Strength of Materials - eng-hs.net · )HS Engineers( مكتانق ىلع داوملا نم ديدعلل )اناجم( ويديف حرش eng-hs.net مكعقومب اناجم ةرفوتم

(HS Engineers( للعديد من المواد على قناتكم )مجاناشرح فيديو )

net.hs-eng كمبموقع مجانا النوتات متوفرة neths.-enginfo@ (1 ) 26044449 م. حمادة شعبان

شرح النوت فيديو متوفر على قناتكم

HS Engineers

تابعونا ليصل لكم كل جديد

نحن مجانين إذا لم نستطع أن نفكر، متعصبون

إذا لم نرد أن نفكر، عبيد إذا لم نجرؤ أن نفكر.

Transformation of Stress

and Strain

Strength of Materials

Week 7

المقاومةنوت

. أجزاءتتكون النوت من عشرة

على نوت كل أسبوعيحتوي

من ألمثلة وتمارينشرح وحلول

سابقة.هوموركات وامتحانات



,𝝉يمكن حساب 𝝈 المتولدة على مستوى يميل بزاوية 𝜽 عن

( كما في الشكل المبين طبقاً للقوانين التالية: x , yمحاور )

تعرف normal stressesالمستويات التي لديها أكبر وأقل

لديها باسم stressesوتسمى principal planesباسم

principal stresses

Principal Stresses & Maximum Shearing Stress

احتجت لسنة كاملة لكسب ربما

لكددددددن مددددددن السددددددهل ،صدددددددي

.خسارته في دقيقة واحدة

[ 𝜎𝑥′ =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

𝜎𝑦′ =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−


2cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

𝜎𝑥′𝑦′ = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 ]

tan 2𝜃𝑝 =2𝜏𝑥𝑦


𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2± √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2



shearكما يمكن إيجاد زوايا المستويات التي لديها أقصى قيم للـ

stress الـ وكذلك قيمة maximum shear stress :كما يلي

principal stressesوقيم principal planesيمكن إيجاد قيم زوايا

maximumوقيمة shear stressوكذلك المستويات التي لديها أقصى

shear stress برسمMohr’s circle كما في الشكل:

Mohr’s Circle for Plane Stresses

قدددددد تنسدددددى مدددددن شددددداركك

لكنددددك لددددن . .. الضددددحك

.تنسى من شاركك البكاء

tan 2𝜃𝑠 = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2



Stresses in thin-Walled Pressure Vessels

فإن Pفي حال تعرض أسطوانة لضغط غاز داخلي بقيمة

المبينة بالشكل: Normal Stressesاألسطوانة يتولد فيها

فإن الكرة تتعرض لـ Pوفي حال تعرض كرة لضغط غاز داخلي بقيمة

Normal Stress :المبينة بالشكل

كن ممن ينشر السعادة أينما

تكن ممن وال . . .ذهب

.وراءه متى ذهب اـــيخلفه

Stress Superposition

ليس لها نفس المحاور )كما في stress* في حال لدينا نقطة معرضة ألكثر من حالة

الشكل أدناه( فيجب اعتماد شكل واحد للمحاور )مثال األفقي والرأسي( وتحويل كل

إلى ما يقابلها من هذه المحاور حتى يمكن جمعها. stressحالة

𝜎1 =𝑃 𝑟

𝑡, 𝜎2 =

𝑃 𝑟

2𝑡

𝜎1 = 𝜎2 =𝑃 𝑟

2𝑡



7-1

𝜃 = −70∘

𝜎𝑥 = 120 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑦 = 60 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑥𝑦 = 45 𝑀𝑃𝑎

(𝜎�̅� , 𝜏�̅��̅�) 𝑎𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑟𝑒𝑑

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−


2 cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

=(120 + 60)

2−

(120 − 60)

2 cos(−140∘) − 45 sin(−140∘)

= 90 − (−22.98) − (−28.93) = 141.9 𝑀𝑃𝑎

𝜏�̅��̅� =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2 sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

= −(120 − 60)

2 sin(−140∘) + 45 cos(−140∘)

= −(−19.28) + (−34.47) = −15.19 𝑀𝑃𝑎

هناك شيئان النهائيان: الكون

وغباء اإلنسان، وبالنسبة للكون

فأنا ما زلت غير متأكد تماما.



7-2

𝜃 = −60∘

𝜎𝑥 = 0

𝜎𝑦 = −60 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑥𝑦 = −90 𝑀𝑃𝑎


𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+


2 cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

=(0 − 60)

2+

(0 − (−60))

2 cos(−120) − 90 sin(−120∘)

= −30 − 15 + 77.94 = 32.94 𝑀𝑃𝑎

𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦


= −(0 + 60)

2sin(−120∘) − 90 cos(−120∘)

= 25.98 + 45 = 70.98 𝑀𝑃𝑎

نقضي عشرين عاما لبناء سمعة

جيدة، خمس دقائ تكفي لهدمها.



