Suzana Peri sa - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/PER18.pdf · Neprekidna preslikavanja 1 1. Uvod Osnovni cilj ovog rada bio je obraditi neprekidna preslikavanja. Rad je osmi

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Suzana Perisa

Neprekidna preslikavanja

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Suzana Perisa

Neprekidna preslikavanja

Diplomski rad

Voditelj: Prof. dr. sc. Dragan Jukic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Osnovni topoloski pojmovi 2

2.1. Metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Topoloska struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Nutrina i zatvarac skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. Kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6. Limes funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Neprekidna preslikavanja 17

3.1. Neprekidna preslikavanja na topoloskim prostorima . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Neprekidnost vektorskih funkcija vise varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Neprekidnost elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5. Neprekidna preslikavanja na kompaktima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6. Limes i neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Literatura 36

Sazetak 37

Summary 38

Zivotopis 39

Neprekidna preslikavanja 1

1. Uvod

Osnovni cilj ovog rada bio je obraditi neprekidna preslikavanja. Rad je osmisljen na nacin

da se najprije u poglavlju Osnovni topoloski pojmovi koje obuhvaca sljedece cjeline: Me-

trika, Topoloska struktura, Nutrina i zatvarac skupa, Povezanost, Kompaktnost te Limes

funkcije obrade svi vazni pojmovi koji ce trebati kako bi se mogla obraditi neprekidna

preslikavanja. Glavni dio rada cini poglavlje Neprekidna preslikavanja koje je takoder

podjeljeno na nekoliko cjelina ovisno o tome s kojeg prostora se promatra neprekidno

preslikavanje. U skladu s time najprije je obradena cjelina Neprekidna preslikavanja na

topoloskim prostorima u kojoj je definirano kada je neko preslikavanje topoloskih prostora

neprekidno te su navedena svojstva koja su karakteristicna za neprekidna preslikavanja na

tom prostoru. Zatim su u sljedecoj cjelini Neprekidna preslikavanja na metrickim pros-

torima definirana neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima i navedena svojstva

vezana uz neprekidnost koja su karakteristicna za metricki prostor. Na isti nacin obradena

je i Neprekidnost vektorskih funkcija vise varijabli. U cjelini Neprekidnost elementarnih

funkcija dokazano je da su sve elementarne funkcije neprekidne gdje god su definirane.

Na samom kraju obradena su neka svojstva neprekidnih preslikavanja kojima je domena

kompaktna te Limes i neprekidnost sto ujedno cini posljednju cjelinu u ovom poglavlju.

1


2. Osnovni topoloski pojmovi

2.1. Metrika

Definicija 2.1 Metrika ili udaljenost na skupu X je svako preslikavanje d : X×X → R,

za koje vrijedi:

(M1) d(x, y) ≥ 0 (pozitivnost)

(M2) d(x, y) = 0⇔ x = y (strogost)

(M3) d(x, y) = d(y, x) (simetrija)

(M4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trokuta)

Metricki prostor je par (X, d) skupa X i metrike d na X. Ako se umjesto uvjeta

(M2) zahtjeva slabiji uvjet (M2)′ x = y ⇒ d(x, y) = 0 dobiva se pseudometrika, odnosno

pseudometricki prostor.

Definicija 2.2 Neka su (X, dx) i (Y, dy) metricki prostori. Kazemo da preslikavanje

f : X → Y cuva udaljenost ako je dy(f(x1), f(x2)) = dx(x1, x2) za svaki x1, x2 ∈ X.

Ako je preslikavanje f jos i bijekcija, onda kazemo da je f izometrija. Metricki prostori

(X, dx), (Y, dy) su izometricni ako postoji izometrija f : X → Y .

U metrickom prostoru (X, d) definira se udaljenost tocke x0 ∈ X od podskupa A ⊆ X

formulom d(x0, A) = inf{d(x0, a) : a ∈ A}. Skup {d(x0, a) : a ∈ A} omeden je odozdo, jer

je d(x0, a) ≥ 0 za svaki a ∈ A. Zato za svaki A 6= ∅ infimum postoji, pa je d(x0, A) posve

odreden realan broj i vrijedi d(x0, A) ≥ 0.

U metrickom prostoru (X, d) definira se takoder udaljenost izmedu dva podskupa

A,B ∈ X, i to formulom d(A,B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Skup A u metrickom prostoru (X, d) je omeden ako postoji M > 0 takav da je

d(a, a′) < M za sve a, a′ ∈ A. Za preslikavanje f : T → X skupa T u metricki pros-

tor (X, d) kaze se da je omedeno ako je f(T ) ⊂ X omeden skup. Naime, omedeno

preslikavanje f : T → X za T = N je omeden niz. Ako je (X, d) metricki prostor i ako

je skup A ⊆ X omeden, onda postoji realan broj diam(A) = sup{d(a, a′) : a, a′ ∈ A},koji se zove dijametar skupa A; ako je A neomedeno, uzima se diam(A) = ∞. Uvijek je

diam(A) ≥ 0.

2


2.2. Topoloska struktura

U svakom metrickom prostoru (X, d) mozemo definirati kuglu sa sredistem u tocki x0 ∈ Xradijusa r ∈ R, r > 0, kao skup K(x0, r) = {x ∈ X : d(x0, x) < r}.

Za r1 ≤ r2 je K(x0, r1) ⊆ K(x0, r2).

Definicija 2.3 Skup U ⊆ X iz metricnkog prostora (X, d) je otvoren ako se moze pri-

kazati kao unija neke familije kugala iz prostora (X, d). Prazan skup ∅ ⊆ X takoder

smatramo otvorenim.

Teorem 2.1 Skup U ⊆ X u metrickom prostoru (X, d) je otoren ako i samo ako za svaku

tocku x0 ∈ U postoji kugka K(x0, r) ⊆ U.

Za dokaz teorema potrebna nam je sljedeca lema:

Lema 2.1 Neka je K(y0, s) kugla u metrickom prostoru (X, d) i neka je x0 ∈ K(y0, s).

Tada postoji broj r > 0 za koji je kugla K(x0, r) ⊆ K(y0, s); takav je npr. broj r =

s− d(y0, x0).

Dokaz. Kako je x0 ∈ K(y0, s) slijedi da je d(y0, x0) < s zbog toga vrijedi r =

s − d(y0, x0) > 0. Ako je x ∈ K(x0, r) slijedi da je d(x0, x) < r = s − d(y0, x0) onda

je d(y0, x) ≤ d(y0, x0) + d(x0, x) < s, pa je x ∈ K(y0, s), sto dokazuje da je K(x0, r) ⊆K(y0, s).

Dokazimo sada prethodni Teorem 2.1.

Dokaz. Neka je U otvoren skup i x0 ∈ U. Iz definicije otvorenog skupa postoji kugla

K(y0, s) ⊆ U koja sadrzi x0, x0 ∈ K(y0, s). Prema prethodno dokazanoj lemi mozemo

zakljuciti da postoji r > 0, za koji vrijedi x0 ∈ K(x0, r) ⊆ K(y0, s) ⊆ U.

Obrnuto, prema pretpostavci, za svaki x ∈ U postoji kugla K(x, rx) ⊆ U , pa je⋃x∈U K(x, rx) ⊆ U. S druge strane je U =

⋃x∈U{x} ⊆

⋃x∈U K(x, rx).

Dakle vidimo da je skup U =⋃x∈U K(x, rx) unija kugala, pa je otvoren. �

Teorem 2.2 U metrickom prostoru (X, d) familija U svih otvoreni skupova U ⊆ X ima

ova svojstva:

(T1) Unija svake familije clanova iz U je clan iz U.

(T2) Presjek konacno clanova iz U je clan iz U.

(T3) ∅, X ∈ U.

3


Dokaz. (T1) slijedi kao posljedica definicije otvorenog skupa kao unije neke familije

otvorenih kugala.

(T2) dovoljno je tvrdnju dokazati za slucaj kada imamo dva clana. Uzmimo da su V1, V2 ∈U. Prema Teoremu 2.1 dovoljno je dokazati da za svaku tocku x0 ∈ V1

⋂V2 postoji

kugla oko x0 sadrzana u V1⋂V2. Kako su skupovi Vi otoreni i x0 ∈ Vi, i = 1, 2, prema

Teoremu 2.1 postoje kugle K(x0, ri) ⊆ Vi, i = 1, 2. Za r0 = min{r1, r2} > 0 je K(x0, r0) ⊆K(x0, ri) ⊆ Vi, i = 1, 2, pa je K(x0, r0) ⊆ V1

⋂V2 cime je tvrdnja dokazana.

(T3) takoder vrijedi jer je unija prazne familije kugala prazan skup, dok je unija svih

kugala upravo X. �

Familija U svih otvorenih skupova metrickog prostora (X, d) zove se topoloska struk-

tura ili topologija prostora (X, d).

Definicija 2.4 Topoloski prostor je par (X,U) skupa X i familije U poskupova od X za

koje vrijedi (T1), (T2) i (T3). Familija U se zove topoloska struktura ili topologija prostora

(X,U), a njeni clanovi otvoreni skupovi topoloskog prostora (X,U).

Definicija 2.5 Neka je (X,U) topoloski prostor. Baza topologije U je familija B ⊆ U

otvorenih skupova koja ima svojstvo da se svaki otvoreni skup U ∈ U moze prikazati kao

unija neke familije elemenata iz B.

Naprimjer, u metrickom prostoru je baza skup svih kugala u tom prostoru.

Definicija 2.6 Neka su (X,U), (Y,V) topoloski prostori i f : X → Y neko preslikavanje.

Kazemo da je f homeomorfizam ako su ispunjeni ovi uvjeti:

(H1) f : X → Y je bijekcija,

(H2) U ∈ U⇒ f(U) ∈ V

(H3) V ∈ V⇒ f−1(V ) ∈ U

Kazemo da su prostori X i Y homeomorfni ako postoji barem jedan homeomorfizam

f : X → Y .

U tocki Neprekidna preslikavanja biti ce pokazano da je f homeomorfizam onda i samo

onda ako su f i inverz f−1 neprekidna preslikavanja.

Odnos topologije metrickog prostora (X, d) i topologije njegovih potprostora (Y, d), Y ⊆X, opisan je sljedecim teoremom.

Teorem 2.3 Neka je (Y, d) potprostor metrickog prostora (X, d). Da bi skup V ⊆ Y bio

otvoren u prostoru (Y, d), nuzno je i dovoljno da postoji skup U ⊆ X otvoren u prostoru

(X, d), za koji je U⋂Y = V .

4


Dokaz. Nuznost. Uzmimo da je V ⊆ Y otvoren skup iz Y . Prema Teoremu 2.1,

za svaki x ∈ V postoji kugla KY (x, rx) = {y ∈ Y : d(x, y) < rx} u prostoru Y takva da

vrijedi

x ∈ KY (x, rx) ⊆ V. (2.2.1)

Za kuglu K(x, rx) u prostoru X ocito vrijedi

Y⋂

K(x, rx) = KY (x, rx). (2.2.2)

Skup U =⋃x∈V

K(x, rx) je otvoren skup iz X i prema 2.2.1 i 2.2.2 je

U⋂Y =

⋃x∈V

KY (x, rx) = V .

Dovoljnost. Uzmimo da je U otvoren skup iz X za koji je V = U⋂Y. Iz cega slijedi

da za svaki x ∈ V ⊆ U postoji kugla K(x, rx) za koju je x ∈ K(x, rx) ⊆ U , pa imamo

x ∈ K(x, rx)⋂

Y ⊆ U⋂

Y = V. (2.2.3)

Iz 2.2.1 i 2.2.3 zakljucujemo da za svaki x ∈ V vrijedi x ∈ KY (x, rx) ⊆ V , na taj nacin je

dokazano da je skup V otvoren u Y . �

Definicija 2.7 Neka je (X,U) topoloski prostor, a Y ⊆ X podskup od X. Topoloski

prostor (Y,UY ) gdje je UY = {Y⋂U : U ∈ U} zove se potprostor prostora X, a UY

relativna topologija na Y .

