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MATEMÁTICAS I
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1er Grado Volumen I
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matemáticas I1er Grado Volumen I
Matemáticas I. Volumen I, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez Mota
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González Sánchez
Dirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez Reyes
Dirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos
Subdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación Secundaria
Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA
Dirección GeneralManuel Quintero Quintero
Coordinación de Informática EducativaFelipe Bracho Carpizo
Dirección Académica GeneralEnna Carvajal Cantillo
Coordinación AcadémicaArmando Solares Rojas
Asesoría AcadémicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
AutoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Verónica Rosainz Bonilla
ColaboraciónErnesto Manuel Espinosa Asuar
Apoyo técnico y pedagógicoMaría Padilla Longoria
Coordinación editorialSandra Hussein
Primera edición, 2006 Primera edición revisada y corregida, 2007 (ciclo escolar 2007-2008)D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.
ISBN 978-968-01-1191-6 (obra completa)ISBN 978-968-01-1192-3 (volumen I)
Impreso en MéxicoDistribución gratuita-ProhibiDa su venta
Servicios editorialesDirección de arte:Rocío Mireles Gavito
Diseño:Zona gráfica
Iconografía:Cynthia Valdespino
Diagramación:Bruno Contreras
Ilustración:Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara, Gabriela Podestá, Cecilia Varela
Fotografía:Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba
Mapa-índice
Clave de logos
Vamos a conocernos
BLOqUE 1
secuencia 1 Sistemas de numeración
secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta numérica
secuencia 3 Sucesiones de números y figuras
secuencia 4 Geometría y expresiones algebraicas
secuencia 5 Simetría
secuencia 6 Proporcionalidad
secuencia 7 Reparto proporcional
secuencia 8 Problemas de conteo
BLOqUE 2
secuencia 9 Problemas aditivos de números fraccionarios y decimales
secuencia 10 Multiplicación y división de fracciones
secuencia 11 Multiplicación de números decimales
secuencia 12 Mediatriz y bisectriz
secuencia 13 Polígonos regulares
secuencia 14 Fórmulas para calcular el área de polígonos
secuencia 15 La constante de proporcionalidad
secuencia 16 Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad
Bibliografía
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10
Has estudiado matemáticas durante toda la primaria.Ahoraqueiniciaslasecundaria,unodelospropósitosdelplandeestudiosesqueusesloqueyasabesparaaprenderlosnuevosconocimientosqueteseránpresentados.Tuprofesor,conelapoyodeestelibroyelusodealgunosrecursostecnológicos,teayudaráaquelologres.
Tulibroesnuevoymuyatractivo.¿Teprovocacuriosidad?Elprimerretoseráconocerloyfamiliarizarteconloselementosqueloforman.
Estelibrosecomponededostomosquecontienenvariassecuenciasdeaprendizaje.Encadasecuenciaaprenderásuntemadelprogramadematemáticasestudiándoloatravésdevariassesiones.Unasesiónestápensadaparaquelatrabajesenunaclase,aunqueenocasionesseránecesarioqueledediquesunpocomásdetiempo.
Encadasesiónpodrásencontrarlosapartadossiguientes:
Para empezarEsunaintroducciónaltemadelasesión.Serelacionaelnuevoconocimientoqueaprenderásconalgoqueyahayasestudiado.
Consideremos lo siguienteAquíseproponeunproblemaparaqueloresuelvasutilizandoloqueyasabes.
Manos a la obraSonlasactividadesespecíficasdelasesión.Porlogeneralseincluyenmuchaspreguntasqueteayudaránarecordarloqueyasabes,aanalizarloqueestésaprendiendoyadeducirnuevasestrategiasdesolución.
Avecestrabajarásindividualmenteyotrasenequipoocontodoelgrupo.
A lo que llegamosDespuésderealizar lasactividadesdeManosa laobra, sepresentan lasconclusionessobrelosconceptosrevisados.
Lo que aprendimosEsunacoleccióndeejerciciosqueteserviránparaaplicaryentendermejorloaprendido.
Para saber másSonsugerenciasparaquerevisesotrosmaterialesconlosquepuedesampliartuconocimientodeltema.Seincluyenreferenciasalibrosysitiosdeinternet.
11
Los recursos tecnológicos que apoyan a tu libro
Videos
Seindicanconlafiguradeunacámaradevideo.Teserviránparaintroduciroampliarinformaciónacercadeltemadelasecuenciay,enocasiones,parapresentarejemplosenlosquesepuedaaplicarelconocimientoquevasaaprender.
Interactivos
Se indicancon lafiguradeunmouseoratón.Sonactividadesquevasarealizarenlacomputadoradelsalóndeclase.Supropósitoesquedesarrollestusideassobreeltemaqueestésestudiando,queejerciteslastécnicasquesetepresentan,verifiquestusrespuestasyconfirmesorechacestusconjeturas.
Trabajo con hojas de cálculo y
geometría dinámica
EstosrecursosestándiseñadosparaemplearseenelAuladeMedios.Losusarásparaanalizardatosyresolverproblemassobreeltemaqueestésestudiandoentulibro.
Adicionalmente, tu libroutiliza los iconos siguientespara sugerirdistintas formasdeorganizaciónenlaelaboracióndelasactividadesindicadas.
Iconos de organización
2personas 3personas 4personas
Individual En equipos Todo el grupo
Esperamos que estos materiales te permitan disfrutar, en este año escolar, tu aprendizaje de las matemáticas.
MATEMÁTICAS I
12
I II III IV V VI VII VIII IX X
13
I II III IV V VI VII VIII IX X
1�
secuencia 1
es la introducción al tema de la sesión.
En esta secuencia identificarás las propiedades del sistema de nume-ración decimal y las contrastarás con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.
Acertijos ArqueológicosPara empezarLanecesidaddecontaryderegistrarcantidadeshaestadopresenteenmuchascivilizaciones;sinembargo,notodaslohanhechodelamismamanera.Enquintogradodeprimariarealizaste lacomparacióndelsistemadenumeracióndecimalconel sistemaegipcioyconelsistemaromano.Enestasesiónsevaaretomarelsistemaegipcio.¿Sabíasquesecomenzóautilizaraproximadamenteenelaño3000antesdenuestraera?
Consideremos lo siguienteFíjensecómoescribíanlosantiguosegipciosalgunosnúmerosycompletenlatabla.
sesión 1
secuencia 1
3 7 8 14
76 225 599
2 130
3 062
215 460
1 200 108
4 000 000
aquí se propone un problema.
Van a trabajar en parejas.
1�
MATEMÁTICAS I
Todo el grupo.
Escribanensuscuadernoselsucesordeestenúmero,segúnelsistemaegipcio.
Comparensusrespuestasyexpliquencómolasencontraron.
Manos a la obrai. Completenlasiguientetabla,escribanlossímbolosegipciosyelvalordealgunosde
ellos,segúncorresponda.
ii.Completenlatablaconnúmerosdelsistemaegipcio.
Comparensustablasycomentencuántossímbolossenecesitanparaescribirelantecesorde ,segúnelsistemaegipcio.
Recuerden que:
Para encontrar el
sucesor de un número
entero debe sumársele
uno; para encontrar el
antecesor debe restár-
sele uno. Por ejemplo,
el sucesor de 7 es 8
y su antecesor es 6.
Símbolo egipcio
Valor del símbolo
100 10 000 100 000
son las actividades de la sesión que te ayudarán a recordar lo que ya sabes, a analizar lo que estés aprendiendo y a deducir nuevas estrategias de solución.
Antecesor Número en el sistema egipcio Sucesor
secuencia 1
1�
ejercicios para aplicar y entender mejor lo que acabas de aprender.
aquí se presentan las conclusiones sobre los conceptos revisados.
iii.Enocasioneslosegipciosescribíanlosnúmerosensentidoopuesto.Así,podíanescri
bir otambién yelvalordelnúmeroeselmismo.
a) ¿Cuáleselvalordelnúmeroanterior?
b) Usandoelsistemaegipcio,escribanensuscuadernoselnúmero100436,enambossentidos.
