15

STUDI GAMBARAN VISUAL DALAM SISTEM KENDALI NONLINEAR

Dr. Ir. Timbang Pangaribuan, MT

Prodi Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas HKBP Nommensen, Medan

timbang.pangaribuan@uhn.ac.id

ABSTRAK

Dunia teknik tidak terlepas dari dunia matematika, dunia system kendali tidak terlepas dari pemodelan, desain,dan analisis. Persamaan yang sering digunakan adalah persamaan diferensial, baik dalam bentuk linier maupun dalam bentuk nonlinear. Solusi persamaan diferensial sistem linear dapat diperoleh secara analitik, tetapi solusi persamaan diferensial nonlinear tidak dapat dengan mudah diperoleh secara analitik. Secara khusus pada Program Studi Teknik Elektro yang mencakup keutamaan Dasar Konversi, Telekomunikasi dan Teknik Kendali, solusi persamaan diferensial sangat diperlukan untuk dapat memahami perilaku sistem dinamik yang diamati. Oleh karena itu dalam melakukan rancangan, simulasi dan analisis, diperlukan satu metoda khusus yang dapat memberikan solusi persamaan sistem nonlinear secara analitik hingga ke bentuk numerik, dan hasilnya dapat ditampilkan secara visual. Pemograman komputer VISUAL BASIC adalah salah satu solusi untuk menjawab persoalan untuk mendemontrasikan hasil simulasi dan analisis dimaksud. Perangkat lunak visual basic jarang digunakan dalam dunia teknik elektro, untuk menampilkan gerak visual dan gerak grafis dari hasil komputasi analaitik. Oleh karena itu solusi suatu sistem yang memiliki persamaan diferensial baik linier maupun nonlinear dirasa sangat perlu untuk diungkapkan, terutama jika solusi dimaksud ditampilkan secara visual.

1. PENDAHULUAN

Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas HKBP Nommensen Medan, memiliki sejumlah matakuliah yang berkaitan dengan rumus-rumus yang bervariasi dan memiliki sejumlah persamaan yang sangat kompleks terutama dalam bentuk persamaan diferensial. Di era tahun 2019 ini, para mahasiswa di program studi teknik elektro menggunakan perangkat lunak paling canggih yaitu Matrix Laboratory atau dikenal dengan nama MATLAB-SIMULINK. Pada program komputasi dengan matlab, semua program disusun sedemikan rupa untuk menampilkan hasil berupa grafik atau tabel data; pada program simulasi dengan simulink, program komputasi tidak terlihat dalam

16

simulasi, karena proses komputasi dilakukan hanya dalam tampilan blok demi blok. Untuk dapat membuka atau melakukan perubahan pada isi setiap blok function yang sudah terpilih, cukup dan melakukan double-click pada blok dimaksud. Dalam workspace di matlab hanya akan ditampilkan pesan-pesan kesalahan dalam membangun diagram blok simulink. Suatu contoh dalam suatu proses yang akan dikomputasi dengan menggunakan simulink ditunjukkan pada Gambar 1.1. Dari uraian yang ditunjukkan pada Gambar 1.1, hasil yang diperoleh adalah hasil dalam bentuk grafis yang dapat dilihat melalui blok scope. Sejumlah blok yang disusun sedemikian bentuknya, dapat dipilih satu demi satu melalui library pada sistem simulink. Setelah semua dibentuk blok demi blok tersebut dan hubungannya melalui garis penghubung dalam blok, selanjutnya harus dilakukan pengaturan pada sisi input dan sisi output serta pada menu simulasi yang akan dilakukan. Pada menu dapat di setting besaran angka untuk perubahan waktu, metoda yang digunakan dan hal-hal lainnya yang diperlukan dalam simulasi. Selanjutnya pada sisi output harus dipilih yang mana dari sistem yang diamati harus ditampilkan pada scope, dapat dilakukan secara terpisah pada masing-masing scope atau secara bersama-sama dalam satu scope.

