SVM Practical

8/8/2019 SVM Practical

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e n e r i c a u t h o r d e s i g n s a m p l e p a g e s 1 9 9 8 0 7 0 9 1 4 : 5 9

1 1 M a k i n g L a r g e - S c a l e S V M L e a r n i n g P r a c t i c a l

T h o r s t e n J o a c h i m s

U n i v e r s i t a t D o r t m u n d , I n f o r m a t i k , A I - U n i t

T h o r s t e n J o a c h i m s @ c s . u n i - d o r t m u n d . d e

h t t p : w w w - a i . c s . u n i - d o r t m u n d . d e P E R S O N A L j o a c h i m s . h t m l

T o b e p u b l i s h e d i n : ' A d v a n c e s i n K e r n e l M e t h o d s - S u p p o r t V e c t o r L e a r n i n g ' ,

B e r n h a r d S c h o l k o p f , C h r i s t o p h e r J . C . B u r g e s , a n d A l e x a n d e r J . S m o l a e d s . ,

M I T P r e s s , C a m b r i d g e , U S A , 1 9 9 8 .

T r a i n i n g a s u p p o r t v e c t o r m a c h i n e S V M l e a d s t o a q u a d r a t i c o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m w i t h b o u n d c o n s t r a i n t s a n d o n e l i n e a r e q u a l i t y c o n s t r a i n t . D e s p i t e t h e

f a c t t h a t t h i s t y p e o f p r o b l e m i s w e l l u n d e r s t o o d , t h e r e a r e m a n y i s s u e s t o b e

c o n s i d e r e d i n d e s i g n i n g a n S V M l e a r n e r . I n p a r t i c u l a r , f o r l a r g e l e a r n i n g t a s k s w i t h

m a n y t r a i n i n g e x a m p l e s , o - t h e - s h e l f o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s f o r g e n e r a l q u a d r a t i c

p r o g r a m s q u i c k l y b e c o m e i n t r a c t a b l e i n t h e i r m e m o r y a n d t i m e r e q u i r e m e n t s .

S V M

l i g h t

1

i s a n i m p l e m e n t a t i o n o f a n S V M l e a r n e r w h i c h a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f

l a r g e t a s k s . T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a l g o r i t h m i c a n d c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s d e v e l o p e d

f o r S V M

l i g h t

V 2 . 0 , w h i c h m a k e l a r g e - s c a l e S V M t r a i n i n g m o r e p r a c t i c a l . T h e r e s u l t s

g i v e g u i d e l i n e s f o r t h e a p p l i c a t i o n o f S V M s t o l a r g e d o m a i n s .

1 1 . 1 I n t r o d u c t i o n

C h a p t e r 1 a n d V a p n i k 1 9 9 5 s h o w h o w t r a i n i n g a s u p p o r t v e c t o r m a c h i n e f o r t h e

p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m l e a d s t o t h e f o l l o w i n g q u a d r a t i c o p t i m i z a t i o n p r o b l e m

Q P O P 1 .

O P 1 m i n i m i z e : W = ,

X

i = 1

i

+

1

2

X

i = 1

X

j = 1

y

i

y

j

i

j

k x

i

x

j

1 1 . 1

s u b j e c t t o :

X

i = 1

y

i

i

= 0 1 1 . 2

8 i 0

i

C 1 1 . 3

1 S V M

l i g h t

i s a v a i l a b l e a t h t t p : w w w - a i . c s . u n i - d o r t m u n d . d e s v m l i g h t


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T h e n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s i s d e n o t e d b y i s a v e c t o r o f v a r i a b l e s ,

w h e r e e a c h c o m p o n e n t

i

c o r r e s p o n d s t o a t r a i n i n g e x a m p l e x

i

y

i

. T h e s o l u t i o n

o f O P 1 i s t h e v e c t o r

f o r w h i c h 1 1 . 1 i s m i n i m i z e d a n d t h e c o n s t r a i n t s 1 1 . 2

a n d 1 1 . 3 a r e f u l l l e d . D e n i n g t h e m a t r i x Q a s Q

i j

= y

i

y

j

k x

i

x

j

, t h i s c a n

e q u i v a l e n t l y b e w r i t t e n a s

m i n i m i z e : W = ,

T

1 +

1

2

T

Q 1 1 . 4

s u b j e c t t o :

T

y = 0 1 1 . 5

0 C 1 1 1 . 6

T h e s i z e o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s

. S i n c e t h e s i z e o f t h e m a t r i x Q i s

2

, f o r l e a r n i n g t a s k s w i t h 1 0 0 0 0 t r a i n i n g

e x a m p l e s a n d m o r e i t b e c o m e s i m p o s s i b l e t o k e e p Q i n m e m o r y . M a n y s t a n d a r d

i m p l e m e n t a t i o n s o f Q P s o l v e r s r e q u i r e e x p l i c i t s t o r a g e o f Q w h i c h p r o h i b i t s t h e i r

a p p l i c a t i o n . A n a l t e r n a t i v e w o u l d b e t o r e c o m p u t e Q e v e r y t i m e i t i s n e e d e d . B u t

t h i s b e c o m e s p r o h i b i t i v e l y e x p e n s i v e , i f Q i s n e e d e d o f t e n .

O n e a p p r o a c h t o m a k i n g t h e t r a i n i n g o f S V M s o n p r o b l e m s w i t h m a n y t r a i n i n g

e x a m p l e s t r a c t a b l e i s t o d e c o m p o s e t h e p r o b l e m i n t o a s e r i e s o f s m a l l e r t a s k s .

S V M

l i g h t

u s e s t h e d e c o m p o s i t i o n i d e a o f O s u n a e t a l . 1 9 9 7 b . T h i s d e c o m p o s i t i o n

s p l i t s O P 1 i n a n i n a c t i v e a n d a n a c t i v e p a r t - t h e s o c a l l w o r k i n g s e t " . T h e

m a i n a d v a n t a g e o f t h i s d e c o m p o s i t i o n i s t h a t i t s u g g e s t s a l g o r i t h m s w i t h m e m o r y

r e q u i r e m e n t s l i n e a r i n t h e n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s a n d l i n e a r i n t h e n u m b e r o f

S V s . O n e p o t e n t i a l d i s a d v a n t a g e i s t h a t t h e s e a l g o r i t h m s m a y n e e d a l o n g t r a i n i n g

t i m e . T o t a c k l e t h i s p r o b l e m , t h i s c h a p t e r p r o p o s e s a n a l g o r i t h m w h i c h i n c o r p o r a t e s

t h e f o l l o w i n g i d e a s :

A n e c i e n t a n d e e c t i v e m e t h o d f o r s e l e c t i n g t h e w o r k i n g s e t .

S u c c e s s i v e s h r i n k i n g " o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . T h i s e x p l o i t s t h e p r o p e r t y

t h a t m a n y S V M l e a r n i n g p r o b l e m s h a v e

m u c h l e s s s u p p o r t v e c t o r s S V s t h a n t r a i n i n g e x a m p l e s .

m a n y S V s w h i c h h a v e a n

i

a t t h e u p p e r b o u n d C

C o m p u t a t i o n a l i m p r o v e m e n t s l i k e c a c h i n g a n d i n c r e m e n t a l u p d a t e s o f t h e g r a d i -

e n t a n d t h e t e r m i n a t i o n c r i t e r i a .

T h i s c h a p t e r i s s t r u c t u r e d a s f o l l o w s . F i r s t , a g e n e r a l i z e d v e r s i o n o f t h e d e c o m -

p o s i t o n a l g o r i t h m o f O s u n a e t a l . 1 9 9 7 a i s i n t r o d u c e d . T h i s i d e n t i e s t h e p r o b l e m

o f s e l e c t i n g t h e w o r k i n g s e t , w h i c h i s a d d r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . I n s e c -

t i o n 1 1 . 4 a m e t h o d f o r s h r i n k i n g " O P 1 i s p r e s e n t e d a n d s e c t i o n 1 1 . 5 d e s c r i b e s t h e

c o m p u t a t i o n a l a n d i m p l e m e n t a t i o n a l a p p r o a c h o f S V M

l i g h t

. F i n a l l y , e x p e r i m e n t a l

r e s u l t s o n t w o b e n c h m a r k t a s k s , a t e x t c l a s s i c a t i o n t a s k , a n d a n i m a g e r e c o g n i t i o n

t a s k a r e d i s c u s s e d t o e v a l u a t e t h e a p p r o a c h .


