SVEUČILIŠTE U MOSTARU

FAKULTET STROJARSTVA, RAČUNARSTVA I ELEKTROTEHNIKE

Uvod u modeliranje i simuliranje sustava

Modeliranje i simuliranje sustava

dr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Uvod u modeliranje i simuliranje sustava

Modeliranje i simuliranje sustava

dr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Modeliranje i simuliranje sustavaModeliranje i simuliranje sustava

2

Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja

• Uvod u modeliranje i simuliranje sustava

• Pregled modela - primjeri

• Modeliranje dinamičkih sustava

• Uvod u simulacije

• Mehanički sustavi – modeliranje dijagramskim blokovima

• Električni sustavi – modeliranje dijagramskim blokovima

• Hidraulični sustavi – modeliranje dijagramskim blokovima

• Pneumatski sustavi – modeliranje dijagramskim blokovima

• Toplinski sustavi – modeliranje dijagramskim blokovima3

Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja

• Modeliranje veznih dijagrama – bond grafova (eng. Bond graph)

• Kauzalnost – uzročno posljedični odnos

• Izvedba jednadžbi sustava

• Metode crtanja modela mehaničkih sustava korištenjem bond

grafova

• Metode crtanja modela električnih sustava korištenjem bond

grafova

• Modeliranje sustava bond grafovima - zadaci

• Diferencijalne jednadžbe

• Numeričke metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi4

Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja

• Numeričke metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi -

Primjena u Matlabu

• Matlab/Simulink – Osnove modeliranja

• Matlab/Simulink – Napredne tehnike rada u Simulinku

• Primjeri simulacije dinamičkog sustava u Matlabu/Simulinku:

- Simulacija matematičkog njihala

- Simulacije prigušenog harmonijskog oscilatora

- Simulacija RLC kruga

- Razlaganje sustava u podsustave

5

- Simulacije udara loptice u podlogu

- Simulacije dinamičkog krutog sustava

- Simulacije pražnjenja/punjenja olovne baterije

• Pored predavanja, kolegij ima 15 sati laboratorijskih vježbi na

kojima će se praktično izvoditi primjeri numeričkih metoda u

Matlabu i vršit će se simulacije modela izrađenih u Simulinku

• Laboratorijske vježbe većim dijelom prate primjere koji se

prikazuju na predavanjima

6

Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja

7

Uvod u modeliranje i simuliranjeUvod u modeliranje i simuliranje• Pojam modeliranja odnosi se na izvedbu matematičkog prikaza fizičkog

sustava

• Pojam simuliranja odnosi se na postupak rješavanja matematičkihjednadžbi koje proizilaze iz izvedenog modela sustava

8

Dinamički sustaviDinamički sustavi• Dinamički sustavi mogu biti električni, mehanički, hidraulični,

pneumatski, toplinski ili npr. elektro-mehanički itd.

• Automobil koji se kreće je vrlo dobar primjer mehaničkog sustava,električni krugovi primjer električnog sustava

Koraci u izvedbi dinamičkog sustavaKoraci u izvedbi dinamičkog sustava

9

Primjer dinamičkog sustava – spremnik vodePrimjer dinamičkog sustava – spremnik vode

• Dobiveni inženjerski model

predstavlja prigušeni harmonijskioscilator

• � – pomak spremnika

• Na slici se nalazi spremnik za vodu i cilj je proučiti ponašanje ovog fizičkog

sustava koji je izložen vrlo jakom vjetru

• Za modeliranje inženjerskog modela korištena je metoda slobodnog tijela,

masom � je modeliran spremnik s vodom, a ponašanje stupova oprugom koja

ima konstantu krutosti � i prigušivačem s prigušenjem �. Uzbuda koje dolazi

zbog vjetra predstavljena je silom �(�)

� �� + � �

� + �� = � ���

�(�)

10

Primjer dinamičkog sustava – automobilPrimjer dinamičkog sustava – automobil

FIZIČKI SUSTAV INŽENJERSKI MODEL

• Na slici se nalazi automobil i metodom slobodnog tijela modeliran u inženjerski

model

• Karoserija automobila s masom u modelu je postavljena na prednji i stražnji

ovjes. Pri pokretu automobila vertikalno, kod inercije dolazi do nagiba automobila