Gambar 1.1. Contoh Proses Simulasi dengan Simulink

Jika diinginkan gerakan dari suatu plant yang sedang diamati responnya yaitu gerakan visual dari plant yang dimodelkan, misalnya gerakan visual seperti sistem kendali posisi, pada program matlab hal ini sangat sulit ditampilkan dengan mudah dan berdiri sendiri. Oleh karena itu dirasa perlu meneliti suaatu metode untuk melakukan demonstrasi dari hasil suatu simulasi sehingga setiap perubahan yang dilakukan langsung dapat diamati akibat yang terjadi pada plant dimaksud, sehingga memberikan pemahaman yang lebih baik pada mahasiswa. Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun rancangan proses berbagai simulasi yang diperlukan pada dunia teknik elektro dalam bentuk visual, sehingga analisis akan solusi setiap model

17

yang di disain dapat ditampilkan dengan mudah secara visual. Selain itu untuk melakukan analisis yang berulang-ulang dengan cepat dalam memilih parameter tertentu yang diperlukan dalam desain, tentunya akan lebih mudah jika dimiliki suatu proses simulasi visual. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk memberikan tahapan-tahapan dalam menyelesaikan berbagai persamaan diferensial linier-nonlinier dalam suatu proses desain, dan kemudian mendefinisikan semuanya menjadi bagian dari visual dalam program visual basic. Penelitian ini diharapkan memberi sumbangsih yang besar dalam komputasi dan simulasi khususnya desain dan analisis secara visual, sehingga secara bertahap mahasiswa teknik elektro akan familiar menggunakan program berbasis visual. Penelitian ini akan memberikan kontribusi kepada ilmuwan khususnya Mahasiswa dan Dosen di Program Studi teknik Elektro dalam beberapa hal yaitu:

1. Lebih memahami proses solusi komputasi dan simulasi bidang teknik elektro.

2. Mendapat pengetahuan tambahan dalam penggunaan teknik komputasi dan simulasi yang familiar dengan bentuk visual, sehingga mahasiswa dapat menambah pilihan jenis komputasi selain program matlab-simulink, wolfram dan program simulasi lainnya yang sudah ada.

3. Sebagai salah satu motivasi mendorong mahasiswa agar lebih semangat membahas desain sistem yang lebih kompleks yang terkait dengan penggunaan persamaan diferensial linier dan nonlinear.

4. Sebagai salah satu kegiatan Tridarma Perguruan Tinggi Program Studi Teknik Elektro (PSTE), ikut serta dalam meningkatkan akreditasi PSTE.

2. TINJAUAN PUSTAKA

2. 1. Bentuk Umum Persaman Plant

Secara umum bentuk persamaan plant dalam bidang teknik elektro ada dua jenis, jenis yang pertama menggunakan hanya bentuk linier dan jenis yang kedua menggunakan bentuk nonlinear. Pada persamaan nonlinier tersebut ada juga bentuk persamaannya yang dilakukan berulang-ulang, misalnya dari fungsi-fungsi khusus seperti sinus, cosinus dan lain sebagainya. Khusus dalam bidang sistem kendali, deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu plant disebut model matematik. Langkah pertama dalam analisis suatu sistem dinamik sistem kendali adalah menurunkan model

18

matermatiknya, dan secara umum bentuk persamaan diferensial orde ke-n yang bersifat linier dapat dituliskan seperti pada persamaan (2-1).

)()()(........)()( 0111

1 tutyadttdya

dttyda

dttyd

n

n

nn

n

(2-1) dimana, an-1, a1, a0 : adalah konstanta y(t) : variabel output sebagai fungsi dari waktu u(t) : variabel input sebagai fungsi dari waktu

Persamaan (2-1) di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda persamaan ruang keadaan. Persamaan diferensial tersebut dapat diuraikan menjadi sejumlah persamaan diferensial orde satu seperti dituliskan seperti pada persamaan (2-2). Dalam hal ini terdapat sejumlah variabel x1, x2, ......., xn yang disebut dengan variabel keadaan dalam persamaan ruang keadaan orde ke-n, sebagai persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah.

uxaxaxadt

yddtdx

xdt

yddtdx

xdt

yddt

dx

xdtdy

dtdx

yx

nnn

n

nn

nn

n

nn

12110

1

1

11

32

22

21

1

......