7-4

𝜎𝑥 = −42 𝑀𝑃𝑎


𝜏𝑥𝑦 = 0

𝜃 = −55∘


𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−


2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

=(−42 + 84)

2−

(−42 − 84)

2 cos(−110∘) − 0

= 21 − 21.547 = −0.547 𝑀𝑃𝑎

𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦


= −(−42 − 84)

2 sin(−110∘)

= −59.2 𝑀𝑃𝑎

يتذكر الناس الذي فعلته،

وليس بالضرورة ما قلته.



𝑡𝑎𝑛(2 𝜃𝑃) =

2 𝜏𝑥𝑦


=2 (35)

−60 − (−40)

𝜃𝑃1= −37∘

𝜃𝑃2= 53∘

𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑚𝑖𝑛 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2± √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

=−60 + (−40)

2± √(

−60 + 40

2)2

+ (35)2

= −50 ± 36.4

= −13.6 𝑀𝑃𝑎, −86.4 𝑀𝑃𝑎

7-5

يتطلب األمر أدلة كثيرة إلثبات ذكائك،

لكن يكفي دليل واحد إلثبات عكس ذلك.



7-7



𝜏𝑥𝑦 = −90 𝑀𝑃𝑎

a)

𝑡𝑎𝑛 2𝜃𝑃 =2 𝜏𝑥𝑦


=2 ∗ (−90)

150 − 30=

−180

120

𝜃𝑃1= −28.2°

𝜃𝑃2= 61.8°

b)

𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑚𝑖𝑛 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2± √(


2) + 𝜏𝑥𝑦

2

=150 + 30

2± √(

150 − 30

2)2

+ (−90)2

= 90 ± 108

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 208 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑖𝑛 = −18 𝑀𝑃𝑎

يخدع المظهر األول الكثيرين.

150 MPa

90 MPa



7-13

𝜎𝑥 = 0

𝜎𝑦 = 56

𝜏𝑥𝑦 = 35

𝜃 = −25∘

a)

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+



=0 + 56

2+

0 − 56

2 cos(−50) + 35 sin(−50)

= 28 − 18 − 26.8

= −16.8 𝑀𝑃𝑎

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−


2 cos(−50) − 𝜏𝑥𝑦 sin(−50)

= 28 + 18 + 26.8 = 72.8 𝑀𝑃𝑎

𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

=0 − 56

2sin(−50) + 35 cos(−50)

= −21.45 + 22.5 = 1.05 𝑀𝑃𝑎

b)

𝜃 = 10

(a)نفس خطوات الحل في

يصبح الجيد غير جيد، إذا كان

األجود هو المتوقع.






𝜃 = −25∘

a)

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+



=(−60 + 90)

2+

(−60 − 90)

2cos(−50∘) + 30 sin(−50∘)

= 15 − 48.2 − 22.98 = −56.18 𝑀𝑃𝑎

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−


2 cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃

= 15 + 48.2 + 22.98 = 86.18 𝑀𝑃𝑎

𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦


= −(−60 − 90)

2sin(−50∘) + 30 cos(−50∘)

= −57.45 + 19.28 = −38.17 𝑀𝑃𝑎

b)

𝜃 = 10∘

الحل()نفس خطوات

7-14

يسخر من الجروح من ال يعرف األلم .



𝜎𝑥 = 0

𝜎𝑦 = 0

𝜏𝑥𝑦 = 4.2 𝑀𝑃𝑎

𝜃 = −15∘


a)

𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦


= 0 + 4.2 cos(−30∘)

= 3.64 𝑀𝑃𝑎

b)

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+


2 cos 2𝜃 + 𝜏�̅��̅� sin 2𝜃

= 0 + 0 + 4.2 sin(−30∘)

= −2.1 𝑀𝑃𝑎

إذا جاءك الطعن من الخلف

فهذا يعني أنك في المقدمة.

7-17




𝜎𝑦 = −1.8 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑥𝑦 = 0

𝜃 = −15°


𝜏�̅��̅� = −𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

= −(−3 + 1.8)

2sin(−30°) + 0

= −0.3 𝑀𝑃𝑎

𝜎�̅� =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+



=(−3 − 1.8)

2+

(−3 + 1.8)

2 cos(−30°) +0

= −2.4 + (−0.520)

= −2.92 𝑀𝑃𝑎

a)

b)

7-18

إذا كنت كسوال في سن العشرين

فستستجدي في سن األربعين.