što se prema modelu može izraziti diferencijalnim jednadžbama i poslije

numeričkom integracijom izračunati

11

Koncept sustavaKoncept sustava• Sustav definiramo kao agregaciju ili skup objekata pridruženih u nekoj

redovnoj interakciji ili međuovisnosti

• Navedena definicija vrijedi ako je naš sustav statički sustav

• Glavni interes ovog kolegija su dinamički sustavi gdje interakcija objekatauzrokuje promjene ponašanja sustava u ovisnosti o vremenu

• Sustav može imati određene različite objekte od kojih svaki ima svojstvakoja su od interesa

• Postoje interakcije između bitnih objekata u sustavu koje uzrokujupromjene u sustavu

• Veza sustava i okoline ulazi koje sustav koristi kako bi okolini isporučioodređene izlaze

12

Koncept sustavaKoncept sustava• Karakteristike sustava su:

1. Razlog postojanja – ima svoju svrhu

2. Podsustavi – može se podijeliti (dekomponirati)

3. Opseg sustava – ima poznate granice (širinu)

4. Doseg – ima poznatu dubinu, detaljnost (potrebnu)

5. Okolina – komunicira s okolinom (drugim sustavima)

6. Ulazi – dobiva informacije i koristi ih u provođenju internih aktivnosti

7. Izlazi – stvara informacije (rezultate svog rada) i isporučuje ih u okolinu

8. Sučelja – sadrži definirane procedure i postupke za provođenjeaktivnosti

• Entiteti su objekti od interesa u sustavu

• Atributi su svojstva entiteta sustava

13

Koncept sustavaKoncept sustava• Atributi imaju sljedeća pravila:

1. Entitet može imati proizvoljan broj atributa

2. Atribut može pripadati samo jednom entitetu

3. Atribut može imati samo jednu vrijednost za određenu pojavu (entitet) ujednom trenutku

4. Atribut ima samo jedno značenje

5. Različite pojave mogu imati iste ili različite vrijednosti za isti atribut

• Aktivnost je proces koji uzrokuje promjene u sustavu

• Veza je odnos između entiteta

• Zavisnost je ne(samostalnost) entiteta

• Stanje sustava je opis entiteta, atributa i aktivnosti u vremenskomtrenutku

14

Koncept sustavaKoncept sustava• Napredovanje sustava uočava se promjenom stanja sustava, tj. kako se

sustav mijenja u vremenu

Atributi – grafički prikazAtributi – grafički prikaz

15

Koncept sustava - primjerKoncept sustava - primjer

Zrakoplov leti pod kontrolom uređaja za aut. upravljanje (autopilot) Zrakoplov leti pod kontrolom uređaja za aut. upravljanje (autopilot)

ŽIROSKOP

Željenismjer

KONTROLNE POVRŠINE

ZRAKOPLOV

Stvarnismjer

Razlika izmeđuželjenog i stvarnog smjera zrakoplova

• Autopilot upravlja zrakoplovom: entiteti su cijelo tijelo zrakoplova(konstrukcija), kontrolne površine i žiroskop

• Atributi su brzine zrakoplova, kutevi kontrolne površine i postavkežiroskopa na dobiveni signal od zrakoplova o smjeru kretanja

• Kontrolne površine upravljačkog sustava uvijek je u interakciji s okolinom.Tako je okruženje sustava vrlo važno za razumijevanje kontrolnih funkcija,tj. za ispravan rad