.......... (2-2)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial sedemikian yang dibentuk dengan persamaan keadaan, dan untuk memperoleh hasil untuk setiap keadaan dalam bentuk grafis, maka tidak lagi diperlukan suatu program komputasi untuk pengintegrasian, karena hal ini telah tersedia dalam library simulink. Selanjutnya hasil pengintegrasian harus diperoleh akurat, dan pengambilan keputusan dalam menentukan respon sistem yang didesain apakah sudah memenuhi kriteria atau spesifikasi yang diinginkan atau akan dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih mudah, hal ini tentu dilakukan dengan trial and error.

19

2. 2. Bentuk Umum Solusi Persaman Diferensial Solusi untuk pengintegralan persamaan diferensial (2-2) adalah dengan Metode Integrasi Runge-Kutta orde keempat, dan bentuk persamaan yang umum digunakan dan persamaan ini dituliskan sebagaiberikut: yi+1 = yi + a1 k1 + a2 k2 + a3 k3 + a4 k4 (2-3) Pada metoda ini, ditentukan a1 = a4 = 1/6 dan a2 = a3 = 2/6 sehingga persamaan (2-3) dapat dituliskan menjadi: yi+1 = yi + ( k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) / 6 (2-4) Selanjutnya keempat variabel Runge-Kutta di atas yaitu k1, k2, k3 dan k4 diperoleh sebagaiberikut: k1 = h (m yi + c u) k2 = h (m (yi + k1/2)+ c u) k3 = h (m (yi + k2/2)+ c u) k4 = h (m (yi + k3)+ c u) (2-5) Nilai h sangat menentukan dalam membuat smooth graphics dan tingkat kestabilan dalam simulasi yang akan dilakukan.

3. METODOLOGI Metoda Penelitian yang akan dilakukan adalah dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Memilih dan menentukan bentuk-bentuk persamaan yang akan digunakan untuk pelaksanaan simulasi visual.

2. Menguraikan algoritma dan proses simulasi yang akan digunakan secara bersamaan untuk mencari hasil komputasi dan simulasi termudah dan terbaik.

3. Menentukan proses penyelesaian persamaan-persamaan yang dipilih, dan jika memiliki persamaan yang sangat kompleks, maka sistem harus dibangun menggunakan sub program.

4. Dapat membuat pengembangan untuk sistem desain yang lebih besar dengan multi input multi output yaitu dengan berbagai masukan dan berbagai keluaran yang diharapkan secara simultan.

20

3.1. Proses Penggambaran Fungsi Selain bentuk persamaan yang linier, fungsi sinus, kosinus, pangkat dan kuadrat, mungkin akan digunakan dalam simulasi visual yang diinginkan. Fungsi dari sinus dan kosinus dituliskan dalam bentuk umum sebagaiberikut: (3-1) Penggambaran kedua fungsi pada persamaan (3-1) di atas dengan menggunakan matlab ditunjukkan seperti pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Fungsi Sinus dan Cosinus

Warna merah adalah fungsi sinus untuk satu periode (2 ) , warna biru adalah fungsi cosinus untuk periode yang sama. Jika ada suatu alat seperti pada Gambar 3.2 ingin digerakkan dengan fungsi sinus dan cosinus, tentu untuk setiap waktu akan dapat diamati perubahan yang terjadi akibat gerakan sinus-cosinus dimaksud. Pada kondisi awal, posisi sinus bernilai 0 dan posisi cosinus bernilai 1, tetapi seperempat periode berikutnya posisi sinus bernilai 1 dan posisi cosinus bernilai 0. Pada posisi setengah perioda, posisi sinus bernilai 0 dan posisi cosinus bernilai -1, sedang pada posisi tiga perempat perioda, posisi sinus bernilai -1 dan posisi cosinus bernilai 0. Pada posisi satu perioda, posisi sinus kembali bernilai 0 dan posisi cosinus kembali bernilai 1, hal ini ditunjukkan pada Tabel 3.1.

Mengacu kepada gerakan pada gambar 3.1 dan Gambar 3.2, pergerakan bola sinus dan cosinus untuk setiap periode /4 akan dijelaskan seperti pada Tabel 3.1.

