SUMARIO 1. Introducción 1

2. Reglamentación & Control 3

2.1 Problema general de Control 3 2.1.1 Experimentación 3 2.1.2 Simulación 5 2.1.3 Teoría 5

2.2 Necesidad de realimentar 7

3. Ejemplos de Aplicación 13 3.1 Motor paso a paso 13 3.2 Avión experimental X-29 21 3.3 Estructuras mecánicas flexibles 23 3.4 Planta de extracción de D20 26

4. Conclusiones 32

Bibliografía 33

Glosario 35

A mis padres...

1 Introducción Antes de entrar específicamente en el tema del Control Robusto, vamos a describir mediante un ejemplo de la vida cotidiana, el objetivo de la teoría de control. Supongamos que conducimos un vehículo por una ruta angosta de doble circulación y deseamos mantenerlo lo más alejado posible de la banquina y la doble línea amarilla central. Aunque de manera inconciente, procedemos a observar (con la vista) la distancia en-tre ambas líneas y las ruedas del vehículo y a actuar (mediante el volante) sobre la dirección de avance del mismo. De esta manera, sin proponérnoslo, estamos utilizando intuitivamente el concepto de realimentación, esto es: observar la "distancia" al objetivo deseado y actuar sobre el sistema a controlar para achicar la misma. Existen muchos mecanismos naturales que utilizan el concepto de realimentación, como por ejemplo el control de temperatura del cuerpo humano. Asimismo, el ser humano aplica, sin saberlo, este criterio en innumerables ejemplos de la vida cotidiana, desde enhebrar una aguja hasta producir un fraseo sobre el diapasón de una guitarra. Muchas veces es deseable utilizar el concepto de realimentación para controlar determinadas situaciones de manera automática. Si-guiendo el mismo ejemplo planteado anteriormente, podría ser conveniente conducir un vehículo en una autopista a través de una computadora, sin intervención humana. Más aún sería importante poder conducir automáticamente el conjunto de vehículos que circulan por un determinado tramo de una autopista, para reducir tiempos, espacio entre vehículos y accidentes. Esto, que a primera vista parece ciencia ficción, ya se está planteando en ciertos países del mundo ([26]) como un problema concreto de control automático. En otras aplicaciones, más que por una cuestión de conveniencia, resulta imperativo poder controlar automáticamente una determi-nada situación, ya que es imposible resolverla manualmente. Un

1

ejemplo posible es el de un avión caza que avanza a una velocidad promedio de Mach 3 (aprox. 3000 Km/h) y debe pasar entre otros dos. Otro, el de la manipulación de elementos dentro del ambiente radioactivo de una central nuclear. En ambos casos, sea por el limitado tiempo de reacción del piloto o por la imposibilidad de actuar en un :ambiente de alto nivel de peligro, deberá recurrirse a un método artificial para controlar la situación. En estos casos y en muchos otros encontrados en la práctica de la ingeniería de control, el concepto de realimentación se aplica sobre dispositivos (mecánicos, químicos, electrónicos, computacionales, etc.) que cumplirán las funciones de control, automáticamente. La próxima pregunta que naturalmente uno se plantea es la siguiente: ¿Cómo realizar el control automático de una determinada situación de manera sistemática? Por sistemático nos referimos al opuesto de prueba y error, como se da, por ejemplo, en el caso del control 'de la temperatura del agua, de la ducha durante un baño. Al sensar la temperatura del agua con el cuerpo (sensor) y girar las canillas de fría y/o caliente (actuador) hasta obtener una temperatura agradable se está realizando control, pero no de manera sistemática. Por lo tanto, para controlar automáticamente y de manera sis-temática una determinada situación, se deberá:

1. Individualizar el sistema a controlar, las variables del sistema que serán sensadas y las que actuarán sobre el mismo para controlarlo, como así también los elementos que físicamente sensarán y actuarán sobre el sistema.

2. Para diseñar un procedimiento de control automático para este sistema, deberá tenerse una idea cuantitativa de los elementos mencionados antes y de su dinámica; es decir una representación matemática de los mismos.

Como en muchos problemas de la ingeniería, resulta conveniente (en muchos casos indispensable) poder abstraerse y plantear en pa-

2

pel y lápiz (o en una computadora) el problema a resolver. De esto justamente se trata, cuando hablamos de obtener un modelo ma-temático. Hasta este punto, el planteo coincide con las teorías de Control Clásico ([2,18,9]) y Moderno ([15]) desarrolladas durante las décadas del 40 y 60 respectivamente. La gran diferencia que marca la teoría de Control Robusto ([5,6,8,23]) a partir de la década del 80 es la relación entre el modelo matemático y la realidad. La diferencia entre ambas, denominada incertidumbre del modelo representa, de alguna manera, la relación entre la teoría y la prác-tica. En la teoría matemática de Control Robusto la incertidumbre se cuantifica y se tiene en cuenta en el diseño del controlador y, en este sentido, logra un acercamiento real a las aplicaciones. Al plantear a continuación el problema general de control, ve-remos en mayor detalle las diferencias esenciales entre la realidad física, la realidad simulada por una computadora y el modelo matemático, todas igualmente importantes para el análisis de un problema y el diseño de un controlador.

2 Realimentación &Control 2.1 Problema general de Control Existen tres fases bien diferenciadas en el problema de diseñar, analizar e implementar un sistema físico que controle a un determinado proceso en su evolución temporal. Cada una de ellas es igualmente importante dentro del planteo general de este problema. A continuación desarrollamos estos conceptos.