16

Okruženje sustavaOkruženje sustava

• Promjene koje se događaju izvan sustava i koje utječu na

sustav kažemo da se događaju u okruženju sustava

• Endogene aktivnosti - aktivnosti koje se događaju u

okruženju sustava i koje ne utječu na sustav

• Egzogene aktivnosti - aktivnosti koje se događaju u

okruženju sustava i koje utječu na sustav

• Zatvoreni sustav - sustav gdje nema egzogenih aktivnosti

• Otvoreni sustav - sustav gdje su egzogene aktivnosti

prisutne

Deterministički i stohastički sustaviDeterministički i stohastički sustavi

• Deterministička aktivnost – izlazi aktivnosti mogu se

potpuno predvidjeti s obzirom na njene ulaze

• Deterministički sustav – ponašanje sustava može se lako

odrediti

• Stohastička aktivnost – izlazi aktivnosti su teže predvidivi s

obzirom na njene ulaze, mogu biti slučajni i određeni

pomoću vjerojatnosti

• Stohastički sustav – ponašanje sustava nije sigurno i na

njega aktivnosti utječu slučajno

16

18

Kontinuirani i diskretni sustaviKontinuirani i diskretni sustavi

• Kontinuirani sustav - sustav koji sadrži kontinuirane,

neprekinute komponente i izlazi sustava u svakom trenutku

su poznati

• Primjer kontinuiranog sustava: zrakoplov

• Diskretni sustav – sustav koji sadrži samo diskretne,

prekinute komponente, točan je samo u trenutcima

uzorkovanja

• Diskretni sustav ne otkriva što se događa između dva

trenutka uzorkovanja, uobičajena analiza u diskretnom

području (koja se temelji na Z - transformaciji) ne otkriva

• Primjer diskretnog sustava: broj učenika koji pohađaju

određeni razred

Sustavi s kontinuiranim ili diskretnim načinom radaSustavi s kontinuiranim ili diskretnim načinom rada

19

• Sustavi se mogu biti:

1. Kontinulirani – varijabla sustava (signal) je unutar određenih granicakontinuirano promjenjiva i ona je kontinuirani signal

2. Kvantizirani - varijabla sustava (signal) može poprimiti samoodređene vrijednosti amplitude i ona je kvantizirani signal

�

0

0 �

∆

Sustavi s kontinuiranim ili diskretnim načinom radaSustavi s kontinuiranim ili diskretnim načinom rada

20

3. Diskretni – varijabla sustava (signal) je poznata samo u vremenskidiskretnim trenucima i ona je diskretni signal

• � – period uzorkovanja

• Kvantizirani i vremenski diskretni signali koriste se u digitalnim sustavima(npr. računala radi na temelju diskretnih signala)

�0

�

Sustavi s determinističkim ili stohastičkim sustavskim varijablamaSustavi s determinističkim ili stohastičkim sustavskim varijablama

21

• Deterministički sustavi – deterministički signali, a onda i sustavijednoznačno su određeni, dadu se analitički opisati tj. mogu sereproducirati

• Stohastički sustavi - stohastički signali, a onda i sustavi imaju potpunoneregularan karakter, ne dadu se analitički opisati tj. ne mogu se analitičkireproducirati

�

0

0 �

• Vrijednost signala u svakom trenutkumože se opisati samo pomoćustatističkih zakonitosti

22

• Stabilni sustavi – ako svaka ograničena pobuda daje izlazni signalsustava koji je također ograničen, onda je sustav stabilan

• Nestabilni sustavi - ako su izlazni signali sustava na ograničenu pobuduneograničeni i divergiraju od rješenja, sustav je nestabilan

Stabilni i nestabilni sustaviStabilni i nestabilni sustavi

0 �

0 �

23

• Sustav je linearan ako vrijedi princip superpozicije:

� �� � � = � � ���� ��

���

�

���• Za proizvoljnu linearnu kombinaciju ulaznih veličina �� � , gdje je � =1,2, … , �, a �� su realne konstante

• Ako ne vrijedi princip superpozicije, sustav je nelinearan

• Linearni kontinuirani sustavi obično se opisuju pomoću linearnihdiferencijalnih jednadžbi (diferencijalna jednadžba �-tog reda):

� �� � ��� � = � �� � �

�� � ��

��

�

�� • Za linearne sustave upravljanja sva teorija je poznata, što nije slučaj za

nelinearne sustave

Linearni sustaviLinearni sustavi

24

• Za nelinearne sustave šire se primjenjuju približne metode kao što jelinearizacija