21

Gambar 3.2. Model Gerakan Sinus-Cosinus

Bisa dibayangkan, jika gerakan dari stick pada Gambar 3.2 akan menggunakan data pada tabel 3.1, maka gerakan awal stick adalah, ujung stick teratas pada posisi (0,1) berimpit dengan sumbu-y, dan ujung stick bawah berada pada posisi (1,-1) pada sumbu (x,y). Seperempat perioda berikutnya posisi berikutnya akan berubah sesuai data pada Tabel 3.1, demikianlah seterusnya sampai simulasi akan dihentiikan. Jika gerakan tersebut akan dibuat secara visual, akan terlihat suatu gerakan stick yang berulang-ulang sesuai dengan fungsi sinus-cosinus. Perubahan yang terjadi pada sinus juga ditunjukkan pada Gambar 3.3. Grafik sinus diberikan dengan tiga jenis perioda, sinus (t) berwarna merah, sinus (2 t) berwarna biru dan sinus (3 t) berwarna hitam. Jika gerakan tersebut akan dibuat secara visual, akan terlihat sekaligus tiga gelombang sinus tergambarkan secara bersamaan, dan sesuai periode yang diberikan, gerakan sinus tersebut akan terjadi secara berulang-ulang. 3.2. Proses Penggambaran Respon Waktu Penggambaran respon waktu dari sebuah plant dalam sistem kendali, tergantung pada blok diagram sistem yang diamati. Jika yang diamati adalah blok diagram seperti pada Gambar 3.1, ada tiga kemungkinan respon waktu yang dapat digambarkan dari plant tersebut yaitu, respon waktu sistem lup terbuka, respon waktu sistem lup tertutup dan respon waktu menggunakan komponen pengendali nonliniernya. Suatu sistem saturasi tersebut langsung pada sinyal input sinusoida seperti pada diagram Gambar 3.3, maka pengaruh saturasi dapat terlihat jelas seperti pada Gambar 3.4.

22

Gambar 3.3. Pengaruh Saturasi Pada Sinyal Sinusoida

Sinyal input berwarna merah, sinyal setelah Gain berwarna biru dan besarnya dua kali sinyal input, sedang sinyal output saturasi berwarna Kuning, hanya memotong amplitudo sinyal berwarna biru karena dibatasi oleh saturasi.

Gambar 3.4. Pengaruh Saturasi Pada Sinyal Sinusoida

4. HASIL PENELITIAN

4.1. Program Visual Basic Metodologi penelitian didasarkan pada program simulasi visual

menggunakan visual basic (VB) versi 6,0. Program VB jarang digunakan untuk membuat hasil gerakan visual untuk mengamati gerakan suatu proses yang sedang berlangsung, mungkin alasannya adalah karena memerlukan proses integrasi yang sangat rumit dan proses pembuatan algoritma matematika yang sangat kompleks dalam pemogramannya. Keuntungan dari proggram ini adalah, program berjalan dalam Under Windows, program memiliki hasil akhir yang dapat executable berdiri sendiri

23

menjadi HASIL_PROGRAM.EXE yang dapat dijalankan tanpa membuka software VB.

4.2. Penggambaran Grafik

Penggambaran grafik hasil simulasi adalah salah satu yang terpenting dalam bidang teknik elektro. Grafik tersebut dapat diperoleh dari hasil integrasi persamaan diferensial sedemikian rupa, baik pada sistem linier maupun sistem nonlinier. 4.2.1. Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Pertama

Penggambaran respon waktu sistem orde pertama didasarkan pada persamaan 4.1. (4-1) Sinyal R(s) dapat diberikan sebagai unit step yang selalu bernilai satu. K dan p adalah gain dan pole sistem yang menentukan kecepatan respon dan amplitudonya. Hasil simulasi menggunakan VB untuk persamaan (4-1) di atas ditunjukkan pada Gambar 4.1 berikut.

Gambar 4.1. Respon Sistem Orde Pertama

24

Penggambaran hasil Gambar 4.1 di atas dibuat untuk K = 1 bernilai tetap, sedangkan nilai letak pole p diubah dari 1 sampai 5. Semakin besar nilai dari p maka amplitude respon akan semakin kecil. Jika nilai K dan p selalu dibuat sama, maka tinggi amplitude respon akan selalu sama tetapi kecepatannya akan berbeda, letak pole semakin jauh membuat kecepatan akan naik.