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1 1 . 2 G e n e r a l D e c o m p o s i t i o n A l g o r i t h m 4 3

1 1 . 2 G e n e r a l D e c o m p o s i t i o n A l g o r i t h m

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a g e n e r a l i z e d v e r s i o n o f t h e d e c o m p o s i t i o n s t r a t e g y p r o p o s e d

b y O s u n a e t a l . 1 9 9 7 a . T h i s s t r a t e g y u s e s a d e c o m p o s i t i o n s i m i l a r t o t h o s e u s e d i n

a c t i v e s e t s t r a t e g i e s s e e G i l l e t a l . 1 9 8 1 f o r t h e c a s e t h a t a l l i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s

a r e s i m p l e b o u n d s . I n e a c h i t e r a t i o n t h e v a r i a b l e s

i

o f O P 1 a r e s p l i t i n t o t w o

c a t e g o r i e s .

t h e s e t B o f f r e e v a r i a b l e s

t h e s e t N o f x e d v a r i a b l e s

F r e e v a r i a b l e s a r e t h o s e w h i c h c a n b e u p d a t e d i n t h e c u r r e n t i t e r a t i o n , w h e r e a s

x e d v a r i a b l e s a r e t e m p o r a r i l y x e d a t a p a r t i c u l a r v a l u e . T h e s e t o f f r e e v a r i a b l e s

w i l l a l s o b e r e f e r r e d t o a s t h e w o r k i n g s e t . T h e w o r k i n g s e t h a s a c o n s t a n t s i z e q

m u c h s m a l l e r t h a n

T h e a l g o r i t h m w o r k s a s f o l l o w s :

W h i l e t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s a r e v i o l a t e d

S e l e c t q v a r i a b l e s f o r t h e w o r k i n g s e t B . T h e r e m a i n i n g

, q v a r i a b l e s a r e f i x e d a t t h e i r c u r r e n t v a l u e .

D e c o m p o s e p r o b l e m a n d s o l v e Q P - s u b p r o b l e m : o p t i m i z e W o n B

T e r m i n a t e a n d r e t u r n

H o w c a n t h e a l g o r i t h m d e t e c t t h a t i t h a s f o u n d t h e o p t i m a l v a l u e f o r ? S i n c e O p t i m a l i t y C o n -

d i t i o n s O P 1 i s g u a r a n t e e d t o h a v e a p o s i t i v e - s e m i d e n i t e H e s s i a n Q a n d a l l c o n s t r a i n t s

a r e l i n e a r , O P 1 i s a c o n v e x o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . F o r t h i s c l a s s o f p r o b l e m s

t h e f o l l o w i n g K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s a r e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

o p t i m a l i t y . D e n o t i n g t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r f o r t h e e q u a l i t y c o n s t r a i n t 1 1 . 5 w i t h

e q

a n d t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r s f o r t h e l o w e r a n d u p p e r b o u n d s 1 1 . 6 w i t h

o

a n d

u p

i s o p t i m a l f o r O P 1 , i f t h e r e e x i s t

e q

o

, a n d

u p

, s o t h a t K u h n - T u c k e r

C o n d i t i o n s , s e e W e r n e r 1 9 8 4 :

g +

e q

y ,

o

+

u p

= 0 1 1 . 7

8 i 2 1 n

o

i

,

i

= 0 1 1 . 8

8 i 2 1 n

u p

i

i

, C = 0 1 1 . 9

o

0 1 1 . 1 0

u p

0 1 1 . 1 1

T

y = 0 1 1 . 1 2

0 C 1 1 1 . 1 3

g i s t h e v e c t o r o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s a t . F o r O P 1 t h i s i s

g = , 1 + Q 1 1 . 1 4


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I f t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s d o n o t h o l d , t h e a l g o r i t h m d e c o m p o s e s O P 1 a n d Q P - S u b p r o b l e m s

s o l v e s t h e s m a l l e r Q P - p r o b l e m a r i s i n g f r o m t h i s . T h e d e c o m p o s i t i o n a s s u r e s t h a t

t h i s w i l l l e a d t o p r o g r e s s i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n W , i f t h e w o r k i n g s e t B

f u l l l s s o m e m i n i m u m r e q u i r e m e n t s s e e O s u n a e t a l . 1 9 9 7 b . I n p a r t i c u l a r , O P 1

i s d e c o m p o s e d b y s e p a r a t i n g t h e v a r i a b l e s i n t h e w o r k i n g s e t B f r o m t h o s e w h i c h

a r e x e d N . L e t ' s a s s u m e y , a n d Q a r e p r o p e r l y a r r a n g e d w i t h r e s p e c t t o B

a n d N , s o t h a t

=

B

N

y =

y

B

y

N

Q =

Q

B B

Q

B N

Q

N B

Q

N N

1 1 . 1 5

S i n c e Q i s s y m m e t r i c i n p a r t i c u l a r Q

B N

= Q

T

N B

, w e c a n w r i t e

O P 2 m i n i m i z e : W = ,

T

B

1 , Q

B N

N

+

1

2

T

B

Q

B B

B

+

1

2

T

N

Q

N N

N

,

T

N

1 1 1 . 1 6

s u b j e c t t o :

T

B

y

B

+

T

N

y

N

= 0 1 1 . 1 7

0 C 1 1 1 . 1 8

S i n c e t h e v a r i a b l e s i n N a r e x e d , t h e t e r m s

1

2

T

N

Q

N N

N

a n d ,

T

N

1 a r e

c o n s t a n t . T h e y c a n b e o m i t t e d w i t h o u t c h a n g i n g t h e s o l u t i o n o f O P 2 . O P 2 i s a

p o s i t i v e s e m i d e n i t e q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m w h i c h i s s m a l l e n o u g h b e

s o l v e d b y m o s t o - t h e - s h e l f m e t h o d s . I t i s e a s y t o s e e t h a t c h a n g i n g t h e

i

i n

t h e w o r k i n g s e t t o t h e s o l u t i o n o f O P 2 i s t h e o p t i m a l s t e p o n B . S o f a s t p r o g r e s s

d e p e n d s h e a v i l y o n w h e t h e r t h e a l g o r i t h m c a n s e l e c t g o o d w o r k i n g s e t s .

1 1 . 3 S e l e c t i n g a G o o d W o r k i n g S e t

W h e n s e l e c t i n g t h e w o r k i n g s e t , i t i s d e s i r a b l e t o s e l e c t a s e t o f v a r i a b l e s s u c h

t h a t t h e c u r r e n t i t e r a t i o n w i l l m a k e m u c h p r o g r e s s t o w a r d s t h e m i n i m u m o f W

T h e f o l l o w i n g p r o p o s e s a s t r a t e g y b a s e d o n Z o u t e n d i j k ' s m e t h o d s e e Z o u t e n d i j k

1 9 7 0 , w h i c h u s e s a r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n t o t h e t a r g e t f u n c t i o n . T h e i d e a i s t o

n d a s t e e p e s t f e a s i b l e d i r e c t i o n d o f d e s c e n t w h i c h h a s o n l y q n o n - z e r o e l e m e n t s .

T h e v a r i a b l e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e e l e m e n t s w i l l c o m p o s e t h e c u r r e n t w o r k i n g

s e t .

T h i s a p p r o a c h l e a d s t o t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m :

O P 3 m i n i m i z e : V d = g

t

T

d 1 1 . 1 9

s u b j e c t t o : y

T

d = 0 1 1 . 2 0

d

i

0 f o r i :

i

= 0 1 1 . 2 1

d

i

0 f o r i :

i

= C 1 1 . 2 2

, 1 d 1 1 1 . 2 3

f d

i

d

i

6= 0 g = q 1 1 . 2 4


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1 1 . 4 S h r i n k i n g : R e d u c i n g t h e S i z e o f O P 1 4 5

T h e o b j e c t i v e 1 1 . 1 9 s t a t e s t h a t a d i r e c t i o n o f d e s c e n t i s w a n t e d . A d i r e c t i o n

o f d e s c e n t h a s a n e g a t i v e d o t - p r o d u c t w i t h t h e v e c t o r o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s g

t

a t t h e c u r r e n t p o i n t

t

. C o n s t r a i n t s 1 1 . 2 0 , 1 1 . 2 1 , a n d 1 1 . 2 2 e n s u r e t h a t t h e

d i r e c t i o n o f d e s c e n t i s p r o j e c t e d a l o n g t h e e q u a l i t y c o n s t r a i n t 1 1 . 5 a n d o b e y s t h e

a c t i v e b o u n d c o n s t r a i n t s . C o n s t r a i n t 1 1 . 2 3 n o r m a l i z e s t h e d e s c e n t v e c t o r t o m a k e

t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w e l l - p o s e d . F i n a l l y , t h e l a s t c o n s t r a i n t 1 1 . 2 4 s t a t e s t h a t

t h e d i r e c t i o n o f d e s c e n t s h a l l o n l y i n v o l v e q v a r i a b l e s . T h e v a r i a b l e s w i t h n o n - z e r o

d

i

a r e i n c l u d e d i n t o t h e w o r k i n g s e t B . T h i s w a y w e s e l e c t t h e w o r k i n g s e t w i t h t h e

s t e e p e s t f e a s i b l e d i r e c t i o n o f d e s c e n t .