5


2.3. Nutrina i zatvarac skupa

Definicija 2.8 Interior Int A skupa A ⊆ X u prostoru X je unija svih otvorenih skupova

U ⊆ X koji su sadrzani u A.

Int A je najveci otvoreni skup iz X koji je sadrzan u A, tj. Int A je otvoreni podskup

od A koji sadrzi svaki otvoreni podskup od A.

Teorem 2.4 Interior podskupova iz prostora X ima ova svojstva:

Int A ⊆ A (2.3.1)

Int (Int A) = Int A (2.3.2)

Int (A⋂

B) = Int A⋂

Int B (2.3.3)

Int X = X (2.3.4)

A ⊆ B ⇒ Int A ⊆ Int B (2.3.5)

A je otvoren⇔ A = Int A (2.3.6)

Dokaz. Relacije (2.3.1),(2.3.4) i (2.3.5) su ocigledno ispunjene. Ako je A otvoren

skup, onda je A ocito najveci otvoreni skup sadrzan u A pa je A = Int A. Obrnuto,

ako je A = Int A, onda je A otvoren jer je Int A uvijek otvoren skup, dakle, vrijedi

(2.3.6). Iz (2.3.6) neposredno slijedi (2.3.2). Nadalje, A⋂B ⊇ Int A

⋂Int B, a kako je

Int A⋂

Int B otvoreni skup, vrijedi da je Int (A⋂B) ⊇ Int A

⋂Int B. Obrnuta inkluzija

u (2.3.3) dobiva se primjenom (2.3.5) na A⋂B ⊆ A i A

⋂B ⊆ B. Time je teorem

dokazan. �

Primjer 2.1 Pokazimo da opcenito vrijedi Int (A⋃B) 6= Int A

⋃Int B. Ako uzmemo

da je A = [1, 2] i B = [2, 3], onda je Int (A⋃B) = (2, 3), a Int A

⋃Int B = (1, 2)

⋃(2, 3).

Definicija 2.9 Okolina tocke x0 ∈ X u prostoru X je svaki skup O ⊆ X sa svojstvom da

je x0 sadrzan u interioru od O, x0 ∈ Int O. Familiju svih okolina tocke x0 oznacavamo

sa O(x0).

Ako postoji otvoren skup U iz X za koji je x0 ∈ U ⊆ O, onda je U ⊆ Int O, pa je O

okolina tocke x0. Na primjer prostor X je okolina svake svoje tocke.

Svaka okolina O tocke x0 sadrzi x0. Ako su Oi, i = 1, 2, okoline tocke x0, onda je

x0 ∈ Int O1

⋂Int O2 = Int(O1

⋂O2), pa je i O1

⋂O2 okolina tocke x0. Isto tako vrijedi i

da je nadskup svake okoline tocke x0 opet okolina od x0.

6


Definicija 2.10 Za tocku x ∈ D kazemo da je unutarnja tocka ako postoji otvoren skup

U takav da je x ∈ Int U ⊆ D.

Definicija 2.11 Kaze se da je skup A ⊆ X u prostoru X zatvoren, ako je X\A otvoren.

Definicija 2.12 Zatvarac Cl A skupa A ⊆ X iz prostora X je presjek svih zatvorenih

skupova koji sadrze A.

Teorem 2.5 Zatvarac podskupova iz prostora X ima ova svojstva:

A ⊆ Cl A (2.3.7)

Cl (Cl A) = Cl A (2.3.8)

Cl (A⋃

B) = Cl A⋃

Cl B (2.3.9)

A ⊆ B ⇒ Cl A ⊆ Cl B (2.3.10)

Cl ∅ = ∅ (2.3.11)

A je zatvoren⇔ A = Cl A (2.3.12)

Dokaz. Relacije (2.3.7), (2.3.10) i (2.3.11) su ocito ispunjene. Ako je A zatvoren skup

ocito je ujedno najmanji zatvoren skup koji sadrzi A, pa je A = Cl A. Obrnuto, ako je

A = Cl A, onda je A zatvoren skup jer je Cl A uvijek zatvoren skup, dakle vrijedi (2.3.12).

Iz (2.3.12) slijedi (2.3.8). Za dokaz jednakosti (2.3.9) primjenimo (2.3.10) pa dobijemo

(A ⊆ A⋃B) ⇒ (Cl A ⊆ Cl (A

⋃B)) i (B ⊆ A

⋃B) ⇒ (Cl B ⊆ Cl (A

⋃B)). Odakle

imamo Cl A⋃

Cl B ⊆ Cl (A⋃B). Nadalje, zbog (2.3.7) je A

⋃B ⊆ Cl A

⋃Cl B, a

Cl A⋃

Cl B je zatvoren skup koji sadrzi A⋃B. Kako je Cl (A

⋃B) najmanji takav skup

vrijedi Cl (A⋃B) = Cl A

⋃Cl B i time je jednakost (2.3.9) dokazana. �

Teorem 2.6 Neka je X prostor, a A ⊆ X proizvoljan podskup. Tada vrijedi Cl A =

X\Int(X\A).

Dokaz. Int(X\A) je otvoren skup sadrzan u X\A iz toga slijedi da je X\Int(X\A)

zatvoren skup koji sadrzi A pa nam je X\Int(X\A) ⊇ Cl A.

Obratno, kako je Cl A zatvoren skup koji sadrzi A slijedi da nam je X\Cl A otvoren

skup sadrzan u X\A. Zato je X\Cl A ⊆ Int(X\A), pa vrijedi da je Cl A ⊇ X\Int(X\A).

Na taj nacin dobivamo jednakost Cl A = X\Int(X\A). �

Definicija 2.13 Kazemo da je skup D ⊆ X gust na prostoru X ako je Cl D = X.

7


Teorem 2.7 Neka je A ⊆ R zatvoren neprazan skup koji je omeden odozdo. Tada je

inf A ∈ A, tj. skup A ima minimum. Analogno, ukoliko je A omeden odozgo, onda

supA ∈ A, tj. A ima maksimum.

Dokaz. Po definiciji infimuma je inf A ≤ x za svaki x ∈ A. Pretpostavimo suprotno,

da A nema minimum, tj. da inf A < x za svaki x ∈ A. Tada inf A /∈ A, pa inf A ∈ X\A.

A je zatvoren, pa je X\A otvoren, pa postoji interval oko inf A sadrzan u X\A, tj. postoji

r tako da je (inf A− r, inf A+ r) ⊂ X\A. Tada je inf A+ r2< x za svaki x ∈ A, sto je u

suprotnosti s definicijom infimuma. Analogno se dokazuje tvrdnja za supremum.�

Definicija 2.14 Neka je (X,U) toploski prostor i A ⊆ X. Tocka x0 ∈ X je gomiliste

(ili tocka gomilanja) skupa A ako svaka okolina tocke x0 sadrzi barem jednu tocku iz A

razlicitu od x0.

Za tocku skupa A koja nije njegovo gomiliste kazemo da je izolirana tocka skupa A.

Skup svih gomilista skupa A oznacavat cemo s A′.

Primjer 2.2 Ako je A = (0, 1]⋃{4}, onda je A′ = [0, 1]. Tocka x0 = 4 je izolirana

tocka.

Propozicija 2.1 Neka su A i B podskupovi metrickog prostora X. Ako je A ⊆ B onda

je A′ ⊆ B′.

Dokaz. Slijedi neposredno iz definicije gomilista. �

Definicija 2.15 Topoloski prostor (X,U) je Hausdorffov prostor ako i samo ako (∀x, y ∈X) (x 6= y) ∃ (U ∈ O(x) ∧ V ∈ O(y)) t.d. (U

⋂V = ∅).

8


2.4. Povezanost

Definicija 2.16 Za metricki prostor X kazemo da je nepovezan ako postoje neprazni

podskupovi U, V ⊆ X takvi da je X = U⋃V i U

⋂V = ∅. Prostor X je povezan ako nije

nepovezan, tj. ako se ne moze prikazati kao disjunktna unija dvaju nepraznih otvorenih

podskupova. Skup A ⊆ X je povezan ukoliko je A povezan kao topoloski potprostor.

Primjedba 2.1 Za podskup A metrickog prostora X ce povezanost znaciti da je povezan

kao potprostor od X, pa ce otvoren u prethodnoj definiciji znaciti otvoren obzirom na

A. Drugim rijecima, podskup A ⊆ X je povezan ukoliko ne postoje neprazni otvoreni

podskupovi U, V ⊆ X takvi da je A ⊆ U⋃V i (U

⋂V )⋂A 6= ∅.

Teorem 2.8 Segment [a, b] ⊆ R je povezan.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje neprazni, disjunktni, otvoreni u [a, b]

skupovi U i V takvi da je [a, b] = U⋃V . Uzmimo na primjer da je a ∈ U i neka je

c := inf V . Mora biti ili c ∈ U ili c ∈ V . Kako imamo da je a ∈ U i U je otvoren, postoji

r > 0 takav da vrijedi [a, a + r) ⊆ U = [a, b]\V . Zato je c 6= a. Nadalje je c 6= b, jer bi

inace bilo V = {b} sto nije otvoren skup u [a, b]. Zbog toga, kada bi bilo c ∈ V onda bi

postojao r > 0 takav da je (c− r, c+ r) ⊆ V , pa bi infimum skupa V bio manji od c. Sto

znaci da mora biti c ∈ U . No tada bi postojao r > 0 takav da je (c−r, c+r) ⊆ U pa bi infi-

mum skupa V bio veci od c. Na taj nacin dolazimo do kontradikcije, pa je [a, b] povezan. �

Primjer 2.3 a) Interval (a, b) ⊆ R je povezan.

b) Skupovi (a, b] i [a, b) su povezani.

c) Prostor R je povezan.

Za metricki prostor X kazemo da je putovima povezan ako se svake dvije tocke x0, x1 ∈X mogu spojiti putom, tj. postoji neprekidno preslikavanje γ : [0, 1] → X takvo da je

γ(0) = x0 i γ(1) = x1. Prema [10] otvoren skup u Rn je povezan ako i samo ako je

putovima povezan.

Otvoren skup U ⊆ Rn je povezan ako i samo ako za svake dvije tocke x i x′ ∈ U ,

postoji konacno mnogo tocaka x0 = x, x1, x2, ..., xk = x′ u U takvih da svi segmenti

[xi−1, xi] := {(1− t)xi−1 + txi : 0 ≤ t ≤ 1} leze u U , tj. [xi−1, xi] ⊆ U, i = 1, ..., k.

9


2.5. Kompaktnost

U matematickoj analizi vaznu ulogu imaju kompaktni prostori jer kompaktnost omogucuje

da se u odredenim situacijama beskonacno zamjeni konacnim, sto donosi veliko pojednos-

tavljenje.

Definicija 2.17 Neka je X metricki prostor. Za potprostor K ⊆ X kazemo da je kom-

paktan ukoliko svaki niz (xk) u K ima konvergentan podniz ciji je limes u K.

Teorem 2.9 Neka je K ⊆ X kompaktan potprostor metricnkog prostora X, a F ⊆ K

zatvoren podskup. Tada je i F kompaktan.

Iskazimo teorem koji ce nam trebati u dokazu Teorema 2.9

Teorem 2.10 Neka je X metricki prostor. Skup T ⊆ X je zatvoren ako i samo ako svaki

niz (xk) iz T koji konvergira u X, ima limes u T .

Dokaz. Vidi [10].

Dokaz Teorema 2.9:

Neka je (xk) proizvoljan niz u F . Onda je to i niz u K. Stoga postoji konvergentan

podniz (xkj) s limesom x0 ∈ K . Kako je F zatvoren, to je, prema Teoremu 2.10 x0 ∈ Fpa je F kompaktan. �

Teorem 2.11 Neka je K kompaktan potprostor metrickog prostora X. Tada je K potpuno

omeden, tj. za svaki ε > 0 postoje tocke x1, x2, ..., xk ∈ K takve da je K ⊆k⋃i=1

K(xi, ε).

Za skup {x1, x2, ..., xk} kaze se da je ε - mreza.

Dokaz. Uzmimo da je K kompaktan i pretpostavimo da nema svojstva iz teorema.

