Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Zeljka Salinger

Laplaceova transformacija

Zavrsni rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni preddiplomski studij matematike

Zeljka Salinger

Laplaceova transformacija

Zavrsni rad

Voditelj: doc. dr. sc. Kresimir Burazin

Osijek, 2011.

Sazetak U ovome radu ukratko cemo se upoznati s Laplaceovom transformacijom i njenimsvojstvima. Vidjet cemo na koje funkcije je mozemo primijeniti i na koji nacin odreditiLaplaceovu transformaciju nekih funkcija. Takoder cemo se osvrnuti na inverznu Laplaceovutransformaciju i neke od metoda pomocu kojih mozemo izracunati inverz Laplaceove transfor-macije. Definiciju Laplaceovu transformacije prosirit cemo na funkcije kompleksne varijablekako bismo mogli iskazati opcu formulu za odredivanje inverza. Na kraju rada pokazat cemoneke od primjena Laplaceove transformacije u matematici, ali i u fizici. To se posebno odnosina fizikalne sustave koji se mogu opisati diferencijalnim jednadzbama kao sto su oscilacije ilistrujni krugovi.

Kljucne rijeci Integralne transformacije, Laplaceova transformacija, funkcije eksponen-cijalnog rasta, Heavisideova funkcija, svojstva Laplaceove transformacije, konvolucija, inverzLaplaceove transformacije, Laplaceova transformacije funkcija kompleksne varijable, inte-gralna formula inverzije, integralne jednadzbe konvolucijskog tipa, diferencijalne jednadzbe,Diracova δ funkcija, radioaktivni raspad, titranje tijela na opruzi, strujni krugovi, uvijanjegreda

Abstract In this paper we will be introduced to the Laplace transform and some of itsproperties. It will be explained which functions the Laplace transform is applicable to andhow to evaluate the Laplace transform of some elementary functions. We will treat thequestion of inverting the Laplace transform and the methods of determining the inverse.The definition of the Laplace transform will be extended to the complex variable theory tostate the complex inversion formula. In the final chapter of the paper some applications ofthe Laplace transform will be shown with special consideration given to the applications todifferential equations that appear in physics, such as applications to mechanics and electricalcircuits.

Key words Integral transformation, Laplace transform, exponential order functions,Heaviside function, properties of Laplace transform, convolution, inverse Laplace tranform,Laplace transform of complex variable functions, complex inversion formula, integral equa-tions of convolution type, differential equations, Dirac’s δ function, radioactive decay, masson a spring, electrical circuits, deflection of beams

1

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Definicija i svojstva Laplaceove transformacije 22.1 Definicija Laplaceove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Svojstva Laplaceove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Laplaceove transformacija nekih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Invertiranje Laplaceove transformacije 213.1 Jedinstvenost i svojstva inverza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Prosirenje na funkcije kompleksne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Primjene Laplaceove transformacije 284.1 Primjena na integralne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Primjena na diferencijalne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Primjena Laplaceove transformacije na fizikalne sustave . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 Radioaktivni raspad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Tijelo mase m na opruzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.3 Strujni krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.4 Uvijanje greda uslijed opterecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Literatura 38

1 Uvod

Integralne transformacije imaju siroku primjenu u raznim podrucjima matematike, ali i fizike.Jedna od vaznijih integralnih transformacija je Laplaceova transformacija. Laplaceova trans-formacije je linearni operator koji predstavlja preslikavanje funkcija u drugi skup funkcija.Slika Laplaceove transformacije je skup funkcija koje mogu biti funkcije realne ili kompleksnevarijable. Kako je preslikavanje bijektivno (osim u nekim posebnim slucajevima), moguce jeodrediti i inverz Laplaceove transformacije.

Laplaceova transformacija ima neka vazna svojstva koja omogucavaju prevodenje diferen-cijalnih jednadzbi u algebarske jednadzbe sto olaksava njihovo rjesavanje, ali takoder pruza imetodu rjesavanja diferencijalnih jednadzbi u slucaju kada nije moguce primijeniti klasicanpristup rjesavanju, kao sto je npr. slucaj s funkcijama koje imaju prekid ili koje su defini-rane pomocu integrala. Osim diferencijalnih jednadzbi, pomocu Laplaceove transformacijemoguce je rijesiti i integralne jednadzbe konvolucijskog tipa koje se takoder cesto pojavljujuu fizici.

Nakon primjene Laplaceove transformacije moguce je dobiti izvornu funkciju jednos-tavnim racunanjem inverza, a opci izraz za trazenje inverza daje integralna formula inverzijekoja ukljucuje funkcije kompleksne varijable. Racunanje inverza ukljucuje nekoliko metoda,od kojih se najcesce koristi rastav na parcijalne razlomke, Heavisideova formula ekspanzije,razvoj funkcije u red te vec navedena integralna formula inverzije.

Laplaceova transformacija vrlo je korisna u matematici i fizici, pogotovo u rjesavanjudiferencijalnih jednadzbi prvog i drugog reda, iako se primjenjuje i na diferencijalne jed-nadzbe visih redova. Primjene u fizici ukljucuju titranje tijela na opruzi, analizu stru-jnih krugova, radioaktivni raspad, uvijanje greda uslijed opterecenja, primjena u optickimuredajima i mehanickim sustavima. Laplaceova transformacija se u tim slucajevima opcenitotumaci kao transformacija iz vremenske domene u domenu frekvencije gdje su ulazne i izlaznevarijable dane kao funkcije kutne frekvencije.

Na temelju svega navedenog, Laplaceova transformacija predstavlja mocan alat za opisi-vanje i analizu problema s kojima se u znanosti svakodnevno susrecemo.

1

2 Definicija i svojstva Laplaceove transformacije

2.1 Definicija Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija je integralna transformacija siroke primjene, a posebno je korisnau odredenim podrucjima fizike, kao sto su mehanika i elektrotehnika. Laplace je u pocetkuintegral koristio u svom radu na teoriji vjerojatnosti, a nesto kasnije je Euler taj integralupotrijebio kao rjesenje diferencijalne jednadzbe. Krajem 18. stoljeca Laplace ga je poceoprimjenjivati u obliku transformacije, a u drugoj polovici 19. stoljeca Heaviside ju je pokusaokoristiti za rjesavanje diferencijalnih jednadzbi kod strujnih krugova. U 20. stoljecu trans-formacija je prosirena i na funkcije kompleksne varijable.

Integralne transformacije su izrazi oblika

F (s) =

β∫α

K(s, t)f(t)dt. (2.1)

gdje funkciju f nazivamo originalnom funkcijom, a njeno podrucje definicije podrucjemoriginala. Funkciju F zovemo slikom od f ili transformatom funkcije f , a njeno podrucjedefinicije podrucjem slike. Funkcija K je jezgra integralne transformacije.Integralne transformacije primjenjujemo kao operatore koji djeluju na funkciju f i timedobivamo novu funkciju F . Njihova najcesca primjena je u teoriji integralnih i diferencijalnihjednadzbi, cesto da bi se neki tipovi jednadzbi pojednostavili i sveli na jednadzbe kojese znaju rijesiti. Primjerice, pomocu Laplaceove transformacije neki se tipovi linearnihdiferencijalnih jednadzbi mogu svesti na algebarske jednadzbe.Integralne transformacije razlikuju se u ovisnosti o granicama integracije i o jezgri integralnetransformacije. Na primjer, za granice integracije α = −∞, β = ∞ i funkciju K(s, t) =

1√2πe−ist dobiva se Fourierova transformacija1:

F (s) =1√2π

∞∫−∞

e−istf(t)dt, s ∈ R. (2.2)

Kod Laplaceove transformacije2 granice integracije su α = 0, β =∞, a jezgra trans-formacije je K(s, t) = e−st.

Definicija 2.1. Neka je dana funkcija f : [0,+∞〉 → R. Ako za funkciju f konvergiraintegral

L(f)(s) = F (s) =

∞∫0

e−stf(t)dt, s ∈ R (2.3)

onda se funkcija L(f) = F zove Laplaceov transformat funkcije f , a preslikavanje LLaplaceova transformacija.

1Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francuski matematicar i fizicar2Pierre-Simon Laplace (1749-1827), francuski matematicar i astronom

2

Osim zapisa L(f)(s), koriste se i zapisi (Lf)(s), Lf(s) ili L(f) (s).

U prethodnoj definiciji, pod konvergencijom integrala

∞∫0

e−stf(t)dt podrazumijevamo da

funkcija f treba biti integrabilna na segmentu [0, A] za svakiA > 0 i da limes limA→∞

A∫0

e−stf(t)dt

mora biti konacan. Kako u daljnjem tekstu koristimo neprave integrale, vazno je napomenutida svojstva linearnosti i nejednakosti koja vrijede opcenito za integrale, vrijede i za nepraveintegrale. U nepravim integralima se takoder moze primijeniti supstitucija varijabli u inte-gralu, pravilo parcijalne integracije te Newton-Leibnizova formula (vise o tome vidi u [3]).

