SulFapprossimazione dell'integrale di Lebesgue mediunte integrali di Riemann.

Memoria di ~IUSEPPE SCORzA*DR~(~O~I (a Napoli),

Sunto. - In questa Memoria viene assegnata una legge che ad ogni funzione misurabile fa corrispondere una successione di integral/i di !%~EMA~N convergente verso il relativo inte. grale di LEBESGUE.

Nel cercare di rendere indipendenti dal postulato di ZERMELO le dimo-

strazioni di alcuni teoremi sulle funzioni misurabili, mi sono accorto che, senza

fare alcun ricorso a quel postulato, poteva essere istituito m~ procedimento

atto a fornire, per ciascuna funzione misurabile, una successione di integrali

di I%IEMANN (superiori o inferiori) avente per limite il relativo integrale di

LEBESGUE, e che da ei6, con opportune modificazioni ed ampliamen~i, poteva

esser dedotta una definizione del l ' integrale di una funzione di variabile reale,

avente senz 'al t ro l ' ident ica portata di quella data da LEBESGUE~ se si am-

mette il postulato di ZERMELO.

Avendo comunicato a mio padre i rilievi da me fatti ed avendo egli, in

seguito a ci6, r ichiamata la mia attenzione su di una Memoria del prof. B. LEVI,

pubblicata tre anni fa (~), he visto c h e l a definizione di integrale che avrei

potuto dedurre dal detto procedimento sarebbe stata del tutto simile a quella gih proposta dal prof. LEVI.

Posto ci6, non 4 il caso di fermarsi ad illustrare la definizione in di-

scorso (~); ma, se non mi inganno, non ~ del tutto inutile esporre in questa

(i) BEPPO LEVI~ Sulla definizione dell'integrale~ ~ Annali di Matematica ~, seMe IV. tomo I (1923-1924). Vedi anche: G~t:SEPPE VITALI, Sulla definizione di integrale delle fun. zioni di u,~o~ variabile, ~< A n n a l i di Matematica ~>~ serie IV , tomo I I ~1924-1925). (l~Iel testo dico ,< tre anni fa ~ perch~ i l manoscri t to di questo la:voro f~a inviato nel dicerabre del 1927).

('~) Tanto pifi che o rmai si posseggono sistemazioni della teoria degli integral i di LE- BESGUE che~ anche dal punto di v is ta della semplicit~ didattica~ nut la lasciano a desiderate. I n t endo al ludere con ci6 in modo partieolare alla esposizione 4i quella teoria che si t rova nei Fondamenti di CatcoIo deUe variazioni del prof. TO~ELLI (Bologna~ Zanichell i , 19~2, vol. I~ loagg. 143-198) e, ancora megtio, a qnel la svolta dal medesimo Autore nel la Memoria : Sulla nozione di integq'ale (qaesti ,, A n n a t i >~ serie IV~ tomo I), alla quale r imando per la bib]iografia dell ' argomento.

62 G. ScORZ~-DRAc~o~I: Sul l ' appross imaz ione del t ' i~ tegrale di Lebesgue

hTota il p rocedimento da cui potrebbe essere dedot ta per le funzioni misu-

rabiti .

1. I punti

3 1 1 t 1 . . . . X ~ - 2 ~ ~ X - - 2 n _ l , X - - 2 n , X ~--- O, X ~ - ~ , X ~ 2 * * _ 1 , . . . .

de te rminano su l l ' a sse delle x , per ogni va lore intero e posit ivo di n, u n ' i m

finith n u m e r a t a di in terval l i

1 I i I .... 2 n _ ~ ~ x ~ 2 " ' 2 '~ ~ x ~ O' O ~ x ~ 2- ~ , ....

A1 var ia r di n gti intervMli considera t i descr ivono un insieme nume-

rato I ' di insiemi numera t i di interval l i . L ' i n s i e m e I degti interval l i di tutti

gli insiemi di I ' ~ quindi numerab i le ed i suoi e lement i si possono ordinare

in un' union success ione

(1) I ' I , , 5 , ....

DMia (1) e s t r aggh iamo p interval l i [n, , .... , I% e eonsider iamo l ' ins ieme

J ' = 4 - .... 4 -

Dico e h e l ' i n s i e m e J d e g l i i n s i e m i J' b n u m e ~ ' a b i l e .