A lo que llegamos
+ +
+ +
• El sistema de numeración egipcio es un sistema aditivo no posicional. Es aditivo por-que para encontrar el valor de un número se debe sumar el valor de cada uno de los símbolos que aparecen en el número; y es no posicional porque puede escribirse un nú-mero poniendo los símbolos en sentido opuesto sin que cambie el valor del número.
• Cada símbolo se puede repetir hasta nueve veces. Cuando se llega a 10 símbolos igua-les se sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 símbolos.
• Con los siete símbolos que tenían los egipcios sólo podían representar números meno-res que 10 000 000; para ellos esto no era problema porque no se les presentaban situaciones en las que tuvieran que utilizar números más grandes.
• Se piensa que el jeroglífico que representa 1 000 000 ( ) es la figura de un sacerdo-te o de un astrónomo que está viendo hacia el cielo, tratando de contar la gran canti-dad de estrellas que hay.
• Una desventaja del sistema egipcio es que para escribir ciertos números se necesitan muchos símbolos.
Lo que aprendimosLosantiguosegipciosrealizabansumascomolassiguientes.Expresa losresultadosdecadaunadeellasutilizandolosnúmerosdelsistemaegipcio.
1�
MATEMÁTICAS Isesión 2otro sistemA de numerAción
Para empezarLos números mayas
LacivilizaciónmayafueunadelasculturasmásimportantesdelaépocaprehispánicadeAméricaCentral.Losmayasfuerongrandesastrónomos,muchomásexactosquesuscontemporáneoseuropeos.
ElperiodoClásicodelacivilizaciónmayasedesarrollóentreelaño300yelaño1000denuestraera.
Enestasesiónestudiaráslascaracterísticasdelsistemadenumeracióndelosmayas.
Consideremos lo siguienteFíjensecómoescribíanlosmayasalgunosnúmerosycompletenlatabla.
2 4 5 6 7
8 11 12 15
20 21 23 25
29 30 31 36 38
Escribanensuscuadernoslosnúmerosdel1al20enelsistemadenumeraciónmaya.
¿Cuántovaleelsímbolo ?
¿Cuántovaleelsímbolo ?
Comparensusrespuestasyexpliquencómolasencontraron.Comentencómoescribieronel20enelsistemamayaycuáleselsímboloquecorrespondealcero.
Vean el video sobre el sistema de numeración maya.
secuencia 1
1�
Manos a la obrai. Losnúmeros6y25escritosensistemamayaseparecenmucho:
6 25
Paradistinguirlos,enelcasodel25,losmayasdejabanunespacioentreelpuntoylaraya.Elespacioindicaquesetienendosniveles:enelprimernivel,deabajohaciaarriba,vanlasunidades;enelsegundovanlosgruposde20.
Enelsegundonivelestepuntovale20 1 × 20
Enelprimernivelhay5unidades 5 × 1
25 25 = 20 + 5
Escribanensuscuadernosel11,el16,el30yel35enmaya.
Comparensusescriturasdelosnúmerosycomentencómolosdistinguen.
ii. Fíjensecómoescribíanlosmayasel40:
Enelsegundonivelcadapuntovale20: yatenemoslos40Enelprimernivelhay0unidades
Paraindicarquenohayqueagregarnadamás,losmayasutilizabanunsímboloespecialparaelcero: ,indicandoqueunnivelestávacío.Estesímbolorepresentaunaconchaouncaracol.
2de20 2 × 20
0unidades 0 × 1
40 40 = 40 + 0
1�
MATEMÁTICAS IObservencómoescribíanlosmayasalgunosnúmerosycompletenlatabla.
41 42 60 61 70
77 78 81 100 120
Comparensustablasycomentencómoescribieronlosnúmeros.
iii.Losmayasescribíanel400delasiguientemanera:
Eneltercernivelestepuntovale400 1 × 400
Enelsegundonivelponían0de20 0 × 20
Enelprimernivelponían0unidades 0 × 1
400 400 = 400 + 0 + 0
Escribanelnúmero401enelsistemamayaycompletenlatabla.
Eneltercernivel1de400 1 × 400
Enelsegundonivel de20 × 20
Enelprimernivel unidades × 1
401 401= + +
secuencia 1
20
También van a realizar las actividades del interactivo.
1Eneltercernivelseteníanlosgruposde360, ynode400.Sepiensaqueestoeraasídebidoaquelosmayasmanejabanuncalendariode360días.Apartirdeaquí,elvalordecadanivelseobtienemultiplicandopor20elvalordelnivelanterior.Así,enelcuartonivel,setienenlosgruposde7 200 (360 × 20),ynode8 000;enelquintonivelsetienenlosgruposde144 000 (7 200 × 20),ynode160 000,etcétera.
iV.Enelantiguosistemadenumeraciónmayaseagrupabade20en20.Porestarazónencadanivelpuedeponersecualquiernúmerodel1al19yluego,alllegaral20,hayqueponerunpuntoenelsiguientenivel.Así,enelprimerniveldeabajohaciaarribaseescriben lasunidades,enel segundosetienen losgruposde20,en eltercerosetienenlosgruposde20 × 20 = 400,enelcuartosetienenlosgruposde20 × 20 × 20 = 8 000,etcétera.
Porejemplo,elnúmero2077seescribíaenmayadelasiguientemanera:
5de400 5 × 400
3de20 3 × 20
17unidades 17 × 1
2 077 2 077 = 2 000 + 60 + 17
Completenlasiguientetabla.Escribanlasoperacionesqueserequierenencadacaso.
8 × 400 + 3 × 20 + 5 × 1= 3 200 + 60 + 5
= 3 265 = 4 077
Comparenlosnúmerosycomentencómolosencontraron.1
21
MATEMÁTICAS I• El sistema de numeración maya es un sistema posicional porque el valor de cada
número depende de la posición (o nivel) en la que se encuentre. El valor de cada nivel se obtiene multiplicando por 20 el valor del nivel anterior.
• En el sistema maya existen tres símbolos: , y . Con estos símbolos los mayas podían escribir cualquier número. Utilizaban el símbolo para indicar que una posición está vacía.
• Los mayas llegaron a utilizar números muy grandes: existen calendarios en los que se menciona un periodo de tiempo de 300 millones de años.
A lo que llegamos
¿Enquétefijasteparaordenarlosnúmeros?
Lo que aprendimos Enlacolumnadeladerechaordenalossiguientesnúmerosdelmenoralmayor.
secuencia 1
22
el sistemA decimAlPara empezarElsistemadenumeracióndecimaltienesusorígenesenlosnúmeroshindúesyfuerondadosaconocerenEuropaporlosárabes,porloqueselesconocecomonúmerosindoarábigos.
Consideremos lo siguienteEn esta actividaddebes hacer una sumapaso a paso para que vayas obteniendo losnúmerosqueestánenlacolumnadelaizquierda.Porejemplo:parapasardel0al900,sesuma900,yparapasardel900al902,sesuma2.Debesponer,además,cómoseleecadanúmero.
RESULTADO OPERACIÓN REALIZADA EL RESULTADO SE LEE
0 ** Cero
900 Sesuma900
902 Sesuma2 Novecientosdos
400 902
410 902
410 972 Cuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos
50 410 972
58 410 972 Sesuma8 000 000 Cincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos
58 416 972
858 416 972
sesión 3
23
MATEMÁTICAS Ia) Completa la siguiente suma con los números que obtuviste en la columna de
“operaciónrealizada”:
b) ¿Cuáleselresultadodehacerestasuma?
c) En el sistema de numeración decimal hay 10 símbolos o cifras. ¿Cuáles son?
Comparensusrespuestasyexpliquencómolasobtuvieron.
Manos a la obrai. Observalasiguientetabla:
Millones Millares Unidades
D.demillón
U.demillón
C.demillar
D.demillar
U.demillar
Centenas(C)
Decenas(D)
Unidades(U)
5 8 4 1 0 9 7 2
Elnúmero58410972selee“cincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos”.