1 1 . 3 . 1 C o n v e r g e n c e

T h e s e l e c t i o n s t r a t e g y , t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s , a n d t h e d e c o m p o s i t i o n t o g e t h e r

s p e c i f y t h e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m . A m i n i m u m r e q u i r e m e n t t h i s a l g o r i t h m h a s t o

f u l l l i s t h a t i t

t e r m i n a t e s o n l y w h e n t h e o p t i m a l s o l u t i o n i s f o u n d

i f n o t a t t h e s o l u t i o n , t a k e s a s t e p t o w a r d s t h e o p t i m u m

T h e r s t r e q u i r e m e n t c a n e a s i l y b e f u l l l e d b y c h e c k i n g t h e n e c e s s a r y a n d

s u c i e n t o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s 1 1 . 7 t o 1 1 . 1 3 i n e a c h i t e r a t i o n . F o r t h e s e c o n d

o n e , l e t ' s a s s u m e t h e c u r r e n t

t

i s n o t o p t i m a l . T h e n t h e s e l e c t i o n s t r a t e g y f o r t h e

w o r k i n g s e t r e t u r n s a n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m o f t y p e O P 2 . S i n c e b y c o n s t r u c t i o n f o r

t h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h e r e e x i s t s a d w h i c h i s a f e a s i b l e d i r e c t i o n f o r d e s c e n t ,

w e k n o w u s i n g t h e r e s u l t s o f Z o u t e n d i j k 1 9 7 0 t h a t t h e c u r r e n t O P 2 i s n o n - o p t i m a l .

S o o p t i m i z i n g O P 2 w i l l l e a d t o a l o w e r v a l u e o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f O P 2 . S i n c e

t h e s o l u t i o n o f O P 2 i s a l s o f e a s i b l e f o r O P 1 a n d d u e t o t h e d e c o m p o s i t i o n 1 1 . 1 6 ,

w e a l s o g e t a l o w e r v a l u e f o r O P 1 . T h i s m e a n s w e g e t a s t r i c t d e s c e n t i n t h e o b j e c t i v e

f u n c t i o n o f O P 1 i n e a c h i t e r a t i o n .

1 1 . 3 . 2 H o w t o S o l v e O P 3

T h e s o l u t i o n t o O P 3 i s e a s y t o c o m p u t e u s i n g a s i m p l e s t r a t e g y . L e t !

i

= y

i

g

i

t

a n d s o r t a l l

i

a c c o r d i n g t o !

i

i n d e c r e a s i n g o r d e r . L e t ' s f u t h e r m o r e r e q u i r e t h a t

q i s a n e v e n n u m b e r . S u c c e s s i v e l y p i c k t h e q = 2 e l e m e n t s f r o m t h e t o p o f t h e l i s t

f o r w h i c h 0

t

i

C o r d

i

= , y

i

o b e y s 1 1 . 2 1 a n d 1 1 . 2 2 . S i m i l a r l y , p i c k t h e

q = 2 e l e m e n t s f r o m t h e b o t t o m o f t h e l i s t f o r w h i c h 0

t

i

C o r d

i

= y

i

o b e y s

1 1 . 2 1 a n d 1 1 . 2 2 . T h e s e q v a r i a b l e s c o m p o s e t h e w o r k i n g s e t .

1 1 . 4 S h r i n k i n g : R e d u c i n g t h e S i z e o f O P 1

F o r m a n y t a s k s t h e n u m b e r o f S V s i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e n u m b e r o f t r a i n i n g

e x a m p l e s . I f i t w a s k n o w n a p r i o r i w h i c h o f t h e t r a i n i n g e x a m p l e s t u r n o u t a s S V s ,


6/16



i t w o u l d b e s u c i e n t t o t r a i n j u s t o n t h o s e e x a m p l e s a n d s t i l l g e t t o t h e s a m e r e s u l t .

T h i s w o u l d m a k e O P 1 s m a l l e r a n d f a s t e r t o s o l v e , s i n c e w e c o u l d s a v e t i m e a n d

s p a c e b y n o t n e e d i n g p a r t s o f t h e H e s s i a n Q w h i c h d o n o t c o r r e s p o n d t o S V s .

S i m i l a r l y , f o r n o i s y p r o b l e m s t h e r e a r e o f t e n m a n y S V s w i t h a n

i

a t t h e u p p e r

b o u n d C . L e t ' s c a l l t h e s e s u p p o r t v e c t o r s b o u n d e d s u p p o r t v e c t o r s " B S V s .

S i m i l a r a r g u m e n t s a s f o r t h e n o n - s u p p o r t v e c t o r s a p p l y t o B S V s . I f i t w a s k n o w n a

p r i o r i w h i c h o f t h e t r a i n i n g e x a m p l e s t u r n o u t a s B S V s , t h e c o r r e s p o n d i n g

i

c o u l d

b e x e d a t C l e a d i n g t o a n e w o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w i t h f e w e r v a r i a b l e s .

D u r i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s i t o f t e n b e c o m e s c l e a r f a i r l y e a r l y t h a t c e r t a i n

e x a m p l e s a r e u n l i k e l y t o e n d u p a s S V s o r t h a t t h e y w i l l b e B S V s . B y e l i m i n a t i n g

t h e s e v a r i a b l e s f r o m O P 1 , w e g e t a s m a l l e r p r o b l e m O P 1 ' o f s i z e . F r o m O P 1 ' w e

c a n c o n s t r u c t t h e s o l u t i o n o f O P 1 . L e t X d e n o t e t h o s e i n d i c e s c o r r e s p o n d i n g t o

u n b o u n d e d s u p p o r t v e c t o r s , Y t h o s e i n d e x e s w h i c h c o r r e s p o n d t o B S V s , a n d Z t h e

i n d i c e s o f n o n - s u p p o r t v e c t o r s . T h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m O P 1 t o O P 1 ' c a n b e d o n e

u s i n g a d e c o m p o s i t i o n s i m i l a r t o 1 1 . 1 6 . L e t ' s a s s u m e y , a n d Q a r e p r o p e r l y

a r r a n g e d w i t h r e s p e c t t o X Y , a n d Z , s o t h a t w e c a n w r i t e

=

X

Y

Z

=

X

C 1

0

y =

y

X

y

Y

y

Z

Q =

Q

X X

Q

X Y

Q

X Z

Q

Y X

Q

Y Y

Q

Y Z

Q

Z X

Q

Z Y

Q

Z Z

1 1 . 2 5

T h e d e c o m p o s i t i o n o f W i s

m i n i m i z e : W

X

= ,

T

X

1 , Q

X Y

1 C +

1

2

T

X

Q

X X

X

+

1

2

C 1

T

Q

Y Y

C 1 , Y C 1 1 . 2 6

s u b j e c t t o :

T

X

y

X

+ C 1

T

y

Y

= 0 1 1 . 2 7

0

X

C 1 1 1 . 2 8

S i n c e

1

2

C 1

T

Q

Y Y

C 1 , Y C i s c o n s t a n t , i t c a n b e d r o p p e d w i t h o u t c h a n g i n g t h e

s o l u t i o n . S o f a r i t i s n o t c l e a r h o w t h e a l g o r i t h m c a n i d e n t i f y w h i c h e x a m p l e s c a n b e

e l i m i n a t e d . I t i s d e s i r a b l e t o n d c o n d i t i o n s w h i c h i n d i c a t e e a r l y i n t h e o p t i m i z a t i o n

p r o c e s s t h a t c e r t a i n v a r i a b l e s w i l l e n d u p a t a b o u n d . S i n c e s u c i e n t c o n d i t i o n s a r e

n o t k n o w n , a h e u r i s t i c a p p r o a c h b a s e d o n L a g r a n g e m u l t i p l i e r e s t i m a t e s i s u s e d .

