Studiju kurss Line¯ar¯a algebra I 3.lekcija · 2009. 9. 12. · per¯aciju speci¯algad¯ıjumi (asociat¯ıva, komutat¯ıva), vien¯ıbas elements, invert¯ejams elements, multiplikat¯ıvais

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedraBakalaura studiju programma “Matematika”

Studiju kurss

Lineara algebra I

3.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2009./2010.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Permutacijas 51.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Permutacijas sadalıjums ciklos . . . . . . . . . . . . . 6

2. Attiecıbas 82.1. Pamatfakti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Binaru attiecıbu specialgadıjumi . . . . . . . . . . . . 92.3. Dalejs sakartojums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Ekvivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Algebriskas operacijas 143.1. Binaras operacijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Binaro operaciju specialgadıjumi . . . . . . . . . . . . 153.3. Elementi ar specialam ıpasıbam . . . . . . . . . . . . . 163.4. Multiplikatıvais un aditıvais pieraksts . . . . . . . . . 17

4. 3.majasdarbs 19


3

4.1. Obligatie uzdevumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstura uzdevumi 20

Lekcijas merkis:• apgut kopu faktorizacijas un tiesa reizinajuma operacijas,

• apgut permutaciju teorijas pamatjezienus,

• apgut attiecıbu teorijas pamatjedzienus,

• apgut algebrisko operaciju teorijas pamatjedzienus.

Lekcijas kopsavilkums:• galıgu kopu permutacijas sastav no cikliem,

• var definet attiecıbas jedzienu un apskatıt svarıgakos specialga-dıjumus,

• var definet un petıt binaras algebriskas operacijas.

Svarıgakie jedzieni: permutacija, permutaciju pieraksta veidi,cikliskais pieraksts, transpozıcija, involucija, binara attiecıba, binaru


4

attiecıbu specialgadıjumi (refleksıva, simetriska, antisimetriska, tran-zitıva), dalejs sakartojums, ekvivalence, binara operacija, binaru o-peraciju specialgadıjumi (asociatıva, komutatıva), vienıbas elements,invertejams elements, multiplikatıvais un aditıvais pieraksts.

Svarıgakie fakti un metodes: permutacijas sadalıjums ciklos,atbilstıba starp ekvivalencem un sadalıjumiem.


5

1. Permutacijas

1.1. Ievads

Par kopas A permutaciju sauc bijektıvu funkciju

σ : A → A.

Visu n elementu kopas {1, ..., n} permutaciju kopu apzıme ar Σn.

Permutacijas var uzdot sados veidos:• attelu saraksts - σ Ã [σ(1), ..., σ(n)];

• horizontalais pieraksts - σ Ã(

1 2 ... nσ(1) σ(2) ... σ(n)

)

• funkcionalais grafs ar vienu vai diviem kopas eksemplariem.

1.1. piemers. n = 1 - [1].n = 2 - [12], [21].n = 3 - [123], [213], [132], [321], [231], [312].


6

Kopa Σn var definet kompozıcijas operaciju. Permutaciju kom-pozıciju sauksim un apzımesim ka reizinajumu.

∀ permutacijai σ ∃ inversa permutacija σ−1:

σσ−1 = σ−1σ = id .

1.2. Permutacijas sadalıjums ciklos

Permutaciju σ : A → A sauc par ciklisku attelojumu vai ciklu, ja• vai nu |A| ≥ 2 un A elementus var sakartot virkne (a1,...,an) ta,

ka σ(ai) = ai+1, σ(an) = a1.

• vai arı |A| = 1 (A vienıgais elements a apmierina vienadıbuσ(a) = a).

1.1. teorema. (permutacijas sadalıjums ciklos) ∀ galıgas kopas Apermutacijai σ ∃ viennozımıgi noteikts A sadalıjums A1, ..., Am tads,ka ∀ i σ sasaurinajums uz Ai ir cikls.


7

Var definet permutacijas ciklisko pierakstu sada veida. Ja

A1 = {a1, ..., an1}, ..., Am = {w1, ..., wnm},

σ(a1) = a2, ..., σ(an1) = a1, ...

