison RII/RIF

Filtres RII

Avantages :- peu de coefficients donc calcul rapide- modélisation des filtres analogiques (et notamment possibilité dobtenir des résonances)

Inconvénients :- risque dinstabilité surtout pour les grands facteurs de qualité- les coefficients doivent être codés avec beaucoup de précision (conséquence du risque dinstabilité)- phase non-linéaire (se traduit par une déformation du signal).

Filtres RIF

Avantages :- pas de risque dinstabilité- phase linéaire- permet de synthétiser nimporte quelle fonction de transfert (sauf résonances)

Inconvénients :- nombreux coefficients surtout pour les pentes raides et les bandes passantes étroites

II) Synthèse de filtres numériquesII.5) Performances comparées des filtres RII et RIF RII vs RIF

115

Conclusion

II) Synthèse de filtres numériquesII.6) Conclusion Conclusion

116

Conclusion générale

Conclusion générale

Documents

SynthŁse de filtres - benoit.decoux.free.frbenoit.decoux.free.fr/ENSEIGNEMENT/SIGNAL/ECE/cours_filtres.pdf · I.7) RØsumØ des diffØrentes Øtapes de synthŁse I.8) Exemple complet