A t t h e s o l u t i o n , t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f a b o u n d c o n s t r a i n t i n d i c a t e s , h o w

m u c h t h e v a r i a b l e p u s h e s " a g a i n s t t h a t c o n s t r a i n t . A s t r i c t l y p o s i t i v e v a l u e o f a

L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f a b o u n d c o n s t r a i n t i n d i c a t e s t h a t t h e v a r i a b l e i s o p t i m a l a t

t h a t b o u n d . A t n o n - o p t i m a l p o i n t s , a n e s t i m a t e o f t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r c a n b e

u s e d . L e t A b e t h e c u r r e n t s e t o f

i

f u l l l i n g 0

i

C . B y s o l v i n g 1 1 . 7 f o r

e q

a n d a v e r a g i n g o v e r a l l

i

i n A , w e g e t t h e e s t i m a t e 1 1 . 2 9 f o r

e q

e q

=

1

A

X

i 2 A

2

4

y

i

,

X

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

3

5

1 1 . 2 9

N o t e t h e e q u i v a l e n c e o f

e q

a n d b i n 1 1 . 4 1 . S i n c e v a r i a b l e s

i

c a n n o t b e b o t h a t t h e


7/16


1 1 . 5 E c i e n t I m p l e m e n t a t i o n 4 7

u p p e r a n d t h e l o w e r b o u n d s i m u l t a n o u s l y , t h e m u l t i p l i e r s o f t h e b o u n d c o n s t r a i n t s

c a n n o w b e e s t i m a t e d b y

o

i

= y

i

0

@

2

4

X

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

3

5

+

e q

1

A

, 1 1 1 . 3 0

f o r t h e l o w e r b o u n d s a n d b y

u p

i

= , y

i

0

@

2

4

X

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

3

5

+

e q

1

A

+ 1 1 1 . 3 1

f o r t h e u p p e r b o u n d s . L e t ' s c o n s i d e r t h e h i s t o r y o f t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r e s t i m a t e s

o v e r t h e l a s t h i t e r a t i o n s . I f t h e e s t i m a t e 1 1 . 3 0 o r 1 1 . 3 1 w a s p o s i t i v e o r a b o v e

s o m e t h r e s h o l d a t e a c h o f t h e l a s t h i t e r a t i o n s , i t i s l i k e l y t h a t t h i s w i l l b e t r u e a t

t h e o p t i m a l s o l u t i o n , t o o . T h e s e v a r i a b l e s a r e e l i m i n a t e d u s i n g t h e d e c o m p o s i t i o n

f r o m a b o v e . T h i s m e a n s t h a t t h e s e v a r i a b l e s a r e x e d a n d n e i t h e r t h e g r a d i e n t , n o r

t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s a r e c o m p u t e d . T h i s l e a d s t o a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n

t h e n u m b e r o f k e r n e l e v a l u a t i o n s .

S i n c e t h i s h e u r i s t i c c a n f a i l , t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r t h e e x c l u d e d v a r i a b l e s

a r e c h e c k e d a f t e r c o n v e r g e n c e o f O P 1 ' . I f n e c e s s a r y , t h e f u l l p r o b l e m i s r e o p t i m i z e d

s t a r t i n g f r o m t h e s o l u t i o n o f O P 1 ' .

1 1 . 5 E c i e n t I m p l e m e n t a t i o n

W h i l e t h e p r e v i o u s s e c t i o n s d e a l t w i t h a l g o r i t h m i c i s s u e s , t h e r e a r e s t i l l a l o t o f o p e n

q u e s t i o n s t o b e a n s w e r e d b e f o r e h a v i n g a n e c i e n t i m p l e m e n t a t i o n . T h i s s e c t i o n

a d d r e s s e s t h e s e i m p l e m e n t a t i o n a l i s s u e s .

1 1 . 5 . 1 T e r m i n a t i o n C r i t e r i a

T h e r e a r e t w o o b v i o u s w a y s t o d e n e t e r m i n a t i o n c r i t e r i a w h i c h t n i c e l y i n t o t h e

a l g o r i t h m i c f r a m e w o r k p r e s e n t e d a b o v e . F i r s t , t h e s o l u t i o n o f O P 3 c a n b e u s e d t o

d e n e a n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n f o r o p t i m a l i t y . I f 1 1 . 1 9 e q u a l s 0 , O P 1

i s s o l v e d w i t h t h e c u r r e n t

t

a s s o l u t i o n .

S V M

l i g h t

g o e s a n o t h e r w a y a n d u s e s a t e r m i n a t i o n c r i t e r i o n d e r i v e d f r o m t h e

o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s 1 1 . 7 - 1 1 . 1 3 . U s i n g t h e s a m e r e a s o n i n g a s f o r 1 1 . 2 9 -

1 1 . 3 1 , t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s w i t h = 0 a r e e q u i v a l e n t t o 1 1 . 7 - 1 1 . 1 3 .

8 i w i t h 0

i

C

e q

, y

i

,

P

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

e q

+ 1 1 . 3 2

8 i w i t h

i

= 0 y

i

P

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

+

e q

1 , 1 1 . 3 3

8 i w i t h

i

= C y

i

P

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

+

e q

1 + 1 1 . 3 4

T

y = 0 1 1 . 3 5

T h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s 1 1 . 3 2 , 1 1 . 3 3 , a n d 1 1 . 3 4 a r e v e r y n a t u r a l s i n c e


8/16



t h e y r e e c t t h e c o n s t r a i n t s o f t h e o r i g i n a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m 1 1 . 4 0 . I n p r a c t i c e

t h e s e c o n d i t i o n s n e e d n o t b e f u l l l e d w i t h h i g h a c c u r a c y . U s i n g a t o l e r a n c e o f

= 0 0 0 1 i s a c c e p t a b l e f o r m o s t t a s k s . U s i n g a h i g h e r a c c u r a c y d i d n o t s h o w

i m p r o v e d g e n e r a l i z a t i o n p e r f o r m a n c e o n t h e t a s k s t r i e d , b u t l e a d t o c o n s i d e r a b l y

l o n g e r t r a i n i n g t i m e .

1 1 . 5 . 2 C o m p u t i n g t h e G r a d i e n t a n d t h e T e r m i n a t i o n C r i t e r i a E c i e n t l y

T h e e c i e n c y o f t h e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m g r e a t l y d e p e n d s o n h o w e c i e n t l y t h e

h o u s e k e e p i n g " i n e a c h i t e r a t i o n c a n b e d o n e . T h e f o l l o w i n g q u a n t i t i e s a r e n e e d e d

i n e a c h i t e r a t i o n .

T h e v e c t o r o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s g

t

f o r s e l e c t i n g t h e w o r k i n g s e t .

T h e v a l u e s o f t h e e x p r e s s i o n s 1 1 . 3 2 , 1 1 . 3 3 , a n d 1 1 . 3 4 f o r t h e t e r m i n a t i o n

c r i t e r i o n .

T h e m a t r i c e s Q

B B

a n d Q

B N

f o r t h e Q P s u b p r o b l e m .

F o r t u n a t e l y , d u e t o t h e d e c o m p o s i t o n a p p r o a c h , a l l t h e s e q u a n t i t i e s c a n b e c o m -

p u t e d o r u p d a t e d k n o w i n g o n l y q r o w s o f t h e H e s s i a n Q . T h e s e q r o w s c o r r e s p o n d t o

t h e v a r i a b l e s i n t h e c u r r e n t w o r k i n g s e t . T h e v a l u e s i n t h e s e r o w s a r e c o m p u t e d d i -

r e c t l y a f t e r t h e w o r k i n g s e t i s s e l e c t e d a n d t h e y a r e s t o r e d t h r o u g h o u t t h e i t e r a t i o n .

I t i s u s e f u l t o i n t r o d u c e s

t

s

t

i

=

X

j = 1

j

y

j

k x

i

x

j

1 1 . 3 6

K n o w i n g s

t

, t h e g r a d i e n t 1 1 . 1 4 a s w e l l a s i n t h e t e r m i n a t i o n c r i t e r i a 1 1 . 3 2 -

1 1 . 3 4 c a n b e c o m p u t e d v e r y e c i e n t l y . W h e n

t 1

c h a n g e s t o

t

t h e v e c t o r

s

t

n e e d s t o b e u p d a t e d . T h i s c a n b e d o n e e c i e n t l y a n d w i t h s u c i e n t a c c u r a c y

a s f o l l o w s

s

t

i

= s

t 1

i

+

X

j 2 B

t

j

,

t 1

j

y

j

k x

i

x

j

1 1 . 3 7

N o t e t h a t o n l y t h o s e r o w s o f Q a r e n e e d e d w h i c h c o r r e s p o n d t o v a r i a b l e s i n t h e

w o r k i n g s e t . T h e s a m e i s t r u e f o r Q

B B

a n d Q

B N

, w h i c h a r e m e r e l y s u b s e t s o f

c o l u m n s f r o m t h e s e r o w s .