• 1. Linearizacija statičke karakteristike

• ! = "(�!) može se rastaviti u Taylorov red u proizvoljno odabranoj radnojtočki (� , ) ( ! → , �! → �):

= " � + "�$

%�%&� � − � + 1

2! � "� � � − � + ⋯

• Ako su odstupanja � − � oko radne točke dovoljno mala, onda je(linearizacija u okolišu radne točke (� , ):

≈ + � � � − � • gdje je = "(� ) pravac kroz točku (� , ) s nagibom:

� = ,-,%.%�%&

Nelinearni sustaviNelinearni sustavi

25

• Slično se linearizacija može provesti za funkcije dviju ili više neovisnihvarijabli

• Za funkciju (ploha u prostoru) = "(��, �) Taylorov razvoj u radnoj točki( , �� , � ) je:

= " �� , � + "��$%/�%/&%0�%0&

1/

� �� − �� + "�$%0�%0&%/�%/&

10

� � − � + ⋯

• Iz čega slijedi:

≈ + �� � �� − �� + � � � − � • gdje je = " �� , � ploha kroz radnu točku ( , �� , � ) s

koeficijentima �� i ��

Nelinearni sustaviNelinearni sustavi

26

• 2. Linearizacija nelinearne diferencijalne jednadžbe

• Neka je nelinearni dinamički sustav s ulazom �(�) i izlazom (�) opisannelinearnom diferencijalnom jednadžbom 1. reda:

2 (�) = " � , �(�)• Za stacionarno (mirno) stanje je: 2 (�) = 0• Stacionarno stanje se dobiva rješavanjem jednadžbe: 0 = "(� , )• Ako je označeno s ∆ (�) odstupanje varijable � od stacionarnog

položaja :

� = + ∆ (�) ⟹ 2(�) = ∆ 2(�)• Analogno, ako je označeno s ∆�(�) odstupanje varijable � � od

stacionarnog položaja � :

� � = � + ∆�(�) ⟹ �2(�) = ∆�2(�)

Nelinearni sustaviNelinearni sustavi

27

• Razvoj u Taylorov red u radnoj točki jednadžbe 2 (�) = " � , �(�) daje:

2 � = " , � + 5-(%,6)56 .6�6&%�%&

� − + 5-(%,6)5% .%�%&6�6&

� � − � + ⋯• Iz prethodnih izraza slijedi:

∆ 2 � ≈ 7∆ � + 8∆�(�)• gdje 7 i 8 peturbacijske varijable:

7 = 5-(%,6)56 .6�6&%�%&

; 8 = 5-(%,6)5% .%�%&6�6&

• Analogno navedenom može se linearizirati nelinearna vektorskadiferencijalna jednadžba :2 (�) = ; : � , <(�) i dobiva se:

∆:2 � ≈ =∆: � + >∆<(�)• gdje su = i > Jacobijeve matrice

Nelinearni sustaviNelinearni sustavi

Prikaz sustavaPrikaz sustava• U smislu definicije dinamičkog sustava, dinamički sustav može se

promatrati kao prijenosni sustav

• Prijenosni sustavi imaju jednoznačni smjer djelovanja određen smjeromstrelice

• Za povezivanje signala koriste se sljedeći tipični simboli:

1. Točka grananja s matematičkom operacijom �� = � = �? i simbolom:

28

�� �

�?

@(�) (�)Dinamički sustav

Prikaz sustavaPrikaz sustava2. Točka sumacije s matematičkom operacijom �? = �� ± � i simbolom:

3. Množenje s matematičkom operacijom �? = �� � � i simbolom:

29

��

�

�?