S obzirom da je Laplaceova transformacija preslikavanje sa skupa funkcija u skup funkcija,trebamo razmotriti na koju klasu funkcija se ona moze primjeniti. Iako je moguce i opcenitijerazmatranje, ogranicit cemo se na proucavanje Laplaceovih transformacija funkcija ekspo-nencijalnog rasta pa definirajmo tu klasu funkcija.

Definicija 2.2. Funkcija f : [0,+∞〉 → R je eksponencijalnog rasta na [0,+∞〉 akopostoje konstante M > 0 i a > 0 takve da je

|f(t)| ≤Meat, t > 0. (2.4)

Infimum brojeva a za koji vrijedi gornja nejednakost (za svaki M) naziva se red eksponen-cijalnog rasta i oznacava s a0 .

Ova definicija intuitivno govori da funkcije eksponencijalnog rasta po apsolutnoj vrijednostine mogu “rasti brze” od funkcije Meat. Takve su npr. trigonometrijske funkcije i polinomidok funkcija et

2nije eksponencijalnog rasta.

Sada je moguce iskazati teorem koji daje uvjete pod kojima integral (2.3) konvergira.

Teorem 2.1 (o egzistenciji). Neka je f : [0,+∞〉 → R lokalno integrabilna (tj. integrabilnaje restrikcija funkcije na svaki segment [a, b] ⊆ [0,∞〉) i neka je eksponencijalnog rasta redaa0. Tada integral

∞∫0

e−stf(t)dt (2.5)

konvergira za svaki s > a0 te stoga postoji Laplaceova transformacija funkcije f definiranabarem na 〈a0,∞〉.

Dokaz. Neka je a ∈ 〈a0, s〉 i ε = s− a > 0. Kako je f funkcija eksponencijalnog rasta, slijedi

|e−stf(t)| ≤ e−stMeat ≤Me−εt, t ≥ 0,

sto povlaci ∣∣∣∣∣∣∞∫

0

e−stf(t)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤M

∞∫0

e−εtdt =M

ε.

3

Dakle, integral (2.5) konvergira za svaki s > a0, tj funkcija L(f) je definirana na intervalu〈a0,+∞〉

2.2 Svojstva Laplaceove transformacije

U iducim poglavlja promatrat cemo samo funkcije koje zadovoljavaju uvjete teorema oegzistenciji, tj. funkcije koje su lokalno integrabilne i eksponencijalnog rasta reda a0 cijuLaplaceovu transformaciju cemo oznacavati s L(f) = F .

Napomena. Prilikom racunanja s nekim konkretnim funkcijama zbog jasnoce zapisa um-jesto oznake L(f) koristit cemo oznaku Lf(t) pri cemu f(t) ne predstavlja vrijednostifunkcije f u tocki t, nego ovisnost funkcije f o varijabli t.

Sljedeci teorem pokazuje da Laplaceova transformacija zadovoljava svojstva linearnosti.

Teorem 2.2 (svojstvo linearnost). Neka su f1, f2 dvije funkcije cije Laplaceove transfor-macije postoje za s > a0 i s > b0 te neka su c1, c2 ∈ R. Tada za s > maxa0, b0 postojiL(c1f1 + c2f2) i vrijedi

L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2). (2.6)

Dokaz. Dokaz se provodi direktno iz definicije Laplaceove transformacije.

L(c1f1 + c2f2)(s) =

∞∫0

e−st[c1f1(t) + c2f2(t)]dt

= c1

∞∫0

e−stf1(t)dt+ c2

∞∫0

e−stf2(t)dt

= c1L(f1)(s) + c2L(f2)(s)

Iduce svojstvo pokazuje da mnozenje funkcije f s ect rezultira pomakom funkcije F za cu pozitivnom smjeru.

Teorem 2.3 (o prigusenju). Neka je c ∈ R. Tada za svaki s > a0 + c vrijedi

Lectf(t)(s) = F (s− c). (2.7)

Dokaz.

Lectf(t)(s) =

∞∫0

ectf(t)dt =

∞∫0

e−(s−c)f(t)dt

= F (s− c)

4

U odredenoj literaturi (vidi [3] i [7]) gornji teorem se naziva teoremom o pomaku.

Da bismo iskazali teorem o pomaku, trebamo uvesti pojam Heavisideove funkcije. Heav-isideova funkcija se koristi i kod rjesavanja diferencijalnih jednadzbi kod kojih funkcija smet-nje ima prekid. Takve jednadzbe cesto se pojavljuju u analizi strujnih krugova ili mehanickihvibracija. Heavisideovu funkciju 3 (ili skok funkciju) u oznaci H definiramo na sljedecinacin

H(t) =

0, t < 0

1, t ≥ 0

odnosno,

Hc(t) =

0, t < c

1, t ≥ c, c ≥ 0

Osim oznake H u literaturi se pojavljuju i oznake u, Y,Θ. Grafovi funkcija H i Hc prikazanisu na Slici 2.1.

(a) graf funkcije H (b) graf funkcije Hc

Slika 2.1: Graf Heavisideove funkcije

Za funkciju Hc (odnosno njenu restrikciju na [0,∞〉) lako mozemo izracunati Laplaceovutransformaciju:

L(Hc)(s) =

∞∫0

e−stHc(t)dt =

∞∫c

e−stdt

=e−cs

s, s > 0. (2.8)

Cesto cemo u primjenama promatrati funkciju

g(t) =

0, t < c

f(t− c), t ≥ cc ≥ 0

3Oliver Heaviside (1850-1925), samouki engleski inzenjer, matematicar i fizicar

5

koja predstavlja translaciju funkcije f za iznos c u pozitivnom smjeru osi t, a njen grafprikazan je na Slici 2.2.Pomocu Heavisideove funkcije zapisujemo je na sljedeci nacin

g(t) = Hc(t)f(t− c)

(a) (b)

Slika 2.2: Graf (a) funkcije f i (b) funkcije g

Sada mozemo iskazati teorem o pomaku.

Teorem 2.4 (o pomaku).

(i) translacija udesno Pomak Laplaceovog transformata originalne funkcije udesno zac > 0 jednak je Laplaceovom transformatu nepomaknute funkcije, pomnozenog s fak-torom e−cs

LHc(t)f(t− c)(s) = e−csF (s), s > a0. (2.9)

(ii) translacija ulijevo Pomak Laplaceovog transformata originalne funkcije ulijevo za

c > 0 jednak je razlici Laplaceovog transformata originalne funkcije i integrala

c∫0

e−stf(t)dt

pomnozenoj s faktorom ecs.

Lf(t+ c)(s) = ecs

F (s)−c∫

0

e−stf(t)dt

, s > a0. (2.10)

Dokaz.

(i) LHc(t)f(t− c)(s) =

∞∫0

e−stHc(t)f(t− c)dt =

∞∫c

e−stf(t− c)dt

Uz supstituciju u = t− c imamo

LHc(t)f(t− c)(s) =

∞∫0

e−s(u+c)sf(u)du = e−cs∞∫

0

e−suf(u)du

= e−csF (s)

6

(ii) Lf(t+ c)(s) =

∞∫0

e−stf(t+ c)dt

Uz supstituciju u = t+ c imamo

LHc(t)f(t− c)(s) =

∞∫c

e−s(u−c)sf(u)du = ecs∞∫c

e−suf(u)du

= ecs

∞∫0

e−suf(u)du−c∫

0

e−suf(u)du

= ecs

F (s)−c∫

0

e−stf(t)dt

Na sljedecem grafu prikazana je usporedba funkcija y(t) = f(t − c) i y(t) = Hc(t)f(t − c)gdje vidimo zasto je translaciju udesno u prethodnom teoremu potrebno izraziti pomocuHeavisideove funkcije.

(a) y(t) = f(t− c) (b) y(t) = Hc(t)f(t− c)

Slika 2.3: Usporedba funkcija y(t) = f(t− c) i y(t) = Hcf(t− c)

Teorem 2.5 (o slicnosti). Neka je c ∈ R. Tada je

Lf(ct)(s) =1

cF(sc

), s > a0 (2.11)

Dokaz. Uz supstituciju u = ct imamo

Lf(ct)(s) =

∞∫0

e−stf(ct)dt =1

c

∞∫0

e−suc f(u)du

=1

cF(sc

)

7

U sljedeca dva teorema dano je svojstvo za Laplaceovu transformaciju derivacija funkcije fkoje se primjenjuje prilikom rjesavanja diferencijalnih jednadzbi.