1 1 . 5 . 3 W h a t a r e t h e C o m p u t a t i o n a l R e s o u r c e s N e e d e d i n e a c h I t e r a t i o n ?

M o s t t i m e i n e a c h i t e r a t i o n i s s p e n t o n t h e k e r n e l e v a l u a t i o n s n e e d e d t o c o m p u t e T i m e C o m p l e x i t y

t h e q r o w s o f t h e H e s s i a n . T h i s s t e p h a s a t i m e c o m p l e x i t y o f O q l f , w h e r e f i s t h e

m a x i m u m n u m b e r o f n o n - z e r o f e a t u r e s i n a n y o f t h e t r a i n i n g e x a m p l e s . U s i n g t h e

s t o r e d r o w s o f Q , u p d a t i n g s

t

i s d o n e i n t i m e O q l . S e t t i n g u p t h e Q P s u b p r o b l e m

r e q u i r e s O q l a s w e l l . A l s o t h e s e l e c t i o n o f t h e n e x t w o r k i n g s e t , w h i c h i n c l u d e s

c o m p u t i n g t h e g r a d i e n t , c a n b e d o n e i n O q l


9/16


1 1 . 6 R e l a t e d W o r k 4 9

T h e h i g h e s t m e m o r y r e q u i r e m e n t s a r e d u e t o s t o r i n g t h e q r o w s o f Q . H e r e O q l S p a c e C o m p l e x i t y

o a t i n g p o i n t n u m b e r s n e e d t o b e s t o r e d . B e s i d e s t h i s , O q

2

i s n e e d e d t o s t o r e

Q

B B

a n d O l t o s t o r e s

t

1 1 . 5 . 4 C a c h i n g K e r n e l E v a l u a t i o n s

A s p o i n t e d o u t i n t h e l a s t s e c t i o n , t h e m o s t e x p e n s i v e s t e p i n e a c h i t e r a t i o n i s

t h e e v a l u a t i o n o f t h e k e r n e l t o c o m p u t e t h e q r o w s o f t h e H e s s i a n Q . T h r o u g h o u t

t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s , e v e n t u a l s u p p o r t v e c t o r s e n t e r t h e w o r k i n g s e t m u l t i p l e

t i m e s . T o a v o i d r e c o m p u t a t i o n o f t h e s e r o w s , S V M

l i g h t

u s e s c a c h i n g . T h i s a l l o w s

a n e l e g a n t t r a d e - o b e t w e e n m e m o r y c o n s u m p t i o n a n d t r a i n i n g t i m e .

S V M

l i g h t

u s e s a l e a s t - r e c e n t l y - u s e d c a c h i n g s t r a t e g y . W h e n t h e c a c h e i s f u l l , t h e

e l e m e n t w h i c h h a s n o t b e e n u s e d f o r t h e g r e a t e s t n u m b e r o f i t e r a t i o n s , i s r e m o v e d

t o m a k e r o o m f o r t h e c u r r e n t r o w .

O n l y t h o s e c o l u m n s a r e c o m p u t e d a n d c a c h e d w h i c h c o r r e s p o n d t o a c t i v e v a r i -

a b l e s . A f t e r s h r i n k i n g , t h e c a c h e i s r e o r g a n i z e d a c c o r d i n g l y .

1 1 . 5 . 5 H o w t o S o l v e O P 2 Q P S u b p r o b l e m s

C u r r e n t l y a p r i m a l - d u a l i n t e r i o r - p o i n t s o l v e r s e e V a n d e r b e i 1 9 9 4 i m p l e m e n t e d

b y A . S m o l a i s u s e d t o s o l v e t h e Q P s u b p r o b l e m s O P 2 . N e v e r t h e l e s s , o t h e r o p t i -

m i z e r s c a n e a s i l y b e i n c o r p o r a t e d i n t o S V M

l i g h t

a s w e l l .

1 1 . 6 R e l a t e d W o r k

T h e r s t a p p r o a c h t o s p l i t t i n g l a r g e S V M l e a r n i n g p r o b l e m s i n t o a s e r i e s o f

s m a l l e r o p t i m i z a t i o n t a s k s w a s p r o p o s e d b y B o s e r e t a l . 1 9 9 2 . I t i s k n o w n a s t h e

c h u n k i n g " a l g o r i t h m s e e a l s o c h a p t e r 1 0 . T h e a l g o r i t h m s t a r t s w i t h a r a n d o m

s u b s e t o f t h e d a t a , s o l v e s t h i s p r o b l e m , a n d i t e r a t i v e l y a d d s e x a m p l e s w h i c h v i o l a t e

t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s . O s u n a e t a l . 1 9 9 7 b p r o v e f o r m a l l y t h a t t h i s s t r a t e g y

c o n v e r g e s t o t h e o p t i m a l s o l u t i o n . O n e d i s a d v a n t a g e o f t h i s a l g o r i t h m i s t h a t i t i s

n e c e s s a r y t o s o l v e Q P - p r o b l e m s s c a l i n g w i t h t h e n u m b e r o f S V s . T h e d e c o m p o s i t i o n

o f O s u n a e t a l . 1 9 9 7 a , w h i c h i s u s e d i n t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d h e r e , a v o i d s t h i s .

C u r r e n t l y , a n a p p r o a c h c a l l e d S e q u e n t i a l M i n i m a l O p t i m i z a t i o n S M O i s e x -

p l o r e d f o r S V M t r a i n i n g s e e P l a t t 1 9 9 8 a n d c h a p t e r ? ? . I t c a n b e s e e n a s p e c i a l

c a s e o f t h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r , a l l o w i n g o n l y w o r k i n g s e t s o f s i z e

2 . T h e a l g o r i t h m s d i e r i n t h e i r w o r k i n g s e t s e l e c t i o n s t r a t e g i e s . I n s t e a d o f t h e

s t e e p e s t f e a s i b l e d e s c e n t a p p r o a c h p r e s e n t e d h e r e , S M O u s e s a s e t o f h e u r i s t i c s .

N e v e r t h e l e s s , t h e s e h e u r i s t i c s a r e l i k e l y t o p r o d u c e s i m i l a r d e c i s i o n s i n p r a c t i c e .

A n o t h e r d i e r e n c e i s t h a t S M O t r e a t s l i n e a r S V M s i n a s p e c i a l w a y , w h i c h p r o -

d u c e s a g r e a t s p e e d u p f o r t r a i n i n g l i n e a r s e p a r a t o r s . A l t h o u g h p o s s i b l e , t h i s i s n o t

i m p l e m e n t e d i n S V M

l i g h t

. O n t h e o t h e r h a n d , S V M

l i g h t

u s e s c a c h i n g , w h i c h c o u l d

b e a v a l u a b l e a d d i t i o n t o S M O .


10/16



1 1 . 7 E x p e r i m e n t s

T h e f o l l o w i n g e x p e r i m e n t s e v a l u a t e t h e a p p r o a c h o n f o u r d a t a s e t s . T h e e x p e r i m e n t s

a r e c o n d u c t e d o n a S P A R C U l t r a 1 6 7 M h z w i t h 1 2 8 M B o f R A M r u n n i n g S o l a r i s I I .

I f n o t s t a t e d o t h e r w i s e , i n t h e f o l l o w i n g e x p e r i m e n t s t h e c a c h e s i z e i s 8 0 m e g a b y t e s ,

t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s h f o r t h e s h r i n k i n g h e u r i s t i c i s 1 0 0 , a n d O P 1 i s s o l v e d u p

t o a p r e c i s i o n o f = 0 0 0 1 i n 1 1 . 3 2 - 1 1 . 3 4 .

1 1 . 7 . 1 H o w d o e s T r a i n i n g T i m e S c a l e w i t h t h e N u m b e r o f T r a i n i n g

E x a m p l e s ?

1 1 . 7 . 1 . 1 I n c o m e P r e d i c t i o n

T h i s t a s k w a s c o m p i l e d b y J o h n P l a t t s e e P l a t t 1 9 9 8 f r o m t h e U C I a d u l t " d a t a

s e t . T h e g o a l i s t o p r e d i c t w h e t h e r a h o u s e h o l d h a s a n i n c o m e g r e a t e r t h a n $ 5 0 , 0 0 0 .