2.1.1 Experimentación

La primera es la fase experimental que trata directamente con el proceso físico a controlar, también denominado la planta. Las disciplinas involucradas dependerán del tipo de sistema a controlar

3

Figura 1: Representación simbólica de la Realidad experimental, los modelos de Simulación computacional y de Diseño teórico.

y tratan con los mecanismos de funcionamiento de la planta, de los sensores y actuadores. Esta fase del control es fundamentalmente de tipo tecnológica. Como ya mencionamos en la sección anterior, partiendo direc-tamente del proceso físico, no es posible realizar un análisis o un diseño riguroso y sistemático. En muchas situaciones incluso, la experimentación directa con el sistema es peligrosa (como el caso de aeronaves o centrales nucleares) o sumamente costosa (como el caso de plantas químicas) y por ello debe estar estrictamente acotada. Por ello es que se recurre a la simulación del proceso, lo cual nos lleva a la segunda fase del problema de control.

4

2.1.2 Simulación

La fase de simulación consiste en obtener un modelo computa-cional del proceso físico. Para obtener esta representación compu-tacional, es necesario asumir ciertas hipótesis simplificativas, ya que la capacidad de cómputo no es ilimitada. Sin embargo, trabajar sobre un modelo computacional en vez de experimentar directamente con el proceso físico se traduce en menores riesgos y costos (por ejemplo los simuladores de vuelo). Este modelo computacional se obtiene de un modelo matemático general que surge, o de las leyes físicas que describen el proceso, o de un procedimiento de identificación y validación de modelos ([16]). El interés en esta etapa es la de obtener la mejor aproximación posible al sistema físico, bajo la única limitación dada por la capacidad computacional disponible. Sin embargo los modelos matemáticos codificados en la com-putadora, que representan al proceso, pueden ser aún demasiado complicados para ser utilizados dentro de un procedimiento de análisis y diseño de controladores. Por lo tanto, para poder sintetizar un controlador a partir de un modelo matemático, se impone una nueva simplificación de este último. Ésta se hará a costa de nuevas hipótesis, de las cuales se obtendrá un modelo más sencillo que podrá ser evaluado con herramientas matemáticas existentes, para el cual se podrá diseñar y computar un controlador que satisfaga los requisitos establecidos. Esto nos lleva a la tercera fase del problema.

2.1.3 Teoría

En esta fase se busca simplicar lo suficiente al modelo que representa al sistema físico, para poder utilizar herramientas matemáticas que permitan llevar adelante los procedimientos de análisis y síntesis de un controlador. En este proceso se parte del modelo dinámico utilizado en la simulación y se lo simplifica hasta llegar a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), lineales y de

5

coeficientes constantes. La teoría de Control Robusto en la actualidad trata con este tipo de modelos, que representan sistemas de dimensión finita, lineales e invariantes en el tiempo (DFLIT). A pesar de que existen en la actualidad procedimientos para trabajar directamente sobre modelos nolineales ([4]) o que se ex-presen como sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (E.D.P.) o con retardos de tiempo, no existe aún una teoría general robusta que trate con estos modelos. Sin embargo, como veremos en las aplicaciones, se pueden adaptar los métodos del Control Robusto actuales para resolver problemas de control en sistemas nolineales (avión X-29 [20], satélite SAC-B [1]), descriptos por derivadas parciales (estructura flexible [10,11]) o con retardos de tiempo (planta de D20 [22]). Sin embargo, el punto importante es notar que al aumentar la cadena de simplificaciones que se realizan para representar con un modelo DFLIT un determinado proceso físico, aumentan también las diferencias entre ambos. Esto puede verse simbólicamente en la figura 1, donde se representan las tres fases del problema general: la realidad experimental', el modelo de simulación y el modelo teórico para el diseño. La diferencia entre el modelo utilizado para el diseño del con-trolador y la realidad física se interpreta y cuantifica como incertidumbre y es utilizada por la teoría de Control Robusto. Por lo tanto, al diseñar en la etapa teórica un controlador robusto, se está considerando también la fase experimental. Esto se debe a que esta es una Teoría aplicada de Control, es decir que busca como objetivo final la implementación práctica. En el esquema de la figura 2, pueden verse los pasos simpli-ficatorios mencionados antes hasta obtener una descripción de la realidad en términos de un modelo nominal y una incertidumbre. En la misma además, se mencionan algunos de los ejemplos que se describirán en mayor detalle en la última sección. 'Que a su vez es sólo un aspecto de una realidad física más compleja.

6

Operacionalmente la teoría robusta trabaja con el modelo no-minal y la incertidumbre como una familia de modelos matemá-ticos. Por lo tanto, si esta familia de (infinitos) modelos incluye a la representación de la realidad, poder controlar esta familia se traduce en poder controlar efectivamente el proceso físico real. Por lo tanto los métodos de la teoría de Control Robusto analizan y diseñan controladores que controlan familias de modelos y no modelos individuales, como las teorías convencionales.

2.2 Necesidad de realimentar El concepto de realimentación está tan íntimamente ligado al de la teoría de control que hasta se podría decir que ésta es, en realidad, la teoría de los sistemas realimentados. Por lo tanto es fundamental entender conceptualmente la razón por la cual se realimenta un sistema. Tomemos por ejemplo el sistema realimentado de la figura 3, en donde se representa mediante una interconexión de bloques al sistema físico a controlar S, el modelo matemático del controlador K y una perturbación externa al sistema p que afecta su salida. En la figura 4 sumamos y restamos dentro del lazo de control un modelo matemático G, que aproxima al sistema real S, de modo que la estructura permanezca invariante. Finalmente en la figura 5 definimos la conexión entre el modelo G y control K como un nuevo controlador C = K (I + GK)-1. El objetivo de estas transformaciones es el de expresar la señal de realimentación en función de sus componentes fundamentales, esto es:

Claramente se observa que la existencia de la realimentación se debe exclusivamente a los términos inciertos del lazo: p y ∆. La perturbación p se supone incierta, ya que de lo contrario, al conocer exactamente su forma y el instante en el que comienza

7

Figura 2: "Traducción" de la realidad a una familia de modelos DFLIT.