4.2.2. Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Kedua

Penggambaran respon waktu sistem orde kedua didasarkan pada persamaan 4.2. Suatu sistem memiliki persamaan yang memeiliki faktor redaman dan frekuensi alamiah n seperti pada persamaan berikut: (4-2) Ada dua cara penggambaran grafik untuk persamaan (4-4) di atas, yang pertama untuk faktor redaman berubah dan frekuensi alamiah tetap, dan yang kedua untuk frekuensi alamiah dan faktor redaman berubah tetap seperti hasil yang ditunjukkan pada Gambar 4.2 untuk perubahan faltor redaman dan Gambar 4.5 untuk perubahan frekuensi alamiah. Faktor redaman diubah dari nilai 0 sampai 1,0 dengan kenaikan 0,2. Semakin besar factor redaman, maka respon semakin teredam. Menurut aturan Katsuhiko Ogata dalam buku Teknik Automatik Kontrol, nilai terbaik factor redaman adalah 0,707.

Gambar 4.2. Respon dengan Faktor Redaman Berubah

25

4.2.3. Penggambaran Respon Waktu Sistem Orde Ketiga

Penggambaran sistem orde ketiga dengan hanya memberikan nilai parameter tertentu tanpa mengetahui nilai letak pole adalah menggunakan persamaan berikut:

(4-3)

Hasil perhitungan dan simulasi untuk menggambarkan grafik respon ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Respon Sistem Orde Ketiga

Orde ketiga digambarkan dengan parameter bebas tetapi bernilai positip untuk menjaga kestabilan sistem. Dalam simulasi sedemikian, hasil tidak dapat diprediksi, tetapi si mahasiswa pengguna program simulasi visual ini akan dapat memahami makna perubahan pada setiap parameter, jika satu parameter diubah-ubah sementara parameter lainnya dibuat konstan. 4.3. Penggambaran Respon Waktu Sistem Optimal

Penggambaran reespon sistem optimal orde kedua didasarkan pada beberapa persamaan berikut ini:

26

atau (4-4)

(4-5) (4-6)

(4-7) Untuk dapat melakukan simulasi, nilai matrik konstan A sudah diketahui

terlebih dahulu. Nilai P akan dihitung dalam simulasi, nilai K juga akan dihitung dalam simulasi, selanjutnya respon system lup tertutup akan digambarkan dengan grafis seperti pada respon yang dihasilkan pada Gambar 4.4.

Pada simulasi ini bahwa parameter yang diubah adalah R dan Q dimana parameter Q ini memiliki persamaan,

(4-8)

Nilai R, diubah sedemikian misalnya dari 0,1 sampai 0,5 sedangkan

nilai q1 dan q2 diubah misalnya dari 1 sampai 10. Si Pengguna dapat mengubah-ubah parameter sampai diperoleh respon tertentu dengann speseifikasi tertentu yang diinginkannya. Nilai-nilai parameter dapat diisikan sedemikian rupa pada layar simulasi, dan setelah nilai diisikan maka tombol Lihat Respon dapat di click untuk melihat hasil dengan nilai parameter yang diberikan itu.

Gambar 4.4. Sistem Kendali Optimal Orde Kedua

27

4.4. Penggambaran Trayektori

Respon setiap state dari hasil simulasi dihasilkan dengan sumbu horizontal adalah waktu. Penggambaran trayektori berbeda halnya, pada sumbu-x yang diberikan adalah nilai posisi dari suatu respon, sedangkan pada sumbu-y diberikan nilai kecepatan dari suatu respon yang sama, dan hal inilah yang disebut trayektori. Penggambaran trayektori dapat dilakukan dengan beberapa metoda, salah satu diantaranya adalah metoda isoclin. Berikut ini diberikan simulasi untuk mengamati trayektori dari suatu sistem orde ketiga yang memiliki faktor redaman dan frekuensi alamiah, dimana persamaan karakteristiknya adalah seperti berikut ini: (4-9) Hasil simulasi visual ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5. Simulasi Penggambaran Trayektori

Nilai-nilai parameter dapat diisikan sedemikian rupa pada layar

simulasi, dan setelah nilai diisikan maka tombol Respon dan Trayektori dapat di click untuk melihat hasil dengan nilai parameter yang diberikan itu.