A f t e r d i s c r e t i z a t i o n o f t h e c o n t i n u o u s a t t r i b u t e s , t h e r e a r e 1 2 3 b i n a r y f e a t u r e s . O n

a v e r a g e , t h e r e a r e 1 4 n o n - z e r o a t t r i b u t e s p e r e x a m p l e .

T a b l e 1 1 . 1 a n d t h e l e f t g r a p h i n g u r e 1 1 . 1 s h o w t r a i n i n g t i m e s f o r a n R B F - k e r n e l

1 1 . 3 8 w i t h = 1 0 a n d C = 1 . T h e r e s u l t s f o r S M O a n d C h u n k i n g a r e t a k e n f r o m

P l a t t 1 9 9 8 . W h e n c o m p a r i n g a b s o l u t e t r a i n i n g t i m e s , o n e s h o u l d k e e p i n m i n d

t h a t S M O a n d C h u n k i n g w e r e r u n o n a f a s t e r c o m p u t e r 2 6 6 M h z P e n t i u m I I

2

E x a m p l e s S V M

l i g h t

S M O C h u n k i n g M i n i m u m t o t a l S V B S V

1 6 0 5 7 . 8 1 5 . 8 3 4 . 8 4 . 2 6 9 1 5 8 5

2 2 6 5 1 6 . 8 3 2 . 1 1 4 4 . 7 9 . 0 1 0 0 7 8 4 9

3 1 8 5 3 0 . 6 6 6 . 2 3 8 0 . 5 6 . 8 1 2 9 3 1 1 1 5

4 7 8 1 6 8 . 4 1 4 6 . 6 1 1 3 7 . 2 3 8 . 4 1 8 8 2 1 6 5 4

6 4 1 4 1 2 0 . 6 2 5 8 . 8 2 5 3 0 . 6 7 0 . 2 2 4 7 5 2 1 8 4

1 1 2 2 1 4 3 0 . 8 7 8 1 . 4 1 1 9 1 0 . 6 2 1 5 . 4 4 1 8 2 3 7 6 3

1 6 1 0 1 9 0 6 . 0 1 7 8 4 . 4 N A 4 3 6 . 2 5 8 9 4 5 3 9 8

2 2 6 9 7 1 8 4 5 . 6 4 1 2 6 . 4 N A 8 6 2 . 8 8 2 6 3 7 5 7 4

3 2 5 6 2 3 8 5 0 . 2 7 7 4 9 . 6 N A 1 7 9 5 . 8 1 1 5 7 2 1 0 7 4 0

S c a l i n g 2 . 1 2 . 1 2 . 9 2 . 0

T a b l e 1 1 . 1 T r a i n i n g t i m e s a n d n u m b e r o f S V s f o r t h e i n c o m e p r e d i c t i o n d a t a .

B o t h S V M

l i g h t

a n d S M O a r e s u b s t a n t i a l l y f a s t e r t h a n t h e c o n v e n t i o n a l c h u n k i n g

a l g o r i t h m , w h e r e a s S V M

l i g h t

i s a b o u t t w i c e a s f a s t a s S M O . T h e b e s t w o r k i n g s e t

s i z e i s q = 2 . B y t t i n g l i n e s t o t h e l o g - l o g p l o t w e g e t a n e m p i r i c a l s c a l i n g o f

2 1

f o r b o t h S V M

l i g h t

a n d S M O . T h e s c a l i n g o f t h e c h u n k i n g a l g o r i t h m i s

2 9

T h e c o l u m n m i n i m u m " g i v e s a l o w e r b o u n d o n t h e t r a i n i n g t i m e . T h i s b o u n d

m a k e s t h e c o n j e c t u r e t h a t i n t h e g e n e r a l c a s e a n y o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m s n e e d s t o


11/16


1 1 . 7 E x p e r i m e n t s 5 1

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

CPU-timeinseconds

Number of examples

chunkingSMO

SVM-Lightminimum

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

CPU-timeinseconds

Number of examples

chunkingSMO

SVM-Lightminimum

F i g u r e 1 1 . 1 T r a i n i n g t i m e s f r o m t a b l e s 1 1 . 1 l e f t a n d 1 1 . 2 r i g h t a s g r a p h s .

a t l e a s t o n c e l o o k a t t h e r o w s o f t h e H e s s i a n Q w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e s u p p o r t

v e c t o r s . T h e c o l u m n m i n i m u m " s h o w s t h e t i m e t o c o m p u t e t h o s e r o w s o n c e

e x p l o i t i n g s y m m e t r y . T h i s t i m e s c a l e s w i t h

2 0

, s h o w i n g t h e c o m p l e x i t y i n h e r e n t

i n t h e c l a s s i c a t i o n t a s k . F o r t h e t r a i n i n g s e t s i z e s c o n s i d e r e d , S V M

l i g h t

i s b o t h

c l o s e t o t h i s m i n i m u m s c a l i n g a s w e l l a s w i t h i n a f a c t o r o f a p p r o x i m a t e l y t w o i n

t e r m s o f a b s o l u t e r u n t i m e .

1 1 . 7 . 1 . 2 C l a s s i f y i n g W e b P a g e s

T h e s e c o n d d a t a s e t - a g a i n c o m p i l e d b y J o h n P l a t t s e e P l a t t 1 9 9 8 - i s a t e x t

c l a s s i c a t i o n p r o b l e m w i t h a b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n b a s e d o n 3 0 0 k e y w o r d f e a t u r e s .

T h i s r e p r e s e n t a t i o n i s e x t r e m e l y s p a r s e . O n a v e r a g e t h e r e a r e o n l y 1 2 n o n - z e r o

f e a t u r e s p e r e x a m p l e .


l i g h t

S M O C h u n k i n g M i n i m u m t o t a l S V B S V

2 4 7 7 1 8 . 0 2 6 . 3 6 4 . 9 3 . 6 4 3 1 4 7

3 4 7 0 2 8 . 2 4 4 . 1 1 1 0 . 4 7 . 8 5 7 1 6 9

4 9 1 2 4 6 . 2 8 3 . 6 3 7 2 . 5 1 3 . 2 6 7 1 9 6

7 3 6 6 1 0 2 . 0 1 5 6 . 7 5 4 5 . 4 2 7 . 0 8 7 8 1 3 8

9 8 8 8 1 7 4 . 6 2 4 8 . 1 9 0 7 . 6 4 6 . 8 1 0 7 5 1 8 7

1 7 1 8 8 4 5 0 . 0 5 8 1 . 0 3 3 1 7 . 9 1 2 3 . 6 1 6 1 1 3 6 3

2 4 6 9 2 8 4 3 . 0 1 2 1 4 . 0 6 6 5 9 . 7 2 2 2 . 6 1 9 9 4 5 0 6

4 9 7 4 9 2 8 3 4 . 4 3 8 6 3 . 5 2 3 8 7 7 . 6 7 0 6 . 2 3 0 6 9 9 4 8

S c a l i n g 1 . 7 1 . 7 2 . 0 1 . 7

T a b l e 1 1 . 2 T r a i n i n g t i m e s a n d n u m b e r o f S V s f o r t h e W e b d a t a .

T a b l e 1 1 . 2 s h o w s t r a i n i n g t i m e s o n t h i s d a t a s e t f o r a n R B F - k e r n e l 1 1 . 3 8 w i t h

= 1 0 a n d C = 5 . A g a i n , t h e t i m e s f o r S M O a n d C h u n k i n g a r e t a k e n f r o m P l a t t

1 9 9 8 . S V M

l i g h t

i s f a s t e r t h a n S M O a n d C h u n k i n g o n t h i s d a t a s e t a s w e l l , s c a l i n g

w i t h

1 7

. T h e b e s t w o r k i n g s e t s i z e i s q = 2


12/16



1 1 . 7 . 1 . 3 O h s u m e d D a t a S e t

T h e t a s k i n t h i s s e c t i o n i s a t e x t c l a s s i c a t i o n p r o b l e m w h i c h u s e s a d i e r e n t r e p -

r e s e n t a t i o n . S u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s h a v e s h o w n v e r y g o o d g e n e r a l i s a t i o n p e r f o r -

m a n c e u s i n g t h i s r e p r e s e n t a t i o n s e e J o a c h i m s 1 9 9 8 . D o c u m e n t s a r e r e p r e s e n t e d

a s h i g h d i m e n s i o n a l v e c t o r s , w h e r e e a c h d i m e n s i o n c o n t a i n s a T F I D F - s c a l e d c o u n t

o f h o w o f t e n a p a r t i c u l a r w o r d o c c u r s i n t h e d o c u m e n t . M o r e d e t a i l s c a n b e f o u n d

i n J o a c h i m s 1 9 9 8 . T h e p a r t i c u l a r t a s k i s t o l e a r n C a r d i o v a s c u l a r D i s e a s e s " c a t -

e g o r y o f t h e O h s u m e d d a t a s e t . I t i n v o l v e s t h e r s t 4 6 1 6 0 d o c u m e n t s f r o m 1 9 9 1

u s i n g 1 5 0 0 0 f e a t u r e s . O n a v e r a g e , t h e r e a r e 6 3 n o n - z e r o f e a t u r e s p e r e x a m p l e . A n