Tada postoji ε > 0 takav da se K ne moze pokriti s konacno mnogo ε-kugla. Neka je

x1 ∈ K proizvoljna tocka. Kako K * K(x1, ε) to postoji tocka x2 ∈ K\K(x1, ε). Buduci

K * K(x1, ε)⋃K(x2, ε), to postoji tocka x3 ∈ K\(K(x1, ε)

⋃K(x2, ε)). Nastavimo li

ovaj postupak dolazimo do niza (xk) u K tako da je xk ∈ K\⋃i<k

K(xi, ε).

S obzirom da je K kompaktan, postoji podniz (xk) koji konvergira nekoj tocki x0 ∈ K.

Uzmimo da je j0 ∈ N takav da je j ≥ j0 vrijedi d(xkj , x0) < ε/2. Tada za l > j ≥ j0

vrijedi d(xkl , xkj) ≤ d(xkl , x0) + d(x0, xkj) < ε pa je xkl ∈ K(xkj , ε), sto je u kontradikciji

s konstrukcijom niza (xk) jer je kl > kj.�

Propozicija 2.2 (i) Podskup A metrickog prostora (X, d) je ogranicen ako i samo ako

za svaku tocku x0 ∈ X postoji broj r > 0 takav da je A ⊆ K(x0, r).

10


(ii) Unija od konacno mnogo ogranicenih skupova je opet ogranicen skup.

(iii) Svaki podskup B ogranicenog skupa A je i sam ogranicen.

(iv) Podskup A ⊆ R je ogranicen ako i samo ako postoje brojevi m,M ∈ R takav da je

m ≤ a ≤M za sve a ∈ A.

Teorem 2.12 Neka je (xk) niz u metrickom prostoru X. Ako niz (xk) konvergira prema

tocki x0, onda je svaki podniz (xkj) tog niza konvergentan i limes mu je takoder x0.

Dokaz. Vidi [10].

Korolar 2.1 Kompaktan potprostor K metrickog prostora X omeden je i zatvoren.

Dokaz. Prema prethodno teoremu vrijedi da je K potpuno omeden sto znaci da je

sadrzan u konacnoj uniji kugala, koje su omedeni skupovi. Stoga iz Propozicije 2.2 slijedi

omedenost od K.

Neka je (xk) niz u K koji konvergira tocki x0 ∈ X. Kako je K kompaktan, postoji

podniz (xkj) s limesom u K. Prema Teoremu 2.12 slijedi da je limjxkj = lim

kxk pa je

x0 ∈ K. Stoga je prema Teoremu 2.10 skup K zatvoren.�

Sada cemo dokazati propozicije i teoreme koji ce nam biti poterebni kako bismo dokazali

Bolzano-Weierstrassov teorem za nizove koji ce nam biti poteban za daljnje dokaze.

Propozicija 2.3 Svaki niz (xk) realnih brojeva ima monoton podniz.

Dokaz. Vidi [10].

Propozicija 2.4 Svaki monoton i omeden niz realnih brojeva (xk) je konvergentan.

Dokaz. Vidi [10].

Definicija 2.18 Niz realnih brojeva (xk) je konvergentan ako postoji realan broj x0 ∈ Rsa svojstvom da za svaki ε > 0 postoji k0 ∈ N takav da za svaki k ≥ k0 vrijedi |xk−x0| < ε,

tj. (∀ε > 0) (∃k0 ∈ N) k ≥ k0 ⇒ |xk − x0| < ε. Realan broj x0 zovemo limes ili granicna

vrijednost niza (xk).

Propozicija 2.5 Neka je (xk) niz u metrickom prostoru (X, d). Ako niz (xk) konvergira

prema tocki x0 ∈ X, onda i svaki njegov podniz konvergira prema x0.

11


Dokaz. Uzmimo da je (xjk) podniz niza (xk). Iz definicije limesa imamo da za svaki

ε > 0 postoji k0 ∈ N takav da za svaki k ≥ k0 vrijedi d(xk, x0) < ε. Iz Definicije 2.18

slijedi jk ≥ k pa nam je d(xjk , x0) < ε, k ≥ k0. Na taj nacin smo pokazali da podniz (xjk)

konvergira prema x0.�

Teorem 2.13 U euklidskom prostoru Rn niz (xk), xk = (x1k, x2k, ..., x

nk), konvergira prema

tocki x0 = (x10, ..., xn0 ) onda i samo onda ako xik → xi0 za svaki i = 1, ..., n.

Dokaz. Pretpostavimo da xk → x0. Treba pokazati da xik → xi0 za svaki i = 1, ..., n.

Neka je ε > 0. Prema definiciji konvergencije nizova slijedi da postoji k0 ∈ N takav da

je d(xk, x0) < ε za svaki k ≥ k0. Iz |xik − xi0| ≤ d(xk, x0), i = 1, ..., n, za svaki k ≥ k0

dobivamo |xik − xi0| < ε, i = 1, ..., n. Iz toga slijedi da xik → xi0 za svaki i = 1, ..., n.

Obratno, pretpostavimo da xik → xi0 za svaki i = 1, ..., n. Neka je ε > 0. Tada postoje

brojevi ki0 ∈ N, i = 1, ..., n, takvi da za sve k ≥ ki0 vrijedi: |xik − xi0| < ε√n. Uzmimo da je

k0 := max{k10, ..., kn0 }. Iz toga za svaki k ≥ k0 dobivamo d(xk, x0) =√∑n

i=1(xik − xi0)2 <√∑n

i=1(ε√n)2 = ε pa je lim

k→∞xk = x0.�

Teorem 2.14 (Bolzano - Weierstrassov teorem za nizove) Svaki omeden niz u

Rn ima konvergentan podniz.

Dokaz. Matematickom indukcijom po dimenziji n prostora Rn napravit cemo dokaz.

Za n = 1 prema Propoziciji 2.3 niz (xk) ima monoton podniz (xjk), koji je zatim prema

Propoziciji 2.4 konvergentan.

Pretpostavimo da teorem vrijedi u Rn te dokazimo da vrijedi i u Rn+1. Uzmimo da

je xk = (x1k, x2k, ..., x

nk , x

n+1k ), k ∈ N, omeden niz u Rn+1. Tada je xk = (x1k, x

2k, ..., x

nk),

k ∈ N omeden niz u Rn, pa po induktivnoj pretpostavci ima konvergentan podniz. Bez

smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da je (xk) konvergentan niz. Nadalje, niz

(xn+1k ) je omeden ali ne mora biti i konvergentan. Prema slucaju koji smo prethodno

dokazali za n = 1 on ima konvergentan podniz (xn+1jk

). Prema Propoziciji 2.5 podniz

konvergentnog niza je i sam konvergentan pa nam je (xjk) konvergentan niz u Rn. Tada

prema Teoremu 2.13 slijedi da je i podniz (xjk) konvergentan.�

Teorem 2.15 Skup K ⊆ Rn je kompaktan ako i samo ako je omeden i zatvoren.

Dokaz.=⇒ Specijalan slucaj Korolara 2.1.

⇐= Neka jeK omeden i zatvoren. Neka je (xk) niz uK. S obzirom da je taj niz omeden

prema Bolzano - Weierstrassovom Teoremu 2.14 on ima konvergentan podniz. Stoga zbog

zatvorenosti skupa K, limes tog podniza lezi u K, pa slijedi K je kompaktan.�

Primjer 2.4 Primjeri kompaktnih skupova u Rn:

12


(i) segment [a, b] ⊆ R

(ii) (zatvoren) paralelepiped [a1, b1]× [a2, b2]× ...× [an, bn] ⊆ Rn

(iii) zatvorena kugla K(x0, r) = {x ∈ Rn : d(x, x0) ≤ r}

Definicija 2.19 Neka je X prostor, a S ⊆ X. Za familiju U podskupova od X kazemo da

je pokrivac skupa S ako je S ⊆⋃U∈U

U. Za pokrivac U od S kazemo da je otvoreni pokrivac

ako su svi clanovi U ∈ U otvoreni skupovi. Neka je X metricki prostor, a U pokrivac

skupa S ⊆ X. Broj λ > 0 (ukoliko postoji) takav da za svaki podskup A ⊆ S za koji je

diam A ≤ λ, postoji U ∈ U takav da je A ⊆ U , naziva se Lebesgueov broj pokrivaca U .

Teorem 2.16 (O Lebesgueovom broju) Neka je K ⊆ X kompaktan podskup metrickog

prostora X. Tada za svaki otvoren pokrivac U od K postoji Lebesgueov broj.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji otvoren pokrivac U kompaktnog skupa

K za koji Lebesgueov broj ne postoji. Tada ∀k ∈ N ∃ skup Ak ⊆ K s diam Ak ≤ 1k,

koji nije sadrzan niti u jednom clanu pokrivaca U . Za svaki k ∈ N odaberemo tocku

xk ∈ Ak ⊆ K. K je kompaktan pa niz (xk) ima konvergentan podniz (xkj) s limesom

x0 ∈ K. U je pokrivac od K pa ∃U ∈ U takav da je x0 ∈ U. S obzirom da je U otvoren,

postoji r > 0 takav da je K(x0, r) ⊆ U , a kako je limjxkj = x0, postoji j0 ∈ N takav da

je za svaki j ≥ j0 vrijedi d(xkj , x0) <r2. Neka je j ≥ max{j0, r2}. Onda za svaku tocku

x ∈ Akj vrijedi d(x, x0) ≤ d(x, xkj) + d(xkj , x0) < diamAkj + r2≤ 1

kj+ r

2≤ 1

j+ r

2≤ r pa

je Akj ⊆ K(x0, r) ⊆ U ∈ U , sto je u suprotnosti sa izborom skupova Ak. �

Teorem 2.17 Neka je X metricki prostor. Skup K ⊆ X je kompaktan ako i samo ako se

svaki otvoreni pokrivac od K moze reducirati na konacan potpokrivac, tj. za svaki otvoreni

pokrivac U = {Uα : α ∈ A} od K postoje indeksi α1, ...αk ∈ A takvi da je K ⊆k⋃i=1

Uαi.

Dokaz. =⇒ Uzmimo da je K kompaktan, a U = {Uα : α ∈ A} otvoreni pokrivac od

K, te je λ > 0 Lebesgueov broj pokrivaca U koji prema Teoremu 2.16 postoji. Prema

Teoremu 2.11 K je potpuno omeden pa postoje tocke x1, x2, ..., xk ∈ K takve da je K ⊆⋃ki=1K(xi, λ/2). S obzirom da je diamK(xi, λ/2) ≤ λ postoje indeksi αi ∈ A takvi da je

K(xi, λ/2) ⊆ Uα1 , i = 1, ...k, stoga je {Uα1 , ..., Uαk} trazeni konacni potpokrivac od U .

⇐= Uzmimo da K ima svojstvo da se svaki otvoreni pokrivac od K moze reducirati

na konacan potpokrivac. Neka je (xk) proizvoljan niz u K. Pretpostavimo da (xk) nema

gomiliste u K, tj. da niti jedan podniz od (xk) ne konvergira u K. Tada oko svake

tocke x ∈ K postoji okolina U(x) koja sadrzi najvise konacno mnogo clanova niza (xk).

13


Kako je familija {U(x) : x ∈ K} ocito otvoren pokrivac od K po pretpostavci postoje

tocke q1, ..., qn ∈ K takve da je {U(q1), ..., U(qn)} pokrivac od K. Svaki od skupova U(qi)

sadrzi samo konacno mnogo clanova niza (xk) i na taj nacin dolazimo do kontradikcije s

cinjenicom da je skup N beskonacan.�

Svojstvo kojim je u prethodnom teoremu karakterizirana kompaktnost cesto se naziva

Heine- Borelovo svojstvo. Ono ne koristi niti nizove, niti metriku, pa se ovim svojstvom

upravo i definira kompaktnost u opcenitim topoloskim prostorima sto cemo definirati u

nastavku.