Teorem 2.6 (o diferenciranju originala). Neka je f : [0,∞〉 → R neprekidna funkcijaeksponencijalnog rasta reda a0 te neka je f ′ po dijelovima neprekidna na [0,∞〉. Laplaceovtransformat od f ′ postoji za s > a0 i vrijedi

L(f ′)(s) = sL(f)− f(0), s > a0 (2.12)

Dokaz. Parcijalna integracija daje

L(f ′)(s) =

∞∫0

e−stf ′(t)dt = limA→∞

A∫0

e−stf ′(t)dt

= limA→∞

e−stf(t)

∣∣∣∣A0

+ s

A∫0

e−stf(t)dt

= lim

A→∞

e−sAf(A)− f(0) + s

A∫0

e−stf(t)dt

S obzirom da je f eksponencijalnog rasta reda a0 kada t→∞ slijedi da je lim

A→∞e−sAf(A) = 0

za s > a0 pa dobivamo

L(f ′)(s) = s

∞∫0

e−stf(t)dt− f(0) = sL(f)− f(0)

Ako uvjete iz prethodnog teorem poopcimo na f, f ′, . . . , f (n−1), f (n) moguce je dobiti Laplaceovutransformaciju za n-tu derivaciju funkcije. To nam pokazuje iduci korolar.

Korolar 2.7. Neka su f, f ′, . . . , f (n−1) neprekidne na [0,∞〉 i eksponencijalnog rasta reda a0

te neka je f (n) po dijelovima neprekidna funkcija na [0,∞〉. Laplaceov transformat od f (n)

postoji za s > a0 i vrijedi

L(f (n))(s) = snL(f)− sn−1f(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0), s > a0 (2.13)

Dokaz se provodi matematickom indukcijom.

Teorem o integraciji originala daje Laplaceovu transformaciju za integral funkcije f .

Teorem 2.8 (integracija originala). Za

t∫0

f(τ)dτ vrijedi

L

t∫

0

f(τ)dτ

(s) =1

sF (s), s > a0. (2.14)

8

Dokaz. Neka je g(t) =

t∫0

f(τ)dτ . Funkcija g je diferencijabilna i neprekidna na 〈0,∞〉 te

vrijedi g′ = f i g(0) = 0. Za svaki a > a0 dobivamo sljedecu ocjenu

|g(t)| =t∫

0

|f(τ)|dτ ≤M

t∫0

eaτdτ =M

a(eat − 1) <

M

aeat

iz cega vidimo da je g eksponencijalnog rasta reda a0. Dakle, postoji Laplaceova transfor-macija derivacije funkcije g pa prema Teoremu 2.6 imamo

L(f)(s) = L(g′)(s) = sL(g)− g(0), s > a0

Kako je g(0) = 0 slijedi

L(g)(s) = L

t∫

0

f(τ)dτ

=1

sF (s), s > a0.

Vidimo da svojstva iz Teorema 2.6 i Teorema 2.7 prevode derivaciju funkcije u mnozenje,a svojstvo iz Teorema 2.8 prevodi integral funkcije u dijeljenje. Vidjet cemo da na taj nacinmozemo diferencijalne i integralne jednadzbe svesti na algebarske.

Teorem 2.9 (o mnozenju). Neka je n ∈ N. Tada vrijedi

Ltnf(t)(s) = (−1)ndn

dsnF (s) = (−1)nF (n)(s) (2.15)

za s > b0 pri cemu je b0 red eksponencijanog rasta funkcije tnf(t) koji je jednak sumi redovaeksponencijalnog rasta funkcija f i y(t) = tn.

Dokaz. Dokaz se provodi matematickom indukcijom i moze se naci u [7, str. 17].

Teorem 2.10 (o dijeljenju). Neka postoji limes limt→0

f(t)

t. Tada vrijedi

Lf(t)

t

(s) =

∞∫s

F (τ)dτ, s > a0 (2.16)

za s > b0 pri cemu je b0 red eksponencijanog rasta funkcijef(t)

tkoji je jednak razlici redova

eksponencijalnog rasta funkcija f i y(t) =1

t.

9

Dokaz. Oznacimo s g(t) =f(t)

t. Kako postoji limes lim

t→0

f(t)

t, postoji i L(g) = G; tada je

f(t) = tg(t). Uzimajuci Laplaceovu transformaciju obje strane ove jednakosti i primjenomTeorema 2.9 za n = 1 dobiva se

L(f) = − d

dsL(g) tj. F (s) = −dG

ds

Sada integriranjem dobivamo

L(g)(s) = G(s) = −s∫∞

F (τ)dτ =

∞∫s

F (τ)dτ

Lf(t)

t

(s) =

∞∫s

F (τ)dτ

pri cemu smo za konstantu integracije izabrali lims→∞

G(s) = 0 (vidi Teorem 2.12).

Teorem 2.11 (o periodicnim funkcijama). Neka je f funkcija s periodom T > 0, tj.vrijedi f(T + t) = f(t), ∀t ≥ 0. Tada je

L(f)(s) =1

1− e−sT

T∫0

e−stf(t)dt, s > a0 (2.17)

Dokaz. Konvergenciju nepravog integrala mozemo izraziti pomocu konvergencije reda. S

obzirom da integral

∞∫0

e−stf(t)dt konvergira, mozemo ga rastaviti na konvergentan red (vidi

[11]) na sljedeci nacin

L(f)(s) =

∞∫0

e−stf(t)dt = limA→∞

A∫0

e−stf(t)dt

=

T∫0

e−stf(t)dt+

2T∫T

e−stf(t)dt+

3T∫2T

e−stf(t)dt+ · · ·

Postavljanjem t = u + T u drugi integral, t = u + 2T u treci integral itd., s obzirom da je

10

f(u) = f(u+ T ) = f(u+ 2T ) = · · · , dobivamo

L(f) =

T∫0

e−suf(u)du+

2T∫T

e−s(u+T )f(u+ T )du+

3T∫2T

e−s(u+2T )f(u+ 2T )du+ · · ·

=

T∫0

e−suf(u)du+ e−sTT∫

0

e−suf(u)du+ e−2sT

T∫0

e−suf(u)du+ · · ·

= (1 + e−sT + e−2sT + · · · )T∫

0

e−suf(u)du

Kako su s > 0 i T > 0 vrijedi da je |e−sT | = e−sT < 1 pa je∞∑k=0

e−skT konvergentan

geometrijski red cija suma je jednaka1

1− e−sT. Iz zadnje relacije sada dobivamo tvrdnju

teorema

L(f) =1

1− e−sT

T∫0

e−stf(t)dt

O ponasanju funkcija f i F na rubovima domene govore iduca tri teorema.

Teorem 2.12 (ponasanje funkcije F kada s→∞).

Za funkciju F vrijedi

lims→∞

F (s) = 0. (2.18)

Teorem 2.13 (o pocetnim vrijednostima).

Ako postoje limt→0

f(t) i lims→∞

sF (s), tada je

limt→0

f(t) = lims→∞

sF (s). (2.19)

Dokaz. Prema Teoremu 2.6 imamo

L(f ′) =

∞∫0

e−stf ′(t)dt = sF (s)− f(0)

Pretpostavimo da je f ′ po dijelovima neprekidna i eksponencijalnog rasta, a f neprekidna

u t = 0. Tada je prema Teoremu 2.12 lims→∞

∞∫0

e−stf ′(t)dt = 0 pa prelaskom na limes kada s

tezi u beskonacno slijedi0 = lim

s→∞sF (s)− f(0)

11

tj.lims→∞

sF (s) = f(0) = limt→0

f(t)

Teorem 2.14 (o krajnjim vrijednostima).

Ako postoje limt→∞

f(t) i lims→0

sF (s), tada je

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s). (2.20)

Dokaz. Slicno kao u prethodnom teoremu imamo

L(f ′) =

∞∫0

e−stf ′(t)dt = sF (s)− f(0)

Limes lijeve strane jednakosti kada s ide u nulu jednak je

lims→0

∞∫0

e−stf ′(t)dt =

∞∫0

f ′(t)dt = limA→∞

A∫0

f ′(t)dt

= limA→∞

f(A)− f(0) = limt→∞

f(t)− f(0)

Limes desne strane jednakosti kada s ide u nulu je lims→0

sF (s)− f(0) pa dobivamo

limt→∞

f(t)− f(0) = lims→0

sF (s)− f(0)

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

Konvolucijski integral cesto se pojavljuje u fizici i teoriji diferencijalnih jednadzbi. Ufizici ima primjenu u opisivanju fizikalnih sustava kod kojih ponasanje sustava ne ovisi samoo stanju sustava u trenutku t, vec i o stanju sustava prije tog trenutka.Konvolucija je zapravo jedan oblik integralne transformaciije. S obzirom da se Laplaceovatransformacija primjenjuje u rjesavanju integralnih jednadzbi konvolucijskog tipa, poblizecemo se upoznati s konvolucijom i njenim svojstvima.