Fíjateenlatablayresponde.
Millones Millares Unidades
C.demillón
D.demillón
U.demillón
C.demillar
D.demillar
U.demillar
Centenas(C)
Decenas(D)
Unidades(U)
8 5 8 4 1 6 9 7 2
¿Cómoseleeelnúmero858 416 972?
Comentenycomparensusrespuestas.
Cuandoseleenlosnúmerosseagrupancadatrescifras.Lastresprimeras,dederechaaizquierda,sonlasunidades;lastressiguientessonlosmiles;lastressiguientessonlosmillones;luegovienenlosmilesdemillonesydespuéslosbillones.
900 + 2 + + + + + 8 000 000 + +
secuencia 1
2�
ii. Enelnúmero858 416 972,elvalorposicionaldel5es50 000 000 unidades;elvalorposicionaldel6es6 000 unidades.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifra.
a) Completalasumadetodoslosnúmerosdeltercerrenglón,leídosdederechaaizquierda:
2 + 70 + + 6 000 + + 400 000 + + 50 000 000 +
b) ¿Cuáleselresultadodeestasuma?
c) Estosnúmerostambiénseexpresanutilizandomultiplicaciones: lasunidadessemultiplicanpor1ylosdemásnúmerossemultiplicanpor10,100,1000.Completalatablaparaexpresarasícadaunadelascantidades.
d) Completalasumadetodoslosnúmerosdelúltimorenglón:
Comparensustablasycomenten:
a) Enelnúmero858 416 972,¿cuáleselvalorposicionaldelprimer8,deizquierda
aderecha?
b) ¿Cuáleselvalorposicionaldelsiguiente8?
Millones Millares Unidades
C. de millón
D. de millón
U. de millón
C. de millar
D. de millar
U. de millar
Centenas (C)
Decenas (D)
Unidades (U)
8 5 8 400 000 1 6 9 7 2
50 000 000 400 000 6 000 70 2
8 5 8 4 1 6 9 7 2
50 000 000 400 000 6 000 70 2
8 × 1 000 000 6 × 1 000 9 × 100 7 × 10 2 × 1
ElvalorposicionalesElvalorposicionales
2 × 1 + 7 × 10 + + 6 × 1 000 + +
+ 8 × 1 000 000 + 5 × 10 000 000 +
Elvalorposicionales
2�
MATEMÁTICAS Iiii.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifraenelnúmero50410972.
a) ¿Cuáleselvalorposicionaldelprimer0,deizquierdaaderecha?
b) ¿Cuáleselvalorposicionaldelsiguiente0?
c) Expresaentucuadernoelnúmero50 410 972,utilizandolosmúltiplosde10.
Comparensusrespuestas.
Enelsistemadenumeracióndecimalseagrupade10en10: 10unidadesformanunadecena,10decenasformanunacentena,10centenasformanunaunidaddemillar,etcétera. En cada posición puede ponerse una cifra del 0 al 9; al llegar al 10 hayqueagregarunaunidaden la siguienteposición.Así,dederechaa izquierda,en laprimeraposiciónvanlasunidades,en lasegundaposiciónvanlosgruposde10,enlaterceraposiciónvanlosgruposde10 × 10 = 100,enlaterceraposiciónsetienenlosgruposde10 × 10 × 10 = 1 000,etcétera.
iV. Elsiguienteesunjuegoporequipos.Cadaintegrantedelequipodebehacercincotarjetascomolasquesemuestranyrecortarlas.
Encuentrentodoslosnúmerosquepuedenobtenerseusandolascincotarjetas.Anótenlosensuscuadernosenordendemenoramayor,conletrayconnúmero.
a) ¿Cuántosnúmerosdiferentesencontraron?
b) ¿Cuáleselmayor?Escríbanloconnúmeros
c) ¿Cuáleselmenor?Escríbanloconnúmeros
Comparensusrespuestasyexpliquencómolasobtuvieron.
Millones Mil Seis Tres Ocho
Millones Millares Unidades
5 0 4 1 0 9 7 2
50 000 000 400 000
Elvalorposicionales
secuencia 1
2�
Lo que aprendimos1. DeacuerdoconlosdatosdelúltimoCenso General de
Población y Vivienda, en el año 2000 México tenía97 483 412habitantes.ElestadomáspobladoeraelEstadodeMéxicocon13 083 359,elmenospobladoera Baja California Sur con 423 516. El DF tenía8 591 309,Jalisco6 321 278yVeracruz6 901 111.
Conestosdatoshazunatablaenlaqueindiques:
•Elnombredecadaestado.
•Supoblación,escritaconnúmeroyconletra.
Ordenalosdatosdemenoramayorpoblación.
2. Relacionalascolumnas:
A.Sistemadenumeracióndecimal.
B.Sistemadenumeraciónmaya.
C.Sistemadenumeraciónegipcio.
( )Puedeescribirseunnúmeroponiendolossímbolosensentidoopuestosinquecambieelvalordelnúmero.
( )Elvalordecadaposiciónseobtienemultiplicandopor10elvalordelaposiciónanterior.
( )Tienetressímbolos.
( ) El valor de cadanivel seobtienemultiplicandopor20 elvalordelnivelanterior.
( )Paraescribirciertosnúmerossenecesitanmuchossímbolos.
( )Seusandiezsímbolosocifras
( )Notienecero.
A lo que llegamos• En el sistema de numeración decimal, que es el de uso oficial en nuestro país y en casi
todo el mundo, se usan diez símbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 llamados dígitos.
• Es un sistema posicional porque el valor de cada dígito depende de la posición en la que se encuentre. Al escribir números enteros, el valor del dígito que está en la segunda posición, de derecha a izquierda, se multiplica por 10; el que está en la tercera se multi-plica por 100; el que está en la cuarta se multiplica por 1 000, y así sucesivamente.
• Uno de los dígitos, el 0, sirve para indicar que una determinada posición está vacía.
2�
MATEMÁTICAS I3. AgregaalastarjetasdelaactividadIV,unatarjetaconelnombreciento(s).Estatar
jetapuedeutilizarsecomoelsingularcientooelpluralcientos.Encuentralamayorcantidadposibledenúmerosquepuedenobtenerseusandolasseistarjetas.Escríbelosen tucuadernocon letray connúmero. Indicaelnúmeromayoryelnúmeromenor.
4. ¿Tienenentucomunidadunsistemadenumeracióndistintodeldecimal?,¿cuántossímbolos tiene?,¿esaditivo?,¿esposicional?, ¿hayalgúnsímboloque indiquequeunaposiciónestávacía?
Para saber más
Sobre los sistemas de numeración consulta en el libro de texto de Matemáticas quin-to grado, SEP, la portada del Bloque 1 (pp. 8 y 9).
Sobre los sistemas de numeración maya consulta:http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/sabias/html/mayas/html/mayas.html [Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM.
sugerencias para que revises otros materiales con los que puedes ampliar tu conocimiento del tema.
secuencia 2
28
En esta secuencia trabajarás en la representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
El salto dE alturaPara empezar
sEsión 1
El salto de altura
El salto de altura es una de las competencias atléticas más atractivas. Se trata de saltar sobre una barra horizontal que está colocada a varios metros sobre el nivel del piso. ¡Los mejores atletas saltan más de 2 metros de altura!
Para decidir cuándo un competidor gana o pierde una competencia es muy importante medir de modo muy preciso la altura de sus saltos. Las mediciones de los saltos se pueden realizar usando fracciones y números decimales.
La tabla muestra tres marcas conseguidas en el salto de altura por distintos atletas.
Año Competencia Atleta Longitud aproximada del salto (metros)
1993 Campeonato Mundial de Atletismo
Javier Sotomayor2 wQ
1996 Juegos Olímpicos de Estados Unidos
Charles Austin2 tW
2004 Juegos Olímpicos de Atenas
Stefen Hölm2 eQ
29
MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguiente
En la siguiente recta se ha representado el salto de Sotomayor. Anota en el lugar correspondiente la representación de la distancia que saltaron Austin y Hölm.
a) ¿Quién hizo el salto de mayor altura?
b) ¿Quién hizo el salto de menor altura?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra i. Ubica en la siguiente recta los números 1, wQ y 1 wQ .
a) En la misma recta ubica el 3.
b) ¿Cómo supiste dónde va el 3?
c) Con tu regla mide la distancia del 0 al 1. ¿Cuánto es?