Ci6 ~ immedia to : ad ogni punto intero di S~ ( p = 1, 2, .... ), n~, .... , nv, si

pub fat' cor r i spondere uno ed un solo e lemento di aT, i' insieme J ' ~ g,, + .... + I,~ ;

ora la total i tg dei punti inter i di S~ S~, .... ~ numerabi le , quindi anche J 4

numerab i le ed i suoi e lement i si possono ord ina te

J " J~, J.2, ....

2. ]~ noto che la misura di LEBESGUE di un insieme E misurabi le e di

misura finita 5 l ' e s t r emo super iore delle porzioni chiuse e 1imitate di E ; in

altri termini , fissato un numero positivo e, esiste sempre un insieme chiuso

e l imitato C tale che sin

(2) C ~ E, m C ~ m E ~ m C + ~.

0 r a la misura secondo LEBESGUE 6 1~% misura es te rna secondo JORDAN

de l l ' i n s i eme chiuso e l imitato C coincidono (~); ma la misura es te rna di C

(I) CARATHI~ODOR¥~ V o ' r l e s u n g e n i~ber r e e l l e F u n k t i o n e n . Teubner, 1918, pag. 297, § 287.

mediante integrali di Riemann 63

seondo JORDAN non 4 al tro t h e l ' e s t r emo infer iore delle misure degli e lement i

di J che r icoprono C, quindi fissato il numero positivo ~ esiste un J,~ per il

quale

(3) C < J~, mC~__ m J ~ m C + ~.

Da C ~ J , e C ~ E si deduce

C < J n . E e quindi m C ~ m E . J + ~ m C q - ~ ;

confrontando la seconda di queste d iseguagl ianze con la seconda delle (2) e

delle (3), si ot t iene

m E - - m E . J n ~ ~, mJn - - m E . J ~ .~_ e,

dalla seconda delle quali d iscende

~nJn ~__ m E . J n -t- ~ ~ m E -~- ~;

per conseguenza.

Se E ~ un i n s i e m e m i s u r a b i l e di m i s u r a f in i ta ed ~ ~ u n n u m e r o po-

sit ivo, esiste a l m e n o u n e l emen to J , d i J tale che sia

(4) r e ( E - - E . J n ) ~ ~, ~ ( J n - - E . J ~ ) ~ ~, m J n ~ m E + ~.

Ad ogni e si pub na tu r a lmen te far corr i spondere l ' e l emen to di J che

ne l l ' o rd inamen to fissato 4 il primo a verif icare le (4).

3. Sia adesso

~n ~- 2 - ~ di modo che ~ ~v %~ - - ~.

Ind ich iamo con J+~, il pr imo degli e lement i di J per il quale

Poniamo

E , -.~ E - - E . J+~,

ed indichiamo con J~,. it pr imo e lemento di J per it quate

Sia

e sia J,~o

E 2 ~ E, - - E , . J,~

il pr imo e lemento di J per il qunle

m(E 2 - - E~.J~)_~/~3, m J ~ ~ m E 2 + % ~ % ÷ ~ .

64 G. ScoRz,~-Dm~GoxJ : Sull' approssimazione dell' integrale di Lebesgue

Si ponga

E3-=E, 2 --E~.J:.~

e si applichi ad E~ il discorso iatto per E~ Et , E2.

Cosi proseguendo indefinitamente, si ottengono due successioni di insiemi

E > E~ ;> E ~ > .... ,

] . , , J . , , ],~, ....

t h e verificano to seguenti disuguaglianze

mE~ <__ zp, m J% <__ sp_~ + %

Posto

(p = 2, 3,....).

E,, = + . , . . . .

misurabile, perch+ somma di un'infinith numerabile di in- si ha che Eo 6 tervalli chiusi ; che l ' insieme ( E - - E . E o ) + contenuto in E~, E2, .... , e, poich+ + l i m m E v ~

p ~ c w

lim ~p = 0~ + ~nche p ~ c ~

r e ( E - - E . E o ) = O ;

e che t ' ins ieme (E o - - E . Eo) 6 con~enuto in

( J ~ , - - E . J ~ , ) @ J ~ , @ ....

e quindi 6

re(E0 -- E . Eo) ~ m { ( J ~ , - E . J~, )-4- J~,~ @ .... / ~ m ( J ~ , - E . J , ~ , ) + m J , ~ + . . . . ~ (~) ~...~o

< s~ + (% -t- %) + (% + %) + .... ---- 2 2~ ~ = s.

