Successioni e Serie Di Funzioni

7/25/2019 Successioni e Serie Di Funzioni

1/7

CAPITOLO

III

SUCCESSIONI

SERIE

DIFUNZIONI

1.

Convergenza

puntuale

ed

uniforme

Sia

{

f " i una success ione

d i

funz ion i de f i n i te in un

sot . to ins ieme

I d i

R.

DEFINIZ fONE

1

. Se

per

ogn i

xe I la success ione

numer ica

{ f " (x ) } converg e

" i

un . r " lo t " che denot iamo con f (x ) s

dice che

la

successione

{ f - }

eonverge

puntualmente

al la

funzione

f.

n f -

ESEM PI O

1 .

Po s t . o f -

( x )

:

d

x

c o n

x e

|

0 ,

1 l r i s u l t a

Ta le esempio

most ra che

i l l im i t e

pun tua le

d i una succes-

s ione d i

f unz ion i con t i nue

po t rebbe

non essere una

funz ione

cont inua.

P i i n

senera le

s i

pu

ver i f i care che

t

l i m

f . ( x )

: f

( * )

:

I

n-)+6

t

e

x e

0 r 1 l

e x : 0

( 1 )

r im

( l im

fn

(x)

)

*

r im

(r im

f,

(x)

)

x-)Xe

\n-++-

/

n-++-

\x -+x6 |

dove

*o

un

punto

d i

accumulaz ione

per

I . La

(1)

met te

qu ind i

i n

ev idenza

i l f a t to che

non sempre

poss ib i le

inver t . i re

d u e s u c c e s s i v e

o p e r a z i o n i

d i

l i n i t e .

Pe r c h c i s i a

l e c i t o


2/7

necessar io

in t rodu r re un t i po

d i

convergenza

p iu

for te

de l l a

o rd ina r ia

convergenza

pun tua le .

DEFINIZ IONE

2.

S i

d ice che

la

success ione

{

f " }

converge

uniformemente

ad

f in I se

per

ogni- e>0

esiste un

indice

v

t a l e

c h e

p e r

o g n i

n > v e

p e r

o g n i

x e r r i s u l t i

l r "

( * ) - f

( * ) l < .

Se s

conf ron ta

ta le

de f i n i

z one con

quet

la

d i

convergenza

pun tua le

s i

osserva

che

la

nov i t

s ta

ne l fa t to

c h e

I ' i n d i c e v

p u

e s s e r e

s c e l t o

i n

m o d o t a l e d a r i s u l t a r e

ind ipendente

dal

punto

xe I .

Da l la Def in iz ione

2

d iscende

immedia tamente che

la

Success ione

{ f - }

converge

un i fo rmemente

ad

f Se e so lo Se

r i s u l t a

( 2 )

I I I I , I .

n + @

f - ( x )

: n o x ( 1 - x ' ) " ,

l r^ *) f (") l o

I

::r

Lffi:,

I n b a s e a

t a l e o s s e r v a z i o n e

l a s u c c e s s i o n e

{ f " }

r i p o r t a t a

nel l 'Esempio

1 non

converg,e

uni f ormemente

al la

funz ione f

da t

momento che,

j -n

cont ras to

con

la

(2 )

,

s i

ha

. 3 l 1 , ,

r . ( " )

f

( x ) l : 1 .

E S E M P I O

2 .

S i a

con

c [

numero rea le

pos i t i vo .

{

f "

}

converge

puntualmente

n u l l a .

D ' a l t r a

p a r t e

Itld,.^,

rn

x e

[ 0 , 1 ]

I im

n-

x e

0 , 1 ]

ev iden te

che

Ia

success ione

al la

funz ione

ident icamente

{ z n f

6;i/

;

1

O(

2

quindi

f ' )

0 < +


3/7

49L

Per tan to

la Success ione

converge

un i fo rmemente

Se

i t

paramet ro

Cr

m ino re

d i

L /2 ; neg l i

a l t r i

cas i

Ia

convergenza

n o n u n i f o r m e .

In re laz ione

a l l a

noz ione d i

convergenza

un i fo rme

va le

i l seguente

r isu l ta to

noto come

Cr i ter io

d i convergenza

un i fo rme

d i Cauchv :

PROPOSIZ IONE

. Cond iz ione

necess ar ia

e su f f i c ien te

a f f in -

ch

fa success ione

{ f " }

converga

un i fo rmemente

in

I

che

per

ogni S>O

esrs ta

un

indice

V ta l -e

che

pr

ogni

n ' m>V e

per ogni x I r isu l - t i

l r " { * )

f * ( x ) l < e

3 )

Procedendo

come

ne l caso

de l

Cr i t .e r io

d i

Cauchy

per

le

suc-

cess . ion i

numer iche

(c f r

.

' 7

,

Cap.