4.5. Penggambaran Gerak Visual Sistem Kendali Posisi

Dalam sistem kendali, Kendali Posisi adalah model terbaik dari suatu respon. Kendali Posisi diartikan, bahwa letak posisi respon output dari suatu

28

peralatan dapat dikendalikan dengan memberikan input saja dengan posisi yang sama. Ada dua hal yang diinginkan pada sistem kendali posisi, yaitu ketepatan posisi yang diinginkan dan kecepatan posisinya, tetapi diperlukan juga pemahaman bahwa ayunan yang dihasilkan haruslah sekecil mungkin. Mari ditinjau sebuah sistem kendali posisi versi Katsuhiko Ogata dalam buku “Modern Control Engineering” Third Edition page 143 seperti ditunjukkan pada Gambar 4.6.

Gambar 4.6. Schematic Diagram of Servo System

Dua posisi input potentiometer dan output potentiometer akan disimulasikan seperti pada Gambar 4.7. Dalam simulasi visual tersebut, ditunjukkan sekaligus dua gerakan yaitu pada pergerakan posisi output potentiometer dan pergerakan grafik respon waktunya.

Tahapan-tahapan melakukan simulasi: - Mula-mula diisikan nilai posisi yang diinginkan (dalam derajat) - Di click block Isikan Set Point - Selanjutnya di click bLihat Respon.

Jika diamati dalam literature Google, penggambaran simulasi visual seperti ini belum ada dijumpai, itulah salah satu kebaruan dari penelitian ini.

Pada simulasi visual juga ditampilkan nilai posisi input yang diberikan dan nilai posisi output yang dicapai. Dalam contoh di atas, input diberikan 70o dan output 70,44o.

Sejumlah hasil lainnya akan diberikan pada Gambar berikut ini.

29

Gambar 4.7. Simulasi Visual Respon Posisi Sistem Servo

Gambar 4.8. Hasil Simulasi Visual Berbagai Posisi

30

Gambar 4.9. Hasil Setelah Dibuat Berbeda Set Point ke -60 o

Gambar 4.9. Hasil Setelah Dibuat Berbeda Set Point ke -60 o Dapat dikatakan, bahwa penelitian ini sangat sukses, banyak mahasiswa sudah menguji coba dan semua menginginkan untuk memiliki program eksekusinya. Penelitian ini masih dapat dikembangkan lagi untuk tingkat kesulitan tertentu, sehingga tingkat batas kemampuan visual basic suatu ketika akan ditemukan.

5. KESIMPULAN

Sebagai kesimpulan dari hasil simulasi visual ini, diberikan sebagai berikut:

1. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem orde pertama, kedua dan ketiga berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1 sampai Gambar 4.6.

2. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem optimal orde kedua berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.7.

3. Simulasi penggambaran respon waktu dan trayektori untuk sistem orde ketiga berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.8 sampai Gambar 4.14.

4. Simulasi penggambaran respon waktu untuk sistem kendali posisi servo berhasil dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.16 sampai Gambar 4.21.

31

DAFTAR PUSTAKA

Glenn W. Stagg, 1983, Komputer Method in Power Sistem Analysis, McGraw-Hill Interational Book Company, London.

Jaan Kiusalaas, 2005, Numerical Methods in Engineering with Matlab,

Cambridge University Press, New York. Katsuhiko Ogata, 1994, Solving Control Engineering Problems with Matlab,

Prentice-Hall, Inc., London. Katsuhiko Ogata, 1997, Modern Control Engineering, Prentice-Hall, Inc.,

London. Mikhaylo Andriychuk, 2012, Numerical Simulation, from Theory to Industry,

InTech Publishers, Croatia. Shoiciro nakamura, 1991, Applied Numerical Methods with Software, Prentice-

Hall, Inc., London. Steven C. Chapra, 1993, Metode Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta. Vasilios N. Katsikis, 2012, Matlab – A Fundamental Tool For Scientific

Computing and Engineering Applications, InTech Publishers, Croatia. Wai-Kai Chen, 2005, A Mathematical Introduction to Control Theory, World

Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., London. Wahana Komputer, 2004, Tutorial Membuat Program dengan Visual Basic,

Penerbit Salemba Inpotek, Semarang.