Riassumendo : Se E O un ins ieme misurab i l e di m i s u r a f ini ta , esiste una

legge the ei consente di f a r corr i spondere ad ogni ~ > 0 un ins@me Eo,

somma di u n ' i n f i n i t d n u m e r a t a di i n t e rva l l i , tale che siano veri f ieate le

r e t a z i o n i m( E - - E . Eo) = O, m( E~, - - E . Eo) ~ s.

In parol% l ' ins ieme E o ricopre E a meno di un insieme di misura

(l) Si badi bene che, nel caso partScolarc in esame, questa d iseguagl ianza si giust i f ica senz~ l@orrere al pr incipio del le infini te scelte arbitrarie.

mediante integrali di Riemam,t 65

nulla, e la porzione di E 0 t h e non appar t iene ad E ha una misura minore

di e (~).

~. Per r agg iunge re maggior ch ia rezza helle dimostrazioni dei humer i se-

guenti , sar£ bene p reme t t e re quMche considerazione sugli insiemi esternu-

men te quadrabi l i .

Sia E un insiemc misurabi le di misura finit~ ed F la sua f ront iera (s),

frontiera, che 6 un ins ieme chiuso e qufndi misurab i le ; se 6

m ( F -- E . F) = 0,

cio4 se ha mism'a nulla la porzione di F che non appar t iene ad E, diremo

t h e E ~ es t e rnamente quadrabi le (a).

E v i d e n t e m e n t e : Ogni ins ieme chiuso di m i s u r a f inita ~ es ternamente

quadrabi le (~) ; e l ' i n s i eme somma di un numero finito di ins iemi esterna-

mente quadrabil i , iorivi a due a due di pun t i comuni o non, ~ es ternamente

quadrabi le ¢).

Dimos t r iamo adesso c h e : Se E ~ un insieme es ternamente quadrabi le

ed E' ~ una porz ione di E di m i s m ' a nulIa, l' insieme E~-= E ~ E' ~ ester-

namen te quadrabile.

Ind ich imno con F te~ f ront iera di E, con F~ la f ront ie ra di E~; dobbiamo

d imos t ra re che 6

m(F~ - -E~ • F~) = 0.

E ehiaro inf'atti che un punto di F~ che non appar t iene ad E~ o [ un

punto di (F 2 - E . F) o 5 un punto di E ' ; sicch~ si h~

( F, - - E, . F,) < ( F - - F . E) + E', e di qui d iscende

re(F, -- E,- F,) ~ re(F-- F. E) + mE' = 0.

Censider iamo adesso un ' inf ini t~ n u m e r a t a di intervMli chiusi

(5) :i:~, ~ , ....

(') L a proposizione del testo ~ un caso par t icolare di un teorema geometrico de] prof. VI- TALt (Sui gr~q)pi d i p u n t i e sulle f u n z i o n i di var iab i l i reali. ,~ Att i della R. Accademia di Torino ~, 43~ 1.908) nel ta forma datagl i dal C~RAT~EODORY (1oc. cir , pagg. 299-306); perb del teorema del VITALI non conosco dimostrazioni indipendent i dal postulato di ZERMEL0.

(2) CAB;A.TItl~ODORY~ ]OC, cir. pag, 216, (3) CAlaATgEODO~, 1OC. cit., pag. 289. (4) CAR£THf:ODO]CY, 1OC. cir.. pag. 291. (5) CArCATltEODORY, toc. cit., pag. 290.

A.nuali di ~fatematioa, Serie IV, Tomo VII, 9

66 G. SCOgZA+-DRAGO~I: Sull' approssimazione dell'integrale di Lebesgue

contenuti in un intervallo I e d indichiamo con in il segmento i,, privato dei

punti estremi.

