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Sucesión matemáticaEn terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.
Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.
Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.
Sucesiones numéricasUna sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :
que escribiremos simplemente como o, si se da por entendido que los subíndices
son enteros, también vale .
El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del
tipo , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .
[editar] Notas y ejemplos básicos
Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:
El primero es a por ejemplo 3,
el segundo es a por ejemplo -10,
el tercero es a por ejemplo 9, y así sucesivamente.
Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como a por ejemplo número al azar, ... .
Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre puede ser cambiado, si hace falta, por , , , , ... .
Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .
[editar] Sucesión finita
Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente: , donde sería el término general si hiciese falta.ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.
Sucesión de CauchyDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.
Contenido
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1 En Números Reales o 1.1 Definición o 1.2 Propiedades
2 En un Espacio Métrico o 2.1 Definición
o 2.2 Propiedades 3 Completitud
o 3.1 Ejemplos
[editar] En Números Reales
[editar] Definición
Sea una sucesión. Diremos que es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N
donde la barra vertical denota la norma (que en el caso particular del campo de los reales viene siendo el valor absoluto).
Análogamente, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números complejos.
[editar] Propiedades
Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:
1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.2. Toda sucesión de Cauchy está acotada3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es
convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.
Pueden verse demostraciones de las propiedades en Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle, Sherbert, 2º edición, año 1996)
[editar] En un Espacio Métrico
[editar] Definición
En un Espacio Métrico (M,d), una sucesión
se dice de Cauchy si para todo número real ε > 0 existe un número natural N, tal que para todos m, n > N, la distancia
Esto implica que los elementos de la sucesión se van acercando uno con otro.
[editar] Propiedades
1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
En las sucesiones de Cauchy no tienen porque ser convergentes.El ejemplo clásico es a(n) = (1 + 1 / n)n que es de Cauchy pero cuyo limite (e) no es racional. Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.
[editar] Completitud
Un Espacio Métrico (X,d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy convergente tiene su límite dentro del espacio X.
[editar] Ejemplos
Los números reales son completos.
Axioma del supremoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
En análisis real, se define axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales. Su definición es la siguiente:[1][2]
Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .
Esto permite definir al cuerpo de los números reales como un espacio completo, mientras que, otros cuerpos, como el cuerpo de los números racionales, no lo es.
Axioma topológico de numeros reales
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Espacio completoEn análisis matemático un espacio métrico (X,d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión.
La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a X y que no esté en (X,d).
La importancia de los espacios completos es que es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy a que converge, dado que para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez demostrada que la sucesión es de Cauchy por la completitud del espacio, se llega a que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.
[editar] Ejemplos
El conjunto de los números reales, , es completo con la métrica valor absoluto.
Sin embargo, deja de serlo: la sucesión an = n − 1 es de Cauchy pero no converge, pues su límite, cero, está excluido del conjunto.
Extendiendo el ejemplo anterior, los intervalos acotados y abiertos o semi-abiertos de no son completos.
No obstante, todo intervalo cerrado de los reales es completo.
Otro subespacio no completo de los reales es el conjunto de los números racionales, con la misma métrica. Efectivamente, existen sucesiones de números racionales
que convergen a números irracionales. Por ser sucesiones convergentes (al menos, dentro de ), son de Cauchy. Per su límite no es racional, es decir, está fuera del espacio.
[editar] Algunos resultados
En un espacio métrico toda sucesión convergente es de Cauchy. Todo espacio vectorial normado de dimensión finita es completo si está definido
sobre un cuerpo completo. Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea Y un subconjunto no vacío de X.
Entonces (Y,d) es completo si y sólo si Y es un conjunto cerrado en (X,d).
Además, todo espacio métrico puede ser completado, esto es, existe otro espacio métrico (Y,d') completo, y una isometría , tal que i(X) es un conjunto denso en Y. Así, por ejemplo, la completación del intervalo (0,1) resulta ser el intervalo [0,1], y la completación de es .
Teorema de las esferas encajadas :
Sea (X,d) un espacio métrico. Es completo si y sólo si cualquier sucesión de esferas encajadas cuyos radios tiendan a cero tiene intersección no vacía.
Teorema del punto fijo de Banach (o de la aplicación contractiva):
Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea f: X → X una aplicación contractiva en X. Entonces existe un único punto fijo de f.
Stefan Banach
Espacio completoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
En análisis matemático un espacio métrico (X,d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión.
La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a X y que no esté en (X,d).
La importancia de los espacios completos es que es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy a que converge, dado que para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez demostrada que la sucesión es de Cauchy por la completitud del espacio, se llega a que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.
[editar] Ejemplos
El conjunto de los números reales, , es completo con la métrica valor absoluto.
Sin embargo, deja de serlo: la sucesión an = n − 1 es de Cauchy pero no converge, pues su límite, cero, está excluido del conjunto.
Extendiendo el ejemplo anterior, los intervalos acotados y abiertos o semi-abiertos de no son completos.
No obstante, todo intervalo cerrado de los reales es completo.
Otro subespacio no completo de los reales es el conjunto de los números racionales, con la misma métrica. Efectivamente, existen sucesiones de números racionales
que convergen a números irracionales. Por ser sucesiones convergentes (al menos, dentro de ), son de Cauchy. Per su límite no es racional, es decir, está fuera del espacio.
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.
Contenido
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1 Límite de una sucesión de números reales o 1.1 Definición formal o 1.2 Notación o 1.3 Ejemplos o 1.4 Propiedades
2 Límite en un espacio métrico 3 Límite en un espacio topológico 4 Enlaces externos
[editar] Límite de una sucesión de números reales
[editar] Definición formal
Una sucesión tal que tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, hay un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:
.
[editar] Notación
o bien
[editar] Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0. La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante. La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al
límite 1. Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee
limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
[editar] Propiedades
Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
Si una sucesion tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.
[editar] Límite en un espacio métrico
Para una sucesión de puntos en un espacio métrico con función de distancia
(como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):Si se dice que es el límite de la sucesión y se escribe
i.e.:si y solo si para todo (hodap) número real , existe un número natural
tal que para cada , se satisface que
[editar] Límite en un espacio topológico
Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos en un espacio topológico T:
Si se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe
si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que para todo
De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.
Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes, pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).