��

��?�

Blokovski prikaz sustavaBlokovski prikaz sustava

30

• Postoji više načina za prikaz prijenosnog vladanja sustava pomoćublokova:

1. Pomoću diferencijalne jednadžbe:

2. Pomoću prijelazne funkcije (odziv na jediničnu skokovitu funkciju @ =1 � B(�)):

@ 2� + = @

@

Blokovski prikaz sustavaBlokovski prikaz sustava

31

• gdje je @ = 1 � B(�), a = 1 ∕ D (u L - domeni)

3. Pomoću prijenosne funkcije:

• gdje E D prijenosna funkcija koja je jednaka je kvocijentu izlaza i ulaza uLaplaceovoj domeni:

E D = F(D)G(D)

G FE D = 11 + �D

Prikaz sustava pomoću dijagrama toka signalaPrikaz sustava pomoću dijagrama toka signala

32

• Sustavi se mogu prikazati i pomoću dijagrama toka signala:

1. Osnovni dinamički sustav:

2. Dinamički sustav s povratnom vezom:

G FE G FE

G FH E�

E

G E� F FH

−E

H = G − E

Prikaz sustava pomoću dijagrama toka signalaPrikaz sustava pomoću dijagrama toka signala

33

3.

G F’IH E�

E

G H E�

−E

I

FF�

Složeniji dinamički sustav:

H = G − EF� = F + I

34

ModelModel

• Model – skup svih informacija o sustavu ili prikaz sustava

kako bi se proučilo i točno predvidjelo njegovo ponašanje

• Razvoj modela sustava može se podijeliti u dvije faze

• Razvoj strukture modela:

– razvojem strukture modela utvrđuju se granica sustava,

te entiteti, atributi i aktivnosti sustava

• Pohrana podataka u model:

– pohrana podatka koji se odnose na vrijednosti svih

atributa modela

- pohrana podatka koji definiraju sve odnose između

aktivnosti sustava

35

Osnovni i kombinirani modeli sustavaOsnovni i kombinirani modeli sustava• Pored osnovnih modela (mehanički, električni, hudraulični, pneumatski i

toplinski) postoje kombinirani modeli koji su izvedeni korištenjem svihosnovnih modela sustava

• Model sustava koji se sastoje od električnog i mehaničkog modela:elektro-mehanički model (brava, razni strojevi,...)

• Model sustava koji se sastoje od hidrauličnog i mehaničkog modela:hidraulično-mehanički model (regulator broja okretaja generatora,pumpe na brodovima,...)

• Model sustava koji se sastoje od hidrauličnog i pneumatskog modela:hidraulično-pneumatski model (dizalica,...)

• Model sustava koji se sastoje od električnog i pneumatskog modela:elektro-pneumatski model (čekić, stroj za štemanje, ventili,...)

• Model sustava koji se sastoje od pneumatskog i toplinskog modela:pneumatsko-toplinski model (pneumatsko-toplinski pištolj na vrućizrak,...)

• Model sustava robota: mehatronički sustav

36

Alati za modeliranje sustavaAlati za modeliranje sustava

• Algebra blok dijagrama

• Dijagrami toka signala

• Bond graf tehnika

• Formulacija varijable stanja

• Frenkvencijski odziv

• Bodeovi dijagrami – sastoje se od amplitudno-

frekvencijskog i fazno-frekvencijskog dijagrama,

crtaju se jedan ispod drugog

Hvala na pozornosti!

Modeliranje i simuliranje sustava

dr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Hvala na pozornosti!

Modeliranje i simuliranje sustava

dr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

SVEUČILIŠTE U MOSTARU

FAKULTET STROJARSTVA, RAČUNARSTVA I ELEKTROTEHNIKE

Modeli sustava

Modeliranje i simuliranje sustavadr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Modeli sustava

Modeliranje i simuliranje sustavadr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Definicija modelaDefinicija modela

2

• Ideja modela je jako važna kako bi se proučavaledinamike bilo kojeg stvarnog sustava

• Modeli sustava - pojednostavljene, apstraktnekonstrukcije koje se mogu koristiti zapredviđanje ponašanja sustava

• Model sustava – prikaz objekata sustava ili ideja unekom drugom obliku, a ne u samom entitetu(Robert Shannon)

• Model koji stvaramo može biti najbolji model ilinajgori model

3

Definicija modelaDefinicija modela

• Najgori model sadrži sažeti opis podataka sustava ine predviđa točno ponašanje sustava

• Najbolji model obuhvaća osnovne fizičke promjeneu sustavu i dosta točno predviđa ponašanje sustava

• Najbolji model točno prikazuje sustav, te predviđaponašanja sustava u uvjetima koji nisu proučavani