L' insieme

si ottiene sopprimendo dal l ' insieme chiuso

[ - - l i ~ J r - i ~ / b .... I

gti estremi degli intervalli (5). 0 r a questi estremi formano uu insieme nume-

rabile, e (quindi) di misura nulla; di conseguenza, per il lemma precedent%

possiamo dire che : Se i~, i,, .... ~ una sueeessione di i n t e rva l l i con tenu t i in un segmento I,

l" i n s i eme I - - l i ~ 4 i~-~- .... 1 ~ e s t e r n a m e n t e quadrabi te .

5. Ci5 posto, dal teorema dimostrato al n. ° 3 si deduce che :

Se E ~ un insie~ne mi surab i l e di misu~a f ini ta, esisle u~a legge che ad

ogni ~ :> 0 fa corrisponde~'e una p o r z i o n e E~ di E e s t ecnamen te q~+~ad~abile

e tale che sia

m ( E - - E~) ~ s.

Supponiamo in un primo momento che E sia limitato ed indichiamo con i il primo degli intervalli chiusi ( - 1, 1), ( - -2 , 2 ) , . . . . che contiene E.

Posto E ' - - I - - E, dalla misurabilit~ di E segue

mE-~- m I - mE ' .

Per il teorema precedente, ad ~ possiamo far eorrispondere un insiem~ ben

determinato E0' ~ somma di un'infiuit~t numerata di intervalli chiusi i~, i~, ....

(che possiamo evidentemente supporre) contenuti in I e che ricopre E ' a meno

di un insieme di misura nulla~ per il quale

m(E 0 ' - E ' . E o ' ) ~ e , cio6 m E o ' ~ m E ' + s .

Per il n. ° 4 l ' ins ieme I - - E o ' 6 es ternamente quadrabi le ; inoltre 6

m ( I - - Eo') - - m I -- mEo'

m I - m E ' - - s

m E - - ~ ;

quindi, se poniamo

abbiamo ehe

E, - - ( [ - - Eo') - - ( E ' - - E ' . E+'),

1' insieme E, 6 es ternamente quadrabile perch~ differenza del-

mediante integrali di Riemann 67

l ' ins ieme e s t e rnamen te quadrabi le ( I - - Eo') e de l l ' ins ieme

(E' - - E ' . Eo') (n. ° 4) ;

che l ' i ns ieme E~ 6 contenuto in E ;

e che 6

mE, ~ r e ( I - - Eo' ) ~ m E - - ~,

cio+

di misura nuUa

m ( E - - E,) - - m E - - mE~ ~ ~.

Supponiamo in secondo luogo che E non sia l imitato ed indichiamo con I

il primo degli intm'valli ( - -1 , 1), .... per it quale 6

£ m E - - m E . [ ~ ;

indichiamo con E~ la porzione e s t e rnamen te quadrabi le di I . E, costrui ta nel

modo giS~ detto, per la quale 6

m I . E - - mE~ ~ ~ ;

ev iden temen te sar/~ anche

r e ( E - - E~) --- m E - - m I . E -t- m I . E - - m E , _~ ~, ;

cio~ l ' i n s i eme E, 6 l ' i n s i eme richiesto.

6. Sia adesso f ( x ) una funzione misurabil% limitata, non nega t iva e deft-

ni tu in un ins ieme E misurabi le e di misura finita, e siano ~ e ~ due humer i posit ivi a rb i t ra rL

Poich4 f ( x ) ~ l imi ta ta , esiste un primo numero intero e positivo n per il quale r iesce in tutto E

f ( x ) < no ;

e quindi, se indichiamo con

E~, E~,...., E,,

gti insiemi misurabi l i in cui 4, r i spe t t ivamente ,

0 _<_ f ( x ) < o, ~ ~ f ( x ) ~ 2~,...., (n - - l)o ~ f ( x ) < n~,

a v remo che gli insiemi E,,... . , E,~ sono a due a due privi di punti comuni e che 6

E--~ E~ + .... + E~ e quindi mE.--~ mE~ + .... + m E n .

68 G. SCOaZA-DRAGO~I: St i l l ' a p p r o s s i m a z i o n e deII ' i+degrale di L e b e s g u e

Col proced imento del numero precedente de te rmin iamo n porzioni E/, . . . . , E,(

di E~,...., E~ e s t e rnamen te quadrabi l i e tali che sia

(6) m(E~ - - E / ) ~ ~, . . . . , m ( E , - - E j ) ~ n"

Ind ich iamo con F~ , . . , F , le f ront iere di E l , . . . . , E , ' ; di guisa che gli insiemi

G,' = F~ - - F~. E/, . . . . , G, ' : / ' ~ - - F , - E , '

av ranno tutti misura nulla, perch6 gli E / , .... , E , ' sono es te rnamente quadrabil i .