8

Figura 3: Lazo realimentado de control.

Figura 4: Sistema físico y modelo matemático.

9

Figura 5: Realimentación e Incertidumbre

10

a actuar podríamos contrarrestarla con otra señal idéntica que se reste a la salida de S, sin necesidad de realimentación. Aún en control Clásico y Moderno, a pesar de suponer conocida la forma de la perturbación al lazo (impulsos, escalones, senoides), se asume un desconocimiento del instante en el que actuará. En Control Robusto además, se agrega la hipótesis más realista de suponer desconocimiento sobre la forma de la perturbación. Existe además el desconocimiento en la representación matemá-tica del sistema, al que denominamos específicamente incertidumbre y denotamos como ∆. El concepto fundamental que diferencia a las teorías de control Clásico y Moderno de la teoría Robusta de control es que en ésta última se explicita y cuantifica esta diferencia. A partir de este hecho, no es lo mismo el sistema físico que el modelo matemático que lo representa. Esto último, que parece un concepto trivial, no se incorporó explícitamente a la teoría hasta principios de la década del 80.

En particular se trabaja con un modelo nominal G y una incertidumbre ∆, desconocida pero acotada, de modo que ambos generen una familia de infinitos modelos matemáticos. Un ejemplo de familia de modelos es el siguiente:

siendo I la matriz identidad y W∆ un modelo que da un grado de libertad más a la selección de la familia. De esta ecuación se observa que para cada ∆ que satisfaga la desigualdad, se genera un modelo distinto y de ahí los infinitos modelos que conforman la familia Ģ. La estabilización del modelo "central" G se llama estabilidad nominal, la de la familia de modelos, estabilidad robusta.

Finalmente supongamos, aunque resulte utópico, que conocemos exactamente la perturbación, de modo que, sin pérdida de generalidad (ya que es factible contrarrestarla), la tomaremos como cero. También supongamos que nuestro modelo matemático G no

11

Figura 6: Sistemas inestables.

tiene error, es decir que cuantifica exactamente las relaciones en-tre las entradas y salidas del sistema S, con lo cual S ≡ G. De acuerdo a la figura 5 esto significa que f = 0 y la estructura de control pasa a ser de lazo abierto, como se observa en la figura 6. Esto es perfectamente razonable, ya que manipular con la física y con las matemáticas, de acuerdo a nuestras hipótesis, es lo mismo. Ahora bien, supongamos que el sistema S es inestable, es decir que entradas acotadas pueden dar lugar a salidas no acotadas (divergentes). Debido a que entre el controlador C y la planta S existe una conexión física (por ejemplo: señales eléctricas de una computadora que activan un actuador), es inevitable que se introduzca ruido o perturbaciones no deseadas, a los que definimos como w en la misma figura. Si el sistema es inestable a lazo abierto, esta señal perturbadora w puede dar lugar a señales divergentes a la salida del sistema, invalidando nuevamente la estructura de lazo abierto. Debido a la presencia de incertidumbre, en la forma de ruido aditivo w entre controlador y planta, se hace necesaria la realimentación para lograr, en este caso, estabilizar un sistema inestable.

En los dos casos anteriores, sea por las perturbaciones externas p o w o por la incertidumbre en el modelo ∆, se concluye que resulta necesario realimentar el sistema. La realimentación está ligada a la presencia de incertidumbre, sea esta externa a la planta o en el modelo de la misma, por lo tanto la nueva teoría de control debe

12

tener esto en cuenta. Generalizando el concepto al principio de esta sección, podemos definir la nueva teoría como la teoría de control de sistemas inciertos.

Es notable que a pesar de que estos conceptos no son nuevos, recién a partir de principios de la década del 80 se explicitan y se introducen en las bases de una nueva teoría de control. Tanto en control Clásico como Moderno, se trabajaba con un único modelo al que se le asignaba máxima credibilidad, pero no se cuantificaban las diferencias al diseñar para un modelo que pudiera no representar correctamente al sistema. Al implementar el controlador, se corregían estas deficiencias, que incluso podían ser catastróficas (lazo cerrado inestable), mediante prueba y error, basándose en experiencias adquiridas. Para los sistemas de control sofisticados que se pretende diseñar en la actualidad, es difícil adquirir una intuición válida a partir de la experiencia. Esto se debe a que las plantas son sumamente complejas, con muchas entradas y salidas, los procesos físicos in-volucrados no están del todo estudiados o simplemente porque son desarrollos nuevos sobre los cuales no existe experiencia previa. Veremos algunos ejemplos en la próxima sección.

3 Ejemplos de Aplicación

A continuación se presentan las soluciones que la teoría robusta de control ofrece a ciertas aplicaciones prácticas.

3.1 Motor paso a paso En esta sección trataremos el caso de un motor paso a paso de imán permanente utilizado para mover una mesa de posicionamiento lineal (ver figura 7). El objetivo es el de usar el motor paso a paso

13

Figura 7: Corte del motor paso a paso de imán permanente.

dentro de un lazo de realimentación para lograr movimientos rá-pidos y. precisos de la mesa, evitando a la vez acciones de control excesivas. Este lazo debe permitir el seguimiento de trayectorias de rotación, velocidad y aceleración angular prefijadas, con error nulo en estado estacionario. Este ejemplo ha sido desarrollado en [3], aunque allí no se hace ninguna consideración de robustez. El propósito es el de mostrar como, para aplicaciones en donde se exige una performance mayor a la usual, resulta indispensable contar con un diseño robusto. Esto implica tener en cuenta la incertidumbre del modelo durante la etapa de diseño, ya que de lo contrario, al aplicar el controlador al sistema real puede resultar inestable a lazo cerrado.