R B F - k e r n e l w i t h = 0 9 1 a n d C = 5 0 i s u s e d .


l i g h t

M i n i m u m t o t a l S V B S V

9 3 3 7 1 8 . 8 7 . 1 4 0 3 7 0

1 3 8 3 5 4 6 . 3 1 4 . 4 5 3 8 2 0

2 7 7 7 4 1 8 5 . 7 5 0 . 8 9 0 1 8 0

4 6 1 6 0 5 0 9 . 5 1 3 2 . 7 1 3 8 1 3 0

S c a l i n g 2 . 0 1 . 8

T a b l e 1 1 . 3 T r a i n i n g t i m e i n m i n u t e s a n d n u m b e r o f S V s f o r t h e O h s u m e d d a t a .

T a b l e 1 1 . 3 s h o w s t h a t t h i s t a s k s i n v o l v e s m a n y S V s w h i c h a r e n o t a t t h e u p p e r

b o u n d . R e l a t i v e t o t h i s h i g h n u m b e r o f S V s t h e c a c h e s i z e i s s m a l l . T o a v o i d

f r e q u e n t r e c o m p u t a t i o n s o f t h e s a m e p a r t o f t h e H e s s i a n Q , a n a d d i t i o n a l h e u r i s t i c

i s i n c o r p o r a t e d h e r e . T h e w o r k i n g s e t i s s e l e c t e d w i t h t h e c o n s t r a i n t t h a t a t l e a s t

f o r h a l f o f t h e s e l e c t e d v a r i a b l e s t h e k e r n e l v a l u e s a r e a l r e a d y c a c h e d . U n l i k e f o r t h e

p r e v i o u s t a s k s , o p t i m u m p e r f o r m a n c e i s a c h i e v e d w i t h a w o r k i n g s e t s i z e o f q = 2 0 .

F o r t h e t r a i n i n g s e t s i z e s c o n s i d e r e d h e r e , r u n t i m e i s w i t h i n a f a c t o r o f 4 f r o m t h e

m i n i m u m .

1 1 . 7 . 1 . 4 D e c t e c t i n g F a c e s i n I m a g e s

I n t h i s l a s t p r o b l e m t h e t a s k i s t o c l a s s i f y i m a g e s a c c o r d i n g t o w h e t h e r t h e y c o n t a i n

a h u m a n f a c e o r n o t . T h e d a t a s e t w a s c o l l e c t e d b y S h u m e e t B a l u j a . T h e i m a g e s

c o n s i s t o f 2 0 x 2 0 p i x e l s o f c o n t i n u o u s g r a y v a l u e s . S o t h e a v e r a g e n u m b e r o f n o n - z e r o

a t t r i b u t e s p e r e x a m p l e i s 4 0 0 . A n R B F - k e r n e l w i t h = 7 1 a n d C = 1 0 i s u s e d .

T h e w o r k i n g s e t s i z e i s q = 2 0 .

T a b l e 1 1 . 4 s h o w s t h e t r a i n i n g t i m e i n s e c o n d s . F o r t h i s t a s k , t h e t r a i n i n g t i m e

i s v e r y c l o s e t o t h e m i n i m u m . T h i s s h o w s t h a t t h e w o r k i n g s e t s e l e c t i o n s t r a t e g y

i s v e r y w e l l s u i t e d f o r a v o i d i n g u n n e c e s s a r y k e r n e l e v a l u a t i o n s . T h e s c a l i n g i s v e r y

c l o s e t o t h e o p t i m u m s c a l i n g .

L e t ' s n o w e v a l u a t e , h o w p a r t i c u l a r s t r a t e g i e s o f t h e a l g o r i t h m i n u e n c e t h e

p e r f o r m a n c e .


13/16


1 1 . 7 E x p e r i m e n t s 5 3


l i g h t

M i n i m u m t o t a l S V B S V

5 1 2 1 0 . 8 8 . 4 3 4 0 0

1 0 2 5 3 7 . 2 3 1 . 2 5 5 9 0

2 0 5 0 1 2 9 . 0 1 1 1 . 0 9 3 0 0

4 1 0 0 4 4 3 . 4 3 8 1 . 0 1 5 0 7 0

8 2 0 0 1 3 9 9 . 2 1 1 7 0 . 6 2 1 8 1 0

S c a l i n g 1 . 7 1 . 7

T a b l e 1 1 . 4 T r a i n i n g t i m e a n d n u m b e r o f S V s f o r t h e f a c e d e t e c t i o n d a t a .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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0

5

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15

20

25

30

35

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45

0 10 20 30 40 50 60 70 80

CPU-timeinminutes

Cache-size in MB

F i g u r e 1 1 . 2 T r a i n i n g t i m e d e p e n d e n t o n w o r k i n g s e t s i z e a n d c a c h e s i z e f o r t h e

O h s u m e d t a s k .

1 1 . 7 . 2 W h a t i s t h e I n u e n c e o f t h e W o r k i n g S e t S e l e c t i o n S t r a t e g y ?

T h e l e f t o f g u r e 1 1 . 2 s h o w s t r a i n i n g t i m e d e p e n d e n t o n t h e s i z e o f t h e w o r k i n g s e t W o r k i n g S e t S e -

l e c t i o n q f o r t h e s m a l l e s t O h s u m e d t a s k . T h e s e l e c t i o n s t r a t e g y f r o m s e c t i o n 1 1 . 3 l o w e r

c u r v e i s c o m p a r e d t o a b a s i c s t r a t e g y s i m i l a r t o t h a t p r o p o s e d i n O s u n a e t a l .

1 9 9 6 u p p e r c u r v e . I n e a c h i t e r a t i o n t h e b a s i c s t r a t e g y s i m p l y r e p l a c e s h a l f o f

t h e w o r k i n g s e t w i t h v a r i a b l e s t h a t d o n o t f u l l l t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s . T h e

g r a p h s h o w s t h a t t h e n e w s e l e c t i o n s t r a t e g y r e d u c e s t i m e b y a f a c t o r o f m o r e t h a n

3

1 1 . 7 . 3 W h a t i s t h e I n u e n c e o f C a c h i n g ?

T h e c u r v e s i n t h e g r a p h o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f g u r e 1 1 . 2 s h o w s t h a t c a c h i n g C a c h i n g

h a s a s t r o n g i m p a c t o n t r a i n i n g t i m e . T h e l o w e r c u r v e s h o w s t r a i n i n g t i m e f o r a n

R B F - k e r n e l w i t h = 1 0 a n d C = 5 0 o n t h e 9 3 3 7 e x a m p l e s o f t h e O h s u m e d d a t a

d e p e n d e n t o n t h e c a c h e s i z e w h e n s h r i n k i n g i s u s e d . W i t h t h e c a c h e s i z e r a n g i n g

f r o m 2 m e g a b y t e s t o 8 0 m e g a b y t e s a s p e e d u p f a c t o r o f 2 . 8 i s a c h i e v e d . T h e s p e e d u p

g e n e r a l l y i n c r e a s e s w i t h a n i n c r e a s i n g d e n s i t y o f t h e f e a t u r e v e c t o r s x

i


14/16



1 1 . 7 . 4 W h a t i s t h e I n u e n c e o f S h r i n k i n g ?

A l l e x p e r i m e n t s a b o v e u s e t h e s h r i n k i n g s t r a t e g y f r o m s e c t i o n 1 1 . 4 . T h e u p p e r c u r v e S h r i n k i n g

i n g u r e 1 1 . 2 r i g h t s h o w s t r a i n i n g t i m e w i t h o u t s h r i n k i n g . I t c a n b e s e e n t h a t

s h r i n k i n g l e a d s t o a s u b s t a n t i a l i m p r o v e m e n t w h e n t h e c a c h e i s s m a l l i n r e l a t i o n

t o t h e s i z e o f t h e p r o b l e m . T h e g a i n g e n e r a l l y i n c r e a s e s t h e s m a l l e r t h e f r a c t i o n

o f u n b o u n d e d S V s i s c o m p a r e d t o t h e n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s h e r e 2 3 8 5

u n b o u n d e d S V s , 1 1 0 B S V s , a n d a t o t a l o f 9 3 3 7 e x a m p l e s .