• Skalirani fizički modeli su u velikoj primjeni i dobrosu poznati inženjerima i znanstvenicima koji se bavemodeliranjem

4

Skalirani fizički modeliSkalirani fizički modeli

• Primjeri skaliranih fizičkih modela:

– model zrakoplova u zračnom tunelu

– strukturni modeli u civilnom inženjerstvu

– plastični modeli metalnih dijelova koji se koriste u foto-elastičnim analizama

• Glavna obilježja svih ovih modela su da se u njimaodražavaju samo neke od karakteristika stvarnihmodela

• Ne pokušavaju se ugraditi sve karakteristike fizičkogsustava u ove modele, jer to može rezultiratikompliciranjem samih modela

5

Matematički modeliMatematički modeli

• Matematički model – drugi tip modela koji jeapstraktniji od fizičkog modela

• Postoji jaka sličnost između fizičkih i matematičkihmodela sustava

• Matematički model također predviđa točne izlazesustava kad se na nj primjeni ulazni signal

• Primjer matematičkog modela: model zrakoplovakojim upravlja pilot

6

Klasifikacija tipova modelaKlasifikacija tipova modela

7

Fizički modelFizički model

• Fizički model prikazuje fizičko ponašanje sustava

• Temelje na analogiji takvih sustava kao što sumehanički, električni i hidraulički sustavi i prikazujunjihovo ponašanje

• Atributi sustava fizičkog modela predstavljeni sumjerenjima (npr. napona ili položaja osovine)

• Aktivnosti sustava reflektiraju se kroz fizikalnezakone pomoću kojih su i izvedeni fizički modeli

8

Matematički modelMatematički model

• Matematički model koristi fizikalne simboličkeoznake i matematičke jednadžbe za prikazivanjesustava

• U užem smislu riječi matematički model je prikazrealnog sustava sustavom jednadžbi

• Atributi su predstavljeni varijablama, a aktivnostisu predstavljene matematičkim funkcijama kojemeđusobno povezuju varijable

• Matematički modeli koriste se i u prirodnim i udruštvenim znanostima

• Proces razvoja matematičkog modela naziva sematematičkim modeliranjem

9

Statički i dinamički modeliStatički i dinamički modeli

• Fizički i matematički modeli dijele se na statičke i dinamičkemodele

• Statički modeli su opisi sustava u stacionarnom stanju, gdje suvrijednosti ulaznih i izlaznih varijabli konstantne, ali ne nužno ijednake jedne drugima

• Budući da nema promjena varijabli njihova je derivacija jednakanuli i one ne ovise o vremenu

• Kod matematičkih modela statički model prikazan je algebarskimjednadžbama

• Dinamički modeli, za razliku od statičkih, ovise o vremenu, pa supromjene varijabli prikazane kao derivacije po vremenu odnosnokao diferencijalne jednažbe

• Kod matematičkih modela dinamički model prikazan je sustavomdiferencijalnih jednadžbi koje prikazuju promjene varijabli togmodela u vremenu

10

Numerički i analitički modeliNumerički i analitički modeli

• Numerički modeli primjenjuju računalne postupke zarješavanje

• Numeričko rješenje - može biti izvedeno u oblikukompliciranog integralnog izraza koji se zatim treba proširiti uniz jednostavnijih izraza kako bi se dobilo rješenje

• Analitički modeli su modeli koji se mogu jednostavno riješitii najbolje se uklapaju u sustav koji se proučava

• Koriste analitičke izraze i jednostavnije linearnediferencijalne jednadžbe

• Simulacija sustava - tehnika numeričkog računanja koja sekoristi u kombinaciji s dinamičkim matematičkim modelom

11

Statički fizički modelStatički fizički model

• Statički fizički model – skalirani (smanjeni) modelrealnog sustava koji se ne mijenja u vremenu

• Primjeri statičkog fizičkog modela:

– u arhitekturi gdje se prave mali modeli zgrada iobjekata koji odražavanju svojstva svihunutarnjih prostorija