El modelo del motor es típicamente nolineal, sin embargo realizando una linealización por realimentación ([13,4]) y la transformación de Blondel-Park se puede lograr un modelo lineal de la dinámica del error de seguimiento (ver [3]). Este modelo nominal representado como matriz de transferencia en transformada de

14

Laplace resulta:

donde R y L son la resistencia e inductancia de los bobinados, J la inercia de motor y mesa, B el coeficiente de fricción viscosa y Km la constante de torque del motor. Los valores de estas constantes han sido obtenidos experimentalmente a través de un proceso de identificación de parámetros (ver Glosario). Las entradas a este sistema multivariable son las tensiones directa ud y de cuadratura uq. Las salidas son los errores en las corrientes directa eid y de cuadratura eiq, la velocidad angular ew, y el ángulo de rotación eθ. Estos errores se toman entre el valor medido a la salida y el de la trayectoria de referencia prefijada, por ejemplo ew, = w – wr.

Aún sin considerar la nolinealidad, que se soluciona mediante una realimentación nolineal, el ejemplo es claramente multivariable y la planta rectangular (4 salidas, 2 entradas). Por lo tanto no es posible tratarlo por los métodos del control clásico ([9]). El control moderno ([15]) podría ser utilizado para este caso para diseñar un controlador adecuado para el modelo nominal representado por la ecuación (3). De hecho, en [3], mediante realimentación de estados y ubicación de polos se controla el modelo descripto por (3).

Sin embargo, como se ha mencionado a lo largo de este artículo, un solo modelo no no puede representar al sistema real. La incer-teza entre el modelo nominal (3) y la planta física real deberá ser

15

Figura 8: Diseño X: a) y b) Máximo y mínimo valor singular del lazo; c) y d) Cota superior e inferior de performance; e) Cota superior de robustez (en altas frecuencias).

tenida en cuenta, especialmente si la performance exigida al lazo de control es grande, como en este caso. A tal efecto representamos a la planta real por la siguiente familia de modelos:

siendo I la matriz identidad. Este conjunto de modelos representa un conocimiento del sistema con un error menor al 10% en las frecuencias por debajo de los 104 rad/s (exacto en frecuencia cero). El desconocimiento es total para el funcionamiento de la planta real por arriba de los 105 rad/s, lo que representa velocidades mayores a 106 rpm. Este tipo de descripción da cuenta de los fenómenos de alta frecuencia que no están modelados por la ecuación (3). A pesar de que el conocimiento sobre la planta representado por (4) es optimista, igual fijará un límite a la máxima performance que se puede exigir al sistema de control a lazo cerrado, como veremos a continuación.

Utilizaremos para el diseño robusto el método de "loop shaping"

16

Figura 9: Diseño Robusto: a) y b) Máximo y mínimo valor singular del lazo; c) y d) Cota superior e inferior de performance; e) Cota superior de robustez (en altas frecuencias).

([8,23]) ya que está muy relacionado al diseño clásico que utiliza gráficos de Bode, con lo cual resultará mas intuitiva su comprensión. Este método sin embargo, puede utilizarse en general para sistemas multivariables como el que tratamos. El procedimiento consiste básicamente en ubicar el lazo de con-trol L(s) = Go(s)K(s) entre cotas en frecuencia. Estas cotas que-dan definidas por las exigencias de performance y robustez. En este ejemplo pueden observarse 3 de estas cotas en la figura 8. La cota superior de performance (a) está determinada por la limitación en la acción de control y la inferior (d) por la exigencia en la velocidad de seguimiento de trayectorias2. Asimismo también la incertidumbre en el modelo determina una cota superior (e), válida para altas frecuencias. En consecuencia, el gráfico de "magnitud" de Bode del lazo L(s) debe quedar ubicado entre estas cotas. Siendo L(s) una matriz de transferencia, se utiliza como generalización del gráfico de magnitud de Bode, los valores singulares (ver Glosario) de esta

2Estas han sido tomadas de los valores del lazo diseñado en [3], donde sólo se tiene en cuenta la performance.

17

matriz como funciones de la frecuencia w. Por lo tanto el máximo valor singular del lazo ō[L(jw)] debe quedar ubicado por debajo de ambas cotas superiores y el mínimo valor singular ō [L(jw)] por arriba de la cota inferior. Puede verse en la figura 9 estos valores para el lazo L(s) diseñado por el método robusto. Ambas cotas superiores han sido tenidas en cuenta, la de performance y la de robustez. Esta última es la que determina la cota activa sobre el lazo de control L(s) en este diseño.

Lo anterior asegura la performance del modelo nominal y la estabilidad a lazo cerrado de todos los elementos de la familia de modelos (4). Como vemos, esto toma en consideración el desconocimiento sobre la planta real. Es posible obtener una condición que asegura que el controlador diseñado estabiliza a todos los modelos de la familia g, esta es ([8,23]):

siendo ║A(s)║∞ el máximo para s = jw del máximo valor singular ō[A(jw)]. Esta condición es una valiosa herramienta de análisis de robustez de sistemas de control. A la vez, induce al diseño óptimo de controladores robustos por la técnica del control óptimo en H∞.

Si en cambio no se respeta la condición de robustez, es decir que se usa como cota superior para a[L(jw)] la definida por la performance (ver figura 8), puede resultar que algún modelo de la familia sea inestable a lazo cerrado. Como ejemplo tomaremos un diseño que considera solo las restricciones de performance, no tomando en cuenta las limitaciones por la incertidumbre del modelado. A este diseño lo llamaremos X (standard) y su lazo de control se encuentra representado en la figura 8.