Definicija 2.3. Konvolucija funkcija f, g : [0,∞〉 → R u oznaci f ∗ g je funkcija

(f ∗ g)(t) =

t∫0

f(τ)g(t− τ)dτ (2.21)

12

Uocimo da podintegralna funkcija u (2.21) predstavlja preklapanje funkcija f i g do kojegadolazi uoci translacije funkcije g.S obzirom da je konvolucija definirana pomocu integrala, potrebno je poznavati uvjete kojinam osiguravaju njegovo postojanje. Funkcije f i g moraju biti lokalno integrabilne i lokalnoomedene. Naime, neka su f i g dvije lokalno integrabilne funkcije i neka vrijedi

(∃Mt > 0) |g(τ)| ≤Mt, |f(τ)| ≤Mt, τ ∈ [0, t]

Tada vrijedi ∣∣∣∣∣∣t∫

0

f(τ)g(t− τ)dτ

∣∣∣∣∣∣ ≤t∫

0

|f(τ)| |g(t− τ)| dτ ≤M2t

t∫0

dτ = M2t t

pa je ocito da integral (2.21) postoji.

Iduca svojstva konvolucije lako se mogu dokazati jednostavnim integralnim racunom.

• Komutativnost

f ∗ g =

t∫0

f(τ)g(t− τ)dτ =

t∫0

f(t− τ)g(τ)dτ = g ∗ f

• Distributivnostf ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

• Asocijativnost(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

• Kvaziasocijativnost(λf) ∗ g = λ(f ∗ g), λ ∈ R

Vidimo da konvolucija ima neka zajednicka svojstva s obicnim mnozenjem, ali postoje svo-jstva mnozenja koja ne vrijede za konvoluciju. Moze se pokazati da f ∗ 1 opcenito nijejednako f .

Sada mozemo iskazati teorem koji daje Laplaceovu transformaciju konvolucije dvijufunkcija.

Teorem 2.15 (o konvoluciji). Neka su f, g dvije funkcije ekponencijalnog rasta reda a0, b0.Tada za s > maxa0, b0 postoji L(f ∗ g) i vrijedi

L(f ∗ g)(s) = F (s)G(s) (2.22)

13

Dokaz. Kao sto je vec pokazano, ako su funkcije f, g lokalno integrabilne, f ∗ g je takoderlokalno integrabilna. Treba vidjeti je li konvolucija f ∗ g eksponencijalnog rasta. Neka je|f(t)| ≤Mea0t, |g(t)| ≤Meb0t. Tada vrijedi

(f ∗ g)(t) =

t∫0

f(τ)g(t− τ)dτ ≤t∫

0

Mea0τ Meb0(t−τ)dτ

=

t∫0

M2ea0τ+b0(t−τ)dτ

=M2eb0t

a0 − b0

t∫0

e(a0−b0)τdτ

(f ∗ g)(t) ≤M ′ec0t

(2.23)

iz cega vidimo da je funkcija f ∗ g eksponencijalnog rasta. Preostaje dokazati izraz (2.21.)

F (s)G(s) =

∞∫0

e−sτf(τ)dτ

∞∫0

e−sug(u)du

Kako drugi integral ne ovisi o varijabli integracije prvog integrala, mozemo pisati

F (s)G(s) =

∞∫0

f(τ)

∞∫0

e−s(τ+u)g(u)du dτ

Ako zamijenimo varijablu unutarnje integracije s t = τ + u, dobivamo

F (s)G(s) =

∞∫0

f(τ)

∞∫τ

e−stg(t− τ)dt dτ

Integraciju provodimo po skupu D = (t, τ) : t ∈ 〈τ,∞〉, τ ∈ 〈0,∞〉 koji je prikazan na Slici2.4Promjenom poretka integracije prema Fubinijevom teoremu sada imamo

F (s)G(s) =

∞∫0

e−st

t∫

0

f(τ)g(t− τ)dτ

dt = L(f ∗ g)(s)

14

Slika 2.4: Podrucje integracije Laplaceove transformacije konvolucije dviju funkcija

Kroz teoreme u ovom poglavlju dana su osnovna svojstva Laplaceove transformacije,a u iducoj tablici je napravljen njihov pregled. Opsirnije tablice s jos nekim svojstvimaLaplaceove transformacije mogu se naci u raznoj literaturi (vidi npr. [2] ili [7]).

15

Tablica 2.1: Svojstva Laplaceove transformacije

br. f L(f)

1 c1f1(t) + c2f2(t) c1F1(s) + c2F2(s)

2 ectf(t), c > 0 F (s− c)

3 Hc(t)f(t− c), c > 0 e−csF (s)

4 f(t+ c), c > 0 ecs

F (s)−c∫

0

e−stf(t)dt

5 f(ct), c > 0

1

cF (s

c)

6 f (n)(t), n ∈ N snF (s)− sn−1f(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

7

t∫0

f(τ)dτ 1

sF (s)

8 tnf(t), n ∈ N (−1)nF (n)(s)

9f(t)

t

∞∫s

F (τ)dτ

10 f(t+ T ) a1

1− e−sT

T∫0

e−stf(t)dt

11 (f ∗ g)(t) F (s)G(s)

a T > 0, period funkcije

16

2.3 Laplaceove transformacija nekih funkcija

Nakon sto smo se upoznali s osnovnim svojstvima Laplaceove transformacije, u sljedecimprimjerima izvest cemo Laplaceovu transformaciju nekih elementarnih funkcija.

Primjer 1. Za navedene funkcije izracunat cemo njihovu Laplaceovu transformaciju L(f).

(i) f(t) = 1

L(f)(s) = L(1)(s) =

∞∫0

e−stdt = limA→∞

A∫0

e−stdt

= limA→∞

e−st

−s

∣∣∣∣A0

= limA→∞

1− e−sA

s=

1

s, s > 0

(ii) f(t) = t

L(f)(s) = L(t)(s) =

∞∫0

e−sttdt = limA→∞

A∫0

te−stdt

= limA→∞

t e−st−s

∣∣∣∣A0

+1

s

A∫0

e−stdt

= lim

A→∞

(1− e−sA

s2− Ae−sA

s

)=

1

s2, s > 0,

jer je limA→∞

Ae−sA = 0.

(iii) f(t) = tα, α > 0

L(f)(s) = L(tα)(s) =

∞∫0

e−sttαdt

Ovaj integral treba svesti na Eulerov integral druge vrste, tj. gama funkciju tako dapodijelimo integral sa sα i uvedemo supstituciju u = st. Sada imamo

L(tα)(s) =

∞∫0

e−sttαdt =1

sα

∞∫0

e−uuαdu

s

=1

sα+1

∞∫0

e−uuαdu =Γ(α + 1)

sα+1

Napomenimo da za α = n ∈ N vrijedi Γ(n+ 1) = n!

17

Primjer 2. Odredimo Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = e−αt, gdje je α danakonstanta.

L(f)(s) = L(eαt)(s) =

∞∫0

e−steαtdt = limA→∞

A∫0

e−steαtdt

= limA→∞

A∫0

e−(s−α)tdt = limA→∞

e−(s−α)t

−(s− α)

∣∣∣∣A0

= limA→∞

1− e−(s−α)A

s− α=

1

s− α, za s > α

Primjer 3. Odredimo Laplaceovu transformaciju trigonometrijskih funkcija za s > 0.

Za f(t) = sinαt

F (s) =

∞∫0

e−st sinαt dt = limA→∞

A∫0

e−st sinαt dt

Uzastopnom primjenom parcijalne integracije dobivamo

F (s) = limA→∞

−e−st cosαt

α

∣∣∣∣A0

− s

α

A∫0

e−st cosαt dt

=

1

α− s

αlimA→∞

A∫0

e−st cosαt dt

=1

α− s2

α2limA→∞

A∫0

e−st sinαt dt =1

α− s2

α2F (s),

pa slijedi F (s) =α

s2 + α2.

Za funkciju f(t) = cosαt racunamo analogno.

Primjer 4. Odredimo Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = shαt .

Kako je shαt =eαt − e−αt

2, koristeci svojstvo linearnosti (Teorem 2.2), vrijedi

L(f)(s) = L(shαt)(s) = L(eαt − e−αt

2

)(s) =

1

2L(eαt)(s)− 1

2L(e−αt)(s)

=1

2

(1

s− α− 1

s+ α

)=

α

s2 − α2, za s > |α|

18

Analogno se odreduje transformacija funkcije f(t) = chαt.

U Tablici 2.2 dan je pregled Laplaceove transformacije nekih funkcija. Opsirnija tablica,koja sadrzi i neke posebne funkcije, moze se naci u [7].

Ovime zavrsavamo upoznavanje s osnovnim pojmovima i svojstvima Laplaceove trans-formacije te cemo se u iducim poglavljima posvetiti racunanju s transformacijom i njenojprimjeni.

19

Tablica 2.2: Laplaceova transformacija nekih funkcija

br. f(t) L(f)(s)

1 11

s, s > 0

2 tn, n ∈ Nn!

sn+1, s > 0

3 tα, α > 0Γ(α + 1)

sα+1, s > 0

4 eαt1

s− α, s > α

5 tneαtn!