σ(w1) = w2, ..., σ(wnm) = w1,

tadσ = (a1a2...an1)...(w1w2...wnm

)(katrs cikls atdalıts ar iekavam). Ciklus ar garumu 1 (fiksetos pun-ktus) cikliskaja pieraksta neuzrada.

1.2. piemers. Permutaciju(

1 2 3 4 5 65 4 2 3 1 6

)var sadalıt divos

ciklos {1, 5} ∪ {2, 4, 3} un apzımet ka (15)(243).

Dazas biezak izmantojamas permutacijas:• transpozıcijas - σ : σ = (ab);• involucijas - σ : σ2 = id.


8

2. Attiecıbas

2.1. Pamatfakti

Binara attiecıba - ıpasıba, kas piemıt vai nepiemıt kopas (vai divudazadu kopu) sakartotiem elementu pariem.

Ja elementu para (x, y) ∈ A × B elementus x un y saista kadaıpasıba, tad teiksim, ka tie ir saistıti ar attiecıbu ρ - xρy, pretejagadıjuma - x 6ρy.

Ja A = B, tad binaru attiecıbu sauc par binaru attiecıbu kopa A.Biezak tiek izmantotas attiecıbas viena kopa.

Stradajot ar konkretam attiecıbam, burta (ρ) vieta izmanto daza-dus atdalosos simbolus, piemeram, < . =, 6=, | ∼,≺.

2.1. piemers. Attiecıbu piemeri:• realu skaitlu vienadıba (=),


9

• realo skaitlu sakartojums (≤), jeb attiecıba ”mazaks vai vienads”,• kopu ietilpsanas attiecıba (⊆),• trijsturu lıdzıba.

Attiecıba - ıpasıba, kas piemıt vai nepiemıt kadas kopas vai vairakukopu elementu virknem vai apakskopam (var but vairak ka 2 elementi- ne binara).

2.2. piemers. Virknes elementi - skaitli. Virknes (a1, ..., an) elementiir saistıti ar attiecıbu ρ ⇐⇒ ∑n

i=1 = 1.

2.2. Binaru attiecıbu specialgadıjumi

Apskatısim tikai attiecıbas viena kopa.

Attiecıba ρ- refleksıva, ja ∀ a : aρa.

2.3. piemers. Refleksıvas attiecıbas: skaitlu vienadıba, geometriskufiguru vienadıba un lıdzıba.


10

Attiecıba ρ - simetriska, ja ∀ a, b : aρb =⇒ bρa.

2.4. piemers. Simetriskas attiecıbas: skaitlu vienadıba, figurulıdzıba, cilveku radniecıba.

Attiecıba ρ - antisimetriska, ja ∀ a, b : aρb un bρa =⇒ a = b.

2.5. piemers. Antisimetriskas attiecıbas: skaitlu attiecıba ”mazaksvai vienads”, naturalu skaitlu dalamıba.

Attiecıba ρ - tranzitıva, ja ∀ a, b, c : aρb un bρc =⇒ aρc.

2.6. piemers. Tranzitıva attiecıba: skaitlu attiecıba ”mazaks vaivienads” (≤).

2.3. Dalejs sakartojums

Attiecıbu sauc par daleju sakartojumu, ja ta ir1. refleksıva,


11

2. antisimetriska,

3. tranzitıva.

Daleja sakartojuma attiecıbas apzıme ar izteikti orientetiem at-dalosiem simboliem, piemeram, ≤,≺,¿,⊆,`, E.

2.7. piemers. Dazi klasiski sakartojumi: (R,≤),(P(X),⊆).

2.4. Ekvivalence

Attiecıbu sauc par ekvivalenci, ja ta ir1. refleksıva;

2. simetriska;

3. tranzitıva.

Ekvivalences apzıme ar simboliem, kas ir simetriski attiecıba uzvertikalo asi, piemeram, =,≡,∼,',³,≈.


12

Visus elementus, kas ir salıdzinami ar elementu a dotaja ekviva-lences attiecıba, sauksim par a ekvivalences klasi Aa.

2.8. piemers. Klasiski ekvivalencu piemeri: skaitlu un, visparıgak,matematisku objektu vienadıba, geometrisku figuru lıdzıba.

2.1. teorema.1. ∀ kopas A sadalıjumam var piekartot A ekvivalenci, kuras ekvi-

valences klases ir A sadalıjuma elementi.