Para ilustrar lo anterior se presentan las respuestas del sistema al seguimiento de una trayectoria de rotación de valor final 0.9π radianes, a una velocidad de 1350 rpm. impuesta durante 20 milise

18

Figura 10: Respuestas del diseño X para los modelos Go y G,F (inestable).

a

Figura 11: Respuestas del diseño robusto para los modelos Go y G*.

19

gundos. La rotación debe realizarse en 30 milisegundos y conlleva un movimiento de la mesa de 1.8 mm. Se perturban todas las entradas al sistema con valores constantes (10% de los de referencia), de modo de verificar que el sistema rechaza señales de tipo escalón. Se presentan las respuestas de ambos diseños, el X y el robusto, para dos modelos de planta distintos. Uno es el modelo nominal Go(s), el otro es un modelo G*(s) perteneciente a la familia Ģ, con una matriz de incertidumbre:

que representa dinámica de alta frecuencia no modelada por G0(s). El "tamaño" de esta perturbación es 10 veces menor al permitido

por la familia de modelos G: ║∆*║ = 0.1. Sin embargo veremos que es suficiente para desestabilizar al diseño X.

En la figura 10 se muestran las respuestas del diseño X para esta trayectoria y para ambos modelos. Puede notarse que la respuesta para el modelo nominal es levemente más rápida que el del diseño robusto. Esto tienen sentido ya que el diseño X sólo tuvo en cuenta la performance. Sin embargo la respuesta para el modelo G*(s) resulta claramente inestable cuando se usa el controlador X. Debe aclararse además que hay infinitos modelos dentro de la familia Ģ para los cuales este diseño genera un lazo cerrado inestable.

En la figura 11 se presentan el mismo material, pero para el diseño robusto. Como puede observarse, las respuestas de ambos modelos prácticamente coinciden y además siguen la trayectoria de referencia adecuadamente. Puede demostrarse además que con el controlador robusto ninguno de los modelos de la familia Ģ resulta inestable a lazo cerrado.

La enseñanza que uno puede obtener de esto es, que existen, especialmente para exigencias demasiado estrictas de performance,

20

límites sobre lo que se puede realizar en la práctica. Estos límites están impuestos por el conocimiento que se posee sobre la diná-mica del sistema real. En el ejemplo anterior resulta intuitivo este problema si lo mira en términos de control clásico. Cuanto más performance se requiere, más alta deberá ser la "ganancia" del lazo a altas frecuencias, pero esto puede `a su vez inestabilizar el sistema. La mayor robustez se logra por lo tanto, bajando las "ganancias" a Costa de una menor performance en algunos casos. En otros casos y con otros tipos de incertidumbre (ver ejemplo X-29) la explicación no resulta tan intuitiva. Además en el ejemplo presentado, no hay solución posible por métodos de control clásico ni de control moderno, ya que en ninguno de los dos casos se tiene en cuenta la incertidumbre en el modelo. Aún utilizando control adaptivo tampoco es posible resolver este problema, por dos razones. Desde el punto de vista teórico, el control adaptivo considera una dinámica fija para el sistema3 y en nuestro caso lo que desestabiliza al diseño X es la dinámica de altas frecuencias no modelada. Desde el punto de vista práctico, dada la velocidad de respuesta del sistema, no es posible por el momento realizar en tan poco tiempo los cálculos de identificación y adaptación del controlador adaptivo. En cambio el diseño robusto utiliza un sólo controlador diseñado de antemano el cual no es necesario modificar en tiempo real y que además ya tiene en cuenta implícitamente la incertidumbre del modelo. 3.2 Avión experimental X-29 El problema consiste en analizar la estabilidad robusta del con-trolador diseñado por la NASA para los ejes de rolido y guiñada del avión experimental mencionado (ver figura 12), bajo condiciones riesgosas de vuelo (baja altura y gran ángulo de ataque, [7,20]).

3Se asume una cota superior en el orden de las ecuaciones diferenciales que lo describen.

21

Figura 12: Avión experimental de NASA: X-29.

Por estabilidad robusta se entiende la estabilidad de todos los posibles sistemas realimentados que se generan al considerar los intervalos de incertidumbre de los parámetros del modelo. Estos parámetros, los coeficientes aerodinámicos, se calculan experimentalmente y no toman valores exactos sino dentro de un intervalo. Para cada combinación de parámetros, tomados de sus respectivos intervalos de incertidumbre, se genera un modelo realimentado particular. Por lo tanto el problema consiste en verificar la estabilidad de los infinitos sistemas de control posibles. Obviamente esto no se puede comprobar probando uno a la vez, de manera que deberá adoptarse una estrategia más inteligente.

El análisis de estabilidad robusta se resuelve, de manera equivalente, computando el margen de estabilidad del sistema de control. Este margen da la medida de la mínima "distancia" a la inestabilidad del conjunto de infinitos sistemas de control posibles.

22

Es conveniente además, computar la combinación de paámetros que genera el sistema de control más cercano a la inestabilidad de todo el conjunto considerado.

En sistemas de control para los que existe mucha experiencia o que tienen exigencias de diseño no demasiado restrictivas (aviones de línea por ejemplo), este tipo de análisis se realiza "intuitivamente", es decir, basado en las experiencias previas. Otras veces, ala solución de sentido común adoptada es la de probar sólo las combinaciones de los extremos de cada intervalo de incertidumbre.

Lamentablemente en casos donde no hay experiencia previa, o donde las condiciones son muy restrictivas, el problema debe encararse de manera sistemática. Para problemas de esta envergadura, recién surge una solución sistemática, dada por la teoría robusta de control, a finales de la década del 80 ([25,21]). En particular en este ejemplo, se encontró que la "peor" combinación de parámetros no se da justamente en los extremos de los intervalos ([20]), sino en puntos intermedios, solución que no podría haber sido hallada ni aún con el uso intensivo de computadoras.