VI I ) s i d imos t ra

che

l -a

cond iz ione

necessar ia .

Per

quanto

r i g :ua rda

l -a

su f

f i c ienza

o s s e r v i a m o

i n n a n z i t . u t t o

c h e ,

f i s s a t o

x e I ,

l a

Su c c e s s i o n e

nr rmar i r -a { f -

(x )

}

convergente

sempre

in base

a l

Cr i t .e r io

r

q r L r v r

v u

L

_ _

d i conver genza d i Cauchy per le success ion i numer iche;

'ooniamo

lim

f

n-+

" ( x )

: f

( x )

F i s s a n d o

I ' i n d i c e

n n e l l a

( 3 )

e

f a c e n d o

t e n d e r e

m

a d

i n f i -

n i t o s i

o t t i e n e

l r , ' * ) - f (x ) < e ;

l a

precedente

d iseguaq l ianza

va le

per

ogn i

n>V

e

per

og rn i

xe I

i -

che

equiva le

a l -

a

conver

genza

uni

f

orme

.

Ne l

caso

in cu i

la success ione

d i

funz ion i s ia

la

success ione

de l l e

somme

parz ia l i

{

S -

d i una se r ie

d i

' S

funzi-onr

)

f , s i di ce

che

taie serie

converge

uniformenente

k=1

ad f in I se la successione del - le sof l lme arz : -aL: - {S"} converge

uni f ormemente

ad

f

in

I

.

Vale ovv iamente

un cr i t .er io

di

convergenza

un i fo rme

d i Cauchy

che

ne l

caso

de l le ser ie s i

p r e f e r i s c e

e n u n c i a r e

n e l l a

f o r m a s e g u e n t e :


4/7

PROPOSIZ IONE

memente

se

e

che

per

ogni

a T a ^ ^ - : ^

L . u s

u u 4 4 e

d i

f u n z i o n i

I

f n

c o n v e r g e

u n i f o r -

n:l-

sol -o

se

per

ogni

e>0 es l -s te un ind ice

v tal_e

f l )V,

per

ogni

k>0

e

per

ogni x I

r isu l_ t i

l - |

l f " * 1 x ) + f " * , ( x ) + . . . * f . , * o ( x )< e .

DEFrNrz roNE

3 .

D a ta

u n a s e r i e

i

f u

s j -

d i c e

c h e

e s s a

k:l-

tota lmente convergente

se esiste

una successione

numerica

{M*}

ta le

che

l fo

x )

I

v ,V x e r .

Fissa t .o

n)V, essendo

la f unz ione

f - cont inua

in x^ , es is te

un

E>O

ta le che,

se

lx -x^ l


6/7


7/7

495

i n f a t t i

l a

( 8 )

c o i n c i d e

c o n

I a

( 3 )

s e

x * x

/

c o n l a

( 7 )

s e

x :Xo.

Per

Ia

prop.

4 la funz ione

I

r i su l ta

con t i nua

in

xo ,

s i h a c i o

l im

I .

:

I

:

l im

tp

x)

:

I im

n-a

x-)xo

x-+xo

c i o

l a

( 4 )

.

Per comodi t

de l

le t t .o re

r isc r iv j -amo

per

le

ser ie

d i

funz ion i

g t i '

enunc ia t i

de i

r i su l ta t i

appena

ot tenut i .

@

PR OPOSI Z I ON E

. S i a I

f " ( * )

u n a

s e r i e d i

f u n z i o n i

c o n v e r -

n=l-

gente

uni f ormemente

ad

f . Se

Le

funz ioni

f , , sono cont inue

in

Xo ta fe

anche

fa funz ione

f . Se

p i

in

genera le

Ie

funz ion i

fn convergono

in

Xo

e

J-a ser ie

uni formemente

convergente

in

I -

{

xo a l l -ora

anche

f Convergente

in Xo

e

sr-

ha

(*::

r"

(x)

)

im

(ri i l

f , ,

tx)

)

:

n_+

\x_xo I

r" ( * )

) :

H*r , ' r x ) ) .

e )

l im

X-X6

E S E M P I O

3 .

S i c o n s i d e r i

l a s e r i e

x > 0 .

2

l-+n x

Tale ser ie

converg:e

t

otalmente

e

quindi

uni -

ormemente

in

o g n i

i n t e r v a l l o

l a r + " " I

c o n

a > 0

i n

q u a n t o

l a s e r i e

r i s u l t a

iv i

magg iorab i le

con

la

ser ie

numer ica

convergente

- - 1

i - +

=1 1*n 'a

La ser ie

pe ra l t ro

non converge

un i fo rmemente

in

l0 r+ " " I

in

quanto

a l t r iment i ,

in

base

a l l a

p rop .

6 ,

la so l l ma

e l l a

ser ie

d.ovrebbe

convergere

in

zeTo e dovrebbe

valere

la

(9

)

.

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