– u zrakoplovstvu gdje se prave mali modelizrakoplova koji se testiraju u zračnim tunelima

– u brodogradnji gdje se prave mali modelibrodova koji se testiraju u spremnicima vode

12

Dinamički fizički modelDinamički fizički model

• Dinamički fizički model – skalirani (smanjeni)model realnog sustava koji se mijenja u vremenu

• Primjeri dinamičkog fizičkog modela:

– mali model zrakoplova koji se testira uzračnom tunelu, brzina vjetra je promjenjiva uvremenu što je potrebno uzeti u model

– mali model broda koji se testira u spremnikuvode, strujanje vode je promjenjivo u vremenušto je potrebno uzeti u model

• Dinamički fizički modeli jako su korisni kod analogijasustava

Analogija dinamičkih sustavaAnalogija dinamičkih sustava• Primjer analogije između mehaničkog i električnog sustava: dinamičkifizički model automobila i RLC električnog kruga

• Prikazani mehanički i električni model su prigušeni harmonijski oscilatorikoji su prikazani identičnom diferencijalnom jednadžbom

• Analogija pomaže da se ponašanje automobila koje je zahtjevno provjerikorištenjem RLC kruga – prednost u praksi

13

Analogija dinamičkih sustavaAnalogija dinamičkih sustava

• Analogija modela jako je korisna u praksi i imaprimjenu

• U praksi lakše je modificirati električni sustav negomehanički sustav

• Električna analogija mehaničkog sustava može selakše proučiti i pripremati

• Primjer: Kotači automobila mogu se uz određenisustav ovjesa odbijati od tla, a uz analogiju modela,električni model to prikazuje kao osciliranje nabojana kondezatoru

14

Statički matematički modeli - primjerStatički matematički modeli - primjer

• Statički matematički model daje odnos između atributa sustavakad je sustav u ravnoteži

• Ovdje možemo uzeti slučaj statičkog matematičkog modela izindustrije

• Općenito, treba postojati ravnoteža između ponude i potražnjebilo kojeg proizvoda na tržištu

• Ponuda se povećava s povećanjem cijene proizvoda, dok sepotražnja smanjuje

• Cilj je pronaći optimalnu cijenu kod koje je ponuda jednakapotražnji na tržištu

• Ako označimo s � cijenu, s � potražnju, a s � ponudu i uzpretpostavku da je jednadžba cijene linearna slijedi:

� = � − ��; � = + ��; � = �

15

Statički matematički modeli - primjerStatički matematički modeli - primjer

• �, �, � � su parametri u jednadžbama, te za vrijednosti � =

600, � = 3000, = −100, � = 2000 i uz ravnotežu ponude ipotražnje na tržištu dobiva se vrijednost cijene iz prethodnihjednadžbi prema izrazu:

� =� −

� + �= 0,14; � = � = 180

• Ponuda i potražnja u ovisnosti o cijeni predstavljene su plavim icrvenim pravcima i mjesto gdje se sijeku dobivamo tržišnu cijenugdje je ponuda jednaka potražnji

• Ponuda i potražnja u ovisnosti o cijeni u stvarnosti obično supredstavljene krivuljama kao što prikazuje drugi graf na slici

• Krivulje se mogu prikazati jednadžbama koje mogu biti složenije,te kako bi se dobila cijena potrebno je primjeniti neku numeričku iligrafičku metodu rješavanja

16

Statički matematički modeli - primjerStatički matematički modeli - primjer

17

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

100 200 300 400 500

POTRAŽNJAPONUDA

CIJ

EN

A

KOLIČINA

POTRAŽNJA

PONUDA

CIJ

EN

A

KOLIČINA

Dinamički matematički modeliDinamički matematički modeli

18

• Dinamički matematički modeli imaju ovisnost atributasustava o vremenu

• Kako bi prikazani modeli bili jednostavniji, vrlo pažljivo trebarazmotriti modeliranje sustava

• Model vrlo detaljan i složen - komplicirano je identificiratiparametre sustava i analizirati model

• Model vrlo jednostavan - može se dogoditi da neće prikazatineke od važnih svojstva sustava