¿Y la distancia de 1 a 2? , ¿y la de 2 a 3? Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es así revisa en dónde está el error.
ii. Considera ahora sólo la distancia de 2 a 3.
a) Ubica el punto 2 Qe (altura que saltó Hölm).
b) ¿Qué hiciste para localizar el punto 2 Qe ?
Recuerda que:
Un número mixto se
puede expresar
como una fracción
impropia. Por ejemplo,
2 Qw = 2 + Qw = wT .
0 2 2 wQ Sotomayor
0 2 2 wQ
0 2 3
secuencia 2
30
c) Hay muchas maneras de dividir un segmento en tres partes iguales; a continua-ción se presenta una.
d) Utiliza el procedimiento anterior para dividir segmentos en tres partes iguales y ubica en la recta Qe , We , Ee , 1 Qe , 1 We , 2 Qe .
e) Verifica que el segmento que va de 0 a 1 haya quedado dividido en tres partes iguales. Puedes usar tu regla para medir la longitud de las partes.
1. Necesitas una hoja rayada. 2. Tomas la hoja de papel y colocas una de las rayas al inicio del segmento que quieres dividir.
3. Giras la hoja hasta que tres renglones corten al seg-mento que quieres dividir.
4. Pones una marca en cada corte y ¡listo! el segmento queda dividido en tres partes.
0 1 2 3
31
MATEMÁTICAS IEl número de renglones que debes considerar es igual al número de partes en que quieres dividir el segmento; por ejemplo, si quieres dividirlo en cinco partes, giras la hoja hasta que cinco renglones corten al segmento.
iii. Considera la recta y ubica los puntos que corresponden a Qt , Wt , Et , It , 1 Et , 1 Rt , 2 Wt .
Utiliza tu regla para verificar que el segmento que va de 1 a 2 haya quedado dividido en cinco partes iguales.
Regresen al problema inicial y verifiquen, apoyándose en el procedimiento de la hoja rayada, si localizaron bien los saltos de Austin y Hölm.
A lo que llegamos
En la recta numérica pueden ubicarse fracciones.
Si se desea ubicar novenos en la recta, la unidad en la que se va a ubicar debe quedar dividida en nueve partes iguales.
Para ubicar números en la recta numérica es importante que consideres que a diferencias iguales entre números deben corresponder distancias iguales.
0 1 2 3
0 1 1 oT 2 3
secuencia 2
32
iV. Cada uno de los miembros de la pareja localice la fracción Te en la siguiente recta numérica considerando los puntos dados. Háganlo por separado.
Por ejemplo,
a) la distancia de 3 a 4 debe ser la misma que la de 4 a 5.
b) la distancia de Qw a 1 debe ser la misma que la de 3 a 3 Qw .
Recta A
0
0 1 2 3
Longitudes iguales
0 wT
Recta B
a) ¿En cuántas partes dividieron el segmento que va de 0 a Tw ?
b) Localicen otra vez la fracción Te , pero ahora háganlo en la recta B.
c) ¿Llegaron los dos al mismo resultado? Comenten cómo lo obtuvieron.
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Cuántas maneras distintas encontraron para localizar Te en la recta a?
b) ¿Cuántas maneras distintas hay para localizar Te en la recta B?
Comparen sus respuestas. Con su regla midan la distancia de 0 a Te . ¿Es la misma o es distinta? ¿Porqué creen que sea así?
iV. En la recta B localicen 1 y 2. Háganlo por separado y no se olviden de considerar los puntos dados.
33
MATEMÁTICAS IA lo que llegamosEn una recta numérica que sólo tiene localizado un número, hay muchas maneras correctas de localizar otro. Por ejemplo, en la recta A de la actividad anterior hay muchas maneras distintas de localizar Te . Si en la recta numérica están ya localizados dos puntos, entonces hay una sola manera de localizar cualquier otro. Por ejemplo, en la recta B de la actividad anterior hay una sola manera de localizar Te .
Lo que aprendimos1. Usa una hoja rayada para dividir segmentos en el número de partes que se requiere y
ubica las fracciones que se indican.
2. Anota el número que corresponde a cada punto.
b) 1 Wt0 1 2
c) Eu 1 2
d) qQ pQ 1 2
0 1 2 3
0 1 2a) Wt
secuencia 2
34
Comenten sus respuestas con otros compañeros. Mencionen la manera en que hallaron los números de la actividad 2. Con respecto a la actividad 3, comenten acerca de cuáles incisos tenían varias respuestas y cuáles sólo una y justifiquen por qué tenían una o varias respuestas.
dEnsidad y fraccionEsPara empezarEntre dos fracciones siempre hay otra fracción. A esta propiedad se le conoce como densidad de las fracciones. En esta sesión estudiarán esta propiedad.
Consideremos lo siguienteEncuentren un número que esté entre Qe y We . Localícenlo en la siguiente recta numérica:
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
sEsión 2
3. Ubica en la recta numérica los números indicados.
3a) Qw
20b) Er
c) 1 Qw
d) 2 We0 wT
eWeQ
35
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no hay ningún número entre Qe y We ,
porque entre 1 y 2 no hay ningún número.
Comenten: ¿Están de acuerdo con ellos?, ¿por qué?
ii. En la recta numérica localicen los números 0 y 1.
El segmento que va de 0 a 1 queda dividido en tercios. Verifíquenlo.
a) Dividan los tercios en sextos, ¿en cuántas partes tienen que dividir cada tercio?
b) Entre Wy y Ry hay otra fracción con denominador 6, ¿cuál es?
Localícenla en la recta.
c) Dividan en novenos el segmento de 0 a 1, ¿en cuántas partes tienen que dividir
cada tercio?
d) Encuentren y localicen en la recta tres números que estén entre Qe y We . ¿Cuáles son?
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamos
Entre cualquier par de números fraccionarios siempre hay otros números fraccionarios. Ésta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de las fracciones.
iii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005, un competidor tuvo mejores marcas que Hölm, pero no superó la marca de Austin. En la recta numé-rica están representadas las alturas que saltaron Hölm y Austin.
2 eQHölm
2 tWAustin
Contesten:
¿Cuánto pudo haber saltado el nuevo competidor?
Representen esta altura en la recta numérica.
secuencia 2
36
iV. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no se puede resolver el problema anterior. Convirtieron los resultados de Austin y de Hölm a quinceavos:
Charles Austin: 2 Wt m = 2 q t m.
Stefen Hölm: 2 Qe m = 2 q t m.
Y dijeron que entre 2 q t y 2 q t no hay ningún número.
¿Están de acuerdo con lo que dicen en esa escuela? ¿Por qué?
V. En la recta numérica localicen 2 q t y 2 q t . Dividan en treintavos y encuentren:
2 q t = 2 e p
2 q t = 2 e p
a) ¿En cuántas partes hay que dividir cada quinceavo para obtener treintavos?
b) Exactamente a la mitad entre 2 q t y 2 q t hay otro número, ¿cuál es?
c) Sin dividir en la recta, encuentren las siguientes equivalencias:
2 q t = 2 r t
2 q t = 2 r t
d) Entre 2 Wt y 2 Qe hay dos fracciones con denominador 45, ¿cuáles son?
Encuentren tres posibles saltos más altos que 2 Qe m (Stefen Hölm), pero más bajos que 2 Wt m (Charles Austin):
Recuerda que:
Cuando en una fracción se
multiplica por el mismo número
al numerador
y al denominador, se obtiene
una fracción equivalente.
Por ejemplo:
Entonces Wt y q t son equivalentes.
Numerador
Denominador Wt q t .× 3
× 3
37
MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. En la siguiente recta numérica ubica el número wQ :
Encuentra tres números que estén entre Wt y Et . Localízalos en la recta.