Definicija 2.20 Kazemo da je familija S = (Sα, α ∈ A) podskupova Sα skupa X pokrivac

skupa X ako je X =⋃α∈A Sα. Pokrivac je konacan (prebrojiv) ako je A konacan (pre-

brojiv) skup. Potfamilija S ′ = (Sα, α ∈ A′), A′ ⊆ A, je potpokrivac pokrivacna S ako je i

sama pokrivac skupa X.

Definicija 2.21 Kazemo da je pokrivac T = (Tβ, β ∈ B) skupa X upisan u pokrivac

S = (Sα, α ∈ A), ako za svaki β ∈ B postoji α ∈ A takav da je Tβ ⊆ Sα. Jos se govori

da T usitnjuje (profinjuje) S ili da je T usitnjenje (profinjenje) od S i pise se S ≤ T ili

T ≥ S.

Svaki potpokrivac S ′ od S usitnjuje S.

Definicija 2.22 Neka je X topoloski prostor. Za pokrivac U = (Uα, α ∈ A) skupa X

kazemo da je otvoren pokrivac prostora X ako je svaki od skupova Uα, α ∈ A, otvoren u

X.

Definicija 2.23 Topoloski prostor X je kompaktan ako se u svaki otvoreni pokrivac Uprostora X moze upisati konacan otvoren pokrivac V prostora X. Skup Y ⊆ X je kompak-

tan ako je Y kao potprostor prostora X kompaktan. Skup Y ⊆ X je relativno kompaktan

u X ako je skup Cl Y kompaktan.

Teorem 2.18 Prostor X je kompaktan ako i samo ako za svaki otvoreni pokrivac U od

X postoji konacan potpokrivac.

Dokaz. Uzmimo da je U = (Uα, α ∈ A) proizvoljan otvoren pokrivac kompaktnog

prostora X. Onda postoji konacan otvoren pokrivac V = (V1, ..., Vn) za koji je V ≥ U . Za

svaki i ∈ {1, ..., n} postoji αi ∈ A takav da je Vi ⊆ Uαi. Tada je X ⊆

n⋃i=1

Vi ⊆n⋃i=1

Uαi⊆ X,

pa je (Uα1 , ..., Uαn) konacan potpokrivac pokrivaca U . Obrnuta implikacija je ocita jer

svaki potpokrivac U ′ pokrivaca U usitnjuje U . �

14


Kompaktnost prostora je toplosko svojstvo, tj. ako su prostori X i Y homeomorfni

pa je jedan od njih kompaktan, onda je i drugi kompaktan sto cemo dokazati u sljedecem

teoremu.

Teorem 2.19 Neka su prostori X i Y homeomorfni. X je kompaktan ako i samo ako je

Y kompaktan.

Dokaz. Po pretpostavci postoji homeomorfizam h : X → Y . Neka je V = {Vα : α ∈A} bilo koji otvoreni pokrivac za Y , tada je U = {Uα = f−1(Vα) : α ∈ A} otvoreni

pokrivac za X. S obzirom da je X kompaktan po pretpostavci, po Teoremu 2.18 postoji

konacni potpokrivac U0 = {Uα1 , Uα2 , ..., Uαk}. No tada je V0 = {Vα1 , Vα2 , ..., Vαk

} konacni

pokrivac od Y , sto pokazuje da je Y kompaktan. �

Teorem 2.20 Neka je B baza topologije prostora X. Tada se u svaki otvoreni pokrivac

U prostora X moze upisati otvoreni pokrivac V ciji su clanovi elementi od B.

Dokaz. Neka je U = (Uα, α ∈ A) otvoren pokrivac za X i neka je B = {Vβ, β ∈ B}baza topologije prostora X. Neka je B0 = {β ∈ B : ∃α ∈ A, Vβ ⊆ Uα}. Za svaki x ∈ Xpostoji α ∈ A takav da je x ∈ Uα jer je U pokrivac za X. Imamo da je Uα otvoren skup, a

B je baza topologije, zbog toga postoji β ∈ B takav da je x ∈ Vβ ⊆ Uα, pa je β ∈ B0. To

dokazuje da je V = (Vβ : β ∈ B0) otvoren pokrivac za X. Iz definicije skupa B0 je ocito

da je pokrivac V upisan u pokrivac U . �

Primjer 2.5 Svaki konacan prostor je kompaktan.

Primjer 2.6 Svaki kompaktni metricki prostor je omeden.

Zaista, ako je x0 ∈ X, onda kugle K(x0, r), r > 0, tvore otvoren pokrivac za X. Zbog

kompaktnosti je X sadrzan vec u konacnoj unijin⋃i=1

K(x0, ri) omedenih skupova K(x0, ri),

pa je i sam omeden. Prostor R realnih brojeva nije kompaktan jer nije omeden.

15


2.6. Limes funkcije

Definicija 2.24 Neka su X, Y metricki prostori, a D ⊆ X podskup. Za preslikavanje

f : D → Y kazemo da ima limes u gomilistu x0 ∈ X skupa D, tj. x0 ∈ D′, ukoliko postoji

L ∈ Y takav da za svaku otvorenu okolinu V ⊆ Y tocke L postoji otvorena okolina U ⊆ X

tocke x0 takva da je f(U⋂

(D\{x0})) ⊆ V .

U tom slucaju L zovemo limesom ili granicnom vrijednosti preslikavanja f u tocki x0

i pisemo L = limx0f . Koriste se i oznake lim

x→x0f , lim

x→x0f(x),a govori se i da ’f tezi ka L

kada x tezi prema x0’, i pise ’f(x)→ L za x→ x0’.

Napomena 2.1 Limes ne ovisi o tome da li je funkcija f definirana u tocki x0. U slucaju

da je funkcija f definirana u tocki x0 limes ne ovisi o tome kako je ona definirana.

Teorem 2.21 (O jedinstvenosti limesa funkcije) Neka su X i Y metricki prostori,

D ⊆ X podskup. Ukoliko preslikavanje f : D → Y ima limes u tocki x0 ∈ D′ onda je taj

limes jedinstven.

Dokaz. Pretpostavimo da dvije razlicite tocke L1, L2 ∈ Y imaju svojstvo iz definicije

limesa i neka su V1, V2 ⊆ Y disjunktne otvorene okoline tih tocaka, tj. L1 ∈ V1, L2 ∈ V2,V1⋂V2 = ∅ (mozemo uzeti Vi = K(Li,

1

2d(L1, L2)), i = 1, 2). Po definiciji limesa, postoje

otvorene okoline U1, U2 ⊆ X tocke x0 takve da je f(Ui⋂

(D\x0)) ⊆ Vi, i = 1, 2. Medutim

tada bi za otvorenu okolinu U = U1

⋂U2 tocke x0 vrijedilo f(U

⋂(D\{x0})) ⊆ V1

⋂V2 =

∅, na taj nacin smo dobili kontradikciju. �

Propozicija 2.6 (O limesu restrikcije) Neka su X i Y metricki prostori, D ⊆ X

podskup i f : D → Y preslikavanje, te neka je S ⊆ D. Ako f ima limes u tocki x0 ∈ S ′,onda i restrikcija f|S : S → Y ima limes x0 i ta su dva limesa jednaka, tj. lim

x→x0f|S =

limx→x0

f .

Dokaz. Prema Propoziciji 2.1 slijedi S ′ ⊆ D′ stoga tvrdnja slijedi neposredno iz

definicije limesa.�

16


3. Neprekidna preslikavanja

3.1. Neprekidna preslikavanja na topoloskim prostorima

Definicija 3.1 Neka su X, Y topoloski prostori i f : X → Y preslikavanja. Kazemo da

je preslikavanje f neprekidno (neprekinuto, kontinuirano) u tocki x0 ∈ X ako za svaku

otvorenu okolinu V tocke f(x0) u Y postoji otvorena okolina U tocke x0 u X takva da je

f(U) ⊆ V . U protivnom slucaju kaze se da je f prekidno (prekinuto, diskontinuirano) u

tocki x0. Kazemo da je preslikavanje f : X → Y neprekidno na skupu A ⊆ X ako je f

neprekidno u svakoj tocki x ∈ A. Ako je f neprekidno na X, onda krace govorimo da je

preslikavanje f : X → Y neprekidno.

Teorem 3.1 Neka su X, Y, Z topoloski prostori i neka su dana preslikavanja f : X → Y ,

g : Y → Z i tocke x0 ∈ X, y0 = f(x0) ∈ Y . Ako je preslikavanje f neprekidno u x0 i

preslikavanje g neprekidno u y0, onda je kompozicija h = g ◦ f : X → Z neprekidna u x0.

Dokaz. Uzmimo da je W proizvoljna otvorena okolina tocke z0 = h(x0) = g(f(x0)) =

g(y0). Onda postoji otvorena okolina V tocke y0 za koju vrijedi g(V ) ⊆ W jer je g

neprekidna u y0. Preslikavanje f je neprekidno u x0 te postoji otvorena okolina U tocke

x0 za koju vrijedi f(U) ⊆ V . Iz toga vidimo da je h(U) = g(f(U)) ⊆ g(V ) ⊆ W cime je

teorem dokazan. �

Primjedba 3.1 Ako je f : D → Y neprekidno preslikavanje i A ⊆ D, tada je i restrikcija

f|A : A→ Y takoder neprekidna.

Primjer 3.1 a) Neka je (X,U) topoloski prostor. Identicno preslikavanje 1X : X → X

definirano formulom 1X(x) = x, x ∈ X je neprekidno za svaki prostor X. Uzmimo

da je x0 ∈ X i neka je V bilo koja otvorena okolina od 1X(x0). Iz Definicije 3.1

slijedi da treba pronaci otorenu okolinu U tocke 1X(x0) takvu da je 1X(U) ⊆ V . S

obzirom da je 1X(x0) = x0, dovoljno je staviti U := V .

b) Neka je (X,U) topoloski prostor te neka je D ⊆ X. Inkluzija i : D → X definirana

sa i(x) = x, x ∈ D je neprekidno preslikavanje. Naime, kako je inkluzija restrikcija

identicnog preslikavanja prema Primjedbi 3.1 slijedi da je neprekidna.

c) Neka su (X,U) i (Y,V) topoloski prostori te neka je y0 ∈ Y . Konstantno presli-

kavanje c : X → Y definirano sa c(x) = y0, x ∈ X neprekidno je na X. Neka je

x0 ∈ X te neka je V bilo koja otvorena okolina tocke c(x0) = y0 u Y . Tada za svaku

otvorenu okolinu U oko x0 u X vrijedi f(U) = {y0} ⊆ V .

17


d) Koordinatne projekcije pi : Rn → R, i = 1, ..., n su neprekidna preslikavanja. Uz-

mimo da je x0 = (x01, ..., x0n) ∈ Rn te neka je ε > 0. Treba pokazati da postoji δ > 0

takav da je d(pi(x), pi(x0)) < ε za svaki x ∈ K(x0, δ).

Zbog toga sto je d(pi(x), pi(x0)) = |xi − x0i | ≤ d(x,x0) =

√√√√ n∑k=1

(xk − x0k)2 za δ > 0

mozemo uzeti bilo koji realan broj manji od ε.

e) Neka je (X,+, ·) realan vektorski prostor. Norma ‖ · ‖ : X → R je neprekidno

preslikavanje. Treba pokazati da za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da je∣∣‖x‖ −

‖x0‖∣∣ < ε za svaki x ∈ X takav da je ‖x− x0‖ < δ. Dokazimo najprije da za svaki

x ∈ X vrijedi nejednakost ∣∣‖x‖ − ‖x0‖∣∣ ≤ ‖x− x0‖ (3.1.1)

Navedena nejednakost 3.1.1 ekvivalentna je nejednakosti −‖x−x0‖ ≤ ‖x‖−‖x0‖ ≤‖x− x0‖. Pokazimo da vrijedi desna strana nejednakosti. Primjenom nejednakosti

trokuta imamo ‖x‖ = ‖(x − x0) + x0)‖ ≤ ‖x − x0‖ + ‖x0‖ iz cega slijedi da je

‖x‖−‖x0‖ ≤ ‖x−x0‖. Na slican nacin zamjenom x i x0 pokazuje se da vrijedi lijeva

strana nejednakosti. Time je nejednakost 3.1.1 dokazana. Zbog 3.1.1 za trazeni δ

mozemo uzeti bilo koji broj manji od ε. Tada za svaki x takav da je d(x, x0) =

‖x− x0‖ < δ vrijedi∣∣‖x‖ − ‖x0‖∣∣ ≤ ‖x− x0‖ < δ < ε.