𝑉𝑥 = 10 𝑘𝑁

𝑀𝑧 = (10 𝑘𝑁)(150 𝑚𝑚) = 1,500 𝑁.𝑚

𝑇𝑦 = (10 𝑘𝑁)(200 𝑚𝑚) = 2,000 𝑁.𝑚

𝜎𝑀𝑧=

𝑀 𝐶

𝐼= 0

𝜏𝑉 =2 𝑉

𝐴

=2 ∗ (10 ∗ 103)

𝜋 (0.0512 − 0.0452)

= 11.05 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑇𝑦=

𝑇 𝐶

𝐽

=(2,000) ∗ (0.051)

𝜋2 (0.0514 − 0.0454)

= 24.37 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35.42 𝑀𝑃𝑎

بتطبي القوانين: *

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 35.42 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 35.42 𝑀𝑃𝑎

H yT

10 kN

x

zM

z

(H is on z-axis)

35.42 MPa

اغفر ألعدائك فلن يغيظهم

شيء أقوى من هذا.

7-26

H



x

140 56

70

70

56 28 84

y

(140, 42)

(28, 42)

𝜎𝑎𝑣𝑔 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2 = 84 𝑀𝑃𝑎

𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 70 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 + 𝑅 = 14 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑎𝑣𝑔 − 𝑅 = 154 𝑀𝑃𝑎

𝜃𝑃1= 18.43∘

𝜃𝑃2= −61. 6∘

تبدو األمور أفضل كثيرا إذا

نظرنا إليها من الطرف اآلخر.

2 𝜃𝑃2 2 𝜃𝑃1

7-33



لحالة الـ Mohr’s circleنقوم أوالً برسم

stresses عن المستوى 30التي تميل بزاوية

لها محاور أفقية stressesاألفقي لتحويلها إلى

في الحالتين: stressesورأسية حتى يمكن جمع الـ

:من الرسم نستنتج أن




الموجودة في stressesوبإضافة هذه القيم على الـ

للشكــل Mohr’s circleالشكل األيســر ثــم رســم

:اإلجمـالــي

(𝜎𝑥)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 70 + 60 = 130 𝑀𝑃𝑎

(𝜎𝑦)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 50 + 20 = 70 𝑀𝑃𝑎


:من الرسم نستنتج أن

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 100 + 45.82 = 145.82 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 100 − 45.82 = 54.18 𝑀𝑃𝑎

2 𝜃𝑃1= tan−1

34.64

30

𝜃𝑃1= 24. 6∘, 𝜃𝑃2

= 114. 6∘

40

40 20

20 80

45.82

130 100 70

34.64

70

130

34.64

× ×

× ×

7-54

تكمن أعلى درجات االمتياز في

كسر مقاومة عدوك دون قتال.

𝜏

𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝜎

𝜏𝑥𝑦 = 34.64 2𝜃 = 60

𝜏

𝜎𝑚𝑖𝑛

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 145.82





𝜎𝑚𝑖𝑛 = 35 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑥𝑦 = ?

𝜎𝑚𝑖𝑛 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2− √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

35 =98 + 63

2− √(

98 − 63

2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

√(17.5)2 + 𝜏𝑥𝑦2 = 45.5

306.25 + 𝜏𝑥𝑦2 = 2,070.25


a)

𝑡𝑎𝑛 2𝜃𝑝 =2 𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦=

2 (42)

98 − 63

𝜃𝑝1= 33.69∘, 𝜃𝑝2

= 123. 7∘

b)

𝜎𝑚𝑎𝑥 =98 + 63

2+ √(

98 − 63

2)2

+ (42)2

= 80.5 + 45.5 = 126 𝑀𝑃𝑎

c)

𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(98 − 63

2)2

+ (42)2

= 45.5 𝑀𝑃𝑎 ربما تضطر لخوض المعركة

لكسبها. أكثر من مرة



a)

𝜎1 = 𝜎2 =𝑝 𝑟𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟

2 𝑡

=1.8 ∗ (2.5 − 0.024)

2 ∗ (0.024)= 92.85 𝑀𝑃𝑎

b)

휀 =𝜎1

𝐸− 𝑣

𝜎2

𝐸

=92.85 ∗ 106

200 ∗ 109− 0.29 ∗

92.85 ∗ 106

200 ∗ 109

= 329.6 ∗ 10−6

휀 =𝛿

𝑑=

𝛿

5

𝛿 = 1.65 ∗ 10−3 𝑚

= 1.65 𝑚𝑚

كل إنسان يعتقد أنه هو الذي يمتلك

يعتقد، الحقيقة، وأن الح هو ما

وهذا هو سبب نزاعات العالم.