(s+ α)n+1, s > α

6 sinαtα

s2 + α2, s > 0

7 cosαts

s2 + α2, s > 0

8 sin (αt+ β)s sin β + α cos β

s2 + α2

9 cos (αt+ β)s cos β − α sin β

s2 + α2

10 shαtα

s2 − α2, s > |α|

11 shαts

s2 − α2, s > |α|

12 Hc(t) =

0, t < c

1, t ≥ c

e−cs

s, s > 0

20

3 Invertiranje Laplaceove transformacije

3.1 Jedinstvenost i svojstva inverza

U prethodnom poglavlju definirali smo Laplaceovu tranformaciju kao preslikavanje sa skupafunkcija koje smo zvali originalnim funkcijama na skup funkcija koje smo zvali slike od f .Postavlja se pitanje postoji li inverz ovog preslikavanja, tj. mozemo li promatrati slikufunkcije f koju smo oznacili s F i traziti njen original. Da bi inverz postojao, preslikavanjef 7→ L(f) treba biti injektivno. Moze se pokazati da preslikavanje nije injektivno, tj. dvijerazlicite funkcije mogu imati isti Laplaceov transformat. U tu svrhu uvodimo pojam nul-funkcije. Nul-funkcija n karakterizirana je svojstvom da joj konacan integral iscezava za svevrijednosti t > 0, odnosno

t∫0

n(τ)dτ = 0, t > 0 (3.1)

Opcenito, funkcija koja je svugdje jednaka nuli osim u prebrojivo mnogo tocaka je nul-funkcija.Lako vidimo da je L(f + n) = L(f).

L(f + n)(s) =

∞∫0

e−st [f(t) + n(t)] dt

=

∞∫0

e−stf(t)dt+

∞∫0

e−stn(t)dt

=

∞∫0

e−stf(t)dt+ limA→∞

A∫0

e−stn(t)dt

=

∞∫0

e−stf(t)dt = L(f)(s) (3.2)

Ako dopustimo upotrebu nul-funkcija, vidimo da inverz nece biti jedinstven. Kako seopcenito nul-funkcije ne pojavljuju u fizikalnim problemima, mozemo se ograniciti na proma-tranje funkcija koje nisu nul-funkcije za koje postoji jedinstveni inverz. O tome nam govorisljedeci teorem.

Teorem 3.1 (Lerchov o jedinstvenosti inverza). Neka je funkcija f : [0,∞〉 → R podijelovima neprekidna i eksponencijalnog rasta na [0,∞〉 te razlicita od nul-funkcije. Tadapostoji jedinstven inverz L−1(F ) = f .

Dokaz. Radi kompleksnosti dokaza i upotrebe dodatnih teorema, dokaz je izostavljen, a mozese naci u [9, str. 61].

21

Teorem 3.1 je zapravo ekvivalentan tvrdnji: ako je L(f)(s) = F (s) = 0, tada je f nul-funkcija.

Svojstva koja smo dokazali u Poglavlju 2.3 vrijede i za inverz Laplaceove transformacijepa ih samo navodimo bez dokaza u sljedecoj tablici.

Tablica 3.3: Svojstva inverza Laplaceove transformacije

br. L−1(F ) f

1 c1F1(s) + c2F2(s) c1f1(t) + c2f2(t)

2 Hc(s)F (s− c) ectf(t)

3 e−csF (s), c > 0 f(t− c)

4 F (cs)1

cf(t

c)

5 F (n)(s), n ∈ N (−1)ntnf (n)(t)

6

∞∫s

F (τ)dτ f(t)

t

7 sF (s) f ′(t) + f(0)δ(t) a

8F (s)

s

t∫0

f(τ)dτ

9 F (s)G(s) (f ∗ g)(t)

a δ(t), Diracova delta funkcija

Inverz Laplaceove transformacije mozemo odrediti upotrebom neke od sljedecih metoda.

• Rastav na parcijalne razlomke. Svaku racionalnu funkciju P/Q gdje su P i Q polinomipri cemu je stupanj polinoma P manji od stupnja polinoma Q mozemo zapisati kao

sumu racionalnih funkcija oblikaA

(as+ b)r,

As+B

(as2 + bs+ c)2, r = 1, 2, 3 . . . pa inverz

funkcije P/Q mozemo odrediti kao sumu inverza svakog parcijalnog razlomka.

22

• Razvoj u red. Ako funkciju F mozemo razviti u red negativnih potencija od s nasljedeci nacin

F (s) =b0

s+b1

s2+b2

s3+b3

s4+ · · ·

onda uz odredene uvjete mozemo naci inverz svakog clana reda i tako dobiti

f(t) = b0 + b1t+b2t

2

2!+b3t

3

3!+ · · ·

• Upotreba tablice. Iz tablica mozemo iscitati inverz funkcije L−1(F ) i tako dobiti funkcijuf

• Heavisideova formula ekspanzije. Slicno kao kod metode parcijalnih razlomaka, nekasu P i Q polinomi i stupanj od P je manji od stupnja od Q. Pretpostavimo da Q iman razlicitih nultocaka αk, k = 1, 2, · · · , n. Tada je

L−1

P (s)

Q(s)

=

n∑k=1

P (αk)

Q′(αk)eαkt

Dokaz ove formule moze se naci u [7, str. 61].

• Integralna formula inverzije. Integralna formula inverzija daje direktnu metodu odredivanjainverza Laplaceove transformacije, ali koristi funkcije kompleksne varijable pa je potrebnoprosiriti razmatranje Laplaceove transformacije na funkcije kompleksne varijable (vidiPoglavlje 3.2).

Na iducim primjerima vidjet cemo upotrebu nekih od navedenih metoda.

Primjer 5. Primjenom metode rastava na parcijalne razlomke odredimo L−1

(2s2 − 4

(s+ 1)(s− 2)(s− 3)

).

Rastavimo polinom na parcijalne razlomke

2s2 − 4

(s+ 1)(s− 2)(s− 3)=

A

s+ 1+

B

s− 2+

C

s− 3

2s2 − 4 = A(s− 2)(s− 3) +B(s+ 1)(s− 3) + C(s+ 1)(s− 2)

2s2 − 4 = (A+B + C)s2 + (−5A− 2B − C)s+ (6A− 3B − 2C)

Izjednacavanjem koeficijenata lijeve i desne strane koji stoje uz iste potencije od s, dobivamo

A = −1

6, B = −4

3, C =

7

2

23

Sada imamo

L−1

(2s2 − 4

(s+ 1)(s− 2)(s− 3)

)= L−1

(−1

6

1

s+ 1− 4

3

1

s− 2+

7

2

1

s− 3

)= −1

6e−t − 4

3e2t +

7

2e3t

Primjer 6. Primjenom Heavisideove formule ekspanzije odredimo L−1

(3s+ 1

(s− 1)(s2 + 1)

).

Kako je P (s) = 3s+ 1, Q(s) = (s− 1)(s2 + 1) = s3− s2 + s− 1, Q′(s) = 3s2− 2s+ 1, α1 =1, α2 = i, α3 = −i, Heavisideova formula ekspanzije daje

P (1)

Q′(1)et+

P (i)

Q′(i)eit +

P (−i)Q′(−i)

e−it =4

2et +

3i+ 1

−2− 2ieit +

−3i+ 1

−2 + 2ie−it

= 2et + (−1− 1

2i)(cos t+ i sin t) + (−1 +

1

2i)(cos t− i sin t)

= 2et − cos t+1

2sin t− cos t+

1

2sin t

= 2et − 2 cos t+ sin t

Primjer 7. Razvojem u red odredimo inverz Laplaceove transformacije funkcije L1

(e−1/s

s

)

Prvo razvijmo funkciju1

se−1/s u red

1

se−1/s =

1

s

(1− 1

s+

1

2!s2− 1

3!s3+ · · ·

)=

1

s− 1

s2+

1

2!s3

1

3!s4+ · · ·

L−1

(1

se−1/s

)= 1− t+

t2

(2!)2− t3

(3!)2+ . . .

= 1− t+t2

1222− t3

122232+ · · ·

= 1− (2t1/2)2

22+

(2t1/2)4

2242− (2t1/2)6

224262+ · · ·

= J0(2√t) 4

U Tablici 3.4 dani su inverzi Laplaceove transformacije nekih funkcija.

4Besselova funkcija, Jn(t) = tn

2nΓ(n+1)

(1− t2

2(2n+2) + t4

2·4(2n+2)(2n+4) − · · ·)

24

Tablica 3.4: Inverzi Laplaceove transformacije nekih funkcija

br. L−1(F )(t) f(t)

11

s1

21

sn, n ∈ N

tn−1

(n− 1)!

