Geometrie - examen

I. Incercuiti rezultatele corecte.1. Care dintre urmatoarele submultimi sunt subspatii afine ale spatiului A = R3 (cu structura afinacanonica):a) A′ = {(x, y)|x2 − 2y = 1}; b) A′ = {(x, y)|x − 2y = 1}; c) A′ = {(x, y)|x − 2y = 0}; d) A′ ={(x, y)|x, y ∈ Q}. (0,7 p)

2. Care dintre urmatoarele functii f : R2 → R2 sunt transformari afine bijective:a) f(x, y) = (x + cos(7), 2y − 1); b) f(x, y) = (7 + cos(x), 2y − 1); c) f(x, y) = (cos(7)x, 2y − 1); d)f(x, y) = (cos(7)x3, 2y− 1); (0,7 p)

3. In spatiul afin R2, ecuatia x2 − 2y = 1 defineste o:a) hiperbola; b) parabola; c) elipsa; d) pereche de drepte paralele e) pereche de drepte secante. (0,7 p)

4. In spatiul afin R3, dreptele:

(d1) :x1 − 1

1=x22

=x3 − 2

2; (d1) :

x1 − 1

2=x21

=x3 − 2

2sunt :

a) paralele; b) concurente; c) coplanare; d) d1 6‖ d2, d1 ∩ d2 = ∅. (0,7 p)

5. In spatiul euclidian R3 se considera punctele:

A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1), C = (−1, 2, 2), D = (−2, 1, 1)

Atunci patrulaterul ABCD este:a) patrat; b) romb (dar nu patrat); c) paralelogram (dar nu romb); d) trapez; e) dreptunghi. (0,7 p)

II. Pe foaia de redactare treceti raspunsurile complete.1. In spatiul euclidian R3 (cu structura canonica) se considera dreptele

(d1) :x1 − 1

2=x2 − 1

1=x3 − 2

1, (d2) :

x1 − 2

α=x2 − 1

2=x3 − 2

β

unde α, β ∈ R.a) decideti daca exista α, β astfel ıncat dreptele d1 si d2 sa fie paralele, si, ın acest caz, scrieti ecuatia

subspatiului afin d1 ∨ d2; (1 p)

b) decideti daca exista α, β astfel ıncat dreptele d1 si d2 sa fie perpendiculare si concurente, si, ınacest caz, scrieti ecuatia subspatiului afin d1 ∨ d2; (1 p)

2. In spatiul euclidian R3 (cu structura canonica) se considera cuadrica C de ecuatie

(C) : x21 − x22 + 2x23 − 2x1x2 + 1 = 0.

a) Sa se aduca (C) la forma canonica prin transformari afine, precizand tipul lui (C); (1 p)

b) Sa se aduca (C) la forma canonica prin izometrii. (1 p)

3. In planul proiectiv P 2(R) se considera punctele

A = [1, 0, 1], B = [2, 1, 2], C = [1, 0,−1], D = [1,−2, 1].

a) Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor AB si CD; (1 p)

b) Sa se dea exemplu de o transformare proiectiva f : P 2(R)→ P 2(R) cu proprietatea ca f(AB) =CD. (0,5 p)