2. Encuentra tres números que estén entre 1 Eu y 1 Tu . Localízalos en la siguiente recta numérica:
El salto dE longitud y los númEros dEcimalEsPara empezarOtra de las pruebas atléticas más emocionantes es la del salto de longitud. Como verán, al igual que las fracciones, los decimales juegan un papel sumamente importante en las decisiones que los jueces toman para saber quién es el ganador de una prueba.
Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la categoría varonil.
MEJOR MARCA MUNDIAL
DE ATLETISMO
MEJOR MARCA
EN JUEGOS OLÍMPICOS
MEJOR MARCA EN LOS JUEGOS
OLÍMPICOS DE ATENAS (2004)
Mike Powell (EEUU) 8.95 m
Bob Beamon (EEUU) 8.9 m
Dwight Phillips (EEUU) 8.59 m
Localicen en la siguiente recta cada una de estas marcas.
a) ¿Superó Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?
b) ¿Superó Dwight Phillips la marca de Mike Powell?
sEsión 3
tEtW
8.5 9
secuencia 2
38
Comparen sus procedimientos con los de sus compañeros y comenten: En una escuela dicen que 8.59 es más grande que 8.9, porque 59 es mayor que 9. ¿Ustedes qué opinan, cuál será más grande? ¿Por qué?
Manos a la obrai. Realicen las siguientes actividades:
a) Localicen en la recta los números 8 aGp , 8 aHp , 8 aJp , 8 q p y 8 aLp .
Recuerda que:
Los números fraccionarios
decimales se pueden escribir
como fracción con denomi-
nador 10, 100, 1000, etc.,
dependiendo de si el número
decimal tiene décimos,
centésimos, milésimos,
etcétera.
Por ejemplo, 8.5 = 8 q p
b) Escriban las marcas de Powell, Beamon y Phillips en forma de número fraccionario mixto:
8.90 8.95
8.5 9
Powell: 8.95 = 8 a p p
Beamon: 8.9 = 8 a p
Phillips: 8.59 = 8 a p p
c) ¿A cuántos centésimos equivalen 9 décimos?
d) ¿Qué número es mayor 8aOp Pp o 8aTp Op ?
e) En la recta anterior localicen los números: 8 aOp Tp , 8 aOp Pp y 8 aTp Op .
Comenten:
¿En qué se equivocaron en la respuesta de la otra escuela?
ii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005 hubo cinco com-petidores con mejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell. Todos estos competidores tuvieron marcas distintas.
a) ¿Cuánto pudieron haber saltado estos competidores?
b) Ubiquen sus saltos en la siguiente recta:
39
MATEMÁTICAS I
Lo que aprendimos 1. En la siguiente recta numérica localiza los números 0.5 y Ur . Después encuentra dos
números que estén entre ellos.
2. En la siguiente recta numérica localiza los números Wt , qHp , 0.4, 0, Et :
a) ¿Cuál es el mayor de los números que localizaste?
b) Y, ¿cuál es el menor?
c) Encuentra y localiza dos números que estén entre Wt y Et .
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten:
a) ¿Encontraron las mismas distancias para los saltos?
b) Si se divide a la mitad el segmento que va de 8.90 a 8.91, se encuentra el núme-ro 8.905. ¿Qué número se encuentra si se divide a la mitad el segmento que va de 8.91 a 8.92?
0
tQ 1
Para saber másSobre las distintas maneras de representar números enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Marvan, Luz María. “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no ente-ros” en Representación numérica. México: SEP/Santillana Libros del Rincón, 2003.Sobre las distintas maneras de interpretar los números escritos en forma de fracción consulta:Marvan, Luz María. Andrea y las fracciones. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.Sobre la distribución de la población en el país consulta:http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp [Fecha de consulta: 23 mayo 2006].Ruta: entrar al acceso directo II Conteo de Población y Vivienda 2005.Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
A lo que llegamosEntre cualquier par de números decimales siempre hay otros números decimales. Ésta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de los números decimales.
secuencia 3
40
En esta secuencia construirás sucesiones a partir de una regla dada y determinarás expresiones generales para definir las reglas de suce-siones numéricas y figurativas.
Figuras que crecenPara empezarFiguras que crecen
Una sucesión de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay un patrón de crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo, luego la que ocupa el tercero y así sucesivamente. Se llama figura 1 a la que ocupa el primer lugar en la sucesión, figura 2 a la que ocupa el segundo, figura 3 a la que ocupa el tercero y así sucesivamente.
Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesión de figuras.
sesión 1
Figura 1 Figura 2 Figura 4 Figura 5
Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9
Figura 3
41
MATEMÁTICAS I
Comparen sus tablas y comenten:
a) ¿Cómo calcularon el número de puntos de la figura 14?
b) ¿Cómo calcularían el número de puntos de cualquiera de las figuras?
Manos a la obrai. ¿Cuáles de los siguientes procedimientos sirven para encontrar el número total de
puntos de cualquiera de las figuras de la sucesión? Subráyenlos.
• Multiplicar por 4 el número de puntos que tiene la figura en cada lado.
• Se le suman 4 puntos al número de puntos de la figura anterior.
• Son los múltiplos de 4.
• Es el número de la figura multiplicado por 4.
Comparen sus respuestas. Usen los procedimientos que escogieron para contestar:
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 15?
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 20?
ii. Contesten:
a) Escriban el número que corresponde a cada una de las figuras de la derecha.
b) ¿Qué figura tendría 56 puntos?
c) ¿Qué figura tendría 72 puntos?
Comenten:
¿Por qué no hay figuras con un número impar de puntos: 1, 3, 5, 7, 9, …?
Recuerden que:
Los múltiplos de 4 son
los números que se
obtienen al multiplicar
el número 4 por algún
otro número.
Por ejemplo, 12 es
múltiplo de 4 porque:
4 × 3 = 12.
b) Completen la tabla para encontrar cuántos puntos tienen algunas de las figuras de la sucesión. Si es necesario dibujen las figuras en sus cuadernos.
Número de la figura
Número de puntos de la figura
Número de la figura
Número de puntos de la figura
1 4 82 93 104 115 126 137 14
Figura Figura
secuencia 3
42
Figura 7 Figura 9
A lo que llegamos
A los procedimientos que dicen cómo obtener el número de puntos de cada figura en una sucesión se les llama reglas. Por ejemplo, en la anterior sucesión de figuras, el procedimiento son los múltiplos de 4 es una regla que permite encontrar el nú-mero de puntos que tiene cada figura.
Cuando hay varias reglas para obtener el número de puntos de cada figura en una sucesión se dice que son reglas equivalentes. En el ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:
• Se le suman 4 puntos al número de puntos de la figura anterior.
• Son los múltiplos de 4.
• Es el número de la figura multiplicado por 4.
Lo que aprendimos1. Completen la siguiente sucesión de figuras:
a) ¿Cuáles de las siguientes reglas sirven para encontrar el número de puntos de cualquiera de las figuras de la sucesión? Subráyenlas.
• El número de puntos de la figura anterior más 2 puntos.
• Los números impares.
• Multiplicar por 2 el número de la figura y sumar 1.
Figura 8Figura 6
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
43
MATEMÁTICAS Ib) Usando la regla que escogieron, completen la siguiente tabla para calcular el
número de puntos de algunas de las figuras de la sucesión.
Número de la figura Número de puntos
1
2
3
4
5
8
10
15
20
25
30
Comparen sus tablas y las reglas que escogieron. Encuentren las reglas que son equivalentes.
2. Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Qué figura tiene 51 puntos?
b) ¿Qué figura tiene 61 puntos?
c) ¿Habrá alguna figura con 62 puntos?
Expliquen en sus cuadernos por qué.
Comenten:
a) ¿Por qué la siguiente figura no aparece en la sucesión?
b) ¿Por qué en la sucesión no hay figuras que tengan un número par de puntos: 2, 4, 6, 8, …?
secuencia 3
44
números que crecenPara empezarEn una sucesión de números, como: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
Se llama primer término al número que ocupa el primer lugar en la sucesión, en el ejem-plo el primer término es 2.