31

sα, α > 0

t(α− 1)

Γ(α)

4

1

(s− α)n, n ∈

N, α > 0

tn−1

(n− 1)!eαt

5α

s2 + α2sinαt

6s

s2 + α2cosαt

7s

s2 − α2

1

αshαt

7α

s2 − α2chαt

8e−cs

sHc(t) =

0, t < c

1, t ≥ c

3.2 Prosirenje na funkcije kompleksne varijable

Umjesto funkcije f : [0,∞〉 → R mozemo promatrati funkciju f : [0,∞〉 → C te na tajnacin prosiriti pojam Laplaceove transformacije na funkcije kompleksne varijable. To ce namomoguciti da izvedemo i integralnu formulu inverzije koja daje opceniti izraz za odredivanjeinverza Laplaceove transformacije. Definicija Laplaceove transformacije za funkcije kom-pleksne varijable je slicna definiciji za funkcije realne varijable.Ako za funkciju f : [0,∞〉 → C za podrucje Ω ⊆ C i za svaki z ∈ Ω konvergira nepravi

25

integral

F (z) =

∞∫0

e−ztf(t)dt, (3.3)

onda se funkcija kompleksne varijable F : Ω→ C naziva Laplaceov transformat funkcijef na podrucju Ω.I ovdje cemo se ograniciti na proucavanje funkcija eksponencijalnog rasta koje smo definiraliu Poglavlju 2.1. Sada mozemo iskazati teorem koji daje uvjete za postojanje Laplaceovetransformacije za funkcije kompleksne varijable.

Teorem 3.2. Neka je f : [0,∞〉 → C lokalno integrabilna funkcija eksponencijalnog rastareda a0. Tada Laplaceov transformat F postoji na podrucju

Ω = z ∈ C : <(z) > a0.

Nadalje, funkcija F analiticka je na podrucju Ω i za svaki prirodan broj n vrijedi

F (n)(z) = (−1)n∞∫

0

e−zttnf(t)dt, <(z) > a0.

Za svaki t > a0 nepravi integral (3.3) konvergira uniformno u odnosu na z iz zatvorenepoluravnine <(z) > t.

Dokaz. Neka je τ > a0 i neka je a takvo da τ > a > a0. Izaberimo realan broj M > 0 takavda vrijedi |f(t)| ≤Meat i neka je φ : [0,∞〉 → R funkcija definirana s

φ(t) = Me−(τ−a)t, t ≥ 0

Za <(z) ≥ τ je tada

|e−ztf(t)| ≤Me−(<(z)−a)t ≤ φ(t), t ≥ 0

Dalje vrijedi∞∫

0

φ(t)dt =1

τ − a≤ ∞

Integral (3.3) uniformno konvergira na zatvorenoj poluravnini <(z) ≥ τ . Kako je svakikompaktan podskup K podrucja Ω sadrzan u nekoj od poluravnina z ∈ C : <(z) ≥ τ, τ >a0 zakljucujemo da integral (3.3) konvergira lokalno uniformno na Ω iz cega slijede tvrdnjeteorema.

Ocito je da sva svojstva koja vrijede za Laplaceovu transformaciju funkcija realne vari-jable vrijede i za funkcije kompleksne varijable sto se moze pokazati tako da u integralu (3.3)

26

zapisemo z = x+ iy i integral rastavimo na dva dijela od kojih svaki racunamo kao integralfunkcije realne varijable.

F (z) =

∞∫0

e−ztf(t)dt =

∞∫0

e−(x+iy)tf(t)dt =

∞∫0

e−xt(cos yt− i sin yt)f(t)dt, x, y ∈ R

Integralna formula inverzije daje direktnu metodu odredivanja inverza Laplaceove trans-formacije funkcije F .

Ako je f : [0,∞〉 → C lokalno integrabilna funkcija eksponencijalnog rasta reda a0, tadaza t > 0 i bilo koji γ > a0 vrijedi

f(t) =1

2πi

γ+i∞∫γ−i∞

eztF (z)dz (3.4)

pri cemu integraciju provodimo po pravcu γ + iτ : τ ∈ R paralelnom s y-osi, a integraluzmimamo u smislu glavne vrijednosti.Pravac γ + iτ : τ ∈ R u kompleksnoj ravnini lezi desno od svih singulariteta (uklonjivih,bitnih i polova), ali osim tog uvjeta je proizvoljan.Integral (3.4) naziva se i Bromwichev integral, Fourier - Mellinov integral ili Mellinova for-mula inverzije. Integralnu formulu inverzije moguce je iskazati i kao teorem u kojemu supostavljeni jos neki dodatni uvjeti na funkciju (teorem i dokaz vidi u [4]).

Integral (3.4) racunamo pomocu krivuljnog integrala

Slika 3.5: Bromwicheva krivulja(iz [7, str. 201])

1

2πi

∮C

eztF (z)dz

gdje je C krivulja prikazana na Slici 3.5 i nazivase Bromwicheva krivulja. Sastoji se od duzine ABi luka BJKLA kruznice polumjera R sa sredistemu ishodistu. Ako luk BJKLA zapisemo kao Γ iT =

√R2 − γ2 dobivamo

f(t) = limR→∞

1

2πi

γ+iT∫γ−iT

eztF (z)dz (3.5)

= limR→∞

(1

2πi

∮C

eztF (z)dz − 1

2πi

∫Γ

eztF (z)dz

)Kako govorimo o kompleksnim varijablama, svojstva i teoremi koji vrijede za integralefunkcija kompleksne varijable mogu se primjeniti na racunanje inverza pa tako inverz mozemoodrediti prema teoremu o reziduumima, tj. integral (3.5) mozemo izracunati kao sumureziduuma funkcije eztF (z) u polovima od F . Za ostale metode procjene integrala vidi [7,poglavlje 7].

27

4 Primjene Laplaceove transformacije

U ovom poglavlju kroz primjere cemo vidjeti neke od primjena Laplaceove transformacije.

4.1 Primjena na integralne jednadzbe

Integralne jednadzbe su izrazi oblika

y(t) = f(t) +

β∫α

K(t, τ)y(τ)dτ (4.1)

gdje su f i K poznate funkcije, α, β su konstante ili funkcije, a funkciju y koje se pojavljujepod integralom treba odrediti. Funkciju K nazivamo jezgra integralne jednadzbe. Ako su αi β konstante, integralna jednadzba (4.1) zove se Fredholmova integralna jednadzba5.Jednadzba oblika

y(t) = f(t) +

t∫0

K(t, τ)y(τ)dτ (4.2)

zove se Volterrina integralna jednadzba6. Od posebne vaznosti su linearne Volterrinejednadzbe konvolucijskog tipa:

y(t) = f(t) +

t∫0

K(t− τ)y(τ)dτ (4.3)

koje mozemo pisati i kaoy(t) = f(t) +K(t) ∗ y(t) (4.4)

Na jednadzbu (4.4) mozemo primjeniti Laplaceovu transformaciju i (u slucaju kada postojeLaplaceove transformacije funkcija f,K i y) dobivamo

Y (s) = F (s) +M(s)Y (s) (4.5)

odnosno

Y (s) =F (S)

1−M(S)

gdje je M = L(K). Rjesenje integralne jednadzbe dobijemo invertiranjem gornjeg izraza.

Primjer 1. Rijesimo integralnu jednadzbu

y(t) = t2 +

t∫0

y(τ)sin(t− τ)dτ

5Erik Ivar Fredholm (1866-1927), svedski matematicar6Vito Volterra (1860-1924), talijanski matematicar i fizicar

28

Mozemo ju zapisati kaoy(t) = t2 + y(t) ∗ sin(t)

Sada primjenom Laplaceove transformacije (upotrebom Tablice 2.2 i Teorema 2.15) imamo

Ly(t) = Lt2+ L(y(t) ∗ sin t)

Y (s) =2

s3+ Y (s)

1

s2 + 1

Y (s) =2

s3+

2

s5

Invertiranjem dobivamo

y(t) = 2

(t2

2!

)+ 2

(t4

4!

)= t2 +

t4

12

4.2 Primjena na diferencijalne jednadzbe

Diferencijalne jednadzbe su jednadzbe u kojima se osim nepoznate funkcije koju je potrebnoodrediti, pojavljuju i njene derivacije. Ako je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable,govorimo o obicnim diferencijalnim jednadzbama za razliku od parcijalnih diferencijal-nih jednadzbi gdje funkcija ovisi o vise varijabli. U ovisnosti o najvisem stupnju derivacijekoji se pojavljuje u diferencijalnoj jednadzbi, dijelimo ih na diferencijalne jednadzbe prvogili viseg reda. Obicne diferencijalne jednadzbe drugog reda su jednadzbe oblika

d2y

dt2+ p(t)

dy

dt+ q(t)y(t) = f(t)

odnosnoy′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = f(t) (4.6)

Kod linearnih diferencijalnih jednadzbi funkcija y i njene derivacije su linearne funkcije.Ako je f(t) = 0, radi se o homogenoj diferencijalnoj jednadzbi, a ako su p(t) = a, q(t) =b konstante, takvu jednadzbu zovemo linearna diferencijalna jednadzba s konstantimkoeficijentima.Laplaceove transformacija je korisna upravo u rjesavanju linearnih diferencijalnih jednadzbi skonstantnim koeficijentima. Ako primjenimo Laplaceovu transformaciju na obje strane jed-nakosti (4.6), dobivamo algebarsku jednadzbu za odredivanje L(y) = Y , a funkciju y mozemoizracunati invertiranjem. Da bi transformacija postojala, funkcija y i njene derivacije morajuzadovoljavati uvjete Korolara 2.7.Na sljedecem jednostavnom primjeru pokazat cemo osnovnu ideju primjene Laplaceove trans-formacije na diferencijalne jednadzbe.

