STATİK Ders...Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN ... Behcet DAĞHAN

Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

STATİK

Behcet DAĞHAN

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları

2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri

3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge

4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar

5. SÜRTÜNME

6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN


STATİK

STATİK

KUVVET SİSTEMLERİ

Behcet DAĞHAN

2Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri

2.2STATİK




Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 1

Dik Bileşenler

x

y

z

O

i

jk→

→

→

F→

F

Fx

Fx→

Fy→

Fz→

Fz

Fy

u // F→ →

θx

θyθz

F = Fx i + Fy j + Fz k

→ →F = Fx + Fy + Fz

→ →

→ → → →

F 2 = Fx2 + Fy

2 + Fz2

Fx = F cosθx = F l

Fy = F cosθy = F m

Fz = F cosθz = F nF = F (l i + m j + n k )→ → → →

l = cosθx

m = cosθy

n = cosθz

→F ile aynıyöndekibirim vektör

l 2 + m2 + n2 = 1

F = F u→ →

}

= u→

Kuvvetin tesir çizgisi üzerindeki A ve B gibi iki noktanın koordinatları biliniyorsa:

x

y

z

O

F→

F

u→

A

B

A (xA , yA , zA)

B (xB , yB , zB)

AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →

AB vektörü,uç noktasının koordinatlarındanbaşlangıç noktasının koordinatları çıkarılarak yazılır.u = ––––

AB

AB

→→

AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2F = F ––––AB

AB

→→

Doğrultmankosinüsleri

u // F // AB→ → →→

u→



Behcet DAĞHAN



Başlangıç ve uç noktasının koordinatları bilinen bir vektörün birim vektörler cinsinden yazılması için pratik bir yol

x

y

z

O

A (xA , yA , zA)

B (xB , yB , zB)

Başlangıçnoktası

Uçnoktası

x

y

z

O

B

A dan B ye giderken

x-eksenine paralel olarak

ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak

i nin katsayısını buluruz.→


A dan B ye giderken

z-eksenine paralel olarak


k nın katsayısını buluruz.→

A dan B ye giderken

y-eksenine paralel olarak


j nin katsayısını buluruz.→




AB→

AB→

A

B

A

A dan B ye giderken hangi sırayla gidildiğinin önemi yoktur.



Behcet DAĞHAN



Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün skaler çarpım ile bulunması

Örnek olarak F kuvvetinin x-eksenine izdüşümünü bulalım.F • i = F (1) cosθx

→ →

Fx = F cosθx

F

F

Fa = Fa e

a

a

e

→

→

Fa

→

Fa

→

Fa = F • e→ →

→

} Fa = F • e e→ → →→

} Fx = F • i→ →

Fx = F • i i→ →→ →

Fx = Fx i→ →

Benzer şekilde:

a-a doğrultusundakibirim vektör

Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün şiddeti,kuvvet ile doğrultu üzerindeki birim vektörün skaler çarpımı ile bulunur.

F = F (l i + m j + n k )→ → → →

e = α i + β j + γ k→ → → →

e = α i + β j + γ k→ → → →

Fa = F • e→ →

} Fa = F (l α + m β + n γ)

Herhangi iki vektör arasındaki açının bulunması

cosθ = –––––– = l1 l2 + m1m2 + n1n2

P1 • P2

→ →

P1 P2

θ = 90o ↔ l1 l2 + m1m2 + n1n2 = 0P1 = P1 (l1 i + m1 j + n1 k )→ → → →

P2 = P2 (l2 i + m2 j + n2 k )→ → → →

F e ise:

Fa = 0

→ →

→

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/16

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T yi,

x, y, z eksenlerindeki birim vektörler cinsinden yazınız.

