Successioni numeriche 1/ - mozzanica.net Dispense SBIO/2017-2018... · 4 Successioni numeriche 4/ A volte le successioni possono essere definite per ricorrenza: °¯ ° ® ! 1 1 1

1

Successioni numeriche 1/

Def. Si chiama successione numerica ogni funzione f da N in R definita in un insieme del tipo

I= {n ∈ N | n ≥ n0}, con n0 numero naturale e che associa ad un intero n di I un numero reale f(n).

In generale però porremo f: N→R

Inoltre spesso si pone: nanf )( (labeling) si ottiene così l’insieme

ordinato (codominio della funzione f ) :

Nnnn aaaa

,....,...,, 21

Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati di coordinate

0con );( nnan n

Esempi:

1a Primo termine

na Termine Generale

2


Esempi:

Successioni notevoli:

Armonica Di Wallis

nan

1

n

na )1(

3


A volte le successioni possono essere definite per ricorrenza:

1 1

1

1

nan

a

a

nn

1n

1

1

1

1

0

nnn aaa

a

a

Def. Successioni limitate

Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni:

• limitate inferiormente

• limitate superiormente

• limitate

nonchè di:

• estremo inferiore ed estremo superiore

• minimo e massimo

di una successione.

Fibonacci

4



1 1

1

1

nan

a

a

nn

2n

1

1

21

2

1

nnn aaa

a

a

Def. Successioni limitate

Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni:

• limitate inferiormente

• limitate superiormente

• limitate

nonché di:

• estremo inferiore ed estremo superiore

• minimo e massimo

di una successione.

Esempio

Stabilire per ognuna delle successioni (1)-(6) se e limitata e

determinarne estremo inferiore e superiore, precisando se sono minimo

e massimo.

(Fibonacci)

5


Def. Successioni monotone

Precisamente, una successione {an} è :

• crescente se e solo se an ≤ an+1 per ogni n

• strettamente crescente se e solo se an < an+1 per ogni n

• decrescente se e solo se an ≥ an+1 per ogni n

• strettamente decrescente se e solo se an > an+1 per ogni n

Esempio

Studiare la monotonia delle successioni (1)-(6).

Def. Proprietà vere denitivamente

Diciamo che una proprietà P(n) è vera definitivamente se P(n) è vera per tutti gli n sufficientemente

grandi, cioè se : nknPNk veraè )(:

Esempi

Si consideri:

!

10

n

n

6


Esempi

I termini della successione {n-5} sono definitivamente positivi.

I termini della successione non sono definitivamente positivi.

I termini della successione sono definitivamente maggiori di 25.

La successione è definitivamente decrescente.

!

10

n

n

2n

n)1(

Def. Limiti di Successioni

Si hanno allora 3 possibili risultati:

(finito) lim Lann

La successione è detta CONVERGENTE

lim

nn

a

La successione è detta DIVERGENTE a +∞

Lnnn n00 a : 0

: 0 00 K annnK n

lim

nn

a : 0 00 K annnK n

La successione è detta DIVERGENTE a -∞

7


Def. Successioni infinitesime

0lim

nn

aLa successione {an} è detta infinitesima se e solo se:

esiste lim nonann

La successione è detta IRREGOLARE

Def. Successioni infinite

La successione {an} è detta infinita se e solo se:

n

nalim

Es.

Rq sia Nn

nq

si chiama progressione geometrica di ragione q .

Se q ≤-1, la progressione geometrica e irregolare.

Se q > -1, la progressione geometrica e regolare e si ha :

1per

1per 1

1per 0

lim

q

q

q

qn

n

8


Es.

Verificare che le seguenti successioni sono convergenti e determinarne i rispettivi limiti.

9


10


11


12


13



1 1

1

1

nan

a

a

nn

1n

1

1

1

1

0

nnn aaa

a

aFibonacci

14


Es. Limiti di successioni definite per ricorrenza:

15

Progressioni

Progressioni Aritmetiche 1/

Def. Una progressione aritmetica é una successione di numeri reali tale che la differenza tra due

termini consecutivi della successione è costante. Questa costante si chiama ragione della

progressione stessa: se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa

la successione è decrescente.

Indicando con an il termine generale e con d la ragione:

dnaan 11

16


Def. Una progressione aritmetica é una successione di numeri reali tale che la differenza tra due

termini consecutivi della successione è costante. Questa costante si chiama ragione della

progressione stessa: se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa

la successione è decrescente.

Indicando con an il termine generale e con d la ragione:

dnaan 11

Es.

drsaa rs 1

1

n

aad n

17


Es.

Es.

18


Es.

Es. Inserimento Medi Aritmetici Es. Inserire m medi fra

due estremi a e b.

1

m

abd

19


Poiché in generale abbiamo che la somma dei termini equidistante dagli estremi è

uguale alla somma dei termini estremi :

2

1 nn

aanS

Es. Somma dei primi n numeri pari

Es. Somma dei primi n numeri dispari

naaa n 2;..;4;2 21 12

22

nn

nnPn

12;..;3;1 21 naaa n

2

2

121n

nnDn

20

Progressioni Geometriche 1/

Def. Una progressione geometrica o successione geometrica è una successione di numeri tali

che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è sempre costante.