2. ∀ kopas A ekvivalencei atbilstosas ekvivalences klases veido Asadalıjumu.

PIERADIJUMS1. Dots kopas A sadalıjums A = {Aα}α∈I , definesim tam atbil-

stosu ekvivalenci ≡ : a ≡ b ⇐⇒ a un b pieder vienai un tai pasaisadalıjuma apakskopai Ax.

Pieradısim, ka defineta attiecıba ir ekvivalence:


13

refleksivitate - ∀ a ∈ A : a ≡ a,simetrija - a ≡ b =⇒ {a, b} ∈ Ax kadai apakskopai Ax un b ≡ a,tranzitivitate - a ≡ b un b ≡ c =⇒ {a, b} ∈ Ax un {b, c} ∈

Ay =⇒ Ax = Ay un a ≡ c.

2. Dota ekvivalence ≡, paradısim, ka tai piekartot A sadalıjumu.

∀ a ∈ A definesim Aa = {x ∈ A|x ≡ a} (elementa a ekvivalencesklasi). ∀ a izpildas a ∈ Aa =⇒ Aa 6= ∅ un

⋃a∈A Aa =⇒ {Aa}a∈A

ir kopas A parklajums.

Pieradısim, ka Aa 6= Ab =⇒ Aa ∩ Ab = ∅. Ja Aa ∩ Ab 6= ∅, tadeksiste c : c ∈ Aa un c ∈ Ab =⇒ a ≡ c un b ≡ c. No tranzitivitatesseko, ka a ≡ b.

Pienemsim, ka ∃ x ∈ Aa : x 6∈ Ab =⇒ x ≡ a un x 6≡ b. Ta kaa ≡ b, tad no tranzitivitates seko, ka x ≡ b - pretruna.

Lıdzıga veida iegusim pretrunu, ja pienemsim, ka ∃ x tads, kax ∈ Ab un x 6∈ Aa. ¥


14

3. Algebriskas operacijas

3.1. Binaras operacijas

Biezi vien kopas, ar kuram nakas sastapties pielietojumos, ir uzdotiparveidojumi, kas diviem kopas elementiem piekarto kadu sıs kopaselementu.

3.1. piemers. Kopu operacijas, funkciju kompozıcija, aritmetiskasoperacijas, virknu savienosana.

Ir lietderıgi petıt sadus parveidojumus abstrakta veida (neatkarıgino kopu un parveidojumu dabas), ar to nodarbojas matematikas no-zare - algebra.

A - kopa. Funkciju

µ : A2 → A,

(a1, a2) 7→ µ(a1, a2)


15

sauc par binaru operaciju kopa A.

Pieraksta µ(a1, a2) vieta pienemts lietot atdalosos simbolus - ope-racijas zımes, piemeram a1 ◦ a2, a1 ? a2 vai vispar nelietot atdalosossimbolus, piemeram, µ(a1, a2) = a1a2.

Ja operacijas tiek pielietota vairakas reizes, tad pielietosanas kartı-bu var viennozımıgi noteikt izmantojot iekavas un pectecıgi pielietojotoperaciju sakot ar ieksejam iekavam, piemeram:

µ(µ(x, y), µ(z, µ(t, u))) = (x ∗ y) ∗ (z ∗ (t ∗ u)).

3.2. Binaro operaciju specialgadıjumi

Definesim sadus specialgadıjumus:• asociatıva operacija - ∀ a, b, c izpildas

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);


16

• komutatıva operacija - ∀ a, b izpildas

a ∗ b = b ∗ a.

3.2. piemers. Asociatıvu un komutatıvu operaciju piemeri - skaitlusaskaitısana, reizinasana, kopu apvienojums un skelums.

Ja (A, ∗) ir asociatıvs grupoıds, tad operacijas ∗ pielietosanu virknei(a, ..., a)︸︷︷︸n reizes

sauc par a n-to pakapi un apzıme ar pierakstu an.

3.3. Elementi ar specialam ıpasıbam

A - kopa ar binaru operaciju ∗.

e ∈ A sauc par vienıbas elementu (vieninieku), ja ∀a ∈ A izpildas

e ∗ a = a ∗ e = a.