Primjer 2. Neka je dana diferencijalna jednadzba

y′′ − y′ − 2y = 0

29

uz pocetne uvjetey(0) = 1, y′(0) = 0

Diferencijalnu jednadzbu s pocetnim uvjetima zovemo Cauchyeva zadaca.Pretpostavimo da problem ima rjesenje φ koje zadovoljava pocetne uvjete. PrimjenomLaplaceove transformacije (upotrebom prije navedenih svojstava transformacije) dobivamo

L(y′′)− L(y′)− 2L(y) = 0

s2L(y)− sy(0)− y′(0)−[sL(y)− y(0)− 2L(y)] = 0

(s2 − s− 2)Y (s)+(1− s)y(0)− y′(0) = 0

Uvrstavanjem pocetnih uvjeta i rjesavanjem jednadzbe slijedi

Y (s) =s− 1

s2 − s− 2=

s− 1

(s− 2)(s+ 1)

Time smo dobili izraz za Laplaceovu transformaciju funkcije φ. Kako bismo odredili funkcijuφ, moramo invertirati gornji izraz tako da ga zapisemo u obliku parcijalnih razlomaka.

Y (s) =1

3

1

s− 2+

2

3

1

s+ 1

Funkciju φ na kraju odredimo upotrebom Tablice 2.2

φ(t) =1

3e2t +

2

3e−t

Isti postupak mozemo primjeniti na opcenitu linearnu diferencijalnu jednadzbu drugogreda s konstantnim koeficijentima

ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f(t), y(0) = A, y′(0) = B

uz uvjet da rjesenje zadovoljava uvjete Korolara 2.7 i da ga mozemo odrediti.

U ovome vidimo korisnost primjene Laplaceove transformacije na diferencijalne jed-nadzbe; problem svodimo na algebarsku jednadzbu. Osim toga, postupak se moze primjenitii na diferencijalne jednadzbe reda viseg od n = 2.

Za razliku od uobicajene metode rjesavanja diferencijalnih jednadzbi, Laplaceovom trans-formacijom mogu se rijesiti diferencijalne jednadzbe u kojima funkcija smetnje f u izrazu(4.6) ima prekid. To vidimo na sljedecem primjeru.

Primjer 3. Potrebno je naci rjesenje diferencijalne jednadzbe

2y′′ + y′ + 2y = g(t)

gdje je funkcija g oblika

g(t) = H5(t)−H20(t) =

1, 5 ≤ t < 20

0, 0 ≤ t < 5 i t ≥ 20

30

uz pocetne uvjetey(0) = 0, y′(0) = 0

Laplaceova transformacija daje

2s2Y (s)− 2sy(0)− 2y′(0) + sY (s)− y(0) + 2Y (s) =e−5s − e−20s

s

Uvrstavanjem pocetnih uvjeta dobivamo

Y (s) =e−5s − e−20s

s(2s2 + s+ 2)

Ako zapisemo

U(s) =1

s(2s2 + s+ 2),

imamoY (s) = (e−5s − e−20s)U(s).

Uz oznaku L−1(U) = u mozemo izraziti rjesenje

φ(t) = H5(t)u(t− 5)−H20(t)u(t− 20).

Da bismo odredili u trebamo rastaviti funkciju U na parcijalne razlomke sto daje

U(s) =1/2

s−

s+ 12

2s2 + s+ 2

=1/2

s−

(s+ 14) + 1

4

(s+ 14)2 + 15

16

Invertiranjem funkcije U dobivamo

u(t) =1

2− 1

2

[e−t/4 cos

√15t

4+

√15

15e−t/4 sin

√15t

4

]

sto uvrstavanjem u izraz za φ daje rjesenje diferencijalne jednadzbe.

Osim primjene na diferencijalne jednadzbe u kojima funkcija smetnje ima prekid, Laplaceovutransformaciju takoder mozemo primjeniti na rjesavanje diferencijalnih jednadzbi u kojimaje funkcija smetnje dana kao impuls funkcija. Takve funkcije pojavljuju se u opisivanjufizikalnih sustava u kojima sila velike jakosti kratko djeluje na sustav. Integral

I(τ) =

t0+τ∫t0−τ

g(t)dt (4.7)

31

je mjera jakosti sile g koja djeluje u vremenskom intervalu 〈t0 − τ, t0 + τ〉, tj. I(τ) predstavljaukupni impuls sile 7 tokom tog perioda.Jedinicna impuls funkcija δ daje impuls vrijednosti jedan u trenutku t = 0, ali je razlicitaod nule za sve vrijednosti t 6= 0, tj.

δ(t) = 0, t 6= 0

∞∫−∞

δ(t)dt = 1

Funkciju δ zovemo Diracovom 8 δ funkcijom. Iako ju nazivamo ”‘funkcijom”’, ona zapravopripada generaliziranim funkcijama, odnosno teoriji distribucija. Jedinicni impuls u nekojproizvoljnoj tocki t = t0 je dan s δ(t− t0), tj.

δ(t− t0) = 0, t 6= t0

∞∫−∞

δ(t− t0)dt = 1

Iako δ funkcija ne zadovoljava uvjete teorema o egzistenciji, na nju mozemo primjenitiLaplaceovu transformaciju i naci rjesenje diferencijalne jednadzbe u kojoj je funkcija smetnjeδ funkcija.

4.3 Primjena Laplaceove transformacije na fizikalne sustave

Primjena Laplaceove transformacije u fizici se uglavnom odnosi na rjesavanje diferencijalnihjednadzbi koje opisuju ponasanje fizikalnih sustava, kao sto su npr. radioaktivni raspad,ponasanje utega na opruzi u mehanici, protok naboja kod strujnih krugova ili uvijanje gredauslijed opterecenja u gradevini.

4.3.1 Radioaktivni raspad

Kod radioaktivnog raspada broj radioaktivnih atoma N u uzorku nekog izotopa opada pro-porcionalno s N pa problem mozemo formulirati diferencijalnom jednadzbom prvog reda.

dN

dt= −λN tj. N ′ + λN = 0

gdje je λ konstanta raspada. Primjenom Laplaceove transformacije mozemo rijesiti gornjudiferencijalnu jednadzbu.

L(N ′)(s) + λL(N)(s) = 0

sL(N)(s)−N(0) + λL(N)(s) = 0 (4.8)

7impuls sile je vektorska velicina definirana kao umnozak sile i vremena tokom kojeg ta sila djeluje; akosila F nije konstanta, vec ovisi o vremenu, impuls racunamo kao ~I =

∫~F (t)dt

8Paul M. Dirac (1902-1984), britanski fizicar; dobio Nobelovu nagradu (s E. Schrodingerom) za svoj radna kvantnoj mehanici

32

Ako s N(0) = N0 oznacimo broj radioaktivnih atoma u pocetnom uzorku i izrazimo L(N)(s),imamo

L(N)(s) =N0

s+ λ

Invertiranjem dobivamo rjesenje diferencijalne jednadzbe koje predstavlja broj radioaktivnihatoma koji su preostali u uzorku u trenutku t.

N(t) = N0e−λt

4.3.2 Tijelo mase m na opruzi

Slika 4.6: Uteg mase m na opruzi (iz [7, str.79])

Pretpostavimo da je tijelo masem pricvrscenona oprugu koja je ucvrscena u polozaju O(Slika 4.6) i moze kliziti bez trenja u ravniniPQ. Ako x(t) oznacava odmak tijela odravnoteznog polozaja u trenutku t, premaHookovom zakonu na tijelo ce djelovati silaiznosa −kx koja ga vraca u ravnoteznipolozaj gdje je k konstanta opruge. DrugiNewtonow zakon kaze da je suma sila kojedjeluju na tijelo mase m jednaka masi tijelapomnozenoj s ubrzanjem pa je jednadzbagibanja dana s

md2x

dt2= −kx tj. mx′′ + kx = 0

Kada na sustav djeluje sila gusenja koja je proporcionalna brzini gibanja tijela, jednadzbagibanja postaje

md2x

dt2= −kx− βdX

dttj. mx′′ + βx′ + kx = 0

gdje konstantnu β zovemo konstantom prigusenja. Na sustav takoder moze djelovati vanjskasila koja je funkcija vremena. U tom slucaju jednadzba gibanja glasi

md2x

dt2= −kx− βdx

dt+ F (t) tj. mX ′′ + βx′ + kx = F (t)

Laplaceovu transformaciju mozemo primjeniti na gornje slucajeve i tako dobiti polozaj tijelau trenutku t. Pokazimo to na sljedecem primjeru.