Poniamo adesso

g / ' E, ' (G,' -~ A- G '~ E '

(7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E#'=E#--(W4- .... 4 - en')" E j ;

ed

E ' ~ - E l ' + .... + E n ' .

Dico che E ' 6 e s t e rnamen te quadrnbile~ t h e la sua misura differisee da

quella di E di meno d i ~ e che in ogni suo punto l 'osci l lazione della f ( x ) ,

cons idera ta come definita solo in E' , 6 minore di z.

Dimos t r iamo che E ' 6 e s t e rnamen te quadrabi le . E chiaro intanto ehe E / '

( i ~ l , .... , n) 6 tale perch6 differenza de l l ' i n s ieme e s t e rnamen te quadrabi le E /

e de l l ' i n s ieme di misu ra nul la (G t' + .... q5 G , ( ) . E / (n. ° 4). Ora E ' 6 somma di

un numero finito di iusiemi e s t e rnamen te quadrabi l i , dunque anche E' 6 tale.

Datle (7) si r i c ava

m E / ' -~- mE,: ' (i = 1, .... , n ) ,

inoltre

e quindi

E - - E ' -= (E, - - E , ' ) + .... + (E~ -- L~') ,

m E - - m E ' -= m E , - - m E / ' + .... + m E , , - - m E , ( ' --~

cio6, per le (6),

m E - - m E ' ~ z.

Res ta a d imos t ra re l ' u l t i m a delle affermazioni fntte. Sin x0 un punto di E ' ;

:co appar te r r~ ad uno e a d uno solo degli insiemi E ' . . . . . ~... , E n : supponiamo che

appa r t enga ad E / ' . Pe r la cost ruzione stessa di E~", x o non pub essere punto

f ron t ie ra di E~",. . . . , E n " , quindi esiste un in terval lo ~ di centro in xo e tale

mediante[ integrali di Riemann 69

t h e tutt i i punti di /~' t h e appar tengono a ~ a, ppar tengono anche ad E,"

in E,"

0 ~ f(x) < % dunque, ecc. .

ma

7. Al l ' ins ieme E del numero precedente imponiamo la condizione ulte-

r iore di essere l imi ta to ; e cons ider iamo due successioni di numer i positivi

~i, z2, .... ; ~ , ~ , .... con

lira ~n = lim ~n = O.

Ind ich iamo coll En t -~insieme che secondo la costruzione del numero pre-

ceden te v iene a corr i spondere alla coppia an, ~ .

Siano

CS)

(9)

f x)dx, x)dx, . . . .

E i E~

~f(x)dx, j'f(x)dx,,.. --E~ -E2

gli in tegral i Riemannian i superiori

I imitat i E,, E,,, ..... ed inferiori di f (x) estesi agli insiemi

Dico che le successioni (8) e (9) convergono ent~'ambe verso l ' integ~ale di Lebesgue di f(x) esteso a l l ' ins ieme E :

E~ --E~ E

Siccome gli insiemi Ei, E~, .... sono es t e rnamente quadrabili~ 6 ({)

inoltre 6

~ f ( x ) d x ~ j ' f ( x ) d x ~ -~ f (x )dx ;

--E n E n E n

E n --E~

(t} CARATtt]~ODORY~ ]O(L cit,~ pag. 459.

70 G. Seonzx.DR~Go~i: Sull 'approssimazione delt ' integrale di Lebesgue~ ecc.

e da lim m E n = m E segue ~ O O

E n E

da queste tre relazioni e da lim z . = 0 si deducono immediatamente le ugua-

glianze da dimostrare (~).

(~) ~ e l l a mia Nora: A propos i to d i un. teorema sug l i i n s i emi n o n miswrab i l i (Rend. dell ' Is t i tuto Lombardo~ 1928) ho esteso agli insiemi di punti non misurabil i alcune delle dimostrazioni date in questo lavoro.