Ja grupoıda ∃ vienıbas elements e, tad a sauc par invertejamu


17

elementu, ja ∃b ∈ A tads, ka

a ∗ b = b ∗ a = e,

saja gadıjuma b sauc par a inverso elementu un apzıme ar a−1.

3.4. Multiplikatıvais un aditıvais pieraksts

Stradajot ar binarajam operacijam visbiezak tiek izmantots viensno diviem pieraksta veidiem -

• multiplikatıvais pieraksts,

• aditıvais pieraksts.

Multiplikatıvaja pieraksta• binaro operaciju visbiezak apzıme ar ·, ∗ vai kadu lıdzıgu sim-

bolu vai arı vispar neraksta atdaloso simbolu,

• vienıbas elementu apzıme e ar vai 1,

• elementa a inverso elementu apzıme ar a−1.


18

Aditıvo pierakstu izmanto, ja binara operacija ir acımredzami ko-mutatıva, piemeram, skaitlu saskaitısana, saja gadıjuma ir pienemtsapzımet

• binaro operaciju ar simbolu + vai kadu tam lıdzıgu simbolu,

• vienıbas elementu (ja tas eksiste) - ar 0,

• elementa a inverso elementu - ar −a,

• elementa a pakapi an - ar na = a + a + ... + a︸︷︷︸n reizes

.


19

4. 3.majasdarbs

4.1. Obligatie uzdevumi

3.1 Dotas permutacijas

f =(

1 2 3 4 5 6 7 8 94 5 2 7 1 3 8 6 8

),

g =(

1 2 3 4 5 6 7 8 92 1 4 3 6 5 8 9 7

).

Atrast(a) f−1, g−1,(b) fg, gf , gfg−1.(c) f , f2, f3, g, g2 sadalıjumu ciklos.

3.2 Aprakstıt visas iespejamas ekvivalences attiecıbas kopa A ={1, 2, 3, 4, 5}.

3.3 Atrodiet piemerus sadam operacijam:(a) nav ne komutatıva, ne asociatıva,


20

(b) nav komutatıva, bet ir asociatıva.3.4 Binara operacija • naturalo skaitlu kopa N ir defineta ar nosacıjumu

x • y = x2 + y2.

Noteikt, vai • ir asociatıva operacija.3.5 Apskatısim veselo skaitlu kopu Z ar binaru operaciju ¦, kas ir

defineta ar formulu

a ¦ b = a + b + ab.

(a) Pieradıt, ka ¦ ir komutatıva operacija.(b) Pieradıt, ka ¦ ir asociatıva operacija.(c) Pieradıt, ka eksiste vienıbas elements.(d) Atrodiet visus elementus, kuriem eksiste inversais elements.

4.2. Paaugstinatas grutıbas un petnieciska rakstu-ra uzdevumi

3.6 Visparinat apgalvojumu par permutacijas sadalıjumu ciklos uzsadiem gadıjumiem:


21

(a) kopa A ir galıga, funkcija f : A → A nav bijektıva;(b) kopa A ir bezgalıga, funkcija f : A → A ir bijektıva;(c) kopa A ir bezgalıga, funkcija f : A → A nav bijektıva.

3.7 Permutacijas ciklisko pierakstu sauc par standarta ciklisko pie-rakstu (SCP), ja• tiek noradıti arı fiksetie punkti (cikli ar garumu 1),• katra cikla ka pirmais tiek rakstıts ta maksimalais ele-

ments,• cikli tiek sakartoti to pirmo elementu augsanas kartıba.

Piemeram, permutacijas (1834)(510, 6)(7911) SCP pieraksts ir(2)(8341)(1065)(1179).(a) Pieradıt, ka pec iekavu izdzesanas SCP pieraksta var vien-

nozımıgi atjaunot sakotnejo permutaciju.(b) Pieradıt, ka jebkuru virkni var iegut, izdzesot iekavas kadas

permutacijas SCP.


Documents

Studiju kurss Line¯ar¯a algebra I 3.lekcija · 2009. 9. 12. · per¯aciju speci¯algad¯ıjumi (asociat¯ıva, komutat¯ıva), vien¯ıbas elements, invert¯ejams elements, multiplikat¯ıvais