• Pri izradi modela sustava treba imati jasnu ideju o tome kojifaktori utječu na ponašanje sustava

• Nepotrebne elemente ne treba ugrađivati u model, možda toneće štetiti modelu i rezultatima, ali će biti potrebno većevrijeme izračuna pri simulacijama, što je opet neopravdano

Dinamički matematički modeli - primjerDinamički matematički modeli - primjer

19

• Prigušeni harmonijski oscilator – pokazuje kako se pomak � mijenja uovisnosti o vremenu � uz različite vrijednosti prigušenja �

20

Načela u modeliranjuNačela u modeliranju

• Pri izradi modela postoje sljedeća načela:

– blokovsko crtanje (eng. Block-building)

– agregacija (objedinjivanje)

– relevantnost

– točnost

• Blokovsko crtanje - prvo se model sustava trebaorganizirati u niz blokova, koji se dodaju kako bi se dobilacijela blok shema

• Organiziramo sustav u niz blokova kako bismo pojednostaviliinterakcije između objekata sustava

• Primjer: ako želim pripremiti model tvornice ili poduzeća,svaki se odjel može tretirati kao zasebni blok s određenimulazom i izlazom

21

Načela u modeliranjuNačela u modeliranju

• Modeliranje sustava tvornice

• Odjel za kontrolu proizvodnje gdje dolaze određenenarudžbe kupaca

Načela u modeliranjuNačela u modeliranju

22

• Agregacija - broj pojedinačnih entiteta može se grupirati uveći entitet

• Primjer: voditelj proizvodnje hoće uzeti u obzir trgovinesvakog odjela kao pojedinačne entitete koji mogu se grupiratiu veće entitete

• Relevantnost - model uključuje samo one aspekte sustavakoji su relevantni za cilj istraživanja

• Irelevantne informacije ne mogu nanijeti nikakvu štetu, ali ihtreba isključiti iz modela jer se povećava složenost i potrebada se problem dulje rješava

• Primjer: ako je cilj tvorničkog sustava usporediti učinakrazličitih operativni pravila na učinkovitost proizvodnje, netreba uzeti u obzir zapošljavanje radnika, što je irelevantnainformacija u modelu

Načela u modeliranjuNačela u modeliranju

• Točnost – korištenje točnih podataka u modelu je jako važnoza točno prikazivanje ponašanja stvarnog sustava

• U sustavu zrakoplovstva točnost kretanja zrakoplova ovisi oprikazu konstrukcije zrakoplova u modelu

• Primjeri:

– za točnost kretanja zrakoplova potrebno jekonstrukciju zrakopolova u modelu uzeti kaofleksibilno, a ne kruto tijelo

- također, za modeliranje udobnosti putnika s obziromna sve vibracije potrebno je konstrukciju zrakopolovau modelu uzeti kao fleksibilno, a ne kruto tijelo

- za procjenu potrošnje goriva zrakoplova pretpostavkakrutog tijela u modelu je dovoljna

23

Analiza pri modeliranjuAnaliza pri modeliranju

24

• Kod modeliranja je vrlo važna činjenica da se promatranisustav može odvojiti od okoline ili okruženja sustava pomoćufizičke ili konceptualne granice

• Na ovaj način moguće se usredotočiti samo na sustav, isti semože bolje razumjeti

• Sustav je sastavljen od međusobno odvojenih dijelova tj.entiteta koji su međusobno povezani dijelovi i mogu imatimeđusobnu energetsku ili neku drugu interakciju

• Također, svaki entitet sustava može se odvojiti od ostatkasustava pomoću fizičke ili konceptualne granice

• Na ovaj način moguće se usredotočiti bolje na svaki entitetsustava i razumjeti njegov odvojeni rad od sustava

• Primjer: u sustavu zrakoplovstva kontrola zračnog prometa jeposeban entitet sustava i poseban dio koji je fizički odijeljenod ostalih dijelova sustava

Hvala na pozornosti!

Modeliranje i simuliranje sustavadr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.

Hvala na pozornosti!

Modeliranje i simuliranje sustavadr.sc. Goran Kujundžić, dipl.ing.el.