Çözüm

T = 1.2 kN

T = Tx i + Ty j + Tz k→ → → →

C (−1.5,0,4.5)

D (0,3,0)

T = T ––––CD

CD

→→

CD = (xD − xC) i + (yD − yC) j + (zD − zC) k→ → → →

CD2 = (xD − xC)2 + (yD − yC)2 + (zD − zC)2

CD = [0 − (−1.5)] i + (3 − 0) j + (0 − 4.5) k m→ → → →

CD = 1.5 i + 3 j − 4.5 k m→ → → →

CD2 = (1.5)2 + 32 + (− 4.5)2 m2

CD = 5.61 m

T = 1.2 –––– i + 1.2 –––– j + 1.2 ––––– k kN→→ 1.5

5.61 5.61 5.61

3 − 4.5→ →T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN

→→ → →

T = 1.2 –––––––––––––––––– kN →

5.61

1.5 i + 3 j − 4.5 k→ → →

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/17

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T nin,

AE doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz. Bir önceki problemin sonucunu kullanınız.

Çözüm

TAE = ?

AE = (xE − xA) i + (yE − yA) j + (zE − zA) k→ → → →

AE2 = (xE − xA)2 + (yE − yA)2 + (zE − zA)2

AE = (−1.5 − 0) i + (0 − 0) j + (0 − 3) k m→ → → →

AE = −1.5 i − 3 k m

→

→ →

AE2 = (−1.5)2 + 02 + (−3)2 m2

T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN→→ → →

TAE = T • uAE

→

A (0,0,3)

E (−1.5,0,0)

uAE = α i + β j + γ k→ → → → } TAE = Tx α + Ty β + Tz γ

uAE = ––––AE

AE

→→

T = Tx i + Ty j + Tz k→ → → →

→

AE = 3.35 m

uAE = −0.45 i − 0.9 k→ →→

TAE = 0.32(−0.45) + 0 + (−0.96)(−0.9) kN

TAE = 0.72 kNT = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN→→ → →

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/18

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gerdirme tertibatı OA kablosundaki çekme kuvveti 5 kN oluncaya kadar sıkılmıştır.

Kablonun O noktasına uyguladığı F kuvvetini i, j, k birim vektörleri cinsinden yazınız.

Ayrıca F kuvvetinin OB doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz.

OB ve OC doğruları x-y düzlemi içinde yer almaktadır.

Çözüm

F

z

yx 30o

A

CB

O

Fxy

FyFx

FzF = 5 kN

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →

FB = ?

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →

→→→→

→

Fxy = F cos50o

Fx = Fxy cos65o = F cos50o cos65o

Fy = Fxy sin65o = F cos50o sin65o

Fz = F sin50o

F = 1.36 i + 2.91 j + 3.83 k kN→ → → →

FB = F • uB→ →

uB = cos30o i + sin30o j

uB→

→ →Fx = 5 cos50o cos65o

Fy = 5 cos50o sin65o

Fz = 5 sin50o

FB = 1.36 cos30o + 2.91 sin30o

FB = 2.63 kN

FB →

→

50o

65o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/19

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki F kuvvetinin şiddeti 2 kN dur ve A dan B ye doğru yönelmiştir. F nin CD doğrultusuna dik

izdüşümünü hesaplayınız ve F ile CD arasındaki açı θ yı bulunuz.

Çözüm

F

x

y

z

A

C

B

D

0.2 m

0.2

m

0.4 m

CD→

F = 2 kN

A (0.2,0,0)

B (0,0.4,0.2)

C (0.4,0,0.2)

D (0.4,0.4,0)

FCD = ?

θ = ?

FCD = Fx α + Fy β + Fz γ

uCD = α i + β j + γ k→ → → →

= ––––CD

CD

→

→FCD = F • uCD

→

AB2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2

AB = 0.49 m

= F ––––AB

AB

→

F = − 2 –––– i + 2 –––– j + 2 –––– k kN0.20.49

0.40.49

0.20.49

→ → →→

F = − 0.82 i + 1.63 j + 0.82 k kN→→ →→

AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m→ →→ →

CD2 = 0.42 + (−0.2)2 m2

CD = 0.447 m

CD = 0.4 j − 0.2 k m→→ →

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →

uCD = 0.894 j − 0.447 k→ → →

FCD = 1.63(0.894) + 0.82(−0.447) kN

FCD = 1.09 kN

→FCD = F • uCD = F cosθ

→

cosθ = –––––FCD

Fθ = 56.8o

0.2 m



Behcet DAĞHAN



Moment

F

Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir.

Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur.

Tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur.

Moment vektörel bir büyüklüktür.

Moment vektörünü M ile göstereceğiz.

Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur.

Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksenedöndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir.

→

A ∟d

MA∟

MA = F d

Momentalınaneksen

Momentalınannokta

Bir noktaya göre moment

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir.

Bir noktaya göre alınan momentin şiddeti:

Momentkolu



Behcet DAĞHAN



F

A

∟

d

MA

İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin momentleri genellikle içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre alındığı için, momentvektörlerinin tamamı birbirine paraleldir. Dolayısı ile sadece şiddetleri ile ilgilenmek ve yönlerini de pozitif-negatif işaretle belirtmek yeterli olmaktadır.

Fakat üç boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre momentlerinin oluşturduğu sistem de üç boyutludur.Yani moment vektörleri birbirine paralel değildir.

r α

∟

MA = r × F→ → →

MA = r F sinα MA = F d

MA = F r sinα

d = r sinα→

r vektörü, moment alınan noktadan başlar,kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter.

MA ≠ F × r→ → →

MA = r × F =→ →

→ →i j k

rx ry rz

Fx Fy Fz

→→

MA = MAx + MAy + MAz

→ → → →

MA = MAx i + MAy j + MAz k → → → →

Bir kuvvetin bir noktaya göre momentini vektörel çarpımla bulabiliriz.

O

x

y

z

∟

!



Behcet DAĞHAN



A

MA

r∟

Moment alınan noktadan geçen herhangi bir eksene göre moment

O

x

y

z

F∟ ∟

d

e

Mλ = MAλ

→ →

→

λ A dan geçen herhangi bir eksen

Mλ

: A dan geçen λ eksenine göre moment e = α i + β j + γ k→ → → →

: λ ekseni üzerindeki birim vektör

Mλ = MAλ = MA • e→ →

Mλ = Mλ e→ →

} Mλ = r × F • e→ →

MA = r × F→ → →

→

Mλ =

α β γ

rx ry rz

Fx Fy Fz ∟

Yani bir kuvvetin, moment alınan nokta ile kuvvetin içinde bulunduğu düzlemde yer alan bir eksene göre momenti yoktur.

Moment alınan eksen, A noktasına göre alınan momente dik ise:

A noktası ile kuvvetiniçinde bulunduğu düzleme

dik olan eksen

→ →MA e → Mλ = 0

Mλ =

α β γ

rx ry rz

l m nF

F = F (l i + m j + n k )→ → → →

r = rx i + ry j + rz k→ → → →

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →



Behcet DAĞHAN



A

MA

r∟

MA = MAx + MAy + MAz

→ → → →

MA = MAx i + MAy j + MAz k → → → →

O

x

y

z

MAx

→: A dan geçen ve x-eksenine paralel olan eksene göre moment

A dan geçen vex-eksenine paralel olan eksenx'

MAy

→: A dan geçen ve y-eksenine paralel olan eksene göre moment

MAz

→: A dan geçen ve z-eksenine paralel olan eksene göre moment

MAx

→

MAy

→

MAz

→

= MAx'

→

= MAy'

→

= MAz'

→ y'

z'

F

∟ ∟

dMO = MOx + MOy + MOz

→ → → →

MO = MOx i + MOy j + MOz k → → → →

MO = Mx i + My j + Mz k → → → →

MA = Mx' i + My' j + Mz' k → → → →

A dan geçen vey-eksenine paralel olan eksen

A dan geçen vez-eksenine paralel olan eksen

= Mx'