3.3 Estructuras mecánicas flexibles Un tema de interés de gran actualidad es el de las estructuras mecánicas flexibles. Surge en E.E.U.U. debido a la necesidad de armar, en el espacio, estructuras de gran tamaño que orbiten la Tierra. Debido a los altos costos de cada kilo puesto en órbita, los materiales utilizados por la industria espacial son lo más livianos posibles. La combinación de elementos livianos formando una gran estructura que "flota" en el espacio con muy poco amortiguamiento, resulta muy flexible, lo que genera problemas importantes de vibraciones. Por lo tanto se busca eliminar, por medio del control automático, las vibraciones presentes en estas grandes estructuras espaciales. Asimismo se requiere que esta estabilización de vibraciones se realice en el menor tiempo posible.

23

Un limitación importante cuando se busca resolver este tipo de problemas, es el desconocimiento del modelo matemático de la estructura a controlar. Esto sucede, ya sea cuando el modelo se obtiene experimentalmente o en el caso en que se obtenga por medio del planteo de leyes físicas. En este último caso, en general, resulta un modelo descripto por ecuaciones en derivadas parciales, las que no pueden ser utilizadas directamente para diseñar un controlador ni aún como un modelo computacional para simulaciones. Por otra parte, el desconocimiento del modelo matemático utilizado para diseñar el controlador, influye directamente en el mínimo tiempo de respuesta en la atenuación de vibraciones. El Control Robusto da en este caso, una respuesta cuantitativa a este problema, que no es posible hallar usando las teorías vigentes hasta 1980. Es decir, se puede encontrar siempre la respuesta más rápida posible, la que dependerá de la incertidumbre entre el modelo matemático y la realidad. Esta incertidumbre puede a su vez hacerse más pequeña si fuera necesario, mediante experimentos de identificación más refinados ([12]). En la figura 13 se muestra la representación física simplificada de un sistema flexible de un grado de libertad que responde a una descripción por ecuaciones en derivadas parciales con condiciones iniciales y de contorno. Se busca controlar las vibraciones de esta cuerda mediante una fuerza u(t) aplicada en la punta libre de la misma ([10,11]). En la figura 14 se observan las respuestas de la cuerda en los casos con y sin controlador, notándose la velocidad de respuesta del control para atenuar la onda estacionaria generada por la vibraciones iniciales. Tanto el diseño del controlador, como la aproximación del modelo en derivadas parciales por otro en derivadas ordinarias se realizaron mediante técnicas de Control e Identificación Robustas ([12,24]).

24

Figura 13: Esquema simplificado de una estructura mecánica flexible.

25

Figura 14: Respuestas con y sin control.

3.4 Planta de extracción de D20 Se trata de una planta química de extracción de D20 ([19]) a la cual se desea controlar a partir del flujo diferencial de entrada de H20. Un esquema simplificado de la misma puede verse en la figura 15. En el proceso de extracción, existe un tiempo muerto o tiempo de espera muy grande (≈ 5 horas) entre la extracción de las muestras del producto y la obtención de los resultados de la concentración final de D20 en las mismas. Esto se debe a que la extracción se realiza manualmente en las diversas columnas de destilación y la medición final de concentración de D20 requiere un tiempo de algunas horas. Asimismo, se desea minimizar los efectos de las perturbaciones dentro del proceso químico, en la concentración final de D20. Para los métodos de control convencionales ninguna de estas restricciones representan un problema grave, siempre que se conozca con precisión el tiempo muerto y la forma o dinámica de

26

Figura 15: Planta experimental de extracción de D20.

las perturbaciones al proceso. En este caso, sin embargo, el tiempo de retardo tiene una

incertidumbre muy grande ya que puede estar entre las 4 y las 6 horas. Además, no se conoce en absoluto el tipo de perturbacio-nes que afectan el proceso, salvo por el hecho de que se sabe que tienen una energía acotada. Por lo tanto nos encontramos con un problema donde existe una gran incertidumbre tanto en el modelo del proceso a controlar como en las perturbaciones que lo afectan. Los métodos convencionales no pueden dar una respuesta a este problema de manera sistemática, ya que entre sus hipótesis no se cuantifica el efecto de la incertidumbre. Por lo tanto se deberá aplicar la teoría de Control Robusto.

Mediante estos métodos es posible diseñar un único controlador que regule el proceso de manera efectiva, independientemente del tiempo muerto que este posea (dentro de las 4 y 6 horas o del

27

Figura 16: Respuestas a la peor perturbación, para tres retardos de tiempo diferentes.

28

Figura 17: Sistema de inyección de combustible.

tipo de perturbaciones que lo afecten (siempre que tengan energía acotada) ([22]). Es posible a demás encontrar, dentro del conjunto de perturbaciones acotadas, cual es la que más afecta al proceso de extracción. El procedimiento de diseño robusto plantea ventajas incluso sobre las metodologías de control adaptivo, ya que el controlador robusto es único y no debe cambiar durante el proceso, "adaptándose" a cambios en las condiciones (tiempos muertos y perturbaciones). En la figura 16 pueden verse las respuestas del proceso ante la peor perturbación posible y para tiempos muertos de 4,5 y 6 horas, las que esencialmente son idénticas (de ahí la palabra robusto). 3.5 Control de Bomba Inyectora Debido al contínuo avance de la electrónica, los sistemas de control en automotores se han hecho cada vez más complejos y sofisticados.

29

Específicamente, se exige cada vez más una respuesta aceptable y rápida del control ante cambios en los parámetros del modelo y el ambiente externo. Es este el caso de la bomba de inyección de combustible de motores diesel cuyo diagrama puede verse en la figura 17. Tanto el servo de control como el solenoide están inmersos en combustible, cuya viscosidad varía. notablemente ante cambios en la temperatura. Por lo tanto se desea diseñar un controlador que responda rápidamente y en forma eficaz ante estos cambios. Para mayores detalles puede verse [14].