Teorem 3.2 Neka je X, Y topoloski prostori, a f : X → Y neko preslikavanje. Tada su

ova svojstva medusobno ekvivalentna:

(i) f je neprekidno preslikavanje.

(ii) Za svaki otvoreni skup V ⊆ Y je i skup f−1(V ) otvoren u X.

(iii) Za svaki zatvoren skup F ⊆ Y je i skup f−1(F ) zatvoren u X.

(iv) Za svaki skup A ⊆ X je f(ClA) ⊆ Clf(A).

Dokaz.

(i) ⇒ (ii) Uzmimo da je V otvoren skup iz Y . Treba pokazati da je f−1(V ) otvoren

skup u X. Uzmimo da je x ∈ f−1(V ). S obzirom da je V otvorena okolina tocke

f(x), a f po pretpostavci neprekidna funkcija slijedi da postoji otvorena okolina U

tocke x takva da je f(U) ⊆ V . Iz toga imamo da je U ⊆ f−1(V ). Zbog toga je

f−1(V ) =⋃

x∈f−1(V )

{x} ⊆⋃

x∈f−1(V )

U ⊆⋃

x∈f−1(V )

f−1(V ) = f−1(V ). Iz toga imamo da

18


je f−1(V ) =⋃

x∈f−1(V )

U . S obzirom da je proizvoljna unija otvorenih skupova opet

otvoren skup dokazali smo tvrdnju.

(ii) ⇒ (iii) Uzmimo da je F ⊆ Y zatvoren skup. Onda je V = Y \F otvoren skup pa iz (ii)

slijedi da je skup f−1(Y \F ) otvoren u X. S obzirom da je f−1(F ) = X\f−1(Y \F )

zakljucujemo da je f−1(F ) zatvoren u X.

(iii) ⇒ (iv) Uzmimo da je A proizvoljan podskup od X. Prema (iii) tada imamo da je

skup f−1(Cl f(A)) zatvoren u X. Kako je A ⊆ f−1(f(A)) ⊆ f−1(Cl f(A)) i kako

je Cl A najmanji zatvoren skup koji sadrzi A, vidimo da je Cl A ⊆ f−1(Cl f(A)).

Zbog toga je f(Cl A) ⊆ Cl f(A).

(iv) ⇒ (i) Uzmimo da je V otvorena okolina tocke f(x) u Y . Promotrimo sada skup A =

f−1(Y \V ) = X\f−1(V ). Vidimo da tocka x ne pripada skupu Cl A jer bi u slucaju

da pripada, prema (iv), bilo f(x) ∈ f(ClA) ⊆ Cl f(A) = f(f−1(Y \V )) ⊆ Cl (Y \V ),

a to je nemoguce jer je V otvorena okolina tocke f(x), pa prema Teoremu 2.6 slijedi

f(x) ∈ Int V = Y \Cl (Y \V ). Prema tome, x ∈ X\Cl A = X\Cl (X\f−1(V )) =

Int f−1(V ). To znaci da je U = f−1(V ) otvorena okolina tocke x za koju je f(U) ⊆ V .

Time je Teorem 3.2 dokazan. �

Teorem 3.3 Neka su X i Y toploski prostori i f : X → Y neko preslikavanje. Preslika-

vanje f je homeomorfizam ako i samo ako postoji presliksavanje g : Y → X takvo da je

g ◦ f = 1x, f ◦ g = 1y, te da su i f i g neprekidna preslikavanja.

Dokaz. Ukoliko su uvjeti teorema ispunjeni, onda je f : X → Y bijekcija. S obzirom

da je f neprekidno, vidimo da V ∈ V povlaci f−1(V ) ∈ U, a s obzirom je i g = f−1 nepre-

kidno, zakljucujemo da U ∈ U povlaci f(U) = g−1(U) ∈ V. Stoga je f homeomorfizam.

Analogno se zakljucuje i u obrnutom smjeru. �

Teorem 3.4 Neka su X, Y topoloski prostori i neka je f : X → Y preslikavanje nepre-

kidno u tocki x0 ∈ X. Ako niz (xn) iz X konvergira prema tocki x0, onda niz (f(xn)) iz

Y konvergira prema tocki (f(x0)).

Dokaz. Uzmimo da je V proizvoljna otvorena okolina tocke f(x0). Po definiciji

neprekidnosti postoji otvorena okolina U tocke x0 za koju je f(U) ⊆ V . Znamo da

je x0 = lim(xn) pa postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 povlaci xn ∈ U . Stoga slijedi

f(xn) ∈ f(U) ⊆ V , za n ≥ n0 cime je tvrdnja dokazana. �

Teorem 3.5 Neka su f1 : X → Y i f2 : X → Y neprekidna preslikavanja topoloskog

prostora X u Hausdorffov prostor Y . Tada je skup A = {x ∈ X : f1(x) = f2(x)} zatvoren

u X.

19


Dokaz. Uzmimo da je D = X\A. Treba dokazati da je D otvoren skup. Neka je

x ∈ D znaci f1(x) 6= f2(x). Kako je Y Hausdorffov prostor postoje disjunktne otvorene

okoline V1 oko f1(x) i V2 oko f2(x). Zbog neprekidnosti funkcija f1 i f2 postoje otvorene

okoline U1 i U2 tocke x za koje je f1(U1) ⊆ V1, f2(U2) ⊆ V2. Skup U = U1

⋂U2 je otvoren

te sadrzi tocku x i vrijedi f1(U) ⊆ V1, f2(U) ⊆ V2. Zbog toga je U ⊆ D jer imamo

V1⋂V2 = ∅. Tada vrijedi D ⊆

⋃x∈D

U ⊆⋃x∈D

D = D. Iz toga slijedi D =⋃x∈D

U . S obzirom

da je unija svake familije otvorenih skupova otvoren skup slijedi da je D otvoren.

Korolar 3.1 Ako je Y Hausdorffov prostor, a neprekidna preslikavanja f1, f2 : X → Y

podudaraju se na skupu D ⊆ X koji je gust na X, onda je f1 = f2.

Dokaz. Neka je A = {x ∈ X : f1(x) = f2(x)} zatvoren sto slijedi iz Teorema 3.5. Po

pretpostavci vrijedi D ⊆ A, pa imamo X = Cl D ⊆ Cl A = A tj. A = X �

Teorem 3.6 Neka su f1 : X → R i f2 : X → R neprekidna preslikavanje topoloskog pros-

tora X u R. Tada je skup A = {x ∈ X : f1(x) ≤ f2(x)} zatvoren u X.

Dokaz Teorema 3.6 je analogan dokazu Teorema 3.5.

Korolar 3.2 Neka su f1 : X → R, f2 : X → R neprekidna preslikavanja i neka je D ⊆ X

skup gust na X. Ako je f1(x) ≤ f2(x) (f1(x) ≥ f2(x)) za svaki x ∈ D, onda je f1(x) ≤f2(x) (f1(x) ≥ f2(x)) i za svaki x ∈ X.

Dokaz. Uzmimo da je A =: {x ∈ X : f1(x) ≤ f2(x)}. Po pretpostavci je D ⊆ A.

Zato je X = Cl D ⊆ Cl A = A, odakle imamo da je X ⊆ A.

20


3.2. Neprekidna preslikavanja na metrickim prostorima

Teorem 3.7 Neka su (X, dx), (Y, dy) metricki prostori i neka je x0 ∈ X. Preslikavanje

f : X → Y je neprekidno u tocki x0 ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da

za svaki x ∈ X, dx(x, x0) < δ povlaci dy(f(x), f(x0)) < ε.

Dokaz. ⇒ Neka je f neprekidna u x0 po definiciji neprekidnosti za topoloske prostore

i neka je ε > 0. K(f(x0), ε) - otvorena kugla okof(x0) radijusa ε (u prostoru Y) je otvo-

rena okolina od f(x0) pa postoji, zbog neprekidnosti, U otvorena okolina od x0 takva da

je f(U) ⊆ K(f(x0), ε). U je otvoren u metrickom prostoru X, pa to znaci da oko svake

tocke postoji neka kugla sadrzana u U , tj. postoji δ > 0 takav da je K(x0, δ) ⊆ U . Onda

je i f(K(x0, δ)) ⊆ V . To znaci da cim je x ∈ X, dx(x, x0) < δ (tj. u kugli oko x0) onda

ce biti f(x) u kugli oko f(x0) radijusa epsilon tj. dy(f(x), f(x0)) < ε.

⇐ Neka za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki x ∈ X, dx(x, x0) < δ

povlaci dy(f(x), f(x0)) < ε. Treba pokazati da je f neprekidno preslikavanje u tocki

x0. Neka je V otvorena okolina tocke f(x0). V je otvoren pa postoji ε > 0 takav da je

K(f(x0), ε) ⊆ V . Po pretpostavci, postoji δ tako da za svaki x ∈ X, dx(x, x0) < δ povlaci

dy(f(x), f(x0)) < ε. A to onda znaci da je f(K(x0, δ)) ⊆ V . Stavimo U = K(x0, δ)) pa

je onda f(U) ⊆ V . Znaci za proizvoljnu otvorenu okolinu V nasli smo U , tako da je onda

f neprekidna u x0 po definiciji za topoloske prostore.

Primjedba 3.2 Kako u Teoremu 3.7 imamo i nuznost i dovoljnost on se moze koristiti

kao definicija za neprekidno preslikavanje u metrickom prostoru.

Uvjet neprekidnosti u tocki x0 za metricke prostore mozemo izraziti simbolima mate-

maticke logike na sljedeci nacin:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X) dx(x, x0) < δ ⇒ dy(f(x), f(x0)) < ε (3.2.1)

Primjer 3.2 Promotrimo primjer funkcije koja nije neprekidna. Neka je f : R2 → Rfunkcija definirana s

f(x, y) =

{ xy

x2 + y2, za (x, y) 6= (0, 0)

0 , za(x, y) = (0, 0)

funkcija f nije neprekidna u 0 = (0, 0), odnosno

∃ ε > 0 t.d. ∀δ > 0,∃xδ ∈ R2 t.d. d(xδ, 0) < δ i d(f(xδ), f(0)) ≥ ε

21


Za ε =1

3, mozemo za svaki δ > 0 odabrati npr. tocku xδ = (

δ

2,δ

2). Za nju doista vrijedi

d(xδ, 0) =δ√2< δ i d(f(xδ), f(0)) = |f(

δ

2,δ

2)| = 1

2>

1

3.

Slika 2.1. Graf funkcije f(x, y) =

{ xy

x2 + y2, za (x, y) 6= (0, 0)

0 , za (x, y) = (0, 0).

Teorem 3.8 Neka su X, Y, Z metricki prostori. Neka su f : X → Y i g : Y → Z preslika-

vanja. Ako je f neprekidna u tocki x0 ∈ X i g neprekidno u f(x0) tada je g◦f neprekidno

u tocki x0.

Slijedeci teorem nam govori o tome da je funkcija neprekidna ako je inverz otvorenog

skupa otvoren skup.

Teorem 3.9 Neka su X i Y metricki prostori i f : X → Y preslikavanje. Tada je f

neprekidno preslikavanje ako za svaki G otvoren u Y vrijedi f−1(G) otvoren u X.

Teorem 3.10 (Heineova karakterizacija neprekidnosti) Neka su (X, dx), (Y, dy)

metricki prostori, neka je f : X → Y preslikavanje i x0 tocka iz X. Preslikavanje f je

neprekidno u tocki x0 ∈ D onda i samo onda ako za svaki niz (xk) u D koji konvergira

prema x0, niz funkcijskih vrijednosti (f(xk)) konvergira prema f(x0).