→

= My'

→

= Mz'

→



Behcet DAĞHAN



Varignon Teoremi

r

MAR = r × R

→ → →

F2

F1

MAF1 = r × F1

→ → →

MAFn = r × Fn

→ → →

R = F1 + ··· + Fn

→ → →

r × R = r × (F1 + ··· + Fn ) = r × F1 + ··· + r × Fn→ → → → → → → → →

MAR = MA

F1 + ··· + MAFn

→ → →

Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesinin herhangi bir noktaya (veya eksene) göre momenti,kuvvetlerin o noktaya (veya eksene) göre momentleri toplamına eşittir.

Fn

···

BMAx

R = MAxF1 + ··· + MAx

Fn

MAyR = MAy

F1 + ··· + MAyFn

MAzR = MAz

F1 + ··· + MAzFn

···

A

r

B

R

A

MAR

MAF2

MAFnMA

F1

≡



Behcet DAĞHAN



A

r

F

C

d

−F

B

Kuvvet çifti

Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0).

Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır.

Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır.

Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir.

R = F + (− F )→ → →

R = 0→ →

Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır.

Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım.

Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.

M = r × F→ → →

MA = AB × F + AC × (−F ) = (AB − AC ) × F = r × F→ → →→

→

→ → → → → → →

AB = AC + r→ → →

→ → →r = AB − AC

F

d

−F→

→

M = F d

≡

Kuvvet çiftini,çoğunlukla,kuvvetler düzlemine dik olan birmoment vektörü ile gösteririz.

Kuvvet çiftinin sadece momenti önemli olduğu için, momentleri eşit olan kuvvet çiftlerine denk kuvvet çiftleri denir.

AC→ AB

→



Behcet DAĞHAN


F

d

→F

d

F→

→

M = F d

≡

Bir kuvvetin tesir çizgisinin değiştirilmesi

Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir.Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamak gerekir.

−F→

≡F→

Bu moment,kuvvetin momenti değildir.Kuvvete ilavetendışarıdan uygulananbir kuvvet çiftidir.

Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz.

F

d

→F

d

F→

→

M = F d

≡ −F→

≡F→

Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz.Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.


!

←

40o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/20

Verilenler:

İstenenler:

50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyenkoordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız.

1. Çözüm

F = 50 N

MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →

x y

z

OF

MO

A125 mm

40o

x

y

z

O

A125 mm

40o

Fy

20 mm

20 mm

F = Fx i + Fy j = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N→ → →

Fx 40o

→ →

Mx = |Fy | (20) = 50 sin40o (20) = 643 N·mm

My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm

Mz = F (125) = 50 (125) = 6250 N·mm

MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →

MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →

Momentin yönünü bozmaması içinFx ve Fy nin işaretini atarız.

Momentin yönünübelirten işaretleribiz yerleştiririz.

F

→

Düşeydüzlem

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/20

Verilenler:

İstenenler:


2. Çözüm

F = 50 N

MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →

x

y

z

O

A125 mmFy

20 mm

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →

F = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N→

F

Fx

→ →

− 50 sin40o− 50 cos40o

MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →

MO = r × F =→ →

→ →i j k

rx ry rz

Fx Fy Fz

→→

r

− 125 sin40o 125 cos40o 20

0

i j k

MO = →

→ → →r = OA→ →

r = rx i + ry j + rz k→ → → →

r = − 125 sin40o i + 125 cos40o j + 20 k mm→ →→ →

Vektörel çarpım ile moment hesaplanıncamomentin yönünü belirten işaretler kendiliğinden gelir.

40o40o

→

∟

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/20

Verilenler:

İstenenler:


3. Çözüm

F = 50 N

MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →

MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →

x-eksenine göre moment:

z

yO

x-ekseni

20 mm

A Fy = − 50 sin40o

Mx = |Fy | (20) = 50 sin40o (20) = 643 N·mm

My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm

Mz = 50 (125) = 6250 N·mm

Mx

y-eksenine göre moment: z

O

y-ekseni

20 mmA

Fx = − 50 cos40o

My

x

125 cos40o

125 sin40o

z-eksenine göre moment:

Oz-ekseni

x

Mz

y

A

F = 50 N125 mm

40o

Momentin yönünü bozmaması içinFx ve Fy nin işaretini atarız.