1 1 . 8 C o n c l u s i o n s

T h i s c h a p e r p r e s e n t s a n i m p r o v e d a l g o r i t h m f o r t r a i n i n g S V M s o n l a r g e - s c a l e p r o b -

l e m s a n d d e s c r i b e s i t s e c i e n t i m p l e m e n t a t i o n i n S V M

l i g h t

. T h e a l g o r i t h m i s b a s e d

o n a d e c o m p o s i t i o n s t r a t e g y a n d a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f s e l e c t i n g t h e v a r i a b l e s

f o r t h e w o r k i n g s e t i n a n e e c t i v e a n d e c i e n t w a y . F u r t h e r m o r e , a t e c h n i q u e f o r

s h r i n k i n g " t h e p r o b l e m d u r i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o c e s s i s i n t r o d u c e d . T h i s i s

f o u n d p a r t i c u l a r l y e e c t i v e f o r l a r g e l e a r n i n g t a s k s w h e r e t h e f r a c t i o n o f S V s i s

s m a l l c o m p a r e d t o t h e s a m p l e s i z e , o r w h e n m a n y S V s a r e a t t h e u p p e r b o u n d . T h e

c h a p t e r a l s o d e s c r i b e s h o w t h i s a l g o r i t h m i s e c i e n t l y i m p l e m e n t e d i n S V M

l i g h t

I t h a s a m e m o r y r e q u i r e m e n t l i n e a r i n t h e n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s a n d i n t h e

n u m b e r o f S V s . N e v e r t h e l e s s , t h e a l g o r i t h m s c a n b e n e t f r o m a d d i t i o n a l s t o r a g e

s p a c e , s i n c e t h e c a c h i n g s t r a t e g y a l l o w s a n e l e g a n t t r a d e - o b e t w e e n t r a i n i n g t i m e

a n d m e m o r y c o n s u m p t i o n .

1 1 . 9 A c k n o w l e d g e m e n t s

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e D F G C o l l a b o r a t i v e R e s e a r c h C e n t e r o n C o m p l e x i t y

R e d u c t i o n i n M u l t i v a r i a t e D a t a S F B 4 7 5 . T h a n k s t o A l e x S m o l a f o r l e t t i n g m e

u s e h i s s o l v e r . T h a n k s a l s o t o S h u m e e t B a l u j a a n d t o J o h n P l a t t f o r t h e d a t a s e t s .


15/16


R e f e r e n c e s

B . E . B o s e r , I . M . G u y o n , a n d V . N . V a p n i k . A t r a i n i n g a l g o r i t h m f o r o p t i m a l

m a r g i n c l a s s i e r s . I n D . H a u s s l e r , e d i t o r , P r o c e e d i n g s o f t h e 5 t h A n n u a l A C M

W o r k s h o p o n C o m p u t a t i o n a l L e a r n i n g T h e o r y , p a g e s 1 4 4 1 5 2 , P i t t s b u r g h , P A ,

J u l y 1 9 9 2 . A C M P r e s s .

P . E . G i l l , W . M u r r a y , a n d M . H . W r i g h t . P r a c t i c a l O p t i m i z a t i o n . A c a d e m i c P r e s s ,

1 9 8 1 .

T . J o a c h i m s . T e x t c a t e g o r i z a t i o n w i t h s u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s . I n E u r o p e a n

C o n f e r e n c e o n M a c h i n e L e a r n i n g E C M L , 1 9 9 8 .

E . O s u n a , R . F r e u n d , a n d F . G i r o s i . S u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s : T r a i n i n g a n d

a p p l i c a t i o n s . A . I . M e m o i n p r e s s , M I T A . I . L a b . , 1 9 9 6 .

E . O s u n a , R . F r e u n d , a n d F . G i r o s i . A n i m p r o v e d t r a i n i n g a l g o r i t h m f o r s u p p o r t

v e c t o r m a c h i n e s . I n J . P r i n c i p e , L . G i l e , N . M o r g a n , a n d E . W i l s o n , e d i t o r s ,

N e u r a l N e t w o r k s f o r S i g n a l P r o c e s s i n g V I I | P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 7 I E E E

W o r k s h o p , p a g e s 2 7 6 2 8 5 , N e w Y o r k , 1 9 9 7 a . I E E E .

E . O s u n a , R . F r e u n d , a n d F . G i r o s i . T r a i n i n g s u p p o r t v e c t o r m a c h i n e s : A n

a p p l i c a t i o n t o f a c e d e t e c t i o n . I n , e d i t o r , P r o c e e d i n g s C V P R ' 9 7 , , 1 9 9 7 b . .

J . P l a t t . S e q u e n t i a l m i n i m a l o p t i m i z a t i o n : A f a s t a l g o r i t h m f o r t r a i n i n g s u p p o r t

v e c t o r m a c h i n e s . T e c h n i c a l R e p o r t M S R - T R - 9 8 - 1 4 , M i c r o s o f t R e s e a r c h , 1 9 9 8 .

R . V a n d e r b e i . L o q o : A n i n t e r i o r p o i n t c o d e f o r q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g . T e c h n i c a l

R e p o r t S O R 9 4 - 1 5 , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y , 1 9 9 4 .

V . V a p n i k . T h e N a t u r e o f S t a t i s t i c a l L e a r n i n g T h e o r y . S p r i n g e r V e r l a g , N e w Y o r k ,

1 9 9 5 .

J . W e r n e r . O p t i m i z a t i o n - T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s . V i e w e g , 1 9 8 4 .

G . Z o u t e n d i j k . M e t h o d s o f F e a s i b l e D i r e c t i o n s : a S t u d y i n L i n e a r a n d N o n - l i n e a r

P r o g r a m m i n g . E l s e v i e r , 1 9 7 0 .

1 1 . 1 0 A d d i t i o n a l R e m a r k s

2

T h e P e n t i u m I I t a k e s o n l y 6 5 o f t h e t i m e f o r r u n n i n g S V M

l i g h t

. M a n y t h a n k s

t o J o h n P l a t t f o r t h e c o m p a r i s o n .


16/16


5 6 R E F E R E N C E S

1 1 . 1 1 N o t a t i o n

W e c o n c l u d e w i t h a l i s t o f s y m b o l s w h i c h a r e u s e d t h r o u g h o u t t h e b o o k , u n l e s s

s t a t e d o t h e r w i s e .

R t h e s e t o f r e a l s

N t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s

k M e r c e r k e r n e l

F f e a t u r e s p a c e

N d i m e n s i o n a l i t y o f i n p u t s p a c e

x

i

i n p u t p a t t e r n s

y

i

t a r g e t v a l u e s , o r i n p a t t e r n r e c o g n i t i o n c l a s s e s

n u m b e r o f t r a i n i n g e x a m p l e s

w w e i g h t v e c t o r

b c o n s t a n t o s e t o r t h r e s h o l d

h V C - d i m e n s i o n

" p a r a m e t e r o f t h e " - i n s e n s i t i v e l o s s f u n c t i o n

i

L a g r a n g e m u l t i p l i e r

v e c t o r o f a l l L a g r a n g e m u l t i p l i e r s

i

s l a c k v a r i a b l e s

Q H e s s i a n o f t h e q u a d r a t i c p r o g r a m

x y d o t p r o d u c t b e t w e e n p a t t e r n s x a n d y

k k 2 - n o r m E u c l i d e a n d i s t a n c e , k x k =

p

x x

l n l o g a r i t h m t o b a s e e

l o g

2

l o g a r i t h m t o b a s e 2

1 1 . 1 2 E q u a t i o n s f r o m t h e I n t r o d u c t i o n

R B F - K e r n e l :

k x y = e x p

,

, k x , y k

2

= 2

2

1 1 . 3 8

P r i m a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m :

m i n i m i z e w =

1

2

k w k

2

1 1 . 3 9

s u b j e c t t o y

i

w x

i

+ b 1 i = 1 ; : : : ; ` : 1 1 . 4 0

D e c i s i o n f u n c t i o n :

f x = s g n

X

i = 1

y

i

i

x x

i

+ b

!

1 1 . 4 1

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