Las características dinámicas del sistema, en este caso la bomba inyectora de un motor diesel, se han identificado a tres temperaturas distintas 0ºC, 25°C y 60°C, obteniéndose en cada caso modelos bastante bien ajustados a la realidad. A continuación se comparan los resultados obtenidos por métodos tradicionales ([15]) considerados "óptimos" y por la metodología de Control Robusto denominada de H∞

La metodología tradicional de diseño consiste en producir un controlador basado en un modelo único, en este caso el que corresponde a la temperatura de 25°C. Para este modelo es posible diseñár un controlador "óptimo", mediante el procedimiento denominado LQR ([15]). Sin embargo, lo que resulta óptimo para un modelo, puede no serlo para los demás. Esto puede observarse en la figura 18, en donde se presentan las respuestas experimentales de este control para las tres temperaturas, observándose que en el caso de T = 60°C ésta resulta oscilatoria.

Una manera alternativa de realizar el diseño por métodos tradicionales sería el de computar, por el procedimiento LQR por ejemplo, tres diseños distintos (o tantos como temperaturas se deseen) y conmutar los controladores al variar la temperatura. Esto mejoraría las respuestas obtenidas en la figura 18, pero a costa de tener que realizar varios diseños, sensar la temperatura continuamente y estudiar las transiciones en la conmutación entre los distintos controles. Una última opción, conceptualmente ligada al control

30

Figura 18: Control óptimo LQR: Respuestas experimentales.

adaptivo, consiste en computar un modelo del sistema y diseñar un controlador basado en este último, de manera continua y en tiempo real. Para una aplicación como la que tratamos, el tiempo de cómputo para identificar un modelo y diseñar un control puede exceder considerablemente el tiempo de respuesta aceptable.

La metodología de Control Robusto, en cambio, produce un único controlador que funciona bien para los tres modelos obtenidos y en general, para el rango de temperaturas de funcionamiento que va entre 0°C y 60°C. Esto puede en la figura 19 en donde se observa que el sistema a lazo cerrado es robusto con respecto a los cambios en la temperatura del fluido, dado que las respuestas resultan similares entre sí y todas además, satisfacen las especificaciones de diseño. Estas respuestas se mantienen para todo el rango de temperaturas intermedias T є [0º,60º].

31

Figura 19: Control óptimo en H∞: Respuestas experimentales.

4 Conclusiones

Se han presentado los fundamentos de la Teoría de Control Robusto, poniendo especial énfasis en que es una teoría aplicada, es decir, que busca como objetivo final la implementación práctica. Esto se debe a que la principal diferencia entre la teoría de Control Robusto y las anteriores es la inclusión en las hipótesis, de la incertidumbre en el modelo matemático del sistema a controlar. Este concepto simple es el que tiende el puente entre realidad y teoría.

Las aplicaciones sofisticadas que se presentan en la actualidad exigen que las diferencias entre realidad y modelos matemáticos sean tenidas en cuenta. A pesar de que quedan aún muchos problemas por resolver dentro de la teoría Robusta de Control, ésta ha permitido resolver con éxito muchos problemas de aplicación que antes ni siquiera podían plantearse de manera sistemática. Algunos

32

de ellos han sido presentados en este artículo.

Bibliografía

[1] Anigstein P., Sánchez Peña R., Yasielski R., Jáuregúi M., Alonso R., Mission Mode Attitude Control for SAC B, International national Symposium on Spacecraft Ground Control and Flight Dynamics, S.J. dos Campos, Brasil, 1994.

[2] Bode H.W., Network Analysis and Feedback amplifier Design, Van Nostrand, Princeton N.J., 1945.

[3] Bodson M., Chiasson J.N., Novotnak R.T., Rekowski R.B., "High-Performance Nonlinear Feedback Control of a Permanent Magnet Stepper, Motor", IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 1, No. 1, 1993.

[4] D'Attellis C.E., Introducción a los Sistemas Nolineales de Control y sus Aplicaciones, Editorial Control S.R.L. (AA-DECA), Buenos Aires, 1992.

[5] Dorato P.(editor), Robust Control, IEEE Press,1987.

[6] Dorato P., Yedavalli R. (editores)., Recent Advances in, Robust Control, IEEE Press, 1990.

[7] Doyle J.C., Sideris A., Sánchez Peña R., Newlin M., Modelling, Analysis and Identification of Uncertain Systems, Semiannual Progress Report, NASA Grant No. NCC2-477, Enero 1988,

[8] Doyle J., Francis B., Tannenbaum A., Feedback Control Theory, Maxwell Macmillan, 1992.

[9] Franklin G., Powell J., Emami-Naeini A., Feedback Control of Dynamic Systems, Reading MA, Addison Wesley, 1986.

33

[10] Galarza C., Sánchez Peña R., "Aproximación de Modelos y Control en Aplicación a Estructuras Flexibles", XIII Sim-posio Nacional de Control Automático (AADECA), Buenos Aires, 1992.

[11] Galarza C., 'Sánchez Peña R., "Robust Approximation & Con. trol", en revisión en el IEEE Control Systems Magazine desde 1993.

[12] Galarza C., Sánchez Peña R.S., "Identificación Robusta de Sistemas", Reuniones de Procesamiento de la Información & Control (RPIC), Tucumán, Argentina, 1993.

[13] Isidori A., Nonlinear Control Systems:An Introduction, Communications and Control Eng. Series, Springer-Verlag, 1989.

[14] Kuraoka H., Ohka N., Ohba M., Hosoe S, Zhang F., "Application of 7-h design to Automotive fuel control", IEEE Control Systems Magazine, Vol. 10, No. 3, 1990.