Se llama segundo término al número que está en el segundo lugar en la sucesión, en el ejemplo el segundo término es 4.
Se llama tercer término al número que está en el tercer lugar, en el ejemplo el tercer término es 6, etcétera.
Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesión de números:
b) Escriban en sus cuadernos una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión.
Comparen sus respuestas y las reglas que escribieron.
Manos a la obrai. Usando la regla que escribieron completen la siguiente tabla (observen que la tabla
inicia con el término que ocupa el lugar 21):
Lugar del término Término de la sucesión
212223242530
9340
123126
50180
sesión 2
3, , 9, 12, , 18, , , 27, ,33, , , 42, , 48, , 54, , 60, , …
45
MATEMÁTICAS Ia) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 40?
b) ¿Cuál es el término de la sucesión que está en el lugar 24?
c) ¿En qué lugar está el término 30?
d) ¿En qué lugar está el término 123?
ii. De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que ustedes encontraron para obtener los términos de la sucesión? Subráyenlas.
• Sumar 3 al lugar del término.
• Sumar 3 al término anterior.
• Los múltiplos de 3.
• Multiplicar por 3 el lugar del término.
Comparen sus tablas y sus respuestas.
A lo que llegamosLas reglas que sirven para obtener los términos de una sucesión se pueden dar a partir del lugar del término, por ejemplo multiplicar por 3 el lugar del término.
iii. En la columna izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna derecha, algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones. Relacionen ambas columnas.
¡Cuidado: algunas de las sucesiones se pueden obtener usando dos reglas!
Términos de la sucesión Reglas
( ) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … (A) Sumar cuatro al término anterior.
( ) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, … (B) Los números pares.
( ) 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, … (C) Multiplicar el lugar del término por 4.
( ) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, … (D) Multiplicar el lugar del término por 5.
( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45, … (E) Multiplicar el lugar del término por 5 y sumar 4.
(F) Multiplicar el lugar del término por 2.
secuencia 3
46
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuáles de las reglas anteriores son equivalentes?
Lo que aprendimosUn juego en parejas:
• El primer jugador inventa una regla y la escribe en su cuaderno (sin que la vea su compañero). Luego, usando la regla, escribe los primeros ocho términos de la sucesión y se los enseña a su compañero.
• El segundo jugador escribe una regla para obtener la sucesión.
• Los dos jugadores verifican si con la regla del segundo se obtienen los términos de la sucesión planteada por el primero (es decir, si el segundo jugador escribió la regla correcta). De ser así, el segundo jugador gana un punto.
• Se empieza nuevamente el juego intercambiando los papeles de los jugadores.
regla de sucesionesPara empezarEn las sesiones anteriores aprendieron a escribir reglas que describen las sucesiones de números y figuras usando palabras. En esta sesión aprenderán otra forma de escribir estas mismas reglas utilizando el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Consideremos lo siguienteCompleten la siguiente sucesión de números y contesten las preguntas.
7, 14, 21, , 35, , , 56, 63, ,77, , , 98, , 112, , …
a) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 4?
b) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 10?
c) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término del lugar 20?
d) Usen la letra n para representar el número del lugar y escriban una regla para encon-
trar el término del lugar n.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
Recuerden que:Dos reglas son equivalentes si con las dos se obtienen los términos de la misma sucesión.
sesión 3
47
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular algunos de los términos de la sucesión y
respondan las preguntas. Usen las reglas que encontraron.
Lugar del término
Término de la sucesión
1 7
2 14
3 21
4
5 35
6
7
8 56
63
10
15
140
25
210
40
a) ¿Entre qué número dividen el 63 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesión?
b) ¿Entre qué número dividen el 210 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesión?
c) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar 30?
d) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar 40?
e) ¿Qué multiplicación hicieron para encontrar el término que está en el lugar n?
secuencia 3
48
Figura 4
ii. En una telesecundaria escribieron las siguientes reglas para encontrar el término que está en el lugar n, ¿con cuáles de estas reglas están ustedes de acuerdo? Subráyenlas.
• Sumar n más 7.
• Multiplicar por 7.
• Sumar 7 al término anterior.
• Multiplicar n por 7.
Comparen sus respuestas y encuentren las reglas que son equivalentes.
iii. Usando las reglas que encontraron contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 150?
c) ¿Cuál es el término que está en el lugar 300?
d) ¿En qué lugar está el término 777?
iV. Completen la siguiente sucesión de figuras y contesten las preguntas.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 5 Figura 6 Figura 7
49
MATEMÁTICAS Ia) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 4?
b) ¿Cuántos puntos tiene la figura 7?
c) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 9?
d) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 10?
e) ¿Cuáles de las siguientes reglas permiten encontrar el número de puntos de la fi-gura que está en el lugar n? Subráyenlas.
• Sumar 5 al término anterior.
• 5n + 2.
• Multiplicar n por 5 y sumar 2.
f) Usando la regla que eligieron completen la siguiente tabla para obtener el núme-ro de puntos de algunas de las figuras de la sucesión.
Lugar de la figura
Número de puntos de la figura
1 7
2 12
3 17
4
5 27
6
7 37
8
9
10
20
25
30
100
secuencia 3
50
Lo que aprendimosCompleta la siguiente sucesión de figuras y contesta las preguntas.
A lo que llegamos
Las reglas que sirven para obtener los términos de una sucesión se pueden dar a partir del lugar del término de la sucesión.
Por ejemplo, la regla multiplicar el lugar del término por 7 se puede escribir usan-do la letra n como:
• multiplicar 7 por n.
• 7 por n.
Por convención, 7 × n se puede escribir como: 7n.
Entonces:
• El término que está en el primer lugar es igual a 7 × 1 = 7.
• El término que está en el segundo lugar es igual a 7 × 2 = 14.
• El término que está en el tercer lugar es igual a 7 × 3 = 21.
• El término que está en el lugar n es igual a 7 × n.
Figura 9Figura 8Figura 7
Figura 6Figura 5Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1
51
MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué figura tendrá 25 puntos ?
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 8?
c) ¿Qué figura tendrá 100 puntos?
d) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 20?
e) Escribe una regla para calcular el número de puntos de la figura del lugar n:
Para saber másSobre las sucesiones de números y patrones consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio De Régules. “Aventuras Fractales” en El Piropo matemático. De los números a las estrellas. México: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.
Sobre patrones que aparecen en la naturaleza como la razón áurea y los fractales consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007]. Ruta para la razón áurea: SECUNDARIA RAZÓN ÁUREA (dar clic en el dibujo de Nautilus).Ruta para fractales: BACHILLERATO Y LICENCIATURA FRACTALES (dar clic en el dibujo de la Curva de Koch).Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM.
52
secuencia 4
En esta secuencia explicarás en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como núme-ros generales con los que es posible operar.
fórmulas y perímetrosPara empezarFórmulas y perímetros
Recuerda que el perímetro de una figura geométrica es la medida de su contorno. A continuación se calcula el perímetro de un rectángulo, de un pentágono regular (de la-dos y ángulos iguales) y el de un polígono irregular; observa que el contorno está resal-tado con una línea roja.
sesión 1
2 cm
4 cm
Perímetro = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm
Perímetro = 6 cm + 5 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 19 cm
6 cm
3 cm
5 cm
2 cm
Perímetro = 5 × 3 cm = 15 cm
3 cm
3 cm
53
MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguienteCompleten la siguiente tabla para calcular el perímetro de algunos cuadrados de distin-tos tamaños:
Medida del lado (cm) Perímetro (cm)
456789
102025
Tabla 1
a) ¿Cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado?
b) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide x cm?
Comparen sus tablas y comenten sus respuestas.
Manos a la obrai. Calculen el perímetro de los siguientes cuadrados:
3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
4 cm
4 cm
4 cm 4 cm
5 cm
5 cm
5 cm 5 cm
Perímetro: Perímetro: Perímetro:
¿Cómo se calcula el perímetro de cualquier cuadrado?