Momentin yönünü belirtenişaretleri biz yerleştiriz.

→

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/21

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki 600 N-luk kuvveti, O noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız.

Çözüm

MO = ?

F = 600 N

F = Fxy + Fz = Fx + Fy + Fz

→ → →

Fxy = F cos45o

Fz = F sin45o

Fx = Fxy sin60o = F cos45o sin60o

→ → →

Fy = − Fxy cos60o = − F cos45o cos60o

F = 367 i − 212 j + 424 k N

Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken, kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadanaynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz. Bu kuvvet çiftinin momenti,kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.

→ → → →

r = OA = (50 + 130 sin60o) i − (140 + 130 cos60o) j + 150 k mm→ → → → →

r = 162.6 i − 205 j + 150 k mm→ → → →

MO = r × F =→ →

→ →i j k

rx ry rz

Fx Fy Fz

→→

− 205162.6

367 − 212 424

150

i j k

MO = →

→ → →

MO = − 55.2 i − 13.9 j + 40.8 k N·m→ → → →

F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →

r = rx i + ry j + rz k→ → → →

A

F =

Fz Fxy

r

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/22

Verilenler:

İstenenler:

150 N-luk iki kuvvetten oluşan şekildeki kuvvet çiftinin momentini birim vektörlercinsinden yazınız.

Çözüm

M = ?

F = 150 N

M

F

F

150 mm

500 mm

M = F d

M = 150 (522) N·mm

M = 78.3 N·m

16.7o

Mx = − M cos16.7o

My = M sin16.7o

M = Mx i + My j→ → →

M = − 75 i + 22.5 j N·m→ → →

16.7o

Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır. Yani serbest vektördür.Kuvvetlerin bulunduğu düzleme diktir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur.

d 2 = 1502 + 5002→

522 mm

Düşey düzlem

Yatay düzlem

Mx = − 150 (250) − 150 (250) N·mm

My = 150 (150) N·mmveya

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/23

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki F kuvvetinin CD çizgisine göre momentinin şiddeti 50 N·m ise F nin şiddetini bulunuz.

Çözüm

F

x

y

z

A

C

B

D

0.2 m

0.2

m

0.4 m

CD→

Mλ = 50 N·m

A (0.2,0,0)

B (0,0.4,0.2)

C (0.4,0,0.2)

D (0.4,0.4,0)

F = ?uCD = α i + β j + γ k→ → → →

= ––––CD

CD

→

AB2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2

AB = 0.49 m

AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m→ →→ →

CD2 = 0.42 + (−0.2)2 m2

CD = 0.447 m

CD = 0.4 j − 0.2 k m→→ →

uCD = 0.894 j − 0.447 k→ → →

0.2 m

r = CA→ →

r

r = rx i + ry j + rz k→ → → →

r = − 0.2 i − 0.2 k m→ →→

F = F (l i + m j + n k )→ → → →

= F ––––AB

AB

→Mλ =

α β γ

rx ry rz

l m nF

F = F (− 0.41 i + 0.82 j + 0.41 k )→ → → →

Mλ = F

− 0.2 0 − 0.2

− 0.41 0.82 0.41

0 0.894 − 0.447

= 50

F = 228 N

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



Bir kuvvet sisteminin bileşkeleri

Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır.

Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır.

Üç boyutlu kuvvet sistemleri her zaman bir tek kuvvete indirgenemeyebilir.

Onun yerine, çoğunlukla, kuvvetleri keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgemek ile yetinilir.

Kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgediğimiz zaman sistem, çoğunlukla,bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden meydana gelen bir sisteme dönüşür.