Dokaz. Pretpostavimo suprotno tj. da f ima svojstvo iz teorema, ali da nije nepre-

kidna u tocki x0. Negiranjem definicije neprekidnosti (3.2.1), dobivamo sljedecu izreku:

(∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃xδ ∈ X) dx(xδ, x0) < δ ⇒ dy(f(x), f(x0)) ≥ ε

Ako za δ odaberemo brojeve 1n, n ∈ N, dobijemo za svaki n ∈ N tocku xn ∈ N za koju

vrijedi sljedece:

dx(xn, x0) <1

n, (3.2.2)

22


dy(f(xn), f(x0)) ≥ ε > 0 (3.2.3)

Na taj nacin dobivamo niz (xn) iz X koji zbog (3.2.2) konvergira prema tocki x0.

Zbog 3.2.3 niz funkcijskih vrijednosti (f(xn)) ne konvergira prema f(x0). Dakle, kako niz

(xn) konvergira prema x0, a odgovarajuci niz funkcijskih vrijednosti (f(xn)) ne konvergira

prema f(x0) dolazimo do kontradikcije. �

Primjedba 3.3 Za definiciju neprekidnosti u metrickim prostorima uzima se svojstvo iz

Teorema 3.10 i naziva se Heineova definicija neprekidnosti u metrickim prostorima.

Primjer 3.3 Pokazimo da funkcija f : R2 → R zadana formulom

f(x, y) =

x5

x8 + (y − x2)2, za (x, y) 6= (0, 0)

0 , za(x, y) = (0, 0)

funkcija f nije neprekidna u 0 = (0, 0) Niz (xk, yk) = ( 1k, 1k2

), k ∈ N, konvergira prema

(0, 0). Kako f(xk, yk) = k3 ne konvergira prema f(0, 0) = 0, prema Heineovoj definiciji

neprekidnosti mozemo zakljuciti da funkcija f nije neprekidna u tocki (0, 0).

Slika 2.2. Graf funkcije f(x, y) =

x5

x8 + (y − x2)2, za (x, y) 6= (0, 0)

0 , za (x, y) = (0, 0).

23


3.3. Neprekidnost vektorskih funkcija vise varijabli

Preslikavanje f : D → Rm, D ⊆ Rn odredeno je svojim koordinatnim preslikavanjima

fi : D → R, i = 1, ...,m, gdje je f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)).

Takoder cemo oznacavati i f = (f1, f1, ..., fm) : D → Rm.

Teorem 3.11 Preslikavanje f = (f1, f1, ..., fm) : D → Rm je neprekidno u tocki x0 ∈ D,

ako i samo ako su sva koordinatna preslikavanja fi : D → R, i = 1, ..,m, neprekidna u x0.

Dokaz. Uzmimo da je f neprekidno u x0. Kako su koordinatne projekcije pi : Rm → Rneprekidne onda su i kompozicije fi = pi ◦ f, i = 1, ...,m, neprekidne u x0 prema Teoremu

3.1.

Obratno, ako su sva preslikavanja fi neprekidna u x0, tada za svaki ε > 0, postoje

δi > 0 takvi da za svaku tocku x ∈ D za koju je d(x, x0) < δi vrijedi |fi(x)−fi(x0)| <ε√m

.

Uzmimo da je δ := min{δ1, ..., δm}. Tada za svaki x ∈ D za koji je d(x, x0) < δ, vrijedi

d(f(x), f(x0)) =

√√√√ m∑i=1

|fi(x)− fi(x0)|2 <

√√√√ m∑i=1

ε2

m= ε

pa je f neprekidno u x0. �

Propozicija 3.1 Neka su f, g : D → R funkcije neprekidne u tocki x0 ∈ D ⊆ Rn i neka

je λ ∈ R. Tada vrijedi:

(i) Funkcija f + g : D → R neprekidna je u x0.

(ii) Funkcija λf : D → R neprekidna je u x0.

(iii) Funkcija f · g : D → R neprekidna je u x0.

(iv) Ako je g(x0) 6= 0, onda je i funkcijaf

gdefinirana na nekoj okolini od x0 i neprekidna

je u x0.

(v) Funkcija |f | : D → R neprekidna je u x0.

(vi) Funkcije min{f, g}, max{f, g} : D → R neprekidne su u x0

Zbog Teorema 3.11 i neprekidnosti norme, tvrdnje (i), (ii) i (v) jednako vrijede i

u slucaju vektorskih funkcija f, g : D → Rm. Tvrdnja (iii) takoder vrijedi za vektorske

funkcije ukoliko se za produkt uzme skalarni produkt. U slucaju dimenzije m = 3, tvrdnja

(iii) vrijedi i za vektorski produkt.

24


Dokaz. (i) Prema pretpostavci f i g neprekidne su u x0, pa za svaki ε > 0 postoje bro-

jevi δ1, δ2 > 0 takvi da za x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ1 vrijedi |f(x)−f(x0)| <ε

2, odnosno

ako je d(x, x0) < δ2 onda je |g(x)− g(x0)| <ε

2. Medutim tada za tocku x ∈ D za koju je

d(x, x0) < δ := min{δ1, δ2} vrijedi |(f+g)(x)−(f+g)(x0)| = |f(x)+g(x)−f(x0)−g(x0)| ≤|f(x)− f(x0)|+ |g(x)− g(x0)| <

ε

2+ε

2= ε, pa je f + g neprekidno u x0.

(ii) Kako je za λ = 0 je funkcija λf konstantna funkcija ona je neprekidna. Neka

je λ 6= 0 tada zbog neprekidnosti funkcije f u x0 slijedi da za ε > 0 postoji δ > 0 ta-

kav da za tocku x ∈ D za koju je d(x, x0) < δ vrijedi |f(x) − f(x0)| <ε

|λ|. Tada je

|(λf)(x) − (λf)(x0)| = |λ · f(x) − λ · f(x0)| = |λ||f(x) − f(x0)| < |λ| ·ε

|λ|= ε, pa je λf

neprekidna u x0.

Za dokaz neprekidnosti produkta potrebna nam je sljedeca lema:

Lema 3.1 (O lokalnoj ogranicenosti neprekidne funkcije) Neka je preslikavanje

f : D → Rm neprekidno u tocki x0 ∈ D ⊆ Rn. Tada je f ograniceno na nekoj okolini

tocke x0, tj. postoje brojevi r > 0 i M > 0 takvi da za svaku tocku x ∈ D za koju je

d(x, x0) < r, vrijedi ‖f(x)‖ < M .

Dokaz. Prema pretpostavci je f neprekidno u x0 zbog toga za ε = 1 postoji r > 0

takav da za x ∈ D za koje je d(x, x0) < r, vrijedi ‖f(x) − f(x0)‖ < 1. Uzmemo li da je

M := 1 + ‖f(x0)‖ dobivamo ‖f(x)‖ ≤ ‖f(x)− f(x0)‖+ ‖f(x0)‖ < M. �

(iii) Po prethodnoj lemi mozemo odabrati r > 0 i M > 0 takve da za x ∈ D za koje je

d(x, x0) < r, vrijedi ‖f(x)‖ < M i ‖g(x)‖ < M . Uzmimo da je ε > 0. Kako su po pretpos-

tavci f i g neprekidne u x0 postoji δ > 0 takav da za x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ, vrijedi

|f(x)−f(x0)| <ε

2Mi |g(x)−g(x0)| <

ε

2M. Takoder mozemo pretpostaviti da je δ ≤ r. Iz

cega slijedi da je |(f ·g)(x)−(f ·g)(x0)| = |f(x)·g(x)−f(x0)·g(x0)| = |f(x)[g(x)−g(x0)]+

[f(x)−f(x0)]g(x0)| ≤ |f(x)|·|g(x)−g(x0)|+|f(x)−f(x0)|·|g(x0)| < M · ε2M

+ε

2M·M = ε

pa je f · g neprekidno u x0.

Za dokaz tvrdnje (iv) takoder trebamo jednu lemu.

Lema 3.2 Neka je f : D → R funkcija neprekidna u x0 ∈ D ⊆ Rn i neka je f(x0) 6= 0.

Tada postoji δ > 0 takav da za sve x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ, vrijedi f(x) >1

2f(x0)

u slucaju da je f(x0) > 0, odnosno f(x) <1

2f(x0) u slucaju da je f(x0) < 0.

25


Dokaz. Uzmimo najprije slucaj f(x0) > 0. Prema pretpostavci funkcija f je nepre-

kidna u x0, pa za ε =1

2f(x0) postoji δ > 0 takav da za x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ

vrijedi |f(x)− f(x0)| <1

2f(x0). Stoga je f(x) >

1

2f(x0).

Za slucaj kada je f(x0) < 0 dokaz je analogan uz ε = −1

2f(x0). �

(iv) Uzimajuci u obzir (iii) dovoljno je dokazati da je funkcija1

gneprekidna u x0.

Ona je definirana na nekoj okolini (u D) tocke x0 sto nam slijedi iz prethodne leme.

Prema pretpostavci funkcija g je neprkidna u tocki x0 stoga postoji δ > 0 takav da za

tocke x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ vrijedi |g(x) − g(x0)| <1

2|g(x0)|2ε. Isto tako prema

prethodnoj lemi mozemo odabrati takav δ da vrijedi |g(x)| > 1

2|g(x0)|. Tada imamo

| 1

g(x)− 1

g(x0)| =|g(x)− g(x0)||g(x)| · |g(x0)|

<12|g(x0)|2ε

12|g(x0)| · |g(x0)|

= ε, pa je funkcija1

gneprekidna u

tocki x0.

(v) Slijedi iz neprekidnosti norme i neprekidnosti kompozicije neprekidnih preslikava-

nja.

(vi) Slijedi iz (i), (ii), (v), i jednakosti min{f, g} = 12(f + g − |f − g|) i max{f, g} =

12(f + g + |f − g|).

Time je dokaz Propozicije 3.1 zavrsen.

Kao posljedica Propozicije 3.1 i Teorema o kompoziciji neprekidnih funkcija, dobivamo

sljedece cinjenice:

Korolar 3.3 (i) Zbrajanje i mnozenje realnih brojeva su neprekidne funkcije R2 → R.

(ii) Polinomi (jedne ili vise varijabli) su neprekidne funkcije.

(iii) Racionalne funkcije su neprekidne (u svakoj tocki u kojoj su definirane).

(iv) Neprekidne funkcije sa D u Rm tvore (realni) vektorski prostor. �

26


3.4. Neprekidnost elementarnih funkcija

Teorem 3.12 Neka je I ⊆ R otvoren interval, funkcija f : I → R monotona na I i

I ′ = f(I) otvoren interval. Tada je f neprekidna funkcija na I.

Dokaz. Zbog odredenosti uzmimo da f raste na I. Uzmimo bilo koju tocku c ∈ I

i pokazimo da je f neprekidna u c. Neka je (a, b) ⊆ I konacan interval takav da je

c ∈ (a, b). Neka su M1 = f(c+ b

2) − f(c),M2 = f(c) − f(

a+ c

2). Zbog rasta funkcije

f vrijedi M1 ≥ 0 i M2 ≥ 0. U slucaju M1 = 0 i M2 = 0 funkcija f je konstantna na

segmentu [a+ c

2,c+ b

2], pa je onda neprekidna u tocki c. Slucajevi M1 = 0 i M2 > 0 ili

M1 > 0 i M2 = 0 su kombinacija prethodnog slucaja i slucaja M1 > 0 i M2 > 0, koji

sada dokazujemo. Provjerimo Cauchyjevu definiciju neprekidnosti koja kaze da je funkcija

f : D → R, D ⊆ R, neprekidna u tocki a ∈ D ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da

(x ∈ D; |x − a| < δ) ⇒ (|f(x) − f(a)| < ε). Uzmimo bilo koji 0 < ε < min{M1,M2}.Vrijedi ε < M1 = f(

c+ b

2)− f(c), odnosno, f(c) < f(c) +

ε

2< f(c) + ε < f(

c+ b

2). Zbog

toga sto je I ′ = f(I) interval, to postoji δ′ ∈ R tako da vrijedi f(c) +ε

2= f(c + δ′).