54
secuencia 4ii. En una escuela escribieron las siguientes expresiones para calcular el perímetro de un
cuadrado cuyo lado mide x cm. Subrayen las correctas.
• x + 4;
• x × 4;
• x + x + x + x;
• x por 4;
• 4 por x.
Comenten en grupo las expresiones que creen que son correctas y contesten:
a) ¿Cómo usarían las expresiones para calcular el perímetro de un cuadrado de lado 30 cm?
b) ¿Cuáles de las expresiones les dan los mismos resultados?
A lo que llegamosDos expresiones para calcular el perímetro son equivalentes si siempre dan los mismos resultados. Por ejemplo, las expresiones x + x + x + x y 4 por x son equivalentes.
iii. La siguiente figura es un hexágono regular.
a) Encuentren y subrayen las expresiones correctas para calcular el perímetro del hexágono:
6 × a 6a3a + 3a 6 + a
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 a + a + a + a + a + aa × 6 a + 6
Tabla 2
a
a
a
a
a
a
55
MATEMÁTICAS I
Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas escribiendo en el paréntesis la letra que corresponda.
(A) ( ) 3 × x
(B) ( ) x + x + x + x + x + x + x
(C) ( ) 8 + x
( ) 8 × x
( ) x + 6
b) Usando las expresiones que escogieron llenen la siguiente tabla para calcular el perímetro de algunos hexágonos.
Anoten en el primer renglón las expresiones que encontraron.
Lado (cm)
2 4 10.5
Tabla 3
A lo que llegamosLas expresiones como las de la tabla 2 se llaman expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas a + a + a + a + a + a, 3a + 3a, a × 6, 6 × a y 6a son equivalentes y sirven para calcular el perímetro de un hexágono con medida de lado igual que a.
Por convención, 6 × a también se escribe 6a.
x
x
x
56
secuencia 42. Escriban las expresiones algebraicas que sirven para calcular los perímetros de las si-
guientes figuras geométricas:
Expresión:
p q
b
a
s
fórmulas y áreasPara empezar El área de una figura es la cantidad de unidades de superficie que caben en su interior.
Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño y se abrevia cm2.
Por ejemplo, el área de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho; en el caso del cuadrado, ambas medidas son iguales, por lo que se multiplica lado por lado.
Expresión:
Expresión: Expresión:
sesión 2
2 cm
2 cm
Área = 4 cm2 Área = 8 cm2
2 cm
4 cm
t
57
MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguienteObserven los siguientes rectángulos
a) ¿Cuánto mide el área del rectángulo azul?
b) ¿Cuánto mide el área del rectángulo rojo?
c) ¿Cuánto mide el área del rectángulo morado?
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron.
Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla:
Largo (cm)
Ancho (cm)
Área (cm2)
2 1
4 3
5 2
6 2
6 5
7 4
8 3
8 6
9 7
10 2
10 3 Comparen sus tablas y comenten cómo las completaron.
6 cm4 cm
1 cm
s cm
t cm
3 cm
58
secuencia 4ii. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el área del rec-
tángulo que mide de largo s y de ancho t? Subráyenlas.
• s + t + s + t.
• s + t.
• st.
• s × t.
• s × s × t × t.
• t × s.Comparen sus respuestas y usen las expresiones que escogieron para calcular:
a) El área de un rectángulo que mide de largo 15 cm y de ancho 8 cm.
b) El área de un rectángulo que mide de largo 3 m y de ancho 2 m.
A lo que llegamos
Las expresiones s × t y st son expresiones algebraicas para calcular el área de un rectángulo de largo s y ancho t. Por convención, s × t se escribe st.
iii. La siguiente figura es un cuadrado cuyo lado mide b:
a) Subrayen las expresiones correctas para calcular el área del cuadrado anterior:
4 × b 4b
b + b 4 + b
b + b + b + b bb
b × b
b) Usando las expresiones que escogieron, llenen la siguiente tabla para calcular el área de algunos cuadrados.
b
b
59
MATEMÁTICAS IAnoten en el primer renglón las expresiones que encontraron.
Lado
3 cm
2.5 cm
2 m
Comparen sus expresiones.
Lo que aprendimos1. a) Escribe una expresión algebraica que permita
calcular el área del siguiente triángulo: Recuerda que:
El área de un triángulo se calcula
multiplicando la medida de la base por
la medida de la altura y dividiendo el
resultado entre dos.
b) Usa la expresión que escribiste para calcular el área de los triángulos con las siguientes medidas:
c) Compara la expresión algebraica que escribiste y tu tabla con uno de tus compañeros. Comenten si las expresiones que encontraron son equivalentes.
Para saber más Sobre el cálculo de áreas y perímetros de distintas figuras geométricas consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros2.htm[Fecha de consulta: 16 de junio 2006]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia. España.
a
Base (cm)
Altura (cm)
Área (cm2)
2 1
4 3
2 5
6 2
Expresión:
b
60
secuencia 5
En esta secuencia tendrás la oportunidad de construir figuras simétri-cas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
Como si fuera un espejoPara empezar
sesión 1
El Taj Mahal se encuentra en la India y por su diseño y belleza es considerado una maravilla de la arquitectura. ¿Ya observaste cómo se refleja en el agua?
Cuando el agua está tranquila refleja las imágenes de los objetos y seres como si fuera un espejo.
61
MATEMÁTICAS I
C
Consideremos lo siguiente¿De qué manera podría trazarse el simétrico del barco con respecto a la línea roja? Planeen y lleven a cabo una manera para hacer el trazo con sus instrumentos geométricos.
Comenten con otros equipos el procedimiento que emplearon para trazar el simétrico.
Manos a la obra i. En los siguientes dibujos el simétrico no está bien trazado. Corrígelos.
• En la figura de la derecha el reflejo es simétrico al árbol con respecto a la línea roja.
• Esa línea roja recibe el nombre de eje de simetría.
Eje de simetría
62
secuencia 5ii. En el siguiente dibujo se ha trazado correctamente el simétrico del barco.
• Encuentra el punto que es el simétrico de A, nómbralo A’ (se lee A prima)
• Usa tu regla para unir A con A’, al hacerlo obtienes el segmento aa’.
a) ¿Cuánto mide la distancia del punto a
al eje de simetría?
b) ¿Cuánto mide la distancia del punto a’
al eje de simetría?
c) ¿Cuánto mide el ángulo que forman el
eje de simetría y el segmento aa’?
Recuerda que:
Las perpendiculares
forman ángulos de 90º.
La distancia de un punto
a una recta se mide por
la perpendicular que va
del punto a la recta.
Se dice que A es el simétrico
de A’, o bien, que A es el
correspondiente simétrico de A'.
Eje de simetría
A
A
• La distancia del punto A y de A’ al eje de simetría es la misma, es decir, el punto A y A’ equidistan del eje.
• El eje de simetría y el segmento AA’ son perpendiculares.
63
MATEMÁTICAS Iiii. Verifica que para los puntos B y C y sus simétricos se cumplen también las dos con
diciones enunciadas en el recuadro anterior.
• Anota en la figura las distancias de B, B’, C, C’ al eje y la medida de los ángulos que forman el segmento BB’ y CC’ con el eje.
• Elige otros dos puntos y sus simétricos y verifica que también se cumplen las condiciones mencionadas.
Esto que exploraste con algunas parejas de puntos simétricos pasa con cualquier pareja de puntos simétricos.
iV. Verifica en el problema inicial que los puntos rojos y sus simétricos también cumplen esas dos condiciones.
A lo que llegamos
C
B
B,
C,
A
A,
B,
B
Un punto es simétrico a otro con respecto a una recta si y sólo si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta.
90°
P
1 cm
1 cm
Eje de simetríaP´
El simétrico de un segmento con res-pecto a una recta es otro segmento.
Todos y cada uno de los puntos del segmento AB tienen su correspondiente simétrico en el segmento A’B’.