Tale costante è detta ragione della successione e la indicheremo con q (per semplicità supporremo

sempre q>0).

.....

3

134

2

123

12

qaqaa

qaqaa

qaa

1

1

n

n qaa 1

1

nn

a

aq

r

sr

s aqa

crescente succ. 1

costante succ. 1

edecrescent succ. 1

q

q

q

21


Es. Inserire m medi geometrici tra a e b (a,b,q>0)

Basta porre : 1 m

a

bq

1

1

nn

a

aqLo si ottiene da: Con:

2

1

mn

ba

aa

n

Es. Medio geometrico:

a

bq baaqmg

Il medio geometrico fra due estremi corrisponde al medio proporzionale di una proporzione

continua del tipo:

E’ facile dimostrare che la media aritmetica è maggiore della media geometrica.

Scriviamo infatti:

22


Es.

Somma dei termini di una progressione geometrica

q

qaS

n

n

1

11

23


Limite della Somma

-1q

1q

1q 1

lim

1

q

a

Snn

Es. Notazione in base 10 e frazioni generatrici di numeri periodici

la somma di una serie geometrica di valore iniziale 1/10 e ragione 1/10 che per la

Regola:

“La frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene mettendo al numeratore il

numero privato della virgola meno il numero formato dalla parte intera e dall’antiperiodo (se c’è) e

al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre

dell’antiperiodo.”

24


Es.

Es.

25

Serie Numeriche 1/

Sia data la successione

La locuzione “serie di termine generale an”, a cui associamo il simbolo

Ran

Si consideri la successione delle somme parziali RSn

nn aaS

aaaS

aaS

aS

...

...

0

2102

101

00

(1) 0

n

na

va intesa come abbreviazione di “successione delle somme parziali di {an } “

Quindi tutto ciò che si riferisce alla serie, si riferisce alla successione delle somme parziali { Sn}.

26

Serie Numeriche 2/

Def. Studiare la serie (1) significa studiare la successione delle somme parziali { Sn}.

Si dice che la serie (1) converge ad S ϵ R se la successione { Sn} converge

ad S. Il numero S si dice anche somma della serie. In tal caso si scrive :

(2) S0

n

na

Analogamente si dice che la serie (1) diverge (positivamente o negativamente) se la successione

{ Sn} diverge (positivamente o negativamente). In tal caso si scrive:

(3) 0

n

na

Infine si dice che la serie (1) non è regolare se tale risulta la successione { Sn} .

Gli esempi più semplici di serie numeriche si presentano quando è possibile dare un’espressione

analitica per la successione { Sn} e quindi calcolarne il limite.

Precisiamo che si tratta di situazioni estremamente rare.

Nota: Ci riferiremo alle espressioni “convergente, divergente, non regolare “come al “carattere”

della serie.

27

Serie Geometrica 4/

Serie geometrica

Nnqn

1 se

1

1

1 se 1

0 qq

qn

qSn

k

k

n

Passando al limite:

1 se

1 se

1 se 1

1

limlim0

qirregorale

q

qq

qSn

k

k

nn

n

Es. Numeri periodici (vedi sopra)

28

Serie Geometrica 5/

Serie geometrica

2

2

11

1

2

1

0

k

k

Esempi ( con particolare attenzione all’uso degli indici):

1122

1

1

k

k

2

1

2

112

2

1

2

k

k

1,19

10

10

11

1

10

1

0

k

k

1,09

11

9

10

10

1

1

k

k

10,090

1

90

990100

10

11

9

10

10

1

2

k

k

29

Serie Telescopiche 6/

Serie Telescopiche

Es. Studiamo la convergenza della serie

111

12

n

B

n

A

n

Introduciamo lo sviluppo in

somme parziali

1

1

1

1

2

1

1

12 nnn

22 1

1

n n

Scriviamo i primi termini:

......

7

1

5

1

2

1

16

1

16

1

2

16

6

1

4

1

2

1

15

1

15

1

2

15

5

1

3

1

2

1

14

1

14

1

2

14

4

1

2

1

2

1

13

1

13

1

2

13

3

11

2

1

12

1

12

1

2

12

n

n

n

n

n Otteniamo:

1

11

2

11

2

1

nnSn

4

3lim

n

nS

30

Serie Telescopiche 7a/

Serie Telescopiche

Es. Serie di Mengoli:

1 )1(

1

n nn


......

4/13/13

3/12/12

2/111

n

n

n Otteniamo:

1lim

nn

S

Osserviamo:

1

11

nSn

1)1(

1

n

B

n

A

nn

1

1

B

A

1

11

)1(

1

nnnn

31

Serie Telescopiche 7b/

Serie Telescopiche

Es. Studiamo la convergenza della serie

1

11ln

n n


......