Zbog rasta funkcije f mora biti δ′ > 0. Analogno, zbog ε < M2 = f(c) − f(a+ c

2),

odnosno, f(c+ b

2) < f(c) − ε < f(c) − ε

2< f(c), imamo δ′′ ∈ R takav da vrijedi

f(c)− ε2

= f(c+ δ′′). Zbog rasta funkcije f je δ′′ < 0. Uzmimo δ = min{δ′,−δ′′}. Imamo

(x ∈ (c, δ+c))⇒ (f(c) ≤ f(x) ≤ f(c+δ) ≤ f(c+δ′) = f(c)+ε

2)⇒ (−ε

2≤ f(x)−f(c) ≤

ε

2) ⇒ (|f(x) − f(c)| ≤ ε

2< ε. Isto tako (x ∈ (c − δ, c)) ⇒ (f(c) ≥ f(x) ≥ f(c − δ) ≥

f(c + δ′′) = f(c) − ε

2) ⇒ (

ε

2≥ f(x) − f(c) ≥ −ε

2) ⇒ (|f(x) − f(c)| ≤ ε

2< ε. Dakle

vrijedi Cauchyjeva definicija neprekidnosti, pa je f neprekidna u c. Zbog toga sto je c ∈ Iizabran po volji, f je neprekidna na I. �

Teorem 3.13 Neka je I ⊆ R otvoren interval, funkcija f : I → R i I ′ = f(I). Ako je

f strogo monotona i neprekidna funkcija na I, onda je I ′ otvoren interval i f−1 : I ′ → I

neprekidna funkcija na I ′.

Dokaz. Neka je f strogo rastuca na I. Neka je −∞ ≤ a′ = inf I ′ i sup I ′ = b′ ≤ +∞.

Pokazimo da vrijedi a′ /∈ I ′. Kako bi vrijedilo a′ ∈ I ′ = f(I) postojao bi a ∈ I, a′ = f(a).

Posto je I otvorn interval, to postoji a1 ∈ I, a1 < a. Tada je f(a1) < f(a) = a′ sto je

kontradikcija s definicijom infimuma. Analogno se dokazuje b′ /∈ I ′. Neka je z′ ∈ (a′, b′)

bilo koji element. Tada z′ nije niti minoranta niti majoranta skupa I ′. Dakle, postoje

x′, y′ ∈ I ′ takvi da vrijedi x′ < z′ < y′. Neka je x = f−1(x′) i y = f−1(y′). Zbog strogog

rasta funkcije f , a onda i f−1, imamo x < y. Zbog [x, y] ⊂ I je f neprekidna na [x, y],

27


pa prema Bolzano - Weierstrassovom teoremu vidi [2] vrijedi f([x, y]) = [x′, y′] 3 z′, tj.

z′ ∈ I ′. Dakle I ′ = (a′, b′). Neprekidnost od f−1 slijedi iz Teorema 3.12. �

Teorem 3.14 Elementarne funkcije

a) f(x) = sinx,

b) f(x) = cosx,

c) f(x) = tgx,

d) f(x) = ctgx,

e) f(x) = ax(a 6= 1),

f) f(x) = loga x,

g) f(x) = xa(a 6= 0)

su neprekidne na svojim domenama.

Dokaz.

a) Dovoljno je pokazati da razliku |sin x− sin x0| mozemo uciniti po volji malenom za

svaki x iz neke okoline tocke x0. Imamo sin x−sin x0 = 2cosx+ x0

2sin

x− x02

. Kako

je uvijek |sin x| ≤ |x|, |cos x| ≤ 1, slijedi da je |sin x − sin x0| ≤ 2 · 1 · |x− x0|2

=

|x−x0|. Za zadani ε > 0 za δ je dovoljno uzeti δ = ε pa prema Cauchyjevoj definiciji

neprekidnosti slijedi da je funkcija sinus neprekidna na R. Tada je, prema Teoremu

3.13, neprekidna i funkcija arkussinus.

b) Funkcija kosinus je neprekidna za svaki x ∈ R kao kompozicija neprekidnih funkcija:

cos x = sin(x +π

2), x +

π

2je neprekidna za svaki x ∈ R. Imamo da je onda

arkuskosinus takoder neprekidna prema Teoremu 3.13.

c) i d) Funkcije tangens i kotangens su neprekidne funkcije svagdje gdje su definirane,

obzirom da su kvocijent neprekidnih funkcija: tg x =sin x

cos x, ctg x =

cos x

sin x.

e) i f) Eksponencijalna funkcija f(x) = ax(a 6= 1) je strogo monotona na R, a slika joj

je interval < 0,∞ > pa je prema Teoremu 3.12 neprekidna u svakoj tocki u kojoj

je definirana. Njezina inverzna funkcija f(x) = loga x je tada neprekidna prema

Teoremu 3.13.

28


g) Opca potencija f(x) = xa(a 6= 0) je strogo monotona na intervalu < 0,∞ > i

preslikava ga na interval < 0,∞ > pa je prema Teoremu 3.12 neprekidna na <

0,∞ >.

�

29


3.5. Neprekidna preslikavanja na kompaktima

U ovom poglavlju proucit cemo neka svojstva neprekidnih funkcija kojima je domena

kompaktna.

Teorem 3.15 Uzmimo da su X i Y metricki prostori, f : X → Y neprekidno presli-

kavanje, gdje je K ⊆ X kompaktan skup. Tada je slika f(K) ⊆ Y kompaktan skup u

Y .

Dokaz. Neka je (qk) niz u f(K). Neka je za svaki k ∈ N, qk ∈ K takav da je

f(xk) = qk. Skup K je kompaktan pa niz (xk) ima konvergentan podniz (xkj) s li-

mesom x0 ∈ K. Zbog neprekidnosti preslikavanja f , tada prema Teoremu 3.4, niz

qkj = f(xkj), j ∈ N, konvergira prema f(x0) ∈ f(K) �

Neprekidna slika kompaktnog skupa je kompaktna i kada se radi o preslikavanjima

topoloskih prostora, samo je dokaz drugaciji. (Vidi [6])

Teorem 3.16 (Weierstrassov teorem) Neka je f : X → Y neprekidna funkcija i neka

je K kompaktan skup. Tada je f omedena funkcija i poprima infimum i supremum, tj. f

ima minimum i maksimum.

Specijalno, neprekidna realna funkcija na segmentu ima minimum i maksimum.

Dokaz. Prema prethodnom teoremu skup f(K) je kompaktan ⇒ omeden i zatvoren.

Zbog omedenosti postoje inf f(K) i sup f(K). Pokazimo da je inf f(K) ∈ f(K). Prema

definiciji infimuma za svaki k ∈ N postoji yk ∈ f(K) takav da je

inf f(K) ≤ yk ≤ inf f(K) +1

k

Iz tog slijedi da niz yk konvergira prema inf f(K). Prema Teoremu 2.10 zbog zatvorenosti

skupa f(K) ⇒ inf f(K) ∈ f(K). Slicno se pokaze da je sup f(K) ∈ f(K). Kako je

inf f(K) ∈ f(K) i sup f(K) ∈ f(K) ⇒ postoje tocke x1, x2 ∈ K takve da je

f(x1) = inf f(K) i f(x2) = sup f(K)

Tada za svaki x ∈ K vrijedi

f(x1) = inf f(K) ≤ f(x) ≤ sup f(K) = f(x2). �

Teorem 3.17 Neprekidna slika segmenta je segment, tj. ako je f : [a, b]→ R neprekidna

funkcija, onda je f([a,b]) segment.

Dokaz. Vidi [5].

30


Korolar 3.4 Neka je K kompaktan, a f : K → R neprekidna funkcija takva da je f(x) >

0 za sve x ∈ K. Tada postoji broj c > 0 takav da je f(x) > c za sve x ∈ K.

Dokaz. Mozemo uzeti naprimjer, c := 12

min f(K) > 0, sto postoji prema Weierstra-

ssovom teoremu.�

Teorem 3.18 Neka je f : K → L neprekidna bijekcija metrickih prostora. Ako je K

kompaktan onda je i inverzno preslikavanje g = f−1 : L → K neprekidno, tj. f je home-

omorfizam s K na L.

Dokaz. Prema Teoremu 3.2 dovoljno je pokazati da je za svaki zatvoreni skup F ⊆ K,

skup g−1(F ) zatvoren u L. Uzmimo da je F ⊆ K zatvoren. Prema Teoremu 2.9, F je

kompaktan pa je g−1(F ) = f(F ) kompaktan u L kao neprekidna slika kompakta ( Teorem

3.15). Prema Korolaru 2.1 tada je g−1(F ) zatvoren, pa je g neprekidno.�

Definicija 3.2 Neka su (X, dx) i (Y, dy) metricki prostori, D ⊆ X i f : D → Y presli-

kavanje. Preslikavanje f je uniformno neprekidno na skupu D ako za svaki ε > 0 postoji

δ > 0 takav da je dy(f(x′), f(x′′)) < ε za sve x′, x′′ ∈ D za koje je dx(x′, x′′) < δ.

Uniformna neprekidnost povlaci neprekidnost. Obrat ne vrijedi. Razlika izmedu poj-

mova neprekidnost i uniformna neprekidnost je u tome da kod neprekidnosti δ ovisi o ε i

o tocki u kojoj se definira neprekidnost, a kod uniformne neprekidnosti δ ovisi samo o ε.

Primjer 3.4 Funkcija f : R\{0} → R zadana formulom f(x) = 1k

je neprekidna, ali nije

uniformno neprekidna na R\{0}.Treba pokazati da postoji ε > 0 sa svojstvom da za svaki δ > 0 postoje tocke x′, x′′ ∈ R\{0}takve da je |x′ − x′′| < δ i | 1

x′− 1

x′′| ≥ ε. Niz 1

kje konvergentan pa je i Cauchyjev.

Zato za svaki δ > 0 postoji k0 ∈ N takav da je∣∣ 1

m− 1

k

∣∣ < δ, ∀k,m ≥ k0.

Stavimo x′ = 1m

, x′′ = 1k, gdje su m, k ≥ k0 i m > k. Tada je |x′ − x′′| < δ, ali je

ipak∣∣ 1x′− 1

x′′

∣∣ = |m − k| ≥ 1. Dakle, ni za jedan ε ≤ 1 ne moze se zadovoljiti definiciju

uniformne neprekidnosti.

Sljedeci teorem nam govori o tome da se kod funkcija koje su definirane na kompakt-

nom skupu neprekidnost i uniformna neprekidnost podudaraju.

Teorem 3.19 Neka su X i Y metricki prostori, K ⊆ X, i f : K → Y neprekidno presli-

kavanje. Ako je K kompaktan skup onda je preslikavanje f i uniformno neprekidno.

31


Dokaz. Prema pretpostavci f je neprekidno preslikavanja, pa za svaki x ∈ K i za

svaki ε > 0, postoji broj δx > 0 takav da je f(K(x, δx)) ⊆ K(f(x), ε2). Uzmimo da

je δ > 0 Lebesqueov broj pokrivaca {K(x, δx) : x ∈ K} kompaktnog skupa K. Prema

definiciji Lebesgueovog broja tada za svake dvije tocke x′, x′′ ∈ K za koje je d(x

′, x′′) < δ,

odnosno diam{x′ , x′′} < δ, postoji tocka x ∈ K takva da je x′, x′′ ∈ K(x, δx) pa je

d(f(x′), f(x′′)) ≤ d(f(x′), f(x)) + d(f(x), f(x′′)) <ε

2+ε

2= ε

cime smo dokazali uniformnu neprekidnost preslikavanja f . �

Teorem 3.20 Neka je X kompaktan prostor i f : X → Y neprekidna surjekcija. Tada je

i prostor Y kompaktan.

Dokaz. Uzmimo da je V = (Vα, α ∈ A) proizvoljan otvoren pokrivac prostora Y .