[15] Kwakernaak H., Sivan R., Linear Optimal Control Systems, Wiley Interscience, 1972.

[16] Ljung L., System Identification: Theory for the user, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1987.

[17] R. E. Maine, K. W. Iliff, "Application of Parameter Estimation to Aircraft Stability and Control: The Output error approach", NASA Reference Publication 1168, 1986.

[18] Nyquist H., "Regeneration theory", Bell Syst. Tech. Journal", Vol. 11, 1932.

[19] Paredes S. O., "Dinámica y Control de una planta de Agua Pesada", Trabajo especial, Instituto Balseiro, Centro Atómico Bariloche, CNEA, 1,986.

34

[20] Sánchez Peña R., Robust analysis of feedback systems with parametric and dynamic structured uncertainty, Ph.D. Dis-sertation, California Institute of Technology, Pasadena, 1988.

[21] Sánchez Peña ,R., Sideris A., "Robustness with real pa-rametric and structured complex uncertainty", reprint en Recent Advances in Robust Control, IEEE Press, 1990; versión final en International Journal of Control, Vol. 52, No. 3, 1990.

[22] Sánchez Peña R., "Robust Analysis & Control of a D20 plant", Latin American Applied Research, Vol. 24, No.3 , 1994.

[23] Sánchez Peña R., Introducción a la Teoría de Control Robusto, Editorial Control S.R.L. (AADECA), Buenos Aires, 1992.

[24] Sánchez Peña R., Galarza C., "Practical Issues in Robust Identification", IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 2, No. 1, 1994.

[25] Sideris A., Sánchez Peña R., "Fast computation of the Mul-tivariable Stability Margin for real interrelated uncertain pa-rameters", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 34, No. 12, 1989.

[26] P. Varaiya, "Smart Cars on Smart Roads", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 38, No. 2, 1993.

Glosario

Modelo: representación en términos matemáticos de las relaciones entre ciertas entradas y salidas de un sistema físico, usualmente a través de ecuaciones diferenciales.

35

Identificar: obtener un modelo matemático de un sistema físico por medio de un experimento qué compara las salidas de ambos y "ajusta" ciertos parámetros del modelo hasta minimizar esta diferencia.

E.D.O.: ecuaciones diferenciales ordinarias. Conjunto de ecuaciones expresadas en términos de las derivadas (generalmente con respecto al tiempo) de las variables de interés.

D.F.L.I.T.: dimensión finita, lineal e invariante en el tiempo. Conjunto de ecuaciones diferenciales que tienen un número finito de términos en derivadas, lineales en función de estos y con coeficientes constantes.

Modelo en variables de estado. Las ecuaciones D.F.L.I.T. admiten ser expresadas como una ecuación diferencial vectorial de primer orden (sólo la primer derivada), función del vector de estados x(t) y los vectores de salidas y(t) y entradas u(t):

Función de Transferencia. Mediante el uso de la Transformada de Laplace es posible convertir una ecuación diferencial D.F.L.I.T. en una ecuación algebraica, función de una variable compleja s. Luego de esta transformación, al cociente entre salida Y(s) y entrada U(s) del modelo se lo denomina función de transferencia G(s), i.e. Y(s) = G(s)U(s).

Estabilidad. Se dice que un sistema es estable cuando para toda señal de entrada acotada en módulo (en energía), se obtiene una salida acotada en módulo (en energía). Para sistemas representados por modelos en variables de estado, es condición necesaria y suficiente de estabilidad, que los autovalores de la matriz de estados A tengan parte real estrictamente negativa.

36

De manera equivalente, para modelos en la transformada de Laplace, las raíces del denominador (polos) de la función de transferencia G(s) deben satisfacer la misma propiedad.

Valor singular. Los valores singulares de una matriz A son las raíces de los autovalores de la matriz por su transpuesta conjugada, esto es

El máximo de ellos da una medida del "tamaño" (norma) de la matriz. El menor da una medida de la "singularidad" de la misma.

37

CONSEJO DIRECTIVO AADECA 94-96

Presidente: Ing. Jonás Paiuk Vicepresidente 12: Ing. Aurelio T. Casucci Vicepresidente 22: Ing. Zoltán L. Barkasz Secretario General: Ing. Luis M. Buresti Prosecretario: Ing. Daniel 0. Lupi Tesorero: Ing. Juan P. Weisz Protesorero: Ing. Ricardo J. Agostinelli Vocales Titulares: Ing. Hector A. Maceri

Ing. Eduardo R. Rondelli Ing. Osvaldo H. Capino

Vocales Suplentes: Ing. Sergio Szklanny Ing. Rubén Bocanera

Adscripta a Consejo Directivo: Susana Terlizzi

BECA - AADECA 1995 TEMA: Control Robusto,

Sistemas Difusos (Fuzzy Logic) y/o Redes Neuronales en Control.

Aplicaciones Industriales. Esta beca se otorga a estudiantes avanzados de universidades

e institutos terciarios para estimular la formación científica y técnica a través de trabajos de investigación y desarrollo

sobre temas de Control Automático.

La Beca consiste en:

• Un estipendio mensual de $ 450 por un período máximo de doce meses.

• Reconocimiento de gastos por bibliografía hasta un máximo de $ 600. • Reconocimiento de gastos por software especializado hasta un máximo de $ 600. • Reconocimiento de gastos para materiales hasta un máximo de $ 1.000. Período de presentación de solicitudes:

15 de Abril al 15 de Agosto de 1995.

Adjudicación de la Beca:

Será comunicada en el Acto Inaugural del 4th Symposium on Low Cost Automation a realizarse en la Facultad de Ingeniería,

Universidad de Buenos Aires, el 13 de Setiembre de 1995.