7-99

24 mm

1.8



𝜎𝑎𝑙𝑙 =𝜎𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑒

𝐹. 𝑆.=

400

4= 100 𝑀𝑃𝑎

𝜎1 =𝑃 𝑟

𝑡=

𝑃 (4)

(0.005)= 800 𝑃

800 𝑃 = 100

𝑃 = 0.125 𝑀𝑃𝑎

𝑃 = 𝛾 ℎ

0.125 ∗ 106 = 9,810 ℎ

ℎ = 12.74 𝑚

ال يمكددددن لمعاهدددددة أن تدددددوم

إال إذا انتصر فيها الطرفان.

7-104

400 MPa

31000 kg/m

8 m

14.5 m



𝜎1 =𝑝 𝑟

𝑡=

𝑝 (792)

(8)= 99 𝑝

𝜎2 = 49.5 𝑝

𝜎𝑤𝑒𝑙𝑑 =𝜎�̅� + 𝜎�̅�

2+



= (49.5 𝑃 + 99.0 𝑃

2) + (

49.5 𝑃 − 99.0 𝑃

2) cos(40∘)

= 55.30 𝑃 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑤𝑒𝑙𝑑 = −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2) sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

= − (49.5 𝑃 − 99.0 𝑃

2) sin(40∘)

= 15.9 𝑝

55.3 𝑝 = 120 ∗ 106 ⟹ 𝑝 = 2.17 𝑀𝑃𝑎

15.9 𝑝 = 80 ∗ 106 ⟹ 𝑝 = 5.03 𝑀𝑃𝑎

𝐶ℎ𝑜𝑜𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒 ⟹ 𝑝𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡 = 2.17 𝑀𝑃𝑎

لن يمكنك االنتصار إذا كان

بمقدورك قبول الهزيمة.

7-118

7-117

7-117



𝜎1 =𝑝 𝑟

𝑡=

8 ∗ 90

12= 60 𝑀𝑃𝑎

𝜎2 =𝑝 𝑟

2𝑡=

𝜎1

2= 30 𝑀𝑃𝑎

𝜏 =𝑇 𝑐

𝐽=

(12 ∗ 103) ∗ ((90 + 12) ∗ 10−3)𝜋2

∗ ((102 ∗ 10−3)4 − (90 ∗ 10−3)4)

= 18.28 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+ √(


2)2

+ 𝜏𝑥𝑦2

=60 + 30

2+ √(

60 − 30

2)2

+ (18.28)2

= 45 + 23.65 = 68.65 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎𝑚𝑎𝑥

2=

68.65

2= 34.32 𝑀𝑃𝑎 (𝑜𝑢𝑡-𝑜𝑓-𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒)

إذا لم ينص على

Maximum in-plane shear

فيتم اختيار األكبر من ثالث قيم

|𝝈𝒎𝒂𝒙

𝟐| , |

𝝈𝒎𝒊𝒏

𝟐| , |

𝝈𝒎𝒂𝒙 − 𝝈𝒎𝒊𝒏

𝟐|

نصف النصر أن تبقى محتفظا

ال تخبر بذلك عدوك. بأعصابك،



z k

P

36.6

36.6

73.1 73.1

x

إذا لم ينص على

Maximum in-plane shear

فيتم اختيار األكبر من ثالث قيم

2,

2,

2

minmaxminmax

𝜎1 =𝑝 𝑟

𝑡=

5 (117)

8= 73.1 𝑀𝑃𝑎

𝜎2 =1

2 𝜎1 = 36.6 𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑧 has no effect on 𝐾 (𝑘 is on 𝑧-axis)

𝜏𝐾 =2 𝑉

𝐴=

2 ∗ (40 ∗ 103)

𝜋 (1252 − 1172) ∗ 10−6

= 13.14 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑚𝑎𝑥 =73.1 + 36.6

2+ √(

73.1 − 36.6

2)2

+ 13.142

= 54.9 + 22.5

= 77.4 𝑀𝑃𝑎

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎𝑚𝑎𝑥

2= 38.7 𝑀𝑃𝑎 (𝑜𝑢𝑡-𝑜𝑓-𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒)

التسويف هو المباراة بين األلم الحالي للقيام

.بالمهمة ولذة تأخيرها بألم أكبر مستقبال

𝜏𝑥𝑧

7-124

Documents

Strength of Materials - eng-hs.net · )HS Engineers( مكتانق ىلع داوملا نم ديدعلل )اناجم( ويديف حرش eng-hs.net مكعقومب اناجم ةرفوتم