R = F1 + F2 + ··· + Fn =→ → →

(F1x i + F1y j + F1z k ) + (F2x i + F2y j + F2z k ) + ··· + (Fnx i + Fny j + Fnz k ) = ΣF→ → → →

R = (F1x + F2x + ··· + Fnx) i + (F1y + F2y + ··· + Fny) j + (F1z + F2z + ··· + Fnz) k→ → →} }

= ΣFx= ΣFy

→ → →

R = Rx i + Ry j + Rz k = R (lR i + mR j + nR k )→ → →

Rx = ΣFx

Ry = ΣFy

R 2 = Rx2+ Ry

2 + Rz2

Bileşke kuvvetin yönünü ve şiddetini bulmak için:

→

→ → →

→}

= ΣFz

Rz = ΣFz

Rx = R lR

Ry = R mR

Rz = R nR

F2

F1

Fn

O

x

z

yF3

M1

→

M = Mx i + My j + Mz k = M (lM i + mM j + nM k ) = ΣM → → → →

→ → →

→ → →

Benzer şekilde, bileşke kuvvet çiftinin yönünü ve şiddetini bulmak için:

Mx = ΣMx

My = ΣMy

M 2 = Mx2+ My

2 + Mz2

Mz = ΣMz

Mx = M lM

My = M mM

Mz = M nM

l2 + m2 + n2 = 1

Bileşke kuvvet

Bileşke kuvvet çifti→



Behcet DAĞHAN



R = ΣF

F2

F1

Fn

F3

M1

Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi

F2

F1

FnF3

M1MF1

A

MF2MF3

MFn

≡

M = ΣM

A≡

Kuvvet çiftlerinin toplamı

Kuvvetlerin toplamı

Fn kuvvetini A noktasına taşırkensisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti

A

∟

M = ΣM

→→

→→

→→

R = ΣF→→

Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız.

Kuvvetleri taşırken sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini de ilave ederiz.

Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, kuvvetlerin o noktaya göre momentleri kadardır.

MFn = MAFn

Bileşke kuvvet çifti

Bileşke kuvvet

→Bile

şkele

rin

içinde

bulunduğu

düzlem



Behcet DAĞHAN



≡ ≡

R

A

M

M2

M1

R

AM1

R

R

d

d = ––––

A

M1

R≡ A

M1

R

≡

M2

R

A

∟

M = ΣM

Kuvvet vidası

Birbirine paralel olanbir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden

oluşan sisteme kuvvet vidası denir.

Yönleri aynı ise pozitif kuvvet vidası,zıt ise negatif kuvvet vidası denir.

Üç boyutlu bir kuvvet sisteminin bir tek kuvvete indirgenebilmesi için M1 = 0 olması gerekir. Yani ΣM R olmalıdır.→ →

dd

Bir noktaya indirgenmiş bir sistemin bir kuvvet vidasına veya bir tek kuvvete indirgenmesi

→→

R = ΣF→→

ΣM • R = 0→ →

ΣM R→ →

M2 = R d

↕

Vida eksen

i

∟

Bileşk

elerin

içinde

bulunduğu

düzlem

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/24

Verilenler:

Üç tane eşit kuvvet eşkenar üçgen bir levhaya şekildeki gibi uygulanmıştır. Bu kuvvetsistemini O noktasına indirgeyiniz. R nin M ye dik olduğunu gösteriniz.

Çözüm

O

z

x y

M = ΣM→→

R = ΣF→→

R = − 3F k→→

MF1

M = − F b sin60o i→→

R • M = 0 ise:→ →R M

→ →

F1

b

(−3 F) (−F b sin60o) k • i = 0→ → → →

R M

MF2

MF3

F2

F3

F1 = F

F2 = F

F3 = F

R = F1 + F2 + F3→→ → →

M = MF1 + MF2 + MF3→→ → →

F3 kuvvetini O noktasına taşırkensisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti(Kuvvetin O noktasına göre momentine eşittir.)