)3ln()4ln(3

)2ln()3ln(2

)1ln()2ln(1

n

n

n Otteniamo:

nn

Slim

Osserviamo: )ln()1ln(1

1ln nnn

)1ln( nSn

32

Teoremi su serie convergenti 8/

Teoremi sulle serie convergenti

Teo 1 (Condizione necessaria di convergenza)

Ove non sia possibile dare un’espressione analitica alla successione delle somme

parziali o calcolarne il limite, ci si accontenta di stabilire il carattere della serie

(convergente, divergente, non regolare).

Per questo motivo (non interessa la somma delle serie), la serie verrà indicata

genericamente con

na Omettendo il range degli indici

Condizione necessaria affinché la serie na Converga è che: 0lim

nn

a

Nota : la condizione è solo necessaria infatti :

01

1lnlim

nn

Ma la serie relativa è divergente (vedi es. precedente)

Inoltre si dimostra che la serie “armonica” n

1

È divergente pur avendo il termine generale che tende a zero

33

Teoremi su serie convergenti 9/

Teo 2

Siano: na nb Convergenti. Allora:

na nn ba Sono convergenti, e vale:

nn aa nnnn baba

Teo 3

Siano: na nb Divergenti con lo stesso segno . Allora:

na nn ba Sono divergenti.

34

Serie a termini positivi 10/

Def. La serie na Si dice a termini positivi se (almeno definitivamente) 0na

Nota 1: Ogni serie a termini positivi è regolare, precisamente o converge o diverge

positivamente.

Nota 2: Ogni serie a termini definitivamente negativi ha lo stesso carattere della serie di

segno opposto.

Teo 4 (Criterio del rapporto)

Seguono teoremi sui criteri immediati (non hanno necessità di confronto con serie

“standard”)

Data la serie: na se:

diverge serie la 1lim 1

n

n

n a

a

converge serie la 1lim 1

n

n

n a

a

Es. Si determini il carattere della seguente serie:

35

Criterio del Rapporto 11/


La serie assegnata è convergente


La serie assegnata è divergente

36

Criterio del Rapporto 12/


La serie assegnata è divergente

37

Criterio della Radice 15/

Teo 5 (Criterio della radice)

Data la serie: na se:

diverge serie la 1lim

nn

na

converge serie la 1lim

nn

na





38

Serie Armoniche Generalizzate 16/

Teo 6 (Criterio di Riemann – Serie armonica generalizzata)

La serie:

1 )(log

1

n nn

Detta serie «armonica generalizzata» ha il seguente

carattere:

divergente 1

divergente 1

econvergent 1 1

econvergent 1

1 )(log

1

n nn

Def. Serie asintotiche

Due successioni nn ba Si dicono asintotiche (o meglio asintoticamente

equivalenti) se:

1lim

n

n

n b

aSi scrive: nn ba

39

Criterio del Confronto 16/

Teo 7 (Criterio del confronto)

Siano

diverge diverge nn ba

nb Serie a termini positivi tali che (definitivamente): nn ba

Allora se:

converge converge nn ab

Es.

na

40


Es. (carattere della serie armonica)

Partendo da: e

n

n

11

Passando al logaritmo:

x

xxf

11)(

11

1ln

nn

nn

111ln

Avendo già dimostrato che la serie:

diverge 1

diverge 1

1ln

nn

41


Es.

Es.

42

Criterio del Confronto Asintotico 19/

Teo 8 (Criterio del confronto asintotico)

Siano na nb Serie asintoticamente equivalenti. Allora esse lo stesso

carattere .

Cioè uno converge (risp. diverge) se e solo se l’altra converge (risp. diverge) .

Es. nn 232 nn 323

n

n

n

3

2

23

32

Poiché :

n

3

2È convergente, ne segue che

23

32n

n

23

32n

n

È convergente

43


Es. nn 232 nn 323

n

n

n

3

2

23

32

Poiché :

n

3

2È convergente, ne segue che

23

32n

n

23

32n

n

È convergente

Es.

2

12n

n

nn

n 1

2

12

La serie è divergente

Es.

44


Es.

Es.

45

Criterio Integrale per Serie 22/

Teo 9 (Criterio dell’integrale per serie)

46

Serie a termini alternati 23/

Teo 10 (Criterio di Leibniz)

Sia: n

n a)1( Con an≥0, una serie a termini alterni. Supponiamo che:

i) an sia monotona strettamente decrescente

0lim

nn

aii) Allora la serie n

n a)1( È convergente

È convergente

Es.

Es. 0lim

nn

a

47


48


Es.

0lim

nn

a

Per la monotonia :

nn aa

11

1

n375

Dunque la serie è convergente

49

Somma di Serie Particolari 2/

0 !

1

n

en

1

2

2 6

1

n n

0

2

2 8)12(

1

n n

Rkp

kn primop

kn

k

1

1)(

1

1

Riemann di Zetafunzione )(k

1

4

4 90

1

n n

1

6

6 945

1

n n

1

1

)2ln()1(

n

n

n

1

1

412

)1(

n

n

n

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