El segmento A’B’ es el correspondiente simétrico del segmento AB
64
secuencia 5
papel piCadoPara empezar¿Te has fijado en las figuras que se forman cuando se hace papel picado?
Muchos de los diseños de papel picado son composiciones de figuras simétricas con respecto a un eje.
Consideremos lo siguientePlaneen y lleven a cabo una estrategia para terminar el siguiente papel picado de tal manera que sea una composición simétrica respecto a la línea roja.
sesión 2
Comenten en grupo el procedimiento que siguieron para terminar el diseño del papel picado. En particular digan cómo le hicieron para que un punto y su simétrico queden a la misma distancia del eje.
Recuerden que:
Los puntos simétricos
equidistan del eje, y que el
segmento que los une debe
ser perpendicular al eje.
65
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Se quiere trazar el simétrico de este triángulo con respecto al eje
a) ¿Será necesario trazar el simétrico de todos y cada uno de los puntos del trián
gulo?
b) ¿Cuáles puntos hay que localizar para trazar el triángulo simétrico?
ii. El siguiente es un procedimiento que puede emplearse para trazar figuras simétricas con respecto a un eje.
a) Se traza una perpendicular por cada vértice al eje de simetría. Para ello, primero se colocan las escuadras de manera similar al dibujo de la página 62, para trazar un segemento perpendicular el eje; después se prolonga este segmento hasta el otro lado del eje. Esto se hace en cada vértice.
A
B
C
66
secuencia 5b) Con el compás se toma la medida de la distancia
de un punto al eje (puede hacerse con la regla, pero con el compás es más preciso). Observa cómo.
c) Con esa misma abertura se localiza el simétrico de ese punto.
d) Se repite lo indicado en b) y c) en cada vértice de la figura.
e) Se unen los vértices para obtener la figura buscada.
67
MATEMÁTICAS Iiii. Utiliza el procedimiento descrito para completar el dibujo del siguiente papel picado,
de tal manera que sea simétrico con respecto a la línea azul.
iV. En tu cuaderno traza un triángulo equilátero y una recta exterior al triángulo, después traza su simétrico con respecto a la recta. Haz lo mismo con un rombo.
A lo que llegamosPara construir un polígono simétrico a otro con respecto a una recta:
1. Se traza una perpendicular a la recta por cada vértice de la figura.
2. Sobre la perpendicular que se trazó se toma la distancia de cada vértice a la recta y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta. Se puede utilizar la regla o el compás.
3. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.
En pocas palabras: se traza el simétrico de cada vértice con respecto a la recta y se unen.
los vitralesPara empezar¿Conoces los vitrales? Son composiciones de vidrios de colores, su magia está en la luz que a lo largo del día dejan pasar. La simetría también está presente en algunos vitrales.
sesión 3
68
secuencia 5
Consideremos lo siguienteDeterminen y coloreen el rombo que ha sido bien trazado para que el vitral sea simétrico con respecto a la línea vertical.
¿En qué se fijaron para elegir las figuras?
Comenten sus respuestas con sus compañeros del grupo, no olviden mencionar en qué se fijaron para elegir las figuras.
1 2
3 4
69
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Anota si estás o no de acuerdo con las siguientes afirmaciones; en cada caso explica
por qué.
Afirmación ¿De acuerdo? ¿Por qué?
El vitral simétrico es el 3 porque los ángulos del rombo de la derecha son iguales a sus ángulos correspondientes del rombo azul.
El vitral simétrico es el 4 porque los lados de la figura de la derecha miden lo mismo que sus correspondien-tes del rombo de la izquierda.
El vitral simétrico es el 1 porque los dos rombos tienen sus lados y ángulos correspondientes iguales.
ii. El siguiente vitral es simétrico con respecto al eje rojo.
Nombra A’ al simétrico de A, B’ al simétrico de B y así sucesivamente. Mide lo que se requiere y completa las tablas.
Medida del segmento(cm)
Medida de su simétrico(cm)
AB A’B’
BC B’C’
CD C’D’
DA D’A’
PQ P’Q’
QR Q’R’
RP R’P’
Medida del ángulo (grados)
Medida del ángulo (grados)
∠ A ∠ A’
∠ B ∠ B’
∠ C ∠ C’
∠ D ∠ D’
∠ P ∠ P’
∠ Q ∠ Q’
∠ R ∠ R’
B
A D
P
C
Q R
a) ¿Cómo son entre sí la medida de un segmento y su simétrico?
b) ¿Cómo son entre sí la medida de un ángulo y su correspondiente?
70
secuencia 5iii. Las siguientes son figuras simétricas con respecto al eje; sin medir, anota los datos
que se piden. No olvides colocar las unidades de medida (cm y grados).
a) Lado AD =
b) Lado NP =
c) Lado PQ =
d) Ángulo M =
e) Ángulo B =
A lo que llegamos
Una figura simétrica a otra con respecto a un eje conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.
A
BC C´
B´
A´
A
B
C D90°
45°
2 cm
2 cm
m
n P
135°
90°
4 cm
2.8 cm
Q
iV. Observa en el vitral de la actividad II que:
aD es paralelo a Bc, esto se simboliza aD l l Bc.
PR es perpendicular a QR, esto se simboliza PR ^ QR.
a) ¿Qué segmentos son paralelos en la figura del lado izquierdo?
b) ¿Sus simétricos también son paralelos?
c) ¿Qué segmentos son perpendiculares en la figura del lado izquierdo?
d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?
Recuerda que:
Las rectas paralelas
son las que conservan
siempre la misma
distancia entre sí.
AB = A’B’BC = B’C’AC = A’C’
A = A’ B = B’ C = C’
A se lee ángulo A
71
MATEMÁTICAS IV. Considera las figuras de la actividad III. Anota el símbolo de paralelas ( l l ) o el de
perpendiculares ( ^ ).
Si AD CD entonces MN NP.
Si AD BC entonces MN QP.
A lo que llegamosComo en una simetría se conservan las medidas de los segmentos y de los ángulos, entonces, si hay lados paralelos o perpendiculares en la figura original sus simétricos también son paralelos o perpendiculares.
Los vitrales
Como te has dado cuenta, la simetría permite dar belleza y armonía a diversas composiciones, como es el caso de los vitrales. Para construir un vitral simétrico es importante identificar las propiedades que se conservan en la simetría con respecto a un eje.
algo más sobre simetríaLo que aprendimos
m
n
P
Q
m´
Q´
n´
P´
3.6 cm
3 cm
2 cm
33.6°
56.4°
90°
1. Estos dos triángulos son simétricos respecto al eje rojo; sin medir, escribe la medida de cada lado y de cada ángulo de la figura simétrica.
2. Completa la figura para que sea simétrica con respecto a la línea azul.
Si MN PQ entonces M’N’ P’Q’.
Si MN NP entonces M’N’ N’P’.
sesión 4
72
secuencia 53. Traza el o los ejes de simetría (si es que tienen) de estas figuras.
4. Traza el eje de simetría de cada pareja de figuras.
5. Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto a la recta m.
Q
P
R
m
P
Q
R
m
73
MATEMÁTICAS I6. Traza el simétrico del rectángulo ABCD con respecto a la recta m; obtendrás el rec
tángulo A’B’C’D’.
a) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo ABCD?
b) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo A’B’C’D’?
c) Anota dos parejas de lados perpendiculares:
d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?
7. En la figura del número 6, traza el simétrico del rectángulo A’B’C’D’ con respecto a la recta n; obtendrás el rectángulo A’’B’’C’’D’’ (A’’ se lee A bi-prima)
¿Puede decirse que el primer rectángulo y el rectángulo que acabas de trazar son simé
tricos? ¿Por qué?
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Lo mismo de un lado y de otro” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Sobre cómo se usa la simetría con respecto a un eje en el funcionamiento de un pan-tógrafo consulta: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].
Sobre dibujos simétricos consulta: www.google.com.mx[Fecha de consulta: 16 de junio 2006].Ruta: Imágenes (escribir simetría y dar clic en búsqueda de imágenes para ver dibu-jos simétricos).
A
D
C
B
nm