F (b/2)

F (b/2)F b sin60o

O

z

x y

M

R F b sin60o

3F

MF3 = MOF3F1 = F

F2 = F F3 = F

≡İstenenler:

R = ?

M = ?

→

→

→

→

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/25

Verilenler:

Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşansistemi O noktasına indirgeyiniz.

1. Çözüm

T1 = 800 N

T2 = 200 N

F = 1200 N

A

BCrC

O

z x

y

M

rA

rB

A (0,100,−550)

B (0,−100,−550)

C (75,0,−220)

R

rA = OA = 100 j − 550 k mm→ → → →

rB = OB = −100 j − 550 k mm→ → → →

rC = OC = 75 i − 220 k mm→ → → →

M = MT1 + MT2 + MF→ → → →

M = ΣM→→

R = ΣF→→

R = T1 + T2 + F→→ → →

R = (800 + 200 − 1200 sin10o) i + 1200 cos10o j N→ → →

R = 792 i + 1182 j N→ → →

M = rA x T1 + rB x T2 + rC x F→ →→ → →→ →

1000

800 0 0

−550

i j k

M = →

→ → →

−1000

200 0 0

−550

i j k→ → →

+ 075

−208.4 1181.8 0

−220

i j k→ → →

+

M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m→ → → →

≡

İstenenler:

R = ?

M = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/25

Verilenler:

Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşansistemi O noktasına indirgeyiniz.

2. Çözüm

x-eksenine göre moment:

z

y

O

x-ekseni

A

Mx = 1200 cos10o (220) N·mm = 260 N·m

My = − 800 (550) − 200 (550) + 1200 sin10o (220) N·mm = − 504 N·m

Mz = 1200 cos10o (75) − 800 (100) + 200 (100) N·mm = 28.6 N·m

Mx

y-eksenine göre moment:

y-ekseni

220 mm

z-eksenine göre moment:

Oz-ekseni

x

Mz

y

Bileşke kuvvet çiftinin momentini bulmak için 2. yol

BF cos10o

C

x

zO

A220 mmB

T1

T2F sin10o

CMy

330 mm

T1 = 800 N

T2 = 200 N

F = 1200 N

C

A

B

T1

T2

F cos10o

75mm

100

mm

100

mm

M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m→ → → →

F sin10o

M = Mx i + My j + Mz k→ → → →

İstenenler:

R = ?

M = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm

R = ?

M1 = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

O

z

xy

T

T

3a

MT a

A

O

z

x y

TT

3a

M

R = ––––––

A

M1

M2

M = T a

M1 = T a cos45o

M1 = − T a cos45o cos45o ( i + j )→ →

Kuvvet vidasının kuvvet çifti

→

M1 = − ––– ( i + j )→ →→ T a

2 O

x y

3aR

AM2

M2 = T a cos45o

AP = d

d = ––– = a cos245o = 0.5aM2

R

Tcos45o

z = 3a + d = 3.5a

P (0,0,3.5a)

P noktası z-ekseni üzerindedir.R ile M1 zıt yönde olduğu için kuvvet vidası, negatif kuvvet vidasıdır.

R

M1

P

Ta

__

45o

z

R = T ( i + j )→ →→

≡

≡

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

O

xy

3a

a

T

T

z

M1 = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

O

T

T

a T

3a

Mz

M1 = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

O

T

T

3a

Mz

M1 = ?

R

M1

M2

45o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

T

T

M

3aO

3a

z

M1 = ?

R

M1

M2

45o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

3aO

3a

z

M1 = ?

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

3aO

3a

M1

45o

M2

z

M1 = ?

R

R

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 2/26

Verilenler:

İstenenler:


Çözüm

R = ?

F1 = T

F2 = T

P (x,y,z) = ?

xy

3aO

3a

M1

z

45o

R

M1 = ?

Documents

STATİK Ders...Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN ... Behcet DAĞHAN