Za svaki α ∈ A je skup Uα = f−1(Vα) otvoren, pa je U = (Uα, α ∈ A) otvoren po-

krivac za X. Prema pretpostavci X je kompaktan prostor pa postoji konacan potpo-

krivac (Uα1 , ..., Uαn) pokrivaca U prostora X. Prema pretpostavci f je surjekcija stoga je

f(Uα) = f(f−1(Vα)) = Vα, pa je

n⋃i=1

Vαi=

n⋃i=1

f(Uαi) = f(

n⋃i=1

Uαi) = f(X) = Y,

sto pokazuje da je (Vα1 , ..., Vαn) konacan potpokrivac pokrivaca V prostora Y . Stoga je i

prostor Y kompaktan. �

Teorem 3.21 Neka je X kompaktan prostor i f : X → R neprekidna funkcija. Tada

postoje tocke x1, x2 ∈ X sa svojstvom

(∀x ∈ X) f(x1) ≤ f(x), (3.5.1)

(∀x ∈ X) f(x) ≤ f(x2). (3.5.2)

Dokaz. Prema Teoremu 3.20 je podskup f(X) ⊆ R kompaktan, pa je i zatvoren i

omeden. Stoga postoji maxf(X) i minf(X) odnosno postoje tocke x1, x2 ∈ X za koje

vrijedi 3.5.1 i 3.5.2. �

Za tocku x1 ∈ X sa svojstvom 3.5.1 kazemo da je tocka minimuma funkcije f , a za

broj f(x1) da je minimum funkcije f . Analogno, za tocku x2 ∈ X sa svojstvom 3.5.2

kazemo da je tocka maksimuma funkcije f , a za broj f(x2) da je maksimum funkcije f .

Za Hausdorffov prostor X koji je kompaktan i povezan kazemo da je kontinuum.

Slijedeci teorem navodimo bez dokaza. Dokaz vidi u [6].

Teorem 3.22 Neka je X kontinuum, a f : X → R neprekidna funkcija. Tada je f(X)

segment, a f(X) = [α, β], α ≤ β.

32


3.6. Limes i neprekidnost

Teorem 3.23 Neka su (X, dX) i (Y, dY ) metricki prostori, D ⊆ X, x0 ∈ D′ tocka gomi-

lanja skupa D i f : D → Y funkcija. Sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

(i) L = limx→x0

f(x).

(ii) Za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da je dY (f(x), L) < ε za svaki x ∈ D\{x0} za

koji je dX(x, x0) < δ, tj. f(KX(x0, δ)⋂

(D\{x0})) ⊆ KY (L, ε).

(iii) Za svaki niz (xk) u D\{x0} koji konvergira prema x0, niz funkcijskih vrijednosti

(f(xk)) konvergira prema L.

Dokaz. (i) ⇒ (ii) Uzmimo da je ε > 0. S obzirom da je KY (L, ε) otvorena okolina

tocka L, iz definiciji limesa vidimo da tada postoji otvorena okolina U ⊆ X oko tocke x0

takva da je f(U⋂

(D\{x0})) ⊆ KY (L, ε). Nadalje po definiciji otvorenog skupa postoji

δ > 0 takav da je KX(x0, δ) ⊆ U . Zato je f(KX(x0, δ)⋂

(D\{x0})) ⊆ KY (L, ε).

(ii) ⇒ (iii) Uzmimo da je (xk) niz u D\{x0} koji konvergira prema x0. Treba po-

kazati da za svaki ε > 0 postoji k0 ∈ N takav da je f(xk) ∈ KY (L, ε) za svaki k ≥ k0.

Uzmimo da je ε > 0. Iz pretpostavke teorema slijedi da postoji δ > 0 takav da je

f(KX(x0, δ)⋂

(D\{x0})) ⊆ KY (L, ε). Nadalje slijedi da xk → x0 stoga postoji k0 ∈ N ta-

kav da je xk ∈ KX(x0, δ)⋂

(D\{x0}) za svaki k ≥ k0. Zbog cega imamo f(xk) ∈ KY (L, ε)

za svaki k ≥ k0.

(iii) ⇒ (i) Uzmimo da je V ⊆ Y otvorena okolina od L. Za dokaz tvrdnje dovoljno

je pokazati da postoji realan broj δ > 0 takav da je f(KX(x0, δ)⋂

(D\{x0})) ⊆ V . Pret-

postavimo li da to nije tako, tada bi za svaki δ > 0 postojala tocka xδ ∈ D\{x0} takva

da je dX(xδ, x0) < δ i f(xδ) /∈ V . Specijalno, uzmemo li δ =1

k, k ∈ N, dolazimo do niza

(xk) u D\{x0} takvog da je dX(xk, x0) <1

ki f(xk) /∈ V . Niz (xk) dobiven na takav nacin

konvergira prema x0 (zbog dX(xk, x0) → 0). No, medutim, odgovarajuci niz funkcijskih

vrijednosti (f(xk)) ne konvergira prema L. U tom slucaju dobili bi kontradikciju s pret-

postavkom (iii). �

Teorem 3.24 Neka su X i Y metricki prostori, D ⊆ X podskup i x0 tocka skupa D koja

je ujedno i njegovo gomiliste, x0 ∈ D⋂D′. Preslikavanje f : D → Y je neprekidno u

tocki x0, ako i samo ako f ima u x0 limes i on je jednak f(x0).

33


Dokaz. ⇒ Uzmimo da je f neprekidno u x0. Tada za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav

da za sve tocke x ∈ D za koje je d(x, x0) < δ vrijedi d(f(x), f(x0)) < ε. Prema definiciji

limesa to znaci da limes funkcije f u tocki x0 postoji i jednak je f(x0).

⇐ Obratno, pretpostavimo da postoji limes funkcije f u tocki x0 i jednak je f(x0).

Tada za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za sve tocke x ∈ D za koje je 0 < d(x, x0) < δ

vrijedi d(f(x), f(x0)) < ε. S obzirom da imamo d(f(x0), f(x0)) = 0 < ε slijedi da je

f(K(x0, δ)) ⊆ K(f(x0), ε), sto znaci da je preslikavanje f neprekidno u tocki x0. �

Prema [10] za neprekidno preslikavanje je limx→x0

f(x) = f(x0) = f( limx→x0

x) pa se kaze

da ’neprekidno preslikavanje komutira s limesom’.

Definicija 3.3 Pretpostavimo da f : D → Y ima limes u tocki x0 ∈ D′. Funkciju

f : D⋃{x0} → Y definiranu formulom f(x) =

{f(x) , ako je x ∈ D\{x0}limx→x0

f(x) , ako je x = x0zo-

vemo prosirenje funkcije f po neprekidnosti u tocki x0. Prema Napomeni 2.1 vrijedi

limx→x0

f(x) = limx→x0

f(x) = f(x0), stoga iz Teorema 3.24 slijedi da je f neprekidna u tocki

x0.

Iz Teorema 3.11, Propozicije 3.1 i Definicije 3.3 lako se mogu dokazati sljedece tvrdnje:

Teorem 3.25 Neka je D ⊆ Rn i x0 ∈ D′ gomiliste skupa D. Preslikavanje f = (f1, ..., fm) :

D → Rm ima u tocki x0 limes L = (l1, ..., lm) ∈ Rm ako i samo ako funkcije fi : D → Rimaju u x0 limes li, i = 1, ...,m.

Teorem 3.26 Neka su f, g : D → R, D ⊆ Rn, funkcije, λ ∈ R realan broj i x0 ∈ D′

gomiliste skupa D. Ako funkcije f i g imaju u x0 limese tada i funkcije f + g, λf , f · g,

|f |, min {f, g}, max {f, g} if

gimaju limese u x0 i vrijedi:

limx→x0

(f + g)(x) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x)

limx→x0

(λf)(x) = λ limx→x0

f(x)

limx→x0

(f · g)(x) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x)

limx→x0

|f(x)| = | limx→x0

f(x)|

limx→x0

min{f(x), g(x)} = min{ limx→x0

f(x), limx→x0

g(x)},

34


limx→x0

max{f(x), g(x)} = max{ limx→x0

f(x), limx→x0

g(x)}.

U slucaju da je limx→x0

g(x) 6= 0 tada i funkcijaf(x)

g(x)ima u x0 limes i vrijedi

limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x).

Dokaz. Ilustracije radi pokazimo da vrijedi sljedece limx→x0


f(x) +

limx→x0

g(x). Neka je f prosirenje funkcije f po neprekidnosti u tocki x0 te neka je g prosirenje

funkcije g po neprekidnosti u tocki x0. Kako je f + g neprekidno u tocki x0 prema

prehodnom teoremu ona ima limes u x0 slijedi da je

limx→x0

(f + g)(x) = f(x0) + g(x0) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x). (3.6.1)

Nadalje, kako se f + g i f + g razlikuju eventualno u tocki x0 prema Napomeni 2.1 f + g

ima limes u x0 i vrijedi

limx→x0


(f + g)(x). (3.6.2)

Iz 3.6.1 i 3.6.2 slijedi tvrdnja.

35


Literatura

[1] R. G. BARTLE, D. R. SHERBERT, Introduce to real analysis, John Wiley Inc.,

New York, 2000.

[2] M. CRNJAC, D. JUKIC, R. SCITOVSKI, Matematika, Ekonomski fakultet, Osijek,

1994.

[3] B. K. DRIVER, Analysis Tool with Examples, Springer, London, 2004.

[4] S. KUREPA, Matematicka analiza 2. Funkcije jedne varijable, Tehnicka knjiga, Za-

greb, 1990.

[5] S. KUREPA, Matematicka analiza 3., Tehnicka knjiga, Zagreb, 1984.

[6] S. MARDESIC, Matematicka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru,

Skolska knjiga, Zagreb, 1991.

[7] M. ROSENLICH, Introduce to analysis, Dover Publications Inc., New York, 1986.

[8] T. TRAYNOR, Introduction to analysis, University of Windsor, Windsor, 2007.

[9] W. F. TRENCH, Introduction to real analysis, Trinity University, San Antonio, TX,

USA, 2003.

[10] S. UNGAR, Matematicka analiza 3, PMF, Matematicki odjel, Zagreb, 2002.

36


Sazetak

Neprekidna preslikavanja jedno su od najvaznijih svojstava u matematickoj analizi. Nji-

hova svojstva koriste se gotovo u svim podrucjima analize. U ovom radu definirana su

i navedena svojstva koja su karakteristicna za njih ovisno s kojeg prostora im pristu-

pamo pocevsi s topoloskim prostorima te zavrsno sa elementarnim funkcijama za koje je

dokazano da su neprekidne gdje god su definirane. Posebno su obradena neprekidna pres-

likavanja i limes te neprekidna preslikavanja na kompaktnim prostorima jer kompaktnost

ima vaznu ulogu u matematickoj analizi zbog toga sto u nekim situacijama omogucuju

da se beskonacno zamjeni konacnim.

37


Summary

Continuous mapping

Continuous mappings are one of the most important properties in mathematical analysis.

Their properties are used in almost all areas of analysis. In this work are defined and

listed properties which are caracteristic for them depending from which area they appro-

ach starting with topological spaces and ending with the elementary functions which has

proven to be continuous wherever they are defined. Specially processed are continuous

mappings and limits and continuosus mappings on the compact spaces because compac-

tness has important role in mathematical analysis because they allow in some situations

to replace the infinite with finite.

38


Zivotopis

Suzana Perisa

E-mail: [email protected]

Rodena sam 3. kolovoza 1986. u Osijeku. Osnovnu skolu zavrsila sam u Dardi, gim-

naziju u Osijeku. Godine 2005. upisala sam Preddiplomski studij matematike na Odjelu

za matematiku u Osijeku koji sam zavrsila 2008. s zavrsnim radom Bojanje grafova i

kromatski broj, voditelj: prof. dr. sc. Antoaneta Klobucar. Nakon toga 2008. upisala

sam takoder na Odjelu za matematiku u Osijeku Diplomski studij matematike, smjer Fi-

nancijska i poslovna matematika. Na Filozofskom fakultetu u Osijeku zavrsila sam 2012.

Pedagosko-psiholosko-didakticko-metodicku izobrazbu.

39

Documents

Suzana Peri sa - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/PER18.pdf · Neprekidna preslikavanja 1 1. Uvod Osnovni cilj ovog rada bio je obraditi neprekidna preslikavanja. Rad je osmi