Primjer 4. Tijelo mase m giba se po x-osi dok na njega djeluje sila iznosa kx, k > 0koja ga povlaci nazad prema ishodistu. Na sustav takoder djeluje i sila gusenja dana sβdx/dt, β > 0. Promotrimo sve slucajeve gibanja uz pocetne uvjete x(0) = x0 (pocetnipolozaj) i x′(0) = v0 (pocetna brzina). Jednadzba gibanja dana je s

md2x

dt2= −kx− βdx

dt

33

dx

dt2+ 2α

dx

dt+ ω2x = 0, α =

β

2m, ω2 =

k

m

Laplaceova transformacija uz pocetne uvjete daje

s2X − x0s− v0 + 2α(sX − x0 + ω2x) = 0

x =sx0 + v0 + 2αx0

s2 + 2αs+ ω2

x =(s+ α)x0

(s+ α)2 + ω2 − α2+

v0 + αx0

(s+ α)2 + ω2 − α2

1. slucaj ω2 − α2 > 0

x = x0e−αt cos

√ω2 − α2t +

vo + αx0√ω2 − α2

e−αt sin√ω2 − α2t

Ovo je jednadzba gusenog oscilatora (Slika 4.7 (a)). Tijelo oscilira oko ishodista pricemu se svakim prolaskom kroz ravnotezni polozaj smanjuje oscilacija. Period oscilacijedan je s 2π/

√ω2 − α2, a frekvencija je jednaka reciprocnoj vrijednosti perioda. Za

α = 0 imamo prirodnu frekvenciju sustava.

(a) guseni oscilator (b) kriticno prigusenje (c) aperiodicno prigusenje

Slika 4.7: Prikaz titranja gusenog oscilatora (iz [7, str. 91])

2. slucaj ω2 − α2 = 0x = x0e

−αt + (v0 + αx0)te−αt

Ovo se zove kriticno gusenje (Slika 4.7 (b)) i predstavlja granicnu izmedu prigusenogi aperiodicnog gusenja. Sustav se pri kriticnom gusenju vraca u polozaj ravnoteze unajkracem mogucem roku.

34

3. slucaj ω2 − α2 < 0

x = x0 ch√α2 − ω2t +

vo + αx0√α2 − ω2

sh√α2 − ω2t

Ovakav oblik gusenja zove se aperiodicno prigusenje (Slika 4.7 (c)). Javlja se kad jetrenje u sustavu preveliko pa se tijelo, kada dosegne odredenu amplitudu, umjestotitranja vraca u pocetni polozaj.

4.3.3 Strujni krugovi

Slika 4.8: Strujni krug (iz [7, str. 79])

Jednostavan strujni krug prikazan je na Slici4.8. Dijelovi strujnog kruga su

• generator ili baterija koja predstavljaizvor elektromotorne sile (EMS), E uvoltima

• otpornik s otporom R u omima• zavojnica s induktivitetom L u henri-

jima• kondenzator s kapacitetom C u

faradima

Nakon zatvaranja sklopke K, prema plocama kondenzatora pocinje teci naboj Q (u ku-lonima). Struja je dana kao kolicina naboja koji je protekao u odredenom vremenu, tj.dQ/dt = I i mjeri se u amperima. Odredivanje struje i naboja na kondenzatorima pred-stavlja vazan problem u teoriji strujnih krugova. Kako bi se to moglo odrediti, definirase

• pad napona na otporniku RI = R dQ/dt

• pad napona na zavojnici L dI/dt = L d2Q/dt2

• pad napona na kondenzatoru Q/C

• pad napona u izvoru struje −E

Tada prema Kirchhoffovimim pravilima mozemo izvesti diferencijalne jednadzbe koje mozemorijesiti primjenom Laplaceove transformacije. Kirchhoffova pravila su:

1. Suma (iznosa) struja koje ulaze u svaki cvor jednaka je nuli.

2. Suma padova napona u svakoj zatvorenoj petlji jednaka je nuli.

Za jednostavan strujni krug prikazan na Slici 4.8 diferencijalna jednadzba glasi

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+Q

C= E

35

Mozemo napraviti usporedbu diferencijalne jednadzbe koja opisuje gibanje tijela na opruzii protok struje kroj strujni krug. Masa tijela m odgovara induktivitetu L, pomak tijela xodgovara naboju Q, konstanta gusenja β odgovara otporu R, konstanta opruge k odgovarareciprocnoj vrijednosti kapaciteta 1/C, a sila F odgovara elektromotornoj sili E.Kako je diferencijalna jednadzba za strujni krug jednakog oblika kao i diferencijalna jed-nadzba za titranje tijela na opruzi, primjena Laplaceove transformacije na nju je ekvivalentaprimjeni transformacije na diferencijalnu jednadzbu titranja, a primjeri konkretnih strujnihkrugova mogu se naci u [7].

4.3.4 Uvijanje greda uslijed opterecenja

Slika 4.9: Uvijanja grede (iz [7, str. 81])

Neka je greda paralelna s osi x, a kra-jevi su joj pricvrsceni u x = 0 ix = l. Okomito na gredu (po je-dinici duljine) djeluje opterecenje dano sw(x). Uslijed opterecenja dolazi do uvi-janja grede kojeg oznacavamo s y(x) utocki x i ono zadovoljava diferencijalnu jed-nadzbu

d4y

dx4=W (x)

EI, 0 < x < l (4.9)

Velicina EI je karakteristika grede i predstavlja umnozak Younguova modula elasticnosti 9

E i momenta inercije (tromosti) 10 I. Za okomitu os pozitivan smjer je prema dolje pa jeuvijanje pozitivno.Pocetni uvjeti diferencijalne jednadzbe (4.9) ovise o polozaju u kojemu je greda uprta.Najcesci slucajevi su sljedeci

• stegnuti ili ugradeni kraj grede y = y′ = 0

• viseca greda y = y′′ = 0

• greda sa slobodnim krajevima y′′ = y′′′ = 0

Na sljedecem primjeru vidimo kako je moguce izracunati iznos uvijanja rjesavanjem diferen-cijalne jednadzbe pomocu Laplaceove transformacije.

Primjer 5. Greda je objesena za svoje krajeve x = 0 i x = l i opterecena je uniformnimteretom w0 po jedinici svoje duljine (vidi Sliku 4.10). Potrebno je naci uvijanje grede usvakoj tocki grede.Diferencijalna jednadzba glasi

d4y

dx4=w0

EI,

9mjera krutosti materijala10mjera otpornosti tijela na kruzno kretanje

36

a pocetni uvjeti suy(0) = 0, y′′(0) = 0, y(l) = 0, y′′(l) = 0 (4.10)

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadzbu imamo

s4Y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′(0) =w0

EIs

Uvrstavanjem prva dva uvjeta iz (4.10) i postavljajuci y′(0) = c1, y′′′(0) = c2 za nepoznate

uvjete slijedi

Y (s) =c1

s2+c2

s4+

w0

EIs5

Invertiranjem dobivamo

y(x) = c1x+c2x

3

3!+w0

EI

x4

4!= c1x+

c2x3

6+w0x

4

24EI

Konstante c1 i c2 dobivamo deriviranjem gornjeg izraza i upotrebom zadnja dva uvjeta iz(4.10)

Slika 4.10: Primjer 5 (iz [7, str. 98])

c1 =w0l

3

24EI, c2 = − w0l

2EI

Na kraju dobivamo izraz iz kojega mozemoizracunati uvijanje grede u svakoj tockigrede

y(x) =w0I

3

24EI(l3x− 2lx3 + x4) =

w0

24EIx(l − x)(l2 + lx− x2)

37

5 Literatura

[1] W.E. Boyce, R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary ValueProblems, John Willey & Sons, SAD, 2001.

[2] G. Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation,Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[3] S. Kurepa, Matematicka analiza 2, Funkcija jedne varijable, Tehnicka knjiga, Zagreb,1980.

[4] S. Kurepa, H. Kraljevic, Matematicka analiza IV/1, Funkcija kompleksne varijable,Tehnicka knjiga, Zagreb, 1986.

[5] I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, A. Muhlig, Matematicki prirucnik,Tehnicka knjiga, Zagreb, 2004.

[6] M. Krizic, Primjene Laplaceove transformacije. Zavrsni rad, Odjel za matematiku, Os-ijek, 2007.

[7] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of Theory and Problems of Laplace Transforms,McGraw-Hill, SAD, 1965.

[8] H.D. Young, R.A. Freedman, Sears and Zemansky’s University Physics, Addison-Wesley, SAD, 2000.

[9] D.V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton , 1946.

[10] Priguseno titranje, Fakultet elektrotehnike i racunarstva. Dostupno na:http://www.fer.unizg.hr/_download/repository/PRIGUSENO_TITRANJE.pdf

[11] Improper integral, SpringerLink. Dostupno na:http://eom.springer.de/i/i050370.htm

[12] Differential equation, Wikipedia. Dostupno na:http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

[13] Laplace transform, Wikipedia. Dostupno na:http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

[14] Convolution, Wolfram MathWorld. Dostupno na:http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

38